Séries temporelles (1)

Analyse Anal yse des S´ eries Temp eries emporel orelles les Application aux rentabilit´ es des actifs financi es financiers ers

Jaouad Madkour e-mail : [email protected]

Master Finance, Finance , Banque et March´ es es Facult´ e des sciences science s juridiques, juridiq ues, ´ economiques economiq ues et sociales socia les - Tanger

2016/2017

Introduction Rentabilit´ es es des actifs financiers :

Soit P t t le prix d’un actif financier à la date t . Les rentabilit´ rentabilités es de cet actif sont données ees par les formules suivantes :

• Rentabi Rent abili lit´ té ne nette tte : Rt =

P t t − P t t −1 P t t −1

Rent abili lit´ té brute bru te : • Rentabi 1 + Rt =

P t t P t t −1

• Log-r Log -renta entabi bilit´ lité : r t t = ln (1 + Rt ) = ln ln (P t t ) − ln (P t t −1 )

Introduction Rentabilit´ es es des actifs financiers :

Soit P t t le prix d’un actif financier à la date t . Les rentabilit´ rentabilités es de cet actif sont données ees par les formules suivantes :

• Rentabi Rent abili lit´ té ne nette tte : Rt =

P t t − P t t −1 P t t −1

Rent abili lit´ té brute bru te : • Rentabi 1 + Rt =

P t t P t t −1

• Log-r Log -renta entabi bilit´ lité : r t t = ln (1 + Rt ) = ln ln (P t t ) − ln (P t t −1 )

Introduction

La courbe cour be ci-des ci- dessus sus représente ese nte l’évolution evolu tion de la log-renta log -rentabil bilit´ ité de l’actio l’a ction n de Maro Marocc Telec elecom. om. Il s’ag s’agit it en réalit´ ealité d’une d’u ne fonct fonction ion math´ mathémati ema tique que inconnu inc onnuee dée processsus su s g´ en´ erat rateur eu r des don do nn´ ees (PGD). Afin de pendant du temps t ap appelée proce produire des pr´ evisions evisions fiables, tout financier cherche cherche a` trouver une fonction math´ mathématique ematique qui soit la meilleure meilleure approximat approximation ion possible du PGD, cette cette approxima appr oximation tion est appel´ app elée ee mod mo dèle el e n’étant et ant qu’u qu’une ne repr´ re présent es entat atio ion n mod` ` ele . Un mod` simplifi´ simp lifiée ee de la réalit´ eal ité est donc par définition efini tion faux, fau x, mais il pe peut ut être etre utile util e comme le souligne le statisticien britannique George BOX : ”All models are wrong but some are useful”

Introduction

BOX et JENKINS ont publi´ e en 1970 un ouvrage intitulé « Time Series Analysis : Forecasting and Control » dans lequel ils ont proposé une stratégie révolutionnaire dans le domaine de la modélisation des séries chronologiques. Leur nouvelle approche, connue sous l’appellation modélisation ARMA, se déroule en trois principales étapes : 1. Identification du modèle de la famille ARMA le plus adapté ` a la série des données sujette a` l’étude. 2. Estimation des paramètres du modèle retenu dans la première étape. 3. Validation du modèle estimé dans la deuxième étape a` l’aide de tests statistiques. C’est cette approche qui sera présentée et étudiée dans notre cours.

Introduction

Plan du cours

Chapitre 1 : D´ efinitions esentation Chapitre 2 : Repr´

Chapitre 3 : Identification Chapitre 4 : Estimation Chapitre 5 : Validation evision Chapitre 6 : Pr´

Chapitre 7 : Tests de racine unitaire

´finitions Chapitre 1 : De

Section 1 : Processus stochastiques Section 2 : Processus stochastiques stationnaires ˆ me retard Section 3 : Op´ erateur retard et polyno

1. Définitions

Section 1 : Processus stochastiques

1.1.1. D´ efinitions 1.1.2. Exemple de processus stochastiques

1. Définitions 1.1. Processus stochastiques

efinitions 1.1.1. D´

• Un processus stochastique est une suite de variables aléatoires indicées par le temps {y 1 ,y 2 , · · · ,y t , · · · ,y T }. • Si le temps est continu ( t ∈ R) alors y t est un processus stochastique continu et si le temps est discret ( t ∈ Z) alors y t est un processus stochastique discret . • La trajectoire d’un processus stochastique y t est une réalisation ou un échantillon de ce processus.

1. Définitions 1.1. Processus stochastiques 1.1.1. D´ efinitions

Remarques :

• Un processus stochastique est noté {y t }T y t =1 ou simplement t . • Un processus stochastique s’appelle aussi s´ erie temporelle ou s´ erie chronologique . • Les appellations « s´ erie temporelle » et « série chronologique » sont généralement réservées aux processus stochastiques discrets.

1. Définitions 1.1. Processus stochastiques

1.1.2. Exemple de processus stochastiques L’exemple typique d’un processus stochastique est le processus bruit blanc (White noise ). Il s’agit d’une suite de variables al´ eatoires {1 ,2 , · · · ,T } vérifiant les trois propriétés suivantes : 1. E (t ) = 0 , ∀t = 1,2, · · · ,T 2. V (t ) = σ 2 , ∀t = 1,2, · · · ,T 3. cov (t , t −k ) = 0 , ∀t = 1,2, · · · ,T et ∀k = 1,2, · · · Un bruit blanc de variance σ2 est noté : t ∼ WN (0,σ2 ) , ∀t = 1,2, · · · ,T

1. Définitions 1.1. Processus stochastiques 1.1.2. Exemple de processus stochastiques

Graphiquement, la trajectoire d’un bruit blanc se caractérise par des fluctuations stables autour de la valeur z´ ero a` l’intérieur d’une zone bien déterminée.

1. Définitions

Section 2 : Processus stochastiques stationnaires

efinition 1.2.1. D´

1.2.2. Exemple de processus stochastiques stationnaires óre ` me de d´ ecomposition de Wold 1.2.3. The

1. Définitions 1.2. Processus stochastiques stationnaires

1.2.1. D´ efinition Un processus stochastique y t est stationnaire au sens faible ou stationnaire au second ordre ou encore stationnaire en covariance si ses moments non conditionnels d’ordres un et deux sont finis et indépendants de l’indice temporel t , c’est ` a dire : 1. E ( y t ) = µ < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T 2. V (y t ) = σ 2 < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T 3. cov ( y t ; y t −k ) = γ k < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T et ∀k = 1,2, · · ·

1. Définitions 1.2. Processus stochastiques stationnaires 1.2.1. D´ efinition

(a) Processus stationnaire

(b) Processus non stationnaire

Graphiquement, la trajectoire d’un processus stochastique stationnaire fluctue dans une zone bien d´ eterminée autour de sa valeur moyenne qui est constante (figure (a)). En revanche, un processus non stationnaire prend toutes les directions de fa¸con complètement aléatoire (figure (b)).


1.2.2. Exemple de processus stochastiques stationnaires Le bruit blanc suivant est un exemple de processus stochastiques stationnaires : t ∼ WN (0,1) , ∀t = 1,2, · · · ,T Le processus t vérifie les trois conditions de stationnarité : 1. E (t ) = 0 , ∀t = 1,2, · · · ,T 2. V (t ) = 1 < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T 3. cov (t , t −k ) = 0 , ∀t = 1,2, · · · ,T et ∀k = 1,2, · · ·


óre ` me de d´ ecomposition de Wold 1.2.3. The

Tout processus stochastique y t stationnaire au sens faible peut s’´ ecrire sous forme d’une somme pondérée infinie de bruits blancs présent t et passés t −1 ,t −2 , · · · plus, éventuellement, un processus déterministe ηt parfaitement prévisible : +∞

y t = η t +



ψi t −i

i =0

avec : 



ψ0 = 1 et ψi ∈ R



∞ i =0

ψi 2 < +∞ pour assurer l’existence des moments d’ordre 2.

1. Définitions

´rateur retard et polyno ˆ me retard Section 3 : Ope

erateur retard L 1.3.1. Op´ ˆ me retard Φ (L) 1.3.2. Polyno

1. Définitions 1.3. Op´ erateur retard et polynˆ ome retard

erateur retard L 1.3.1. Op´

L’opérateur retard noté L (Lag ) ou B (Backshift ) permet de passer d’une variable aléatoire y t a ` sa valeur retardée y t −1 de la manière suivante : y t −1 = Ly t

Par conséquent, on peut exprimer tous les retards de la variable aléatoire y t comme suit : 2

y t −2 = Ly t −1 = L (Ly t ) = L y t

  2

3

y t −3 = Ly t −2 = L L y t = L y t · · ·

Plus généralement :

k

y t −k = L y t

1. Définitions 1.3. Op´ erateur retard et polynˆ ome retard 1.3.1 Op´ erateur retard L

Remarque :

Si le processus stochastique y t prend la même valeur θ a ` chaque instant t , alors on a : y t = Ly t −1

θ = L θ

(1)

On en conclut que l’opérateur retard n’a aucun effet sur une constante. Il se comporte, de ce fait, exactement comme l’élément neutre de la multiplication, i.e. le nombre 1, quand il est appliqué a ` une constante.

1. Définitions 1.3. Op´ erateur retard et polynˆ ome retard

ˆ me retard Φ (L) 1.3.2. Polyno

ome retard Φ (L) permet d’´ Le polynˆ ecrire une combinaison linéaire de variables retardées de manière réduite en utilisant l’opérateur retard L comme suit :

φ0 y t + φ1 y t −1 + φ2 y t −2 + · · · + φn y t −n = φ 0 y t + φ1 Ly t + φ2 L2 y t + · · · + φn Ln y t



2

= φ0 + φ1 L + φ2 L + · · · + φn L

≡ Φ (L) y t Dans le cas particulier d’une différence première, on a : y t − y t −1 = y t − Ly t

= (1 − L) y t

≡ ∆y t erence . ∆ est l’opérateur diff´



n

y t

Chapitre 2 : Repr´ esentation

ele Autor´ egressif Section 1 : Mod` ele Moyenne Mobile Section 2 : Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile Section 3 : Mod` eles AR, MA et ARMA Section 4 : Liens entre les mod`

2. Représentation Remarque pr´ eliminaire :

Tout au long de ce cours, il sera fait appel aux notions d’espérance mathématique, de variance et de covariance qu’il faut savoir manipuler. Celles-ci, et plus particuli` erement la covariance, peuvent donner lieu ` a des calculs fastidieux. Afin de les simplifier et d’en réduire le nombre, les variables aléatoires seront centrées de sorte que la covariance entre deux variables aléatoires soit simplement égale a ` l’espérance mathématique de leur produit. Une variable aléatoire centrée étant une variable dont l’espérance est nulle :

cov ( X ,Y ) = E

              X − E (X ) 0

Y − E (Y ) 0

= E [ XY ]

2. Représentation

`le Autor´ Section 1 : Mode egressif

ele Autor´ egressif d’ordre 1 2.1.1. Mod` ele Autor´ egressif d’ordre p 2.1.2. Mod` eles AR 2.1.3. Exemples de mod`

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif

2.1.1. Mod` ele Autor´ egressif d’ordre 1 2.1.1.1. Formule analytique d’un AR (1) Un modèle autorégressif d’ordre 1 , noté AR (1), met en relation la variable aléatoire y t avec sa valeur retardée d’une période y t −1 selon la forme analytique suivante : y t = θ + α1 y t −1 + t , ∀t = 1,2, · · · ,T

avec t ∼ WN (0,σ2 ) et α1  = 0.

(2)

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.1. Mod` ele Autor´ egressif d’ordre 1 2.1.1.1. Formule analytique d’un AR(1)

Signification de chaque ´ el´ ement du mod` ele (2) :

• y t : la variable expliquée, elle d´ epend de fa¸con linéaire de la variable explicative y t −1 ; • y t −1 : la variable explicative, il s’agit du retard de la variable expliquée y t . Le sens et l’ampleur du lien lin´ eaire qui existe entre les variables y t et y t −1 sont donnés par le paramètre α1 ; • θ : l’ordonnée a` l’origine, i.e. la valeur de y t pour y t −1 = 0. C’est un param` etre qui donne la position de la droite par rapport a` l’origine des axes. Une valeur nulle de ce paramètre indique que la droite passe par l’origine des axes ; • α1 : le coefficient directeur de la droite qui lie la variable expliquée a ` la variable explicative, il est égal au coefficient d’autocorrélation partielle entre les variables y t et y t −1 . • t : un terme d’erreur, une innovation ou un choc à cause duquel les points (y t −1 ; y t ) ne sont pas nécessairement alignés. Il s’agit d’un bruit blanc car il ne doit contenir aucune information exploitable.

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.1. Mod` ele Autor´ egressif d’ordre 1 2.1.1.1. Formule analytique d’un AR(1) Repr´ esentation graphique du mod` ele (2) :

y t = 0.2 + 0.5y t −1 + t , t ∼ W N (0,4)


Alternativement, le modèle (2) peut s’écrire, après substitutions récursives, comme suit : y t = θ + α1 y t −1 + t

= θ + α1 (θ + α1 y t −2 + t −1 ) + t = θ + α1 θ + α21 y t −2 + α1 t −1 + t = θ + α1 θ + α21 (α0 + α1 y t −3 + t −2 ) + α1 t −1 + t = θ + α1 θ + α21 θ + α31 y t −3 + α21 t −2 + α1 t −1 + t 2

= θ



2

α1i + α13 y t −3 +

i =0

.. . = θ

i =0

αi 1 t −i

i =0

t −1





t −1

i

t

α1 + α1 y 0 +



αi 1 t −i

i =0

y 0 est une condition initiale suppos´ ee constante ou prédéterminée.


Rappel : Somme des termes d’une suite de raison q

• Suite arithmétique : u n +1 = u n + q n



u i = u 1 + · · · + u n = n ×

u 1 + u n

i =1

2

• Suite géométrique : u n +1 = u n × q n

 i =1

u i = u 1 + · · · + u n =

 

u 0 ×

1−q n 1−q

si q  =1

n × u 1 si q = 1

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2. 1. Mo 2.1. Mod` dèle el e Au Auto tor´ régre eg ress ssif if 2.1.1. 2.1 .1. Mo Mod` d` ele Auto ele Autor´ r´ egr essiff d’or egressi d’ordre dre 1 2.1.1.1. Formule analytique d’un AR(1) n Rappel : Convergence Converge nce de la suite suit e g´ eom´ eométrique etri que u n n = α

(c) |α| < 1

(d) |α| = 1

• |α| < 1 : La suite u n n converge vers 0. • |α| = 1 :

 α = 1 : La suite u n n est constante.  α = −1 : La suite u n est born´ or née. ee . n est • |α| > 1 :

 α > 1 : La suite u n n diverge vers +∞.  α < −1 : La suite u n e st non non born´ bo rnée. ee. n est

(e) |α| > 1

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2. 1. Mo 2.1. Mod` dèle el e Au Auto tor´ régre eg ress ssif if 2.1.1. 2.1 .1. Mo Mod` d` ele Auto ele Autor´ r´ egr essiff d’or egressi d’ordre dre 1 2.1.1.1. Formule analytique d’un AR(1)



t

|α1 | < 1 : on a lim α1 = 0 et lim t →+∞

t →+∞



t −1 =0 i =0

α i 1 =

1 1−α1

Le processus y t t s’´ s ’écrit ecr it comme com me une somme som me pond´ po ndér´ erée ee infinie infin ie des chocs choc s présent ese nt et pass´ pas sés es plus un terme term e consta con stant nt 1−θα1 : +∞

θ + αi 1 t −i y t t = 1 − α1 =0 i =0



Les poids α poids α i 1 des de s chocs d´ ecroissent, ecroiss ent, en e n valeurs absolues, absolue s, a` mesure que ces derniers s’éloignent eloigne nt dans le temps traduisant traduisa nt l’importance l’imp ortance d´ ecroissante ecrois sante des chocs les plus anciens. On dit que les chocs sont temporaires ou transitoires .

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2. 1. Mo 2.1. Mod` dèle el e Au Auto tor´ régre eg ress ssif if 2.1.1. 2.1 .1. Mo Mod` d` ele Auto ele Autor´ r´ egr essiff d’or egressi d’ordre dre 1 2.1.1.1. Formule analytique d’un AR(1)



|α1 | = 1 • α1 = 1 : on a



t −1 i =0 =0

αi 1 = t

Le processus y t t s’écrit ecrit comme comme la somme so mme des chocs cho cs présent esent et pass´ passés es plus la condition initiale y 0 et un terme d´ epe ndant du temps t : ependant y t t = θ t + y 0 + t + t −1 + · · · + 1

Les poids des chocs restent identiques à mesure que ces derniers s’´ eloignent eloignent dans le temps temps traduisan traduisantt le maintien maintien de l’importance l’importance des chocs les plus anciens. On dit que les chocs sont permanents ou persistants .

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.1. Mod` ele Autor´ egressif d’ordre 1 2.1.1.1. Formule analytique d’un AR(1) 

|α1 | = 1 • α1 = −1 : on a





t −1 i =0

αi 1 = I (t impair )=

1 0

si t impair si t pair

Le processus y t s’écrit comme la somme des chocs présent et passés de signes altern´ es, plus ou moins la condition initiale y 0 plus un terme dépendant du temps t : t

t −1

y t = θ I (t impair ) + (−1) y 0 + t − t −1 + · · · + (−1)

1

Les poids des chocs restent, en valeurs absolues, identiques ` a mesure que ces derniers s’´ eloignent dans le temps traduisant le maintien de l’importance des chocs les plus anciens. On dit que les chocs sont permanents ou persistants .




|α1 | > 1 : on a lim αt 1 = ±∞ t →+∞

Le processus y t s’écrit comme une somme pondérée divergente des chocs présent et passés plus d’autres termes divergents. Le processus y t devient explosif : t −1 1 − αt 1 + αt 1 y 0 + αi 1 t −i y t = θ 1 − α1 i =0

 



Les poids αi 1 des chocs croissent, en valeurs absolues, à mesure que ces derniers s’éloignent dans le temps traduisant l’importance croissante des chocs les plus anciens.

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.1. Mod` ele Autor´ egressif d’ordre 1

2.1.1.2. Propriétés statistiques d’un AR (1) On a vu que le modèle (2) pouvait s’écrire selon α1 comme suit : 

|α1 | < 1 : +∞

θ y t = + αi 1 t −i 1 − α1 i =0





|α1 | = 1 :  α1 = 1 : y t = θ t + y 0 + t + t −1 + · · · + 1

 α1 = −1 : t

y t = θ I (t impair ) + (−1) y 0 + t − t −1 + · · · + (−1) 

|α1 | > 1 : y t = θ

  1 − αt 1 1 − α1

t −1

+ αt 1 y 0 +

 i =0

αi 1 t −i

t −1

1

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.1. Mod` ele Autor´ egressif d’ordre 1 2.1.1.2. Propri´ etés statistiques d’un AR(1)

2.1.1.2.1. Espérance non conditionnelle E ( y t ) :

• |α1 | < 1 : E ( y t ) = E



  +∞

θ + αi 1 t −i 1 − α1 i =0 +∞

θ = + αi 1 E (t −i ) 1 − α1 i =0

    0

=

θ 1 − α1

L’espérance du processus y t ne dépend pas du temps t .



• α1 = 1 : E ( y t ) = E (θ t + y 0 + t + t −1 + · · · + 1 )

= θ t + y 0 + E (t ) + E (t −1 ) + · · · + E (1 )

         0

= θ t + y 0

0

L’espérance du processus y t dépend du temps t .

0



• α1 = −1 :



t −1

t

E ( y t ) = E θ I (t impair ) + (−1) y 0 + t − t −1 + · · · + (−1)

1

= θ I (t impair ) + (−1)t y 0 + E (t ) − · · · + (−1)t −1 E (1 )

   0

= θ I (t impair ) + (−1)t y 0


   0





• |α1 | > 1 :

           

E ( y t ) = E θ

= θ

= θ

1 − αt 1 1 − α1

1 − αt 1 1 − α1 1 − αt 1 1 − α1

t −1

+ αt 1 y 0 +

αi 1 t −i

i =0

t −1

t

αi 1 E (t −i )

+ α1 y 0 +

i =0

+ αt 1 y 0


0


2.1.1.2.2. Variance non conditionnelle V (y t ) :

• |α1 | < 1 :

           +∞

θ + αi 1 t −i 1 − α1 i =0

V (y t ) = V

+∞

=

αi 1

2

V (t −i )

i =0

2 σ

+∞

2

α21

= σ 

i

i =0

σ2 = 1 − α21

La variance du processus y t ne dépend pas du temps t .



• α1 = 1 : V (y t ) = V (t θ + y 0 + t + t −1 + · · · + 1 )

= V (t ) + V (t −1 ) + · · · + V (1 )

         2 σ

2 σ

= t σ2

La variance du processus y t dépend du temps t .

2 σ



• α1 = −1 :

             t

V (y t ) = V θ I (t impair ) + (−1) y 0 + t − t −1 + · · · + (−1)

= V (t ) + V (t −1 ) + · · · + V (2 ) + V (1 ) 2 σ

2 σ

2 σ

2 σ

= t σ2


t −1

1





• |α1 | > 1 :

            

V (y t ) = V θ t −1

=

αi 1

1 − αt 1 1 − α1 2

t −1

+ αt 1 y 0 +

αi 1 t −i

i =0

V (t −i )

i =0

2 σ

t −1

= σ 2

α21

i

i =0

2

= σ 

1 − α21t 1 − α21



2.1.1.2.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : La fonction d’autocovariance s’écrit : cov ( y t ; y t −k ) = E [( y t − µt ) (y t −k − µt −k )] , ∀k = 1,2, · · ·

(3)

avec µt ≡ E ( y t ) et µt −k ≡ E ( y t −k ). Comme : y t = θ + α1 y t −1 + t

(4)

E (y t ) = θ + α1 E ( y t −1 )

(5)

      µt

Alors :

µt −1

(4) − (5) ⇐⇒ y t − µt = α 1 (y t −1 − µt −1 ) + t


2.1.1.2.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : La fonction d’autocovariance (3) devient : cov ( y t ; y t −k ) = E {[α1 (y t −1 − µt −1 ) + t ][y t −k − µt −k ]}

= E [α1 (y t −1 − µt −1 ) (y t −k − µt −k ) + t ( y t −k − µt −k )] = α 1 E [( y t −1 − µt −1 ) (y t −k − µt −k )] + E [t (y t −k − µt −k )] = α 1 E [( y t −1 − µt −1 ) (y t −k − µt −k )] + E {[t − E (t )][y t −k − µt −k ]}

      0

= α 1 E [( y t −1 − µt −1 ) (y t −k − µt −k )] + cov (t ,y t −k ) 0

d’o` u:

cov ( y t ; y t −k ) = α 1 E [( y t −1 − µt −1 ) (y t −k − µt −k )] , ∀k = 1,2, · · ·


2.1.1.2.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) :

• k = 1 : cov ( y t ; y t −1 ) = α 1 E [( y t −1 − µt −1 ) (y t −1 − µt −1 )]

= α 1 V (y t −1 )




= α1 E {[α1 (y t −2 − µt −2 ) + t −1 ][y t −2 − µt −2 ]} = α1 E {[α1 (y t −2 − µt −2 )][y t −2 − µt −2 ] + t −1 [y t −2 − µt −2 ]} = α21 E [( y t −2 − µt −2 ) (y t −2 − µt −2 )] + α1 E {[t −1 − E ( t −1 )][y t −2 − µt −2 ]}

      0

= α21 E [( y t −2 − µt −2 ) (y t −2 − µt −2 )] + α1 cov ( t −1 ,y t −2 ) 0

= α21 V (y t −2 )

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.1. Mod` ele Autor´ egressif d’ordre 1 2.1.1.2. Propri´ etés statistiques d’un AR(1) 2.1.1.2.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) :


= α1 E {[α1 (y t −2 − µt −2 ) + t −1 ][y t −3 − µt −3 ]} = α1 E {[α1 (y t −2 − µt −2 )][y t −3 − µt −3 ] + t −1 [y t −3 − µt −3 ]} = α21 E [( y t −2 − µt −2 ) (y t −3 − µt −3 )] + α1 E {[t −1 − E ( t −1 )][y t −3 − µt −3 ]}

      0


= α21 E {[α1 (y t −3 − µt −3 ) + t −2 ][y t −3 − µt −3 ]}

= α31 E [( y t −3 − µt −3 ) (y t −3 − µt −3 ) + t −2 (y t −3 − µt −3 )] = α31 E [( y t −3 − µt −3 ) (y t −3 − µt −3 )] + α31 E {[t −2 − E ( t −2 )][y t −3 − µt −3 ]}

      0



2.1.1.2.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : Finalement, pour un k quelconque, on a : k

cov ( y t ; y t −k ) = α1 V (y t −k )



• |α1 | < 1 : V (y t −k ) =

2 σ

1−α2 1

αk 1 σ2 cov ( y t ; y t −k ) = 1 − α21 La fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) dépend du décalage temporel k mais pas du temps t .



• |α1 | = 1 : V (y t −k ) = (t − k ) σ2 k

2

cov ( y t ; y t −k ) = (t − k ) α1 σ

La fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) dépend du décalage temporel k et du temps t .



• |α1 | > 1 : V (y t −k ) =



2(t −k ) 1−α1 1−α2 1



σ2 k

cov ( y t ; y t −k ) = α 1



1− 1

2(t −k ) α1 − α21



σ2

La fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) dépend du décalage temporel k et du temps t .

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.1. Mod` ele Autor´ egressif d’ordre 1

2.1.1.3. Condition de stationnarité d’un AR (1) Rappel :

Un processus stochastique y t est stationnaire au sens faible si ses moments non conditionnels d’ordres un et deux sont finis et ind´ ependants de l’indice temporel t , c’est ` a dire : 1. E ( y t ) = µ < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T 2. V (y t ) = σ 2 < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T 3. cov ( y t ; y t −k ) = γ k < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T et ∀k = 1,2, · · ·

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.1. Mod` ele Autor´ egressif d’ordre 1 2.1.1.3. Condition de stationnarité d’un AR(1)

Les propriétés statistiques d’un AR (1) sont les suivantes :

|α1 | < 1 E ( y t )

θ 1−α1

|α1 | = 1

|α1 | > 1

t θ + y 0

     

θ

θI (t impair ) + (−1)t y 0 V (y t ) cov ( y t ; y t −k )

2 σ

1−α2 1 2 αk 1 σ

1−α2 1

2

1−αt 1 1−α1

2

t σ

σ

k

2

(t − k ) α1 σ

k

α1

+ αt 1 y 0

t 1−α2 1 1−α2 1

2(t −k )

1−α1 1−α2 1

Il en résulte que la condition de stationnarité d’un AR (1) est |α1 | < 1.

σ2

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2.1. 2. 1. Mo Mod` dèle el e Au Auto tor´ régre eg ress ssif if

` ´ ele Autoregressif egressif d’ordre p 2.1.2. Modele

2.1.2.1. Formule analytique d’un AR (p ) autor´ egressi egressiff d’ordre d’ordre p , noté AR (p ), met en relation la variable Un modèle autor´ aléatoir to iree y t t avec ses p valeur vale urss reta retard´ rdées ees y t t −1 ,y t t −2 , · · · ,y t t −p selon la forme analytique suivante :

θ + α1 y t t −1 + α2 y t t −2 + · · · + αp y t t −p + t , ∀t = 1,2, · · · ,T y t t = θ +

 

avec t ∼ WN 0,σ2 et αp  = 0.

(6)

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2. 1. Mo 2.1. Mod` dèle el e Au Auto tor´ régre eg ress ssif if 2.1. 2. 1.2. 2. Mo Mod` d` el e Aut ele Autor´ orégre eg ressi ssiff d’ d’ord ordre re p 2.1.2.1. Formule analytique d’un AR (p )

Alternat Alte rnativement, ivement, le mod` mo dèle ele (6) peu eutt s’écri ec rire re de mani` ma nière er e rédui eduite te a ` l’aide d’un polynôme ome retard : y t t − α1 y t t −1 − α2 y t t −2 − · · · − αp y t t −p = θ + t 2

p

θ + t y t t − α1 Ly t t − α2 L y t t − · · · − αp L y t t = θ +



2

p

y t t 1 − α1 L − α2 L − · · · − αp L

α (L) y t t = θ + θ + t avec α (L) ≡ 1 − α1 L − α2 L2 − · · · − αp Lp .



= θ = θ + + t

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2. 1. Mo 2.1. Mod` dèle el e Au Auto tor´ régre eg ress ssif if 2.1. 2. 1.2. 2. Mo Mod` d` el e Aut ele Autor´ orégre eg ressi ssiff d’ d’ord ordre re p

2.1.2.2. Condition Conditio n de stationnarit´ station narité d’un AR (p ) Cons Co nsid´ idéron eronss l’écri ec ritu ture re suivant su ivantee d’un d’un mod` mo dèle el e AR (1) : (1 − α1 L) y t t = θ + θ + t

   α(L)

Au polynˆ ome ome retard α (L) on associe l’´ equa eq uati tion on caract caract´ ´ eris er isti tiqu que e suivante : 1 − α1 z = 0 Cette équation equatio n admet comme racine z ∗ = 1/α1 . Nous avons vu que la condition de stationn stat ionnarit´ arité d’un AR (1) est |α1 | < 1, cette condition peut se traduire en termes term es de racine rac ine de l’équation equa tion caract´ car actéristiq eri stique ue par |z ∗ | > 1. 1. Ce résul esultat tat sera sera généralisé au cas d’un modèle AR (p ).

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.2. Mod` ele Autorégressif d’ordre p 2.1.2.2. Condition de stationnarité d’un AR (p )

Considérons l’écriture suivante d’un modèle AR (p ) :

 

2

1 − α1 L − α2 L − · · · − αp L



α(L)

p



y t = θ + t

Au polynˆ ome retard α (L) on associe l’´ equation caract´ eristique : 1 − α1 z − α2 z 2 − · · · − αp z p = 0 Cette équation peut être factorisée comme suit : (1 − λ1 z ) (1 − λ2 z ) · · · (1 − λp z ) = 0 Chaque facteur est l’équation caractéristique d’un AR (1). Il faut donc vérifier la condition de stationnarité pour chacune des ces équations pour garantir la stationnarité du modèle AR (p ), c’est ` a dire :

|z i | > 1 , ∀i = 1,2, · · · ,p

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.2. Mod` ele Autorégressif d’ordre p 2.1.2.2. Condition de stationnarité d’un AR (p )

Remarques :

• Comme certaines racines de l’équation caractéristique peuvent être des nombres complexes, la condition de stationnarité d’un AR (p ) est que toutes les racines soient strictement supérieures a ` l’unité en module. • Si au moins une racine z i est égale a` 1, alors le processus est nonstationnaire. Dans ce cas précis, on dit que le processus a une racine unitaire .

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.2. Mod` ele Autorégressif d’ordre p

2.1.2.3. Propriétés statistiques d’un AR (p ) 2.1.2.3.1. Espérance non conditionnelle E ( y t ) : Sous l’hypothèse de stationnarité du processus y t , on pose E (y t ) ≡ µ : y t = θ + α1 y t −1 + α2 y t −2 + · · · + αp y t −p + t E ( y t ) = θ + α1 E ( y t −1 ) +α2 E ( y t −2 ) + · · · + αp E ( y t −p ) + E (t )

         µ

µ

µ

µ = θ + α1 µ + α2 µ + · · · + αp µ

      µ

0

µ (1 − α1 − α2 − · · · − αp ) = θ d’o` u: µ =

θ 1 − α1 − α2 − · · · − αp

Notons que si θ = 0 alors E ( y t ) = 0. On dit que le processus stochastique y t est centr´ e .

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.2. Mod` ele Autorégressif d’ordre p 2.1.2.3. Propri´ etés statistiques d’un AR (p ) 2.1.2.3.2. Variance V (y t ) et fonction d’autocovariance cov (y t ; y t −k ) : Sous l’hypothèse de stationnarit´ e du processus y t , on pose µ ≡ E ( y t ). La fonction d’autocovariance s’écrit : γ k = E [( y t − µ) (y t −k − µ)]

Comme y t = θ + α1 y t −1 + α2 y t −2 + · · · + αp y t −p + t

(7)

E ( y t ) = E ( θ + α1 y t −1 + α2 y t −2 + · · · + αp y t −p + t )

   µ

= θ + α1 E ( y t −1 ) +α2 E ( y t −2 ) + · · · + αp E ( y t −p )

      µ

µ

µ = θ + α1 µ + α2 µ + · · · + αp µ

   µ

(8)

alors on a : (7) − (8) ⇔ y t − µ = α1 (y t −1 − µ) + α2 (y t −2 − µ) + · · · + αp ( y t −p − µ) + t

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.2. Mod` ele Autorégressif d’ordre p 2.1.2.3. Propri´ etés statistiques d’un AR (p )

2.1.2.3.2. Variance V (y t ) et fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : Ainsi : γ k =E {[α1 (y t −1 − µ) + α2 (y t −2 − µ) + · · · + αp ( y t −p − µ) + t ][ y t −k − µ]} =E [α1 (y t −1 − µ) (y t −k − µ) + α2 (y t −2 − µ) (y t −k − µ) + · · · + αp ( y t −p − µ) (y t −k − µ) + t ( y t −k − µ) ] =α1 E [( y t −1 − µ) (y t −k − µ)] + α2 E [( y t −2 − µ) (y t −k − µ)] + · · · + αp E [( y t −p − µ) (y t −k − µ)] + E [t ( y t −k − µ)] =α1 cov ( y t −1 ; y t −k ) + α2 cov ( y t −2 ; y t −k ) + · · · + αp cov ( y t −p ; y t −k ) + E [t ( y t −k − µ)]

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.2. Mod` ele Autorégressif d’ordre p 2.1.2.3. Propri´ etés statistiques d’un AR (p ) 2.1.2.3.2. Variance V (y t ) et fonction d’autocovariance cov (y t ; y t −k ) : On sait que



 

y t −k − µ = α1 (y t −k −1 − µ) + α2 (y t −k −2 − µ) + · · · + αp y t −k −p − µ + t −k

On peut donc écrire :



E [ t (y t −k − µ)] =E [t α1 (y t −k −1 − µ) + t α2 (y t −k −2 − µ) + · · · + t αp y t −k −p − µ

+ t t −k ] =α1 E [ t ( y t −k −1 − µ)] + α2 E [ t (y t −k −2 − µ)] + · · ·

        

+ αp E t y t −k −p − µ + E [ t t −k ]

    

=α1 cov ( t ; y t −k −1 ) +α2 cov ( t ; y t −k −2 ) + · · · + αp cov t ; y t −k −p 0

0

+ cov ( t ; t −k ) d’o` u:

E [ t ( y t −k − µ)] = cov ( t ; t −k ) =

σ2

si k = 0

0

si k > 0

0


2.1.2.3.2. Variance V (y t ) et fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : Finalement : γ k = α 1 γ k −1 + α2 γ k −2 + · · · + αp γ k −p +



σ2

si k = 0

0

si k > 0

sachant que sous l’hypothèse de stationnarité de y t , on a : γ k = cov ( y t ; y t −k ) = cov ( y t +k ; y t ) = cov ( y t ; y t +k )



= cov y t ; y t −(−k ) = γ −k




2.1.2.3.2. Variance V (y t ) et fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) :

• k = 0 : γ 0 = α 1 γ −1 + α2 γ −2 + · · · + αp γ −p + σ2 = α 1 γ 1 + α2 γ 2 + · · · + αp γ p + σ2 En divisant par γ 0 , on obtient : γ 0 γ 1 γ 2 γ p σ2 = α 1 + α2 + · · · + αp + γ 0 γ 0 γ 0 γ 0 γ 0 σ2 1 = α 1 ρ1 + α2 ρ2 + · · · + αp ρp + γ 0 avec ρi est le coefficient d’autocorrélation défini par ρi = γ 0 =

σ2

1−



p i =1

αi ρi

γ i γ 0

, d’o` u:



• k > 0 : γ 1 = α 1 γ 0 + α2 γ 1 + · · · + αp γ 1−p γ 2 = α 1 γ 1 + α2 γ 0 + · · · + αp γ 2−p .. . En divisant par γ 0 , on obtient les équations de Yule-Walker : ρ1 = α1 ρ0 + α2 ρ1 + · · · + αp ρ1−p ρ2 = α1 ρ1 + α2 ρ0 + · · · + αp ρ2−p .. . dont la résolution par substitution récursive donne les coefficients d’autocorrélation ρi et in fine les autocovariances γ i .



• Exemple : Soit le modèle AR (2) stationnaire suivant : y t = 0.1y t −1 + 0.2y t −2 + t , t ∼ WN (0; 1)

On a : γ k = 0.1γ k −1 + 0.2γ k −2 +



1

si k = 0

0

si k > 0


2.1.2.3.2. Variance V (y t ) et fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : 

Variance V (y t ) : γ 0 = 0.1γ 1 + 0.2γ 2 + 1 γ 0 γ 1 γ 2 1 = 0.1 + 0.2 + γ 0 γ 0 γ 0 γ 0 1 1 = 0.1ρ1 + 0.2ρ2 + γ 0 d’o` u: γ 0 =

1 1 − 0.1ρ1 − 0.2ρ2


2.1.2.3.2. Variance V (y t ) et fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : 

Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : Equations de Yule - Walker : ρ1 = 0.1 + 0.2ρ1 = 0.1250 ρ2 = 0.1ρ1 + 0.2 = 0.2125 ρ3 = 0.1ρ2 + 0.2ρ1 = 0.04625 .. . et γ 0 = 1.0582 d’o` u: γ 1 = ρ 1 γ 0 = 0.1323 γ 2 = ρ 2 γ 0 = 0.2249 γ = ρ γ = 0 0489

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif

eles AR 2.1.3. Exemples de mod`

SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 SMPL @FIRST+1 @LAST Y = 0.2 + 0.5 * Y( -1 ) + e

AR (1) : y t = 0.2 + 0.5y t −1 + t , t ∼ WN (0,4)

2. Représentation 2.1. Modèle Autorégressif 2.1.3. Exemples de modèles AR

SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 SMPL @FIRST+1 @LAST Y = 0.2 + Y( -1 ) + e

AR (1) : y t = 0.2 + y t −1 + t , t ∼ WN (0,4)


SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 SMPL @FIRST+1 @LAST Y = 0.2 + 0.9 * Y( -1 ) + e

AR (1) : y t = 0.2 + 0.9y t −1 + t , t ∼ WN (0,4)


SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 SMPL @FIRST+2 @LAST Y = 0.3 + 0.1 * Y( -1 ) + 0.4 * Y( -2 ) + e

AR (2) : y t = 0.3 + 0.1y t −1 + 0.4y t −2 + t , t ∼ WN (0,4)


SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 SMPL @FIRST+2 @LAST Y = 0.3 + 0.5 * Y( -1 ) + 0.4 * Y( -2 ) + e

AR (2) : y t = 0.3 + 0.5y t −1 + 0.4y t −2 + t , t ∼ WN (0,4)

2. Représentation

Section 2 : Mod` ele Moyenne Mobile

ele Moyenne Mobile d’ordre 1 2.2.1. Mod` ele Moyenne Mobile d’ordre q 2.2.2. Mod` eles MA 2.2.3. Exemples de mod`

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile

ele Moyenne Mobile d’ordre 1 2.2.1. Mod`

2.2.1.1. Formule analytique d’un MA (1) Un modèle moyenne mobile d’ordre 1 , noté MA (1), met en relation la variable aléatoire y t avec la valeur retardée d’une période du choc t −1 selon la forme analytique suivante : y t = θ + β 1 t −1 + t , ∀t = 1,2, · · · ,T

avec t ∼ WN (0,σ2 ) et β 1  = 0.

(9)

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.1. Modèle Moyenne Mobile d’ordre 1 2.2.1.1. Formule analytique d’un MA (1)

Alternativement, le modèle (9) peut s’écrire de manière réduite a ` l’aide d’un polynôme retard : y t = θ + β 1 Lt + t

= θ + (1 + β 1 L) t = θ + β (L) t avec β (L) ≡ 1 + β 1 L.

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.1. Modèle Moyenne Mobile d’ordre 1

´t´ 2.2.1.2. Proprie es statistiques d’un MA (1)

2.2.1.2.1. Espérance non conditionnelle E ( y t ) : E (y t ) = E (θ + β 1 t −1 + t )

= θ + β 1 E (t −1 ) + E (t )

      0

= θ

0


2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.1. Modèle Moyenne Mobile d’ordre 1 2.2.1.2. Propri´ etés statistiques d’un MA (1)

2.2.1.2.2. Variance non conditionnelle V (y t ) : V (y t ) = V (θ + β 1 t −1 + t )

= β 12 V (t −1 ) + V (t )

        2 σ

2 σ

= β 12 σ2 + σ2

= 1 + β 12 σ2



2.2.1.2.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : cov ( y t ; y t −k ) = E {[y t − E ( y t )][y t −k − E ( y t −k )]}

      θ

θ

= E [( β1 t −1 + t ) (β1 t −k −1 + t −k )]



= E t t −k + β1 t t −k −1 + β1 t −1 t −k + β12 t −1 t −k −1



= E ( t t −k ) + β1 E ( t t −k −1 ) + β1 E ( t −1 t −k ) + β12 E ( t −1 t −k −1 ) = cov (t ; t −k ) + β1 cov ( t ; t −k −1 ) + β1 cov ( t −1 ; t −k ) + β12 cov ( t −1 ; t −k −1 )



• k = 1 : cov ( y t ; y t −1 ) = E ( t t −1 ) +β1 E ( t t −2 ) +β1 E ( t −1 t −1 ) +β12 E ( t −1 t −2 )

            0

0

0

2 σ

= β1 σ2

• k > 1 : cov ( y t ; y t −k ) = E ( t t −k ) +β1 E ( t t −k −1 ) +β1 E ( t −1 t −k ) +β12 E ( t −1 t −k −1 )

            0

=0

0

0

0



cov ( y t ; y t −k ) =

 

β 1 σ2

si k = 1

, ∀t = 1,2, · · · ,T et k  =0 0

si k > 1

La fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) ne d´ epend pas du temps t .

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.1. Modèle Moyenne Mobile d’ordre 1

2.2.1.3. Condition de stationnarité d’un MA(1) Rappel :

Un processus stochastique y t est stationnaire au sens faible si ses moments non conditionnels d’ordres un et deux sont finis et ind´ ependants de l’indice temporel t , c’est ` a dire : 1. E ( y t ) = µ < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T 2. V (y t ) = σ 2 < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T 3. cov ( y t ; y t −k ) = γ k < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T et k  =0

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.1. Modèle Moyenne Mobile d’ordre 1 2.2.1.3. Condition de stationnarité d’un MA(1)

Les propriétés statistiques d’un MA (1) sont les suivantes : 1. E ( y t ) = θ , ∀t = 1,2, · · · ,T

  

2. V (y t ) = 1 + β 12 σ2 , ∀t = 1,2, · · · ,T 3. cov ( y t ; y t −k ) =

β 1 σ2 0

si k = 1 si k > 1

, ∀t = 1,2, · · · ,T et k  =0

Il en résulte qu’un modèle MA (1) est toujours stationnaire.


ele Moyenne Mobile d’ordre q 2.2.2. Mod`

2.2.2.1. Formule analytique d’un MA (q ) Un modèle moyenne mobile d’ordre q , noté MA (p ), met en relation la variable aléatoire y t avec les q valeurs retardées du choc t −1 ,t −2 , · · · ,t −q selon la forme analytique suivante : y t = θ + β 1 t −1 + β 2 t −2 + · · · + β q t −q + t , ∀t = 1,2, · · · ,T

avec t ∼ WN (0,σ2 ) et β q  = 0.

(10)

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.2. Modèle Moyenne Mobile d’ordre q 2.2.2.1. Formule analytique d’un MA (q )

Alternativement, le modèle (10) peut s’écrire de manière réduite a ` l’aide d’un opérateur retard : 2

q

y t = θ + β 1 Lt + β 2 L t + · · · + β q L t + t



2

y t = θ + 1 + β 1 L + β 2 L + · · · + β q L y t = θ + β (L) t

avec β (L) ≡ 1 + β 1 L + β 2 L2 + · · · + β q Lq .



q

t

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.2. Modèle Moyenne Mobile d’ordre q

2.2.2.2. Propriétés statistiques d’un MA (q ) 2.2.2.2.1. Espérance non conditionnelle E ( y t ) : E (y t ) = E (θ + β 1 t −1 + β 2 t −2 + · · · + β q t −q + t )

= θ + β 1 E (t −1 ) +β 2 E (t −2 ) + · · · + β q E (t −q ) + E (t )

      0

= θ

0

     


0

0

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.2. Modèle Moyenne Mobile d’ordre q 2.2.2.2. Propri´ etés statistiques d’un MA (q )

2.2.2.2.2. Variance non conditionnelle V (y t ) : V (y t ) = V (θ + β 1 t −1 + β 2 t −2 + · · · + β q t −q + t )

= β 12 V (t −1 ) +β 22 V (t −2 ) + · · · + β q 2 V (t −q ) + V (t )

        2 σ

2 σ

= 1 + β 12 + β 22 + · · · + β q 2 σ2

      2 σ


2 σ


2.2.2.2.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : cov ( y t ; y t −k ) =E {[y t − E ( y t )][y t −k − E (y t −k )]}

      θ

θ

=E [(β 1 t −1 + · · · + β q t −q + t ) (β 1 t −k −1 + · · · + β q t −k −q + t −k )] =E [t (t −k + β 1 t −k −1 + · · · + β q t −k −q ) + β 1 t −1 (t −k + β 1 t −k −1 + · · · + β q t −k −q ) + ··· + β q t −q (t −k + β 1 t −k −1 + · · · + β q t −k −q )]


2.2.2.2.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) : cov ( y t ; y t −k ) =E (t t −k + β 1 t t −k −1 + · · · + β q t t −k −q

+ β 1 t −1 t −k + β 12 t −1 t −k −1 + · · · + β 1 β q t −1 t −k −q + ··· + β q t −q t −k + β q β 1 t −q t −k −1 + · · · + β q 2 t −q t −k −q ) =E (t t −k ) + β 1 E (t t −k −1 ) + · · · + β q E (t t −k −q ) + β 1 E (t −1 t −k ) + β 12 E (t −1 t −k −1 ) + · · · + β 1 β q E (t −1 t −k −q ) + ··· + β q E (t −q t −k ) + β q β 1 E (t −q t −k −1 ) + · · · + β q 2 E (t −q t −k −q )



• q = 2 et k = 1 : cov ( y t ; y t −1 ) =E (t t −1 ) + β 1 E (t t −2 ) + β 2 E (t t −3 )

+ β 1 E (t −1 t −1 ) + β 12 E (t −1 t −2 ) + β 1 β 2 E (t −1 t −3 ) + β 2 E (t −2 t −1 ) + β 2 β 1 E (t −2 t −2 ) + β 22 E (t −2 t −3 ) =β 1 σ2 + β 2 β 1 σ2 = (β 1 + β 2 β 1 ) σ2




+ β 1 E (t −1 t −2 ) + β 12 E (t −1 t −3 ) + β 1 β 2 E (t −1 t −4 ) + β 2 E (t −2 t −2 ) + β 2 β 1 E (t −2 t −3 ) + β 22 E (t −2 t −4 ) =β 2 E (t −2 t −2 ) =β 2 σ2




+ β 1 E (t −1 t −3 ) + β 12 E (t −1 t −4 ) + β 1 β 2 E (t −1 t −5 ) + β 2 E (t −2 t −3 ) + β 2 β 1 E (t −2 t −4 ) + β 22 E (t −2 t −5 ) =0

• q = 2 et k > 2 : cov ( y t ; y t −k ) = 0



• Modèle MA (2)

cov ( y t ; y t −k ) =

  

(β 1 + β 2 β 1 ) σ2

si k = 1

β 2 σ2

si k = 2

0

si k > 2

, ∀t = 1,2, · · · ,T et k  =0




• q = 3 et k = 1 : cov ( y t ; y t −1 ) =E ( t t −1 ) + β1 E ( t t −2 ) + β2 E ( t t −3 ) β3 E ( t t −4 )

+β1 E ( t −1 t −1 ) + β12 E ( t −1 t −2 ) + β1 β2 E ( t −1 t −3 ) + β1 β3 E ( t −1 t −4 ) +β2 E ( t −2 t −1 ) + β2 β1 E ( t −2 t −2 ) + β22 E ( t −2 t −3 ) + β2 β3 E ( t −2 t −4 ) +β3 E ( t −3 t −1 ) + β3 β1 E ( t −3 t −2 ) + β3 β2 E ( t −3 t −3 ) + β32 E ( t −3 t −4 ) =β1 E ( t −1 t −1 ) + β2 β1 E ( t −2 t −2 ) + β3 β2 E ( t −3 t −3 ) =β1 σ2 + β2 β1 σ2 + β3 β2 σ2 = (β1 + β2 β1 + β3 β2 ) σ2



• q = 3 et k = 2 : cov ( y t ; y t −2 ) =E ( t t −2 ) + β1 E ( t t −3 ) + β2 E ( t t −4 ) + β3 E ( t t −5 )

+β1 E ( t −1 t −2 ) + β12 E ( t −1 t −3 ) + β1 β2 E ( t −1 t −4 ) + β1 β3 E ( t −1 t −5 ) +β2 E ( t −2 t −2 ) + β2 β1 E ( t −2 t −3 ) + β22 E ( t −2 t −4 ) + β2 β3 E ( t −2 t −5 ) +β3 E ( t −3 t −2 ) + β3 β1 E ( t −3 t −3 ) + β3 β2 E ( t −3 t −4 ) + β32 E ( t −3 t −5 ) =β2 E ( t −2 t −2 ) + β3 β1 E ( t −3 t −3 ) =β2 σ2 + β3 β1 σ2 = (β2 + β3 β1 ) σ2




+β1 E ( t −1 t −3 ) + β12 E ( t −1 t −4 ) + β1 β2 E ( t −1 t −5 ) + β1 β3 E ( t −1 t −6 ) +β2 E ( t −2 t −3 ) + β2 β1 E ( t −2 t −4 ) + β22 E ( t −2 t −5 ) + β2 β3 E ( t −2 t −6 ) +β3 E ( t −3 t −3 ) + β3 β1 E ( t −3 t −4 ) + β3 β2 E ( t −3 t −5 ) + β32 E ( t −3 t −6 ) =β3 E ( t −3 t −3 ) =β3 σ2

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.2. Modèle Moyenne Mobile d’ordre q 2.2.2.2. Propri´ etés statistiques d’un MA (q ) 2.2.2.2.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k ) :


+β1 E ( t −1 t −4 ) + β12 E ( t −1 t −5 ) + β1 β2 E ( t −1 t −6 ) + β1 β3 E ( t −1 t −7 ) +β2 E ( t −2 t −4 ) + β2 β1 E ( t −2 t −5 ) + β22 E ( t −2 t −6 ) + β2 β 3E ( t −2 t −7 ) +β3 E ( t −3 t −4 ) + β3 β1 E ( t −3 t −5 ) + β3 β2 E ( t −3 t −6 ) + β32 E ( t −3 t −7 ) =0

• q = 3 et k > 3 : cov ( y t ; y t −k ) = 0



• Modèle MA (3)

cov ( y t ; y t −k ) =

   

(β 1 + β 2 β 1 + β 3 β 2 ) σ2

si k = 1

(β 2 + β 3 β 1 ) σ2

si k = 2

, ∀t = 1,2, · · · ,T et k  =0

β 3 σ2

si k = 3

0

si k > 3




• Modèle MA (q )

   σ2

cov ( y t ; y t −k ) =

0

q −k i =0 βi βk +i

si k ≤ q , ∀t = 1,2, · · · ,T , k =  0 et β0 = 1 si k > q


2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.2. Modèle Moyenne Mobile d’ordre q

2.2.2.3. Condition de stationnarité d’un MA(q ) Rappel :

Un processus stochastique y t est stationnaire au sens faible si ses moments non conditionnels d’ordres un et deux sont finis et ind´ ependants de l’indice temporel t , c’est ` a dire : 1. E ( y t ) = µ < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T 2. V (y t ) = σ 2 < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T 3. cov ( y t ; y t −k ) = γ k < ∞ , ∀t = 1,2, · · · ,T et k  =0

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.2. Modèle Moyenne Mobile d’ordre q 2.2.2.3. Condition de stationnarité d’un MA(q )

Les propriétés statistiques d’un MA (q ) sont les suivantes : 1. E ( y t ) = θ , ∀t = 1,2, · · · ,T





2. V (y t ) = 1 + β 12 + β 22 + · · · + β q 2 σ2 , ∀t = 1,2, · · · ,T

3. cov ( y t ; y t −k ) =

   σ2 0

q −k i =0

β i β k +i

si k ≤ q

∀t = 1,2, · · · ,T si k > q

Il en résulte qu’un modèle MA (q ) est toujours stationnaire.


eles MA 2.2.3. Exemples de mod`

SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 Y = 0.8 * e( -1 ) + e

MA (1) : y t = 0.8t −1 + t , t ∼ WN (0,4)

2. Représentation 2.2. Mod` ele Moyenne Mobile 2.2.3. Exemples de modèles MA

SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 Y = -0.5 * e( -1 ) + e

MA (1) : y t = −0.5t −1 + t , t ∼ WN (0,4)

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2.2 . Mo 2.2. Mod` d` ele Moyenne Mobi ele Mobile le 2.2.3. Exemples de modèles eles MA

SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 Y = 0.8 * e( -1 ) + 0.3 * e( -2 ) + e

MA (2) : y t t = 0.8t −1 + 0.3t −2 + t , t ∼ WN (0, (0,4)

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2.2 . Mo 2.2. Mod` d` ele Moyenne Mobi ele Mobile le 2.2.3. Exemples de modèles eles MA

SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 Y = -0.5 * e( -1 ) + 0.3 * e( -2 ) + e

MA (2) : y t t = −0.5t −1 + 0.3t −2 + t , t ∼ WN (0, (0,4)

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n

`le Autor´ Section 3 : Modele e egressif Moyenne Mobile egressif

` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (1, egressif 2.3.1. Modele (1,1) ` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (p ,q ) egressif 2.3.2. Modele ` eles ARMA 2.3.3. Exemples de modeles

2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile

ele Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (1,1) 2.3.1. Mod`

2.3.1.1. Formule analytique d’un ARMA(1,1) Un modèle autor´ egressif moyenne mobile d’ordre (1,1), noté ARMA(1,1), met en relation la variable aléatoire y t avec sa valeur retardée d’une période y t −1 et la valeur retardée d’une p´ eriode du choc t −1 selon la forme analytique suivante : (11) y t = θ + α1 y t −1 + β 1 t −1 + t , ∀t = 1,2, · · · ,T avec t ∼ WN (0,σ2 ) et α1  = 0 et β 1  = 0.

2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile 2.3.1. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (1,1) 2.3.1.1. Formule analytique d’un ARMA(1,1)

Alternativement, le modèle (11) peut s’écrire de manière réduite a ` l’aide de polynômes retard comme suit : y t − α1 y t −1 = θ + β 1 t −1 + t y t − α1 Ly t = θ + β 1 Lt + t

(1 − α1 L) y t = θ + (1 + β 1 L) t α (L) y t = θ + β (L) t avec α (L) ≡ 1 − α1 L et β (L) ≡ 1 + β 1 L.


ele Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (1,1) 2.3.1. Mod`

2.3.1.2. Condition de stationnarité d’un ARMA(1,1) Le modèle ARMA(1,1) est le mélange d’un modèle AR (1) qui n’est pas tou jours stationnaire et d’un mod` ele MA (1) qui est au contraire toujours stationnaire. Par conséquent, la condition de stationnarité d’un modèle ARMA(1,1) provient de celle de sa partie autorégressive AR (1), en l’occurrence |α1 | < 1.

2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile 2.3.1. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (1,1)

2.3.1.3. Propriétés statistiques d’un ARMA(1,1) 2.3.1.3.1. Espérance non conditionnelle E ( y t ) Sous l’hypothèse de stationnarité de y t , notons E ( y t ) ≡ µ : y t = θ + α1 y t −1 + β 1 t −1 + t E ( y t ) = E (θ + α1 y t −1 + β 1 t −1 + t )

   µ

= θ + α1 E ( y t −1 ) +β 1 E (t −1 ) + E (t )

         0

µ

µ = θ + α1 µ

µ (1 − α1 ) = θ d’o` u: µ=

θ 1 − α1

0

2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile 2.3.1. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (1,1) 2.3.1.3 Propriétés statistiques d’un ARMA(1,1)

2.3.1.3.2. Variance non conditionnelle V (y t ) Sous l’hypothèse de stationnarité de y t , notons V (y t ) ≡ σ 2 : y t = θ + α1 y t −1 + β 1 t −1 + t V (y t ) = V (θ + α1 y t −1 + β 1 t −1 + t )

   σ2

= α 21 V (y t −1 ) +β 12 V (t −1 ) + V (t ) +2α1 cov ( y t −1 ,t )

                  σ2

2 σ

2 σ

+ 2β 1 cov (t −1 ,t ) +2α1 β 1 cov ( y t −1 ,t −1 ) 0

?

0


2.3.1.3.2. Variance non conditionnelle V (y t ) cov ( y t −1 ,t −1 ) = E {[y t −1 − µ][t −1 − E (t −1 )]}

            0

= E [t −1 (α1 y t −2 + β 1 t −2 + t −1 )]

= α 1 E (t −1 y t −2 ) +β 1 E (t −1 t −2 ) + E (t −1 t −1 ) 0

d’o` u:

0

σ2 = α21 σ2 + β 12 σ2 + σ2 + 2α1 β 1 σ2 Enfin : σ2 =



1 + 2α1 β 1 + 1 − α21

β 12



σ2

2 σ


2.3.1.3.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ,y t −k ) Sous l’hypothèse de stationnarité de y t , notons cov ( y t ,y t −k ) ≡ γ k y t = θ + α1 y t −1 + β 1 t −1 + t E (y t ) = θ + α1 E ( y t −1 ) +β 1 E (t −1 ) + E (t )

            µ

µ

0

y t − µ = α 1 (y t −1 − µ) + β 1 t −1 + t

0


2.3.1.3.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ,y t −k ) γ k = E [( y t − µ) (y t −k − µ)] = E {[α1 (y t −1 − µ) + β 1 t −1 + t ][y t −k − µ]} = E [α1 (y t −1 − µ) (y t −k − µ) + β 1 t −1 (y t −k − µ) + t ( y t −k − µ)] = α 1 E [( y t −1 − µ) (y t −k − µ)] + β 1 E {[t −1 − E (t −1 )][y t −k − µ]}

   0

+ E {[t − E (t )][y t −k − µ]}

   0

= α 1 cov ( y t −1 ; y t −k ) + β 1 cov (t −1 ; y t −k ) + cov (t ; y t −k )


2.3.1.3.3. Fonction d’autocovariance cov ( y t ,y t −k ) γ 1 = α 1 cov ( y t −1 ; y t −1 ) +β 1 cov (t −1 ; y t −1 ) + cov (t ; y t −1 )

         σ2

2 σ

0

= α 1 σ 2 + β 1 σ2

γ 2 = α 1 cov ( y t −1 ; y t −2 ) +β 1 cov (t −1 ; y t −2 ) + cov (t ; y t −2 )

         γ 1

0

0

= α 1 γ 1

γ k = α 1 cov ( y t −1 ; y t −k ) +β 1 cov (t −1 ; y t −k ) + cov (t ; y t −k )

         γ k −1

= α 1 γ k −1

0

0


ele Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (p ,q ) 2.3.2. Mod`

2.3.2.1. Formule analytique d’un ARMA(p ,q ) Un modèle autorégressif moyenne mobile d’ordre (p ,q ), noté ARMA(p ,q ), met en relation la variable aléatoire y t avec ses p valeurs retardées y t −1 ,y t −2 , · · · ,y t −p et les q valeurs retardées du choc t −1 ,t −2 , · · · ,t −q selon la forme analytique suivante : y t = θ+α1 y t −1 +· · ·+αp y t −p +β 1 t −1 +· · ·+β q t −q +t , ∀t = 1,2, · · · ,T (12)

 

avec t ∼ WN 0,σ2 et αp  = 0 et β q  = 0.

2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile 2.3.2. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (p,q ) 2.3.2.1 Formule analytique d’un ARMA(p,q )

Alternativement, le modèle (12) peut s’écrire de manière réduite a ` l’aide de polynômes retard comme suit : y t − α1 y t −1 − · · · − αp y t −p = θ + β 1 t −1 + · · · + β q t −q + t p

q

y t − α1 Ly t − · · · − αp L y t = θ + β 1 Lt + · · · + β q L t + t

(1 − α1 L − · · · − αp Lp ) y t = θ + (1 + β 1 L + · · · + β q Lq ) t α (L) y t = θ + β (L) t avec α (L) ≡ 1 − α1 L − · · · − αp Lp et β (L) ≡ 1 + β 1 L + · · · + β q Lq .

2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile 2.3.2. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (p,q ) 2.3.2.1 Formule analytique d’un ARMA(p,q )

Remarque :

ARMA (0,q ) ≡ MA (q ) ARMA (p ,0) ≡ AR (p )

2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile 2.3.2 Modèle Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (p,q )

2.3.2.2. Condition de stationnarité d’un ARMA(p ,q ) Le modèle ARMA(p ,q ) est le mélange d’un modèle AR (p ) qui n’est pas tou jours stationnaire et d’un modèle MA (q ) qui est au contraire toujours stationnaire. Par conséquent, la condition de stationnarité d’un modèle ARMA(p ,q ) provient de celle de sa partie autor´ egressive AR (p ), en l’occurrence |z i | > 1 , ∀i = 1,2, · · · ,p ...

2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile 2.3.2 Modèle Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (p,q )

2.3.2.3. Propriétés statistiques d’un ARMA(p,q ) 2.3.2.3.1. Espérance non conditionnelle E ( y t ) Sous l’hypothèse de stationnarit´ e de y t , on note E ( y t ) ≡ µ : y t = θ + α1 y t −1 + · · · + αp y t −p + β1 t −1 + · · · + βq t −q + t E ( y t ) = E ( θ + α1 y t −1 + · · · + αp y t −p + β1 t −1 + · · · + βq t −q + t )

   µ

= θ + α1 E ( y t −1 ) + · · · + αp E ( y t −p ) +β1 E ( t −1 ) + · · · + βq E ( t −q ) + E ( t )

   µ

      0

µ

µ = θ + α1 µ + · · · + αp µ

d’o` u: µ =

θ

1 − α1 − α2 − · · · − αp

      0

0

2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile 2.3.2 Modèle Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (p,q ) 2.3.2.3. Propri´ etés statistiques d’un ARMA(p,q )

2.3.2.3.1. Variance non conditionnelle V (y t ) Sous l’hypothèse de stationnarité de y t , on note V (y t ) ≡ σ 2 : y t = θ + α1 y t −1 + · · · + αp y t −p + β 1 t −1 + · · · + β q t −q + t V (y t ) = V (θ + α1 y t −1 + · · · + αp y t −p + β 1 t −1 + · · · + β q t −q + t )

   σ2

= α 21 V (y t −1 ) + · · · + α2p V (y t −p ) +β 12 V (t −1 ) + · · · + β q 2 V (t −q ) + V (t )

   

     

σ2

+2

σ2

     

2 σ

2 σ

αi β j cov ( y t −i ; t − j )

2 σ

i ≤ j

σ

2

= α 21 σ 2

2

2

+ · · · + αp σ +

β 12 σ2

2

2

2

+ · · · + β q σ + σ + 2




i ≤ j

d’o` u:

1− σ = 1+ 2



p i =1 q j =1

α2i 2 σ + 2 β j 2

 i ≤ j


2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile 2.3.2 Modèle Autor´ egressif Moyenne Mobile d’ordre (p,q ) 2.3.2.3. Propri´ etés statistiques d’un ARMA(p,q )

2.3.2.3.1. Fonction d’autocovariance cov ( y t ; y t −k )

• k > max (p ,q ) : γ k = α 1 γ k −1 + α2 γ k −2 + · · · + αp γ k −p

• k < max (p ,q + 1) : Le calcul de la fonction d’d’autocovariance devient compliqu´ e!


eles ARMA 2.3.3. Exemples de mod`

SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 SMPL @FIRST+1 @LAST Y = 0.2 + 0.5 * Y( -1 ) + 0.8 * e( -1 ) + e

ARMA (1,1) : y t = 0.2 + 0.5y t −1 + 0.8t −1 + t , t ∼ WN (0,4)

2. Représentation 2.3. Mod` ele Autor´ egressif Moyenne Mobile 2.3.3. Exemples de modèles ARMA

SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 SMPL @FIRST+2 @LAST Y = 0.2 + 0.5 * Y( -1 ) + 0.8 * e( -1 ) + 0.2 * e( -2 ) + e

ARMA (1,2) : y t = 0.2 + 0.5y t −1 + 0.8t −1 + 0.2t −2 + t , t ∼ WN (0,4)


SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 SMPL @FIRST+2 @LAST Y= 0.2+0.5*Y(-1)+0.1*Y(-2)+0.8*e(-1)+e

ARMA (2,1) : y t = 0.2 + 0.5y t −1 + 0.1y t −2 + 0.8t −1 + t , t ∼ WN (0,4)


SERIES e = 2 * NRND SERIES Y = 0 SMPL @FIRST+2 @LAST Y=0.2+0.5*Y(-1)+0.1*Y(-2)+0.8*e(-1)+0.2*e(2)+e

ARMA (2,2) : y t = 0.2+0.5y t −1 +0.1y t −2 +0.8t −1 +0.2t −2 +t , t ∼ WN (0,4)

2. Représentation

Section 4 : Liens entre les mod ` eles AR , MA et ARMA

2.4.1. Stationnarit´ e et inversibilit´ e des processus esentation MA(∞) d’un AR (p ) 2.4.2. Repr´

2.4.3. Repr´ esentation AR (∞) d’un MA(q ) esentations AR (∞) et MA(∞) d’un ARMA(p ,q ) 2.4.4. Repr´

2. Représentation 2.4. Liens entre les modèles AR, MA et ARMA

e et inversibilit´ e des processus 2.4.1. Stationnarit´ Inversibilit´ e d’un polynˆ ome :

Un polynˆ ome P (x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n de degré n est inversible s’il existe un polynˆ ome Q (x ) = b 0 + b1 x + b2 x 2 + · · · + bm x m de degré m tel que : P (x )Q (x ) = 1 L’inverse du polynôme P (x ), noté P −1 (x ), est donné par : −1

P

(x ) =

1 = Q (x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 + · · · + bm x m P (x )

L’existence du polynôme Q (x ) suppose, en outre, que la somme est convergente.



m b x i i =0 i

2. Représentation 2.4. Liens entre les modèles AR, MA et ARMA 2.2.1. Stationnarit´ e et inversibilité des processus

Stationnarit´ e d’un processus :

En vertu du théorème de Wold, tout processus stochastique stationnaire centré y t peut s’écrire sous forme d’une somme pondérée infinie des chocs présent t et passés {t −1 ; t −2 ; · · · } : +∞

y t =



β i t −i =  t + β 1 t −1 + β 2 t −2 + · · ·

i =0

avec β 0 = 1. Intuitivement, l’impact du choc t −i sur le processus y t , mesuré par le coefficient β i (i = 0;1;2; · · · ), doit s’atténuer ` a mesure que ce choc s’´ eloigne ∞ dans le temps. Ceci garantie la convergence de la somme + i =0 β i t −i et donc l’inversibilité du polynôme retard associé a` y t .



2. Représentation 2.4. Liens entre les modèles AR, MA et ARMA 2.2.1. Stationnarit´ e et inversibilité des processus

Inversibilit´ e d’un processus :

Un processus stochastique centré y t est inversible s’il est possible de reconstruire la valeur du choc t uniquement à partir de ses observations présente y t et passées {y t −1 ; y t −2 ; · · · } : +∞

t =



αi y t −i = y t + α1 y t −1 + α2 y t −2 + · · ·

i =0

avec α0 = 1. Intuitivement, la contribution de l’observation y t −i dans la reconstruction du choc t , mesurée par le coefficient α i (i = 0; 1; 2; · · · ), doit se réduire a ` mesure que cette observation s’´ eloigne dans le temps. Ceci garantie la convergence ∞ de la somme + αi y t −i et donc l’inversibilité du polynˆ ome retard associé i =0 a ` t .




esentation MA(∞) d’un AR (p ) 2.4.2. Repr´

Soit le modèle AR (1) centré suivant : y t = α 1 y t −1 + t

(13)

Après substitutions récursives, on obtient : 2

y t = α 1 (α1 y t −2 + t −1 ) + t = α 1 y t −2 + α1 t −1 + t

= α 21 (α1 y t −3 + t −2 ) + α1 t −1 + t = α 31 y t −3 + α21 t −2 + α1 t −1 + t = ··· ou encore :

2

n

y t = t + α1 t −1 + α1 t −2 + · · · + α1 y t −n

2. Représentation 2.4. Liens entre les modèles AR, MA et ARMA 2.4.2. Représentation MA(∞) d’un AR(p )

Si le processus y t est stationnaire, i.e. |α1 | < 1, et si n → +∞, alors : +∞

2

3

y t =  t + α1 t −1 + α1 t −2 + α1 t −3 + · · · =



αi 1 t −i

(14)

i =0

En posant αi 1 ≡ β i (avec β 0 = 1), on retrouve le résultat du théorème de Wold : +∞

y t =



β i t −i

i =0

Il s’agit d’une représentation moyenne mobile infinie MA (∞) du modèle AR (1).

2. Représentation 2.4. Liens entre les modèles AR, MA et ARMA 2.4.2. Représentation MA(∞) d’un AR(p ) En utilisant des polynˆ omes retard, on écrit (13) comme suit : y t = α1 y t −1 + t y t (1 − α1 L) =  t α(L)y t = t

(15)

et (14) comme suit : y t = t + α1 t −1 + α21 t −2 + α31 t −3 + · · ·





y t = 1 + α1 L + α21 L2 + α31 L3 + · · · t

En posant βi = αi 1 (avec i = 1;2; · · · ) :



2

3



y t = 1 + β1 L + β2 L + β3 L + · · · t y t = β (L)t

(16)

On peut montrer que les écritures (15) et (16) sont équivalentes en v´ erifiant que le polynˆ ome retard β (L) est simplement l’inverse du polynˆ ome retard α(L), i.e. : β (L) = α −1 (L)

2. Représentation 2.4. Liens entre les modèles AR, MA et ARMA 2.4.2. Représentation MA(∞) d’un AR(p ) Soit la division suivant les puissances croissantes de 1 par 1 − α1 L : 1 − α1 L

1

− 1 0 −

1 + α1 L + α21 L2 + α31 L3 + · · ·

−α1 L +α1 L +α1 L 0 −

−α21 L2 +α21 L2 +α21 L2 0

−α31 L3 +α31 L3 .. .

d’o` u

1 = 1 + α1 L + α21 L2 + α31 L3 + · · · 1 − α1 L En posant αi 1 = βi (avec i = 1;2; · · · ), on obtient : 1 = 1 + β1 L + β2 L2 + β3 L3 + · · · 1 − α1 L Finalement :

α−1 (L) = β (L)


R´ ecapitulatif :

AR (1) stationnaire −→y t = α 1 y t −1 + t

(1 − α1 L)y t =  t α(L)y t =  t y t = α

−1

(L)t

y t = β (L)t 2

3

y t = (1 + β 1 L + β 2 L + β 3 L + · · · )t y t =  t + β 1 t −1 + β 2 t −2 + β 3 t −3 + · · · −→ MA(∞)


G´ en´ eralisation :

AR (p ) stationnaire −→y t = α 1 y t −1 + α2 y t −2 + · · · + αp y t −p + t

(1 − α1 L − α2 L2 − · · · − αp Lp )y t =  t α(L)y t =  t y t = α

−1

(L)t

y t = β (L)t 2

3

y t = (1 + β 1 L + β 2 L + β 3 L + · · · )t y t =  t + β 1 t −1 + β 2 t −2 + β 3 t −3 + · · · −→ MA(∞)


esentation AR (∞) d’un MA(q ) 2.4.3. Repr´

Soit le modèle MA(1) centré suivant : y t = β 1 t −1 + t

(17)

que l’on peut réécrire : t = y t − β 1 t −1 Après substitutions récursives, on obtient : t = y t − β 1 (y t −1 − β 1 t −2 ) = y t − β 1 y t −1 + β 12 t −2 = y t − β 1 y t −1 + β 12 ( y t −2 − β 1 t −3 ) = y t − β 1 y t −1 + β 12 y t −2 − β 13 t −3 = ··· ou encore : t = y t − β 1 y t −1 + β 12 y t −2 − · · · + (−1)n β 1n y t −n

2. Représentation 2.4. Liens entre les modèles AR, MA et ARMA 2.4.3. Représentation AR(∞) d’un MA(q )

Si le processus y t est inversible, i.e. |β 1 | < 1, et si n → +∞, alors : +∞

t = y t − β 1 y t −1 + β 12 y t −2 − β 13 y t −3 + · · · =



(−1)i β 1i y t −i (18)

i =0

En posant (−1)i β 1i ≡ αi (avec α0 = 1) : +∞

t =



αi y t −i

i =0

Il s’agit d’une représentation autorégressive infinie AR (∞) du modèle MA(1).


En utilisant des polynômes retard, on écrit (17) comme suit : y t = β 1 t −1 + t y t = (1 + β 1 L) t y t = β (L)t

(19)

et (18) comme suit : t = y t − β 1 y t −1 + β 12 y t −2 − β 13 y t −3 + · · · t = (1 − β 1 L + β 12 L2 − β 13 L3 + · · · )y t En posant αi = (−1)i β 1i (avec i = 1;2; · · · ) : t = (1 + α1 L + α2 L2 + α3 L3 + · · · )y t α(L)y t =  t

(20)

On peut montrer que les écritures (19) et (20) sont équivalentes en vérifiant que le polynôme retard α(L) est simplement l’inverse du polynôme retard β (L), i.e. : α(L) = β −1 (L)

2. Représentation 2.4. Liens entre les modèles AR, MA et ARMA 2.4.3. Représentation AR(∞) d’un MA(q ) Considérons la division suivant les puissances croissantes de 1 par 1 + β1 L : 1

1 + β1 L

− 1 0 −

1 − β1 L + β12 L2 − β13 L3 + · · ·

+β1 L −β1 L

−β1 L 0 −

−β12 L2 +β12 L2 +β12 L2 0

d’o` u

+β13 L3 −β13 L3 .. .

1 = 1 − β1 L + β12 L2 − β13 L3 + · · · 1 + β1 L

En posant αi = (−1)i β1i , on obtient : 1 = 1 − α1 L − α2 L2 − α3 L3 + · · · 1 + β1 L Finalement :

β −1 (L) = α(L)


R´ ecapitulatif :

MA(1) inversible −→y t = β 1 t −1 + t y t = (1 + β 1 L)t y t = β (L)t

β −1 (L)y t =  t α(L)y t =  t 2

3

y t (1 − α1 L − α2 L − α3 L − · · · ) =  t y t = α 1 y t −1 + α2 y t −2 + α3 y t −3 + · · · + t −→ AR (∞)


G´ en´ eralisation :

MA(q ) inversible −→y t = β 1 t −1 + β 2 t −2 + · · · + β q t −q + t 2

q

y t = (1 + β 1 L + β 2 L + · · · + β q L )t y t = β (L)t

β −1 y t =  t α(L)y t =  t 2

3

y t (1 − α1 L − α2 L − α3 L − · · · ) =  t y t = α 1 y t −1 + α2 y t −2 + α3 y t −3 + · · · + t −→ AR (∞)


esentations AR (∞) et MA(∞) d’un ARMA(p ,q ) 2.4.4. Repr´

Soit le modèle ARMA(1,1) centré suivant : y t = α 1 y t −1 + β 1 t −1 + t

que l’on peut réécrire : y t − α1 y t −1 = β 1 t −1 + t

ou encore : y t (1 − α1 L) = (1 + β 1 L)t


Si le processus y t est stationnaire, i.e. |α1 | < 1, alors le polynˆ ome 1 − α1 L est inversible et l’on peut écrire : y t =



1 + β 1 L 1 − α1 L



t

La division du polynôme 1 + β 1 L par 1 − α1 L donne : 1 + β 1 L = 1 + (α1 + β 1 )L + α1 (α1 + β 1 )L2 + α21 (α1 + β 1 )L3 + · · · 1 − α1 L En posant ψi = α 1i −1 (α1 + β 1 ) (avec i = 1; 2; · · · ) on obtient : 1 + β 1 L = 1 + ψ1 L + ψ2 L2 + ψ3 L3 + · · · 1 − α1 L



2

3



y t = 1 + ψ1 L + ψ2 L + ψ3 L + · · · t

= ψ 1 t −1 + ψ2 t −2 + ψ3 t −3 + · · · + t Il s’agit d’une représentation MA(∞) du modèle ARMA(1,1).

2. Représentation 2.4. Liens entre les modèles AR, MA et ARMA Si le processus y t est inversible, i.e. |β 1 | < 1, alors le polynôme 1 + β 1 L est

inversible et l’on peut écrire :



1 − α1 L 1 + β 1 L



y t =  t

La division du polynôme 1 − α1 L par 1 + β 1 L donne : 1 − α1 L = 1 − (α1 + β 1 )L + β 1 (α1 + β 1 )L2 − β 12 (α1 + β 1 )L3 + · · · 1 + β 1 L En posant ϕi = (−β 1 )i −1 (α1 + β 1 ) (avec i = 1; 2; · · · ) on obtient : 1 − α1 L = 1 − ϕ1 L − ϕ2 L2 − ϕ3 L3 − · · · 1 + β 1 L



2

3



1 − ϕ1 L − ϕ2 L − ϕ3 L − · · · y t =  t

y t − ϕ1 y t −1 − ϕ2 y t −2 − ϕ3 y t −3 − · · · =  t y t = ϕ1 y t −1 + ϕ2 y t −2 + ϕ3 y t −3 + · · · + t

Il s’agit d’une représentation AR (∞) du modèle ARM A(1,1).

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2.4. Liens entre les modèles eles AR, MA et ARMA R´ ecap ecapit itul ulat atif if :

ARMA(1, (1,1) −→y t t = α 1 y t t −1 + β 1 t −1 + t y t t − α1 y t t −1 = β 1 t −1 + t

(1 − α1 L)y t t = (1 + β 1 L)t

(1,1) stationnaire −→y t t = ARMA(1,



1 + β 1 L 1 − α1 L



t 2

y t t = (1 + ψ1 L + ψ2 L + · · · )t y t t = ψ 1 t −1 + ψ2 t −2 + · · · + t −→ MA(∞)

ARMA(1, (1,1) inversible −→



1 − α1 L 1 + β 1 L



y t t =  t

(1 − ϕ1 L − ϕ2 L2 − · · · )y t t = t y t t − ϕ1 y t t −1 − ϕ2 y t t −2 − · · · =  t y t t = ϕ 1 y t t −1 + ϕ2 y t t −2 + · · · + t −→ AR (∞)

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2.4. Liens entre les modèles eles AR, MA et ARMA G´ en´ eralisation : p

−→y t t = ARMA(p ,q ) −→

 

q

αi y t t −i +

i =1 =1

αi Li )y t t = (1 +

i =1 =1

β (L) α(L)

q



βi Li )t

i =1 =1

α(L)y t t = β (L)t ARMA(p ,q ) stationnaire −→y t t =

βi t −i + t

i =1 =1

p

(1 −



t

y t t = ψ (L)t y t t = (1 + ψ1 L + ψ2 L2 + · · · )t y t t = ψ 1 t −1 + ψ2 t −2 + · · · + t −→ MA(∞) ARMA(p ,q ) inversible −→

α(L) β (L)

y t t = t

ϕ(L)y t t =  t

(1 − ϕ1 L − ϕ2 L2 − · · · )y t t = t y t t − ϕ1 y t t −1 − ϕ2 y t t −2 − · · · = t y t t = ϕ 1 y t t −1 + ϕ2 y t t −2 + · · · + t −→ AR(∞)

2. Re Repr´ présent es entat atio ion n 2.4. Liens entre les modèles eles AR, MA et ARMA

Remarque Rema rque : Pro P rocess cessus us non-centr´ non- centr´ es es

Tout au long de cette section, seuls des processus centr´ centrés, es, i.e. des processus sans sans terme ter me const constant, ant, ont ét´ eté cons consid´ idér´ erés es afin afin de simpl simplifi ifier er la présenta esentatio tion. n. Le résultat esul tat obtenu obte nu est e st que l’on l’o n pe peut ut bascule bas culerr entre les différentes erente s représentatio ese ntations ns des mod` eles eles de la famille famille ARMA simplemen simplementt en divisan divisantt par un polynˆ ome ome retard Φ(L), pourvu que celui-ci soit inversible. En introduisant une constante non nulle θ dans ces modèles eles ils deviennent non-centr´ non- centrés es et le résultat esu ltat obtenu obte nu rester res tera a valable a` la différenc erencee près es qu’il qu’ il faut faut diviser également egaleme nt le terme constant θ par le mˆ eme eme polynˆ pol ynˆ ome ome retard Φ(L). Pour cela, rappelons quelques règles egles de calculs quand il s’agit d’appliquer à une constante une opération eration faisant intervenir un op´ erateur erateur ou un polynˆ pol ynˆ ome ome retard.


Remarque : Processus non-centr´ es (suite) L’une des propriétés de l’opérateur retard L est qu’il n’a aucun effet sur un terme constant θ, i.e. Lθ = θ. Dans ce cas précis, l’opérateur retard L se

comporte exactement comme l’élément neutre de la multiplication, ` a savoir le nombre 1. Etudions la multiplication de la constante θ par le polynôme retard Φ(L) = 1 + φ1 L + φ2 L2 + · · · + φn Ln : Φ(L)θ = (1 + φ1 L + φ2 L2 + · · · + φn Ln )θ = θ + φ1 Lθ + φ2 L2 θ + · · · + φn Ln θ = θ + φ1 θ + φ2 θ + · · · + φn θ = (1 + φ1 + φ2 + · · · + φn )θ = Φ(1)θ Multiplier une constante par un polynôme retard revient à la multiplier par ce même polynˆ ome en rempla¸cant l’opérateur L par le nombre 1. Ce résultat peut aisément être généralisé a` la division d’une constante par un polynôme θ retard, i.e. : Φ(θL) = Φ(1) = 1+φ1 +φθ2 +···+φn .

Séries temporelles (1)

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