Soluciones Prueba Control 3

Dpto. de Física de la Materia Condensada Facultad de Ciencias Curso 2013-2014

Física I Grado en Química 22/1/2014

Prueba de Control I I I Soluciones Ejercicio 1. Un bloque de 4 kg que descansa sobre una plataforma horizontal sin rozamiento está conectado a otro bloque colgante de 2 kg mediante una cuerda que pasa por una polea (ver figura inferior). Esta polea está formada por un disco uniforme de radio 8 cm y una masa de 0,6 kg. El sistema se deja libre desde el reposo. a) Dibuja los diagramas del cuerpo libre de los tres objetos que forman parte de este sistema, identificando cuál realiza un movimiento de traslación y cuál uno de rotación. [1 punto] b) Determina la aceleración del bloque de 2 kg. [2 puntos] c) Determina la velocidad del bloque de 2 kg después de haber descendido desde el reposo una distancia de 2,5 m. [0,5 puntos] d) ¿Cuál es la velocidad angular de la polea en ese momento? [0,5 puntos] Dato adicional: momento de inercia de un disco, I = 1/2 M R2

a) Los diagramas del cuerpo libre del bloque m1 = 4 kg, del bloque m2 = 2 kg y de la polea serían, respectivamente, los siguientes:

N

m1∙g

T2

NS

T1

T1 m2∙g

mp∙g

T2

Los vectores N y NS son, respectivamente, la fuerza normal de la superficie horizontal sobre la masa m1 y la fuerza normal del soporte de la polea que se ejerce sobre ésta (y que compensa exactamente su peso y las resultantes de las tensiones que darían lugar a traslación de la polea ). Los bloques de masas m1 y m2 realizan movimientos de traslación (horizontal el primero y vertical el segundo) y la polea realiza un movimiento de rotación. b) Para determinar la aceleración del bloque de 2 kg, aplicamos las leyes de Newton considerando los diagramas del cuerpo libre dibujados en el apartado anterior así como que la cuerda es inextensible (por lo que la aceleración horizontal del bloque de 4 kg es igual a la aceleración vertical del bloque de 2 kg). Consideraremos que el sentido positivo de todos los ejes de referencia corresponden Así, obtenemos para el bloque de 4 kg,

T 1=m 1 a (1) N−m1 g=0 (2) Para el bloque de 2 kg,

m2 g−T 2 =m2 a ⇒ T 2=m2 ( g−a) (3)



Y, finalmente, para la polea,

τ 2−τ1=T 2 R−T 1 R=I p α (4) m p g−N S =0 (5) siendo Ip = 1/2 M R2. Considerando la relación entre el desplazamiento de la cuerda y el giro de la polea, a=R⋅α por lo que, tomando las expresiones (1) y (3) y sustituyéndolas en (5), obtenemos el valor de a:

m 2 (g−a) R−m1 a R=I p

a 2 2 2 ⇒ m 2 g R −m 2 a R −m 1 a R =I p⋅a R

m2 g R2=(m1 R2 +m2 R 2+ I p )⋅a ⇒ a=

m2 g R 2 2

2

m1 R +m2 R + I p

=

m2 g m1+m 2 +1/2 M

(6)

Sustituyendo los valores numéricos del problema, obtenemos:

a=

( 2 kg)(9,80 m/s 2) =3,11 m/s2 (4 kg)+(2 kg)+1/2( 0,6 kg)

c) Si la masa de 2 kg desciende con esta aceleración (movimiento uniformemente acelerado), partiendo del reposo, cuando ha descendido 2,5 m, su velocidad será:

√

1 1 2⋅s s=s 0+ v 0 t + a t 2= a t 2 ⇒ t= 2 2 a

√

v =v 0 +a⋅t=a⋅t=a⋅

2⋅s =√ 2⋅a⋅s=√ 2⋅( 3,11 m/s2 )⋅(2,5 m )=3,94 m/s a

También podríamos haber obtenido este resultado usando el principio de conservación de la energía. Si tomamos la altura inicial del bloque de 2 kg como nivel de energía potencial cero para este objeto y la superficie horizontal como nivel de energía potencial cero para el bloque de 4 kg, la energía mecánica inicial del sistema sería cero. Cuando el bloque de 2 kg ha descendido h = 2,5 m, la energía cinética del sistema es:

1 1 1 1 1 v2 (m1 +m2)v 2 + I p ω2 −m2 g h= (m1+ m2 )v 2+ M R 2 2 −m2 g h=0 2 2 2 2 2 R

(

)

por el principio de conservación de la energía mecánica, dado que no actúan fuerzas no conservativas en este sistema. Despejando v, obtenemos

v=

√

√

2 m2 g h 2(2 kg )( 9,80 m/s2 )(2,5 m ) = =3,94 m/s 1 1 m1+ m2 + M ( 4 kg)+(2 kg)+ (0,6 kg) 2 2

c) La velocidad angular de la polea en ese instante será:

v 3,94 m/s ω= = =49,3 rad/s r 0,08 m



Ejercicio 2. a) ¿Qué determina que la trayectoria de un objeto en órbita alrededor del Sol sea cerrada o abierta? Razona tu respuesta. [1,5 puntos] La magnitud que determina si la órbita de un objeto alrededor del Sol será abierta o cerrada es la energía mecánica del objeto. En concreto, si hacemos cero la energía potencial gravitatoria a distancia infinita del Sol, podemos escribir que la energía mecánica de un objeto en órbita será:

1 Mm Em= mv 2−G 2 r siendo m la masa del objeto, v, su velocidad, M, la masa del Sol y r, la distancia del objeto al Sol en un instante determinado. De acuerdo con esta expresión, si la energía mecánica del objeto es negativa, nunca podrá alejarse a una distancia infinita del Sol y la trayectoria que describa será cerrada (una elipse o una circunferencia). Podemos decir que el objeto está atrapado por el campo gravitatorio del Sol. Si la energía mecánica es cero o mayor que cero, la trayectoria será abierta (una parábola cuando la energía mecánica es cero, una hipérbola si es mayor que cero), ya que el objeto podrá alcanzar una distancia infinita del Sol (abandonando por completo su campo gravitatorio) con velocidad cero o mayor que cero. En este caso, por tanto, el objeto sólo pasaría una vez cerca del Sol y se alejaría hasta una distancia infinita de él. b) Un satélite geoestacionario o geosíncrono es aquel que se mantiene fijo en todo momento a la misma altura en la vertical de un punto concreto de la superficie de la Tierra. Calcula a qué altura se debe situar un satélite geosíncrono que orbite la Tierra en la vertical del Campus de Puerto Real. Pista: piensa cuál debe ser el período de este satélite si siempre tiene que estar situado encima del mismo punto de la superficie terrestre. [1,5 puntos] Datos adicionales: G = 6,67  10-11 N·m2/kg2; RT = 6370 km; MT = 5,98  1024 kg Un satélite con estas características describiría una órbita circular alrededor de la Tierra (distancia al centro de la Tierra constante) de período T igual a 1 día (el mismo que el de cualquier punto situado sobre la superficie terrestre). Por tanto, podemos escribir que la velocidad del satélite será:

v=

2π R T

(1)

y, aplicando la segunda ley de Newton,

FG =m a=m ac =m

M m M v2 v2 ⇒ G T2 =m ⇒ G T =v2 (2) R R R R

puesto que la aceleración para un movimiento de rotación uniforme será la centrípeta. Combinando las expresiones (1) y (2) obtenemos,

G

√

2 M T 4 π2 R 2 3 G MT T = ⇒ R= 2 2 R T 4π

R=

√ 3

(6,67×10−11 N·m2 /kg 2)(5,98×10 24 kg)(86400 s)2 =4,23×107 m 2 4π

Teniendo en cuenta el radio terrestre, la altura a la que se situará este satélite será:

h=R−RT =4,23×107 m−6,37×10 6 m=3,59×10 7 m



Ejercicio 3. a) Se introducen 4 botellas de 1 litro en el mar (densidad media 1,025 g/cc). La botella A se llena de aire; la botella B, de agua destilada; la botella C, de agua de mar y la botella D, de plomo. Clasifica las 4 botellas en función del empuje que sufran al introducirlas en el mar, de mayor a menor. Es decir, coloca primero la botella que mayor empuje sufra y al final, la que sufra menos empuje, de la siguiente manera: Mayor empuje 1 A, B, C, D

2 ________ 3 ________ 4 ________ Menor empuje

Explica tu respuesta. [1 punto] Respuesta: Puesto que el empuje es igual al peso del líquido desalojado por el objeto que se sumerge en él y, dado que todas las botellas tienen el mismo volumen (1 litro), el empuje será el mismo en todos los casos. b) El gran oleoducto de Alaska puede transportar 240 000 m 3 de crudo por día. El radio de esta gran tubería es de 60 cm en la mayor parte de su recorrido, pero hay un punto donde la tubería se estrecha y su radio es la mitad, 30 cm. Si la presión con que se impulsa el crudo es de 180 kPa y la densidad de dicho fluido es de 800 kg/m3, calcula la presión en la zona estrecha de la tubería, donde el radio vale 30 cm. [2 puntos] Aplicando la ecuación de continuidad, podemos deducir la velocidad del fluido en ambos tramos de la tubería de diferente grosor:

I V = A1 v 1= A 2 v2 ⇒ v1 =

Iv I y v 2= v A1 A2

(2,4×10 5 m 3)/( 86400 s) (2,4×105 m 3 )/(86400 s) =2,456 m/s y v 2= =9,824 m/s . Por tanto, v 1= π (0,6 m)2 π(0,3 m)2 Si consideramos que toda la tubería discurriera a la misma altura, no habría cambios de energía potencial por lo que, aplicando la ecuación de Bernouilli,

1 1 1 p1+ ρ v 21= p2 + ρ v22 ⇒ p2= p1 + ρ(v 21−v 22) 2 2 2 Sustituyendo los valores numéricos del problema:

1 p2=1,80×105 Pa+ ( 800 kg/m3 )[(2,456 m/s)2−(9,824 m/s)2 ]=1,44×105 Pa 2 La presión en el tramo de tubería de 30 cm de radio será de 144 kPa.

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