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Cours et exercices de mathématiques
SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES EXERCICES CORRIGES
h l i m i n e j i b w w w . d h a k i -m a t h . c o m
Exercice n°1. Les nombres suivants sont-ils en progression arithmétique ? 2364510 ; 3475621 ; 4586732 Exercice n°2. Parmi ces suites, lesquelles sont arithmétiques ? :
u0 = 1 u +1 + u = 1 n
n
u0 = 3 u − u +1 = 4 n
n
Exercice n°3. ( un ) est une suite arithmétique de raison r .
= 2 et r = = − 3 . Calculer u10 , u20 , u100 . On sait que u0 = 2 et u1 = 5 . Calculer r et et u2 et u5 On sait que u0 = 2 et u2 = 10 . Calculer r et et u1 , u5 On sait que u1 = 10 et u10 = 28 . Calculer r et et u0 , u5 On sait que u5 = 17 et u10 = 12 . Calculer r et et u0 , u1 Sachant que u20 = −52 et u51 = −145 , explicitez u
1) On sait que u0 2) 3) 4) 5) 6)
7) Sachant que u22
n
= 15 et r = =
4
, explicitez un
= u10 + 25 , explicitez u 9) Une suite arithmétique u est telle que u2 + u3 + u4 = 15 et
8) Sachant que u0
= 3 et que
3
u20
n
u6
= 20 .Calculez
u0
Exercice n°4. Albert place un capital initial C 0 = 3000 € à un taux annuel de 6%, les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6% du capital initial (les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, comme ce serait le cas pour des intérêts composés). On note C n le capital d’Albert au bout de n années, capital exprimé en euros. 1) Montrer que, pour tout entier n, Cn +1
= C + 180 . Qu’en déduit-on? n
2) Pour tout entier n, exprimer C n en fonction de n. 3) De quel capital Albert dispose-t-il au bout de 10 ans? 4) Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé? 5) Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il 10000 € ? Exercice n°5. Montrer que la suite ( un ) des aires définies par la figure ci-dessus est arithmétique. Exercice n°6. Combien y a-t-il de nombres impairs entre 179 et 1243 ? de nombres pairs? Exercice n°7. 1) En reconnaissant reconnaissant la somme des termes d'une suite arithmétique, calculer
S 1
=
1 3
+1+
5 3
+ .... +
19 3
+7
2) Calculer S2 = 5+2-1-4-7…-34 3) Calculer la somme des entiers multiples de 7 qui sont plus grands que 100 et plus petits que 1000. 4) Exprimer la somme Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n en fonction de n. Exercice n°8. i=n
Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u 0 = 2 et, n étant un nombre entier,
∑u
i
= 6456 . Calculez n.
i =3
Exercice n°9. Une horloge sonne toutes les heures, de 1 coup à 1 heure du matin à 24 coups à minuit. Quel est le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures ? Page 1/11
Cours et exercices de mathématiques , Exercice n°10. 1) Les nombres – 5, 8, 21 sont les trois termes consécutifs d’une suite. Est-ce une suite arithmétique ou géométrique ? Quelle est la raison de cette suite ? 2) Les nombres –5, 10, –20 sont les trois termes consécutifs d’une suite. Est-ce une suite arithmétique ou géométrique ? Quelle est la raison de cette suite ? Exercice n°11. Les nombres suivants sont-ils en progression géométrique ? 346834 ; 3434 ; 34 Exercice n°12. Parmi ces suites, lesquelles sont géométriques :
u0 = 100 6 = + u u un n n+1 100
u0 = 7 2 un+1 = un
Exercice n°13. ( un ) est une suite géométrique de raison r .
1
1) On sait que u0
= 32 et r =
2) On sait que u1
=
3) On sait que u0
= 1 et u1 = . Calculer r, u2 et u5
5) On sait que u1
= −1 et u10 = 1 . Calculer r , u0 et u5
1 125
4
. Calculer u2 , u3 , u5 , u8 .
et r = 5 . Calculer u0 , u5 , u7 , u20 .
1
3 4) On sait que u0 = 3 et u2 = 12 . Calculer r , u1 et u5
Exercice n°14. Montrer que ces suites sont géométriques, et préciser leur raison et leur premier terme. un
= ( −4 )
2 n +1
vn
= 2n ×
1 n +1
3
wn
n
= ( −1) × 23n +1
Exercice n°15. En reconnaissant la somme des termes d'une suite géométrique, calculer :
1
−
1
2 − 2 + 2 2.... − 64 + 64 2 −128 4) 2 + 28 + 29 + .... + 2 21
2 3 4 17 5) − + x − x + x .... − x
32
+ ...... −
1
2)
8 16
+
1
1) 18 + 54 + 162 + ..... + 39366
1048576
3)
7
Exercice n°16. On suppose que chaque année la production d'une usine subit une baisse de 4%. Au cours de l'année 2000, la production a été de 25000 unités. On note P 0 = 25000 et P n la production prévue au cours de l'année 2000 + n. a) Montrer que P n est une suite géométrique dont on donnera la raison. b) Calculer P 5. c) Si la production descend au dessous de 15000 unités, l’usine sera en faillite, quand cela risque-t-il d’arriver si la baisse de 4% par an persiste ? La réponse sera recherchée par expérimentation avec la calculatrice. Exercice n°17. La location annuelle initiale d'une maison se monte à 7000 €. Le locataire s'engage à louer durant 7 années complètes. Le propriétaire lui propose deux contrats : 1) Contrat n°1 Le locataire accepte chaque année une augmentation de 5 % du loyer de l'année précédente a) Si u1 est le loyer initial de la 1 ère année, exprimer le loyer u n de la nième année en fonction de n b) Calculer le loyer de la 7ème année c) Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation 2) Contrat n°2 Le locataire accepte chaque année une augmentation forfaitaire de 400 € a) Si v1 est le loyer initial de la 1 ère année, exprimer le loyer v n de la nième année en fonction de n b) Calculer le loyer de la 7ème année c) Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation 3) Conclure : quel contrat est le plus avantageux ? Page 2/11
Cours et exercices de mathématiques Exercice n°18. Nous avons tous 2 parents, 4 grands parents, 8 arrières grands-parents, etc… En supposant que nous appartenons à la génération 1, que nos parents appartiennent à la génération 2, nos grands parents à la génération 3, etc… : 1) Combien d’ancêtres figurent à la génération 10 ? 2) Si on pouvait remonter jusqu’en l’an 1000 (soit environ à la 40ème génération), combien y aurait-il d’individus au total sur l’arbre généalogique (de la 1 ère génération c’est à dire nous, jusqu’à la 40 ème génération comprise) ? Que penser de ce résultat ? Exercice n°19. Un roi de Perse voulut récompenser l'inventeur du jeu d'échecs. Celui-ci demanda au roi de déposer un grain de blé sur la première case, 2 grains sur la seconde, 4 grains sur la troisième et ainsi de suite en doublant à chaque fois le nombre de grains jusqu'à la 64ème case. 1) Combien de grains de blé devront être posés sur l'échiquier ? 2) En admettant que 1024 grains de blé pèsent 100 grammes, calculer la masse de ces grains de blé. 3) En 1989, la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, combien d'années de production faudrait-il pour remplir l'échiquier ? 4) Sachant que le roi pose un grain à la seconde, et qu'il commença lors du big-bang, a-t-il aujourd'hui terminé ? Exercice n°20. On déchire en deux une feuille de papier de 0,1 mm d’épaisseur. On superpose les deux morceaux que l’on déchire de nouveau en deux. Quelle épaisseur de papier obtiendrait-on si on pouvait répéter l’opération au total trente fois (c’est à dire répéter 29 fois ce que l’on vient de faire) ? Exercice n°21. (bac) On considère la suite (un ) de réels strictement positifs, définie par : u0 = 2 , et pour tout n ∈ , ln(un +1 ) = 1 + ln(un ) . 1) Exprimer un +1 en fonction de un et préciser la nature de la suite (un ) . 2) Déterminer la monotonie de la suite (un ) , et préciser sa limite. n
3) Exprimer la somme
∑u
k
en fonction de n.
k = 0 n
4) Exprimer la somme
∑ ln(u
k
) en fonction de n. En déduire le calcul de
k =1
Page 3/11
u1 × u2 × ... × un en fonction de n.
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Cours et exercices de mathématiques,
SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES CORRECTION Exercice n°1 Puisque 3475621-2364510=111111 et 4586732-3475621,=111111, ces nombres sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 111111 Exercice n°2 La suite définie par u3
u0 = 1 n’est pas arithmétique car si on calcule u u 1 + = 1 n n +
u1
= 1 − u0 = 0 ,
u2
= 1 − u1 = 1 ,
= 1 − u2 = 0 , etc…, on s’aperçoit que la différence entre deux termes consécutifs n’est pas toujours la même. La suite
est alternée, un terme sur deux valant 0, l’autre valant 1 La suite définie par
u0 = 3 u0 = 3 est arithmétique car elle se redéfinit par , qui est caractéristique d’une u u u u 4 4 − = = − n n n +1 n+1
suite arithmétique de raison –4. Exercice n°3 1) Si u0 = 2 et r = −3 , alors pour tout n ∈ , un
= −298 . 2) On calcule r = u1 − u0 = 5 − 2 = 3 , donc pour tout entier calculer u2 = 8 et u5 = 17 u20
3)
= −58 et
= u0 + n × r = 2 − 3n , ce qui nous permet de calculer
un
5) un
u2
Puisque
u10
Puisque
= u0 + 2 × r , on en déduit que
r
n ∈ , un
1
= u1 + 9 × r , on en déduit que
u10
Puisque
entier
n∈,
= ( u10 − u1 ) = 2 , et ainsi pour tout entier
n∈ ,
=
( u 2 − u0 ) = 4 ,
8) Puisque u20
pour
tout
1
r
u0
= 8 et
u5
= 18
1
= ( u10 − u5 ) = −1 , et ainsi pour tout entier 5
r
=
1
( u51 − u20 ) =
31 = u20 + ( n − 20) × r = −52 + ( −3 )( n − 20) = −3n + 8
7) Pour tout entier n ∈ , un
ainsi
9
= u5 + 5 × r , on en déduit que
= u20 + ( 51 − 20 ) × r , on en déduit que
et
= 22
= u5 + ( n − 5 ) × r = 17 − ( n − 5 ) = 22 − n ce qui nous permet de calculer
6) Puisque u51
un
r
= u0 + n × r = 2 + 3n ce qui nous permet de
= u1 + ( n − 1) × r = 10 + 2 ( n −1) = 2 n + 8 ce qui nous permet de calculer
n ∈ , un
= −28 ,
u100
2 un = u0 + n × r = 2 + 4 n ce qui nous permet de calculer u1 = 6 et u5
4)
u10
3
= u22 + ( n − 22 ) × r = 15 + ( n − 22 ) = 4
3
u0
1 31
n−
= 22 et
u1
n∈,
= 21
( −145 + 52 ) = −3 , et ainsi pour tout entier
3
4 2 = u10 + ( 20 − 10 ) × r , on en déduit que 10r = 25 ⇔ r = 2, 5 , et ainsi pour tout entier
n∈ ,
= u0 + n × r = 3 + 2,5n
9) Puisque la suite
u est
arithmétique de raison r , u2
+ u3 + u4 = u2 + u2 + r + u2 + 2 r = 3u2 + 3r , et
15 u2 + u3 + u4 = 15 ⇔ u2 + r = = 5 système a pour solution 3 u6 = 60 ⇔ u2 + 4 r = 20 un = u0 + ( n − 2 ) × r = 0 + 5 ( n − 2 ) = 5 n − 10 , on en déduit u0 − 10
u6
= u2 + 4r . Le
u2 = 0 . Puisque pour tout entier r 5 =
n∈ ,
Exercice n°4 1) Le montant des intérêts qui s’ajoutent au capital d’une année C n est égal à 3% de 3000 €, c’est-à-dire à
3000 ×
6 100
terme C 0
= 180 . Ainsi
Cn +1
= C n + 180 . La suite ( C n ) est donc une suite arithmétique de raison 180 et de premier
= 3000
Page 4/11
Cours et exercices de mathématiques 2) Pour tout n ∈ , Cn
= C0 + n × r = 3000 + 180 n 3) Au bout de 10 ans, Albert disposera de C 10 = 3000 + 180 ×10 = 4800 € ≥ 2C0 ⇔ 3000 + 180 n ≥ 6000 ⇔ n ≥
4) On résout Cn
3000 180
. Comme n ∈ , n ≥ 17 . Le capital d’Albert aura donc
doublé au bout de 17 ans
≥ 10000 ⇔ 3000 +180 n ≥ 10000 ⇔ n ≥
5) On résout Cn
7000 180
. Comme n ∈ , n ≥ 39 . Le capital d’Albert aura
donc atteint 10000 € au bout de 39 ans Exercice n°5
( r ) la suite des rayons des cercles. ( r ) est une suite arithmétique de raison
Notons
n
n
An
et de premier terme égal à
= 1 + ( n − 1) . Les aires des demi disques sont donc égales à : 2
2
1 1 1 1 = π ( rn ) = π 1 + ( n − 1) = π n + 2 2 2 2 2 2 1
2
2
1
r 1 = 1 . Ainsi, pour tout entier n ≥ 1 , rn
1
1
2
2
1 1 1 1 1 Pour tout entier n ≥ 1 , un = An − An−1 = π n + − π ( n − 1) + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = π n + − n n + + n = π n + 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 1 Ainsi, pour tout entier n ≥ 1 , un = π n + 4 2 1
2
Pour montrer que la suite ( un ) des aires est arithmétique, on calcule la différence enter deux termes consécutifs : Pour tout entier n ≥ 1 , un +1 − un
=
1 1 1 1 1 π 1 + + − + = n n π π . La suite ( u ) est donc arithmétique de raison n 4 4 2 4 2 4
1
π
Exercice n°6 Les nombres impairs sont les termes de la suite arithmétique de raison 2, et de premier u0
= 1 . Ainsi ils sont de la forme ≤ 1243 ⇔ 179 ≤ 2 n +1 ≤ 1243 ,
= 2n + 1 . On cherche à dénombrer les nombres impairs tels que 179 ≤ un 179 − 1 1243 −1 , c’est-à-dire correspondant à 89 ≤ n ≤ 621 . Il y a 621 − 89 + 1 = 533 entiers n tels que ⇔ ≤n≤
un
2
2
89 ≤ n ≤ 621 , donc il y a 533 nombres impairs entre 179 et 1243 Les nombres pairs étant les termes de la suite arithmétique de raison 2, et de premier v0 vn
= 2n . On cherche donc les entiers tels que 179 ≤ 2 n ≤ 1243 ⇔
179 2
≤n≤
1243 2
= 1 . Ainsi ils sont de la forme
. Comme n ∈ , 90 ≤ n ≤ 621 . Il y
a 621-90+1=532 nombres impairs entre 179 et 1243. Exercice n°7 1) Si on note
( u ) la suite arithmétique de raison
Résolvons un
=7⇔ +
correspond
à
S 1
= 11 ×
nombre de termes
n
1
2
3
3
la
dernier terme
+ 2
u10
3
et de premier terme
= 7 ⇔ n = 10 . Ainsi 7 correspond à
somme
premier terme
u0
n
2
S 1
1
= 11× 3
+7 2
= u0 + u1 + .... + u10
=
des
121 3
Page 5/11
11
1 3
, on a, pour tout n ∈ , un
u10 , et la somme
premiers
S 1
termes
=
1 3
+1+
de
5 3
1
2
3
3
= +
+ .... +
(u ) . n
19 3
n.
+7
Ainsi
Cours et exercices de mathématiques , 2) Si on note
( u ) la
suite arithmétique de raison -3 et de premier terme 5, on a, pour tout n ∈ , un = 5 − 3n .
n
Résolvons un = −34 ⇔ 5 − 3n = −34 ⇔ n = 13 . Ainsi -34 correspond à u13 , et la somme S 2 = 5+2-1-4-7…-34 correspond
S 2
=
à
la
somme
premier terme
dernier terme
u0
+ u10
14 ×
2
nombre de termes
= 14 ×
= u0 + u1 + .... + u13
S 2
5 − 34 2
des
14
premiers
termes
(u ) .
de
n
Ainsi
= −203
3) Les multiples de 7 sont les termes de la suite arithmétique de raison 7, et de premier u0 = 0 . Ainsi ils sont de la forme un
= 7 n . On cherche à dénombrer les termes de la suite tels que 100 ≤ un ≤ 1000 ⇔
100 7
≤n≤
1000 7
,. Comme n ∈ ,
15 ≤ n ≤ 142 . Il y a 142-15+1=128 multiples de 7 entre 100 et 1000. premier terme
128 ×
La somme de ces 128 multiples est donc égale à
dernier terme
u15
+ u142
2
nombre de termes
= 128 ×
105 + 994 2
= 70336
Si on note ( un ) la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1, on a, pour tout n ∈ , un = 1 + ( n − 1) = n , et ainsi la somme S n = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n est celle des n premiers termes de la suite ( un )
Ainsi pour tout n ∈ , S n =
×
n nombre de termes
premier terme
dernier terme
1 +
n
=
2
(
)
n n +1
2
Exercice n°8 i =n
Si
( u ) est n
une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme u0 = 2 , la somme
∑u
i
des
n-3+1
termes de
i =3
u3
= u0 + 3r = 2 + 3 × 5 = 17
n − 2) × (
premier terme
dernier terme
17 + 2 + 5n
nombre de termes
2
=
i
un
( n − 2 )(19 + 5n )
i =n
∑u
à
= 6456 équivaut alors à
2
= u0 + nr = 2 + 5n
s’exprime
en
fonction
de
n
par :
.
( n − 2 )(19 + 5n )
2
2
= 6456 ⇔ 5 n + 9 n − 38 = 12912 , c’est-à dire à 5n + 9n − 12950 = 0 .
2 On résout cette équation du second degré en calculant son discriminant, et on obtient deux solutions distinctes, dont la seule entière positive est n = 50 i =3
Exercice n°9 Notons ( un ) la suite correspondant au nombre de coups d’horloge, de u1 = 1 , à 1 heure du matin, à u24 = 24 , à minuit. Le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures est égal à la somme u1 + u2 + ...u24 des 24 premiers termes de cette
24 ×
suite arithmétique de raison 1. Celle somme vaut
nombre de termes
premier terme
dernier terme
1 + 24 2
= 300
Remarque : On pouvait appliquer la formule 1 + 2 + ...n =
(
)
n n +1
2
, démontrée dans l’exercice n°7, en remplaçant n par 24
Page 6/11
Cours et exercices de mathématiques Exercice n°10 1) Les différences 8-(-5)=13 et 21-8=13 étant égales, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 3
8
Comme les quotients
21
et
−5
8
sont différents, ces nombres ne sont pas les termes consécutifs d’une suite géométrique.
2) Les différences 10-(-5)=15 et -20-10=-30 n’étant pas égales, ces nombres ne sont pas les termes consécutifs d’une suite arithmétique
10
En revanche, les quotients
−20
= −2 et
−5
= −2 étant égaux, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite
10
géométrique de raison -2 Exercice n°11
3434
Les quotients
=
346834
géométrique de raison
1
34
et
101
1
=
3434
101
étant égaux, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite
1 101
Exercice n°12
u0 = 7 n’est pas géométrique, car le calcul de 2 = u u +1
La suite définie par
n
u
montrent que
2
≠
u
u
1
= u02 = 7 2 = 49 et de
u
= u12 = 492 = 2401
2
n
u
1
u
1
0
u0 = 100 u0 = 100 La suite définie par se réécrit , donc est une suite géométrique de raison 1,06 et de 6 1,06 = u u = u u + u +1 +1 100 n
n
n
n
n
premier terme 100 Exercice n°13 1)
Si
= 32
u
0
1
=
et
r
4
2
,
on
calcule
2
u
5
= u3 × r
2
2) Puisque
u
5
= 5 ,
u
7
1 1 1 = × = et 2 4 32 1
= 125 et
3) Puisque
u
1
u
20
=
520 725
=
u
0
5 20 5
4) Puisque
u
2
=
1 9
et
u
5
=
formule
u
u
r
1
u
5) Puisque
u
10
2
r
=
u
2
=
12
u
n
3
n
= u1 × r 9 , on déduit
= u1 × r −1 = ( −1) × ( −1) n
n
−1
= u0 × r =
5
n
n
u
= u0 × r
n
n
= 4 , ce qui nous fournit deux solutions : u
= 6 et
u
= −96
n
9
r
=
u
10
u
1
u
4
=
1 2
,
n
625
, on déduit
1 = , on déduit 3
243
= u0 × r = 3 × 2 , on déduit successivement
n
1
n
1 = 3 = , et à partir de la formule 1 3
= u0 × r = 3 × ( −2 ) , on déduit successivement
n
u
1
u
=
n
n
= u2 × r = 2 ×
3
1 1 = = 125 = , et à partir de la formule r 5 625
0
partir de la formule
3
1
= u0 × r 2 , on déduit
2
u
= 516
4
= u0 × r , on déduit u
puis
1
0
successivement
= u0 × r
u
= u0 × r , on déduit
u
= u5 × r
8
2
1 = 32 × = 2 , 4
1 1 = × = 32 4 2048 1
3
u
u
2
=
1
−1
u
1
1
= −6 et
5
u
5
= −1 , ce qui nous fournit :
= ( −1) . On en déduit successivement n
Page 7/11
u
0
= 1 et
u
5
r =
2 ou
r =
-2. Si
= 2 , à
r
= 96 . Si r = −2 , à partir de la
r
=
= −1
-1. Ainsi, pour tout
n
∈,
Cours et exercices de mathématiques , Exercice n°14 2( n +1) +1
un +1
1) On calcule
un
( −4 ) = 2 ( −4 )
www.dhaki-math.com 2n+ 3
( −4 ) 2 + 3− ( 2 +1) 2 4 4 = = − = − = 16 , ( ) ( ) 2 +1 ( −4 ) n
n +1
n
géométrique de raison 16, et de premier terme
2n +1 ×
vn +1
2) On calcule
=
de premier terme
(
3
= 20 ×
n +1
)+1
=
1
n
v0
3) On calcule :
wn
suite
= ( −4 )
2×0 +1
n
= −4
2n+1 3n
× +2
3n+1 2n
2
= , ce qui prouve que la suite ( v ) est géométrique de raison n
3
2 3
, et
3n+1 1 1
=
30 +1
3
n+
wn +1
u0
( u ) est
ce qui prouve que la suite
1
2 ×
vn
n
n+
1 1 ( −1) × 23( +1)+1 ( −1) × 23 + 4 +1− 3 +4 − ( 3 +1) 1) = = = − ×2 = −23 = −8 , ( 3 +1 3 +1 ( −1) × 2 ( −1) × 2 n
n
n
n
n
n
n
n
n
ce qui prouve que la
n
( w ) est géométrique de raison -8, et de premier terme n
0
w0
= ( −1) × 23×0+1 = 2
Exercice n°15 1) Si on note
( u ) la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme
Résolvons
un
n
= 39366 ⇔ 18 × 3 = 39366 ⇔ n = 7 . n
18 + 54 + 162 + ..... + 39366 correspond à la somme
1−
q
1− u0
×
premier terme
= 18 , on a, pour tout
39366
correspond
à
n ∈ , un
u7 ,
et
+ u1 + .... + u7 des 8 premiers termes de
u0
= 18 × 3 . n
la
somme
(u ) . n
Ainsi
nombre de termes
q
raison
Ainsi
u0
= 18 ×
1 − 38 1−3
= 59040
raison
( u ) la
2) Si on note
n
suite géométrique de raison
q =
1
− et de premier terme 2
u0
1
= , on a, pour tout 8
n∈ ,
1 1 1 1 1 1 1 correspond à un = × − . Résolvons un = − ⇔ × − = − ⇔ n = 17 . Ainsi − 8 2 1048576 8 2 1048576 1048576 1 1 1 1 correspond à la somme u0 + u1 + .... + u17 des 18 premiers termes de u17 , et la somme − + + ...... − 8 16 32 1048576 n
n
raison
nombre de termes
18
1 1− − 18 1 1 1 2 = × = 1 − ( u ) . Ainsi u0 × 1 1 8 12 2 − q premier 1− − terme raison 2 3) Si on note ( u ) la suite géométrique de raison q = − 2 et de premier terme 1−
n
q
n
un
(
)
u0
= 2 , on a, pour tout
n∈,
n
= 2× − 2 .
Résolvons
un
(
= −128 ⇔ 2 × − 2
)
n
= −128 ⇔ n = 13 .
Ainsi
-128
2 − 2 + 2 2 − 4 + 4 2.... − 64 + 64 2 −128 correspond à la somme
1−
( u ) . Ainsi n
u0
×
premier terme
raison
q
1−
nombre de termes
q
raison
= 2×
14
( ) 1− (− 2 )
1− − 2
=−
127 2 2 +1
Page 8/11
u0
correspond
à
u13 ,
et
la
somme
+ u1 + .... + u13 des 14 premiers termes de
Cours et exercices de mathématiques , 4) Si on note n
suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u0
( un ) la
= 1 , on a, pour tout n ∈ ,
un = 1 × ( 2 ) = 2 . n
La somme 27 + 28 + 29 + .... + 2 21 correspond donc à u7 + u8
raison
nombre de termes
1− q u7 ×
Ainsi
premier terme
5) Si on note
+ .... + u 21 de 21-7+1=15 termes consécutifs de ( un ) .
15
= 27 ×
1− q
1 − ( 2)
1− (2)
= 27 ( 215 − 1)
raison
( un ) la suite géométrique de raison
q = − x et de premier terme, la somme − x + x − x + x .... − x 2
3
4
17
correspond à la somme u0 + u1 + .... + u16 des 17 premiers termes de ( un ) . nombre
raison de termes 1− q 17 1 − ( − x ) 1 + x17 Ainsi u0 × = ( − x ) × = ( −x) × 1 1 1+ x − q − − x ( ) premier
terme
raison
Exercice n°16 a) Une diminution de 4% se traduisant par une multiplication par 1 −
4 100
= 0,96 , on a donc Pn+1 = 0,96 P n . La suite
( P n ) est donc une suite géométrique de raison 0,96. b)
On
en
déduit
ainsi
que
pour
tout
n∈,
P n = 25000 × 0, 96 , n
ce
qui
permet
de
calculer
P 5 = 25000 × 0, 96 ≈ 20384, 32 5
c) On cherche pour quelle valeur de n on aura
P n = 25000 × 0,96 ≤ 15000 ⇔ 0, 96 ≤ n
n
Grâce à la calculatrice, on trouve n ≥ 13 Remarque : On peut aussi écrire :
3 5
.
(3 )
ln 3 5 0,96 ≤ ⇔ n ln ( 0,96 ) ≤ ln ⇔ n ≥ ≈ 12, 51 5 ln ( 0,96 ) 5 Comme n ∈ , on retrouve bien n ≥ 13 n
3
Exercice n°17 1) a) Le loyer annuel du contrat n°1 peut être modélisé par une suite
( un ) géométrique de raison 1,05 (une augmentation
de 5 % du loyer de l'année précédente se traduit par une multiplication par 1 +
u1 = 7000 . Pour tout n ≥ 1 , le loyer de la nième année vaut un = 7000 ×1,05 b) Le loyer de la 7ème année vaut u7
n −1
5 100
= 1, 05 ), et de premier terme
,
= 7000 ×1, 05 6 ≈ 9380, 67 € à 0,01 € près
c) La somme payée au bout de 7 année d’occupation vaut u1 ×
1 − 1, 05
6
1 − 1, 05
≈ 47613, 39 €
( vn ) arithmétique de raison 400 € et de premier n ≥ 1 , le loyer de la nième année vaut vn = 7000 + 400 ( n −1) .
2) a) Le loyer annuel du contrat n°2 peut être modélisé par une suite terme v1
= 7000 . Ainsi, pour tout
b) Le loyer de la 7ème année vaut v7
= 7000 + 400 × 6 = 9400 €
c) La somme payée au bout de 7 année d’occupation vaut u1 + u 2
+ ....u6 = 6 ×
3) Le contrat le plus avantageux pour le locataire est le contrat n°1
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u1 + u6
2
= 49200 €
Cours et exercices de mathématiques , Exercice n°18 1) En notant un +1 =
2un .
un = u1 × 2
( u ) la suite représentant le nombre d’individus à la génération n , on a u1 = 1 , et pour ( u ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 1 . Ainsi, pour
tout n ≥ 1 ,
n
tout n ≥ 1 ,
n
n −1
=2
n −1
9
Le nombre d’ancêtres figurent à la génération 10 vaut alors u10 = 2 = 512 2) Le nombre d’invidus figurant sur l’arbre généalogique de la 1 ère à la 40ème génération comprise serait égal à u1 + ....u40 = u1 ×
1 − 2 40
=2
1− 2
40
12
−1 ≈ 1,1 ×10 individus, soit plus de 1100 milliards d’individus ! Ce chiffre est bien sûr
impossible et s’explique par le fait que l ’on ne tient pas compte des mariages entre cousins Exercice n°19 1) En notant un +1 =
2un .
un = u1 × 2
( u ) la suite représentant le nombre de grains de blé sur la nième case. On a u1 = 1 , et pour tout ( u ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 1 . Ainsi, pour tout n
n
n −1
=2
n ≥ 1 , n ≥ 1 ,
n −1
Le nombre de grains de blé posés sur l’échiquier vaudra alors : u1 + ....u64 = u1 ×
1 − 264
=2
1− 2
64
19
−1 ≈ 1,8 ×10 . 19
2) Une règle de trois nous permet de conclure que si 1024 grains de blé pèsent 100 grammes, 1,8 ×10 grains de blé
1,8 ×1019
pèseront 100 grammes,
1024
18
12
×100 ≈ 1,8 ×10 grammes, soit environ 1,8 ×10 tonnes
3) Une règle de trois nous permet de conclure que si la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, il faudra
1,8 ×1012 3 ×107
≈ 60048 ans pour produire la quantité de blé nécessaire !
4) Si on pose un grain par seconde, il faudra la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, il faudra 19
11
environ 1,8 ×10 secondes pour remplir l’échiquier, soit environ 5,8 ×10 années pour remplir l’échiquier, soit environ 580 000 000 000 années (580 milliards d’années !) Exercice n°20 En notant ( un ) l’épaisseur en dixièmes de mm obtenu après n superpositions de morceaux de feuille. On a donc u1 = 2 , et pour tout n ≥ 1 , un+1 = 2un . ( un ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 2 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 , un = 2 × 2
n −1
n
= 2 dixièmes de mm. Au bout de 29 répétitions (c’est-à-dire à la 30 ème étape), l’épaisseur de
papier atteindrait u30 = 2
30
= 1073741824 dixièmes de millimètres, soit environ 107 kilomètres !
Exercice n°21 1) Puisque pour tout n ∈ , ln(un +1 ) = 1 + ln(un ) = ln(e ) + ln(un ) = ln(eun ) , on en déduit que pour tout n ∈ , un +1 = eun . La suite (un ) est donc une suite géométrique de raison e et de premier terme u0 =
2
2) Puisque la raison de cette suite est e > 1 et que u0 > 0 , on en déduit que la suite (un ) est strictement croissante et que
lim
n→+∞
un = +∞ n
3) Puisque la suite (un ) est une suite géométrique de raison e et de premier terme u0 = 2 , la somme
∑u
k
vaut donc
k = 0 nombre de termes
u0 ×
premier terme
1− e 1−
n +1
e
= 2×
1 − e n +1 1− e
=
2 − 2en +1 1−e
raison
4) Puisque la suite (un ) est une suite géométrique de raison n
n ∈ , u n = u0 × e =
e et
de premier terme u0 = 2 , on établit que pour tout
2e n .
(
Ainsi, pour tout n ∈ , ln ( un ) = ln 2e
n
) = ln 2 + ln ( e ) = ln 2 + n ln(e) = ln 2 + n . n
Page 10/11
Cours et exercices de mathématiques n
La somme
∑ ln(u
k
) vaut donc :
k =1 n
n
n
n
∑ ln(uk ) = ∑ ( ln 2 + k ) = ∑ ln 2 + ∑ k = n ln 2 + k =1
En
k =1
utilisant
k =1
les
k =1
propriétés
n
ln ( u1 × u2 × ... × un ) = ∑ ln(uk ) = k =1
(
de
)
n n + 1 + 2n ln 2
2
(
)
n n +1
2 la
=
(
)
n n + 1 + 2 n ln 2
2 fonction
logarithme (
népérien, )
n n +1 + 2 n ln 2
on déduit que u1 × u2 × ... × un = e
Page 11/11
2
puisque
