solucionario pruebaib2008

r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

´ Indice general

Examen 2008 Problema 1, Mecánica anica . . . . . . . Problema 2, Mecánica anica . . . . . . . Problema 3, Calor . . . . . . . . . Problema 4, Problemas de Fermi Problema 5, Matemática atica . . . . . Problema 6, Circuitos Circuitos . . . . . . . Problema 7, Ondas . . . . . . . . Problema 8, Matemática atica . . . . . ´ Problema 9, Optica . . . . . . . . Problema 10, Mecánica anica . . . . . . Problema 11, Matem´ Matematica a´ tica . . . . . Problema 12, Calor . . . . . . . . Problema 13, Mecanica . . . . . . Problema 14, Matem´ Matematica a´ tica . . . . . Problema 15, Electromagnetismo Ele ctromagnetismo Problema 16, Mecánica anica . . . . . . Problema 17, Cálculo alculo . . . . . . . Problema 18, Electricidad . . . . Problema 19, Ondas Ondas . . . . . . . . Problema 20, Probabilidad . . . . Problema 21, Mecánica anica . . . . . . ´ Problema 22, Optica . . . . . . . . Problema 23, Matemática atica . . . . . Problema 24, Mecánica anica . . . . . . Problema 25, Mec´ Mecanica a´ nica . . . . . . Problema 26, Matemáticas aticas . . . . Problema 27, Termodinámica amica . . Problema 28, Mecánica anica . . . . . . Problema 29, Matematica . . . . . Problema 30, Electromagnetismo Ele ctromagnetismo

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´ Instituto Balseiro, Av. Bustillo 9500, Bariloche, R´ R´ıo ıo Negro (8400), Republica Argentina

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

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Examen 2008


Examen 2008

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Problema Problema 1, Mec´ Mecanica a´ nica

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Una Una pers person onaa para parada da sobr sobree una una bala balanz nzaa de pie pie se encu encuen entr traa debaj debajo o de un esta estannte. Dicha persona sólo está tocando dicho estante, ejerciendo sobre el mismo una fuerza vertical hacia arriba de 10 N, y en ese mismo momento la balanza marca 121 anto pesa dicha persona? 121 kg. ¿Cuánto a) 111kg b) 120kg c) 121kg d) 122kg e) 131kg

Respuesta

Las balanzas miden ”peso” es decir la fuerza que una cierta masa hace contra el piso, o sea que cuando cuando dice 121 Kg mide una fuerza de F = mg = 12 120 Kg 9,8 m/s2 = 1185, 1185,8 N. Si a esta fuerza le sumamos la reacción on del estante nos dará 1175.8 N, lo que equivale equivale a la fuerza que ejercer´ ejercer´ıa ıa un peso de aproxima aproximadamen damente te 120 Kg, siendo la respuesta respuesta correcta correcta la b).


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Se tiene un cilindro de altura h = 1 m y base circular de radio 1 m. ¿Cu´ ¿Cual a´ l de las siguientes afirmaciones describe más apropiadamente el comportamiento del volumen del cilindro si se aumenta r en 10 −20 m y h se disminuye en la misma cantidad? 3π10−20 m3 a) se increm incrementar entará´ en, aproximadamente, 3π π 10−20 m3 b) se incrementar´ incrementara´ en, aproximadamente, π10

c) se mantendr´ mantendra´ constante

π 10−20 m3 d) se disminuir´ disminuira´ en, aproximadamente, π10

3π 10−40 m3 e) se disminuir´ disminuira´ en, aproximadamente, 3π

Respuesta

Consideremos el volumen del cilindro

V = πr π r2

× h,

si diferenciamos esta ecuación nos queda que,

(2drh + dhr) × h + πr 2 × dh = dh = πr πr (2drh dhr). Reemplazando los valores de r , h , dr , y dh nos queda que dV = π × 10−20 m3 , siendo la dV = π2 π 2rdr

respuesta correcta la b)


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Problema 3, Calor

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La Garganta del Diablo en las Cataratas del Iguaz u´ tiene una altura promedio de 80 m. ¿Cu´ ¿Cuánto anto ser´ ser´ıa ıa de espera esperarr que que cambie cambie la temper temperatu atura ra del agua agua despu´ después es de la ca´ıda? ıda? a) 1,9◦ C

b) 0,19◦ C

c) 0,019◦ C d) 0◦ C e)

−0,019◦C

Respuesta

Este es un problema de conservación de la energ´ e nerg´ıa. ıa. Pensemos Pense mos en una masa agua m que cae desde una altura h en donde se detiene completamente. Toda la energ´ energ´ıa ıa potencial, E P P = mgh,

transformándose andose en calor. Ese calor Q = E P P , elevara la temperatura de esa masa de agua una cierta cantidad ∆T ∆T . Este valor debe ser tal que cumpla que Q = mc = mc∆ ∆T ,

donde c es calo calorr espec especifi ifico co del del agua agua (por (por defin definic ici´ ión on de calor calor´´ıa ıa 1 cal/gC cal/gC◦ . Solo Solo queda queda conoc conocer er el equivalente mecánico anico del calor 1 cal = 4.18 Joule. Joule. Conociendo Conociendo esto se calcula, ∆T = gh/c,

es decir decir 0.187C 0.187 C◦ por lo que la respuesta correcta es la b).


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Problema 4, Problemas de Fermi

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´ ¿Puede estimar la masa del proton? a) No se puede b) 10−27 kg c) 10−29 kg d) 10−31 kg e) 10−33 kg

Respuesta

Si te acordas del peso molecular de algo, que se yo del hidrógeno ogeno que mas o menos 2, o sea que un mol de moléculas eculas de hidrógeno tiene una masa de 2 gramos, uno puede calcular la masa de un atomo a´ tomo de hidrógeno será, a, 2 gramos gramos//mol mol//6,022

× 1023mol−1 = 3,32 × 10−27 Kg, Kg,

por lo que la respuesta correcta es la b).


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Problema Problema 5, Matem´ Matematica a´ tica

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Si a > 0, el l´ımite ımit e l´ım

x→a

−1 b) − 12 a)

c) 0 d)

1 2

e) 1

Respuesta

�

x

x

1

ln(x) − ln(a ln(a) − a − ln(x

�

vale:

∞−∞

Este limite es de la forma indeterminada por lo que probamos usando la regla de ˆ l’Hˆ l’Hopital: f ( f (x) f ′ (x) l´ım = l´ım ′ . x→a g (x) x→a g (x) En nuestro caso particular,

f ( f (x) x = g (x) x a

1 log(a) − x log(x log(x) −a + x + x log(a = . − − ln(x ln(x) − ln(a ln(a) (−a + x) (log(a (log(a) − log(x log(x))

Esta forma sin embargo lleva de nuevo a una indeterminados del limite, f ′ x) l´ım ′ , x→a g (x)

por lo que hay que volver a aplicar el método etodo evaluando el limite, f ′′ (x) l´ım . x→a g ′′ (x)

Conociendo f ( f (x) y g( g (x) y evaluando la derivada segunda de estas funciones nos queda f ′′ (x) x 1 l´ım ′′ = l´ım = . x→a g (x) x→a x + a 2

De esta forma la respuesta correcta es la d).


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Problema 6, Circuitos

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En el circuito que muestra la figura, en el cual todos los capacitores est´ estan a´ n inicialmente descargados, la llave de contacto L1 se cierra por un tiempo suficiente hasta que no circulen más as corrientes. Luego de eso se vuelve a abrir. Al cabo de un tiempo suficiente en que hayan pasado todos los transitorios: ¿con µ C, queda cada uno de los capacitores? Parámetros: qué carga, en µC ametros: fuente de V = 15V, capacitancias: C 1 = 3 µF, C 2 = 3 µF, C 3 = 6 µF, resistencias tensión on V = R1 = 1 Ω, R2 = 2Ω. 45,,0, q C 30 ,0, q C 30 ,0 a) q C C = 45 C = 30, C = 30, 1

2

3

37,,5, q C 37 ,5, q C 37 ,5 b) q C C = 37 C = 37, C = 37, 1

2

3

45,,0, q C 60 ,0, q C 30 ,0 c) q C C = 45 C = 60, C = 30, 1

2

3

45,,0, q C 30 ,0, q C 60 ,0 d) q C C = 45 C = 30, C = 60, 1

2

3

45,,0, q C 0 ,0, q C 75 ,0 e) q C C = 45 C = 0, C = 75, 1

Respuesta

2

3

Pensemos un poco en este problema. Una vez que ha pasado un cierto tiempo los capacitarles se cargan y cesan las corrientes. A corriente cero es como si las resistencias desapareq cieran, cieran, Por definici definicion ´ de capacidad C se cumple la relación on V = C donde V es la tensión y q la carga del capacitor respectivamente. Miremos la rama del circuito mas cercana a la bater´ıa. ıa. Podemos escribir que q C C V = C 1 1

En la otra rama podemos escribir que

V =

q C q C C C + C 2 C 3 2

3

En particular particular si el sistema esta descargado descargado al principio principio del experimento experimento ambas cargas cargas 45,,0 µF, deben ser iguales q C C = q C C . Teniendo esto en cuanta podemos calcular que q C C = 45 q C C = q C C = 30 µF por lo que la respuesta correcta es la a). 2

2

3

3

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Problema 7, Ondas

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˜ 10000 Hz que son escuchados por Los submarinos utilizan senales sonoras de 100 otros submarinos para evitar colisiones. Un submarino que viaja a 5 m/s detecta la señal anti-colisi anti-colisión ´ de otro submarino que se encuentra delante suyo siguiendo su mismo curso, con una frecuencia de 100 10055 Hz. Si hay un observador situado en tierra firme detrás as del primer submarino y sobre la misma trayectoria de los mismos, podemos concluir que el segundo submarino: (la velocidad del sonido en el agua es de 1500 1500 m/s) a) se aleja del del observador observador a 7, 7,5 m/s

b) se acerca al observador a 7, 7,5 m/s c) se aleja del del observador observador a 2, 2,5 m/s

d) se acerca acerca al observado observadorr a 2, 2,5 m/s e) se encuentra encuentra quieto quieto

Respuesta

Acordemonos de la formulita aproximada del efecto Doopler:

× × 1 ± vE,O vS

f ′ = f

,

donde f ′ es la frecuencia escuchada, f la referencia real del emisor, vE,O es la velocidad del emisor o del observador, y vS la velocidad del sonido en el medio. La elecci´ eleccion ´ del signo tal que si emisor y observador se acercan la frecuencia aumente. Además debemos recordar vS . que esta aproximaciones es solo valida en el caso del que vE,O Vamos a nuestro ejercicio, la frecuencia aumenta de 1000 a 1005 Hz por lo que concluimos que ambos submarinos submarinos se están an acercando.Al aplicar la ecuación anterior calculamos que la velocidad relativa es de aproximadamente 7.5 m/s. De ello podemos concluir que el submarino submarino se mueve a 2.5 m/s acercándose al observador por lo que la respuesta correcta es la d).

≪


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Problema Problema 8, Matem´ Matematica a´ tica

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´ ¿Cu´ ¿Cual a´ l de los siguientes numeros complejos es una ra´ ra´ız ız cuarta de 2 i = 1)

− a) −1 + cos( π4 ) − i sin( π4 )

−1? (Nota:

b) cos( π8 ) + i sin( π8 ) c) cos( π 16 ) 1 d) √ (1 2

e)

− i sin( π16 )

− i)

√ 2(1 + i)

Respuesta

exp(iπ)) por lo que queremos numeros tal que exp(ia exp(ia))4 = Escribamos en forma polar 1 = exp(iπ exp(iπ exp(iπ)). Para esto debemos satisfacer que 4a 4 a = π + 2πN o lo que es lo mismo a = π/4 π/4 + NPi/2 NPi/2. Esto es a = 1/4π, 3/4π, 5/4π, 7/4π . Evaluando esta expresión se puede ver que la respuesta correcta es la d).

−


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´ Problema 9, Optica

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En la figura se muestra la sección transversal de un prisma de material transparente sobre el cual incide un rayo de luz α perpendicular a la cara generada por la arista BC del triángulo. angulo. Una parte de el e´ l sale en la dirección β paralelo al rayo incidente. Ambos están an separados por una distancia d = 7cm. El tri´ triangulo a´ ngulo ABC es equil´ equilatero a´ tero de 12cm de lado. ¿Cu´ ¿Cual a´ l es entonces el ´ el ´ındice ındice de refracción del material transparente? a) 1,21 b) 1,38 c) 1,47 d) 2,41

e) No se puede puede determinar porque porque faltan datos

Respuesta

Mucha geometr´ ge ometr´ıa ıa para poca optica. ´ Pensemos la marcha de rayos: el rayo incidente entra al prisma se refracta, se refleja en la cara posterior, vuelva a retractarse y sale paralelo. Para ´ tiene que ocurrir en el centro de la cara posterior. que esto ocurra la refleccion

Una ves encontrado encontrado esto tenemos los angulos angulo ´ s de incidencia y refracci´ refracción y podemos sacar el ´ındice ındice ce refracci refra ccion ´ según la ley de Sneel: sen( sen(θin ) = n. sen( sen(θref )

Miremos la figura:

x = (d/2) d/2)/tan /tan(30 (30 ◦ ) = 6,06cm 06cm,,

X = (D/ D/2) 2)/tan /tan(30 (30 ◦ ) = 10, 10,39cm 39cm,,

tan(bb tan(bb)) = (X ( X

d/2) = 0, 0,808cm 808cm,, − x)/(d/2)

por lo que bb = bb = 51 51,,05 ◦ .

Por lo que θin = 60 ◦ , y θref = 21, 21 ,05 ◦ o sea que sin(a sin(a)/ sin(b sin(b) = 2,41 por lo que la respuesta correcta es d).


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Un globo aerostático atico sube a una velocidad de 3 m/s. Se deja caer una bolsa de arena de 4 kg que tarda en llegar a tierra 8 s sin alterar alterar el movimiento movimiento del globo. ¿Cuál al es la altura del globo en el momento en que la bolsa de arena toca la tierra? a) 265 265,,6 m b) 289 289,,6 m c) 313 313,,6 m d) 337 337,,6 m e) 627 627,,2 m

Respuesta

Planteamos Planteam os la ca´ıda ıda de la bolsa de lastre, l astre,

1 x = x = x 0 + v0 t + at2 . 2

a = 9,8 m/s2 y que despu´ En nuestro caso particular sabemos sabemos que v0 = 3 m/s, a = despues e´ s de t = 8 s la bolsa llega a x = 0. Teniendo esto en cuenta podemos concluir que la ca´ıda ıda 289,6 m. Sin embargo mientras la bolsa cae el globo empieza desde una altura de x0 = 289, 2 sigue subiendo subiendo a 3 m/s por lo que en el momento del impacto se encuentra a una altura de 289.6 m + 24 m = 313.6 m por lo que la respuesta respuesta correc correcta ta es c).

−


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12

Problema 11, Matemática atica

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Un recipiente tiene la forma de una superficie generada al rotar alrededor del eje z (vertical) la curva z = z = x x 2 para 0 x 1. Si las longitudes se miden en m: ¿Cuál es el mayor volumen volum en de l´ıquido, ıquido, medime di3 do en m , que puede contener este recipiente?

≤ ≤

a) π b)

π 2

√ 5 − 1) √ π ( 5 − ln(5))

c)

π ( 4

d)

8

e) infinito

Respuesta

y = x x 2 para 0 Queremos encontrar el volumen de revolución on generado por la curva y = 1. Planteamos el elemento de volumen, dV = 2πx 2 πx

≤x≤

× y dx = dx = 2πx × x2 dx

por lo que integrando sabemos que V = π /2 x 4 = π /2, por lo que la respuesta correcta es b).


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Problema 12, Calor

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Al poner en contacto t´ termico e´ rmico un sistema A con otro B se produce una transformación reversible. ¿Cuál al afirmación es SIEMPRE correcta? a) La transformación on es isotérmica ermica o adiab´ adiabatica. ´ b) La entrop´ıa ıa del universo aumenta.

c) La entrop´ıa ıa del universo no cambia.

d) La entrop´ıa ıa del sistema A disminuye. e) La energ´ıa ıa total disminuye.

Respuesta

Dogm Dogmaa de fe: fe: ”Si es reversible no cambia la entrop ´ ”, ´ıa, si no cambia la entrop ´ ´ıa es reversible ”, por lo que la respuesta respuesta correcta correcta es c). Amen. . .


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Problema 13, Mecanica

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Una barra uniforme AB de 4 m de longitud y 12kg de peso, est´ esta´ sujeta en el extremo B por una cuerda. La barra flota como indica la figura, con la mitad de su longitud longitud sumergida. sumergida. La tension ´ T de la cuerda y el volumen total V de la barra son: a) T = T = 2 kg, V = 0, 016m3 b) T = T = 4 kg, V = 0, 016m3 c) T = T = 2 kg, V = 0, 032m3 d) T = T = 4 kg, V = 0, 032m3

e) Los datos datos son insufic insuficien ientes tes para realizar realizar el calculo. ´

Respuesta

Una vez mas un problema con el principio de Arqu´ımedes. ımedes. Planteemos las fuerzas sobre la barra en la direcci direccion ´ vertical, 1 V ρa g 2

mg + T = 0. 0. − mg +

1000Kg 00Kg//m3 ), mg el peso de la El primer termino es el peso del fluido desalojado (ρa = 10 ´ de la cuerda. Haciendo la cuentitas se se que la respuesta correcta es, barra, y T la tension Eureka, la b).


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r a . u d e . b i . w     w w / / : p t t h

Se tienen los siguientes vectores de R4 :

(1, 1, 1, 2) v1 = (1, v2 = ( 1, 1, 1, 1) v3 = (α,α,α2 , 1)

− − −

Si S es es el subespacio de R4 generado por v1 , v2 y v3 , la menor dimensi dimension ´ de S que puede obtenerse variando α es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Respuesta

L a dimensi´ dimension ´ del subespacio S es la dimension ´ de la base formada por (v ( v1 , v2 , v3 ). Por lo tanto el problema se reduce a encontrar el rango de la matriz 1 1 1 1 α α

−

−1 −1 α2

2 1 1

Como α es variable, el rango de la matriz puede ser menor que 3 si para algún valor de α , la fila resultante es linealmente dependiente de las otras dos. Pero no hay valor de α que haga a la tercera fila linealmente dependiente de las otras dos, por lo tanto, la menor dimensión que puede generar la matriz es 3. Respuesta ’d)’.


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Problema 15, Electromagnetismo Electromagnetismo

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En cada uno de los vértices ertices de un triángulo angulo equilátero atero de 30 cm de lado se encuentran cargas eléctricas. ectricas. En el vértice ertice C, que posee una carga eléctrica ectrica q C debida a las otras cargas el´ electricas, e´ ctricas, C = +4 µC , se ejerce una fuerza F = 10 N debida con una direcci direccion ´ paralela al lado opuesto del triángulo angulo en sentido hacia arri ba, como se muestra en la figura. ¿Cu´ ¿Cual ´ es el valor de las restantes dos cargas? 8,86 10−12 F/m . La permitividad del medio es 8,

×

a) q A =

+5,0 µC −2,5 µC, q B = +5, b) q A = −0,5 µC, q B = −0,5 µC 50,,0 µC, q B = +50, +50,0 µC c) q A = −50 +2,5 µC d) q A = −2,5 µC, q B = +2, +2,5 µC, q B = −2,5 µC e) q A = +2,

Respuesta

E studiemos un poco el problema concentr andonos a´ ndonos en el signo de las cargas. Si queremos que la fuerza horizontal sea nula, una de las cargas debe tirar mientras que la otra debe empujar, o sea q A = q B . Ahora bien, si queremos que la fuerza vertical sea positiva (o sea hacia arriba) q A q C q C C < 0 o lo que es lo mismo q B C > 0 . Veamos ahora los valores de las fuerzas

×

mientras que

−

×

F AC AC =

1 q A q C C − 4πϵ 2 d

F BC BC =

1 q B q C C . − 4πϵ 2 d

En particular la suma de las componentes de ambas en la direcci on ´ vertical es F y = F AC AC sin(30)

o sea

F y =

sin(30), − F AB AB sin(30),

1 sin(30) (q A q C − 4πϵ q B q C C − C ) . d2

Reemplazando valores obtenemos, q A =

y

−F y × q B =

4πϵd 2 = 2 sin(30 sin(30))q C C

−25 µC,

−q A = +25 µC.

Por lo que la respuesta correcta es la d) (salvo un factor 10, Ops!).


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r a . u d e . b i . w w w / � � / : p t t h

Una part´ part´ıcula ıcula de masa m recorre una trayectoria circular de radio R, sujeta a un dispositivo de masa despreciable. La part´ıcula ıcula realiza su recorrido a velocidad angular ω , apoyada sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Si mediante el dispositivo se cambia el radio de la trayectoria a la mitad del valor inicial, la velocidad angular final será: a: a)

ω 4

b)

ω 2

c) ω d) 2ω e) 4ω

Pista

P ara conocer la velocidad angular final necesitamos valernos de algún principio de con´ que vincule los estados inicial y final del sistema. servaci´ servacion El principio de conservación on de la energ´ıa ıa no es sencillamen sencillamente te aplicable. aplicable. Se debe a que durante la disminución del radio el dispositivo el dispositivo de masa despreciable realizar´ despreciable realizará trabajo sobre el sistema (venciendo la fuerza centr´ centr´ıfuga) ıfuga) y su energ´ energ´ıa ıa variar´ variara. a´ . Aunque el trabajo necesario para disminuir el radio se puede calcular y resolver el problema por conservación on de energ´ıa, ıa, resulta mas ´ sencillo aplicar el principio de conservación on de momento angular.

Respuesta

A plicando el principio de conservación on de momento angular, I 1 ω1 = I 2 ω2 , siendo I = 2 m R , se obtiene: = mR 22 ω2 mR12 ω1 = mR

⇒ ω2 = ω1

R1 R2

2

⇒ ω2 = 4ω1

La respuesta correcta entonces es ’e)’.


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Problema Problema 17, C´ Calculo a´ lculo

r a . u ∫ d e . b i . w w w / / : p t t h

Una funci funcion ´ f : R tien e per´ıodo ıodo T > 0 si f ( f (x + T + T )) = f ( f (x) para todo R tiene x R. ¿Cuál al de las siguientes afirmaciones es FALSA?

∈

→

´ f : a) f ′ (x) tiene per´ per´ıodo ıodo T para toda funcion de per´ p er´ıodo ıod o T .

R

→ R diferenciable y

b) sen(f tien e per´ıodo ıodo T para toda función f : sen(f ((x)) tiene de per´ p er´ıodo ıod o T .

R

→ R continua y

per´ıodo ıodo T para toda función on f :

R

→ R continua y

´ f : f (x) 2 tiene per´ d) 3f ( per´ıodo ıodo T para toda funcion de per´ p er´ıodo ıod o T .

R

c)

x f ( f (s)ds tiene tie ne 0

de per´ per´ıodo ıodo T .

−

e) f (2 tien e per´ıodo ıodo T para toda función f : f (2x x) tiene per´ pe r´ıodo ıo do T .

R

→ R continua y

→ R continua y de

Respuesta

L a definición de función T periódica de arriba es clave. Utilicémosla emosla para analizar punto por punto.

−

´ f es diferenciable. O sea que adem´ a) En este punto punto la funci función ademas a´ s de tomar el mismo valor f ( f (x) cada T , f ( f (x + T ) T ) = f ( f (x), recorre los valores suavemente, sin quiebres ni saltos. Entonces, si pasa exactamente por los mismos valores, lo hace con las mismas pendientes. ´ f (x) tambi´ Verdadera. La derivada de f ( tambien e´ n es peri´ periodica. f (x + T + T )) = f ( f (x) sen[ sen[f ( f (x + T + T )] )] = sen[ sen[f ( f (x)]. Entonces sen [f ( f (x)] tambi´ b) Ya que f ( Entonces sen[ tambien e´ n es periódica, como lo l o ser´ıa ıa cualquier cualqui er otra funci func ion ´ g[ g [f ( f (x)] gracias a la periodicidad de f ( f (x). Verdadera.

⇒

c)

x 0

∫ f (f (s)ds, recordemos, es el area f (s) en el intervalo [0, [0, x]. Por lo tanto, a´ rea bajo la curva de f (

basta imaginar una funci´ funcion ´ periódica que sólo tome valores positivos (por decir algo, a´ rea que representa la integral es un valor monótonamente cresen( sen(x) + 5) y ver que el area ciente, nunca vuelve al mismo valor después es de recorrer T . Por lo tanto esta afirmación on no es siempre verdadera. Es falsa d) 3f ( f (x + T ) T ) 2, por la periodicidad de f ( f (x), es igual a 3f 3f ((x) periódica. Verdadera.

−

− 2. Por lo tanto también en es

f (2x x) la desplazamos T /2, obtenemos f [2( f [2(x x + T /2)] = f = f (2 (2x x + T ) T ) = f (2 f (2x x), gracias a e) Si a f (2 ´ toma el mismo f (x). Entonces f (2 f (2x x) tiene per´ la periodicidad de f ( per´ıodo ıodo T /2. Esta funci´ funcion valor al ser desplazada una cantidad T (cumple dos per´ıodos), ıodos), por lo tanto es también en T periódica según la definición de arriba. Verdadera.

−

La afirmación falsa que se busca es la ’c)’.


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Problema 18, Electricidad

r a . u d e . b i . w ∫ w w / � / : p � t t∑ h

La figura muestra un circuito con un capacitor C , una inductancia L, una fuente de tensión continua V y un u n amper´ımetro ımetro A. Todos los componentes son “ideales” (sin resistencias internas). Inicialmente el amper´ımetro ımetro est´ esta´ desconectado, el capacitor descargado y no circula corriente por el circuito. A tiempo t = 0 se conecta el amper´ımetro. ımetro. ¿Cual ´ de las siguientes expresiones describe mejor la corriente que medirá el ampe a mper´ r´ımetro? ımet ro? (c1 y c2 son constantes positivas) a) c1 sen(c sen(c2 t) b) c1 cos(c cos(c2 t) c) c1 e−c

2

t

− e−c t ) e) c1 (1 − cos(c cos(c2 t))

d) c1 (1

Con Cuentas

2

´ de la corriente en funcion ´ del tiempo apliquemos la segunda P ara encontrar la expresi´ expresion ley de Kirchoff de Kirchoff . V fuente fuente = V inductancia inductancia + V capacitor capacitor . ∂i = L ∂t , siendo L el valor de la inductacia. En la inductancia, V inductancia inductancia = L t i Q/C = 0 C dt. Siendo C la En el capacitor, capacitor, V capacitor la capacidad del capacitor capacitor = Q/C = ´ un escalon ´ que inicialmente es cero y luego salta a V f La tensi´ tension, amper´ımetro ımetro f cuando el amper´ se conecta, es

∞ � { V = f f

n=0

( 1)n 1 1 1 1 cos[( cos[(n n + )t] + sen[(2 sen[(2 n n + 1)t 1)t] + sen[( sen[(n n + )t] (2 n (2 n + 1)π 1)π 2 (2 n (2 n + 1)π 1)π (2 n (2 n + 1)π 1)π 2

−

}

´ ´ en serie de Fourier del escal´ ´ (escal´ ´ representado entre Esta es la expansi´ expansion escalon (escalon pero representando el escalón en otro rango el resultado es similar). La ecuación queda ∂ i L + ∂t

t

� 0

i dt = C

∞

−π y π,

( 1)n 1 1 1 1 cos[( cos[(n n+ )t]+ sen[(2 sen[(2 n+1)t +1)t]+ sen[( sen[(n n+ )t] (2 n (2 n + 1)π 1)π 2 (2 n (2 n + 1)π 1)π (2 n (2 n + 1)π 1)π 2

{ −

n=0

que derivando respecto de t queda la ecuaci ecuacion ´ de i( i(t) que buscamos...

∞

i ∂ 2 i ( 1)n+1 1 1 1 1 +L 2 = sen[( sen[(n n + )t] + cos[(2 cos[(2 n n + 1)t 1)t] + cos[( cos[(n n + )t] C ∂t 2π 2 π π 2 n=0

{−

√

}

√ }

La solucion ´ homog´ homogenea e´ nea de esta ecuaci´ ecuacion ´ es ih = A sen( sen(t/ LC ) + B cos( cos(t/ LC ). ∞ La solución particular es i p = n=0 An sen( sen(αn t) + Bn cos( cos(β n t) + Bn cos( cos(γ n t) i(t) = i h + i p . La solución general es i( Como condición on inicial se pide: i(t = 0) = 0. Sin esta condición, on, una discontinuidad en el valor de corriente (ya que a t < 0, i = 0) llevar´ıa ıa a una tension ´ infinita en la bobina i(t = 0)). i( i(t) debe ser continua y derivable en t = t = 0. (derivada infinita de i( Esta condici condicion ´ inicial anula los coeficientes B , B n , dejando sólo los términos erminos con sen() sen():

{

�∞

t i(t) = A sen( sen( )+ An sen( sen(αn t) LC n=0

√


}

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En este punto ya estamos en condiciones, sin conocer el valor de los coeficientes A, An y αn , de ver que la que la expresi´ es c 1 sen(c sen(c2 t). on que mejor describe la corriente que medir´ a el amper´ ampe r´ımetro ımet ro es Respuesta ’a)’.

Sin Cuentas

r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

D ado que la resolución Con on Con Cuentas lleva bastante mas ´ que 3 o´ 4 minutos, veamos cómo omo se Cuentas lleva bastante puede llegar a la misma solución Sin on Sin Cuentas. Cuentas. Cuentas, la corriente a t = 0+ El dato clave es la condición on de contorno de la solución Con on Con Cuentas, es nula, i(t) es continua y derivable en t = 0. Sin esta condición, on, una discontinuidad en el valor de corriente (ya que a t < 0, i = 0) llevar´ıa ıa a una tension ´ infinita en la bobina ´ podemos descartar i (t = 0))Con esta condicion (derivada infinita de i( descartar las soluciones soluciones ’b)’ y ’c)’, ambas valen 1 en t = t = 0. Por otro lado, sin bien el sistema tiene capacidad de almacenar carga, esta capacidad es finita, y la corriente i(t) no podr´ podr´ıa ıa tener el mismo sentido indefinidamente, deber´ deber´ıa ıa alternar entre entre valores valores positivos positivos y negativos. negativos. Con esta condici´ condición on podemos descartar las soluciones ’d)’ y ’e)’, ya que ambas son siempre positivas. Después es del descarte, la unica ´ soluci solucion ´ posible es la ’a)’.


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Problema 19, Ondas

r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

˜ MHzz. Las Dos osciladores de radio generan id´ identicas e´ nticas senales de frecuencia 30 MH ondas de radio idénticas enticas se propagan desde cada antena de igual manera en todas sus direccion direcciones. es. Sobre Sobre puntos puntos de un c´ırculo ırculo de radio 30km centrado en el punto medio entre ambas antenas emisoras las se˜ nales máximas aximas son recibidas solamente sobre las direcciones Norte-Sur y Este-Oeste, y las señales m´ınimas ınimas sobre l´ıneas ıneas haciendo haciend o angulos ´ de 30◦ con la dirección on Norte-Sur. ¿A cu´ cuantos a´ ntos metros están an separadas las antenas y sobre qué dirección?

a) a 10 m sobre la dirección Norte-Sur

b) a 30 m sobre la dirección Este-Oeste c) a 30 m sobre la direccion ´ Norte-Sur

d) a 10 m sobre la direccion ´ Este-Oeste e) ninguna ninguna de las anterior anteriores es

Pista

P ara este problema es necesario simplificar la geometr´ geometr´ıa. ıa. Es fundamental considerar paralelas a las rectas que unen el punto de recepción y las dos fuentes de onda. O sea, en cada punto de la circunferencia en el que se quiera medir la intensidad de la señal, la direcci´ direccion ´ hacia una de las fuentes es paralela a la direcci on ´ a la otra fuente. Esto es equivalente a despreciar la separación on d entre las fuentes frente al radio de la circunferencia, y es aceptable dado que las posibles separaciones entre las fuentes (opciones ’a)’ a ’d)’) son al menos 1000 1000 veces m´ mas ´ pequeñas que el radio. Además, dado que ambas fuentes emiten a la misma frecuencia, el desfasaje que presentan ´ depende de la posicion, ´ con lo cual las ondas se en un punto no depende del tiempo, solo pueden representar con una expresión tipo sen( sen(λ x) x ). Por ult ul ´ timo imo, es nec necesar esario io asu asumir mir que las las fuen fuenttes emit emiten en con desf desfaasaje saje nunulo.

Respuesta

C on las simplificaciones mencionadas arriba, el desfasaje entre los caminos recorridos por una onda y por otra es d cos( a´ ngulo entre la dirección que une las fuentes y cos(α), siendo α el angulo la direcci dirección ´ radial. m/s = 10 10m m. Entonces para 0 y 90o el desfasaje es d La longitud de onda es λ = c/f = 33,,10 10 1/s o´ 0m on entre las fuentes, 10 ó 30m 0m respectivamente. Por lo tanto, cualquiera sea la separación 30m, en la dirección que une las fuentes y en la dirección normal a esta, e´ sta, hay un número entero de longitudes de onda de desfasaje y por lo tanto intensidad máxima. O sea la existencia de los máximos aximos no permite encontrar la respuesta correcta, sino la posición del d el m´ınimo. ıni mo. ´ del m´ λ/2 = 5m = En la posicion m´ınimo ınimo hay un desfasaje de media longitud de onda, o sea λ/2 o Esta ecuaci´ ecuación on se verifica para d = 10 an d cos( cos(α). Esta 10m m y α = 60 . O sea que las fuentes están o 10m m y el m´ınimo separadas 10 ınimo ocurre en una direccion ´ que forma un angulo a´ ngulo de 60 con la ´ que une las fuentes. direcci´ direccion 8

7


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La respuesta correcta es ’d)’.

r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h ´ Instituto Balseiro, Av. Bustillo 9500, Bariloche, R´ R´ıo ıo Negro (8400), Republica Argentina

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Problema 20, Probabilidad

r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

´ uno de 1000 adultos contrae una cierta enfermedad rara. Hay un test Solo para diagnosticarla. El test da positivo en la totalidad de los individuos que realmente tienen la enfermedad, mientras que si el individuo no tiene la enfermedad la probabilidad de que el test dé positivo es 2 %. Si Ud. se realiza el test y el resultado es positivo, positivo, la probabilidad probabilidad de que Ud. tenga esta enfermedad es aproximadamente: a) 0,001 b) 0,01 c) 0,02 d) 0,05 e) 0,20

Respuesta

1 de cada 1000 personas personas contrae contrae la enfermedad. enfermedad. A esa persona persona el test le dar´ a positivo porque detecta la totalidad de individuos afectados. De las 999 personas que no contrajeron la enfermedad, enfermedad, el 2 % tendr´ tendra´ un falso positivo, o sea, unas 20 personas (19.98 personas, estrictamente). Entonces, el test dará positivo a 21 personas de las 1000. De estas 21 personas solo ´ una contrajo la enfermedad, o sea que si el examen da positivo, la probabilidad de estar realmente infectado es 1/ 1/21 = 5% (1/20.98=4.76, estrictamente). La respuesta respuesta m´ mas ´ aproximada es ’d)’.


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r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

El 3 He es un isótopo poco frecuente del gas helio, cuyo isótopo más a s común 4 He 3 He 4 He ´ atmosf erica es el . Suponga que se tiene una mezcla de a presion e´ rica y temperatura ambiente. ¿Cuál al es la relación on entre las velocidades medias de los atomos a´ tomos de este gas? a) La misma, misma, ya que que están a la misma temperatura.

b) La velocidad promedio de los atomos ´ de 3 He es menor que la de 4 He en un factor 3/4. c) La velocidad promedio de los atomos ´ de 3 He es mayor que la de 4 He en un factor 4/3. d) La velocidad velocidad promedio promedio de los atomos a´ tomos de 3 He ser´ sera´ un 15% mayor 4 que la del He. e) No hay suficientes datos para para resolver el problema. problema.

Respuesta

E l hecho de que los dos isótopos otopos estén en mezclados permite suponer que ambos tienen energ´ ene rg´ıas ıas cin ci neticas ´ medias iguales (consecuencia de que la temperatura del gas sea uniforv 1 m v 2 = 12 m4 v 42 me). Igualando las energ´ energ´ıas ıas cin´ cineticas... e´ ticas... E 3 = E 4 v = 1,1547, v 3 es 2 3 3 en promedio promedio un 15 % más as alta que v4 . Respuesta ’d)’.

⇒

⇒

3 4


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´ Problema 22, Optica

r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

Se tiene una lente delgada con la cual se puede quemar una hoja de papel concentrando la luz del sol, si se la coloca a unos 10cm de distancia. Si ahora se monta la lente lente en un banco optico ´ y se pone un objeto a 20cm de distancia, la imagen: a) es real y tiene el doble doble de tama˜ tamaño.

b) es real y tiene la mitad de tamano. ˜

c) es virtual virtual y tiene tiene el mismo mismo tamaño. d) se forma forma en el infinito. infinito.

e) no es descripta por ninguna de las las alternativas anteriores.

Respuesta

E n este caso lo m´ mas a´ s f acil a´ cil es dibujar como se forma la imagen segun ´ la trayectoria de los rayos, para lo cual se debe recordar: - los rayos que inciden paralelos paralelos al eje se refractan pasando por por el foco - los rayos que pasan por por el centro de la lente conservan conservan su dirección - los rayos rayos que inciden pasando pasando por por el foco contin continuan ´ paralelos

Con esto e´ sto vemos que la imágen agen que se forma es real, invertida y de igual tamaño, por lo tanto, la respuesta correcta es ’e)’.


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r a . u d e . b i   .   w   w   w     /  / : p t t h

La función f : R2

→ R es diferenciable en todo R2 y se sabe que: f (1 f (1,, 2) = 2, 2, ∇f (1 f (1,, 2) = (−1, 3), 3), ∇f (2 f (2,, 2) = (3, (3, −5). 5).

Si se define g( g (x, y ) = f ( f (f ( f (x, y), xy) xy ), entonces

−3 b) −5 c) −8 d) −10 e) −13 a)

Respuesta

dg (1, 2) vale: dx (1,

D erivando con la regla de la cadena se obtiene: df (f ( f (x, y ), xy) xy ) dx

(1,2)

=

∂f ( ∂f (f ( f (x, y ), xy) xy ) ∂f ( ∂f (x, y ) ∂f ( ∂f (x, y ) ∂x

(1,2)

+

∂f ( ∂f (f ( f (x, y), xy) xy ) ∂xy ∂xy ∂x

(1,2)

f (1,, 2 ) = 2 y haciendo u(x, y ) = f ( f (x, y ) y v (x, y) Sabiendo del enunciado que f (1

 xy

(1,2)

(1,2)

=

= 2 , queda:

df (f ( f (x, y), xy) xy ) dx

(1,2)

=

∂f ( ∂f (u, v) ∂u

∂f ( ∂f (x, y ) ∂x (2,2)

(1,2)

+

∂f ( ∂f (u, v ) ∂v

∂xy (2,2) ∂x

(1,2)

(x,y) (x,y ) f (1,, 2) = ( ∂f ∂x , ∂ f ∂y ) = (−1, 3) y ∇f (1 (1,2) (1,2) (x,y) (x,y ) ∇f (2 f (2,, 2) = ( ∂f ∂x , ∂ f ∂y ) = (3, (3, −5), la expresión queda: (2,2) (2,2)

Nuevamente sabiendo del enunciado que

df (f ( f (x, y ), xy) xy ) dx

Respuesta ’e)’.

(1,2)

= (3) ( 1) + ( 5) (2) =

−

−

−13


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r a . u d e . b i . w w w / / : p t t � � h � �

Un objeto de masa M cuelga de un resorte de constante K (de masa despreciable preciable)) observ´ observándose andose una longitud de equilibrio l (figura superior). Otro oscilador similar, también e n de masa M y constante K , se mueve horizontalmente sin fricción (figura inferior). Ambos osciladores están an sujetos a la fuerza de gravedad, de aceleración g , que act actua ´ en la dirección vertical. Las frecuencia frecuenciass caracter´ caracter´ısticas ısticas de las oscilacio oscilaciones nes que se sugieren sugieren en la figura dependen:

a) sólo de M/K en ambos casos.

b) solo ´ de la relación on g/K en el superior y de M/K en el inferior. ´ de la relacion ´ l/g en el superior y de c) solo M/K en el inferior.

d) en ambos ambos casos de la elongaci´ elongación inicial y de K . e) de l/g y de K/M para el caso superior, mientras que en el inferior depende sólo de K/M .

Respuesta

´ del oscilador armonico ´ L a ecuaci´ ecuacion es

∂ 2 x M 2 + K (x ( x l0 ) = 0 ∂t El primer término ermino corresponde a la inercia, la oposición de M a adquirir una aceleración empujada por el segundo término, ermino, la fuerza ejercida por el resorte como consecuencia de su elongaci elongacion. ´ l0 es la elongación de reposo del resorte, que tiene distintos valores para los osciladores de las figuras. ˜ cambio de variable, trasladando x una distancia l 0 , u = x l0 => Haciendo un pequeno ∂ u ∂ x la ecuación on queda ∂t = ∂t ∂ 2 u M 2 + K u = 0 ∂t de la cual se desprende desprende la solución

−

2

2

2

2

u(t) = A sen( sen(

Volviendo a x,

K t) t) + B cos( cos( M

−

K t) t) M

K K t) t) + B cos( cos( t) t) + l0 M M donde se ve que l0 no afecta la frecuencia, aunque s´ s´ı el punto alrededor del cual ocurrir a´ la oscilación. La respuesta es por lo tanto ’a)’, la frecuencia sólo depende de K y M . x = u = u + l0 = A = A sen( sen(


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r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

Una Una bala bala que que se despl desplaz azaa hori horizo zont ntal alme ment ntee se incr incrus usta ta en un bloq bloque ue de ma made dera ra inic inicia ialm lmen ente te en repo reposo so.. El bloq bloque ue est´ está suje sujeto to a un eje eje que que le perm permit itee rota rotarr en el plan plano o hori horizo zont ntal al por por medi medio o de una una vari varill lla, a, cocomo se indi indica ca en la figur figura. a. Co Como mo cons consec ecue uenc ncia ia del del impa impact cto, o, la vari varill llaa comien comienza za a girar girar alreded alrededor or del eje. eje. Dadas Dadas las siguie siguiente ntess afirmac afirmacion iones: es: I. El impulso impulso se conserva conserva.. II. La energ´ıa ıa cin´ cinetica e´ tica se conserva.

III. El impulso angular con respecto al eje se conserva. conserva. a) solo ´ I es correcta.

´ III es correcta. b) solo

´ I y III son correctas. c) solo ´ I y II son correctas. d) solo e) todas son son correctas correctas..

Pista

L as leyes de conservaci conservacion ´ de impulso, i mpulso, energ´ e nerg´ıa ıa cinetica ´ e impulso angular se aplican cuando el sistema en estudio no está sometido a fuerzas externas, disipación de d e energ´ e nerg´ıa ıa o torques externos respectivamente.

Respuesta

E n el inst instan ante te del del choq choque ue la bala bala se incr incrus usta ta en el bloq bloque ue de ma made dera ra.. Dado Dado que que el enun enunci ciad ado o no lo especifica pero es sabido que la bala realizará trabajo de deformación on en la madera, no se puede asegurar que la energ´ıa ıa cinetica ´ se conservará. a. En el instante instante posterior posterior al choque choque el bloque bloque comenzará a moverse y por estar sujeto al eje comenzará a rotar, para lo cual el eje deberá ejercer la fuerza fu erza centr´ıpeta ıpeta correspondient corresp ondiente. e. La ´ de impulso lineal. Pero dado que existencia de esta fuerza hace inaplicable la conservaci´ conservacion la fuerza pasa a través es del eje no ejerce torque, por lo tanto s´ı se puede aplicar la conservaci´ cion ´ de impulso angular. ´ el impuls La respu respuest estaa corre correcta cta es ’b)’, ’b)’, solo impulso o angula angularr con respect respecto o al eje se conser conser-va.


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Problema 26, Matemáticas aticas

r a . u d e . b i . w w √ w / / : p t t h

Las soluciones del sistema de ecuaciones con incógnitas (x, (x, y ) 2

� Ax + 2Bxy 2Bxy + + Cy

2

+ Dx + Ey = F = F

Rx + Sy = T = T

A, B,C,D,E,F,R,S,T . dependen de los valores de las constantes reales A, ¿Cuál al de las siguientes afirmaciones ES SIEMPRE FALSA? La cantidad de soluciones del sistema de ecuaciones puede ser

a) exactament exactamentee 0. b) exactamente 1. c) exactament exactamentee 2. d) exactament exactamentee 3. e) infinita. infinita.

Respuesta

´ del sistema es lineal, o sea que para cada valor de x existe uno de y L a segunda ecuaci´ ecuacion (excepto cuando R o´ S son nulos, en cuyo caso hay infinitos valores de x ( o´ y ) para cada valor de y ( o´ x)). ´ es de segundo orden con dos inc´ ´ La primera ecuacion incognitas, pero reemplazando en ella el valor de y ( o´ x) de la segunda ecuación, on, se obtiene una ecuación on de segundo orden en x (o´ y ), que se resuelve con la conocida solución on general:

−b + − x =

(b2 2 a

− 4 a c)

Esta ecuaci ecuacion ´ puede tener 0, 1 o´ 2 soluciones. ´ ´ Por lo tanto, lo unico que no se puede obtener es un conjunto de 3 soluciones. La afirmaci´ afirmacion falsa buscada es ’d)’.


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Problema 27, Termodin´ ermodinamica a´ mica

r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

Un gas ideal que está a presión on constante de 4 105 Pa es enfriado de forma 1,6 m3 a 1, 1,2 m3 . ¿Cu´ que su volumen decrece de 1, ¿Cual a´ l es el trabajo realizado por el gas?

×

−4,8 × 105 J b) −1,6 × 105 J c) 1,6 × 105 J d) 4,8 × 105 J e) 6,4 × 105 J a)

Respuesta

E l enfriamiento del gas lo lleva a una reducción on de su volumen (compresión). on). El trabajo que el entorno realiza sobre el sistema durante la compresión es W = P ∆V = 1,6E 5 J , lo cual nos lleva a la respuesta ’b)’.

−


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r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

´ Los jugadores de f ´ f utbol conocen el teorema de Bernoulli, ya que patean con efecto. De esta manera la pelota puede seguir una trayectoria curva, vista según su proyección sobre el plano de la cancha. Hace unos años n os un técniecnico dijo que la pelota no dobla si se juega a 4000 4000 m de altura. Esto es: a) cierto, porque la velocidad del viento a esa altura es menor. menor.

b) cierto, porque a esa altura el aire se vuelve turbulento mas ´ fácilmenacilmente y deja de valer el teorema de Bernoulli. c) cierto, porque porque la densidad del aire es menor. menor.

´ de la gravedad es menor. d) cierto, porque porque la aceleraci aceleración

e) fals falso, o, ya que que todo todoss los los camb cambio ioss que que se prod produc ucen en con con la altu altura ra se comcompensan.

Respuesta

E l efecto efecto que adquieren adquieren las pelotas de futbol, ´ al igual que las pelotas de golf, los perfiles alares, etc, se debe a que el aire pasa en promedio más as velozmente por un hemisferio de ´ que empuja la pelota. En las la pelota que por el otro, generando una diferencia de presi´ presion pelotas esto se debe a su velocidad de rotación on y en los perfiles alares a su no simetr´ıa. ıa. 2 2 ∆P = ρ( ρ (vizq vder )/2, donde se observa que La diferencia diferencia de presi presion, ´ según Bernoulli, es ∆P ´ de densidad que presenta a mayor densidad ρ, mayor ∆P . Por lo tanto la disminuci on la atmósfera cuando ascendemos 4000m, puede explicar una disminución on en el empuje (efecto) sobre la pelota. Respuesta ’c)’.

−


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Problema 29, Matematica

r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

Para cualquier a

´ ∈ R, la funcion:

sin(a sin(a) + x cos(a cos(a)

−

x2 sin(a sin(a) 2!

−

x 3 x4 x 5 cos(a cos(a) + sen( sen(a) + cos(a cos(a) 3! 4! 5!

corresponde a los primeros términos erminos del desarrollo en serie de potencias cen x = 0 de la función: trado en x = on: sin(ax)) a) sin(ax

cos(ax)) b) cos(ax

sin(x + a) c) sin(x

cos(x + a) d) cos(x sin(x + a) e) sin(x

Respuesta

sin(ax)) − sin(ax

´ A cordemonos de como era el desarrollo en serie de una funci on, f ( f (x) = f (0) f (0) + f ′ (0)x (0)x +

f ′′ (0) 2 f n (0) n x + ... + x . 2 2

Teniendo esto en cuanta esto las funciones trigonométricas etricas de ax producirán an en las deri2 vadas primera, primera, segunda, tercera ... términos erminos que contengan el factor a , a , a 3 ... por lo que quedan excluidas las respuestas a, b y e. Ahora bien, el hecho que el termino independiente f (0) f (0) = sin(a sin(a) indica que el el desarrollo en serie corresponde a la función sin(x sin(x + a + a)) por lo que la respuesta correcta en la c.


Examen 2008

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Problema 30, Electromagnetismo Electromagnetismo

r a . u d e . b i . w w w / / : p t t h

Una part´ıcula ıcula cargada carg ada est a´ inicialmente en reposo en un medio con un campo magnético etico uniforme, constante e infinito. Al recibir un impulso p, una trayectoria que NO puede describir la part´ part´ıcula ıcula es: a) recta recta en el sentido del campo campo magn´ magnetico. e´ tico.

b) recta, opuesta al sentido del campo magn´ magnetico. ´ c) parabólica. olica. d) helicoidal helicoidal.. e) circular. circular.

Respuesta

. Su velociC onsideremos el movimiento de la part´ıcula ıcula despues ´ de recibir el impulso⃗ p ⃗ , donde m es su masa. Consideremos ahora el efecto de la fuerza ⃗v = p dad ser´ sera´ tal que m ⃗ ⃗ magnética, etica, F = q ıcula ⃗qv B . Estudiemos las distintas opciones. Consideremos que la part´ıcula ⃗ = 0, por lo que continua en B se mueve paralela a la dirección del campo o sea que⃗v movimiento rectilineo uniforme. Esta es la situación on que describe las respuestas a) y b). En cambio si la part´ıcula ıcula tiene velocidad perpendicular al campo magn´ magnetico ´ el campo aplica una fuerza perpendicular a la misma forzando un movimiento circular, o sea la situación on descrita en e). En el caso que la velocidad sea oblicua la campo, la situación on será una com binaci´ binacion ´ de los dos casos anteriormente descritos, es decir la part´ıcula ıcula describe una helice. ´ ´ ´ Teniendo en cuenta esto la unica trayectoria NO compatible listadas es la parabolica por lo que la respuesta correcta es la c).

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