molido en un m0olino debolas y caracteristicas de estasDescripción completa
Descripción completa
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA
CASO: PRODUCCIÓN DE AGUA MINERAL La Empresa AJE está produciendo su producto Agua Cielo litro y medio en envase de PET. El contenido promedio envasado por unidad es de 1500 mililitros con una desviación estándar de 50 mililitros. Según resoluciones de Indecopi, si el producto elaborado no alcanza los 1450 mililitros la empresa será penalizada. Según el Inspector de Calidad las botellas tampoco deben de superar los 1550 mililitros dado a que puede ocasionar pérdida de líquido al encapsular. Si se envasan 200000 botellas en forma diaria y se selecciona al azar a una unidad cualquiera. ¿Cuál uál es la prob robabil abilid ida ad de que: que: a) La empr empres esa a sea sea pena penali liza zada da? ? b) Se pier pierda da cont conten enid ido? o? c) No exis exista ta prob proble lema mas s con con Inde Indeco copi pi,, ni al enca encaps psul ular ar? ?
CONTENIDO
• Distribuciones de Probabilidad Continua
• Distribución Normal
• Distribución Normal Estándar
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Función de Probabilidad P(X x)
1
x
σ
2π
e
1 X u 2 σ
2
dx
Distribución Normal Estándar La distribución normal estándar es una
Parámetros: Media Varianza µ σ2
Función de Probabilidad
distribución normal media µ = 0 y varianza σ2 = 1. Tiene las mismas características de una distribución normal.
z
P(Z z)
z
1
2π
e
x u
Z2 2
dz
; Para z = -4, …,4
ÁREAS BAJO LA CURVA DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR Recordar: La distribución normal es una familia de distribuciones caracterizada por dos parámetros: la media y la desviación estándar.
Distribución Normal Estándar
PROPIEDADES PARA EL USO DE LA TABLA DE LA DISTRIBUCION NORMAL
) ≤ =
) ≥ = − ( ≤ )
) ≤ ≤ = ≤ − ( ≤ )
EJERCICIOS:
Ejercicio 1: La calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 7 y varianza de 4 Encuentre: a) La probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o más. b) El porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores o iguales a 5 puntos. c)
Cuántos
aspirantes
obtuvieron
comprendidas entre 5 y 8 puntos
calificaciones
Ejercicio 1: a) La probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o más P (X ≥ 8) P ( X ≥ 8 ) = 1 - P ( X ≤ 8 ) = 1 – P ( Z ≤ 0.5) = 1 – 0.6915 = 0.3085 Tipificando :
8 z
2
Ver tabla y comprobar con Mega Stat.
7
0.5
N ( 7; 2)
7 0
8 0.5
(X) (Z)
La probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o más es de 0.3085.
Ejercicio 1: b) El porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores o iguales a 5 puntos. P ( X ≤ 5) = P ( Z ≤ -1) = 0.1587
Ver tabla y comprobar con Mega Stat.
Tipificando 5 z
7
1
2
N ( 7; 2)
El porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores o iguales a 5 puntos es de 15.87%
5 -1
7 0
( X) (Z)
Ejercicio 1: c) Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 8 puntos P ( 5 ≤ X ≤ 8 ) = P ( X ≤ 8 ) - P ( X ≤ 5 ) = P ( Z ≤ 0.5 ) - P ( Z ≤ -1 ) = Tipificando
Ver tabla y comprobar con Mega Stat. 8 z
7
0.5
2
5 z
7
2
1
N ( 7; 2)
P ( Z ≤ 0.5) - P ( Z ≤ -1) = 0.6914 – 0.1587 P ( Z ≤ 0.5) - P ( Z ≤ -1) =0.5328 5 7 8 ( X) -1 0 0.5 ( Z ) Luego como nos piden cuantos aspirantes se encuentran en éste intervalo multiplicamos la probabilidad por el total de aspirantes: 500 * 0.5328=266.40 aprox
Solución del CASO N 05 de la práctica Se utilizan medidores para rechazar todos los componentes en lo que cierta dimensión no esté dentro de la especificación 1.50 d . Se sabe que esta medida se distribuye normalmente con una media de 1.50 y una desviación estándar de 0.2. Determine el valor de “d” tal que las especificaciones “cubran” el 95% de las mediciones.
P 1.5 d X 1.5 d 0.95
0.025
0.95
Zona de aceptación de l o s c o m p o n e n t es .
0.025
Solución del CASO N 05 de la práctica Se utilizan medidores para rechazar todos los componentes en lo que cierta dimensión no esté dentro de la especificación 1.50 d . Se sabe que esta medida se distribuye normalmente con una media de 1.50 y una desviación estándar de 0.2. Determine el valor de “d” tal que las especificaciones “cubran” el 95% de las mediciones.
1.5 d 0.95 P X 1.5 d 0.025 P 1.5 d X
X 1.5 d 1.5 0.025 0.2 X d P 0.025 0.2 P Z Z 0 0.025 Z 0 1.96 P
1.96 1.96
d 0.2
d 0.2
d 0.392
Ejercicio N 02 Un proceso fabrica cojinetes de bolas cuyos diámetros se distribuye normalmente con media de 2.505 cm y desviación estándar de 0.008 cm. Las especificaciones requieren que el diámetro esté dentro del intervalo 2.50.01 cm. ¿Qué proporción de cojinetes de bolas cumple con la especificación?
Solución del Ejercicio N 02
P 2.49 X
2.51
2.49 2.505 X 2.51 2.505 P 0.008 0.008 P 1.88 Z 0.63 P Z 0.63 P Z 1.88 0.7357 0.0301 0.7056 ó 70.56%
¿QUÉ HEMOS VISTO? • Distribuciones de Probabilidad Continua • Distribución Normal • Distribución Normal Estándar
No existe la suerte. Sólo hay preparación adecuada o inadecuada para hacer frente a una estadística. Robert Heinlein
