SOLUCIONARIO Guía Guía Recapitul capit ula aci ción ón Geom Geometría etría an an alítica alíti ca
1 V 7 1 0 3 0 A E G T M N A C L O S
Estimado alumno: Aquí encontrarás las claves de corrección, las habilidades y los procedimientos de resolución asociados a cada pregunta, no obstante, para reforzar tu aprendizaje es fundamental que asistas a la corrección mediada por tu profesor, ya que sólo en esta instancia podrás resolver cualquier duda subyacente.
CLAVES DE CORRECCIÓN Guía Recapitulación Geometría anual Nivel PREGUNTA ALTERNATIVA 1
D
Aplicación
2
C
Aplicación
3
B
Aplicación
4
E
Análisis
5
A
Análisis
6
E
Análisis
7
D
Análisis
8
E
Análisis
9
A
Aplicación
10
B
Aplicación
11
A
Aplicación
12
C
Análisis
13
D
Análisis
14
D
Análisis
15
B
Comprensión
16
D
Aplicación
17
C
Evaluación
18
E
Evaluación
1. La alternativa correcta es D . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Aplicación Ubicando los puntos dados en un plano cartesiano, formamos un romboide como se ve en la figura. y
(2, 5)
(0, 0)
(7, 5)
(5, 0)
x
Cuando las coordenadas de dos puntos difieren sólo en una de sus componentes, la distancia entre ellos es la diferencia positiva entre ellas. Luego: La distancia entre (0, 0) y (5, 0) = la distancia entre (2, 5) y (7, 5) = 5 En caso contrario, se debe aplicar la fórmula d = (0, 0) y (2, 5) y (5, 0) y (7, 5) resulta Luego, el perímetro es 10 + 2
( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 , que para
29 .
29
2. La alternativa correcta es C . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Aplicación Como la recta pasa por el origen, entonces el punto (0, 0) pertenece a la recta, luego x = 0 e y = 0 Reemplazando en la ecuación: 25 • 0 – 1 • 0 – 9 + 5 k = 0 0 – 0 – 9 + 5 k = 0 5k = 9 9 k = 5
3. La alternativa correcta es B . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Aplicación Como el punto (– 6, 6) pertenece a la recta, entonces x = – 6 e y = 6. Reemplazando en la ecuación: x – py + 4 = 0 – 6 – p • 6 + 4 = 0 – 6 p = 2
2 6 1 p = 3 p
=
4. La alternativa correcta es E . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Análisis Despejando la variable y en la ecuación de la recta, tenemos que: y + 5 = 0 y = – 5 Luego, el único grafico que intersecta al eje de las ordenadas en – 5 y además tenga pendiente cero es E.
5. La alternativa correcta es A . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Análisis Analicemos las afirmaciones: I) II) III)
Falsa, la pendiente es indefinida. Verdadera, ya que el ángulo que forma con la horizontal es obtuso. Falsa, la pendiente es cero.
6. La alternativa correcta es E . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Análisis Analicemos las opciones: I) Falsa, ya que reemplazando el punto (1, 0) en la ecuación tenemos: x – y + 1 = 0 1–0+1=0 2=0 Por lo tanto, la recta NO pasa por el punto (1, 0). II) Falsa, ya que la pendiente de la recta es positiva, luego el ángulo es agudo. III) Falsa, ya que la grafica se encuentra en el primer, segundo y tercer cuadrante.
7. La alternativa correcta es D . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Análisis Si la recta intersecta al eje de las ordenadas en (0, – 2), entonces el coeficiente de posición es b = – 2, además si intersecta al eje X en (1, 0), reemplacemos en la ecuación y = ax + b 0 = a – 2 2=a Luego, a = 2 y b = – 2
8. La alternativa correcta es E . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Análisis Analicemos las afirmaciones: I) Verdadera, ya que utilizando la pendiente, tenemos: m
m
y 2 y1 x 2 x1
10 0 10 2 05 5
Luego, y = – 2 x + 10
Evaluemos el punto (7, – 4) en la ecuación encontrada: – 4 = – 14 + 10 – 4 = – 4 II) Verdadera. III) Verdadera.
9. La alternativa correcta es A . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Aplicación Calculando la pendiente: m
m
y 2 y1 x 2 x1
12 0 12 4 0 (3) 3
Como el coeficiente de posición es – 12, la ecuación es: y = – 4 x – 12
10. La alternativa correcta es B . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Aplicación Debemos encontrar la pendiente de la recta, ya que si las pendientes son iguales y los coeficientes de posición distintos, entonces las rectas son paralelas. 6 x + 3 y + 9 = 0 3 y = – 6 x – 9 6 x 9 y = 3 3 y = – 2 x – 3 Luego, la recta que tiene igual pendiente y distinto coeficiente de posición es la recta B.
11. La alternativa correcta es A . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Aplicación Debemos encontrar la pendiente de la recta, ya que para determinar si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes debe ser – 1 2 x – 6 y – 4 = 0 – 6 y = – 2 x + 4 2 x 4 y = 6 6 1 x 2 y = 3 3 1 (pendiente de la recta dada), la recta pedida debe tener m2 = – 3 y ésa 3 es y = – 3 x + 5. Entonces, m1 =
12. La alternativa correcta es C . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Análisis Primero encontremos la pendiente de la recta L1, que pasa por (0, 3) y (4, 0) m
m
y 2 y1 x 2 x1
( x2 , y2) ; ( x1 , y1)
3 0 3 3 04 4 4
4 (debe tener ese valor para que 3 las rectas sean perpendiculares) y además pasa por el punto (1, 0). Ahora encontremos la ecuación que tiene pendiente
y = m · ( x – x1) + y1
4 ( x – 1) + 0 3 4 y = ( x – 1) 3 y =
13. La alternativa correcta es D . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Análisis Debemos encontrar la ecuación de cada recta y luego resolver el sistema de ecuaciones. Primero, encontremos la pendiente de la recta, que pasa por (0, – 4) y (8, 0) m
y 2 y1
( x2 , y2) ; ( x1 , y1)
x 2 x1
40 4 1 8 2 08
m
Luego, encontremos la ecuación que tiene pendiente y =
1 y coeficiente de posición – 4. 2
1 x – 4 2
Segundo, encontremos la pendiente de la recta, que pasa por (0, 1) y ( m
y 2 y1
( x2 , y2) ; ( x1 , y1)
x 2 x1
m
1 , 0) 2
1 0 1 2 1 1 0 2 2
Luego, encontremos la ecuación que tiene pendiente – 2 y coeficiente de posición 1. y = – 2 x + 1 Por ultimo, resolvamos el sistema de ecuaciones: 1 x – 4 2 y = – 2 x + 1 y =
(Igualando ambas ecuaciones)
1 x – 4 = – 2 x + 1 2 x – 8 = – 4 x + 2 5 x = 10 x = 2 Sustituyendo x en la ecuación y = – 2 x + 1 y = – 4 + 1 y = – 3 Luego, el punto de intersección es ( x, y ) = (2, – 3).
14. La alternativa correcta es D . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Análisis Analicemos las rectas: I)
Equidista de los ejes, ya que en la recta y = – x, un punto cualquiera, está a igual distancia de los ejes.
II)
Equidista de los ejes, ya que la recta representa la identidad x = y.
III)
Equidista de los ejes, ya que la recta representa la identidad x = y.
15. La alternativa correcta es B . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Comprensión Al ser un cubo todas las aristas son iguales. Luego, las coordenadas R son (0, 0, 5).
16. La alternativa correcta es D . Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Aplicación Una de las aristas del cubo tiene vértices (4, 2, 10) y (4, 5, 10). Cuando las coordenadas de dos puntos difieren sólo en una de sus componentes, la distancia entre ellos es la diferencia positiva entre ellas, entonces la arista del cubo es 5 – 2 = 3. Luego: Área Cubo = 6 ∙ (arista)2 Área Cubo = 6 ∙ (3)2 Área Cubo = 54
17. La alternativa correcta es C. Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Evaluación (1) El coeficiente de posición de L1 es – 8. Con esta información, no es posible determinar la ecuación de la recta L1, ya que se necesitan dos datos de la recta. (2) El valor de la pendiente de L1 es 0. Con esta información, no es posible determinar la ecuación de la recta L1, ya que se necesitan dos datos de la recta. Con ambas informaciones, es posible determinar la ecuación de la recta L1, ya que conocemos su pendiente y coeficiente de posición. Por lo tanto, la respuesta correcta es Ambas juntas.
18. La alternativa correcta es E. Sub-unidad temática Geometría Analítica Habilidad Evaluación 5 (1) L2 pasa por el punto 1, . Con esta información, no es posible determinar si la 3 recta L2 es perpendicular a la recta cuya ecuación es y = 3 x.
(2) L2 tiene pendiente negativa. Con esta información, no es posible determinar si la recta L2 es perpendicular a la recta cuya ecuación es y = 3 x. Con ambas informaciones, no es posible determinar si la recta L2 es perpendicular a la recta cuya ecuación es y = 3 x, ya que no podemos saber el valor numérico de la pendiente. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
EJERCICIOS OPTATIVOS: 1. R: P (1, 2) 2. R:
k 2
9
