Soal-Soal Ilmu Penyakit Kulit & KelaminDeskripsi lengkap
1. Tent Tentuk ukan an z seh sehin ingg ggaa a. e z = 1 + i 3 b. e 2 z −1 = 1 Penyelesaian : a. e z = 1 + i 3 =
=
(
2
1 + 2
2.e
i(
i 12 3
π
3
+
b. e 2 z −1 = 1 e 2 z 1 = e i ( 2π k ) 2 z − 1 = i 2π k
)
−
2π k )
z = ln 2 + ln e
2 z = 1 + i 2π k
π + 2π k 3
z =
i
1 2
+ iπ k
π + 2π k 3
z = ln 2 + i
k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,. . . 2. Tentukan Tentukan semu semuaa akar akar dari dari persam persamaan aan cos cos z = 2 Penyelesaian : e y + e − y = 4 cos( x + iy ) = 2 cos x. cos iy − sin x. sin iy = 2 1 U + =4 cos x. cosh y − i sin x. sinh y = 2 U cos x. cosh y = 2 U 2 − 4U + 1 = 0 sin x. sinh y = 0
= 2 ± 3 = e y y = ± ln ( 2 + 3 ) U 12
cos x = 1 → x = 2π k cosh y
=2→
e y
+ e − y 2
=2
3. Tentukan semua akar persamaan sinh z = 1 ! 4. Bukti uktika kan n bahw bahwaa z 1 + z 2 = z 1 + z 2 Bukti : z 1 + z 2
5.
= x1 + iy1 + x2 + iy2 = x1 + x2 + i( y1 + y2 ) = x1 + x2 − i( y1 + y2 ) = x1 − iy1 + x2 − iy2 = z 1 + z 2 Buktikan z 1. z 2 = z 1 . z 2 Bukti : z 1. z 2 = ( x1 + iy1 ).( x2 + iy2 )
( z 1 + z 2 ). z 1 + z 2 = ( z 1 − z 2 ). z 1 − z 2 + ( z 1 + z 2 ). z 1 + z 2 = ( z 1 − z 2 ).( z 1 − z 2 ) + ( z 1 + z 2 ).( z 1 + z 2 )
)
2
= z 1 z 1 − z 2 . z 1 − z 1 z 2 + z 2 z 2 + z 1 z 1 + z 2 . z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 2 = 2 z 1 z 1 + 2 z 2 z 2 = 2 z 1 2 +2 z 2 2 7. Rubah Rubahlah lah ke ke bentu bentuk k ekspo eksponen nensia siall
8. Gambark Gambarkan an daerah daerah dibidang dibidang komple kompleks ks yang dirumu dirumuska skan n oleh z 2
− z < 1
Penyelesaian : 2 Perhitungan → z
(
−
z < 1
)
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
9. Gambark Gambarkan an daer daerah ah dibida dibidang ng kompl kompleks eks untuk untuk 1 < z + 2i Penyelesaian : z + 2i > 1 x + i (2 + y )
z + 2i
<4 x + i (2 + y ) < 4
>1
+ ( 2 + y ) 2 < 4 2 x 2 + ( 2 + y ) < 4 2 x 2
+ ( 2 + y ) > 1 2 2 x + ( 2 + y ) > 1 x
2
2
<4
Lingkaran r >1 Pusat (0,-2)
lingkaran r < 4 pusat (0,-2)
10. Gambarkan daerah dibidang kompleks untuk 3 z − 4
>5
2 11. f ( z ) = y − x + 6ix , dan penggal garis z = 0 sampai z = i dan penggal garis z = i
sampai z = 1 + i, Hitunglah
∫ f ( z )dz C C
Penyelesaian : Dari z Dari z = 0 sampai z sampai z = i z = x + iy ; dz = dx + idy x = 0 maka dx = 0 1
0 ≤ y ≤1 1
∫ ( y − x + 6ix )dz =∫ ydz = ∫ y.idy = 2
C
(bervariasi)
0
1 2
i
0
Dari z Dari z = i sampai z sampai z = 1 + i y = 1 maka dy = 0 ; x bervariasi dari 0 sampai dengan 1 1
∫ ( y − x + 6ix )dz =∫ (1 − x + 6ix )dx = 2
2
C
1 2
+ 2i
0
maka
∫
f ( z )dz = 12 i +
C
1 2
+ 2i = 1 + 5i 2
z + 3 dz dan C adalah setengah lingkaran z = 3eiθ dengan batas-batas C z a. θ beru beruba bah h dari dari 0 sam sampa paii π b. θ berubah berubah dari –π sampai sampai π Penyelesaian :
12. Hitungl Hitunglah ah
iθ
∫
iθ
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
b. dengan dengan cara yang sama sama untuk untuk θ berubah berubah dari –π sampai sampai π
∫ f ( z )dz
13. Hitunglah
C C
a. Jika C adalah setengah lingkaran z = 2eiθ b. Jika C adalah setengah setengah lingkara lingkaran n z = 2e iθ c. Jika C adalah lingkaran z = 2eiθ Jawab : a. − 4 + 2π i b. 4 + 2π i c. 4π i 14. Hitungl Hitunglah ah
∫ f ( z )dz jika f ( z ) C
=
(0 ≤ θ ≤ π ) ; (π ≤ θ ≤ 2π ) (0 ≤ θ ≤ 2π )
z − 2 dan C adalah ½ lingkaran z - 2 = eiθ dengan
batas – batas batas θ berubah berubah dari 0 sampai sampai π Penyelesaian : z − 2 = e iθ ; z = 2 + e iθ dan dz = ie iθ π
∫ f ( z )dz = ∫ ( z − 2) dz =∫ ( 2 + e C
C
iθ
− 2).ie i
θ
d θ
0
π
= i ∫ ei 2
d θ
i
π
θ
0
=
2i
ei 2θ
0
= 12 ( ei 2 − e0 ) = 12 (1 − 1) = 0 π
15. Bila C perbatasan perbatasan bujursangkar denga dengan n titik-titik sudut ±1±i ±1±i Buktikan bahwa
∫ ( 3 z + 2) dz = 0 C
Bukti : Bila f Bila f (z) (z) analitik dan f’ dan f’ kontinyu kontinyu didalam dan pada kontur C kontur C tertutup tertutup sederhana maka
∫ f ( z )dz = 0 C
(Teorema Cauchy Goursat )
f ( z ) = 3 z + 2 = 3 x + 3iy + 2 = 3 x + 2 + i3 y U = 3 x + 2 dan V = 3 y Ux = 3 Vx = 0 syarat analitik (Ux (Ux =Vy dan Vx = -Uy) -Uy) terpenuhi Uy = 0 Vy = 3 f ' ( z ) = Ux + iVx = 3 (kontinyu)
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
_
+ sin z dz 0 C z − z 0 Hitunglah g ( i 2 ) dan g ( π )
g ( z 0 ) =
∫
z
e
( z 0 ≠ 3)
π
Penyelesaian : f ( z ) = e z + sin z f ( i π 2 ) = e
− i π 2
π
+ sin i( 2 ) = ei + i sinh ( 2 ) i g ( i 2 ) = 2π i. f ( z 0 ) = 2π i ( e + i sinh ( 2 ) π π = 2π i i + i sinh = −2π 1 + sinh 2 2 Untuk z 0 = π , titik ini terletak di luar Contour luar Contour . Menurut Teorema Cauchy, π
π
2
π
π
π
2
f ( z )
luar Countur , maka g ( ∫ z − z dz tak analitik di luar Countur C
π
)=0
0
17. Bila C keliling bujursangkar bujursangkar ±3 ± 3i, hitungla h
e − z
∫ z − i C
π
dz !
2
18. Diketah Diketahui ui z
e
= 1 + z +
z 2 2!
+
z 3 3!
+ ... +
z n n!
+ ...
Soal : Temukan deret untuk sin z ! Penyelesaian : sin z =
e iz − e −iz 2i
19. Buktikan bahwa
1 2
z
∞
= 1 + ∑ ( n + 1) ( − 1) n ( z − 1) n n =1
Penyelesaian : (dengan deret Taylor) 20. entukan residu residu fungsi di kutub-kutu kutub-kutubnya bnya untuk f ( z )
=
z + 2 z 2 − z
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Kutub-kutubnya adalah z = 0 dan z = 1 ( z + 2) lim( z − 0 ) = −2 Res[ f(z), f(z), z = 0 ] = z →0 z ( z − 1) z + 2 =3 lim( z − 1) Res[ f(z), f(z), z = 1 ] = z →1 z ( z − 1) 21. Tentukan Tentukan residu fungsi fungsi di kutub-kutubnya kutub-kutubnya f ( z ) =
z − sin z z 4
Penyelesaian : Res [ f(z), f(z), z = 0 ] = lim( z − 0 )
z − sin z
z → 0
= z lim →0
1 − cos z 2
3 z
4
z
= z lim →0
z − sin z = z lim 3 →0 z
sin z 6 z
= z lim →0
cos z 6
1 − e z
22. Tentukan residu fungsi di kutub-kutubnya f ( z )
=
23. Tentukan residu fungsi di kutub-kutubnya f ( z )
=
24. Tentukan residu fungsi di kutub-kutubnya f ( z )
= cos2 z
( z − 3) 2 z
+1 ∫ C ( z − 1) 2 ( z − 3) dz C adalah lingkaran z = 2 ctgh2 ctgh2 zdz C : z = 3 hitunglah ∫ C C