Universidad Don Bosco. Facultad de Ingeniería. Escuela de Mecánica. Asignatura: Diseño de elementos y maquinas iclo III!"#$%.
&ema:
'ism(gra)o atedrático:
*resentado +or:
arn,:
Fec-a de entrega: unio de "#
%$ Contents 1.
Sismos.......................................................................................................... 2
2.
Ondas sísmicas.............................................................................................2
3.
Medición de Sismos......................................................................................3
4.
Sismógrafos..................................................................................................5
5.
Tipos de sismógrafos....................................................................................6 5.1.
Sismógrafo mecánico.............................................................................6
5.2.
Sismógrafo electromagntico.................................................................6
5.3.
Sismógrafo de !anda anc"a...................................................................#
6.
$rincipio de matemático...............................................................................#
#.
%c&ación de los sismómetros........................................................................' #.1.
%c&ación de &n pnd&lo (ertical.............................................................'
#.2.
Sensor de (elocidad electromagntica...................................................'
#.2.1. #.3. '.
)morti*ación.................................................................................... +
%c&ación de &n sismógrafo...................................................................1,
-i!rometro..................................................................................................11
1
Sismógrafo 1. Sismos os sismos son s/!itas li!eraciones de la energía 0&e se ac&m&la !ao la corte*a terrestre como consec&encia de las f&ertes tensiones presiones 0&e oc&rren en s& interior. Se maniestan en forma de (i!raciones despla*amientos mo(imientos di(ersos de la s&percie terrestre. as consec&encias de &n sismo p&eden ser desastres de grandes dimensiones especialmente donde no se "an tomado medidas pre(enti(as relacionadas con la resistencia sísmica de las edicaciones.
2. Ondas sísmicas )l prod&cirse &na falla se li!era &na cantidad de energía de!ida a las tensiones entre las placas. %sto prod&ce &na (i!ración en la Tierra por la propagación de las ondas. %n &n sólido p&eden transmitirse dos tipos de ondas de compresión trans(ersales. as Ondas de compresión tam!in llamadas ondas p consisten en la transmisión de compresiones como en el caso de la transmisión del sonido7 las partíc&las del medio se m&e(en en el mismo sentido en 0&e se propaga la onda. Ondas trans(ersales de ci*alla tam!in llamadas ondas s. as partíc&las se m&e(en en dirección perpendic&lar a la dirección de propagación de la onda.
2
Tam!in e8isten otros tipos de ondas tales como las ondas s&perciales & ondas de 9aleig" :en "onor al cientíco 0&e detectó s& e8istencia; 0&e se propagan a lo largo de la s&percie terrestre de la misma manera 0&e &na onda en la s&percie del ag&a. Tam!in están las ondas de o(e 0&e se generan sólo c&ando el medio elástico en el 0&e se propagan se enc&entra estraticado :como es el caso del planeta Tierra;. %stas ondas se propagan con &n mo(imiento de partíc&las perpendic&lar a la dirección de propagación similar a las ondas s sólo 0&e en &n plano "ori*ontal. as ondas de o(e p&eden considerarse como ondas
%n c&anto a la (elocidad de las ondas se "a o!ser(ado e8perimentalmente se p&ede demostrar teóricamente 0&e la (elocidad de las ondas es V R , L < V s < V p >onde V p -elocidad de las ondas p. V s -elocidad de las ondas s. V R , L -elocidades de las ondas de 9aleig" o(e. as (elocidades de las diferentes ondas dependen de las características del medio7 por eemplo en rocas ígneas la (elocidad de las ondas p es del orden de 6 ?m@s mientras 0&e en rocas poco consolidadas es de apro8imadamente 2 ?m@s o menor.
3
3. Medición de Sismos An sismo se p&ede medir seg/n la energía li!erada o el grado de daBo prod&cido. )sí se &tili*an dos medidas conocidas como magnit&d e intensidad de &n sismo. a intensidad de &n sismo Se reere a los efectos o daBos ca&sados en las constr&cciones. Se mide con &na escala llamada %scala Mercalli !asada no sólo en la o!ser(ación de los daBos ca&sados sino tam!in en la sensación de las personas d&rante el sismo. a magnit&d es la cantidad de energía li!erada en el "ipocentro o foco sísmico. Se trata de &na medida a!sol&ta de la energía del tem!lor o terremoto e8presada en mo(imiento o aceleración de las partíc&las del s& elo. %s &na c&anticación o!tenida a tra(s de la amplit&d de las ondas sísmicas &tili*ando instr&mentos llamados sismógrafos. ) diferencia de la intensidad :0&e es &na medida s&!eti(a del sismo; la magnit&d no se !asa en las sensaciones perci!idas por las personas o en los efectos o!ser(a!les so!re las constr&cciones a 0&e los daBos de stas tam!in dependerán de s& calidad. a escala de magnit&d está relacionada entonces con la energía li!erada como ondas sísmicas7 la intensidad en cam!io con los daBos prod&cidos por el sismo. $ara la medición de la magnit&d de & n sismo se &tili*a la llamada escala 9ic"ter 0&e se trata de &na escala logarítmica con (alores entre 1 +. An tem!lor de magnit&d # es die* (eces más f&erte 0&e &no de magnit&d 6 cien (eces más 0&e otro de magnit&d 5 mil (eces más 0&e &no de magnit&d 4 de este modo en casos análogos. %n teoría la escala 9ic"ter no tiene cota má8ima a&n0&e "asta 1+#+ se creía 0&e el sismo más poderoso posi!le tendría magnit&d '5. Sin em!argo los progresos en las tcnicas de medidas sísmicas "an permitido a los sismólogos redenir la escala por lo 0&e "o se considera +5 el límite práctico. Magnit&d escala 9ic"ter Menor 0&e 3.5 3.5D5.4 5.5D6., 6.1D6.+ #.,D#.+ '., o maor
%fectos del terremoto eneralmente no se siente pero es registrado ) men&do se siente pero sólo ca&sa daBos menores Ocasiona daBos ligeros a edicios $&ede ocasionar daBos se(eros en áreas donde (i(e m&c"a gente Terremoto maor ca&sa gra(es daBos ran terremoto destr&cción total a com&nidades cercanas
%l sig&iente diagrama m&estra cómo &tili*ar el mtodo original de 9ic"ter para calc&lar la magnit&d por medio de &n sismograma
4
>esp&s de "a!er medido la amplit&d de onda se de!e calc&lar s& logaritmo escalarlo por &n factor seg/n la distancia 0&e "aa entre el sismógrafo el terremoto. Tam!in se calc&la la diferencia de tiempo entre las ondas p s. Con estos datos se p&ede calc&lar la magnit&d de la sig&iente manera M =log 10 A + 3 ¿ log10 ( 8∗∆ t )− 2.92 >onde A )mplit&d EmmF medida directamente del registro en papel. ∆ t >iferencia de tiempo entre las ondas p s. M %nergía EdinaGcmF
%s importante resaltar la necesidad de denir &n sismo patrón. %ste se dene como el sismo con magnit&d cero 0&e teniendo s& epicentro a 1,, ?m de distancia dea &na tra*a de &na micra en el registro. Ca!e destacar entonces 0&e &na magnit&d cero o negati(a no indica a&sencia de mo(imiento sino sismos ig&ales o menores 0&e el sismo patrón.
4. Sismógrafos An sismógrafo es &n instr&mento &sado para medir mo(imientos de la Tierra cosiste de &n sensor 0&e detecta el mo(imiento de la tierra llamado sismómetro 0&e está conectado a &n sistema de registro. An sismómetro 5
sencillo 0&e es sensi!le a mo(imientos (erticales del terreno p&ede ser (is&ali*ado como &na pesa s&spendida de &n resorte 0&e a s& (e* están s&spendidos so!re &na !ase 0&e se m&e(e con los mo(imientos de la s&percie de la Tierra. %l mo(imiento relati(o entre la masa la !ase proporciona &na medida del mo(imiento (ertical de la tierra. $ara aBadir &n sistema de registro se coloca &n tam!or 0&e gira en la !ase &n marcador s&etado a la masa. %l mo(imiento relati(o entre la pesa la !ase p&ede ser registrado generando &na serie de registros sísmicos al c&al conocemos como sismoDgrama. os sismógrafos operan con &n principio de inercia H o!etos estacionarios como la pesa en la g&ra anterior 0&e se mantienen sin mo(imiento a menos 0&e se les apli0&e &na f&er*a. D Sin em!argo la masa tiende a mantenerse estacionaria mientras la !ase el tam!or se m&e(en. Sismómetros 0&e son &sados en est&dios de terremotos son diseBados para ser s&mamente sensi!les a los mo(imientos de tierra7 por eemplo mo(imientos tan pe0&eBos como 1@1,,,,,,, de centsima :distancias casi tan pe0&eBas como espacios atómicos; p&eden ser detectados en l&gares s&mamente 0&ietos. os sismógrafos modernos de in(estigación son electrónicos en (e* de &tili*ar marcador tam!or el mo(imiento relati(o entre la pesa la !ase generan &n (oltae elctrico 0&e es registrado por &na comp&tadora. Modicando la posición del resorte la pesa la !ase7 los sismógrafos p&eden registrar mo(imientos en todas direcciones com/nmente registran mo(imientos de m&c"as diferentes f&entes nat&rales7 como tam!in a0&ellas ca&sadas por el "om!re7 por eemplo mo(imientos de los ár!oles a ca&sa del (iento olas golpeando las plaas r&idos de a&tos grandes camiones.
5. Tipos de sismógrafos %l principio en 0&e se !asan todos los tipos de sismógrafos es la propiedad física de &n pnd&lo :masa s&spendida de &n "ilo; 0&e al prod&cirse el mo(imiento del s&elo se despla*a con respecto a la masa s&spendida en (irt&d de s& inercia. %stos mo(imientos son registrados en f&nción del tiempo dependen del tipo de mo(imiento al c&al son sensi!les (elocidad despla*amiento o aceleración. Consideramos tres tipos de sismógrafos
6
5.1. Sismógrafo mecánico %s el más simple7 está constit&ido por &n elemento detector del mo(imiento :sismómetro; &n sistema de palancas 0&e amplica dic"o mo(imiento. %l sismómetro (ertical más simple está formado por &na masa :m; s&spendida por &n m&elle de constante elástica :?; con &na amortig&ación (iscosa de constante :C;. C&ando el soporte anclado a la s&percie de la tierra reci!e &na e8citación 8:t; la masa se m&e(e con &n mo(imiento :t; de tal manera 0&e el despla*amiento relati(o de la masa con respecto al soporte es Z ( t )=Y ( t ) + C (t )
5.2. Sismógrafo electromagntico a /nica (ariación de este sismógrafo en relación con el mecánico es 0&e el despla*amiento de la masa prod&ce el mo(imiento relati(o de &na !o!ina en el campo magntico de &n imán. %n este caso la parte mó(il es el imán7 en otros la !o!ina. )l prod&cirse el mo(imiento del s& elo se genera &na corriente elctrica en la !o!ina proporcional a la (elocidad :f; de mo(imiento del s&elo la c&al pasa por &n gal(anómetro D&tili*ado en este caso para amplicar el mo(imientoD. Si se "a "ec"o incidir &n "a* de l&* so!re el espeo &nido al "ilo del gal(anómetro ste s&frirá &na des(iación q 0&e recogida en &n papel fotográco proporciona el mo(imiento del sismómetro. ) n de conocer la resp&esta de todo el sistema de!e considerarse por separado el del sismómetro del gal(anómetro. $ara el seg&ndo de!e tenerse en c&enta además &na n&e(a f&er*a generada por la corriente I en la !o!ina 0&e crea &na f&er*a de reacción c&o momento con respecto al centro de s&spensión es −GI :donde es el I&o de ind&cción;. a corriente generada por la !o!ina pasa por el gal(anómetro mediante &n circ&ito de forma tal 0&e la corriente i 0&e pasa por la !o!ina del gal(anómetro es menor 0&e I . %n res&men se tiene 0&e &n mo(imiento ang&lar del sismómetro prod&cido por &n despla*amiento (ertical x del s&elo genera &na corriente 0&e mediante &n circ&ito pasa a la !o!ina del gal(anómetro prod&ciendo &na des(iación
q .
#
%l prod&cto de am!as c&r(as de amplicación es e0&i(alente al total del sismógrafo electromagntico.
5.3. Sismógrafo de !anda anc"a $or lo general los sismógrafos eran de dos tipos7 registra!an información sísmica en dos diferentes rangos de frec&encia períodos cortos :1 seg&ndo; períodos largos :15D1,, seg&ndos;. %l primero es adec&ado para sismos 0&e oc&rren en el campo cercano los seg&ndos en el campo leano. Sin em!argo desp&s de los aBos J#, se constr&eron instr&mentos 0&e permitían registrar maores rangos de frec&encia 0&e incl&ían los registros de período corto largo7 es decir entre ,.1D1,, seg&ndos. %stos sismógrafos se llaman de !anda anc"a. %ste adelanto en la sismometría se logró gracias a los progresos conseg&idos en el modo de registro :registros magnticos digitales; en el desarrollo del sismómetro de !alance de f&er*as de Kieland Stre?eisen :1+'3;. ) n de registrar esta información digital se "ace &so de con(ertidores analógicoD digital de 12 16 24 !its 0&e permiten c&!rir rangos dinámicos del orden de 14, dL :1@1,,,,,,,;.
6. $rincipio de matemático os sismógrafos se rigen !ao la ec&ación matemática f&ndamental ' '
'
a y + b y + cy =g ( t )
a c&al es &na ec&ación lineal de seg&ndo orden c&a sol&ción radica en conocer los (alores iniciales y ( 0 )= y o y ' ( 0 )= y ' o a 0&e &na (e* teniendo las sol&ciones de s&s (alores iniciales solo es necesario reali*ar di(ersos procesos matemáticos o interpolaciones grácas
'
a b
para encontrar los (alores de las constantes f&nciones
g
y
c &nto con las
para o!tener la sol&ción a n&estro pro!lema físico.
#. %c&ación de los sismómetros #.1. %c&ación de &n pnd&lo (ertical %l pnd&lo (ertical consiste en &na masa M &nido a &n marco ado a la tierra a tra(s de &n sistema de resorte el pistón. Se as&me s& mo(imiento limitado a la dirección 8 se o!ser(ará mo(imiento &:t; de tierra en &n sistema de referencia inercial el mo(imiento de la masa N :t; con respecto al !astidor por lo tanto el s&elo. %l resorte de constante ? act/a so!re la masa &na f&er*a F =k ∗ ξ ( t )− ξo proporcional a s&
[
]
estiramiento. %l pistón eercerá so!re la masa &na f&er*a
F = D ξ ( t ) proporcional a la
(elocidad relati(a entre la masa el s&elo. a ec&ación de mo(imiento es entonces M
[ ξ ( t ) +u (t )] + D dξdt ( t ) + k ∗[ ξ ( t )−ξ ]=0 c .1 d t d
2
o
2
Si (ol(emos a escri!ir 8:t; el despla*amiento respecto a s& posición de e0&ili!rio
ξ ( t )− ξo de la masa con
ξ o la ec&ación anterior se con(ierte en
x´ ( t ) + 2 ! x´ ( t )+ "o x ( t )=−u´ ( t ) c .2 2
>onde " o=
2!
=
√
k M
es la frec&encia nat&ral del pnd&lo
D M
Si introd&cimos al pnd&lo la constante de amortig&amiento " P @ Q,7 " es la mitad de la in(ersa de factor de calidad del oscilador amortig&ado :R Q, @ 2P ;. +
#.2. Sensor de (elocidad electromagntica %l pnd&lo se mide generalmente a tra(s de &n sensor de (elocidad electromagntica 0&e consiste en &na !o!ina a de la masa en mo(imiento en el campo magntico de &n imán ado al !astidor. Se entrega &na tensión de ind&cción proporcional a la (elocidad de la !o!ina. %l circ&ito e0&i(alente es &n generador de tensión % la resistencia interna 9c cargado :en general; por &na resistencia 9s de deri(ación. >onde E es la f&er*a electromotri* del generador e0&i(alente V(t) es la tensión medida en los !ornes de !o!ina :o carga; G sensi!ilidad del sensor en (@mGsD1 tam!in llamada constante electrodinámica la !o!ina
la
de
tendremos 0&e =G x´
V =
Rs Rs = G x´ Rs + Rc Rs + Rc
#.2.1. )morti*ación a !o!ina es atra(esada por &na corriente
I por lo tanto s&eto a &na
f&er*a F de tal manera 0&e aplicamos la le de Liot Sa(art o aplace F =GI I = Rc + Rs %l pnd&lo se somete a &na f&er*a de amortig&ación elctrica se oponen al mo(imiento de la masa 0&e será 2
G F = x´ Rc + Rs
1,
Comparando con la ec&ación correspondiente a &n pistón de amortig&ación :%c.1; se o!tiene &na amortig&ación elctrica ig&al a 2
G != 2 M ( Rc + Rs ) %n el caso general si la amortig&ación mecánica pnd&la no es cero pero es P, tendremos la amortig&ación total sig&iente 2
G ! =! 0 + 2 M ( Rc + Rs ) las constantes de amortig&ación son 2
G #c = Co$sta$t%d% a&otigua&i%$to %(%ctico 2 M ( Rc + Rs ) " o #o Co$sta$t% d% a&otigua&i%$to i$ti$sica &%ca$ica ( cicuito abi%to ) >onde el amortig&amiento total es # =#c + #o
#.3. %c&ación de &n sismógrafo S&pongamos 0&e el despla*amiento de s&elo en el marco de inercia es de u ( t ) = A∗%
)"t
forma m& general
descomposición en serie de o&rier el
despla*amiento se p&ede considerar &na s&perposición de armónicos. %ntonces la %c.2 se p&ede reescri!ir así x´ ( t ) + 2 ! x´ ( t )+ "o x ( t )=" Ai % 2
2
Si se tra!aa de la forma
)"t
x ( t )= *∗ %
)"t
la ec&ación anterior se con(ierte en
−"2 * + 2 !)"* + "2o *=" 2 A >onde la f&nción de resp&esta de la frec&encia en el sismómetro es 2
* " + ( )" ) = = 2 cuacio$ d%( sis&og'a,o A " o−" 2+ ) 2 !"
Si &no está interesado en el sensor de (elocidad electromagntica se so!rescri!e la relación anterior con el n de lle(ar el (oltae a tra(s de la !o!ina de -:t; como &na f&nción de la (elocidad de a(ance 11
V ( t )=
Rs Rs )"t G x´ = G∗ )" *∗% Rs + Rc Rs + Rc
u´ ( t ) = )"A∗%
)"t
>e manera 0&e si ig&alamos la ec&ación del sismógrafo con la ra*ón entre -:t; u´ ( t ) sacamos s&s mód&los o!tenemos
| |
() |+ ( )" )|= ´ = u ( t ) V t
Rs )"t G ∗ ) " *∗ % Rs + Rc )"t
)"A∗%
=
Rs G ∗* Rs + Rc A
G∗ Rs ∗" 2 Rs + Rc
| |
V ( t ) |+ ( )" )|= ´ = 2 2 2 2 2 u ( t ) √ (" o− " ) +4 ! " G∗ Rs ∗" 2 Rs + Rc
| | V ( t )
|+ ( )" )|= ´ = 2 2 2 2 2 2 u ( t ) √ (" o− " ) +4 # "o " $or /ltimo separamos amortig&ación intrínseca la amortig&ación elctrica a&sta!le
|+ ( )" )|=
G ∗ Rs ∗ "2 Rs + Rc
√
[
2
G ( "o−" ) + 4 "o " #o + 2 ( Rs + Rc ) M " o 2
2 2
2
2
]
2
%sta ec&ación da la sensi!ilidad al sismógrafo a la frec&encia
=
" 2 - en
f&nción de s&s in"erentes características mecánicas elctricas la resistencia de carga a&sta!le.
'. -i!rometro a sig&iente g&ra m&estra &n es0&ema de &n (i!rometro c&a !ase está s&eto a al c&erpo 0&e tiene &na (i!ración desconocida )Gsen:t;7 al est&diar el mo(imiento del sistema o!ser(amos 0&e
12
as f&er*as 0&e act/an so!re la masa son la f&er*a del resorte
( )
F 1= k
1 1 + ( x 1− x 2 )=k ( x 1− x 2 ) 2 2
las f&er*as de amortig&amiento
´1− x ´2) F 2 =C ( x S&poniendo 0&e x 1> x 2 &tili*ando . F =&a encontramos 0&e la ec&ación de mo(imiento será
−k ( x1 − x2 ) −C ( x ´1− x´2 )=& x ´ 1 Siendo el mo(imiento relati(o x 1− x 2= x 7 entonces x 1= x + x 2 x ´1 =´ x + x´2 la ec&ación de mo(imiento toma la forma de &
(
2
2 d x d x2
+ 2
d t
2
d t
)
+ C dx + kx =0 dt
2
2
d x 2 dx & 2 + C + kx =−& 2 dt d t d t d x
Conociendo 0&e x 2= A∗s%$ ( "t ) es la (i!ración del c&erpo li!re s&stit&imos o!tenemos la ec&ación diferencial de mo(imiento para (i!raciones for*adas 2
d x dx 2 & 2 + C + kx =−& A " ∗s%$ ( "t ) dt d t Siendo la resp&esta de estado estacionario x p=
F o
√ ( k − &" ) + ( C" ) 2 2
2
∗s%$ ( "t − ϕ ) ϕ =tan−1
(
c" 2 k −&"
)
&ego podemos s&stit&ir las sig&ientes ec&aciones
13
F o =& A " =
2
" $=
2
k &
/ =
c 2 & "$
" "$
O!tenemos x p=
A'
2
√ ( 1 −' ) +( 2 /' )
>onde
2 2
2
∗s%$ ( "t − ϕ )
" $ es la frec&encia nat&ral de la (i!ración recogida mientras 0&e
" es la frec&encia de la (i!ración desconocida. Si
" $ es pe0&eBa la ra*ón
" = " $ será m& grande. M<iplicando la e8presión de
de
2
x p por
2
o!tenemos
√
1
4
2 4 − −2 / +¿ 1∗s%$ ( "t −ϕ )
x p=
A
¿
$&esto 0&e r es grande el denominador es apro8imadamente ig&al a 1 por lo 0&e
x p= A ϕ = tan
−1
(− ) 2 /
1
2
=tan−1
( ) 2 / 1 −1 2
−1
( 0 )=180 0 lo 0&e 0&iere decir 0&e los dos mo(imientos están desfasados 1',U es decir 0&e x p=− A $or lo tanto
ϕ = tan
%l (i!ro metro "ace &so de este principio para medir la amplit&d de &na (i!ración. %l mo(imiento relati(o entre la masa la !ase es registrado por medio de &na pl&ma 0&e comprime &n cilindro rotatorio. >e!ido a la frec&encia nat&ral del (i!rometro se escoge de forma 0&e tenga &n (alor pe0&eBo la amplit&d de (i!ración es ig&al al mo(imiento relati(o registrado con &n desfase de 1',U. ) diferencia del (i!rometro el acelerómetro se &sa para medir la aceleración &sando el mismo principio del (i!rometro pero en l&gar de resortes !landos 14
&sa resortes d&ros con el n de o!tener &na frec&encia nat&ral m& alta como consec&encia la ra*ón de r será m& pe0&eBa deando la e8presión así x p=
A'
2
√ ( 1 −' ) +( 2 /' ) 2 2
2
=
A'
2
√ ( 1 −0 ) + ( 0 ) 2
2
= A '
2
2
" x p= A 2 "$ $ero A"
2
es la amplit&d de la aceleración del c&erpo 0&e (i!ra con
x 2= As%$ ( "t ) . $or lo tanto el mo(imiento relati(o es &na medida d e
aceleración.
15
