Solucionario de Clase integradora
ESTADÍSTICA – MA444 MA444
Clase integradora para la PC2 - 2015 – 2 Pregunta 1 El tiempo de vida útil de un microprocesador se distribuye exponencialmente con una media de 3000 horas. X = Tiempo de vida útil de un microprocesador X Exp (β=3000) a. ¿Qué proporción de microprocesadores funcionará a lo más 6000 horas? -6000/3000 = 0.8647 P(X ≤ 6000) = 1-e b. Si la confiabilidad es una medida del tiempo de vida útil de un microprocesador, ¿cuál será el tiempo mínimo que contiene al 28% de los l os microprocesadores que duran más? -K/3000
P(X ≤ K) = 1 - e 0.72 = 1- e-K/3000
0.72
K = 3818.9
0.28
c. Si se tienen 4 microprocesadores que funcionan en forma independiente, ¿cuál es la probabilidad que por lo menos tres de de ellos tengan vida útil de al menos 7000 horas? horas? 7000/3000 ) = 0.0970 P(X ≥ 7000) = 1- P(X < 7000) = 1- (1- eY= número de microprocesadores que tengan vida útil de al menos 7000 horas Y Bin (n=4, p=0.0970) P(Y≥3) = P(Y=3) + P(Y=4) = 0.003385
Pregunta 2 Una fábrica cuenta con 3 máquinas: Alpha, Beta y Gamma. La máquina Alpha produce diariamente el triple de Beta y ésta el doble de Gamma. Además se sabe que el peso de los artículos producidos por Alpha se distribuye exponencialmente con una media de 5kg., el peso de los artículos producidos por Beta se distribuyen uniformemente entre 3kg y 8kg., mientras que el peso de los artículos producidos por Gamma se distribuye normalmente con una media de 6 kg. y una desviación estándar de 2 kg. Si se extrae al azar un artículo, ¿Cuál sería la probabilidad de que pese a lo más 5 kg.? Maquinas Cantidad Alpha 6n = 6/9 Beta 2n =2/9 Gamma n =1/9 9n =1 Alpha P(X≤5) =1- e-5/5 = 0.632
Peso de artículos X Exp (β=5) YU(a=3 b=8 ) Z N(µ=6 ; ,2 =22 )
P(X≤5)
0.632 0.4 0.30854
Beta P(X≤5) = 2/5 = 0.4 Gamma P(X≤5) = P ( Z
56
2
) ) = P(Z≤-0.5) = 0.30854
P(T) = 6/9*0.632 +2/9*0.4 + 1/9*0.30854 1/ 9*0.30854 = 0.5445
1
Solucionario de Clase integradora Pregunta 3 La empresa ACM Constructores tiene para el pintado de las paredes dos marcas de pintura A y B. Se sabe que la duración de la pintura marca A tiene distribución exponencial con media igual a 500 días y la pintura marca B tiene distribución normal con media de 235,30 días y desviación estándar de 73,98 días. a. Si la empresa constructora necesita que la pintura dure más de 200 días, ¿Cuál de las marcas elegiría, en base a la probabilidad de duración de cada una de ellas? Pinturas A B La marca que
Duración de la pintura Probabilidad P(X>200) = 1- P(X≤200) = 1 – [1-e ]= 0.6703 X Exp (β=500) 2 2 P(Y>200) = 1- P(Y≤200)= 1 - P(Z≤-0.48) = 1 - 0.31561=0.68439 Y N(µ=235.30 ; , =73.98 ) elegiría, en base a la probabilidad seria la pintura B.
b. El departamento de post venta premiara al 12% de propietarios que mantengan con mayor duración la pintura marca B en sus paredes, ¿Cuál es el valor mínimo de duración para que el propietario se haga acreedor del premio?
0.12
P(X ≤ K) = 0.88 P(Z ≤ K- µ)= 0.88 (tabla)
K-235.30 = 1.18 73.98 K= 322.5964
Pregunta 4 La corporación “Metálica S.A.” fabrica barras de construcción de acero. Se sabe que los pesos de las barras de construcción de 5/8” de diámetro tienen distribución normal con media de 1.552 kg/m y varianza de 1.440 (Kg/m)2. Según disposición de la norma técnica si el peso de una barra de construcción se encuentra entre 1.380 y 1.450 kg/m se considera dentro de la especificación técnica. a. ¿cuál es la probabilidad de que el peso de una barra seleccionada aleatoriamente se encuentre fuera de la especificación técnica?
X: pesos de las barras de construcción de 5/8” de diámetro X N(=1.552,2 =1.440) P(no encontrarse dentro de la especificación técnica )
1.38 1.552
1 P (
1.44
Z
1.450 1.552
1.44
)
P(no encontrarse dentro de la especificación técnica ) = 1-P(-0.14
b.
Si el jefe de producción selecciona seis barras de acero independientemente, ¿cuál es la probabilidad que a lo más dos tengan pesos menor a 1.396 kg/m? P(X < 1.396) = P(Z < (1.396-1.552)/raíz(1.44)) = P(Z < -0.13) = 0.44828 Y= número de barras de acero con peso menor a 1.396 kg/m Y Bin (n=6, p=0.44828) P(Y≤2) = 0.44499
2
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c.
El jefe de producción ha decidido enviar a caldero al 37% de las barras con menores pesos. ¿Cuál es el peso máximo de las barras para que sean enviados a caldero? P(X ≤ K) = 0.37 P(Z ≤ K- µ)= 0.37 (tabla) 0.37
K-1.552 = -0.34 Raíz(1.44) K= 1.144
Pregunta 5
Suponga que un fabricante de la industria electrónica debe decidir entre dos procesos de fabricación de cierto componente. Empleando el proceso A le cuesta $200 fabricar el componente, con el proceso B le cuesta $300. Los componentes producidos por el proceso A tienen una distribución exponencial del tiempo transcurrido hasta la falla con promedio de 200 horas. Para el proceso B el tiempo transcurrido hasta la falla es uniforme con parámetros 150 y 450 horas. Debido a una cláusula de garantía, si un componente dura menos de 400 horas, el fabricante debe pagar una penalidad de $140. ¿Por cuál de los procesos debe decidir el fabricante? Proceso A B
costo $200 $300
X= tiempo transcurrido X Exp (β=200)
P(X ≤ 400) = 1-e -400/200 = 0.86466 = 0.833
YU(a=150 b=450 )
P(X > 400) 0.13534 0.167
E(CA) = (200+140)* 0.86466 + 200*0.13534 = 321.05 E(CB) = (300+140)* 0.833 + 300*0.167= 416.62 Elegirá el proceso de fabricación que le cuesta menos, por lo tanto el proceso A.
Pregunta 6 El jefe de producción de “SEGURITY ON LINE” está interesado en comprobar la longitud del sensor de la lente de las cámaras de seguridad. Según especificaciones técnicas este debe ser de 3,6mm. 0.01mm. El gerente de ventas le ha indicado al jefe de producción que si los sensores cumplen la especificación técnica entonces seguirán con la producción, de lo contrario realizaran ciertos ajustes en los sensores. Para realizar la prueba correspondiente el jefe de producción ha seleccionado una muestra aleatoria de 10 cámaras de seguridad, obteniendo los siguientes resultados: 3.3
3.2
2.4
3.5
3.4
3.3
2.8
2.2
3.5
3.8
a. Si se supone que la longitud del sensor sigue una distribución normal, estime la longitud promedio con una confianza del 97% y luego responda ¿se seguirá con la producción de los sensores? ET =[3.59 ; 3.61]
x t n 1, 2
s n
x t n 1, 2
s n
T0.015,9 = 2.5738
̅
= 3,14 S = 0.513 IC(µ) = 3,14 ± 2.5738* 0.513/ raíz(10) = >>> IC(µ) = [2.723, 3.557] Con un 97% de confianza podemos afirmar que el [2.723, 3.557]mm contiene la verdadera longitud promedio. El intervalo hallado es menor que las ET, por lo tanto n o se seguirá con la producción de sensores
3
Solucionario de Clase integradora
b.
=
⁄)∗ (− ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra para que proporcione
una estimación, con 95% de confianza y un error de 15% mm.? Z0.975 = 1.96
5 = .∗. .5
= >> n = 44.93
Redondear al mayor entero. Tamaño de muestra n = 45
Pregunta 7 Los satélites transmisores de datos necesitan alta potencia para evitar bloqueos, es por ello que deben utilizar la banda KU con un valor mínimo de 11 GHz de frecuencia, valor de especificación. Los ingenieros de telecomunicación de INTELSAT desean estimar la frecuencia promedio de sus satélites y verificar si, en promedio, están cumpliendo con la especificación. Por lo tanto seleccionan al azar 66 satélites y registran las frecuencias. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico: Realice la estimación con 98% de confianza y diga si INTELSAT cumple con la especificación. Li
Ls
x
fi
10.5
10.9
10.7
4
10.9
11.3
11.1
10
11.3
11.7
11.5
9
11.7
12.1
11.9
7
12.1
12.5
12.3
16
12.5
12.9
12.7
20
total
x t n 1, 2
s n
x t n 1, 2
s n
̅
= 11.99 S = 0.6612 T0.01, 65 = 2.3851
66
IC(µ) = 11.99 ± 2.3851* 0.6612 =
[11.7959, 12.1841]
66 Con un confianza del 98% podemos afirmar que el [11.7959, 12.1841]GHz, contiene la verdadera frecuencia promedio de sus satélites. Cumple con la especificación por tener ambos valores mayores al mínimo de 11 GHz.
4
Solucionario de Clase integradora Pregunta 8 Se desea estimar la proporción de componentes electrónicas que fallan antes de cumplir su vida útil de dos años. Para esto un ingeniero electrónico selecciona al azar 150 componentes y encuentra que 6 fallan antes de cumplir su vida útil. a. Realice la estimación con una confianza del 94%. Interprete. p ˆ
= 6/150 = 0.04
1-α =0.94, α = 0.06; α/2= 0.03; 1 - α/2 = 0.97
IC ( p) p z (1 / 2)
p(1 p) ˆ
ˆ
ˆ
n
Z0.97 = 1.88
=0.04 ±1.88× √ .×. 5 ME
= [0.00992 ; 0.07]
Con un confianza del 94% podemos afirmar que el [0.00992 ; 0.07], contiene la verdadera proporción de componentes electrónicas que fallan antes de cumplir su vida útil de dos años
b. Si el fabricante garantiza que a lo más el 5% de sus componentes no cumplen con el tiempo de vida útil de dos años, ¿la información obtenida en a), pone en duda tal afirmación? Explique. Con un nivel de significación del 5%, no se cumple lo que el fabricante garantiza
Pregunta 9 Se tiene la siguiente información de los principales problemas que la empresa concreto premezclado debe atender.
Tr icom S.A .
que vende
Estime la proporción del problema que se debe a “ demora en el secado”, con una confianza del 95%. Interprete. p ˆ
= 15/72 = 0.2083
1-α =0.95, α = 0.05; α/2= 0.025; 1 - α/2 = 0.975 Z0.975 = 1.96
IC ( p) p z (1 / 2) ˆ
p(1 p) n ˆ
ˆ
77 =0.2083 ±1.96×√ .×. 7 = [0.1145 ; 0.3021] Con un confianza del 95% podemos afirmar que el [0.1145 ; 0.3021], contiene la verdadera proporción que se debe al problema de secado.
5
Solucionario de Clase integradora Pregunta 10 Visual Systems S.A. está lanzando al mercado sus nuevos proyectores con tecnología DLP (Procesado Digital de la luz) que utiliza un nuevo chip DMD. El departamento de ventas desea realizar una encuesta con la finalidad de estimar la proporción de clientes que preferirían este novedoso proyector. El estudio requiere que el error al estimar la proporción no sea mayor a 4,5% con un nivel de confianza de 97%. Se tiene conocimiento por estudios anteriores que aproximadamente el 35% de los clientes podrían preferir el producto. Si el costo operativo para realizar la encuesta es de 5200 soles y además un costo adicional de 3,5 soles por cada encuesta. ¿Cuánto es el costo total que debe tener la empresa para realizarla?
z 12 / 2 p(1 p) n e2
E = 0.045
ˆ
1-α = 0.97, α = 0.03; α/2= 0.015; 1 - α/2 = 0.985
ˆ
Z0.985 = 2.17 p ˆ
= 0.35
n
2.172 x(0.35x0.65) 0.045 2
= 529.02, redondeando 530 Costo total = 5200 + (3.5x 530) = 7055 soles.
Pregunta 11 Una máquina produce varillas metálicas usadas en el sistema de suspensión de un automóvil. Se selecciona una muestra aleatoria de 15 varillas y se miden los diámetros. Los datos resultantes se muestran a continuación: 8.24
8.21
8.23
8.25
8.26
8.23
8.20
8.26
8.19
8.23
8.20
8.28
8.24
8.25
8.24
Asumiendo que los diámetros tienen distribución normal, ¿se puede afirmar que el diámetro medio de las varillas es menor a 8,20 mm? Use un nivel de significación del 5%. _ 1.
Ho: μ ≥8.20 H1: μ < 8.20
t
2. α =0.0 5
x S / n
~ t ( n
1)
̅
= 8.234 S = 0.0253 T0.05, 14 = 1.76131
3. Regiones críticas 0.04 *
t
-1.76131 1
(8.234 8.20) 15 = 5.2048 0.0253
4. Decisión: No se rechaza H0. Conclusión: Con un nivel de significación del 0.05, no se puede afirmar que el diámetro medio de las varillas es menor a 8,20 mm
6
Solucionario de Clase integradora Pregunta 12 Un fabricante produce un cable de alambre de cierto tipo que tiene una resistencia media a la ruptura mayor de 300 kg. Se descubre un nuevo proceso y más barato que desea emplearse, siempre que el cable así producido cumpla con la condición anterior sobre la resistencia media a la ruptura. Si una muestra aleatoria de 36 cables producidos con el nuevo proceso ha dado una media de 304.5 kg y una desviación estándar de 15 kg. ¿Debería el fabricante adoptar el nuevo proceso? Use un nivel de significación del 2%. Asumir que la distribución de la resistencia a la ruptura es normal. _
t
1.
Ho: μ ≤300 H1: μ > 300
x
S /
n
~ t ( n
1)
̅
= 304.5 S = 15, n= 36 T0.02, 35 = 2.13316
2. α =0.0 2
3. Regiones críticas
0.02 *
t
2.13316 4. Decisión: No se rechaza H0.
(304.5 300) 36 = 1.8 15
Conclusión: Con un nivel de significación del 0.02, 300 kg
se puede afirmar que resistencia media a la ruptura sea mayor de
Pregunta 13 Los usuarios de la sustancia XP90 indican que cuando esta sustancia no es óptima ocurre un fenómeno conocido como licuefacción y se requiere un reproceso. La certificadora, encargada de la realización de los análisis físico-químicos, asegura que la proporción de reprocesos disminuye cuando la sustancia está certificada por lo tanto una de las metas de la empresa es tener más del 20% de sustancias certificadas. De una muestra de 120 reprocesos se identificó que 26 usaron sustancias certificadas. En base a esta información podemos afirmar que ¿la empresa ha logrado la meta? Use α=0,03 1. 2.
Ho: P ≤ 0.20 H1: P > 0.20
Z c
p p0 ˆ
p0 1 p0 n
Z
α =0.03
3.
Z c 4.
0.217 0.20 0.20 x0.80 120
= >> Zc = 0.47
̂ = 26/120=0.217
Regiones críticas
0.97 0.03 * 5. 6.
1.88 Decisión: No se rechaza H0. Conclusión: Con un nivel de significación del 0.03, no se puede afirmar que la proporción de sustancias certificadas sea mayor al 20%, es decir la empresa no cumplió su meta.
7
Solucionario de Clase integradora Pregunta 14 Un inspector preocupado porque algunas obras no estarían cumpliendo con la norma de seguridad G-050 sobre la protección en las obras para los trabajadores, decide seleccionar al azar 90 obras para visitarlas. Registra el número de faltas de seguridad más frecuente en la obra obteniendo la siguiente gráfica. Es cierta la afirmación que la proporción de obras donde la falta de seguridad de trabajadores que laboran sin protección contra el ruido es mayor al 10%. Use =0,02.
1. 5.
Z c
Ho: P ≤ 0.10 H1: P > 0.10
p p0 ˆ
p0 1 p0 n
Z
α =0.0 2
6.
Z c 7.
0.2 0.10 0.10 x0.90 90
= >> Zc = 3.16
̂ = 18/90=0.2
Regiones críticas
0.98 0.02 * 7. 8.
2.05 Decisión: Se rechaza H0. Conclusión: Con un nivel de significación del 0.02, se puede afirmar que la proporción de obras donde la falta de seguridad de trabajadores que laboran sin protección contra el ruido es mayor al 10%.
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