SOAL DAN JAWABAN ALJABAR LINIER KELOMPOK 4 BAGIAN 2
1. Gunakan Teorema Teorema untuk untuk menentu menentukan kan apakah apakah matriks matriks berikut berikut adalah adalah Orthogonal. Orthogonal.
1 0 a. b.
0
1 1
−
2 1
0 1 0 c.
2
2 1 2 1
2 0 1 2 1
1 0 0
1 − 2 0 1 2 d.
1
−
3 1 3 1 3 1
6 2 6 1 6
Penyelesaian: a. r 1 = (1,0) , r 2 = (0,1)
=1, Jadi
= 1.
adalah orthogonal
r 1 = r 2=
=
=1
=1
=0
=0
Jadi
adalah orthogonal
r 1 =
Jadi
=
adalah tidak orthogonal
r 1 =
r 2=
r 3=
r 2. r 3=
Jadi
+
= .
=1
=1
=1
=0+
.
=
=
=
.
r 1 . 3=
=
=
=
r 1 . r 2=
=
=0 =0
=
=0
adalah orthogonal.
2. Perlihatkan Perlihatkan bahwa bahwa kedua kedua matriks matriks berikut berikut adalah adalah matrik matrikss orthogonal orthogonal
a.
b. Penyelesaian: a.
=
=1
=
=1
= = 0. Jadi,
adalah matriks orthogonal
=
b.
=
=
=1
=1
=1
= = 0. = = 0. = = 0.
Jadi
adalah matriks orthogonal.
Tentukan apakah (1,1,1,1), (1,1,1,1), (1,2,3,2), (2,5,6,4), (2,6,8,5) membentuk basis dari
. Jika tidak, tentukan
dimensi dari subruang yang direntang oleh vektor-vektor tersebut. Susunlah matrik tang baris-barisnya adalah vektor-vektor yang diketahui tersebut, dan reduksi barislah menjadi bentuk ekselon:
Matriks eselon tersebut memiliki baris nol. Sehingga keempat vektor tersebut tak bebas linear dan membentuk basis basis dari
. Jadi Jadi vektor-vektor di atas atas bukan basis. basis. Karena matriks matriks eselon memiliki
tiga baris bukan nol, keempat vektor tersebut merentang suatu sub ruang berdimensi 3. Jadi
dimensinya adalah 3.
Diketahui basis Tentukan
dan
dimana
yang merupakan matriks transisi dari ke
Gunakan hasil dari 1). untuk menghitung Hitunglah
jika
secara langsung!
Tentukan yang merupakan matriks transisi dari Pemecahan:
ke
a. Vektor koordinat
Vektor koordinat
diperoleh dari penyelesaian SPL:
diperoleh dari penyelesaian SPL:
Terlihat bahwa kedua SPL yang terjadi mempunyai koefisien yang sama, sehingga dapat diselesaikan bersama dengan melakukan OBE sebagai berikut:
Jadi,
Sehingga
b. Dengan cara yang serupa seperti seperti di atas atas dipero diperoleh: leh:
sehingga
c. Menghitung Menghitung
secara secara langsung langsung diperoleh diperoleh dari penyelesaian penyelesaian SPL:
Dengan melakukan OBE pada matriks lengkap diperoleh Jadi
dan
d. Matr Matrik ikss trans transis isii dari dari
ke
Dengan cara yang sama dengan 1). diperoleh
Dari contoh di atas, jika kita mengalikan dan akan diperoleh:
sehingga
Buktikan: Jika
adalah vektor-vektor di ruang perkalian dalam, maka
(Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Bukti: Jika
maka
jelas teorema berlaku
Jika Misalkan sembarang bilangan real. Oleh aksioma positivitas, perkalian dalam dari sembarang vektor dengan dirinya sendiri selalu non-negatif. Karena itu
Ketaksamaan berlaku untuk setiap bilangan real
, artinya fungsi
adalah fungsi
tak negatif sehingga persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau mempunyai dua akar real yang sama. Maka diskriminannya haruslah
Terbukti.
