Docteur Karim Fethallah
SUPPORTS DE TRANSMISSION : FIBRE OPTIQUE Rappel de cours et exercices corrigés
Editions Al-Djazair
Docteur Karim Fethallah
SUPPORTS DE TRANSMISSION : FIBRE OPTIQUE
Rappel de cours et exercices corrigés
Editions Al-Djazair
Sommaire
1- Introduction……………………………………………………………………………………………………….. 2- Principe de propagation de la lumière dans une fibre optique……………………………. 2.1- lois de Snell-Descartes……………………………………………………………………………….. 2.2- Conséquences des lois de Snell-Descartes…………………………………………………. 2.2.1- Angle limite, Réflexion totale………………………………………………………. 2.2.2- Cas particulier de la fibre optique……………………………………………….. 3- Fibres à saut d’indice………………………………………………………………………………………….. 4- Fibres à gradient d’indice……………………………………………………………………………………. 5- Fibres monomodes et fibres multimodes…………………………………………………………… 5.1- Notion de mode de propagation………………………………………………………………. 5.2- Fibres multimodes……………………………………………………………………………………. 5.3- Fibres monomodes.………………………………………………………………………………….. 6- Performances des fibres optiques……………………………………………………………………… 6.1- Atténuation optique…………………………………………………………………………………. 6.1.1- Définitions…………………………………………………………………………………... 6.1.2- Calcul de l’atténuation linéique………………………………………………….. 6.1.3- Causes de l’atténuation………………………………………………………………. 6.1.3.1- Pertes dues aux raccordements…………………………………… 6.1.3.2- Pertes dues à la jonction verre-air-verre……………………… 6.2- Dispersion…………………………………………………………………………………………………. 6.2.1- Dispersion modale……………………………………………………………………….. 6.2.2- Dispersion chromatique………………………………………………………………. Exercices D’application…………………………………………………………………………………………… Solutions des exercices…………………………………………………………………………………………..
1
2 2 3 4 4 4 5 7 11 11 13 14 14 14 14 14 15 15 16 17 17 17 21 23
1- Introduction Les réseaux de télécommunications actuels nécessitent des débits de plus en plus importants, et d’un autre coté, les entreprises industrielles exigent aux chercheurs scientifiques et aux ingénieurs d’application de concevoir et optimiser des liaisons haut débit flexibles et adaptées à leur besoin pour des moyennes et longues durées. La technologie optique, et malgré le cout très élevé de sa connectique (sources laser et photo-détecteurs), reste la solution immédiate pour la plupart des industriels économiques grâce à ses nombreux avantages : largeurs de bande et longueurs d’onde centrales accordables, minimum d’atténuation optique pour des longues distances de transmission, très grandes bandes passantes et minimum de dispersion pour des fenêtres optiques spécifiques. Cependant, l’amélioration de la qualité de transmission d’une liaison optique passe certainement par une étude très détaillée des différents composants optiques constituants cette liaison. L’objet de ce support de cours est de présenter la fibre optique en général, en expliquant le principe de propagation de la lumière à travers ce support de transmission. On choisira bien sur les fibres optiques monomodes qui sont largement utilisées dans les liaisons de télécommunications. Les performances des fibres optiques, notamment l’atténuation et la dispersion, seront après présentées. A la fin de ce cours, une série d’exercices est donnée avec leurs solutions correspondantes. 2- Principe de propagation de la lumière dans une fibre optique
Fig(1)- Phénomène d’incidence, de réflexion et de réfraction d’un faisceau lumineux dans deux milieux d’indices n1 et n2 2
La propagation de la lumière à travers une fibre optique est basée sur le principe de réflexions successives du faisceau lumineux. Il est alors nécessaire de reprendre quelques notions fondamentales sur le déplacement de la lumière au niveau d’une surface appelée « dioptre » séparant deux milieux isotropes d’indice n1 et n2. Soit un rayon lumineux monochromatique se propageant dans un milieu d’indice n1. A l’arrivée sur un dioptre séparant le milieu incident du milieu d’indice n2, une partie de son énergie traverse le dioptre alors qu’un autre se réfléchit. On définit ainsi en I, les rayons incidents, réfléchis et réfractés. Les angles correspondants sont mesurés par rapport à la normale au dioptre. 2.1- lois de Snell-Descartes Cette lois donne les relations entre les différents angles : - Pour la réflexion : l’angle d’incidence « i1 » est égal à l’angle de réflexion « r » : i1=r (1) i1 : angle d’incidence du milieu n1 r : angle de réflexion du milieu n1 - Pour la réfraction (ou transmission), la relation entre les angles est la suivante : n1*sin (i1) =n2*sin (i2) (2) i2: angle de réfraction dans le milieu d’indice n2. Remarques - Si n2>n1 : on dit que le milieu d’indice n1 (incidence) est moins réfringent que le milieu d’indice n2 (réfraction) (voir fig (2)), alors i1>i2 ------> sin (i1)>sin (i2). - Si n1>n2 : dans ce cas, l’angle d’incidence i1 est plus petit que l’angle de réfraction i2 (voir fig (3)), alors : i2>i1 ------> sin (i2)>sin (i1).
Fig(2)- Le faisceau réfracté se rapproche de la normale Fig(3)- Le faisceau réfracté s’éloigne de la normale 3
2.2- Conséquences des lois de Snell-Descartes 2.2.1- Angle limite, Réflexion totale
Fig(4)- Le faisceau réfracté n’existe plus
Fig(5)- Le faisceau incident est entièrement réfléchi
On remarque que pour n1>n2, le rayon réfracté s’écarte de la normale (voir fig (3)). Quant l’angle de réfraction arrive à 90°, l’angle d’incidence atteint une limite (voir fig (4)). Au-delà de cet angle limite, noté l, le faisceau réfracté disparait, car le faisceau incident est alors entièrement réfléchi (voir fig (5)). On parle de réflexion totale. Pour i1=l, la relation de Snell-Descartes s’écrit : n1*sin(l)=n2*sin(90°), ce qui entraine :
sin(l ) =
n2 n1
(3)
Exemple La lumière passe d’un verre quelconque d’indice n1=1.5 dans l’air d’indice n2=1. L’angle limite est tel que : sin(l ) =
1 . Il est proche de 42°. 1.5
-
Si l’angle d’incidence est inférieur à 42° (i1<42), le faisceau est transmis dans l’air.
-
Si l’angle d’incidence vaut 42° (i1=42), il est alors rasant (confondu avec le dioptre).
-
S’il est plus grand que 42°, il est entièrement réfléchi et reste dans le verre.
2.2.2- Cas particulier de la fibre optique Une fibre optique est formée principalement d’un cœur de verre d’indice n1 entouré d’une gaine de verre d’indice n2 légèrement inférieur à n1 (n1>n2).
4
(a) Coupe longitudinale
(b) Coupe transversale
Fig(6)- Schéma synoptique d’une fibre optique On se sert du phénomène de réflexion totale pour guider le rayon lumineux dans le cœur de la fibre (voir fig (6)). 3- Fibres à saut d’indice Dans une fibre à saut d’indice, les indices du cœur n1 et de la gaine n2 sont constants. La fibre est caractérisée par son profil d’indice. Il s’agit de la représentation de l’indice de la fibre en fonction de la distance r à l’axe central de la fibre : n(r) (voir fig (7)).
Fig(7)- Profil d’indice d’une fibre à saut d’indice
Fig(8)- Illustration des angles : d’acceptance, de réfraction (critique) et de réflexion totale 5
L’angle d’acceptance de la fibre est l’angle d’incidence maximum (θmax) qui permet à la lumière une propagation par réflexions successives dans la fibre. Pour un angle d’incidence supérieur à l’angle d’acceptance, la lumière est transmise du cœur dans la gaine. L’information alors transportée par la lumière est perdue car non propagée jusqu’à la sortie de la fibre. L’angle de réfraction (θr), ou angle critique est relié à l’angle limite ( l ) par la relation : θr+l=90° (4) La deuxième lois de
Snell-Descartes sur le dioptre d’entrée de la fibre s’écrit : n0*sin(θmax)=n1* sin(θr)=n1*sin(90°-l)=n1*cos(l) (5)
Sachant que sin2(l)+cos2(l)=1, l’équation (5) devient : sin2(θmax)= n12*cos2(l) sin2(θmax)= n12*(1- sin2(l)) sin(θmax)=n1 1− sin 2 (l ) Puisque « l » représente l’angle limite, on a : Alors :
sin (l ) =
n2 n1
n sin (θ max ) = n1 1 − 2 n1
2 n 2 sin 2 (θ max ) = n1 1 − 2 2 n1
sin 2 (θ max ) = n1 − n2 2
2
2
sin (θ max ) = n1 − n2 2
(6)
2
Pour se propager le long de la fibre, le faisceau incident doit appartenir au cône d’acceptance d’angle θmax. L’ouverture numérique ON (Numerical aperture (NA), en anglais) de la fibre est définie par la relation : ON=sin θmax=
n1 − n2 2
2
(7)
Exemple Prenons une fibre à saut d’indice, dont les indices sont 1.48 pour le cœur et 1.46 pour la gaine. Le diamètre du cœur de cette fibre est de 100 μm, celui de la gaine est 140 μm. Calculer l’angle limite, l’angle critique, l’angle d’acceptance et l’ouverture numérique. Solution Angle d’acceptance : sin (θ max ) = nc − n g = 1.48 2 − 1.46 2 2
2
6
)
(
θ max = arcsin 1.48 2 − 1.46 2 = 14° Angle limite : sin (l ) =
ng nc
=
1.46 1.48
1.46 l = arcsin = 80.6° 1.48 Angle critique : sin (θ r ) =
sin (θ max ) 1.48 2 − 1.46 2 = nc 1.48 1.48 2 − 1.46 2 1.48
θ r = arcsin
= 9.4°
Ouverture Numérique : ON = 1.48 2 − 1.46 2 = 0.242 La fréquence normalisée permet de prédire le nombre de modes (chemins possibles) qui conduiront la lumière dans la fibre. La fréquence normalisée est définie par : V =
2π × a × ON
(8)
λ0
avec a : rayon du cœur de la fibre ON : ouverture numérique de la fibre λ0 : longueur d’onde (dans le vide) de l’onde se propageant dans la fibre. Supposons que k 0 =
2π
λ0
: vecteur d’onde dans le vide. L’équation (8) devient : V = k 0 × a × ON
(9)
Si la valeur de V est inférieure à 2.40, alors un seul mode circule, il s’agit du mode fondamental. La fibre est monomode. Exemple Calculer la fréquence normalisée pour une fibre qui a un diamètre du cœur d1=10 μm, d2=4 μm, avec l’ouverture numérique ON=0.242. La longueur d’onde dans le vide λ0=1.55 μm. 4- Fibres à gradient d’indice Ces fibres ont un indice de cœur qui diminue progressivement entre n1 (au centre de la fibre) et n2 (indice de la gaine). 7
a- Profil d’indice
Fig(9)- Exemples de profils d’indice d’une fibre à gradient d’indice
Fig(10)- Schéma synoptique d’une fibre à gradient d’indice On remarque d’après la fig (10) que le cœur est formé d’un grand nombre de couches très minces. L’indice n1 est décroissant du centre du cœur jusqu’à ce qu’il atteint d’indice n2 de la gaine. Le profil d’indice est représenté mathématiquement par (voir fig (9)) : 1
α r 2 n(r ) = n1 1 − 2∆ a
n(r ) = n2 pour r ≥ a et r ≤ -a
pour 0
(10)
avec α : exposant du profil d’indice a : rayon du cœur Δ : différence relative d’indice tel que :
n1 − n2 2
∆=
2n1
2
8
2
(11)
Exemple Pour α=2, le profil est parabolique Pour α=1, le profil est triangulaire Pour α→ ∞ , on est ramené au cas d’une fibre à saut d’indice Exercice Représenter avec Matlab, le profil d’indice n(r) suivant les équations (10), pour des valeurs de α variant de 1, 2, 10, 50 et 120. Donner la nature de chaque profil d’indice obtenu. On prend le diamètre du cœur dc=50 μm et le diamètre de la gaine dg=125 μm. Solution %%%Programme MATLAB qui trace le profil d'indice en fonction du diamètre de %%%la gaine%%%% close all clear all clc n1=1.48; %%% Indice du coeur n2=1.46; %%% Indice de la gaine a=25e-6; %%%% Rayon du coeur (en micromètre) delta=((n1^2)-(n2^2))/(2*(n1^2)); %%% Différence relative d'indice alpha=1; %%% Paramètre alpha=1,2, 10, 50, 120 r=-25e-6:0.1e-6:25e-6; %%% Intervalle entre -25 micro et 25 micro r1=-62.5e-6:0.1e-6:-25e-6; %%% Intervalle entre -62.5 micro et -25 micro r2=25e-6:0.1e-6:62.5e-6; %%% Intervalle entre 25 micro et 62.5 micro for i=1:length(r) x(i)=n1*(1-(2*delta*((abs(r(i))/a)^alpha)))^(1/2); %%%profil d'indice end for i=1:length(r1) x1(i)=n2; %%% profil d'indice end for i=1:length(r2) x2(i)=n2; %% profil d'indice end plot(r*1e6,x) %% tracer le graphe title('Représentation du profil d''indice en fonction du diamètre de la gaine') Xlabel('Diamètre de la gaine') %%% Donner un titre à l'axe X Ylabel('Indice') %%% Donner un titre à l'axe Y axis([-62.5 62.5 1.46 1.48]) hold on %%%tracer dans la meme figure plot(r1*1e6,x1) hold on plot(r2*1e6,x2)
9
Représentation du profil d'indice en fonction du diamètre de la gaine 1.48 1.478
alpha=1 Profil triangulaire
1.476 1.474
Indice
1.472 1.47 1.468 1.466 1.464 1.462 1.46
-60
-40
-20
20 0 Diamètre de la gaine
40
60
Représentation du profil d'indice en fonction du diamètre de la gaine 1.48 alpha=2 Profil parabolique
1.478 1.476 1.474
Indice
1.472 1.47 1.468 1.466 1.464 1.462 1.46
-60
-40
-20
20 0 Diamètre de la gaine
40
60
Représentation du profil d'indice en fonction du diamètre de la gaine 1.48 alpha=120 Profil rectangulaire
1.478 1.476 1.474
Indice
1.472 1.47 1.468 1.466 1.464 1.462 1.46
-60
-40
-20
0 20 Diamètre de la gaine
40
60
Fig(11)- Résultats graphiques de simulation du programme Matlab 10
b- Ouverture numérique
(a) Fibre à gradient d’indice
(b) Fibre à saut d’indice
Fig(12)- Comparaison entre une fibre à saut d’indice et une fibre à gradient d’indice En raison de la variation de l’indice du cœur, on définit alors une ouverture numérique locale comme suit : ON locale = n(r ) − n2 2
2
(12)
ON est maximale pour n(r)=n1, on a alors r=0. ON est minimale pour n(r)=n2, on a r=a. Plus l’ouverture numérique est importante, plus l’angle d’acceptance est grand, et plus la puissance véhiculée est importante. Ainsi, une fibre à saut d’indice transporte plus de puissance lumineuse qu’une fibre à gradient d’indice (voir fig(12)). 5- Fibres monomodes et fibres multimodes 5.1- Notion de mode de propagation
Fig(13)- Calcul de la variation de phase optique en utilisant les chemins géométriques
11
La nature ondulatoire de la lumière, associée aux très petites dimensions des fibres optiques, ne va pas permettre aux rayons lumineux de se propager n’importe comment à l’intérieur de la fibre. Même à l’intérieur du cône d’acceptance, seuls certains angles particuliers seront admis. La superposition des ondes progressives doit interférer de façon constructive, pour que la lumière sorte de la fibre. Les seules directions « permises » constituent les modes de propagation. Chaque direction du rayon incident qui satisfait les conditions de propagation est associée à un mode. Nous allons maintenant calculer le déphasage entre le point B (situé au dioptre d’entrée air-coeur) et le point C (situé au dioptre cœur-gaine)(voir fig (13)). L’onde lumineuse se propage alors sur une distance géométrique Δl tel que : Δl=BA+AC=2docs(l)
(13)
avec d : diamètre du cœur l : angle limite (angle de réflexion totale à l’intérieur du cœur) Cette distance correspond au déphasage du à un aller-retour à l’intérieur du cœur, il s’écrit comme suit : ∆φ =
2π
λ0
n1 2d cos(l )
(14)
De plus, l’onde étant réfléchie en A et en C, le déphasage s’écrit alors comme suit : ∆φ ' = 2ϕ
(15)
On aura donc des interférences constructives si :
∆ϕ1 = ∆φ + ∆φ ' = 2m' π (m’ entier) 2π
Alors :
λ0
n1 d cos(l ) + ϕ = m' π
(16) (17)
Chacune des valeurs de l’angle (l) correspond à un mode de propagation. La valeur de k nous indique l’ordre du mode. Si la valeur de l’angle limite (l) est petite, la valeur de k devient grande (ordre de mode supérieur), et l’onde se propage dans une direction plus proche de la normale. Les valeurs de l’angle limite (l) peuvent être obtenues graphiquement à partir de l’équation (17). Cette équation devient alors : 2π
λ0
n1 d cos(l ) + ϕ + mπ = 0 (m = -m’ entier)
On fait donc l’intersection graphique entre les deux fonctions : y1 =
y 2 = ϕ + mπ pour plusieurs valeurs de m. 12
(18) 2π
λ0
n1 d cos(l ) et
Fig(14)- Solution graphique de l’équation (18) dans le cas d=λ0 ; et d= λ0/2, avec n1=1.5 et n2=1.3.
avec ϕ = 2 arctan
n n2 1 n2
1
2 sin 2 (l ) − 1 n1 cos(l ) 2
(19)
En fonction des valeurs de d/λ0 et des indices de réfraction, on voit qu’une ou plusieurs valeurs de l’angle (l) sont possibles. La figure (14) montre que les modes d’ordre supérieur (m) correspondent à des valeurs plus petites de l’angle limite (l). Lorsque y1 < π, une seule solution existe, correspond à m=0. Dans ce cas, le guide optique est appelé guide monomode. Comme
n cos(l ) = 1 − sin (l ) = 1 − 2 n1 2
La condition du guide monomode s’écrit
2
2πd
λ0
(20) n1 − n2 < π 2
2
(21)
5.2- Fibres multimodes La lumière est transportée par plusieurs modes dans les fibres multimodes. Ces fibres sont généralement à gradient d’indice. Le diamètre du cœur est en général compris entre 50 μm et 90 μm pour un diamètre extérieur de la gaine de 125 μm. • La fibre 50/125 ---> Télécoms pour des distances moyennes • La fibre 62.5/125 ---> Informatique • La fibre 85/125 ---> Vidéo communications 13
5.3- Fibres monomodes Pour ne transporter qu’un seul mode, les cœurs des fibres monomodes sont beaucoup plus étroits. Le diamètre n’est que de 4 μm à 10 μm, alors que le diamètre de la gaine reste 125 μm. Elles sont utilisées pour les transmissions à très longues distances en raison de leur faible atténuation et dispersion. 6- Performances des fibres optiques 6.1- Atténuation optique 6.1.1- Définitions L’atténuation optique est la perte de puissance que subit la lumière au cours de sa propagation dans la fibre optique. Cette perte est soit locale ( due à un défaut ou à un connecteur), soit régulièrement répartie sur toute la longueur de la fibre. Dans le premier cas, l’atténuation s’exprime en décibels (dB), alors que dans le deuxième cas, la perte se mesure en dB/km pour une longueur de fibre traversée. 6.1.2- Calcul de l’atténuation linéique Pour calculer l’atténuation linéique on choisit deux sections droites (perpendiculaires à la direction de propagation) distantes d’une petite distance dL appelée distance élémentaire (voir fig (15)). Soit P1 la puissance lumineuse traversant la section S1, et P2 la puissance lumineuse traversant la section S2. La variation élémentaire de puissance dP=P2-P1 est négative. L’atténuation linéique « α » de la fibre s’exprime en dB/m ou en dB/km. En utilisant le logarithme décimal, l’atténuation s’écrit comme suit : 10 log10
α=
P1 P2
L2 − L1
(22)
Fig(15)- Calcul de l’atténuation linéique
14
L L P2 avec 10 10 (Si L2-L1 est exprimée en km, l’unité de α sera le dB/km). P1 2
1
Exemple A l’entrée d’une fibre, on injecte une puissance P 1=10-6 W. Au bout d’un km, on récupère une puissance P2=10-7 W. Calculer le coefficient d’atténuation de la fibre, puis la puissance P’2 à la sortie de la fibre de longueur totale de 2.5 km (en W et en dBm). Solution
10 log 10
P1 P2
L2 L1
P' 2 10 P1
L2 L1 10
10 log 10
10
1 10
2.5 10
10 6 10 7 10dB / km .
10 2.5
P'2 10 2.5 10 6 10 8.5 W 3.16 10 9 W
P' 2 dBm 10 log10 P' 2 mW 10 log10 3.16 10 6 55dBm 6.1.3- Causes de l’atténuation 6.1.3.1- Pertes dues aux raccordements a- Pertes dues aux dimensions différentes de la fibre A partir de la fig (16), cherchons les pertes dues au raccordement de deux fibres de dimensions voisines, de même diamètre de cœur (2a= 50 μm).
Fig(16)- Pertes dues aux dimensions de la fibre
15
Sachant qu’il existe une tolérance sur la dimension du cœur d’environ 2 μm, on suppose donc que : • Le diamètre 2a1 de la première fibre vaut 52 μm • Le diamètre 2a2 de la deuxième fibre vaut 48 μm S1 est la surface de la section transverse du cœur de la 1ère fibre S2 est la surface de la section transverse du cœur de la 2ème fibre La perte locale vaut alors (en dB) : 2
a P S 48 A = 10 log10 2 = 10 log10 2 = 10 log10 2 = 10 log10 = −0.7 dB P1 S1 52 a1 2
(23)
On rappelle que la surface d’une section circulaire est de a2*π (a rayon du cercle). 6.1.3.2- Pertes dues à la jonction verre-air-verre Soient deux fibres de même dimensions de cœur jointes par un connecteur supposé parfait (voir fig (17)). Une mince épaisseur d’air les sépare. Au niveau de chaque dioptre séparant l’air de la fibre, la lumière subit une réflexion de Fresnel. A l’interface air-verre, le facteur de réflexion en intensité s’exprime comme suit : n −1 R = c nc + 1
2
(24)
Pour un indice du cœur (nc=1.5), R=4% à chaque dioptre. Le coefficient de transmission en intensité T vaut 1-R=96%. Soient P1 la puissance lumineuse sortante de la 1ère fibre et P2 la puissance entrante dans la 2 ème fibre. En négligeant l’épaisseur de la couche air, l’atténuation locale A (ou bien la perte) en dB due à la réflexion vaut :
A = 10 log10
P2 = 10 log10 T = 10 log10 (1 − R ) = −0.18dB P1
(25)
Fig(17)- Utilisation d’un connecteur pour joindre deux fibres
16
En supposant que la seule cause d’atténuation est due aux réflexions de Fresnel, la perte totale lors du raccordement de deux fibres (deux dioptres à traverser) est deux fois plus importante. La perte avoisine -0.36 dB. En raison des différents facteurs de pertes, on tolère un affaiblissement de l’ordre de 0.6 dB par connecteur. Pour atténuer les pertes de Fresnel par réduction du coefficient de réflexion R, on introduit « un liquide adaptateur d’indice » entre les deux fibres à raccorder. 6.2- Dispersion 6.2.1- Dispersion modale La dispersion modale vient du fait que les différents modes d’une fibre ont leurs vitesses propres, et donc au bout d’un certain temps de propagation les différents modes seront décalés les uns par rapport aux autres, ce qui a pour effet d’élargir l’impulsion à la sortie de la fibre optique. On note que ce type de dispersion se produit seulement dans les fibres multimodes. La dispersion modale pour une fibre à saut d’indice s’écrit comme suit :
dm =
nc × ∆ (s/km) c
(26)
Avec nc : indice de réfraction du cœur, ng : indice de réfraction de la gaine, c : vitesse de la lumière 3*105 km/s. Le paramètre du guidage est défini par : nc − n g ∆= ng
(27)
Le taux d’élargissement d’une impulsion dispersée est égal à : (28) δ t = d m × ∆L (ns) 6.2.2- Dispersion chromatique La dispersion chromatique vient du fait que l’indice de réfraction d’un milieu dépend de la longueur d’onde et que les sources utilisées pour transmettre le signal ne sont pas monochromatiques. Ce type de dispersion est appelée aussi dispersion matérielle. En traçant l’indice de réfraction de la silice (SiO2) ou bien dioxyde de Silicium en fonction de la longueur d’onde en utilisant la relation de Sellmeier qui s’écrit comme suit : 3
Ai λ2
i =1
λ 2 − λi 2
n(λ ) = 1 + ∑ 2
(29)
La figure (18) montre le tracé de l’indice de réfraction en fonction de la longueur d’onde. D’après cette figure, nous remarquons que la valeur de l’indice de réfraction décroit en allant vers les grandes longueurs d’onde. 17
Fig(18)- Variation de l’indice de réfraction en fonction de la longueur d’onde Réellement une source laser n’est pas monochromatique, ça veut dire quant on envoie un signal lumineux centré sur une longueur d’onde λ0, réellement ce signal contient d’autres longueurs d’onde supplémentaires. Supposons qu’on a une source laser centrée sur λ0=1550 nm et prenons par exemple deux longueurs d’onde λ01=1549.8 nm et λ02=1550.8 nm qui sont réparties à gauche et à droite de la longueur d’onde centrale, respectivement (voir fig (19)). L’objectif du calcul mathématique suivant est de déterminer le retard temporel Δt entre l’impulsion 1 et l’impulsion 2 (voir fig(19)).
Fig(19)- calcul du retard temporel entre deux impulsions situées aux extrémités de la largeur spectrale d’une source laser
18
Sachant que t1 est le temps de parcours de l’impulsion 1 sur une distance L et t2 est le temps de parcours de l’impulsion 2 sur une distance L. Le retard temporel s’écrit comme suit :
∆t = t 2 − t1
(30)
Supposons que Δλ est l’espacement en longueur d’onde entre les deux impulsions, l’expression de Δt devient : ∆λ ∆λ ∆t = t λ0 + − t λ0 − 2 2
(31)
D’autre part, le temps de parcours « t » s’exprime en fonction de la vitesse de groupe (vitesse de transmission des impulsions) « Vg » et la distance « L » comme suit : L t= (32) Vg La vitesse de groupe Vg s’écrit comme suit :
Vg =
c Ng
(33)
avec « c » la vitesse de la lumière dans le vide et « Ng » l’indice de groupe. Cet indice s’exprime comme suit : Ng = n − λ
dn dλ
(34)
En remplaçant les équations (32), (33), (34) dans l’équation (31), le retard temporel devient : ∆t =
L ∆λ ∆λ N g λ0 + − N g λ0 − c 2 2
(35)
En présence de deux longueurs d’onde différentes, l’indice de réfraction « n » et par conséquent l’indice de groupe « Ng » subissent un changement, ce qui entraine une variation de la vitesse de transmission de chacune des impulsions lumineuses. Le temps de parcours « t » varie donc pour chaque impulsion, ce qui diminue le retard temporel entre elles. En raison de cette diminution, les deux impulsions peuvent se chevaucher entre elles, ce qui explique le phénomène de dispersion matérielle (voir fig (20)).
19
Fig(20)- illustration de deux impulsions dispersées On définit le coefficient de dispersion chromatique du matériau comme suit :
2 d 2n γ m = λ 2 dλ λ = λ
(36) 0
Le taux d’élargissement d’une impulsion lumineuse est égal à
∆t = γ m × ∆λ × L avec
(37)
γ m dispersion (ps/nm/km), ∆λ largeur spectrale de la source (nm), L distance de
transmission (km).
20
Exercices d’application Exercice 1 On veut fabriquer une fibre en Silice avec un indice de cœur n1=1.458 et une ouverture numérique (ON) de 0.27. La longueur d’onde utilisée sera de 0.85 μm et la fréquence normalisée V=100. - Quelles doivent être le rayon du cœur et l’indice de la gaine ? Exercice 2 A l’entrée d’une liaison à fibre, on injecte une puissance moyenne Pentrée=2.2 mW. 1)- La liaison est constituée de 5 fibres de 2.8 km de longueur mises bout à bout (voir figure (1)), ayant chacune une atténuation linéique de A=2.3 dB/km. Chaque connecteur produit une perte de 0.3 dB. Calculer l’atténuation totale Atotale de la liaison. 2)- Quelle puissance moyenne Psortie récupère-t-on à la sortie ?
Fig(1)- Liaison de cinq fibres optiques reliées entre elles par quatre connecteurs Exercice 3 On considère une liaison sur fibre optique à saut d’indice avec deux fenêtres possibles de transmission aux longueurs d’onde λa=640 nm, rouge, et λb=550 nm, vert. La fibre optique présente deux affaiblissements dans le rouge et dans le vert Aa=130 dB/km et Ab=50 dB/km. L’indice de cœur est n1=1.49 et l’indice de la gaine n2=1.4, le diamètre de cœur est 2a=1 mm. Une diode électroluminescente (DEL), pour le rouge, injecte une puissance dans la fibre Pea=20 dBm et une autre pour le vert Peb=-30 dBm. 1)- En bout de fibre on place un récepteur. Le cahier de charges impose une puissance de seuil du récepteur de Pr= -40 dBm. Exprimer et calculer les distances maximales de fibre La et Lb pour les deux fenêtres de transmission dans ces conditions de détection. 2)- Exprimer et calculer la dispersion intermodale dim dans ce type de fibre. 3)- Calculer les retards δta et δtb correspondant aux longueurs La et Lb.
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4)- Le cahier des charges de transmission impose une bande passante minimale Bmin=7 MHz, on utilisera B(MHz)=350/δt (ns). Les longueurs trouvées satisfont-elles le cahier des charges ? Dans le cas contraire trouver la nouvelle longueur. Exercice 4 Soit une liaison sur fibre optique monomode. Une diode laser (DL) monomode émet une puissance dans la fibre Pe=1 mW à λ=1550 nm avec une largeur spectrale Δν= 2.48 GHz. La fibre optique présente un affaiblissement global A=0.2 dB/km et une dispersion D=18 ps/nm/km à cette longueur d’onde. 1)- On souhaite transmettre sur une distance de L0=100 km. Calculer la puissance, en Watts et en dBm, en bout de fibre. 2)- On place en bout de fibre un récepteur photodiode. On exige une puissance minimale sur la photodiode de Pmin= - 30 dBm. Quelle est la longueur maximale de la liaison permise sous ces conditions ? 3)- Calculer le taux d’élargissement des impulsions lumineuses si on exige une puissance minimale sur la photodiode de Pmin=-30 dBm. La longueur d’onde centrale de transmission est prise à 1550 nm. 4)- Proposer une solution pour minimiser la dispersion chromatique de la liaison.
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Solutions des exercices
Exercice 1 1-Calcul du rayon de cœur V =
2π × a × ON
λ0
V × λ0 = 2π × a × ON a=
V × λ0 2π × ON
100 × 0.85 × 10 −6 a= = 5 × 10 −5 m = 50 µm (rayon du cœur) 2π × 0.27 2-Calcul de l’indice de la gaine
ON = nc − n g 2
ON 2 = nc − n g 2
2
2
n g = nc − ON 2 2
2
n g = nc − ON 2 2
n g = 1.458 2 − 0.27 2 = 1.43 (indice de la gaine) Exercice 2 1-Calcul de l’atténuation totale de la liaison Pour 5 fibres de 2.8 km chacune, l’atténuation totale due aux pertes linéiques est : A1=5*2.8*(-2.3)=- 32.2 dB. Pour les 4 connecteurs de la liaison, la perte est A2=4*(-0.3)=-1.2 dB. L’atténuation totale est : Atotale=A1+A2=-33.4 dB. 23
2-Calcul de puissance de sortie La puissance moyenne de sortie est déterminée à partir de la relation
Psortie Pentrée
Atotale = 10 log10
Atotale 10
Psortie = Pentrée 10 Psortie = 2.2 × 10
−33.4 10
= 10 −3 mW = 1µW
Exercice 3 1-Calcul des distances maximales La et Lb pour les deux fenêtres de transmission
10 log10 ∆La =
∆La =
αa
0.01 0.0001 = 0.15km 130
10 log10
10 log10 ∆Lb =
∆Lb =
Pea Pr
αb
Peb Pr
0.001 0.0001 = 0.2km 50
10 log10
2-Calcul de la dispersion intermodale
nc − n g
dm =
nc ×∆ c
dm =
1.49 1.49 − 1.4 × = 317.86 ns/km 3 × 10 5 1.4
avec ∆ =
ng
3-Calcul des retards δ t a et δ t b correspondants aux longueurs ∆La et ∆Lb
δ t a = d m × ∆La = 317.86 × 0.15 = 47.68ns 24
δ t b = d m × ∆Lb = 317.86 × 0.2 = 63.57 ns 4-Calcul de la nouvelle longueur qui satisfait le cahier des charges imposé
B(MHz ) =
350 δt
350 350 = = 50ns B(MHz ) 7
δt =
Le retard maximal imposé doit être égal ou inférieur à 50 ns.
δ t = d m × ∆L ∆L =
δt dm
=
50 = 0.157 km 317.86
La longueur maximale imposée doit être égale ou inférieure à 0.157 km. La longueur de la fibre Lb qui correspond au retard δ t b , ne satisfait pas le cahier des charges puisque Lb est supérieure à ΔL. Par contre, La longueur de la fibre La qui correspond au retard δ t a satisfait ce cahier des charges, puisque La est inférieure à ΔL. Exercice 4 1-Calcul de la puissance de sortie en bout de fibre
Ps = Pe × 10
−α
L2 − L1 10
= 1× 10
100 − 0.2× 10
= 0.01mW = −20dBm
2-Calcul de la longueur maximale de la liaison
α=
P1 Pmin L2 − L1
10 log10
10 log10
P1 = α (L2 − L1 ) Pmin
10 log10 ∆L =
α
P1 Pmin
=
10 log10 0.2
1 0.001 = 150km
3-Calcul du taux d’élargissement 25
δt D = D × ∆λ × ∆L
δt D = D × δt D
λ2 c
× ∆ν × ∆L
(1.55 ×10 ) = 18 ×
−6 2
3 × 10
8
× 2.48 × 10 9 × 150 = 54 ps
4-Pour minimiser la dispersion résiduelle de la liaison on place après la fibre monomode de transmission un réseau de Bragg compensateur de la dispersion chromatique. La relation de dispersion résiduelle s’écrit comme suit : DSMF*LSMF+DBragg =0. Dans notre cas, la dispersion totale qu’il doit fournir le réseau de Bragg pour éliminer la dispersion de la fibre est égale à : DBragg = - DSMF*LSMF = - 18*150= - 2700 ps/nm.
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Autre titre du même auteur : - MODULATEURS BASES SUR L’EFFET ELECTRO-OPTIQUE ~ Editions Al-Djazair septembre 2013
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