1. Dikethaui kubus ABCD kubus ABCD. EFGH . EFGH , dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H titik H dan dan garis AC garis AC adalah …. A.
8 3 cm
B.
8
2
cm
C.
4 6 cm
D.
4 3
E.
4
2
cm
cm H
Solusi:
Menurut Pythagoras: Pythagoras: Dalam ABD siku-siku ABD siku-siku di A di A.. BD
AB
1
DT
2
2
BD
AD
1 2
2
8
8
2
2
E
8
2
8
2
F
cm
4 2 cm
D
C
Dalam HDT siku-siku di D di D.. HT
DT
2
HD
T
4 2
2
2
G
8
2
Jadi, jarak titik H titik H dan dan garis AC garis AC adalah
4 6
A
cm
4 6 cm.
B
8 cm
(Kunci jawaban: jawaban: C) C)
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH ABCD.EFGH , dengan panjang rusuk 6 cm. Jika titik diagonal bidang ABCD bidang ABCD,, jarak B jarak B ke QF adalah … A. B.
3
2
2 3
7
2
C.
3 6
cm
D.
3
cm
cm cm
2
cm H
Menurut Pythagoras: Pythagoras: Dalam ABD siku-siku ABD siku-siku di A di A.. AB
2
AD
2
6
2
F
6 cm
6
2
6
2
P
D
cm
Dalam DBH siku-siku di D di D.. BH BP
G
E
Solusi:
BD
2 3
E.
BD
1 3
2
DH
BH
6
2
A
6 3 cm
B
H
1 3
6 2
C
Q 2
2
Q adalah titik potong
6 3
F
2 3 cm
Jadi, jarak B jarak B ke QF adalah adalah (Kunci jawaban: E)
2 3 cm.
P D
B
Q 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH ABCD.EFGH , dengan panjang rusuk panjang AT panjang AT = = 1 cm. Jarak A Jarak A ke ke BT BT adalah .… A. B.
1 2
cm
1
3
3
C. cm
1
3 cm
2
E.
3 cm 2
dan titik T pada AD AD dengan
3 cm
3
H
D. 1 cm E
Solusi:
G F
Menurut Pythagoras dalam BAT siku-siku siku-siku di A di A.. BT
AB
2
AT
2
3
2
1
1
2
2
2
1
2 cm
cm
Luas BAT AB AT BT AP AP
AB AT BT
3
1
2
1
Jadi, jarak A jarak A ke ke BT BT adalah
A 3
2
1 2
D T P
3 cm.
(Kunci jawaban: C)
C B
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH , dengan panjang rusuk 12 cm. K adalah titik tengah rusuk AB. Jarak titik K ke garis HC adalah … A.
4 6 cm
B.
6 3
cm
C.
5 6
cm
D.
9
cm
2
E.
6 5
H
Solusi:
1
AK BK
1
AB
2
2
6 cm.
12
cm G
E
F L
Menurut Dalil Pythagoras: KD
KC
2
AK
36 144
KD
KH
HC 2
KL
2
KC
6 5
2
2
2
CL
2
KL
3
2
162
D
12 cm
12
2
12
2
cm
2 2
2
2
CL CL
2
6 5 3 2 2
2
12
cm
2
CL
B
2
12 2 CL 12 2 2 12 2
KH
K
18 cm.
12
C
cm
2
2
2
KC
2
6 5
6 5
324
324 288 24CL
KL
2
18
CL
24
12
A
DH
144
CL
2
2
DH
2
180
2
2
CD
180
180 144
6
6 5 cm
KD
2
AD
M
2
180
18
162
9 2 cm.
Jadi, jarak titik K ke garis HC adalah
9
2
cm.
(Kunci jawaban: D)
5. Diketahui prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 3 2 cm dan AE = 4 cm. Jika P titik pusat bidang alas ABCD, maka jarak antara titik C dengan PG adalah …. A.
20
B. 4
3
C.
15
D. 3
4
E.
12 5
Solusi:
Menurut Pythagoras: Dalam ABC siku-siku di B. AC
PC
AB
1 2
2
2
BC
AC
1 2
H
3 2 3 2 2
2
6 cm
E
PG
PC
4
CG
2
3
2
4
1
1
2
2
Luas PCG PC CG QC
PC CG PG
F
6 3 cm
Dalam PCG siku-siku di C . 2
G
3
5
4
5
C P
5 cm
A
QC PG
12
2
D
cm
Jadi, jarak antara titik C dengan PG adalah
12 5
cm. (Kunci jawaban: E)
B
6. Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah 8 cm jarak titik G dan P adalah.... 4
A. B.
6 cm
3
4 8 8
C.
G
cm
2
3
H
E
cm
D.
4 3 cm
E.
4 6 cm
F D
C
Solusi:
AC =
8
1
CP =
P cm
2
AC =
A
4
2
2
B
cm
Menurut Pythagoras dalam GCP siku-siku di C . GP
CG
2
CP
2
82
(4 2 ) 2
64 32
96
4 6
cm. (Kunci jawaban: E)
7. Perhatikan gambar kubus ABCD. EFGH . Jarak titik A ke garis CE adalah.… A.
4 6
B.
4 3
C.
3 3
D.
2 6
E.
6
H E
G F
D
C
6 cm B A Menurut Pythagoras dalam ABC siku-siku di B.
Solusi:
AC
AB
2
2
BC
1
Luas CAE =
2
6
2
AC AE
6
1 2
2
6
2
H
G
cm E
CE AA'
F
A
AC AE CE AA'
66 2 AA'
6
6 3 AA'
2
2
6
3
D
C
cm A
6 cm
B
Jadi, jarak titik A ke garis CE adalah 2 6 cm. (Kunci jawaban: D) 8. Limas ABCD pada gambar berikut merupakan limas segitiga beraturan. Jarak titik A ke DE adalah …. A A. 3 2 B. 2 C. 6
6
D. 4 E. 8
3
D
Solusi:
B
Menurut Pythagoras: Pandanglah CED siku-siku di E . DE
CD
2
2
CE
12
2
6
2
E
12
A
C 6 3
Karena T adalah titik berat BCD sama sisi, maka DT
2 3
DE
2 3
6 3
4 3
Pandanglah DTA siku-siku di T .
B
D F 12
T
E C
AT
AD
2
DT
6 2 4 3 2
2
2
2 6
Jadi, jarak titik A ke DE adalah 2 6 . (Kunci jawaban: B) 9. Kubus ABCD.FGH memiliki panjang rusuk 60 cm. Jarak A ke diagonal HB adalah…. A B.
30 6 cm 20 6
C. 15
cm
D.
6 cm
12 6
E.
10 6
cm
cm H
Solusi:
G
Menurut Pythagoras: E
Dalam ADH siku-siku di D. AH
AD
2
DH
2
60
2
60
2
60
2
F
cm
Dalam BAH siku-siku di A. BH
AB
2
AH
Luas BAH AP
1 2
AB AH BH
2
60
2
AB AH
60 60 2
60 2
2
1 2
60 3
BH AP
20 6
60 3
Jadi, Jarak A ke diagonal HB adalah 10.
P
D
cm A
C 60 cm
B
cm
20 6
cm.
(Kunci jawaban: B)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Titik P terletak di tengah garis AE. Tentukan jarak titik P ke B dan titik P ke C.
Penyelesaian:
Kita gambar dulu bentuk kubusnya, maka akan tampak seperti gambar di bawah ini:
Perhatikan segitiga siku-siku ABP pada sisi ABFE, panjang AP = ½ AE = 6 cm, maka: PB2 = AB2 + AP2 PB2 = 122 + 62 PB2 = 144 + 36 PB2 = 180 PB = √180 PB = 6√5 cm Jadi, jarak titik P ke B adalah 6√5 cm
Perhatikan segitiga siku-siku ACP, panjang AC merupakan diagonal sisi kubus yakni: d = s√2 d = 12√2 cm dengan menggunakan teorema Pythagoras maka panjang PC yakni: PC2 = AC2 + AP2 PC2 = (12√2)2 + 62 PC2 = 288 + 36 PC2 = 324 PC = √324 PC = 18 cm Jadi, jarak titik P ke C adalah 18 cm
11. Kubus dengan panjang sisi 12 cm. Tentukan a) panjang diagonal bidang sisi kubus b) panjang diagonal ruang Pembahasan
AF adalah salah satu contoh diagonal bidang pada kubus, sementara BH adalah salah satu contoh diagonal ruang pada kubus.
Panjang diagonal bidang dan diagonal dari kubus dengan panjang sisi = a masingmasing adalah
Sehingga a) panjang diagonal bidang = 12√2 cm b) panjang diagonal ruang = 12√3 cm
12. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 12 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal bidang ABCD. Tentukan jarak titik P ke titik G Pembahasan
Gambar sebagai berikut
AC panjangnya 12√2, sementara PC adalah setengah dari AC. Sehingga PC = 6√2 cm. CG = 12 cm.
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah... A. √5 B. 2√5 C. 3√5 D. 2√6
E. 3√6 (UN 2003) Pembahasan
Misalkan jaraknya adalah BP, dimana BP dengan AG harus tegak lurus.
Ambil segitiga ABG sebagai acuan perhitungan. Jika AB dijadikan alas segitiga, maka BG menjadi tingginya. Jika AG yang dijadikan alas, maka tinggi segitiganya adalah BP, dimana BP itulah yang hendak dicari.
alas1 x tinggi1 = alas2 x tinggi2
14. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, titik P adalah tepat ditengah CG, tentukan jarak titik C ke garis AP! Pembahasan
Posisi titik C dan garis AP pada kubus sebagai berikut:
Cari panjang AP terlebih dahulu,
dilanjutkan menentukan jarak C ke AP,
Soal No. 15
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik G ke diagonal BE adalah…. A. 3√6 cm B. 6√6 cm C. 9√6 cm D. 3√10 cm E. 9√10 cm Pembahasan
Sketsa kubusnya dulu, beri nama titik-titik sudutnya. Diberi tanda titik dan garis yang hendak dicari jaraknya.
Tambahkan 2 garis lagi, hingga muncul segitiga BGE.
Pada segitiga BGE, EB sama panjangnya dengan BG, sama juga dengan GE yaitu 6√2 (dapatnya dari rumus langsung diagonal sisi). Karena sama sisi, maka garis x tegak lurusnya akan di tengah-tengah garis EB. Terapkan pythagoras untuk segitiga BGJ untuk mendapat panjang x:
Metode kedua, bisa juga dengan penggunaan setengah luas segitiga, seperti beberapa soal terdahulu. Namun di sini perlu digunakan rumus luas segitiga yang ada sinusnya, karena diketahui dua sisi dan sudut diantaranya, tengok catatan j ika lupa. Misal perlu sudutnya, ∠E = ∠B = ∠ G = 60°karena sama sisi:
Soal No. 16
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 cm dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT =.....(UN Matematika IPA 2014) A. 1/14 √14 cm B. 2/3 √14 cm C. 3/4 √14 cm D. 4/3 √14 cm E. 3/2 √14 cm Pembahasan
Sketsa soalnya seperti berikut ini
Dengan pythagoras dapat ditentukan panjang AC,
dan juga tinggi limas TP
Akhirnya dari segitiga ACT diperoleh nilai x
Jawaban: D. 4/3 √14 cm
