Solucionario Fisica Vectorial 1 Vallejo Zambrano

HENRY ALVARADO

FÍSICA VECTORIAL 1 VALLEJO-ZAMBRANO SOLUCIONARIO Por Henry Alvarado Primera edición

(Edición Realizada en software de ofimática) Contactos:

http://www.facebook.com/henryalvaradoj 0987867212

PROLOGO

Este libro ha sido creado, con la intención de contribuir a los estudiantes en el interés del estudio de la física, de un modo mediante el cual puedan recurrir a esta guía para satisfacer sus dudas en la resolución de problemas del libro “Física Vectorial 1” de los autores Patricio Vallejo y Jorge Zambrano, debo advertir que este solucionario no constituye una guía práctica para el aprendizaje de la física, sino es solo un apoyo para la misma.

El libro “Física Vectorial 1” de Vallejo-Zambrano, es un libro mediante el cual los lectores pueden aprender de un modo significativo, sin embargo me permití resolver los ejercicios propuestos en el mismo, para brindar una mayor facilidad de comprensión en los problemas de este tipo, he puesto mi esfuerzo en cada uno de los ejercicios, además de la edición de los mismos.

El uso de este solucionario es de absoluta responsabilidad del lector, por tanto aconsejo se utilice debidamente para desarrollar las destrezas en el estudio de la física.

Henry Alvarado.

Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano

EJERCICIO Nº 1

1. Representar las siguientes coordenadas rectangulares en el plano: A.  -4, 3 D.  0, 6  G.  -2, - 5 

B 1, - 8 

C.  -7, - 2 

E.  5, 0  F.  3, 4 

H. 8, - 4  I.  -1, 7 

SOLUCIÓN:

Henry Alvarado

Página 1


2. Determinar las coordenadas rectangulares que corresponden a los siguientes puntos:

SOLUCIÓN:

R .  5, - 6 

S.  -8, - 3

T.  -4, 0 

X. 8,1

Y.  -7,1

Z.  7, - 5

U.  2,7 

V.  -2, 3

W.  -8, 0 

3. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos siguientes: R . 12, 5  U.  -1, 8  X.  -11, - 6 

S.  -7, 4 

T.  4, - 2 

V.  -2, - 7  W. 10, 3

Y.  9, - 4  Z.  -4, 9 

SOLUCIÓN:

R . 12, 5 Primer Cuadrante

S.  -7, 4  Segundo Cuadrante

T.  4, - 2  Cuarto Cuadrante

U.  -1, 8 Segundo Cuadrante

V.  -2, - 7  Tercer Cuadrante

W. 10, 3 Primer Cuadrante

X.  -11, - 6  Tercer Cuadrante

Y.  9, - 4  Cuarto Cuadrante

Z.  -4, 9  Segundo Cuadrante

Henry Alvarado

Página 2


4. Representar las siguientes coordenadas polares en el plano: R .  40 cm, 75°  U. 15 N, 110°  X.  35 m, 200° 

S.  20 cm, 290° 

V.  25 N, 330° 

T.  30 cm, 180°  W. 10 N, 200° 

Y.  50 m, 245°  Z.  50 m, 90° 

SOLUCIÓN:

Henry Alvarado

Página 3


5. Determinar las coordenadas polares que correspondan a los siguientes puntos:

SOLUCIÓN:

Q.  5cm, 65°  R . 10cm,112°  S.  9cm,165° T. 11cm, 225° U.  7 cm, 305°  V.  9 N, 70°  W.  7 N,115° X. 10 N, 210°  Y.  5 N, 260°  Z. 8 N, 325° 6. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos siguientes:

R .  90 m, 119°  U.  47 m, 25°  X.  91N, 272°  S.  35 m, 213°  V.  63 N, 192°  Y. 113 N, 89°  T.  87 m, 300° 

W.  56 N, 94° 

Z. 83 N, 165° 

SOLUCIÓN:

R .  90 m,119°  Segundo Cuadrante

S.  35m, 213° Tercer cuadrante

T. 87 m, 300° Cuarto Cuadrante

U.  47 m, 25° Primer Cuadrante

V.  63 N,192°  Segundo Cuadrante

W.  56 N, 94° Primer Cuadrante

X.  91N, 272°  Cuarto Cuadrante

Y. 113 N, 89°  Primer Cuadrante

Z. 83 N,165° Segundo Cuadrante 7. Representar las siguientes coordenadas en el plano: R . 12 m, SE  S.  8 m, N12°O  T. 10 m, N 35° E 

Henry Alvarado

U.  7 m, S55°O  X. 11cm, S10° E  V.  9 m, N80°O  Y. 8cm, S  W. 10 cm, N  Z.  7 cm, S15°O 

Página 4


SOLUCIÓN:

8. Determinar las coordenadas geográficas que corresponden a los siguientes puntos:

SOLUCIÓN:

Q. 10 m, N55°E  R . 12 m, N5°E  S. 8m, N 65°O  T. 11m, S50°O  U. 10 m, SE 

V. 10 N, N 40°E  W. 8 N, N32°O  X.  9 N, N80°O  Y. 12 N, S33°O  Z. 11N, S52°E 

Henry Alvarado

Página 5


9. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos siguientes: R .  70 km, SE  U.  55 km, N 20 E °  X.  75 m, N 73°O 

S.  45 km, N 23O°  T.  60 km, S80°O 

V. 80 m, S35° E 

W.  29 m, S10°O 

Y.  40 cm, N80° E  Z. 89 cm, NE 

SOLUCIÓN:

R .  70 km, SE  Cuarto Cuadrante

S.  45km, N 23O°  Segundo Cuadrante

T.  60 km, S80°O  Tercer Cuadrante

U.  55km, N 20 E° Primer Cuadrante

V. 80 m, S35°E  Cuarto Cuadrante

W.  29 m, S10°O  Tercer Cuadrante

X.  75m, N 73°O  Segundo Cuadrante

Y.  40cm, N80°E  Primer Cuadrante

Z. 89cm, NE  Primer Cuadrante 10. En el triángulo GHI, hallar: a) g en términos de I, h b) i en términos h, g c) G en términos i, g d) h en términos G, g e) i en términos G, h f) I en términos i, h

SOLUCIÓN: a)

b)

c)

h 2 = i2 + g2

tanG =

g cosI = h  g = h cosI

 i = h2 - g2

d)

e)

g h g h= senG

i h  i = h cosG

senG =

Henry Alvarado

cosG =

g i

g  G = tan -1   2 f) i senI = h i  I = sen -1   h Página 6


11. En el triángulo JKL, hallar: a) j en términos de L, l b) l en términos J, k c) J en términos j, l d) k en términos j, l e) k en términos j, L f) l en términos k, L

SOLUCIÓN: a) l tanL = j l  j= tanL d) 2

k = j +l

b)

c)

l cosJ = k  l = k cosJ

tanJ =

e) cosL =

j k

k=

j cosL

2

j l

 j  J = tan -1   l f) l k  l = k senL senL =

12. En el triángulo MNO, hallar: a) M en términos de o, m b) N en términos o, m c) n en términos o, m d) m en términos M, n e) o en términos N, n f) o en términos N, m

Henry Alvarado

Página 7


SOLUCIÓN: a)

senM =

b)

m o

cosN =

m  M = sen -1   o d) m n  m = n tanM tanM =

c)

m o

o2 = m2 + n 2

m  N = cos-1   o e) n senN = o n o= senN

 n = o2 - m2 f) m o m o= cosN cosN =

13. Resolver los siguientes triángulos rectángulos:

b

B = 55°

c

c d c = d sen 35° c = 10sen 35° = 5, 74 m

sen 35° =

B = 90° - 35°

b d b = d cos 35° b = 10 cos 35° = 8,19 m

cos 35° =

R = 90° - 42°

sen 42° =

R = 48°

q p

q sen 42° 73cm p= = 109, 09 cm sen 42° p=

tan 42° =

q r

q tan 42° 73cm r= = 81, 07 cm tan 42° r=

Henry Alvarado

Página 8


 ECD

E = 90° - 28°

2 EC = 47 cm

E = 62°

EC = 23,5cm

EC DE EC DE = sen 28° 23,5cm DE = = 50, 05cm sen 28°

sen 28° =

 ABC

AC = BC2 + AB2

AB = DC = 44,19cm

AC = 47 2 + 44,192

A = 90° - 43, 24°

AC = 64,51cm

A = 46, 76°

EC DC EC DC = tan 28° 23,5cm DC = = 44,19 cm tan 28° tan 28° =

AB BC  AB  C = tan -1    BC   44,19  C = tan -1   = 43, 24°  47  tanC =

 ABC

AB AC AB AC = sen 38° 53cm AC = = 86, 09 cm sen 38°

A = 90° - 38°

sen 38° =

A = 52°

AB BC AB BC = tan 38° 53cm BC = = 67,84 cm tan 38° tan 38° =

1

 BCD

1 = 90° - 38° 1 = 52°

DC BC DC = BCcos 38°

cos 38° =

DC =

Henry Alvarado

53cm cos 38° = 53, 46 cm tan 38°

BD BC BD = BCsen 38°

sen 38° =

BD =

53cm sen 38° = 41, 76 cm tan 38°

Página 9


 ABC

BC AC BC = ACsen 40° BC = 90 km sen 40° = 57,85 km

sen 40° =

C = 90° - 40° C = 50°

AB AC AB = ACcos 40° AB = 90 km cos 40° = 68,94 km

cos 40° =

 EDB EB = DB =

2 2 AB = 68,94 km = 45,96 km 3 3

DE = 45,962 + 45,962 DE = 65km

Triangulo isósceles E = 45° D = 45°  EDC

1 = 90° - 67° 1 = 23°  D = 67

EC DC EC = DCcos 23° EC = 71m cos 23° = 65,36 m

1

 ABC

A = 90° - 37° A = 23°

cos 23° =

AC 2 AC = 2 EC = 2  65,36 m  = 130, 72 m EC =

AB AC AB = ACsen 67° AB = 130, 72 m sen 67° = 120,33m

sen 67° =

Henry Alvarado

DE DC DE = DCsen 23° DE = 71m sen 23° = 27, 74 m

sen 23° =

BC AC BC = AC cos 67° BC = 130, 72 m cos 67° = 51, 08 m

cos 67° =

Página 10

Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano

EJERCICIO Nº 2

1. Determinar cuáles de los siguientes vectores son unitarios: a) d) g)

 0,5 i+ 0,5 j   0,7 i+ 0,55 j   0,33 i  0,943 j 

  e)  0, 235 i  0,972 j  h)  0,5 i+ 0,866 j 

  f)  0,3 i+ 0, 4 j  i)  0,707 i  0,707 j  c) 0,37 i  0,929 j

b) 0,8 i+ 0, 6 j

SOLUCIÓN: a)

0,52 + 0,52 = 0, 707  No es unitario

c)

0,372 + 0,9292 = 1  Es unitario d)

0, 72 + 0,552 = 0,890  No es unitario

e)

0, 2352 + 0,9722 = 1  Es unitario f)

0,32 + 0, 42 = 0,5  No es unitario

g)

0,332 + 0,9432 = 1  Es unitario

i)

0, 7072 + 0, 7072 = 1  Es unitario

b)

h)

0,82 + 0, 62 = 1  Es unitario

0,52 + 0,8662 = 1  Es unitario

2. Determinar los vectores unitarios de los siguientes vectores: a) A = 150 N, 140°

b) B =  27 N, N37° E 

c) C =  45 N, 225° 

b) D = -9 i+ 4 j N

e) E =  400 N, S25°O 

f) F = 235 i- 520 j m

c) G =  28m, S

h) H =  40 m, 335

i) I = 12 m, NO 









SOLUCIÓN: a)

A X = 150cos140°

A Y = 150sen140°

A X = -114,91

A Y = 96, 42

A = A =





A = -114,91 i+ 96, 42 j N

A A

 -114,91 i+ 96, 42 j  N 

150 N

A = -0, 77 i+ 0, 64 j Henry Alvarado

 Página 11


b)

BX = 27sen 37°

BY = 27 cos 37

BX = 16, 25

BY = 21,56

B = B =





B = 16, 25 i+ 21,56 j N

B B

16, 25 i+ 21,56 j  N 

27 N

B = 0, 60 i+ 0, 79 j



c)

CX = 45cos 225°

CY = 45sen 225°

CX = -31,82

CY = -31,82

C = C =





C = -31,82 i+ -31,82 j N

C C

 -31,82 i+ -31,82 j  N 

45 N

C = -0, 707 i- 0, 707 j



d)

D = D = 92 + 42 N D = 9,85 N

D =

D D

 -9 i+ 4 j  N 

9,85 N

D = -0,91 i- 0, 40 j



e)

E X = -400sen 25°

E Y = -400cos 25°

E X = -169, 05

E Y = -362,52

Henry Alvarado





E = -169, 05 i- 362,52 j N

Página 12


E

E =

E

 -169, 05 i- 362,52 j  N

E =

400 N



E = 0, 42 i+ 0,91 j



f)

g)

F = F = 2352 + 5202 m

F =

F = 570, 64 m

F F





= 235 i- 520 j m





G = 0 i- j

570, 64 m

F = 0, 41 i- 0,91 j





h)

H X = 40cos 335°

H Y = 40sen 335°

H X = 36, 25

H Y = -16,90



H

H = H =



H = 36, 25 i+ -16,90 j m

H

36, 25 i+ -16,90 j  m 

40 m

H = 0,91 i- 0, 42 j



i)

IX = -12sen 45°

I X = 12 cos 45°

IX = -8, 49

I X = 8, 49

I = I =





I = -8, 49 i  8, 49 j m

I I

 -8, 49 i  8, 49 j  m 

12 m

I = -0, 707 i+ 0, 707 j Henry Alvarado

 Página 13


Nota: también se puede resolver en función de los ángulos directores y cosenos directores. 3. Determinar los ángulos directores de los siguientes vectores:













U = 120 m, 120° 

R = -4 i+ 8 j m S = 5 i- 9 j m

T = -11i- 7 j m

V =  45 N, 229°  W =  57 N, 280°

X =  78 N, N 29°O  Y =  45 N, S72° E 

Z =  20 N,S45°O 

SOLUCIÓN: cos  =

cos  =

R:

RX R R   = cos-1  X   R   -4   = cos-1   = 116,57 2 2  4 +8 

RY R R   = cos-1  Y   R    8  = cos-1   = 26,57 2 2  4 +8 

cos  =

S:

SX S S   = cos-1  X   S    5  = cos-1   = 60,95 2 2  5 +9 

SY S S   = cos-1  Y   S   -9   = cos-1   = 150,95 2 2  5 +9 

cos  =

T:

U: V: W: X: Y: Z:

cos  =

TX T T   = cos-1  X   T   -11   = cos-1   = 147,53 2 2  11 + 7   = 120°

cos  =

 = 360° - 229 = 131  = 360° - 280 = 80  = 29°  90 = 119  = 90° - 72 = 18  = 90°  45 = 135

    

Henry Alvarado

TY T T   = cos-1  Y   T    -7  = cos-1   = 122, 47 2 2  11 + 7   = 120° - 90° = 30° = 229° - 90° = 139° = 90°  80 = 170°

= 29° = 180° - 72 = 108°

= 90°  45 = 135

Página 14


4. Determinar los vectores unitarios para los vectores opuestos a los descritos en el literal anterior. SOLUCIÓN:

 =  0, 45 i- 0,89 j 

-R = - cos116,57° i- cos 26,57° j -R



-S

 =  0,84 i  0,54 j 

-T = - cos147,53° i- cos122, 47° j -T

-V

 =  0, 66 i  0, 75 j 



 =  0, 48 i- 0,87 j 



 =  0, 71 i  0, 71 j 



- Z



 =  -0,17 i- 0,98 j 



 =  -0,95 i  0,31 j 



- W = - cos80° i- cos170° j

-Y = - cos18° i- cos108° j -Y

- Z = -cos135° i- cos135° j

 =  0,50 i- 0,87 j 

- U = -cos120° i- cos 30° j

- W

-X = - cos119° i- cos 29° j -X



- U

-V = -cos131° i- cos139° j

 =  -0, 49 i- 0,87 j 

-S = - cos 60,95° i- cos150,95° j



5. Un vector R parte del origen y llega al punto 12, 7  cm; determinar: a) Las componentes rectangulares del vector R b) El módulo del vector R c) La dirección del vector R d) Los ángulos directores del vector R e) El vector en función de sus vectores base f) El vector unitario SOLUCIÓN: a)

R X = 12 cm R Y = 7 cm Henry Alvarado

b)

c)

2

2

12 + 7 cm = 13,89cm

 12   = 59, 74° 7  N 59, 74 E

 = tan -1 

Página 15


d)

e)

f)

R =   90 - 59, 74  30, 26   59, 74





R =

R = 12 i+ 7 j cm

R R

12 i+ 7 j  cm 

122  7 2 cm

R = 0,96 i- 0,5 j



6. Un vector S cuya magnitud es de 54N y forma un ángulo de 213° en sentido antihorario con el eje positivo en Y, determinar: a) Las componentes rectangulares del vector S b) Las coordenadas del punto externo del vector S c) Los ángulos directores del vector S d) El vector en función de sus vectores base e) El vector unitario SOLUCIÓN: a)

b)

SX = 54 N cos 213°

SY = 54 N sen 213°

SX = -45, 29 N

SY = -29, 41N

c)

d)

 = 360° - 213° = 147°  = 213° - 90° = 123°

S = -45, 29 i- 29, 41 j N

S  -45, 29; - 29, 41 N

e)





 =  -0,84 i- 0,54 j 

S = cos147° i+ cos123° j S



7. Si el ángulo director de α de un vector K es 125°, y su componente en el eje X es de 37cm; determinar: a) La componente en el eje Y b) El ángulo director β c) d) e) f)

El módulo del vector K El vector unitario El vector en función de los vectores base El punto extremo del vector

SOLUCIÓN:

Henry Alvarado

Página 16


a)

b)

tan125° = KY =

37 cm KY

sen 35° =

37 cm = -52,84 cm tan 35

K =

e)

 =  -0,57 i- 0,82 j 

K = cos125° i+ cos145° j





37 cm K

 = 180° - 35° = 145°

d)

K

c)

37 cm = 64,51cm sen  35° 

f)







K = -37 i- 52,84 j cm



K -37;-52,84 j cm



8. Para el vector A = -34 i+ 67 j cm/ s; determinar: a) Las componentes rectangulares del vector b) El vector en coordenadas polares c) El vector en coordenadas geográficas d) El módulo del vector A e) Los ángulos directores del vector A f) El vector unitario SOLUCIÓN: a)

b)

R X = -34cm/ s

 = cos-1 

R Y = 67 cm/ s



  2 2  34 + 67   = 116,91

c)

-34

A = 342 + 67 2 = 75,13 A =  75,13cm/ s;116,91° 

d)

 = 116,91° - 90° = 26,91° A =  75,13cm/ s; N 26,91°O 

A = 342 + 672 = 75,13cm/ s

e)

f)

  116,91   26,91

S = cos116,91° i+ cos 26,91° j

Henry Alvarado

S

 =  -0, 45 i  0,89 j 



Página 17


9. El rumbo de un vector E es S68°E y el valor de la componente en el eje de las X es 87N, determinar: a) Los ángulos directores b) La componente en el eje Y c) El módulo del vector E d) Las coordenadas en el punto extremo del vector e) El vector unitario f) Un vector F de dirección opuesta al vector E , cuyo módulo es el mismo del E SOLUCIÓN: a)

b)

 = 90° - 68° = 22°  = 180° - 68° = 112°

tan 68° = -

d) E 87; - 35,15 N

c)

EY = -

87 N EY

sen 68° =

E

87 N = -35,15 N tan 68°

E =

e)

87 N = 93,83 N sen  68° 

f)

 =  0,93 i- 0,37 j 

E = cos 22° i+ cos112° j E

87 N







F = -87 i+ 35,15 j N

10. El módulo del vector C es 84m y su dirección está dada por el vector unitario UC = mi+ nj, el vector C está en el primer cuadrante; determinar:

a) El valor de m y n, si n=2m b) Los ángulos directores del vector C c) El vector en función de los vectores base d) Las componentes rectangulares del vector C e) Las coordenadas del punto extremo del vector C f) La dirección del vector C g) El vector unitario SOLUCIÓN:

Henry Alvarado

Página 18


a)

b)

En un vector unitario el módulo es siempre 1, entonces : 1 = m2 +  2 m 

 5  = 63, 43°  5 

 = cos-1 

2

2 5  = 26,57° 5  

 = cos -1 

5 m2 = 1 1 5 = 5 5

m=

y

n=

c)  5 2 5 C = 84 m  i+ 5  5





 j  

C = 37,57 i+ 75,13 j m

f)

2 5 5

d)

e)

CX = 37,57 m

C  37,57; 75,13 m

CY = 75,13m g)

N 26,57°O

 5 2 5 i+ 5 5 

C = 



 j  

C = 0, 45 i+ 0,89 j



11. La componente de un vector B en el eje X es -27cm, si sus ángulos directores son α=145° y β=125°, determinar: a) La componente del vector en el eje Y b) El módulo del vector B c) Las coordenadas del punto extremo del vector B d) La dirección del vector B e) El vector en coordenadas polares f) El vector unitario SOLUCIÓN: a)

b)

tan 55° = BY = -

-27 cm BY

27 cm = -18,91cm tan 55°

Henry Alvarado

cos145° =

-27 cm B

B=

-27 cm = 32,96 cm cos145°

Página 19


c)

d)

e)

B  -27; -18,91 cm

S 55°O

B =  32,86cm; 215°

f)

 =  -0,82 i- 0,57 j 

B = cos145° i+ cos125° j B



12. La componente de un vector J en el eje Y es -45km y el ángulo formado respecto al eje positivo de X es 207° en dirección antihoraria, determinar: a) La componente del vector en el eje X b) Los ángulos directores c) d) e) f)

El módulo del vector J Las coordenadas del extremo del vector El vector en función de sus componentes rectangulares El vector unitario

SOLUCIÓN: a)

b)

 = 270° - 207° = 63°

 = 360° - 207° = 153°  = 207° - 90° = 117°

JX -45 km J X = -45 km tan 63° = -88,32 km tan 63° =

c)

cos117° =

d)

e)

J  -88,32; - 45 km

J =  -88,32; - 45 km

-45 km J

-45 km J = = 99,12 km cos117° f)

 =  -0,89 i- 0, 45 j 

J = cos153° i+ cos117° j J



13. El módulo de un vector E es 68cm y tiene como ángulos directores α=115° y β=25°; determinar: Henry Alvarado

Página 20


a) b) c) d) e)

La dirección Las componentes rectangulares del vector Las coordenadas del punto extremo del vector El vector en función de los vectores base El vector unitario

SOLUCIÓN: a)

b)

N 25°O

c)

E X = 68cm cos115° E X = 68cmsen115° E X = -28, 74cm

d)

E X = 61, 63cm

E  -28, 74; 61, 63 cm

e)





E = -28,74 i+ 61,63 j cm

Henry Alvarado

  =  -0, 42 i  0,91 j 

E = cos115° i+ cos 25° j E

Página 21

Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones

EJERCICIO Nº 3 1. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores:   a) A  15 i  20 j m





b) B = 130 N, 125º  c) C =  37 cm, N37º E 



d) D = 25kgf -0,6 i- 0,8 j



SOLUCIÓN: a) A = 15, - 20  m

b)

Bx = B cos 

By = B sen 

Bx = 130 Ncos125º

By = 130 Nsen125º

Bx = -74,56 N

By = 106, 49 N

B =  Bx , B y  B =  -74,56;106, 49  N

c)

Bx = B sen 

By = B cos 

Bx = 37 cm sen 37º

By = 37 cmcos 37º

Bx = 22, 27 cm

By = 29,55cm

B =  Bx , B y  B =  22, 27; 29,55  cm

d)



D = 25 kgf -0, 6 i- 0,8 j







D =  -15, - 20  kgf

D = -15 i- 20 j kgf

Henry Alvarado

Página 22


2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores:





a) A = -14 i+ 8 j m b) B = 87, 91 N



c) C = 45kgf 0,707 i- 0,707 j



d) D =  22 N,S28º O  SOLUCIÓN: a)

8 14 8   tan 1    14    29, 74º tan  

A =

14

2

+ 82 

A = 16,12 m

  180º    180º 29, 74   150, 26º

A = 16,12 m;150, 26º 

b)

91 87  91    tan 1    87    46, 29º tan  

B=

87

2

+ 912 

B = 125,90 N

B = 125,90 N; 46, 29º 

c)

tan 1 

0, 707 0, 707

 0, 707  1  tan    0, 707  1  45º 1

  270º 1   270º 45º   315º

C =  45kgf; 315º 

d)

  270º    270º 28º   242º

Henry Alvarado

D =  22 N, 242º 

Página 23


3. Expresar en coordenadas geográficas los siguientes vectores: a) A =  52, -25 N b) B =  47 N, 245º  c) C = -32 im+ 21 jm



d) D = 35cm 0,866 i+ 0,5 j



SOLUCIÓN: a)

52 25  52    tan 1    25    64,32º tan  

A = 522 + 252 A = 57, 7 N

A =  57,7 N; S64,32º E 

b)

  270º 245º   25º

B =  47 N, S25º O 

c)

32 21  32    tan 1    21    56, 73º tan  

C = 322 + 212 C = 38, 28 m

C =  38, 28m; N56,73O 

d) tan  

0,5 0,866  0,5    0,866 

  tan 1 

D =  35cm; N30º E 

  30º

Henry Alvarado

Página 24


4. Exprese en función de sus módulos y vectores unitarios los siguientes vectores: a) A =  44 m, 340º  b) B =  25km, S14º O  c) C =  -21, 45 N





d) D = 17 i+ 9 j kgf SOLUCIÓN: a) A x = A cos 

A y = A sen 

A x = 44 mcos 340º

A y = 44 msen 340º

A x = 41,35 m

A y = 15, 05 m

A = A =





A = 41,35 i-15,05 j m

A A

 41,35 i-15, 05 j  m 44 m



A = 0,94 i  0,34 j



A = 44 m 0,94 i- 0,34 j





b)

  270º 14º   284º Bx = B cos 

By = A sen 

Bx = 25 km cos 284º

By = 25 km sen 284º A = 6,05 i- 24, 26 j km

Bx = 6, 05 km

By = 24, 26 km

B = B =





B B

 6, 05 i- 24, 26 j  km 

25 km

B = 0, 24 i  0,97 j Henry Alvarado



B = 25km 0, 242 i- 0,97 j



 Página 25


c)

C  C  212  452

C 

C  49, 66º N

C C

 -21 i+ 45 j  N



C  49, 66 N -0, 42 i+ 0,90 j

49, 66 N



C  -0, 42 i+ 0,90 j





d)

D  D = 17 2  92

D 

D = 19, 24 kgf

D D

17 i+ 9 j  kgf 

19, 24 kgf

D  0,88 i+ 0, 47 j



D  19, 24 kgf 0,88 i+ 0, 47 j





5. Expresar el vector R =  -13, -27  m en: a) b) c) d)

Coordenadas polares Función de los vectores base Coordenadas geográficas Función de su módulo y unitario

SOLUCIÓN: a)

27 13  27  1  tan 1    13  1  64, 29º tan 1 

R = 132 + 27 2 R = 29,97 m

b)

  64, 29º 180º   244, 29º

R =  29,97 m; 244, 29º 

c)





R = -13 i- 27 j m

Henry Alvarado

  270º 244, 29º   25, 71º

R =  29,97 m; S25,71º O 

Página 26


d)

R

R 

R

 -13 i- 27 j  m

R 



29,97 m

R  -0, 43 i- 0,9 j





R = 29,97 m -0, 43 i- 0,9 j



6. Expresar el vector V =  200 km, 318º  en : a) b) c) d)

Coordenadas geográficas Coordenadas rectangulares Función de los vectores base Función de su módulo y unitario

SOLUCIÓN: a)

  318º 270º   48º

V =  200 km, S48º E 

b) Vx = V cos 318º

Vy = V sen 318º

Vx = 200 kmcos 318º

Vy = 200 kmsen 318º

Vx = 148, 63km

Vy = -133,83km

V = 148,63; -133,83 km

c)





V = 148, 63 i-133,83 j km

d) V  V 

V V

148, 63 i-133,83 j  km 

200 km

V  0, 743 i- 0, 669 j Henry Alvarado



V = 200 km 0, 743 i- 0, 669 j



 Página 27


7. Expresar el vector K =  20 N, N 47º O  en: a) b) c) d)

Coordenadas polares Coordenadas rectangulares Función de su módulo y unitario Función de los vectores base

SOLUCIÓN: a)

  90º 47º   137º

K =  20 N;137º 

b) K x = K cos 

K y = K sen 

K x = 20 Ncos137º

K y = 20 Nsen137º

K x = -14, 63 N

K y = 13, 64 N

K =  -14,63;13,64  N

c) K

K  K 

K

 -14, 63 i  13, 64 j  N 

20 N

K  0, 73 i  0, 68 j



K  20 N 0, 73 i  0, 68 j





d)





K = -14, 63 i  13, 64 j N





8. Expresar el vector L = 147 cm mi- nj ; Si m = 3n , en: a) b) c) d)

Coordenadas geográficas Coordenadas polares Coordenadas rectangulares Función de los vectores base

SOLUCIÓN: Henry Alvarado

Página 28


    3n i- nj 

L  mi- nj L 1

3n 

2

m  3n

 n2

  m  3n   3ni- nj    3  0,316 i- 0,316 j    0,948 i- 0,316 j 

L  mi- nj



L

9 n2  n2  1

L

10 n  1

L

1 10 n  0,316 n

a) tan  

0,948 0,316  0,948    0,316 

L  147 cm; S71,57º O 

  tan 1 

  71,57º b)

  270º 71,57º   341,57º

L  147 cm; 341,57º 

c)

d)

L = 147 cm  0,948;-0,316 



L = 139,36;-19,99  cm





L = 139,36 i-19,99 j cm



9. Expresar el vector H = -29 i+ 35 j m s en: a) b) c) d)

Coordenadas rectangulares Función de su módulo y unitario Coordenadas polares Coordenadas geográficas

SOLUCIÓN:

Henry Alvarado

Página 29


a)

H =  -29; 35 m s b)

H  H  292  352 H  45, 45 m/ s

H =

H H

 -29 i+ 35 j  m s 

45, 45 m s

H = 0, 64 i+ 0, 77 j



H  45, 45m/ s 0, 64 i+ 0, 77 j





c) tan  

0, 64 0, 77

  90º 39, 73º   129, 73

 0, 64    0, 77 

  tan 1 

H   45, 45m/ s;129,73º 

  39, 73º d)

H   45, 45m/ s; N39,73º O 





10. Expresar el vector E = 9 i+12 j m s 2 en: a) b) c) d)

Coordenadas rectangulares Coordenadas polares Coordenadas geográficas Función de su módulo y unitario

SOLUCIÓN: a)

E =  9;12  m s 2

Henry Alvarado

Página 30


b)

12 9  12    tan 1   9   53,13º tan  

E = 92 +122 E = 15 m/ s

2

E = 15m/ s 2 ; 53,13º 

c)

  90º 53,13º   36,87º

E = 15m/ s 2 ; N 36,87º E 

d)

E  E

E E

 9 i+12 j  m s  

15 m s 2

E  0, 6 i+ 0,8 j

2



E = 15m/ s 2 0, 6 i+ 0,8 j





11. Exprese en función de sus vectores base los siguientes vectores: a) A =  65km/ h, 121º  b) B =  70 N, NE 



c) C = 120 km 0,873 i- 0, 488 j



d) D =  -13, 40  N SOLUCIÓN: a) A x = A cos 

A y = A sen 

A x = 65 km/ hcos121º

A y = 65 km/ hsen121º

A x = 33, 48 km/ h

A y = 55, 72 km/ h

Henry Alvarado





A = -33, 48 i+ 55, 72 j km/ h

Página 31


b) Bx = B cos 





B = 49,5 i  49,5 j N

Bx = 70 Ncos 45º Bx = 49,5 N

c)





C = 104, 76 i- 58,56 j km

d)





D = -13 i  40 j N

Henry Alvarado

Página 32

Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores

EJERCICIO Nº 4 1. Si la magnitud de los vectores F y G son 40m y 30m respectivamente, determinar: a) La magnitud máxima del vector resultante de la suma vectorial de F + G b) La magnitud mínima del vector resultante de la suma vectorial de F + G c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F y G sean perpendiculares d) La magnitud máxima del vector resultante de la resta vectorial de F - G SOLUCIÓN: a)

b)

  G =  30 i+ 0 j  m R =  70 i+ 0 j  m

  G =  -30 i+ 0 j  m R = 10 i+ 0 j  m

F = 40 i+ 0 j m

F = 40 i+ 0 j m

R = 702 = 70 m

c)

  G =  0 i+ 30 j  m R =  40 i+ 30 j  m

R = 102 = 10 m

d)



F = 40 i+ 0 j m



F = 40 i+ 0 j m R = 402  302 = 50 m



 R =  70 i+ 0 j  m

-G = 30 i+ 0 j m

  G =  -30 i+ 0 j  m F = 40 i+ 0 j m

R = 702 = 70 m

2. Dados los vectores F = 4 i+ 6 j y G = -6 i- j , encontrar: a) El ángulo formado por los vectores b) El área del paralelogramo formado por los vectores F y G



c) El vector unitario en la dirección de F - 2G



SOLUCIÓN:

Henry Alvarado

Página 33


a)  F•G     cos   FG     4× -6 + 6× -1    cos 1    52  37    133,15º 1

F = 42 + 62

G = 62 +1

F  7, 21

G = 6, 08

b)

Á rea =

4 6 =  -4 + 36  = 32 u 2 -6 -1

c) F = 4 i+ 6 j

2G = -12 i- 2 j

G = -6 i- j

 F - 2G  =  4 i+ 6 j  -  -12 i- 2 j   F - 2G  = 16 i+ 8 j 

F 2G 

16 i+ 8 j  162  82

F 2G  0,89 i  0, 45 j

3. Dado el vector Q =  3, - 5 m , encontrar: a) Un vector P perpendicular a Q , de modo que su módulo sea de 17m y la coordenada Y sea positiva b) El área del paralelogramo formado por Q y P c) La proyección de Q sobre P SOLUCIÓN: a)

Q•P = 0 Q • P =  3× Px - 5× Py 

 3× P

x

- 5× Py  = 0

3× Px  5× Py

Henry Alvarado





P = 5 i+ 3 j m

P 



5 i+ 3 j  m

P = 17 m 0,86 i+ 0,51 j

52  32

P = 14, 62 i  8, 67 j m



P  0,86 i+ 0,51 j









Página 34


b)

Área =

3 -5 =  26, 01+ 73,1 = 99,11m 2 14, 62 8, 67

c) Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyección es cero





4. Dados los vectores P = 12 i-8 j m s Q = 15m s, 120º  , encontrar: a) P - Q b) Q + P c) 3 / 2P d) Q • P e) El ángulo formado entre Q y P f) P×Q SOLUCIÓN: Q x = Q cos 

Q y = Q sen 

Q x = 15 m/ scos120º

Q y = 15 m/ s sen120º

Q x = -7,5 m/ s

Q y = 12,99 m/ s

a)





Q = -7,5 i+12,99 j m/ s

b)

 -8 j m s - Q =  7,5 i-12,99 j  m/ s P - Q  19,5 i- 20,99 j  m/ s

   P =  12 i - 8 j  m s Q  P   4,5 i  4,99 j  m/ s

c)

d)

P = 12 i





3 3 P = 12 i- 8 j m s 2 2 3 P = 18 i-12 j m s 2



Henry Alvarado



Q = -7,5 i  12,99 j m/ s

Q • P =  -7,5×12 +12,99×-8  m/ s Q • P = -193,92 m/ s

Página 35


e)

f)

  -7,5×12 +12,99× -8      = cos   2 2  15 m/ s  12 + 8     = 93,56º -1





P×Q =

12 -8 = 155,88 + 60  k = 215,88k -7,5 12,99

5. Dados los vectores M =  37, 25 m N =  41m, 213º  , hallar: a) M + N b) N - M c) -2N d) N • M e) La proyección de N sobre M f) El área del paralelogramo formado por los dos vectores SOLUCIÓN: a) N x = N cos 

N y = N sen 

N x = 41mcos 213º

N y = 41msen 213º

N x = -34,39 m

N y = -22,33m





N = -34,39 i- 22,33 j m

 37 i + 25 j  m N =  -34,39 i- 22,33 j  m M + N =  2, 61 i+ 2, 67 j  m M=

b)

c)

  - M =  - 37 i - 25 j  m N - M =  - 71,39 i- 47,33 j  m N = -34,39 i- 22,33 j m

Henry Alvarado





-2N = -2 -34,39 i- 22,33 j m





-2N = 68, 78 i+ 44, 66 j m

Página 36


d)

N • M =  -34,39×37 - 22,33× 25  N • M = -1830, 68 e) NM =

NM

N•M M

× M

 -34,39×37 - 22,33× 25  ×   37 i+ 25 j  m  =  

37 2 + 252





N M = 33,97 2 + 22,952

37 2 + 252 

N M = 40,99 m

N M = -33,97 i- 22,95 j m

f)

Área =

37 25 =  -826, 21+ 934, 75 = 33,54 m 2 -34,39 -22,33





6. Dados los vectores E = 15 N mi+ 0, 48 j ; I =  21N, SE  y F = 12 N, 312º  , hallar: a) E + I + F b) 2 / 3I - 3E + 5 / 2F



c) 2 / 5 F • E d)



3I× 2F 

e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F



f) El ángulo comprendido entre los vectores F y E SOLUCIÓN:



E = 15 N mi+ 0, 48 j m = 1-  0, 482  m = 0,88

Henry Alvarado



I =  21N, SE 

  270º 45º   315º

Página 37




E = 15 N 0,88 i+ 0, 48 j



 E = 13, 2 i+ 7, 2 j







I x = I cos 

I y = I sen 

I x = 21Ncos 315º

I y = 21Nsen 315º

I x = 14,85

I y = -14,85



I = 14,85 i-14,85 j N F = 12 N, 312º 

Fx = F cos 

Fy = F sen 

Fx = 12 Ncos 312º

Fy = 12 Nsen 312º

Fx = 8, 03

Fy = -15, 60





F = 8,03 i-15,60 j N

a)

  I = 14,85 i-14,85 j  N F =  8, 03 i-15, 60 j  N E + I + F   36, 08 i- 23, 25 j  N E = 13, 2 i+ 7, 2 j N

b)



2 / 3I =



2 14,85 i-14,85 j N 3





2 / 3I = 9,9 i- 9,9 j N



 -3E =  -39, 6 i- 21, 6 j  N

-3E = -3 13, 2 i+ 7, 2 j N

  - 3E =  -39, 6 i- 21, 6 j  N 5 / 2F =  20, 08 i- 39 j  N 2 / 3I - 3E + 5 / 2F =  -9, 62 i- 70,5 j  N 2 / 3I = 9,9 i- 9,9 j N

5 / 2F =





5 8, 03 i-15, 60 j N 2





5 / 2F = 20, 08 i- 39 j N c)





2 / 5 F• E =

2 8, 03×13, 2 -15, 60×7, 2  5

F • E = -2,53 Henry Alvarado

Página 38


d)



 3I =  44,55 i- 44, 45 j  N





3I = 3 14,85 i-14,85 j N 2F = 2 8, 03 i-15, 60 j N

3I× 2F =





2F = 16, 06 i- 31, 2 j N

44,55 -44,55 k =  -1389,96 + 715, 47  k = -674, 49 k 16, 06 -31, 2



e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F



  F =  8, 03 i-15, 60 j  N I + F   22,88 i- 30, 45 j  N I = 14,85 i-14,85 j N

E I+F =

E I+F

E • I F I F

× I  F

13, 2× 22,88  7, 2× 30, 45    22,88 i- 30, 45 j     = ×  22,882 + 30, 452   

22,882 + 30, 452





E I+F = 1,30 i-1, 73 j m

E I+F = 1,302  1, 732 E I+F = 2,16 f)  8, 03 13, 2  15, 60  7, 2   15 12     92, 01º

  cos 1 





7. Dados los vectores A = 31m s 0, 2 i+ mj ; B =  43m s, 172º  y C = 55, -12 m s , hallar: a) A - B + C b) 1 2 A + B - 2C Henry Alvarado

Página 39


c) El área del paralelogramo formado por 2A y d) La proyección de e) f)

 A + B sobre C

2 C 3

 A×C +  A× B A •  B×C 

SOLUCIÓN:



A = 31m s 0, 2 i+ mj m = 1-  0, 2

2



B =  43m s, 172º 

Bx = B cos 



Bx = 43m/ scos172º By = 43m/ ssen172º

m = 0,98

Bx = -41,59



A = 31m s 0, 2 i+ 0,98 j



By = B sen 





By = 5,98





B = -41,59 i+ 5,98 j m/ s





C = 55 i-12 j m s

 A = 6, 2 i+ 30,38 j m s

a)

  - B =  41,59 i- 5,98 j  m/ s C =  55 i -12 j  m s A - B + C  102, 79 i  12, 4 j  m s A = 6, 2 i+ 30,38 j m s

b)

1/ 2A =





1 6, 2 i+ 30,38 j m s 2





1/ 2A = 3,1 i+15,19 j m s

Henry Alvarado



 -2C =  -110 i+ 24 j  m s -2C = -2 55 i-12 j m s

Página 40


  B =  -41,59 i+ 5,98 j  m/ s - 2C =  -110 i+ 24 j  m s 1 2 A + B - 2C   -148, 49 i+ 45,17 j  m s 1/ 2A = 3,1 i+15,19 j m s

c)



 2A = 12, 4 i+ 60, 76 j  m s

 2 / 3C =  36, 66 i- 8 j  m s

2A = 2 6, 2 i+ 30,38 j m s

Área =

2 / 3C =



2 55 i-12 j m s 3

12, 4 60, 76 = -99, 2 - 934, 75 = 2326, 66 36, 66 -8

d) La proyección de

 A + B sobre C

  B =  -41,59 i+ 5,98 j  m/ s A + B =  -35,39 i+ 36,36 j  m/ s A = 6, 2 i+ 30,38 j m s

 A+ BC =  A+ BC

A+ B • C C





C = 55 i-12 j m s

× C

-35,39×55 + 36,36× -12    55 i-12 j     = × 552 +122

 A+ BC =  -41,35 i+ 9, 02 j 

 552 +122   

 A+ BC

= 41,352  9, 022

 A+ BC

= 42,32

e)

A×C =

6, 2 30,38 =  -74, 4 -1670,9  k = -1745,3k 55 -12

A× B =

6, 2 30,38 =  -37, 08 +1263,5  k = 1226, 42 k -41,59 5,98

Henry Alvarado

Página 41


 A×C +  A× B = -1745,3k+1226, 42 k  A×C +  A× B = -518,88k f)





B×C es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A entonces A • B×C  0





8. Tomando en consideración los vectores R =  20 m, N 25º O  ; S = 15 i+ 9 j m





T =  30 m, 260º  y U =17 m 0,5 i- 0,866 j , hallar:



a) 3 4 S - 2R + U b) 5U -1 2T + R - 2S c) d) e)

 R •S +  T • U   T× U  +  R ×S 3R  • 2  T  





 El área del paralelogramo formado por  R - T  y  S+ U 

f) La proyección de R + S sobre T - U g)

SOLUCIÓN:

R =  20 m, N 25º O 

T =  30 m, 260º 

  90º 25º   115º R x = R cos 

R y = R sen 

Tx = T cos 

Ty = T sen 

R x = 20 mcos115º

R y = 20 msen115º

Tx = 30 mcos 260º

Ty = 30 msen 260º

R x = -8, 45 m

R y = 18,13m

Tx = -5, 21m

Ty = -29,54 m





R = -8, 45 i+18,13 j m

Henry Alvarado





T = -5, 21i- 29,54 j m

Página 42




U = 17 m 0,5 i- 0,866 j







U  8,5 i-14, 72 j m a)



3 / 4S =



3 15 i+ 9 j m 4







-2R = -2 -8, 45 i+18,13 j m







-2R = 16,9 i- 36, 26 j m

3 / 4S = 11, 25 i+ 6, 75 j m

  - 2R = 16,9 i- 36, 26 j  m U   8,5 i-14, 72 j  m 3 4S - 2R + U   36, 65 i- 44, 23 j  m 3 / 4S = 11, 25 i+ 6, 75 j m

b)





5U  5 8,5 i-14, 72 j m





5U  42,5 i- 73, 6 j m

-1/ 2T = -







1 -5, 21 i- 29,54 j m 2



-1/ 2T = 2, 6 i+14, 77 j m





-2S = -2 15 i+ 9 j m





-2S = -30 i-18 j m

  -1/ 2T =  2, 6 i+14, 77 j  m R =  -8, 45 i+18,13 j  m - 2S =  - 30 i -18 j  m 5U -1 2 T + R - 2S =  6, 65 i- 58, 7 j  m 5U = 42,5 i- 73, 6 j m

c)

R •S =  -8, 45×15 +18,13×9 

T • U =  -5, 21×8,5 - 29,54×-14, 72 

R •S = 36, 42

T • U = 390,54

Henry Alvarado

Página 43


 R •S +  T • U  = 36, 42 + 390,54  R •S +  T • U  = 426,96 d)

-5, 21 -29,54 =  76, 69 + 251, 09  k = 327, 78k 8,5 -14, 72

T× U =

R ×S =

-8, 45 18,13 =  -76, 05 - 271,95  k = -348k 15 9

 T× U  +  R ×S = 327, 78k- 348k  T× U  +  R ×S = -20, 22 k e)



 3R =  -25,35 i+ 54,39 j  m 3R = 3 -8, 45 i+18,13 j m



 2T =  -10, 42 i- 59, 08 j  m

2T = 2 -5, 21 i- 29,54 j m

3R  • 2  T  =  -25,35×-10, 42 + 54,39×-59, 08 3R  • 2  T  = -2949, 21 f)

  S = 15 i+ 9 j  m R + S   6,55 i+ 27,13 j  m

R = -8, 45 i+18,13 j m

Henry Alvarado

  - U =  -8,5 i+14, 72 j  m T - U =  -13, 71 i-14,82 j  m T = -5, 21 i- 29,54 j m

Página 44


 R+ ST-U =  R+ ST-U =

R+ S• T- U T- U

× T-U

 6,55× -13, 71+ 27,13× -14,82  ×   -13, 71 i-14,82 j    13, 712 +14,822   

13, 712 +14,822

 R+ ST-U = 16,54 i+17,88 j   R+ ST-U

= 16,542  17,882

 R+ ST-U

= 24,36

g)

  - T =  5, 21 i+ 29,54 j  m R - T =  -3, 24 i+ 47, 67 j  m

  U   8,5 i-14, 72 j  m S + U   23,5 i- 5, 72 j  m

R = -8, 45 i+18,13 j m

Área =

S = 15 i+ 9 j m

3, 24 47, 67 = 18,53-1120, 24 = 1101, 71 23,5 -5, 72





9. Considérese los vectores A = 46cm mi- 0, 23 j ; B =  81cm,155º  ,





C =  57 cm, N 21º E  y D = -32 i- 29 j m , determinar: a) 1 2 A + 2C - B b) 2D - 3A +1 3C - 2 5B c) d) e) f) g)

3B + 2 3A  • -C - 3 4 D  D - 3C × 3 2 B + 4A   B• A  + C • D  2A×C + 5B× D El ángulo formado por  D - A  y  B + C 

SOLUCIÓN: Henry Alvarado

Página 45




A = 46cm mi- 0, 23 j m = 1-  0, 48

2



B = 81cm,155º 



m = 0,88

Bx = B cos 

By = B sen 

Bx = 81cmcos155º

By = 81cmsen155º

Bx = -73, 41cm

By = 34, 23cm



  A =  40, 48 i-10,58 j  A = 46 cm 0,88 i- 0, 23 j





B = -73, 41i+ 34, 23 j cm

C =  57 cm, N 21º E 

  90º 21º   69º C x = C cos 

C y = C sen 

C x = 57 cmcos 69º

C y = 57 cmsen 69º

C x = 20, 43cm

C y = 53, 21cm





C = 20, 43 i+ 53, 21 j cm a)

1/ 2A =





1 40, 48 i-10,58 j cm 2





1/ 2A = 20, 24 i- 5, 29 j cm





 2C =  40,86 i+106, 42 j  cm

2C = 2 20, 43 i+ 53, 21 j cm



B = -73, 41i+ 34, 23 j cm

  2C =  40,86 i+106, 42 j  - B =  73, 41 i- 34, 23 j  1 2 A + 2C - B = 134,51 i+ 66,89 j  1/ 2A = 20, 24 i- 5, 29 j

Henry Alvarado

Página 46


b)



2D = 2 -32 i- 29 j



2D = -64 i- 58 j







 -3A =  -121, 44 i+ 31, 74 j  -3A = -3 40, 48 i-10,58 j



1 20, 43 i+ 53, 21 j 3

1/ 3C =



1/ 3C = 6,81 i+17, 73 j



-2 / 5B = -







2 -73, 41 i+ 34, 23 j 5

-2 / 5B = 29,36 i-13, 69 j





  - 3A =  -121, 44 i+ 31, 74 j  1/ 3C =  6,81 i+17, 73 j  - 2 / 5B =  29,36 i-13, 69 j  2D - 3A +1 3C - 2 5 B   149, 27 i- 22, 22 j  2D = -64 i- 58 j

c)



3B = 3 -73, 41 i+ 34, 23 j





3B = -220, 23 i+102, 69 j

2 / 3A =





2 40, 48 i-10,58 j 3



2 / 3A = 26,99 i- 7, 05 j



-4 / 3D = -







4 -32 i- 29 j 3



-4 / 3D = 42, 66 i+ 38, 66 j



  - 4 / 3D =  42, 66 i+ 38, 66 j  -C - 4 3D =  22, 23 i-14,55 j 

  2 / 3A =  26,99 i- 7, 05 j  3B + 2 3A =  -193, 24 i+ 95, 64 j 

- C = -20, 43 i- 53, 21 j

3B = -220, 23 i+102, 69 j

3B + 2 3A  •  -C - 4 3D  = -193, 24× 22, 23 + 95, 64×-14,55 3B + 2 3A  •  -C - 4 3D  = -5687, 28 d)



-3C = -3 20, 43 i+ 53, 21 j



-3C = -61, 29 i-159, 63 j

Henry Alvarado





 4A = 161,92 i- 42,32 j  3 / 2B =  -110,12 i+ 51,35 j  3 / 2B =



3 -73, 41 i+ 34, 23 j 2





4A = 4 40, 48 i-10,58 j

Página 47


  - 3C =  -61, 29 i-159, 63 j  D - 3C =  -93, 29 i-188, 63 j 

  4A = 161,92 i- 42,32 j  3 2 B + 4A   51,8 i  9, 03 j 

D = -32 i- 29 j

 D - 3C × 3 2 B + 4A  =

3 / 2B = -110,12 i+ 51,35 j

-93, 29 -188, 63 =  -842, 41+ 9771, 03 k = 8928, 62 k 51,8 9, 03

e)

B• A =  -73, 41× 40, 48 + 34, 23×-10,58 

C • D =  20, 43×-32 + 53, 21×-29 

B• A = -3333, 79

C • D = -2196,85

 B • A  +  C • D  = -3333, 79 - 2196,85  B • A  +  C • D  = -5530, 64 f)

 2A×C + 5B× D 

2A = 2 40, 48 i-10,58 j



2A = 80,96 i- 21,16 j

2A×C =







 5B =  -367, 05 i+171,15 j  5B = 5 -73, 41 i+ 34, 23 j

80,96 -21,16 =  4307,88 + 432,30  k = 4740,18k 20, 43 53, 21



 

g) El ángulo formado por D - A y B + C

  - A =  -40, 48 i+10,58 j  D - A =  -72, 48 i-18, 42 j  D = -32 i- 29 j

Henry Alvarado



  C =  20, 43 i+ 53, 21 j  B + C =  -52,98 i+ 87, 44 j  B = -73, 41 i+ 34, 23 j

Página 48


  = cos     = 73, 05º -1

-72, 48× -52,98 -18, 42×87, 44



72, 482 +18, 422



52,982 + 87, 442



    

10. Dados los vectores D =  5km, 63º  , E =  -7, -1 km y F =  4km; S70º E  , calcular: a) 2D + E + 3F b) E - D - 2F c) D • E



d) D - E× F



e) La proyección de E sobre D f)

El ángulo comprendido entre E y F

g) El área del paralelogramo formado por los vectores D y E SOLUCIÓN: a) D x = D cos 

D y = D sen 



D x = 2, 27 km

D y = 4, 46 km

E = -7 i-1 j km

  270º 70º   340º

Fx = F cos 

Fy = F sen 

Fx = 4 kmcos 340º

Fy = 4 kmsen 340º

Fx = 3, 76 km

Fy = 1,37 km









2D = 2 2, 27 i+ 4, 46 j km





2D = 4,54 i+ 8,92 j km

Henry Alvarado



D = 2, 27 i+ 4, 46 j km

D x = 5 kmcos 63º D y = 5 kmsen 63º





F = 3,76 i-1,37 j km



 3F = 11, 28 i- 4,11 j  km

3F = 3 3, 76 i-1,37 j km

Página 49


  E =  - 7 i -1 j  km 3F = 11, 28 i- 4,11 j  km 2D  E  3F   8,82 i  3,81 j  km

2D = 4,54 i+ 8,92 j km

b)

 - 7 i -1 j  km - D =  -2, 27 i- 4, 46 j  km - 2F =  -7,52 i+ 2, 74 j  km E - D - 2F =  -16, 79 i- 2, 72 j  km E=

E - D - 2F



 -2F =  -7,52 i+ 2, 74 j  km

-2F = -2 3, 76 i-1,37 j km

c) D • E =  2, 27×-7 + 4, 46×-1 D • E = -20,35

d)

E× F =

-7 -1 k =  9,59 + 3, 76  k = 13,35k 3, 76 -1,37

  - E × F =  0 i + 0 j-13,35k  D -  E × F    2, 27 i+ 4, 46 j-13,35k  D = 2, 27 i+ 4, 46 j+ 0k

Henry Alvarado

Página 50


e)

ED =

ED =

E•D D

× E

E D = 1,852  3, 632

 -7× 2, 27  1 4, 46  ×   2, 27 i+ 4, 46 j    

5



E D = -1,85 i- 3, 63 j



5

E D = 4, 07

 

f)





E =  -7, -1 km y F = 3,76 i-1,37 j km

  -7×3, 76 -1× -1,37      = cos   4  7 2 +1       = 86, 25º -1





g)

Área =

2, 27 4, 46 =  -2, 27 + 31, 22  = 28,95km 2 -7 -1

11. Si la suma de los vectores A y B es 2 i- 4 j y su diferencia es 6 i-10 j encontrar el ángulo formado por los vectores A y B SOLUCIÓN:

(3) en (1)

A x + Bx = 2...........(1)  A x - Bx = 6............(2)

6 + Bx + Bx = 2 2 Bx = -4 Bx = -2

De (2) A x = 6 + Bx .............(3) Reemplazando el valor de Bx en (1) } Ax - 2 = 2 Ax = 4

A y + By = -4.......................(1) De (2)  A y - By = -10.....................(2) A y = -10 + By .............(3)

(3) en (1) -10 + By + By = -4 2 By = 6 By = 3

Henry Alvarado

Página 51


Reemplazando el valor de By en (1) A y + 3 = -4 A y = -7



A = 4 i- 7 j





B = -2 i+ 3 j



 A B    A B  

  cos 1 

 4  2  7  3   cos  2 2 22  32  4 7    176, 05º 1







    

12. Determine las magnitudes de los vectores A y B , para A + B + C = 0

Henry Alvarado

Página 52






C = 0 i-16 j N Para que Y=0 A y = -Cy  A y = 16 Calculando A x

tan 37º =

16 Ax

16 tan 37º A x = 21, 24 como esta en X(-)  -21, 24 Ax =





A = -21, 24 i+16 j N A = 21, 242 +162

A = 26,59 N

Para que X=0 Bx = - Ax Þ Bx = 21, 24





B = 21, 24 i+ 0 j N B = 21, 24 N

Henry Alvarado

Página 53

Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición

EJERCICIO Nº5 1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la posición relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en las siguientes horas: a) 10H10 b) 12H35 c) 5H40 d) 8H20 e) 9H10 f) 6H50 g) 2H40 h) 11H05 i) 4H00 SOLUCIÓN: Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores: 90º 120º

60º

150º

30º

180º

0º

330º

210º 240º

300º 270º

a) 12

rmin = 1, 2 m; 30º 

11

rYmin = 1, 2 msen 30º

rXmin = 1, 2 mcos 30º

1

10

2

rYmin = 0, 6 m

rXmin = 1, 04 m

9





rmin = 1,04 i+ 0,6 j m rhor =  0,8 m;150º  rXhor = 0,8 mcos150º rXhor = 0, 69 m

rhor/min = rhor - rmin

3

4

8 7

rYhor = 0,8msen150º rYhor = 0, 4 m

   =  -1, 73 i- 0, 2 j  m





5 6

rhor = -0,69 i+ 0, 4 j m



rhor/min = -0, 69 i+ 0, 4 j m- 1, 04 i+ 0, 6 j m rhor/min

Henry Alvarado

Página 54

Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición b) 12 11

1

10

rmin = 1, 2 m; 240º 

2


rXmin = 1, 2 mcos 240º 9

3



4

8 7

rYmin = -1, 04 m

rXmin = -0, 6 m





rmin = -0,6 i-1,04 j m

5



rhor = 0 i+ 0,8 j m

6


   =  0, 6 i  1,84 j  m



rhor/min = 0 i+ 0,8 j m- -0, 6 i-1, 04 j m rhor/min c)

rmin = 1, 2 m; 210º 

12 11

1

10

2

9



rYmin = -0, 6 m

rXmin = -1, 04 m 3





rmin = -1,04 i- 0,6 j m 4

8 7

5 6

rhor =  0,8 m; 300º  rXhor = 0,8 mcos 300º rXhor = -0, 4 m


   =  -0, 64 i- 0, 09 j  m

rYhor = 0,8msen 300º rYhor = 0, 69 m





rhor = -0, 4 i- 0,69 j m



rhor/min = -1, 04 i- 0, 6 j m- -0, 4 i- 0, 69 j m rhor/min

Henry Alvarado

Página 55


d)

rmin = 1, 2 m; 30º 

12 11

1

10

2

9

rmin = 1, 04 i- 0, 6 j  m

4 7

rYmin = -0, 6 m

rXmin = 1, 04 m 3

8



rhor =  0,8 m; 210º 

5

rYhor = 0,8msen 210º

rXhor = 0,8 mcos 210º

6

rYhor = -0, 4 m

rXhor = -0, 69 m





rhor = -0,69 i- 0, 4 j m rhor/min = rhor - rmin

   =  -1, 73 i+ 0, 2 j  m



rhor/min = -0, 69 i- 0, 4 j m- 1, 04 i- 0, 6 j m rhor/min e)

rmin = 1, 2 m; 30º 

12 11

1

10



2

rYmin = 0, 6 m

rXmin = 1, 04 m 9

3







rmin = 1,04 i+ 0,6 j m



rhor = -0,8 i+ 0 j m

4

8 7


5 6

   =  -1,84 i- 0, 6 j  m



rhor/min = -0,8 i+ 0 j m- 1, 04 i+ 0, 6 j m rhor/min f)

12 11

rmin = 1, 2 m;150º 

1

10

2

9

rXmin = 1, 2 mcos150º 3

4

8 7

rXmin = -1, 04 m





rmin = -1,04 i- 0,6 j m

rYmin = 1, 2 msen 30º rYmin = -0, 6 m





rhor = 0 i- 0,8 j m

5 6

Henry Alvarado

Página 56



   = 1, 04 i- 0, 2 j  m



rhor/min = 0 i- 0,8 j m- -1, 04 i- 0, 6 j m rhor/min g)

rmin = 1, 2 m; 210º 

12 11

1



2

9

rYmin = -0, 6 m

rXmin = -1, 04 m



3



rmin = -1,04 i- 0,6 j m

4

8 7

rYhor = 0,8 msen 30º

rhor =  0,8 m; 30º 

5 6

rYhor = 0, 4 m

rXhor = 0,8 mcos 30º



rXhor = 0, 69 m


   = 1, 73 i+ j  m



rhor = 0, 69 i+ 0, 4 j m



rhor/min = 0, 69 i+ 0, 4 j m- -1, 04 i- 0, 6 j m rhor/min h) 12 11

1

10

rmin = 1, 2 m; 60º 

2



3

4

8 7

rYmin = 1, 04 m

rXmin = 0, 6 m





rmin = 0,6 i+1,04 j m

5 6

rhor =  0,8 m;120º  rXhor = 0,8 mcos120º rXhor = -0, 4 m

Henry Alvarado

rYhor = 0,8msen120º rYhor = 0, 69 m





rhor = -0, 4 i+ 0,69 j m

Página 57



   =  - i- 0,35 j  m



rhor/min = -0, 4 i+ 0, 69 j m- 0, 6 i+1, 04 j m rhor/min i)



12 11 10



rmin = 0 i+1, 2 j m

1

rhor =  0,8 m; 330º 

2

9

3

rYhor = 0,8msen 330º

rXhor = 0,8 mcos150º

rYhor = -0, 4 m

rXhor = 0, 69 m 4

8 7





rhor = 0,69 i- 0, 4 j m

5 6


   =  0, 69 i-1, 6 j  m



rhor/min = 0, 69 i- 0, 4 j m- 0 i+1, 2 j m rhor/min

2. Una persona vive a 2km en dirección NE del centro de la ciudad, si para ir a la tienda más cercana camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar: a) La posición de la tienda respecto a la ciudad b) La posición de la tienda respecto a la casa de la persona c) La distancia en línea recta de la casa a la tienda SOLUCIÓN:





rcasa =  2 km; NE   1, 41i+1, 41 j km rtienda/casa =  200i-100 j m  rtienda/casa =  0, 2i- 0,1 j km

a) rtienda/casa = rtienda - rcasa rtienda = rtienda/casa + rcasa

  = 1, 61 i+1,31 j  km

rtienda = 1, 41 i+1, 41 j km+  0, 2i- 0,1 j km rtienda

Henry Alvarado

Página 58


b) rtienda/casa =  200i-100 j m  rtienda/casa =  0, 2i- 0,1 j km

c)

rtienda/casa = 2002 +1002 rtienda/casa = 223, 60 m  0, 223km 3. Los vértices de un triángulo son los puntos P1  0,5 , P2  2,-1 y P3 3,6  , determinar: a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El tipo de triangulo en función de sus lados SOLUCIÓN:

a)

  =  2 i- 6 j 

P1P2 = 2 i- j - 0 i+ 5 j P1P2

Henry Alvarado



  P P = 3 i  j 

P1P3 = 3 i  6 j - 0 i+ 5 j 1 3



  P P =  i+ 7 j 

P2 P3 = 3 i+ 6 j - 2 i- j



2 3

Página 59


 PP •PP A = cos -1  1 2 1 3  P1P2 P1P3   A = cos    -1



 PP •P P B = cos -1  1 3 2 3  P1P3 P2 P3 

       2 3 1  

2  3  6 1 22  62



A = 90º



 B = cos    -1



   

3  1  1 7 32  1



1  72



    

B = 63, 43º

63, 43º +90º +C = 180º C = 180º -90º -63, 43º C = 26,57º b) Triángulo rectángulo 4. Los vértices de un triángulo son los puntos A 8,9  m , B  -6,1 m , C  0,-5m  , determinar: a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El área del triángulo ABC SOLUCIÓN:

Henry Alvarado

Página 60


a)

   AB =  -14 i-8 j  m



   BC =  6 i- 6 j  m



   AC =  -8 i-14 j  m

AB = -6 i+ j m- 8 i+ 9 j m



AC = 0 i- 5 j m- 8 i+ 9 j m

BC = 0 i- 5 j m- -6 i+ j m

 AB • AC   A = cos   AB AC   

 AC • BC   C = cos   AC BC   

-1

 A = cos    -1



-1

14  8  8 14 142  82



82  142



    

A = 30,51º

 C = cos    -1



-8× 6 -14× -6 82 +142



62 + 62



    

C = 74, 74º

B = 180º -30,51º -74, 74º B = 74, 75º b)

1 AB× AC 2 1 -14 -8 Área = = 196 - 64 = 132 m 2 2 -8 -14 Área =

5. Una ciudad está delimitada por las rectas que unen los vértices: P  4,5 km , Q  0, 4  km , R 1,1 km , S  5, 2  km , determinar: a) b) c) d)

La forma geométrica de la ciudad El área de la ciudad La posición relativa del punto R respecto del punto P La posición relativa del punto S respecto del punto R

SOLUCIÓN:

Henry Alvarado

Página 61


a) Paralelogramo b)

    RQ =  - i+ 3 j  km

RQ = 0 i+ 4 j km- i+ j km

    RS =  4 i+ j  km

RS = 5 i+ 2 j km- i+ j km

Área = RQ× RS Área = c)

-1 3 = -1-12 = 13km 2 4 1

   =  -3 i- 4 j  km



d)

    =  4 i+ j  km

rR/P = i+ j km- 4 i+ 5 j km

rS/R = 5 i+ 2 j km- i+ j km

rR/P

rS/R

6. Se tiene las ciudades P, Q y R; determine la posición relativa de la ciudad P respecto a R para los siguientes casos: a) rP/Q  50 km; S60º E  y rR/Q  70km; NO  b) rP/Q 80 km; SO  y rR/Q  25km; N70º O  c) rP/Q  65km; N15º O  y rR/Q 90km; S30º O  d) rP/Q  40 km; N 75º E  y rR/Q 100km; S25º E  SOLUCIÓN: Henry Alvarado

Página 62


rP/Q = rP - rQ

rR/Q = rR - rQ

 rQ = rP - rP/Q .............(1)

 rQ = rR - rR/Q .............(2)

rP/R = rP - rR ..............(3)

(3) en (4)

Igualando (1) y (2)

rP/R = rP/Q - rR/Q

rP - rP/Q = rR - rR/Q rP - rR = rP/Q - rR/Q ...............(4)

a) rP/Q  50 km; S60º E 

  270º 60º   330º

rP/Q x = rP/Q cos 

rP/Q y = rP/Q sen 

rP/Q x = 50 kmcos 330º

rP/Q y = 50 kmsen 330º

rP/Q x = 43,30 km

rP/Q y = -25 km

rR/Q  70 km; NO 

  90º 45º   135º

rR/Q x = rR/Q cos 

rR/Q y = rR/Q sen 

rR/Q x = 70 kmcos135º

rR/Q y = 70 kmsen135º

rR/Q x = -49,50 km

rR/Q y = 49,50 km

rP/R = rP/Q - rR/Q

   =  92,50 i- 74,50 j  km





rP/Q  43,30 i- 25 j km





rR/Q  -49,50 i  49,50 j km



rP/R = 43,30 i- 25 j km  -49,50 i  49,50 j km rP/R b)

  270º 45º rP/Q 80 km; SO    225º

Henry Alvarado

Página 63




rP/Q x = 80 kmcos 225º

rP/Q y = 80 kmsen 315º

rP/Q x = -57,57 km

rP/Q y = -56,57 km

rR/Q  25km; N 70º O 

  90º 70º   160º



rR/Q x = 25 kmcos160º

rR/Q y = 25 kmsen160º

rR/Q x = -23, 49 km

rR/Q y = 8,55 km









rP/Q = -56,57 i- 56,57 j km

rP/R = rP/Q - rR/Q

   =  -33, 08 i- 48, 02 j  km

rR/Q  -23, 49 i  8,55 j km



rP/R = -56,57 i- 56,57 j km- -23, 49 i+ 8,55 j km rP/R c) rP/Q  65km; N15º O 

  90º 15º   105º



rP/Q x = 65 kmcos105º

rP/Q y = 65 kmsen105º

rP/Q x = -16,82 km

rP/Q y = 62, 79 km

rR/Q  90 km; S30º O 

  270º 30º   240º



rR/Q x = 90 kmcos 240º

rR/Q y = 90 kmsen 240º

rR/Q x = -45 km

rR/Q y = -77,94 km

rP/R = rP/Q - rR/Q

   =  28,18 i+140, 73 j  km





rP/Q = -16,82 i+ 62,79 j km





rR/Q = -45 i- 77,94 j km



rP/R = -16,82 i+ 62, 79 j km- -45 i- 77,94 j km rP/R

Henry Alvarado

Página 64


d) rP/Q  40 km; N 75º E 

  90º 75º   15º



rP/Q x = 40 kmcos15º

rP/Q y = 40 kmsen15º

rP/Q x = 38, 64 km

rP/Q y = 16,82 km

rR/Q 100 km; S25º E 

  270º 25º   295º



rR/Q x = 100 kmcos 295º

rR/Q y = 100 kmsen 295º

rR/Q x = 42, 26 km

rR/Q y = -90, 63km

rP/R = rP/Q - rR/Q

   =  83, 64 i+ 94, 76 j  km





rP/Q = 38,64 i+16,82 j km





rR/Q = -45 i- 77,94 j km



rP/R = 38, 64 i+16,82 j km- -45 i- 77,94 j km rP/R

7. Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en línea recta desde la ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para un auto que consume 1galon de gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo camino con la ruta que une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en línea recta. 8. Dados los puntos L 8, - 6  m y J  -4, 3 m , determinar: a) Los vectores posición de L y J respecto al origen b) La posición relativa de L con respecto a J c) La distancia entre los puntos L y J SOLUCIÓN: a)

b)

  r =  -4 i+ 3 j  m

rL/J = rL - rJ

rL = 8 i- 6 j m J

Henry Alvarado

c)

   = 12 i- 9 j  m



rL/J = 8 i- 6 j m- -4 i+ 3 j m rL/J

rL/J = 122 + 92 rL/J = 15 m Página 65


9. La cumbre de la montaña A está a 3km del suelo y la cumbre de la montaña B a 2km del suelo. Si las montañas se unen como indica el siguiente gráfico:

Determinar: a) La posición relativa de la cumbre de la montaña B respecto a la cumbre de la montaña A b) La longitud del cable para instalar un teleférico de la cumbre de la montaña A a la cumbre de la montaña B SOLUCIÓN: tan 60º =

rA x rA y

rA x tan 60º 3km rA y = tan 60º rA y = 1, 73km rA y =

tan 40º = rA =  -1, 73i+ 3 j km

rB x rB y

rB x tan 40º 2 km rB y = tan 40º rB y = 2,38 km rB y =





rB = 2,38 i+ 2 j km

a)

  =  4,11 i- j  km

rB/A = 2,38 i+ 2 j km-  -1, 73i+ 3 j km rB/A

b) rB/A = 4,112 +1

Considerando ida y vuelta por cables independientes

rB/A = 4, 23km

4, 23km× 2 = 8, 46

10. Las coordenadas de los puntos inicial y final de un vector E son  5, - 2  m y  -4, 7  m respectivamente, determinar: Henry Alvarado

Página 66


a) Las componentes rectangulares del vector E b) La magnitud del vector E c) El vector unitario del vector E SOLUCIÓN: a)

b)

c)

E   -4, 7  m  5, - 2  m

E = 92 + 92

E   -9, 9  m

E = 12, 73m

E  E 

E E

 -9 i+ 9 j  m 

12, 73m



E  -0, 706 i+ 0, 706 j m 11. Un avión de aeromodelismo está a  4 km, SO  de la torre de control. En ese momento, su dueño desea impactar en un blanco que está ubicado en el punto  6, - 4  km , determinar: a) La posición del avión respecto al blanco b) La dirección que debe tomar el avión para lograr su propósito c) La distancia del avión al blanco SOLUCIÓN: a)

 4 km, SO  A x = A cos 

A y = A sen 

A x = 4 kmcos 225º

A y = 4 kmsen 225º

A x = -2,83km

A y = -2,83km

   =  -8,83 i+1,17 j  km





A = -2,83 i- 2,83 j km



rA/B = -2,83 i- 2,83 j km- 6 i- 4 j km rA/B

b)

Henry Alvarado

c)

Página 67


 8,83    1,17 

  tan 

S82, 45º E

rA/B = 8,832 +1,17 2 rA/B = 8,91km

  82, 45º

12. En un aeropuerto, un avión B se halla parqueado en la posición  200 m, N 28º E  respecto a la torre de control. En ese instante otro avión A se encuentra en la posición

 200 m, SO  respecto a la misma torre de control, determinar: a) La posición relativa de B respecto de A b) La distancia que existe entre los dos aviones SOLUCIÓN: a)

 200 m, N 28º E  Bx = B cos 

By = B sen 

Bx = 200 mcos 62º

By = 200 msen 62º

Bx = 93,89 m

By = 176,59 m





B = 93,89 i+176,59 j m

 200 m, SO  A x = A cos 

A y = A sen 

A x = 200 mcos 225º

A y = 200 msen 225º

A x = -141, 42

A y = -141, 42

   =  235,31 i+ 318, 01 j  m





A = -141, 42 i-141, 42 j m



rB/A = 93,89 i+176,59 j m- -141, 42 i-141, 42 j m rB/A

b)

rB/A = 235,312 + 318, 012 rB/A = 395, 60 m

Henry Alvarado

Página 68


13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote en dirección NO con una velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote en dirección N25ºE con una velocidad de 15m/s, determinar: a) La velocidad resultante del bote en magnitud y dirección b) El vector unitario del vector velocidad resultante c) Los ángulos directores del vector velocidad resultante SOLUCIÓN: a) A =  20 m/ s; NO 

A x = A cos 

A y = A sen 

A x = 20 m/ scos135º

A y = 20 m/ ssen135º A = -14,14 i+14,14 j m/ s

A x = -14,14 m/ s

A y = 14,14 m/ s





B = 15m/ s; N 25º E 

Bx = B cos 

By = B sen 

Bx = 15 m/ scos 65º

By = 15 m/ ssen 65º

Bx = 6,34 m/ s

By = 13,59 m/ s

   V =  -7,8 i+ 27, 73 j  m/ s





B = 6,34 i+13,59 j m/ s



V = -14,14 i+14,14 j m/ s+ 6,34 i+13,59 j m/ s

 7,8    27, 73 

V = 7,82 + 27, 732

  tan 1 

V = 28,81m/ s

  15, 71º

Henry Alvarado

V =  28,81m/ s; N15, 71º O 

Página 69


b)

c)

V  V =

V V

 -7,8 i+ 27, 73 j  m/ s 

28,81m/ s

  90º 15, 71º   105, 71º



  15,71º

V = -0, 27 i+ 0,96 j m/ s 14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones:

a) La posición relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A b) La posición relativa de la buchaca C respecto a la buchaca E c) El ángulo formado por los vectores EA y EC d) La posición relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D e) La proyección del vector AE sobre AQ SOLUCIÓN: Considerando A como origen:

a)





rF/A = 2,8 i-1,5 j m

b)





rc = 2,8 i+ 0 j m





rE = 1, 4 i-1,5 j m

rC/E = rC - rE

rC/E Henry Alvarado

   = 1, 4 i+1,5 j  m



rC/E = 2,8 i+ 0 j m- 1, 4 i-1,5 j m

Página 70


c)

EA = A - E



EC = C - E





   cos      86, 05º 1



1, 4 1, 4  1,5 1,5 1, 42  1,52



EC = 1, 4 i  1,5 j m

EA = -1, 4 i+1,5 j m



1, 42  1,52



    

d)







Q = 2,1i- 0,75 j m



D = 0 i-1,5 j m

   =  2,1 i  0, 75 j  m



rQ/D = 2,1 i- 0, 75 j m- 0 i-1,5 j m rQ/D

e)







AE = 1, 4 i-1,5 j m

AE AQ =

AE AQ =

AE • AQ AQ

 AQ

1, 4  2,1  1,5  0, 75  2,1 i- 0, 75 j   2,12  0, 752 2,12  0, 752 





AE AQ = 1, 72 i- 0, 61 j m

Henry Alvarado



AQ = 2,1i- 0,75 j m

   





AE AQ = 1, 72 i- 0, 61 j m AE AQ = 1,82 m

Página 71

Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales

EJERCICIO Nº6 1. Un insecto se mueve rectilíneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente 5cm al Sur; determinar: a) Los desplazamientos realizados b) El desplazamiento total realizado c) El modulo del desplazamiento total d) La distancia total recorrida SOLUCIÓN: a)

 r2 x = 12cm cos 45º

 r2 y = 12cmsen 45º

 r2 x = 8, 49cm

 r2 y = 8, 49cm





 r1  8 i+ 0 j cm





 r2  8, 49 i+ 8, 49 j cm





 r3 = 0 i- 5 j cm

b)

 r   r1   r2   r3

    r  16, 49 i+ 3, 49 j  cm







 r  8 i+ 0 j cm  8, 49 i+ 8, 49 j cm  0 i- 5 j cm

c)  r  16, 492  3, 492  r  16,85cm

d) d = 8cm+12cm+ 5cm d = 25cm

2. Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientos en el plano XY: 45mm en la dirección Y(-); 30mm en la dirección X(-) y 76mm a 200º, todos en línea recta;: determinar: a) Los desplazamientos realizados b) Los vectores posición en cada punto c) El desplazamiento total realizado d) El módulo del desplazamiento e) La distancia recorrida

Henry Alvarado

Página 72


SOLUCIÓN: a)

 r3 x = 76 mmcos 200º

 r3 y = 76 mmsen 200º

 r3 x = -71, 41mm

 r3 y = -25,99 m







 r1  0 i- 45 j mm







 r2  -30 i+ 0 j mm  r3 = -71, 41i- 25,99 j mm

b)





r1  0 i- 45 j mm





r2  -30 i- 45 j mm

r3  r2   r3

     -100, 41 i- 70,99 j  mm



r3  -30 i- 45 j mm  -71, 41 i- 25,99 j mm r3 c)

 r   r1   r2   r3

     r   -100, 41 i- 70,99 j  mm





 r  0 i- 45 j mm -30 i+ 0 j mm -71, 41 i- 25,99 j mm

d)

e)

 r  100, 412  70,992  r  122,97 mm

d = 45mm+ 30 mm+ 76 mm d = 152 mm

3. Un auto parte a las 7h00 de una ciudad A  -85, 204  km y la lectura de su odómetro es 10235 km, viaja rectilíneamente hacia B 123, 347  km y llega a las 11h10; determinar: a) b) c) d)

Los vectores posición de cada ciudad El desplazamiento realizado La lectura del odómetro cuando llega a B La velocidad media

Henry Alvarado

Página 73


e) La velocidad media con la que debería regresar de inmediato por la misma ruta para llegar a las 14h15. SOLUCIÓN: a)







rA = -85 i+ 204 j km



rB = 123 i+ 347 j km

b)

 r = rB - rA

    r =  208 i+143 j  km



 r = 123 i+ 347 j km- -85 i+ 204 j km

c)  r = 2082  1432

Lectura = 10235km+ 252, 41km

 r = 252, 41km

Lectura = 10487, 41km

d) 10 min

Vm = Vm =

1h = 0,166 h 60 min

r t

 208 i+143 j  km 

4,166 h



Vm = 49,93 i+ 34,33 j km/ h

 t  tf - t0  t  11,166 h- 7 h  t  4,166 h r t 252, 41km Vm = 4,166 h Vm = 60,58 km/ h Vm =

e)

15min

1h = 0, 25h 60 min

Henry Alvarado

 t  tf - t0  t  14, 25 h-11,166 h  t  3, 084 h

r t 252, 41km Vm = 3, 084 h Vm = 81,85 km/ h Vm =

Página 74


4. Dos aviones parten del mismo punto, el uno viaja a 865km;15º  hasta A y el otro





vuela -505 i+ 253 j km hasta B en 2 horas en línea recta; determinar: a) b) c) d) e)

Los vectores posición de los puntos A y B Los desplazamientos realizados por cada avión La velocidad media de cada avión La rapidez media de cada avión La velocidad media a la que debería viajar un avión desde A hasta B

SOLUCIÓN: a)

865km;15º 

rA x = 865kmcos15º

rA y = 865kmcos15º

rA x = 835,53km

rA y = 223,88km







rA = 835,53 i+ 223,88 j km



rB  -505 i+ 253 j km b)





 rA = 835,53 i+ 223,88 j km





 rB  -505 i+ 253 j km

c)

VmA = VmA =

r t

VmB =

835,53 i+ 223,88 j  km 

2h



VmA = 417, 77 i+116,94 j km/ h

VmB =

r t

 -505 i+ 253 j  km 

2h



VmB = -252,5 i+126,5 j km/ h

d)

Henry Alvarado

Página 75


VmA = 417, 77 2  116,942

VmB = 252,52  126,52

VmA = 433,83km/ h

VmB = 282, 42 km/ h

e)

 r  rB  rA

    r   -1340,53 i+ 476,88 j  km



 r  -505 i+ 253 j km  835,53 i+ 223,88 j km

VmA = VmA =

r t

 -1340,53 i+ 476,88 j  km 3h



VmA = 446,842 +158,962 VmA = 474, 27 km/ h



VmA = -446,84 i+158,96 j km/ h





5. Una partícula cuya velocidad era de 12 i+15 j m/ s se detiene en 20s por una ruta rectilínea; determinar: a) El módulo de la velocidad inicial b) El vector unitario de la velocidad inicial c) El vector velocidad final d) La aceleración media de la partícula SOLUCIÓN: a)

b)

2

V0 = 12 +15

2

V0 = 19, 21m/ s

d)

V  0

V 

V0

12 i+15 j  m/ s

0



19, 21m/ s

V  0, 62 i+ 0, 78 j 0

a=

V0



a=

Vf - V0 t

 -12 i-15 j  m/ s 

20s



a = -0, 6 i- 0, 75 j m/ s

c) Como la partícula recorre hasta detenerse la velocidad final es 0

Henry Alvarado

Página 76


6. Un móvil que viaja con una aceleración constante, cambia su velocidad de

 -21i-18 j  m/ s a  24m/ s; S30º E  ; en 10s determinar:

a) Los vectores unitarios de la velocidad inicial y final b) La aceleración media SOLUCIÓN: a)

 24 m/ s; S30º E  Vf x = Vf cos 

Vf y = Vf sen 

Vf x = 24 m/ scos 300º

Vf y = 24 m/ ssen 300º

Vf x = 12 m/ s

Vf y = 20, 78 m/ s

V = 0

V =

V0

V = f

V0

 -21 i-18 j  m/ s

0



212 +182





Vf Vf

12 i- 20, 78 j  m/ s

f

V = -0, 76 i- 0, 65 j m/ s 0

V =



Vf = 12 i- 20,78 j m/ s



24 m/ s



V = 0,5 i- 0,87 j m/ s f

b)

a= a= a=

Vf - V0 t

12 i- 20, 78 j  m/ s-  -21 i-18 j  m/ s 10s

33 i- 2, 78 j  m/ s 

10s



a = 3,3 i- 0, 278 j m/ s

Henry Alvarado

Página 77

Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme

EJERCICIO Nº 7 1. Si un vehículo se mueve de la ciudad A  -35, 50  km a la ciudad B  -25,  45 km en línea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar: a) El desplazamiento realizado b) La velocidad media c) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje SOLUCIÓN: a)

b)

    r  10 i- 95 j  km



V=

 r  -25 i- 45 j km- -35 i+ 50 j km

V=

r t

10 i- 95 j  km 

2h



V = 5 i- 47,5 j km c)

 r  V× t 40 min

1h = 0, 666 h 60 min

   r   3,33 i- 31, 64 j  km

 r  5 i- 47,5 j km/ h 0, 666 h

2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades constantes



 



de modo que al instante t=0 sus posiciones son -40 i+ 20 j y 15 i  30 j m y al

  



instante t=10s sus posiciones son 20 i y -10 j km respectivamente; determinar: a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo b) La velocidad media de cada vehículo c) La velocidad de A respecto a B SOLUCIÓN: a)

Henry Alvarado

Página 78


 rA = rfA - r0A

   =  60 i- 20 j  m



 rB = rfB - r0B

   =  -25 i+ 30 j  m



 rA = 20 i+ 0 j m- -40 i+ 20 j m

 rB = -10 i+ 0 j m- 15 i- 30 j m

 rA

 rB

b) VA = VA =

r t

VB =

 60 i- 20 j  m 

VB =

10s



r t

 -25 i+ 30 j  m 

VA = 6 i- 2 j m/ s

10s



VB = -2,5 i+ 3 j m/ s

c)

   =  8,5 i- 5 j  m/ s



VA/B = 6 i- 2 j m/ s- -2,5 i+ 3 j m/ s VA/B

3. Un tren cuya velocidad es 60 i km/ h , pasa por un túnel recto de 400 m de largo y desde que penetra la maquina hasta que sale el último vagón demora 30s; determinar: a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s) b) La longitud del tren SOLUCIÓN: a)

60 i km 1000 m 1h = 16, 67 m/ s h 1km 3600s  r = V×  t

 r = V×  t

 r = V×  t

 r = 16, 67 m/ s 30s

 r = 16, 67 m/ s 60s

 r = 16, 67 m/ s 90s

 r = 500 m

 r = 1000 m

 r = 1500 m

b)

x =  r- 400 m x = 500 m- 400 m x = 100 m Henry Alvarado

Página 79


4. Una partícula parte del punto  25, 20  m y moviéndose rectilíneamente llega al punto

 6,  30 m con una rapidez constante de

40 km/ h ; determinar:

a) La velocidad empleada b) El tiempo empleado c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10s más. SOLUCIÓN: a) 40 km 1000 m 1h = 11,11m/ s h 1km 3600s

 r = rf - r0

    r =  -31 i- 50 j  m

V = V ×  r



 r = -6 i- 30 j m- 25 i  20 j m

 -31 i- 50 j  V = 11,11m/ s   2 2  31  50 





V = -5,85 i- 9, 44 j m/ s

 r = 312  502  r = 58,83m b)

t =

r VA

58,83m 11,11m/ s  t = 5,30s t =

c)

 r = V×  t

 r =  r1   r2

 r = -5,85 i- 9, 44 j m/ s10s

 r = -31 i- 50 j m  -58,5 i- 94, 4 j m

   r =  -58,5 i- 94, 4 j  m Henry Alvarado

    r =  -89,5 i-144, 4 j  m



Página 80


5. Un deportista se desplaza 1000 i km por una ruta rectilínea, parte en moto y parte en bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 120 i km/ h en moto y 40 i km/ h en bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar: a) La velocidad media durante las 10 horas b) El desplazamiento en moto c) El tiempo que recorrió en bicicleta SOLUCIÓN: a)

r t 1000 i km V= 10 h V = 100 i km/ h V=

b)

 r   rmoto   rbici ................(1)

 rmoto = Vmoto   t moto ...............(3)

 t =  t moto   t bici   t bici   t   t moto .................(2)

 rbici = Vbici   t bici ...............(4)

(3) y (4) en (1)  r  Vmoto   t moto  Vbici   t bici ..................(5) (2) en (5)  r = Vmoto   t moto  Vbici    t   t moto  Vmoto   t moto  Vbici   t  Vbici   t moto =  r Vmoto   t moto  Vbici   t moto =  r  Vbici   t





 t moto Vmoto  Vbici =  r  Vbici   t  t moto

 r  Vbici   t = Vmoto  Vbici

 rmoto = 120 km/ h×7,5h  rmoto = 900 km

1000 km- 40 km/ h×10 h 120 km/ h- 40 km/ h = 7,5 h

 t moto =  t moto

Henry Alvarado

Página 81


c)

 t bici  10 h- 7,5h  t bici  2,5h 6. Una partícula se mueve de acuerdo al grafico posición-tiempo:

Determinar: a) b) c) d) e)

La posición inicial La rapidez en cada tramo del viaje El tiempo que permaneció en reposo La posición cuando t=35(s) Cuándo la partícula está a 20m del origen y cuando está en el origen

SOLUCIÓN: a) r0 = 10 m b)

Tramo 1

V=

Tramo 2

rf - r0 tf - t0

30 m-10 m 10s V = 2 m/ s V=

Henry Alvarado

Tramo 3

V= Reposo

rf - r0 tf - t0

40 m- 30 m 30s- 20s V = 10 m/ s V=

Tramo 4 V=

rf - r0 tf - t0

0 m- 40 m 40s- 30s V = -4 m/ s V=

Página 82


c)

d)

e)

 r = V t

 t  20s-10s

Está a 20m del origen a los 5s y a los 35s, y se encuentra en el origen a los 40s

 r = 4 m/ s 5s

 t  10s

 r = 20 m

7. Una persona parte de la esquina  0, 0  de una cancha de futbol que mide 100m x 60m y camina primero por detrás del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+), hacia el Este y continúa su recorrido bordeando todo su perímetro a una rapidez constante igual a 2 m/ s ; determinar: a) La velocidad en cada tramo b) El tiempo que demora en recorrer cada lado c) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta que partió d) El tiempo mínimo que demoraría en llegar a la esquina opuesta caminando a esa misma rapidez SOLUCIÓN: a) Como se mueve tanto en el eje X como Y con rapidez constante la velocidad en cada tramo será: Tramo 1

 

V = 2 i m/ s

Tramo 2

 

Tramo3

 

Tramo 4

 

V = 2 j m/ s

V = -2 i m/ s

V = -2 j m/ s

Lado 2

Lado 3

Lado 4

b) Lado 1 r V 60 m t = 2 m/ s  t = 30s t =

r V 100 m t = 2 m/ s  t = 50s t =

r V 60 m t = 2 m/ s  t = 30s t =

r V 100 m t = 2 m/ s  t = 50s t =

c) Como recorre 60m en el eje X y 100 en Y el desplazamiento será:

Henry Alvarado

Página 83






 r = 602  1002

 r  60 i  100 j m

 r = 116, 62 m

d)

r V 116, 62 m t = 2 m/ s  t = 58,31s t =

8. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 i km/ h y 12 j km/ h se cruzan y siguen su camino sin cambiar sus respectivas direcciones; determinar: a) El desplazamiento realizado por cada vehículo al cabo de 6 horas b) La distancia que los separa al cabo de 6 horas c) En qué tiempo desde que se cruzan estarán a 100 km de distancia SOLUCIÓN: a)

b)

 rA = VA   t

rB = VB t

 rA = 10 i km/ h 6 h

 r B = 12 j km/ h 6 h

 rA = 60 i km

 r B = 72 j km





 rA  B = 60 i  72 j km  rA  B = 602  722  rA  B = 93, 72 km

c)

10 km/ h× t  + 12 km/ h× t  2

2

= 100 km

100 km 2 / h 2 × t 2 +144 km 2 / h 2 × t 2 = 100 km 244 km 2 / h 2 × t 2 = 100 km t 244 km/ h = 100 km 100 km t= 244 km/ h t = 6, 40 h

Henry Alvarado

Página 84


9. Dos puntos A y B están separados 80m. Desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 3 m/ s . Cinco segundos después y desde B un móvil con la misma dirección y sentido que el primero y con una rapidez constante de 2 m/ s ; determinar: a) Analíticamente y gráficamente cuando y donde se encuentran b) En qué tiempo la distancia que los separa será nuevamente 80m SOLUCIÓN: a)

t B = t A - 5s...............(1)

 rB   rA  80 m...............(2)

r t   rA  VA  t A ...............(3)

(3) y (4) en (2)

  rB  VB  t B ...............(4)

VB  t B = VA  t A  80 m...........(5)

V=

(1) en (5) VB  t A - 5s  = VA × t A - 80 m VB × t A - VB ×5s = VA × t A - 80 m VA × t A - VB × t A = 80 m- VB ×5s t A  VA - VB  = 80 m- VB ×5s 80 m- VB ×5s tA = VA - VB

  rA = VA × t A  rA = 3m/ s× 70s  rA = 210 m

80 m- 2 m/ s×5s 3m/ s- 3m/ s t A = 70s tA =

Henry Alvarado

Página 85


Gráfico 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

Móvil A

45

50

55

60

65

70

75

80

85

Móvil B

b) Después de encontrarse  rA =  rB +80 m...........(1)

r t   rA  VA  t A ...............(3)

t A = t B ...................(2)

V=

  rB  VB  t B ...............(4)

Henry Alvarado

(3) y (4) en (1) VA × t A = VB× t B + 80 m...........(5)

Página 86


(2) en (5) VA × t A = VB × t A + 80 m VA × t A - VB × t A = 80 m 80 m tA = VA - VB 80 m tA = 3m/ s- 2 m/ s t A = 80s

Desde que el móvil partió desde A t = 70s+ 80 s t = 150s

10. Dos autos A y B parten simultáneamente, A con una velocidad de 53 i km/ h y B con una velocidad de 32 i km/ h , si los autos se encuentran al cabo de 2,4 horas; determinar: a) La distancia que los separaba inicialmente b) El tiempo en que A llega al punto donde partió B c) El tiempo que demoraría B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el instante en que encuentran B invierte el sentido SOLUCIÓN: a)

r t   rA  VA  t A ...............(2) V=

x =  rA   rB ..................(1)

  rB  VB  t B ...............(3) (2) y (3) en (1) x = VA × t A - VB × t B x = 53km/ h× 2, 4 h- 32 km/ h× 2, 4 h x = 50, 4 km

b)

r V 50, 4 km t= 53km/ h t = 0,95 h t=

Henry Alvarado

Página 87


c)

Desde el punto de encuentro

t=

 rA VB

53km/ h× 2, 4 h 32 km/ h t = 3,98 h t=

11. Dos automóviles viajan en la misma ruta rectilínea y están a 134km de distancia, si el más rápido viaja a 63 km/ h ; determinar: a) La rapidez del más lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentran al cabo de 3 horas b) Dónde y cuándo se encuentran si los dos viajan en sentido contrario y con la rapidez dada para el más rápido y la obtenida en el punto anterior para el otro SOLUCIÓN: a)

Desplazamiento del más rápido

Desplazamiento del más lento

 rA = VA × t

 rB =  rA -134 km

 rA = 63km/ h×3h

 rB = 189 km-134 km

 rA = 189 km

 rB = 55 km

 rB t 55 km VB = 3h VB = 18,33km/ h

 VB =

b)  rA +  rB  134 km...............(1) Henry Alvarado

t1 = t 2 ...............(2) Página 88


 rA = VA × t1 .............(3)  rB = VB × t 2 .............(4)

(2) en (5) VA × t1 + VB × t1 = 134 km (3) y (4) en (1) VA × t1  VB × t 2  134 km........(5)

t1  VA + VB  = 134 km t1 =

134 km VA + VB

134 km 63km/ h+18,33km/ h t1 = 1, 65 h t1 =

12. Dos puntos A y B están en la misma horizontal, desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 2 m/ s y 5 minutos después parte desde B hacia A otro móvil a 10 km/ h , si A y B distan 3km; determinar: a) Analíticamente, dónde y cuándo se encuentran b) Gráficamente, dónde y cuándo se encuentran

SOLUCIÓN: Datos: VA = 2 m/ s

VB = 10 km/ h

t B-reposo = 5min

 r  3km 10 km 1000 m 1h = 2, 78m/ s h 1km 3600s

5min 60s = 300s 1min

3km 1000 m  3000 m 1km

Henry Alvarado

Página 89


a)  rA +  rB  3000 m...............(1)

t1 = t 2 + 300s...............(2)

 rA = VA × t1 .............(3)  rB = VB × t 2 .............(4)

(2) en (5) VA ×  t 2 + 300s  + VB × t1 = 3000 m (3) y (4) en (1) VA × t1  VB × t 2  3000 m........(5)

VA × t 2  VA ×300s+ VB × t1 = 3000 m t1  VA + VB  = 3000 m  VA ×300s t1 =

3000 m  VA ×300s VA + VB

3000 m- 2 m/ s×300s 2 m/ s+ 2, 78 m/ s t1 = 502,1s t1 =

t1 = 502,1s+ 300s t1 = 802,1s

 rA = 2 m/ s×802,1s  rB = 3000 m-1604, 2 m  rA = 1604, 2 m

Henry Alvarado

 rB = 1395,8m

Página 90


b)

Gráfico 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 Móvil A

Henry Alvarado

Móvil B

Página 91

Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

EJERCICIO Nº8

1. Una partícula se mueve con MRUV retardado y aceleración 15m/ s2 ; N15º E  .Si a t=0, la partícula se encuentra en la posición  -2, 3 m y su rapidez es de 8 m/ s . Para un intervalo entre 0 y 8s; determinar: a) El desplazamiento realizado b) La velocidad media SOLUCIÓN: a)

15m/ s ; N15º E  2

2 a x = 15m/ s 2cos 75º a y = 15 m/ s sen 75º

a x = 3,88m/ s



2

a y = 14, 49 m/ s

2





a = 3,88 i  14, 49 j m/ s 2



r0 = -2 i+ 3 j m Para que sea retardado

a = -  V

0

a =

3,88 i  14, 49 j  3,882  14, 492







V0 = 8 m/ s -0, 26 i- 0,97 j



a = 0, 26 i  0,97 j  V  -0, 26 i- 0,97 j 0









V0 = -2, 08 i- 7, 76 j m/ s

1  r  V0  t  a  t 2 2

   r  107,52 i  401, 6 j  m

 r  -2, 08 i- 7, 76 j m/ s 8s 





1 2 3,88 i  14, 49 j m/ s 2  8s  2

b)

Henry Alvarado

Página 92


Vm = Vm =

r t

107,52 i  401, 6 j  m 

8s



Vm = 13, 44 i  50, 2 j m/ s 2. El grafico Vx- t , representa el movimiento de dos partículas A y B que parten de dos partículas A y B que parten de una misma posición inicial y sobre la misma trayectoria rectilínea.

Determinar: a) b) c) d) e)

El tipo de movimiento de cada partícula en cada intervalo La distancia que recorre cada partícula de 0(s) hasta 12(s) La distancia que existe entre las dos partículas a los 4(s), 8(s) y 12 (s) Dónde y cuándo se encontrarán gráfica y analíticamente Los gráficos rx - t y a x - t de cada partícula

SOLUCIÓN: a)

Partícula A 0-4s MRUVA

Partícula B 4-8s MRU

8-16 MRUVR

0-8S MRUVA

b) Henry Alvarado

Página 93


Partícula A: Intervalo de 0 a 4s

V t 30 m/ s a= 4s a = 7,5 m/ s

Intervalo de 4 a 8s

1  r  V0  t  a t 2 2 1 2  r   7,5 m/ s 2  ×  4s  2  r  60 m

a=

 r = V× t  r = 30 m/ s× 4s  r = 120 m

Intervalo de 8 a 12s

V t -30 m/ s a= 4s a = -7,5 m/ s a=

1  r = V0  t  a t 2 2 1 2  r = 30 m/ s× 4s+  7,5 m/ s 2  ×  4s  2  r = 180 m

 r = 60 m+120 m+180 m  r = 360 m

Partícula B Intervalo de 0 a 12s

V t 30 m/ s a= 4s a = 7,5 m/ s a=

1  r  V0  t  a t 2 2  r  -30 m/ s×12 

1 2 7,5 m/ s 2  × 12s   2

 r  180 m

c) Desplazamiento de la partícula B de 0 a 4 s 1  r  V0  t  a t 2 2  r  -30 m/ s× 4s 

1 2 7,5 m/ s 2  ×  4s   2

 r  -60 m

Desplazamiento de la partícula B de 0 a 8s Henry Alvarado

 rA/B = 60 m-  -60 m   rA/B = 120 m Desplazamiento de la partícula A de 0 a 8s Página 94


1  r  V0  t  a t 2 2

 r = 60 m+120 m  r = 180 m

1 2  r  -30 m/ s×8s   7,5 m/ s 2  ×  0s  2 r  0m

 rA/B = 180 m

Distancia de A a B a 12s

 rA/B = 240 m-180 m  rA/B = 60 m d)

Gráfico r(x)-t Partícula A y B 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 0 -40 -60 -80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Tomando la distancia que los separa a los 12s que es 60m

Henry Alvarado

Página 95


 r =  rA +  rB 1 1 60 m = V0A × t + at 2 + V0B × t+ at 2 2 2 2 2 60 m = 7,5 m/ s t + 60 m/ s× t

1 2  r = 240 m- 7,5 m/ s 2  0,898  2  r = 236,98 m

7,5 m/ s 2 t 2 + 60 m/ s× t- 60 m = 0 -60 ± 602 + 4× 7,5× 60 t= 2× 7,5 t1 = 0,898s

t 2 = -8,898

e)

Gráfico r(x)-t Partícula A 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

1

Henry Alvarado

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Página 96


Gráfico r(x)-t Partícula B 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 0 -40 -60 -80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Gráfico a-t Partícula A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

1

Henry Alvarado

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Página 97


Gráfico a-t Partícula B 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

3. Un móvil se desplaza a lo largo del eje X con una aceleración constante. Si su posición para t=0 es 30 i m y se mueve en dirección X negativa con una rapidez de 15 m/ s que está disminuyendo a razón de 1,5 m/ s cada s; determinar: a) La aceleración b) El gráfico velocidad contra tiempo c) El gráfico posición contra tiempo d) El tiempo que tarda la partícula en recorrer los primeros 75m SOLUCIÓN: a)

a = 1,5 i m/ s 2

b)

Henry Alvarado

Página 98


Gráfico V(x)-t 4 2 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -6 -8 -10 -12 -14 -16

c)

Gráfico r(x)-t 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Series1

Henry Alvarado

Página 99


d)

1  r = V0 × t- a× t 2 2 1 75 m = 15 m/ s× t- 1,5 m/ s 2 × t 2 2 2 2 0, 75 m/ s × t -15 m/ s× t- 75 m = 0 15 ± 152 - 4× 0, 75× 75 2× 0, 75 t = 10s t=

4. El móvil A parte al encuentro con B, con una rapidez inicial de 10 m/ s y acelerando a 3 m/ s 2 en línea recta; cinco segundos más tarde B parte hacia A desde el reposo y con

una aceleración constante de 5 m/ s 2 también en línea recta. Si inicialmente A y B están separados una distancia horizontal de 1700m; determinar: a) Dónde y cuándo se encuentran b) En cuánto tiempo quedan a 500m de distancia mientras se acercan y también mientras se alejan SOLUCIÓN: a)  r =  rA +  rB 1 1 1700 m = V0A t A + a A t A 2 + a B t B 2 ...................(1) 2 2

Henry Alvarado

t A = t B + 5s....................(2)

Página 100


(2) en (1) 1 1 2 1700 m = V0A ×  t B + 5s  + a A ×  t B + 5s  + a B × t B 2 2 2 1 1 1700 m = V0A × t B + V0A ×5s+ a A ×  t B 2 +10s× t B + 25s 2  + a B× t B 2 2 2 1 1 1 1 1700 m = V0A × t B + V0A ×5s+ a A × t B 2 + a A ×10s× t B + a A × 25s 2 + a B× t B 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1700 m = 10 m/ s t B +10 m/ s 5s+ 3m/ s 2  t B 2 + 3m/ s 2 10s× t B + 3m/ s 2  25s 2 + 5 m/ s 2  t B 2 2 2 2 2 2 1700 m = 87,5 m+ 25  t B + 4 m/ s  t B 4 m/ s 2  t B 2 + 25  t B -1612,5 m = 0 -25 ± 25 2 +4  4 1612,5 tB = 8 t B1 = 17,19s

t B2 = 23, 44s

t A = 17,19s+ 5s t A = 22,19s 1 2  rA = 10 m/ s× 22,19s+ 3m/ s 2 ×  22,19s  2  rA = 960,5m

1 2  rB = 5 m/ s 2 × 17,19s  2  rB = 738, 74 m

b)

5. Dos vehículos A y B se desplazan con MRUV. A se acelera a razón de 3 m/ s 2 y pasa





por el punto P  3, 5 m con una velocidad -3 i- 4 j m/ s , en ese mismo momento B pasa por el punto Q  1, 3 m con una velocidad de -30 j m/ s y desacelera a razón de 2 m/ s 2 ; determinar:

a) La aceleración de cada uno de los vehículos b) La posición de A y de B después de 7s SOLUCIÓN: a)

Henry Alvarado

Página 101


V = A

V

A

VA

V  a

VA

A

 -3 i- 4 j   3 4 2

A



a A = a A × VA 2

2

V  -0, 6 i- 0,8 j

A





a A = 3m/ s -0, 6 i- 0,8 j





a B = 2 j m/ s 2



a A = -1,8 i- 2, 4 j m/ s 2

b)

1 rfA = r0A + V0A t+ a A t 2 2

    =  -62,1 i- 81,8 j  m

rfA = 3 i  5 j m  -3 i- 4 j m/ s 7 s  rfA





1 2 -1,8 i- 2, 4 j m/ s 2   7 s  2

1 rfB = r0B + V0B t+ a B t 2 2

   =  - i-158 j  m



rfB = - i  3 j m  -30 j m/ s 7 s+ rfB

 

1 2 2 j m/ s 2   7 s  2

6. Una partícula se mueve de manera que su velocidad cambia con el tiempo como se indica en los gráficos siguientes:

Henry Alvarado

Página 102


Determinar: a) El vector velocidad para t=0s, t=2s, t=3s b) El vector aceleración para t=0s, t=2s, t=3s c) Si la partícula tiene movimiento rectilíneo SOLUCIÓN: a)

Para t=0s

Para t=2s





V = 20 i+10 j m/ s

Para t=3s









V = 20 i+ 30 j m/ s

V = 20 i+ 40 j m/ s

Para t=2s

Para t=3s

b)

Para t=0s





a = 0 i+10 j m/ s 2





a = 0 i+10 j m/ s 2





a = 0 i+10 j m/ s 2

c)

No es movimiento rectilíneo

7. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, inicia su recorrido en el punto -8m desde el reposo y acelera a razón de 5 m/ s 2 hasta que alcanza el punto 12m y entonces mantiene la velocidad alcanzada constante por 5s y luego desacelera hasta detenerse 5s mas tarde; determinar: a) Cuánto tiempo tuvo movimiento acelerado b) La distancia que recorrió con MRU c) El desplazamiento total y la aceleración durante los últimos 5s SOLUCIÓN: Henry Alvarado

Página 103


a)

1  r = V0 t + at 2 2 1 12 m-  -8 m  = 5 m/ s 2 t 2 2 t = 8 = 2,83 Sumando el tiempo de los movimientos acelerado y retardado t = 7,83

b)

Vf 2 = V0 2 + 2 a  r Vf = 10 m/ s × 20 m

 r = V× t  r = 14,14 m/ s 5s

Vf = 14,14 m/ s

 r = 70, 70 m

2

c)

Durante los últimos 5s 1  r = V0 t + at 2 2  r = 14,14 m/ s×5s+

1 2 -2,83m/ s 2   5s   2

Desplazamiento Total

 r = 20 m+ 70, 70 m+ 35,33m  r = 126, 03m

 r = 35,33

d)

Vf = V0 + a  t - V0 t -14,14 m/ s a= 5s a = -2,83m/ s 2 a=

Henry Alvarado

Página 104


8. Desde la ventana de un edificio se lanzan dos piedras A y B. La piedra A se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial igual a la que B es lanzada verticalmente hacia abajo; determinar: a) Cuál de las dos piedras tiene mayor rapidez al llegar al suelo SOLUCIÓN: “La mas rápida es la piedra B pues al ir en la misma dirección de la aceleración de la gravedad su rapidez final será mayor que a la de A que debe subir hasta que su rapidez sea 0 y volver a bajar nuevamente.” 9. Dos partículas A y B se mueven con MRUV acelerado con la misma aceleración cuyo modulo es 2 m/ s 2 .Si para t=0s la rapidez de A es 5m/s y la de B es 2,5m/s; determinar: a) Cuándo A ha recorrido 100m y cuándo B ha recorrido 50m b) Cuándo la relación entre la rapidez de A y la rapidez de B es 3/2 SOLUCIÓN: a) 1  r = V0 t+ at 2 2

1  r = V0 t+ at 2 2

1 100 m = 5 m/ s× t+ 2 m/ s 2 × t 2 2 2 t  5 m/ s× t  100 m  0

1 50 m = 2,5 m/ s× t+ 2 m/ s 2 × t 2 2 2 t  2,5 m/ s× t  50 m  0

-5 ± 52 + 4×100 t= 2 t = 7,81s

-2,5 ± 2,52 + 4×50 t= 2 t = 5,93s

b)

3 V0A + at = 2 V0B + at

3  V0B + at  = 2  V0A + at 

3  2,5 m/ s+ 2 m/ s 2 t  = 2  5 m/ s+ 2 m/ s 2 t  7,5 m/ s+ 6 m/ s 2 t = 10 m/ s+ 4 m/ s 2 t 2 m/ s 2 t = 2,5 m/ s 2,5 m/ s 2 m/ s 2 t = 1, 25s t=

Henry Alvarado

Página 105


10. Un avión toma la pista con una aceleración de 20 i m/ s 2 y recorre en línea recta 200 i m antes de detenerse; determinar:

a) Con qué velocidad toca la pista b) Qué tiempo demora en detenerse c) Con qué velocidad constante un auto recorrería esa misma distancia en ese tiempo

SOLUCIÓN: a)

b)

2 0

V0 = 2 a  r V0 = 2× 20 m/ s 2 × 200 m V0 = 89, 44 m/ s

Vf - V0 t -V t= 0 a -89, 44 m/ s t= -20 m/ s 2 t = 4, 47 s

a=

V = V - 2a  r 2 f

c)

r t 200 m V= 4, 47 s V = 44, 74 m/ s V=

11. Un observador ve pasar por su ventana ubicada a 50m de altura un objeto hacia arriba y 3s después lo ve pasar hacia abajo; determinar: a) La velocidad con la que fue lanzado el objeto desde la base del edificio b) La altura que alcanzó respecto a la base del edificio SOLUCIÓN: a) Análisis desde que es visto por la ventana: t Total = t ascenso + t descenso

como t ascenso = t descenso

t Total = t ascenso + t ascenso 2 t ascenso = t Total t ascenso =

t Total 2

Henry Alvarado

Página 106


Análisis del ascenso:

Vf = V0 + gt ascenso V0 = -gt ascenso t  V0 = -g  Total   2   3s  V0 = -  -9,8m/ s 2     2 V0 = 14,7 m/ s

Análisis desde la base del edificio: La V0 = 14,7 m/ s desde la ventana pasa a ser Vf = 14,7 m/ s desde la base hasta la ventana, entonces:

Vf 2 = V02 + 2gDr  V0 = Vf 2 - 2gDr V0 = Vf 2 - 2gDr V0 =

14,7 m/ s 

2

- 2  -9,8m/ s 2   50 m 

V0 = 34,58m/ s b)

Vf 2 = V0 2 + 2g  r  r = r =

Vf 2 - V0 2 2g -  34,58 

2

2  -9,8m/ s 2 

 r = 61,0 m

Henry Alvarado

Página 107


12. Dos cuerpos A y B situados sobre la misma vertical distan 65m, si son lanzados uno contra otro con rapidez de 16m/s y 12 m/s respectivamente; determinar: a) Dónde y cuándo se chocan, si A sube y B baja b) Dónde y cuándo se chocan, si A baja y B sube SOLUCIÓN: a)

65m =  rA   rB   rA = 65m  rB ...................(1)

t A = t B ...............(2)

1  rA = V0A t A  a A t A 2 ................(3) 2

(1) en (3) 1 65m   rB = V0A t A + gt A 2 2 1  rB = 65m  V0A t A  gt A 2 ..........................(4) 2

1  rB = V0B t B + gt B 2 como t A = t B 2 1  rB = V0B t A + g t B 2 .............................(5) 2 Igualando (4) y (5) 1 1 gt A 2 = V0B t A + g t B 2 2 2 65m  V0A t A = V0B t A 65m  V0A t A 

tA =

65m V0A ` V0B

tA =

65m 16 m/ s`+12 m/ s

t A = 2,32 m/ s

Henry Alvarado

Página 108


1  rB = V0B t A + g t B 2 2  rB = 12 m/ s× 2,32s+

1 2 9,8 m/ s 2   2,32s   2

 rA = 65m 54,21m  rA = 10,79m

 rB = 54, 21m

b) 1  rA = V0A t A + g t A 2 2  rA = 16 m/ s× 2,32s+

 rB = 65m 63,49m

1 2 9,8 m/ s 2   2,32   2

 rB = 1,51m

 rA = 63, 49 m

13. Desde un globo que se encuentra a 100m de altura, se deja caer un objeto; determinar: a) Cuánto tiempo tarda el objeto en tocar el suelo si el globo está en reposo b) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo ascendía a 1m/s c) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo descendía a 1m/s SOLUCIÓN: a)

b)

1  r = V0 t + gt 2 2 2 r t= g

1  r = V0 t+ gt 2 2 1 9,8m/ s 2  t 2 +  -1m/ s  t-100 m = 0  2

t=

2 100 m  9,8 m/ s 2

t = 4,52s

Henry Alvarado

t=

1  1  4  4,9 100  2  4,9 

t = 4,62s

Página 109


c) 1  r = V0 t+ gt 2 2 1 9,8m/ s 2  t 2 + 1m/ s  t-100 m = 0  2 t=

1  1  4  4,9 100  2  4,9 

t = 4, 42s

14. Se deja caer una piedra desde una gran altura; determinar: a) El módulo del desplazamiento durante los primeros 5 segundos b) El módulo del desplazamiento durante los 5 segundos siguientes c) La rapidez alcanzada al final de cada uno de los intervalos anteriores SOLUCIÓN: a)

b)

1  r = V0 B t + g B t B 2 2 1 2  r =  9,8m/ s  5s  2  r = 122,5m

1  r = V0 B t + g B t B 2 2 1 2  r =  9,8m/ s 10s  2  r = 490 m

c) Vf = V0 + gt

Vf = V0 + gt

Vf = 9,8m/ s 2× 5s

Vf = 9,8m/ s 2 ×10s

Vf = 10m/ s

Vf = 98m/ s

15. Los móviles A y B parten por una trayectoria rectilínea desde el mismo punto y desde el reposo con una aceleración constante de 2 i m/ s 2 cada uno y B parte 2s más tarde; determinar: a) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 2s de haber partido A b) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 4s de haber partido A c) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 6s de haber partido A SOLUCIÓN:

Henry Alvarado

Página 110


a)

b)

1  r = V0B t + a B t B 2 2 1 2  r =  2 m/ s 2   2s  2 r = 4m

 r =  rB   rA 1 1  r = a Bt B2  a A t A 2 2 2 1 1 2 2  r =  2 m/ s 2   4s    2 m/ s 2   2s  2 2  r = 12 m

c)

 r =  rB   rA 1 1  r = a Bt B2  a A t A 2 2 2 1 1 2 2  r =  2 m/ s 2   6s    2 m/ s 2   4s  2 2  r = 20 m

16. Una partícula con MRUV se mueve a lo largo del eje X. Cuando t=0s se encuentra a 1m a la izquierda del origen, a t=3s se encuentra a 15m a la derecha del origen, y a t=5s se encuentra a 20m a la derecha del origen; determinar: a) La aceleración de la partícula b) El instante en que retorna al origen SOLUCIÓN: a) Como en el eje X parte desde -1m hasta 15m y luego hasta 20 m  r = 15m-  -1m 

 r = 20m-  -1m 

 r = 16m

 r = 21m

En los dos desplazamientos la velocidad inicial es la misma entonces:

Henry Alvarado

Página 111


Cuando t=3s

Cuando t=5s

1  r = V0 t+ at 2 2

1  r = V0 t+ at 2 2

1 2 16m = V0  3s  + a  3s  2 16m = V0  3s  + a  4,5s 2 

1 2 21m = V0  5s  + a  5s  2 21m = V0  5s  + a 12,5s 2 

16m  a  4,5s 2 

21m  a 12,5s 2 

V0 =

3s

........................(1) V0 =

5s

...................(2)

Igualando (1) y (2)

16 m  a  4,5s 2 

=

21m  a 12,5s 2 

3s 5s 3 80 ms- a  22,5s  = 63ms- a  37,5s 3  a  22,5s3  - a  37,5s 3  = 80 ms- 63ms 17 ms -15s3 a = -1,133m/ s 2 a=

b)

Como el movimiento es retardado determinamos el instante en que la velocidad final sea 0 Determinando la velocidad inicial: Vf = V0 + at

 17  16 m   m/ s 2   4,5s 2   15  V0 = 3s V0 = 7, 033m/ s

Henry Alvarado

-V0 a -7,033m/ s t= -1,133m/ s 2 t = 6, 21s t=

Página 112


1  r = V0 t+ at 2 2  r =  7,033m/ s  6, 21s  +

1 2 -1,133m/ s 2   6, 21s   2

 r = 21,83m Determinando el instante que llega nuevamente al origen en este caso la aceleración tiene la misma dirección que la velocidad por tanto es positiva: 1  r = V0 t + at 2 2 1 21,83m  1,133m/ s 2  t 2 2 2× 21,83m t= 1,133m/ s 2

t = 6,21s  6,21s t = 12,42s

t = 6, 21s

17. Una partícula inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una aceleración de 5 i m/ s 2 hasta que su velocidad es de 10 i m/ s , en ese instante se le somete a una aceleración de 10 i m/ s 2 hasta que la distancia total recorrida desde que partió del reposo es 30m; determinar: a) La velocidad media para todo el recorrido b) El grafico Vx contra t SOLUCIÓN: a) Desde que parte del origen:

Vf = V0 + at Vf a 10 m/ s t= 5 m/ s 2 t = 2s t=

1  r = V0 t + at 2 2 1 2  r =  5m/ s 2   2s  2  r = 10 m

Desde que se le somete la aceleración de 10 i m/ s 2 (MRUVR): Henry Alvarado

Página 113


Vf 2 = V0 2 + 2 a  r - V0 2 r = 2a r =

10 m/ s 

 r = 10m 5m  r = 15m

2

2 10 m/ s 2 

 r = 5m Como recorre 15 m hasta detenerse y la distancia recorrida es de 30m como la distancia recorrida es independiente del desplazamiento entonces:

r t 0 Vm = t Vm = 0 Vm =

 rTotal = 15m 15m  rTotal = 0

b)

Vx-t 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -22

1

2

3

4

5

6

18. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, su posición cambia con el tiempo como indica la figura, siendo el nivel de referencia el suelo Henry Alvarado

Página 114


Determinar: a) Los valores de t1 y t 2 b) La velocidad con la que llega al suelo SOLUCIÓN: a)

1  r = V0 t1  at12 2 Vf 2 = V0 2 - 2 g  r

1 9,8m/ s 2  t12 2 4,9 t12  294 m/ s t1  15m  0

15m = 294 m/ s t1 

V0 = 2 a  r V0 = 2  9,8 m/ s 2  15 m  V0 = 294 = 17,15 m/ s

294  t1 = t1 =

1  r = V0 t1  at12 2 t2 = t2 =



2

 4  4,9 15 

2  4,9  294 s  1,75s 9,8

Vf 2 = V0 2  2 g  r Vf = 2 g  r

2  20 m 

t 2 = 2, 02s

294

b)

2 r g -  -9,8 m/ s



2



Vf = 2  9,8 m/ s 2   20 m  Vf = 19,80 m/ s

19. Dos autos A y B se desplazan por la misma trayectoria rectilínea. A se mueve con una velocidad constante de 8 i m/ s y parte de la posición 7 i m . B inicia en el punto Henry Alvarado

Página 115


5 i m con una velocidad de 8 i m/ s y al tiempo t=4s su velocidad es 8 i m/ s . Si se

mueve con aceleración constante; determinar: a) La aceleración de B b) En qué instante coinciden las posiciones de A y B SOLUCIÓN:

Datos:

VA = cte = -8 i m/ s r0A = -7 i m

r0B = -5 i m V0B = 8 i m/ s t = 4s

VfB = -8 i m/ s a)

b) Igualando las posiciones finales de A y B rfA = rfB

aB =

VfB - V0B t



-8 i m/ s- 8 i m/ s aB =

4s

a B = -4 i m/ s 2



1 VA t+ r0A = V0B + r0B + at 2 2 1 - at 2 + VA t- V0B + r0A - r0B = 0 2 -

1  -4 m/ s2  t 2 - 8 m/ st- 8 m/ st- 7 m+ 5 m = 0 2 2 m/ s 2 t 2 -16 m/ st- 2 = 0 ÷2 1m/ s 2 t 2 - 8 m/ st-1 = 0 8 ± 82 + 4 t= 2 t = 8,12s

20. Una partícula se mueve con MRUVA de modo que la magnitud de su desplazamiento de 0 a 2s es 40m y de 2 a 4s es 65m; determinar: a) La magnitud de la aceleración b) El módulo del desplazamiento entre 0 y 10s SOLUCIÓN: Henry Alvarado

Página 116


De 0 a 2s:

1  r1 = V01t+ at 2 2 1 2 40 m = V01 2s+ a  2s  2 40 m- 2sV0 a ....(1) 2s 2

Vf 1 = V01 + at

De 2 a 4s:  Vf 1 = V02  1 Dr2 =  V01 + at  t+ at 2 2

Igualando (1) y (2)

40 m- 2sV0 65 m- 2sV01 = 2s 2 6s 2 3  40 m- 2sV0  = 65 m- 2sV01

1 2 65 m =  V01 + a 2s  2s+ a  2s  2 2 65 m = 2sV01 + 4s a+ 2s 2a

120 m- 6sV0 = 65 m- 2sV01

6s 2 a = 65 m- 2sV01

4sV0 = 55 m

a=

a=

65 m- 2sV01 ....(2) 6s 2

40 m- 2s 13, 75 m/ s  2s 2

a = 6, 25 m/ s 2

V0 = 13, 75 m/ s

1  r = V0 t+ at 2 2  r = 13, 75 m/ s×10s+

1 2 6, 25 m/ s 2  10s   2

 r = 450 m

21. Dos partículas A y B se mueven sobre carreteras rectas. A se mueve con aceleración constante de modo que en t 0 = 0s, r0 = -300 i m y v0 = 30i m/ s y en t1 = 10s, r1 = 10 i m , B se mueve con velocidad constante de modo que en t 0 = 0s, r0 = 200 j m y en t1 = 10s, r1 = 300 i m ; determinar:

a) La velocidad de A en t1 = 10s b) La velocidad de A respecto a B en t1 = 10s SOLUCIÓN:

Henry Alvarado

Página 117


1  r = V0 t+ a t 2 2 1 rf - r0 = V0 t+ a t 2 2



 2  r - r  - V t  a= f



0

t

Vf = V0 + a t

0

Vf = 30 i m/ s+ 0, 2 i m/ s 2 ×10s

2





2 10 i m- -300 i m - 30 i m/ s×10s a=

10s 



Vf = 32 i m/ s

2

a = 0, 2 i m/ s 2

VB = VB

r t

 300 i m 200 j m  = 

10s



VB = 30 i  20 j m/ s

   =  2 i- 20 j  m/ s



VA/B = 32 i  0 j m/ s- 30 i  20 j m/ s VA/B

22. Se deja caer libremente un objeto desde una altura de 120m medida desde el suelo, en ese mismo instante se arroja hacia abajo un segundo objeto desde una altura de 190m; determinar: a) La velocidad inicial del segundo objeto para que los dos lleguen al piso al mismo tiempo SOLUCIÓN: Cuerpo 1: 1  r = V0 t + gt 2 2 1 120 m = V0 t +  9,8 m/ s 2  t 2 2 120 m t= 4,9 m/ s 2 t = 4,95s

Cuerpo 2: 1  r = V0 t+ gt 2 2 190 m = V0  4,95s  + 190 mV0 =

1 2 9,8 m/ s 2   4,95s   2

1 2 9,8 m/ s 2   4,95s   2 4,95s

V0 = 14,13m/ s

23. Dos móviles A y B se mueven de acuerdo al siguiente gráfico:

Henry Alvarado

Página 118


Si parten del origen; determinar: a) La posición de cada móvil para t=10s b) La posición y el tiempo en que los dos móviles se encuentran por primera vez luego de partir SOLUCIÓN: Posición de A: De 0 a 4s:

De 4 a 6s:

De 4 a 6s:

Área del triángulo:



4s×  -16 m/ s  2  r = -32 m/ s r =

r =

 6s- 4s  × 8 m/ s  2

r =

10s- 6s  × 8 m/ s  2

 r = 16 m/ s

 r = 8 m/ s

Como parte del origen:

Partícula B:

rf = -32 i m/ s  8 i m/ s  16 i m/ s

rf = -5 m/ s×10s

rf = -8 i m/ s

rf = -50 i m

24. Un automóvil viaja a 18m/s y un bus a 12m/s sobre una carretera recta en direcciones contrarias. De manera simultánea los choferes se ven y frenan de inmediato, el auto disminuye su rapidez a razón de 2 m/ s 2 y el bus a 3m/ s2 ; determinar: a) La distancia mínima entre los dos al momento que frenan para evitar que colisionen SOLUCIÓN: Henry Alvarado

Página 119


Automóvil:

Bus:

Vf2 = V02 + 2 a  r r  r =

Vf2 = V02 + 2 a  r

- V02 2a - 18 m/ s 

Distancia mínima:

r  2

r =

2  -2 m/ s 2 

 r = 81m

- V02 2a - 12 m/ s 

 rmin = 81m 24 m 2

2  -3m/ s 2 

 rmin = 105 m

 r = 24 m

25. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una cierta rapidez inicial desde el borde de un precipicio y en 9s llega al fondo. Luego desde el mismo lugar se lanza otro objeto verticalmente hacia abajo con la misma rapidez inicial y tarda 2s en llegar al fondo; determinar: a) La rapidez inicial con la que fueron lanzados los objetos b) La altura del precipicio SOLUCIÓN: 1  r1 = V0 t1 - at12 .....(1) 2

1  r2 = V0 t 2 + at 2 2 .....(1) 2

Desde el borde del precipicio se cumple:  r2 =  r1 siendo en el lanzamiento vertical hacia arriba la aceleración de la gravedad negativa, y en el lanzamiento vertical hacia abajo positiva. Igualando a partir de esa condición:

1 1 V0 t 2 + at 2 2  - V0 t1  at12 2 2 1 1 V0 t 2 + V0 t1 = at12 - at 2 2 2 2 1 V0  t 2 + t1  = a  t12 - t 2 2  2 1 a  t12 - t 2 2  V0 = 2 t 2 + t1



1 2 2 9,8 m/ s 2  9s  -  2s  V0 = 2 2s+ 9s

1  r2 = V0 t 2 + at 2 2 2 1 2  r2 = 34,3m/ s 2s+ 9,8 m/ s 2  2s  2  r2 = 88, 2 m



V0 = 34,3m/ s

Henry Alvarado

Página 120


26. Se dispara verticalmente hacia arriba un móvil y cuando ha ascendido 5m lleva una velocidad de 10 j m/ s ; determinar: a) La velocidad con la que fue disparado b) La altura que alcanza c) El tiempo que demora en ascender esos 5m y el que demora en pasar nuevamente por dicha posición SOLUCIÓN: a)

b) Vf2 = V02 + 2 a  r

V = V + 2a  r 2 f

2 0

r = -

V0 = V - 2 a  r 2 f

V0 =

10 m/ s 

2

- 2  -9,8 m/ s 2  5 m

V0 = 14, 07 m/ s

V02 2a

14, 07 m/ s  r = -

2 2

2  -9,8 m/ s 

 r = 10,10 m

c) Vf = V0 + at V0 a 14, 07 m/ s t=-9,8 m/ s t = 1, 44s t=-

27. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, a t=2s, su velocidad es 16 i m/ s y su aceleración es constante e igual a 2 i m/ s2 ; determinar: a) La velocidad de la partícula a t=5s y t=15s b) El desplazamiento de la partícula entre t=5s y t=15s SOLUCIÓN: a) Vf = V0 + a t

Vf = V0 + a t

Vf = 16 i m/ s- 2 i m/ s  5s- 2s 

Vf = 16 i m/ s- 2 i m/ s 2 15s- 2s 

Vf = 10 i m/ s

Vf = -10 i m/ s

2

Henry Alvarado

Página 121


b)

1  r = V0 t+ a t 2 2  r = 10 i m/ s 15s- 5s  -





1 2 -2 i m/ s 2 15s- 5s  2

r = 0 28. En el interior de un tren que parte del reposo y acelera a razón de 4 i m/ s 2 , un objeto desliza sin rozamiento por el piso del vagón con una velocidad de 8 i m/ s respecto a tierra; determinar: a) El tiempo que debe transcurrir para que el objeto alcance nuevamente su posición original b) En ese mismo momento la velocidad instantánea del vagón respecto a tierra c) En ese instante, la velocidad del objeto respecto a la velocidad del vagón SOLUCIÓN: a)

b)

c)

Si regresa el objeto a su Posición inicial: rf = r0   r = 0 1 0 = V0 t+ at 2 2 1   t  V0 + at  = 0 2   t1 = 0 t2 = -

2 V0 a



2 8 i m/ s t2 = -

-4 i m/ s t 2 = 4s

Vf = V0 + at

Vf = V0 + at

Vf = 4 i m/ s  4s 

Vf = 8 i m/ s- 4 i m/ s 2  4s 

Vf = 16 i m/ s

Vf = -8 i m/ s

2



2

29. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba, desde el reposo, con una aceleración constante de 14, 7 j m/ s 2 durante 8s, en ese momento se le acaba el combustible y el cohete continua moviéndose de manera que únicamente queda sujeta a la gravedad de la tierra; determinar: a) La altura máxima que alcanza el cohete Henry Alvarado

Página 122


b) El tiempo que tarde en regresar a la tierra c) El grafico velocidad-tiempo para este movimiento SOLUCIÓN: Hasta los 8 s en que se acaba el combustible:

1  r = V0 t + at 2 2 1 2  r = 14, 7 m/ s 2 8  2  r = 470, 4 m

Vf = V0 + at Vf = 14, 7 m/ s 2  8s Vf = 117, 6 m/ s

Después de los 8 s:

Sumando las distancias:

Vf 2 = V02 + 2 g  r Vf 2 - V02 r = 2g r =

 r = 470, 4 m 705, 6 m

Vf 2 - 117, 6 m/ s 

2

2  -9,8 m/ s 2 

 r = 1176 m

 r = 705, 6 m

b) Tiempo 1: 8s t=

Tiempo 2: t =

2 r g 2  705, 6 m  9,8 m/ s 2

t = 12s

t= Tiempo 3: t =

2 r g 2 1176 m  9,8 m/ s 2

t = 15, 49s Tiempo Total: Henry Alvarado

t T = 8s+12s+15, 49s t T = 35, 49s Página 123


Grafico V-t

V(y)-t 150 100 50 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

-50 -100 -150 -200

Henry Alvarado

Página 124

Solucionario Fisica Vectorial 1 Vallejo Zambrano

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