série-TZ

 Analyse et Filtrage des signaux signaux numériques

M1 ST/TRM (2016/2017) Série n°3

≠ 0

 N 1 ≤ n ≤  N 2

= 0

ailleurs

1.Une séquence finie x(n) est définie par : x(n) = 

1 0.5 0.25

Déterminer le ROC suivant les différentes valeurs de N. 2.  Dnner la transfrmée en ! de la fnctin numérique discr"te #$n% représentée par le &rap'ique ci-cntre. -1 -0.5

3. Calculer la transfrmée en !( )$!%( et esquisser la carte des p*les et !érs ainsi que la ROC pur c'acune des séquences suivantes :  x ( n) = (0.5) u ( n) + (0.25) u ( n) ( y (n) = (0.25) u ( n) + (0.5) u ( − n − 1) (  z ( n) = (0.5) u ( n) + (0.25 ) u ( − n − 1) n

n

n

n

n

n

4. Calculer la +ransfrmée en , du si&nal x$n%  ret! $n%( - en appliquant la définitin de la +, directement( - en utilisant le si&nal éc'eln et le t'ér"me du retard. 5. it " $#% la fnctin de transfert d/un + causal avec :  H ( z ) =

az − 1  z − a

avec a réel

Déterminer les valeurs de a pur lesquelles " $#% crrespnd  un s3st"me sta4le. rendre une valeur de a 0.5.  $ %6. Représenter alrs les p*les et !érs de la l a fnctin( la ré&in de cnver&ence. Dnner et tracer6 " $ $  %6. 6. it les + décrits par les équatins suivantes : - y(n) = 3 y(n −1) − 2 y(n − 2) + x(n) -  y(n) = 0.3 y(n −1) + 0.3 y(n + 1) − 0.3 x(n) ur c'aque cas( déterminer la fnctin de transfert du s3st"me. 7tudier la sta4ilité et la causalité et calculer la répnse impulsinnelle. impulsinnelle. 7. 7ta4lir les crrespndan c rrespndances ces entre les dia&rammes p*les !érs et les répnses en fréquence pur une fréquence d/éc'antillnna&e $e1 en 8ustifiant vs c'i# : 1

1

1

1

0.8

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.4

  e   r    i   a 0.2   n    i   g   a 0   m    I   e    i    t   r -0.2   a    P

  e   r    i   a 0.2   n    i   g   a   m 0    I   e    i    t   r -0.2   a    P

  e   r    i   a 0.2   n    i   g   a   m 0    I   e    i    t   r -0.2   a    P

  e   r    i   a 0.2   n    i   g   a 0   m    I   e    i    t   r -0.2   a    P

5 X 5

X

5

5

X

-0.4

-0.4

-0.4

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6

-0.8

-0.8

-0.8

-0.8

-1

-1 -1

-0.5

0

0. 5

-0.5

0

0.5

1

4

X

-0.5

0

0. 5

X

1

-1

-0.5

Partie Réelle

2

2

1.8

1.8

1.6

1.6

1.4

1.4

4

X

-1 -1

Partie Réelle

Partie Réelle 7

X

-0.4

-1 -1

1

X

0

0. 5

1

Partie Réelle

8

7

6

6

5

1.2

4

5

1.2

1

1

4

3 0.8

0.8

0.6

2

2

0.4

0.4

1 0.2 0 0

0. 05

0. 1

0. 15

0. 2

0. 25

0. 3

0. 35

0. 4

0. 45

0. 5

3

0.6

1

0.2

0 0

0. 05

0.1

0.1 5

0.2

0. 25

0. 3

0. 35

0. 4

0. 45

0. 5

0

0 0

FEI,USTHB [

0.05

0. 1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0. 4

0. 45

0.5

0

0. 05

0. 1

0 .15

0. 2

0. 25

0 .3

0. 35

0. 4

0 .4 5

50

0. 5

 Analyse et Filtrage des signaux signaux numériques

M1 ST/TRM (2016/2017)

8. On suppse que le tracé des p*les et des !érs de ce s3st"me est le suivant : - 7st-ce un filtre R9 u R  $;ustifier vtre répnse% - Dnner l/allure appr#imative de <$f% - Déterminer <$!% puis déterminer et tracer '$n% - = partir de '$n%( étudier la sta4ilité( la causalité et l/invariance de ce filtre. - Calculer et tracer <$f% pur au mins > valeurs - Ce filtre pss"de-t-il un retard de &rupe cnstant cnstant $8ustifier% - Déterminer sa répnse pur une entrée éc'eln éc 'eln #$n%U$n%. #$n%U$n%. 1

9. +ruver la séquence y$n% qui a cmme c mme transfrmée en # % Y ( z ) = 10. De quelle fnctin f nctin x(n)' la fnctin:  X ( z ) =

2 2 z 2 2

 z − 0.8 2 z + 0.64

1 2 6 − 5 z − +  z −

3 X

&

est la transfrmée en ,

11. +ruver '$n% crrespndant  la transfrmée en # suivante :  H ( z ) =

 z 2

−2

a  z

−2

− 2 z −1 + 1 − 2az −1 + 1

lutins 1. i N 1≥0 RDCC-?0@

i N2≤0 RDCC-?∞@

i N1≤0 ≤N2 RDCC-?0( ∞@

2. )$!%  1 A 0(5 ! -1 A 0(25 ! -2 - 1 !-> - 0(5 !-B  RDCC-?0@  z (2 z − 0.75)

3.  X ( z ) =

( z − 0.5)( z − 0.25)

4. $1-!-N%F$1-!-1%

 6!60.5

Y ( z ) =

− 0.25 z ( z − 0.5)( z − 0.25)

0.25 6!60.5

NEe#iste pas

5. *le !a( sta4le si 6a61. e mdule vaut tu8urs 1 $cellule passe-tut%.

6. <$!%!2F$!2->!A2% causal pur 6!62 6!62 mais insta4le insta4le avec #$n%$2nA1-1%U$n% <$!%0.>G5 $1F$>!-1%A1F$0.>>!-1%% $1F$>!-1%A1F$0.>>!-1%% causal pur 6!6> insta4le insta4le avec #$n%0.>G5$>n -0.>>n%U$n% 8. +us les p*les en 0 alrs R9( <$!%! ->A !-2A !-1A1( '$n% δ$n->%Aδ$n-2%Aδ$n-1%A1( <$f%2$cs$>πf+e%A cs$πf+e%%e->π 8f+e( Retard de &rupe cst( #$n%U$n% alrs 3$n% U$n->%AU$n-2%AU$n-1%AU$n% U$n->%AU$n-2%AU$n-1%AU$n%

9.  y (n) =

1  1 

n

1  1 

n

  U (n) −   U (n) 2  2  3  3  n

n−1

 π   ( n − 1) U (n) 4 

10.  x( n) = 0.8n cos 

11.  x(n) = (n + 1)a U (n + 1) − 2na U (n) + (n − 1)a

n− 2

U (n − 1)

Exercices supplémentaires 1.

Soit un système linéaire invariant dans le temps (SLID) dont la réponse impulsionnelle h(n) est telle que :

h(n)=1 pour 0 ≤ n ≤ 3 et 0 ailleurs Calculer la réponse  y(n) à la suite  x(n) définie par : - x(n)=anpour 0 ≤ n ≤ 5, avec a=0.7 et x(n)=0 ailleurs. - x(n)=cos(2πn/8) pour 0≤ n ≤ 7 et x(n)=0 ailleurs.

lutin 3$0%  1 3$1%  1Aa 1Aa  1.G 1.G 3$2%  1AaAa 1AaAa 2  2.1H 2.1H 3$>%  1AaAa 1AaAa 2Aa>  2.5>> 3$B%  aAa2Aa>AaB  1.GG>1 1.GG>1 3$5%  a2Aa>AaBAa5  1.2B11G 3$I%  a>AaBAa5  0.G511G 3$G%  a BAa5  0.B0J1G 3$J%  a 5  0.1IJ0G FEI,USTHB [

51

 Analyse et Filtrage des signaux signaux numériques

M1 ST/TRM (2016/2017)

y$0%  1 y$1%  1Acs$pFB%  1.G0G y$2%  1.G0G y$>%  1 y$B% -1 y$5%  -2.B1B y$I%  -2.B1B y$G%  -1 y$J%  0 y$H%  0.G0G y$10%  0.G0G

2. it y$n%  x$n% A ax$n-1%A y$n-1%( l/équatin au# différences d/un s3st"me discret causal. a% +ruve! $n%( la répnse impulsinnelle de ce s3st"me K pur quelles valeurs de a et  le s3st"me est- il sta4le 4% +ruve! la répnse impulsinnelle du s3st"me frmé par la mise en série de deu# s3st"mes $n%. c% LMme questin pur la mise en parall"le de deu# s3st"mes $n%. n

n-1

Répnses !a% '$n%  4 u$n% A a4 u$n-1%K n

sta4le pur a finie et 6461.

n-1

2 n-2

n

4% '$n%'$n%  $nA1%4 u$n% A $2na4  A $n-1%a 4 %u$n-1%

n-1

c% 2'$n%  24 u$n% A 2a4 u$n-1%

3. On cnsid"re un s3st"me linéaire ré&i par l/équatin au# différences suivante : y$n% $x$n*m%A x$n*m+1%A x$n*m+2%%F>  m est un param"tre entier. -Lntrer que ce s3st"me est linéaire invariant dans le temps. 7tudier la causalité et la sta4ilité seln les valeurs de m. -Calculer la fnctin de transfert " $#% de ce s3st"me pur m0 et m1. -7n déduire la répnse fréquentielle. Répnses e s3st"me est causal si m1 et tu8urs sta4le. ur m0(<$!%1F>$1A! -1A!-2%(

<$f% 0.>>$1A 2 cs$2 πf+e%e-2 8πf+e $filtre R9 passe-4as  p'ase p'ase linéaire%. ur m1( m1( de mMme filtre m3enneur m3enneur

4.

On suppse dnné le tracé des p*les et des !érs du s3st"me suivant : - 7st-ce un filtre R9 u R  $;ustifier vtre répnse% - Dnner l/allure appr#imative de <$f% - Déterminer <$!% puis déterminer l/équatin de récurrence - Déterminer et tracer '$n% - = partir de '$n%( étudier la sta4ilité( la causalité et l/invariance du filtre

X 2

X

5. Déterminer en utilisant la décmpsitin en éléments simples( la frme du si&nal x$n% dnt la +, est dnnée par :

 X ( z ) =

 z 2

 z 2

avec  z > 2  X ( z ) = 2 et  z 2 − 3 z + 2  z − (a + 1) z + a #$n% 1F$1-a%A anaF$a-1%$1-anA1%F$1-a% Répnses ! #$n%  $2nA1 -1%u$n% 6. On cnsid"re la transfrmée :  X ( z ) =

 z  z − z 0

+

 z  z − z

*

on pose  z 0 = e

( r + jθ  )

avec

a <1

( déterminer x(n).

0

rn

Répnse  x(n) = 2e cos(nθ )U (n)

7. 7n utilisant la mét'de des résidus puis celle de décmpsitins en éléments dans la +, est cnnue( déterminer  z − z 0 '$n% dnt la transfrmée est :  H ( z ) =  z 0 : réel , p 0 =  ρ e  jθ  * ( z −  p 0 )( z −  p 0 )

  ρ n−1    z0  z0   1 cos sin( ) sin cos( ) θ  θ  θ  θ  − n + n Répnse h(n) =     U (n − 1)  sin θ     ρ   ρ     2

 y ( n) =  x (n − 1) − z0 x (n − 2) + 2 ρ  cos θ  y ( n − 1) − ρ   y ( n − 2)

Certains e#ercices snt inspirés des références r éférences suivantes P1BQP15Q

FEI,USTHB [

52

 Analyse et Filtrage des signaux signaux numériques 8. On cnsid"re le s3st"me suivant : x(n)

M1 ST/TRM (2016/2017)

y(n)

0.35

(n)

0.3

1/3

On suppse que '$n% est dnné cmme ci-cntre.

0.25

- Calculer et tracer sn aut crrélatin et en déduire sn éner&ie

0.2

0.15

- +racer sn aut crrélatin crr élatin si lEn suppse quEil est péridique de péride H.

0.1

- 7tudier la causalité

0.05

- 7st ce un filtre R9 u R

0

-= partir de lEe#pressin de '$n%( déduire le r*le de ce filtre :

1

2

3

4

5

6

7

8

9

- Déterminer lEéquatin au# récurrences du s3st"me : - Déterminer les p*les et !érs de ce filtre puis dnner leur tracé. tracé. 7n déduire un tracé appr#imative appr#imative de |<$f%| - Calculer et tracer tracer |<$f%| puis en déduire le tracé du mdule de la +9D pur NI.

9. On cnsid"re que lEéquatin au# récurrences du s3st"me suivant est dnnée cmme suit :

3$n%0.H 3$n-1% - 0.J1 3$n-2% A #$n% A 2 #$n-1% A #$n-2% - 7tudier la causalité et lEinvariance de ce s3st"me - 7st ce un filtre R9 u R  - Déterminer <$!% et dnner dnner le tracé des p*les p*les et !érs( !érs( en déduire le r*le de ce filtre : - Dnner les allures allures appr#imatives de '$n% et 6<$f%6 6<$f%6 - Déterminer '$n% et tracer la pur les > premi"res valeurs - On suppse que fe I 000δ$n-2%ABδ$n->% et '$n%Hδ$n%AGδ$n-1%ABδ$n-2%Aδ$n->% - Ce s3st"me est-il invariant  ;ustifier. - 7tudier la sta4ilité et la causalité de #$n%( '$n% et 3$n%. - es si&nau# #$n%( '$n% et 3$n% snt-ils  éner&ie finie $u infinie%  ;ustifier - Déterminer 3$n% directement et tracer le. - Déterminer 3$n% en passant par la +, de #$n% et '$n% - On cnsid"re que #$n% et '$n% snt péridiques de péride B( déterminer 3$n% de 2 faTns. f aTns. - uelle est lien entre la cnvlutin et l/autcrrélatin  1

11. On suppse que le tracé des p*les et des !érs dEun s3st"me est le suivant : - Dnner les allures appr#imatives de '$n% et 6<$f%6 puis en déduire le r*le du filtre - Déterminer <$!% $On suppsera un &ain de 1 en ! -1% - Déterminer les cefficients du filtre - On suppse que fe > 00
0.8 0.6

0.9

0.4

   t   r   a 0.2    P   y   r   a 0   n    i   g   a   m-0.2    I

FEI,USTHB [

60° 2

-0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0. 5

0

0.5

1

Real Part

53

10 10