Guia de Trabajo Universidad Universida d Distrital D istrital Francisco rancis co Jos´ Jo s´ e de Caldas Calda s Facultad de Ciencias y Educaci´on on Seminario Didactica de la Fisica III Noviembre 2017
Lea con atenci´on on junto con su mesa de trabajo y discuta de manera critica los aspectos relacionados con respecto al concepto concepto de onda que en esta se exponen, exponen, resuelv resuelvaa en grupo los ejercicios ejercicios que la gu´ıa ıa propone; no dude en preguntar al encargado que corresponde a su mesa en cuanto al proceso a utilizar para la buena realizaci´on on de esta.
1.
Ondas Ondas Estac Estacio ionar naria iass
Si usted agita una cuerda o un resorte fijos en uno de sus extremos, una onda continua viajara hacia el extremo fijo y se reflejara (figura 1). Si contin´ ua haciendo vibrar la cuerda, habr´a ondas ua que viajen en ambas direcciones, y aquella que via je en un sentido interferir´ a con aquella que viaje en el otro. En general habr´a mucha confusi´on. on. Pero si se hace vibrar la cuerda a la frecuencia adecuada, las ondas viajeras interferir´an an una con la otra, de tal modo que se producir´a una onda estacionaria de gran amplitud (figura 2). A esta se le llama onda estacionaria, debido a que no parece viajar. Los puntos de interferencia destructiva, llamados nodos y los de interferencia constructiva llamados antinodos permanecer´an an en lugares fijos. La frecuencia frecuenc ia m´ınima de vibraci´ v ibraci´on on que produce una onda estacionaria da lugar a una configuraci´on on como la de la (figura 3.a). Las ondas estacionarias de las partes b y c de la (figura 3) se producen exactamente a una frecuencia del doble y del triple, respectivamente, respectivamente, de la frecuencia m´ınima, suponiendo que la tensi´on on de la cuerda permanece igual. La cuerda tambi´ t ambi´ en en puede vibrar con cuatro ondas cuando la frecuencia es cuatro veces la fundamental y as´ as´ı sucesivamente. Por sencillez, tomaremos como ejemplo para ilustrar la formaci´on on de ondas estacionarias el caso de
Figura 1: una onda transversal que se propaga en una cuerda de longitud L sujeta por sus extremos en el sentido de izquierda a derecha ( →); esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce una onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a izquierda (←). La onda reflejada tiene una diferencia de fase de radianes respecto respecto al incidente. incidente. La superposici´on on 1
y frecuencia, pero se encuentran desfasadas por un Angulo de πradianes Realizando la suma algebraica de las dos funciones de onda anteriores de acuerdo al principio de incertidumbre Ψ(x, t) = Ψ1 (x, t)+Ψ2 (x, t) = A cos(kx −wt )+A cos(kx +wt+π ) Actividad 6: utilizando las identidades del Angulo doble para seno y coseno expresadas en la ecuaci´ on (3) y (4) respectivamente, realizar la suma algebraica correspondiente y obtener el resultado de la ecuaci´on (5) ◦
Figura 2:
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)
(3)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
(4)
Ψ(x, t) = 2A sin(kx)sin(ωt )
de las dos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a ondas estacionarias (figura 2)
(5)
El comportamiento temporal del desplazamiento vertical desde el equilibrio de un elemento individual de la cuerda se conoce por sin( ωt ). Es decir, cada elemento vibra con una frecuencia angular ,( ω) La amplitud de la oscilaci´on vertical de cualquier elemento de la cuerda depende de la posici´on horizontal del elemento. Cada elemento vibra dentro de los confines de la funci´on envolvente 2A sin(kx). Como la cuerda se encuentra atada a uno de sus extremos, ese punto permanece fijo por hip´otesis y la vibraci´on en este debe ser nula, por ende, se debe tener en cuenta la siguiente condici´on de frontera solamente para la parte espacial de la ecuaci´on (5)
Figura 3:
Ahora bien, para analizar ese movimiento ondulatorio combinado se tendr´ a en cuenta de forma vital el principio de superposici´on el cual propone que, si dos o m´as ondas progresivas se mueven a trav´es de un medio, el valor resultante de la funci´on Ψ(L, 0) = 2A sin(kL ) = 0 (6) de onda en cualquier punto es la suma algebraica de los valores de las funciones de onda de las ondas De acuerdo con la condici´on se deduce que el arindividuales. Destacando cada una de las funciones gumento de la funci´ on seno debe ser cero o equivade onda. lente a un m´ ultiplo entero de π Ψ1 (x, t) = A cos(kx − wt)
kL = nπ ;
(1)
n = 1, 2, 3,...
(7)
Donde el ´ındice n se refiere al n –´esimo modo nor(2) mal de oscilaci´on. Reemplazando el valor del vector La ecuaci´on (1) hace referencia a la onda inci- de onda k y despejando L se obtiene dente y la ecuaci´on (2) dictamina la onda reflejanλ L = (8) da, n´ otese que las dos poseen la misma amplitud 2 Ψ2 (x, t) = A cos(kx + wt + π )
2
Ejercicio 6: discuta junto con su grupo de trabajo el resultado obtenido en la ecuaci´ o n (8) y en simultanea constate las representaciones de los diferentes arm´onicos de acuerdo con la (figura 3) ◦
Las frecuencias naturales asociadas con los modos de oscilaci´ o n se obtienen de la relaci´onv = vλ , donde la rapidez de onda v es la misma para todas las frecuencias. Al usar esta ecuaci´on se encuentra que las frecuencias naturales f de los modos normales son n
v = n
v v = n = 1, 2, 3... λ 2L
(9)
n
Estas frecuencias naturales tambi´ en se llaman frecuencias cuantizadas asociadas con la cuerda oscilante fija en ambos extremos. La frecuencia m´a s baja de todas,f 1 , que corresponde a n = 1 , se llama fundamental o frecuencia fundamental y las de los modos restantes son m´ ultiplos enteros de la frecuencia fundamental. Las frecuencias de los modos normales que exhiben una correspondencia de m´ultiplo entero como ´esta forman una serie arm´onica, y los modos normales se llaman arm´ onicos. La frecuencia fundamental es la frecuencia del primer arm´onico, la frecuencia f 2 = 2f 1 es la frecuencia del segundo arm´onico y la frecuencia f = nf 1 es la frecuencia del n –´ esimo arm´ onico. n
2.
Bibliografia ´ OPTICATercera Edici´on;Eugene Hecht. F´ISICA- Tomo I,Tercera Edici´ on;Raymond Serway. F´ISICA PARA CIENCIAS E INGENIER´IASexta Edici´on (vol. 01);Douglad C. Giancoli.
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