SOLUCIÓN EXAMEN PARCIAL EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1. Si a==-1, 1, b=b=-3, 3, entonces el valor numérico de la expresión 44-2ab2ab-a2 , es Respuesta: En la expresión 44-2ab2ab-a2 se reemplazan los valores de a y b dados y se resuleven las operaciones teniendo en cuenta los signos. 4-2*(-1 *(-1)*(-3 )*(-3)-(-1 )-(-1)2 4+2*(-3 *(-3)-1 )-1 4-6-1 -3 La respuesta correcta es -3. 2. Si a==-2, 2, b= b=5, entonces el valor numérico de la expresión -
10 a b
-
3a , 2
es
Respuesta: En la expresión -
10 a b
-
3a se 2
reemplazan los valores de a y b dados, luego se resuleven las operaciones
teniendo en cuenta los signos. 10 (-2 (-2) 3 (-2 (-2) 5 20 6 + 5 2 20 (2)+6 )+6 (5)
2
(5) (2) 40+ 40+30 10 70 =7 10
La respuesta correcta es 7.
2
SOLUCIÓN PARCIAL.nb
3.
5 2
a
Si a = , b=-1, entonces el valor numérico de la expresión ba2 - , es 2
Respuesta: a
En la expresión ba2- se reemplazan los valores de a y b dados, luego se resuleven las operaciones 2
teniendo en cuenta los signos.
5
5 2 2 - Aquí (-1) 2 2
se aplica la división de fracciones para simplificar la segunda fraccción y se aplica
propiedades de la potenciación en el primer término. 52
(-1)
22
-
5 2 2 1
(-1)
254 - 54
25 5 4 4 -25-5 -30 = 4 4
- -
15 2
Al simplificar el resultado la respuesta correcta es - .
SOLUCIÓN PARCIAL.nb
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y FACTORIZACIÓN 1
1. Al operar y simplificar la siguiente expresión
a+h
-
h
1 a
se obtiene - a(a1+h) ,
teniendo en cuentaque h NO puede ser 0. Esto es verdadero puesto que h en la primera expresión es un denominador y por tanto no puede ser cero. Ahora, la forma en la que se simplifica dicha expresión es : 1
1
a+h
-a
Primero se resuleve la resta de fracciones quese encuentra en el numerador.
h 1 a+h
1
1 (a)-1 (a+h)
a
a(a+h)
- =
=
a-(a+h)
=
a(a+h)
a-a-h a(a+h)
=
-h a(a+h)
Por tanto, la expresión inicial quedaría -h a(a+h)
h -h a(a+h) h
, se aplica la ley de extremos y medios para simplificar la expresión -h a(a+h)
=
1
=-
h a(a+h)
2. Al operar y simplificar la siguiente expresión
1 x 2 -1
-
2 ( x +1)2
se obtiene
1- x ( x -3) ( x +1)2
.
Esto es falso puesto que al simplificar la expresión no se obtiene el resultado dado. La simplificación correcta es : 1 x 2
-
-1
2 = ( x +1)2
1
-
( x -1) ( x +1)
2 ( x +1)2
Factorizandoel denominador de la primera fracción.
Para hallar el denominador común de las dosfracciones, toman todos losfactores diferentes de los dos denominadores con su mayor portencia, es decir ( x - 1) y ( x + 1)2 . Su producto será el denoinador común. Por tanto, en la primera fracción el numerador y denominador debe ser multiplicado por ( x + 1) y enla segunda fracción por ( x - 1) para quetengan el mismo denominador. ( x +1) ( x -1) ( x +1) ( x +1) x +1-(2 x -2)
( x -1) ( x +1)2
-
2 ( x -1) ( x -1) ( x +1)2
=
( x +1) ( x -1) ( x +1)2
-
2 ( x -1) ( x -1) ( x +1)2
=
Al resolver las operaciones en el numerador, se obtiene :
x +1-2 x +2
( x -1) ( x +1)2
=
- x +3 ( x -1) ( x +1)2
La simplificación correcta es
- x +3 ( x -1) ( x +1)2
3
4
SOLUCIÓN PARCIAL.nb
3. Factorizar 2 x 2 + x - 15 2 2 x 2 + x -15 2 4 x 2 +2 (1 x )-30 2
Se buscan dos números que multiplicados de como resultado -
30 (tercer término) y sumados 1 (segundo termino de la expresión incicial ); estos números son 6 y - 5. (2 x +6) (2 x -5) Se saca la raiz cuadrada del primer 2 término 4 x 2 y este será el primer término de cada factor. El primer factor se puedefactorizar aplicando factor común. 2 ( x +3) (2 x -5) Al simplificar el 2 del numerador y denominador, 2
se obtiene la factorización del trinomio 2 x 2 + x - 15 Respiuesta : ( x + 3) (2 x - 5) 4. Factorizar 6 x 2 - 13 x + 6 6 6 x 2 -13 x +6 6 2 36 x -13 (6 x )+36 6
Se buscan dos números quemultiplicados de como resultado 36 (tercer término) y
sumados - 13 (segundo termino de la expresión incicial ); estos números son - 9 y - 4. (6 x -9) (6 x -4)
6
Se saca la raiz cuadrada del primer término 36 x 2 y
este será el primer término de cada factor. El primer factor se puede factorizar aplicando factor común 3 y en el segundo 2. 3 (2 x -3) 2 (3 x -2) 3*2 (2 x -3) (3 x -2) 6 (2 x -3) (3 x -2) = = Al simplificar el 6 del numerador y denominador, 6 6 6 2
se obtiene la factorización del trinomio 6 x - 13 x + 6 Respiuesta : (2 x - 3) (3 x - 2)
SOLUCIÓN PARCIAL.nb
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Paloma Palomares utiliza una cuarta parte de su sueldo para ir de compras y el 30% de su sueldo para estudios, si despues de realizar estos pagos aún le queda $337.500, el sueldo de paloma Palomares es:. Solución: Para la solución de problemas simepre se identifica la información dada y se expresa matemáticamente, además de lo que se está preguntando. Lo que se pregunta: Sueldo, lo cual se puede representar con x . La información dada: - una cuarta parte de su sueldo para ir de compras:
1 x 4
- 30% de su sueldo para estudios: El 30% se puede expresar como la siguiente fracción el 30% del sueldo (x) se expresa como
30 por 100
tanto,
30 x . 100
- le queda $337.500. Procedimiento 1. A partir de ecuaciones
El sueldo es la suma de estas tres cosas, por lo tanto la expresión de toda la situación es 1 30 x + x + 337.500 = x 4 100 El paso siguiente es solucionar la ecuación. 1 30 x + x + 337.500 = x 4 100 1 30 x + x - x = -337.500 4 100 25 30 100 x + x x = -337.500 100 100 100 25+30-100 x = -337.500 100 -45
100
x = -337.500
-45 x = -337.500 * 100 x =
-33.750 .000 -45
= 750.000
Respuesta: $750.000 Procedimiento 2. A partir de porcentajes - una cuarta parte de su sueldo para ir de compras:
1 x equivale al 4
25% del suledo.
- 30% de su sueldo para estudios. Esto quiere decir que en total se ha gastado 55% del sueldo. - le queda $337.500. Si se ha gastado el 55% del sueldo, $337.500 equivale al 45% del sueldo para
5
6
SOLUCIÓN PARCIAL.nb
completar el 100%. Con esta información se puede aplicar una regla de tres para hallar el 100% del sueldo. x ⟶100% 337.500 ⟶ 45% x =
$337.500*100 % = $750.000 45 %
2. Carlos compró 500 sombreros a $6 cada uno. Si vendió cierto número por un total de $500, a $5 cada uno. El precio al cual debe vender cada uno de los sombreros restantes para no perder su inversión sin obtener ganancia, es: Lo que se pregunta:
El precio al cual debe vender cada uno de los sombreros restantes para no perder su inversión sin obtener ganancia. La información dada: - Compró 500 sombreros a $6 cada uno. Es decir que la inversión fue de $ 3.000 puesto que
500*6=3.000. - Vendió cierto número por un total de $500 a $5 cada uno . Es decir que vendió 100 sombreros puesto = 100 que 500 5 Como están preguntando por los sombreros restantes entonces se calcula cuántos sombreros de los 500 que compro le queda. Esto es 500-100=400. Ahora, como están preguntando a qué precio los debe vender para no perder su inversión sin obtener ganancia y como ya obtuvo $500 de la primera venta, se debe dividir el restante de la inversión (2500) entre el número de sombreros que le quedan, 2500 = 6, 25. 400 Es decir que cada uno de los 400 sombreros restantes los debe vender a $6,25 cada uno para no perder su inversión de $3.000
3. Antonio tiene un terreno del cual no conoce su área. El sabe que el 30% lo ha utilizado en cultivo de flores y la quinta parte en cultivo de fresas. Si tiene 50 Hectáreas sin ninguna siembra, el área total del terreno de Antonio, es: Lo que se pregunta:
Área total del terreno de Antonio. Se representará con x La información dada: - El 30% lo ha utilizado en cultivo de flores.
- La quinta parte en cultivo de fresas . La quinta parte del 100% equivale a
100 = 20 % 5
- 50 Hectáreas sin ninguna siembra Es decir que ha sembrado el 50% del terreno y le queda el 50% por sembrar lo que equivale a las 50 hectareas sin siembra, es decir la mitad del terreno. Por tanto el área del terreno es de 100 hectáreas.
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