Síntesis de Estadística Descriptiva Para Ciencias Sociales - Jesús María Nieto Gil

SÍNTESIS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA LAS CIENCIAS SOCIALES FÓRMULAS, SÍMBOLOS Y OPERACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PASO A PASO Jesús María Nieto Gil Doctor en Pedagogía e Inspector de Educación

INDICE Pág. INTRODUCCIÓN

11

CIENCIAS MÉTODO

12

LOS DISTINTOS SABERES DE LA CIVILIZACIÓN CARACTERÍSTICAS DE LAS CIENCIAS 2. EXPLICATIVAS EL MÉTODO CIENTÍFICO POSITIVO 3.

12

DESARROLLADORES DEL MÉTODO LOS GRADOS DE PERFECCIÓN DE LAS 5. CIENCIAS EXPLICATIVAS LAS CUATRO ETAPAS DEL MÉTODO 6. EXPERIMENTAL PAPEL DE LA ESTADÍSTICA EN EL MÉTODO 7. EXPERIMENTAL

14

CUADRO Nº 2: NATURALEZA DE LA CIENCIA ESTADÍSTICA

19

CUADRO Nº 1: EXPLICATIVAS Y CIENTÍFICO

LAS EL

1.

4.

13 14

15 16 17

1.

ETIMOLOGÍA DE ESTADÍSTICA.

19

2.

DEFINICIÓN

19

3.

CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA.

20

LA ESTADÍSTICA Y LAS CIENCIAS HUMANAS 5. UNA PERSPECTIVA SINÓPTICA DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

22

CUADRO Nº 3: TIPOS DE VARIABLES Y ESCALAS DE MEDIDA

24

4.

1. CARACTERÍSTICAS CARACTERÍSTICAS DE LOS OBJETOS: OBJETOS: CONSTANTES Y VARIABLES 2. LAS CONSTANTES

22

24 24

3. LAS VARIABLES

24

4. TIPOS DE VARIABLES

25

5. VARIABLES CUALITATIVAS

25

6. VARIABLES CUANTITATIVAS CUANTITATIVAS DISCRETAS DISCRETAS Y CONTINUAS 7. LA MEDIDA

26 26 Estadísticos e-Books & Papers

8. RELACIÓN ENTRE VARIABLES Y ESCALAS DE MEDIDA

27

CUADRO Nº 4: VARIABLES CUALITATIVAS Y LA ESCALA NOMINAL

30

DESIGNACIÓN DE LAS MODALIDADES DE CADA ATRIBUTO EXCLUSIVIDAD Y EXHAUSTIVIDAD DE LAS 2. MODALIDADES DE UN ATRIBUTO 3. ¿QUÉ PUEDE HACER LA ESTADÍSTICA CON LOS ATRIBUTOS?

30

1.

30 31

4. P PO OSIBLES OP OPERACIONES AR ARITMÉTICAS

33

5. PROPORCIONES Y PORCENTAJES

33

CUADRO Nº 5: VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS Y ESCALAS ORDINALES

35

1.

VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS

35

2.

ESCALA ORDINAL

37

Pág. 39

CUADRO Nº 6. VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS Y LAS ESCALA DE INTERVALO Y DE RAZÓN VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS Y LA ESCALA DE INTERVALO Y DE RAZÓN. 2. LAS ESCALAS DE RAZÓN 1.

CUADRO Nº 7: CONCEPTOS BÁSICOS EN ESTADÍSTICA CUADRO Nº 8: SÍMBOLOS USADOS EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA LETRAS LATINAS

40

42

44 44

LETRAS GRIEGAS UTILIZADAS ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

EN

LA

CUADRO Nº 9: ALGUNAS PRECISIONES SOBRE EL USO DE LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS DE LAS FÓRMULAS ESTADÍSTICAS 1.

39

INTRODUCCIÓN

46

47

47

CUADRO Nº 10. REPESENTACIONES GRÁFICAS DE LOS DATOS

51

LAS REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LOS DATOS LOS EJES CARTESIANOS 2.

51

CARACTERÍSTICAS DE LOS DATOS QUE PUEDEN REPRESENTARSE CON GRÁFICOS TIPOS DE REPRESENTACIONES GRÁFICAS 4.

51

EL HISTOGRAMA Y EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS CONSTRUCCIÓN DE UN HISTOGRAMA O DE 6. UN

52

1.

3.

5.

7. HISTOGRAMA ACUMULADAS

Y

POLÍGONO

DE

FRECUENCIAS

51

52

53 54

Estadísticos e-Books & Papers

8. SECTORES CIRCULARES PARA PRESENTAR FRECUENCIAS

55

CUADRO Nº 11: TAREAS DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

56

1.

EL TRATAMIENTO DE LOS DATOS

2. RECOGIDA Y ORDENACIÓN DE LOS DATOS 3. TABULACIÓN 4. EJEMPLO DE TABLA PARA MUESTRAS CON MENOS DE 12 SUJETOS 5. EJEMPLO DE TABLA DE FRECUENCIAS PARA MUESTRAS SUPERIORES A DOCE SUJETOS Y CON PUNTUACIONES CUYOS VALORES NO ESTÁN AGRUPADOS EN INTERVALOS.

56 56 57 58

58

6. EJEMPLO DE TABLA DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUYOS VALORES OBTENIBLES ESTÁN AGRUPADOS EN INTERVALOS

59

CUADRO Nº 12: ÍNDICES DESCRIPTIVOS DE UNA SOLA VARIABLE EN UNA MUESTRA

62

1. ÍNDICES DESCRIPTIVOS DE UNA SOLA VARIABLE

62 Pág.

2. TIPOS DE ÍNDICES DESCRIPTIVOS DE UNA SOLA VARIABLE

62

3. INDICES DE TENDENCIA CENTRAL

63

4. INDICES DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN

63

5. LOS INDICES DE ASIMETRÍA Y APUNTAMIENTO

63

6. TABLA RESUMEN

64

CUADRO Nº 13: ÍNDICES DE TENDENCIA CENTRAL/PROMEDIOS Y LA .

65

1. ÍNDICES DE TENDENCIA CENTRAL

65

2. LA MODA ENTRE LOS ÍNDICES DE TENDENCIA CENTRAL

66

3. CÓMO IDENTIFICAR LA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 4. VERSATILIDAD DE LA 5. LIMITACIONES DE LA 6. EJEMPLOS DE IDENTIFICAR LA DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

CUADRO Nº 14: LA MEDIANA 1. INTRODUCCIÓN 2. EL CÁLCULO DE LA MEDIANA (Md) 3. TIPOS DE CÁLCULOS DE LA MEDIANACON PUNTUACIONES NO AGRUPADAS EN INTERVALOS 4. CÁLCULO DE LA MEDIANA EN ESTE . 5. EJEMPLO DE PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA MEDIANA DE UNA SERIE FORMADA POR UN NÚMERO IMPAR DE PUNTUACIONES Y SIN QUE LA PUNTUACIÓN DEL RANGO CENTRAL COINCIDA CON LAS PUNTUACIONES DE OTRO U OTROS RANGOS

66 67 67 68

71 71 71 71 72

72


CUADRO Nº 15: PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA MEDIANA DE UNA SERIE PAR DE RANGOS 1. INTRODUCCIÓN

74

2. EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA MEDIANA DE UNA SERIE FORMADA POR UN NÚMERO PAR DE PUNTUACIONES Y SIN QUE LAS DOS PUNTUACIONES DE LOS DOS RANGOS CENTRALES COINCIDAN CON LAS PUNTUACIONES DE OTRO U OTROS RANGOS

CUADRO Nº 16: CÁLCULO DE LA MEDIANA DE UNA SERIE CON VALORES REPETIDOS EN EL RANGO O RANGOS CENTRALES 1.

74

EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA MEDIANA CUANDO ESTÁ REPETIDA LA PUNTUACIÓN DEL RANGO CENTRAL

CUADRO Nº 17: CÁLCULO DE LA MEDIANA CON LAS PUNTUACIONES AGRUPADAS EN INTERVALOS

74

76

76

78

1. EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA CON LAS PUNTUACIONES AGRUPADAS EN INTERVALOS

78

Pág.

CUADRO Nº 18: DETERMINAR LA POSICIÓN DEL INDIVIDUO EN EL GRUPO 1. INTRODUCCIÓN

81 81

2. LOS PERCENTILES

81

3. LAS OPERACIONES CON PERCENTILES

82

4. HALLAR CORRESPONDIENTE DADA

A

EL UNA

PERCENTIL PUNTUACIÓN

5. UN EJEMPLO DE CÁLCULO

83

6. HALLAR LA PUNTUACIÓN QUE LE CORRESPONDE A UN DETERMINADO PERCENTIL 7. UN EJEMPLO DE CÁLCULO:

83 84

8. LOS CUARTILES

84

85

CUADRO Nº 19: LA MEDIA ARITMÉTICA 1. INTRODUCCIÓN 2. DEFINICIÓN, SÍMBOLO, FÓRMULAS SIMBOLOGIAS DE LA MEDIA ARITMÉTICA

83

85 Y

3. CASOS EN EL CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA: 4. CASO : CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA CON UN NÚMERO DE VALORES MENOR DE 12, SIN Y CON FRECUENCIAS: 5. CASO : CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA DE LAS PUNTUACIONES AGRUPADAS POR SUS POSIBLES VALORES CON SUS RESPECTIVAS FRECUENCIAS

CUADRO Nº 20: CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA CON LOS DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

85 86

86

88

91


1. INTRODUCCIÓN

91

2. PROCEDIMIENTOS PARA AGRUPAR VALORES EN INTERVALOS 3. FÓRMULA Y SIMBOLOGIA

93

4. EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA CON LOS VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS

CUADRO Nº GEOMÉTRICA

21:

LA

MEDIA

93

95

1.

LAS OTRAS TRES MEDIAS

95

2.

LA MEDIA GEOMÉTRICA

95

3.

EJEMPLO DE CÁLCULO

96

CUADRO Nº 22: LA MEDIA CUADRÁTICA Y LA MEDIA ARMÓNICA 1.

91

DEFINICIÓN, SÍMBOLO, FÓRMULAS SIMBOLOGIA DE LA MEDIA CUADRÁTICA

Y 97

2. EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA MEDIA ARMÓNICA 3. DEFINICIÓN, SÍMBOLO, FÓRMULA SIMBIOLOGÍA DE LA MEDIA ARMÓNICA.

97

97

Y

4. EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA MEDIA ARMÓNICA.

98 99

Pág.

CUADRO Nº 23: LOS ÍNDICES DE VARIABILIDAD/DISPERSIÓN

101

1. ¿POR QUÉ ES NECESARIO CALCULAR LOS ÍNDICES DE VARIABILIDAD PARA DESCRIBIR LAS PUNTUACIONES DE UNA MUESTRA?

101

2. RELACIÓN DE LOS ÍNDICES DE VARIABILIDAD/DISPERSIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.

102

3. ADECUACIÓN DEL ÍNDICE DE VARIABILIDAD ELEGIDO CON EL TIPO DE DATOS 4. PUNTUACIONES DIRECTAS Y PUNTUACIONES DIFERENCIALES

103 104

5. ADVERTENCIA SOBRE LOS SÍMBOLOS DE LA

105

6. CUADRO CON LAS RELACIONES ENTRE VARIABLES, ESCALAS DE MEDIDA, INDICES DE TENDENCIA CENTRAL E INDICES DE VARIABILIDAD/DISPERSIÓN.

105

CUADRO Nº 24: AMPLITUD TOTAL Y AMPLITUS SEMI-INTERCUARTIL

106

1.

INTRODUCCIÓN

106

2.

LA AMPLITUD TOTAL

106

3.

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE LA AMPLITUD

107

4.

LA AMPLITUD SEMIINTERCUARTIL (Q)

108

5. UN EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO:

CUADRO Nº 25: LA DESVIACIÓN MEDIA (DM)

108

110


1. DEFINICIÓN 2. RECORDAMOS LO QUE PUNTUACIONES DIFERENCIALES

110 SON

LAS

110

3. TIPOS DE CASOS EN EL CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA (DM): 4.CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA CUANDO EL NÚMERO DE PUNTUACIONES ES INFERIOR A DOCE 5. EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA 6. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA CUANDO EL NÚMERO DE PUNTUACIONES ES IGUAL O SUPERIOR A DOCE (12) CON SUS FRECUENCIAS

111 111

113

7. UN EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA CON LAS FRECUENCIAS DE CADA VALOR

114

CUADRO Nº 26: CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA (DM) CON DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

116

1.

INTRODUCCIÓN

116

2.

FÓRMULAS Y SIMBOLOGÍA

116

3. EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

117

Y

119

OPERAR CON PUNTUACIONES DIFERENCIALES LA DESVIACIÓN ESTANDAR ENTRE LOS 2. ÍNDICES DE VARIABILIDAD RELACIONES ENTRE VARIANZA Y 3. DESVIACIÓN ESTÁNDAR LA DESVIACION ESTÁNDAR EN TRES 4.

119

CUADRO Nº 27: VARIANZA DESVIACIÓN ESTANDAR 1.

119 120 120 Pág.

FÓRMULAS DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S): 6. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR () OPERANDO CON PUNTUACIONES DIFERENCIALES: 5.

7. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR OPERANDO SÓLO CON LAS PUNTUACIONES DIRECTAS (), SIN TENER QUE HALLAR LAS PUNTUACIONES DIFERENCIALES () 8. UN EJEMPLO DE CÁLCULO DE CON PUNTUACIONES DIRECTAS

CUADRO Nº28. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR CON PUNTUACIONES DIFERENCIALES Y CON PUNTUACIONES DIRECTAS Y SUS RESPECTIVAS FRECUENCIAS

121 121

123 124

126

CÁLCULO DE OPERANDO CON PUNTUACIONES DIFERENCIALES UN EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE 2. CÁLCULO 3. CÁLCULO DE LA OPERANDO CON PUNTUACIONES DIRECTAS

126

4. UN EJEMPLO DE CÁLCULO DE OPERANDO CON PUNTUACIONES DIRECTAS

129

1.

CUADRO Nº 29: CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR CON LOS

127 128

132 Estadísticos e-Books & Papers

VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS 1.

3.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S) CON VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS UTILIZANDO PUNTUACIONES DIFERENCIALES UN EJEMPLO DE CÁLCULO 2.

132 132

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA DESVACIÓN ESTÁNDAR CON VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS UTILIZANDO UNICAMENTE LAS PUNTUACIONES DIRECTAS, SIN NECESIDAD DE CALCULAR LAS PUNTUACIONES DIFERENCIALES UN EJEMPLO DE CÁLCULO 4.

135 135

CUADRO Nº 30: ÍNDICES DE ASIMETRIA

137

ÍNDICE DE SIMETRÍA/ASIMETRÍA

137

1.

FORMULAS Y SU SIMBOLOGÍA PARA CALCULAR EL ÍNDICE DE ASIMETRÍA DOS EJEMPLOS DEL PROCEDIMIENTO DE 3. CÁLCULO INTERPRETACIÓN 4. 2.

CUADRO Nº 31: ÍNDICE APUNTAMIENTO O CURTOSIS

DE

138 139 140

141

1.

APUNTAMIENTO O CURTOSIS

141

2.

ÍNDICE DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS

141

3.

EJEMPLO DEL CÁLCULO 4. INTERPRETACIÓN

PROCEDIMENTO

DE

CUADRO Nº 32: ESTADÍSTICA DE DOS O MÁS VARIABLES EN LA MISMA MUESTRA 1. INTRODUCCIÓN

142 143

144

144 Pág.

2. LA CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES 3. INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LOS COEFICIENTES DE CORRELACIÓN 4. CUADRO RESUMEN DE LOS COEFICIENTES DE CORRELACIÓN 5. COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN 6. CUADRO CON LA CLASIFICACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN

CUADRO Nº 33: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON 1. 2.

DEFINICIÓN:

REQUISITOS EXIGIDOS A LAS VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS PARA PODER CALCULAR JUSTIFICADAMENTE LA CORRELACIÓN DE PEARSON INTERRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE 3. CORRELACIÓN LINEAL DOS CASOS EN EL PROCEDIMIENTO DE 4. CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL FÓRMULAS 5.

144 145 145 145 146

147 147

147 148 149 150


CUADRO Nº34: CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL UTILIZANDO PUNTUACIONES DIRECTAS 1. CÁLCULO DE LA CORRELACIÓN LINEAL UTILIZANDO PUNTUACIONES DIRECTAS

153

153

2. EJEMPLO DE CÁLCULO

153

CUADRO Nº 35: CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL UTILIZANDO MEDIAS ARITMÉTICAS CUADRO Nº 36: REGRESIÓN LINEAL

156

159

1.

REGRESIÓN LINEAL

159

2.

RECTA DE REGRESIÓN

159

3.

REGRESIÓN DE SOBRE

160

EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN DE SOBRE 5. REGRESIÓN DE SOBRE 4.

6. EJEMPLO DE CÁLCULO

161 162 162

CUADRO Nº 37: LAS PUNTUACIONES ESTÁNDAR
164

LOS TRES TIPOS DE PUNTUACIONES

164

1.

2. INSUFICIENCIA DE LAS PUNTUACIONES DIRECTAS Y DIFERENCIALES PARA COMPARAR LA PUNTUACIÓN OBTENIDA POR UN INDIVIDUO EN DOS MEDICIONES O CON LAS PUNTUACIONES OBTENIDAS POR OTROS INDIVIDUOS 3. LAS PUNTUACIONES ESTÁNDAR 4. PROPIEDADES ESTÁNDAR

LAS

165

PUNTUACIONES

5. EJEMPLO DE CÁLCULO PUNTUACIONES ESTÁNDAR

DE

164

LAS

6. PUNTUACIONES NORMALIZADAS

165 166 168

Pág.

CUADRO Nº 38: LA CURVA NORMAL 1. 2. 3. 4. 5.

6.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Y CURVAS CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDADES DESCRIPCIÓN DE LA TABLA DE LAS ÁREAS DE LA CURVA NORMAL TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ¿CÓMO ENCONTRAR EL AREA (PROPORCIÓN O PORCENTAJE) CORRESPONDIENTE A UNA DADA PUNTUACIONES POSITIVAS Y PUNTUACIONES NEGATIVAS

CUADRO Nº 39: EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE PUNTUACIONES Y ÁREAS BAJO LA CURVA NORMAL EJEMPLOS DE BUSQUEDA DEL PORCENTAJE QUE CORRESPONDE A UNA PUNTUACIÓN ESTÁNDAR (z) DADA CÓMO HALLAR LA PUNTUACIÓN QUE 2. CORRESPONDE A UN PORCENTAJE CONCRETO

169 169 169 169 170 171 172

173

1.

173 177 Estadísticos e-Books & Papers

CUADRO Nº 40: COEFICIENTES DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y DE CORRELACIÓN PARCIAL LOS COEFICIENTES DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y PARCIAL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE 2. 1.

179

179 179

3.

DEFINICIÓN:

179

4.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

180

5. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PARCIAL

181

CUADRO Nº 41: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ORDINAL ( r) DE SPEARMAN 1.

INTRODUCCIÓN:

184

184

2. EJEMPLO DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ORDINAL DE SPEARMAN < r> 3. UN EJEMPLO DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ORDINAL DE SPEARMAN < r> EN EL QUE APARECEN

CUADRO Nº 42: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN t (tau) DE KENDALL ENTRE VARIABLES MEDIDAS EN ESCALA ORDINAL

185

187

191

1. INTRODUCCIÓN

191

2.FÓRMULAS Y SIMBOLOGÍA

191

3. LA O LA ENTRE RANGOS

192

4. UN EJEMPLO DEL CÁLCULO DEL COEFICIENTE

193

CUADRO Nº 43: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE CONCORDANCIA DE KENDALL

195

1. INTRODUCCIÓN

195

2. DEFINICIÓN

195 Pág.

3. EJEMPLO DE PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

196

CUADRO Nº 44: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN BISERIAL

199

1.

COEFICIENTES DE CORRELACIÓN Y ASOCIACIÓN DERIVADOS DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON 2. DEFINICIÓN DEL CORRELACIÓN BISERIAL

COEFICIENTE

DE

199 199

3. REQUISITOS

199

4. FÓRMULAS Y SIMBOLOGÍA

200

CUADRO Nº 45: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN BISERIAL PUNTUAL

206

1.

DEFINICIÓN

206

2.

FÓRMULAS

206


CUADRO Nº 46: COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS 1.

TIPOLOGÍAS DE LOS COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS

COEFICIENTE DE YULE DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS DICOTÓMICAS O DICOTOMIZADAS UN EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE 3. CÁLCULO DE : 4. COEFICIENTE DE COALIGACIÓN < w> (OMEGA MINÚSCULA)

212

212

2.

5. UN EJEMPLO DE CÁLCULO

214 215 215 216

CUADRO Nº 47: COEFICIENTE DE ASOCIACIÓN c2 (JI CUADRADO) CON VARIABLES CUALITATIVAS DICOTÓMICAS

217

1.

DEFINICIÓN

217

2.

LAS DOS FÓRMULAS DEL

217

3.

UN PROBLEMA PARA EJEMPLIFICAR EL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

219

CUADRO Nº 48: EL COEFICIENTE c2 (JI CUADRADO) PARA VARIABLES CUALITATIVAS POLICOTÓMICAS (1ª PARTE: CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS TEÓRICAS) 1.

INTRODUCCIÓN

222

2. CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS TEÓRICAS DE CADA CASILLA 3. TRANSCRIBIR LAS FRECUENCIAS EMPÍRICAS A LA TABLA DE CONTINGENCIA 4. HALLAR LAS FRECUENCIAS MARGINALES 5. CÓMO OBTENER LAS TEÓRICAS DE CADA CASILLA

222

FRECUENCIAS

223

223 224 224


Pág.

CUADRO 49º: EL COEFICIENTE c2 (JI CUADRADO) PARA VARIABLES CUALITATIVAS POLICOTÓMICAS (2ª PARTE: CÁLCULO DEL COEFICIENTE c2) 1.

LAS TABLAS DE FRECUENCIAS EMPÍRIAS Y DE LAS FRECUENCIAS TEÓRICAS CALCULO DEL VALOR DE CADA SUMANDO

1.

CUADRO Nº 50: COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN DERIVADOS DEL COEFICIENTE < c2 > 1.

RELACIÓN DE COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN DERIVADOS DEL COEFICIENTE (JI CUADRADO) COEFICIENTE DE CONTINGENCIA 2. COEFICIENTE DE CONTINGENCIA MÁXIMO: . COEFICIENTE CORREGIDO: 4. 3.

5.

UN EJEMPLO DE CÁLCULO

226 227

229

229 229 230 231 232

6. COEFICIENTE DE CRAMERS

232

7. COEFICIENTE T2 DE TSCHUPROW

233

8. COEFICIENTE < f2 > (FI CUADRADO)

233

EPÍLOGO EL USO DE LOS PROGRAMAS INFORMÁTICOS DE ESTADÍSTICA 1.

226

235 235

DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS Y PROGRAMAS INFORMÁTICOS PARA LOS ANÁLISIS ESTADÍSTICOS EL PROGRAMA INFORMÁTICO 2.

235

DESCRIPCIÓN DE LA VENTANA

237

3.

236


INTRODUCCIÓN Amigo lector: Tienes ante tus ojos un libro dedicado a exponer los contenidos de la Estadística Descriptiva. Ha sido redactado con el único fin de ayudarte a comprender los conceptos de la estadística descriptiva y a dominar los procedimientos de cálculo de todos los índices univariables (tendencia central, variabilidad, asimetría y apuntamiento) y los índices bivariables (coeficientes de correlación y asociación) y multivariables (coeficiente de correlación múltiple y de correlación parcial). Los índices se presentan con la mayor claridad posible para facilitar la comprensión del concepto, de sus fórmulas, la identificación de los símbolos matemáticos que las integran y, sobre todo, el desarrollo de todo el procedimiento de cálculo, aplicado a un problema, con ablas adecuadas a cada índice, en las que se van recogiendo progresivamente los resultados de las operaciones aritméticas que prescribe la órmula, con una descripción minuciosa de cada paso, uno a uno, no dando por sentado conocimientos matemáticos, por muy básicos que sean, sin pasos del proceso de cálculo. Acompañan al texto las tablas de áreas bajo la curva normal a partir de la puntuación , tablas de valores críticos de las correlaciones biserial y biserial puntual y del coeficiente ( ji cuadrado). Para una mejor comprensión del papel instrumental de la Estadística en la investigación científica experimental, se ofrecen consideraciones sobre los saberes humanos, las ciencias explicativas y las interpretativas, las fases del método hipotético-deductivo, las variables y las escalas de medida. Aunque todos los cálculos propuestos en este libro pueden ser realizados con una calculadora científica manual, dedicamos un epílogo a una muy breve guía de uso del programa informático SPSS (Stastistic Program for Social Sciences) para aquellos casos con un gran número de sujetos con sus puntuaciones, con la búsqueda combinada de varios índices y con complejos y repetitivos cálculos.


CUADRO Nº 1: LAS CIENCIAS EXPLICATIVAS Y EL MÉTODO CIENTÍFICO 1. LOS DISTINTOS SABERES DE LA CIVILIZACIÓN Los saberes que constituyen el fundamento de la civilización humana pueden ser clasificados siguiendo distintas tipologías, la que aquí presentamos no es la más exhaustiva y rigurosa, pero como marco que relaciona las ciencias sociales con la Estadística, la estimamos válida para este propósito. a. FILOSOFÍA: su objeto de estudio es el (Ortega y Gasset). Sus disciplinas son la Ética, la Metafísica, la Teoría del

Conocimiento (Crítica), la Estética,…Su metodología es muy variada: especulación, fenomenología, análisis del lenguaje… b. CIENCIAS

Distinguimos entre: 1) 2)

Ciencias formales (Matemáticas, Lógica y Epistemología). Su método es axiomático y deductivo. Ciencias materiales: 1)

Ciencias explicativas/experimentales (Física, Química, Biología, Astronomía, Fisiología, Neurología, Psicología… y ciencias derivadas y afines). Su metodología, con variantes adaptadas a sus particulares objetos de estudio, es el conocido como , que con mayor precisión debería nombrársele como: , nacido en las obras de Roger Bacon, Guillermo de Occam, Galileo Galilei, Sir Francis Bacon, Sir Isaac Newton, John Stuart Mill, Henri Poincaré, Sir Karl Popper, etc.

2)

Ciencias interpretativas: Historia, Teología, Etnografía, Derecho... Interpretan, buscan el significado y el sentido a textos orales, escritos, gestuales, gráficos, musicales,…

3)

Ciencias de los signos (Semiótica): Semiología, Morfología, Fonética, Fonología, Sintaxis, Semántica, Pragmática,…

4)

Ciencias aplicadas y Tecnologías, derivadas preferentemente de las ciencias formales y explicativas:

d I) Sobre la salud y la actividad física: Anatomía, Histología, Farmacología, Terapéutica, Psiquiatría, Psicoterapia, Enfermería, Estomatología, Pediatría, Podología… d II) Sobre la educación. Psicopedagogía, Psicodidáctica, Organización escolar,… d III) Sobre la producción de bienes agrícolas, industriales, mineros, de transporte y comerciales: Ingeniería en sus distintas especialidades, Agronomía, Veterinaria, Cibernética, Informática, Robótica, Aviónica, Economía,… d IV) De la comunicación social y relaciones jurídicas: Periodismo, Derecho, Otras ciencias que en unos aspectos pertenecerían a las ciencias explicativas y en otros a las interpretativas, como podría ser, con ciertas reservas, la Geografía, la Sociología,… a. HUMANIDADES Y BELLAS ARTES: Promueven las relaciones humanas, interpersonales e intrapersonales, dentro de las sociedades y

los grupos humanos, respecto a los valores éticos, científicos, culturales, religiosos, estéticos, económicos,, políticos, deportivos, musicales, de ocio…

2. CARACTERÍSTICAS DE LAS CIENCIAS EXPLICATIVAS Sobre las ciencias explicativas, puras y aplicadas, como las ciencias de la conducta (Psicología, Psicopedagogía,…), podemos decir que Intentan reducir la complejidad del cosmos, en sus distintas realidades, a regularidades comprensibles y comprobables intersubjetivamente. También se las conoce como ciencias positivas, pues trabajan con () por la Naturaleza, lo dado () por ella: los (los datos). Las ciencias explicativas son saberes o sea son sistemas de leyes o proposiciones generales sobre fenómenos que se repiten, rente al saber que estudia hechos únicos, como lo hace la Historiografía. La característica distintiva de las ciencias explicativas/positivas es el uso exclusivo del método conocido como método . Las ciencias explicativas establecen las relaciones de identidad, igualdad, reciprocidad, causa-efecto... Sus conclusiones tienen que ser verificables y la expresión de esas relaciones tiende a ser de naturaleza matemática. 3. EL MÉTODO CIENTÍFICO POSITIVO Para poder comprender el papel que juega la Estadística en la aplicación del método científico, creemos conveniente presentar una visión panorámica del método científico, concretamente en las ciencias explicativas y en las ciencias aplicadas o tecnologías que se derivan de los hallazgos de aquellas. Siendo la Estadística una rama de las Matemáticas (por tanto una ciencia formal) viene a ayudar a describir e inferir relaciones existentes entre objetos estudiados en las ciencias explicativas por medio de la aplicación del método experimental conocido como .


El método (inductivo)-hipotético-deductivo es propio del paradigma que se aplica a datos cuantitativos. 4. DESARROLLADORES DEL MÉTODO El método científico positivo/experimental es el método hipotético-deductivo, cuyos representantes más destacados son: Alhacén, Avicena, Roger Bacon, Robert Grosseteste, William of Ockham, Galileo Galilei, René Descartes, Sir Francis Bacon, Sir Isaac Newton, Hans Christian Orsted, John Stuart Mill, Charles Sanders Peirce, William Whewell, William Stanley Jevons, Henri Poincaré, Sir Karl Popper y otros muchos.


5. LOS GRADOS DE PERFECCIÓN DE LAS CIENCIAS EXPLICATIVAS El grado de perfección de cada ciencia explicativa es, entre otros, el nivel alcanzado, dentro de los siguientes niveles de sus propósitos: a. Descripción de fenómenos y de sus elementos. b. Explicación de las relaciones entre los elementos intervinientes en el fenómeno estudiado. c. Predicción de la aparición de un fenómeno a partir del conocimiento de las relaciones entre los elementos del fenómeno. Vemos estos

niveles: DESCRIPCIÓN En la simple descripción se presentan con palabras y números los resultados de las observaciones de las características (variables) que son perceptibles en los objetos (cosas, animales y seres humanos, sus sociedades y organizaciones) tal como son captados por los sistemas sensoriales directamente o a través de dispositivos que los amplían y/o los miden. EXPLICACIÓN El segundo nivel de perfección que la ciencia es su poder de explicación de los fenómenos que ha descrito tras la observación. Para la explicación, son necesarias la formulación de hipótesis y la experimentación, la cuasi experimentación o la experimentación o la correlacional. PREDICCIÓN Si además de la descripción y la explicación, es posible predecir la evolución del fenómeno estudiado y los resultados finales de esta evolución, nos encontraríamos en el nivel superior de la calidad del rigor en una ciencia. Así, por ejemplo, la astronomía es una ciencia que describe, explica los porqués de los movimientos celestes, y es capaz de predecir los eclipses, las órbitas de los planetas y otros muchos enómenos propios de esta ciencia. En el nivel actual de desarrollo de las ciencias, la Física, la Química, la Astronomía y en menor medida la Biología alcanzan el nivel superior: la predicción. 6. LAS CUATRO ETAPAS DEL MÉTODO EXPERIMENTAL El método científico sigue un proceso de cuatro etapas: 1º Observación de los fenómenos e identificación de variables. 2º Inducción de probables relaciones entre variables. 3º Formular la hipótesis que es una conjetura sobre la relación existente entre dos variables y que debe ser aceptada o rechazada. Para ello hay que concretar y definir la relación. Se distinguen dos variables en cada hipótesis: una variable independiente (X) y una variable dependiente (Y). Se establece la hipótesis nula (no existe relación entre ambas variables) y la hipótesis alternativa (sí existe una relación entre las dos variables). Si los resultados no apoyan la hipótesis alternativa, aceptamos la hipótesis nula. Cuando admitimos la hipótesis alternativa o la hipótesis nula, debemos hacerlo con un determinado riesgo de error. La estadística podrá ayudarnos a tomar la decisión correcta. 4º Elegir el diseño más adecuado para rechazar la hipótesis nula. He aquí los cuatro diseños: a. b. c. d.

Un experimento Un cuasi-experimento Un experimento . Un experimento de correlación entre variables cuantitativas o de asociación entre variables cualitativas.

El orden de los cuatro tipos de diseños experimentales responde al rigor científico de cada uno de ellos: el mayor rigor lo ostenta el diseño experimental y el menor, al diseño de correlación entre variables cuantitativas y el de asociación entre variables cualitativas. En los dos primeros se manipula la variable independiente y en el tercero, se selecciona las variables independientes no manipulables. En los tres primeros tipos se procura controlar las variables extrañas. A partir de los resultados obtenidos en el experimento, se acepta la hipótesis o se rechaza, con un nivel de error. 5º Con las conclusiones deducidas de los resultados, el científico formula los modelos o teorías que acogerán y sistematizarán el conjunto de las relaciones que no han sido rechazadas en los experimentos, siempre con la asunción de un grado de riesgo de error. 7. PAPEL DE LA ESTADÍSTICA EN EL MÉTODO EXPERIMENTAL Las dos primeras fases del método experimental son la observación y medición de los fenómenos y la inducción. Ya Aristóteles señalo que la inducción incompleta no es nunca concluyente. Pero la inducción completa (observaciones de todos los objetos existentes en una ) es de hecho imposible. Por tanto, es necesario recoger muchas observaciones y mediciones de las variables involucradas en el fenómeno estudiado y comprobar que en todas ellas aparece la relación entre dos variables, una independiente y otra dependiente. Sintetizar esos datos es area de la Estadística Descriptiva. Cuanto mayor sea el número de casos observados (muestra) en los que se cumple la relación (causa efecto, condicional…) observada entre ambos variables, habrá más probabilidad de que se cumpla en todos los casos (población o universo). El salto desde la muestra o muestras a la población es cometido de la Estadística Inferencial. El ideal del método científico es llegar a una función matemática (exacta o probabilística) de una relación entre, al menos, dos variables. La Estadística es indispensable en el desarrollo de las cuatro fases del método experimental. a. Sirve para describir los grados de presentación de las variables en muestras. Estadísticos e-Books & Papers

b. Sirve para inducir la relación. c. Sirve para la formulación de hipótesis. d. Sirve para el diseño del experimento, del cuasi experimento o del proceso , que pondrá a prueba las hipótesis principal y

alternativas. e. Sirve para inferir la validación o (término y concepto acuñado por Sir Karl Popper: demostrar que una proposición es falsa)

de los resultados obtenidos en una prueba experimental.


CUADRO Nº 2: NATURALEZA DE LA CIENCIA ESTADÍSTICA 1. ETIMOLOGÍA DE ESTADÍSTICA. El matemático alemán Gottfried Aschenwall fue el primero en utilizar el término con el significado de . procede de la palabra alemana que puede traducirse por . Para otros, procedería del término latino: (lo relativo al ). es participio pasivo del verbo, , (tener una posición>). Un precedente sería el (Consejo de Estado) de la época imperial romana. 2. DEFINICIÓN La Estadística, como rama de las Matemáticas, es una ciencia formal, estrechamente relacionada con la Teoría de la probabilidad. Es una ciencia transversal e instrumental/auxiliar, pues sirve para investigar en muchas ciencias, desde la Física a las ciencias sociales y conductuales. Estudia las grandes leyes que rigen el comportamiento de las grandes masas de datos que dependen de causas poco o nada conocidas e incontrolables dada su complejidad de interacciones, pero que presentan ciertas regularidades. Emplea modelos de reducción de la información de análisis de validación de los resultados en términos de representatividad. Escotet,(1973) define la Estadística con estas palabras: .

3. CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA. Según el criterio adoptado, la estadística puede ser clasificada de distintas maneras. Los criterios clasificatorios son: La función Número de variables implicadas. Modelo probabilístico. Tipo de variables y escalas de medida.

1) 2) 3) 4)

a. POR LA FUNCIÓN: 1)

Estadística descriptiva: busca describir por medio de cuatro tipos de índices que resuman y representen los valores obtenidos en la aplicación de instrumentos de medida a una o a dos variables en una muestra. La estadística descriptiva se refiere sólo a los datos observados, y comprende su tabulación, representación gráfica y descripción, a fin de hacerlos más manejables, pudiendo así comprenderlos e interpretarlos mejor (Bisterra).

2)

Estadística inferencial: busca obtener valores (valores estimados de las poblaciones) a partir de (valores obtenidos en muestras). La estadística inferencial alcanza conclusiones probabilísticas sobre las características de una población a partir de los índices propios de los análisis de la Estadística Descriptiva.

Sin la Estadística Descriptiva es imposible la Estadística Inferencial. Por tanto, la primera tarea de toda análisis estadístico es el análisis de los datos, o sea describir, por medio de ciertos índices, los resultados obtenidos tras la aplicación de una escala de medida a una o más variables en una muestra. Con estos índices, es posible manejar los datos y facilitar los análisis propios de la estadística inferencial, la que hace posible la comprobación de hipótesis, infiriendo los valores estimados en la población a partir de los datos obtenidos en las muestras supuestamente incluidas en la población. b. POR EL NÚMERO DE VARIABLES MEDIDAS SIMULTÁNEAMENTE A UN MISMO GRUPO DE SUJETOS:

Estadística univariable

1)

Se refiere a una sola variable. Incluye básicamente las medidas de tendencia central, de variabilidad, de simetría y apuntalamiento. Estadística bivariable

2)

La estadística bivariable se refiere a las relaciones entre dos o más variables en una misma muestra: los coeficientes de correlación y de asociación. Estadística multivariable

3)

Estadística multivariada es aquella que analiza simultáneamente más de dos variables, como por ejemplo la regresión múltiple, el análisis multivariante o de la varianza, el análisis factorial, el análisis discriminante y la correlación canónica entre otros. c. POR EL TIPO DE MODELO PROBABILÍSTICO QUE SUBYACE EN LAS VARIABLES: 1)

Estadística paramétrica es aquella que puede aplicarse a variables que cumplen los supuestos de:

1) Normalidad: su distribución se ajusta a la curva normal. 2) Homocedasticidad (igualdad en la dispersión). 3) Linealidad 2)

Estadística no paramétrica: la que opera con variables que no cumplen las tres condiciones anteriores. Estadísticos e-Books & Papers

d. POR EL TIPO DE VARIABLES Y LAS ESCALAS DE MEDIDA ADECUADAS A CADA TIPO:

1) 2) 3)

Estadística de variables cualitativas/atributos, medidas en escala nominal. Estadística de variables cuantitativas discretas, medidas en escala ordinal, o de intervalo. Estadística de variables cuantitativas continuas, medidas por escalas de intervalo o de razón.

4. LA ESTADÍSTICA Y LAS CIENCIAS HUMANAS Las variables de las ciencias de la conducta, la psicología y la psicopedagogía entre otras, generalmente son variables cuantitativas medidas con escalas de intervalo, suponiendo una unidad constante entre dos puntuaciones consecutivas. Damos por hecho, en r ealidad es una suposición, que la variable , cuando es medida por un test de fluencia verbal, tiene una unidad constante, que entre un par de puntuaciones consecutivas hay la misma diferencia que entre otro par de valores correlativos. 5. UNA PERSPECTIVA SINÓPTICA DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A continuación se ofrece una , no muy detallada, de los contenidos de la estadística descriptiva. En este momento tal cúmulo de datos puede resultar abrumador, sin embargo también permite contemplar la posición de un análisis en el conjunto. Creemos que será posible, si se desea, regresar a ella para situar cualquier del de la Estadística en el lugar adecuado.


ESTADÍSTICA

Nº DE VARIABLES

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

MUESTRAS UNA VARIABLE

DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN

AMPLITUD RECORRIDO DESVIACIÓN MEDIA VARIANZA DESVIACION ESTANDAR COEDIFICIENTE DE VARIACIÓN

DE ASIMETRÍA DE APUNTAMIENTO

MUESTRAS DE VARIABLES

DE

ÍNDICE SIMETRÍA

DE

ÍNDICE APUNTAMIENTO CURTOSIS

DE O

TIPO DE ÍNDICES

NOMBRE DE LOS ÍNDICES

MODA MEDIANA MEDIA ARITMÉTICA DE TENDENCIA MEDIA CENTRAL GEOMÉTRICA MEDIA CUADRÁTICA MEDIA ARMÓNICA

COEFICIENTES DE COEFICIENTES DE CORRELACIÓN DOS CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES LINEAL DE CUANTITATIVAS PEARSON CONTIUAS EN ESCALA DE INTERVALO O DE RAZÓN.

COEFICIENTE S DE CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS, EN ESCALA ORDINAL

COEFICIENTE (RRO)DE CORRELACIÓN ORDINAL SPEARMAN COEFICIENTE RRO COEFICIENTE < t > (tau) KENDALL

REGRESIÓN LINEAL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN NO LINEAL

de

REGRESIÓN LINEAL COEFICIENTE

CORRELACIÓN ENTRE VARIABLE NOMINAL Y VARIABLS CUANTITATIVA CONTINUA O DISCRETA CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS UNA DE ELLAS DICOTOMIZADA

Coeficiente biserial

COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS

Coeficiente

Coeficiente biserial puntual

Coeficiente coeficiente Coeficiente de Tchuprow Coeficiente de Cramer Coeficiente de Yule Coeficiente Coeficiente tetracórico MÁS DE DOS VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS

CORRELACIÓN PARCIAL

CORRELACIÓN MÚLTIPLE


CUADRO Nº 3: TIPOS DE VARIABLES Y ESCALAS DE MEDIDA 1. CARACTERÍSTICAS DE LOS OBJETOS: CONSTANTES Y VARIABLES Todas las características/propiedades perceptibles por los sentidos en los objetos (color, tamaño, fuerza, velocidad, …), con o sin instrumentos de aumento, son de dos tipos: a. Constantes b. Variables.

2. LAS CONSTANTES Unas características de los objetos, no presentan grados, ni modalidades/categorías, sino que, en todos los casos muestran un valor constante presentan un valor constante. Estas constantes son propias de las matemáticas y de la física. Ejemplo de estas constantes son: a. La relación entre el diámetro y la longitud de la circunferencia

< p> (3.1416…). b. c. d. e.

La, constante de gravitación (G=6.6725). La constante de Faraday (F=96485.30.). La constante de Plank (h=6.626). La velocidad de la luz (c=300 000 km./seg),…

3. LAS VARIABLES Por el contrario, las variables son aquellas características/propiedades de los objetos que son perceptibles por los sentidos, con o sin instrumentos de aumento, y que pueden presentarse en más de una modalidad o grado. Ejemplos de ellas son: a. b. c. d. e. f.

La masa de un cuerpo. El número de hijos. La cantidad de palabras retenidas tras medio minuto. El estado civil de las personas. El número de pulsaciones cardíacas por minuto. El volumen de la cavidad craneal. Como puede verse, estas variables son de muy distintos tipos. Vamos a clasificarlas.

4. TIPOS DE VARIABLES Las variables pueden ser clasificadas en: Variables cualitativas:

1)

Dicotómicas (sólo dos modalidades) Policotómicas (más de dos modalidades) II) variables cuantitativas: a) Variables cuantitativas discretas. b) Variables cuantitativas continuas. 5. VARIABLES CUALITATIVAS Las variables cualitativas también reciben el nombre de: atributos. Son siempre nombres substantivos, no números. Cualquier variable cualitativa puede presentarse, en dos o más modalidades o categorías excluyentes y, en conjunto, exhaustivas. No admiten grados, no hay mayor o menor, no hay puntuaciones, sólo nombres. Pueden ser agrupados los objetos que tienen la misma modalidad de la misma variable. Ejemplos de variables cualitativas son: Variables cualitativas dicotómicas:

1)

a. El sexo anatómico: ( b. Ser propietario de un BMW: y .

Variables cualitativas policotómicas:

2)

a. Estado civil: , , ,, y .

b.

Tipo sanguíneo: <0>, , y

c. Color del cabello: , , y

6. VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS Y CONTINUAS Las variables cuantitativas son características que poseen los objetos y que se presentan con grados y necesariamente tienen que expresarse con números. Las variables cuantitativas son de dos tipos: discretas y continuas. 1)

Las variables cuantitativas discretas son aquellas variables cuantitativas que únicamente admiten valores numéricos enteros. Estadísticos e-Books & Papers

Los valores de las variables cuantitativas discretas, como las variables cualitativas, son resultados de , no de en sentido vulgar. Ejemplos de variables cuantitativas discretas son: a. Número de hermanos de una familia. b. Número de alumnos del aula. 2)

Las variables cuantitativas continuas son aquellas variables cuantitativas que admiten valores intermedios entre dos valores numéricos enteros.

Ejemplos e variables cuantitativas continuas son: a. La estatura. b. La velocidad. c. Tiempo de reacción. 7. LA MEDIDA Medir es la asignación de signos numéricos a objetos o aspectos/propiedades/características de objetos por medio de ciertas reglas de asignación de números conocidas como escalas. El sistema formal de los signos numéricos consiste en un conjunto de definiciones y postulados, de los que se derivan los teoremas y las conclusiones del campo del álgebra. El sistema empírico al que se van asignar lo signos numéricos es, en nuestro campo, la conducta humana y las conductas de aprendizaje especialmente. Las reglas para poder establecer las correspondencias entre sistema formal de los signos numéricos, o sea de la matemática, y el correspondiente sistema empírico (la conducta humana), depende, por una parte de las reglas siguientes: la de igualdad, la de orden, la de igualdad de diferencias y la de igualdad de razones. En la medida en que estas operaciones matemáticas pueden realizarse con los objetos empíricos, la conducta humana, se podrán aplicar esos números. 8. RELACIÓN ENTRE VARIABLES Y ESCALAS DE MEDIDA Según sea la naturaleza de la variable (cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua), las escalas posibles son cuatro: a. b. c. d.

ESCALA NOMINAL ESCALA ORDINAL ESCALA DE INTERVALOS ESCALA DE RAZÓN .

Existe una relación, no biunívoca, entre las variables y las escalas de medida. Según sea el tipo de variable, así serán los tipos de escala de medida que puede utilizarse para medir la variable. a. LA ESCALA NOMINAL

La escala nominal se aplica a las variables cualitativas/atributos, si bien los distintos grados de las variables cuantitativas continuas podrían ser convencionalmente agrupados como si fueran modalidades de una variable cualitativa. LA ESCALA ORDINAL Las escalas ordinales se aplican a variables cualitativas, a variables cuantitativas discretas y, de algún modo transformando las cuantitativas continuas. Atribuyen valores numéricos ordinales (rangos) a los distintos valores de las puntuaciones en una serie creciente o decreciente de valores. b. LA ESCALA DE INTERVALO

Las escalas de intervalo atribuyen valores numéricos cardinales, sitúan a cada sujeto en un continuo de valores numéricos correlativos, entre los cuales es posible intercalar infinitos números fraccionarios, si bien con unidades constantes, o sea, mantienen la igualdad de diferencias entre pares de valores correlativos. Las variables cuantitativas continuas pueden ser medidas con una escala de intervalo, pero solamente algunas de ellas, también con una escala de razón.

c. LA ESCALA DE RAZÓN:

Las escalas de razón son también escalas de intervalo, si bien añaden la propiedad de poder establecer razones entre parejas de puntuaciones. La causa reside en que las variables que pueden ser medidas con escala de razón tienen ausencia total de la variable. Variables susceptibles de ser medidas con escala de razón suelen ser variables propias de la Física, tales como: masa, edad, longitud, escala de emperatura, velocidad… Si un sujeto mide 160 cm y el otro mide 80 cm, podremos decir justificadamente que el primero de ellos tiene una estatura doble que la estatura del segundo. Sin embargo, si en lugar de medir la estatura, midiéramos la temperatura con la escala Celsius nunca podríamos afirmar que un objeto con 80 grados tiene doble cantidad de calor que un cuerpo con 40 grados.


TIPOS DE VARIABLES Nominal

TIPOS DE ESCALAS Ordinal

Cualitativas

Intervalo Si

No

No

Cuantitativas discretas

Si

Si

No

Cuantitativas continuas

No

No (*)

Si

Resumiendo en la siguiente tabla las relaciones entre variables y escalas de medida: (*): Se pierde precisión pero nada impide ordenar en una serie de rangos

datos cuantitativos continuos.


CUADRO Nº 4: VARIABLES CUALITATIVAS Y LA ESCALA NOMINAL 1. DESIGNACIÓN DE LAS MODALIDADES DE CADA ATRIBUTO Las escalas nominales se aplican a las variables cualitativas/atributos. Como los atributos se presentan en dos o más modalidades o categorías, las escalas nominales siguen la siguiente regla: asignar un solo nombre, cifra o signo distinto a cada una de las categorías/modalidades que presenta el atributo. Lo habitual es asignar a cada modalidad un nombre o un adjetivo calificativo. También puede utilizarse cifras para designar a cada modalidad, si bien las cifras, en este caso, no poseen valor cuantitativo, sino que uncionan como simples signos arbitrarios. Por ejemplo, en el atributo , las modalidades posibles son: y , podemos designarlas con cifras, por ejemplo, asignar un <1> a y un <2>a o al contrario. Con esta convención, mientras se mantuviera la relación biunívoca (cifra/número y categoría/modalidad). Como son simples signos carentes de valor numérico, no es posible realizar operaciones aritméticas con ellos. 2. EXCLUSIVIDAD Y EXHAUSTIVIDAD DE LAS MODALIDADES DE UN ATRIBUTO Estas categorías o modalidades están sujetas a las leyes de la exclusividad y de la e xhaustividad: Por la primera, un sujeto no puede ser situado simultáneamente en dos modalidades distintas de un mismo atributo. Dicho de otro modo: cada sujeto únicamente puede ser situado en una sola categoría/modalidad y en ninguna otra. Por la segunda ley, al menos, una modalidad debería acoger a cualquier sujeto susceptible de portar el atributo, que pudiera ser incluido en una u otra de las modalidades o categorías de dicho atributo. No siempre es fácil dividir un atributo en un número exhaustivo de categorías. Pongamos un ejemplo: en una ciudad viven muchos inmigrantes procedentes de varias naciones. De algunas nacionalidades abundan muchos ciudadanos, pero otras nacionalidades están representadas por una o dos personas. Así podríamos dividir el atributo , en las siguientes modalidades: , , , , y . Nos podían preguntar por qué hay una categoría llamada . La explicación es muy sencilla: viven en dicha ciudad un argentino, un mexicano, dos ranceses y un británico. Es más sencillo manejar seis modalidades o categorías que nueve: las cinco primeras y las cuatro últimas; englobando estas cuatro en la modalidad , tal vez se pierde precisión, pero se gana en claridad y brevedad si, como suponemos, queremos dar una idea general de la distribución de la inmigración en la ciudad. Supongamos que son 60 los marroquíes, 55 los rumanos, 30 los ecuatorianos, 27 los colombianos, 19 los bolivianos, y los otros son sólo 10 inmigrantes de cuatro nacionalidades distintas, de poco peso en el conjunto de inmigrantes residentes en la ciudad. 3. ¿QUÉ PUEDE HACER LA ESTADÍSTICA CON LOS ATRIBUTOS?

Solamente: a. IDENTIFICACIÓN Y PERTENENCIA

Toda variable cualitativa, o sea, un atributo, debe presentar dos o más modalidades y que estas modalidades sean identificables en cada sujeto que porta el atributo. b. IGUALDAD O DESIGUALDAD

Tras esta identificación, se pueda establecer la igualdad o desigualdad entre la modalidad que el sujeto presenta en una variable cualitativa/atributo, y la modalidad que otro sujeto presenta en esa misma variable cualitativa/atributo. En acción se pueda establecer la igualdad o desigualdad entre la modalidad que el sujeto presenta en una característica cualitativa/atributo, y la modalidad que otro sujeto presenta en esa misma característica, variable cualitativa/atributo. Los símbolos matemáticos serían: <<≠>

c. FORMACIÓN DE SUBGRUPOS

Cuando se ha concluido la identificación de las modalidades que los distintos sujetos del grupo presentan en una concreta variable cualitativa, puede o no formarse subgrupos. No se formará ningún subgrupo si todos los sujetos coinciden en poseer la misma modalidad. Si, por el contrario, hay sujetos que presentan distintas modalidades de la misma variable cualitativa, se podrán formar dos o más subgrupos, tantos como modalidades con algún sujeto. d. CONTAR LOS SUJETOS QUE PRESENTAN LA MISMA MODALIDAD DE UN MISMO ATRIBUTO

Simplemente contando el número de sujetos que presenta cada una de las modalidades de la misma variable cualitativa/atributo, se cuentan los sujetos. e. COMPARAR EL NÚMERO DE SUJETOS DE CADA SUBGRUPO CON LOS DE LOS DEMÁS

Es posible comparar los números obtenidos por cada subgrupo. La suma de los sujetos que presenta cada subgrupo es igual al número de sujetos que forman el grupo

f. ORDENAR LOS SUBGRUPOS POR EL NÚMERO DE SUJETOS DE CADA UNO

Ordenar de mayor a menor o de menor a mayor los subgrupos según el números de sujetos de cada modalidad. Cabe ordenar los subgrupos de mayor a menor o viceversa.


g. RELACIONES ENTRE EL NÚMERO DE SUJETOS DE CADA SUBGRUPO, CON EL NÚMERO DE SUJETOS DEL GRUPO TOTAL

Comparar el número de sujetos de cada una de las modalidades del atributo, con lo que conducirá a hallar la igualdad o la no igualdad entre los números de sujetos de cada modalidad con los de las demás modalidades. 4. POSIBLES OPERACIONES ARITMÉTICAS

Además de distinguir la igualdad o desigualdad entre los sujetos respecto a las modalidades que porta cada uno de ellos en el campo de un atributo y de contar cuántos sujetos presentan la misma modalidad, es posible: sumar restar y dividir entre sí los números de cada modalidad. Ejemplos con los datos de los inmigrantes: Sumar: Número de inmigrantes hispanoamericanos=número de inmigrantes ecuatorianos + número de inmigrantes colombianos + número de inmigrantes bolivianos=30+27+19=76 inmigrantes hispanoamericanos. Restar: número de inmigrantes hispanoamericanos-número de inmigrantes colombianos=76-27=49 Dividir: ==2 (Hay doble número de inmigrantes marroquíes que de inmigrantes colombianos). 5. PROPORCIONES Y PORCENTAJES

Supongamos que los sujetos que componen el grupo son cincuenta; de ellos, 17 tienen ojos marrones, 18 negros, 3 verdes y 12 azules. Con esos datos, podríamos determinar las proporciones y los porcentajes. La de un subgrupo es el cociente de dividir el número de sujetos del subgrupo entre el número total de sujetos del grupo. Si a la proporción de un grupo la multiplicamos por 100, tendremos el . Por ejemplo, si la frecuencia de un subgrupo es 15 y el número total de sujetos del grupo es 60, la proporción es 15/60 (0,25); y el porcentaje será 25%. De la relación que un subgrupo tiene con su grupo, podemos hallar las proporciones y los porcentajes. La proporción es el cociente de dividir el número de sujetos e un subgrupo entre el número total de sujetos de todo el grupo. El porcentaje resulta de multiplicar el valor numérico de la proporción por 100 Ejemplo: Proporción es el número de casos de un valor numérico por cada caso de total. O sea, frecuencia de un valor dividido entre la frecuencia total. Porcentaje es el resultado de multiplicar una proporción por 100 Ejemplos: Tabla de frecuencias, proporciones y porcentajes de número de sujetos de la modalidad < varones> y de la modalidad de variable cualitativas/atributos: .

MODALIDAD

FRECUENCIA

PROPORCIÓN

PORCENTAJE

VARONES

20

20/60=0.33333

33.333 %

MUJERES

40

40/60=0.66666

66.666 %

TOTALES

60

0.999999=1

99.999=100 %


CUADRO Nº 5: VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS Y ESCALAS ORDINALES 1. VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS Recordamos que las variables cuantitativas discretas son aquellas características a las que únicamente el grado de presencia puede ser expresado por números enteros, no admiten fracciones. El número de hijos de una familia en todos los casos será un número entero: tres hijos, un hijo, seis,…cero hijos. Pero nunca es posible que una familia tiene tiene dos hijos y medio, o 5,3 hijos. Si tenemos, por ejemplo, cuatro familias, y atendemos a la variable , podemos encontrarnos que una o más de una tienen el mismo nº de hijos o números diferentes. Con esos datos, se puede sumarlos todos o sólo algunos o hallar la diferencia entre dos valores (cuántos hijos tiene Juan más que José). Las variables cuantitativas discretas se asemejan a las variables cualitativas/atributos, porque los valores se obtienen por conteo, como en las modalidades de la variable cualitativa. Sin embargo existe una diferencia: las modalidades de las variables cualitativas no pueden ser legítimamente ordenadas en una serie numérica (la variable presenta cinco modalidades: negro, castaño, azul, verde y gris), no pueden ser ordenados pues no hay justificación matemática para afirmar que los ojos negros sean superiores a los ojos azules, a los verdes,… Tal vez sea distinto en el campo de las preferencias estéticas de las personas. Eso sí, el número de sujetos de cada modalidad de la misma variable pueden ser ordenados. Veamos el siguiente cuadro: Cuadro de número de sujetos que pertenecen a cada modalidad de una variable cualitativa VARIABLE

MODALIDAD

Nº DE SUJETOS

Negro

12

Color de Los ojos Castaño

15

Azul

9

Verde

4

Gris

10 Total = 50

Del mismo modo, las variables cuantitativas discretas ofrecen valores que pueden ser contados, comparados, agrupados por recuencias, ser presentados en una tabla de distribución de frecuencias: pueden ser medidos con una escala nominal. Pero, además, las variables cuantitativas discretas pueden ser medidas con una escala ordinal, pues los valores numéricos que oman pueden ser ordenados en series crecientes o decrecientes. Por ejemplo: según el número de familias con 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 hijos en una pequeña localidad, tendríamos la siguiente tabla de distribución de frecuencias: Número de hijos

Frecuencia

0

6

1

32

2

61

3

18

4

7

5

8

6

1

7

1

8

1 N = 135

También, como decimos, pueden ordenarse en una serie creciente o decreciente, asignando a cada frecuencia un rango. Siguiendo con el ejemplo anterior de las 135 familias, tendríamos las siguientes operaciones: 1º) Ordenamos las frecuencias de mayor a menor. 2º) Las asignamos rangos: la familia más frecuente (61) es la que tiene ; se le asigna el rango 1º. La que ocupa el siguiente rango es la que solo tiene , pues hay 32 que tienen esa composición. La que ocupa el tercer rango es la familia que tiene , pues 18 amilias con esa prole… Veamos la tabla: FRECUENCIAS (NÚMERO DE FAMILIAS CON EL MISMO NÚMERO DE HIJOS) 61

RANGOS

Nº DE DE HI HIJOS DE DE CADA FAMILIA

1º

2 hijos Estadísticos e-Books & Papers

32

2º

1 HIJO

18

3º

3 HIJOS

8

4º

5 HIJOS

7

5º

1 HIJO

6

6º

0 HIJOS

1

7º

6 HIJOS

1

8º

7 HIJOS

1

9º

8 HIJOS

Las variables cuantitativas discretas no pueden ser medidas con la escala de intervalo o de razón, reservadas para todas las variables cuantitativas continuas o sólo para algunas respectivamente.

2. ESCALA ORDINAL Las escalas ordinales sitúan los individuos en una serie ordenada creciente o decreciente según los valores que presenta cada individuo en una determinada variable; el puesto puesto que ocupa cada individuo se denomina . Las series series numéricas de una escala ordinal (primero, segundo, tercero, cuarto…) son distintas a las series numéricas de una escala de valores cardinales (1, 2, 3, 4,…n). La ordenación depende de cuatro operaciones: a. La igualdad/desigualdad. igualdad/desigualdad. b. Ser mayor y menor. c. La seriación y asignación de rangos, manteniendo una relación biunívoca entre números cardinales ordenados de mayor a menor (o

viceversa) y los rangos. La escala ordinal puede aplicarse a variables cuantitativas discretas y a variables cuantitativas continuas, si bien en este último caso, se pierde información. No puede aplicarse a variables cualitativas/atributos, cualitativas/atributos, que únicamente admite la aplicación de la escala nominal. No es posible realizar ninguna operación aritmética con rangos de una serie ordinal. No tiene sentido sumar: tercero, sexto y séptimo, pero si es posible determinar la distancia existente entre parejas de de rangos. Veamos un ejemplo de aplicación de la la escala ordinal a una variable cuantitativa cuantitativa discreta: Si cinco especialidades de un Conservatorio tienen distinto distinto número de alumnos, podemos ordenarlas en una serie de rangos, de mayor a menor número de alumnos. He aquí su tabla:

NÚMERO DE ALUMNOS DE CADA ESPECIALIDAD

RANG RANGO O ASIG ASIGNA NADO DO

ÁREA ÁREA CURR CURRIC ICUL ULAR AR

38

1º

Solfeo

20

2º

Violín

18

3º

Clarinete

12

4º

Trompeta

9

5º

Percusión

Los índices estadísticos aplicables aplicables a datos expresados en escala ordinal son la entre los índices de tendencia central y la entre los índices de variabilidad. Como hemos dicho, también las variables cuantitativas continuas, como la estatura humana, pueden ser legítimamente medidas por una escala ordinal. Veamos un ejemplo: Cinco jóvenes (Rogelio, Jorge, Alberto, Severo y Nicolás) miden respectivamente: 1,70 m., 1.59 m, 1.89 m, 1.67 m y 1.61 cm. Si los ordenamos de mayor a menor, tendríamos la siguiente tabla: ESTATURA EN EN ME METROS.

RANGO

INDIVIDUO

1.89

1º

Alberto

1.70

2º

Rogelio

1.67

3º

Severo

1.61

4º

Nicolás

1.59

5º

Jorge



CUADRO Nº 6. VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS Y LAS ESCALA DE INTERVALO Y DE RAZÓN 1. VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS Y LAS ESCALAS DE INTERVALO Y DE RAZÓN

Como ya se expuso en el número 3º, las variables cuantitativas continuas son aquellas variables que admiten fracciones entre números enteros consecutivos. Ejemplos son: la longitud, la masa, la velocidad, el cociente intelectual,…Para medir este tipo de variables, disponemos de las escalas de intervalo y de razón. La escala de intervalo se aplica a la medición de todas las variables cuantitativas continuas, si bien algunas de ellas también pueden ser medidas por una escala de razón. Así mismo, como vimos en el cuadro número 5º, pueden ser medidas por una escala ordinal. En las escalas de intervalo es posible determinar: 1º) La igualdad/desigualdad entre los valores que presentan las puntuaciones. 2º) El orden: pueden ser comparados. Si son distintos, podrán ser ordenados en una serie creciente o decreciente. 3º) La igualdad de diferencias: entre cada dos valores consecutivos hay la misma diferencia que entre cualquier otra pareja de valores consecutivos (por ejemplo, la diferencia entre 17 y 18 es la misma que entre 31 y 32), lo que significa que esa variable dispone de unidad constante, Las escalas de intervalo no tienen cero absoluto. Si lo tuvieran ya no estaríamos hablando de escalas de intervalo, sino de escalas de razón. 4º) Carece de igualdad entre razones. Por ello no es aceptable afirmar que un sujeto que tiene un coeficiente intelectual de 120 tiene doble inteligencia que otro sujeto cuyo coeficiente intelectual sea de 60. Si, por el contrario 120 y 60 fueran centímetros de estatura, estaría justificado afirmar que el primero tiene doble estatura que el segundo. No sería correcto afirmar que un objeto con 80 grados centígrados tiene doble emperatura que un objeto con 40 grados centígrados, pues la escala Celsius no tiene cero absoluto. En ocasiones, por simplificar los cálculos, datos de variables cuantitativas continuas, como p.e. la estatura, son tratados como si fueran de una variable cualitativa. Si hubiéramos medido la estatura de 60 jóvenes, podríamos agrupar las puntuaciones obtenidas (160 cm., 184 cm….) en res categorías: , y . Necesariamente habría que marcar el umbral y el dintel de cada una de esas modalidades. Por ejemplo, estaría entre 1.60 y 1.75,si así lo convenimos. Considera a la estatura de este modo supone una depreciación de la precisión de los datos, pero puede servir para presentarlos de una manera más fácilmente operable. 2. LAS ESCALAS DE RAZÓN Algunas variables cuantitativas continuas pueden ser medidas por una escala de intervalo o por una escala de razón. Por ejemplo: la escala Celsius o centígrada de temperatura no tiene cero absoluto, sino que existen magnitudes de la variable que se presenta como (-3 grados). En cambio, la escala Kelvin de temperatura sí tiene 0 absoluto. Otras variables con 0 absoluto son: la altura, la masa…, variables propias de la Física o la Química, pero las variables en Psicología o Psicopedagogía (por ejemplo, el cociente intelectual) no pueden ser medidas con una escala de razón, sino sólo por una escala de intervalo. Las escalas de razón son aquellas que: 1. 2. 3. 4.

Distinguen la igualdad/desigualdad entre puntuaciones. Ordenan las puntuaciones en una serie ascendente o descendente. Mantienen la igualdad de diferencias entre valores consecutivos (o sea, con unidad constante). Poseen la propiedad de la igualdad entre razones, lo que supone que la concreta variable cuantitativa continua medida tiene 0 absoluto. El ejemplo de estas variables cuantitativas continuas que posee el cero absoluto es la longitud. Si el objeto mide 40 cm y el objeto , 20 cm, es completamente correcto afirmar que el objeto mide el doble que el objeto .

Por el contrario, otras variables cuantitativas continuas no tienen 0 absoluto, por lo que no pueden ser medidas con una escala de razón, como ya se expuso en la anterior sección. Las variables propias de la conducta, objeto de estudio de la psicología y de la psicopedagogía, muy raramente y con matices, podrían considerarse aptas para ser medida con una escala de razón. Las variables conductuales generalmente son medidas con escalas de intervalo y, con pérdida de información, por escalas ordinales e, incluso, por escalas nominales. CUADRO RESUMEN DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS POSIBLES SEGÚN EL TIPO DE ESCALA ESCALAS

VARIABLES

NOMINAL

CUALITATIVA

ORDINAL

CUANTITATIVA DISCRETA

DE INTERVALO

CUANTITATIVA CONTINUA SIN VALOR ABSOLUTO

DE RAZÓN

OPERACIONES ARITMÉTICAS POSIBLES CON ESTE TIPO DE ESCALA Igualdad ( = ), desigualdad (

Igual ( =) , desigual (

igualdad ( =), desigualdad (≠) ).

CUANTITATIVA Todas las operaciones válidas para la escala de intervalo más la igualdad de razones. Se aplica a variables cuantitativas continuas que cuentan con < cero absoluto>. CONTINUA CON VALOR ABSOLUTO


CUADRO Nº 7: CONCEPTOS BÁSICOS EN ESTADÍSTICA En Estadística, como en otras ciencias, se utiliza una serie de conceptos (con sus correspondientes símbolos) que, si no son bien comprendidos, sería muy difícil avanzar con paso seguro en el desarrollo de los análisis estadísticos descriptivos o inferenciales. Ya conocemos el significado de los siguientes conceptos, expuestos en los cuadros precedentes: medida, característica, constante, variables cualitativas/atributos, y sus modalidad/categoría, variables cuantitativas discretas con sus series y rangos, variables cuantitativas continuas con sus valores y las cuatro escalas de medida: nominal, ordinal, de intervalo y de razón. Por ello, en este cuadro no se hacen referencias a esos conceptos. Los conceptos estadísticos que en este cuadro presentamos son: INDIVIDUO: Cada uno de las unidades de un grupo. Cuando los individuos son seres humanos reciben el nombre de . GRUPO: conjunto de individuos a los que se les ha aplicado un instrumento de medida sobre un determinado atributo o variable. MUESTRA: grupo de individuo (extraído de una población) y cuyos individuos han sido objeto de observación o medida en alguna de las variables que portan. POBLACIÓN O UNIVERSO: colectivo de todos los individuos que presentan una característica común, y que por su amplitud, extensión o dificultad de aplicación de un instrumento de medida, no pueden ser sometidos a observación o a medida en ninguna de sus variables; incluye a odas las muestras que puedan extraerse de la población. NÚMERO DE CASOS: número de mediciones de una variable en una muestra, o sea, número de individuos de una muestra que han sido observados o medidos en alguna de sus variables. FRECUENCIA: número de individuos que han obtenido el mismo valor (p. e. , una puntuación) en la aplicación del mismo instrumento de medida sobre la misma variable. VALOR: Cada uno de los posibles grados o modalidades que puede presentar una variable. Por ejemplo, la puntuación (5) obtenible en una escala del 1 al 10 PUNTUACIÓN: grado de posesión de una determinada variable cuantitativa. PUNTUACIÓN DIRECTA.- (X, x mayúscula): Puntuación obtenida por un individuo tras serle aplicado un instrumento de medid a una de sus variables cuantitativas. PUNTUACIÓN DIFERENCIAL.- (x, x minúscula): es la diferencia entre la puntuación directa, la obtenida por un individuo en una de sus variables cuantitativas continuas y el valor de la media aritmética de la muestra que incluye al individuo. PUNTUACIÓN ESTÁNDAR.- (z, z minúscula): es el cociente de dividir la puntuación diferencial (x) entre la desviación estándar (S). ESTADÍSTICO.- El valor numérico resultante del cálculo de un estadígrafo (índices de tendencia central, de variabilidad, simetría, y apuntamiento, de correlación, de asociación de la estadística descriptiva o de pruebas y contrastes de la estadística inferencial) de una muestra a partir de las puntuaciones obtenido por la aplicación de una de las cuatro escalas de medida a una, dos o más variables de los individuos que constituyen una muestra. Sus símbolos son letras del alfabeto latino (X, x, z, S, Mo, Md, r xy salvo en algunos coeficientes de correlación o de asociación representados por letras del alfabeto griego (r, c, t, w, f ...). También algunos autores sustituyen el símbolo de la desviación estándar/típica del alfabeto latino, por la letra griega (letra minúscula). Nosotros designamos la desviación estándar con una (una S mayúscula). PARÁMETRO: valor representativo de una población. Por definición no puede hallarse, pero sí estimarse. Es desconocido, pues, por muy grande que sea el número de individuos observados o medidos, siempre será una muestra, no una población; La estimación de un parámetro se realiza a partir del valor de uno o más estadísticos obtenidos por la aplicación de un instrumento de medida sobre una variable a grupos de individuos (muestras) extraídas de la concreta población. El cálculo de parámetros incumbe a la estadística inferencial, no a la descriptiva. Sus símbolos suelen ser, en casi todos los casos, letras del alfabeto griego: s, m, ... FÓRMULA: Ecuación que indica las operaciones matemáticas, generalmente aritméticas, que deberán ser efectuadas para hallar el valor numérico de un índice descriptivo o inferencial. SÍMBOLO: cada uno de los signos (operadores o variables) que forman parte de una fórmula. INTERVALO: grupos de 3, 4, 5, 6, o 7 valores consecutivos que resultan de dividir el número de valores que pueden tomar las puntuaciones, entre 4, 5, 6, 7, 8 o 9 y, de este modo simplificar los cálculos.


CUADRO Nº 8: SÍMBOLOS USADOS EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Conviene advertir a los lectores de este libro que la relación de los símbolos estadísticos, que a continuación se ofrece, son presentados en este con la única finalidad de que puedan ser consultados por el lector si lo creyera necesario más adelante. Todos los conceptos matemáticos pueden representarse por medio de símbolos. La estadística, una rama de las matemáticas, no iba a ser una excepción. Por supuesto que se cumple la regla de la relación biunívoca entre cada símbolo y el concepto representado: a cada concepto le corresponde uno y sólo uno de los símbolos y que a cada símbolo le corresponde uno y sólo uno de los conceptos. Las fórmulas utilizadas para el cálculo de los valores numéricos de los distintos índices estadísticos, están formadas por símbolos procedentes de los alfabetos latino y griego. En principio puede decirse que los símbolos que son letras del alfabeto latino, casi exclusivamente son propios de la estadística descriptiva (que utiliza una única muestra) y los símbolos que son letras del alfabeto griego son utilizados casi exclusivamente, en la estadística inferencial. Limitándonos en este a los símbolos de la Estadística descriptiva, encontramos: LETRAS LATINAS X: (x mayúscula) Puntuación directa obtenida tras la aplicación de una prueba a un sujeto. Otros autores prefieren Xi (X mayúscula con una minúscula como subíndice) X j (X mayúscula con una como subíndice): puntuación media de un intervalo. En otros textos también se ve los símbolo Xm o Xi. x: (x minúscula): puntuación diferencial resultante de hallar la diferencia entre una puntuación directa (X) y la media aritmética ( ) de la muestra a la que pertenece el individuo. f (f minúscula): frecuencia (número de individuos que han obtenido la misma modalidad cualitativa en una observación o el mismo valor cuantitativo en una puntuación o en un intervalo (agrupación de 3 a 7 valores consecutivo). n (n minúscula): número total de individuos (sujetos si son seres humanos) o suma de todas las frecuencias de todos los valores o de todos los intervalos de una muestra. Algunos autores sustituyen la minúscula por una (n mayúscula) siempre o sólo en algunos casos. Mo: moda, valor que presenta la mayor frecuencia en una distribución. Md: mediana, valor que ocupa el punto medio de una distribución de valores, o sea, el valor que deja por encima y por bajo el mismo número de valores. (X mayúscula con una línea recta horizontal sobre la X): media aritmética. Xg: media geométrica. Xa: media armónica. Xc: media cuadrática. A: (A mayúscula) amplitud o recorrido de un conjunto de puntuaciones. Es la diferencia entre la puntuación más alta y la puntuación más baja de una serie ordenada +1. S2 (S mayúscula con un 2 como índice de potenciación o sea, el valor de S elevado al cuadrado): varianza: media de los cuadrados de las puntuaciones diferenciales. O sea: cuadrado de S (desviación estándar). S o SD (S mayúscula o S y D mayúsculas): Desviación estándar: raíz cuadrada de la varianza. r xy (r minúscula con una x y una y pequeñas como subíndices): coeficiente de correlación de Pearson. R: (R mayúscula) rango, posición de una puntuación en una serie creciente o decreciente de puntuaciones. W: (W mayúscula) coeficiente de concordancia de Kendall. C: (C mayúscula) coeficiente de contingencia. Q: (Q mayúscula) coeficiente de asociación. V: (V mayúscula) coeficiente de Cresmer La anterior relación no pretende ser exhaustiva. LETRAS GRIEGAS UTILIZADAS EN LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Las letras griegas utilizadas en la Estadística descriptiva son: ∑ (letra griega mayúscula): sumatorio. s (letra griega minúscula): desviación estándar/típica, el más importante índice de variabilidad; puede simbolizarse con una mayúscula (S) o por la letra griega < s>. En la estadística descriptiva utilizaremos el símbolo , no el símbolo .

r (letra griega minúscula): Coeficiente de correlación entre valores ordinales de Spearman t (letra griega minúscula): coeficiente de correlación de datos ordinales de Kendall. w (letra griega minúscula): coeficiente de asociación f (letra griega minúscula): Coeficiente de coaligación entre variables cualitativas. h (letra griega minúscula): coeficiente de correlación no lineal o curvilineo c2 (letra griega o con exponente cuadrado): un coeficiente de asociación entre variables cualitativas (atributos); también es una prueba de contraste y decisión en la Estadística inferencial. Estadísticos e-Books & Papers

CUADRO Nº 9: ALGUNAS PRECISIONES SOBRE EL USO DE LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS DE LAS FÓRMULAS ESTADÍSTICAS. 1. INTRODUCCIÓN Es preciso concretar y aclarar el uso de los signos que designan las operaciones aritméticas indicadas en las fórmulas de los distintos índices usados en Estadística. Veamos cómo: LA SUMA El signo de la suma o adición es: <+>. LA DIFERENCIA El signo de la resta o diferencia es: <->. Lo mantenemos. EL PRODUCTO El signo de la multiplicación o producto habitual en Aritmética es una o un simple punto <.> entre los factores. En este libro, para evitar la confusión con la (puntuación directa) o con (puntuación diferencial), no usaremos ningún signo entre factores de un producto/multiplicación, simplemente cada factor irá dentro de un paréntesis en posiciones contiguas, o sea, el único signo del producto será en las fórmulas usadas en este libro un espacio entre dos paréntesis; dentro de cada paréntesis irá el número u otro símbolo aritmético que sea un actor del producto. Pongamos un ejemplo, si tuviéramos que multiplica 30×20x8, no lo escribiremos: 30x20x8=4800 porque la x minúscula en Estadística descriptiva representa una puntuación diferencial. Ni una X mayúscula 30X20X8 =4800, pues la X mayúscula representa una puntuación directa. Por tanto, ambas prácticas nos llevarían a confusión. También usar el punto (.) puede llevar a error, ya que el <.> se usa para diferenciar la parte entera, de la parte decimal, p.e.: 18.75 (como aquí lo usamos) o la separación de las unidades de millar respecto de las centenas (como es habitual en nuestro país), por ejemplo, 12.375,58. Nuestra forma de escribir ese producto no será: 30x20x15 = 4800; ni 30X20X15 = 4800; ni tampoco: 30.20.15 =4800, sino: (30)(20)(15) = 4800 Otros ejemplos: (5)(7)=35 (9)(6)(4) = Una ventaja más de esta notación para los productos se pone de relieve cuando uno o más factores son una suma o una resta. Por ejemplo: (8 + 4) (7 -2) = (12) (5)= 60 Reconocemos, no obstante, que las fórmulas se llenan de paréntesis < ( ) > e incluso habrá que usar en muchas fórmulas distintos tipos de paréntesis, unos incluidos dentro de otros paréntesis: = 18 +16 =34 Las letras minúsculas representan variables (p.e.: y ); las variables pueden ser factores de un producto. Con ellas, actuamos como con los números, encerrándolas en paréntesis. Por ejemplo: <(a)(b)>) es el producto de los valores numéricos que pueden tomar la variable , por los valores numéricos que puede tomas la variable .


LA DIVISIÓN El signo de la división/cociente será en todas las fórmulas un segmento de recta horizontal (raya) situado entre el dividendo y el divisor o lo que es equivalente, entre el numerador y el denominador. Ejemplo: 20 dividido entre 4, sería: = 5 Se excluye la notación de los dos puntos (:) Ejemplo 30:5 = 6 También se excluye la notación de la (/) Por ejemplo: 30/5 = 6 Ambas notaciones distorsionan las fórmulas estadísticas. LA POTENCIACIÓN La potenciación de un número será simbolizada, como es habitual en matemáticas, por un número () y otro número (). Recordemos que el número o la expresión que se multiplica es la y el número o la expresión que indica las veces que se multiplicara la base, es el . La se escribe con un número o expresión de tamaño normal. El número o expresión del es de menor tamaño que el de la , y se coloca a la derecha y arriba del número o expresión de la . =216 53 = 125

Ejemplos: =36

104 = 10,000

LA RADICACIÓN La radicación, o sea, la extracción de la raíz cuadrada, cúbica,… de un número, conocido como , tendrá como signo el habitual en matemáticas: El . En los demás casos, en el lugar mencionado, debe ir el número de orden de la raíz: <3> si la raíz de su cúbica, un <4>, si la raíz es de cuarto orden, etc. Ejemplos: = 6 =5 =2 PUNTOS Y COMAS EN NÚMEROS DECIMALES: Para escribir un número decimal, tradicionalmente en nuestro ámbito cultural, se colocaba una coma (,) para diferenciar la parte entera a la izquierda de la coma y la parte decimal a la derecha de la coma. Por ejemplo: el número , en la notación tradicional de nuestro país se escribiría <38,6>. En la notación que usaremos en este libro, el mismo número decimal, lo escribimos del siguiente modo: <38.6>. Nos decidimos por la notación del punto (.), en lugar de la coma (,), porque los programas informáticos de estadística (por ejemplo, el SPSS) así lo hacen. Otros países utilizan esta misma convención. TABLA RESUMEN ERACIÓN

EJEMPLOS EJEMPLOS DE NOTACIÓN NOTACIÓN HABITUAL ESTE LIBRO

DE EN

MA/ADICIÓN

4+6+5=15

4+6+5 = 15

Es misma

la

STA/DIFERENCIA

12-4=8

12-4 = 8

Es misma

la

ODUCTO/MULTIPLICACIÓN

6x5x2=60

(6) (5) (2)=60

Es diferente

CIENTE/DIVISIÓN

16:2=8

=8

Es diferente

TENCIACIÓN

42 = 16

42 = 16 )

Es misma

la

DICACIÓN

=5

=5

Es misma

la


CUADRO Nº 10. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LOS DATOS 1. LAS REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LOS DATOS No sólo los datos recogidos de la aplicación de alguna de las cuatro escalas de medida a una, dos o más variables cualitativas o cuantitativas de los individuos de una muestra, pueden ser presentados en tablas de distribución de frecuencias con valores numéricos, sino también por representaciones gráficas, aprovechando las posibilidades que ofrecen los ejes cartesianos. Recordemos esas nociones. 2. LOS EJES CARTESIANOS Los ejes cartesianos de coordenadas en el plano son dos rectas que se cortan perpendicularmente en un punto <0>. El eje horizontal recibe el nombre de (0 X) y el eje vertical, el de (0 Y). 3. CARACTERÍSTICAS DE LOS DATOS QUE PUEDEN REPRESENTARSE CON GRÁFICOS Las representaciones gráficas pueden aplicarse a distintos tipos de datos: a) Las frecuencias que obtiene cada modalidad de variables cualitativas/atributos. b) Las frecuencias de los valores que toman las puntuaciones obtenidas con escalas de intervalo en variables cuantitativas continúas. Las representaciones gráficas de distribuciones de frecuencias dependen de: a. Las modalidades de las variables cualitativas. b. Los valores que pueden tomar las puntuaciones en una variable cuantitativa continua. c. Los intervalos que agrupan valores que pueden tomar las puntuaciones en una variable cuantitativa continua. a. LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Recordemos qué es una distribución de frecuencias: El tipo de distribución de frecuencias varía según el número de modalidades de la variable cualitativa o del número de valores posibles que puedan tomar las puntuaciones de una variable cuantitativa continua; si el número de valores es superior a doce, será conveniente agrupar entre res y siete valores consecutivos en intervalos del mismo número de valores. 4. TIPOS DE REPRESENTACIONES GRÁFICAS Las principales representaciones gráficas son: 1) 2) 3) 4)

Histograma. Polígono de frecuencias Curva de frecuencias. Diagrama de desarrollo.

5. EL HISTOGRAMA Y EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Ambos son representaciones gráficas de una distribución de frecuencias. Un histograma está formado por rectángulos (barras) con la misma base (sobre el eje de las abscisas) y con alturas generalmente diferentes paralelas al eje de las ordenadas. Las bases representan las modalidades de una variable cualitativa, los valores o los intervalos que agrupan valores de una variable cuantitativa continua. Las alturas representan generalmente frecuencias. También los rectángulos pueden ser sustituidos por prismas o cilindros en perspectiva. Los barras (rectángulos) que representan a las modalidades de una variable cualitativa/atributo suelen dejar un pequeño espacio entre cada dos consecutivos y el orden de colocación de las barras es indiferente, arbitrario. En cambio, las barras (rectángulos) que representan valores o intervalos de valores de una variable cuantitativa continua, están situados sin espacios entre ellas, , sin , para mostrar la naturaleza continua de la variable. El orden de colocación de las barras está sujeto al orden natural de los números cardinales, comprendidos entre el valor más bajo y el valor más alto. Los histogramas pueden mostrar: a. Frecuencias absolutas b. Frecuencias relativas, en proporciones o porcentajes. c. Frecuencias absolutas acumuladas, en los que cada barra acumula los valores absolutos de la suma de las frecuencias de las barras

menores (no es posible con frecuencias de modalidades de variables cualitativas/atributos). d. Frecuencias relativas acumuladas (como el tipo de histograma anterior, pero con proporciones o porcentajes en lugar de frecuencias

absolutas). El polígono de frecuencias deriva del histograma. Es la serie de segmentos de recta que unen los puntos medios de las frecuencias de cada una de las barras (rectángulos) del histograma.

6. CONSTRUCCIÓN DE UN HISTOGRAMA O DE UN

La elaboración de un histograma o de un polígono de frecuencias supone el desarrollo de un mismo proceso, pues se sigue estos pasos: Estadísticos e-Books & Papers

a. Trazar un sistema de ejes de coordenadas cartesianas. b. En el eje de las abscisas se sitúa las bases de los rectángulos (barras) que representarán a: 1)

Las modalidades de la variable cualitativa/atributo.

2)

Los valores numéricos que pueden tomar las puntuaciones de una variable cuantitativa.

3)

Los puntos medios de los intervalos que agrupan valores cuando el número de estos aconseja el agrupamiento.

c. En el eje de las ordenadas se representan las frecuencias con las alturas de las barras (rectángulos); esas alturas deben ser

proporcionales a las frecuencias. En la construcción de un histograma debe tenerse reservar espacio suficiente para la mayor de las frecuencias, aquella cuya barra será la más alta. El resto de las frecuencias aparecerán en alturas proporcionales.

Ejemplos de histogramas y polígono de frecuencias son estos:

A

7. HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

El histograma y el polígono de frecuencias acumulativos siguen los mismos pasos que sus semejantes no acumulativos. En los acumulativos cada rectángulo representa la suma de las frecuencias de los rectángulos precedentes

8. SECTORES CIRCULARES PARA PRESENTAR FRECUENCIAS

Estos diagramas circulares son generalmente usados para representar frecuencias de modalidades de variables cualitativas/atributos. Se forma tantos sectores circulares como modalidades y la frecuencia de cada una de ellas es proporcional a la extensión del área de cada sector circular Se halla los porcentajes de las frecuencias de cada modalidad y por una simple regla de tres, se reparten los 360 grados de la circunferencia: Si al 100% de la suma de todas las frecuencias, le corresponde 360 grados, a un 27 % de frecuencias (o el 40%, o el 36% o el porcentaje que sea), le corresponderá grados. Número de grados Ejemplo: diagrama de sectores circulares con las frecuencias de alumnos que habían aprobado 0, 1, 2, 3 y 4 o más:



CUADRO Nº 11: TAREAS DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1. EL TRATAMIENTO DE LOS DATOS Los análisis de la estadística descriptiva siguen un proceso formado por estas fases: a. b. c. d. e.

Recogida de los datos Ordenación Tabulación Representación gráfica Cálculo de los índices con una sola variable o con coeficientes de correlación o asociación de dos o más variables:

Los índices son valores numéricos que representan el conjunto total de valores obtenidos por los sujetos de una muestra. Estos índices se calculan aplicando ciertas fórmulas, una o más por índice. Existen cuatro clases de índices descriptivos: a. Índices de tendencia central o promedios b. índices de variabilidad o de dispersión c. Índice de simetría/asimetría (As) d. Índice de apuntamiento o curtosis (K) 2. RECOGIDA Y ORDENACIÓN DE LOS DATOS

Habiendo recogido los datos fruto de la aplicación de un instrumento de medida sobre una variable presente en los sujetos de una muestra, la primera tarea en cualquier análisis estadístico descriptivo es la organización de los datos. Estos se ordenan en una tabla de distribución de recuencias. La frecuencia de una modalidad de una variable cualitativa/atributo o un valor de puntuación de variable cuantitativa es el número de individuos que presentan dicha modalidad o dicho valor. 3. TABULACIÓN Para presentar ordenadamente los datos, han de ser elaboradas las tablas más adecuadas al tipo de: a. b. c. d. e. f.

La variable medida. La escala de medida utilizada. El número de modalidades o de valores que pueden tomar las observaciones o las puntuaciones respectivamente. El índice descriptivo que se quiere calcular. La fórmula del índice utilizada. El número de sujetos de la muestra.

Las tablas están constituidas por un entramado de filas y columnas. Encabezan las filas, bien los sujetos (cuando no superan la docena), bien los posibles valores o bien grupos de valores (intervalos) que una variable puede tomar. Las columnas (exceptuando la primera por la izquierda) recogen generalmente las frecuencias y los resultados de las operaciones aritméticas que prescribe la fórmula. Limitándonos a las ablas de , distinguimos tres casos: a. Tabla para una muestra de menos de 12 individuos. La tabla está formada por dos columnas, la de la izquierda contiene los nombres de

los individuos, uno por fila. La columna de la derecha contiene la puntuación obtenida por cada sujeto. Probablemente se repetirán los valores de algunas puntuaciones, pero se opera del mismo modo con las puntuaciones repetidas que con las no repetidas. b. Tabla para una muestra que supera la docena de individuos. Si el número de valores es inferior a doce, algunos valores de las

puntuaciones estarán repetidos. El número de puntuaciones que tienen el mismo valor recibe el nombre de . c. Tabla de distribución de frecuencias destinada a aquellos casos en los que el número de valores que pueden tomar las puntuaciones

es superior de 12 o 15; en ese caso, conviene agrupar los valores en . Veamos estos tres tipos de tablas.

4. EJEMPLO DE TABLA PARA MUESTRAS CON MENOS DE 12 SUJETOS Se sometió a un grupo de diez sujetos a una prueba de 12 preguntas. Los valores que puede tomar la prueba es el número de respuestas acertadas (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12).

La tabla tendrá tantas filas como individuos forman la muestra y dos columnas, la columna para situar el nombre u otro signo identificativo de cada uno de los individuos de la muestra y la columna destinada a acoger el número de preguntas acertadas por cada uno de los sujetos. Veamos esta tabla:


A

B

SUJETOS

Nº PREGUNTAS ACERTADAS (X)

JOSÉ

12

JUAN

8

JAIME

9

JOAQUÍN

6

JAVIER

4

MELCHOR

8

MIGUEL

3

MARCOS

6

MANUEL

10

MARIO

9

N = 10

Advertimos que algunos valores obtenidos por los sujetos de esta muestra se repiten (Juan y Melchor, p. e.). Esta tabla de dos columnas puede servir para realizar solamente cálculos de índices de tendencia central/promedios. 5. EJEMPLO DE TABLA DE FRECUENCIAS PARA MUESTRAS SUPERIORES A DOCE SUJETOS Y CON PUNTUACIONES CUYOS VALORES NO ESTÁN AGRUPADOS EN INTERVALOS. Supongamos el siguiente conjunto de datos: Los posibles valores que pueden tomar las puntuaciones en una prueba de evaluación son diez: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Las puntuaciones realmente obtenidas por 16 alumnos tienen los siguientes valores: 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8 y 10.

La tabla adjunta es de tres columnas: los valores, sus frecuencias y los productos de cada valor por su frecuencia: A

B

C

VALORES

FRECUENCIAS

1

1

1

2

1

2

3

2

6

4

1

4

5

3

15

6

2

12

7

3

21

8

2

16

9

0

0

10

1

10

n = 16

(X)(f) = 87

PRODUCTO DE VALORES POR FRECUENCIAS

Así ya podemos recoger los resultados de las operaciones aritméticas implicadas en los índices de tendencia central. 6. EJEMPLO DE TABLA DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUYOS VALORES OBTENIBLES ESTÁN AGRUPADOS EN INTERVALOS Cuando el número de valores que pueden tomar las puntuaciones es elevado (15, 20, 30, 40), ya no es práctico hacer una tabla con una fila por cada valor, pues la tabla tendría 15, 20, 30, 40…filas. Necesitamos reducir el número de filas para que la tabla sea manejable. En este caso, la mejor solución es agrupar los valores en intervalos. Los intervalos deben cumplir ciertas condiciones: a. Igualdad del número de valores que integran cada intervalo. b. Exclusividad: cada valor sólo puede estar en un intervalo. c. Exhaustividad: Todos los valores tienen que estar en alguno de los intervalos. d. El número de valores de cada intervalo debiera ser (3, 5 o 7), mejor que (2, 4 o 6) pues es fácil determinar el punto

medio de cada intervalo, mientras que los intervalos con número de valores requieren hallar la media aritmética de los dos valores centrales de cada intervalo, resultando un número decimal, lo que siempre complica los cálculos posteriores. Para determinar el número de intervalos necesarios para reducir el número de valores que pueden presentar las puntuaciones, se siguen los siguientes pasos: 1º) Se halla la (A) aplicando esta fórmula: A = Xma (valor mayor) - Xmen (valor menor)+1. Un ejemplo: si los valores se mueven entre 18 y 67, la amplitud será 50 (A= 67 – 18 + 1 = 50). 2º) Dividimos el valor de la amplitud (A), entre un número que nos permita tener entre 5 y 10 intervalos con 3, 4, 5 o 6 valores cada intervalo. Hagamos una tabla de distribución de frecuencias con los siguientes datos: Un grupo de 100 alumnos han sido sometidos a un test, obteniendo, por tanto, 100 puntuaciones (n = 100). Los valores que pueden adoptar las 100 puntuaciones son 30 (del 1 al 30).

Agrupamos estos 30 valores en seis intervalos de cinco valores cada uno, resultando una tabla de seis filas y de tres columnas. Las filas acogen los intervalos. Necesitamos cuatro columnas: a. La columna acoge los valores agrupados en intervalos. b. La columna , los puntos medio de cada intervalo. c. La columna , las frecuencias de cada intervalo, el número de puntuaciones que coinciden con alguno de los valores que integran el

intervalo. Estadísticos e-Books & Papers

d. Columna : productos de los puntos medios de cada intervalo por su frecuencia.

A INTERVALOS

B PUNTO MEDIO DEL INTERVALO

C FRECUENCIA

D PRODUCTO DEL PUNTO MEDIO DE CADA INTERVALO POR SU FRECUENCIA

1–5

3

3

9

6 – 10

8

7

56

11 – 15

13

42

546

16 – 20

18

38

684

21 – 25

23

8

184

26 - 30

28

2

56

n = 100

(xJ)(f) = 1535

Con esta tabla es posible y fácil calcular el valor numérico de índices de tendencia central media aritmética.


CUADRO Nº 12: ÍNDICES DESCRIPTIVOS DE UNA SOLA VARIABLE EN UNA MUESTRA 1. ÍNDICES DESCRIPTIVOS DE UNA SOLA VARIABLE Podemos preguntarnos cómo describir los resultados de un proceso de medida de una variable en los individuos que forman una muestra. Responder a esta pregunta depende del número de individuos de la muestra. Por ejemplo, si tenemos cuatro hijos y las calificaciones en Música han sido 4, 6, 6 y 5, podríamos satisfacer la curiosidad de un pariente próximo con la simple enumeración, 6, 6, 5 y 4. Podríamos añadir que uno de los hijos tendrá que examinarse en el próximo Septiembre y que los otros tres vástagos, no. Como hemos visto, con cuatro hijos es suficiente la enumeración, pero si son diez alumnos de una clase, la enumeración de la calificación de cada uno de los diez no sirve para dar una visión sintética de las calificaciones obtenidas por los individuos de la muestra. Cuando los individuos de una muestra son, 15, …20…80…100 o más, se precisa obtener ciertos valores numéricos que representen a los valores de las puntuaciones individuales. Esos valores numéricos buscados son los índices descriptivos de muestras de sujetos medidos en una sola variable.

2. TIPOS DE ÍNDICES DESCRIPTIVOS DE UNA SOLA VARIABLE El proceso de análisis propio de la estadística descriptiva es el cálculo de <índices>, valores numéricos que represente al conjunto total de valores obtenidos por los sujetos de una muestra. Estos índices se calculan aplicando ciertas fórmulas, una o más por índice. ¿Cómo poder hallar unos pocos índices numéricos que representen a toda una muestra, cuando se tienen medidas individuales de una variable de los sujetos de una muestra? Existen cuatro clases de índices descriptivos de una sola variable en una muestra. a. Índices de tendencia central, también denominados b. Índices de variabilidad o dispersión c. Índices de simetría/asimetría d. Índices de apuntamiento

3. ÍNDICES DE TENDENCIA CENTRAL

Los Índices de tendencia central o promedios son: a. b. c. d. e. f.

La moda (Mo) La mediana (Md) La media aritmética ( ) La media geométrica (g) La media cuadrática (c) La media armónica a) 4. LOS ÍNDICES DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN

Los índices de variabilidad o de dispersión son: a. b. c. d. e.

La amplitud total o recorrido (A) La amplitud semi-intercuartil (Q) La varianza (S2) La desviación estándar (S) El coeficiente de variación (CV) 5. LOS ÍNDICES DE ASIMETRÍA Y APUNTAMIENTO

La asimetría y el apuntamiento son medidos por un único índice de asimetría y un solo índice de apuntamiento respectivamente, si bien cada uno de ellos tiene varias fórmulas alternativas de cálculo.

6. TABLA RESUMEN A continuación se presenta una tabla de las variables, las escalas y los índices de una sola variable: VARIABLES

VARIABLES

VARIABLES

VARIABLES

VARIABLES CUANTITATIVAS


CUALITATIVAS/ ATRIBUTOS

EJEMPLOS VARIABLES

ESCALA MEDIDA

DE

DE

CUANTITATIVAS DISCRETAS

Grupo Sanguíneo, Estado civil, Nivel de estudios

Número hijos,

Escala Nominal (grupo

Escala nominal y ordinal (Grupo isotónico)

ÍNDICES DE TENDENCIA CENTRAL

.ÍNDICES DE VARIABILIDAD

Igualdad/desigualdad

Moda (Mo)

de

Escala

Celsius

Temperatura, Escala de pH

permutativo)

OPERACIONES ARITMETICAS ADMITIDAS

de

CUANTITATIVAS CONTINUAS CONTINUAS SIN CON CERO ABSOLUTO CERO ABSOLUTO

Escala de Escala de Intervalo (Grupo razón (Grupo de de función Similaridad) Lineal)

Determinación Igualdad de de orden intervalos o mayor/menor diferencias entre pares de valores Mediana (Md)

Escala Kelvin de temperatura, masa, longitud

()

Media aritmética

Igualdad razones, Cero absoluto

de

Lo mismo

Media geométrica (() , Media cuadrática ((), Media armónica (a) -----------

Amplitud (A). Desviación Amplitud semi- media (DM), intercuartil Varianza (S2), Desviación Estándar o Típica (S)

Lo mismo, y Coeficiente de variación

ÍNDICE DE SIMETRÍA/ASIMETRÏA

------------

------------

As

As

ÍNDICE DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS

------------

-----------

K

K


CUADRO Nº 13: ÍNDICES DE TENDENCIA CENTRAL/PROMEDIOS Y LA . 1. ÍNDICES DE TENDENCIA CENTRAL

Los primeros índices para una sola variable tratados en Estadística Descriptiva son los índices de tendencia central, también conocidos como . Son los primeros porque, entre otras razones, son necesarios para calcular la mayoría de los índices de variabilidad, de apuntalamiento y de simetría. Los índices de tendencia central, que a continuación se presentan, tienen como única finalidad: resumir los numerosos valores obtenidos en las puntuaciones de los individuos de una muestra, por un valor numérico que represente a toda la muestra. Reconocemos que la aplicación de un instrumento de una escala de medida sobre una variable supuestamente poseída en distintos grados por los individuos de una muestra ofrece un número de tantos valores numéricos como individuos constituyen la muestra. Esa multiplicidad de valores no pueden ser sólo enumerados, sino representados por un valor numérico que resuma y represente la totalidad de los valores obtenidos individualmente por los sujetos. Es preciso r educir la multiplicidad de valores a un valor que recoja significativamente la totalidad, aún reconociendo que se pierde información. En la siguiente tabla aparecen los índices de tendencia central: Índice de tendencia central o promedios

Símbolo

Moda

Mo

Mediana

Md

Media aritmética Media geométrica

g o Mg

Media cuadrática

c o Mc

Media armónica

a o Ma

Los índices menos utilizados son los tres últimos y la (Mo). Por el contrario, la (Md) y, sobre todo, la () son los índices de tendencia central más utilizados porque, entre otras razones, son imprescindibles para aplicar los restantes índices: índices de de variabilidad, de asimetría y de apuntamiento, así como para los coeficientes de correlación y de asociación. Podemos ver en el siguiente cuadro una comparación entre los tres índices de tendencia central más utilizados: MODA Mo

MEDIANA Md

MEDIA ARITMÉTICA

No tiene en cuenta los casos extremos

No tiene en cuenta los casos extremos

Tiene en cuenta todas las puntuaciones

Las puntuaciones se agrupan por los valores

Requiere la ordenación de todas las puntuaciones

El cálculo no necesita la ordenación de las puntuaciones

Atiende a los valores con mayor frecuencia

Puede ser un número que no está en los datos.

El resultado del cálculo puede que no esté entre las puntuaciones

2. LA MODA ENTRE LOS ÍNDICES DE TENDENCIA CENTRAL La (Mo) es el índice de tendencia central más sencillo de hallar, pero más impreciso y menos riguroso de los cinco índices de endencia central. El símbolo de la es: Mo (una mayúscula seguido por una minúscula). La (Mo) puede aplicarse a datos nominales (modalidades de una variable cualitativa) y, en cierto modo, a los datos de escala de intervalo (variable cuantitativa continua). Para los datos ordinales se utiliza la (Md) y para los datos de intervalo (variable cuantitativa continua), las medias aritmética, geométrica, cuadrática y armónica. La es el único índice que puede ser aplicado para datos en escala nominal. 1. CÓMO IDENTIFICAR LA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Para identificar la (Mo) de una distribución de frecuencias, se comprueba: a. ¿Qué modalidad de una variable cualitativa presenta la mayor frecuencia? b. ¿Qué valor numérico de una variable cuantitativa continua presenta la mayor frecuencia?

La no tiene fórmula de cálculo, no incluye operaciones aritméticas, sólo es suficiente contar los individuos que presentan la misma puntuación o pertenecen a la misma modalidad. Es suficiente comparar las frecuencias de las distintas modalidades o las frecuencias de los valores que toman las puntuaciones, para descubrir cuál es la modalidad o la puntuación con la mayor frecuencia. 4. VERSATILIDAD DE LA La es un índice de tendencia central muy versátil: a. La es el único índice de tendencia central que puede aplicarse a datos nominales, los obtenidos de medir variables cualitativas/atributos b. La moda (Mo) es un índice de tendencia central que, no sólo se aplica a datos medidos con escala nominal, sino también a las variables cuantitativas continuas, aquellas que se miden con escala de intervalo o de razón. c. La no puede ser aplicada a datos ordinales. 5. LIMITACIONES DE LA La presenta numerosas limitaciones que reducen su valor a una superficial medida de una distribución de frecuencias. He aquí Estadísticos e-Books & Papers

algunas de estas limitaciones: a. El valor con mayor frecuencia es independiente del resto de las frecuencias de los demás valores, por lo que la hallada es escasamente representativa de toda la distribución de frecuencias. b. No siempre se sitúa en el centro de la distribución. c. Si los valores están agrupados en intervalos, la depende mucho de del número de intervalos y del número de valores asignado a cada intervalo. d. Se espera que la distribución presente un único valor con la mayor frecuencia; pero, si, por el contrario, la distribución tuviera más de un valor con la mayor frecuencia, se tendría, no una distribución unimodal, sino bimodal, trimodal... 6. EJEMPLOS DE IDENTIFICACIÓN DE LA DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Presentamos tres ejemplos de identificación de la con tres distintas distribuciones de frecuencias: a. Distribución de frecuencias de variables cualitativas. b. Distribución de frecuencias con variables cuantitativas continuas, sin agrupar los valores en intervalos. c. Distribución de frecuencias con variables cuantitativas continuas, agrupados los valores en intervalos. a. EJEMPLO DE CON VARIABLES CUALITATIVAS: En una urbanización de la costa viven 30 extranjeros: Siete son alemanes, cinco franceses, doce británicos, dos rusos y seis suecos. Hallar la .

Nacion alidad

Nú mero de nacionales

Francesa

5

Británica

12

Rusa

2

Sueca

6

Alemana

7

C omparamos las cinco frecuencias: 7, 5, 12, 2 y 6. El número mayor de los cinco es: <12>. Este número es el que corresponde a nacionales británicos. Luego la , es este caso es la .

b. EJEMPLO DE CON VARIABLES CUANTITATIVAS CONTÍNUAS CON VALORES NO AGRUPADOS EN INTERVALOS Hallar la entre las puntuaciones obtenidas por 25 alumnos en una prueba de composición escrita. En la tabla se presentan las frecuencias de cada uno de los posibles valores que podían tomar las puntuaciones:

VALORES QUE PODÍAN TOMAR LAS PUNTUACIONES

FRECUENCIA (NÚMERO DE PUNTUACIONES QUE TOMAN CADA VALOR)

1

0

2

1

3

2

4

2

5

6

6

9

7

3

8

2

9

0

10

0

Comparamos las frecuencias (0, 1, 2, 2, 6, 9, 3, 2, 0 y 0) y vemos que la mayor frecuencia de las diez es <9> y <9>, correspondiendo a la puntuación: <6>. Por tanto, el valor que reúne más puntuaciones es <6> y consecuentemente, la es <6>. Puede aceptarse que el resultado de la prueba de composición escrita es bastante satisfactorio: 9 de 25 alumnos tiene una puntuación próxima a la centralidad. c. EJEMPLO DE CON VARIABLES CUANTITATIVAS CONTÍNUAS AGRUPANDO LOS VALORES EN INTERVALOS Del mismo modo que hemos alcanzado el valor del índice de tendencia central de una distribución de frecuencias con valores numéricos no agrupados en intervalos, se podría hacer otro tanto una distribución de frecuencias de valores agrupados en intervalos. Hallar la de las puntuaciones obtenidas por 100 sujetos en una prueba en la que los valores que pueden tomar las puntuaciones han ido agrupados en intervalos de cinco valore cada uno. La distribución de frecuencias se muestra en la adjunta tabla: I NT ER VA LOS

F RE CUE NCI AS

1-5

6

6-10

22

11-15

10

16-20

8


21-25

4

El intervalo que presenta la mayor frecuencia (22) es el <6-10). La mayor frecuencia (22), corresponde al intervalo <6-10, por tanto, la está en el intervalo <610>.


CUADRO Nº 14: LA MEDIANA 1. INTRODUCCIÓN

Recordamos que los índices de tendencia central son la moda (Mo), la mediana (Md), la media aritmética (X), la media geométrica (Xg), la media armónica (Xa) y la media cuadrática (Xc); vamos a dedicar este cuadro a presentar la mediana. La mediana (Md) es un índice de tendencia central que requiere la ordenación de las puntuaciones, obtenidas por los sujetos de una muestra, en una serie, creciente o decreciente de puntuaciones a las que se les ha sido asignado rangos correlativos, en una relación biunívoca con las puntuaciones. Pues bien, la mediana es aquella puntuación que ocupa el rango central de la serie o sea, que deja el mismo número de rangos por encima, que por debajo de ella. 2. EL CÁLCULO DE LA MEDIANA (Md)

En el cálculo de la mediana cabe distinguir dos casos: a) Si el número de puntuaciones (n) es pequeño, por ejemplo, menos de 20 (n 20), no es necesario agrupar las puntuaciones en intervalos. b) Si el número de puntuaciones es igual o superior a 20 (n ≥ 20), conviene agrupar las puntuaciones en intervalos 3. TIPOS DE CÁLCULOS DE LA MEDIANA CON PUNTUACIONES NO AGRUPADAS EN INTERVALOS Limitándonos al primer caso (sin intervalos), tenemos que hacer otras distinciones según dos criterios: a. Si el número de puntuaciones (n) es impar o, por el contrario, es par. b. Si la puntuación del rango o rangos centrales comparten la misma o las mismas puntuaciones con otros rangos de la serie ordenada.

Combinando estos dos criterios, encontramos cuatro casos diferentes de calcular la mediana con las puntuaciones no agrupadas en intervalos: a. Con un número impar de puntuaciones sin que la puntuación que ocupa el rango central sea compartida con cualquier otro rango. b. Con un número par de puntuaciones sin que una o las dos puntuaciones que ocupan los dos rangos centrales sean compartidas con

otros rangos. c. Con un número impar de puntuaciones y con la puntuación del rango central compartida con otro u otros rangos. d. Con un número par de puntuaciones y con una o las dos puntuaciones de los dos rangos centrales sean compartidas con otros rangos.

4. CÁLCULO DE LA MEDIANA EN ESTE .

En este cuadro, presentamos un ejemplo del procedimiento de cálculo de la en series con número impar, sin que la puntuación que ocupa el rango central coincida con las puntuaciones que ocupan los rasgos adyacentes al rango central. 5. EJEMPLO DE PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA MEDIANA DE UNA SERIE FORMADA POR UN NÚMERO IMPAR DE PUNTUACIONES Y SIN QUE LA PUNTUACIÓN DEL RANGO CENTRAL COINCIDA CON LAS PUNTUACIONES DE OTRO U OTROS RANGOS Veamos el procedimiento aplicándolo a un problema: Un grupo de 13 niños han obtenido las siguientes puntuaciones: 5, 7, 5, 9, 9, 6, 7, 5, 4, 8, 5, 4 y 7. Hallar la mediana:

Paso 1º) Ordenamos las puntuaciones en una serie creciente de puntuaciones: 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9. (el resultado sería el mismo si las puntuaciones hubieran sido ordenadas en una serie decreciente). Paso 2º) A cada una de esas puntuaciones de la serie ordenada le corresponde un rango, desde el r ango 1º, al rango 13º. Puntuaciones

4

4

5

5

5

5

6

7

7

7

8

9

9

Rangos

1º

2º

3º

4º

5º

6º

7º

8º

9º

10º

11º

12º

13º

Paso 3º) Sumamos a 13 una unidad (1): 13+1 =14. Paso 4º) Dividimos 14 entre 2 y el resultado es el rango central: =7 Paso 5º) Restamos a trece rangos, el rango central, nos quedan 12 rangos (13 – 1 = 12). Paso 6º) Dividimos 12 entre 2: = 6. Conocemos que la mediana está en el rango 7º, ya que deben quedar seis rangos por debajo y seis rangos por encima del rango central. Paso 7º) Vemos que el valor numérico que ocupa el 7º rango es concretamente la puntuación <6>. Se comprueba que la puntuación del rango central no coincide con la de otros rangos (el número <6>) del r ango 7º es diferente a las puntuaciones de los rangos próximos: un <5> en el rango 6º y un <7> en el rango 8º. La mediana de esta serie de 13 puntuaciones es: <6>, (Md =6).


CUADRO Nº 15: PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA MEDIANA DE UNA SERIE PAR DE RANGOS 1. INTRODUCCIÓN

Si el número de puntuaciones (n) es par, el proceso de cálculo de la mediana difiere del expuesto en el anterior , dedicado a presentar el cálculo de la mediana de una serie impar de rangos. Concretamente varía el paso 4º del proceso expuesto más arriba. La fórmula es distinta: Se calcula cuáles son los dos rangos centrales utilizando estas dos fórmulas: a. Para determinar cuál será el rango inferior de la pareja central de rangos, se divide entre 2: , cuyo resultado es un entero. b. Para determinar cuál será el rango superior , se suma <1> al valor hallado en el paso anterior: + 1 c.

Aplicando estas fórmulas, se obtiene el número de rangos que quedarán por debajo y por encima de la pareja de rangos centrales. Esta pareja de rangos centrales aporta dos puntuaciones entre las que se encuentra la Mediana de la serie. La mediana estará entre las puntuaciones que ocupan los dos rangos centrales. La mediana será el resultado de obtener la media aritmética de ambas puntuaciones. 2. EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA MEDIANA DE UNA SERIE FORMADA POR UN NÚMERO PAR DE PUNTUACIONES Y SIN QUE LAS DOS

PUNTUACIONES DE LOS DOS RANGOS CENTRALES COINCIDAN CON LAS PUNTUACIONES DE OTRO U OTROS RANGOS Para una mejor comprensión del procedimiento de cálculo, lo vamos a aplicar a este problema: Encontrar el valor de la mediana (Md) de las siguientes diez puntuaciones: 2, 11, 3, 6, 1, 5, 9, 7, 8 y 13

Paso 1º) Ordenamos las diez puntuaciones de menor a mayor o de mayor a menos (el resultado es el mismo). Elegimos, p. e., de menor a mayor. Veamos: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13. Paso 2º) Se asignan rangos correlativos a los diez números de la serie PUNTUACIONES

1

2

3

5

6

7

8

9

11

13

RANGOS

1º

2º

3º

4º

5º

6º

7º

8º

9º

10º

Paso 3º) Como vemos, se ha asignado una serie ordenada de rangos a una serie ordenada de puntuaciones. Como la serie tiene un número par (n=10) de puntuaciones, la mediana será la media aritmética de las puntuaciones que ocupan los dos rangos centrales. Las fórmulas para determinar cuáles son los dos rangos centrales: Primer rango de la pareja central = En nuestro caso, = 5º Segundo rango de la pareja central: = + 1. En nuestro caso, + 1 = 6º Los rangos centrales serán el 5º y el 6º. Así resultan cuatro rangos (1º, 2º, 3º y 4º) por debajo de los rangos centrales y cuatro rangos (7º, 8º, 9º y 10º) por encima de los dos rangos centrales. Paso 5º: Se halla la media aritmética de las puntuaciones que ocupan los rangos 5º y 6º. RANGOS

PUNTUACIONES

Rango 5º

6

Rango 6º

7

Md = = 6.50 La mediana (Md) es <6.50>


CUADRO Nº 16: CÁLCULO DE LA MEDIANA DE UNA SERIE CON VALORES REPETIDOS EN EL RANGO O RANGOS CENTRALES 1. EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA MEDIANA CUANDO ESTÁ REPETIDA LA PUNTUACIÓN DEL RANGO CENTRAL Recordamos que para calcular la mediana, se debe a. Ordenar en una serie creciente o decreciente las puntuaciones alcanzadas por los sujetos. b. Asignar a cada puntuación un rango creciente o decreciente en una relación biunívoca. c. Que la mediana es la puntuación que ocupa el rango central (si la serie es impar) o la media de los dos rangos centrales (si la serie es

un número par). Sin embargo, lo que parece sencillo se complica si la puntuación del rango o rangos centrales es idéntica a otra u otras puntuaciones del o de los rangos anteriores o posteriores al rango o rangos centrales. Veamos un ejemplo de procedimiento de cálculo cuando esto sucede: Hallar la mediana de nueve puntuaciones, las que presentamos ordenadas en esta serie creciente: 3, 4, 5, 5, 5, 6 , 7 .

Paso 1º) Como las puntuaciones ya están ordenadas de menor a mayor, asignamos los rangos: PUNTUACIONES

3

4

5

5

5

8

9

RANGOS

1º

2º

3º

4º

5º

6º

7º

Paso 2º) Como la serie está formada por un número impar (7) de rangos, la mediana es, en principio, la puntuación que ocupa el rango 4º, pues cumple la regla principal de la mediana: dejar por debajo y por encima del rango central el mismo número de rangos, en nuestro problema: 3 (1º, 2º y 3º) por debajo y 3 (5º, 6º y 7º) por encima. Paso 3º) Pero advertimos que la puntuación que ocupa el rango 4º (5) es igual a las que ocupan los rangos 3º y 5º (5 y 5). Si tenemos tres puntuaciones idénticas, no parece correcto afirmar que la mediana es <5>, pues tal puntuación es compartida con otros dos rangos. Será preciso determinar los límites exactos de los rangos. Si restamos el límite inferior al límite superior, resulta la unidad: 5.50 - 4.50 = 1. Habrá que dividir <1> entre los tres rangos que coinciden en la puntuación <5>: = 0.33 Correspondería añadir 0.33 a cada una de las puntuaciones de los rangos 3º, 4º y 5º. Paso 4º) Marcamos los límites exactos de la puntuación de cada rango: SERIE CON NÚMERO IMPAR DE PUNTUACIONES Rangos

1º

2º

3º

4º

5º

6º

7º

Puntuaciones

3

4

5

5

5

8

9

Suma de 0.33 a límite inferior

Inferior 4.50 4.83 5.16 Superior a 4.50 + 0.33 = + 0.33 = + 0.33 = de 5.50 4.83 5.16 5.550

Límites exactos

Lim. Lim. Lim. inf Inf 4.83 Inf. 4.50 Lim. 5.16 Lim. Sup Lim. Sup. 5.16 Sup. 4.83 5.50

Luego, la mediana (Md) estará en el rango 4º, que tiene por límite inferior 4.83 y como límite superior 5.16. El punto medio estará hallando la media aritmética de los dos límites: = = 4.995, o sea: 5 No debe extrañarnos que resulte una mediana de <5>, pues el <5> del rango 3º se equilibraba con el <5> del rango 5º. Hubiera sido muy distinto si el número de puntuaciones idénticas hubieran ocupado más rangos por encima que por debajo del rango central o viceversa.

CUADRO Nº 17: CÁLCULO DE LA MEDIANA CON LAS PUNTUACIONES AGRUPADAS EN INTERVALOS 1. EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA CON LAS PUNTUACIONES AGRUPADAS EN INTERVALOS

Con la resolución de un problema, intentaremos presentar el procedimiento para hallar la mediana cuando las puntuaciones están agrupadas en intervalos: Hallar el valor que toma la mediana de una serie de 35 puntuaciones, que, por su alto número es aconsejable que se agrupen en intervalos de tres valores correlativos cada uno. En la tabla siguiente se muestran los intervalos y sus frecuencias. INTÉRVALOS DE LOS VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS PUNTUA-CIONES

FRECUENCIA (NÚMERO DE PUNTUACIONES QUE COINCIDEN CON ALGUNO DE LOS VALORES DEL INTERVALO)

1-3

6

4-6

4


7-9

3

10-12

4

13-15

6

16-18

6

19-21

3

22-24

3 n=35

El procedimiento para calcular la mediana (Md) cuando los valores están agrupados en intervalos, está formado por los siguientes pasos: Paso 1º) Dividir el número total de puntuaciones (35) entre dos (2): = 17.5 Paso 2º) Comenzamos a sumar las frecuencias de los intervalos a partir del intervalo inferior de la distribución de frecuencias, hasta llegar al intervalo que contiene el valor 17.5. El primer intervalo (1-3) aporta 6 puntuaciones. El segundo intervalo (4-6) aporta 4 puntuaciones, que sumadas con las 6 anteriores resultan 10. El tercer intervalo (7-9), añade sus 3 puntuaciones (10+3 =13). El cuarto intervalo (10 – 12) aporta 4 puntuaciones que sumadas a las 13 de las sumas anteriores, resulta 17 (13 + 4 = 17). Por tanto, el valor 17.50 tiene que estar en el intervalo siguiente <13 – 15>, el llamado . Paso 3º) Se halla la diferencia entre 17.50 ( = 17.50) y la suma de las frecuencias de todos los intervalos por debajo del (6 + 4 +3 + 4 = 17): 17.50 – 17 = 0.50 Paso 4º) Calculamos la proporción del intervalo de mediana que debe ser añadida a su límite inferior con el fin de alcanzar la puntuación de la mediana. Paso 5º) Se divide el número obtenido en el paso anterior (0.50) por la frecuencia del : (6); ( = 0.08). Paso 6º) Se multiplica el resultado de la anterior división por el tamaño del intervalo (3): (0.08) (3) = 0.24 Paso 7º) Sumamos el resultado (0.24) obtenido en el paso anterior (6º) con el límite exacto inferior del intervalo de mediana (13 – 15), que es 12.50 : 0.24 + 12.50 = 12.74. El valor de la mediana es: 12.74 Existe una fórmula que puede facilitar el tránsito por los siete del procedimiento de cálculo de la mediana: Mediana = (l)+

()

SIMBOLOGÍA: l : límite exacto inferior del intervalo de mediana. n : número total de puntuaciones f : número de puntuaciones del intervalo de mediana. F: suma de las puntuaciones de todos los intervalos inferiores al . i: tamaño de cada intervalo o sea, número de valores agrupados en el intervalo.


CUADRO Nº 18: DETERMINAR LA POSICIÓN DEL INDIVIDUO EN EL GRUPO 1. INTRODUCCIÓN

Cuando aplicamos un instrumento de evaluación a una muestra, no sólo nos interesa describir las características de la muestra reduciendo los resultados a unos índices descriptivos de tendencia central (mediana y media aritmética, preferentemente), variabilidad, asimetría y apuntamiento, sino también determinar la posición que ocupa cada individuo en el conjunto del grupo. No es suficiente conocer la puntuación del individuo si no se sabe, al menos, el número de individuos de la muestra o, mejor aún, la media y la desviación estándar de las puntuaciones de la muestra. Valorar la posición requiere situarla en el conjunto del grupo. Para ello, existen dos formas de hallar la posición de un individuo en su grupo: a. Hallar la puntuación estándar del individuo (z = ) y, suponiendo que la variable medida cumple los requisitos exigidos, hallar el

porcentaje de sujetos con puntuaciones inferiores a la obtenida por el sujeto en la tabla de áreas bajo la curva normal para cada. b. Determinar el percentil del rango que ocupa la puntuación del individuo, en la serie ordenada creciente de las puntuaciones obtenidas

por los individuos que forman la muestra. Vamos a tratar en este cómo calcular los percentiles. 2. LOS PERCENTILES a. ¿Qué son los percentiles?

Los percentiles son los resultados de distribuir una serie ordenada creciente de puntuaciones entre cien (100) intervalos, cada uno de los cuales incluye el 1 % del total de puntuaciones. b. Ventajas de los percentiles:

1)

No requiere calcular los índices descriptivos (media aritméticas, desviación estándar,…) de las puntuaciones de la muestra.

2)

Puede utilizarse con puntuaciones ordinales.

c. Los percentiles sirven para: a) Comparar dos puntuaciones obtenidas por dos individuos o por el mismo individuo, cualquiera que hayan sido los valores de la escala de medida utilizada o del tipo de la variable cuantitativa medida. b) Interpretar la significación de las puntuaciones individuales en el conjunto de la muestra. 3. LAS OPERACIONES CON PERCENTILES

Las posibles operaciones son estas dos: a. Hallar el percentil que le corresponde a una concreta puntuación. b. Hallar la puntuación que le corresponde a un concreto percentil.

4. HALLAR EL PERCENTIL CORRESPONDIENTE A UNA PUNTUACIÓN DADA

Comenzamos con la primero operación: Dado una puntuación, encontrar el percentil. a. FÓRMULAS:

Disponemos de tres fórmulas equivalentes: 1) 2)

P = 100 – Claparede: P= (100)

3)

Otis: P= (100)

Aquí vamos a utilizar la primera de las tres. b. SIMBOLOGÍA:

R : rango correspondiente de una puntuación dada. n : número de sujetos. 5. UN EJEMPLO DE CÁLCULO: Estadísticos e-Books & Papers

Hallar el percentil correspondiente a la puntuación que ocupa el rango 32º de una serie creciente de 64 rangos.

Paso 1º) Ordenar las puntuaciones en una serie creciente Paso 2º) Adjudicar los rangos a las puntuaciones. Paso 3º) Trasladamos a la fórmula los dos valores conocidos (R y n) P = 100 – P = 100 – = =100 – 49= 51 6. HALLAR LA PUNTUACIÓN QUE LE CORRESPONDE A UN DETERMINADO PERCENTIL

El otro posible cálculo consiste en hallar la puntuación que ocupa el rango correspondiente a un determinado percentil. a. FÓRMULA:

R=–1 b. SIMBOLOGÍA:

Los mismos significados expuestos más arriba. 7. UN EJEMPLO DE CÁLCULO: Hallar la puntuación que ocupa el rango que tiene el percentil 60 en una muestra de 80 individuos.

Paso 1º: Encontrar el rango que corresponde al percentil 60. R= –1

R= –1 1

R = 48 – 1= 47

Paso 2º: encontrar en la serie de puntuaciones, la puntuación que corresponde al rango 47º, hallado en el paso 1º. Para ello, en la serie de puntuaciones, contamos desde la que ocupa el rango 1º hasta llegar a la puntuación que ocupa el rango 47, o sea, tantas puntuaciones como indique el rango hallado cuando aplicamos la fórmula precedente.

8. LOS CUARTILES

Los cuartiles son, como los percentiles y los deciles, , y son tres: < cuartil 1º> (Q1)), (Q 2) y (Q 3), que se corresponden respectivamente con los percentiles <25>, <50> y <75>. El coincide con la (Md). Los pueden ser calculados aplicando las fórmulas presentadas para el cálculo de los percentiles, teniendo presente las equivalencias existentes entre y .


CUADRO Nº 19: LA MEDIA ARITMÉTICA 1. INTRODUCCIÓN

Recordamos que los índices de tendencia central, también llamados promedios, son la moda (Mo), la mediana (Md), la media aritmética (), media geométrica (Xg), la media armónica (Xa) y la media cuadrática (Xc).

la

Dedicamos este cuadro a presentar la media aritmética, que también puede denominarse simplemente sin añadir ningún adjetivo (geométrica, armónica o cuadrática). 2. DEFINICIÓN, SÍMBOLO, FÓRMULAS Y SIMBOLOGIAS DE LA MEDIA ARITMÉTICA a. DEFINICIÓN

La media aritmética es la suma de todas las puntuaciones dividida entre el número de puntuaciones. b. SÍMBOLO

El símbolo de la media aritmética es una (una X mayúscula con un segmento de recta situado sobre la X). c. FÓRMULAS

Las fórmulas de la media aritmética son las tres siguientes: 1) 2) 3)

Fórmula básica = Fórmula para datos con frecuencias: = Fórmula para datos agrupados en intervalos con sus frecuencias: =

d. SIMBOLOGÍA

: media aritmética X (X mayúscula): puntuación directa n (n minúscula): número de puntuaciones, una por cada individuo. ∑ (letra griega mayúscula): sumatorio: indica que hay que sumar los valores numéricos que toman los símbolos que siguen al sumatorio. f ( minúscula): frecuencia, número de sujetos cuyas puntuaciones han obtenido el mismo valor. X j (X mayúscula con una minúscula como subíndice): punto central o medio de cada intervalo. 3. CASOS EN EL CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA:

En el cálculo de la media aritmética se pueden presentar tres casos, según sea el número de valores que pueden tomar las puntuaciones y el número de puntuaciones: a. Menos de 12 valores numérico, con o sin agrupar las puntuaciones por frecuencias. b. Entre 15 y 20 valores sin agrupar en intervalos, cada valor con su frecuencia. c. Más de 20 valores, necesariamente agrupados en intervalo, con sus frecuencias. 4. CASO : CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA CON UN NÚMERO DE VALORES MENOR DE 12, SIN Y CON FRECUENCIAS:

Cuando el número de valores es bajo, menos de 12 o 15, puede calcularse manualmente la media aritmética. Se aplica la fórmula ya conocida; no es necesario agrupar los valores en intervalos. El procedimiento es muy sencillo: una suma y una división. Paso 1º) Se suman las puntuaciones directas: ∑X Paso 2º) Se divide la anterior suma entre el número de puntuaciones: n Describamos el procedimiento resolviendo este problema: Un grupo de doce (12) alumnos han obtenidos en un test con diez (10) posibles valores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10), las siguientes puntuaciones: 6, 5, 6, 7, 7, 4, 5, 6, 5, 3, 5 y 8.

Paso 1º) Presentamos estos valores en la siguiente tabla: SUJETOS

PUNTUACIÓN OBTENIDA POR CADA SUJETO

Ruth

6

Neftalí

8


Rebeca

6

Sara

3

Abraham

4

Isaac

5

Moisés

7

Esther

5

Susana

5

Rubén

6

Raquel

5

Noé

7

n = 12

∑X = 67

Paso 2º) Utilizamos la fórmula general, usada cuando no hay tabla de frecuencias de los valores ni hay intervalos agrupando valores: =

n= 8 ∑X= 6 + 8 + 6 + 3 + 4 + 5 + 7 + 5 + 5 + 6 + 5 + 7 = 67 Paso 3º) Trasladamos esos datos a la fórmula: = = 5.58

También podríamos haber calculados la media aritmética utilizando la tabla de frecuencias (estaríamos ya en el segundo caso de los tres posibles en el cálculo de la media aritmética): V al or es del te st

F re cu en ci a de cada valor

Producto de cada valor por su frecuencia

1

0

0

2

0

0

3

1

3

4

1

4

5

4

20

6

3

18

7

2

14

8

1

8

9

0

0

10

0

n = 12

∑(x)(f)=67

0

Utilizaremos otra fórmula, pero el resultado es idéntico: ===5.58

5. CASO : CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA DE LAS PUNTUACIONES AGRUPADAS POR SUS POSIBLES VALORES CON SUS

RESPECTIVAS FRECUENCIAS. Cuando el número de puntuaciones es elevado, la mayoría de los valores de las puntuaciones se repiten, presentan frecuencias. En este caso la fórmula a utilizar para calcular la media aritmética (X) es la siguiente: a. FÓRMULA: b. SIMBOLOGÍA:

X= puntuación directa f= frecuencia, número de puntuaciones que obtienen el mismo valor. n= ∑ f =número de puntuaciones o sea, sumatorio de las frecuencias de todos los valores.. ∑ (X)(f)= sumatorio de los productos de cada valor por su r espectiva frecuencia. c. UN EJEMPLO DE PRO

CEDIMIENTO DE CÁLCULO

Hallar la media aritmética de las puntuaciones obtenidas por una muestra de 20 sujetos en una prueba en la que se habían podido obtener once distintos valores (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, , 9 y 10)

Tabla I A VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS PUNTUACIONES 0

B FRECUENCIAS (Nº DE PUNTUACIONES CON EL MISMO VALOR)

C PRODUCTO DE VALORES POR FRECUENCIAS

0


1

0

2

1

3

3

4

6

5

8

6

5

7

3

8

2

9

1

10

1 N = 30

Paso 1º) Se suman las frecuencias (COLUMNA ). Paso 2º) Se multiplica cada valor (columna ) por su correspondiente frecuencia (columna ) resultando la columna . Paso 3º) Se suman los productos de los valores por sus frecuencias (columna ). VALORES

FRECUENCIAS

PRODUCTOS VALORES PORFRECUENCIAS

0

0

0

1

0

0

2

1

2

3

3

9

4

6

24

5

8

40

6

5

30

7

3

21

8

2

16

9

1

9

10

1

10

N = 30

∑ (X) (f) = 140

Paso 4º) Trasladamos estos datos a la fórmula: = 4.66


CUADRO Nº 20: CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA CON LOS DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS 1. INTRODUCCIÓN

Cuando el número de valores es superior a 12 0 15, es más práctico agruparlos en intervalos. Los intervalos deberán cumplir las siguientes condiciones: a. Cualquier valor debe estar incluido en un intervalo y sólo en ese intervalo. b. Todos los intervalos tendrán el mismo número de valores.

De este modo, la aplicación de una escala de medida que acoge un número de valores alto, p. e., 21, puede reducirse a siete intervalos de tres valores cada uno. Operar con siete (7) es más fácil que operar con veintiuno (21). Ciertamente que unificar las frecuencias obtenidas por cada valor del intervalo en una única frecuencia para todos los valores incluidos en ese intervalo, se pierde información, pero cuando esta pérdida se considera despreciable para el resultado de la investigación, parece lícito hacerlo.

2. PROCEDIMIENTOS PARA AGRUPAR VALORES EN INTERVALOS

Veamos un ejemplo: Supongamos una distribución de frecuencias de las puntuaciones obtenidas por 137 sujetos en un test de factor numérico de 21 valores (0 -20). En la siguiente tabla se expresa el número de sujetos (frecuencia) que han obtenido cada uno de los 21 valores posibles:


VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS PUNTUACIONES

FRECUENCIAS: Nº DE SUJETOS QUE HAN OBTENIDO ESE VALOR

O

1

1

1

2

3

3

4

4

6

5

3

6

6

7

9

8

9

9

8

10

12

11

12

12

16

13

15

14

10

15

7

16

5

17

4

18

3

19

2

20

1

N = 137

Como vemos, tablas con 21 filas son poco manejables, por lo que parece conveniente agrupar los 21 valores en intervalos; por ejemplo, los 21 valores en 7 intervalos de 3 valores cada uno: Intervalo (i)

Frecuencia del intervalo

0–2

5

3-5

13

6–8

24

9 – 11

32

12 - 14

41

15 – 17

16

18 - 20

6 N=137

Las frecuencias de cada intervalo resultan de la suma de las frecuencias de cada valor incluido en el intervalo. Por ejemplo: Frecuencia del intervalo<12 – 14> (41) proviene de sumar 12 + 15 + 10, las frecuencias de los valores <12>, <13> y <14> respectivamente.

3. FÓRMULA Y SIMBOLOGIA

La fórmula para calcular la media aritmética () de las puntuaciones agrupadas en intervalos es: = a. SIMBOLOGÍA:


Significados de los símbolos de la fórmula: media aritmética n: numero de puntuaciones, o sea, la suma de todas las frecuencias X j: valor central de cada intervalo, o sea la mediana de cada intervalo. f i: frecuencia del intervalo (X j)(f i): Producto del valor central de cada intervalo por la frecuencia del mismo intervalo. ∑ (X j)(f i): Sumatorio, o sea, total de la suma de los productos de los valores centrales de cada intervalo por la frecuencia de cada intervalo. 4. EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA CON LOS VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS

Problema: Hallar la media aritmética de los valores agrupados en intervalos y sus respectivas frecuencias tal como aparecen en la Tabla I:

Tabla I A

B

INTERVALO (I)

C

PUNTO CENTRAL

D

FRECUENCIA DEL INTERVALO (f i)

DEL INTERVALO (XJ) 0–2

1

5

3-5

4

13

6–8

7

24

9 – 11

10

32

12 - 14

13

41

15 – 17

16

16

18 - 20

19

6

PRODUCTO DEL PUNTO CENTRAL DEL INTERVALO POR LA FRECUENCIA DEL INTERVALO (f) (X j)

n=137

Paso 1º.- Se determina el punto central de cada intervalo (X mayúscula con una j minúscula como subíndice). Pueden darse dos casos: a. Si el número de valores del intervalo es impar, el punto medio del intervalo será aquel que deja a su derecha y a su izquierda el mismo

número de valores. b. Si el número de valores del intervalo es par, el punto medio será la suma de los dos valores centrales dividido por dos (2). Por ejemplo,

si el intervalo es 8 – 13, el número de valores que lo integran son <6>, hay dos valores centrales (10 y 11). El valor central que represente al intervalo es: = = 10.50 En nuestro caso el número de valores de cada intervalo es un número impar, por lo que el punto central es un número entero, lo que simplifica los cálculos. Paso 2º) La columna acogerá los productos (las multiplicaciones) de los puntos centrales de cada intervalo por su respectiva frecuencia: el valor central (X¡) por la frecuencia de ese concreto intervalo: (X j)(f).

Tabla II A INTERVALO (I)

B PUNTO CENTRAL DEL INTERVALO (XJ)

C FRECUENCIA DEL INTERVALO (f i)

D PRODUCTO DEL PUNTO CENTRAL DEL INTERVALO POR LA FRECUENCIA DEL INTERVALO (f) (X j)

0–2

1

5

5

3-5

4

13

52

6–8

7

24

168

9 – 11

10

32

320

12 - 14

13

41

533

15 – 17

16

16

256

18 - 20

19

6

114

n=137

1448

Paso 4º) Trasladamos los datos a la fórmula de la media aritmética:

= 10.56

CUADRO Nº 21: LA MEDIA GEOMÉTRICA 1. LAS OTRAS TRES MEDIAS


Ya hemos presentado los índices de tendencia central más utilizados: Moda (Mo), Mediana (Md) Media aritmética ( ) Pero tenemos tres índices más de tendencia central: Media geométrica (Xg) Media armónica (Xa) Media cuadrática (Xc) Dedicamos este a presentar la primera de estas tres últimas. 2. LA MEDIA GEOMÉTRICA Se define la media geométrica (Xg) como la media aritmética de los logaritmos de las puntuaciones. También puede definirse como la raíz enésima del producto de las puntuaciones, entendiendo por equivalente a : el número de puntuaciones. Símbolo de la media geométrica: Xg a. FÓRMULAS:

Xg = Xg = b. SIMBOLOGÍA:

n: número de sujetos Xa: puntuación obtenida por el sujeto Xb: puntuación obtenida por el sujeto Xc : puntuación obtenida por el sujeto Xn : puntuación obtenida por el sujeto c. PROCEDIMIENTO:

Paso 1º: Se multiplican las tres, cuatro… puntuaciones, las que sean. Paso 2º: Se calcula la raíz cúbica si son tres las puntuaciones, o la raíz cuarta si son cuatro, la raíz quinta si son cinco, etc., el índice de la raíz es el número de puntuaciones (n) obtenidas en una prueba por una muestra. 3. EJEMPLO DE CÁLCULO Problema: Ejemplo : Hallar el valor de la media geométrica de las siguientes tres puntuaciones: 5, 8 y 10 . 1º) Multiplicamos el (5) (8)= 40. Multiplicamos (40)(10)=400. 2º) A este resultado, se le extrae la raíz cúbica, ya que son tres las puntuaciones. Utilizamos la calculadora científica para calcular la raíz cúbica: = 4.47 Otro ejemplo: Hallar el valor de la media geométrica de las siguientes cuatro puntuaciones: 4, 5, 7 y 8:

1º) multiplicamos los cuatro números: (4)(5)(7)(8) = 1120 2º) Extraemos la raíz cuarta de 1120. Resulta 2.40

CUADRO Nº 22: LA MEDIA CUADRÁTICA Y LA MEDIA ARMÓNICA 1. DEFINICIÓN, SÍMBOLO, FÓRMULAS Y SIMBOLOGIA DE LA MEDIA CUADRÁTICA a. DEFINICIÓN

La media cuadrática (Xc) es el valor resultante de extraer la raíz cuadrada a la media aritmética de los cuadrados de todas las puntuaciones. b. SÍMBOLO: Xc c. FORMULA:

Xc= d. SIMBOLOGÍA:

X: puntuación directa obtenida por cada sujeto. Estadísticos e-Books & Papers

X2: cuadrado de la puntuación obtenida por cada sujeto. ∑: suma de cuadrados de las puntuaciones obtenidas por todos los sujetos. 2. EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA MEDIA CUADRÁTICA Problema: Hallar la media cuadrática de las cinco siguientes puntuaciones: 3, 5, 5, 6 y 8.

Veamos la siguiente tabla:


A

B

P UN TUA CI ONE S

CU AD RAD OS D E LAS PUNTUACIONES

3

9

5

25

5

25

6

36

8

64

TOTAL

159

1º) Hallamos los cuadrados de las cinco puntuaciones: 9, 25, 25, 36 y 64. 2º) Sumamos estos cinco cuadrados: 9+25+25+36+64=159. 3º) Dividimos la suma de los cuadrados (159) entre el número de puntuaciones (5). Resulta 31.8 4º) Extraemos la raíz cuadrada de 31.8. Xc= Xc= = 5.63 3. DEFINICIÓN, SÍMBOLO, FÓRMULA Y SIMBOLOGÍA DE LA MEDIA ARMÓNICA a. DEFINICIÓN

La media armónica puede definirse: 1)

La es el número recíproco de la media aritmética de los números recíprocos de las puntuaciones.

La es el valor numérico resultante de dividir el número de sujetos entre la suma de los números recíprocos de las puntuaciones obtenidas por los sujetos de la muestra. Utilizaremos esta fórmula en el ejemplo de cálculo. b. SÍMBOLO: Xa (también se la simboliza con la letra mayúscula; procede del término ). c. FÓRMULA :

Xa = SIMBOLOGÍA: n: número de puntuaciones : número recíproco de cada puntuación. ∑: suma de los recíprocos de todas las puntuaciones. 4. EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA MEDIA ARMÓNICA

Este problema como ejemplo de cálculo: Hallar la media armónica ( X a ) de las siguientes seis puntuaciones: 2, 3, 4, 4, 5 y 6. A

B

SUJETOS

PUNTUACIONES

Iván

2

Irene

3

Sandra

4

Sergio

4

Tania

5

Miguel

6

C RECÍPROCOS DE LAS PUNTUACIONES

.

Paso 1º): Se halla con una calculadora científica los valores de los recíprocos de cada puntuación (el recíproco de un número es el resultado de dividir la unidad <1> entre dicho número). Los números recíprocos de 2, 3, 4, 4, 5 y 6 son respectivamente: 0.50, 0.33, 0.25, 0,25, 0,20 y 0.16. = 0.33

=0.25

=0.25

= 0.20

= 0.16

Paso 2º): Sumamos los recíprocos de las seis puntuaciones. A

B

C

SUJETOS

PUNTUACIONES

RECÍPROCOS DE


LAS PUNTUACIONES Iván

2

Irene

3

0.50 0.33

Sandra

4

0.25

Sergio

4

0.25

Tania

5

0.20

Miguel

6

0.16

n=6

∑= 1.69

.

Paso 3º): Dividimos el número de puntuaciones (n) entre el resultado de la suma anterior (1.69): Xa = Xa = = 3.55 La media armónica resultante en el problema anterior es: 3.55


CUADRO Nº 23: LOS ÍNDICES DE VARIABILIDAD/DISPERSIÓN 1. ¿POR QUÉ ES NECESARIO CALCULAR LOS ÍNDICES DE VARIABILIDAD PARA DESCRIBIR LAS PUNTUACIONES DE UNA MUESTRA?.

Los índices de variabilidad/dispersión de las puntuaciones obtenidas por una muestra en una determinada variable son imprescindibles, porque los índices de tendencia central son insuficientes para describir correctamente la distribución de frecuencias de los valores de una muestra. Es frecuente que dos muestras de 10 alumnos cada una tengan la misma media aritmética y, sin embargo, sus distribuciones de recuencias sean muy distintas. Por ejemplo, las dos distribuciones siguientes: Muestra (A). Puntuaciones: 3, 5, 7, 9, 9, 10,10, 14,16 y 17. Suma de estas diez puntuaciones es 100: (∑X = 100), luego: = = 10 Muestra (B). Puntuaciones: 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10 y 11. Suma de estas puntuaciones es 100: (∑X = 100). = = 10 Como vemos, la suma de los diez valores en ambas muestras es 100 (∑ X = 100). Por tanto, las medias aritméticas de ambas distribuciones coinciden: 10: ( =10). No obstante, aunque coinciden las medias aritméticas de ambas distribuciones de frecuencias, observamos que son distribuciones muy distintas. En la distribución de frecuencias , las puntuaciones se extienden, están más dispersas, mientras que en la distribución , las puntuaciones están muy próximas al valor central. La información que dan las medias aritméticas es insuficiente para representar a toda la distribución. Se necesitan otros índices que complementen las medidas de tendencia central; son precisos unos nuevos índices, aquellos que nos van a decir si las puntuaciones se agrupan muy próximas al valor central de la distribución (la media aritmética, en nuestro caso) o, por el contrario, aparecen dispersas con respecto a ese mismo valor central. Esos nuevos índices son principalmente los de variabilidad/ dispersión y los índices de asimetría y de apuntamiento de menor importancia. 2. RELACIÓN DE LOS ÍNDICES DE VARIABILIDAD/DISPERSIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.

Las características de los distintos índices de tendencia central (moda, mediana, media aritmética y las otras medias) limitan la aplicación de los índices de variabilidad: a. Los datos de variables cualitativas/atributos, medidos por escala nominal, sólo pueden ser tratados con un índice de tendencia central:

la (Mo), y ningún índice de variabilidad. b. Los datos de variables cuantitativas discretas únicamente pueden ser tratados con un índice de tendencia central, conocido como

(Md), con dos índices de variabilidad: La (A) La (Q). c. Finalmente, para aquellos datos de variables cuantitativas continuas, se dispone, además de los dos anteriores, de cuatro índices de

variabilidad más: a. La desviación media (DM) b. La varianza ( S 2) c. La desviación estándar o típica (S)

Y derivado de este último, tenemos: d. El coeficiente de variación (CV).

3. ADECUACIÓN DEL ÍNDICE DE VARIABILIDAD ELEGIDO CON EL TIPO DE DATOS

Están a nuestra disposición seis índices de variabilidad/dispersión de los datos de una distribución de frecuencias, pero conviene conocer cuál es el más conveniente utilizar según sean las características de cada tipo concreto de datos. a. La o (A)

La amplitud total (A) se usa cuando se desea conocer los valores extremos, o sea obtener rápidamente un índice de variabilidad de acceso inmediato, sin tener que realizar operaciones aritméticas. Pero la amplitud total es el índice de variabilidad menos fiable pues se basa en dos únicos datos, el más alto y el más bajo de la distribución de frecuencias. b. La amplitud semi-intercuartil (Q) La (Q) es un índice de variabilidad útil cuando: a) Cuando el único índice de tendencia central que se puede calcular es la mediana (Md). b) Cuando en una distribución los intervalos extremos carecen de límite superior y de límite inferior c) Cuando la distribución de frecuencias es muy asimétrica. d) Cuando se desea conocer sólo el 50% central de una distribución o sea, de los casos entre el cuartil 1º (Q1 ) y el cuartil 3º (Q3). Estadísticos e-Books & Papers

c. La desviación media (DM)

La desviación media (DM) puede usarse cuando la distribución es aproximadamente simétrica y completa, y no se desea realizar los complejos cálculos necesarios para hallar la varianza (S 2 ) o la desviación estándar (S). d. La y la La varianza (S2) y la desviación estándar (S) son los índices de variabilidad/dispersión más fiables y precisos ,y son indispensables para el cálculo de ulteriores índices estadísticos. e. El (CV)

El coeficiente de variación (CV) únicamente puede calcularse cuando los datos proceden de la aplicación de escalas de razón, o sea las que miden variables cuantitativas continuas que tienen cero absoluto. Las variables implicadas en la problemática psicológica o pedagógica rara vez cumplen este requisito; prácticamente sólo las variables psicofísicas (estatura, masa, velocidad, tiempo de reacción,...) pueden ser medidas con escalas de razón. Hace posible comparas datos de dos muestras con diferentes medias y desviaciones estándar. La fórmula del coeficiente de variación es: V = (100) O sea: cociente entre la desviación estándar de la muestra y la media aritmética de la misma muestra, multiplicado por 100. Sus valores están entre <0> y <1>. Si es <0>, la muestra es compacta y si es <1>, dispersa. 4. PUNTUACIONES DIRECTAS Y PUNTUACIONES DIFERENCIALES

En primer lugar es necesario distinguir entre puntuaciones directas (X), o sea X mayúscula, y puntuaciones diferenciales (x), o sea x minúscula. La puntuación diferencial es la diferencia entre cada puntuación directa, la obtenida por cada sujeto, y la media aritmética: x = X-

5. ADVERTENCIA SOBRE LOS SÍMBOLOS DE LA

De todos los índices de variabilidad arriba citados, prácticamente la inmensa mayoría de los problemas estadísticos utilizan la varianza y la desviación estándar (véase que estas letras son en mayúscula, y que la varianza es el cuadrado de la desviación estándar). En algunos extos de estadística descriptiva y calculadoras científicas encontraremos que la y la son sustituidas por la letra griega sigma minúscula < s> para la desviación estándar con datos muestrales, y la sigma minúscula al cuadrado para la varianza también para datos muestrales. Nosotros preferimos reservarlas para la varianza y la desviación estándar estimadas en la población, ya tema propio de la Estadística Inferencial. A nuestro entender, para evitar confusiones, los símbolos de la varianza y la desviación estándar de datos muestrales serán letras del alfabeto latino ( y ), como se hace en este texto. Por el contrario, los símbolos de la desviación estándar y la varianza estimadas en poblaciones deben ser letras del alfabeto griego: sigma minúscula y sigma minúscula al cuadrado < s2>. 6. CUADRO CON LAS RELACIONES ENTRE VARIABLES, ESCALAS DE MEDIDA, ÍNDICES DE TENDENCIA CENTRAL E ÍNDICES DE VARIABILIDAD/DISPERSIÓN TIPOS DE VARIABLES

ESCALA DE MEDIDA

ÍNDICES DE TENDENCIA CENTRAL

Variables Cualitativas

Escala nominal

Moda (Mo)

Variables Cuantitativas Discretas

Escala ordinal

Variables cuantitativas continuas

Escala de Media Intervalo y aritmética Media escala de geométrica razón Media cuadrática Media armónica

Mediana (Md)

ÍNDICES DE VARIABILIDAD

Ninguno Amplitud recorrido (A) Amplitud intercuartil (Q)

total

o

semi-

Desviación media Desviación estándar o típica Varianza Coeficiente o razón de variación (Sólo con escalas de razón)

CUADRO Nº 24: AMPLITUD TOTAL Y AMPLITUD SEMI-INTERCUARTIL 1. INTRODUCCIÓN Hemos visto en el cuadro nº 23 dedicado a la presentación de los índices de variabilidad o dispersión, de las dos formas se les puede denominar, las siguientes: a. Amplitud/recorrido total, Estadísticos e-Books & Papers

b. c. d. e.

Amplitud semiintercuartílica, Desviación media Varianza y desviación estándar Coeficiente de variación

En el presente cuadro vamos a tratar únicamente: a. La amplitud total (A): es el índice de variabilidad más simple, aunque el menos preciso, raramente utilizado, salvo, con datos ordinales,

pues es el único índice de variabilidad que puede aplicarse a datos ordinales. b. Amplitud semi-intercuartil: amplitud existente entre el valor del cuartil 2º menos el cuartil1º (o lo que es lo mismo: amplitud existente

entre el percentil 75, menos el percentil 25) y dividido entre dos (2). Comenzamos con:

2. LA AMPLITUD TOTAL La amplitud o recorrido total puede aplicarse a una distribución de puntuaciones de una variable cuantitativa discreta o continua, ordenadas en una serie progresiva de menor a mayor puntuación. Su valor es la diferencia entre la puntuación más alta y la más baja más la unidad. Por supuesto que para calcular la amplitud> es preciso ordenar las puntuaciones de menor a mayor o viceversa. Hecho esto, es fácil determinas las puntuaciones máxima y mínima.

Pueden darse dos casos: a. Que la puntuación menor sea (1). b. Que la puntuación menor de la serie no sea (1)

Si la serie comienza con <1>, será suficiente contar el número de puntuaciones: ese número será la . En aquellos casos en los que los valores numéricos que portan las puntuaciones no comienzan con la unidad (1), habrá que determinar cuál es el valor inferior de la serie de puntuaciones y el valor superior de la misma. Por ejemplo, si en un test de razonamiento numérico, la puntuación menor de la serie es 65 y la puntuación superior de la misma serie es de 90, será preciso calcular la amplitud de esa serie, cuya puntuación menor el 65 y cuya puntuación superior es 90. La amplitud (A) es la diferencia entre la puntuación superior y la puntuación inferior +1 (Lsup-Linf +1). En nuestro ejemplo: 90-65 +1 La amplitud (A) de esa serie es 26. a. FÓRMULA:

A = Xmax – Xmin + 1 b. SIMBOLOGÍA:

A : amplitud Xmax : la mayor puntuación de la serie ordenada de menor puntuación a mayor puntuación de las obtenidas por los sujetos. Xmin : la menor puntuación de la misma serie 3. EJEMPLOS DE CÁLCULO DE LA AMPLITUD Un problema: Un grupo de seis (6) niños han obtenido en una prueba de diez (10) valores, las siguientes puntuaciones: 3, 9, 5, 4, 2, 7. En primer lugar las ordenamos en una serie desde la puntuación menor hasta la puntuación mayor: <2, 3, 4, 5, 7, 9>.

Aplicamos la fórmula: A = 9 – 2+1 = 5 + 1 = 8 Otros ejemplos: a. Una serie ordenada de puntuaciones comienza en <5> y concluye en <24>.

A = 24-5+1 = 19+1 =20 b. Otra serie: <33, 34, 35, …48, 49>

A = 49-33+1 = 16+1 = 17 4. LA AMPLITUD SEMIINTERCUARTIL (Q) Es un índice de variabilidad útil cuando: 1) El único índice de tendencia central que se puede calcular es la mediana (Md 2) Cuando en una distribución, los intervalos extremos carecen de límite superior y de límite inferior. 3) Cuando la distribución de frecuencias sea muy asimétrica, 4) Cuando se desea conocer la distribución de frecuencias del 50% central, o sea, de los casos entre el cuartil 1º y el cuartil 3º. a. FÓRMULA: Estadísticos e-Books & Papers

DC = b. SIMBOLOGÏA:

DC : desviación o Q3 : Cuartil 3º, o sea, percentil 75 Q1 : Cuartil 1º, o sea, percentil 25 5. UN EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO: En primer lugar hay que determinar los rangos del primer cuartil (Q1) y del tercer cuartil (Q3) de la serie ordenada de las puntuaciones. Sabemos que el primer cuartil es igual al percentil 25 y que el tercer cuartil es igual al percentil 75. Para calcular los rangos correspondientes a los percentiles 25 y 75, utilizamos esta fórmula: R=–1 Por ejemplo: Qué rangos de una serie de 80 puntuaciones corresponderán a los percentiles 25 y 75.

R = – 1 = 20 – 1 = 19 R = – 1 = 60 – 1 = 59 Calcular la amplitud semiintercuartil de una serie de puntuaciones, siendo los valores de los cuartiles respectivamente.

DC = = 16


primero

y

tercero

20

y

52

CUADRO Nº 25: LA DESVIACIÓN MEDIA (DM) 1. DEFINICIÓN

La desviación media es uno de los índices de variabilidad o dispersión, como la amplitud o recorrido (A), la varianza (S 2), la desviación estándar o típica (S) y el coeficiente de variación. Definimos la desviación media (DM) como la media aritmética de las puntuaciones diferenciales (x, x minúscula) en valores absolutos, o sea, prescindiendo del signo positivo (+) o negativo (-) que las pueda preceder. Podemos preguntarnos por qué debemos prescindir de los signos que preceden a cada puntuación diferencial (x).La razón de ello reside en la naturaleza de las puntuaciones diferenciales. 2. RECORDAMOS QUÉ SON LAS PUNTUACIONES DIFERENCIALES

Una puntuación diferencial (x minúscula) es el resultado de restar a cada puntuación directa (X, X mayúscula) el valor de la media aritmética de las puntuaciones directas (). Escrito como ecuación: x = X¿Por qué hay que prescindir de los signos positivos o negativos de las puntuaciones diferenciales? Porque la suma de las puntuaciones diferenciales siempre resulta cero, las puntuaciones diferenciales positivas anulan a las puntuaciones diferenciales negativas. Por tanto, no podemos calcular su media aritmética, ni operar con ellas, a menos que utilicemos una de estas dos soluciones: a. Prescindamos de los signos positivos (+) o negativos (-) de las puntuaciones diferenciales (x) o sea, operar con sus valores absolutos. b. Elevar al cuadrado dichas puntuaciones diferenciales, pues al elevar al cuadrado cualquier número, ya sea positivo o negativo, siempre

será positivo. Recordemos aquella reglas algebraica que decía: <+> por <+>, da <+>; <-> por <->, da <+>; <+> por <->, da <->; <-> por <+>, da <->.

3. TIPOS DE CASOS EN EL CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA (DM):

Distinguimos tres casos: a. Las puntuaciones son menos de 12 (Hemos elegido 12, pero puede ser otro número superior, según el esté más o menos

dispuesto a dedicar tiempo y esfuerzo a la tarea de operar manualmente o con calculadora). b. El número de puntuaciones es igual o mayor de 12. c. Si el número de valores es superior a 12, conviene agrupar los valores en intervalos.

4. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA CUANDO EL NÚMERO DE PUNTUACIONES ES INFERIOR A DOCE a. FÓRMULA:

DM= b. SIMBOLOGÍA:

DM: desviación media x: puntuación diferencial, o sea, la diferencia entre la puntuación directa (X) y la media aritmética (de las puntuaciones directas de todos los sujetos de la muestra. : puntuación diferencial en valores absolutos, o sea, prescindiendo del signo.

∑ : suma de todas las puntuaciones diferenciales en valores absolutos, o sea prescindiendo del signo aritmético. Observemos que los números absolutos se escriben entre dos líneas rectas verticales: , por ejemplo. n= número de puntuaciones, o sea, número de sujetos que han obtenido una puntuación. 5. EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA

Problema: Hallar la desviación media de las puntuaciones obtenidas por 10 alumnos en una prueba de historia. Las puntuaciones fueron: 3, 5, 7, 9, 6, 2, 5, 7, 4 y 8.

Situamos las puntuaciones, la media aritmética y las puntuaciones diferenciales en valores absolutos en la Tabla I Tabla I A

B

C

D

Puntuaciones Media Puntuaciones Puntuaciones directas (X) aritmética diferenciales (x) diferenciales en valores absolutos 2

5.6

2 - 5.6 = - 3.6

3.6

3

5.6

3 - 5.6 = -2.6

2.6

4

5.6

4 - 5.6 = -1.6

1.6

5

5.6

5 - 5.6 = - 0.6

0.6


5

5.6

5 - 5.6 = -0.6

0.6

6

5.6

6 - 5.6 = +0.4

0.4

7

5.6

7 - 5.6 = +1.4

1.4

7

5.6

7 - 5.6 = +1.4

1.4

8

5.6

8 - 5.6 = +2.4

2.4

9

5.6

9 – 5.6 = +3.4

3.4

∑X = 56

∑18

Paso 1º) Calculamos la media aritmética y la situamos en la columna columna : = 5.6 Paso 2º) Calculamos las puntuaciones diferenciales, diferenciales, hallando las diferencias entre cada puntuación directa y la media aritmética, como puede verse en la columna de la anterior tabla. Paso 3º) Sumamos las puntuaciones diferenciales como valores absolutos, o sea, prescindiendo del signo positivo (+), negativo (-) o nulo (0) (columna). Paso 4º) Dividimos el total obtenido en el paso anterior, por el número de puntuaciones: puntuaciones: DM =

DM =

=

6. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA CUANDO EL NÚMERO DE PUNTUACIONES ES IGUAL O SUPERIOR A DOCE (12) CON SUS FRECUENCIAS El procedimiento de cálculo de la DM cuando las puntuaciones llegan a un número demasiado grande y, por tanto, el número de operaciones aritméticas aumenta, conviene agrupar las puntuaciones repetidas dos o más veces por sus valores y frecuencias. Este procedimiento es casi idéntico al expuesto más arriba. a. FÓRMULA:

DM=

Advirtamos que la fórmula anterior es similar a la fórmula del primer caso, salvo que en el numerador de la anterior aparece como factor la (frecuencia). b. SIMBOLOGÍA:

DM : desviación media X: puntuación directa x: puntuación diferencial, o sea, la diferencia entre la puntuación directa (X) y la media aritmética () de las puntuaciones directas de todos los sujetos de la muestra. f : frecuencia, número de puntuaciones de cada valor. ∑ (f)( X) : suma de todos los productos de cada puntuación puntuación directa por su respectiva frecuencia. ∑(f)() : suma de los productos de las puntuaciones diferenciales en valores absolutos por sus respectivas frecuencias. n= número de puntuaciones, o sea, suma de todas las frecuencias.


7. UN EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA CON LAS FRECUENCIAS DE CADA VALOR Problema: Se aplicó un test de seis valores posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6) a un grupo de 70 estudiantes. Los valores ocupan la columna de Tabla II:

Tabla II A

B

Puntuaciones directas (X)

Frecuencias (f)

C

1

10

10

2

15

30

3

20

60

4

12

48

5

8

40

6

5

30

Totales

n = 70

218

D

Productos de las puntuaciones directas por sus frecuencias (X)(f)

E

F

Puntuaciones Puntuaciones Producto diferenciales x = diferenciales en de las Xvalores absolutos puntuaciones () diferenciales en valores absolutos por sus frecuencias () (f)

Paso 1º) Sumamos las frecuencias. Obtenemos : n = 70 (columna de la Tabla II). Paso 2º) Multiplicamos cada valor por su frecuencia (columna ). Paso 3º) Sumamos los productos de cada puntuación directa por su respectiva frecuencia (columna ).

Paso 4º) Se calcula la media aritmética de las puntuaciones directas, dividiendo la suma de los productos de las puntuaciones directas por sus recuencias (∑(f)(X) ) entre la suma de las frecuencias (n) o sea, el número de casos. casos. =

= = 3.11

Paso 5º) Restamos de los valores (X), la media aritmética (), los resultados de esas restas son las puntuaciones diferenciales (x) la mitad llevaran signo positivo y la otra mitad, negativo.(columna de la Tabla III). Todas las diferencias aparecen aparecen indicadas: el valor como minuendo minuendo la media aritmética como sustraendo. Paso 6º) Se prescinde de los signos de las puntuaciones diferenciales, o sea, se las considera valores absolutos (columna de la Tabla III). Paso 7º) Multiplicamos cada puntuación diferencial en valores absolutos por sus respectivas frecuencias (columna ). Tabla III A

B

C

Puntuaciones directas (X)

Frecuencias (f)

1

10

10

2

15

3

D

E

F

Puntuaciones Diferenciales Con valores absolutos ()

Producto ()(f)

1-3.11 = -2.11

2.11

21.1

30

2 – 3.11=-1.11

1.11

16.65

20

60

3 – 3.11 = -0.11

0.11

2.20

4

12

48

4 – 3.11 =+ 0.89

0.89

10.68

5

8

40

5-3.11=+1.89

1.89

15.12

6

5

30

6-3.11=+2.89

2.89

14.45

Totales

N = 70

218

Producto Puntuaciones (X)(f) diferenciales x = X-

80.20

8º) Sumamos, los resultados de las productos: ∑ (f) (columna ). 9º) Trasladamos los valores obtenidos obtenidos en los pasos anteriores, que están están recogidos en la Tabla III, a la fórmula: DM=

DM=

DM= 1.14

CUADRO Nº 26: CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA (DM) CON DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS 1. INTRODUCCIÓN

El cálculo de la desviación media (DM) cuando los valores, que pueden tomar las puntuaciones obtenidas por individuos, son más de más de 12 o 15, por comodidad, agrupamos los valores en intervalos; o sea, se divide el número de valores entre 3, 4, 5 o 6, lo que agrupa los valores en intervalos, cada uno de estos con el mismo número de valores correlativos. Por ejemplo, si una escala puede tener entre los valores <1> y <30> y decidimos formar intervalos de 3 valores cada uno, nos resultarán diez (10) intervalos. Si la escala comienza en 21 y concluye en 60, los cuarenta valores posibles pueden ser repartidos en ocho (8) intervalos de cinco (5) valores consecutivos cada uno. Recordadas estas nociones básicas sobre los intervalos, proponemos la resolución de un problema a fin de facilitar la comprensión del procedimiento de cálculo de la desviación media (DM) cuando cuando los valores están agrupados en intervalos. intervalos. Veamos, en primer lugar, la fórmula y el significado de los símbolos que aparecen en ella. Estadísticos e-Books & Papers

2. FÓRMULAS Y SIMBOLOGÍA a. FÓRMULA:

DM = b. SIMBOLOGÍA:

X j: puntuación media del intervalo. f i : frecuencia de cada intervalo. n : suma de todas las frecuencias de cada intervalo intervalo (n = ∑X j) o sea: número total de puntuaciones. x: puntuación diferencial. : puntuación diferencial en valores absolutos. ∑(f): suma de los productos de las puntuaciones diferenciales en valores absolutos por sus frecuencias. 3. EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

Problema: Hallar la desviación media de los datos presentados en la Tabla I

Tabla I

A INTERVALOS

B PUNTO MEDI0 DEL INTERVALO X j

C FRECUENCIA f

D PRODUCTO PUNTO MEDIO POR FRECUENCIA (X j)(f)

E PUNTUACIÓN DIFERENCIAL x= Xm-

F PUNTUACIÓN DIFERENCIAL EN VALORES ABSOLUTOS

G PRODUCTO PUNTUACIÓN DIFERENCIAL POR FRECUENCIA (f)

1-5

3

5

6 - 10

8

20

11 -15

13

30

16 - 20

18

45

21 - 25

23

25

26 – 30

28

10

TOTALES

135

Paso 1º) Sumamos las frecuencias de todos los intervalos, obtenemos . Paso 2º) Multiplicamos el punto medio de cada intervalo por su respectiva frecuencia. Paso 3º) Sumamos los productos del 2º Paso 4º) Calculamos la media aritmética = = 16.51 Paso 5º) Calculamos las puntuaciones diferenciales: restamos la media aritmética del punto medio de cada intervalo.


Tabla II INTERVALOS

PUNTO MEDI0 DEL INTERVALO

FRECUENCIA PRODUCTO PUNTO MEDIO POR FRECUENCIA <(X j)(f)>

PUNTUACIÓN DIFERENCIAL

PUNTUACIÓN DIFERENCIAL EN VALORES ABSOLUTOS

1-5

3

5

15

3–16.51= 13.51

13.51

6 - 10

8

20

160

8– 6.51 = 8.51

8.51

11 -15

13

30

390

13 – 16.51=-3.51

3.51

16 - 20

18

45

810

18 – 16.51=+1.49

1.49

21 - 25

23

25

575

23 – 16.51=+6.49

6.49

26 – 30

28

10

280

2816.51=+11.49

11.49

n =135

= 2230

TOTALES

PRODUCTO PUNTUACIÓN DIFERENCIAL POR FRECUENCIA (f)>

Paso 6º) Multiplicamos cada puntuación diferencial en valores absolutos (o sea, prescindiendo del signo <+> o del signo <->) por su frecuencia (tabla III). Paso 7º) Sumamos los resultados de los productos de las puntuaciones diferenciales en valores absolutos por sus frecuencias (Tabla III). Tabla III INTERVALOS

PUNTO MEDI0 DEL INTERVALO

FRECUENCIA

PRODUCTO PUNTO MEDIO POR FRECUENCIA <(X j)(f)>


PUNTUACIÓN DIFERENCIAL EN VALORES ABSOLUTOS

PRODUCTO PUNTUACIÓN DIFERENCIAL POR FRECUENCIA (f)>

1-5

3

5

15

3–16.51= 13.51

13.51

67.55

6 - 10

8

20

160

8– 6.51 = 8.51

8.51

170.20

11 -15

13

30

390

13 – 16.51=-3.51

3.51

105.30

16 - 20

18

45

810

18 – 16.51=+1.49

1.49

67.05

21 - 25

23

25

575

23 – 16.51=+6.49

6.49

162.25

26 – 30

28

10

280

2816.51=+11.49

11.49

114.90

n =135

= 2230

TOTALES

(f)=687.25

Paso 8º) Trasladamos los resultados a la fórmula: DM = ; DM = = 5.09

CUADRO Nº 27: VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTANDAR 1. OPERAR CON PUNTUACIONES DIFERENCIALES Como ya hemos expuesto en los anteriores , una puntuación diferencial (x minúscula) es el resultado de restar a cada puntuación directa (X mayúscula) el valor de la media aritmética de las puntuaciones directas (). Escrito como ecuación: x = X- . Las puntuaciones diferenciales o son cero o llevan signo positivo o signo negativo; pero, si deseamos calcular la media aritmética de las puntuaciones diferenciales ( x ), necesariamente el resultado es <0> (cero), porque la suma de las puntuaciones diferenciales positiva es igual a la suma de las puntuaciones diferenciales negativas, por lo que mutuamente se anulan. ¿Cómo superar esta aporía? Sólo has dos posibilidades para hacer que desaparezcan los signos positivos y negativos que preceden a las puntuaciones diferenciales: Solución : Prescindir de los signos <+> o <-> de las puntuaciones diferenciales (x) o sea, operar con los valores absolutos. Solución : Elevar al cuadrado las puntuaciones diferenciales, pues al elevar al cuadrado cualquier número, ya sea positivo o negativo, siempre será positivo. Recordemos aquella reglas algebraica que decía: <+> por <+>, da <+>; <-> por <->, da <+>; <+> por <->, da <->; <-> por <+>, da <->. Con la solución tenemos la (DM). Con la solución , tenemos la (S2). Si se extrae la raíz cuadrada a la (S2), tenemos la (S).

2. LA DESVIACIÓN ESTANDAR ENTRE LOS ÍNDICES DE VARIABILIDAD

Ya conocemos dos índices de variabilidad/dispersión: Estadísticos e-Books & Papers

a. ): Es el más simple, pero muy limitado, si bien puede aplicarse tanto a variables

cuantitativas discretas como a variables cuantitativas continuas b. La (DM).

Ahora vamos a dedicar este y los dos inmediatos siguientes a los índices de variabilidad o dispersión más precisos y utilizados: la (S2) la (S). Ambas requieren variables cuantitativas continuas que estén medidas en escala de intervalo. Generalmente se calcula previamente la media aritmética (de las puntuaciones directas (X), para así determinar las puntuaciones diferenciales(x). No obstante, se dispone de una fórmula que evita calcular las puntuaciones diferenciales, operando directamente con las puntuaciones directas. 3. RELACIONES ENTRE VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR Por otra parte hay que subrayar que la desviación estándar es solamente la raíz cuadrada de la varianza. Hallada la varianza, extrayendo su raíz cuadrada, tenemos la . Por consiguiente, nos reducimos a la , sin más referencias a la , ya que todo lo que se diga de la , pues elevando al cuadrado la , tendremos la . 4. LA DESVIACION ESTÁNDAR EN TRES En el presente nos limitamos a exponer el cálculo de la más simple: aquellas fórmulas útiles para resolver problemas cuyos datos cumplan estas dos condiciones: a. El número de valores que pueden tomar las puntuaciones no supera los 10 0 12 valores. b. El número de puntuaciones coincidentes en el mismo valor es inferior a cuatro. En el 28º se tratará la desviación estándar cuando las puntuaciones coincidentes en un uno o más valores es superior a 3, lo que obliga a agrupar las puntuaciones de un mismo valor en . En el 29º se trata el cálculo de cuando el número de valores que pueden tomar las puntuaciones es tan elevado, que conviene agrupar los valores en . 5. FÓRMULAS DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S): Distinguimos: a. Fórmula para operar con puntuaciones diferenciales b. Fórmula para operar con puntuaciones directas.

6. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S) OPERANDO CON PUNTUACIONES DIFERENCIALES: a. FÓRMULA:

S=

b. SIMBOLOGÍA:

n: número de puntuaciones.

X: puntuación directa

∑X: suma de las puntuaciones directas. ∑x: suma de las puntuaciones diferenciales. ∑x2: suma de los cuadrados de las puntuaciones diferenciales. c. RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA:

Hallar la desviación estándar de las ocho (8) puntuaciones obtenidas por una muestra de ocho alumnos en una prueba escolar. Los datos son resentados en la Tabla I.


Tabla I SU JET OS

PU NT UAC ION ES DI REC TA S: < X>

Pedro

12

Juan

10

Jacob

8

Mateo

9

Marcos

7

Tadeo

11

Tomás

6

Pablo

14

n=8

∑X = 77

ME DIA A RIT MÉT IC A

PU NT UAC ION ES DIFERENCIALES

CUADRADOS DE LAS PUNTUACIONES DIFERENCIALES

Paso 1º) Calculamos el valor de la media aritmética de las puntuaciones directas con esta fórmula: = 9.62

Tabla II SUJETOS

PUNTUACIONES DIRECTAS:

MEDIA ARITMÉTICA

PUNTUACIONES DIFERENCIALES

Pedro

12

9.62

+ 2.38

Juan

10

9.62

+ 0.38

Jacob

8

9.62

- 1.62

Mateo

9

9.62

- 0.62

Marcos

7

9.62

- 2.62

Tadeo

11

9.62

+ 1.38

Tomás

6

9.62

- 3.62

Pablo

14

9.62

+ 4.38

Totales

∑X = 77

CUADRADOS DE LAS PUNTUACIONES DIFERENCIALES

00

Paso 2º) Hemos colocado una columna destinada al valor de la con el fin de facilitar la comprensión de los cálculos: x = , o sea, cada puntuación diferencial resulta de restar la media aritmética a cada una de las puntuaciones directas. Adviértase que las puntuaciones diferenciales llevan signo positivo (+), negativo (-) o son nulas (porque coinciden con la media aritmética). Paso 3º) Hallamos los cuadrados de las puntuaciones diferenciales. Como sabemos los cuadrados de cualquier número, positivo o negativo, son positivos. Paso 4º) Sumamos los cuadrados de las puntuaciones diferenciales Tabla III SUJETOS

PUNTUACIONES DIRECTAS:

MEDIA ARITMÉTICA:

PUNTUACIONES DIFERENCIALES:

CUADRADOS DE LAS PUNTUACIONES DIFERENCIALES:

Pedro

12

9.62

+ 2.38

5.66

Juan

10

9.62

+ 0.38

0.14

Jacob

8

9.62

- 1.62

2.62

Mateo

9

9.62

- 0.62

0.38

Marcos

7

9.62

- 2.62

6.86

Tadeo

11

9.62

+ 1.38

1.90

Tomás

6

9.62

- 3.62

13.10

Pablo

14

9.62

+ 4.38

19.18

Totales

∑X = 77

00

∑

Paso 5º) Trasladamos a la fórmula de los valores numéricos resultantes de las operaciones aritméticas reflejadas en la Tabla III: S = ; S = = = 2.49 7. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR OPERANDO SÓLO CON LAS PUNTUACIONES DIRECTAS () , SIN TENER QUE HALLAR LAS PUNTUACIONES DIFERENCIALES () a. FÓRMULA: S c. SIMBOLOGÍA:

: número de puntuaciones. <∑X>: suma de las puntuaciones directas <∑X2>: suma de los cuadrados de las puntuaciones directas. Estadísticos e-Books & Papers

<>: media aritmética de las puntuaciones directas. 8. UN EJEMPLO DE CÁLCULO DE CON PUNTUACIONES DIRECTAS Un problema: Hallar la desviación estándar de los datos que aparecen en la Tabla I.

Tabla I Sujetos

Puntuaciones directas: X

Pedro

12

Juan

10

Jacob

8

Mateo

9

Marcos

7

Tadeo

11

Tomás

6

Pablo

14

Total

∑X = 77

Puntuaciones directas elevadas al cuadrado: X2

N=8

Paso 1º) Sumamos las puntuaciones directas. Paso 2º) Elevamos al cuadrado las puntuaciones directas.

Tabla II Sujetos

Puntuaciones directas : X

Puntuaciones directas elevadas al cuadrado: X2

Pedro

12

144

Juan

10

100

Jacob

8

64

Mateo

9

81

Marcos

7

49

Tadeo

11

121

Tomás

6

36

Pablo

14

196

n=8

77

791

Paso 3º) Sumamos los cuadrados de las puntuaciones directas. Paso 4º) Calculamos la media aritmética de las puntuaciones directas: =9.62 Paso 5º) Hallamos la media aritmética de los cuadrados de las puntuaciones directas: = = 98.87 Paso 6º) Integramos en la fórmula de los resultados de las medias aritméticas de las puntuaciones directas y de los cuadrados de las puntuaciones directas recogidas en la Tabla II: S = = 2.51


CUADRO Nº 28. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR CON PUNTUACIONES DIFERENCIALES Y CON PUNTUACIONES DIRECTAS Y SUS RESPECTIVAS FRECUENCIAS. 1. CÁLCULO DE OPERANDO CON PUNTUACIONES DIFERENCIALES Aún reconociendo que el procedimiento de cálculo de la es muchísimo más fácil de llevar a cabo con puntuaciones directas que con puntuaciones diferenciales, no hemos querido prescindir de presentar en primer lugar el procedimiento de cálculo de la operando con puntuaciones diferenciales para el caso de agrupamiento de las puntuaciones por valores. El procedimiento no difiere básicamente del que se expuso en el 27. Veámoslo: FÓRMULA:

a.

Fórmula para el caso de que los valores sean menos de 12 y, por tanto, no es preciso agruparlos en intervalos: S= b.

SIMBOLOGÍA: ∑: sumatorio X: puntuación directa x : puntuación diferencial x2 : cuadrado de la puntuación diferencial n : número de puntuaciones

No podemos confundir la (x minúscula), que representa las puntuaciones diferenciales, con la (X mayúscula), que representa a las puntuaciones directas, las que han obtenido los individuos. Las puntuaciones diferenciales , que aparecen en esas fórmulas, son el resultado de hallar la diferencia entre las puntuaciones directas y la media aritmética (x = X - ). 2. UN EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO Supongamos el siguiente problema: Hallar la desviación estándar de los datos (valores y frecuencias) obtenidos or 100 individuos, tal como se presenta Tabla I:

Tabla I A

B

Puntuaciones directas

Frecuencias

2

10

3

35

4

26

5

20

6

9

C Producto de puntuaciones directas por frecuencias

DE Puntuaciones diferenciales

F

G

Cuadrados Producto de los De las puntuaciones cuadrados de las Diferenciales puntuaciones diferenciales por sus frecuencias

n = 100

Paso 1º) Sumamos las frecuencias (columna ). Paso 2º) Multiplicamos cada puntuación directa (columna ) por sus frecuencias (columna ); los resultados aparecen en la columna . Tabla II A

B

C

Puntuaciones Directas

Frecuencias

2

10

20

2 -3.83 = -1.83

3.34

3

35

105

3-3.83= -0.83

0.68

Producto de puntuaciones directas por frecuencias

D Puntuaciones diferenciales

E

F

Cuadrados Productos de las de Los puntuaciones cuadrados de diferenciales las puntuaciones diferenciales por las frecuencias


4

26

104

4-3.83=+017

0.02

5

20

100

5-3.83= +1.17

1.36

6

9

54

6-3.83 = +2.17

4.70

N = 100

∑(X)(f) = 383

10.1

Paso 3º) Sumamos los productos de cada valor por su frecuencia (columna ). Paso 4º) Se halla la media aritmética. Su fórmula: = = 3.83 Paso 5º) Se calculan las puntuaciones diferenciales (columna ), restando el valor de la media aritmética (3.83) de cada uno de las puntuaciones directas (columna ). Tabla III A

B

C

D

Puntuaciones Directas

Frecuencias

2

10

20

-1.83

3.34

33.4

3

35

105

-0.83

0.68

23.8

4

26

104

+0.17

0.02

0.52

5

20

100

+1.17

1.36

27.2

6

9

54

+2.17

4.70

42.3

TOTALES

N = 100

∑(X)(f) = 383

∑ x2 = 10.1

127.22

Producto de puntuaciones directas por frecuencias

Puntuaciones diferenciales

E

F

Cuadrados de las puntuaciones diferenciales

Producto de los cuadrados de las puntuaciones diferenciales por sus frecuencias

Paso 6º) Elevamos al cuadrado las puntuaciones diferenciales (columna ) y los resultados aparecen en la columna . Paso 7º) Multiplicamos los cuadrados de las puntuaciones diferenciales (columna ) por sus frecuencias (columna ); los resultados están en la columna . Paso 8º) Sumamos los productos de la columna . Paso 9º) Trasladamos esos datos a la fórmula de : S=

S = = S = = 1.12 CÁLCULO DE LA OPERANDO CON PUNTUACIONES DIRECTAS

3.

El procedimiento para calcular la desviación estándar con puntuaciones directas es mucho más sencillo que el expuesto en la sección anterior con puntuaciones diferenciales. Apenas varía del ya presentado en el 27. Veamos la fórmula, el significado de sus símbolos y un ejemplo del procedimiento de cálculo.

a.

FÓRMULA:

S b. SIMBOLOGÍA:

S : desviación estándar; X : puntuación directa ; X2 : cuadrado de la puntuación directa ; : frecuencia.

: media aritmética; n : número de puntuaciones;

4. UN EJEMPLO DE CÁLCULO DE OPERANDO CON PUNTUACIONES DIRECTAS

Un problema: Hallar la desviación estándar de las puntuaciones obtenidas por setenta y ocho estudiantes de Latín. Las puntuaciones están agrupadas por us valores en la Tabla I:

Tabla I A

B

C

Puntuación directa

Frecuencia

Producto de cada puntuación directa por su frecuencia

D Cuadrados de las puntuaciones directas


E Productos de los cuadrados de las puntuaciones directas por sus frecuencias ((X)(f))2

( X) (f) 1

2

2

6

3

5

4

12

5

20

6

16

7

12

8

4

9

1

10

0

TOTALES

n = 78

Paso 1º) Sumamos las frecuencias y obtenemos (columna). Paso 2º) Multiplicamos las puntuaciones directas (columna ) por sus respectivas frecuencias (columna ) y colocamos los resultados de estos productos en la columna . Paso 3º) Sumamos los productos de la columna . Estas operaciones ya aparecen en la Tabla II Tabla II A

B

C

Puntuación X>

Frecuencia

Producto de puntuación por frecuencia ( X) (f)

1

2

2

2

6

12

3

5

15

4

12

48

5

20

100

6

16

96

7

12

84

8

4

32

9

1

9

10

0

0

TOTALES

n= 78

∑( X) (f) = 398

D Cuadrado de las puntuaciones directas

E Producto de las puntuaciones directas al cuadrado por sus frecuencias

Paso 4º) Hallamos la media aritmética con los datos obtenidos: = = 5.10 PASO 5º) Elevamos al cuadrado las puntuaciones directas (columna ). Paso 6º) Multiplicamos los cuadrados de las puntuaciones directas (columna ) por las frecuencias (columna ); colocando los resultados en la columna . Tabla III A

B

C

Puntuación X>

Frecuencia

1

2

2

1

2

2

6

12

4

24

3

5

15

9

45

4

12

48

16

192

5

20

100

25

500

6

16

96

36

576

7

12

84

49

588

8

4

32

64

256

9

1

9

81

81

10

0

0

100

0

TOTALES

n = 78

Producto de puntuación por frecuencia ( X) (f)

D Cuadrado de las puntuaciones directas

E Producto de la puntuación directa al cuadrado por la frecuencia

2264

Paso 7º) Sumamos los productos de la columna . Paso 8º) Trasladamos los datos obtenidos a la fórmula: Estadísticos e-Books & Papers

S S S = = 1.73


CUADRO Nº 29: CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR CON LOS VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS 1. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S) CON VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS UTILIZANDO PUNTUACIONES DIFERENCIALES Presentamos en primer lugar el procedimiento de cálculo de la desviación estándar con los valores agrupados en intervalos, utilizando puntuaciones diferenciales , resultado de hallar la diferencia entre puntuaciones directas (X) y la media aritmética ( ). Al estar agrupados los valores en intervalos, las puntuaciones directas son sustituidas por los puntos medios de cada intervalo. a. FÓRMULA:

S= b. SIMBOLOGÍA:

n: número de sujetos X j: punto medio del intervalo f: frecuencia x: puntuación diferencial x2: cuadrado de la puntuación diferencial 2. UN EJEMPLO DE CÁLCULO

Vemos el procedimiento a través de la resolución de un problema: Hallar la desviación estándar de las puntuaciones obtenidas por una muestra de 80 estudiantes en una prueba de Geología, prueba en la que e podía obtener entre 1 y 30 puntos, tal como se presenta en la siguiente distribución de frecuencias:

Tabla I A

B

ervalos alores

C

Punto medio del intervalo (Xj)

D

Frecuencia (f)

1-5

3

2

6-10

8

8

1-15

13

16

6-20

18

28

1-25

23

14

6-30

28

12

E

Producto Puntuación del punto Diferencial (x) medio del intervalo por la frecuencia(Xj ) (f)

F

G

Cuadrado Producto de la del puntuación cuadrado de diferencial la puntuación diferencial por la frecuencia

n=80

Paso 1º) Agrupamos los 30 valores posibles en 6 intervalos de cinco valores cada uno. Situamos esos datos en la columna : Paso 2º) La columna acoge los puntos medios de cada intervalo. Paso 3º) Las frecuencias de los intervalos irán en la columna . Paso 4º) Multiplicamos los puntos medios de cada intervalo (columna ) por sus frecuencias (columna ).Los resultados de estos productos son colocados en la columna : Paso 5º) Se halla la media aritmética, dividiendo la suma de los productos (columna ) entre (columna . = = 18

Paso 6º) Hallamos las diferencias entre la media aritmética y los puntos medios (Xj) de cada intervalo; la columna acoge esas diferencias, las puntuaciones diferenciales. Paso 7º) Elevamos al cuadrado las puntuaciones diferenciales y las ponemos en la columna ):

Tabla II A

B

C

D

E

F

G

Intervalo

Punto

Frecuencia

(Xi )

Puntuación

Cuadrado

Producto


medio del intervalo (Xm)

(f)

(f)

Diferencial (x)

de la puntuación diferencial (x)2

1-5

3

2

6

3-18=- 15

225

6-10

8

8

64

8-18=-10

100

11-15

13

16

208

13-18=-5

25

16-20

18

28

504

18-18=0

0

21-25

23

14

322

23-18=+5

25

26-30

28

12

336

28-18=+10

100

n=80

1440

del cuadrado de la puntuación diferencial por la frecuencia

Paso 8º) Multiplicamos los cuadrados de las puntuaciones diferenciales por sus respectivas frecuencias: Paso 9º) Sumamos los productos de la columna : Tabla III A

B

Intervalo

Punto medio del intervalo (Xm)

C

D

Frecuencia (f)

(Xi ) (f)

E Puntuación Diferencial (x)

F

G

Cuadrado de la puntuación Diferencial (x)2

Producto del cuadrado de la Puntuación diferencial por la frecuencia

1-5

3

2

6

3-18=- 15

225

450

6-10

8

8

64

8-18=-10

100

800

11-15

13

16

208

13-18=-5

25

400

16-20

18

28

504

18-18=0

0

0

21-25

23

14

322

23-18=+5

25

350

26-30

28

12

336

28-18=+10

100

1200

n=80

1440

3200

Paso 11º) Trasladamos a la fórmula los correspondientes datos: S = ; S = ; S = ; S = 6.32 3. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA DESVACIÓN ESTÁNDAR CON VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS UTILIZANDO UNICAMENTE LAS PUNTUACIONES DIRECTAS, SIN NECESIDAD DE CALCULAR LAS PUNTUACIONES DIFERENCIALES a. FÓRMULA:

S= SIMBOLOGÏA: S = ): suma de los cuadrados de los puntos medios de cada intervalo.

b.

: cuadrado de la media aritmética.

: frecuencia de cada intervalo. : cuadrado del punto medio de cada intervalo. 4. UN EJEMPLO DE CÁLCULO

Exponemos el procedimiento de cálculo mediante la resolución de este problema: Hallar la desviación estándar de las puntuaciones obtenidas por veinte alumnos, cuyos valores agrupados en intervalos y sus respectivas frecuencias se presentan en la Tabla I :

Observemos que la tabla tiene menos columnas (6) que la tabla del procedimiento antes presentado (8) en la sección precedente, esto es debido a que desaparecen la columna de las puntuaciones diferenciales y la columna de los cuadrados de las puntuaciones diferenciales.

Tabla I A

B

C

D

E

F


INTERVALOS

PUNTO MEDIO DEI INTERVALO

FRECUENCIA

PRODUCTO DEL PUNTO MEDIO POR FRECUENCIA

10 – 12

11

3

33

7–9

8

6

48

4–6

5

7

35

1–3

2

4

8

n = 20

∑ (XJ) (f) = 124

CUADRADOS DE LOS PUNTOS MEDIOS

PRODUCTO DE LOS PUNTOS MEDIOS POR FRECUENCIA

∑ (X j)2 (f) =

Los pasos 1º, 2º, 3º y 4º son los mismos que en el anterior procedimiento (en aquel que operábamos con puntuaciones diferenciales). Paso5º) Calculamos la media aritmética: = = = 6.2 Paso6º) Elevamos al cuadrado los puntos medios de los intervalos (columna ) y los situamos en la columna. Paso7º) Multiplicamos los cuadrados de los puntos medios de los intervalos por sus frecuencias. Colocamos los resultados en la columna . Tabla II A

B

INTERVALOS

PUNTO MEDIO DEI INTERVALO

C FRECUENCIA

D PRODUCTO DEL PUNTO MEDIO POR FRECUENCIA

E

F

CUADRADOS DE LOS PUNTOS MEDIOS

PRODUCTO DE LOS PUNTOS MEDIOS POR FRECUENCIA

10 – 12

11

3

33

121

363

7–9

8

6

48

64

384

4–6

5

7

35

25

125

1-3

2

4

8

4

8

n = 20

∑ (XJ) (f) = 124

∑ (X j)2 (f) = 880

Paso 8º) Trasladamos esos datos a la fórmula: S=

S=

S=

S = = 2.35


CUADRO Nº 30: ÍNDICES DE ASIMETRIA 1. ÍNDICE DE SIMETRÍA/ASIMETRÍA Conocemos ya cuáles son y cómo se calculan los índices de tendencia central, y de variabilidad.. El objetivo de estos índices es resumir en unos pocos valores las características de las distribuciones de frecuencias. generalmente ambos índices son suficientes para caracterizar los valores de una muestra, pero en ocasiones, si se desea una mayor precisión conviene calcular otros dos índices: el índice de asimetría y el índice de apuntamiento o curtosis. Veremos en este el índice de simetría/asimetría y en el siguiente nº 31, el índice de apuntamiento o curtosis. Es posible que dos distribuciones coincidan tanto en sus medias aritméticas y en sus varianza y, sin embargo su expresión geométrica sean muy distintas:

Si la media aritmética coincide con la (Md) y con la (Mo) la distribución es simétrica. Si la media aritmética es mayor que la mediana o la moda, la asimetría es positiva. Si la mediana o la moda son mayores que la media aritmética, la asimetría es negativa. 2. FORMULAS Y SU SIMBOLOGÍA PARA CALCULAR EL ÍNDICE DE ASIMETRÍA a. FÓRMULAS:

Disponemos de varias fórmulas: 1)

Fórmula de Pearson

Utiliza la , la y la . As= 2)

Fórmulas de Fisher

As =

3)

Para percentiles:

As = - percentile 50

b. SÍMBOLOGÍA

As: coeficiente de asimetría. : media aritmética Md: mediana S: desviación estándar x: puntuación diferencial, o sea el resultado de hallar la diferencia entre la puntuación directa de cada individuo (. x3: cubo de la puntuación diferencial. n : número de puntuaciones directas o lo que es lo mismo, número de individuos de la muestra. S3: desviación estándar al cubo. f: frecuencia: número de individuos con la misma puntuación o con puntuaciones incluidas en el mismo intervalo. 3. DOS EJEMPLOS DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO


He aquí un problema: Calcular el índice de asimetría de una distribución de frecuencias con 3 de media aritmética, 2 de mediana y 1.50 de desviación estándar.

Vamos a utilizar la fórmula de Pearson: As=

As= As= = 2

La asimetría resultante es positive: (20)

Otro ejemplo: Hallar el índice de asimetría de una distribución de frecuencias con 68 de percentil 90, 12 de percentil 10 y 40 de percentil 50.

Utilizamos la fórmula para percentiles As = - 40 As = 28 – 40 = 12 La asimetría es positive: (12 )

4. INTERPRETACIÓN

Si As la asimetría es negativa. Si As = 0, la distribución de frecuencias es simétrica Si As la asimetría es positiva


CUADRO Nº 31: EL ÍNDICE DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS. 1. APUNTAMIENTO O CURTOSIS El apuntamiento o curtosis atiende a la forma de la distribución, a la distribución de la varianza. El índice de apuntamiento indica el grado de concentración que presentan los valores respecto de la media aritmética. Cuanto mayor es el valor del índice, mayor es la concentración de datos alrededor de la media aritmética, a la vez que tal hecho coexiste con una relativamente elevada frecuencia de datos muy alejados de la media aritmética. En ese caso, estamos ante una distribución , o sea muy apuntada. Si la distribución extiende las frecuencias a lo largo de muchos valores, hablamos de una distribución , muy aplanada. Si la distribución no es ni , ni o sea podría ser una distribución normal si además es simétrica.

2. ÍNDICE DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS El índice que mide el apuntamiento de una distribución de frecuencias es o .

a. FÓRMULAS

Disponemos de estas fórmulas:

Ku = – 3 Fórmula por percentiles:

3. EJEMPLO DEL PROCEDIMENTO DE CÁLCULO He aquí un problema: Hallar el valor del índice de apuntamiento de una distribución que tiene los siguientes valores en los percentiles:

Percentil

Valor

Percentil 10

22

Percentil 25

48

Percentil 75

96

Percentil 90

110

Trasladamos esos valores a la fórmula del índice de apuntamiento o curtosis:

; = 0.18 La distribución es platicúrtica: (0.18 0.26) Ku =


4. INTERPRETACIÓN Si Ku es mayor de 0.263, la distribución es . Si es menor de 0.263, la distribución es . La curva normal es .


CUADRO Nº 32: ESTADÍSTICA DE DOS O MÁS VARIABLES EN LA MISMA MUESTRA 1. INTRODUCCIÓN

En los anteriores hemos presentado los índices que expresan las características de una distribución de frecuencias de una única variable en una muestra. En el presente vamos a introducir los índices que expresan una correlación entre dos o más variables cuantitativas y los índices de asociación entre dos variables cualitativas, también en una sola muestra.

El presente cuadro tiene únicamente una finalidad introductoria al estudio de las relaciones que pueden darse entre dos o más variables. Si las relaciones son entre variables cuantitativas reciben el nombre de correlaciones; si, por el contrario, son relaciones entre variables cualitativas, se las conoce como . Veamos los coeficientes de correlación y los coeficientes de asociación de un modo abreviado e introductorio. 2. LA CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES

La correlación expresa la variación concomitante de dos o más variables cuantitativas. Cuando comprobamos que una variación en una de ellas coincide con una variación con otra u otras, decimos que correlacionan. En ningún caso se dice que una de ellas influya en la otra, esa relación no sería una correlación, sino una relación causa-efecto, cuya expresión matemática sería una , no una . En la correlación varían dos variables de modo concomitante debido a una tercera variable desconocida, cuya acción influye en las dos variables correlacionadas. Ejemplos de variables correlacionadas. a. Velocidad de un vehículo en una distancia dada y tiempo en recorrerla. b. Número de libros leídos por los alumnos de 6º de Primaria y amplitud de vocabulario mostrado en las redacciones. 3. INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LOS COEFICIENTES DE CORRELACIÓN

La tabla siguiente ofrece criterios para interpretar los valores numéricos obtenidos en la aplicación de las fórmulas de los coeficientes de correlación a datos de variables cuantitativas expresados en escalas de intervalo u ordinales: Tipos de correlación. Correlación perfecta

Positiva

Negativa

-1

Correlación imperfecta

Positiva

negativa

-1

+1

+1

Entre 0 y

Entre 0 y

4. CUADRO RESUMEN DE LOS COEFICIENTES DE CORRELACIÓN

En el siguiente cuadro aparece una clasificación de los coeficientes de correlación agrupados por tipologías: A

B

C

D

E

TIPO DE VARIABLE

NÚMERO DE VARIABLES

ESCALA DE

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

SÍMBOLO

Dos cuantitativas continuas

Dos (2)

Intervalo

Coeficiente de correlación lineal de Pearson

r xy

Ordinal

Coeficiente de correlación ordinar (rro) de Spearman

Coeficiente de correlación ordinal (tau) de Kendall

Coeficiente de concordancia de Kendall

Continuas, una dicotomizada

Dos (2)

Una cuantitativa continua y otra cualitativa dicotómica

Dos (2)


Tres (3) o más variables


Tres (3) o mas variables


Intervalo

Coeficiente de correlación biserial

rb

Coeficiente de correlación biserial puntual

r bp

Intervalo

Coeficiente de correlación múltiple

r1.23

Intervalo

Coeficiente de correlación parcial

r12.3

Una de Intervalo y otra nominal

5. COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN

Los coeficientes de asociación pretenden decidir: 1) 2) 3)

Si hay alguna relación entre dos variables cualitativas/atributos (en escala nominal) dicotómicas o policotómicas. Si esa relación es positiva o negativa. El grado de intensidad de esa relación.

No todos los coeficientes de asociación sirven para alcanzar los tres cometidos enunciados en a), b) y c). Algunos sólo el primero, otros los dos primeros y algunos menos, los tres cometidos. 6. CUADRO CON LA CLASIFICACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN

En el siguiente cuadro se ofrece una clasificación de los distintos coeficientes de asociación agrupados por tipologías: Coeficiente c2

c2

Derivados del coeficiente < ji cuadrado> c2

C oe fi cie nt e d e c on ti ng en ci a

Coeficiente de contingencia máximo

Cmax

Coeficiente de contingencia corregido

Ckor

Coeficiente de Cramer

V

Coeficiente de Tschuprow

T2

Otros coeficientes de Asociación

Coeficiente de Kendall

Coeficiente cuadrado

C

f

f2

Coeficiente Omega Coeficiente Q de Yule Coeficiente tetracórico

Q rt


CUADRO Nº 33: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON 1. DEFINICIÓN: El coeficiente de correlación lineal de Pearson sirve para determinar la relación de variación concomitante, supuestamente existente, entre dos variables cuantitativas continuas, medidas por escala de intervalo o de razón. El símbolo es: (r minúscula, con una x y una y minúsculas como subíndices)

2. REQUISITOS EXIGIDOS A LAS VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS PARA PODER CALCULAR JUSTIFICADAMENTE LA CORRELACIÓN DE PEARSON Para este tipo de correlación son requisitos indispensables: Continuidad, función rectilínea y homocedasticidad. CONTINUIDAD: Aquellas variables cuantitativas continuas medidas por una escala de intervalo, o sea, de unidad constante. Quedan excluidas las variables cualitativas/atributos y las variables cuantitativas discretas. La razón es que tenemos que someter los datos a las diversas operaciones aritméticas, cosa que sólo puede hacerse con las medidas de una escala de intervalo. FUNCIÓN RECTILÍNEA: La correlación de Pearson requiere que los datos se relacionen entre si de una manera rectilínea, es decir, que los datos que quedan dentro de una elipse, puedan representarse de modo aproximado a una línea recta. Cuando la superficie es de tipo curvilíneo, la línea que representa la relación entre los datos sería una curva. Ahora bien, la correlación de Pearson equivale a hallar la ecuación de una r ecta. Por lo cual da resultados incorrectos si la relación es de tipo curvilíneo. HOMOCEDASTICIDAD: La dispersión de todas las filas debe ser igual a la dispersión de todas las columnas. Si la dispersión entre las dos variables no es igual a la de largo de ambas, sino que varía de una parte a otra, no se puede expresar la relación con un índice de correlación único. 3. INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL

Los valores que puede tomar el coeficiente de correlación lineal van desde el < -1 > hasta el < +1 >. Hay, por tanto, coeficientes positivos y negativos. Los primeros indican que el incremento de una de las variables, conlleva un incremento en la otra. En las correlaciones negativas (número precedido por signo < - >, ), el incremento en una variable coincide con un decremento en la otra. Desde un punto de vista cuantitativo, interpretamos:

UNA CORRELACIÓN DESDE

HASTA

MERECE CALIFICARLA COMO

0.00

0.20

Despreciable

0.20

0,40

Baja

0.40

0.60

Moderada

0.60

0.80

Alta

0.80

1.00

Muy alta

4. DOS CASOS EN EL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL:

Se distinguen dos casos: a. Con puntuaciones agrupadas por valores con sus respectivas frecuencias, pero no agrupadas en intervalos. b. Con puntuaciones agrupadas en intervalos de valores. Cada uno de ellos dispone de una tabla distinta: Tabla para puntuaciones agrupadas por valores con sus respectivas frecuencias VARIABLE

VARI ABLE 1

2

3

fy

(f y)

(f y)

(X)

(fy)


(Y)

(Y)2

(Y)

(X)(Y)

(Y)2 1

16

4

2

2

4

18

12

3

6

2

18

f x

26

24

32

∑f=

(f x)(X) (X)2 (f x)(X)2 (X)(Y) (f x)(X)(Y)

Tabla II para puntuaciones agrupadas en intervalos de valores Variable Variable

1–5

6 – 10

11 – 15

16 - 20

f Y

1-3 4-6 7-9 10 - 12 13 - 15 16 - 18 f x

5. FÓRMULAS

Se dispone de fórmulas que operan con: a. Puntuaciones estándar () b. Puntuaciones diferenciales () c. Puntuaciones directas () a. FÓRMULA PARA PUNTUACIONES ESTÁNDAR:

r xy = SIMBOLOGÍA DE ESTA FÓRMULA: zx: puntuación estándar de la variable ; z Y : puntuación estándar de la variable ; n : número de sujetos. Comentario: Es poco práctico utilizar esta fórmula pues hay que calcular las medias aritméticas, las desviaciones estándar, las respectivas puntuaciones diferenciales y las puntuaciones estándar correspondientes a cada puntuación directa. Hay fórmulas, aparentemente más complejas, pero sus tablas de datos son más sencillas y requieren menos operaciones aritméticas como la utilizada para puntuaciones directas. b. FÓRMULA PARA PUNTUACIONES DIFERENCIALES 1)

r xy

FÓRMULA

=

2)

SIMBOLOGÍA: Estadísticos e-Books & Papers

x: puntuación diferencia en la variable , o sea la diferencia entre cada puntuación directa (X) y la media aritmética ( y: puntuación diferencial en la variable , o sea la diferencia entre cada puntuación directa (Y) y la media aritmética (. UN EJEMPLO DE CÁLCULO:

3)

Advertimos al lector que con una muestra tan pequeña carece de sentido hallar el , pero nos servirá para ejemplificar los cálculos. En la Tabla I hemos colocado los datos relativos a la variable y a la variable .

Tabla I A

B

C

SUJETOS

PUNTUACI ONES DIRECTAS

PUNTUACIONES

D

DIFERENCIALES

E

CUADRADO DE LAS PUNTUACIONES DIFERENCIALES

G

PUNTUACIONES DIRECTAS

H

CUADRADO DE LAS PUNTUACIONES

PRODUCTO DE LAS DOS PUNTUACIONES

DIFERENCIALES

DIFERENCIALES

Iván

10

10

Tánia

7

28

Igor

13

22

30

60

Paso 1º) Para determinar los valores de las puntuaciones diferenciales (x) es indispensable calcular previamente las medias aritméticas: = = 10 = = 20 Paso 2º) Se resta de cada una de las puntuaciones directas (X) de la variable , su media aritmética (10) y de las puntuaciones directas (Y) de la variable , su correspondiente media aritmética (20) (columnas y , respectivamente) Paso 3º) Elevamos al cuadrado las puntuaciones diferenciales ( e ) (columnas y ). Paso 4º) Se multiplican los cuadrados de las puntuaciones diferenciales de una variable () por los de la otra () (columna ).

Tabla II A

B

SUJETOS


C PUNTUACIONES DIFERENCIALES

D

E

F

G

COADRADO DE LAS

PUNTUACIONES

PUNTUACIONES

DIRECTAS

DIFERENCIALES

CUADRA-DO DE LAS



H PRODUCTO DE LAS PUNTUACIONES DIFERENCIALES

Iván

10

O

0

10

-10

100

O

Tánia

7

-3

9

28

+8

64

-24

Igor

13

+3

9

22

+2

4

+6

30

0

18

60

0

168

-18

Paso 5º) Llevando estos resultados a la fórmula: r xy r xy

=

r xy

=

=

= = = 0.68


CUADRO Nº34: CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL UTILIZANDO PUNTUACIONES DIRECTAS 1. CÁLCULO DE LA CORRELACIÓN LINEAL UTILIZANDO PUNTUACIONES DIRECTAS

Aunque puede asustar la fórmula, el cálculo del coeficiente de Pearson utilizando sólo puntuaciones directas (sin tener que hallar las puntuaciones diferenciales) es mucho más sencillo, la tabla tiene menos columnas. a. FÓRMULA:

r xy = b. SIMBOLOGÍA:

n: número de sujetos. X: puntuación directa de un sujeto en la variable . Y: puntuación directa de un sujeto en la variable . X2: cuadrado de la puntuación directa . Y2: cuadrado de la puntuación directa . (X)(Y): producto de las puntuaciones directas de la variable por las puntuaciones directas de la variable . ∑(X)(Y): suma de los productos de la puntuación directa por la puntuación directa . ∑(X): suma de las puntuaciones directas . ∑(Y): suma de las puntuaciones directas . ∑(X2): suma de los cuadrados de las puntuaciones directas . ∑(Y2): suma de los cuadrados de las puntuaciones directas . 2. EJEMPLO DE CÁLCULO

Veamos un problema como ejemplo: Un grupo de diez jóvenes han sido examinados en ortografía y en vocabulario. Se desea conocer el grado de correlación entre las dos habilidades. Los datos aparecen en la Tabla I

Paso 1º) Situamos las puntuaciones directas de los diez sujetos en la variable y en la variable en las columnas y respectivamente. Paso 2º) Sumamos las puntuaciones directas de la variable y las de variable . Tabla I A

B

C

D

E

SUJETOS

PUNTUACIONES

CUADRADOS PUNT.

PUNTUACIONES

CUADRADOS PUNT

Simón

6

8

Juan

7

7

Jacob

4

6

Mateo

6

5

Marcos

5

7

Tomás

4

8

Magdalena

9

7

Isabel

5

6

Judith

7

5

Esther

8

6

n = 10

∑X = 61

∑Y = 65

F PRODUCTO PUNT Y PUNT.

Paso 3º) Elevamos al cuadrado las puntuaciones directas de ambas variables y colocamos los resultados en las columnas y respectivamente. Paso 4º) Sumamos los cuadrados situados en la las columnas Y de la Tabla II. Paso 5º) Multiplicamos la puntuación directa de cada sujeto en la variable , por la puntuación directa en la variable . Esos productos ocupan las flas de la columna . Paso 6º) Sumamos esos productos de la columna .


TABLA II A

B

SUJETOS

PUNTUACIONES

C CUADRADOS PUNT

D

E

PUNTUACIONES

CUADRADOS PUNT

F PRODUCTO PUNT Y PUNT.

Simón

6

36

8

64

48

Juan

7

49

7

49

49

Jacob

4

16

6

36

24

Mateo

6

36

5

25

30

Marcos

5

25

7

49

35

Tomás

4

16

8

64

32

Magdalena

9

81

7

49

63

Isabel

5

25

6

36

30

Judith

7

49

5

25

35

Esther

8

64

6

36

48

n = 10

∑X= 61

∑X2 =397

∑Y= 65

∑Y2= 433

∑(X)(Y) = 394

Paso 7º) Trasladamos los resultados recogidos en las casillas de la última fila de las columnas de la a la , a la fórmula:

r xy = r xy = ; r xy ; r xy

r xy

r xy

r xy = - 0.15

Interpretamos que el valor obtenido (-0.15) representa una correlación y , lo que nos lleva a afirmar que las habilidades de los alumnos en esas materias son independientes.


CUADRO Nº 35: CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL UTILIZANDO MEDIAS ARITMÉTICAS El procedimiento de cálculo del coeficiente de correlación lineal utilizando las medias aritméticas aparentemente muy complejo, pero no lo es: no hay que calcular puntuaciones diferenciales. Veámoslo. a. FÓRMULA:

La fórmula para el cálculo del coeficiente de correlación lineal de Pearson con datos no agrupados en intervalos, utilizando solamente las medias aritméticas de las dos distribuciones es la siguiente: r xy = c. SIMBOLOGÏA:

media aritmética de los productos de las puntuaciones directas de cada sujeto en ambas variables. media aritmética de los cuadrados de las puntuaciones directas en la variable . : media aritmética de los cuadrados de las puntuaciones directas en la variable . UN EJEMPLO DEL PROCEDIMENTO DE CÁLCULO: Hallar el coeficiente de correlación lineal entre las calificaciones obtenidas por ocho estudiantes en dos asignaturas. Los datos están expuestos en la tabla I.


TABLA I A

B

C

D

SUJETOS

PUNTUACIÓN DIRECTA

PUNTUACIÓN DIRECTA

Guillermo

6

9

54

Federico

4

17

58

Luis

3

16

48

Juan

7

10

70

Carlos

4

8

32

Fernando

5

6

30

Bruno

8

14

112

Otón

3

10

30

n=8

∑X = 40

∑y = 90

∑(X)(y) = 434

E

F

PRODUCTO CUADRADOS CUADRADOS DE DE DE POR PUNTUACIONES PUNTUACIONES

∑X2

∑Y2

Paso 1º) Vemos en la Tabla I situadas las puntuaciones directas de la variable (columna ) y de la variable (columna ). Paso 2º) También podemos ver en la columna de la Tabla I, los resultados de multiplicar la puntuación directa de cada sujeto en la variable por la puntuación directa del mismo sujeto en la variable . Paso 3º) Sumamos los valores de cada columna (, y ). Paso 4º) Elevar al cuadrado las puntuaciones directas en la variable . Las situamos en la columna de la Tabla II. Paso 5º) Sumamos los cuadrados de la columna de la Tabla II. Paso 6º) Elevamos al cuadrado las puntuaciones directas de la variable que aparecen en la columna de la Tabla I o la Tabla II. Esos cuadrados ocupan la columna de la Tabla II. Paso 7º) Sumamos los cuadrados que aparecen en la columna de la Tabla II. Tabla II A

B

C

SUJETOS

PUNTUACIÓN DIRECTA

PUNTUACIÓN DIRECTA

D

E

F

Guillermo

6

9

54

36

81

Federico

4

17

58

16

289

Luis

3

16

48

9

256

Juan

7

10

70

49

100

Carlos

4

8

32

16

64

Fernando

5

6

30

25

36

Bruno

8

14

112

64

196

PRODUCTO CUADRADOS CUADRADOS DE DE DE PUNTUACIONES PUNTUACIONES POR

Otón

3

10

30

n=8

∑X = 40

∑Y = 90

∑(X)(Y) = 434

9 ∑X2 =

100 224

∑Y2 = 1122

Paso 8º) Calculamos el valor de cada media aritmética: de las puntuaciones , de las puntuaciones , de los productos de las puntuaciones por las puntuaciones , de los cuadrados de las puntuaciones , y de los cuadrados de las puntuaciones . =5 ; = 11.25 ; = 54.25 ; = = 28 ; = = 140.25 Paso 9º) Trasladamos esos datos a la fórmula: r xy = r xy = r xy =

r xy = ; r xy =

; r xy = = - 0.31

Hemos hallado una correlación y entre ambas variables.


CUADRO Nº 36: REGRESIÓN LINEAL 1. REGRESIÓN LINEAL Se habla de en Estadística a la estimación o predicción de los valores de una variable a partir de los valores de otra variable, y del valor del coeficiente de correlación lineal de Pearson entre las dos variables, siempre que el coeficiente resultante sea imperfecto: ni <+1>, ni <-1>. El matemático inglés Francis Galton fue el creador del concepto de . Hallar la regresión supone aproximar una línea recta a una nube de puntos de un diagrama de dispersión. Las expresiones matemáticas para hacer esta estimación o predicción son las y decimos en plural y no porque son distintas las ecuaciones de regresión, pues dependen de si se trata de sobre , o de sobre . Cada punto es la proyección de la puntuación obtenida por un individuo en una de las dos variables sobre el eje de las abscisas y la puntuación del mismo individuo en la otra variable sobre el eje de las ordenadas, entre las que ha sido calculado el coeficiente de correlación lineal de Pearson. Se produce una nube de puntos, tantos puntos como individuos. La recta de regresión busca representar a la nube de puntos y sirve para predecir las puntuaciones en una variable en función de las puntuaciones en la otra variable. Se suele usar la recta de regresión porque es la que mejor se ajusta a la nube de puntos, recta que posea la menor distancia a todos los puntos. El punto () de la recta recibe el nombre de . 2. RECTA DE REGRESIÓN Según la geometría analítica, la recta se ajusta a la ecuación: y = a + bx : es la ordenada en el origen, donde se corta la recta con el eje de ordenadas y : es el número de unidades que cambia por cada unidad que cambia . Se la conoce como . Tenemos dos casos: a. regresión de sobre . b. regresión de sobre

3. REGRESIÓN DE SOBRE Para predecir puntuación Y, a partir de la puntuación utilizamos la fórmula de la siguiente ecuación de recta de regresión lineal: FÓRMULAS: y´ = ay/x + by/x (X) (Atención: la notación de los valores estimados Y´ y X´ llevan una <´> como índice para evitar ser confundidos con los valores reales e ). Las fórmulas de los coeficientes y son estas: ay/x = - by/x ( b = (r xy )() SIMBOLOGÍA: Y´: puntuación estimada para la variable para un valor concreto de la variable . r xy: coeficiente de correlación lineal entre la variable cuantitativa continua y la variable cuantitativa continua . : cociente entre la desviación estándar de y la desviación estándar de : es la diferencia entre la media aritmética de y el producto de la media aritmética de por el coeficiente : es el producto del coeficiente de correlación por la razón de la desviación estándar de (S Y) entre la desviación estándar de (S X). Sx : desviación estándar en la variable Sy : desviación estándar en la variable Y : puntuación de la variable : media aritmética de la variable : media aritmética de la variable 4. EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN DE SOBRE ¿Qué valor tendrá probablemente cuando tiene un valor <10>, teniendo en cuenta que: 8.00

= 9.00

Sx = 3.60

Sy= 2.00

r xy= 0.90

Comenzamos hallando el valor del coeficiente ( de sobre ), realizando las operaciones aritméticas indicadas en su fórmula (b = (r xy )()) : Estadísticos e-Books & Papers

Paso 1º) Dividimos la desviación estándar de (Sy) entre la desviación estándar de (S x): = = 0.55 Paso 2º) Multiplicamos el valor hallado en el paso anterior (0.55) por el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre e (0.90), resultando: (0.55)(0.90) = 0.49 . Ya tenemos hallado el valor del coeficiente . Paso 3º) Para hallar el valor del coeficiente , atendemos a las operaciones aritméticas indicadas en su fórmula (ay/x = - by/x ( ); multiplicamos la media aritmética de la variable (= 8.00) por el valor del coeficiente (by/X = 0.49) (que hemos ya calculado en el paso 2º) resultando: (8.00)(0.49) = 3.92 Paso 4º) Restamos del valor de la media aritmética de la variable ( = 9.00) el valor hallado en el paso anterior (3.92): (9.00 – 3.92 = 5.08. Ya enemos calculado el valor del coeficiente . Paso 5º) Por tanto, ya podemos integrar en la fórmula de los resultados hallados en los pasos 2º, 3º y 4º. y´ = ay/x + by/x (X)

y´ = 5.08 – 0.49 (X)

Como el enunciado del problema indica que el valor de X es 10, la anterior ecuación se resuelve sustituyendo por su valor (10): Y´ = 5.08 + 0.49 (10) = 5.08 -4.9 = 9.98 Cuando un individuo ha obtenido una puntuación de 10 en la variable , estimamos que el mismo individuo obtendrá una puntuación de 9.98 en la variable si el coeficiente de correlación lineal es 0.90 y los valores de los índices se mantienen. 5. REGRESIÓN DE SOBRE Las fórmulas correspondientes para calcular el valor estimado de sobre son las mismas que hemos utilizado en el cálculo del valor estimado de sobre , salvo que donde ponía , ahora debemos poner y donde ponía , ahora debe poner : X´ = ax/y + bx/y (Y) bx/y = (r xy )() ax/y = - bx/y ( 6. EJEMPLO DE CÁLCULO Problema: Estimar el valor que tomaría en la variable un alumno que en la variable hubiera obtenido un <8> y los restantes datos para realizar la estimación son los siguientes:

=5

Sx = 2

Sy = 3

r xy = 0.80

Calculamos el valor del coeficiente bx/y = (r xy )()

bx/y = (0.80)() = (0.80)(0.66)= 0.52

Calculamos el valor del coeficiente : ax/y = - bx/y ( ax/y = 6 – (0.52) ( = 6 – 2.60 = 3.4 Como ya conocemos los valores de los dos coeficientes (b x/y y ax/y ), podemos estimar , conociendo que Y = 8 (como aparece en el enunciado del problema): X´ = ax/y + bx/y (Y)

x´ = 3.4 + (0.52) (8) = 3.4 + 4.16 = 7.56

Por tanto, podemos estimar que el alumno que en la variable obtuvo un <8>, probablemente obtendría un <7.56 > en la variable .


CUADRO Nº 37: LAS PUNTUACIONES ESTÁNDAR 1. LOS TRES TIPOS DE PUNTUACIONES Son tres los tipos de puntuaciones que describen la posición de un individuo en una variable cuantitativa continua en escala de intervalo: a. La puntuación directa (símbolo: , X mayúscula) es el valor numérico resultante de la aplicación de un instrumento de medida a un

individuo. b. La puntuación diferencial (símbolos: , x minúscula) es la diferencia entre la puntuación directa (X) obtenida por un individuo y el

valor de la media aritmética (de la muestra de la que forma parte el individuo. c. La puntuación estándar( o típica (símbolo : , z minúscula) es la puntuación diferencial alcanzada por un individuo, dividida por la

desviación estándar de la muestra a la que pertenece el individuo. Nos indica cuántas unidades de desviación estándar (S) separan la puntuación directa (X) obtenida por el individuo, de la media aritmética (). La fórmula de es: z = , o lo que es igual: z = Solamente tienen sentido las puntuaciones cuando la variable cuantitativa tiene una distribución ajustada a la curva normal. 2. INSUFICIENCIA DE LAS PUNTUACIONES DIRECTAS Y DIFERENCIALES PARA COMPARAR LA PUNTUACIÓN OBTENIDA POR UN

INDIVIDUO EN DOS MEDICIONES O CON LAS PUNTUACIONES OBTENIDAS POR OTROS INDIVIDUOS Dos puntuaciones directas (Xa y Xb) obtenidas por un individuo al medir dos variables distintas ( y ) no pueden ser comparadas, pues cada una viene expresada en unidades de medida de magnitudes distintas; no puede compararse: un <7> en Lengua castellana, con un 9 en Matemáticas. Se necesitaría conocer el número de ambas muestras, las medias aritméticas y las desviaciones estándar de las mismas. Tampoco permite comparar las puntuaciones directas obtenidas por un mismo individuo en dos aplicaciones de instrumentos de medida de la misma variable cuantitativa, pues cuando un individuo ha obtenido 17 puntos en una primera prueba y 19 en la segunda, no estaría ustificado inferir que ha mejorado su rendimiento. Para poder afirmar o negar tal hecho, necesitamos haber calculado previamente la media aritmética y la desviación estándar de las puntuaciones directas obtenidas por los individuos de las muestras (si no era la misma muestra. Si la media aritmética () de la primera prueba es 12, su puntuación de 17 es , está por encima de la media. Si la media aritmética de la segunda prueba es 22, la puntuación directa (19) obtenida por el individuo es , está por debajo de la media (22), por lo que no podría afirmarse que el rendimiento del individuo ha mejorado. Las puntuaciones diferenciales permiten una mayor justificación de nuestras inferencias sobre el valor de una puntuación lograda por un individuo, ya que las puntuaciones diferenciales nos indican la distancia que una puntuación directa tiene respecto a la media aritmética de la muestra. Las puntuaciones diferenciales pueden ser comparadas con un cierto fundamento. No obstante, para precisar más la posición de un individuo no es suficiente conocer su puntuación diferencial, sino que necesitamos conocer si las puntuaciones conseguidas por los individuos de la muestra, están próximas o alejadas de la medía aritmética. Uno de los índices que miden la dispersión es la desviación estándar. Puede ser una buena unidad de medida de las puntuaciones diferenciales: la fracción < Pues bien, esas fracciones son conocidas como puntuaciones estándar . 3. LAS PUNTUACIONES ESTÁNDAR

Podremos comparar las puntuaciones directas (17 y 19) si las transformamos en puntuaciones estándar . Para transformarlas necesitamos haber calculado previamente la media aritmética () y la desviación estándar (S). Podemos obtener la puntuación estándar (z) aplicando la órmula: z = ; si se hubieran calculado ya las puntuaciones diferenciales (x), la fórmula de las puntuaciones estándar ,como hemos dicho, sería: z = 4. PROPIEDADES LAS PUNTUACIONES ESTÁNDAR

Dos puntuaciones son números abstractos porque: a. La suma de las puntuaciones estándar de los individuos de una muestra es igual a cero (∑z= 0); por tanto, la media aritmética de las

puntuaciones estándar es igual a cero (. b. La desviación estándar (S) de las puntuaciones estándar (z) es igual a <1> (uno). Por lo que, la varianza (S2) es igual a <1> ((1) 2 = 1). c. Permite comparar la posición de un sujeto con la de cualquier otro de otra muestra siempre que se conozcan las medias aritméticas y

las desviaciones estándar de cada muestra. d. Si la variable medida se ajusta a la distribución normal de frecuencias, la comparación entre , es más precisa que la comparación

entre percentiles. e. También si la variable medida se ajusta a la distribución normal de frecuencias (curva de Gauss) se puede conocer qué proporción de

sujetos están por debajo o por encima de la puntuación de un sujeto.

5. EJEMPLO DE CÁLCULO DE LAS PUNTUACIONES ESTÁNDAR

Una puntuación estándar (z) resulta de restar a la puntuación directa (X) obtenida por el individuo, la media aritmética (de la muestra a la que pertenece el individuo; el resultado de esa diferencia debe ser dividido entre la desviación estándar de la misma muestra. Estadísticos e-Books & Papers

Problema: Calcular las puntuaciones de siete jóvenes cuyas puntuaciones directas aparecen recogidas en la columna de la Tabla I:


Tabla I A

B

SUJETOS


C

Guillermo

6

36

Ricardo

8

64

Isabel

12

144

Eduardo

18

324

Enrique

15

225

Jorge

6

36

Jacobo

5

25

TOTALES

∑X = 70

∑854

D

CUADRADOS DE LAS PUNTUACIONES DIRECTAS

E


PUNTUACIÓN ESTÁNDAR

Paso 1º) Sumamos las puntuaciones directas (∑ (columna ). Paso 2º) Hallamos la media aritmética ( ): = = 10 Paso 3º) Para calcular la desviación estándar, necesitamos haber elevado al cuadrado las puntuaciones directas; los resultados se presentan en la columna . Paso 4º) Sumamos los cuadrados de las puntuaciones directas (columna ). Paso 5º) Calculamos la desviación estándar con la fórmula: S=

; S=

; S = = = 4.69

Paso 6º) Hallamos las puntuaciones diferenciales correspondientes a los siete alumnos: restamos de cada puntuación directa (columna ), la media aritmética (10). Paso 7º) Dividimos cada puntuación diferencial entre la desviación estándar; los resultados están la columna : Tabla II A

B

C

D

SUJETOS

PUNTUACIONES DIRECTAS

Guillermo

6

36

6-10=-4

-0.85

Ricardo

8

64

8-10=-2

- 0.42

Isabel

12

144

12-10=+2

+ 0.42

Eduardo

18

324

18-10=+8

+1,70

Enrique

15

225

15-10=+5

+1.06

Jorge

6

36

6-10=-4

- 0.85

Jacobo

5

25

5-10=-5

- 1.06

TOTALES

∑X = 70

∑854

CUADRADOS DE LAS PUNTUACIONES DIRECTAS


E PUNTUACIÓN ESTÁNDAR

6. PUNTUACIONES NORMALIZADAS

Debido a la dificultad que para el cálculo suponen los valores positivos y negativos de las puntuaciones estándar , se ha propuesto ransformarlas en puntuaciones . Si multiplicamos las puntuaciones por una constante, desaparecen los decimales; si sumamos a ese producto una constante positiva, los valores negativos se transforman en números positivos. Se suele usar 10 y 50 como constantes. Las puntuaciones normalizadas resultan de multiplicar por 10 y sumar 50, o sea, una media de 50 y una desviación estándar de 10. Fórmula de las puntuaciones T = (z) (10)+ 50 Las puntuaciones correspondientes a estas puntuaciones estándar son: PUNTUACIONES ESTÁNDAR

PUNTUACIONES

-1.20

38

+1.30

63

+ 0.50

55


-0.30

47

CUADRO Nº 38: LA CURVA NORMAL 1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Y CURVAS Muchas variables cuantitativas de intervalo, como la, la
2. CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDADES a. Es una distribución continua, cuyas variables pueden medirse con el grado de precisión que se desee. La curva normal tiene las

siguientes características: 1) La media aritmética, la mediana (Md) y la moda (Mo) en la distribución normal de probabilidades coinciden. El eje pasa por la media aritmética. 2) Los puntos de inflexión coinciden con una distancia entre la media aritmética ( y la desviación estándar (S). 3) b. Es una curva simétrica sobre un eje que divide el espacio bajo la curva en dos mitades iguales. c. Es una curva asíntota al eje de las abscisas. d. El área total bajo la curva normal es igual a <1> o sea al 100 %. e. La media aritmética ( es <0> y la desviación estándar (S) es <1>. Consultando la tabla de áreas de la curva normal, podemos conocer qué proporción o porcentaje de sujetos están en el área comprendida entre la puntuación y la media aritmética ( = 0). 3. DESCRIPCIÓN DE LA TABLA DE LAS ÁREAS DE LA CURVA NORMAL

La tabla de áreas de la curva normal está constituida por 11 columnas y 39 filas. La tabla ofrece para cada puntuación estándar , la proporción o porcentaje (%) del área comprendida entre esa y la media aritmética. Las puntuaciones estándar están formadas por tres cifras, la primera es un entero (incluida su ausencia, el <0>) y dos cifras decimales: una décima y una centésima. En la primera columna por la izquierda, de arriba abajo, encontramos los números desde 0.0 hasta 3.0. La cifra de las centésimas determina qué columna debemos consultar. Las columnas, desde la 2ª a la 11ª, están encabezadas por las cifras de las centésimas, que van desde <0> a <9>. Según sea la centésima de nuestra puntuación , seleccionaremos la columna pertinente. Si la centésima fuera, p. e. un <3>, seleccionaríamos la columna encabezada por un <3>. De modo análogo, haríamos con cualquiera de las otras nueve posibles cifras de las centésimas. Las cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) de las centésimas nos indican la columna que debemos observar: aquella columna encabezada por la misma cifra que la centésima. 4. TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL Presentamos a continuación la tabla de los porcentajes bajo la curva normal de todos los valores numéricos que puede tomar una puntuación estándar :

5.- ¿CÓMO ENCONTRAR EL AREA (PROPORCIÓN O PORCENTAJE) CORRESPONDIENTE A UNA DADA? Si, por ejemplo, la es igual a 2.23, vamos a la primera columna por la izquierda de la tabla. En esa columna está la cifra de los enteros y la primera cifra de los decimales. Buscamos en esa primera columna: <2.2>, pues son el entero y las décimas de (2.23). Encontramos <2.2> en la fila <24ª> si contamos de arriba abajo. Si contamos de abajo a arriba, <2.2> está en la fila <9ª>. Estadísticos e-Books & Papers

Ya tenemos localizada la fila (la fila del <2.2>). Pero aún no sabemos cuál es la proporción o porcentaje que corresponde a = 2.23. Nos ijamos en la cifra de las centésimas (<3>) de la = 2.23. Elegimos la columna encabezada por un <3>. Ahora ya podemos hallar el área de la curva que le corresponde a nuestra (2.23). Esa área o porcentaje está donde se cruzan la fila <2.2> y la columna encabezada por el <3>. Hallamos: 0.4871 (proporción) o sea 49.01 % del área entre la media aritmética de la distribución de las (<0>) y la = 2.23. 6.-PUNTUACIONES POSITIVAS Y PUNTUACIONES NEGATIVAS Si la puntuación va precedida del signo <+> ( o sea, es una positiva), se sumara <50> al porcentaje hallado en la tabla. Si, por el contrario, la puntuación va precedida del signo <-> (o sea, es una negativa), se restara a <50>, el porcentaje que aparece en la tabla. RELACIONES ENTRE LAS PUNTUACIONES ESTÁNDAR Y LAS ÁREAS BAJO LA CURVA NORMAL

PUNTUACIONES

ÁREA CUBIERTA BAJO LA CURVA NORMAL

Entre +3 Y +2

2.15 %

Entre +2 y +1

13.5 %

95%

Entre +1 y 0

34.13 %

68%

Entre 0 y -1

34.13 %

Entre -1 y -2

13.5 %

Entre -2 y -3

2.15 %

99%


CUADRO Nº 39: EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE PUNTUACIONES Y ÁREAS BAJO LA CURVA NORMAL 1. EJEMPLOS DE BUSQUEDA DEL PORCENTAJE QUE CORRESPONDE A UNA PUNTUACIÓN ESTÁNDAR (z) DADA Pueden darse distintos problemas según sea positiva o negativa la puntuación y entre y <0>, entre dos , (ambas positivas, ambas negativas o una positiva y otra negativa). Veamos unos problemas: PROBLEMA 1º Hallar el porcentaje de sujetos que obtuvieron puntuaciones inferiores a la = 1.63

FIGURA Como puede verse en la figura una puntuación de 1.63, debe aparecer entre la z = 1 y la z= 2 positivas. Para hallar el porcentaje en la abla, daremos los siguientes pasos. Paso 1º) Vemos que 1.63 se compone de un entero (1) y dos cifras decimales (.63). La cifra del entero y la del primer decimal aparece en la primera columna por la izquierda, la que está encabezada por una . Ya hemos encontrado la fila, la de 1.6. Es la fila 15ª. Paso 2º) Ahora nos vamos a la columna encabezada por un <3> (5ª columna contando desde la izquierda), pues la centésima de nuestra (1.63) es <3>. Paso 3º) Ya tenemos la fila (1.6) y la columna (3). En el punto donde se cortan la fila y la columna está la proporción (0.4484), o sea, un porcentaje de 44.84%. Al ser un número positivo (1.63), le sumamos 50 % (el porcentaje de la mitad de puntuaciones negativas): 50 + 44.84 = 94.84 % estarían por debajo de la z = 1.63 Por tanto, el porcentaje de los que obtienen una z superior a 97.13 es: 100% - 97.13 = 8.87 % . El 8.87 % de los sujetos habrían obtenido superiores a 1.63 PROBLEMA 2º Hallar el porcentaje de sujetos existente entra las puntuaciones: z=+0.40 y z= -2.70

Paso 1º) Miramos la figura y vemos que el área buscada se extiende a la derecha y a la izquierda de la media. Se diferencia del problema nº 1º en el que la mitad izquierda de la media era total (el 50 %), en el problema nº 2º, el área izquierda no es completa, pues queda una pequeña cola exterior a la negativa (-2.70).

FIGURA Paso 2º) Para determinar la proporción o porcentaje del área obscura de la figura , tenemos que hallar por separado en la tabla el área que va desde la media a la positiva y el área desde la media a la negativa: Estadísticos e-Books & Papers

Encontramos en la tabla los siguientes porcentajes: A una z= +0.40, le corresponde un porcentaje de: 15.54 A una z= -2.70, le corresponde un porcentaje de: 49.65 Sumando los porcentajes de ambas áreas, resulta: 15.54 % + 49.65% = 65.19% PROBLEMA 3º Hallar el porcentaje de sujetos que han obtenido puntuaciones superiores a z=+ 2.60

Paso 1º) Vemos la figura y vemos que el área cuyo porcentaje queremos encontrar, es la cola del área derecha (área de las positivas. Paso 2º) Buscamos en la tabla el porcentaje de sujetos que ocupan el área entre la media (0) y la z= +2.60. Encontramos: 49.53 %. Paso 3º) Como lo que buscamos no es el porcentaje del área entre la media y la z = +2.60, sino la pequeña área, la cola, de la mitad derecha. Conocemos que el porcentaje total de la mitad de la distribución es el 50 %, luego si restamos a 50 %, dl porcentaje hallado 49.53, resulta: 50% - 49.53% = 0.47%

FIGURA PROBLEMA 4º Hallar el porcentaje de sujetos que ocupan el área ennegrecida de la figura , más allá de la z= - 1.95

Paso 1º) Buscamos en la tabla el área comprendidaentre la media y la z= - 1.95. Encontramos: 47.44% Paso 2º) Como lo que deseamos conocer es el área que está más allá de la z= -1.95, habrá que restar de 50 %, el área hallada entre la media y la z= - 1.95: 50% - 47.44% = 2.56 %

FIGURA

PROBLEMA 5º Hallar el porcentaje de sujetos del área existente entre dos puntuaciones positivas: z= 1.99 y z=2.70 (área ennegrecida de la figura )

Consultamos la tabla: el porcentaje entre la media (0) y la z= 1.99 es de 47.67% . El porcentaje entre la media (0) y la z= 2.70 es de 49.65% . Como vemos en la figura el área obscurecida es la diferencia entre el área 49.65 y el área 47.67 49.65 % – 47.67 % = 1.98 %

FIGURA PROBLEMA 6º Hallar el porcentaje de sujetos del área ennegrecida de la figura . Es un área entre dos puntuaciones , una positiva (z = +2.11) y otra negativa (z = -2.11)

Paso 1º) Consultamos la tabla: a una = 2.11, le corresponde un porcentaje de 48.26.


FIGURA Paso 2º) Conocemos que tanto el área entre la media (0) y z= +2.11, como el área entre la media (0) y la z= -2.11, tienen cada una de esas áreas P= 48.26. Por tanto, ambas suman: 48.26% + 48.26% = 96.52% 2. CÓMO HALLAR LA PUNTUACIÓN QUE CORRESPONDE A UN PORCENTAJE CONCRETO Es el proceso inverso al que se ha expuesto en la sección <1>: Se busca determinar la puntuación (positiva o negativa) a partir del porcentaje de área conocido. En esta búsqueda pueden ocurrir dos casos: a. Si el porcentaje es superior a 50%, sabemos que lo que excede, sobrepasa, de 50, se resta 50 al porcentaje. El resultado de esa diferencia se busca en la tabla. b. Si el porcentaje es inferior a 50%, se resta el porcentaje a 50. El resultado de esa diferencia se buscará en la tabla. PROBLEMA 1º Hallar la puntuación estándar correspondiente a un porcentaje de 48.26%.

Paso 1º) Como 48.26 es un porcentaje inferior a 50%, restamos de 50 el porcentaje (48.269): 50-48.26 = 1.74. Paso 2º) Para buscar 1.74 en la tabla debemos transformar el en , pues en la tabla las áreas vienen expresadas en proporciones: un porcentaje de 1.74 % () es igual a una proporción 0.1740. Paso 3º) Encontramos que esa proporción (0.1740) ocupa un lugar en una fila y en una columna. La fila nos da la cifra de los enteros y la cifra de las décimas y la columna nos da la cifra de las centésimas. Encontramos que la proporción más próxima a 0.1740 en la tabla es: 0.1736. La que corresponde a esa proporción es: 0.45, ya que está ubicada en la fila <0.4> y en la columna encabezada por un <5>. La buscada es z= 0.45 PROBLEMA 2º Hallar la puntuación correspondiente a un porcentaje de75%.

Paso 1º) Un área de 75% supera a 50%, por lo que debemos restar 50% a 75%: 75% - 50% = 25% Paso 2º) Transformamos 25% a proporción: 0.2500 Paso 3º) Buscamos en la tabla la proporción más próxima a 0.2500. Encontramos: 0.2486. A esta proporción le corresponde una puntuación de: 0.67 (ya que está en la fila encabezada por 0.6 y en la columna encabezada por un <7>).


CUADRO Nº 40: COEFICIENTES DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y DE CORRELACIÓN PARCIAL 1. LOS COEFICIENTES DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y PARCIAL Recordamos que el coeficiente de correlación lineal de Pearson busca determinar el grado de variación concomitante de dos variables. Para aquellos casos en que se relacionan más de dos variables en la misma muestra, disponemos de dos coeficientes de correlación, derivados del coeficiente de correlación lineal de Pearson, que son: a. Coeficiente de correlación múltiple b. Coeficiente de correlación parcial

2. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE 3. DEFINICIÓN: Cuando una variable interacciona con otras variables y se conoce el grado de correlación que la primera mantiene con cada una de las otras en particular, puede desearse conocer la correlación de la variable primera con todas las demás conjuntamente. Para estos casos, disponemos del coeficiente de correlación múltiple. Previamente se ha de conocer las correlaciones entre: a. la variable y la variable (r 12). b. la variable y la variable …..(r 13). c. La variable y la variable …(r 2 3 ). 1)

SÍMBOLO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE:

r 1.2 3 (una minúscula con tres cifras como subíndices, la primera cifra separada por un punto a las otras dos ( o más de dos, si las hubiera). b) FÓRMULA: r 1.2 3 = 4)

SIMBOLOGÍA

r 12 ; coeficiente de correlación entre las variables <1> y <2> r 13 coeficiente de correlación entre las variables <1> y <3> r 23 : coeficiente de correlación entre las variables <2> y <3> 4. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO Para una mejor comprensión del procedimiento, proponemos un ejemplo de resolución de un problema: Se desea conocer el grado de dependencia de la variable respecto de las variables y conjuntamente. Para ello, debe hallarse el coeficiente de correlación múltiple, Paso 1º) Se construye la tabla: VARIABLES

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

RENDIMIENTO ACADÉMICO

COCIENTE INTELECTUAL

RENDIMIENTO ACADÉMICO COCIENTE INTELECTUAL

0.70

SOCIABILIDAD

0.45

SOCIABILIDAD

0.25

Paso 2º) Trasladamos los datos a la fórmula: r 1.2 3 = r 1.2 3 = r 1.2 3 =

R1.2 3 = = 0.57

5. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PARCIAL El coeficiente de correlación parcial pretende conocer la correlación existente entre dos variables si una tercera variable permanece constante, o sea, eliminando el influjo de la tercera. Un ejemplo de estas correlaciones: el coeficiente de correlación entre y suele ser alta y positiva entre niños de 4 a 14 años. De este hecho no podemos deducir que un niño gordo sea mejor calculador que uno delgadito. Claro que tal Estadísticos e-Books & Papers

deducción sería equivocada, pues la correlación positiva se deriva de la presencia de otra variable: la edad. El coeficiente de correlación parcial sirve para conocer el valor de la relación entre peso y habilidad para el cálculo aritmético, si se elimina el factor . 1)

SÍMBOLO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PARCIAL:

R12.3 (una minúscula

a. FÓRMULA:

R12.3 b. SIMBOLOGÍA:

r 1.2 : Coeficiente de correlación entre la variable <1> y la variable <2>. r1.3 : Coeficiente de correlación entre la variable <1> y la variable <3>. r2.3 : : Coeficiente de correlación entre la variable <2> y la variable <3>

c. UN EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO Hallar la correlación parcial entre l variable <1>, (factor de fluidez verbal) y la variable <2> (cálculo aritmético) si se excluye el influjo de la variable <3> (ortografía). Las correlaciones entre estas tres variables son las que se muestran en la siguiente tabla:

VARIABLES CORRELACIONADAS

COEF. CORRELACIÓN
Factor fluidez Verbal

Cálculo aritmético

0.50

Factor fluidez Verbal

ortografía

0.80

Ortografía

Calculo aritmético

0.60

Operaciones en el numerador de la fracción de la fórmula: Paso 1º) Se multiplican por : (0.80)(0.60) = 0.48 Paso 2º) Se resta de (0.50) el producto hallado en el paso 1º (0.48): 0.50 – 0.48 = 0.02. Operaciones en el denominador de la fracción de la fórmula: Paso 3º) se eleva al cuadrado : (0.80)2 = 0.64 Paso 4º) Se resta de la unidad (1) el cuadrado de hallado en el paso 3º: 1 – 0.64 = 0.36. Paso 5º) Se halla el cuadrado de 0.36 (0.64) Paso 6º) Se extrae la raíz cuadrada de la diferencia entre <1> y el cuadrado de ( hallada en el paso 4º: = 0.36 Paso 6º) Se eleva al cuadrado . Paso 7º) Se halla la diferencia entre <1> y el cuadrado de< r 2.3: 1 Paso 8º) Se halla la raíz cuadrada de la diferencia calculada en el paso 7º. Paso 9º) Se halla el producto de lo calculado en los pasos 5º y 8º. Paso 10º) Trasladamos los datos de la tabla de correlaciones a la fórmula: R12.3 R12. .3 = = 0.042


CUADRO Nº 41: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ORDINAL (r) DE SPEARMAN 1. INTRODUCCIÓN: El coeficiente (rro, letra griega minúscula) de Spearman permite calcular el grado de correlación entre dos variables cuantitativas medidos en escala ordinal. Las puntuaciones de cada variable han sido ordenadas de menor a mayor (o viceversa) resultando, por tanto dos series ordenadas por rangos. O sea, mide la relación entre la ordenación de sujetos en una variable y la ordenación de los mismos sujetos en la otra variable. Los símbolos del coeficiente de Spearman son: (una minúscula con una como subíndice) o < r > (letra griega minúscula ) a. FÓRMULA

Rs = (Esta fórmula sólo es válida si no hay empates o si estos son pocos. Existe cuando dos o más sujetos han obtenido la misma puntuación, lo que se crea un problema de la asignación de rangos. Si hay empates, se necesita hallar la media aritmética de los rangos que podrían ocupar si no hubiese empate. b. SIMBOLOGÍA DE LA FÓRMULA

<∑>: sumatorio : diferencia entre el rango obtenido por el sujeto en la primera variable (X) y el rango del mismo sujeto en la segunda variable (Y). : la diferencia anterior elevada al cuadrado. <∑d2 >: suma de los cuadrados de las diferencias. : número de sujetos 2. EJEMPLO DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ORDINAL DE SPEARMAN < r>

He aquí un problema: Hallar el coeficiente de correlación ordinal de Spearman de las puntuaciones en Matemáticas y en Física de 8 estudiantes. Las puntuaciones aparecen en la Tabla I

Paso 1º) En la Tabla I solamente presentamos rellenas la columna de sujetos, de puntuaciones y de rangos de la variable : Tabla I SUJETOS

PUNTUACIÓN RANGO EN EN MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS

Olga

7

3º

Sergio

6

5º

Carmen

7

3º

Paula

5

6º

Pedro

4

7º

Roque

7

3º

Ángela

8

1º

Manuela

3

8º

PUNTUACIÓN EN FÍSICA

RANGO EN FÍSICA

DIFERENCIAS ENTRE RANGOS

CUADRADOS DE LAS DIFERENCIAS ENTRE RANGOS

n= 8

Paso 2º) En la tabla II se ofrecen ya rellenas las columnas de sujetos, de puntuaciones y de rangos de la variable , de puntuaciones y de rangos de la variable .

Tabla II JETOS



RANGO EN FÍSICA

Olga

7

3º

15

3º

ergio

6

5º

10

6º

armen

7

3º

12

4º

Paula

5

6º

11

5º

edro

4

7º

7

8º




oque

7

3º

16

2º

ngela

8

1º

19

1º

anuela

3

8º

9

7º

n=

En la tabla III completamos los datos: Paso 3º) Hallamos las diferencias entre rangos: Paso 4º) Elevamos al cuadrado las diferencias: Paso 5º) Sumamos los cuadrados de las diferencias:


Tabla III TUDIANTES



RANGO EN FÍSICA



Olga

7

3º

15

3º

0

0

Sergio

6

5º

10

6º

-1

1

Carmen

7

3º

12

4º

-1

1

Paula

5

6º

11

5º

+1

1

Pedro

4

7º

7

8º

-1

1

Roque

7

3º

16

2º

+1

1

Ángela

8

1º

19

1º

0

0

Manuela

3

8º

9

7º

+1

1 ∑ d2 = 6

n= 8

Paso 6º) Trasladamos las sumas que aparecen en la tabla III a la fórmula: r = 1- ; r = :

r = = 1 – 0.07 = 0.93.

La correlación hallada es muy alta. 3. UN EJEMPLO DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ORDINAL DE SPEARMAN < r> EN EL QUE APARECEN Problema Calcular el coeficiente de correlación de Spearman sobre las puntuaciones obtenidas por diez sujetos en dos pruebas, una de ellas sobre la variable y la otra sobre la variable , tal como se presenta en la tabla IV

Paso 1º) Tenemos en la Tabla IV rellenadas las columnas de , de y : Tabla IV ETOS

PUNTUACIÓN PUNTUACIÓN RANGO RANGO DIFERENCIA CUADRADO EN VARIABLE X EN VARIABLE Y EN EN DE RANGOS DE LA VARIABLE VARIABLE (d) DIFERENCIA X Y DE RANGOS (d2) 10

5

ÍA

9

9

AR

4

6

R

6

7

ÓN

2

4

TIAGO

3

2

MA

1

3

ORIA

7

8

O

2

1

OBIA

8

10 TOTAL

Paso 2º) En la tabla V, vamos a rellenar las columnas de rangos de ambas variables. Comenzamos a asignar rangos a las puntuaciones en la variable : la puntuación más alta es un <10> y por tanto le corresponde el rango <1º>, la puntuación inferior a <10> es un <9>, por tanto le corresponderá el rango <2º>,… seguimos asignando rangos, pero descubrimos que hay un empate entre dos puntuaciones (un <2>, Ramón y un <2>, Yago). No sabríamos a quién asignarle el rango 8º y a quién asignarle el rango 9º. Esto es muy relevante porque si asignamos el rango 8º a Ramón y no a Yago en la variable , puede que no haya empate en la variable . Pues bien, como sería equivocado conceder a los dos el rango <8º> o a los dos el rango <9º>, lo correcto es hallar la media aritmética de los dos rangos: se suman estos dos rangos (8+9 = 17) y lo dividimos entre 2: ( = 8.5). Se coloca 8.5 en las casillas de la variable que tienen un 2 de puntuación. Paso 3º) Hacemos lo mismo con la segunda variable . Pero en este caso, como hemos dicho, no hay .

Tabla V ETOS

ÍA

PUNTUACIÓN PUNTUACIÓN RANGO RANGO EN VARIABLE X EN VARIABLE Y EN EN VARIABLE VARIABLE X Y 10

5

1

6

9

9

2

2

DIFERENCIA CUADRADO DE RANGOS DE LA (d) DIFERENCIA DE RANGOS (d2)


AR

4

6

7

5

R

6

7

5

4

ÓN

2

4

8.5

7

TIAGO

3

2

8

9

MA

1

3

10

8

ORIA

7

8

4

3

O

2

1

8.5

10

OBIA

8

10

3

1 TOTAL

Paso 4º) Hallamos las diferencias entre los rangos de la variable y los rangos de la variable . Paso 5º) Elevamos al cuadrado esas diferencias. Paso 6º) Sumamos los cuadrados de las diferencias. En la Tabla VI se recogen los resultados de las operaciones aritméticas prescritas en los tres últimos pasos.


Tabla VI ETOS

PUNTUACIÓN EN VARIABLE X

PUNTUACIÓN EN VARIABLE Y

RANGO RANGO EN EN VARIABLE VARIABLE X Y

DIFERENCIA DE RANGOS (d)

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE RANGOS (d2)

UIS

10

5

1

6

-5

25

ARÍA

9

9

2

2

0

0

SCAR

4

6

7

5

+2

4

ILAR

6

7

5

4

+1

1

MÓN

2

4

8.5

7

+1.5

2.25

TIAGO

3

2

8

9

-1

1

LMA

1

3

10

8

+2

4

TORIA

7

8

4

3

+1

1

AGO

2

1

8.5

10

-1.5

2.25

NOBIA

8

10

3

1

+2

4 TOTAL = 44.50

Paso 7º) Trasladamos los valores obtenidos a la fórmula: r=

;

r=1 - = 1 - 0.26 = 0.74

La correlación hallada es alta.


CUADRO Nº 42: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN VARIABLES MEDIDAS EN ESCALA ORDINAL

t (tau)

DE KENDALL ENTRE

1. INTRODUCCIÓN

Ya hemos visto el coeficiente de correlación ordinal de uso más frecuente, el coeficiente de Spearman simbolizado por (letra del alfabeto griego ) o por (r minúscula con una como subíndice). Ahora vamos a presentar otro coeficiente para datos ordinales: el coeficiente t (tau, letra minúscula del alfabeto griego que se corresponde a la del alfabeto latino) de Kendall. Este coeficiente de correlación atiende a la posición (rango) que cada uno de los individuos ocupa en una serie ordenada de puntuaciones en una variable y la posición (rango) que ocupa el mismo individuo en la serie ordenada de puntuaciones en la otra variable. Este coeficiente pretende medir el grado de correspondencia entre las dos ordenaciones FÓRMULAS Y SIMBOLOGÍA

2.

a. Fórmulas:

Disponemos de tres fórmulas (las dos primeras son la misma, pero con un desarrollo algebraico distinto): Fórmula : t (tau) = Fórmula . t = y

Fórmula : t = b. Simbología:

P: número de sujetos que no invierten sus rangos. Q: número de sujetos que invierten sus rangos. 3. LA O LA ENTRE RANGOS

El concepto básico del cálculo del coeficiente es el de . Supongamos personas (A, B, C, D,….N) y dos variables ( e ). Cada sujeto ocupa un rango en la serie de puntuaciones en la variable y otro rango en la serie de puntuaciones en la variable . Cuando comparamos el rango del sujeto en la variable con el rango del sujeto en la misma variable , puede suceder que el rango del sujeto sea inferior o superior al rango del sujeto en la misma variable . Si el rango de es superior al rango de en la variable e inferior a en la variable , se dice que ha habido una . Otro tanto si es inferior a en y es superior a en . Si el rango del sujeto es superior al rango del sujeto en la variable y también el rango de sujeto es superior al rango del sujeto en la variable , se dice que hay una . Esta tabla puede facilitar la comprensión del concepto de (los números elegidos para los rangos son arbitrarios y su elección sólo busca que sirvan como ejemplos): Tabla I VA RI ABL E

V AR IA BL E < Y>

Si el sujeto obtiene el:




El resultado es la:

Rango 3º

Rango 2º

Rango 6º

Rango 4º

No inversión

Rango 5º

Rango 8º

Rango 6º

Rango 4º

Inversión

Si, por ejemplo, los sujetos fueran cinco (A, B, C, D, y E), habría que realizar diez (10) comparaciones: con , con , con , con , con , con , con , con , con , con. 4. UN EJEMPLO DEL CÁLCULO DEL COEFICIENTE < t>

Problema: Hallar el coeficiente < en la Tabla II.

t

> (tau) de Kendal sobre las puntuaciones obtenidas por cinco sujetos en dos variables (X e ), tal como se presenta

Paso 1º) Para poder determinar cuántas inversiones se dan entre los rangos de una variable con los rangos de la otra y así poder cuantificar el valor
y el valor , creemos muy conveniente ordenar la serie de rangos del 1º al 5º en una de las dos variables, en nuestro ejemplo será la variable . Veamos la Tabla II, donde se presentan las puntuaciones y los rangos de cada uno de los cinco sujetos en la variable y en la variable :


Tabla II Sujetos

PUNTUACIÓN RANGO EN EN VARIABLE X VARIABLE

PUNTUACIÓN RANGO EN EN VARIABLE VARIABLE

Antonio

9

1º

6

3º

Benito

8

2º

10

1º

Carlota

6

3º

8

2º

Daniel

4

4º

4

5º

Enrique

2

5º

5

4º

Paso 2º Comparamos: 1)

Si los rangos de dos sujetos muestran un orden progresivo en una variable, y uno regresivo en la otra variable, hablamos de
2)

Si, por el contrario, las comparaciones entre los rangos de ambos sujetos en una y otra variables coinciden en progresividad o regresividad, estamos ante una :

Tabla III SUJETOS COMPARADOS

VARIABLE

VARIABLE

RESULTADO

ANTONIO Y BENITO

1º

2º

3º

1º

Inversión

ANTONIO Y CARLOTA

1º

3º

3º

2º

Inversión

ANTONIO Y DANIEL

1º

4º

3º

5º

No inversión

ANTONIO Y ENRIQUE

1º

5º

3º

4º

No inversión

BENITO Y CARLOTA

2º

3º

1º

2º

No inversión

BENITO Y DANIEL

2º

4º

1º

5º

No inversión

BENITO Y ENRIQUE

2º

5º

1º

4º

No inversión

CARLOTA Y DANIEL

3º

4º

2º

5º

No inversión

CARLOTA Y ENRIQUE

3º

5º

2º

4º

No inversión

DANIEL Y ENRIQUE

4º

5ºe

5º

4º

Inversión

Hay 3 y 7 . Paso 3º) Trasladamos estos datos a la fórmula: t (tau) t

(tau) =

= = = +0.40 =

= = 0.40

Con la otra fórmula: t (tau)

= = = = +0.40

Se puede interpretar este resultado como una correlación discreta entre las dos variables.


CUADRO Nº 43: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE CONCORDANCIA DE KENDALL 1. INTRODUCCIÓN

En los dos precedentes (40º y 41º) hemos presentado dos coeficientes de correlación para datos ordinales (coeficiente < r > y coeficiente ), en el presente vamos a exponer el coeficiente de correlación de Kendall para datos ordinales. 2. DEFINICIÓN

El coeficiente de concordancia de Kendall pretende medir el grado de acuerdo o concordancia entre varios jueces o la asociación entre res o más variables. a. FÓRMULAS:

W= Siendo la fórmula para calculas ~~: S = (a - )2 + (b -2 + (c -)2 + … El promedio se calcula con esta fórmula: Prom = Para calcular la suma de~~
(∑ li), la fórmula es: ∑li =: ∑

b. SIMBOLOGÍA:

n: número de sujetos que reciben los rangos otorgados por los calificadores S: suma de los cuadrados de las diferencias entre la suma de rangos otorgados a cada sujeto menos el promedio de todas las sumas parciales de rangos de cada sujeto: (a- prom)2 + (b – prom)2 + (c – prom)2+ …….. (n – prom) 2. k: número de calificadores, los que otorgan los rangos a los sujetos. ∑Rk : suma total de las sumas parciales de los rangos otorgados a cada sujeto: (a + b + c + + …..) li: número de empates. ∑li : ∑ a : suma de los rangos otorgados al sujeto . b: ídem del sujeto ….Otro tanto se puede decir respecto de , , , etc. 3. EJEMPLO DE PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

Pueden presentarse dos casos: a. No hay ninguna puntuación repetida entre las puntuaciones otorgadas por los calificadores. No hay empates y, por tanto, es sencillo

asignar los rangos. b. Hay, al menos, dos puntuaciones otorgadas por el mismo calificador que coinciden en el mismo valor, o sea, hay empate.

Comenzamos con el primer caso, si bien las fórmulas son las mismas, pero el procedimiento varía; es más sencillo si no hay empates. Para una mejor comprensión del proceso de cálculo del coeficiente , supongamos un problema como ejemplo: Hallar el grado de concordancia entre las calificaciones otorgadas por tres calificadores de las redacciones compuestas por seis alumnos. En la Tabla ya aparecen los rangos asignados a las puntuaciones otorgadas por los tres calificadores.

Paso 1º) Ordenamos, en una serie creciente, las puntuaciones otorgadas a los seis alumnos por cada uno de los tres calificadores. Se comprueba que no hay empates en ninguna de las tres series. Paso 2º) Asignamos rangos correlativos a cada puntuación otorgada por cada uno de los calificadores. Paso 3º) En la tabla I, hemos dado por realizados los dos pasos anteriores y, por tanto, únicamente hemos anotado los rangos asignados a cada una de las puntuaciones otorgadas por cada uno de los tres calificadores: Tabla I SUJETOS

RANGOS

RANGOS

RANGOS


SUMA DE

OTORGADOS POR EL CALIFICADOR



Pedro

6º

5º

5º

Héctor

2º

3º

2º

Esther

5º

4º

4º

Nuria

1º

2º

3º

Esteban

4º

6º

6º

Laura

3º

1º

1º

n=6

RANGOS Rk

∑Rk = a+b+c+d+e+f

Paso 4º) Sumamos los rangos otorgados por los tres calificadores a cada uno horizontales en la columna encabezada por de la Tabla II.

de los seis individuos. Colocamos los totales de las sumas

Paso 5º) Sumamos verticalmente los resultados de las sumas horizontales colocadas en la columna de la Tabla II (∑ Rk). Tabla II SUJETOS

RANGOS OTORGADOS POR EL CALIFICADOR



SUMA DE RANGOS RJ

Pedro

6º

5º

5º

a = 16

Héctor

2º

3º

2º

b=7

Esther

5º

4º

4º

c= 13

Nuria

1º

2º

3º

d=6

Esteban

4º

6º

6º

e = 16

Laura

3º

1º

1º

f=5

n=6

∑Rk = a+b+c+d+e+f = 63

Paso 6º) Se halla el valor de la media aritmética de ∑Rk : = = = 10.5 Paso 7º) Calculamos el valor de : S = (a - )2 + (b - )2 + (c - )2 + (d - )2 + (e - ) 2 +(f - )2 a. Calculamos el valor de cada diferencia:

S = (16 - )2 + (7 - ) 2 + (13 - ) 2+ (6 –10.5)2 + (16 – 10.5)2 + (5 – 10.5)2 b. Elevamos al cuadrado las diferencias indicadas en la fórmula anterior:

S = (5.5)2 + ( -3.5)2 +(2.5)2 + (- 4.5)2 + (5.5)2 + (- 5.5)2 c. Sumamos esos cuadrados: S = 30.25 + 12.25 + 6.25 + 20.25 + 30.25 + 30.25 = 129.50 Paso 8º) Trasladamos a la fórmula de los valores que resultaron en las operaciones aritméticas indicadas en los anteriores: W=

W=

W = = = = 0.82

La correlación 0.82 puede considerarse alta (Hemos suprimido la expresión <>, porque hemos supuesto que no hay puntuaciones repetidas entre las otorgadas por cada calificador: la Tabla I sólo muestra los rangos que corresponderían a cada puntuación).


CUADRO Nº 44: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN BISERIAL 1. COEFICIENTES DE CORRELACIÓN Y ASOCIACIÓN DERIVADOS DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON Los coeficientes de correlación o de asociación relacionados con el coeficiente de correlación lineal de Pearson son estos cuatro: Son estimaciones del coeficiente de correlación lineal de Pearson: 1º) El coeficiente biserial 2º) El coeficiente tetracórico Son aplicaciones, casos particulares, del coeficiente de correlación lineal de Pearson: 3º) El coeficiente biserial puntual 4º) El coeficiente ( phi, fi) 2. DEFINICIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN BISERIAL

El coeficiente de correlación biserial pretende hallar el grado de la posible relación existente entre dos variables: a. Una variable cuantitativa continua. b. Una variable cuantitativa continua, pero dicotomizada, o sea, dividida en dos partes, como si fuera una variable cualitativa (atributo) con

dos únicas modalidades/ categorías. Cuando una variables es realmente cualitativa dicotómica (no continua dicotomizada), se aplica el coeficiente de correlación biserial puntual (r bp) 3. REQUISITOS:

Para poder aplicar la correlación biserial, es preciso que se cumplan estas condiciones: a. b. c. d.

Continuidad de la variable cuantitativa dicotomizada. La variable cuantitativa dicotomizada debe tener una distribución normal. El número de sujetos tiene que ser superior a cincuenta (n 50). Las proporciones
y deben ser cercanas a 0.50 (p. ej., 0.60 y 0.40 o 065 y 0.35).

4. FÓRMULAS Y SIMBOLOGÍA a. FÓRMULAS

Disponemos de dos fórmulas: Fórmula r b= (()

Fórmula

Rb = ( )( )

Observamos que en la fórmula , la expresión (media aritmética de los sujetos del grupo ) de la fórmula ha sido sustituido por la expresión <> (media aritmética total). También cambia el segundo factor del producto. b. SIMBOLOGÍA:

nt: número de sujetos de todo el grupo. np: número de sujetos del subgrupo
(∑fp). nq: número de sujetos del subgrupo (∑fq). p: proporción de sujetos de la modalidad
, su fórmula es:
q: proporción de sujetos de la modalidad ; su fórmula es: : media aritmética de las puntuaciones en la variable continua de los individuos de la modalidad/categoría
. : media aritmética de las puntuaciones en la variable continua de los individuos de la modalidad/categoría . media aritmética de todas las puntuaciones St : desviación estándar de todas las puntuaciones. y : es la ordenada de una distribución normal que divide el área total bajo la curva en dos mitades proporcionales a
y . Para conocer el valor de , se consulta la tabla de valores de la correlación biserial (r b). También puede encontrarse el valor de la razón en la tabla correspondiente. UN EJEMPLO DE CÁLCULO Veamos un problema: Cuarenta alumnos han sido evaluados por un test de inteligencia espacial (variable cuantitativa continua) y calificados por su profesor como oseedores o no poseedores de la habilidad de coordinación visomotora (variable cuantitativa continua dicotomizada). Se desea conocer el grado Estadísticos e-Books & Papers

de relación entre ambas variables.

(Advertimos que para simplificar los cálculos, el ejemplo de problema enunciado incumple el requisito de un número de sujetos mayor de <50>, lo que no impide nos sea útil para la comprensión del procedimiento.) Paso 1º) Colocamos las marcas de los intervalos y del punto central de cada intervalo en las columnas y respectivamente de la Tabla I. Paso 2º) Llenamos las casillas de las columnas , y de la tabla I con las frecuencias de las puntuaciones de los sujetos del subgrupo
, del subgrupo y del grupo total (p+q = n) respectivamente. Paso 3º) Sumamos las frecuencias de cada una de esas columnas y colocamos sus resultados en la casilla inferior de su respectiva columna (, y ). Paso 4º) Colocamos en la columna de la tabla II los resultados de multiplicar los puntos medios de cada intervalo por las frecuencias del grupo
. Paso 5º) Sumamos esos productos y colocamos el resultado en la casilla inferior de la columna .

Tabla I A

B

INTERVALOS

Punto medio de cada intervalo Xi

C Frecuencia del intervalo en
f p

D

E

Frecuencia del intervalo En f q

F

Frecuencia total del intervalo f t

1-3

2

3

2

5

4-6

5

4

3

7

7-9

8

10

8

18

10-12

11

2

5

7

13-15

14

1

2

3

∑fp = 20

∑f q = 20

∑Xt = 40

G

Producto del punto medio de cada intervalo por su frecuencia en
(Xj) (f p)

Producto del punto medio de cada intervalo por su frecuencia en (Xj) (f q)

H

I

Producto Cuadrado del punto del punto medio del medio de intervalo cada por su intervalo Xj2 frecuencia total Xj)(f t)

J Producto del cuadrado del Punto medio por su frecuencia total Xj)2 (f t)

Paso 6º) Ponemos en la columna de la tabla II los resultados de multiplicar los puntos medios de cada intervalo por las frecuencias del grupo . Paso 7º) Sumamos esos productos y situamos los resultado en la casilla inferior de la columna . Paso 8º) Multiplicamos los puntos medios de cada intervalo por las frecuencias del grupo total () (columna de la tabla II)

∑ (X j)(f p)

∑(X j) (f q)

∑(X j)(f t)

∑

Paso 9º) Sumamos esos productos y el resultado lo

colocamos en la casilla inferior de la columna .

Tabla II A

B

VALOS

punto medio de cada intervalo xi

C frecuencia del intervalo en
f p

D Frecuencia del intervalo En f q

E Frecuencia total del intervalo f t

F Producto del punto medio de cada intervalo por su frecuencia en
(Xj) (f p)

G

H

Producto del punto medio de cada intervalo por su frecuencia en (Xj) (f q)

Producto del punto medio del intervalo por su frecuencia total

2

3

2

5

6

4

10

-6

5

4

3

7

10

15

35

-9

8

10

8

18

80

64

144

-12

11

2

5

7

22

55

77

-15

14

1

2

3

14

28

42

∑fp = 20

∑f q = 20

∑Xt = 40

∑(X j) (f q)=166

Cuadrado del punto medio de cada intervalo Xj2

J Producto del cuadrado del Punto medio por su frecuencia total Xj)2 (f t)

Xj)(f t)

-3

∑(X j) (f p)=132

I

∑(X j) (f t)=308

∑ (Xj)2

Paso 10º) Hallar las medias aritméticas de las puntuaciones de los sujetos del grupo
, del grupo y del grupo total : = 6.6 = = = 8.3 = = = 7.70 Paso 11º) Elevamos al cuadrado los puntos medios de cada intervalo (columna de la Tabla III). Estadísticos e-Books & Papers

Paso 12º) Multiplicamos el cuadrado del punto medio de cada intervalo por su frecuencia total o sea, la suma de las frecuencias de ambos grupos (fp + f q = f t). Lo colocamos en la columna de la tabla III. Paso 13º) Sumamos esos productos y colocamos el resultado en la casilla inferior de la columna . Paso 14º) Calculamos la desviación estándar de todo el grupo (): St = ;

St =

St =

St = =3.20

Tabla III B LOS

PUNTO MEDIO DE CADA INTERVALO Xi

C Frecuencia DEL INTERVALO EN
f p

D Frecuencia del intervalo En f q

E Frecuencia total del intervalo

F

G

H

I

J

f t Producto Producto Cuadrado Producto del punto del punto del punto del Producto medio de medio del medio de cuadrado del punto cada intervalo cada del Punto medio de 2 medio por intervalo por su intervalo Xj cada por su frecuencia su intervalo frecuencia total Xj)(f t) frecuencia por su en (Xj) total Xj)2 (f t) frecuencia (f q) en
(Xj) (f p)

2

3

2

5

6

4

10

4

20

5

4

3

7

20

15

35

25

175

8

10

8

18

80

64

144

2

11

2

5

7

22

55

77

121

847

5

14

1

2

3

14

28

42

196

588

∑fp = 20

∑f q = 20

∑Xt = 40

∑(Xj)2 = 410

∑(Xj) 2(f t) =2782

-6

∑(X j) (f p)=132

∑(X j) (f q)=166

∑(X j) (f t)=308

1152

Paso 15º) Trasladamos los resultados obtenidos en las operaciones aritméticas de los pasos anteriores a la fórmula del coeficiente de correlación biserial: r b= (() ; r b= (() = (-0.53() = Paso 16º) Buscamos en la Tabla de valores de , el valor correspondiente a p= 0.50 y q = 0.50. Encontramos 0.3989. Integramos el valor de y = 0.3989 en la fórmula: r b= = - 0.32

CUADRO Nº 45: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN BISERIAL PUNTUAL Estadísticos e-Books & Papers

1. DEFINICIÓN El coeficiente de correlación biserial puntual es una mera aplicación del coeficiente de correlación lineal de Pearson a una variable cuantitativa continua y a una variable cualitativa dicotómica o sea, que solamente tiene dos modalidades (no una variable cuantitativa continua dicotomizada, como sucedía con el coeficiente de correlación biserial). 2. FÓRMULAS Disponemos de dos fórmulas para el cálculo del coeficiente de correlación biserial puntual: Fórmula A: r bp= (( )

Fórmula B r bp= ( ) )

SIMBOLOGÍA: p: proporción de individuos de la categoría superior de la variable cualitativa dicotómica. q: proporción de individuos de la categoría inferior de la variable cualitativa dicotómica. Xp: puntuaciones directas del grupo
. Xq: puntuaciones directas del grupo . Xt: puntuaciones directas de todo el grupo. : media aritmética de las puntuaciones en la variable cuantitativa obtenidos por los sujetos pertenecientes al grupo que portan la modalidad
de la variable cualitativa dicotómica . : media aritmética de las puntuaciones en la variable cuantitativa obtenidos por los sujetos pertenecientes al grupo que porta la modalidad de la variable cualitativa dicotómica . St: desviación estándar de las puntuaciones obtenías por todos los sujetos de la muestra. UN EJEMPLO DE CÁLCULO: Se desea conocer el grado de correlación existente entre la variable cualitativa dicotómica y la variable cuantitativa continua de una muestra de 60 varones y 40 mujeres de un taller mecánico.

Paso 1º) Hallamos los valores de
y de p =

q=

Paso 2º) Situamos los valores de los intervalos en la columna de la Tabla I. Paso 3º) Determinamos los puntos medios de cada intervalo en la columna . Paso 4º) Colocamos las frecuencias de
(varones) en la columna . Paso 5º) Hacemos lo mismo con las frecuencias de (mujeres) en la columna . Paso 6º) Hallamos las frecuencias totales de cada intervalo, sumando la frecuencia de
con la frecuencia de en cada intervalo; se sitúan los resultados en la columna .

Tabla I A

B

ERVALOS

PUNTO CENTRAL DEL INTERVALO

C

D

E

FRECUENCIA DE

FRECUENCIA DE

FRECUENCIA TOTAL

1-3

2

6

5

11

4-6

5

10

7

17

7-9

8

18

12

30

10-12

11

16

10

26

13-15

14

10

6

16

Np = 60

Nq = 40

Nt = 100

F Producto de frecuencia de
por punto central del intervalo

G Producto de la frecuencia por el punto medio de cada clase del intervalo

H Producto de la frecuencia total por el Punto medio del intervalo

I Cuadrado de los puntos medios

J Producto de los cuadrados de los puntos medios de cada intervalo por la frecuencia total del intervalo

Paso 7º) Multiplicamos la frecuencia de
de cada intervalo por el punto central de ese intervalo (columna de la Tabla II). Paso 8º) Multiplicamos la frecuencia de de cada intervalo por el punto medio del intervalo (columna ). Paso 9º) Así mismo, multiplicamos la frecuencia total de cada intervalo por el punto medio de cada intervalo (columna ). Estadísticos e-Books & Papers

Tabla II B

C

D

E

Frecuencia de E

Frecuencia de

Frecuencia Total

2

6

5

11

12

16

22

5

10

7

17

50

35

85

8

18

12

30

144

96

240

2

11

16

10

26

176

110

280

5

14

10

6

16

140

84

224

60

40

100

522

335

857

alos

Punto central de cada intervalo


G

H

I

J

Producto Producto Cuadrados de la de la de los frecuencia frecuencia puntos por el total de medios de punto cada cada intervalo medio del intervalo intervalo por el punto medio de cada intervalo

Producto de los cuadrados de los Puntos medios de cada intervalo por la frecuencia total de cada intervalo

Paso 10º) Sumamos los resultados de los productos de las frecuencias de
por el punto medio de cada intervalo (columna ). Paso 11º) Sumamos los resultados de los productos de las frecuencias de por el punto medio de cada intervalo (columna ). Paso 12º) Así mismo sumamos los resultados de los productos de las frecuencias totales por sus respectivos puntos medios de cada intervalo (columna ). Paso 13º) Calculamos la media aritmética de las puntuaciones
: = ; = = 8.7 Paso 14º) Del mismo modo, calculamos la media aritmética de las puntuaciones : = ; = = 8.37 Paso 15º) Así mismo, calculamos la media aritmética de todas las puntuaciones: = ; = = 5.22 Paso 16º) Elevamos al cuadrado los puntos medios de cada intervalo (columna de la tabla III). Paso 17) Multiplicamos cada cuadrado de los puntos medios de cada intervalo por la frecuencia total de cada intervalo (columna de la Tabla III). Paso 18º) Sumamos los valores numéricos de la columna de la tabla III. Tabla III A INTERVALOS

B PUNTO CENTRAL DEL INTERVALO

C

D

E

FRECUENCIA DE

FRECUENCIA DE

FRECUENCIA TOTAL


G Producto de la frecuencia por el punto medio del intervalo

H Producto de la frecuencia total por el punto central del intervalo

I Cuadrado del punto medio

J Producto del cuadrado del punto medio del intervalo por la frecuencia total del intervalo

1-3

2

6

5

11

12

10

22

4

44

4-6

5

10

7

17

50

35

85

25

425

7-9

8

18

12

30

144

96

240

64

1920

10-12

11

16

10

26

176

110

280

121

3146

13-15

14

10

6

16

140

84

224

196

3136

60

40

100

522

335

857

8671

Paso 19º) Calculamos la desviación estándar (St) de todas las puntuaciones, utilizando para ello la siguiente fórmula: St = ; St = St = = = 7.71 Paso 20º) Trasladamos los valores obtenidos en las operaciones aritméticas de los anteriores a la fórmula del coeficiente de correlación biserial puntual :

r bp= (( ) r bp= (( ) ; r bp= (( ) = (0.04)(0.48) = 0.0192 El valor obtenido (0.0192) es cercano a 0; ambas series de puntuaciones son totalmente independientes: La inteligencia espacial no está vinculada al sexo anatómico.


CUADRO Nº 46: COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS 1. TIPOLOGÍAS DE LOS COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS Los coeficientes de asociación entre variables cualitativas/atributos pueden ser clasificados según dos criterios: a. Por el tipo de variable cualitativa/atributo:

1)

Las variables cualitativas dicotómicas (sólo dos modalidades/categorías) o dicotomizadas (por convención, se las trata como si fueran dicotómicas) pueden ser objeto de cualquiera de los coeficientes de asociación.

2)

Los coeficientes de asociación que sirven tanto para las variables cualitativas, dicotómicas (tienen sólo dos

)

modalidades/categorías) o policotómicas (tienen más de dos modalidades/categorías cuadrado>) y el coeficiente de contingencia

son sólo dos: el coeficiente
>

(
.

b. Por las propiedades de los coeficientes VARIABLE CUALITATIVA DICOTÓMICA

Por c. La relación que algunos coeficientes mantienen con otros coeficientes:

Distinguimos tres grupos:

LA EXISTENCIA DE LA RELACIÓN

LA EXISTENCIA DE LA RELACIÓN Y LA MAGNITUD

Coeficiente T2 de Tschuprow Coeficiente V de Cramer

LA EXISTENCIA DE LA RELACIÓN, LA MAGNITUD Y EL SENTIDO

Coeficiente Q de Yule Coeficiente f (Phi)

CUALITATIVA POLICOTÓMICAS

I) Coeficientes de asociación que dependen del coeficiente < c2> (ji cuadrado): LA EXISTENCIA DE LA RELACIÓN Y LA MAGNITUD

1º) Coeficiente de contingencia

INFORMAN SOBRE:

2º) Coeficiente de contingencia máximo > 3º) Coeficiente de contingencia corregido 4º) Coeficiente de Cramer

LA EXISTENCIA DE LA RELACIÓN

COEFICIENTE DE ASOCIACIÓN Coeficiente c2 (ji cuadrado)

Coeficiente c2 (ji cuadrado) Coeficiente f2 (phi cuadrado)

Coeficiente T2 de Tschuprow Coeficiente V de Cramer Coeficiente C de contingencia de Pearson

5º) Coeficiente de Tschuprow II) Coeficientes relacionados con el coeficiente de correlación lineal de Pearson : 1º) Coeficiente phi < f> 2º) Coeficiente phi cuadrado < f2> 3º) Coeficiente tetracórico 4º) Coeficiente de correlación biserial 5º) Coeficiente de correlación biserial puntual. Estos dos últimos no son coeficientes de asociación, sino de correlación, pues, al menos, una de las dos variables es cuantitativa; por ello, han sido expuestas entre los coeficientes de correlación: y , respectivamente. 1)

OTROS COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN: 1º) Coeficiente de asociación < c2> (ji cuadrado). 2º) Coeficiente de Yule 3º) Coeficiente de coligación < w> (omega minúscula)

:

En el presente se tratan los coeficientes

a. Coeficiente de Yule b. Coeficiente de coligación (omega minúscula)

2. COEFICIENTE DE YULE DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS DICOTÓMICAS O DICOTOMIZADAS


El coeficiente de asociación de Yule busca hallar el grado de asociación entre dos variables cualitativas/atributos dicotómicas o sea, cada una de ellas con dos modalidades/categorías o dicotomizadas (tratadas como si tuvieran dos modalidades). Los valores que puede tomar el coeficiente van desde el <0> a <+1>. a. TABLA DE CONTINGENCIA

La tabla de contingencia está formada de dos columnas y dos filas. Una variable se sitúa en las columnas y la otra variable en las filas. Dos columnas X dos filas resultan cuatro casillas: TABLA I VARIABLE

VARIABLE CATEGORÍA

CATEGORÍA

CATEGORÍA

a

B

CATEGORÍA

c

D

b. FÓRMULA:

Q= c. SIMBOLOGÍA:

a: casilla que acoge al número de sujetos que pertenecen a la categoría de la variable y a la categoría de la variable . b: casilla que acoge al número de sujetos que pertenecen a la categoría de la variable y a la categoría de la variable . c: casilla que acoge al número de sujetos que pertenecen a la categoría de la variable y a la categoría de la variable . d: casilla que acoge al número de sujetos que pertenecen a la categoría de la variable y a la categoría de la variable . 3. UN EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE : Problema: Hallar el coeficiente para conocer el grado de asociación entre dos variables: (hombres y mujeres) e (diestros y zurdos).

Paso 1º) Situamos los datos en la tabla de contingencia: VARIABLE

VARIABLE HOMBRES

MUJERES

DIESTROS

50

35

ZURDOS

10

5

Paso 2º) Trasladamos esos datos a la fórmula: Q = = = = = 0.16 El coeficiente obtenido puede estimarse como muy bajo: ambas variables son independientes entre sí. COEFICIENTE DE COALIGACIÓN < w> (OMEGA MINÚSCULA)

4.

El coeficiente de coaligación < > omega es muy parecido al coeficiente . Veamos su fórmula. a. FÓRMULA:

w = b. SIMBOLOGÍA:

Las casillas , , y tienen idénticos significados que en el coeficiente , arriba expuesto. 5. UN EJEMPLO DE CÁLCULO Problema: Hallar el valor del coeficiente de coaligación omega entre dos variables nominales, e , con los siguientes datos: Estadísticos e-Books & Papers

Variable (Partido político) con dos modalidades: partido y partido Variable : , con dos modalidades: < los que pagan las cuotas>) y< los que no pagan las cuotas>.

Paso 1º) En la Tabla II se han situado los valores en sus casilla: ,< b>, , y . Tabla I VARIABLE

VARIABLE CAT EGORÍA

CATEGORÍA

CATEGORÍA

a

b

CATEGORÍA

c

d

Tampoco es necesario calcular las frecuencias marginales de filas y columnas Tabla II VARIABLE : ABONO DE CUOTAS

VARIABLE : PARTIDO POLÍTICO PA RT ID O

P AR TI DO < B>

ABONAN LA CUOTA

40

30

NO ABONAN LA CUOTA

10

5

Paso 2º) Se trasladan esas frecuencias a la fórmula del coeficiente . w =

w =

w = = = = 0.10

El coeficiente w> hallado es despreciable: ambas muestras son independientes entre sí.

CUADRO Nº 47: COEFICIENTE DE ASOCIACIÓN c2 (JI CUADRADO) CON VARIABLES CUALITATIVAS DICOTÓMICAS 1. DEFINICIÓN La prueba c2 (ji cuadrado) de Pearson es también un coeficiente de asociación entre variables cualitativas/atributos medidas en escala nominal. Al carecer la lengua inglesa del sonido de la griega, idéntico al de la del castellano, el mundo anglófono no denomina a este coeficiente de asociación como , sino como (); la expresión también es usada en muchos textos de Estadística escritos en lengua castellana; nosotros hemos preferido la expresión . Se utiliza tanto con variables cualitativas de dos modalidades (variables dicotómicas), como con variables cualitativas policotómicas (tienen más de dos modalidades). 2. LAS DOS FÓRMULAS DEL Se dispone de dos fórmulas para calcular el coeficiente ji cuadrado, si bien en este sólo utilizaremos la más sencilla (fórmula ), la que puede aplicarse solamente a las variables cualitativas dicotómicas; la segunda (fórmula ) puede aplicarse a variables cualitativas dicotómicas o policotómicas: Fórmula : c2=

Fórmula : c2 = ∑

SIMBOLOGÍA DE LA FÓRMULA n: Número de sujetos. a: número de sujetos que pertenecen a la modalidad (L) de la variable y a la modalidad (L) de la variable . b: número de sujetos que pertenecen a la modalidad (L) en la variable y a la modalidad (R) de la variable . c: número de sujetos que pertenecen a la modalidad (R) de la variable y a la modalidad (L) de la variable . d: número de sujetos que pertenecen a la modalidad (R) de la variable y a la modalidad (R) de la variable Estadísticos e-Books & Papers

ad: producto de la frecuencia de la casilla por la frecuencia de la casilla . cb: producto de la frecuencia de la casilla por la frecuencia de la casilla . (a+b): suma de la frecuencia de la casilla con la frecuencia de la casilla . (d+c): suma de la frecuencia de la casilla con la frecuencia de la casilla . (b+d): suma de la frecuencia de la casilla con la frecuencia de la casilla . (a+c): suma de la frecuencia de la casilla con la frecuencia de la casilla . (a+b+c+d): suma de las frecuencias de las cuatro casillas, o sea suma de los valores marginales de las filas o, lo que es lo mismo, suma de los valores marginales de las columnas. a. TABLA

Aquí tenemos la tabla de contingencia que acoge las frecuencias de cada una de las dos modalidades de cada una de las dos variables; enemos una tabla de contingencia de 2 por 2, o sea de cuatro casillas para las frecuencias y cinco más para la suma de cada fila, la suma de cada columna y la suma total (frecuencias marginales): Tabla I V ARI AB LE < X>

T ot ale s fi la s

Mod.

Mod.

VARIABLE

Mod.

a

b

Mod.

c

d

c+d

a+c

b+d

Totales columnas

a+b

a+b+c+d

3. UN PROBLEMA PARA EJEMPLIFICAR EL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO: Veamos un problema: Averiguar si existe asociación entre la variable y la variable entre los estudiantes, tal como aparecen en Tabla II:

Tabla II Gato: sí

Gato: no

Totales filas

Estudiantes de veterinaria

38

84

a+b

Estudiantes de otras facultades

22

96

c+d

Totales columnas

a+c

b+d

Paso 1º) Se obtienen los valores marginales sumando las frecuencias de las casillas de cada fila y de cada columna: Tabla III Gato: sí

Gato: no

Totales filas

Estudiantes de veterinaria

38

84

122

Estudiantes de otras facultades

22

96

118

Totales columnas

60

180

240

Paso 2º): Trasladamos los datos a la fórmula: c2 = = = = = 5.00

5.00 Más importante que hallar el valor del < c2>, que en nuestro ejemplo vale 5.00, es hallar la significación del mismo, comparando ese valor con los valores de la tabla de valores críticos de ji cuadrado. Esa comparación nos dirás si ambas variables son independientes entre sí (hipótesis nula: H 0)), o si, por el contrario, existe dependencia entre ellas (hipótesis alternativa: H 1) Para poder comparar el valor hallado <5> con los valores críticos que aparecen en la tabla, necesitamos determinar el nivel de significación y los grados de libertad (freedom degrees). Elegimos un nivel de significación del 5% y hallamos los grados de libertad (); en nuestro caso, los grados de libertad resultan de multiplicar el número de filas menos <1> (2 – 1 = 1) por el número de columnas menos <1> (2 – 1= 1). Total: (1)(1) = 1* Buscamos en la Tabla de valores críticos el valor correspondiente a 1 grado de libertad y a un nivel de significación del 0.05 ( o sea: que existe un 5 % de riesgo de equivocarnos si aceptamos la hipótesis nula. Encontramos: 3.84 Estadísticos e-Books & Papers

Como el valor de nuestro ji cuadrado (<5>) es mayor que el valor tabular al 5% y a 1 grado de libertad (<3.84>), rechazamos la hipótesis nula : ambas variables no son independientes una de la otra. * Los grados de libertad (gl) son el número de valores que pueden ser asignados de forma arbitraria antes de que el resto tome un valor automáticamente. Por ejemplo, si tenemos seis valores y conocemos su media aritmética, cinco de ellos pueden tomar cualquier valor, pero el 6º necesariamente sólo puede ser uno. Supongamos la siguiente media aritmética: = 10. ¿Qué número es el que hemos puesto entre interrogaciones? Este número no tiene libertad para ser uno cualquiera, sólo puede ser un <13>, ya que, si fuera otro, no podría obtenerse como media aritmética: <10>.


TABLA DE VALORES CRÍTICOS DE JI CUADRADO Probabilidad de un valor superior Grados de libertad

0,1

0,05

0,025

0,01

0,005

1

2,71

3,84

5,02

6,63

7,88

2

4,61

5,99

7,38

9,21

10,60

3

6,25

7,81

9,35

11,34

12,84

4

7,78

9,49

11,14

13,28

14,86

5

9,24

11,07

12,83

15,09

16,75

6

10,64

12,59

14,45

16,81

18,55

7

12,02

14,07

16,01

18,48

20,28

8

13,36

15,51

17,53

20,09

21,95

9

14,68

16,92

19,02

21,67

23,59

10

15,99

18,31

20,48

23,21

25,19

11

17,28

19,68

21,92

24,73

26,76

12

18,55

21,03

23,34

26,22

28,30

13

19,81

22,36

24,74

27,69

29,82

14

21,06

23,68

26,12

29,14

31,32

15

22,31

25,00

27,49

30,58

32,80

16

23,54

26,30

28,85

32,00

34,27

17

24,77

27,59

30,19

33,41

35,72

18

25,99

28,87

31,53

34,81

37,16

19

27,20

30,14

32,85

36,19

38,58

20

28,41

31,41

34,17

37,57

40,00

21

29,52

32,67

35,48

38,93

41,40

22

30,81

33,92

36,78

40,29

42,80

23

32,01

35,17

38,08

41,64

44,18

24

33,20

36,42

39,36

42,98

45,56

25

34.38

37,65

40,5

44,31

46,93

26

35,56

38,89

41,92

45,64

48,29

27

36,74

40,11

43,19

46,96

49,65

28

37,92

41,34

44,46

48,28

50,99

29

39,09

42,56

45,72

49,59

52,34

30

40,26

43,77

46,98

50,89

53,67

40

51,81

55,76

59,34

63,69

66,77

50

63,17

67,50

71,42

76,15

79,49

60

74,40

79,08

83,30

88,38

91,95

70

85,53

90,53

95,02

100,43

104,21

80

96,58

101,88

106,63

112,33

116,32

90

107,57

113,15

118,14

124,12

128,30

100

118,50

124,34

129,56

135,81

140,17


CUADRO Nº 48: EL COEFICIENTE c2 (JI CUADRADO) PARA VARIABLES CUALITATIVAS POLICOTÓMICAS (1ª PARTE: CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS TEÓRICAS) 1. INTRODUCCIÓN La fórmula, utilizada en el ejemplo presentado en el precedente, solamente es válida para calcular el coeficiente con variables dicotómicas. Para las variables policotómicas (aunque también válida para las dicotómicas) tenemos una fórmula más compleja y que requiere realizar tantas diferencia, cuadrados y divisiones como casillas tiene la tabla de contingencia: a. FÓRMULA:

c2 = ∑

En esta fórmula se distinguen las , también denominadas , las que aporta el problema y las , también conocidas como ; representan las frecuencias que debería tener cada casilla si las dos variables no mantuvieran ninguna relación, fueran independientes una de la otra. Necesariamente que habrá que calcular estas frecuencias eóricas previamente, una a una, para cada casilla. b. SIMBOLOGÍA:

∑: sumatorio f emp: frecuencia empírica, la frecuencia real, la que aparece en los datos del problema en esa casilla de la tabla de distribución de frecuencias. f teor: frecuencia teórica, la que debería haber sido si las frecuencias se hubieran repartido en las casillas de modo totalmente independiente una variable respecto de la otra. 2. CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS TEÓRICAS DE CADA CASILLA Se aplica la siguiente fórmula: f t = SIMBOLOGÍA: f fila: frecuencia marginal de la fila en la que está la casilla de la que se quiere conocer la frecuencia teórica que se trate. f columna : frecuencia marginal de la columna en la que está la casilla de la que se quiere conocer la frecuencia teórica. Se entiende por frecuencia marginal de cada fila, la suma de las frecuencias empíricas de las casillas que forman la fila. Se entiende por frecuencia marginal de cada columna, la suma de las frecuencias empíricas de todas las casillas que forman la columna. Tabla I Variable Mod. M

Mod. N

Mod. Ñ

Mod. P

Suma de las frecuencias empíricas de las filas Marginal fila

Variable

Mod.

a

b

c

d

Mod.

e

f

g

h

Marginal fila

Mod.

i

j

k

l

Marginal fila

Marginal columna

Marginal columna

Marginal columna <Ñ>

Marginal columna

Suma de las frecuencias empíricas de las columnas

3. TRANSCRIBIR LAS FRECUENCIAS EMPÍRICAS A LA TABLA DE CONTINGENCIA

Como podemos ver, nos encontramos con dos variables e . La primera variable () con cuatro modalidades (, , <Ñ> y
) y la segunda variable () con tres modalidades (, , ). En total, 12 casillas: (4)(3) = 12 Supongamos una tabla de contingencia con las siguientes frecuencias empíricas: Tabla II Variables

Variable Mod. M


Mod. N

Mod. Ñ

Mod. P

Suma de las frecuencias empíricas de las filas

Variable

Mod.

30

15

10

Mod.

25

12

11

2

Marginal fila 50

Mod.

60

10

12

8

Marginal fila 90

Marginal columna = 37

Marginal columna <Ñ> = 33

Marginal columna
= 15

Suma de las frecuencias empíricas de las

Marginal de la columna 115

5

Marginal fila 60

200

4. HALLAR LAS FRECUENCIAS MARGINALES

Comenzamos hallando las frecuencias marginales: Paso 1º) Sumamos las casillas de cada fila. Paso 2º) Sumamos las casillas de cada columna. Paso 3º) Sumamos las casillas marginales de las filas o sumamos las casillas marginales de las columnas. Comprobamos que resulta es el mismo número en los dos casos. En total, son tantas casillas marginales como la suma del , del más (+) <1>. En nuestro caso: 4 + 3 + 1= 8 5. ¿CÓMO OBTENER LAS FRECUENCIAS TEÓRICAS DE CADA CASILLA? Paso 4º) Todas las casilla están en una fila y en una columna. Para calcular el valor que corresponde a la frecuencia teórica de cada casilla, multiplicamos el valor marginal de la fila en el que está la casilla, por el valor marginal de la columna en la que está la casilla. Comenzamos: La frecuencia teórica de la casilla de la fila y de la columna resulta demultiplicar la frecuencia marginal de la fila (60), por la recuencia marginal de la columna (115) y dividiendo ese producto entre la frecuencia total (200): Frecuencia teórica de la casilla de la fila y de la columna = = 34.5 Este resultado está recogido en la Tabla III. Allí mismo pueden verse los cálculos y sus resultados para hallar las frecuencias teóricas de las restantes casillas de la tabla de contingencia: Tabla III Variable Mod. M

Variable

Mod.

Mod. Mod.

Suma de las frecuencias empíricas

Mod. N

Mod. Ñ

= 13.25

= 3.75 = 6.75

= 16.65 Marginal columna = 115

= 14.85 Marginal columna 37

Suma de las frecuencias empíricas de las filas Marginal fila = 60

= 11.1

9.25

= 51.75

Mod. P


Marginal fila = 50 Marginal fila = 90 Marginal = columna 200
= 15


CUADRO 49º: EL COEFICIENTE c2 (JI CUADRADO) PARA VARIABLES CUALITATIVAS POLICOTÓMICAS (2ª PARTE: CÁLCULO DEL COEFICIENTE c2) 1. LAS TABLAS DE FRECUENCIAS EMPÍRIAS Y DE FRECUENCIAS TEÓRICAS En el Cuadro nº 48, expusimos el cálculo de las frecuencias teóricas. En el presente se expone el procedimiento completo de cálculo del coeficiente c2. Para ello, traemos las dos tablas de frecuencias empíricas y de frecuencias teóricas presentadas en el : TABLA I DE LAS FRECUENCIAS EMPÍRICAS Variable Mod. M

Mod. N

Mod. Ñ

Mod. P

Suma de las frecuencias empíricas de las filas Marginal fila 60

Variable

Mod.

30

15

10

5

Mod.

25

12

11

2

Marginal fila 50

Mod.

60

10

12

8

Marginal fila 90

Suma de las frecuencias empíricas de las

Marginal de la columna 115



Marginal columna
= 15

200

TABLA II TEÓRICAS

DE

LAS

FRECUENCIAS

Variable Mod. M Variable

Mod. N

Mod. Ñ

Mod. P

Suma de las frecuencias empíricas de las filas

= 9.9

= 4.5

Marginal fila = 60

Mod.

Mod.

= 9.25

= 8.25

Marginal fila = 50

Mod. Suma de las frecuencias empíricas de las columnas


Marginal columna 37

= 6.75

Marginal fila = 90


Marginal columna
= 15

= 200

2. CÁLCULO DEL VALOR DE CADA SUMANDO Tenemos dos tablas: una de ellas recoge las frecuencias empíricas y la otra, las frecuencias teóricas. Ahora ya es posible calcular el coeficiente c2 (ji cuadrado), hallando el valor numérico de cada una de las casillas. Recordemos la fórmula de c2 ji cuadrado para variables cualitativas policotómicas: c2 = ∑

La fórmula nos indica que el resultado es una suma de tantos sumandos como casillas. En nuestro caso, doce sumandos (3 filas por 4 columnas = 12 casillas). También nos dice que el valor numérico de cada casilla resulta de una fracción, cuyo numerador es el cuadrado de la diferencia (resta) entre la recuencia empírica y la frecuencia teórica, y cuyo denominador es la frecuencia teórica. Para una más clara presentación de las operaciones aritméticas implicadas en la fórmula y así hacer más fácil la comprensión, hemos trazado la siguiente tabla formada por seis columnas (una por el resultado de cada una de las operaciones aritméticas que conforman la fórmula) y doce ilas (una por cada casilla de la tabla de nuestro problema), más una primera fila con los encabezamientos: c2 = + + + + + + + + + + + = c2 = + + + + + + + + + + + = 0.58 + 1.37 + 0.08 + 0.2 + 0.48 + 0.91 + 0.91 + 0.81 + 1.31 + 2.65 + 0.54 + 0.23 = 10.07 c2 = 10.07

La Tabla III presenta los resultados de las operaciones aritméticas intermedias: Estadísticos e-Books & Papers

Tabla III A

B

C

CASILLA

FRECUENCIA EMPÍRICA

FRECUENCIA TEÓRICA

D

A

30

34.5

4.5

20.25

0.58

B

15

11.1

+ 3.9

15.21

1.37

C

10

9.9

+ 0.91

0.82

0.08

D

5

4.5

+ 9.50

0.90

0.2

E

25

28.75

- 3.75

14.06

0.48

F

12

9.25

+ 2.75

7.56

0.91

G

11

8.25

+ 2.75

7.56

0.91

H

2

3.75

- 1.75

3.06

0.81

I

60

51.75

+ 8.25

68.06

1.31

J

10

16.65

- 6.65

44.22

2.65

K

12

14.85

- 2.85

8.12

0.54

L

8

6.75

+ 1.25

1.56

0.23

DIFERENCIA ENTRE FRECUENCIA EMPÍRICA Y FRECUENCIA TEÓRICA

E

F

Cuadrado Cociente de la entre los diferencia cuadrados entre de las frecuencia diferencias empírica y empíricas y frecuencia las teórica frecuencias teóricas divididos entre las frecuencias teóricas

Total: 10.07

Comparamos el valor obtenido (10.07) con el valor de la Tabla de valores críticos de ji cuadrado, para un nivel del 5% (0.05) y para 2 grados de libertad: (filas – 1) (columnas – 1) = (2 – 1 = 1) (3 – 1 = 2) = (1)(2) = 2 y encontramos un valor tabular de: <5.99>. Comprobamos que el valor de nuestro ji cuadrado (10.07) es mayor que el valor tabular (5.99), por lo que rechazamos la hipótesis nula (Ho): ) y se acepta la hipótesis alternativa (H1): .

CUADRO Nº 50: COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN DERIVADOS DEL COEFICIENTE 1. RELACIÓN DE COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN DERIVADOS DEL COEFICIENTE < c2> (JI CUADRADO) Los coeficientes de asociación entre variables cualitativas cualitativas dicotómicas (solamente dos modalidades/categorías modalidades/categorías por variable) o policotómicas (más de dos modalidades/categorías por variable) derivados del coeficiente c2 son: 1)

Coeficiente de contingencia

2)

Coeficiente de contingencia corregido: III) Coeficiente de contingencia contingencia máximo: IV) Coeficiente de Cramer Cramer V) Coeficiente de Tschuprow. VI) Coeficiente (fi cuadrado).

Veamos cada uno de ellos. 2. COEFICIENTE DE CONTINGENCIA El coeficiente de contingencia se mueve entre < - 1 > y < + 1 >. De la tabla de contingencia se inferirá si el resultado es negativo < - > o positivo < +>.

.

a

FÓRMULA:

C=

b. SIMBOLOGÍA: Estadísticos e-Books & Papers

c2 : ji cuadrado.

n: número de sujetos de la muestra. c. UN EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO: Un problema Calcular el valor de cuando el es 35 y el número de sujetos es 40.

C= C = = = = 0.67 3. COEFICIENTE DE CONTINGENCIA MÁXIMO: . Se utiliza para determinar el valor máximo que puede tomar según las modalidades que presenta cada variable cualitativa. a. FÓRMULA:

Cmax = b. SIMBOLOGÍA DE LA FÓRMULA:

m: el número menor de categorías de entre las categorías de las dos variables nominales de la tabla de contingencia. C. PROCEDIMIENTO: Para evitar el cálculo de la raíz cuadrada del cociente de la fórmula, es más práctico consultar la tabla con los valores de Cmax a partir del valor de : SI ES IGUAL A:

ENTONCES EL VALOR MÁXIMO DE ES IGUAL A:

2

0.707

3

0.816

4

0.866

5

0.894

6

0.913

7

0.926

8

0.935

9

0.943

10

0.949

Conocidos los valores resultantes de calcular los coeficientes de contingencia y de contingencia máximo , se puede estimar el valor que hubiera obtenido el coeficiente coeficiente de correlación lineal, utilizando utilizando esta fórmula: r xy Atención: el signo < significa , , es distinto a < = > que significa . Supongamos que C = 0.30 y C max = 0.913, entonces: r xy

== 0.57

4. COEFICIENTE CORREGIDO: CORRE GIDO: Para precisar el valor del coeficiente de contingencia en ciertos casos, puede utilizarse la versión corregida del coeficiente con la siguiente fórmula: a. FÓRMULA:

CKOR = ( ) ( C ) b. SIMBOLOGÍA:

k: el número menor de modalidades que presenta presenta una variable. Puede sustituirse sustituirse la de la fórmula por una


5. UN EJEMPLO DE CÁLCULO Hallar el valor del coeficiente de contingencia corregido con los siguientes datos: C = 0.73 k (o ) = 3 CKOR = ( ) ( C ) ; CKOR = ( ) ( 0.73 ) = (1.22)(0.73)= 0.89 6. COEFICIENTE DE CRAMER a. FÓRMULA V= a. SIMBOLOGÍA DE LA FÓRMULA:

m: entre las dos variables, se elige aquella que tiene el menor número de modalidades; ese número es . Por ejemplo, si una variable presenta 4 modalidades y la otra variable, 3 modalidades, el valor de es 3, por ser 3 el menor de los dos números de modalidades (3 y 4) b. PROCEDIMIENTO:

Un ejemplo de cálculo: Hallar el valor de con los siguientes datos: 0.80

c2

n

20

m

2

Sustituyendo los símbolos de la fórmula por los valores: V= V= ;

V = ; V = = 0.20

7. COEFICIENTE T2 DE TSCHUPROW a. FÓRMULA:

T2 = b. SIMBOLOGÍA DE LA FÓRMULA:

n: número de casos filas: número de filas de la tabla de contingencia. columnas: número de columnas de la tabla de contingencia. c. PROCEDIMIENTO.

Supongamos que tenemos los siguientes datos: Ji cuadrado

0.80

n

20

Filas

3

Columnas

2

Sustituimos los símbolos de la fórmula por los correspondientes valores: T2 = T2 =

T2 =

T2 = T2 = T2 = = 2.82

8. COEFICIENTE < f2 > (FI CUADRADO) El cuadrado del coeficiente < f2> es igual al cociente de < c2 > (ji cuadrado) entre número número de sujetos. a. FÓRMULA:


f2 =

b. SIMBOLOGÍA:

n: número de sujetos c. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO:

Supongamos que el valor de ji cuadrado es 0.80 y el número de sujetos es 60 Sustituimos los símbolos de la fórmula por los valores: f2 =

f2 =

f2 = 0.01


EPÍLOGO EL USO DE LOS PROGRAMAS INFORMÁTICOS DE ESTADÍSTICA 1. DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS Y PROGRAMAS INFORMÁTICOS PARA LOS ANÁLISIS ESTADÍSTICOS

Antes de considerar el uso de programas informáticos dedicados al análisis estadístico, creemos conveniente advertir al lector que odos los cálculos de estadígrafos en el ámbito de la Estadística Descriptiva pueden realizarse con: a. Calculadoras manuales que incluyan entre sus operaciones, la potenciación al cuadrado, la raíz cuadrada y (conveniente, pero no

indispensable) la potenciación con exponente superior a 2. b. Calculadoras manuales científicas, que ofrecen un de Estadística. Generalmente con este , es posible introducir los

datos y recibir los cálculos sobre esos datos pulsando las teclas de (, sumatorio de los cuadrados de x (∑x 2) y la desviación estándar (S, si bien en las calculadores esta tecla lleva la etiqueta: s2). Estas calculadoras, a nuestro entender, son instrumentos válidos para calcular los índices de tendencia central, de variabilidad, de asimetría, de apuntamiento, los percentiles y los coeficientes de correlación y de asociación que componen todos los contenidos de la Estadística Descriptiva, cuando el número de datos (individuos, sujetos) no excede de treinta o cuarenta, según el tiempo y el esfuerzo que estemos dispuestos a invertir. Por otra parte, también son útiles para estos mismos cálculos, los programas de Microsoft Office y de Open Office. Sin embargo, si nos encontramos con fuerzas, nuestro nivel informático es medio o alto y el volumen de datos lo aconseja, iremos a utilizar los programas informáticos de Estadística a nuestra disposición. Numerosos programas informáticos sirven para analizar datos estadísticos. La relación de ellos es muy larga, pero vamos a citar los más conocidos: SPSS, MINITAB, STATGRAPHICS, STATSOFT, SAS, SPAD, winIDAMS (gratuito, UNESCO), openEPI,…Unos son gratuitos (de código abierto), otros pueden descargarse en ciertas condiciones y el resto son de pago. 2. EL PROGRAMA INFORMÁTICO Entre os programas informáticos de aplicación en Estadística, destaca el programa de IBM SPSS (Statistic Package for Social Sciences). Vamos a intentar describir lo que encontrará un nuevo usuario del programa cuando lo abra. Cuenta con seis ventanas (windows): Una ventana principal y cinco ventanas secundarias. Estas últimas llevan las siguientes etiquetas: NEW DATA (Nuevos datos): parecen los datos que están activos (extensión: .SAV). OUTPUT (Resultados de los análisis estadísticos (extensión: .SPO). SYNTAX (Sintaxis): instrucciones y procedimientos de tratamiento y cómputo de los datos en los diversos análisis posibles con los datos de la ventana y los resultados aparecen en la ventana (extensión: .SPS). CHART CAROUSEL: contiene las representaciones gráficas de los análisis (extensión: .CHT). CHART: editar los datos de las ventanas carousel (extensión: .CHT, la misma que en CHART CAROUSEL).

3. DESCRIPCIÓN DE LA VENTANA
BARRA ENÚS

DE

Archivo Editar Ver os Transformar adísticos Gráficos lidades Ventana uda


BARRA DE RRAMIENTAS Nuevo Guardar Imprimir tc. Nombre

Tipo

BARRA TADO

DE

LÍNEA TADO

DE

Anchura

Decimales

Etiquetas

Valores

Perdidas

Columnas

Alineación

Medida

Rol

Veamos en el siguiente cuadro lo que ofrece cada uno de los diez menús: EDICIÓN Editar el texto de las ventanas de resulta os

VER Búsqueda y cambio. incluye un menú de para personalizar aspectos del funcionamiento del programa.

DATOS Definir variables. y cambiar datos .

TRANSFORMAR Creación y transformar Variables.

ESTADÍSTICOS Procedimientos de cada análisis estadístico.

GRÁFICOS

UTILIDADES

Elegir entre tipos de representaciones.

Configurar (crear y activar grupos de variables, consultar Variable e Instrucciones,…

VENTANA Modificar las características de la ventana del programa; presentar las ventanas en mosaico o en cascada,…

AYUDA Informa sobre Funciones del SPSS.

Para terminar esta brevísima incursión en el SPSS, presentamos dos cuadros, uno sobre los análisis aplicables a datos cuantitativos, y el otro, a variables cualitativas/atributos (hemos traducido a la lengua castellana, los términos en inglés): PARA DATOS CUANTITATIVOS

En el menú (STATISTICS)

ESTADÍSTICOS

En el menú ESTADÍSTICOS (STADISTICS) DESCRIPTIVOS (DESCRIPTIVES)

Opciones:

Formato (FORMAT)

Modifica el formato de la tabla

Perdidos (MISSING)

INCLUDED

LISTWISE

Excluye los valores perdidos.

Estadísticos (STATISTICS)

Opciones: MEAN

SEMEAN

Error típico de la media aritmética

STDDEV

Desviación estándar

VARIANCE

Varianza

KURTOSIS

Apuntamiento

SKEWNESS

Asimetría

RANGE

Amplitud

MINIMUN

Valor mínimo que toma la variable

MAXIMUN

Valor máximo que toma la variable

SUM

Suma

DEFAULT

Incluye los valores perdidos.

Media aritmética

Media, desviación estándar, mínimo y máximo

ALL

Todos los estadísticos anteriores

Distribución (SORT)

(A):Ascendente

(D):Descendente

Serie descendente


Serie ascendente

PARA DATOS CUALITATIVOS Pulsar en STATISTICS/SUMARIZE

Opciones:

Frecuencias (FRECUENCIES)

Frecuencias, porcentajes simples, válidos y acumulados, polígono de frecuencias e histogramas

Tabulación (CROSSTABS)

Opciones: CELLS

FORMATS

Celdillas, casillas

Formatos

STATISTICS Opciones: CHISQ CORR

Correlación

KAPPA

Coef. Correlación KAPPA

RISK

Riesgo de error en los cálculos de las tablas de contingencia 2X2

Ji cuadrado

PARA DATOS CUANTITATIVOS Como sabemos las variables cuantitativas vienen definidas por números, no por palabras. Con los datos cuantitativos se pueden hacer análisis como: a. Índices de tendencia central. b. Índices de variabilidad c. Índices de apuntamiento y de curtosis d. Percentiles e. Coeficientes de correlación y de asociación. Para realizar estos análisis, pulsamos en
Pulsando en el menú STATISTICS, encontramos varias opciones: a. FORMAT b. MISSING, con dos opciones: a) INCLUDED: todos los valores perdidos b) LISTWISE: Excluye los casos que presentan uno o más valores perdidos c. STATISTICS MEAN. Con las siguientes opciones (el significado de estas expresiones ha sido expuesto en el cuadro ): a) MEAN b) STDDEV c) VARIANCE d) KURTOSIS e) SKEWNESS f) RANGE g) MINIMUM Estadísticos e-Books & Papers

Síntesis de Estadística Descriptiva Para Ciencias Sociales - Jesús María Nieto Gil

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