Summary of CS1231

&l% Maiejommu Maiejommu Cqsejomc` Cqsejomc`t; t; L ? ≯ L 8 efl tfcu fo|c tfc zonc nadcmz

? Rxa|e`i Tcjf`eqscz Tcjf`eqscz &o% Dexcjt rxaal 

&i% E &∊V L % L % > E &

&h% Cvfosztea` Cvfosztea` rxaal  rxaal 

&f% E &∂V L % L % > E &

&j% Ja`ztxsjtea` Ja`ztxsjtea` rxaal  rxaal 

 L W L Wj!V ^% ^% j∆S  F  F 

j∆S F  F 

L W L Wj!V ^% ^%

4 Haamco` Omichx Omichxoo

&d% Cveztc`te Cveztc`teom om rxaal  &c% Ja`txodej Ja`txodejtea` tea` rxaal 

&o% Edc`tetu Edc`tetu al Ù; v Ù ? > v

&l% Ja`txorazete Ja`txorazete|c |c rxaal  rxaal 

&h% Edc`tetu Edc`tetu al '; '; v ' 2 > v

&i% E`dsjtea` E`dsjtea` rxaal  rxaal 

&j% Janrmcnc` Janrmcnc`totea` totea` al  Ù; v Ù v ¡>2

&f% Reica`famc Reica`famc rxe`jermc rxe`jermc

&d% Janrmcnc` Janrmcnc`totea` totea` al '; v ' v ¡>?

&e% Janhe`otax Janhe`otaxeom eom rxaal 

&c% Ozzajeote|et Ozzajeote|etu u al  Ù; v Ù &u Ù { % > &v Ù u% Ù { > vÙuÙ{

&k% E`jmszea` E`jmszea` Cvjmszea` Cvjmszea` rxe`jermc rxe`jermc 8 @otsxom @otsxom Dcdsjtea` Dcdsjtea` &o% Ja`ks`jtea` Ja`ks`jtea` e`txadsjtea` e`txadsjtea`;; L ? - L 8  L ? ∩ L 8 &h% Ja`ks`jtea` Ja`ks`jtea` cmene`otea`; cmene`otea`; L ? ∩ L 8  L ?

&l% Ozzajeote|et Ozzajeote|etu u al '; v ' &u & u ' { % > &v ' u % ' { > v'u'{ &i% Jannstote| Jannstote|etu etu al  Ù; v Ù u > u Ù v &f% Jannstote| Jannstote|etu etu al '; v ' u > u ' v

&j% Ja`ks`jtea` Ja`ks`jtea` cmene`otea`; cmene`otea`; L ? ∩ L 8  L 8

&e% Deztxehste| Deztxehste|etu etu al  Ù a|cx '; v Ù &u ' { % > &v Ù u% ' &v &v Ù {%

&d% Dezks`jtea` Dezks`jtea` e`txadsjtea`; e`txadsjtea`; L ?  L ? ∦ L 8 &c% Dezks`jtea` Dezks`jtea` e`txadsjtea`; e`txadsjtea`; L 8  L ? ∦ L 8 &l% Dezks`jtea` Dezks`jtea` cmene`otea`; cmene`otea`; L ? ∦ L 8 - L ? ⇘ L : - L 8 ⇘ L :  L : &i% @ciotea` @ciotea` e`txadsjtea`; e`txadsjtea`; L 8 ⇘ &L ? ∩ ¬L ? %  ¬L 8 &f% Dashmc Dashmc `ciotea` cmene`otea`; cmene`otea`; ¬¬L ?  L ? &e% Enrmejotea` Enrmejotea` e`txadsjte e`txadsjtea`; a`; &L ?  L 8 %  L ? ⇘ L 8

&k% Deztxehste| Deztxehste|etu etu al ' a|cx a|cx Ù; v ' &u & u Ù { % > &v ' u% Ù &v ' { % &g% Edcnratc`jc Edcnratc`jc al  Ù; v Ù v > v &m% Edcnratc`jc Edcnratc`jc al '; v ' v > v &n% O``efemotax O``efemotax al Ù; v Ù 2 > 2

&k% Dashmc Dashmc `ciotea` e`txadsjtea`; e`txadsjtea`; L ?  ¬¬L ?

&`% O``efemotax O``efemotax al '; v ' ? > ?

&g% &g% Enrm Enrmej ejot otea ea` ` cmen cmene` e`ot otea ea` ` L ? - L ? ⇘ L 8  L 8

&a% Ohzaxrtea` Ohzaxrtea` al  Ù; v Ù &v ' u% > v

&Nad &Nadsz sz

Ra`c` a`c`z% z%;;

&r% Ohzaxrtea` Ohzaxrtea` al '; v ' &v &v Ù u % > v

&m% Nadsz Tammc`z Tammc`z;; L ? ⇘ L 8 - ¬L 8  ¬L ? &n% S`e|cxzom qso`te﬏cx cmene`otea`; ∂VL   L W L Wt!V ^ &`% S`e|cxzom S`e|cxzom qso`te﬏cx qso`te﬏cx e`txadsjtea` e`txadsjtea`;; L W L WU !V ^  ∂V L 

&q% S`ejetu S`ejetu al al janrmcnc` janrmcnc`t; t; El v El vÙu > 2 o`d v'u > ? tfc` u > v¡ 3 Zct Tfcax Tfcaxu u

&a% Cveztc`te Cveztc`teom om qso`te﬏cx qso`te﬏cx e`txadsjtea` e`txadsjtea`;; L W L Wt!V ^  ∊V L 

&o% Ovean Ovean ?; Cnrtu Cnrtu zct zct Tfcxc Tfcxc cvezt cvezt o zct yetf `a cmcnc`tz ∊V &∂U & U &¬&U  ∆ V %%% %%%

&r% Cveztc`teom qso`te﬏cx ∊V L ? - &L ? WU !V ^  L 8 %  L 8

&h% Ovean Ovean 8; Cvtc`z Cvtc`zea` ea`omet ometu; u; Tya Tya zctz oxc cqsom cqsom el o`d o`d a`mu a`mu el tfcu tfcu fo| fo|c tfc tfc zonc zonc cmcn cmcnc` c`tz tz U &&∂[ &[  ∆ V  ⇔ [  ∆ U %% U %% ⇔ V  > U % U % ∂V ∂U &&

cmene`otea`;

: Nadcm Zcno`te Zcno`tejz jz &o% Nadcm; O` e`tcxrx e`tcxrxctotea` ctotea` E  ez o nadcm al o lax. nsmo L  efl  E &L % L % ez txsc

&j% &j% Ovea Ovean n :; Roex Roexe` e`i; i; Tfcx Tfcxcc cvez cveztz tz o zct zct [  tfot ja`toe`z V  o`d U  U  ∂V ∂U ∊[ ∂T && T &&T  T  > V  ∦ T  > U % U % ⇔ T  ∆ [ %

&h% Tostama Tostamaiu; iu; O laxns laxnsmo mo L  ez o tostamaiu efl omm e`tcxrxctotea` oxc nadcmz

&d% &d% Ove Ovean an 4; S`ea S`ea`z `z;; ∂Z ∊T ∂U && U &&U  U  ∆ T % T % ⇔ &&[  ∆ Z % ∩ &U  ∆ [ %%% %%% ∊[ &&[ 

&j% Ja`txodej Ja`txodejtea`; tea`; O laxnsmo laxnsmo L  ez o ja`txodejtea` efl `a e`tcxrxctotea` ez nadcm

&c% Ovean Ovean 3; Rayc Raycxx Zctz; ∂Z ∊T ∂V &&V  &&V  ∆ T % T % ⇔ &V  ⊈ Z %% %%

&d% Ja`te`ic`j Ja`te`ic`ju; u; O laxnsmo laxnsmo L  ez o ja`te`ic`ju efl  et ez `cetfcx o tostamaiu `ax o ja`txodejtea`

&l% Ovean Ovean <; Xcismo Xcismoxet xetu; u; ∂V &V   > V  ∩ ∂[ &[  ∆ V  ⇘ ¬&[  ∆ U %%%%% U %%%%%

&c% Maiejom Maiejom Ja`zcqsc`j Ja`zcqsc`jc; c; L ? }> L 8 efl omm nadcmz al  L ? oxc nadcmz al  L 8

&i% Ovean Ovean 9; E`﬏`et E`﬏`etu; u; ∊V &∃ ∆ V  ∩ &∂U & U &U  ∆ V  ⇘ U  ∫ wU ~ ∆ V %%% %%%

∃

⇘ &∊U & U &U  ∆

&f% Ovean 6; Zcroxotea`; Zcroxotea`; ∂V ∊U ∂[ &[  ∆ U  ⇔ &[  ∆ V  ∩ R & R &[ %%% %%% &e% Szclsm Szclsm rxarazetea`z o`d dc﬏`etea`z; dc﬏`etea`z; e Cnrtu zct ez tfc zshzct al omm zctz; &&∂U ¬&U  ∆ V %% %% ⇘ &V  ⊈ [ %% %% ∂V ∂[ && ee Dc﬏`etea` Dc﬏`etea` al zshzct zshzct;; ∂V ∂U & U &V  ⊈ U  ⇔ &∂[ &[  ∆ V  ⇘ [  ∆ U %%% U %%% eee O`atfcx O`atfcx tczt lax cqsometu; cqsometu; ∂V ∂U && U &&V  V  ⊈ U  ∩ U  ⊈ V % ⇔ V  > U % U % e| E`tcx E`tcxzcj zcjtea` tea`;; Mct Z  hc o zct al zctz T  ez tfc tfc e`tc e`tcxz xzcj cjte tea` a` al tfc tfc zctz zctz e` zctz zctz el  ∂Z ∊T ∂U && U &&U  U  ∆ T % T % ⇔ ∂[ &&[  &&[  ∆ Z % ⇘ &U  ∆ [ %%% %%% < Xcmotea`z Xcmotea`z &o% Tfc he`oxu he`oxu xcmotea` X ez o zshzct al tfc Joxtc. zeo` rxadsjt rxadsjt Z  Ù T 

&x% Tya cmcnc`t cmcnc`tzz oxc janroxohmc janroxohmc el o el o  h ∦ h  o O tatom axdcx ez o roxteom axdcx yfcxc omm cmcnc`tz oxc janroxohmc &z% Novenom Novenom cmcnc`t; cmcnc`t; ∂u ∆ O&v  u ⇘ v > u% Novensn cmcnc`t- ; ∂v ∆ O&v  % &t% Ne`enom Ne`enom cmcnc`t; cmcnc`t; ∂u ∆ O&u  v ⇘ v > u% Novensn cmcnc`t- ⊣; ∂v ∆ O&⊣  v% &s% O ez ycmm axdcxcd efl c|cxu `a`.cnrtu zshzct al  O oz o ne`ensn cmcnc`t 9 Ls`jtea`z s`jtea`z &l  &l  ⊈ Z  Ù T  s`mczz ztotcd atfcxyezc% &o% S`eqsc`czz S`eqsc`czz;; ∊/v ∆ T r&v% ≯ ∊v ∆ T & T & r&  r&v% ∩ ∂u ∆ T & T & r&  r&u% ⇘ v > u%% &h% Dc﬏`et Dc﬏`etea` ea` al ls`jte ls`jtea`; a`; l  ; Z  ↘ T  ⇔ ∂v ∆ Z  ∊u ∆ T & T &v l u ∩ &∂{ ∆ T & T &v l { ⇘ u > { %%% ax ∂v ∆ Z  ∊/u ∆ T & T &v l u% &j% @atotea`; @atotea`; l & l &v% > u ⇔= vv- u 0∆ l 

&h% zXt ⇔= zz- t 0∆ X

&d% Dan& Dan&l % l % > Z 

&j% Dan& Dan&X% > wz ∆ Z  } ∊t ∆ T & T &zXt%~- E n&X% > jaDan&&X% > T  wt ∆ T  } ∊z ∆ Z &zXt%~- jaDan

&c% v ez o rxc.enoic al u al u el l  el  l &&v% > u yfemc tfc e`|cxzc enoic al  u ez tfc zct al omm etz rxc.enoicz

&d% &d% E`|c E`|cxz xzc; c; El  X ⊈ Z  Ù T T - tfc` tfc` ∂z ∆ Z ∂t ∆ ∘? T & T &tX z ⇔ zXt%

&l% Tfc xcztxe xcztxejte jtea` a` al  l  ta S  ez tfc zct w= vv- u 0∆ S  Ù T  } l & l &v% > u~

&c% Janraze Janrazetea` tea`;; El  X ⊈ Z  Ù T - X ⊈ T  Ù S S - tfc`  S &vX ◬ X{ ⇔ &∊u ∆ T & T &vXu ∩ ∂v ∆ Z ∂{ ∆ S &  uX { %%%

&i% E`kcjtea`; E`kcjtea`; ∂u ∆ T  ∂v? ∆ Z  ∂v8 ∆ Z  &&l  &&l &&v? % > u ∩ l & l &v8 % > u% ⇘ v? > v8 %

&l% Janraze Janrazetea` tea` ez ozzajeot ozzajeote| e|cc- o`d &X ◬ X%∘? > X∘? ◬ X∘? &i% Xc﬈cve| Xc﬈cve|c; c; ∂V  ∆ O&vXv% &e% Txo`zete|c; ∂v-u-{ ∆ O&&v &&vXu ∩ u X{ % ⇘ vX{ % &k% Cqse|omc`jc Cqse|omc`jc xcmotea`; X ez xc﬈cve|c- zunnctxej o`d txo`zete|c &g% El  X ez o` cqse|omc`jc xcmotea` a` o zct O- tfc` tfc cqse|omc`jc jmozz al  v- C vX > wu ∆ O}vXu~ O!X ez tfc zct al cqse|omc`jc jmozzcz &m% El  X ez o` cqse|omc`jc xcmotea` a` o zct O- tfc` O!X ez o roxtetea` al O al  O &n% Tfc txo`ze txo`zete| te|cc jmazsx jmazsxcc al  X- X∙ zotez﬏cz zotez﬏cz tfc ∙ rxarcxtecz tfot X ez txo`zete|c o`d X ∆ X∙  Lsxtfcxnaxc el  Z  ez o`atfcx txo`zete|c xcmotea`tfc` X ∆ Z ⇘ X∙ ∆ Z  ∙

&a% X >

∐

e>?

&e% Hekcjtea` Hekcjtea` > E`kcjtea` ' Zsxkcjtea` Zsxkcjtea` &k% l  ez hekcjte|c efl  l ∘? ez o ls`jtea`

&f% Zunnctxej; Zunnctxej; ∂v- u ∆ O&vXu ⇘ uXv%

&`% Xcrcotcd Xcrcotcd janrazetea`; janrazetea`; X` >

&f% Zsxkcjtea` Zsxkcjtea`;; ∂u ∆ T  ∊v ∆ Z  &l & l &v% > u%- En& En &l % l % > T 



?≤e≤` X

e

X

&r% O`te.zunnctxej; ∂v ∆ O∂u ∆ O&&v &&vXu ∩ u Xv% ⇘ v > u% &q% X ez o roxteom axdcx el et ez o`te.zunnctxej- xc﬈cv. e|c e|c o`d txo`zet txo`zete| e|c c O xcmotea xcmotea` ` tfot tfot ez o roxteo roxteomm axdcx ez dc`atcd oz 

&g% @atotea`; @atotea`; i &l & l &v%% > &i &i ◬ l %& l %&v v% El  l  ; Z  ↘ T  o`d i ; T  ↘ S  oxc hatf ls`jtea`z- tfc` i ◬ l  ez o ls`jtea` &m% Edc`tetu Edc`tetu ls`jtea`ls`jtea`- E O ; ∂v ∆ O& E O &v% > v% &n% El l  El  l  ; O ↘ O ez e`kcjte|c- tfc` l ∘? ◬ l  > E O &`%  O `.oxu arcxotea` a` o zct O ez o ls`jtea` l  ; ` ? O↘O &a% Rxa|e` Rxa|e`ii e`kcjt e`kcjte|e e|etu tu;; Zsrrazc Zsrrazc l & l &v? % > l & l &v8 %tfc` rxa|c v? > v8 &r% Rxa|e`i zsxkcjte|et zsxkcjte|etu; u; Cvrxczz Cvrxczz v e` tcxnz al  u o`d tfc` jfcjg el et ez yetfe` tfc danoe` 6 @snhcx @snhcx zuztcnz zuztcnz &o% Rco`a―z Rco`a―z Oveanz; Oveanz; Tfc zct al `otsxom `snhcx `snhcxzz ez tfc znommczt zct zsjf tfot; e ∊2 &2 ∆ @% ee Tfcxc cvezt o ls`jtea` z a` @ z&`% > ` tfc zsjjczzax al  ` eee ∂` ∆ @ &` >  2% e| ` ∆ @ ∂n ∆ @ &` > n ⇘ ` > n%

| ∂G  ⊈ @ ∂` ∆ @ &&2 ∆ G  ∩ &` ∆ G  ⇘ ` ∆ G %% %% ⇘ G  > @% &h% Axdcxe`i Axdcxe`i Mcnno; Mcnno; Mct n ∆ n ≤ `

@j 

Tfc` Tfc` ` ≤ n ∦

&j% Oddetea` Oddetea` ez tfc znommczt he`oxu arcxotea` arcxotea` a` zsjf tfot;

@

e ∂` ∆ @ &` ' 2 > `% ee ∂` ∆ @ ∂n ∆ @&` ' n > &` ' n% % &d% Nsmtermejotea Nsmtermejotea` ` ez tfc znommczt he`oxu arcxotea` a` @ zsjf tfot; e ∂` ∆ @ &` Ù 2 > 2% ee ∂` ∆ @∂n ∆ @&` Ù n > &` Ù n% ' `% &c% E`tcicxz E`tcicxz e Mct ≆ hc o xcmotea` a` @ Ù @ zsjf zsjf tfot ∂`? ∆ @ ∂`8 ∆ @ ∂n? ∆ @ ∂n8 ∆ @ &= `? - `8 0≆= n? - n8 0⇔ `8 ' n? > n8 ' `? % Tfc Tfc zct zct al e`tci e`tcicx cxzz ez ie|c` ie|c` hu [ > &@ Ù @%! ≆ ee o ' h >= o? ' h? - o8 ' h8 0 eee o ∘ h >= o? ' h8 - o8 ' h? 0 e| o Ù h >= o? Ù h8 ' o8 Ù h? - o? Ù h? ' o8 Ù h8 0 &l% Xotea`omz e Mct ≆ hc o xcmotea` a` @ Ù @]w2~ zsjf tfot ∂`? ∆ @ ∂`8 ∆ @]w2~ ∂n? ∆ @ ∂n8 ∆ @]w2~ &= `? - `8 0≆= n? - n8 0⇔ `8 Ù n? > n8 Ù `? % Tfc zct al xotea`omz ez ie|c` hu [ > &@ Ù @]w2~%! ≆ ee o Ù h >= o? Ù h? - o8 Ù h8 0 eee o ' h >= &o? Ù h8 ' h? Ù o8 - o8 Ù h8 0 e| o ∘ h >= &o? Ù h8 ∘ h? Ù o8 - o8 Ù h8 0 | o!h >= o? Ù h8 - o8 Ù h? 0 5 @snhcx @snhcx Tfcaxu Tfcaxu &o% Mct ` ∆ n Ù q %

&f% Csjmed―z Csjmed―z Mcnno; Mcnno; Mct ` ∆ @' - n ∆ @'  Mct  r ∆ @'  &rxenc& r &rxenc& r%% ∩ & r}` Ù n%% ⇘ & r}` ∦ r}n% &e% Lojtaxezotea`; ` >



e∆E  re

&k% Ls`donc`t s`donc`tom om tfcaxcn al oxetfnctej; C|cxu C|cxu raz. ete|c `otsxom `snhcx foz o s`eqsc lojtaxezotea` &g% ` ≯ n &nad j% ⇔ &n = ` ∩ j}` ∘ n% ∦ &` = n ∩ j}n ∘ `% ∦ &` > n% &m% El  `? ≯ n? &nad j% ∩ `8 ≯ n8 &nad j%- tfc` `? ' `8 ≯ n? ' n8 &nad j% &n% El  `? ≯ n? &nad j% ∩ `8 ≯ n8 &nad j%- tfc` `? Ù `8 ≯ n? Ù n8 &nad j% &`% Lcxnot―z cxnot―z Mettmc Mettmc Tfcaxcn; Tfcaxcn; El r El r ez rxenc tfc` o r ≯ o &nad r% ?2 Joxde`ometu Joxde`ometu &o% O zct ez ﬏`etc efl et ez tfc cnrtu cnrtu zct ax tfcxc tfcxc ez o hekcjtea` lxan tfc zct ta zanc [` &h% Joxde`ometu Joxde`ometu al o ﬏`etc zct ez 2 el tfc zct ez cnrtu zct ax ` el tfcxc ez o hekcjtea` lxan tfc zct ta zanc [`  &j% ℳ2 ≯ }[' } &d% O zct ez jas`t jas`tohm ohmu u e`﬏`et e`﬏`etcc efl  }Z } > ℳ2  Atfc Atfcx. x. yezc et ez s`jas`tohmc O zct ez jas`tohmu e`﬏`etc efl etz cmcnc`tz jo` hc oxxo`icd yetfast dsrme. jotea` o`d anezzea` e` o` e`﬏`etc mezt &c% Ie|c` Ie|c` ` jas`t jas`tohm ohmu u e`﬏`et e`﬏`etcc zctzzctz- tfc joxtcz joxtczeo` eo` rxadsjt al tfczc zctz oxc omza jas`tohmu e`﬏`etc &l% Tfc s`ea` al jas`tohmu jas`tohmu no`u jas`tohmc jas`tohmc zctz ez jas`tohmc &i% Tfc zct al xcom `snhcxz `snhcxz ez s`jas`tohmc s`jas`tohmc &f% }O} = }R &O%} &e% }X} > }R &[%}

o`d n ∆

' @ 

n}` ⇔ ∊q  ∆

@

&` >

'-

∊/q  ∆

&o% &o% Rxads Rxadsjt jt Xsmc; Xsmc; El  O? - O8 - ¹ ¹ ¹ O` oxc ﬏`etc zctz ` tfc` } e>? Oe } > e`>? }Oe }

&j% ` o`d n oxc xcmote|cmu rxenc &` &` ⊣ n% efl  ∂j ∆ ' @ &&&j &&&j}`% ∩ &j}n%% ⇘ j > ?%

&h% &h% Zsn Zsn Xsmc; Xsmc; El  O? - O8 - ¹ dezkae`t ﬏`etc ¹ ¹ O` oxc dezkae`t ` ` zctz- tfc` } e>? Oe } > e>? }Oe }

@

&h% De|ezea` De|ezea` omiaxetfn; omiaxetfn; Mct ` ∆ @- n ∆ @ ∊/x ∆ @ &` > q  Ù n ' x ∩ x = n%

@

?? Jas`te`i Jas`te`i

&`} r  r ⇘ &` >

&j% Deflcxc Deflcxc`jc `jc Xsmc; Xsmc; el  O ez o ﬏`etc zct o`d H ez o zshzct al  O- tfc` }O ∘ H } > }O} ∘ }H }

&c% Tfc ijd al  ` o`d n ez dc﬏` dc﬏`ccd zsj zsjf tfot tfot &ijd& &ijd&`&ijd&`- n%}n% ∩ &∂q  ∆ `- n%}`% ∩ &ijd&`' &&&q  ijd&`- n%%% @ &&&q }`% ∩ &q }n%% ⇘ q  ≤ ijd&`-

&d% &d% R xe`jermc al E`jmszea` ea` o` mszea`; a`; d Cvjmsz ` } e>? O e} > ?≤e≤` }Oe } ∘ ?≤e≤ k ≤` }Oe ∥ O k } ' ?≤e≤ k ≤g ≤` }Oe ∥ O k ∥ Og } ∘ ¹ ¹ ¹ '  &∘?%`'? } e`>? Oe }

&d% r ez rxenc el  r 0 ? ∩ &∂` ∆  r ∦ ` > ?%%%

' @

&l% Tfc mjn al  ` o`d n ez dc﬏` c﬏`cd zsj zsjf tfot tfot &`}mjn&`mjn&`- n%% ∩ &n}mjn&`mjn&`- n%% ∩ &∂q  ∆ ' &&&`}q % ∩ &n}q %% %% ⇘ mjn&`mjn&`- n% ≤ q %% %% @ &&&` &i% Hc{ast―z Hc{ast―z Edc`tetu Edc`tetu;; Mct ` ∆ @' - n ∆ @'  ∊o ∆ [ ∊h ∆ [ &` Ù o ' n Ù h > ijd&nijd&n- `%%

&c% Tfc `snhcx `snhcx al rcxnsto rcxnstotea` tea`zz al o zct al  ` dez. te`jt cmcnc`tz ez `/ &l% Tfc `snhcx al axdcxcd zcmcjtea` al  x ahkcjtz `/ lxan ` ahkcjtz ez R & R &`- x% > &`∘ x%/

&i% Tfc `snhcx `snhcx al s`axdcxcd s`axdcxcd zcmcjtea` zcmcjtea` al  x ahkcjtz / lxan ` ahkcjtz ez J &`- x% > &x/&``∘ x%/ &f% Tfc `snhcx `snhcx al rcxnstotea`z rcxnstotea`z al ` al ` ahkcjtz yfcxc tfcxc oxc `e e`dezte`isezfohmc ahkcjtz al turc e g lax e > ?- 8- ¹ ¹ ¹ g o`d e>? `? > `- ez ` /` `//¹¹¹` / ?

8

g

&e% Tfc `snhcx al  x .janhe`otea`z yetf xcrctetea` ommayc ommaycd d tfot tfot jo` hc zcmcjt zcmcjtcd cd lxan lxan ` etcnz etcnz ez J &` ' x ∘ ?- x% &k% He`aneom tfcaxcn; &v &v ' u %` > &g% Rozjom―z Rozjom―z edc`tetu; edc`tetu;

`'? g

>



` ` `∘x x v u  x>2 ` x

` g ∘?

'

g

&m% Ic`cxomezcd Ic`cxomezcd Reica`famc Reica`famc Rxe`jermc Rxe`jermc;; El  @  ahkcjtz oxc rmojcd e`ta g havcz- tfcxc ez ot mcozt ? hav yfejf ja`toe` ot mcozt  @   ahkcjtz g ?8 Ixorfz &o% O rzcsdaixorf rzcsdaixorf I > &\ & \ &I%- C &I%- l I % ja`zeztz al  e O `a`.cnrtu `a`.cnrtu |cxtcv zct al |cxtejcz |cxtejcz ee O` cdic zct al cdicz eee eee O` e`je e`jedc dc`j `jcc ls`j ls`jtea tea` ` l I ; C &I% ↘ \ &I%~ wws- |~}s- | ∆ \ & &h% O` cdic c ez jommcd o maar el  l I &c% > ws~ lax zanc s ∆ \ & \ &I% &j% El l  El l I &c? % > l I &c8 %- tfc` tfc tya cdicz oxc jommcd nsmtermc ax roxommcm cdicz &d% O zenrmc ixorf ixorf foz `a maarz ax roxommcm roxommcm cdicz- o nsmteixorf foz `a maarz

&m% O yomg al mc`itf ` e` I ez dc﬏`cd oz o` om. tcx`ote`i zcqsc`jc al |cxtejcz o`d cdicz al  I |2 c? |? c8 ¹ ¹ ¹ c` |` yfcxc ce ja``cjtz etz c`drae`tz |e∘? o`d |e  O txoem ez o yomg al dezte` dezte`jt jt cdicz cdicz yfemc o rotf ez o txoem yetf dezte`jt |cxtejcz &n% O ixorf ez ja``cjtcd ja``cjtcd el tfcxc ez o yomg hctycc` hctycc` o`u tya |cxtejcz e` tfc ixorf &`% O` s`dexc s`dexcjtc jtcd d ixorf ixorf F  ez jommcd o ja``cjtcd janra`c`t al  I el  F  ez o zshixorf al  I- F  ez ja``cjtcd o`d `a ja``cjtcd zshixorf al  I foz F  oz etz rxarcx zshixorf &a% O` Csmcx txoem ez o txeom txo|cxze`i txo|cxze`i omm cdicz e` o ixorf ixorf O jmazcd jmazcd yomg ez o yomg yomg tfot ztoxtz ztoxtz o`d c`dz ot tfc zonc |cxtcv O tasx ez o jmazcd yomg tfot txo|cxzc omm cdicz e` o ixorf ot mcozt a`jc O` Csmcx tasx ez o tasx tfot txo|cxzc cojf cdic cvojtmu a`jc &r% O ixorf foz foz o` Csmcx Csmcx tasx el o`d a`mu a`mu el et foz `a |cxtejcz al add dcixcc O ixorf foz o` Csmcx txoem hst `at o` Csmcx tasx el o`d a`mu el et foz cvojtmu tya |cxtejcz al add dcixcc &q% O Fonemta`eo` Fonemta`eo` rotf ez o rotf ja`toe`e`i ja`toe`e`i omm |cx. |cx. tejcz e` I O jujmc ez o jmazcd txoem yfazc axeie` o`d e`tcx`o e`tcx`omm |cxte |cxtejcz jcz oxc dezte` dezte`jt jt O Fon Fonemta emta.. `eo` jujmc ez o jujmc yfejf ja`toe`z omm |cxtejcz al I &x% Mct I hc o` s`dexcjtcd ixorf o`d tfc |cxtejcz oxc axdcxcd oz \ & Tfc od. od. \ &I% > w|? - |8 - ¹ ¹ ¹ |` ~ Tfc  kojc`ju notxev al I al  I ez tfc ` Ù ` notxev O&I% > Woek ^ zsj zsjf tfot tfot oek > }wc ∆ C &I%}l I &c% > w|e - | k ~~}

&c% O` cdic c ez e`jedc`t yetf |cxtejcz s o`d | el  l I &c% > ws- |~ Tfc tya |cxtej |cxtejcz cz oxc odkojc`t odkojc`t Tya cdicz oxc jommcd odkojc`t el tfcu fo|c oxc ?: Txccz e`jedc`t yetf o janna` |cxtcv &o% O txcc ez o` ojujmej ja``cjtcd ja``cjtcd s`dexcjtcd s`dexcjtcd ixorf ixorf &l% O dexcjt dexcjtcd cd nsmtei nsmteixor xorf f I > &\ & \ &I%- C &I%- l I % O laxczt ez o` ojujmej s`dexcjtcd ixorf ja`zeztz ja`zeztz al  &h% Tfcxc ez o s`eqsc rotf hctycc` hctycc` o`u tya tya dezte`jt e O `a`.cnrtu `a`.cnrtu |cxtcv zct al |cxtejcz |cxtejcz |cxtejcz e` o ixorf efl tfc ixorf ez o txcc ee O` cdic zct al dexcjtcd dexcjtcd cdicz cdicz &j% El I El  I ez o txcc efl  }C &I%} > }\ & \ &I%} ∘ ? eee eee O` e`je e`jedc dc`j `jcc ls`j ls`jtea tea` ` l I ; C &I% ↘ &d% O ixorf ixorf F  ez o zshixorf al ixorf I el  \ & \ &F % ⊌ \ &I%~ w&s- |%}s- | ∆ \ & | &I%- C &F % ⊌ C &I% o`d ∂C &F % l F  F &c% > l I &c% &i% O janrmctc ixorf ixorf ez o zenrmc ixorf yfcxc yfcxc c|cxu c|cxu &c% O zro``e`i zro``e`i zshixorf zshixorf al o ixorf ez o zshixorf al  tya dezte`jt |cxtejcz oxc odkojc`t o ixorf yfejf ja`toe`z omm |cxtejcz e` tfc ixorf &f% &f% O janr janrmc mctc tc hero heroxt xtet etcc ixor ixorf f a` &n- `% |cx. cx. O zro``e`i txcc ez o zro``e`i zshixorf yfejf tejcz- dc`atcd hu G n-` n-` ez o zenrmc ixorf yetf ez o txcc \ & \ &G n-` n-` % > ws? - s8 - ¹ ¹ ¹ sn ~ ∫ w|? - ¹ ¹ ¹ |` ~ o`d &l% O ixorf ez ja``cjtcd el o`d a`mu el tfcxc ez o C &G n-` n-` % > wwse - | k ~}e > ?- ¹ ¹ ¹ - n7 k > ?- ¹ ¹ ¹ `~ zro``e`i txcc &e% O ixorf F  ez o zshixorf al  I el  \ & \ &F % ⊌ \ & \ &I%&i% O yceiftcd yceiftcd ixorf ez o ixorf yfcxc omm cdicz cdicz foz C &F % ⊌ C &I% o`d ∂c ∆ C &F % &l F  F &c% > l I &c%% o` ozzajeotcd xcom |omscd yceift &k% Tfc |cxtcv |cxtcv dcixcc dcixcc dI &| % al |cxtcv | ez tfc `sn. &f% &f% O ne`e ne`en nsn zro` zro``e `e`i `i txcc txcc al o ja`` ja``cj cjtc tcd d hcx al cdicz e`jedc`t yetf | yceiftcd ixorf ez tfc zro``e`i txcc tfot foz tfc &g% Fo`dzf Fo`dzfog ogcc Tfcaxc Tfc axcn; n; Mct I hc o` s`dexcjtcd znommczt razzehmc zsn al yceiftz e` etz cdicz  ixorf Tfc` |∆\  &I% dI &| % > 8}C &I%}