Université Mohammed V- Rabat Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales-Agdal Filière : "Sciences Economiques et de Gestion" Semestre 2- Matière : Probabilité- Section E Responsable de la matière : Azeddine Daïf Chargé des TD : Youness El mesmoudi Année universitaire 2016/2017 Série n° 3 : Variable aléatoire Exercice 1 :
Une compagnie d’assurances admet pour l’année à venir et pour un certain type de contrat, que 60% des assurés n’auront pas de sinistre. Par ailleurs on suppose que le coût moyen de règlement des accidents est de 500 DH avec une probabilité de 0,25, de 1 500 DH avec une probabilité de 0,1, de 2 500 DH avec une probabilité de 0,05. Un assuré déclare au plus un sinistre de ce type dans l’année. 1. Pour espérer un bénéfice moyen de 50 DH par assuré, quel doit être le montant de la cotisation ? 2. Quelle est la probabilité pour que le coût de règlement total de deux assurés pris au hasard n’excède pas le montant encaissé de leurs cotisations (au tarif déterminé au 1) ? Exercice 2 :
La demande journalière X d’un bien fabriqué par une entreprise est une v.a. qui suit la loi suivante : ( X = 0) = 1/6 P (
( X = 1) = 1/6 P (
( X = 2) = 1/2 P (
( X = 3) = 1/6. P (
On suppose que le profit, fonction de la demande et du coût, vérifie la relation : X .X – C ) = p X !( p étant le prix unitaire du bien fixé à 600 , C étant le coût supposé indépendant de la demande et égal à 800 . Calculez l’espérance et l’écart-type du profit. Quelle est la signification de l’espérance du profit ? 2. Déterminez la fonction de répartition du profit et tracez son graphe. 1.
Exercice 3 :
Le fisc répartit les ménages en 5 classes de revenu. Les données de l’année fiscale 2016 lui apportent : Classe 1 : 19 000 ménages. Classe 2 : 45 000 ménages. Classe 3 : 28 000 ménages. Classe 4 : 9 000 ménages. Classe 5 : 2000 ménages. Notons X la variable aléatoire « classe d’appartenance ». 1. Trouver la fonction de répartition de X. 2. Calculer P (2 (2< X ! 4) et P ( ( X >4). 1/4
3. Calculer E(X) et Var(X). Exercice 4 :
Dans une banque, un système de guichet automatique a été mis en place et permet de faire des opérations bancaires courantes : extrait de compte, remise de chèque, retrait. Le nombre de clients utilisant le guichet automatique dans un intervalle de temps de 5 minutes est une v.a. X telle que : P(X = 0) = 0,3, P(X = 1) = 0,3 et P(X = 2) = 0,4 1. Calculez
E(X) et var(X).
2. On
suppose que les nombres de clients utilisant le guichet automatique sur deux périodes de 5 minutes ne se chevauchant pas sont indépendants. Soit Y la v.a. égale au nombre de clients utilisateurs sur une période d’une heure. La v.a. Y peut s’écrire : Y = #$ "%# !" où Xi désigne le nombre de clients utilisateurs au cours de i e intervalle de 5 minutes lorsqu’on découpe l’heure en 12 intervalles de 5 minutes ; chaque Xi suit la même loi que X. Quelles sont les valeurs possibles de Y ? Calculez E(Y), var(Y) et P(Y = 0). 3. Chaque
client ne peut effectuer plus de 2 opérations au guichet automatique. La banque a constaté que chaque client effectue : 3 fois sur 10 : 2 opérations 6 fois sur 10 : 1 opération 1 fois sur 10 : 0 opération (compte non approvisionné, par exemple) Soit Z, le nombre d’opérations effectuées dans un intervalle de temps de 5 minutes. 3.1. Donnez dans un tableau à double entrée l’ensemble des probabilités conditionnelles de Z sachant X. 3.2. Quelle
est la loi de Z ? Calculez E(Z) et var(Z).
Exercice 5 :
Un couple (X, Y) de variables aléatoires suit la loi jointe donnée dans le tableau suivant : X
Y
0 1 u, a et b étant des valeurs réelles.
u 1/4 1/5
0 a b
1 1/8 1/10
1. Pouvez-vous déterminer a et b de telle sorte que les variables aléatoires X et Y soient indépendantes en probabilité ? 2. Dans ces conditions, déterminez la loi marginale de X, et les lois conditionnelles de X pour les différentes valeurs de Y. 3. Si a = 1/5, existe-t-il une valeur de u telle que le coefficient de corrélation linéaire " (X, Y) soit nul ? Les variables aléatoires X et Y sont-elles alors indépendantes en probabilité ? Exercice 6 :
On dispose d'un jeu de 2n cartes, avec n & N*, qui contient deux rois rouges. Les cartes du jeu sont alignées sur une table de façon aléatoire. Le joueur retourne les cartes une par une jusqu’à obtenir un roi rouge. On définit l'événement () comme« le premier roi rouge obtenu est la k ème carte retournée». 2/4
1. Calculer Pr ( (# ), puis en fonction de n et de k définir la probabilité Pr ( () ) pour k * 2. 2. Le joueur donne un euro à chaque carte retournée et dès qu'il obtient un roi rouge, il obtient + euros et le jeu s'arrête. Son gain est représenté par la variable aléatoire X. Quelle est la valeur de X si le premier roi rouge est la k ème carte retournée ? 3. Démontrer que , k & {l, .. .,2n} : Pr (X = a - k) = 4. Vérifier que :
$)%# 23
$-./ -0$-.#1
4 5 6 7 8 59
Exercice 7 :
Soit X une variable aléatoire réelle. On suppose que sa fonction de répartition Fx (x) est donnée par : = >? ! @ = 9 >? = B ! @ 9 A :; < 5 C >? 9 B ! @ D A 9 >? 4 * D 1. Calculer la probabilité Pr (-1/2 < X < 1/2). 2. Calculer la probabilité Pr (- 1/2 < X < 3/2). 3. Calculer la probabilité Pr (X > 3). Exercice 8 :
Soient deux variables aléatoires X et Y : X prend les valeurs 0 et 1 avec les probabilités 1/2 et 1/2, Y prend les valeurs 0 et 2 avec les probabilités 1/3 et 2/3. On note : P(X = 0 et Y = 0) = p. 1. Calculez,
en fonction de p, les probabilités suivantes :
P(X = 0 et Y = 2) P(X = 1 et Y = 0) et P(X = 1 et Y = 2) Entre quelles limites peut varier p ? 2. Calculez,
en fonction de p, le coefficient de corrélation linéaire E (X, Y).
Exercice 9 :
! est une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité F définie sur [ G .# H G ] par )
F < 5 . ;
1) Déterminer la valeur du réel I. 2) Montrer que ( J09 B ! B G1 est un nombre rationnel. 3) Calculer J0KL#10! @ D1 Exercice 10 :
Soit M un réel et soit la fonction F définie sur [ 7 9H9 ] par F < 5 M09 7 < $ 1. 3/4
1) Déterminer M de sorte que F soit une densité de probabilité sur [ 7 9H9 ]. ! est une variable aléatoire qui suit la loi de densité de probabilité F .
2) Calculer l’espérance de !. Exercice 11 :
On étudie la durée X des communications téléphoniques dont la fonction de répartition est : < N
Sachant que k =
= 9 7 G .);
:
OP < @ = OP < * =
Q R
1) Quelle est la probabilité pour qu’une communication dure plus de 3 minutes ? 2) Quelle est la probabilité pour qu’une communication ait une durée entre 3 et 6 minutes ? 3) Si on ne connait pas k, quelle valeur faudrait-il lui donner pour que la probabilité d’une communication supérieure à 3 minutes soit égale à 0, 1 ? Exercice 12 :
Soit la variable aléatoire continue définie par la fonction de répartition suivante : F ( x ) = kx 2
si 0 # x # 4
1. Déterminer la valeur de k et la fonction de densité de probabilité de X. 2. Déterminer l’espérance mathématique et l’écart type de X. 3. Calculer la probabilité : p(1 # x # 3).
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