Bab 3
Sifat Penampang Datar 3.1.
Umum Didalam mekanika bahan, diperlukan operasi-operasi yang melihatkan sifat-
sifat geometrik penampang batang yang berupa permukaan datar. Sebagai contoh, untuk mengetahui besarnya tegangan yang tidak lain sama dengan besarnya besarnya gaya tiap satuan luas. Luas atau penampang termasuk besaran geornetrik perrnukaan datar perlu diketahui. Besaran-besaran yang lain antara lain momen statis, momen inersia terhadap titik berat penampang atau garis yang melalui titik berat penampang. Besaran-besaan ini masih dipengaruhi oleh letak sumbu-sumbunya, yang dikenal dengan rumus-rumus transformasi. Pemakaian sifat-sifat penampang datar ini akan dijumpai pada hab-bab herikutnya.
3.2.
Luas bidang, momen statis dan pusat berat penampang Besaran-besaran geometrik penampang datar diperlukan dalam analisis
mekanika bahan untuk mendapatkan besaran-besaran fisika, misalnya gaya, momen, tegangan, regangan, lendutan dan lain sebagainya. Untuk mengetahui besaranbesaran geometrik ini, ditinjau suatu bagian kecil seluas dA yang berjarak x dan y dari sumbu koordinat Kartesius x dan y, seperti terlihat pada Gambar 3.1. Titik 0 adalah titik sembarang yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan koordinat suatu titik pada penampang. Besaran-besaran geometrik penampang datar antara lain: luas penampang, momen statis dan titik berat. Luas penampang total dapat diperoleh dengan persamaan:
A
A
A = dA = dx dy
(3.1)
Universitas Gadjah Mada
Gambar 3.1. Penampang datar
Momen statis penampang A terhadap suatu sumbu adalah besarnya perkalian antara luas penam pang dengan jarak dan titik pusat penampang ini luasan ke sumbu yang ditinjau. Momen statis penampang terhadap sumbu x dan y dapat dituliskan sebagai berikut:
Letak titik pusat berat penampang dihitung dengan membagi momen statis dengan luas bagian yang ditinjau, atau:
Tentu
saja
tidak
semua
bidang
dapat
dinyatakan
dengan
mudah
dengan
persamaanpersamaan matematika. Untuk memudahkan pemakaian rumus-rurnus di atas pada sembarang luasan dapat dituliskan dengan cara lain, misalnya ditinjau menjadi elemen-elemen 1,2,3,.. .,n, seperti diperlihatkan pada Gambar 3.2.
Universitas Gadjah Mada
Gambar 3.2. Penampang datar yang dibagi menjadi elemen-ëlemen
Dengan membagi penampang menjadi elernen-elernen, besaran-besaran geometri di atas dapat dituliskan sebagai berikut ini.
n
Luas penampang: A = A1
+
A2
+
A3
+ .......... +
An
=
A
1
(3.4)
i =1
Momen statis:
Letak pusat berat:
3.3.
Momen Inersia Penampang Secara umum momen inersia penampang terhadap sumbu x dan y (lihat
Gambar 3.1) adalah sebagai berikut ini.
Universitas Gadjah Mada
3.4.
Momen Inersia dalam Transformasi Sumbu
3.4.1. Penggeseran Sumbu Adanya penggeseran (translasi) sumbu akan berpengaruh terhadap mornen inersia. Jika sumbu ξ dan η sembarang dan sejajar dengan sumbu x dan y dengan jarak antar keduanya adalah a dan b (lihat Gambar 3.3), maka dari definisi dasar didapatkan:
Universitas Gadjah Mada
Gambar 3.3. Penggeseran sumbu
Jika sumbu ξ dan η melalui titik O’ yang merupakan titik berat penampang, maka besarnya momen statis S ξ = S η = 0, sehingga Persamaan (3.11) - (3.13) dapat dituliskan:
3.4.2.
Perputaran Sumbu
Momen inersia penampang juga tergantung dan perputaran sumbu. Tinjaulah suatu sumbu st yang diperoleh dengan memutar (rotasi) sumbu .xy dengan pusat 0 dan sudut putar θ arah positif (berlawanan arah jarum jam). Dengan memperhatikan Gambar 3.4, akibat rotasi ini akan diperoleh koordinat s dan t dalam x dan y sebagai berikut ini.
Universitas Gadjah Mada
Momen inersia terhadap sumbu baru st adalah sebagai berikut:
Dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri, yaitu:
maka Persamaan (3. 18) menjadi
Dengan menjumlahkan l ss dan l tt pada Persamaan (3.20) akan didapatkan: l ss + l tt =l xx + l yy
(3.21)
Universitas Gadjah Mada
yang menunjukkan bahwa jumlah momen inersia terhadap suatu tata sumbu tidak berubah, walaupun sumbu tersebut mengalami perputaran.
3.5.
Momen Inersia Ekstrim Sekarang ditinjau titik () sebagai titik berat potongan, dan momen nersia
dihitung berdasarkan sumbu-sumbu yang melalui titik ini. Persamaan (3.20) memperlihatkan ketergantungan momen inersia terhadap sudut rotasi. Pada sudut rotasi tertentu akan didapatkan pasangan I ss, ltt, dan lst. OIeh karena momen inersia merupakan fungsi dan sudut rotasi θ , maka pada sudut rotasi tertentu, momen inersia ini akan mencapai nilai ekstrim (maksimun atau minimum). Untuk mendapatkan momen inersia ekstrim ini dapat diperoleh dengan menurunan fungsi terhadap θ dan menyamakannya dengan nol, atau:
Turunan dari Persamaan (3.20) masing-masing terhadap θ akan didapat:
dimana masing-masing θ dari persamaan di atas menyatakan sudut rotasi yang menghasilkan momen inersia ekstrim. Sumbu yang menghasilkan nilai ekstrim ini disebut sumbu utama dan momen inersia ektrim ini disebut momen inersia utama yang dapat berupa nilai maksimum dan minimum. Dari Persamaan (3.23) dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut ini. 1) Sudut rotasi θ sumbu-sumbu yang memberikan nilai ekstrim l ss dan l tt, adalah sama, jika yang satu memberikan nilai maksimum yang lain memberikan nilai minimum. 2) Ada dua buah sudut yang saling tegak lurus θ 1 dan θ 2 = θ 1 + π /2 , dimana nilai l st = 0, dalam hal ini berlaku:
Universitas Gadjah Mada
Sudut rotasi ini menghasilkan sumbu utama yang mempunyai momen inersia ekstrim atau disebut juga momen inersia utama, masing-masing:
Momen inersia maksimum:
Momen inersia minimum:
3) Ada dua buah sudut yang saling tegak lurus, dimana momen inersia sentrifugal l xy mencapai nilai ekstrim. Arah sumbunya membentuk sudut 45 o dari sumbu utama. Nilai-nilai ekstrim dari l xy dapat dihitung dengan:
sedangkan besarnya momen inersia pada sudut ini adalah:
Untuk mendapatkan arah sumbu dan momen inersia utama dapat dicari dengan cara grafis yaitu Lingkaran Mohr. Dari persamaan dasar momen inersia yang mengacu pada sumbu st (Persamaan 3.20) didapatkan:
Dengan mengkuadratkan kedua persamaan di atas, kemudian keduanya dijumlahkan, maka akan diperoleh:
Dalam hal ini l xx , l yy dan l xy adalah tiga buah besaran yang telah diketahui, sedangkan l ss dan l st , berupa variabel. Persamaan (3.30) dapat juga ditulis dalam bentuk persamaan Iingkaran sebagai berikut:
Universitas Gadjah Mada
Persamaan ini tidak lain adalah persamaan sebuah lingkaran dengan sumbu l ss . dan I st yang mempunyai koordinat titik pusat Iingkaran ( a ,0) dan jari-jari b . Sembarang titik pada lingkaran mempunyai ordinat I st (momen inersia sentrifugal) dan absis I ss (momen inersia terhadap sumbu s ). Lingkaran ini disebut Lingkaran Mohr (Mohr‘s circle), yang dapat dilihat pada Gambar 3.5. Sedangkan urutan penggambaran lingkaran Mohr adalah sebagai berikut: 1. Buatlah sumbu mendatar l xx dan vertikal I xy 2. Tentukan titik C dengan koordinat (a,0) sebagai pusat lingkaran 3. Dengan titik C sebagai pusatnya, buatlah lingkaran dengan jari-jari b 4. Perpotongan lingkaran dengan absis memberikan nilai momen inersia ekstrim I 1 (maksimum, berada di sebelah kanan) dan I 2 (minimum, berada di sebelah kiri) 5. Buatlah titik A dan B pada lingkaran dengan koordinat masing-masing (l xx , l xy ) dan (I yy , -l xy ). Titik A menunjukkan besaran momen inersia dengan sudut rotasi θ = 0 o, pada titik ini l ss = I xx dan I st = l xy . Jika AA’ / CA’ = I xy [(I xx - I yy )/2] , maka sudut ACA’ sama dengan 2 θ 1.
Gambar 3.5. Lingkaran Mohr untuk menentukan arah dan momen inersia utama
3.6. Jari-jari Girasi Jari-jari girasi (radius of giration) didefinisikan sebagai akar kuadrat momen inersia dibagi dengan luar bidang, atau:
Universitas Gadjah Mada
Jari-jari girasi terhadap sumbu x : r x
=
Jari-jari girasi terhadap sumbu y : r y
=
l xx A l yy A
(3.31)
(3.31)
Jari-jari girasi menunjukkan letak suatu titik terhadap sumbu yang melalui titik berat, pada mana seluruh luas dapat dipusatkan dan akan memberikan momen inersia yang sama terhadap sumbu tersebut (lihat rangkuman no. 6).
3.7.
Contoh-contoh
Contoh 3.1: Hitunglah luas, letak titik berat penampang seperti terlihat pada Gambar 3.6. Penyelesaian: Penampang dibagi dalam 3 luasan, yaitu sayap atas dengan ukuran 15x3 cm 2, badan
40x2
cm2 dan
sayap
bawah
15x5cm2.
Gambar 3.6. Penampang I Luas penampang:
Momen statis terhadap sumbu x:
Momen statis terhadap sumbu y:
Universitas Gadjah Mada
Letak titik pusat berat penampang:
Contob 3.2: Hitunglah momen inersia sebuah potongan berbentuk persegi panjang (ukuran lebar: b dan tinggi: h) terhadap sumbu xy dengan titik pangkal pada salah satu sudutnya. Tentukan pula momen inersia terhadap sumbu yang melalui titik berat potongan tersebut.
Penyelesaian: Karena potongan simetris, maka letak titik berat adalah ½h dari sisi bawah dan ½ b dari sisi kiri.
Gambar 3.6. Penampang persegi panjang
Momen inersia terhadap sumbu xy:
Universitas Gadjah Mada
Momen inersia terhadap sumbu (melalui titik berat penampang):
Contoh 3.3: Sebuah potongan berbentuk segitiga dengan sumbu atas sejajar sumbu x (lihat Gambar 3.8). Hitunglah momen inersia terhadap sumbu x, ξ dan ς .
Penyelesaian: Ditinjau elemen kecil dA yang berbentuk pita tipis dengan tebal dy dan lebar b1. Perbandingan segitiga: b1 y
=
b h
b
1
=
b h
y b
Luas dA = b .dy = y dy 1
h
O’ : titik berat potongan
Gambar 3.8. Penampang segitiga
Momen inersia terhadap sumbu x:
Momen inersia terhadap sumbu ξ :
Momen inersia terhadap sumbu ς :
Universitas Gadjah Mada
Contoh 3.4: Hitunglah momen inersia penampang pada Contoh 3.1 terhadap sumusumbu yang melalui titik berat penampang total. Penyelesaian: Momen inersia l ξξ (sejajar x yang melalui titik berat):
Contoh 3.5: Hitunglah besarnya momen inersia l xx , l yy dan l xy terhadap sumbu yang melalui titik berat potongan seperti tampak pada Gambar 3.9. Tentukan orientasi sumbu-sumbu serta besarnya momen inersia utama dan potongan tersebut.
Penyelesaian: O : titik berat potongan
Potongan dapat dibagi menjadi 3 buah empat persegi panjang, selanjutnya dalam menghitung momen
inersia
digunakan
teorema penggeseran sumbu
Gambar 3.9 Penampang beserta sumbu-sumbunya
Momen inersia:
Universitas Gadjah Mada
Dengan mensubstitusikan harga-harga tersebut di atas ke dalam Persamaan (3.24), maka akan diperoleh arah sumbu utama St yang membentuk sudut θ 1 dari sumbu xy, dengan:
Sudut rotasi θ 1 = 19,660° dan 109,66° ini didapatkan momen inersia ekstrirn, masingmasing: Momen inersia maksimum:
Momen inersia minimum:
Contoh 3.6: Besaran geometrik dari berbagai tampang di sajikan pada Lampiran A.
Universitas Gadjah Mada
3.8.
Rangkuman
Beberapa hal penting yang dapat disimpulkan dan bab mi adalah sebagai berikut: 1. Sifat-sifat penampang datar diperlukan untuk menghitung besaran-besaran fisika. Sifat-sifat penampang datar dapat dihitung dengan cara penjumlahan atau pengurangan dan bagian-bagian bidang pembentuk penampang. 2. Momen statis penampang terhadap suatu garis yang melalui titik beratnya sama dengan nol. 3. Momen inersia terhadap suatu tata sumbu l xx , l yy dan l xy selalu bernilai positif, sedang l xy , dapat bernilai positif maupun negatif. Jika salah satu sumbu yang saling tegak lurus adalah sumbu simetri, maka nilai momen inersia silang l xy , selalu sama dengan nol. 4. Momen inersia penampang terhadap suatu tata sumbu tertentu ξζ misalnya dapat dihitung dan momen inersia terhadap tata sumbu yang lain asalkan diketahui penggeseran atau rotasi tata sumbu tersebut terhadap tata sumbu yang momen inersianya telah diketahui. 5. Momen inersia ekstrim suatu penampang thpat dicani dengan cara analisis maupun grafis (Iingkaran Mohr). 6. Jari-jari girasi menunjukkan penyebaran luasan penampang terhadap titik beratnya. Dengan luasan yang sama, permukaan yang menyebar dan titik berat, nilai radius girasi semakin besar, begitu pula sebaliknya.
3.9.
Soal-soal 1. Diketahui sebuah tampang dengan gambar seperti disamping lengkap dengan ukuran-ukurannya (dalam cm). Dimanakah letak titik berat penampang terhadap sumbu x dan y. xo : 4,5 cm yo = 3,5 cm
Universitas Gadjah Mada
2. Dari gambar penampang tersebut hitunglah momen inersia terhadap sumbu xy, yaitu : l xx , l yy dan l xy 3. Jika sumbu dan ξ dan ζ masing-masing melalui titik berat penampang, hitunglah besarnya lξξ , lζζ dan lξζ 4. Berapakah momen inersia ekstrim dan penampang di atas dengan cara analitis dan grafis.
Universitas Gadjah Mada
