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Cálculo de la frecuencia de nuestras notas musicales
Objetivo: entender Objetivo: entender las matemáticas que hay detrás de un sistema con temperamento igual y aprender a calcular la frecuencia de las notas musicales.
La música y las matemáticas han estado siempre íntimamente ligadas. Conocer la evolución de la concepción musical a lo largo de los siglos, hasta alcanzar el sistema
de doce notas contemperamento igual que empleamos en el mundo occidental, es una apasionante aventura, no sólo en sus vertientes musical y matemática, sino también desde las perspectivas cultural , física, técnica y artesanal .
n el artículo de hoy e!plicaremos qué entiende un matemático por sistema igualmente temperado, conocimiento que nos permitirá calcular con "acilidad la frecuencia de cualquier nota de nuestro sistema musical.
# estas alturas del cuento supongo que ya sabrás que nuestro sistema musical tiene doce notas, y no siete. $i no lo tienes claro, echa un vistazo a cualquier imagen de un piano y presta atención a esas teclas negras situadas estratégicamente entre las blancas.
%ambién supongo que sabes que ese patrón de doce notas vuelve a repetirse, encontrando las mismas notas, una octava más agudas a la derecha o más graves a la izquierda. & que la frecuencia de una nota una octava más aguda que otra es exactamente el doble de esta . 'or e(emplo, si tenemos un LA a 440 Hz, el siguiente L# más agudo estará e!actamente a una "recuencia de 880 Hz , mientras que el anterior, más grave, se situará en la mitad, 220 Hz.
sta proporción 2:1 es la nica que necesitamos para proseguir con los cálculos que realizaremos a continuación.
)e dibu(ado un piano especial en el que he indicado la "recuencia de unos cuantas notas L. s un piano peculiar porque me he permitido poner al mismo nivel las teclas blancas y las negras, de modo que resulte más visual lo que pretendo e!plicar. )e empleado lanotación anglosa(ona a la hora de designar las notas porque me resultaba más cómodo en el grá"ico, al ocupar menos espacio.
n vez de ser una visión típica con octavas de !" a !", he marcado las notas L como re"erencia visual, ya que conocemos la "recuencia de una de ellas* la nota LA por encima del !" central tiene una frecuencia exacta de 440 Hz, el sonido de re"erencia recomendado internacionalmente para la a"inación de los instrumentos.
)e denominado a esta nota A4 + L #, aunque quizás puedas pre"erir llamarla $, si eres partidario del sistema franco%&elga. s simplemente una cuestión de elección personal.
Como ya sabemos la relación 2:1 entre octavas, he marcado también las notas ' y (, más agudas, y $, más grave, con sus respectivas "recuencias, inmediatamente calculables multiplicando o dividiendo entre dos.
)e colocado también, más peque-as y en lápiz, el resto de las notas musicales entre $ y #. o lo he hecho en las demás octavas para no emborronar demasiado el grá"ico.
/magina que ese dibu(o representa un e(e de coordenadas en el que se representa la "recuencia de cada nota musical.
0s lineal esa representación1 2bviamente, no. $i te "i(as, la separación entre el $ y el # es de 220 Hz , mientras que entre el # y el ' es del doble, ##0 Hz . #
su vez, entre ' y ( nuevamente el doble, 880 Hz . $in embargo, sobre el papel, hay la misma distancia entre $ y #, que entre # y ' o ' y (.
ste tipo de series en las que no hay linealidad, sinoproporci#n constante, se denominan, en matemáticas, progresiones geom$tricas. 'ara reducirlas al plano lineal recurrimos a los logaritmos. 3racias a ellos podemos representar linealmente magnitudes que varían e!ponencialmente. La imagen de las notas uni"ormemente espaciadas a lo largo de un piano no es más que una visión logarítmica de esta progresión geométrica.
& lo bueno del asunto, y verdadera clave para comprender lo que es un sistema de temperamento igual, es que la "recuencia de cada una de esas 45 subdivisiones que hay entre medias, correspondientes a cada nota musical, también sigue una representación logar%tmica.
6esde el punto de vista matemático, decir que un sistema de doce notas tiene temperamento igual no es otra cosa sino decir que la proporci#n entre una nota cualquiera & la siguiente +un semitono más alta es siempre constante.
)ay un "actor multiplicativo constante. $i somos capaces de descubrir ese nmero mágico estaremos en condiciones de poder calcular la "recuencia de cualquier nota.
Calculemos el número que sostiene a nuestro preciado sistema musical. $i # es ##0 Hz , la siguiente nota, un semitono más alta, L sostenido +o )i &emol , según pre"ieras, tendrá por "recuencia*
# su vez, la "recuencia de la nota siguiente, )* , será*
6espués de +# comienza la siguiente octava con ,' *
& así hasta llegar a ' , una octava más alta, doce semitonos, que #*
#hora bien, la "recuencia de ' ya la conocemos, 880 Hz , doble de ##0 Hz *
con lo que
&a tenemos la raz#n buscada*
'odemos determinar la "recuencia de cualquier nota si conocemos la distancia d en semitonos que la separa de #7*
o es necesario re"erenciar siempre contra #8 nos sirve cualquier "recuencia conocida, siendo d , en este caso, la distancia en semitonos entre la buscada y la conocida*
9ealicemos un e(ercicio práctico. :amos a calcular la "recuencia de -* ' a una quinta /usta por encima de #. $i contamos, la separación en semitonos entre ambas notas es ;, de modo que*
0Cuál es la "recuencia del !" central que se halla nueve semitonos a la izquierda del L #1 s un e(emplo en el que d es una distancia negativa.
%ambién podríamos haber resuelto este problema tomando como re"erencia $ +220 Hz y contando tres semitonos hacia delante*
Como vemos, el resultado es el mismo en ambos casos.
:isitaremos en más ocasiones el lado matemático de la música. 0$abías que algo que damos por obvio como que !o sostenido tiene la misma "recuencia que e &emol , es debido a naturaleza igualmente temperada de nuestro sistema musical1
%e de(o pensándolo<
