Problemas resueltos Capítulos 2, 3, 4, 5. Texto:
ANALISIS VECTORIAL
Autor:
MURRAY R. SPIEGEL
Editorial:
Mc- Graw Hill
*Antes de iniciar una serie de problemas para resolver, es recomendable dar una breve introduccion a los mismos. Señalando el tema y por que de este, o las teorias que se consideran. (Palabras repetidas hallar demostar).* Problemas Capitulo 2 Ejercicios: 1.Demostrar que A B
B A
Solución: A B
AB cos
BA cos
B A
Por consiguiente, el producto escalar goza de la propiedad conmutativa 2.Demostrar que A B es igual a la proyección de A sobre B , siendo k el el valor unitario en la dirección y sentido de B (FIGURA)
Como indica la figura de planos perpendiculares A B trazados por el origen y el extremo de A cortan a aquel en los puntos G y H , , respctivamente, por lo tanto. Por lo tanto , la proyección de A sobre B es igual GH
EF A cos
A b
3.-(Lleva figura) B C Demostrar que A
A B A C
Sea a el vector unitario en la dirección y sentido de A proyección de C sobre sobre A B C a
a B a C
Multiplicando por A . B C Aa
y B C A
Aa B Aa C A B A C
Teniendo en cuenta la propiedad del voltaje en magnitud escalar B C A
A B A C
Luego el producto escalar goza de la propiedad distributiva respecto de la suma C D 4.-Demostrar que A B C D A B C C A D B D
A C A D B C B D del problema 3,
A C A D B C B D
luego el producto escalar goza de las propiedades de algebra ordinaria. 5.Hallar los escalares siguientes: a i i b j k j c k
i i cos0 1 1 1 1 j k cos90 1 1 0 0 k j cos90 1 1 0 0 d j 2i 3 j kk 2 j i 3 i i j k 0 3 e 2 i j 3 i k 6 i i 2 i k 3 j i j k
6.-
6 0 0 0
6
Como indica la figura de planos perpendiculares A B trazados por el origen y el extremo de A cortan a aquel en los puntos G y H , , respctivamente, por lo tanto. Por lo tanto , la proyección de A sobre B es igual GH
EF A cos
A b
3.-(Lleva figura) B C Demostrar que A
A B A C
Sea a el vector unitario en la dirección y sentido de A proyección de C sobre sobre A B C a
a B a C
Multiplicando por A . B C Aa
y B C A
Aa B Aa C A B A C
Teniendo en cuenta la propiedad del voltaje en magnitud escalar B C A
A B A C
Luego el producto escalar goza de la propiedad distributiva respecto de la suma C D 4.-Demostrar que A B C D A B C C A D B D
A C A D B C B D del problema 3,
A C A D B C B D
luego el producto escalar goza de las propiedades de algebra ordinaria. 5.Hallar los escalares siguientes: a i i b j k j c k
i i cos0 1 1 1 1 j k cos90 1 1 0 0 k j cos90 1 1 0 0 d j 2i 3 j kk 2 j i 3 i i j k 0 3 e 2 i j 3 i k 6 i i 2 i k 3 j i j k
6.-
6 0 0 0
6
Si A A B
A 1 i A j AK y y B A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3
B i B j B k ,
demostrar demostrar que
A 1 i A 2 j A 3 k B 1 i B 2 j B 3 k A 1 i B 1 i A 2 j B 2 j A 3 k B 3 k i A 1 B 1 j A 2 B 2 k A 3 B 3 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 Ya que i i j j k k 1 y todos los demas productos escalares son nulos
A B
A i A 2 j A 3 k , demostrar demostrar que A A A 2 A A A A cos0 A luego A A A Tambien, A A A 1 i A 2 j A 3 k A 1 i A 2 j A 3 k
7.-Siendo A
A 1 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3
A 2 A 22 A 23
A 21 A 22 A 23
Del problema 6 tomamos B A Por lo tanto, A A A A 21 A 22 A 23 es le modelo de A 8. Hallar el angulo formado por los vectores A 2 i 2 j 2 k y y B 6 i 3 j 2 k A B AB cos , A 2 2 2 2 1 2 3, B 6 2 3 2 2 2 7 A B 2 6 2 3 1 2 12 6 2 4 4 4 A B Por lo tanto, cos AB 21 0.1905 de donde 79 , aproximadamente 3 7 9.Si A B
0, A y B son distintos de 0, demostrar que A es perpendicular a B
Si A B AB cos 0,entonces cos 0, 0 sin sin 90 ; A B 0
90 aproximadamente;
10. Hallar el valor de a de forma que A 2 i a j k y y B 4 i 2 j 2 k sean sean perpendiculares. Del problema 9, A y B son perpendiculares si A B 0 Por lo tanto, A B 2 4 0 2 1 2 8 2a 2 0,de donde, a es igual a 3. 2a 8 2 a 62 a 3
11.Demostrar que los vectores A triangulo rectángulo
3 i 2 j
k , B
i 3 j 5 k , C 2 i j 4 k forman forman un
(GRÁFICA)
Primero demostraremos que los vectores forman un triangulo, por lo que deducimos lo siguiente d Por ejemplo uno de los vectores 3 es la resultante de los otros dos 1 y 2 b La resultante de los vectores 1 2 3 es el vector nulo. Como indican las figuras,
pueden ocurrir que dos vectores tengan el extremo común o bien, que ninguno de los dos extremos coincidan, es trivial que A B C y, y, por lo tanto, los vectores forman un triangulo.
Como A B 3 1 2 3 1 5 14, A C 3 2 2 1 1 4 0, y B C 1 2 3 1 5 4 21,se 21, se deduce deduce que A y C son son perpendiculares y que ...................................
12. Hallar los angulos que forma el vector A 3 i 6 j 2 k con con los ejes coordenados Sean x , y los angulos que forma A con los semiejes positivos x , y, z respectivamente. .................................................................................
13. Hallar la proyección del vector A i 2 j k según según la dirección de B ..................................................................................
4i 4 j 7k
14.Demostrar el teorema del coseno de un trinagulo cualquiera ............................................... 15.Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares.......................................... 16. A Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado por B 4 i 3 j k .
2 i 6 j 3 k y y
Solución. Sea C C 1 i C 2 j C 3 k un vector perpendicular al plano formado por A y B. El vector C es perpendicular a A y a B . Luego C A 2C 1 6C 2 3C 3 0, o sea 1 2C 1 6C 2 3C 3 C B 4C 1 3C 2 C 3 0, o sea 2 4C 1 3C 2 C 3 c C
C 3 C 23
1 2
1 i 13 j k 2 2
13
2
1
2
3 7
i
2 7
j 67 k
Multiplicar por 2 en 2 2C 1 6C 2 3C 3 8C 1 6C 2 2C 3 10C 1 5C 3 1 2 C 3 C 2 13 C 3 C C 3 12 i 13 j
C 1
k
17. F 2 i j k al desplazar un sólido puntual a lo Hallar el trabajo realizado por la fuerza de largo de un vector r 3 i 2 j 5 k . Solución: Trabajo realizado:(Módulo de la fuerza en la dirección y sentido del moviemiento.)*(Desplazamiento) F cos F 25 i j k 3 i 2 j 5 k 6 2 5 9 (IMAGEN) 18. Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector A 2 i 3 j 6 k y que pasa por el extremo del vector b B i 5 j 3 k f g z Sea el vector de posición del punto P, y Q el extremo de B como PQ B es perpendicular a A , B A 0, o sea, A B A es la ecuación vectorial del plano buscado. En coordenadas rectangulares, x i y j z k 2 i 3 j 6 k i 5 j 3 k 2 i 3 j 6 k 2 x 3 y 6 z 2 15 18 35 2 x 3 y 6 z 35 19.Del problema 18 (anterior) hallar la distancia del origen al plano. La distancia del origen al plano es igual a la proyeción de B sobre A el vector unitario en la dirección y sentido de A es
8
A A
2 i 3 j 6 k 2 2 3 2 6 2
2
7
i
3 7
j 67 k .
Luego la proyección de B sobre A
B a
i 5 j 3 k
2
7
2 7
15 18 35 7 7 7
i
5
3 7
j 67 k
20. Siendo A un vector cualquiera, demostrar que A A i i A j j A k k Como A A 1 i A 2 j A 3 k , A i A 1 i j A 2 j i A 3 k i A 1 A j A 2 ; A k A 3 A A 1 i A 2 j A 3 k A i i A j j A k k . 21.Demostrar que A B
B A
(GRAFICA) El modulo de A B triedro a derechas A
C es Ab sin y su dirección y sentido son tales que A , B y C forman un
El modulo de B A triedor a izquierdas B
D es BA sin y su direccion y sentido son tales que B , A y D forman un
Por lo tanto D tiene el mismo sentido contrario, es decir C D, o sea , A B El producto vectorial no goza de la propiedad conmutativa.
22.Siendo A B 0 y A y B no nulos demostrar que A es paralelo a B . Solución: Si A B AB sin u 0,se tiene , sin 0 y 0 ó 180 23.Demostrar que | A B | 2 | A B | 2 | A | 2 | B | 2 | A B | 2 | A B | 2 | AB sin u | 2 | AB cos | 2 24.Hallar los productos vectoriales siguientes:
A 2 B 2 sin 2 A 2 B 2 cos 2 2 2 2 2 A B | A | | B |
B A
(a) i j k j k i (b) (c) k i j (d) k j i (e) i i 0
(f) j j 0 (g) i k j (h) 2 j 3 k 6 i (i) 3 i 2 k 6 j (j) 2 j i 3 k 5 k
25.Demostrar que A B C cuando lo sea en C .
A B A C en el caso en que A es perpendicular a B y tambien
(GRAFICA) Como A es perpendicular a AB , A B es un vector perpendicular al plano formado por A y B y cuyo modulo es AB sin90 AB, o sea, el modulo de AB . Esto equivale a multiplicar el vector B por A y girar el vector resultante un angulo de 90 Hasta la posicion que se indica en la figura. A C es el vector que se obtiene multiplicando C por A y al girar al vector resultante un angulo
de 90 hasta la posición indicada en la figura.
De la misma A B C es resuleto el vector que se obtiene. 26.Demostrar que A B C coplanares ni paralelos.
A B A C en el caso general en que A , B, y C no sean
Descomponiendo B en sus componentes, peprpendiculares a A , B 1 ,y paralelo a A , B 11 ,se tiene, B
B 1 B 11
Llamando al angulo formado por A y B , B 1 B sin , por lo tanto, el modulo de A B , es AB sin , es decir, igual que el de A B .la dirección y sentido de A B , son tambien las mismas de A B . Por consiguiente, A B 1
A B .
Análogamente si se descompone en C en los vectores C 11 y C 1 paralelo y perpendicular, respectivamente a A se obtiene, A C 1 A C . Tambien, como B C B 1 B 11 C 1 C 11 A B 1 C 1
A B C
B 1 C 1 B 11 C 11 se deduce,
Ahora tambien, B , y C , son vectores perpendiculares a A y, A B 1 C 1 A B C
A B 1 A C 1
A B A C
Por lo tanto, que expresa que el producto vectorial goza de la propiedad distributiva respecto de la suma. Multiplicando por 1, y teniendo en cuenta , B C A B A C A 27.-Siendo A i A B
A 1 i A 2 j A 3 k j
y B
B 1 i B 2 j B 3 k , demostrar que
k
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
A B
A 1 i A 2 j A 3 k B 1 i B 2 j B 3 k A 1 i B 1 i B 2 j B 3 k A 2 j B 1 i B 2 j B 3 k A 3 k B 1 i B 2 j B 3 k A 1 B 1 i i A 1 B 2 i j A 1 B 3 i k A 2 B 1 j i A 2 B 2 j j A 2 B 3 j k A 3 B 1 k A 1 B 2 k A 1 B 3 j A 2 B 1 k A 2 B 3 i A 3 B 1 j A 3 B 2 i A 2 B 3 A 3 B 2 i A 3 B 1 A 1 B 3 j A 1 B 2 A 2 B 1 k
i
j
k
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
28. Dados A 2 i 3 j k y B i 4 j 2 k , hallar a A B , b B A , c A B A B , a A B
i
2 i 3 j k i 4 j 2 k
b B A
i 4 j 2 k
c A B A B A B 3 i j 3 k , A B
j
2 3 1 1 4 2
2 i 3 j k
k
i 7 j k
i
i 6 4 j 4 1 k 8 3
j
k
1 4 2 2 3 1
10 i
i 4 6 j 1 4 k 3
A B A B
29.Si A
3 i j 2 k , B
i
j 3 k i 7 j k
3i
2i
k
j
3 1 3 1 7 1
j k y C i 2 j 2 k ,
i 1 21 j 3 3
hallar a A B C , b A B C
a A B
A B
3 i j 2 k 2 i
A B C
j k
i
i 7 j 5 k i 2 j 2 k
j
k
3 1 2 2 1 1
i
1
j
k
j
i 1 2 j 3 4 k 3 2
k
7 5 1 2 2
i 14 10 j 2 5 k 2
b A B C
B C
2i
A B C
j k i 2 j 2 k
i
2 1 1 1 2 2
3 i j 2 k 5 j 5 k
i
i 2 2 j 4 1 k 4 1
k
j
3 1 2 0 5 5
El área del triangulo que tiene por lados A y B es igual a
(dibujo de paralelogramo) 1 2
| A B |
5
i 5 10 j 15 k 15
30.Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B es | A B |. Area del Paralelogramo h| B | | A|sin | B | | A B |
31.Hallar el area del trinagulo cuyos vertices son los puntos P 1,3,2 , Q2, 1, 3 , R 1,2,3 PQ 2 1 i 1 3 j 1 2 k i 4 j k PR 1 1 i 2 3 j 3 2 k 2 i j k
Area del triangulo 12 |PQ PR | i
1 2
j
1 2
i 4 j k 2 i j k
k
1 4 1 2 1 1
1 2
5 i j 9 k
1 2
5 2 1 2 9 2
32.Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por A 2 i 6 j 3 k y B 4 i 3 j k A B Es un vector perpendicular al plano formado por A y B i A B
k
j
2 6 3 4 3 1
i 6 9 j 2 12 k 6 24
El vector unitario en la dirección y sentido de A B es A B | A B |
15 i 10 j 30 k
15 2 10 2 30 2
15 35
i
10 35
j 30 35 k
2
7
i
2 7
15 i 10 j 30 k
j 67 k
33.Deducir el teorema de los senos en un triangulo plano Sean a , b, y c los lados del triangulo ABC que se representa en la figura en estas condiciones a b c 0. Multiplicando por ax, bx, cx, sucesivamente, se obitiene: a b
b c
c a
es decir, ab sin C bc sin A o bien,
sin A a
sin B b
ca sin B
(Dibujo)
sin C c
34.Considerandoun tetraedro de caras F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , y sean V 1 , V 2 , V 3 , V 4 , los vectores cuyos
1 2
107
modulos son respectivamente, las áreas de F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , cuyas direcciones son perpendiculares a dichas caras y de sentido hacia el exterior de tetraedro. Demostrar que: V 1 V 2 V 3 V 4 0 El area de un triangulo de lados R y S es: 1 2 | R S | Los vectores asociados con c/u de las caras del tetraedro son: V 1 12 A B , V 2 12 B C , V 3 12 C A , V 4 12 C A B A Luego V 1 V 2 V 3 V 4
1 2 A B B C C A C A B A 1 2 A B B C C A C B C A A B A A
35.Hallar el momento de una fuerza F respecto de un punto P . El modulo del momento M de una fuerza F respecto de un punto P es igual al modulo de la fuerza F , multiplicando por la distancia del punto P a la directriz de F . Por lo tanto, llamando r al vector que une P con el origen Q de F , resulta, M F r sin
rF sin
|r F |
El sentido de F corresponde al avance de un sacacorchos en P con el sentido de rotacion tal que lleve a coincidir el primer vector con el segundo, por el menor de los angulos que lo forman. (Dibujo)
36.Un sólido rígido gira alrededor de un eje que pasa por D con una velocidad angular . Demostrar que la velocidad lineal v de un punto P del sólido cuyo vector de posición es r viene dada por v r , siendo un vector de modulo y cuya dirección y sentido son las del avance de un sacacorchos que gira en el sentido del movimiento. Como el punto P describe una circunferencia de radio r sea , el modulo de la velocidad lineal r es r sin | r | por consiguiente, v es perpendicular a y a r de forma que r , , v, formen un triedro a derechas. Luego viene el mismo modulo, direccion y sentido que r , es decir, v r . El vector se llama velocidad angular
instantanea. (Dibujo) 37.Demostrar que el valor absoluto de A B C es igual al volumen de un paralelepípedo de aristas A , B, y C . Sea n el vector unitario perpendicular al paralelogramo I con la misma direccion y sentido que B C , y h la distancia del extremo de A al paralelogramo I Volumen del paralelepípedo h areadelparalelegramoI A n | B C | A | B C |n A B C Si A , B y C no forman un triedro a derechas, A n 0 y el volumen | A B C | 38. A
A 1 i A 2 j A 3 k , B
B 1 i B 2 j B 3 k , C C 1 i C 2 j C 3 k .
Demostrar que:
A 1 A 2 A 3 A B C
B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3
i B C
j
k
B 1 B 2 B 3
i B 2 C 3 B 3 C 2 j B 1 C 3 B 3 C 1 k B 1 C 2 B 2 C 1
C 1 C 2 C 3 A B C
A 1 i A 2 j A 3 k B 2 C 3 B 3 C 2 i B 1 C 3 B 3 C 1 j B 1 C 2 B 2 C 1 k A 1 A 2 A 3
A 1 B 2 C 3 B 3 C 2 A 2 B 1 C 3 B 3 C 1 A 3 B 1 C 2 B 2 C 1
B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3
39. Hallar 2 i 3 j i j
k
i j k
i 1 j 1 3 k 3
1 1 1 3 0 1 2 i 3 j i 2 j 3 k
3 i k
2 6
4
i 2 j 3 k
40.Demostrar que A B C C A B A B C En el producto A B C se puede suprimir el parentesis y escribir A B C , ya que en este caso no existe ambigüedad y las unicas interpretaciones posibles son de A B C y A B C , pero esta ultima carece de sentido ya que no esta definido el producto vectorial C . La igualdad A B C A B C se puede expresar diciendo que los productos escalar y vectorial son permutables. 41. A 1 A 2 A 3
Demostrar que A B C
B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3
Teniendo en cuenta que un determinante si se permuan entre si dos lineas A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
B 1 B 2 A 3
A 1 A 2 B 3
B 1 B 2 B 3
C 1 C 2 C 3
C 1 C 2 C 3
C 1 C 2 C 3
A 1 A 2 A 3
A 1 A 2 A 3
C 1 C 2 C 3
C 1 C 2 C 3
B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3
B 1 B 2 B 3
A 1 A 2 A 3
42.Demostrar que A A C
A A C
A 1 A 2 A 3
B C A
C A B
B 1 B 2 B 3
0
43.Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que los vectores A , B, y C sean coplanarios es que A B C 0 A B C A B C
Si A , B, y C son coplanarios, en el volumen del paralelepipedoformado por los vectores A , B y C , el cero, y por lo tanto los vectores son coplanarios. 44. Sean r 1 x 1 i y 1 j z 1 k , r 2 x 2 i y 2 j z 2 k , r 3 x 3 i y 3 j z 3 k , los vectores de posición de los puntos P 1 x 1 , y 1 , z 1 , P 2 x 2 , y 2 , z 2 , P 3 x 3 , y 3 , z 3 hallar la ecuación del plano que pasa por P 1 , P 2 y P 3 . Supongamos que P 1 , P 2 y P 3 no estan alineados, es decir, que determinaron un plano.
Sea r x i y j z k el vector de posición de un punto génerico del plano. Considerando los vectores P 1 P 2 r 2 r 1 , P 1 P 3 r 3 r 1 y P 1 P r r 1 . que son complementarios. En coordenadas rectangulares, x x 1 i
y y 1 j z z 1 k
x x 1
y y 1
x 2 x 1 i y 2 y 1 j z 2 z 1 k x 3 x 1 i y
z z 1
o bien, x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1
0
x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1
45.Hallar la ecuación del plano formado por los puntos P 1 2, 1, 1 , P 2 3,2, 1 , P 3 1,3,2 . P x, y, z son respectivamente. Los vectores de posiciónde P1 , P 2, P 3 y de un punto cualquiera r 1 2 i j k , r 2 3 i 2 j k , r 3 i 3 j 2 k y r x i y j z k . Los vectores PP 1 r r 1 , P 2 P 1 r 2 r 1 , P 3 P 1 r 3 r 1 , están situados en el plano pedido, luego r r 1 r 2 r 1 r 3 r 1 0
es decir, x 2 i y 1 j z 1 k i 3 j 2 k 3 i 4 j x 2 i y 1 j z 1 k 11 i 3 j 13 k 0 11 x 2 5 y 1 13 z 1 0 o bien, 11 x 5 y 13 z 30.
k
0
46.Sean, a , b, y c los vectores de posición de los puntos P , Q y R no alineados. Demostrar que a b b c c a es un vector perpendicular al plano formado por P , Q y R . Llamemos r al vector de posición de un punto genérico del plano formado por P , Q y R . Los vectores r a , b a , y c a son coplanarios. Luego a b b c c a es perpendicular a r a y también al plano formado por P , Q y R. 47.Demotrar que a A B C
b A B C a Sean A
B A C C A B . B A C A B C .
A 1 i A 2 j A 3 k , B
Se tiene A B C
B 1 i B 2 j B 3 k , C C 1 i C 2 j C 3 k i j k A 1 i A 2 j A 3 k B 1 B 2 B 3
C 1 C 2 C 3 A 1 i A 2 j A 3 k B 2 C 3 B 3 C 2 i B 3 C 1 B 1 C 3 j B 1 C 2 B 2
i
j
k
A 1
A2
A3
B 2 C 3 B 3 C 2 B 3 C 1 B 1 C 3 B 1 C 2 B 2 C 1 i A 2 B 1 C 2 A 2 B 2 C 1 A 3 B 3 C 1 A 3 B 1 C 3 A 3 B 2 C 3 A 3 B 3 C 2 A 1 B 1 C 2 A 1 B 2 C 1 j A 1 B 3 C 1 A 1 B 1 C 3 A 2 B 2 C 3 A 2 B 3 C 2 k B A C C A B Tambien,
A 1 C 1 A 2 C 2 A 3 C 3 C 1 i C 2 j C 3 k A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 A 2 B 1 C 2 A 3 B 1 C 3 A 2 C 1 B 2 A 3 B 1 C 3 i B 2 A 1 C 1 B 2 A 3 C 3 C 2 A 1 B 1 C 2 A 3 B 3 j B 3 B1 i
B 2 j B 3 k
b A B C C A B
AC B B C A
sustituido A, B y C de a por C , A y B respectivamente.
B A C A B C habiendo
48.Demostrar que:
A B C D A C B D A D B C . X C D X C D Sea X A B luego A B C D A B C D B A C A B C D A C B D A D B C
49.Demostrar que A B C B C A C A B A B C B C A C A B
0
B A C C A B C B A A B C AC B B C A
50.Demostrar que: A B C D B A C D A B C D C A B D D A B C X C D C X D D X C . Sea X A B , entonces, A B C D C A B D D A B C C A B D D A B C A B Y B A Y A B Y . Sea Y C D , entonces, A B C D B A C D A B C D
51.- El problema no esta en el cuaderno de apuntes original 52.Demostrar que: A B B C C A A B C 2 X C A C X A A X C . Sean X B C ; entonces B C C A
C B C A A B C C
C A B C A B C C
Por lo tanto A B B C C A
53.Dados los vectores a 1
b 1
bc abc
C A B C
A B C A B C A B C A B C A B C 2
y c 1
ca abc
ab abc
, demostrar que si a b c 0
a a 1 a b 1 b c 1 c 1, b a 1 b a 1 c , b 1 a b 1 c 0, c 1 a c 1 b c si a b c v, entonces a 1 b 1 c 1 1v . d a 1 , b 1 y c 1 no son coplanarios si a , b y c no lo son a a 1 a a a 1 a b 1 b b b 1 b c 1 b
c c 1
b a 1 b
b a 1
c a 1
bc v
, b1
Luego a 1 b 1 c 1
b ca v
0
1
bc abc abc abc ca bca abc abc abc abc ab abc
c
bc abc
, c1
cab abc
abc abc
bbc abc
1
bbc abc
1
0
ab v
bc ca ab v3
ab bc ca v3
abc v3
v2 v3
1
v
Por lo tanto a 1 b 1 c 1 0 54.Demostrar que todo el vector r se puede expresar en función de los vectoresreciprocos del problema 53 en la forma: r r a 1 a r b 1 b r c 1 c B A C D A B C D
entonces, D
Sea A r
55.-
A BC D A BC
a, B
C A B D D A B C
B AC D C A B D A BC A BC
b, C c y D
r bc a ar cbac b ar abbc c abc
r , en r
estas condiciones bc abc
a r
ca abc
b r
ab abc
c
r a 1 a r b 1 b
Hallar: a K i
j
, b i 2 k j 3 k , c 2 i j 3 k 3 i 2 j k
a) k i j k i k j prop. dist. i j j k k i 0 como: k i k j 0 b) i 2 k j 3 k
i j 3 k i 2 k j 6 k 6
c) 2 i j 3 k 3 i 2 j k 56.Si A
6 i 2 j 3 k 1
i 3 j 2 k y B 4 i 2 j 4 k , hallar: a A B , b | A |, c | B |, d 3 A 2 B , e 2 A B A 2 B
a) A B
i 3 j 2 k
b)| A |
1 2 3 2 2 2
14
c)| B |
4 2 2 2 4 2
36
4 i 2 j 4 k
4 6 8
B
A B
3 i 2 j 6 k y B
k | A || B |cos | A | 3 2 2 2 6 2 3i 2 j 6 4 i 3 j k | B | 4 2 3 2 1 2
3 i 9 j 6 k
8 i 4 j 8 k
B A 2 B
57.Hallar elángulo formado por a A D 3 i 6 j 2 k . a) A
10
6
d)|3 A 2 B | 3 i 3 j 2 k 2 4 i 2 j 4 k sumamos 11 i 5 j 2 k 11 2 5 2 2 2 150 e)2 A
3 i 2 j 6 k 4 i 3 j
k
36 49
6 7
4 i 3 j
49 26
k , b C 4 i 2 j 4 k y
12 i 6 j 6 k 0 cos
*lo que significa que el ángulo formado es de 90 b)|C | |D |cos , C 4 2 2 2 4 2 | D | 3 2 6 2 2 2
A B A B
0 49
26
C D
cos
4 i 2 j 4 k 3 i 6 j 2 k 12 i 12 j 8 k 16 16 16 8 C D 42 21 67 36 6 7 C D
58.¿Para que valores son A
a i 2 j k y B
2a i a j 4 k perpendicular?
59. Hallar el valor de a de forma que A 2 i a j k y B 4 i 2 j 2 k sean perpendiculares si A B 0 A B 2 4 a 2 1 2 8 2a 2 0 donde a 3 60.Hallar los ángulos que forma el vector A
3 i 6 j 2 k con los ejes coordenados.
Sean , , los ángulos que forman A con los semiejes positivos x , y, z, respectivamente. A i A 1 cos 3 2 6 2 2 2 cos 7cos A i
3 i 6 j 2 k i
3 i i 6 j i 2 k i
3 cos
3
7
0.4286
64.6
Así mismo cos 67 , 149 cos 27 , 73.4 donde , , son cosenos directores 61.Demostrar el teorema del coseno de un triangulo cualquiera (Dibujo) B
C A , C A B
A B A B A A B B 2 A B Ley de los cosenos C 2 A 2 B 2 2 AB cos C C
62.Demostrar que las diaginales de un rombo son perpendiculares (Dibujo) OQ OR
OP PQ A B R P O P , o bien, B R P A ,donde, R P A B luego O Q R P A B A B A 2 B 2 0,ya que A R P
B OQ es perpendicular a
63.Hallar elvalor unitario perpendicular al plano formado por A B 4 i 3 j k
2 i 6 j 3 k y
Sea C C 1 i C 2 j C 3 k un vector perpendicular al plano formado por A y B . El vector C es perpendicular a A y a B ,luego, C A C B
2C 1 6C 2 3C 3 0,o sea, 1 2C 1 6C 2 3C 3 4C 1 3C 2 C 3 0, o sea, 2 4C 1 3C 2 C 3
Si resolvemos el sistema formado por 1 y 2 ; C 1 C 12 i 13 j k el vector unitario de C es: C |C |
1 1 2 i 3 j k
C 3
C 23
2
1 2
2
13
1
2
3 7
i
2 7
1 2 C 3 , C 2
13 C 3 ,
j 67 k
78.Efectuar los productos indicados:
a)2 j 3 i 4 k Resolviendo: i j
a
k
0 2 0 3 0 4
i 8 0 j 0 k 6
8 i 6 k
b) i 2 j k Solución: i j k
b
1 2 0 0 0 1
i 2 0 j 4 0 k 0 0
2 i j
c) 2 i 4 k i 2 j Resolviendo: i j
c
k
2 0 4 1 2 0
i 0 8 j 0 4 k 4 0
8 i 4 j 4 k
i j
k
d) 4 i j 2 k 3 i Solucionando: 4 1 2 3 0 1
d
i 1 j 4 6 k 0 3
k
i 10 j 3 k
e) 2 i j k 3 i 2 j 4 k Resolviendo: i
e
j
k
2 1 1 3 2 4
i 4 2 j 8 3 k 4 3
79. Si A 3 i j 2 k y B a)| A B | Resolviendo: i
A B
| A B |
j
k
3 1 2 2 3 1
2 i 3 j
k ,
C D
k
7 5 0 4 5 5
C D
j
k
5 2 2 1 4 3
5 i 7 j 11 k
195
7 i 5 j C 4 i 5 j 5 k D
i 25 j 35 k 35 20
c)| A B A B | Respuesta: A B 3 i j 2 k 2 i 3 j k A B 3 i j 2 k 2 i 3 j k i
hallar:
b) A 2 B 2 A B Solución: A 2 B 3 i j 2 k 4 i 6 j 2 k 2 A B 6 i 2 j 4 k 2 i 3 j k j
2 i 11 j 7 k
i 1 6 j 3 4 k 9 2
5 2 7 2 11 2
i
25 i 35 j 55 k
5 i 2 j 2 k C i 4 j 3 k D
i 6 8 j 15 2 k 20 0
14 i 13 j 22 k
|C D | 80.Si A
14 2 13 2 22 2
i 2 j 3 k , B
2i
849
j k y C i 3 j 2 k ,
hallar:
a)| A B C | Solución: i A B
k
j
1 2 3 2 1 1 i
i 2 3 j 1 6 k 1 4
k
j
5 5 5 1 3 2
| A B C |
5 2 15 2 20 2
b)| A B C | Solución:
i j
B C
k
2 1 1 1 3 2 i
A B C
| A B C |
j
650
1 2 3 1 3 5
90
5 i 15 j 20 k
i 3 j 5 k
i 10 9 j 5 3 k 3 2
1 2 8 2 5 2
3 10
c) A B C Solución: considerando el producto B C del inciso b tenemos; B C i 3 j 5 k
5 26
i 2 3 j 4 1 k 6 1
k
5 i 5 j 5 k
i 10 15 j 10 15 k 15 5
A B C
i 8 j 5 k
Entonces A B C
i 2 j 3 k i 3 j 5 k
1 6 15
20
d) A B C Solución: A B del inciso a, tenomos que: Tomando el producto A B 5 i 5 j 5 k entonces; A B C
5 i 5 j 5 k i 3 j 2 k
5 15 10
20
e) A B B C Resolviendo: Considerando del inciso a y b, entonces: A B 5 i 5 j 5 k E B C i 3 j 2 k F Luego, entonces: i E F
j
k
5 5 5 1 3 5
i 25 15 j 25 5 k 15 5
f) A B B C Solución: De acuerdo al inciso a el producto A B es: A B 5 i 5 j 5 k E B C 2 i j k i 3 j 2 k 2 3 2 EF 35 i 35 j 35 k
82.Hallar el area del paralelogramo cuyas diagonales son A
7
40 i 20 j 20 k
F
3i
j 2 k y B
i 4 6 j 12 2 k 9 1
2 i 14 j 10 k
3i
Solución: i A B
j
k
3 1 2 1 3 4
j 2 k .
| A B |
2 2 14 2 10 2
300
5 3
83.Hallar el área del triangulocuyos vértices son 3, 1,2 1, 1, 3 y 4, 3, 1 PQ 1 3 i 1 1 j 3 2 k 2 i 6 k PR 4 3 i 3 1 j 1 2 k i 4 j k Area del triangulo 12 |PQ PR | i A
84.Si A
1 2
j
k
2
0 6 1 4 1
2i j 3k y B
1 2
i 0 24 j 2 6 k 8 0
1 2
24 i 8 j 8 k
1 2
i 2 j k , hallar un vector de modulo 5 a los vectores A y B.
92. Hallar la constante a de forma que los vectores 2 i j k , i 2 j 3 k y 3 i 4 j 5 k sean coplanares. 93.Siendo A
x 1 a y 1 b z 1 c, B
x 2 a y 2 b z 2 c y C x 3 a y 3 b z 3 C dan que:
x 1 y 1 z 1 A B C
x 2 y 2 z 2
a b c
x 3 y 3 z 3
94.Demostrar que la A B C A B C 95. P Q R r Los vectores de posoción, con respecto al origen de los puntos , , , son 1 r 2 i 3 j 4 k y r 3 2 i j 2 k , respectivamente, hallar la distancia de P al plano OQR .
3 i 2 j k ,
96.Hallar la distancia desde el punto 6, 4, 9 a la recta que pasa por 2,1,2 y 3, 1, 9 97.Dados los puntos P 2,1,3 , Q1,2,1 , R1, 2, 2 y S 1, 9, 0 . Hallar la mínima distancia
24 2 8 2 8
entre las rectas PQ y RS . 98.Demostrar que las alturas de un triangulo se cortan en un punto. 99.Demostrar que las mediatrices de un triangulo se se cortan en un punto. 100.Demostrar que A B C D B C A D C A B D
0
101.Sea PQR un triangulo esférico cuyos lados p, q, r son arcos de circulo maximo. Deducir el teorema del coseno de los triangulos esféricos cos p cos q cos r sin q sin r cos p Ind.- Interpetar los dos miembros de la identidad A B A C
B C A A A C B A
102.Hallar un sistema de vectores reciproca al formado por 2i 3 j k , i j 2k , i 2 j 2k 103.Si a
bc abc
, b 1
ca abc
, y c 1 aabbc , denque a
104.Siendo a , b, c y a 1 , b 1 , c 1 tales que a 1 a a1
b
1 a
c
1 b
demostrar que a 1
a
1 b
c
b 1 c 1
a 1 b 1 c 1
, b
b 1 b c 1 c c 1 a c 1 b 0
c 1 a 1
a 1 b 1 c 1
, c
a 1 b 1
a 1 b 1 c 1
1
bc abc
105.Demostrar que que el unico sistema de vector que es reciproco de su 106.Demostrar que soo existe un sistema de vectores reciprocos de un lado de vectores no coplanarios ni paralelos a , b, c. Problemas Capítulo 3
Diferenciacion vectorial 1.Siendo R u que: dR du
dx du
i
Problemas Resueltos
xu i y u j z u k y x, y 2
dv du
j
dz du
k
R uu R u lim dR u u0 du
i
xuu xu lim u u0
2.Siendo R a
dR dt
b
d 2 R dt 2
c
dR dt
d
d 2 R dt 2
sin t i
d dt
dR dt
j
yuu yu u
xuu i yuu j zuu k xu i yu j zu k
lim u0
u
k
zuu zu u
dx du
i
2
sin t i cos t j t k hallar a dR , b d dt R2 , c dt
d dt
funciones derivables de un escalar u, demostrar
d dt
cos t 2
cos t j
d dt
cos t i sin t j
d t k dt
cos t i dt d sin t j
1 sin 1 2 1 2
sin t 2 cos t 2
d dt
dy du
j
, d
dR dt
dz du
k
d 2 R dt 2
,
k
1 k sin t i cos t j
2
1
3.Una particula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas son x e t , y 2cos3t , z 2sin3t siendo t el tiempo. (a)Hallar su velocidad y su aceleracion en función del tiempo (ley de velocidades y aceleraciones) (b)Hallar el modulo de la velocidad y de la aceleracion en el instatnte t 0. (a) El vector de posición r de la partícula es r La velocidad es y y la aceleración a
dr dt
x i y j 2 k
e t j 6sin3 j 6cos3 k
d 2 r dt 2
e t i 18cos 3t j 18sin 3t k
e t j 6sin3 j 6cos 3 k
(b)En el instante r 0,
dr dt
i 6 k y
d 2 r dt 2
i 18 j .
Por lo tanto :
Módulo de la velocidad en t 0, 1 2 6 2 37 Módulo de la aceleración en t 0, 1 2 18 3 325 4.Una Partícula se mueve a lo largo de una curva x 2t 2 , y t 2 4t , z 3t 5 siendo el t el tiempo. Hallar los componentes de la velocidad y de la aceleración en el instante t 1 y en la dirección i 3 j 2k . Velocidad at t 1
dr dt
d 2i
2t 2 i t 2 4 f j 3t 5 k
El vector unitario en la dirección i 3 j 2 k es
4t i 2t 4 j 3 k 4 i 2 j 3 k
i 3 j 2 k V 1 2 3 2 2 2
i 3 j 2 k
14
Luego la componente de la velocidad en la dirección dada es
4 i 2 j 3 k i 3 j 2 k 14 d 2 r dt 2
Aceleración
6 1 2 3 3 2
14 d
dr
at at
d
at
16 14
8 14 7
at i 2t 4 j 3 k
4 i 2 j 0 k
La componente de la aceleración dada es:
4 i 2 j 0 k i 2 j 2 k 14
4 1 2 |3|0 2
14
2
14
14 7
5.Las ecuaciones paramétricas de una curva C son x xs , y ys , z 2s siendo s la logitud del arco C medida desde el punto dr fijo de ella. Llamando r al vector de posisción de un punto genérico de C . Demostrar que ds es un vector unitario tangente a C .
dr d x i x j 2k El vector ds ds x x3 , y y5 , z z5 .
dx ds
i
dy ds
d 2 j d k 3 es tangente a la curva
Para demostrar que su modulo, es la unidad, tenemos:
dr ds
2
dx ds
2
dy ds
2
dz ds
dx 2 dy 2 dz 2
ds 2
1
ya que as 5 dx 2 dy 2 dz 2 según se estudia 6.(a) Hallar el vector tangente unitario en un punto cualquiera de la curva x r 1, y 4 f 3, z 2 f 2 6t (b) Hallar el vector tangente en el punto correspondiente al instante t 2 (a) El vector tangente a la curva en uno de sus puntos es: dr d 2
d d 2
2 2
1 i 4 z 3 j 2t 2 6t k
El módulo del vector es
dr dz
2 i
dr ds
2t 2 4 2 46 2
dr dz
ds dt
T
4 j 4 f 6 k
dr / dt ds / dz
(b) En f 2, el vector tangente unitario es T
2 f i 4 j 46 k
Luego el vector tangente unitario pedido es T Obsérvese que, como
2 i 4 j 4t 6 k
2t 2 4 2 46 2
dr dz
4 i 2 j 2 k
4 2 4 2 2 2
2 3
i
2 3
j 13 k
7.Siendo A y B funciones derivables de un escalar u demostrar: (a)
d A du
B
(a) d A du
B
lim
u0
A
dB du
dA du
B,
A A 13 B A B u
(b) dud A B
lim
u0
A
A B A B u
dB du
dA du
lim A
B
AB u
A u
B
A u
dB du
AB
A
B2
dA 3 du
Otro método d d u A B du A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 dB dA B A du du
A1
dB 2 dB 3 db A 2 A 3 du du du
dA 1 du
B1
dA 2 du
B
i
(b) dud A B
d du
k
j
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 i j
i
j
k
k
A 1
A2
A3
dA 1 du
dA 2 du
dA 3 du
dB 1 du
dB 2 du
dB 3 du
B 1
B2
B3
A
dB dA du du
B
8. Dado A 5t 2 i t j t 3 k y B sin t i cos t j . Hallar: (a) dt d A B , (b) dt d A B , (c) dt d A A dA B (a) dt d A B A dB dt dt 5t 2 i tj t 3 k cos t i sin t j 10t i j 3t k sin t i cos t j 2 2 5t cos t t sin i 10t sin t cos t 5t 1 cos t 11t sin t
i
(b) dt d A B
db dA dt dt
k
j
i
j
k
6t 2 2 r 3 10t t 3r 2 cos t sin t 0 sin t cos t 0 2 2 2 2 2 t sin t i r cos t j 6t sin t t cos t k 3r cos t i 3t sin t j 10t cos t sin t k 6t sin t 3t 2 cos t i t 2 cos t 3t 2 sin t j 5t 2 sin t sin t 11 cos t k 3 dA dA 2 2 A 2 A 2 5t i t j t k 10t i j 3t k (c) dzd A A A dA dt dt dt 100t 3 20 6t 3
A
B
9.Siendo A de módulo conbstante, demostrar que A y da son perpendiculares, siempre que dt dA 0 dt Como A es de módulo constante, A A constante. dA A 2 A dA 0 Luego, dt d A A A dA dt dt dt Así pués, A
dA dt
10.Demostrar que derivables de un escalar a
d A B C du
d A B C du
0 y A es perpendicular a
A
A B
d B C dA du du
dc du
dA dt
c
B C
dc dB B C A B du C dA du du dB B C A B dC C dA A du du du
simpre que
dA du
dA dt
B C ,
0
siendo A , B, C , funciones
11.Hallar d dt
la
d V dt V dv dt
dv du d 2 v dt 2
d 2 v dt 2
du dt
v
d 3 y
dt 3
vd 2 v dv dt dt 2
dv dt
d 2 y
dt 2
v
du dt
d 3 v dt 3
0 0
v
dv dt
d 3 y dt 3
12. Una partícula se mueve de forma que su vector de posición viene dado por F cos t i sin t j siendo una constante. Demostrar que a la velocidad v de la paritcula es perpendicular a r , |b | aceleracion a esta dirigida hacia el origen y su módulo es proporcional a su distancia al mismo cr v vector constante. sin t i cos t j Se tiene r v cos t i sin t j sin t i cos t j cos t sin t sin t cos t 0 a v
dr dt
Luego r y v son perpendiculares. b
d 2 r dv dt 2 dt
2 cos t i 2 sin t j cos t i sin t j 2 r
El módulo es proporcional a |r | que es la distancia al origen c r v
i
cos t i sin t j sin t i cos t j
cos t sin t 0 sin t cos t 0
cos 2 t sin 2 f k k Vector constante.
13.Demostrar: A d dt
A
d 2 B dt 2
A
dB dt
d 2 A dt 2
d 2 B dA dt dt 2
B
dA dt
B
dB dt
d dt
A
dA dt
d dt
dB dt
dA dt dB A dt 2 dB d A2 dt dt
14.AdA Demostrar que A dA dt dt A A i A j A Sea 1 2 3 k luego A dA dt
1
1 2 2 2 A 1 A 2 A 3 2 2
2 A
dA dr
k
j
B
d dt
B
dA dt
A
B
d 2 B dt 2
d 2 A dt
B
A 21 A 22 A 23
2 A 2
dA 2 dt
2 A 3
dA 3 dt
A
dA 1 dt
A 2
dA 2 dt
A 3
A 21 A 22 A 23
1 2
dA 3 dt
A dA dt A 1
es decir,
A
dA dt
A
dA dt
Si A es un vector constante A 15.Si A A x
0
2 x 2 y x 4 i e xy y sin x j x 2 cos y k ,
A y
dA dt
2 A x 2
2 A y 2
2 A x y
2 x 2 y x 4 i
2 A y x
sin x j 4 xy 4 x 3 i yexy y cos x j 2 x cos y k A x
x
e xy y x
2 x 2 y x 4 i y e xy y sin x j 2 x 2 i xe xy sin x j x 2 sin y k A y
y
2 A x 2
2 A y 2
x
4 y 12 x 2 i y 2 e xy
cos y k
x 2 y
cos y k
ye xy x
x 2 x
y cos x j y sin x j 2cos y k
4 xy 4 x 3 i
Hallar:
x
2 x cos y k
2 x 2 i y xe xy sin x j y x 2 sin y k 0 x 2 e j x 2 cos y k x 2 e xy j x 2 cos y k 2 A 2 i xe xy sin x j j x 2 sin y k x 2 x y y x y x x xy 4 x i xye cos x j 2 x sin y k y xy
4 xy 4 x 3 2 y ye xy y cos x j 4 x i xye xy e xy cos x j 2 x sin y k 2 A y x
y
x
16.Si x, y, z A
y
xy 2 z y A
xz i xy 2 j yz 2 k .
xy 2 z xz i xy 2 j yz 2 k
Hallar
x 2 y 2 z 2 k
2 A x x
x
x 2 y 2 z 2 i x 2 y 4 z j 3 xy 3 z 2 k
3 x 2 z
x
4 xy 2 z i 2 xy 4 j 3 y 3 z 2 k
A
Para x 17.-
2, y
1, z
3 x 2 2
y
2cos y k
A en el punto 2, 1, 1 .
2 x 2 y 2 z i x 2 y 4 j 3 xy 3 z 2 k
4 y 2 z i 2 y 4 j
4 xy 2 z i 2 xy 2 z i 2 xy 4 j 3 y 3 z 2 k
1 se obtiene 4 1 2 1 i 21 4 j
4 i 2 j
Dado el vector F función de las variables escalares x , y, z f y x , y y z, a su vez, funciones de t , demostrar que dF dt
Fdy F Fdx Fdz t xdt ydt zdt
Supongamos que F F 1 x, y, z, t i F 2 x, y, z, t j F 3 x, y, z, t k . Entonces. F 1 F 1 F 1 F 1 dF
F 2 t F 1 t
dF 1 i
dx y dy z i F 2 F 2 F 2 F 2 F 3 F 3 F 3 F 3 F 3 dx dy dt dz j dt dx dy dt dz k x y t z t x y t z F 2 F 3 F 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3 F 1 j k dt i j k dx i j k dy i t t x x x y y y z
dt i
Luego,
dF dt
dF 2 j dF 3 k
t
dt
x
F F dx F dz dF dy x x t z dt dy t
Geometria diferencial. 18.Demostrar las fórmulas de Frenet Serret a dF ds a Como T T 1 se deduce que T
dF ds
KN , b
0 es decir
d T ds
dB ds
N c dN ds
Luego T
T N ,entonces dB dS
T T
dB dS
dN dS
T
dN dT dS dS
dB dS
dB dS
dB dS
d T ds
KN .
dN K N N dS
0, es decir, T es perpendicular a
De B B 1 se deduce que B dB , es decir, dS formado por T y N . Como
N T
TB KT .
es perpendicular a T
Sea N el vector unitario en la dirección y sentido de dF ;entonces, ds normal principal, k es la cobertura y e 1k es el radio de la corvatura. b Sea B
El vector N es la
T dN dS
dB dS
es perpendicular a B , y esta situado en el plano
pertenece al plano de T y N y es perpendicular a T 1 es paralelo a N 1 luego
TN
El vector B es la normal r es la torsión y a
1
es el radio.
r
c Como T N y B forman un triedro a la derecha, tambien lo forman N , B y T , es decir N B T .
Luego
dN dr
B
d T dS
dB dS
T
B R N r N T
R T r B
rB
R T
19.Representar la curva x 3cos t , y 3sin t , z 4t y hallar a elvector tangente unitario T , b la normal principal N , la curvatura K y el radio de la curvatura c la binomial B ,la torsión t y el radio de torsion . Esta curva se llama hélice circular y se represneta en la figura , como t 4z , las ecuaciones de la curva en función de este último parametro son x 3cos 4z , y 3sin 4z perteneciendo a superficie lateral del cilindro x 2 y 2 9 a El vector de posición de un punto genérico de la curva es: r 3cos t i 3 sin t j 4t k
Luego,
3sin t i 3cos t j 4 k
dr dt
ds dt
dr ds
dt dt
Así pués, f b
d T dt
d dt
35
d T / dt ds / dt
d T ds
Como
d T ds
Luego k De
dr ds
d T dS
dr ds
3
5
o
4
5
4
T N
35
cos t i
4
5
3 5
k cos k
cos t
sin t
5 k
cos t j
4 2
4 5
k
5
35
sin t j
sin t j
KN se obtiene N 1k
cos t dB dt
3 5
3 25
i c B
|k | |M |
3 25
sin t i
cos t j
35
cos t i d T ds
kM
3sin t 2 3cos t 2
dr / dt ds / dt
sin t i
3 25
d T ds
2
3 25
d T ds
j
k
cos t
4 5
sin t
sin t j sin tj dB dS
0 sin t
2
3 1 25 25 tP k 3
cos t i sin t j
4
5
sin t i
4 5
cos t j
4 25
3
5
k
0
dB / dt ds / dt
4 25
cos t i
sin t j TN T cos i sin t j
4 25
bien T
y
1
r
25 4
20.Demostrar que el radio de la curvatura de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x y ys , 1 2 2 2 e d 2 x d 2 y d 2 z z z2 viene dado por p ds 2 ds 2 ds 2 El vector de posición de un punto genérico de la curva es r xs i y s j zs k . Luego T
d r ds
dx ds
i
dy ds
j
dz ds
Pero ddsT KN , con lo que K ya que p 1k
k y
dT ds
2 3 d r dr d 2r d 3r T 2 ds ds ds ds P dk dK 2 K rB KT ds N KT R K T ds N
d 2 r ds 2
d 3 r ds 3
22.Dada la curva x
t , y
t 2 , z
T
dt dr
d r dt
dr ds
d r / dr ds / dt
12t 2
Entonces
dr ds
dr dt
12t 2
dT ds
b De a . N
d 2 y
1 2 2t 2 2t 2
2
dT / dt ds / dt
1 dt k ds
Por lo tanto, 2
4 2 24t 2
12t 2
2
4t
3
2t i 2t 2 j 2tk
12t 2
24t 2 j 4t k 12t 2
2
2
d 2 z ds 2
dT ds
2 12t 2
2
1 2t 2
x s ,
k
KN
2
quedanod demostrado
d 3 r ds 3
K dN ds
K 2 T
T P3
curvatura x b la torsión T
12t 2
d 2 z ds 2
T K 2 rT K 3 B
2 3 3 t ,hallar a la
4t i
2
ds 2
2 i 2t j 2t k
k i 2t j 2t 2 k
4t
ds 2
j
dK N dS
a El vector de posición es r t i t 2 j 23 t 3 k . ds dt
d 2 y
d 2 r ds 2
T
T KN KTB K 2 T
T K 2 T N B K 3 N T K dK N N dS
i 2
d 2 x ds 2
21.Demostrar que
dr
d 2 x ds 2
d T ds
dr dt
i 2t j 2t 2 k
dK N ds
Por lo tanto B
De aquí que
T N
dB dt
2 12t 2
j
k
1 12t 2 2r 12t 2
2 12t 2 12t 2 12t 2
2t 2 12t 2 2t 12t 2
dB ds
dB / dt ds / dt
4t i 4t 2 j 4rk 12t 2 2
Tambien TN T T
i
2t i
4
2t 2 i 2t j k 12t 2
4t i 4t 2 2 j 4tk 12t 2
2
12t 2 j 2tk 12t 2
2
TN se obtiene . Como dB ds así K T
23.Halla las ecuaciones, vectorial y cartesiana de la a tangente b normal principal y c binomial a la curva del problema 22 en el punto correspondiente a t 1. Sean T 0 , N 0 y B 0 los vectores, tangente, normal principal, y binomial en el punto dado. T 0
i 2 j 2 k
3
N 0
2 i j 2 k
3
B0
2 i 2 j k 3
Si A es un vector dado y r 0 y r son, respectivamente, los vectores de posición del origen y de un punto genérico de A , el vector r r 0 es paralelo a A y la ecuación de A es r r 0 A 0 Por lo tanto: La ecuación de la tangente es La ecuación de la normal principal es La ecuación de la normal es
r r 0 T 0 0 r r 0 N 0 0 r r 0 B 0 0
24.Hallar las ecuaciones, vectorial y cartesiana, del plano a oscualdor b normal y c rectificante de la curva, de los problemas 22 y 23 en el punto correspondiente a t 1 a El plano osculador es que contienen a la tangente y a la normal principal. Si r es el vector de
posición de un punto genérico del plano y r 0 el vector de posición del punto corresponidente a t 1, entonces r r 0 es perpendicular a la binomial B 0 en dicho punto, es decir r r 0 B 0 0
b El plano normal es perpendicular a la binomial B 0 en dicho punto. Luego la ecuación pedida
es r r 0 T 0
0
c El plano rectificante es perpendicular a la normal en el punto dado. La ecuación pedida es r r 0 N 0 . Las ecuaciones de a , b y c en coordenadas rectangulares son, respectivamente.
2 x 1 2 y 1 1 2 23 1 x 1 2 y 1 2 2 23 2 x 1 1 y 1 2 2 23
0 0
0
25.a Demostrar que la ecuación r u, v es la correspondiente a una superficie. b Dmostrar que
a r au
representa un vector normal a la superficie.
c Hallar un vector unitario normal a la siguiente superficie siendo a
0.
r a cos u sin v i a sin u sin u j a cos cos u k a Si consideramos que u toma un valor fijo u 0 entonces r r u 0, y representa una curva que la representamos por u y 0 . Analogamente, u u 1 define otra curva r r u 0 y Al variar u 1 r r u 1 v representa una
curva que se mueve en el espacio generando una superficie como se indica en la figura .
Las curvas u u o u u i ......, pertenecen a esta superficie asícomo las curvas u v v 0 , por ejemplo se cortan en el punto u 0 , v 0 dela superficie. el par de números u, v
u 0 y
b Consideremos un punto P de la superficie s cuyas coordenadas son v 0 v 0 como se indica
ar en la figura. El vector au en el punto P se obtiene derivando r respecto de u manteniendo v constante v 0 este vector punto P es tangente a la curva v v 0 en dicho punto.
ar au
en el
Analogamente vr en P es un vector tangente a la curva u constante u 0 . Como ambos vectores, vr , son tangentes en el punto P a dos curvas de la superficie, se deduce que tambien son tangentes a la superficie en dicho punto. Luego,
r u
r v
es un vector normal a S en D
c r u
sin u sin v i a cos u sin v j
r v
a cos u cos v i a sin u cos u j a sin y k
Entonces r u
r v
i
k
j
a sin u sin v a cos u sin v
0 a cos u cos v a sin u cos v sin v
a 2 cos u sin 2 v j a 3 sin u sin 2 v j a 2 sin v cos v k
Representan un vector normal a la superficie en un punto cualquiera u, v El vector unitario se obtiene dividiendo
ar au
ar av
a 4 cos 2 sin 4 v a 4 sin 4 u sin 4 v a 4 sin 2 v cos 3 v a 4 sin 5 ysin 2 y cos 2 y
a 2 sin v si sin v
ar por su modulo | au
| dada por
ar av
a 4 cos 2 u sin 2 u sin 6 y a 4 sin 2 y cos 2 y
0 y a 2 sin v si sin v
0
Luego son los vectores normales unitarios, dados por 1 cos u sin v i sin u sin v j cos v k
n
La superficie en cuestión está definida por las ecuaciones x a cos u sin v e y a sin u sin v, z a cos v, de las cuales se obtiene x 2 y 2 z 2 a 2 que es la ecuación de una esfera de radio a . Como r a, se deduce que: n
cos u sin u i sin u sin v j cos v k
es el vector unitario, normal exterior a la esfera en el punto u, v 26.Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z x 2 y 2 en el punto 1, 1, 2 . Sean x u, y v, z u 3 v 3 las ecuaciones parametricas de la superficie el vector de posición de un punto cualquiera de ella es: r u i v j u 3 v 3 k
Entonces v 1
r u
i 2u k i 2k ,
r v
j 2v k
j 2 k en el punto1, 1, 2 siendo u
1y
La normal n a lasuperficie en este punto es r n v i 2 k j 2k 2 j 2 j k r u
El vector de posición del punto 1 1, 2 es R 0
i j 2 k
El vector de posición de un punto genérico del plano es: R
x i x j 2 k
Como indica la figura, R R 0 es perpendicular a n , luego la ecuación del plano pedido es R | R 0 | a 0 o bien 1 i y j 2 k i j 2 k 2 j 2 j k 0 es decir, 2 x 1 2 y 1 z 2 0, o sea, 2 x 2 y z 2 27.Demostrar que la aceleración de de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio, con una velocidad v viene dada por:
dv dz
V 2 P
T
N
Siendo T el vector tangente unitario a la curva, N la normal principal y e el radio de curvatura Velocidad v Derivando a
dv dt
módulo
d v r dt
Por lo tanto a
du dr
de v multiplicado por el vector unitario tangente T o bien v
dv dz
T v
r v
d T dt
vN p
así ddsr
dv dt
ds dt
T
v2
p
ds KN dz
v T
K N vN p
N
28.Sea r el vector de posición respecto de un punto 0, de una partícula de masa m y F la fuerza exterior que actua sobre la misma; el momento de F respecto de O viene dado por M r F . Demostar que M dH siendo H r mv y la velocidad de la partícula. dt , d M r F r dt mv d mv Pero dt r mv r dt d mv dr dt d r mv v mv r dt d M dt r mv dR dt
d mv dt
0
es decir, En el caso general de uns sistema de particulas de marcas m 1 , m 2 . . . . . . . . . . , m n y vectores de posición r 1 , r 2 . . . . .n. , r n sometido al sistema de fuerzas exteriores F 1 , F 2,,, el momento cinético resultante es H A1 mk r a V A .
n A r a F A y se verifica que N
El par resultante es M
dH dt
29. Consideremos un vector A A 1 j A 2 j A 3 j referida a un sistema de coordenadas xy 2 de origen 0. Su derivada respecto al segundo que se mantiene fijo en el espacio a S dA y dA df df f
m
Son las derivadas de A respecto de los sistemas fijo y movil, espectativamente, demostrar que existe un vector tal que dA dz
f
y
dA dt
A
b Representando por D i y D m los operadores derivada en los sistemas fijo y móvil,
respectivamente, demostrar la equivalencia D f
D n x
a En la operación del primer sistema respecto del segundo, los vectores i , j , k varian con el
tiempo. Por lo tanto, la derivada A es: 1
dA df
2
dA dt
dA dt
f
i dA dt
dA 2 dt
j
dA 3 dt
d i dt
a4
a 1
, es decir,
d k
d i dt
es perpendicular a i y en consecuencia, esta situado en el
a 1 j a 3 k
4
d j dt
a 3 k a 4 i
5
d k dt
a 3 i a 4 j
Derivando i j
d j
d i
d j d i d k A 2 A 3 dt dt dt
A 1 t A 2 A 3 dt dt
Como i es un vector unitario, plano formado por j k Luego 3
k A 1
0 se obtiene i
d j d i dt df
j
0 Pero i
dj dt
a 1 y
d i a2
j
a 3 luego
Analogamente de i k 0. d k d i i df df k 0 y a 3 a 2 ; de i k 0, j
d k d i dt df
k
0 y a 6
d j at
d i d k a 1 j a 3 k , a 3 k a 3 i , a 3 i a 3 j ; A 1 Por lo tanto: dt dt a 1 A 2 a 2 A 3 i a 1 A 1 a 3 A 3 j a 2 A 1 a 3 A 2 k
a 3 d j d i d k A 2 A 3 dt dt dt
que se puede poner en la forma: i
j
k
a3
a2
a1
A 1 A 2 A 3
Haciendo a 3 i
j
1 , a 2
2, a1
3 el determinante se reduce a:
k
1 2 3
A
A 1 A 2 A 3
Siendo 1 i 2 j 3 k . La magnitud es el vector velocidad angular del sistema móvil respecto del fijo b Por definición
derivada en el sistema fijo
D f A
dA dt
f
D f A
dA dt
derivada en el sistema movil
D A A
D x A
Df D x
30.En el problema 29. Hallar a la velocidad y b la aceleración respecto de 2 sistemas de referencia. a Sea A el vector de posición r de la partícula. Aplicando la notación operacional se obtiene 1
Dfr Vj s
velocidad de la partícula, con respecto del sistema de flujo
Vp m velocidad de la partícula respecto del sistema móvil. r Vm f velocidad del sistema móvil respecto del fijo.
Dm
Entonces r se puede poner en la forma 2
Vp f vp m Vm f
o bien 3
Vp f vp m vm f
Se deduce: Vp m
Vp f r ,
o bien, Vp f r
b La aceleración de la partícula del sistema fijo es D 2 f r miembros de 1 y tenenindo en
Df Dfr Aplicando Df a los dos
cuenta la equivalencia demostrada en el problema anterior resulta.
Df Dfr
Df Dm r r
Dm x Dm r r r r Dm Dm r x Dm r 3 D m r Dm r x Dm r x r Df 2 r D 3 m r 2 Dm i Dm r r
Sean Ap f D 2 f r aceleración de la partícula respecot del sistema fijo p m D 2 m r aceleración de la partícula respecto del sistema móvil Entónces Am f 2 Dm 5 Dm r r aceleración del sistema móvil respecto del fijo con lo que p 1 f p / m m / f . mf 2 Dm i
r
2 xm r
4 MD 2 mr F 2 M Dm r M / r j
PROBLEMAS PROPUESTOS 31.Siendo R
e t lnt 2
2
1 j tant k , Hallar a) dR , b) d 2 R3 , c) dt dt
dR dt
, d)
d 2 R dt 2
para t 0
a) Derivando tenemos 1 dR 2 t e 2 2t j sec t k dt t 1 dR dt
e t 22t j sec 2 t k t
1
Evaluando para t 0 tenemos. dR dt
20 e 0 2 j sec 2 0 k k 0 1
32.b) Del a) sabemos que: 2t dR t 2 e 2 j sec t k dt t 1 Derivando nuevamente: j 2 sect sect tant k
d 2 R dt
e t
d 2 R dt
e t
d 2 R at
2 t 2 2 2 t tant k e t j 2sec 2 2
t
t 2 1 2 2t 2t t 2 1
2t 2 24t 2 2 t 2 1
2
j 2sec 2 t tant k
1
Evaluando para t 0 : i
d 2 R dt 2
d 2 R dt 2
d 2 R dt 2
2 a 2 1 2 a 2 1
2 i
j 2sec 2 0 tan0
j
2 j
c) Del a) sabemos que: dR dt
e t 22t j sec 2 t k
por lo que
t
1
dR dt
e t i
dR dt
e 2t
2
2t t 2 1
4t 2 t 2 1
2
2
sec 4 t
sec 4 t
Evaluando para t 0 : 4 0 2
dR dt
i
dR dt
i 1
2 t 2 1
sec 4 0
2
d) Del b) sabemos que: dR dt 2
2 e t 2
t 2 1 2
t 2 1
j 2sec 2 t tant k
por lo que: d 2 R dt 2
e
d 2 R dt 2
e 2t
t
2
2
2 t 2 1
2 t 2 1
2
4 t 2 1
2 t 2 1
2sec 2 t tan 2
4sec 4 t tan 2 t
Evaluando para t 0 d 2 R dt 2
d 2 R dt 2 d 2 R dt 2
e0
4 0 2 1
2
4 t 2 1
4 sec 4 0 tan 2 0
1 411 0 1 4 5
32.Hallar la ley de velocidades y de aceleraciones de una partícula que se mueve a lo largo de la curva x 2sin3t , y 2cos3t z 8t . Idem, de los módulos de la velocidad y aceleración. De los datos proporcionados se puede deducir que el vector de posición R t está dado por. R t
2sin3t i 2cos3t j 8t k
Como sabemos que V t
dR t dt
tenemos que derivar R t .
dR t dt
V t
V t
2cos3t 3 i 2 sin3t 3 j 8 k
6cos3i i 6 sin3t j 8 k
También sabemos que 3 t d vdt t ; por lo que derivamos d v t V t dt d t 6 sin3t 3 i 6cos3t 3 j a t 18sin3t i 18cos3t j De la velocidad:
|T t | 6cos3t i 6sin3t j 8 k | V t |
36cos3t 36sin3t 64
Evaluando en t 0 |T t |
36cos0 36sin0 64
| V t |
36 64
100
10
De la aceleración sabemos a t
18sin3t i 18cos3t j
por lo que: | a t |
18 2 sin 2 3t 18 2 cos 2 3t
Evaluación para t 0 | a t |
18 2 sin 2 0 18 2 cos 2 0
| a t |
0 18 2
18 2
18
33.Hallar unitario tangente en un punto de la curva x constantes. Deducimos que el vector es:
a cos t , y
a sin t , z
bt siendo a , b,
R t
a cos t i a sin t j bt k
Para hallar el vector Tangente a este; derivamos. dR t dt
a sin t i a cos t j b k
dR t dt
a sin t i a cos t j b k
Para hacerlo unitario, tenemos que hallar también su módulo. dR t dt
a sin t 2 a cos t 2 b 2
a 2 2 sin t cos 2 t b 2
a 2 2 b 2
Por lo que el vector unitario pedido es:
a sin t i a cos t j bk a 2 2 b 2
34.Siendo A
t 2 8 t j 2t 1 k y B
2t 3 i j t k
Hallar: a) dt d A B , b) dt d A B , c) dt d A B , d) dt d A
dB dt
para t 1 a)Derivando según la fórmula: dB dA dt dt
t 2 i t j 2t 1 k
d A dt
B
A
d A dt
B
2t 2 2t 1 4t 2 6t 1 2t 6t 2 10t 2
B
2 i k
2t 3 i j t k
2t i j 2 k 2t
Evaluando en t 1; d A dt
B
61 2 101 2
12 6
6
b)Derivando según la fórmula: d A dt
B
A
dB dA dt dt
B
t 2 i t j t 2t 1 k
2 i k
