17.2) Para abordar este ejercicio es importante reconocer el tipo de sistema de cola al que pertenece. Es un sistema M/M/s A medida que vamos cambiando el modelo con respecto a la cantidad de servidores utilizados para obtener diferentes resultados es apropiado utilizar una plantilla en Ecel que nos permit permita a conoce conocerr los los cambio cambioss asocia asociados dos a las las varia variabl bles es que podemo podemoss modificar en el ejercicio. a) λ = 70
μ= 6
call h
call h
λ 70 r = = =11,67 μ 6
ρ=
λ 70 11,67 = = s∙μ 6 s s
s debe ser m!nimo 12 para ase"urar que la cola no crezca indefinidamente. indefinidamente. #e sabe que un poco m$s que el %&' de los clientes esperan m$s de ( minutos para que un representante conteste la llamada. uscamos el valor de tiempo de espera en *oras t =4
min∗1 h =0,0666667 h 60 min
Con 12 servidores obtenemos: l= m= s=
7+ , 12
+-77, +-+,,,, 7 El 77- ' de las personas esperan m$s de ( minutos en cola. Prob(Wq > t) = when t =
Con 13 servidores:
l= m= s=
7+ , 1%
+-%,21 ( +-+,,,, 7 El %,-2 ' de las personas esperan m$s de ( minutos en cola. Prob(Wq > t) = when t =
Con 14 servidores: l= m= s=
7+ , 1(
+-1,%7+ ( +-+,,,, 7 El 1,-%7 ' de las personas esperan m$s de ( minutos en cola. Prob(Wq > t) = when t =
Se define as q!e el "ro#eso ini#ialmente #!enta #on 13 servidores$ s=13
b) A*ora buscamos buscamos que el &' esperen esperen 1 minuto o menos Prob0qt)314 Prob0q5t)3+.+& Prob0q5t)3+.+& Entonces buscamos un valor en el cual la Prob0q5t) sea menor del &'. 6eniendo en cuenta cambiar las unidades de tiempo a *oras t =1
min∗1 h =0,0166667 h 60 min
os si"uientes son los valores de la probabilidad que el tiempo en cola sea ma8or a t # 1( 1& 1, 17 1
Prob0q 5 t) +-%2,& +-1(21% +-11+&1& +-+,+,&7 +-+%2+7
l= m= s=
7+ , 1%
+-%,21 ( +-+,,,, 7 El %,-2 ' de las personas esperan m$s de ( minutos en cola. Prob(Wq > t) = when t =
Con 14 servidores: l= m= s=
7+ , 1(
+-1,%7+ ( +-+,,,, 7 El 1,-%7 ' de las personas esperan m$s de ( minutos en cola. Prob(Wq > t) = when t =
Se define as q!e el "ro#eso ini#ialmente #!enta #on 13 servidores$ s=13
b) A*ora buscamos buscamos que el &' esperen esperen 1 minuto o menos Prob0qt)314 Prob0q5t)3+.+& Prob0q5t)3+.+& Entonces buscamos un valor en el cual la Prob0q5t) sea menor del &'. 6eniendo en cuenta cambiar las unidades de tiempo a *oras t =1
min∗1 h =0,0166667 h 60 min
os si"uientes son los valores de la probabilidad que el tiempo en cola sea ma8or a t # 1( 1& 1, 17 1
Prob0q 5 t) +-%2,& +-1(21% +-11+&1& +-+,+,&7 +-+%2+7
9ebido a los resultados de la prueba se encuentra que el n:mero de servidores que *ace que la Prob0 q 5 t)+.+& es s31. Este n:mero de servidores implica contratar a & empleados m$s. c) a primera opci;n es +' de clientes que esperen 1 minuto o menosuscamos el valor de s con el que la Prob0q5t) sea menor del 2+'. t =1
min∗1 h =0,0166667 h 60 min
# 1( 1& 1, 17 1
Prob0q 5 t) +-%2,& +-1(21% +-11+&1& +-+,+,&7 +-+%2+7
s∗1 h =0,025 h 3600 s
# 1( 1& 1, 17 1
Prob0q 5 t) +-2%%&7 +-1,(% +-+, +-+(,(& +-+2%%71
uscamos el valor que *a"a que la Prob0 q 5 t) sea menor al &'
El proceso de elecci;n del nivel de servicio al cliente debe tener en cuenta que si el empleado llama en *oras de trabajo la empresa perder$ dinero con respecto a cu$nto tiempo el empleado este esperando en el tel=fono- de esta forma se debe analizar cu$l es el cost costo o que que tien tiene e que que sus sus empl emplea eado doss espe espere ren n al tel= tel=fo fono no 8 "ene "enera rarr una una caracterizaci;n con cuantos servidores se deben esco"er para obtener los menores costos.
9e esta forma se denota que efectivamente el proceso de selecci;n del n:mero de servidores depende del *ec*o que los clientes trabajen para la empresa. #i los clientes fueran eternos a la empresa suceden dos detalles que alteran el proceso de elecci;nel primero es que a la empresa no le cuesta que los clientes llamen en *oras de trabajo 8 el se"undo es que los clientes no est$n obli"ados a usar el call center dispuesto. d) El &' esperen 1 minuto o menos implica que el n:mero de servidores sea 1.
tenernos? λ = 70
μ= 8
call h
call h
λ 70 r = = =8,75 μ 8
ρ=
λ 70 8,75 = = s∙μ 8 s s
# debe ser ma8or o i"ual a r @mplica que s es ma8or o i"ual a @n"resamos los datos en la plantilla de Ecel *asta conse"uir el criterio deseado. Entonces buscamos un valor en el cual la Prob0q5t) sea menor del &'- con t31minuto t =1
min∗1 h =0,0166667 h 60 min
# 1+ 11 12 1% 1(
Prob0q 5 t) +-7%11( +-%+,&2& +-11%(, +-+(+&2 +-+1%+1 +-++((
os damos cuenta que si se utiliza el proceso de aprendizaje MarB s;lo debe usar a 12 servidores- por lo que podemos analizar cu$nto a*orro se obtiene con esta elecci;n. El costo de entrenar a 12 servidores es? C =12∗2500 =30000
MarB dejar!a de contratar , servidores que equivale a C =6∗30000= 180000
Por lo que se a*orra ,+ +++ en el primer aCo- lo que *ace que sea la mejor opci;n.
d) os damos cuenta que los datos que deben evaluarse con ma8or precisi;n son el promedio de entrada en el sistema λ 8 el promedio de tiempo de servicio μ - las cuales tomamos de una forma simplificada como constantes. 6ambi=n se deben *acer selecciones 8 obtener datos de cuantas llamadas en promedio puede un servidor contestar por cada *ora. Estos tres datos son fundamentales para determinar el n:mero de servidores a usar 8 para obtenerlos se debe *acer un se"uimiento muestral de cada uno de los datos.
1.2A) P$"ina &, ta*a *amd8 na edici;n.
1) @dentificar al cliente 8 al servidor? 0a) Aviones que lle"an a un aeropuerto?
0c) Derramientas verificadas en un taller de maquinado.
a)
aturalez a de la fuente @nfinita
b)
@nfinita
c)
@nfinita
aturaleza de los clientes
6ipo de tiempo entre lle"adas
@ndividualment e
Probabil!stic o
@ndividualment e @ndividualment e
Probabil!stic o Probabil!stic o
9efinici;n 8 tipo de tiempo de servicio 6iempo en despejar la pista 6iempo del viaje 6iempo de aprobar *erramienta
a capacida d de la cola @nfinita
9isciplin a en las colas
@nfinita
H@H
@nfinita
H@H
H@H
d)
@nfinita
En masa
9etermin!sti co
e)
@nfinita
@ndividualment e
Probabil!stic o
f)
@nfinita
")
@nfinita
@ndividualment e @ndividualment e
Probabil!stic o Probabil!stic o
*)
@nfinita
@ndividualment e
Probabil!stic o
6iempo de procesar la carta 6iempo en re"istrar materias 6iempo que lleva el caso 6iempo que toma el pa"o 6iempo de parqueo
@nfinita
Aleatoria
@nfinita
H@H
@nfinita
H@H
@nfinita
H@H
9ebe ser +
o *a8
%) Para este punto debemos identificar cada una de las colas solicitadas. a) Iecepci;n de ;rdenes de trabajo b) Procesamiento de orden ur"ente 01 m$quina) c) Procesamiento de orden re"ular 01 m$quina) d) Procesamiento de orden ur"ente 0l!nea de producci;n) e) Procesamiento de orden re"ular 0l!nea de producci;n) f) Iecepci;n 8 env!o de ;rdenes completadas ") 9eposito de *erramientas *) Aver!a de una m$quina
#ervidores
9isciplina 6. de servicio
a)
Jrdenes
Ieceptor
Prioridad
b)
Jrdenes ur"entes Jrdenes re"ulares 6rabajos ur"entes 6rabajos re"ulares Jrdenes completadas Derramienta s
M$quina
H@H
M$quina
H@H
!nea de producci;n !nea de producci;n Knidad de env!o 9eposito de Derramienta s Mec$nico
H@H
c) d) e) f) ") *)
M$quinas
H@H H@H Prioridad Prioridad
6. de clasificaci; n 6. de producci;n 6. de producci;n 6. de producci;n 6. de producci;n 6. de embarque 6. de cambio 6. de reparaci;n
() L
on"itud m$ima de cola @nfinita
Huente @nfinita
@nfinita
@nfinita
@nfinita
@nfinita
@nfinita
@nfinita
@nfinita
@nfinita
Hinita
@nfinita
Hinita
Hinita
Hinita
Hinita
0b) #i se anticipa un lar"o tiempo de espera- un cliente que lle"a puede desistir de *acer cola. Cierto$
0c)
&) En cada una de las situaciones descritas en el problema 1- analice la posibilidad de que los clientes se cambien de cola- desistan de *acer cola o se sal"an de una. 0a) Aviones que lle"an a un aeropuerto. in"una. 0b) #itio de tais que atiende a pasajeros que esperan. in"una. 0c) Derramientas verificadas en un taller de maquinado. in"una 0d)
1.&A) P$"ina ,+ ta*a *amd8 na edici;n. Ejemplo 1.&41 NO roceries opera con tres cajas. El "erente utiliza el si"uiente pro"rama para determinar la cantidad de cajas en operaci;n- se":n la cantidad de clientes que *a8a en la l!nea?
os clientes lle"an al $rea de cajas de acuerdo con una distribuci;n de Poisson con tasa media de 1+ clientes por *ora. El tiempo promedio en la caja es eponencial con media de 12 minutos. 9etermine la probabilidad de estado estable Pn de que *a8a n clientes en el $rea de cajas.
Por lo tanto-
El valor de P+ se determina a partir de la ecuaci;n?
- de forma equivalente
Ktilizando la serie de suma "eom=trica
1
Por lo tanto- P+3 55 . 9ado P+- a*ora podemos determinar Pn con n5+. Por ejemplo- la probabilidad de que s;lo una caja abra se calcula como la probabilidad de que *a8a cuando muc*o tres clientes en el sistema?
Podemos utilizar Pn para determinar medidas de desempeCo para la situaci;n de NO. Por ejemplo?
1. En el ejemplo 1.&41- determine lo si"uiente? 0a) a distribuci;n de probabilidades de la cantidad de cajas abiertas. P { 0 cajas abiertas } = P 0=
1 55
=0.018182
P {1 cajas abiertas }= P1 + P 2 + P3=
1 55
P {2 cajas abiertas }= P 4+ P5+ P 6=
1 55
∙ ( 2+ 4 + 8 ) =
14
∙ ( 8 +8 +8 )=
24
6
P {3 cajasabiertas }=1 −∑ Pn=1 −( 1+ 14 + 24 ) ∙ n =0
55
55
1 55
= 0.254545
=0.436364
=
16 55
= 0.290909
0b) El promedio de cajas ocupadas. Promedio de cajas ocupadas =
0∗1 55
+
1∗14 55
+
2∗24 55
+
3∗16 55
=2
2. En el modelo de NO del ejemplo 1.&41- supon"a que el tiempo entre lle"adas en el $rea de cajas es eponencial con media de & minutos 8 que el tiempo en la caja por cliente tambi=n es eponencial con media de 1+ minutos. #upon"a adem$s que NO a"re"a una cuarta caja 8 que las cajas abren con base en incrementos de dos clientes. 9etermine lo si"uiente? 0a) as probabilidades de estado estable- Pn para todas las n. 1
λ
=5
llegadas ∗60 min min llegadas 1 =12 λ = = 0.2 h 5 1h
{ }
clientes ; n =0,1,2 h clientes 10 , n = 3,4 h μn= clientes 15 ,n = 5,6 h clientes , n >7 20 h 5
P1=
12 5
P0=2.4 P0
( )
P2=
P3=
2
12
P0=5.76 P0
5
( )( ) 2
12
12
∙
5
10
P =6.912 P0 0
( )( ) 12
P4 =
P5=
P6=
2
12
∙
5
2
10
P = 8.2944 P 0 0
( )( )( ) 12
2
12
∙
5
2
12
∙
10
10
P =6.63552 P0
( ) ( ) ( ) 12
2
∙
5
Pn ≥ 7=
12
2
10
12
∙
15
0
2
P =5.308416 P0 0
n−6
( )( )( )( ) 12 5
2
12
∙
10
2
∙
12 15
2
∙
12
P =5.308416 ∙ ( 0.6 )
20
n− 6
P0
0
∞
P =1= P ( 1+ 2.4 + 5.76 + 6.912 + 8.2944 + 6.63552 + 5.308416 + 7.962624 ) ∑ = n
0
n 0
P0=0.022587
de la misma forma que en el ejemplo ∞
∑ Pn =1= P n=0
(
0
(
1 + 2.4 + 5.76 + 6.912 + 8.2944 + 6.63552 + 5.308416 + 5.308416
1= P0 31.00192 + 5.308416
( ) 1
1−
12 20
= P0 ( 44.27296 )
( ) 12 20
+ 5.308416
( ) 12 20
2
+ 5.308
P0=
1 44.27296
= 0.022587
P1=0.022587 ∗2.4 =0.05420916 P2=0.022587 ∗5.76 = 0.13010199 P3=0.022587 ∗6.91= 0.15608426 P4 =0.022587∗8.2944 = 0.18735532 P5=0.022587 ∗6.63552 = 0.14988426 P6=0.022587 ∗5.308416 =0.11990741 Pn=¿ 1− 0.82342072 =0.17657928 6
∑= ¿
Pn ≥ 7=1 −
n 0
a cual es la probabilidad de necesitar una cuarta caja
0b) a probabilidad de que se requiera una cuarta caja. Pn=¿ 1− 0.82342072 =0.17657928 6
∑= ¿
Pn ≥ 7=1 −
n 0
0c) El promedio de cajas ociosas. P { 0 cajas abiertas } = P 0=0.022587 P {1 cajas abiertas }= P1 + P2=0.18431947 P {2 cajas abiertas }= P3 + P4 =0.34343958 P {3 cajasabiertas }= P5 + P6 =0.26979166
P { 4 cajas abiertas }= Pn ≥ 7=0.17657928 promediode cajas ociosas
¿ 4 −( 1∗0.18431947 + 2∗0.34343958 + 3∗0.26979166 + 4∗0.17657928 ) promediode cajas ociosas=1.61310925
%. En el modelo de NO del ejemplo 1.&41- supon"a que las tres cajas est$n siempre abiertas 8 que la operaci;n est$ confi"urada de tal manera que el cliente va8a primero a la caja vac!a. 9eterminar lo si"uiente? 0a) a probabilidad de que tres cajas est=n en uso.
{
clientes ; n =1,2 h μn= clientes 15 ; n= 3,4, … h
P1=
5
10 5
}
P0=2∗ P0
( )( )
P2=
10
10
5
10
Pn ≥ 3=
P0 =2∗ P0
10
10
5
10
15
∞
∑ Pn =1= P n=0
0
(
1
1−
2
3
P0= =0.1111111 9
P = 2
1 +2+2 +2
( ( )
1= P0 3 + 2
1
n− 2
( )( )( ) 10
0
() 2
n−2
P
3
0
(( ) ( ) ( ) ))
= P0 ( 9 )
2 3
+
2 3
2
+
2 3
3
+…
Ptrescajas estenen uso = P n≥ 3=1− ( P 0+ P 1 + P2 )=1 −( 0.1111 + 0.2222 + 0.2222 ) Ptrescajas estenen uso = P n≥ 3=0.4445
0b) a probabilidad de que cliente que lle"a no ten"a que esperar. Pn ≤ 2= P0 + P1 + P2=0.5555
(. Hirst anB de #prin"dale opera cajeros autom$ticos de un solo carril. os autos lle"an de acuerdo con una distribuci;n de Poisson a raz;n de 12 autos por *ora. El tiempo por caja necesario para completar la transacci;n en el cajero es eponencial con media de , minutos. El carril tiene espacio para un total de 1+ autos. Kna vez que el carril est$ lleno- los dem$s autos que lle"an buscan el servicio en otra sucursal. 9etermine lo si"uiente? λn =
{
μn=
12
60 6
{
carros ; n =0,1, … , 9,10 h 0 ; n ≥ 11
=10
( ) 12
}
carros h
n
Pn= 10 ∗ P0 ; n=0,1, … , 9,10 0 ; n ≥ 11
}
∞
P =1= P ( 1 + 1.2+ 1.2 + 1.2 + … + 1.2 ) = P ∑ = 2
n
3
10
0
n 0
P0=
1 32.1504185344
0
(
11
1−1.2
1 −1.2
)=
P0∗32.1504185344
=0.031103794152167
0a) a probabilidad de que un auto que lle"ue no pueda utilizar el cajero porque el carril est$ lleno.
( )∗
P10=
12 10
10
P0=0.192586
0b) a probabilidad de que un auto no pueda utilizar el cajero en cuanto lle"ue. Pn ≤ 1=1 − P0=1− 0.0311=0.9689
0c) El promedio de autos en el carril. 10
Promediode autos en elcarril =∑ n∗ Pn=0∗0.311+ 1∗0.03732 + 2∗0.44784 + 3∗0.0537408 + 4∗ 0.06448 n=0
&. LAl"una vez *a escuc*ado a al"uien repetir el contradictorio comentario? QEl lu"ar est$ tan abarrotado que 8a nadie va all!R Este comentario equivale a decir que la oportunidad de desistir se incrementa con el aumento en la cantidad de clientes que buscan un servicio. Kna posible plataforma para modelar esta situaci;n es decir que la tasa de lle"adas al sistema se reduce a medida que la cantidad de clientes se incrementa. 9e manera m$s espec!fica- consideramos el caso simplificado del
{
λn = 6 ; n= 0,1, … , 7,8 5 ; n= 9,10,11,12
{
n
μn= 0.5
}
=2 n ; n=1,2,3,4 10 ; n ≥ 5
6
P1= P0 =3 P 0 2
6 6
P2= ∙ P0= 4.5 P0 2 4
6 6 6
P3= ∙
∙ P 0=4.5 P0
2 4 6
}
6 6 6 6
P4 = ∙
∙ P0=3.375 P0
∙
2 4 6 8
6
6 6
2
4 6
P5= ∙
∙
6
8 10
6 6 6 6
P6= ∙
∙
∙ ∙
2 4 6 8
6 6 6 6
P7= ∙
∙
∙ ∙
2 4 6 8
6 6 6 6
P8= ∙
∙
6
∙ ∙
∙ ∙
2 4 6 8
∙
0
( )
P =1.215 P0
( )
P = 0.729 P0
( )
P =0.4374 P0
2
6
10
10
∙
2 4 6 8
0
4
6
10
∙
0
3
6
6 6 6 6
Pn ≥ 9= ∙
P =2.025 P0
0
n− 8
( )( ) 6
4
10
12
∙
5
10
n −8
P =0.4374 ∗( 0.5 ) 0
P =1= P ( 3 + 4.5 + … + 0.0944 + 0.05668 ) ∑ = n
0
n 0
P0=0.049525883 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pn 0,049525 88 0,148577 65 0,222866 47 0,222866 47 0,167149 85 0,100289 91 0,060173 95 0,036104 37 0,021662 62 0,010831 31 0,005415
P0
66 0,002707 11 83 0,001353 12 91
0a) a probabilidad de que los clientes comiencen a desistir. P12= 0.00135391
0b) a probabilidad de que todas las mesas est=n ocupadas. Pn ≤ 5=1 −( P0 + P1 + P2+ P 3+ P 4 )
3+.1+1
0c) El n:mero promedio de tablas en uso. n∗ Pn+ 5∗¿ Pn ≤ 5= P1+ 2 P2 +3 P3 + 4 P 4 + 5 Pn ≤ 5=2.120523092 4
Promedio de tablasen uso =∑ ¿ n=0
0d) El promedio de parejas que esperan a que se desocupe un mesa de pool. Promedio de par que esperan = P6 + 2 P7 + 3 P8 + 4 P 9+ 5 P10 + 6 P11+ 7 P12= 0.293498428
S,. Kna peluquer!a atiende a un cliente a la vez 8 cuenta con tres sillas para los clientes que esperan. #i el lu"ar est$ lleno- los clientes se van a otra parte. as lle"adas ocurren de acuerdo a una distribuci;n de Poisson con media de ( por *ora. El tiempo para recibir un corte de pelo es eponencial con media de 1& minutos. 9etermine lo si"uiente?
{
λn = 4 ; n =0,1, … , 4 0 ; n≥ 5
μn=
60 15
}
=4
0a) as probabilidades de estado estable. 4
P1= P0= P0 4
()
P0= P0
()
P0= P 0
()
P0= P 0
4
P2=
P3=
2
4
4
3
4
P4 =
4 4
4
5 P 0= 1 1
P0= =0.2 5
0b) a cantidad esperada de clientes en la peluquer!a. 4
1
∑ n∗ Pn= 5 (1 + 2 + 3 + 4 )=2 n= 0
0c) a probabilidad de que los clientes se va8an a otra parte porque la peluquer!a est$ llena. P4 =0.2
7.
Esta situaci;n equivale a reducir la tasa de lle"adas e incrementar la tasa de servicio a medida que se incrementa el n:mero n en el sistema.
0a) Prepare el dia"rama de transici;n- 8 determine la ecuaci;n de balanceo del sistema. 5.5 P 1=10 P 0 10 P 0+ 6 P 2=( 5.5 + 9 ) P 1 9 P1+ 6.5 P3 =(6 + 8 ) P 2 8 P2+ 7 P 4=( 6.5 + 7 ) P 3
0b) 9etermine las probabilidades de estado estable. P1=1.82 P 0 P2=2.727 P0 P3=3.3566 P0 P4 =3.3566 P 0
P0=
1 1 + 1.82+ 2.727 + 3.3566 + 3.3566
P1=0.148448 P2=0.222427 P3=0.27378
= 0.081565
P4 =0.27378
.
μ P 1= λ P0
P1=
λ P0 μ
0b) 9etermine las probabilidades de estado estable. ρ=
λ μ
P0 +
λ P 0
P0=
P1=
μ
=1
1 1 + ρ
ρ 1+ ρ
0c) 9etermine el promedio en el sistema. 0∗ P0+ 1∗ P1=
ρ 1 + ρ
. a comprobaci;n por medio de inducci;n para derivar la soluci;n "eneral del modelo "eneralizado se aplica como si"ue.
#ustituimos Pn41 8 pn42 en la ecuaci;n diferencial "eneral que implica Pn- Pn41 8 pn42 para derivar la epresi;n deseada para Pn. Terifique este procedimiento. λn−1 Pn−1+ μ n+1 P n+1= λ n− 1
¿ λn
[
[
] [
λ 0 λ1 λn− 2 λ λ λ + μn+ 1 0 ∙ 1 ∙ … ∙ n−2 ∙ ∙…∙ μ1 μ2 μn −1 μ1 μ2 μn−1
] [
]
]
λ 0 λ 1 λn −1 λ λ λ + μn 0 ∙ 1 ∙ … ∙ n−1 ∙ ∙…∙ μ 1 μ2 μn μ 1 μ2 μn
¿ λn Pn + μn P n= Pn ( λ n+ μ n)
%) El securit8 and trust anBF a) %ata
λ=
2
µ=
1 (
s3
Pr0 5 t) 3 +-++7+2 V*en t 3 & Prob0q 5 t) 3 7-E4+, V*en t 3 &
&es!lts
0mean arrival rate) 0mean service rate) 0U servers)
q 3
2-17%1%+( % +-17%1%+( %
3 q 3
1-+,&,&2 2 +-+,&,&2 2
ρ=
+-&
3
n
Pn
+
+-1%+(%(7 %
+. +.1 Probabilit8
+. +.+
1 2 % ( & , 7 1+ 11 12 1% 1( 1& 1, 17 1 1 2+ 21 22 2% 2( 2&
+-2,+,&, & +-2,+,&, & +-17%1%+( % +-+,&,&2 2 +-+(%(72, 1 +-+217%1% +-+1+,&, & +-++&(%(7 % +-++2717% 1 +-++1%&, , +-+++,7%( +-+++%%,7 ( +-+++1,% 7 -(1&E4+& (-2(&2E4+& 2-122,E4+& 1-+,1(E4+& &-%+7(E4+, 2-,&%7E4+, 1-%2,&E4+, ,-,%(2,E4+7 %-%171%E4+7 1-,&&,E4+7 -222E4+ (-1(,(1E4+
bservamos que se cumplen todas las pol!ticas de servicio en el aCo actual. q3+-17%1%+(% 9
∑ Pn =0.99728261 n=0
Prob0q 5 t) 37-E4+, b) %ata
λ=
%
µ=
1 (
s3
&es!lts
0mean arrival rate) 0mean service rate) 0U servers)
q 3
(-&2%+1 7 1-&2%+1 7
3
1-&+(%%,
3
Pr0 5 t) 3 +-+2%+1 V*en t 3 & Prob0q 5 t) 3 +-++%(%% V*en t 3 &
q 3
2 +-&+(%%, 2
ρ=
+-7&
n
Pn
+.2 +. +.1 Probabilit8
+. +.+
+-+%77%&( + +-11%2+7&( 1 7 +-1,11%2 2 1 +-1,11%2 % 1 +-127%&( ( 1 +-+&&1, & +-+71,%1& , 1 +-+&%72%, 7 % +-+(+27+2 2 +-+%+2227, 7 +-+22,,7+7 1+ & +-+17+++%+ 11 , 12 +-+127&+2% +-++&,2,7 1% 2 +-++7172++ 1( ( +-++&%7++ 1& % +-++(+%(2& 1, 2 +-++%+2&, 17 +-++22,2, 1 7 1 +-++17+1& +-++127,(, 2+ %
21 22 2% 2( 2& o cumple la pol!tica del n:mero promedio de clientes en cola no debe eceder a 1.
+-+++&7%( 7 +-+++71+1 +-+++&%&+ +-+++(+% 1 +-+++%+21 1
q31-&2%+17 6ampoco cumple la pol!tica de al menos el &' del tiempo- el n:mero de clientes en al cola no debe eceder a &. 9
P =0.9093317 ∑ = n
n 0
a tercer pol!tica si la cumple.
Prob0q 5 t) 3+-++%(%%
c) %ata
λ=
%
µ=
1 &
s3
Pr0 5 t) 3 +-++%1 V*en t 3 & Prob0q 5 t) 3 1-+7E4+& V*en t 3 &
&es!lts
0mean arrival rate) 0mean service rate) 0U servers)
%-%&(227(+ 3 & +-%&(227(+ q 3 & 3 q 3
1-11+7&+ 2 +-11+7&+ 2
ρ=
+-,
n
Pn
+
+-+(,,(72% +-1%(1, 1 +-2+12&% , +-2+12&% ,
+.2 +. +.1 Probabilit8
+. +.+
1 2 %
+-1&7(%((+ ( 2 +-+((,+,( & 1 +-+&,,7,% , & +-+%(++&% 7 1 +-+2+(+%( +-+122(2+ +-++7%(&2& 1+ +-++((+71& 11 , +-++2,((2 12 %
P =0.98163685 ∑ = n
n 0
() Tamos a describir el proceso de pintura de un mueble en una carpinter!a? 9efinimos la media de lle"ada de piezas a ser pintadas como 1 pieza / * 8 la media de tiempo del proceso como (& minutos. #e modela el proceso como un M/M/1 λ = 1
μ=
pieas h
pieas =1.33 h 0.75 1
λ 1 =0.75188 r= = μ 1.33
ρ=
1 0.75188 λ = = s ∙ μ 1.33 s s
# debe ser m!nimo 1 para que no se acumulen las piezas indefinidamente.
Podemos in"resar los datos a nuestra plantilla del modelo M/M/s Daciendo a s31 bteniendo un valor esperado de la detenci;n en cola de q32.27(2% * Tariamos los valores de s para ver en qu= momento q es un cuarto de la inicial a cual debe ser menor a .&,,+, Encontramos que con 2 servidores 8a tendremos suficiente para reducir el q a +-12%7&%% que es muc*o menor que un cuarto del tiempo esperado inicial. Este valor equivale a contratar un pintor m$s con el fin de reducir el tiempo en cola a menos de un cuarto del inicial.
%ata
λ=
1
µ=
1-%% 1
s3
&es!lts
0mean arrival rate) 0mean service rate) 0U servers)
3
%-+%+%+%+%
q 3 2-27(2%%%1 3 %-+%+%+%+% q 3 2-27(2%%%1
Pr0 5 t) 3 +-712( V*en t 3 1
ρ = +-7&17,
Prob0q 5 t) 3 +-&(+&(( V*en t 3 1
n
Pn
+ 1 2 % ( & , 7 1+
+-2(12+%+1 +-1,&&,,17 +-1(+2,1%% +-1+&(,(7,2 +-+72,1% +-+&,21,,( +-+((2%1 +-+%%7+&&+% +-+2&%(2(% +-+1+&(( +-+1(%2,,1
+.& +.( +.% Probabilit8 +.2 +.1 +
%ata
λ=
1
µ=
1-%% 2
s3
Pr0 5 t) 3 +-%2,+2, V*en t 3 1 Prob0q 5 t) 3 +-+%+,1 V*en t 3 1
&es!lts
0mean arrival rate) 0mean service rate) 0U servers)
+-7&,%%, 3 2 +-12%7&% q 3 % 3 q 3
+-7&,%%, 2 +-12%7&% %
ρ=
+-%7&%&
n
Pn
+.& +.( +.% Probabilit8 +.2 +.1 +
+ 1 2 % ( & , 7 1+
+-(&%&&11 % +-%(1+1,(7 , +-122+1, % +-+(1,12 1 +-+111( % +-++,11& & +-++2&,+7& +-+++,2, +-+++%,11 % +-+++1%,+& 7 &-11((E4+&
Para el proceso de servicio vamos a utilizar el ejemplo de un cajero autom$tico El cual recibe en promedio %+ clientes por *ora 8 cada uno se demora 1.& minutos.
#e modela el proceso como un M/M/1 λ = 30
clientes h
μ= 40
clientes =1.33 h
λ 30 r = = =0.75 μ 40
ρ=
1 0.75 λ = = s ∙ μ 1.33 s s
# debe ser m!nimo 1 para que no se acumulen las piezas indefinidamente.
Podemos in"resar los datos a nuestra plantilla del modelo M/M/s Daciendo a s31 bteniendo un valor esperado de la detenci;n en cola de q32.2& * Tariamos los valores de s para ver en qu= momento q es un cuarto de la inicial a cual debe ser menor a .&,2& Encontramos que con 2 servidores 8a tendremos suficiente para reducir el q a +-12272727% que es muc*o menor que un cuarto del tiempo esperado inicial. Este valor equivale a establecer un cajero m$s con el fin de reducir el tiempo en cola a menos de un cuarto del inicial.
%ata
λ=
%+
µ=
(+ 1
s3
&es!lts
0mean arrival rate) 0mean service rate) 0U servers)
Pr0 5 t) 3 (-&(E4+& V*en t 3 1 Prob0q 5 t) 3 V*en t 3
3
%
q 3
2-2&
3 q 3
+-1 +-+7&
ρ=
+-7&
%-(E4+& 1
n
Pn
+ 1 2 % ( & , 7 1+ 11
+-2& +-17& +-1(+,2& +-1+&(,7& +-+71+1&,% +-+&%2,172 +-+((((,2 +-+%%%7+72 +-+2&+222 +-+1771172 +-+1(+7%7 +-+1+&&7(
+.& +.( +.% Probabilit8 +.2 +.1 +
%ata
λ=
%+
µ=
(+ 2
s3
Pr0 5 t) 3 7-72E41 V*en t 3 1 Prob0q 5 t) 3 %-&E42% V*en t 3 1
&es!lts
0mean arrival rate) 0mean service rate) 0U servers)
+-7272727 3 % +-12272727 q 3 % 3 q 3
+-+2+++ +-++(+++
ρ=
+-%7&
n
Pn
