ECUACIONES DIFERENCIABLES DIFERENCIABLES DE PRIMER ORDEN. Cristian J. Tójar Ganivet. Grado Ingeniería Mecánica.
Nombre
Forma
Cambio
F ( x, y , λ ) = 0
Ecuación diferencial de la familia de curvas.
Ecuación con variables separables.
∂F ∂ x
+
∂F ∂ y
⋅ y´= 0
P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = 0 P ( x, y ) = − g ( x) Q ( x, y ) = h( y )
Ejemplo xy − λ ( x + y ) = 0
Comentario
3
No hay
Derivando respecto de x y 3 + 3 xy 2 y´−λ (1 + y´) = 0
Se elimina λ entre las 2 ecuaciones.
(1 + y 2 )dx + xydy = 0
No hay
Se puede poner de la forma: − y
1 + y 2
h( y ) = g ( x)
dy =
1 x
dx
Es la forma más simplificada de una ecuación diferencial.
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0
Ecuación homogénea.
Tal que P y Q son homogéneas del mismo grado, entonces Q/P es homogénea de grado 0 y es homogénea.
y´= u´ x + u
a2
≠
a1
Ecuaciones que se pueden transformar t ransformar en homogéneas.
a1 x + b1 y + c1 a 2 x + b2 y + c 2
y´= f
2 xydx − (3 x 2 − y 2 )dy = 0
y = ux
P y Q son ambas ecuaciones de grado 2.
b2 b1
cambio x = u + α
y´=
2 y − 1 y + x
a2
=
b2 b1
( x − 2 y − 1)dx + (3 x − 6 y + 2) dy = 0
cambio z = a1 x + b1 y P( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = 0 ∂ x
Ecuación diferencial exacta.
∂F ( x, y ) ∂ y
= P ( x, y) = Q( x, y )
Y se cumple que ∂P ( x, y ) ∂ y
=
∂Q ( x, y ) ∂ x
Se transforma en una homogénea.
y = v + β a1
∂F ( x, y )
Una ecuación homogénea de grado “m” cumple m f (λ x, λ y ) = λ f ( x, y )
No hay cambio se calcula la función potencial.
(2 x + e y )dx + xe y dy = 0
Se transforma en una ecuación de variables separadas mediante el cambio. Se hace por pasos: 1º.- Se integra P(x,y) respecto de x 2º.- Se calcula k(y)derivando lo anterior respecto de y 3º.- Se sustituye k(y) en a) (página 37 libro antiguo)
Nombre
Ecuación diferencial no exacta.
Forma
Cambio
P( x, y )dx + Q( x, y ) dy = 0 Existe µ ( x, y ) (factor integrante) que hace que µ ( x, y )[P( x, y )dx + Q( x, y )dy ] = 0 sea diferencial exacta. ∂ µ ( x, y ) ∂ µ ( x, y ) P( x, y ) − Q ( x, y ) ∂ y ∂ x
Ejemplo
Comentario
( xy 2 − y 3 )dx + (1 − xy 2 )dy = 0
No se hace cambio pero se desarrolla lo (*)
No es diferencial exacta, pero si y 2 ( x − y )
∂u ∂ y
2
− (1 − xy )
∂u ∂ x
∂ x
y ( x − y ) = 0 + 2 µ
∂P( x, y ) ∂Q( x, y ) + µ ( x, y ) − =0 ∂ x ∂ y
Lo que se hace es hipótesis que simplifiquen la ecuación, en el ejemplo anterior se continúa suponiendo que µ es independiente de x por ∂ µ tanto = 0 y lo demás es más simple. Pág. 40 libro antiguo.
(*)
Ecuación lineal de primer orden.
y´+ f ( x) y + g ( x) = 0
y = u ⋅ v
1
Ecuación de Bernouilli.
n
y´+ f ( x) y + g ( x) y = 0
y n−1
1 y n
Ecuación de Riccati.
2
y´+ f ( x) y + g ( x) y + h( x) = 0
y x
3
+x =0
= (1 − n ) z
y´+2 xy − xy 2 = 0
y´= z´
Se utilizan dos soluciones particulares en el siguiente cambio y − ϕ 1 ( x) u=
Ecuaciones de grado n respecto a y´.
y´+
y´= u´⋅v + u ⋅ v´
ecuación homogénea asociada y´+ f ( x) y = 0 La solución de la lineal es la integral de la homogénea más una solución particular.
Se resuelve: 1 2
2
y´+ y + 6 xy + 9 x = 0
u
u´= f ( x )[ϕ 2 ( x ) − ϕ 1 ( x) ] dan
do como resultado: u = Ce
y − ϕ 2 ( x)
( y´)n + P1 ( x, y)( y´)n−1 + P2 ( x, y)( y´)n−2 + Lo que se hace es resolver las .......+ Pn−1 ( x, y)( y´) = 0 soluciones de la ecuación.
Mediante el cambio se transforma en una ecuación lineal.
∫
f ( x ) [ϕ 2 ( x ) −ϕ 1 ( x ) ]dx
Y luego se sustituye el valor de u en el cambio. El ejemplo anterior nos dará las soluciones: y ´ = 2
2
( x ) y´+ (3 xy ) y´+( 2 y ) = 0
y ´ =
− 2 y
x − y x
=> y ´ + 2 y = 0
=> y ´ +
y x
= 0
Se resuelven las dos diferenciales
Nombre
Forma
Cambio
Si en f(y,y´) se puede despejar y=g(y´)
y´ = p dy = p dx
Ejemplo
Comentario
y´
Solución general g´( p)
y = ( y´−1)e
x =
y´= p
Ecuaciones de la forma f(y,y´)=0, f(x,y´)=0.
y´= p dy = p dx
Si en f(y,y´)=0 puede expresarse en forma paramétrica: y = α (t )
dy = α ´(t ) dt
p = β (t ) p = y´
Si en f( x, y´ )=0 puede expresarse en forma paramétrica y = α (t ) p = β (t )
α ´(t ) dt β (t )
dp + C
Solución general
∫
y = pg´( p) dp + C x = g ( p)
Solución general α ´(t ) x = dt + C β (t )
dy = β (t )dx dx =
p
y = g ( p)
dy = pdx
Si en f(x,y´) se puede despejar x=g(y´)
∫
∫
2
y + y
´2
=1
y = α (t )
y = cos t dx = α ´(t ) dt
y´= sent
Solución general
∫
dy = β (t ) dx
y = β (t )α ´(t ) dt + C
dx = β (t )α ´(t )dt
x = α (t )
p = y´
Ecuación de Lagrange.
y = xf ( y´) + g ( y´)
y´= p dy = p dx
Con el cambio se obtiene una ecuación lineal. La solución general viene dada por:
y = 2 xy´+ ln y´
y = xy´+ϕ ( y´)
Ecuación de Clariout.
ϕ función de clase uno en un intervalo de R
Bibliografía: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Curso Teórico-Práctico.
2 y = xC + a 1 + C
y´ = C
y = xy´+ a 1 + y´
2
Las posibles singulares: -derivando respecto de C - eliminando entre ambas ecuaciones el parámetro.
