T10903 Laboratorio de Calculo - Guia

Laboratorio de Cálculo 2013

Laboratorio de Cálculo

Guía de Trabajos Prácticos Nº 1-2011

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LABORATORIO DE CÁLCULO GUÍA DE REVISIÓN Unidad I

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Indique los distintos subconjuntos numéricos en R. ¿A qué se denomina recta real?. ¿Qué es un intervalo real?. ¿Cómo se lo simboliza?. Defina unión, intersección y diferencia de intervalos reales. Defina ecuación, identidad y contradicción o absurdo?. ¿Qué es el Conjunto Solución de una ecuación?. ¿Qué son ecuaciones equivalentes?. ¿En qué consiste el proceso de “despejar una incógnita”?. Indique la fórmula resolvente de la ecuación cuadrática?. Dedúzcala. 10.¿Cómo 10. ¿Cómo resolver una ecuación cúbica con término independiente nulo?. 11. ¿ Cómo resolver una ecuación irracional cuadrática?. ¿Por qué debemos verificar cada resultado? 12.¿Qué 12.¿Qué es una inecuación?. 13.Justifique 13. Justifique el método abreviado para resolver inecuaciones visto en el curso: el “de la parábola” ?. 14. ¿Qué significa que dos números complejos son iguales o idénticos? 15. ¿Cómo reexpresa un número complejo en sus formas: binómica, trigonométrica, exponencial? 16. ¿Qué dice la fórmula de de Moivre?. 17. ¿Qué dice la fórmula de Euler?.



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LABORATORIO DE CÁLCULO GUÍA DE REVISIÓN Unidad I

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Indique los distintos subconjuntos numéricos en R. ¿A qué se denomina recta real?. ¿Qué es un intervalo real?. ¿Cómo se lo simboliza?. Defina unión, intersección y diferencia de intervalos reales. Defina ecuación, identidad y contradicción o absurdo?. ¿Qué es el Conjunto Solución de una ecuación?. ¿Qué son ecuaciones equivalentes?. ¿En qué consiste el proceso de “despejar una incógnita”?. Indique la fórmula resolvente de la ecuación cuadrática?. Dedúzcala. 10.¿Cómo 10. ¿Cómo resolver una ecuación cúbica con término independiente nulo?. 11. ¿ Cómo resolver una ecuación irracional cuadrática?. ¿Por qué debemos verificar cada resultado? 12.¿Qué 12.¿Qué es una inecuación?. 13.Justifique 13. Justifique el método abreviado para resolver inecuaciones visto en el curso: el “de la parábola” ?. 14. ¿Qué significa que dos números complejos son iguales o idénticos? 15. ¿Cómo reexpresa un número complejo en sus formas: binómica, trigonométrica, exponencial? 16. ¿Qué dice la fórmula de de Moivre?. 17. ¿Qué dice la fórmula de Euler?.



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Unidad 2

1. Defina matriz de mxn. 2. ¿Qué es una matriz fila? ¿Qué es una matriz columna? 3. ¿Qué condición deben cumplir dos matrices para poder ser sumadas?. ¿Y cuál es la suma?. 4. Defina producto de escalar por matriz. 5. Defina producto de matriz fila por matriz columna. ¿Qué requisito debe cumplirse?. 6. ¿Cómo se define el producto de una matriz A por otra matriz B?. ¿Qué condición se debe cumplir?. 7. El producto de matrices: ¿es conmutativo?, ¿es asociativo? 8. Dada una matriz, defina la matriz transpuesta de ella. 9. Defina el determinante de una matriz cuadrada. 10. Defina matriz regular o inversible. Defina la inversa de una matriz regular. 11. ¿En qué consiste el método de Laplace para calcular el determinante de una matriz cuadrada?. 12. ¿Qué es un sistema lineal de mxn?. ¿Cuál es su matriz asociada y cuál su matriz orlada o ampliada?. 13. ¿En qué consiste el método de Gauss?. 14. ¿Qué es un sistema crameriano?.¿Y en qué consiste el método de Cramer para su resolución?. 15. ¿Qué diferencia hay entre analizar y resolver un sistema?. 16. ¿Qué es el rango de una matriz?. ¿Qué dice el teorema de Rouché-Frobenius?. 17. Defina vector. Defina Módulo de un vector. 18. ¿Qué es el producto escalar de dos vectores?. 19. ¿Qué es el producto vectorial de dos vectores? 20.¿Cuál 20. ¿Cuál es la condición de paralelismo de dos vectores?



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21. ¿Cuál es la condición de perpendicularidad de dos vectores en R3 ? Unidad 3

1. ¿Qué es una función de un conjunto A en otro conjunto B?. 2. Defina Dominio, Codominio y Gráfica (o conjunto de pares ordenados) de una función. 3. ¿Cuál es el significado del símbolo: F(a) ?. 4. Describa cuatro formas de dar una función: Diagrama Sagital, Tabla, Fórmula, Gráfico Cartesiano. 5. ¿Cómo vienen representados Dominio e Imagen de una función en un gráfico cartesiano? 6. Defina y grafique la función módulo. Dé dominio e imagen. 7. Defina y grafique la función parte entera. Dé dominio e imagen. 8. Defina y grafique la función signo. Dé dominio e imagen. 9. Defina y grafique la función mantisa. Dé dominio e imagen. 10. ¿Qué es una función “partida” o “a trozos”?. 11. ¿Cómo son los gráficos de dos funciones inversas?. 12. Defina función constante. 13. Defina función lineal. Dé dominio e imagen. 14. Defina Conjunto de Ceros, Conjunto de Positividad y Conjunto de Negatividad de una función?. 15. ¿Qué es una función inyectiva?. 16. ¿Qué es una función sobreyectiva?. 17. ¿Qué es una función biyectiva?. 18. Defina crecimiento y decrecimiento estrictos de una función en un intervalo. 19. ¿Qué diferencia hay entre crecimiento estricto y crecimiento amplio?. 20.Defina monotonía y monotonía estricta. 21. ¿Qué relación hay entre inyectividad y monotonía estricta?. Laboratorio de Cálculo


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22. ¿Cómo son las ecuaciones de rectas verticales, horizontales y oblicuas?. 23. ¿Cómo son las tres formas vistas de ecuaciones de parábolas con eje de simetría vertical?. ¿Cuándo conviene usar cada una de ellas?. 24. ¿Cómo es la ecuación de una hipérbola con ejes paralelos a los ejes?. 25. Qué dice el teorema de Bolzano?. Describa el Método de la Secante. Describa el Método de Bisección. 26. ¿Cuáles son las funciones usadas en las “aplicaciones económicas”?. Unidad 4. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

¿Qué es una función polinómica?. ¿Qué dice el teorema del resto?. ¿Qué dice el teorema del factor? ¿Qué dice el teorema de Gauss? ¿Qué es una función racional?. ¿Qué es una función homográfica?.¿Qué requisitos debe cumplir?.¿Cuáles son las ecuaciones de sus asíntotas? 7. ¿Qué es una función exponencial (definida de R en R)?.¿Cómo es su gráfico si la base es mayor que 1? ¿Y si la base está entre 0 y 1 ?. 8. ¿Cuáles son las propiedades de la función exponencial? 9. ¿Cómo restringir el codominio de una función exponencial para que sea biyectiva?. 10. ¿Cuál es la inversa de la función exponencial y cuáles son sus propiedades?. 11. ¿Qué relación hay entre los gráficos cartesianos de las funciones exponencial y logarítmica (de igual base) ? 12. Defina las funciones trigonométricas básicas y sus inversas. Laboratorio de Cálculo


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13. ¿Qué identidades trigonometricas elementales conoce? 14. Cuáles son los parámetros de la función senoidal y qué significado gráfico tienen. 15. ¿Cómo “resolver” triángulos rectángulos? ¿Cómo “resolver” triángulos oblicuángulos? *-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*Laboratorio de Cálculo-2011. Guía bibliográfica. Sobel y Lerner: “ÁLGEBRA” – Prentice Hall Hispanoamérica–.4ª ed.Prentice Hall Hispanoamericana-Mexico-1996 Veiga: “LABORATORIO DE CÁLCULO” – Ediciones UAI – Buenos Aires – 2002 Unidad 1 Sobel y Lerner-Cap. 1- Págs 2 a 38 Sobel y Lerner - Capítulo 2 – Pág. 85 a 172. Veiga – Bloque 1 Unidad 2 Sobel y Lerner – Cap 4- 248 a 260 Veiga – Bloque3 Unidad 3 Sobel y Lerner- Cap. 6- Págs 361 a 401 Veiga – Bloque 2. Unidad 4 Sobel y Lerner - Cap 3 – Pág. 173 a 246 Sobel y Lerner- Capítulo 5 – Pág. 305 a 360. Veiga – Bloque 4 ****************************



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Universidad Abierta Interamericana

Facultad de Tecnología Informática – Ingeniería en Sistemas

Laboratorio de Cálculo. Guía de Trabajos Prácticos Nº 1- UNIDAD 1

A) Operar con los siguientes intervalos en la recta real. 1) [1 ; 7]   [2 ; 4) = 2) [1 ; 7]   [2 ; 4) = 3) [2 ; 3]  [–1 ; 5) = 4) [1 ; 7)  {3} = 5) [1 ; 7) {3} = 6) {2} (1 ; 6) = 7) {2 }  (1 ; 6) = 8) [1 ; 7] –  [ 2 ; 4) = 9) [2 ; 4] – [1  ; 7) = 10) {3}– (2 ; 6) = 11) {2}– (3 ; 6) =



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B) Operar en Z 12) –3 (–2) 13) (–3) – 2 14) 4 – 1 (–2) 15) 2 3 2 3 16) 7 2 0 17)  13 18) (1) 2000 19) (1) 3221 20)

(–1)(–1)(–2)(–1)(2)(–1)

21)

30 . 21 . (1) 2

22)  32 23 23)

1  3

24)  42 25)

1

26)

 13

3



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C) Operar en Q 27)

1 1  2 3

28)

1 1  2 3

29)

1 1  5 3 2 1  5 2

30)

 2     3 

2

31)

 3     2 

1

32)

  

33)

 1     3 

3

34)

 1     5 

2

35)

 2 1  1 1        3 2  4 3 

2   7 

1

2 1 3 2   2 1  5 36)  2 2 2 3  1 2  5 3

37)

 1 1      3 5 

1



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D) Operar con radicales 38)

5

 32

39)

5

32

40)

3

8

41)

3

8

42)

4

9 . 4 81

43)

3

(1) (2)(4)

44)

2

(4) (9)

45)

2

16  9

46)

2

25  9

47)

( 2  3 2 ) (1  2 )

E) Exprese como raíz las siguientes potencias: 48) 9 49) 8

1 2 1 3 1

50)

 1  2    5 

51) 4

1 3 1

 2   4 52)



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F) Introducir factores en cada radical, luego multiplicar

los radicales y finalmente extraer todos los factores posibles. 5 2

3

53)

(a3b 4

a b )  (a2b ab2 )

54)

(a3b ab3 )  (a4b

55)

(a5b 2

56)

(x 2 y 3 3 a2by )  (a3 y 2 8 x 2 y 3 )

5

8

7

ab5 ) 5

ab2 )  (a3b a3b )

G) Operar con los siguientes radicales: 57)

3 2 5 2  2

58)

2 37 3 3

59)

8  18  50

60)

3 2  3 2

61)

1   1   2  

1

62)

12  75

63)

4 2  4 2

H) Racionalizar los denominadores: 64)

7 5 3 5



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65)

1 7 3 2 1

66)

2 1

67)

1 3

68)

1 7

69)

1 7 2 a

70)

3 2 5 2 3 a b

71)

1

72)

7 2 3 1 3 x 1

73)

5 2

I) Determinar conjunto solución 74)

5– 7x = 2

75)

4

76)

2 (3x +1)+5(3–2x)= –2(x +1)+7(3– x)

77)

5 (2x + 1) + 3 (2x + 4) = 4 (4x + 7)

78)

2 (x + 8)+5(x–2)=3(x–6)+4(x+3)

5  4x 7 2



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

79)

2 (3x + 1)

80)

3 (2x +1)– 4(3x+1)  2 (3x – 8)

81)

5 (4x + 2)

82)

3 – 8x

83)

5





3 (2x – 2)

10 (2x + 1)

8

3  2x 1 4

J) Resolver 84) 85) 86)

(3x – 5) (4 – 2x) = 0 (6 – 3x) (2 + 7x) (x + 1) = 0 (4 – 2x) (x – 5) (x – 2) = 0

87)

(2x + 8) (3 –x)

88)

(5 – x) (2 + x) (3 – x)

89)

2 x 0 x 3

90)

2x  7 0 x 4

91)

2 x2  7 x  3 0 2x  6



0 

0

K) Resolver las siguientes cuadráticas 92)

2x2 – 7x + 3 = 0

93)

3x2 + 12x + 12 = 0

94)

2x2 – 3x + 4 = 0



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95)

2x4 + 17x2 – 9 = 0

96)

3x2 – 7x + 2



0

97)

2x2 – 8x + 8



0

98)

3x2 + 5x + 9



0

L) Hallar conjunto solución de las siguientes cúbicas

incompletas 99)

3x3 – 7x2 + 10x = 0

100) x3 + 8x2 + 7x = 0 101) x3 + 4x2 + 4x = 0

M) Resolver 102)

2 x2  9 x  4 0 x2  5 x  4

103)

5 x3  6 x2  x 0 4 x2  5 x  1

104) ( x  1)(4  2 x)( x  8)  0 ( x  4)( x  2)

N) Resolver las siguientes ecuaciones irracionales

cuadráticas 105) 106)

 3  x  4  x  3x  10

4  2 x  3  13  x



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O) Resolver las siguientes ecuaciones con módulo 107)

2x  7  5  7

108) 5–|5–2x| = 7 109) 3  5 x  1 110)

2 x3

111) 5  x  2 112) 3  x  2 2

113)

x 1  3 x 1  4  0

114)

x 2  5 x 2  6  0

115)

2x  7  7 2x  7  6  0

2

2

P) Indicar conjunto solución 116) x = 1  x = 2 117) x = 1  x = 2 118) x = 1  x  2 119) x = 1  x  2 120) x  1  x  2 121) x  1  x  2 122) x > 1  x > 0 123) x = 1  x > 0 124) x = 1  x > 0 125) x  1  x > 0 Laboratorio de Cálculo


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126) x  1  x > 0 127) x > 3  x  5 128) x > 3  x  5 129) x  1  x > 1 130) x  1  x > 1 131) x  1  x < 1 132) x  1  x < 1

Q) Reexpresar 133) a < b < c 134) a  b < c 135) a < b  c 136) a  b  c

R) Resolver las siguientes inecuaciones 137) –1 < 2x + 3  4 138) –3  2 – x  9 139) 7  8+ x < 9 140) –4  2 – 3x < -2 141) 3x + 2 < 4 – 2x  5 + x



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S) Resolver las siguientes inecuaciones 142) (2x – 7) (4x + 8) > 0 143) (3 – 2x) (7 – x)



0

144) 2 x  7  0 4x  8

145) 146)

3 0 7x

5 3 x

0

147) (2x – 5) (4 – 7x) < 0 148) (5 + 2x) (1 – x)  0 149) 2  x  0 4 x

150) (3x + 7) (–2x – 9) < 0 151) 152)

5  3x 0  4x  8

3  8x 0 2  7x

T) Resolver indicando claramente conjunto solución 153) 154)

x x 2x  5  1

155) 5  12 x  5 156) 3  2  x  1 Laboratorio de Cálculo


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157) 2  7  2 x  4 158) 4  6 x  7  2 159) 5  160)

3  2x  2  1 4

2 x3 x

161) 7  8 x  5  x 162)

4  2x  7  x

163) 3  5 x  5 x  3

U) NÚMEROS COMPLEJOS 164) Resolver las operaciones siguientes:

a) (2+3i) + (3-5i) b) (2+3i) – (3-5i) c) (2+3i) .(3-5i) d) (2+3i) / (3-5i) 165) Halle, en cada caso,

a)

z  3  5i .

b)

z  2(Cos

z, z1 :

   i Sen ) 3 3

166) Hallar los valores de “a” y “b” (reales)utilizando identidad de números complejos

a) 2 (3a; 5) + 3 (2; 4+b) = 3 (2; -5)



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b)

- 5 (3 + 5ai) + 4 (-2 + 3bi) = 5 + 4i

167) Escribir en forma trigonométrica ó binómica, según corresponda

a) 3-5i b) 5(Cos (/2)+i sen(/2)) c) 4+2i d) 5(Cos (/2)+i sen(/2)) 168) Hallar las potencias “n” en la forma binómica y en la forma trigonométrica (para ésta use Fórmula de Euler):

a)

(1  i)n 

b)

(1  2 i)n 

(n= 2, 3, 4)

( n= 3, 4)

169) Hallar las raíces “n” indicadas de la unidad

a) n=2 b) n=3 c) n=4 170) Ilustre gráficamente la Fórmula de Euler. 171) Qué forma toma la fórmula de Euler si el ángulo es   ?



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****************** Universidad Abierta Interamericana



A) Determine lo pedido:

Halle distancia entre A y B, siendo: A=(–1; 2), B= (3; –5). Halle distancia entre A y B, siendo: A=(2; –3), B= (0; 2). Decida si el triángulo ABC es equilátero: A= (–1; 1); B= (1;–1); C= (3; 2)? 4) Decida si el triángulo PQR es isósceles: P= (1; 1); Q= (2; 3); R= (–1; 2)? 5) Halle el punto P del eje x que equidista de A y B: A=(1; –2), B= (3; 1). 6) Halle el punto P del eje y que equidista de A y B: A=(–2; 2), B= (3; –3). 7) Ídem anterior para P del eje x y Q del eje y: A=(0; 2), B= (2; 0). 1) 2) 3)

PERTENENCIA DE UN PUNTO A UNA FIGURA B) Determine lo pedido a continuación: 8) Decida si el punto P pertenece a la figura F, siendo P=(3; –1) y F: x2 + y2 = 10. 9) Decida si el punto A pertenece a F y si el punto B pertenece a F. siendo: A = (2; - 5) , B = (– 4; 1), F: x2 – y2 = 15.



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Halle el valor de k (k R) para que A pertenezca a F, siendo A = (7; k+1), F: y = 3 x + 1. 11) Halle el valor de k (k R) para que B pertenezca a G, siendo B = (3; 1- k), G: 2x–3y = 1. 12) Encuentre 3 puntos que pertenezcan a la recta L: y = 3x+1. 10)

RECTA C) Graficar la recta o escribir la ecuación, según se pida :

Grafique las rectas L1:x = –3; L2 : y = –2; L3: x + 1 = 0; L4: y–3 = 0. 14) Dé ecuación de cada recta: 13)

15)

Dé ecuación de cada trazo. (Letras: H C A)

Halle la ecuación de la recta V (Vertical) y de la recta H (Horizontal) que pasan por el punto P = (-4; 2).

16)



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D) Escriba o grafique según se pida. 17)

Escriba la ecuación de cada trazo.

18)

Escriba la ecuación de cada trazo.

Graficar las rectas L1 : y = –(1/3) x + 2, L2: y = x – 2, L3: y = 3– x. 20) Escriba la ecuación de la recta L que pasa por los puntos A y B siendo A=(-2; 3) B= (5; –1). 19)

E) Indique (en caso de que lo haya) un par de las siguientes rectas

que sean: 21) Paralelas. 22) Disjuntas. 23) Secantes o transversales.



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24)

Perpendiculares.

F) Se dan a continuación las ecuaciones de varias rectas:

y=(1/2)x+2 ; L2: 2x - 3y + 1 = 0; L3: x/3+y/2=1 ; L4: y=(1/3)x+4 ; L5: –4x+6y= 2 ; Indique (en caso de que lo haya) un par de rectas que sean: 25) Iguales. 26) Paralelas 27) Disjuntas 28) Secantes 29) Perpendiculares.

L1:

G) Hallar las ecuaciones de las rectas que cumplen lo que se pide a

continuación:

L1 pasa por P=(3; –5) y tiene pendiente m = –2. L2 pasa por P=(–1; –2) y es paralela a L’ : y= –3 x +1. L3 pasa por P=(–2; 0) y es perpendicular a L’’ : y = ½ x – 3 L4 pasa por Q=(–1;–1 0) y es paralela a L’’’ : 2x +3y –2 = 0 L5 pasa por P=(2;3) y es dijunta (no tiene puntos en común) con L:2x–y+3=0.

30) 31) 32) 33) 34)



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L6 pasa por Q=(-1,5) y es secante a L: x+2y–1=0 en el punto de abscisa x = 2. 36) Escribir las ecuaciones de las rectas anteriores de todas las formas que pueda (segmentaria, explícita, general). 35)

PARÁBOLA H) Escribir las ecuaciones de las siguientes parábolas. 37)

38)

Diseñe un plan de trabajo para estudiar la influencia que “a”, “b” y “c” tienen en el gráfico de la parábola y = a x2 + b x + c (“a” no nulo). Luego lleve a cabo ese plan de trabajo y escriba sus conclusiones.

39)



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CIRCUNFERENCIA I) Escribir las ecuaciones de las siguientes circunferencias o arcos

de circunferencia. 40)

41)

42)



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ELIPSE J) Escribir las ecuaciones de las siguientes elipses o sus arcos. 43)

44)



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HIPÉRBOLA K) Graficar las siguientes hipérbolas. Hallar y graficar las asíntotas

y el rectángulo característico. 45) 46)

(x  3)2  (y  1) 2  1 16 9 2 (y  2) 2 x   1 25 16

L) Identificar , para cada hipérbola, las coordenadas del centro (

Xo e Yo) y los dos semiejes: a, y b. Luego escribir la ecuación de la hipérbola 47)



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48)

M) Escribir la ecuación de cada trazo de los siguientes

gráficos(L: recta; P: parábola; E: elipse; C: circunferencia).



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49)

Letras: A Ñ O

50)

Letras: B U J



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****************** Universidad Abierta Interamericana



A) MATRICES. 1) Determinar número de filas, número de columnas y orden. 1  2 3 

a) A    4 5  1 3  1 b) B    4 2  c) C  3  1 4 2

2) Halle la expresión de: – A, junto a la de 3.A y la de 5A - 2B. 1 2 3 A   4  1 5

 2 3 5 B     1 1 2

3) Halle x , y (reales) aplicando “identidad de matrices” en cada ítem.  2 3  2 y a)     1 4  x  1    



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5  3  x 5  4 x  b)  3  y  2 4  y  2 3  x  1 1 y  1 3 x 1 x  y c) 2   32 4 x  52 2 y  4 1 y y   4 2       



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1 d)  2

x  y

2 1 3 4   x 3  3 y    

4) Obtenga A . B, si es posible. En caso negativo indique por qué. 2 3   1 2 a) A   B    1 0 4 5   3  1 b) A   B 2 1   3 2 1 0 4 2  c) A   B   1 1  1  1 1 1    3 2   1 2 d) A   1 4  B     1 1  5 1

5) Escriba tres matrices de cada tipo indicado a continuación (que sean de distintos órdenes). a) Nula b) Unidad c) Escalar d) Diagonal e) Triangular Superior f) Triangular inferior g) Cuadrada 6) Cuando sea posible halle la inversa de A. Si no es posible, indique por qué.  1 2 a) A      1 4

 2  3 b) A     4 6 

1 2 3  c) A  4  1 1   2 1 2

 1 3 1 d) A   4  1 0    1 2 1


 3 1 2 e) A  1  1 2   0 1 3


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7) Obtener A2 siendo:

 1  1  1 A=  0 1 0   0 0 1 

3 1  2 0 y B    3 1 verificar  1 2    

8) Dadas las matrices A   que ( AxB) 1  B 1xA 1

9) Verificar que las siguientes matrices satisfacen las relaciones indicadas: a) A=

1 3 2 2

satisface A 2 – 3A + 8 I = 0 (I es la matriz

identidad correspondiente) 3 6 b) B= 1  2

satisface B2 = B

2 1  3 10) Sean las matrices A=    3 2  3 A t  B t y A  B t . Comparar.

11)Dadas las matrices A y B hallar: A) A  Bt  A t  B t , c) verificar que A  B t  Bt  A t


y B=

1 2  4 1 3 5   

A t y B t ,

calcular

b) verificar que


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A=

1  1 1   0 1 0   3 1 2

B=

1  1 2   2 0 1   0 3 1

B) DETERMINANTES: 12)

Halle los determinantes siguientes:

3 1 2 3 1 3 1 a) D( A)  b) D(B)  c) D(C)  1  1 2 5 2 5 2 0 1 3 3 1 2 3 1 1 d) D( d)  1  1 4 e) D( e)   1 2 1 1 1 1 1 0 1

13)

Calcular por Laplace (elija la línea más “cómoda”):

1 2 1 a) 0 1 3 4 1 2

1 1 b) 2 1

2 4 1 3

0 1 6 1 0 1 2 1

3 1 1 2 1 1 c) 1 1 2 0 1 3

2 0 1 0

14) Hallar x (real) para que: a)

x2 3 x 5 7   4 x 1 1 x  3

2x  1 1 c) x 2 4 0 0 3 2


b)

x 5 3 2 3  5  2x 4 11 4

1 0 x d) 0 x  1  1  (3 ; 1)  (2 ;  4) 1 x 1 1

Producto escalar


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C) MATRIZ INVERSA 15)

Clasifique las matrices siguientes en:   

Regulares o inversibles

Singulares

 3 1 2 b) B   1 0 1  1 4 1

 1 4  a)   A 8 2   

  1 1 2 c) C   0 0 0  3  1 2

5  1 2 e) E  1  1 1 1 0 1

d)  3  A

16) Obtener, si existen, las matrices inversas de: 1  1 A  0 1 

1 0  1 B  1 2  2 2  1 1 

1 2 3 D  1 3 3 1 2 4

 1 1 0  C   0 1  1  1 0 1 

3  2 0  1 0 2 2 1   E 1  2  3  2   2 1  0 1

D) SISTEMAS LINEALES: 17)



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a) Dado el siguiente sistema de ecuaciones, decidir cuáles de las 4-uplas que aparecen a continuación son soluciones del mismo. x  2y  z  2w  1  x  y  2z  2   2x  z  w  2 

u  ( 4,  12,  7,  13) ; v  ( 4, 0, 3, 0) ; s  (0, 0, 0, 0)

b) Determinar todos los valores de a y b (reales) para los que ( 1, 2, 1) es solución del sistema:   x  2y  z  2   x  y  az  1 bx  (b  a)y  2 

18)

Resolver por Método de Cramer (cuando sea posible):

2x  2y  4 a)  3x  y  1

2x  4y  4 b)  3x  6y  8

x  y  1  d) x  2z  3 y  4z  1 

2x  3y  z  7  e) x  y  z  4   x  y  z  4 

x  y  2 c)  x  y  0

19) Resolver por método matricial los sistemas del ejercicio anterior (cuando sea posible). Laboratorio de Cálculo


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20) Resolver por Método de Gauss: a)

x  y  3  y  z  5 x  z  4 

b)

2x  y  z  3   3y  5z  1  2z  2 

c)

3x  2y  z  w  1    y  3z  w  2  xyz  4 

21) Resolver el siguiente sistema homogéneo (Use Cramer “adaptado”): x  y  z  w  0  x  y  z  w  0

22) Resolver por dos métodos distintos: 2x  5y  1 a)  3x  2y  2 x  y  5 b)  x  y  3  2x  3y  1 c)   5x  2y  4



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 x  2y  z  1  d) 2x  y  z  2  3x  y  z  1 

23) Resolver el sistema cuya matriz ampliada u orlada es [A | b] por el método de Gauss, Matricial y de Cramer: a)

 3  1 A   1  2

b  ( 3,3,7,4)

b)

1 2  3 A  3  1 2  5 3 4 

c)

1 1 2 0 A 3  1  0  2

d)

1  3 4  2 A   0 2 5 1   0 1  3 0 

2  1 1 1  3 3  0 3

b  ( 1,7,2)

b  (3,0,1, 2)

b  (5,2,4)

24) Para los sistemas lineales cuyas matrices orladas se indican a continuación, se pide: 

Indicar si dicha matriz está triangulada.



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

Indicar si está escalonada.



En caso de estar escalonada, analizar el sistema. En caso de no estar escalonada, operar hasta escalonarla y luego analizar el sistema. Utilice el teorema de RouchéFrobenius.



Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente a la matriz orlada. a)

2 0 2

b)

0 0 2

c)

0 0

d)

2 0

e)

2 0 1   0 0 2

f)

1 2 3 4   0 0 2 1

h)

1 2 3 4   0 0 2 1   0 0 3 2  

i)

1  1 2 0   0 0 1 0   0 0 0 3  

k)

3  2 5 1    0 0  3  2 0 0 0 0  

j)

  3 1  2 1    0 0 0 0  0 0 0 0  

lineales

25) Extraer las matrices orladas(ó ampliadas) y luego triangular, escalonar y finalmente analizar sin resolver (es decir, indicar el carácter del sistema). Utilice el teorema de Rouché-Frobenius. Laboratorio de Cálculo


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 2x  3y  5z  1  a) x  7  z  2  x  22y  z  3   2x  y  1 b)  3x  y  2

 2x  y  1  c) x  z  3  x  z  4  x  y  z  2  d)  x  z  4  y  z  2 

26) Hallar las matrices X e Y de 2  2 sabiendo que verifican las dos ecuaciones siguientes simultáneamente:: 3X + 4Y = 27)

2  5  12 9  

y

– 2Y + 3Y =

 8  7  9  6  

a) Hallar el número real x que

2 1 x 3 cumple 1 x  2  1  x3 21x 1 2 3x

28)

Hallar todos los valores de k  R para que el sistema:

x  (k  2)y  2  (k  1)x  2y  4



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a) Tenga solución única. b) Sea compatible indeterminado. 29) Decidir para qué valores de “a” y “b”, la siguiente matriz corresponde a un sistema que sea: 1 0 0  2   0 a b 1   0 0 a a   

a) Compatible determinado. b) Compatible Indeterminado. c) Incompatible. 30) Preparar una planilla de cálculo que resuelva un sistema de 2  2 y otro de 3  3 por los métodos de Cramer y Matricial. 2x  3y  4 5x  6y  7 2 3 4 5 6 7

x= y = Laboratorio de Cálculo


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S={

;

}

E) VECTORES. 31) a) b) c) d) e) f) 32) a) b) c) 33)

Operar con los vectores de R2 (2;3)  (7;5)  (5;1)  (2;3)  (3;2)  (7;1)  5(4;2)  3(2;1)  7(5;2) 

4(1;5)  3(2;4) 

Halle el módulo de los siguientes vectores de R2 v  (3; 5) v  ( 1;4) v  ( 3;4)

Operar con los siguientes vectores de R3

a) (3;1;2)  (7;1;4)  b) (2;1;1)  (5;1;3)  c) (3;2;5)  ( 5;4;2)  d) 3( 2;1;4)  7( 2;4;5)  e) 8( 1;2;4)  3(8;4;7)  34) a)

Halle el módulo de los siguientes vectores de R3 v  (1; 4;3)



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b) c)

v  ( 3;2;1) v  (1; 1;1)

35) Aplicando “Identidad de vectores”, halle a, b, c (reales)que verifique: a) b) c) 36)

3 (1; 2;4)  5 (a;2; b)  3 ( 1; c;2) 2 ( a;3b;5)  3 (2; 1; c  1)  2 (1; 4; 5) 3 ( 4; 5; b)  4 ( 1; a;3)  3 (c  2;3; 1)

Represente gráficamente los vectores del ejercicio 32

Para cada uno de ellos mida ( con un transportador) el ángulo que forma el vector con el semieje positivo de las x. Indique ese valor en el gráfico. Calcule el valor de ese ángulo analíticamente

37) Use calculadora científica y escriba “de la otra forma,”el vector dado. a)

v1  (3;5)

c)

v1  ( 5;4)

e)

v5  ( 4; 3)


b) d) f)

 v2  5 v2 :  v2   30  v4  4 : v4  v4  130  v6  5 v6 :  v6   220








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g) 38)

h)

v7  ( 3;0)

 v8  3 v8   300

v8 : 



Operar con los siguientes vectores (Producto Escalar) a) (3 ; 15) . ( 1 ; 2)  b) ( 1 ; 3) . (2 ; 4)  c) (2 ; 3 ;  1) . ( 4 ; 1 ; 2)  d) ( 4 ; 1 ;  2) . ( 3 ; 1 ;  3) 

39) Preparar un programa en Visual Basic que opere con vectores de 2 componentes y calcule: suma, resta, producto por un escalar, producto escalar y producto vectorial usando sólo MsgBox e InputBox y otro con interfaz visual. 40)

Operar con los siguientes vectores (producto vectorial):

a) (2;3;4)x(1;1;2)  ^ ^ ^ ^ ^ b) (2 i  j  k)x(  i  j )  ^ ^ c) i x i ^ ^ d) i x j ^ ^ ^ ^ e) ( 1 i  2 h)x(  j  3 h)  41) a)

Diga si u  v . Diga si u // v u  (1 ;  2 ;  3) ; v  (2 ;  1 ; 1)



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b) u  ( 1 ; 1 ; 2) ; c)

v  ( 4 ; 0 ; 2)

u  (1 ; 2 ; 3) ; v  (2 ; 1 ;  3)

d) u  ( 1 ; 2 ;  3) ;

v  (2 ;  4 ; 6)

42) Halle el valor de a  R para que se cumpla la condición indicada. a)

u  (2 ;  3) ; v  (1 ; 2a) condicion: u  v

b) u  (1 ;  2 ; 3) ; v  (1 ; 3 ; 2  a) c)

condicion u  v

u  (3 ; a  1) ; v  (2  a ; 5) condicion u // v

43) Halle un vector v que cumpla las dos condiciones siguientes simultáneamente: a) v  u  b) v  4

con u  (1; 3)

44) Halle un vector v que cumpla las dos condiciones siguientes simultáneamente: a) b)

v u

con

u  (2;1)

v 2

45) Halle un vector que u Laboratorio de Cálculo

v

de módulo 2 que tenga igual dirección


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u  (1, 2, 3)

46) Al estudiar el disparo de un proyectil en tiro oblicuo, su velocidad inicial se representa para medio de un vector: v 0 . Por ejemplo:

Al proyectar este vector sobre cada eje se obtienen sus componentes v y v 0y

0x

a) Obtenga las fórmulas para v y v b) Calcule v y v para el siguiente caso: 0x

0x


0y

0y


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47) Expresar como sistema de ecuaciones lineales, luego extraer matriz orlada, triangular, escalonar, analizar y resolver: a)

b) 48)

  2  3 1   5 x 2 y   1  2 5 Esto es un sistema     1  2x 1 lineal de 2 x 2  1  2y 3  1 5 0 2  x 3  2y     Esto es un sistema  2 1   2  x lineal de 2 x 2  3 2y  7   9  4 x 3 2y

Halle los x ; y ; z (reales) tales que:

 3 2 (z , 2x , 2y) ·  1 0  (0 ; 0)  2 1



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********************* Laboratorio de Cálculo Guía de Trabajos Prácticos Nº 4- UNIDAD 4

FUNCIONES: GENERALIDADES

A) Decir si son funciones las siguientes correspondencias.

y en caso negativo, indicar qué condición se viola. 1)

F

2)

G

3)

H

4)



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L

B) Expresar en los otros tres lenguajes. 5)

6)

F: {1 ; 2 ; 3}  {4 ; 5 ; 6 ; 7}

7)



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8)

F : {1 ; 2 ; 3}  {4 ; 5 ; 6 ; 7} / F(x) = x + 3

C) ¿Estos gráficos son funciones de A en B? Si no, diga qué condición violan. 9)

10)

11)



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12)

FUNCIONES ELEMENTAL ES

13) Graficar las siguientes funciones: a) y = –2 b) y = x c) y = –x d) y = x2 e) y = –x2 f) y = x3 g) y = –x3 h) y = |x| i) y = – |x| j) y = sg (x) k) y = [x] l) y = mant(x)

(sg = signo; mant= mantisa; [x] = parte entera; |x| = módulo).



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DOMINIO, IMAGEN. D) Hallar Dominio Natural de las siguientes funciones 14)

F(x) 

15)

F(x) 

16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30)

5 x 2

5  2x 3  4 1 6  5 x 2 F(x)  3 7 2 6 7 F(x)  84  x2 2 8 9 4  x 5 F(x)  3 2 x 2

6  2x 3 5x 8 7x F(x)  2 x 3 F(x)  5 x 2  3x  4 2x 2  3x F(x)  7 x  x  8 x  x F(x)  5 3 x F(x)  log( x3) 5 F(x)  log(x 1) (2x  8) F(x)  8 4  x F(x)  log3 5x  34  2x   7  F(x)  log2    (x  3)(1  x)  F(x)  arcsen(2x  3) F(x)  arccos  x  1   x  3  F(x) 



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F(x)  2x 4 3 2 x 32) F(x)  5  (x  3) 2 4 x 33) F(x)  log3   1   1  x  31)

 G  34) F(x)  3 5  8x  log5  x    Hx  

35) Halle el Dominio de F(x) (ver gráfico adjunto).

y

T(x)

H (x)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

36) Halle el Dominio de F(x)=Ln [H(x) – G(x)] y de L(x)  6 H(x)  5 G(x) (ver gráfico adjunto). G(x) Laboratorio de Cálculo


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y

H (x) G (x)

2

1 -4

-3

-2

-1

0

2

3 4

x

E) Hallar la Imagen de las siguientes funciones indicando

también su Dominio. 37) 38)

5 x 7 2 7  2x F : R  R / F ( x)  2  4 F : R  R / F ( x) 

39) F:R R/F(x)= 3x2+7x+1 40) F ( x)  3x 1 2

1

41)

F ( x) 

42) 43)

F ( x)  3  5  x

44)

1 F ( x)  2  x 3

F ( x) 

2 x 7 43



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POSITIVIDAD, NEGATIVIDAD, CEROS. F) Hallar Conjuntos de Positividad (CP), Conjuntos de

Negatividad (CN) y Conjuntos de Ceros (CC). En cada caso aclare el Dominio. 45) 46) 47) 48) 49)

2 x 3 4 2  5x F ( x)  7  4 x 8 F ( x)  x 3 F ( x)  6  x 1 4 x 8  2 F ( x)  5 3 F ( x) 

50) F(x) = x2–3x 51) F ( x)  x3  7 x2  6 x 52) F(x)  x 4  8x 2  9 53) F(x)  2x 3  7 x 2  3x 54) F ( x)  2  3x 5  2x

55) F(x)  (x 4  5x 2  4)(3x 3  10x 2  3x) 56) F ( x)  2 x 3

BIYECTIVIDAD, MONOTONIA, PARIDAD

G) Para cada función indique si es inyectiva,

sobreyectiva, biyectiva, estrictamente creciente, estrictamente decreciente, estrictamente monótona, par, impar.



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57)

58) (F es UNA función con dos tramos).

59) (F es UNA función con tres tramos)

60)



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61) Indique para las siguientes funciones cuál es inyectiva, cuál

es sobreyectiva, cuál es biyectiva, cuál es estrictamente creciente, cuál es estrictamente decreciente, cuál es estrictamente monótona, cuál es par, cuál es impar.



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a) b) c) d) e) f) g) h) i)

F(x) = x3 F(x) = x4 F(x) =x4 + x3 F(x) = |x| F(x) = [x] F(x) = 0 F(x) = Sen x F(x) = Cos x F(x) = 2x

H) Resolver las ecuaciones e inecuaciones siguientes para

las cuales disponga de la suficiente información en el gráfico. En caso contrario, indique la imposibilidad de resolverla con los datos del gráfico. 62) a) b) c) d) e) f)

F(x) = H(x) F(x) > G(x) G(2 – |x – 1|) = F(1) CP(G) CN(F - G) G(2 – x3) > 4



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63) a) b)

CC(H); CP(G) CC(F-H); CP(F-G)

c) d)

H(H3–|5–x|)=2 F(5–|2–7x|)=H(5)

64) a) b) c)

( 5 + 3x ) . F( 2x – 3 ) < 0 ( 5 + 3x ) . G( 2x – 3 ) < 0 ( 5 + 3x ) . H( 2 – 3x ) < 0



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d) e)

65) a) b) c) d) e)

F( 5 – 3x ) = F( 2 – 5x ) G( 3 + 4x ) < G( 5 – x )

( 2 – 7x ) . ( 5 + 2x ) . G( 3 – 8x ) > 0 H( 5 + 3x ) = H( 3 ) F( 5 – 8x ) = F( 7 + 2x ) F( 5x + 2 ) > F( 1 ) L( 2x – 5 ) < L( 4 – 5x )

f) 66) Resuelva la ecuación siguiente. Utilice el gráfico adjunto.



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F1 2 x 5   2

I)

MÉTODOS NUMÉRICOS 67) Hallar una solución aproximada de la siguiente ecuación por

el método de la secante, sabiendo que la función cambia de signo en el intervalo [ 0 ; 2 ]. Utilice como críterio de stop | X3 – X2 | < 0.01 x 3 – 3x + 1 = 0

a) b) c)

iniciando con X1 = 0.1 ; X2 = 0.6 iniciando con X1 = 1.3 ; X2 = 1.4 si bien no tenemos información sobre el intervalo [-2 ; 1.5] inicie con X1 = – 2 ; X2 = – 1.5, compare el resultado con los anteriores, obtenga el grafico de la función correspondiente usando Graphmatica y estime aproximadamente la sucesión de X2 en este ítem

68) Hallar una solución aproximada de la ecuación: 0.5 x3  3x  3  0 .

a) b)

iniciando con X1 = – 4 ; X2 = – 2 iniciando con X1 = – 2 ; X2 = – 1



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CRITERIO DE STOP: | X3 – X2 | < 0.001. Grafique la funcion correspondiente y estime aproximadamente la sucesión de los X2. 69) Preparar una planilla en Excel (u otra planilla de cálculo) con

una grilla que contenga columnas para: X1, X2, Y1; Y2; X3; |X3 – X2|, que sirva para resolver la ecuación del ejercicio anterior. 70) Hallar una solución aproximada de la ecuación 2x 2-3x=0 por el método de bisección sabiendo que la función crece de x=1 a x=2 pero F(1)<0 y F(2)>0. Indique precisión.



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******************** Universidad Abierta Interamericana


Laboratorio de Cálculo. Guía de Trabajos Prácticos Nº 5-UNIDAD 5

J) Halle una función lineal que cumpla las condiciones:

71) F(0) = 2 ; F(2) = 0 72) F(–1) = 1 ; F(2) = 1 73) F(–2) = 3 y la gráfica es paralela a la de la función F(x) = –

3x + 1 74) F(1) = –2 y la gráfica es perpendicular a la de la función F(x) = –3x + 1

K) Halle una función cuadrática que cumpla las

condiciones:

75) F(3) = F(–1) = 0 ; F(0) = 2 76) F(–2) = F(3) = 0 ; F(4) = 3

L)

Si la siguiente función es homográfica grafíquela junto con sus asíntotas. En caso contrario escriba que no lo es. 77) F(x)  3x  6 x 3 78) F(x)  x  2  3x  6 79) F(x)  2x  8 x4



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FUNCIONES: PL ANTEO

M) Exprese la función en cada problema. Indique

DOMINIO

80) Una pieza de equipo comprada hoy en 8000 dólares se

devalúa linealmente hacia el valor de chatarra de 200 dólares después de 20 años. En cambio otra pieza de equipo comprada hoy en 8560 dólares se devalúa linealmente hacia el valor de chatarra de 600 dólares después de 16 años. a) Escriba una fórmula del valor V de cada pieza en función del tiempo. b) Determine cuál de las dos piezas se devalúa más rápidamente. c) Determine cuándo, en los próximos 16 años, el valor de ambas será el mismo. d) ¿En alguna otra oportunidad, después de los 16 años, valdrán lo mismo, suponiendo que el valor chatarra se conserva constante en el tiempo? e) Haga un gráfico de la situación e interprete, en él, cada respuesta.

81) Unos amigos se encuentran de vacaciones. Desean alquilar

un auto y disponen de dos opciones. A. 50 dólares por día. B. 20 dólares por día + 0,5 dólares por km recorrido. Escriba la función gasto en cada opción y decida a partir de qué recorrido es más económica la opción A que la B, sabiendo que los amigos estarán 10 días de vacaciones.



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82) Queremos hacer una caja con una lámina rectangular de 40

cm x 30 cm, cortando cuadrados de las mismas dimensiones en cada esquina (como se muestra en la figura).

Escribir la expresión del volumen de la caja en función de x (siendo “x” el lado de cada cuadrado recortado). ¿Cuál es su dominio?. Graficar aproximadamente, a partir de una tabla de valores y luego con programa Graficador. 83) Edesur y Edenor facturan los consumos eléctricos

domiciliarios distinguiendo cargo fijo ; consumo bajo (menos de 150 Kwh) y consumo alto (más de 150 Kwh). a) Consultando una boleta actual complete el cuadro siguiente. Cargo fijo sobre derecho a consumo................. $ Los primeros 150 Kwh........................................... $ c/u Los restantes Kwh................................................. $ c/u Impuestos y/o Fondos Especiales..................... % b) Con los datos del cuadro halle la expresión del importe (en $) en función del consumo de energía eléctrica (en Kwh). Es una función “partida”. c) ¿Cuánto paga una familia que consume 122 Kwh? ¿Y otra que consumió 215 Kwh?



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¿Cuál fue el consumo de una familia que pagó $ 67,80? Y el de la otra que pagó 258,62? e) ¿Se preguntó si las familias aludidas en las preguntas (c) y (d) son de Capital o de Provincia? ¿Por qué es importante hacerlo? Ahora conteste las dos preguntas para el caso de Capital y para el caso de Provincia. d)

84) Encontrar: a) La función F que da la temperatura en grados Fahrenheit,

conocida la misma en grados Celsius, sabiendo que 0 ºC = 32 ºF y 100 ºC = 212 ºF b) Recíprocamente, encontrar la función C que da la temperatura en grados Celsius, conocida la misma en grados Fahrenheit.

N) Resolver los siguientes problemas.

Galileo encontró que los proyectiles disparados en la superficie terrestre (sin considerar la influencia del aire) describen una trayectoria parabólica. Un proyectil pasa por encima de tres puntos ubicados en la superficie terrestre (sean A, B y C, en ese orden). Al pasar por cada punto tiene las siguientes alturas respectivamente: 40 m, 60 m, 52 m. Las distancias entre los puntos son: dist(AB) = 50 m, dist(BC) = 80 m. Determine a qué distancia de C hará impacto en el suelo. Y además, a qué distancia de A fue disparado (suponiendo que fue disparado desde el suelo). 86) Un puente está sostenido por una estructura de forma parabólica,de 20 m de longitud y 5 m de altura máxima. Halle la altura de cada barra vertical (separadas por igual distancia) y la longitud de las dos oblicuas (ver dibujo). 85)



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APL ICACIONES ECONOMICAS

87) Dado el siguiente gráfico (donde las cantidades se dan en

miles de unidades y los precios en $) calcular lo que se pide en cada ítem.:

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

¿Cuál de las dos es Qd? ¿Cuál es su fórmula? ¿Cuál de las dos es Qof? ¿Cuál es su fórmula? ¿Cuál es Pmín que aceptan los productores? ¿Cuál es Pmáx que aceptan pagar los consumidores? ¿Cuál es Qsat, cantidad de saturación del mercado? ¿Cuál es Peq: precio de equilibrio? ¿Cuál es Qeq: cantidad de equilibrio? ¿Cuál es la demanda si el precio es de $2? ¿Cuál es el precio si la oferta vale 1 ?



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j) k) l)

¿Cuál es el precio si la demanda vale 5,5? ¿Cuál es la oferta si el precio es de $7? ¿Cuál es la demanda si la oferta vale 3?

88) Sabiendo que un producto tiene demanda lineal y oferta

cuadrática (que responden a la siguiente tabla), halle:

a) b) c) d) e)

Fórmula (lineal) de función de demanda: Qd. Fórmula (cuadrática) de función de oferta: Qof Peq: Precio de equilibrio. Qeq: cantidad de equilibrio. Complete los blancos de la tabla.

89) Un producto tiene oferta y demanda lineales. Las dos funciones cumplen los valores de la tabla. Se pide:

a) b) c) d) e) f) g) h)

Fórmula de Qd Fórmula de Qof Halle Peq Halle Qeq Halle Pmín Halle Pmáx Halle Qsat Complete la tabla.



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O) FUNCIONES POLINÓMICAS 90) Operar según se indica más abajo con los siguientes polinomios: P(x) = x 3 – 7 + 8 Q(x) = x 2 – 3x + 1

a) b)

P+Q P.Q

R(x) = 2x 4 – 7x 2 +8x S(x) = x 3 – 4x T(x) =3x 3 – 5x 2

c) d)

P/Q S2

e)

T3

91) Hallar el resto sin dividir (aplique Teorema del Resto) a) b) c)

(3x3 – 7x2 + 8x) : ( x + 2) (2x2 – 5x +3) : ( x – 1) (x5 – 7x2 + 8) : ( x + 3)

92) Hallar fórmulas de funciones polinómicas que cumplan lo pedido a) b) c)

F(x) es de grado 3 y tiene raíces 1 ; –3 y 2 F(x) es de grado 4 y tiene raíces 1 ; –3 y 2 F(x) es de grado 3 y tiene raíces –2 ; 1 ; 4 y F(1) = 2

93) Hallar las fórmulas de funciones polinómicas en cada ítem. a)



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b)

c)

d)

94) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A ; B y C. a) A = ( 3 ; 2 ) B = ( 1 ; 0 ) C = ( 5 ; 1 ) b) A = ( 0 ; 0 ) B = ( 1 ; 6 ) C = ( 4 ; 1 )



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95) Hallar la fórmula de la función F(x) = ax2 + bx + c ( a  0 )

96) Hallar la fórmula de la función

F ( x) 

x b cx  d

que cumple

que cumple:

97) El polinomio P(x) = x4 – 6x3 + 29x + m cumple: 3 CC(P). . Se pide: a) b)

Hallar m Hallar CC(P).

******* P) Resolver indicando propiedades en pasos importantes 1) 23 5x 2)

4

35 2x  81

1 2 3) 3 x  27

4)

 3     2 

x

5) 2  3x  



 1

2

x   5 3   2  0  



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6) 5  2 x    7)  5 x   

2

2

8) 35  2x 9) 0,54x 10)

x   9 2   2  0  

x   6 5   5  0    34  x  0,25

20,3x 1 

11) 312x



1 2

1 27

12)

 52x 1  5 .x  5  0    

13)

 2  0,5x . 4  x   0    

tener en cuenta que 0,5  21

Q)Halle el dominio 14)

Fx  

15)

Fx  

16)

Fx  


5

2  3x 

8 x 8 2

8  23

1  8x  2 x 23x 1  0,5 5 x  2 5   

2

0,5  2 1

 7x

x   3 5   1  


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17)

18)

 5  25x   Fx   log3   x  81  9 

Resolver

19)

103x.102y  10  x.100   5y  5  9.53x

20)

 3 x     

21)

22x  3y  16  0   3x 2y 1  0 3 3 

x

3    3   

27

R) Halle Conjunto de Negatividad 22) S) Halle

 3  Fx      4e 

0,75 2x

1

Dominio. 5

3x2  7  log

Gx 

23)

Fx  

24)

El gráfico de G(x) es:


x 1


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25)

Log(2x  3)  Log(10x  2)  3Log 2  Log5

26)

Log2 (5x)  Log2 (8  2x)  2

27)

Log3 (2x  3)  Log(10x  2)  3Log 2  Log5

28)

Log3 (2x  3)  Log3 (4  2x)  Log3 5  Log3 2  Log3 3

29)

2Log10 x  Log10 (4x  3)  0

30)

Log2 (2  3x)  Log2 (5  x) e e

31)

Log 4 (2x)  Log 4 (4x  4)  4 Log 4 2  Log 4 3

32)

Log (2x  3)  Log (4x  2)  Log 2  Log 3  Log 5

33)

Log (2x  1)  Log (2x  3)  Log 7  2 Log 2

34)

Log10 (2x  1)  Log (2x  3)  Log 7  2 Log 2

35)

Log10


x  Log10 x Guía de Trabajos Prácticos Nº 4-2011

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36)

Log 1 (2  3x)  Log 1 (5  x)  

37)

9x  3x 2  9  3x

T) Hallar Dominio:

38) 39) 40)

F(x)  Log 0.1 (Log3 (x  1)) F(x)  Log 3 (Log 0.1 (x  1)) F(x)  Log  (Log e (x  3)) e 

U) Resolver los Siguientes Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas:

41)

Log x  Log y3  5   x Log  1 y 

42)

Log xy 3  Log 105   x Log  Log 10 y 

V) Resolver los Siguientes Sistemas Mixtos:

43)

6xy  y  0  2 x  y2  9  0



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44)

5 4x  7.25  125 x  y   32x  5y.9  9 x

W) Ejercicios adicionales de exponenciales

45) 46)

9 x  1  3 x 1

9

x

3 x 2 1   2   0

 3 

47)

7 x  4  343

48)

2 x  4 x  72  0

49)

92x  273x  4

50)

1 16 2x  4 x  0

51)

3 x  3 x 1  3 x  2  3 x  3  3 x  4  363

X) Resolver para x  R

52)

cos x  sen x

53)

sen2 x  3 sen x  2  0

54)

1   1    cos x      cos2 x   0 2   2  



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T10903 Laboratorio de Calculo - Guia

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