SlideDoc.es-ejercicio 3 Josezafra.docx

3. Usan Usando do como guía los ejemplos ejemplos 4.9 de las páginas páginas 83 del libro libro guía guía (Ambar (Ambardar dar,, Tema a estud estudiar: iar: espue espuesta sta al impuls impulso o en sistema sistemas s anal!gi anal!gicos cos"" # la tabla tabla 4.$ %ue caracte caracteri& ri&a a los tipos tipos de salida salida de los sistema sistemas s 'T anal!g anal!gicos icos,, determine determine la respuesta respuesta al impulso impulso del siguiente siguiente sistema: sistema:

    y´     (t ) + 4   ´  y    ( t ) +20 y     ( t )=  x    ( t ) Resolvemos:

)istema )istema de segundo segundo orden 2

s    

+ 4 s  +  20=0

Usamos Usamos el método de la formula cuadrática cuadrática para las raíces raíces

−b ±   √ √  b b  − 4 ac     x   =   2

2 a  

a   =1 b   = 4 c   =   20

−4 ±   √ √  4 − 4∗1∗20 x   =   2∗1 2

x   =  

−4 ±   √ √−   64

x   =  

−4 ±   √ √−   64

2

2

Tenemos entonces las raíces complejas conjugadas   β± jw                     

x   1  =−2 + 4 i    

x  2  =−2−4 i     *edi *ediant ante e la ecuac ecuacion ion de amba ambard rdar ar reso resol+e l+emos mos −  βt

y     (t )= e  

−2 t

y     (t ) = e  

[k

1

[k

1

cos

(

cos 4 t

( wt ) + k sen   ( wt ) ] 2

)+ k sen   ( 4 t ) ] 2

Conh   ( 0 )=0 y h   (1 ) =1 tenemos  

h   ( 0 )= 0 −2 ( 0 )

h   ( 0 )= y   (  t )=e  

[k

1

( ∗ ) +k sen   ( 4∗0 ) ]=0

cos 4 0

2

h   ( 0 )=     y  (  t )=e −   0 [ k 1 cos ( 0 ) +k 2 sen   ( 0 ) ] =0 h   ( 0 )= y    ( t )=( 1 )∗[ k   1  ∗( 1 ) + k  2  ∗( 0 ) ]=0

k 1= 0  Ecuacion   ¿ 1

'    

h   ( 0 )=1 4t

− sen   ( ¿ ) +k     ( 4 ) cos ( 4 t ) k     ( 4 )¿=1 − t − t '     h   ( 0 )=    y    ( t )=−2 e   [ k     cos ( 4 t ) + k     sen   ( 4 t ) ] + e   ¿ 2

1

2

2

1

2

∗0 [ k cos ( 4∗0 )+ k sen   ( 4∗0 ) ] +e −  ∗ [−4 k sen   ( ¿ ) +4 k 4

'    

− 2∗0

h   ( 0 )=    y    ( t )=−2 e  

−0

h   ( 0 )=    y    ( t )=−2 e   '    

2 0

1

[k

1

2

1

( ) + k sen   ( 0 ) ] + e −  [−4 k sen   ( 0 )+ 4 k

cos 0

0

2

1

2

2

( ) ] =1

cos 0

( ∗ ) ] =1

cos 4 0

h   ( 0 )=    y    ( t )=−2 ( 1 ) [ k 1 (1 )+ k 2 ( 0 ) ]+ ( 1 ) [−4 k 1 ( 0 ) + 4 k 2 ( 1 ) ] =1 '    

h   ( 0 )=    y    ( t )=−2 k 1+ 4 k 2=1 '    

−2 k + 4 k =1  Ecuacion   ¿ 2 1

2

  Loquetenemosque resolverlaecuacion  2      conk    =0 1

−2 ( 0 ) + 4 k =1 2

=1

4 k2

k 2=

1 4

Determinamos la respuesta al impulso del siguiente sistema es −2 t

y    ( t )= e  

[0∗cos ( 4 t )+ 1 sen  ( 4 t )] 4

[

−2 t 1

y     (t )= e  

y    ( t )=

1 4

4

sen   ( 4 t )

]

−2 t

e  

sen  ( 4 t )