TUGAS PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK ANALISIS TENTANG NILAI-NILAI MAHASISWA FAKULTAS P, Q, R DAN S DENGAN MENGGUNAKAN STEM AND LEAF DAN BOXPLOT (1)
Oleh:
Arlisa Jati Wulandari Listyana Dyah Ayu Palupi (2) (1)
[email protected]
1307100051 1307100073 (2)
[email protected]
ABSTRAK Lang Langka kah h awal awal dala dalam m meng mengan anal alis isis is data data adal adalah ah memp mempel elaj ajar ari i karakt karakteri eristi stik k dari dari data data terseb tersebut. ut. Untuk Untuk itu, itu, perlu perlu diketa diketahu huii bagai bagaima mana na pemusat pemusatan an dan penyebaran penyebaran data dari nilai tengahn tengahnya, ya, nilai nilai ekstrim ekstrim atau outlierny outliernya a dan beberap beberapa a penguku pengukuran ran lainnya. lainnya. Terdapat Terdapat beberap beberapa a teknik teknik untuk untuk mempela mempelajari jari karakteristik karakteristik dan distribusi distribusi data. data. Salah Salah satu alat yang digun digunaka akan n untuk untuk mempe mempelaj lajari ari karakt karakteri eristi stik k dan dan distri distribus busii data data terse tersebut but adalah adalah boxplot dan stem and leaf. Boxplot Boxplot adalah adalah salah salah satu cara dalam dalam statistik deskriptif untuk menggambarkan secara grafik data numeris melalui lima lima ukura ukuran, n, yaitu yaitu nilai nilai obser observas vasii terke terkecil cil,, kuart kuartil il teren terenda dah h atau atau kuart kuartil il pertama (Q1), median (Q2), kuartil tertinggi atau kuartil ketiga (Q3) dan nilai observasi terbesar. Sedangkan stem and leaf adalah penyajian suatu data yang berbentuk stem (dahan) dan leaf (daun) yang disusun perbaris secara vertikal. vertikal. Berdasar Berdasarkan kan data yang dianalis dianalisis, is, yaitu nilai-nilai nilai-nilai mahasisw mahasiswa a di empat fakultas, P,Q, R dan S, dapat diperoleh boxplot dan stem and leaf-nya untuk untuk menge mengetah tahui ui karak karakter terist istik ik suatu suatu data data denga dengan n analis analisis is statis statistik tika a deskriptif sehingga dapat dianalisis secara visual. Kemudian dapat diambil suatu suatu kesimpul kesimpulan an bahwa bahwa fakultas fakultas Q memiliki memiliki nilai rata-rata rata-rata lebih bagus bagus daripada ketiga fakultas yang lain Kata Kunci: Boxplot, stem and leaf, outliers
1.
Pendahuluan
Statistika adalah sekumpulan konsep dan metode untuk mengumpulkan data, menyajikan data, menganalisis data dan menarik kesimpulan dalam situasi ada ada keti ketida dakp kpas astitian an dan dan vari varias asi.i. Seba Sebaga gaii peng pengan anta tarr dala dalam m mata mata kuli kuliah ah Penge Pengenda ndalilian an Kuali Kualitas tas Statis Statistik tik,, mahas mahasisw iswa a dihar diharusk uskan an untuk untuk tahu tahu tentan tentang g bagaimana cara menyajikan data untuk mempermudah proses menganalisis. Penyajian data ini diperlukan untuk mendukung atau memperkuat analisis karena didasarkan atas bukti-bukti yang ada. Salah satu metode yang digunakan untuk menyajikan data adalah dengan membentuk boxplot dan stem and leaf . Boxplot dan stem and leaf ini digunakan untuk mempelajari karakteristik dan distribusi dari data tersebut. Boxplot dan stem and leaf juga dapat menunjukkan bagaimana pemusatan dan penyebaran data data dari dari nila nilaii teng tengah ahny nya, a, nila nilaii ekst ekstri rim m atau atau outlier -nya - nya,, dan dan bebe bebera rapa pa pengukuran lainnya. Hal yang dibahas dalam makalah ini lebih dikhususkan dikhususkan pada penyajian data stem and and leaf leaf . Untuk menggunakan boxplot dan stem Untuk itu, itu, digun digunaka akan n nilai nilai-ni -nilai lai mahasiswa di fakultas P, Q, R dan S yang akan dianalisis sehingga dapat diperoleh boxplot dan stem and leaf -nya -nya untuk mengetahui karakteristik data dan distr distribu ibusi si dari dari data data terseb tersebut. ut. Adapun Adapun permas permasala alahan han yang yang diang diangkat kat dalam dalam makalah ini adalah bagaimana interpretasi nilai-nilai mahasiswa dari Fakultas P,Q,R, dan S dengan menggunakan menggunakan diagram stem and leaf dan diagram boxplot , sehingga nantinya dapat dibandingkan nilai antar mahasiswa dari empat fakultas yang berbeda.
1
2.
Landasan Teori 2.1 Diagram Stem and Leaf Diagram stem and leaf adalah suatu bentuk penyajian data yang berbentuk stem (dahan) dan leaf (daun) yang disusun per baris secara vertikal. Adapun fungsi dari diagram stem and leaf adalah sebagai berikut :
a. untuk menguji bentuk dan penyabaran atau pemusatan data b. untuk mengetahui kesimetrisan data c. untuk menampilkan nilai data asli dengan format biner d. untuk melihat dan memeriksa pola distribusi data e. untuk melihat langsung frekuensi komulatif data dan letak median f. untuk melihat urutan data dari nilai paling kecil ke nilai yang paling besar Diagram stem and leaf tersusun atas 3 komponen, antara lain : a. Daun (Leaf ) Kolom ‘Leaf ’ terletak di bagian kanan. Masing-masing nilai dari kolom daun mewakili digit dari sebuah data yang nilainya ditenukan oleh leaf unit . Jika leaf unit bernilai 1, berarti digit daun bernilai satuan, sedangkan apabila leaf unit bernilai 10, berarti tiap digit daun bernilai puluhan dan seterusnya. b. Dahan (Stem) Kolom ‘Stem’ terletak di bagian tengah. Nilai-nilai pada kolom ‘ Stem’ mewakili digit di sebelah kiri dari digit daun. Misalnya nilai dahan 1 dan leaf unit nya 1, hal tersebut menunjukkan data bernilai lebih besar sama dengan 10 dan kurang dari 20. Sebagai contoh : misalnya data bernilai 15, dengan leaf unit 1, maka dalam kolom ‘stem’ diwakili dengan angka 1 dan pada kolom ‘ leaf ’ diwakili dengan angka 5. c. Frekuensi Kolom yang terletak di bagian kiri disebut dengan kolom ‘Frekuensi’. Tiap baris pada kolom ‘Frekkuensi’ ini bernilai komulatif, dihitung dari baris atas dan baris bawah sampai baris ke (median-1) atau (median+1) sedangkan nilai median (biasanya frekuensi baris letak median terdapat tanda kurung) menunjukkan frekuensi dari daun yang ada di baris tersebut. 2.2
Diagram Boxplot Boxplot adalah suatu alat yang tepat untuk menyampaikan informasi variasi
dan penempatan atau lokasi pada data yang telah ditetapkan, terutama untuk mendeteksi dan menggambarkan perubahan variasi dan lokasi antar kelompok data yang berbeda. Adapun fungsi dari diagram boxplot adalah sebagai berikut : a. Dapat menunjukan kesimetrisan dan kecondongan (skewness) data b. Untuk menentukan adanya data yang outliers maupun ekstrem outliers c. Untuk membandingkan lokasi (median) dan skala (interkuartil) antara 2 sampel dari populasi
2
Selanjutnya berikut ini adalah gambar visual dari komponen-komponen boxplot : Boxplot of fak_ s
Outlier , pengamatan
58
yang tidak dipakai karena terlalu kecil atau besar.
56 54 52 s _ k 50 a f
Upper whisker =Q3 + 1.5 (Q3 Q1)
Q3
48
median n
46 44 42
Q1
Lower whisker =Q1- 1.5 (Q3 Q1)
Gambar 1 Komponen-komponen Boxplot
Berdistribusi normal atau tidaknya suatu data dapat dilihat dari panjang whiskernya. Apabila panjang whisker atas sama dengan whisker bawah, maka dapat dikatakan bahwa data tersebut berdistribusi normal. Data maksimum terletak pada ujung whisker atas sedangkan data minimum terletak pada ujung whisker bawah. Whis ker_ atas
Whis ker_ bawah
=
Q3 +1,5( Q3 − Q1)
=
Q1 1,5( Q3 −
−
Q1)
v a r ia n _ s p a d _ a b o x p l o tQ 3 Q1 =
3.
−
Metodologi Penelitian
Penelitian kali ini membahas tentang nilai mahasiswa Fakultas P, Q, R, dan S. Guna memperlancarkan penelitian ini, maka digunakan data sekunder dari sampling jumlah nilai tujuh mata pelajaran di SMA yang dilakukan terhadap 100 mahasiswa empat fakultas. Adapun langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut : a. Mengentri data pada program paket Minitab b. Membuat diagram stem and leaf untuk masing-masing fakultas c. Menginterpretasikan hasil gambar diagram stem and leaf dari masingmasing fakultas d. Membuat diagram boxplot untuk masing-masing fakultas e. Menginterpretasikan hasil gambar diagram boxplot dari masing-masing fakultas f. Membuat kesimpulan dari hasil interpretasi baik dari diagram stem and leaf maupun diagram boxplot 4.
Analisis dan Pembahasan
Setelah melakukan beberapa langkah pada metodologi penelitian, didapatkan gambar diagram stem and leaf dan diagram boxplot untuk masingmasing fakultas. Berikut ini adalah interpretasi dari gambar diagram stem and leaf dan diagram boxplot pada tiap-tiap fakultas : 4.1. Fakultas P
3
Pada Fakultas P dilakukan pengambilan sampel terhadap 100 mahasiswa tentang jumlah nilai tujuh mata pelajaran SMA. Untuk memudahkan dalam menganalisis, maka menggunakan diagram stem and leaf dan boxplot.
4.1.a.
Diagram Stem and Leaf untuk Fakultas P Berikut ini adalah hasil gambar Stem and Leaf untuk Fakultas P Stem-and-Leaf Display: P Stem-and-leaf of P Leaf Unit = 1.0
2 5 10 17 26 44 (18) 38 24 15 7 2
4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6
N
= 100
44 677 88899 0001111 222223333 444444445555555555 666666666667777777 88888899999999 000011111 22333333 44455 77
Gambar 2 Diagram Stem and Leaf Fakultas P
Dari gambar diagram stem and leaf diatas dapat dilihat bahwa nilai mediannya adalah 56 dan mahasiswa yang mendapat nilai 56 sebanyak 11 mahasiswa. Letak median ditandai dengan angka dalam kurung dan jumlah frekuensinya sebanyak 18. Dari gambar diatas pula dapat diketahui bahwa sebagian besar mahasiswa mendapatkan nilai 54, 55, 56 dan 57. Nilai tertinggi adalah 67 dan ada 2 orang yang mendapat nilai terendah yaitu 44. Dilihat dari bentuk penyebaran datanya, data tentang nilai mahasiswa di fakultas P berdistribusi normal. 4.1.b.
Diagram Boxplot untuk Fakultas P Berikut ini adalah gambar boxplot mengenai 7 nilai mata pelajaran sewaktu masih duduk di bangku SMA Boxplot of Fak P 70
65
60
P 55
50
45
Gambar 3 Diagram Boxplot Fakultas P gambar boxplot dapat diketahui bahwa nilai
Dari kuartil pertama (Q1) adalah sebesar 53, nilai kuartil kedua atau yang lebih dikenal median yaitu
4
sebesar 56 sedangkan untuk nilai kuartil ketiga (Q3) adalah 59, serta untuk nilai range adalah 68. Dengan demikian dapat diketahui nilai whisker atas adalah 68, sedangkan nilai dari whisker bawah adalah 44. Dapat dilihat pula bahwa tidak ada nilai outlier pada gambar boxplot , hal itu menandakan bahwa rata-rata kemampuan mahasiswa di Fakultas P hampir sama dan bisa dikatakan seimbang. Interkuartil digunakan untuk mengetahui penyebaran data. Semakin tinggi (boxplot vertikal) atau semakin lebar ( boxplot horizontal), menunjukkan data semakin menyebar. Secara visual, penyebaran data yaitu nilai-nilai mahasiswa pada Fakultas P berdistribusi normal, karena bentuk boxplot simetris yaitu median berada di tengah kotak. 4.2. Fakultas Q
Sama seperti Fakultas P, pada Fakultas Q juga dilakukan pengambilan sampel terhadap 100 mahasiswa tentang jumlah nilai tujuh mata pelajaran SMA. Untuk memudahkan dalam menganalisis, maka menggunakan diagram stem and leaf dan boxplot 4.2.a. Diagram Stem and Leaf untuk Fakultas Q Setelah dilakukan pemrosesan menggunakan minitab, didapatkan hasil gambar diagram stem and leaf sebagai berikut: Stem-and-Leaf Display: Q Stem-and-leaf of Q Leaf Unit = 1.0
N
= 100
1 3 10
4 4 5
7 89 1111111
20 27 48 (14) 38 22 15 7 2 1
5 5 5 5 6 6 6 6 6 7
2222333333 4445555 666666666777777777777 88888899999999 0000000011111111 2222333 44455555 66777 9 0
Gambar 4 Diagram Stem and Leaf Fakultas Q
Dari gambar diagram stem and leaf diatas dapat dilihat bahwa nilai mediannya adalah 58 dan mahasiswa yang mendapat nilai 58 sebanyak 6 mahasiswa. Letak median ditandai dengan angka dalam kurung dan jumlah frekuensinya sebanyak 14. Dari gambar diatas pula dapat diketahui bahwa sebagian besar mahasiswa mendapatkan nilai 56 dan 57. Nilai tertinggi adalah 70 dan ada 1 orang yang mendapat nilai terendah yaitu 47. Dilihat dari bentuk penyebaran datanya, dapat diasumsikan bahwa data untuk Fakultas Q berdistribusi normal.
5
4.2.b. Diagram Boxplot untuk Fakultas Q Bentuk diagram boxplot untuk Fakultas Q dapat dilihat pada gambar berikut ini: Boxplot of Fak Q 70
65
60 Q
55
50
Gambar 5 Diagram Boxplot Fakultas Q
Q1 = 55 Q2 = 58 Q3 = 61 Range = 6 Dari gambar boxplot diatas dapat diketahui bahwa nilai kuartil pertama (Q1) adalah sebesar 55, nilai kuartil kedua atau yang lebih dikenal median yaitu sebesar 58 sedangkan untuk nilai kuartil ketiga (Q3) adalah 61, serta untuk nilai range adalah 6. Nilai whisker atasnya adalah 70 dan nilai whisker bawahnya adalah46. Dapat dilihat pula bahwa tidak ada nilai outlier pada gambar boxplot , hal itu menandakan bahwa rata-rata kemampuan mahasiswa di Fakultas Q hampir sama dan bisa dikatakan seimbang. Interkuartil digunakan untuk mengetahui penyebaran data. Semakin tinggi (boxplot vertikal) atau semakin lebar (boxplot horizontal), menunjukkan data semakin menyebar. Secara visual, penyebaran data yaitu nilai-nilai mahasiswa pada Fakultas Q berdistribusi normal, karena bentuk boxplot simetris yaitu median berada di tengah kotak. 4.3. Fakultas R
Pada Fakultas R pun juga dilakukan pengambilan sampel terhadap 100 mahasiswa tentang jumlah nilai tujuh mata pelajaran SMA. Berikut ini akan ditunjukkan bentuk diagram stem and leaf dan boxplotnya. 4.3.a.Diagram Stem and Leaf untuk Fakultas R Di bawah ini adalah gambar stem and leaf dari nilai 7 mata pelajaran selama di SMA Stem-and-Leaf Display: Fak R Stem-and-leaf of Fak R Leaf Unit = 1.0
N
= 100
4 6 15
4 4 4
3333 45 666777777
28 39 50 50 28 18 10 3
4 5 5 5 5 5 6 6
8888999999999 00000001111 22222333333 4444444444444455555555 6666777777 88889999 0000111 33
6
1 1
6 6
6
Gambar 6 Diagram Stem and Leaf Fakultas R diagram stem and leaf diatas dapat
Dari gambar dilihat bahwa nilai mediannya antara 53 dan 54, jadi dapat disimpulkan bahwa nilai mediannya adalah 53,5 ( didapat dari
53
+
54
2
=
53 ,5 ).
Dari gambar diatas pula dapat
diketahui bahwa sebagian besar mahasiswa mendapatkan nilai 54 dan 55. Nilai tertinggi adalah 66 dan ada 4 orang yang mendapat nilai terendah yaitu 43. Apabila ditarik sebuah kurva, maka kurva tersebut akan sedikit condonng ke kanan, berarti data nilai mata pelajaran di SMA tidak bersdistribusi normal. 4.3.b.Diagram Boxplot untuk Fakultas R Pembahasan selanjutnya mengenai boxplot dari fakultas R Boxplot of Fak R 65
60
R k a F
55
50
45
40
Gambar 7 Diagram Boxplot Fakultas R
Q1 = 49 Q2 = 53.6 Q3 = 56 Range = 7 Dari gambar boxplot diatas dapat diketahui bahwa nilai kuartil pertama (Q1) adalah sebesar 49, nilai kuartil kedua atau yang lebih dikenal median yaitu sebesar 53,6 sedangkan untuk nilai kuartil ketiga (Q3) adalah 56, serta untuk nilai range adalah 7. Whisker atas bernilai 66,5 sedangkan whisker bawahnya bernilai 38,5.Dapat dilihat pula bahwa tidak ada nilai outlier pada gambar boxplot , hal itu menandakan bahwa rata-rata kemampuan mahasiswa di Fakultas R hampir sama dan bisa dikatakan seimbang. Semakin tinggi ( boxplot vertikal) atau semakin lebar (boxplot horizontal), menunjukkan data semakin menyebar. Secara visual, penyebaran data yaitu nilai-nilai mahasiswa pada Fakultas R berdistribusi normal, tetapi bentuk boxplot tidak simetris yaitu median tidak berada di tengah kotak. Sehingga penyebaran datanya tidak merata (condong kekanan), yang berarti bahwa sebagian besar mahasiswa mempunyai nilai di bawah nilai median. 4.4.
Fakultas S
Pada Fakultas S dilakukan pengambilan sampel terhadap 100 mahasiswa tentang jumlah nilai tujuh mata pelajaran SMA. Untuk memudahkan dalam menganalisis, maka menggunakan diagram stem and leaf dan boxplot
7
4.4.a.Diagram Stem and Leaf untuk Fakultas S Setelah menggunakan program paket Minitab, diperoleh gambar stem and leaf sebagai berikut : Stem-and-Leaf Display: Fak S Stem-and-leaf of Fak S Leaf Unit = 0.10
N
8 10 19 27
43 44 45 46
00000000 00 000000000 00000000
43 (14) 43 31 20 15
47 48 49 50 51 52
0000000000000000 00000000000000 000000000000 00000000000 00000 000000
53 54 55 56 57
0000000
9 2 2 2 1
= 100
0 0
Gambar 8 Diagram Stem and Leaf Fakultas R diagram stem and leaf diatas dapat
Dari gambar dilihat bahwa nilai mediannya adalah 48 dan mahasiswa yang mendapat nilai 48 sebanyak 14 mahasiswa. Dari gambar diatas dapat diketahui pula bahwa paling banyak mahasiswa mendapatkan nilai 47 yaitu sebanyak 16 mahaspernahiswa. Nilai tertinggi adalah 57 dan ada 8 orang yang mendapat nilai terendah yaitu 43. Bila dilihat dari pola penyebaran datanya, pada fakultas S ini, data tentang nilai 7 mata pelajaran saat di SMA tidak berdistribusi normal. 4.4.b.Diagram Boxplot untuk Fakultas S Boxplot of Fak S 58 56 54 52 S k 50 a F
48 46 44 42
Gambar 9 Diagram Boxplot Fakultas S
Q1=46 Q2 = 48 Q3=50 Range=4 N=100 Outlier=57 Dari gambar boxplot diatas dapat diketahui bahwa nilai kuartil pertama (Q1) adalah sebesar 46, nilai kuartil kedua atau yang lebih dikenal median yaitu sebesar 48 sedangkan untuk nilai kuartil ketiga (Q3) adalah 50, serta untuk nilai range adalah 4. Dapat dilihat pula bahwa ada nilai outlier pada gambar boxplot
8
yaitu 57, hal itu menandakan bahwa ada satu mahasiswa yang memiliki kemampuan di atas kemampuan teman-temannya yang lain. Selanjutnya, didapatkan nilai whisker atas dan whisker bawahnya, yaitu sebesar 56 dan 40.Semakin tinggi (boxplot vertikal) atau semakin lebar (boxplot horizontal), menunjukkan data semakin menyebar. Secara visual, penyebaran data yaitu nilai-nilai mahasiswa pada Fakultas S berdistribusi normal karena bentuk boxplot simetris yaitu median berada di tengah kotak sehingga penyebaran datanya merata. 4.5
Boxplot dari keempat Fakultas Boxplot of Fak P, Fak Q, Fak R, Fak S 70
65
60 a t a 55 D
50
45
40 Fak P
Fak Q
Fak R
Fak S
Gambar 10 Diagram Boxplot dari Keempat Fakultas keempat boxplot nilai mahasiswa per fakultas diatas
Dari dapat dilihat bahwa fakultas Q mempunyai rata-rata nilai paling bagus karena letak boxplotnya lebih tinggi daripada yang lain. Dari keempat fakultas, hanya f akultas R yang mempunyai penyebaran data kurang bagus, karena median tidak berada di tengah kotak (skewness) . Dan hanya fakultas S yang mempunyai nilai outlier , hal ini menandakan bahwa ada satu mahasiswa di fakultas S yang mempunyai kemampuan di atas kemampuan teman-temannya. 5.
Kesimpulan 5.1.
5.2.
5.3.
Dilihat dari diagram stem and leaf (secara visual) dari fakultas P dan Q, maka dapat disimpulkan bahwa nilai mahasiswa di fakultas tersebut tersebar menurut distribusi normal. Sedangkan untuk fakultas R dan S penyebaran datanya tidak menyerupai distribusi normal, karena bentuk penyebarannya agak condong ke kiri. Secara visual dilihat dari diagram boxplot fakultas P, Q dan S, penyebaran datanya berdistribusi normal karena bentuk boxplot simetris yaitu median berada di tengah kotak berarti nilai mahasiswa pada fakultas P, Q dan S tersebar merata. Tetapi pada fakultas S ada satu nilai mahasiswa yang lebih tinggi daripada yang lain, yang menyebabkan pada diagram boxplotnya mempunyai nilai outlier. Sedangkan diagram boxplot fakultas R memperlihatkan bahwa nilai mahasiswanya tidak tersebar merata (condong kekanan), yang berarti bahwa sebagian besar mahasiswa mempunyai nilai di bawah nilai median. Dengan melihat hasil analisis dari keempat fakultas, yang telah dijelaskan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa Fakultas Q memiliki rata-rata nilai mahasiswa yang lebih bagus dibandingkan ketiga fakultas yang lainnya.
9
Daftar Pustaka
Montgomery, Douglas C. 1998. Pengendalian Kualitas Statistik . Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Walpole, R. E. 1982. Pengantar Statistika. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama
10
