COLEGIO JORGE ELIECER GAITÁN MATEMÁTICAS CICLO III -A, TALLER NÚMEROS NATURALES
4. a es mayor que b; se simboliza a>b. ejm: 4 es mayor que 2; 4 > 2. 5. A es igual a b; se simboliza a=b. ejm. 1 es igual a 1; 1=1.
LOS NÚMEROS NATURALES Los números naturales son aquellos que sirven para contar los elementos de un conjunto determinado. Por ejemplo, contar animales, manzanas, cervezas, etc. Este conjunto se simboliza con la letra ℕ y se determinan por la siguiente expresión. ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18, … } El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características: El primer número natural es el cero Cada número natural tiene un sucesor que se halla sumándole 1 al número 1.Representación de los números naturales. Los números naturales se representan en una recta numérica de modo que cada número le corresponda un punto en la recta. Para representar el número en la recata se realizan los siguientes pasos: 1. Se traza la recta numérica 2. Se escoge el punto correspondiente a cero y a partir de él se ubican en orden los números a igual distancia.
2.Orden de los números naturales. Los números naturales a parte de contar elementos de un conjunto, también sirven para ordenar los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, en una carrera es importante contar el número de competidores que llegan a la meta y el orden en que llegan. El orden resulta de comparar los números naturales y determinar cuál es el número menor y cuál es el mayor. En la realidad generalmente esto se hace con respecto a un parámetro en común (tiempo empleado, distancia recorrida, etc.). Cuando se compara dos números naturales a y b se cumple una de las siguientes condiciones: 3. a es menor que b; se simboliza a < b. ejm: 1 es menor que 2; 1 < 2.
3.Operaciones con los números naturales. En el conjunto de los números naturales se definen las siguientes operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación. 3.1 Suma o Adición. Si a,b,c, son números naturales, se define la suma como a+b=C. Donde a y b se denominan sumandos y c suma o total. La suma tiene las siguientes propiedades: Clausurativa: Si 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ entonces, 𝑎 + 𝑏 ∈ ℕ. Conmutativa: Si 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ entonces, a + b= b + a. El orden de los factores no altera el producto. Asociativa: Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ entonces, a + m(b + c) = (a + b) + c. Modulativa: Si si 𝑎 ∈ ℕ entonces, a + 0 =a 3.2 Sustracción o resta: La sustracción o resta de los números naturales es la operación inversa de la suma, si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ entonces la resta entere a y b se define a – b = c donde a se llama minuendo, b sustraendo y c diferencia. Cumple propiedad, clausurativa, conmutativa. 3.3 Multiplicación. Dados los números a, b, c y estos pertenecen a los naturales, a x b= a + a + a + a + a+...=c ; a se suma b veces. Ejemplo: 2 x 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 La multiplicación de números naturales tiene las siguientes propiedades: Clausurativa: Si 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ entonces, 𝑎 𝑥 𝑏 ∈ ℕ. Conmutativa: Si 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ entonces, 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑏 𝑥 𝑎. Ejemplo: 2 x 3 = 6, 3x2=6 Asociativa: Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ entonces, 𝑎 𝑥 ( 𝑏 𝑥 𝑐 ) = (𝑎 𝑥 𝑏) 𝑥 𝑐 . Ejemplo: (9 x8 ) x 5= 72 x 5 = 360, 9 x ( 8 x 5 ) = 9 x 49 = 360. Modulativa: Si 𝑎 ∈ ℕ, a x 1 = 1 x a = a
Distributiva: Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ entonces, 𝑎 𝑥 (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 𝑥 𝑏) + (𝑎 𝑥 𝑐). Producto con factor cero: Si 𝑎 ∈ ℕ entonces, a x 0 = 0 3.4 División. La división es la operación que permite repartir una cantidad en partes iguales; sin embargo, esto no se puede hacer de forma exacta.
Cociente de potencias de igual base: El cociente o división de potencias de la misma base es igual a conservar la misma base y como exponente realizar la resta de los exponentes (el del divisor menos el del dividendo), ejemplo:
Potencia de otra potencia: La potencia de potencia se observa cuando existen varios exponentes que afectan a una misma base, y se usan signos de agrupación para indicar las potencias superiores; y la regla dice que en la potencia de potencia se debe colocar la base y se multiplican los exponentes, ejemplo:
Potencia de un producto o cociente: Cuando una multiplicación o división está elevada a un exponente, podemos elevar al exponente cada uno de sus factores o dividendo y divisor, ejemplo:
Dicho esto la división de números naturales se puede clasificar de la siguiente manera: División exacta: el residuo de la división es cero.
Ejm: 24 ÷ 6 = 4 es una división exacta porque si repartimos 24 caramelos entre 6 niños, a cada uno le tocan 4 caramelos y no sobra ninguno. El resto es 0
División inexacta: el residuo de la división es diferente de cero.
3.5 Potenciación. Es una operación entre dos términos llamados: base = a, y exponente = n; en donde la base se multiplica por sí mismo las veces que nos indica el exponente; se escribe𝑎𝑛 y se lee: “a elevado a la n”. La potenciación tiene las siguientes propiedades: Producto de potencias de igual base: l producto o multiplicación de potencias de la misma base es igual a conservar la misma base y como exponente la suma de los exponentes, ejemplo:
3.6 Radicación. La radicacion es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.
Propiedades: Sean a, x e y números reales no negativos y entonces.
Propiedades: Raíz de un producto:
-
Raíz de un cociente:
= Raíz de una raíz: se multiplica los índices
El logaritmo de cero (0) no esta definido 𝐿𝑜𝑔 𝑥 0 = 𝑁. 𝐷 El logaritmoen cualquier base de 1 es igual a cero 𝐿𝑜𝑔 𝑥 1 = 0
=
EJERCICIOS
El cero y uno en la radicación: La raíz enésima de 1 es uno. Es decir, cualquier raíz que se le quiera sacar a uno siempre será uno. La raíz enésima de cero es igual a cero. “Las raíces de índice dos, se llaman raíces cuadradas y, a diferencia de los demás casos, en este tipo de raíces no se escribe el índice.”
SUMA Y RESTA: 1. Hacer las siguiente operaciones.
3.7 Logaritmación. El logaritmo es "el exponente" por el cual se ha elevado una base para obtener la potencia. 2 .
3. En un almacén tenían 40 tarros de conservas. Les llegaron 30 más. ¿cuantos tienen ahora? 4. En una panadería hay 112 tortas. 64 son de maíz, 37 de zanahoria y el resto son de chocolate. ¿cuántas tortas de chocolate hay?.
5. Un escalador después de subir 455 metros de una Montañana, subió 325 metros mas. Sin embargo, se fue en bolsa y resbalo 18 metros. Luego, subió 406 metros. A) Plantear operación para resolver el problema, B) Determinar la altura alcanzada por el escalador.
a b)
RADICACIÓN 13. Cual es el área de un cuadrado que tiene 635 cm^2 de area. 14.
6. Roberto nace en 1928 y se casa a los 30 años, dos años más tarde nace su hija y el muere cuando ella tiene 30. ¿a qué edad murió Roberto? MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 7. Realiza las siguientes operaciones a) (5 x 7) x 4 b) 5 x (3 + 4) c) (2 x (5 + 7)) x 3 d) ((2/3) + 1) x 4 8. Una caja trae 10 marcadores, cada uno vale $ 1.245. ¿Cuánto vale la caja completa? 9. La distancia que hay entre dos ciudades es 726 km ¿Cuánto se debe pagar de transporte de una ciudad a otra si se sabe que cobran $ 50 por cada 6 km?
LOGARITMACIÓN 15. Expresar en forma de potencia o logaritmo según corresponda a) 34 = 81 b) 57 = 78125 c) 𝐿𝑜𝑔 4 1024 = 5 d) 213 = 9261
10. Una ballena azul puede pesar hasta lo que pesan 26 elefantes africanos adultos. Esos pesan aproximadamente 5000 kg cada uno. Calcula cuantos kg pesa una ballena azul aproximadamente. POTENCIACIÓN 11. Escribe la potencia que corresponde a cada caso. Luego, calcula su valor. a) b) c) d) e)
Cinco elevado a la tres. Tres elevado a la cinco. Seis elevado a la tres. Diez elevado a la seis. Uno elevado a la treinta.
12. Usando propiededades simplifica. a)
e) 𝐿𝑜𝑔 100000 = 5 16. Aplica propiedades de logaritmos. a) 𝐿𝑜𝑔 (243 𝑥 23) 125
b) 𝐿𝑜𝑔 ( 25 ) c) 𝐿𝑜𝑔 5 − 𝐿𝑜𝑔 6 d) 𝐿𝑜𝑔 10 + 𝐿𝑜𝑔 30 e) 𝐿𝑜𝑔 124 f) 𝐿𝑜𝑔 456 g) 𝐿𝑜𝑔 ( 64 𝑥 26 )4
