FÍSICA MODERNA - SCHAUM - 2 ED. - GAUTREAU-SAVIN CAPÍTULO 8: MASA, ENERGÍA Y MOMENTUM (CANTIDAD DE MOVIMIENTO) EN RELATIVIDAD
RELATIVIDAD II: SOLUCIONARIO Andres O. Muñasqui Paredes (07190081), Jean P. Romero Espinal (13190245), Richard A. Chavez Lopez (13190081) y Johon R. Fabian Larianco (13190126) Física IV – Profesor: Felipe Sánchez Nolasco – Miércoles de 13:00 a 16:00 – Facultad de Ingeniería Electrónica, Eléctrica y Telecomunicaciones Universidad Nacional Mayor de San Marcos – Lima, Perú – 2014-II
8.30 A partir de las masas en reposo dadas en el apéndice, calcule en joules la masa energía en reposo de una unidad de masa atómica.
8.33 Estime la energía cinética de un neutrón cuyo momentum es de 200 MeV/c. Reescribiendo (5), y ordenando para K:
Del apéndice, y en general para los posteriores problemas:
𝑲𝟐 + (𝟐𝑬𝟎 )𝑲 − [(𝒑𝒄)𝟐 ] = 𝟎 Ecuación con primera solución (la segunda es negativa y se descarta): 𝑲=
Siendo la energía de una masa en reposo denotada por:
−(2𝐸0 ) + √(2𝐸0 )2 − 4(1)[−(𝑝𝑐)2 ] 2(1)
Reemplazando valores:
𝑬𝟎 = 𝒎𝟎 𝒄𝟐
−[2(939.6 𝑀𝑒𝑉)] + √[2(939.6 𝑀𝑒𝑉)]2 − 4(1) [− ( 𝑲=
Reemplazando valores:
2(1)
𝑚 2 𝑬𝟎 = (1.661 𝑥 10−27 𝑘𝑔) (3 𝑥 108 ) = 𝟏. 𝟒𝟗𝟒𝟗 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝑱 𝑠 8.31 Determine la energía cinética de un protón cuya velocidad es de 0.8c. La energía cinética K es la diferencia entre la energía total, E, de la partícula en movimiento, y la energía en reposo, E0, de la misma en reposo: 𝟐
𝑲 = 𝑬 − 𝑬𝟎 = 𝒎𝒄 − 𝒎𝟎 𝒄
𝑲 = 𝟐𝟏. 𝟎𝟒𝟗𝟗 𝑴𝒆𝑽 8.34 Calcule la velocidad de un protón que tiene energía cinética de 200 MeV Despejando u de (3), se tiene: 𝟐
𝟐
√𝟏 − (
𝒖=
(1) Energía cinética de una partícula ( Pero:
2 200𝑀𝑒𝑉 . 𝑐) ] 𝑐
𝟏
) 𝑲 +𝟏 𝒎𝟎 𝒄𝟐
𝒄 )
(6) Velocidad de una partícula en función de su energía cinética 𝒎=
𝒎𝟎
Reemplazando valores:
𝒖𝟐 √𝟏 − ( 𝟐 ) 𝒄
2
(2) Masa de un objeto en movimiento relativo
√1 − (
𝒖= (
De donde (1) se convierte en:
𝟐)
𝑲 = (𝒎𝟎 𝒄
8.35 ¿Cuál es la masa de un protón con energía cinética de 1 GeV?
𝟏 𝒖𝟐 √𝟏 − ( 𝟐 ) ( 𝒄
−𝟏
Despejando m en términos de m0 en (1), se obtiene:
) 𝒎=(
(3) Energía cinética de una partícula: 2da expresión Reemplazando valores, y usando el valor de E0 = m0c2 del apéndice: 1
𝑲 = (938.3 𝑀𝑒𝑉) (
(0.8𝑐)2 √1 − [ ] 𝑐2
1 ) 𝑐 = 𝟎. 𝟓𝟔𝟔𝟐𝒄 200 𝑀𝑒𝑉 +1 938.3 𝑀𝑒𝑉 )
−1
̂ 𝑴𝒆𝑽 = 𝟔𝟐𝟓. 𝟓𝟑
)
8.32 Calcule el momentum de un protón con energía cinética de 200 MeV. Elevando (2) al cuadrado, multiplicando ambos lados por c4 [1-(u2/c2)], y usando las relaciones de (1), junto con p = mu: 𝑬𝟐 = (𝒑𝒄)𝟐 + (𝑬𝟎 )𝟐
𝑲 + 𝟏) 𝒎𝟎 𝑬𝟎
Reemplazando valores: 1 𝐺𝑒𝑉 𝒎=( + 1) 𝑚0 = 𝟐. 𝟎𝟔𝟓𝟖𝒎𝟎 938.3 𝑀𝑒𝑉 8.36 ¿A qué velocidad se debe mover una partícula de manera que su energía cinética iguale a su energía en reposo? De (6), igualando K y m0c2: 1 2 3 𝒖 = (√1 − ( ) ) 𝑐 = (√ ) 𝑐 = 𝟎. 𝟖𝟔𝟔𝒄 1+1 4
(4) Energía en términos del momentum Reemplazando E usando (1), y despejando p, se tiene: 𝒑=
√𝑲𝟐 + 𝟐𝑲𝑬𝟎 𝒄
(5) Momentum de una partícula en función de su energía cinética
8.37 Suponga que la masa relativista de una partícula es 5% mayor que su masa en reposo. ¿Cuál es su velocidad? Despejando u de (2), y dando valores: 𝒖 = (√𝟏 − (
2 𝒎𝟎 𝟐 𝑚0 ) ) 𝒄 = (√1 − [ ] )𝑐 (1.05)𝑚0 𝒎
Finalmente, dando valores: 𝒑=
𝑴𝒆𝑽 √(200 𝑀𝑒𝑉)2 + 2(200𝑀𝑒𝑉)(938.3 𝑀𝑒𝑉) = 𝟔𝟒𝟒. 𝟒𝟓𝟑𝟑 𝑐 𝒄
𝒖 = 𝟎. 𝟑𝟎𝟒𝟗𝒄
8.38 ¿Cuál es la razón de la masa relativista a la masa en reposo para a) un electrón, b) un protón, cuando se acelera a partir del reposo al aumentar su potencial en 15 megavolts?
Pero se sabe que en un campo magnético, la velocidad y la aceleración son perpendiculares: 𝒅𝒖 𝒖( ) = 𝟎 𝒅𝒕
Despejando E de (1), y dividiendo ambos miembros entre m0c2: 𝒎 𝑲 + 𝒎𝟎 𝒄𝟐 = 𝒎𝟎 𝒎𝟎 𝒄𝟐
Además: 𝑭𝒓 = 𝒒𝒖𝑩
Tomando el valor de m0c2 del apéndice para ambos casos, reemplazando: 𝒂)
𝒎 15 𝑀𝑒𝑉 + 0.511 𝑀𝑒𝑉 = = 𝟑𝟎. 𝟑𝟓𝟒𝟐 𝒎𝟎 0.511 𝑀𝑒𝑉
𝒃)
𝒎 15 𝑀𝑒𝑉 + 938.3 𝑀𝑒𝑉 = = 𝟏. 𝟎𝟏𝟓𝟗 𝒎𝟎 938.3 𝑀𝑒𝑉
√𝟏 + (𝒒𝑩𝑹) 𝒎𝟎 𝒄
𝟐
(7) Velocidad relativista de una partícula de carga q que se mueve en un círculo de radio R en ángulos rectos con respecto a un campo magnético B Dando los valores para hallar la velocidad:
𝟏 𝑲 = 𝒎𝒖𝟐 𝟐
𝒖=
Con u = c. Igualando esta expresión en (1):
2
= 𝟐𝟖𝟖𝟓𝟔𝟕𝟑𝟔𝟖. 𝟐
𝒎 𝒔
Expresándolo como una fracción de c:
Despejando m en términos de m0: 𝒎=
(1.6022 𝑥 10−19 𝐶)(0.03 𝑇)(0.2 𝑚) 9.109 𝑥 10−31 𝑘𝑔 −19 𝐶)(0.03 𝑇)(0.2 𝑚) √1 + [(1.6022 𝑥 10 𝑚 ] (9.109 𝑥 10−31 𝑘𝑔) (3 𝑥 108 ) 𝑠
𝟏 𝒎𝒄𝟐 = 𝒎𝒄𝟐 − 𝒎𝟎 𝒄𝟐 𝟐
𝒖 = 𝟎. 𝟗𝟔𝟏𝟗𝒄
𝟑 𝒎 𝟐 𝟎
Luego, para la energía cinética, reemplazando en (3) y dando valores:
8.40 Retome el problema 8.20. ¿Cuáles son la velocidad y el momentum de cada π0? 𝑲 = (0.511 𝑀𝑒𝑉)
Se enuncia el problema 8.20 con su solución: 8.20 El mesón K0 se desintegra en reposo en 2 mesones π0. Si la energía en reposo de K0 es de 498 MeV y la de π0 es de 135 MeV, ¿cuál es la energía cinética de cada π0?
1 (0.9619𝑐)2 √1 − [ ] ( 𝑐2
= 𝟏. 𝟑𝟓𝟖 𝑴𝒆𝑽
)
El cohete se acelera desde el reposo, por tanto, el cambio de energía es: 𝑬𝒎í𝒏 = 𝑬𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝑬𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
𝐸𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Se aprecia de (1), por la similitud, que en realidad se pide la energía cinética K. Reemplazando valores en la ecuación mencionada:
498 𝑀𝑒𝑉 = 2(135 𝑀𝑒𝑉) + 2𝐾 𝑲 = 𝟏𝟏𝟒 𝑴𝒆𝑽
𝑬𝒎í𝒏 = 𝐾 = [5000 𝑘𝑔 𝑥 ( 3 𝑥 108
Con los datos, reemplazando en (6) para la velocidad: 2
1 ) 𝑐 = 𝟎. 𝟖𝟒𝟎𝟑𝒄 114 𝑀𝑒𝑉 +1 135 𝑀𝑒𝑉 )
−1
8.42 ¿Cuál es la energía mínima que se requiere para acelerar un cohete espacial a una velocidad de 0.8c si su masa en reposo, en la carga final, es de 5 000 kg?
Respuesta: Como las cantidades de movimiento inicial y final deben ser iguales en el laboratorio, los π0 se alejan en direcciones opuestas con cantidades iguales de energía cinética.
(
𝑹
𝒒𝑩𝑹 𝒎𝟎
𝒖=
De la física clásica tenemos:
√1 − (
𝒖𝟐
𝒅𝒕
Reemplazando en la expresión de la derivada y despejando u:
8.39 ¿Cuál es la masa de un electrón si se mueve con una diferencia de potencial que lo acelera, de acuerdo con la física clásica, a la velocidad de la luz?
𝒖=
𝒅𝒖
| |=
y
𝑚 2 ) ] 𝑠
1 (0.8𝑐)2 √1 − [ ] ( 𝑐2
−1 )
𝑬𝒎í𝒏 = 𝟑 𝒙 𝟏𝟎𝟐𝟎 𝑱 8.43 Un electrón de 0.8 MeV se mueve en un campo magnético en trayectoria circular con radio de 5 cm. ¿Cuál es la inducción magnética?
Y reemplazando en (8.5) para el momentum: Despejando B de (7): 𝑴𝒆𝑽 √(114 𝑀𝑒𝑉)2 + 2(114 𝑀𝑒𝑉)(135 𝑀𝑒𝑉) 𝒑= = 𝟐𝟎𝟗. 𝟐𝟐𝟕𝟏 𝑐 𝒄
𝑩=
8.41 Suponga que los electrones en un campo magnético uniforme de densidad de flujo 0.03 T se mueven en un círculo con radio de 0.2 m. ¿A qué velocidad y con qué energía cinética se mantienen los electrones?
𝒎𝟎 𝒄𝒖 𝒒𝑹√𝒄𝟐 − 𝒖𝟐
Por otro lado, de (6), para hallar la velocidad de la partícula: 2
1 𝒖 = √1 − ( ) 𝑐 = 𝟎. 𝟗𝟐𝟎𝟗𝒄 0.8 𝑀𝑒𝑉 +1 0.511 𝑀𝑒𝑉 ( )
De la 2da Ley de Newton, derivando con respecto a u:
𝑭=
𝒅 𝑑 (𝒎𝒖) = 𝒅𝒕 𝑑𝑡
𝑚0 𝑢
Finalmente, reemplazando todos los valores:
𝑢2 √1 − ( 2 ) [ 𝑐 ]
𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑚0 ( ) 𝑚0 𝑢2 ( ) 𝑑𝑡 + 𝑑𝑡 𝑭= 3 𝑢2 2 √1 − ( 2 ) [1 − (𝑢 )]2 𝑐 2 𝑐 2 𝑐
𝑩=
𝑚 𝑚 ) (0.9209 𝑥 3 𝑥 108 ) 𝑠 𝑠 2 𝑚 𝑚 2 −19 −2 8 (1.6022 𝑥 10 𝐶)(5 𝑥 10 𝑚)√(3 𝑥 10 ) − (0.9209 𝑥 3 𝑥 108 ) 𝑠 𝑠 (9.109 𝑥 10−31 𝑘𝑔) (3 𝑥 108
𝑩 = 𝟖. 𝟎𝟓𝟖𝟗 𝒙 𝟏𝟎−𝟐 𝑻
8.44 Calcule el radio de un electrón de 20 MeV que se mueve en ángulos rectos respecto a un campo magnético uniforme con densidad de flujo de 5 T. Análogamente al problema anterior, despejando R de (7): 𝑹=
𝒎𝟎 𝒄𝒖
𝑀0 𝑐 2
2
1 𝒖 = √1 − ( ) 𝑐 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔𝟖𝟗𝟔𝟏𝟏𝟔𝒄 20 𝑀𝑒𝑉 +1 0.511 𝑀𝑒𝑉 ( ) Se aumenta la cantidad de cifras significativas debido a los cálculos de precisión que se requiere ante velocidades muy cercanas a la de la luz. Finalmente, reemplazando todos los valores:
8.45 Una partícula de masa en reposo m0 que se mueve a una rapidez de 0.6c choca con una partícula similar inicialmente en reposo y queda pegada a ella. ¿Cuáles son la masa en reposo y la velocidad de la partícula compuesta?
𝑬𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝑬𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
Trabajando ahora con los momentum: 𝑀0 𝑢𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
2 𝑢 √1 − ( 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ) 𝑐2
+ 𝑚0 𝑐 2
Donde M0 es la masa de la partícula compuesta. Dando el valor a uinicial y simplificando, se llega a: 𝒖𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝟐
𝟒
)
𝒄
Por otro lado, también los momentum deben ser iguales:
2 𝑢 √1 − ( 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ) 𝑐2
=
2 𝑢 √1 − ( 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ) 𝑐2
𝑚0 𝑢𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 2 𝑢 √1 − ( 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ) 𝑐2
Dando el valor a uinicial y simplificando nuevamente: (ii) 𝑴𝟎 =
𝟑 𝒎𝟎 𝒄 𝟒 𝒖𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
(ii) 𝑴𝟎 = 𝟑. 𝟖𝟕𝟎𝟏
2 𝑢 √1 − ( 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ) 𝑐2
𝒎𝟎 𝒄 𝒖𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
√𝟏 − (
𝒖𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝟐 𝒄
)
Igualando (i) y (ii), y despejando: 𝒖𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 =
𝟑. 𝟖𝟕𝟎𝟏 𝒄 = 𝟎. 𝟔𝟒𝟓𝒄 𝟔
√𝟏 − (
0.645𝑐 2 𝑴𝟎 = 6𝑚0 √1 − ( ) = 𝟒. 𝟓𝟖𝟓𝟏𝒎𝟎 𝑐 8.47 Un mesón π+ cuya energía en reposo es de 140 MeV se crea 100 km arriba del nivel del mar en la atmósfera de la Tierra; π+ tiene una energía total de 1.5x105 MeV y se mueve verticalmente hacia abajo. Si se desintegra 2x10-8 s después de su creación, considerando su propio marco de referencia, ¿a qué altitud del nivel del mar ocurre la desintegración? Hallando la velocidad del mesón, usando (6), y reemplazando K según (1):
𝒖𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝟐 𝒄
)
1 𝒖 = √1 − ( ) 𝑐 1.5 𝑥 105 𝑀𝑒𝑉 − 140 𝑀𝑒𝑉 +1 140 𝑀𝑒𝑉 ( ) 𝒖 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟓𝟔𝟒𝟒𝒄 Una vez más, se requiere usar la mayor cantidad de cifras posibles. Considerando nuestro propio marco de referencia, debemos considerar la dilatación del tiempo. El mesón se desintegrará en un mayor tiempo para un observador en la Tierra: 𝒕=
Igualando (i) y (ii), y despejando: 𝒖𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 =
𝑚0 𝑢𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
2
𝒑𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝒑𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝑀0 𝑢𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
=
Reemplazando este valor en (i) por comodidad:
𝑚0 𝑐 2
𝟗
)
𝒄
1 2 15 𝒖 = (√1 − ( ) ) 𝑐 = (√ ) 𝑐 = 𝟎. 𝟗𝟔𝟖𝟐𝒄 3+1 16
Ya que la energía final debe ser igual a la energía inicial, combinando (1) y (2):
(i) 𝑴𝟎 = 𝒎𝟎 √𝟏 − (
𝒖𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝟐
Dando el valor hallado a uinicial y simplificando nuevamente:
𝑹 = 𝟏. 𝟑𝟔𝟖𝟖 𝒄𝒎
𝑢 √1 − ( 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ) 𝑐2
2𝑚 ⏟ 0𝑐2 𝐸0 2𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
Ahora, de (6) para hallar la velocidad inicial de la partícula:
𝑚 𝑚 ) (0.9996896116 𝑥 3 𝑥 108 ) 𝑠 𝑠 𝑹= 2 𝑚 𝑚 2 −19 8 (1.6022 𝑥 10 𝐶)(5 𝑇)√(3 𝑥 10 ) − (0.9996896116 𝑥 3 𝑥 108 ) 𝑠 𝑠
=
𝐾
(i) 𝑴𝟎 = 𝟔𝒎𝟎 √𝟏 − (
(9.109 𝑥 10−31 𝑘𝑔) (3 𝑥 108
2
𝐸0
Donde M0 es la masa de la partícula compuesta. Simplificando:
𝒒𝑩√𝒄𝟐 − 𝒖𝟐
Y una vez más, de (6), para hallar la velocidad de la partícula:
𝑀0 𝑐 2
=𝑚 ⏟0 𝑐 2 + 3𝑚 ⏟ 0𝑐2 +
2 𝑢 √1 − ( 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ) 2 𝑐
𝟏 ̂𝒄 𝒄 = 𝟎. 𝟑 𝟑
𝒕= 9 0. 3̂𝑐 𝑴𝟎 = 𝑚0 √1 − ( ) = 𝟐. 𝟏𝟐𝟏𝟑𝒎𝟎 4 𝑐
𝒖𝟐 √𝟏 − ( 𝟐 ) 𝒄
Reemplazando valores:
Reemplazando este valor en (i) por comodidad: 2
𝒕𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐
2 𝑥 10−8 𝑠 (0.9999995644𝑐)2 √1 − [ ] 𝑐2
= 𝟐𝟏. 𝟒𝟐𝟖𝟔 𝝁𝒔
Multiplicando el tiempo por la velocidad para hallar la distancia recorrida: 8.46 Una partícula, con una masa en reposo m0 y energía cinética 3m0c2 choca de manera completamente inelástica con una partícula estacionaria de masa en reposo 2m0. Determine la velocidad y la masa en reposo de la partícula compuesta. En (1):
𝒅 = [(0.9999995644) (3 𝑥 108
𝑚 )] (21.4286 𝑥 10−6 𝑠) = 𝟔𝟒𝟐𝟖. 𝟓𝟕𝟕𝟐 𝒎 𝑠
Finalmente, la altitud sobre el nivel del mar de la desintegración: 𝑯 = 100 𝑘𝑚 − 6.428 𝑘𝑚 = 𝟗𝟑. 𝟓𝟕𝟐 𝒌𝒎 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒂𝒓
𝑲 = 𝟑𝒎𝟎 𝒄𝟐 = 𝑬 − 𝑬𝟎 Al igual que el problema anterior, la energía final debe ser igual a la energía inicial:
