SOLUCIONARIO Generalidades de los triángulos
1 V 5 1 A 2 2 T M 2 2 0 S E C I U G S
1
TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA GENERALIDADES DE LOS TRIÁNGULOS Ítem Alternativa
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
E D A C B D E A E D A B C E C A C A A B C D C D D
Habilidad
Aplicación ASE Aplicación Aplicación ASE ASE Aplicación ASE ASE Aplicación ASE Aplicación ASE Comprensión Comprensión Aplicación ASE ASE Aplicación ASE ASE ASE ASE ASE ASE
2
1. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos Aplicación
: : 5 : 6 : 7 , entonces 5k , 6k y 7k 180º
(Reemplazando)
5k 6k 7k 180 18k 180 180 k 18 k 10 El menor de ellos es , entonces 5k = 5 · 10 = 50° Por lo tanto, el ángulo exterior adyacente a 50º es 130º. 2. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos ASE C
80º 120º 60º
40º
A
B
I) Verdadera, ya que el ángulo que se opone a AC es 40º y el ángulo que se opone a AB es 80º, por lo tanto, AB AC . II) Verdadera, ya que los tres ángulos interiores del triángulo ABC son agudos. III) Falsa, ya que el ángulo interior menor es 40º y se opone a él AC , por lo tanto, el lado menor es AC . Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
3
3. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos Aplicación R
Por teorema del ángulo exterior:
(Despejando )
T
P
Q
ε+ δ
S
4. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos Aplicación
Como el triángulo ABC es isósceles en C , entonces el ángulo exterior que se forma en el vértice A es igual al ángulo exterior que se forma en el vértice B. Planteando la suma de ángulos exteriores en el triángulo ABC : β' + (β’ + ’) = 360º β' + 235º = 360º β' = 360º – 235º β' = 125º
(Reemplazando)
(Despejando) ` A
Luego, según la condición del enunciado: β’ + ’ = 235º
C `
` B
(Reemplazando)
125º + ’ = 235º
(Despejando)
’ = 235º – 125º ’ = 110º
(Reemplazando)
Por lo tanto, como es adyacente a ’, entonces = (180º – ’) = (180º – 110º) = 70º
5. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos ASE
I) Verdadera, ya que el ángulo interior mayor es 90º y el lado que se opone a él es la hipotenusa.
4
II) Verdadera, por definición. III) Falsa, ya que el punto de intersección de las simetrales es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
6. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos ASE
ABC rectángulo isósceles, AD bisectriz del ángulo BAC , luego:
I) Verdadera, ya que el ADC y el ADB son isósceles en D.
C
II) Verdadera, ya que AD DB .
45º D
III) Verdadera, ya que CD DB , entonces D es punto medio de CB . A
45º 45º
45º
B
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 7. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos Aplicación
CE es bisectriz del ángulo ACB, = 65º y = 45º,
C
entonces: x 35
Por suma de ángulos interiores del triángulo ABC , se tiene que ACB = 70º. Como CE es bisectriz del ACB, entonces el ECB = 35º
45º A
65
45 D
DCB = 35º + x = 45º
Por lo tanto, x = 10º
5
E
B
8. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos ASE
Dado que AQ y BP son transversales de gravedad del Δ ABC , entonces P y Q son puntos medios de sus lados respectivos y T es el baricentro (centro de gravedad) del ABC , lo que implica que
TQ AT
TP BT
1 2
, es decir BT = 2TP y AT = 2TQ.
Como el Δ ABQ es isósceles en A, el Δ APB es isósceles en B y AB = 4, entonces AB = AQ = PB = 4. Entonces, se puede plantear: AT + TQ = AQ (Reemplazando valores y relaciones conocidas)
2TQ + TQ = 4 3TQ = 4 TQ =
(Despejando)
4 3
Como AB AQ , entonces TP = TQ =
4 3
.
Por otro lado, como P y Q son puntos medios de sus lados respectivos, entonces PQ es mediana del Δ ABC , lo que significa que mide la mitad
del lado AB . Luego, PQ = 2.
Entonces, el perímetro del Δ TQP es igual a
4 4 4 4 6 (TQ + TP + PQ) = 2 = = 3 3 3 3 3
Por lo tanto, el perímetro del Δ TQP es
14 3
14 3
.
.
9. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos ASE
I) Verdadera, ya que la posición del ortocentro (punto donde se intersectan las alturas de un triángulo) queda determinada por la clasificación del triángulo con respecto a los ángulos. Si es acutángulo, se encuentra dentro del triángulo; si es rectángulo, se encuentra en el vértice recto; y si es obtusángulo, se encuentra fuera del triángulo. Por otro lado, el centro de gravedad de un triángulo siempre se encuentra dentro del mismo.
6
II) Verdadera, ya que al trazar las tres medianas, el triángulo queda dividido en cuatro triángulos iguales que están “a escala” con respecto al original. Esto implica que tienen
la misma clasificación. III) Verdadera, ya que en un triángulo isósceles el ortocentro, el circuncentro, el incentro y el centro de gravedad (baricentro) se ubican sobre una misma línea (eje de simetría) que pasa por el vértice del ángulo distinto y por la mitad de la base. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
10. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos Aplicación
Área achurada = Área triángulo mayor – Área triángulo menor 62 32 3 3 Área achurada = 4 4 6 36 9 Área achurada = 3 3 4 4 27 Área achurada = 3 cm 2 A 4
C
3 B
11. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos ASE C
Si DE es mediana, entonces AB = 8 y E es punto medio de CB , por lo tanto, AE es altura del triángulo equilátero de lado 8.
D
4
E
Entonces, AE 4 3 A
7
8
B
12. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos Aplicación
La mediana de un triángulo dimidia cualquier trazo que vaya de su lado paralelo al vértice contrario. Luego, al trazar la altura TB (como indica el dibujo), esta queda dividida en dos segmentos congruentes. T Dado que la altura de un triángulo equilátero es igual a
lado
3
2
10 3 5 3. , entonces TB = 2
S
M
N
R
A
P
B
Q
5 3 . Por otro lado, SR = PQ = 10. Como AB PQ , entonces SP = RQ = AB = 2
Luego, el perímetro de PQRS es 5 3 5 3 10 3 20 10 ( PQ + RQ + SR + SP ) = 10 20 5 3 2 2 2
Por lo tanto, el perímetro del rectángulo PQRS es 20 + 5 3 . 13. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos ASE
Para que el área del PRT sea igual al área del cuadrilátero SURP , entonces cada una
25 3 debe medir la mitad del área del SUT , es decir . Como el área de un triángulo 2
equilátero se calcula como
Área PRT = 2
PR 3
4
=
25 3
2
2
4
3
, entonces:
(Reemplazando la fórmula)
2 25 3
lado
(Despejando)
8
PR² =
4 25 3 2
3
(Simplificando)
PR² = 25 · 2
(Aplicando raíz cuadrada)
PR = 5 2
Por lo tanto, PR mide 5 2 cm. 14. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción Comprensión
Si un cateto es el triple de otro, la hipotenusa es igual al cateto menor por raíz de 10. En este caso, la respuesta inmediata es 5 10
15. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción Comprensión C
AB corresponde a la altura del triángulo equilátero de lado
18, por lo tanto, AB = 9 3
60º
18
30º B
A
16. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción Aplicación C
Como es un triángulo rectángulo isósceles, es un triángulo de ángulos 45º y 90º, entonces sus catetos miden 9 2 cm. 45º A
9
45º 18
B
17. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción ASE
Un trío pitagórico corresponde a un conjunto de tres números naturales a, b, c que cumplen que a² + b² = c². Luego: I) Verdadero, ya que (24² + 32²) = (576 + 1024) = 1600 = 40², es decir, 24² + 32² = 40². Por otro lado, el conjunto 24, 32, 40 corresponde a la amplificación por 8 del conjunto 3, 4, 5, que es un trío pitagórico. II) Falso, ya que (18² + 24²) = (324 + 576) = 900 = 30², es decir, 18² + 24² 36². Por otro lado, el conjunto 18, 24, 36 corresponde a la amplificación por 6 del conjunto 3, 4, 6, que NO es un trío pitagórico. III) Verdadero, ya que (10² + 24²) = (100 + 576) = 676 = 26², es decir, 10² + 24² = 26². Por otro lado, el conjunto 10, 24, 26 corresponde a la amplificación por 2 del conjunto 5, 12, 13, que es un trío pitagórico. Por lo tanto, solo I y III forman un trío pitagórico con 24.
18. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción ASE
Aplicando el teorema de Pitágoras en el ADC y DBC resulta: AD² + CD² = AC ² CD² = AC ² – AD² DB² + CD² = CB² CD² = CB² – DB² Igualando las expresiones: AC ² – AD² = CB² – DB² (Reemplazando AC = 3, CB = 2 y AD = 4 – DB) 3² – (4 – DB)² = 2² – DB² (Despejando DB ) 9 – 16 + 8 DB – DB² = 4 – DB² 8 DB – DB² + DB² = 4 – 9 + 16 8 DB = 11 DB =
11 8
Por lo tanto, la medida de DB es
11 8
.
10
19. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción Aplicación
Dado que las medidas de los catetos están en la razón 2 : 3, entonces se pueden expresar ambas medidas en términos de una constante de proporcionalidad como 2 k y 3k . Planteando el teorema de Pitágoras (sabiendo que la hipotenusa mide 20 cm) resulta; (2k )² + (3k )² = 20² 4k ² + 9k ² = 400 13k ² = 400 400 k ² = 13 k =
(Despejando)
(Aplicando raíz cuadrada)
20 13
Entonces, los catetos miden (2 k ) = 2
13
20
Por lo tanto, el menor de los catetos mide
40 13
cm y (3k ) = 3
20 60 cm. 13 13
40 cm. 13
20. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción ASE
Como VRT = 90° y TSV = 30°, entonces RTS = 60°. Dado que TV es una bisectriz del RST , entonces RTV = VTS = 30°.
T 30 30
Luego, TVR = 60°, como indica el siguiente esquema:
60
R
30
V
Según la relación métrica, en un triángulo30°, 60°, 90°, si la hipotenusa mide a, entonces el cateto que se encuentra frente al ángulo de 30° mide TV 2 RV
11
a 2
. Luego,
S
Además, como VTS TSV , entonces TV VS Entonces,
TV 2 RV 2 RV RS RV VS RV 2 RV 3 RV TV
Por lo tanto, el valor de
TV RS
es
2 3
2 3
.
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción ASE
Como A y D son los puntos medios de sus lados respectivos, entonces AD es mediana del triángulo PQR, por lo cual mide la mitad de PQ . Entonces, AD = 2 cm (igual que BC , por ser
rectángulo). Además, PA = AR = RD = DQ = 3 cm. R
Como PQ = 4 cm y BC = 2 cm, entonces PB = CQ = 1 cm (dado que PR = RQ).
3
D
3
CQ CD DQ . Reemplazando y despejando 2
2
A
Aplicando el teorema de Pitágoras, se cumple que 2
3
2
P
resulta 1² + CD² = 3² AB = CD = 9 1 8 4 2 2 2 .
3
1 B
2
C
1 Q
Por lo tanto, la medida de AB es 2 2 cm.
22. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción ASE R
Como el triángulo PQR es rectángulo en R, y dado que el cateto PR mide 18 = (6 3) cm y el cateto RQ mide 24 = (6 4) cm, entonces corresponde al trío pitagórico {3 - 4 - 5} amplificado por 6.
18
P
Luego, la hipotenusa PQ mide (6 5) = 30 cm.
24
S
30 12
Q
Dado que RS es transversal de gravedad, entonces PS = RS = SQ =
30 2
= 15
Por lo tanto, la medida de RS es 15 cm.
23. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción ASE
Dado que el LMN es rectángulo en N y que NML = 64°, entonces PLN = 26°. Como P es el punto medio de LM , entonces NP es transversal de gravedad sobre la hipotenusa del LMN . Luego, LP PM NP , lo que implica que PLN = LNP = 26°. Dado que NQ es bisectriz del LNM , que vale 90°, entonces LNQ = QNM = 45°. Luego, PNQ = ( LNQ – LNP ) = (45° – 26°) = 19°. Por lo tanto, la medida del PNQ es 19°. 24. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Ángulos y polígonos ASE
(1) El lado del triángulo equilátero mide 12 cm. Con esta información, es posible determinar el radio de la circunferencia inscrita a un triángulo equilátero, ya que: Radio circunferencia inscrita =
1 3
altura =
1 lado
3
2
3
1 12
= 3
2
3
=
2 3
(2) El área del triángulo equilátero mide 36 3 cm2. Con esta información, es posible determinar el radio de la circunferencia inscrita a un triángulo equilátero, ya que el área de un triángulo equilátero se calcula: (lado) 2 3 Área (Reemplazando) 4
13
(lado) 2 3 36 3 4 4 36 3 (lado) 2 3 144 = (lado)2 12 = lado
(Despejando)
(Aplicando raíz cuadrada)
Conociendo la medida del lado, se puede plantear: Radio circunferencia inscrita = Radio circunferencia inscrita = Radio circunferencia inscrita = Radio circunferencia inscrita =
1
altura
3
1 lado 3
3
2
(Reemplazando)
1 12 3
3
2
2 3
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. 30. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción ASE
(1) La suma de las medidas de sus catetos es 10 2 cm. Con esta información y la del enunciado, se puede determinar la medida de la hipotenusa, ya que como los catetos son congruentes, entonces cada uno mide 5 2 cm. Dado que en un triángulo rectángulo, siempre que los catetos miden lo mismo, entonces la hipotenusa tiene la medida de los catetos multiplicada por 2 , entonces la hipotenusa mide 5 2 · 2 = 5 · 2 = 10 cm. (2) La altura que cae sobre la hipotenusa mide 5 cm. Con esta información y la del enunciado, se puede determinar la medida de la hipotenusa, ya que en los triángulos rectángulos isósceles, la altura mide la mitad de la hipotenusa. Por lo tanto, la hipotenusa mide 10 cm. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
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