Año de la Diversificación Diversificación Productiva y del Fortalecimiento Fortalecimiento de la
“
Educación
”
Facultad de Ingeniería Civil
TEMA
:
Solución de ejercicios 11.30-11.44 11.30-11.4 4 del Libro Merle C. Potter (Mecánica de Fluidos, tercera edición)
CURSO
: Hidráulica de Conductos
DOCENTE
:
ALUMNOS
:
Msc. Ing Walter La Madrid Ochoa
Rodríguez Arcela Theylor Pazo Querevalu José Laureano
CICLO
:
2015-2
Noviembre de 2015
EJERCICIO 11.30 La solución del flujo de agua en una red de tubos se muestra en la figura .Calcular: a. La línea piezométrica desde el inicio hasta el fin del del sistema. b. La presión en cada nodo.
Solución A. En el gráfico, en la tubería 1 el caudal será 450 lt/s=0.45m3/s De la ecuación donde es la pérdida de altura a lo largo de una longitud L para un valor de β=2. Sea
̅
la cota de la línea piezométrica en la sección A y
inicial en la cota 100m. De la ecuación de energí energíaa tenemos:
el punto
PARA LA TUBERIA 3 PARA LA TUBERIA 1
̅ ̅
PARA LA TUBERIA 2
B. Calculo de la presión en cada nodo
̅ ̅
PARA LA TUBERIA 5
EJERCICIO 11.30 La solución del flujo de agua en una red de tubos se muestra en la figura .Calcular: a. La línea piezométrica desde el inicio hasta el fin del del sistema. b. La presión en cada nodo.
Solución A. En el gráfico, en la tubería 1 el caudal será 450 lt/s=0.45m3/s De la ecuación donde es la pérdida de altura a lo largo de una longitud L para un valor de β=2. Sea
̅
la cota de la línea piezométrica en la sección A y
inicial en la cota 100m. De la ecuación de energí energíaa tenemos:
el punto
PARA LA TUBERIA 3 PARA LA TUBERIA 1
̅ ̅
PARA LA TUBERIA 2
B. Calculo de la presión en cada nodo
̅ ̅
PARA LA TUBERIA 5
PROBLEMA 11.31 Para el sistema mostrado determine la distribución de flujo de agua y la línea piezométrica J. Los datos del sistema se dan en la tabla.
Depósito A B C
Elevación (ft) 650 575 180
Línea
L(ft)
D(in)
f
1 2 3 4 5
800 600 650 425 1000
8 3 3 3 4
0.015 0.020 0.020 0.025 0.015
0 2 2 3 4
Solución
Trabajamos con las direcciones de caudal dadas por el problema. Aplicando la ecuación de energía.
̅̅ ̅ ̅ ̅
Del balance de caudales (ecuación de continuidad)
Luego tenemos:
̅ ̅
También:
̅
̅̅ ̅̅
Finalmente reemplazando en la ecuación de continuidad:
̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ , usando también la ecuación de longitud equivalente
Calculamos el valor de
∑ ̅
Calculamos los valores usando Excel:
Elevación Depósito A B C
(ft) 650 575 180
Línea
L(ft)
D(in)
f
1 2 3 4 5
800 600 650 425 1000
8 3 3 3 4
0,015 0,020 0,020 0,025 0,015
∑ ̅ 0 2 2 3 4
0,000 25,000 25,000 30,000 88,889
2,29 322,21 347,99 293,21 99,91
Luego reemplazamos valores en α:
√ √ √
Resolveremos la ecuación usando el método de Newton Raphson, tomando como valor inicial 612.5 que está dentro del dominio de la siguiente función.
√ √ √ √
Derivando la función
Calculando los valores en Excel
612,5
0,93933267
-0,0700918
-13,4014628
625,901463
-0,06537204
-0,08146653
0,8024405
625,099022
-0,00040401
-0,08046891
0,00502066
625,094002
-1,5233E-08
-0,08046284
1,8932E-07
625,094001
0
-0,08046284
0
625,094001
0
-0,08046284
0
Luego el valor de
̅
̅
̅̅
̅̅
̅
PROBLEMA 11.32 A través del sistema de tuberías mostrado fluye agua. Determine la distribución mediante el método de Hardy Cross.
Solución: Asumimos un sentido para el cálculo:
De la ecuación:
∑|∑|
Para n=2
Para un sentido horario la pérdida de carga es positiva.
Asumiendo caudales
) ( ( ) y
Iterando: Primera iteración
Y
Segunda iteración
Y
Tercera iteración
Termina el cálculo
Y
PROBLEMA 11.33 Determine la distribución de flujo para el siguiente sistema
Tubo 1 2 3 4 5
L(m) 500 600 50 200 200
D(mm) 300 250 150 250 300
e(mm) 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15
Solución: Usando el Software EPANET VERSION 2.0
Usar el símbolo de forma de embalse para dibujar los reservorios. Usar el círculo para dibujar los nudos. Usar el símbolo del segmento para dibujar las tuberías
∑ 0 0 10 2 2
Click en proyecto y buscar la opción “opciones de cálculo “
Al hacer doble click sobre un embalse escribiremos solo la elevación en la opción “altura total”.
Al hacer doble click sobre un nodo escribiremos en la opción “cota “la elevación y si
hubiera una descarga se escribiría en la opción “Demanda Base”
Doble click en una tubería. Usaremos las opciones LONGITUD (L), DIAMETRO (D), RUGOSIDAD (e) Y COEFICIENTES DE PÉRDIDAS (k)
Click en el rayo, para calcular el sistema.
Click en informe y luego en tablas. Aquí nos pedirá si queremos los resultados en los nodos o en las tuberías.
Es posible copiar estos resultados “señalándo
los y copiarlos con el icono al costado de la “X” y
pegarlos en Excel
Resultados Tabla de Red - Líneas
ID Línea Tubería 1 Tubería 2 Tubería 3 Tubería 4 Tubería 5
Longitud m 500 600 50 200 200
Diámetro mm 300 250 150 250 300
Rugosidad mm 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15
Caudal LPS 137.07 -62.07 36.50 100.58 -25.58
Velocidad m/s 1.94 1.26 2.07 2.05 0.36
Pérd. Unit. m/km 11.28 6.14 73.49 17.86 0.52
Tabla de Red - Nudos Altura m 9.36 5.68 5.79
Presión m 5.36 4.68 5.79
Embalse 1
No 15 Disponible -137.07
15.00
0.00
Embalse 2
No 2 Disponible 62.07
2.00
0.00
ID Nudo Conexión 3 Conexión 4 Conexión 5
Cota m
Demanda Base Demanda LPS LPS 4 0 0.00 1 0 0.00 0 75 75.00
Factor de Fricción
Estado
0.018 0.019 0.051 0.021 0.023
Abierto Abierto Abierto Abierto Abierto
PROBLEMA 11.34 A través de los tubos en serie se bombea agua a 20ºC como se muestra en la figura. La potencia suministrada a la bomba es de 1920 kW y su eficiencia es de 0.82. Calcular la potencia suministrada a la bomba usando el método de Hardy Cross, usar la ecuación
[]
.
Tubo
L (m)
D (mm)
e (mm)
1 2 3
200 300 120
1500 1000 1200
1 1 1
Aplicando las formulas y resolviendo en Excel tenemos:
̅ ∑
2 0 10
0,018
168,3
0,071
0,020
0,0
0,486
0,019
638,9
0,473
Para la bomba:
, Como el caudal no es conocido
Reemplazando valores
̅
] [
(m)
Aplicando Hardy Cross
∑|∑|
Primera iteración:
Segunda iteración:
Tercera iteración
Finalmente el caudal será
PROBLEMA 11.35 Determine la descarga en el sistema de tuberías mostrado 1. Con solución exacta. 2. Usando Hardy Cross El líquido transportado es agua y las pérdidas son proporcionales al cuadrado de la velocidad, la curva característica de la bomba es de , donde está en metros y está en
⁄
.
Solución: 1. Aplicando la ecuación de energía
̅ ̅
2. Usando el método de Hardy Cross
Y como los caudales son iguales
̅ ̅ ̅̅
ITERACION 1 2 3 4
CAUDAL(Q) 0.20 0.1306 0.1122 0.1107
-0.0694 -0.0184 -0.00152 -0.0
Luego el caudal será: /seg
PROBLEMA 11.36 El sistema suministra agua a dos aspersores (C y E) y a un deposito (F). El agua es suministrada por el depósito (A) situado a más altura que (F). Los aspersores se representan hidráulicamente con orificios de valores K. relativamente altos. Determine la distribución de flujo mediante el método de Hardy Cross.
Tubo
L (m)
D (mm)
e (mm)
1 2 3 4 5
200 150 500 35 120
100 50 100 50 100
0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
2 30 0 35 2
Solución mediante el programa EPANET V2.0
RESULTADOS: Tabla de Red - Líneas
ID Línea
Longitud
Diámetro Rugosidad Caudal
Pérd. Velocidad Unit.
m
mm
LPS
m/s
m/km
mm
Factor de Fricción Estado
Tubería 1
200
100 0.1
9.28
1.18
16.40
0.023
Abierto
Tubería 2
150
50 0.1
1.58
0.81
24.80
0.037
Abierto
Tubería 3
500
100 0.1
7.70
0.98
10.98
0.022
Abierto
Tubería 4
35
50 0.1
-0.55
0.28
6.55
0.082
Abierto
Tubería 5
120
100 0.1
7.15
0.91
10.24
0.024
Abierto
Tabla de Red - Nudos Cota ID Nudo m Conexión 5 121.5 Conexión 6 115.5 Embalse 1 125 Embalse 2 118 Embalse 3 116 Embalse 4 115
Altura m 121.72 116.23 125.00 118.00 116.00 115.00
Presión m 0.22 0.73 0.00 0.00 0.00 0.00
PROBLEMA 11.37 Resolver el problema anterior usando una bomba de 10 KW al inicio. Solución:
Tabla de Red - Líneas
ID Línea Tubería 2 Tubería 3 Tubería 4 Tubería 5 Tubería 1 Bomba 6
Longitud m 150 500 35 120 200 No Disponible
Factor de Fricción
Diámetro mm 50 100 50 100 100
Rugosidad mm 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
Caudal LPS 4.79 18.34 -2.57 15.78 23.13
Velocidad m/s 2.44 2.34 1.31 2.01 2.94
Pérd. Unit. m/km 212.39 58.43 132.65 47.02 96.25
0.035 0.021 0.076 0.023 0.022
No Disponible
No Disponible
23.13
0.00
-44.11
0.000
Tabla de Red - Nudos Cota ID Nudo m Conexión 5 121.5 Conexión 6 115.5 Conexión 7 170 Embalse 1 125 Embalse 2 118 Embalse 3 116 Embalse 4 115
Demanda LPS 0.00 0.00 0.00 -23.13 4.79 2.57 15.78
Altura m 149.86 120.64 169.11 125.00 118.00 116.00 115.00
Presión m 28.36 5.14 -0.89 0.00 0.00 0.00 0.00
PROBLEMA 11.38 En la figura P11.38 se muestra un sistema condensador de agua de enfriamiento de una planta termoeléctrica. Desde un deposito A se bombea agua a través de una tubería de diámetro grande [1], que pasa a través del condensador [2], y se descarga a través de otra tubería de diámetro grande [3] en el estanque receptor, lugar B. El condensador se compone de un gran número de tubos elevados de diámetro pequeño colocados en paralelo; en ambos extremos del condensador se localiza una gran caja llena de agua llamada cabezal, C Y C´. se conocen las elevaciones en A y B de la superficie de agua, lo mismo que las longitudes y los diámetros de los tubos 1 y 3. E l condensador tiene N tubos idénticos, cada uno con el mismo diámetro conocido D 2 y de longitud L2. El factor de fricción de todos los tubos es el mismo valor constante, y la curva de la bomba se representa de manera aproximada mediante la relación HP=
a0 + a1Q + a2Q + a3Q.
Se supone que las perdidas menores son insignificantes. (a) deduzca un coeficiente de resistencia de tubo único R2 para los tubos del condensador. (b) escriba la ecuación de energía para todo el sistema, utilizando las variables dadas requeridas y expresando la resistencia al flujo en función de los coeficientes de resistencia de los tubos 1 y 3, y el coeficiente de resistencia equivalente del tubo 2. (c) elabore un algoritmo de Hardy Cross para determinar la descarga a través del sistema. (d) Si Za=2m, Zb=0m, L1=100m, D1=2m, L2=15m, D2= 15m, D2= 0.025m, N=1000, L3=200m, D3=2m y f= 0.02, calcule la descarga y la línea piezométrica. Los coeficientes de la curva de la bomba son a0=30.4, a1 =-31.8, a2=18.6 y a3 =-4.0, donde Q está en metros cúbicos por segundo. (e) Si la parte superior del condensador se encuentra a una altura de 6m ¿cuáles son las presiones de la parte superior de los cabezales corriente arriba y corriente abajo?
SOLUCION: a.
Siendo R2
ser el coeficiente de resistencia para un solo tubo en el condensador.
después
, la solución para W; tenemos:
Por lo tanto:
b. , Hp y Q son las incógnitas. c. d.
e.
PROBLEMA 11.39 Determine la distribución de flujo en el sistema ramal o ¨en forma de árbol¨ mostrado en la figura. El líquido que fluye es agua. Peso específico=62.5 lb/ft3. El origen del flujo es una gran tubería (lugar A) mantenida a una presión constante de 60psi. Cada rama está localizada sonde se conoce la línea piezométrica. (Cortesía de D. Wood)
SOLUCION:
IDENTIFICACION DEL ENLACE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
INICIO NODO 1 3 4 5 6 10 9 8 7 7 8 2
FIN NODO 3 4 5 6 10 9 8 7 6 4 3 9
LONGITUD 1500 400 600 800 700 1000 750 450 550 800 800 1450
DIAMETRO 10 10 10 8 8 10 10 10 10 10 10 10
RESULTADO EN NODOS Nodo
demanda
Altura
Presión
3
0
246.28
39.55
4
2
242.23
39.96
5
1
241.55
39.67
6
1
241.71
41.9
7
1
242.26
39.98
8
0
244.65
41.01
9
1
245.4
43.5
10
1
242.35
44.35
1
-3.82
275.4
0
2
-3.18
265.4
0
RESULTADO DE TUBERIAS Identificación de Enlace 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Caudal 3.82 2.69 0.82 -0.18 -0.41 -1.41 0.77 1.9 0.77 0.13 -1.13
velocidad 7.01 4.93 1.51 0.51 1.17 2.58 1.41 3.49 1.41 0.24 2.07
perdida de carga 19.41 10.14 1.13 0.2 0.91 3.05 1 5.32 1 0.04 2.04
estado abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto
PROBLEMA 11.40 El sistema de 12 tubos mostrados en la figura P11.40 representa una región de baja presión que está conectada a un sistema de alta presión mediante reguladores ajustados a 50psi. Determine la presión y la distribución de flujo de agua con las demandas mostradas. Suponga un coeficiente de Hazzen Williams C=120 para todos los tubos (Cortesía de D. Wood).
SOLUCION:
RESULTADO EN NODOS Nodo 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2
demanda 0 2 1 1 1 0 1 1 -3.82 -3.18
RESULTADO DE ENLACES Identificación de Enlace 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.83
altura 246.28 242.23 241.55 241.71 242.26 244.65 245.4 242.35 275.4 265.4
caudal 3.82 2.69 0.82 -0.18 -0.41 -1.41 0.77 1.9 0.77 0.13 -1.13 13.79
presión 39.55 39.96 39.67 41.9 39.98 41.01 43.5 44.35 0 0
velocidad 7.01 4.93 1.51 0.51 1.17 2.58 1.41 3.49 1.41 0.24 2.07 abierto
Presión 19.41 10.14 1.13 0.2 0.91 3.05 1 5.32 1 0.04 2.04
PROBLEMA 11.41 Determine la distribución de flujo en el sistema de suministro de agua tubos mostrado en la figura P11.41.La curva características de la bomba está representada por los siguientes datos
(Cortesía de D. Wood)
SOLUCIÓN:
RESULTADO EN NODOS Nodo 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4
demanda 0 0 60 0 110 110 0 60 60 -516.4 56.12 83.11 -22.83
altura 146.93 61.82 41.24 40.32 31.32 30.78 36.07 31.94 30.77 3 30 34 34
presión 143.93 49.82 26.24 28.32 13.32 15.78 24.07 25.94 18.77 0 0 0 0
RESULTADO DE ENLACES Identificación de Enlace 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 18
caudal 265.67 145.21 35.21 4.72 92.45 135.63 107.62 250.73 120.46 56.12 22.83 516.4 83.11 55.28 56.4
velocidad 2.76 1.51 0.37 0.05 1.31 1.41 1.12 2.61 1.25 1.79 1.29 4.11 1.18 0.57 0
perdida de carga 35.25 9.85 0.71 0.02 9.04 8.68 5.65 27.08 6.97 25.86 33.81 56.74 7.42 1.92 -143.93
estado abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto
PROBLEMA 11.42 La disposición de las demandas de aguas requeridas por un complejo industrial propuesto se muestra en la figura P11.42.Diseñe una red apropiada y determine la potencia útil necesaria de una bomba que satisfaga las demandas. Los criterios de diseño son los siguientes: 1. El depósito a más baja altura suministrada agua al sistema. El depósito más alto suministra agua solo para uso en situaciones de emergencia, tales como fuego, ruptura de líneas, etc. En operación normal. No hay flujo hacia dentro y hacia afuera de él. 2. En operación norma, las presiones en la red pueden oscilar entre 80´y 120´psi. 3. Se tiene colocar dos válvulas de compuerta en cada línea (una en cada extremo).Para aislarla en caso de una ruptura o cuando se requiere mantenimiento. 4. Todas las demandas deben ser satisfechas en el caso de la ruptura de una sola línea compresiones máximas permisibles de 20psi. 5. Los tubos son de hierro colocados con los siguientes diámetro estándar disponibles: 4, 6, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 36, 42 y 48in. Los tubos pueden ser colocados en cualquier lugar dentro de la región.
SOLUCIÓN:
RESULTADO EN NODOS Nodo 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
demanda 0 0 25 50 80 0 50 100 75 100 -480
altura 747.25 743.63 740.98 739.62 739.31 739.39 738.84 738.84 739.97 740.28 500
Presión 107.13 101.23 100.09 90.83 86.36 82.06 81.82 88.32 95.31 91.11 0
RESULTADO DE ENLACES Identificación de Enlace 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
caudal 55.66 -24.34 54.2 4.2 -95.8 -170.8 178.54 130.66 105.66 480 78.54 480
velocidad 0.63 0.28 0.61 0.05 1.09 1.94 2.03 1.48 1.2 3.06 0.89 0
perdida de carga 0.57 0.12 0.55 0 1.57 4.57 4.96 2.78 1.88 7.63 1.08 -247.25
estado abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto abierto
