UNI – FACULTA FACULTAD D DE INGENIERIA INGENIERI A AMBIENTAL AMBIENTAL Curso: AA232 - Bioestadística ro!esora: M"# Beatri$ Casta%eda &#
Tarea ' - ro(a(i)idad 1. Mario expresó expresó su su sorpresa sorpresa a Juan, por por observar observar que que al jugar con con 3 dados la suma suma 10 aparece con más frecuencia que la 9. eg!n Mario los casos favorables al 9 ser"an# 1$%, 13&, 1'', $$&, $3' ( 333) ( al 10# 13%, 1'&, $$%, $3&, $'' ( 33'. *ero Juan vio que es+as combinaciones combinaciones no se pueden pueden considerar igualmen+e probables. xplicar por qu- ( calcular las correspondien+es probabilidades.
/ de casos posibles
n(Ω)= %x%x% $1%
a *ara que sumen 9 los casos favorables son# 2*ara 1,$,% # 1$% 1%$ $1%
$%1 %1$ %$1
2*ara $,$,&# $$& $&$ &$$
2*ara 1,3,&#
13& 1&3 31&
2*ara $,3,'#
3&1 &13 &31
$3' $'3 3'$
3$' '$3 '3$
2*ara 1,','#
1'' ''1 '1'
2*ara 3,3,3#
333
25 casos favorables $&, en+onces *4suma 9 216 0.11&
b *ara que sumen 10 los casos favorables son# 2*ara 1,3,%# 13% 1%3 31%
3%1 %13 %31
2*ara 1,',&#
2*ara $,3,&# $3& $&3 3$&
3&$ &$3 &3$
2*ara$,','# $'' '$' ''$
casos favorables $5, en+onces
1'& 1&' '1&
'&1 &1' &'1
2*ara $,$,%# $$% $%$ %$$ 2*ara 3,3,'# 33' 3'3 '33
27 *4suma 10 216 0.1$&
6omo se aprecia los casos favorables no son igualmen+e posibles, por lo cual *4suma 9 7 *4suma 10 4olucionado por# 8ernable auri auri :u+;, Me
*I)ustrado + so)ucio,ado or MAC.C/ LLAMCCA0A1 DIANA MILAGR/&1 RAMIRE LE0A1 MARCELIN/ RAMIR/1 T/RBI&C/ &AEN1 MILAGR/& R/&MAR04
$. >na máquina produce diariamen+e un +ipo de obje+o. i la máquina es+á bien ajus+ada, el ?0@ de los obje+os producidos pasan el con+rol de calidad, de o+ro modo sólo pasan el %0@. e ;a de+erminado que el 90@ de los d"as la máquina es+á bien ajus+ada. Ae los $& obje+os producidos en un solo d"a se escoge 3 al ana caja con+iene oc;o bolas rojas, +res blancas ( nueve a
Solución: 20
C 5
n(Ω)=
= 15504
a
b) B = {2rojas 1blanca 2azules} 8
n(B) =
3
9
C 2 ×C 1 × C 2
= 3024
P(dos rojas y una blanca) = 3024/15504 =0.15 4olucionado por# 8adillo 6;inc;a(, rnes+ina ( MuEo< Fuin+ana, :onald
c
P3 ( Almenos unablanca )=1− P ( ningunablanca )
P ( ningunablanca )=
17
( grupo de 5 entre 17 no blancas ) gruposde 5 entre 20 bolas
C 5
20
C 5
0.3991
P3= 1- 0.3991 =0.6009
4olucionado por# 8ernable auri :u+;, Me
&. 6ua+ro +iradores disparan independien+emen+e sobre cua+ro obje+ivos, cada uno sobre uno. 6ada +irador dispone de seis balas. Ga probabilidad de acer+ar en el obje+ivo con cada +iro es de 0.?. >n +irador deja de disparar al alcan
5
P ( X =0 )= ( Ningún tirador consuma sus 6 balas )= ( 1−0.2
5
5
¿4 )
4
Guego P ( Algunoconsuma sus 6 balas )=1 −(1−( 0.2 ))
b i +odos los +iradores consumen sus % balas, Bcuál es la probabilidad de que +odos
los obje+ivos ;a(an sido alcan
( 0.25 0.8 )4 4 = P ( Todoslos objetivos alcanzados / consumen sus 6 balas )= 0.8 4 ( 0.25 )
c
6alcular la probabilidad de que sobren dos balas en +o+al
P ( sobren 2 balas ) =4 ( 0.2
3
0.8
)( 0.2 ) + 6 ( 0.2 5 3
4
0.8
) ( 0.2 ) 2
5 2
(!oluc"onado #or $a%ell $uar&uac&" 'orr"lla)
%. *ara reducir los robos la 6ompaE"a Merl"n ;ace pasar a +odos sus empleados por una prueba con de+ec+or de men+iras, el que se sabe +iene acier+os el 90@ de las veces 4+an+o para suje+os culpables como inocen+es. -c+or Merl"n decide despedir a +odos los +rabajadores que fallen en la prueba. uponga que &@ de los empleados son culpables de robo. a BFu- proporción de los empleados serán despedidosC b Ae los despedidos, Bqu- proporción son realmen+e culpablesC c Ae los no despedidos, Bqu- proporción son culpablesC d BFu- opina >s+ed de la pol"+ica de -c+or Merl"nC olución
5. e es+á organi
, B $
, ! ! ! ! ! ! ! ! !
B 6 ! ! ! ! ! ! ! !
6 6 ! ! ! ! ! ! !
6 6 6 ! ! ! ! ! !
6 6 6 6 ! ! ! ! !
6 6 6 6 6 ! ! ! !
6 6 6 6 6 6 ! ! !
$ 6 6 6 6 6 6 6 ! !
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 !
4olucionado por 6ru< alas rving, Aex+re ánc;e< Ma(ra, Mo+a Kenorio Aaniela. lus+ración elaborada por ernande< 6on+reras 6arlos
?. >n nuevo modelo de au+o depor+ivo +iene frenos defec+uosos el 1&@ de las veces, ( un mecanismo de dirección con defec+os, &@ de las veces. upóngase que es+os problemas se presen+en independien+emen+e. i ocurre uno u o+ro de +ales problemas, al au+o se le denomina un N+ropien profesor compró uno de so au+omóviles recien+emen+e. B6uál es la probabilidad de que le resul+e# a un N+ropie
a)
7ro#"ezo89 s" se da solo un de:eco a la ;ez
P( tropiezo )=15 × 95 + 85 × 5 =0 . 185 b)
7a+enaza89 s" se dan a+bos de:ecos a la ;ez
P(amenaza )= 15 × 5 =0 . 0075 4olucionado por o&ann ojas loreano)
9. n una bolsa ;a( cinco bolas, blancas o negras. e ex+rae una bola ( es blanca. állese la probabilidad de que en la bolsa ;a(a dos blancas ( +res negras si para formar la urna se +iraron cinco monedas ( se me+ieron +an+as blancas como caras resul+aron ( +an+as negras como cruces. Para real"zar ese an?l"s"s #ar"+os del &ec&o en ue se lanzan 5 +onedas. @os e;enos ue #ueden ocurr"r al lanzar esas +onedas son9 (-= caraA =cruz) Ω= {5-A 4- y 1A 3- y 2A 2- y 3A 1- y 4A 5} 5
n (Ω)= 1C C 4 C
5
5
5
C 3 C C 2 C C 1 C1 = 32 =2 5
5
1 P ( 5 C )= 32 5
P (1 C )=
C 1 32
P ( 5 X )=
A
P ( 4 C ) =
C 4 32
=
5
5
A
32
P (3 C )=
C 3 32
=
5
10 32
A
P (2 C )=
C 2
= 10 A 32 32
=5
32
1 32
, con"nuac"Dn real"za+os el *r?:"co del ?rbol con relac"Dn a las bolas (blancas y ne*ras) #ara ;"sual"zarlo +ejor. E colocare+os las d":erenes #robab"l"dades sDlo #ara las bolas blancas.
En la bolsa
1 32
5 32
5B
4B
1
4 5
B
B
10 32
10 32
3B
5 32 2B
3 5
1B
2 5
B
1 32
B
5
1 5
B
P (1B)A ue es la #robab"l"dad de sacar una bola blanca es &allada +ed"ane el *r?:"co del ?rbol. P (1 B )=
1 5 4 10 3 10 2 5 1 x 1 + x + x + x + x =0.5 32 32 5 32 5 32 5 32 5
E #ara co+#lear la resoluc"Dn del enunc"ado ene+os9 P ( bolsa2 B 3 N bola ext es B ) =
10 2 x =1 / 8 32 5
"nal+ene #ode+os dar res#uesa9
1
P (2 B 3 N 1 B ) 8 = P ( 2 B 3 N / 1 B )= 1 P ( 1 B )
¿ 0.25
2
@a #robab"l"dad de la bolsa &aya en"do 2 bolas blancas y 3 ne*ras dado ue la bola eFrada :ue blanca es 0.25. 4olucionado por 6ru< alas rving, Aex+re ánc;e< Ma(ra, Mo+a Kenorio Aaniela
10.>na caja con+iene dos monedas legales ( una con dos caras. e selecciona una moneda al a
@a #robab"l"dad de los e;enos ser"a9
Si selecciono
Moneda Legal (2/3)
Cara (1/2)
Moneda ilegal (1/3)
Cruz (1/2) Cara (1)
Cruz (0)
Figura 1
a) La probabilidad de que la oneda sea legal dado que sali! cara es"
P ( !egal / cara )=
P ( !egal"Cara ) P ( Cara )
>ee+#lazando los daos de la :"*ura 1A ene+os9 P ( !egal "Cara )=
( )( ) 2 3
( )( ) ( )
P (Cara )=
2 3
1 2
1 2
= 1 # ( $ ) 3
+ 1 ( 1 )= 2 # ( $$ ) 3
3
nonces9 1 P ( !egal "Cara ) 3 1 = = P ( !egal / cara )= 2 2 P ( Cara ) 3 !" lue*o de eFraer la +oneda se lanza la +oneda y sale cara y se real"zan res lanza+"enos +?s y ;uel;e a sal"r caraA la #robab"l"dad de ue esa sea le*al es9 P ( !egal / 4 caras )= P ( !egal " 4 Caras )/ P ( 4 Caras )
Si selecciono
Moneda Legal (2/3)
CCC (1/2)4
Moneda ilegal (1/3)
No CCC
CCC (1)
Figura 1
Cruz (0)
P ( 4 Cara )=
( )( )+( ) ( )= 2 3
1 16
P ( !egal / 3 caras )=
1 1 3
9 24
1 / 24 =1 / 9 9 / 24
4olucionado parcialmen+e por 6ru< alas rving, Aex+re ánc;e< Ma(ra, Mo+a Kenorio Aaniela 6on correcciones ;ec;as por la profesora
b)
11. !e eFa+"na de c?ncer a los res"denes de una co+un"dad #ara lo cual #asan #or el s"*u"ene #roceso de des#"saje9 se #asa #or una #r"+era #rueba ue "ene GH de sens"b"l"dad y G5H de es#ec":"c"dadA s" el "nd";"duo resula #os"";o a esa #r"+era #rueba #asa #or una se*unda #rueba ue "ene 5H de eFac"ud ano #ara los ue "enen co+o #ara los ue no "enen c?ncer. !" el 2H de la #oblac"Dn "ene c?ncerA I-u?l es el ;alor #red"c";o de un resulado CC y de un resulado C J ner#ree. 12. !e sabe ue un loe con"ene 2 arculos de:ecuosos y G no de:ecuosos. !" esos arculos se "ns#ecc"onan al azarA uno des#uKs de oroA Icu?l es el nL+ero es#erado de arculos ue se deben esco*er #ara "ns#ecc"Dn a :"n de sacar odos los de:ecuososJ
13. @a ,se*uradora de auos ,B- clas":"ca a los conducores co+o 7buenos8A 7+ed"anos8 o 7+alos8. @os auo+o;"l"sas ue sol"c"an un se*uro enran en esos res *ru#os en las #ro#orc"ones9 30HA 50H y 20HA res#ec";a+ene. !Dlo el 1H de los conducores 7buenos8 "enen un acc"deneA el 3H de los conducores 7+ed"anos8 "enen acc"denesA #ero de los conducores 7+alos8A el 10H "ene acc"denes. a) @a co+#aMa le ;ende al !r. >odr*uez una #Dl"za y Kse u;o un acc"dene. I-u?l es la #robab"l"dad de ue el !r. >odr*uez sea un conducor 7bueno8 b) !" la co+#aMa ase*ura a 10000 conducores en las #ro#orc"ones "nd"cadas de 7buenos8A 7+ed"anos8 y 7+alos8. I-u?nos acc"denes es#erara ue ocurr"eranJ
olución
co,ductores &0@
30 @ 1@ L
(ue,os
$0@
5edia,os 99@ Lc
3@ L
5a)os 95@ c
L
10@ L
90@ c
L
4Aiagrama elaborado por# 8ernable auri :u+;, Me
a)
P ( BAcc ) P ( B / Acc ) = P ( Acc ) P ( BAcc ) #$(%)&$('cc)#(03)&(001)# 0003 P ( Acc ) #(03)&(001)(0*)&(003)(02)&(01)# 003+ P ( B / Acc ) =
b)
0 . 003 =0.0789 0.038
!" P(,cc) =0.03G enoncesA dado n = 10000 ase*urados se es#era n# = 10000N0.03G = 3G0 acc"denados
(!oluc"onado #or $a%ell $uar&uac&" 'orr"lla)
