Selectividad de Matemáticas (564 páginas de problemas resueltos)

IES Mediterráneo de Málaga

Solución Septiembre 2008

Juan Carlos Alonso Gianonatti

ÁLGEBRA OPCIÓN A

⎛a

b⎞ ⎟ de orden 2 tal que A-1XA = B siendo d ⎟⎠ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝2 1 ⎠

Hallar una matriz: X = ⎜⎜ ⎝c

1⎞ ⎛ 3 ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ − 2 − 1⎠

y

AA −1 XA = AB ⇒ IXA = AB ⇒ XA = AB ⇒ XAA −1 = ABA −1 ⇒ XI = ABA −1 ⇒ X = ABA −1 3 1 ⎛3 − 2⎞ 1 ⎟⎟ ⇒ = −3 + 2 = −1 ≠ 0 ⇒ ∃A −1 ⇒ A −1 = ⋅ adj A t ⇒ A t = ⎜⎜ − 2 −1 A ⎝1 −1 ⎠ 1 ⎞ ⎛ − 1 − 1⎞ 1 ⎛ − 1 − 1⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ ⇒ A −1 = ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⇒ ⋅ ⎜⎜ adj A t = ⎜⎜ (− 1) ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ − 2 − 3 ⎟⎠ ⎝2 3⎠ A=

( )

( )

1 ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 5 − 2⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 9 11 ⎞ ⎛ 3 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ X = ABA −1 = ⎜⎜ − − − − − − − − − 2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 6 7 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1




OPCIÓN B

1

1

a) Probar que a

b b2

a

1 1 0 b−a 0 b2 − a2

2

1 b b2

c = (b − a ) (c − a ) (c − b ) c2

1 b−a c − a = 1⋅ 2 b − a2 2 2 c −a

= (b − a ) (c − a ) ⋅ 1 a a2

1

c−a b−a = 2 2 (b − a )(b + a ) ⋅ c −a

c−a = (c − a )(c + a )

1 1 = (b − a ) (c − a )[c + a − (b + a )] = (b − a ) (c − a )(c + a − b − a ) ⇒ b+a c+a

1 c = (b − a ) (c − a ) (c − b ) ⇒ Pr obado c2

⎧ x + 2 y + 3z = 0 que, además, satisface que la suma de ⎩x + 4 y + 9z = 2

b) Hallar la solución del sistema: ⎨

valores correspondientes a cada una de las incógnitas es 4

⎧− 2 x − 4 y − 6 z = 0 ⇒ − x + 3 z = 2 ⇒ x = −2 + 3 z ⇒ (− 2 + 3 z ) + 2 y + 3 z = 0 ⇒ −2 + 3z + 2 y + 3z = 0 ⎨ ⎩ x + 4 y + 9z = 2 2 y = 2 − 6 z ⇒ y = 1 − 3z ⇒ Solución general (− 2 + 3λ , 1 − 3λ , λ ) − 2 + 3λ + 1 − 3λ + λ = 4 ⇒ λ = 5 ⇒ (− 2 + 3.5 , 1 − 3.5 , 5)

Solución pedida

2




GEOMETRÍA OPCIÓN A Se considera la recta r y los planos

π1 y π 2

siguientes:

⎧ x = 2 − 3λ π 1 ≡ 2 − 3x + 2 y − z = 0 ⎪ r ≡ ⎨ y = 1 + 2λ ⎪ z = 4 − λ π 2 ≡ 3 + 2x + 2 y − 2z = 0 ⎩ a) Determinar la posición relativa de los planos. b) Calcular la distancia de r a π 2 . a) Los planos pueden ser paralelos, en este caso los vectores directores son proporcionales y si tienen un punto común seria el mismo plano, o secantes

−3 2 ≠ ⇒ Son sec antes 2 2 b) En este caso la recta tiene que ser paralela al plano siendo los vectores directores, de ambos, perpendiculares y su producto vectorial es nulo, de no serlo la distancia será nula porque la recta cortará al plano o siéndolo si la distancia es nula es que la recta está contenida en el plano.

⎧⎪ v r = (− 3 , 2 , − 1) ⇒ v r ⋅ vπ 2 = (− 3 , 2 , − 1) ⋅ (1 , 1 , − 1) = (− 3) ⋅ 1 + 2.1 + (− 1) ⋅ (− 1) ⎨ ⎪⎩vπ 2 = (2 , 2 , − 2) ≡ (1 , 1 , − 1) v r ⋅ vπ 2 = −3 + 2 + 1 = 0 ⇒ v r ⊥ vπ 2 Al ser perpendiculares, los vectores directores de recta y plano, estos son paralelos La distancia será la de un punto, cualquiera, de la recta al plano. Se toma el punto R indicado en la ecuación de la recta

d r π 2 = d Rπ 2 =

3 + 2 .2 + 2 .1 − 2 .4 22 + 22 + 22

=

3+ 4+ 2−8 4+4+4

=

1 12

=

1 2 3

=

3 6

3




OPCIÓN B

α y β para los cuales el vector de componentes (α , β , 0 ) tiene ⎧x = 2 − λ ⎪ 2 y es perpendicular a la recta r ≡ ⎨ y = 1 − λ

a) Obtener los valores

módulo

⎪ z = −1 ⎩

b) Estudiar si los vectores a = (3 , 1 , 2 ) , b = (0 , 1 , 1) , c = (0 , 1 , − 1) son linealmente independientes. c) Calcular el ángulo que forman dos rectas cuyos vectores direccionales son

b y c respectivamente. a)Al ser perpendiculares el producto escalar del vector pedido y el director de la recta r es nulo

⎧(α , β , 0)(− 1 , − 1 , − 1) = 0 ⇒ −α − β − 0 = 0 ⇒ −α − β = 0 ⇒ α = − β 2 ⇒ (− β ) + β 2 = 2 ⇒ ⎨ 2 2 2 2 2 ( ) ( ) − + − + 0 = 2 ⇒ + = 2 α β α β ⎩ ⎧β = 1 ⇒ α = −1 2β 2 = 2 ⇒ β 2 = 1 ⇒ β = ± 1 ⇒ ⎨ ⎩β = −1 ⇒ α = 1 ⎧⎪ v = (1 , − 1 , 0) Soluciones ⎨ 1 ⇒ Que es el mismo vector ⎪⎩v 2 = (− 1 , 1 , 0)

b) Si son linealmente dependientes serán coplanarios, el determinarte que forman es nulo, en caso contrario son independientes

3 1 2 0 1 1 = −3 − 3 = −6 ≠ 0 ⇒ Son linealmente independientes 0 1 −1 c)

( )

cos b, c =

b.c b⋅c

=

(0 , 1 , 1) ⋅ (0 , 1 , − 1) 0 2 + 12 + 12 ⋅ 0 2 + 12 + (− 1)

2

=

0 +1−1 2⋅ 2

=

0 =0⇒ 2

(b, c) = arc cos 0 = 90º = π2 ⇒ Son perpendiculares

4




ANÁLISIS OPCIÓN A

(2 x − 1)2

f (x ) =

1.-Sea

4x 2 + 1

a) Calcular el máximo y mínimo absoluto de f ( x )

b) Estudiar si f ( x ) es una función simétrica respeto al eje OY x

c) Calcular

∫ f (x ) dx 0

a) f ' (x ) =

2.(2 x − 1).2.(4 x 2 + 1) − 8 x(2 x − 1)

(4 x

f ' ( x ) = 4 ⋅ (2 x − 1) ⋅

4 ⋅ (2 x − 1) ⋅

2

+ 1)

2

4x 2 + 1 − 4x 2 + 2x

(4 x

2x + 1

(4 x

2

+ 1)

2

2

2

+ 1)

2

= 4 ⋅ (2 x − 1) ⋅

= 4 ⋅ (2 x − 1) ⋅

4 x 2 + 1 − 2 x(2 x − 1)

(4 x

2x + 1

(4 x

2

+ 1)

2

2

+ 1)

2

⇒ Crecimiemto ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒

4 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎧ 1 ⎪ ⎪⎪ 2 x − 1 > 0 ⇒ 2 x > 1 ⇒ x > 2 >0⇒⎨ 1 ⎪ 2 x + 1 > 0 ⇒ 2 x > −1 ⇒ x > − 2 ⎪ 2 2 ⎪⎩ (4 x + 1) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

− ∞ −

4

1 2 1 x>− 2 x>

(4 x

2

+ 1) > 0 2

Resultado operación

1 1 2 2

∞

( + ) ( ‐ )

( + ) ( ‐ )

( + ) ( + )

( ‐ )

( + )

( + )

( + )

( + )

( + )

( + )

( ‐ ) f’(x)<0

f’(x)>0

f’(x)>0

( + )

Crecimiento

1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ∀x ∈ ℜ / ⎜ x < − ⎟ ∪ ⎜ x > ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

Decrecimiento

∀x ∈ ℜ / −

1 1
2

⎡ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎢2⎜ − ⎟ − 1⎥ (− 2)2 = 2 (la gráfica, de la 1 ⎛ 1⎞ ⎣ ⎝ 2⎠ ⎦ Máximo relativo en x = − ⇒ f ⎜ − ⎟ = = 2 2 2 ⎝ 2⎠ ⎛ 1⎞ 4⎜ − ⎟ + 1 ⎝ 2⎠ función, pasa de crecimiento a decrecimiento)

5




OPCIÓN A(Continuación) Continuación del Problema 1 de Análisis Opción A

1 ⎛1⎞ Mínimo relativo en x = ⇒ f ⎜ ⎟ = 2 ⎝2⎠

⎡ ⎛1⎞ ⎤ ⎢2⎜ 2 ⎟ − 1⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦

2

2

⎛1⎞ 4⎜ ⎟ + 1 ⎝2⎠

2 ( 0) =

2

= 0 (la gráfica, de la función,

pasa de decrecimiento a crecimiento)

4 x 2 + 1 = 0 ⇒ 4 x 2 = −1 ⇒ x 2 = −

1 1 ⇒ x = ± − ⇒ ∀ ∉ ℜ ⇒ No existen asíntotas 4 4

verticales No habiendo asíntotas verticales, hay que estudiar la función en los extremos de los intervalos de su dominio, en este caso infinito positivo y negativo. Si no hay asíntotas horizontales entonces la grafica terminara en el infinito positivo, si las hay estudiaremos si su valor como función es mayor o menor(en es caso seria este el valor pedido) que el de la función en los máximos y mínimos hallados, en caso contrario estos son los valores absolutos buscados

4x 2 4x 1 4 1 − 2 + 2 4− + 2 2 2 ( 2 x − 1) 4x 2 − 4x + 1 ∞ x x = 4−0+0 =1 x = lim = lim y = lim = = lim x 2 x 2 2 x →∞ 4 x + 1 x →∞ x →∞ 1 ∞ x →∞ 4 x 4+0 4x + 1 1 4 + + 2 2 2 x x x Cuando f(x) tiende a infinito la función tiende a 1 (asíntota horizontal)

4x 2 4x 1 4 1 + 2 + 2 4+ + 2 2 4x 2 − 4x + 1 4x 2 + 4x + 1 ∞ x x = 4+0+0 =1 x = lim = lim = = lim x 2 x y = lim 2 2 x → −∞ x → ∞ x → ∞ x → ∞ 1 ∞ 4+0 4x + 1 4x + 1 4x 1 4+ 2 + 2 2 x x x Cuando f(x) tiende a menos infinito la función tiende a 1 (asíntota horizontal)

⎛ 1⎞ f ⎜ − ⎟ = 2 el mínimo y el máximo relativo hallado son mínimo y ⎝ 2⎠ 1 1 máximo absoluto de la función o sea en x = hay un MÍNIMO ABSOLUTO y en x = − 2 2

Como

⎛1⎞ f ⎜ ⎟ = 0 <1< ⎝2⎠

hay un MÁXIMO ABSOLUTO b) Para ser simétrica respecto a OY se tiene que cumplir que f(x) = f(-x)

f (− x ) =

4(− x ) − 4(− x ) + 1 2

4(− x ) + 1 2

4 x 2 + 4 x + 1 4 x 2 − 4 x + 1 (2 x − 1) ≠ = = f ( x ) ⇒ No es simétrica 4x 2 + 1 4x 2 + 1 4x 2 + 1 2

=

c) x 4x 2 − 4x + 1 4x 2 + 1 dx = ∫0 4 x 2 + 1 ∫0 4 x 2 + 1 dx − 4∫0 4 x 2 + 1 dx = ∫0 dx − 4 x

x

x

x

4 x 2 +1

∫ 1

1 dt 1 x ⋅ = [x ]0 − ⋅ t 8 2

4 x 2 +1

∫ 1

dt 1 4 x 2 +1 = ( x − 0 ) − ⋅ [ln t ]1 = t 2

⎧ x = 0 ⇒ t =1 dt ⇒⎨ 2 8 ⎩x = x ⇒ 4x + 1 = t ln 4 x 2 + 1 1 1 = x − ⋅ ln 4 x 2 + 1 − ln 1 = x − ⋅ ln 4 x 2 + 1 − 0 = x − 2 2 2 4 x 2 + 1 = t ⇒ 8 x dx = dt ⇒ x dx =

[ (

)

]

[ (

) ]

(

)

6




OPCIÓN A(Continuación) x2

2.-a) Razonar si para F ( x ) =

∫t

2

dt

0

se satisface

x4

lim F ( x ) = lim F ' ( x ) x →0

x →0

4 x 2 + 1 − 4 x 2 − 3x + 2

b) Calcular lim

x →∞

a) x2

∫t

2

0

dt =

[ ]

1 3 ⋅t 3

x

0

2

=

[(

1 ⋅ x2 3

)

3

1 6 1 2 ⎧ ⋅x ( ) = ⋅x F x ⎪ 1 2 1 6 3 3 3 − 0 = ⋅ x ⇒ F (x ) = = ⋅x ⇒⎨ ⇒ 2 3 3 x4 ⎪ F ' (x ) = ⋅ x 3 ⎩

]

⎧ 1 2 02 ( ) = ⋅x = =0 F x lim lim ⎪⎪ x →0 x →0 3 3 ⇒ ⎨ 2 2 . 0 0 ⎪lim F ' ( x ) = lim ⋅ x = = =0 ⎪⎩ x →0 x →0 3 3 3

b) lim 4 x 2 + 1 − 4 x 2 − 3x + 2 = ∞ − ∞ = lim x →∞

( 4x

2

+ 1 − 4 x 2 − 3x + 2

)( 4x

2

+ 1 + 4 x 2 − 3x + 2

x →∞

)=

4 x 2 + 1 + 4 x 2 − 3x + 2 4 x 2 + 1 − (4 x 2 − 3 x + 2) 4 x 2 + 1 − 4 x 2 + 3x − 2 3x − 1 ∞ = lim = lim = lim = = x →∞ 4 x 2 + 1 + 4 x 2 − 3 x + 2 x →∞ 4 x 2 + 1 + 4 x 2 − 3 x + 2 x →∞ 4 x 2 + 1 + 4 x 2 − 3 x + 2 ∞ 3x 1 1 3− − 3−0 3 3 x x x = lim = lim = = = x →∞ x →∞ 1 3 2 4+0 + 4−0+0 2 4 4 4x 2 1 4 x 2 3x 2 4 4 + + − + + + − + x x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2

7




OPCIÓN B 1.- Sea

f (x ) =

2x x +1

a) Estudiar su dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas

{ [ f (x + 1) − f (x )]}

b) Calcular lim x x →∞

2

a) x + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ f (− 1) = Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ − {− 1} f ' (x ) = 2 ⋅

x +1− x

(x + 1)2

=

2

(x + 1)2

2.(− 1) 2 = − ⇒ Asíntota vertical (estudiada más tarde ) (− 1) + 1 0

⇒ Crecimiento ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒

2

(x + 1)2

⎧ 2 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ >0⇒⎨ ⇒ 2 ⎩(x + 1) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

Crecimiento ⇒ ∀x ∈ ℜ Asíntotas verticales 2 ⎧ f (x ) = − − = ∞ − ⎪ xlim → −1 0 En x = −1 ⇒ ⎨ 2 ⎪ lim+ f (x ) = − + = −∞ 0 ⎩x →−1 Asíntotas horizontales 2x ∞ 2 2 2x = = lim x = lim = =2 y = lim x →∞ x + 1 x → ∞ x → ∞ 1 1+ 0 x 1 ∞ + 1+ x x x Asíntota horizontal y = 2 ⇒ x → ∞ 2x − 2x 2.(− x ) 2.x ∞ x = lim − 2 = − 2 = − 2 = 2 = lim = lim − = − = lim y = lim x → −∞ x + 1 x →∞ (− x ) + 1 x →∞ 1 − x ∞ x → ∞ 1 x x →∞ 1 0 −1 −1 − −1 x x x Asíntota horizontal y = 2 ⇒ x → −∞ Asíntotas oblicuas 2x 2x 2x ∞ 2 2 2 f (x ) x = lim x + 1 = lim = = lim = lim = lim = =0 m = lim x →∞ x → ∞ x → ∞ x → ∞ x → ∞ x → ∞ x 1.( x + 1) x x x( x + 1) ∞ x +1 ∞ (x + 1) x ( ) 2−x 2x f (x ) (− x ) + 1 = lim − 2 x = ∞ = lim x = lim 2 = lim 2 = 2 = 0 = lim m = lim x → −∞ x → ∞ (− x ) x→∞ − x(1 − x ) ∞ x→∞ x (1 − x ) x→∞ 1.(1 − x ) x→∞ 1 − x − ∞ x x No existen asíntotas oblícuas

8




OPCIÓN B(Continuación) Continuación del Problema 1 de Análisis

b) ⎧ ⎡ 2( x + 1) ⎧ 2 ⎡ 2( x + 1) 2 x ⎤ ⎫ 2x ⎤⎫ − − lim x 2 [ f (x + 1) − f (x )] = lim ⎨ x 2 ⎢ ⎬ = lim ⎨x ⎢ ⎬= ⎥ x →∞ x →∞ x → ∞ x + 1⎥⎦ ⎭ ⎩ ⎣ x+2 ⎩ ⎣ (x + 1) + 1 x + 1⎦ ⎭ ⎧⎪ 2 ⎡ 2 (x + 1)2 − 2 x( x + 2) ⎤ ⎫⎪ ⎛ x 2 + 2x + 1 − x 2 − 2x ⎞ 1 ⎛ ⎞ ⎟⎟ = lim⎜ 2 x 2 ⋅ 2 = lim⎨ x ⎢ = lim⎜⎜ 2 x 2 ⋅ ⎟= ⎬ ⎥ 2 x →∞ (x + 1)(x + 2) ⎦ ⎪⎭ x→∞⎝ x + 3x + 2 x + 3x + 2 ⎠ ⎪⎩ ⎣ ⎠ x →∞⎝

{

}

2x 2 2 2 2x 2 2 ∞ = lim 2 = = lim 2 x = lim = =2 x →∞ x + 3 x + 2 x →∞ 3 2 1+ 0 + 0 ∞ x →∞ x 3x 2 1+ + 2 + + x x x2 x2 x2 2.- Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista, en el tema, señala que, dada la estructura de la empresa, solo puede optar por alarmas de dos tipos, A o B; además afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarma de tipo A y el cuadrado del número de alarmas de tipo B. Estudiar cuantas alarmas de cada tipo debe de instalar en la empresa para maximizar la seguridad. .

A+ B = 9⇒ A = 9− B ⎧⎪ 1 3 dS 1 = ⋅ 18B − 3B 2 = ⋅ B ⋅ (6 − B ) ⇒ 2 ⎨S = ⋅ A ⋅ B = 1 ⋅ (9 − B ) ⋅ B 2 = 1 ⋅ 9 B 2 − B 3 ⇒ S ' = 10 dB 10 ⎪⎩ 10 10 10 B=0 ⎧ S ' = 0 ⇒ B ⋅ (6 − B ) = 0 ⇒ ⎨ ⎩6 − B = 0 ⇒ B = 6

(

)

(

)

3 9 ⎧ ⎪ S ' ' (0) = 5 ⋅ (3 − 0) = 5 > 0 ⇒ Mínimo 1 6 3 d 2S S''= = ⋅ (18 − 6 B ) = ⋅ (3 − B ) = ⋅ (3 − B ) ⇒ ⎨ 3 9 10 5 dB 2 10 ⎪S ' ' (6) = ⋅ (3 − 6) = − < 0 ⇒ Máximo 5 5 ⎩ A=9–6=3 Para que la seguridad sea máxima habrá que instalar 3 alarmas de tipo A y 6 de tipo B

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ANDALUCÍA / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO

OPCIÓN A

Ejercicio 1 a) Dibuja el recinto limitado por las curvas y = e x+ 2 , y = e − x y x = 0. (1 punto) b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior. (1,5 puntos)

Ejercicio 2 Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos viene dada por: h (t ) = 5 − 5t − 5e −2 t a) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima y el valor de esta. (1,5 puntos) b) Teniendo en cuenta que la velocidad es v (t ) = h´(t ) , halla la velocidad al cabo de 2 segundos. (1 punto)

Ejercicio 3 Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (1, 6) y B = (5, 2), y tiene su centro sobre la recta y = 2x. (2,5 puntos)

Ejercicio 4 1 2  Dada la matriz A =   , calcula (AtA–1)2A. 3 4 

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(2,5 puntos)


SOLUCIONES: OPCIÓN A Ejercicio 1. a) El recinto pedido es el sombreado en la siguiente figura.

b) Corte de las curvas: e x+ 2 = e − x ⇒ x = –1 El área viene dada por: A=

∫

−1 x+2

e

−∞

∫

0

dx + e − x dx −1

La primera integral es impropia:

∫

−1 x+2

e

−∞

dx = lím

∫

−1 x +2

c →−∞ c

e

(

dx = lím e x+ 2 c→−∞

La segunda integral vale:

∫

(

0

e − x dx = − e − x

−1

)

0 −1

= −1 + e

Por tanto: A = 2e – 1


)

−1 c

= lím ( e − e c+ 2 ) = e c →−∞


Ejercicio 2. a) h (t ) = 5 − 5t − 5e −2 t ⇒ h´(t ) = −5 + 10e −2 t ⇒ h´´(t ) = −20e −2t 1 1 ln 2 h´(t ) = −5 + 10e −2 t = 0 ⇒ t = − ln = ≈ 0,3466 2 2 2 Como h ´´(0,3466) < 0, para ese valor se da el máximo. La altura máxima es h(0,3466) = 0,767 m. (NOTA: resultan valores muy pequeños) b) v (t ) = h´(t ) = −5 + 10e −2t ⇒ v (2) = −5 + 10e −4 = –4,81 m/s (?) NOTA: Este resultado no es posible. Algún dato del problema es incorrecto. (¿Quizá nuestra transcripción?)

Ejercicio 3. Si P = (x, 2x) es el centro de la circunferencia se cumple que: d(P, A) = d(P; B) ⇒

(1 − x ) 2 + ( 6 − 2 x) 2 = (5 − x) 2 + ( 2 − 2 x ) 2 ⇒

⇒ 8 = 8x ⇒ x = 1 La ordenada del centro es y = 2x = 2. El radio = d(P, A) = 4. La ecuación de la circunferencia es: ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 4 2

Ejercicio 4. A = −2 .  4 − 3 La matriz de los adjuntos es: Aij =   − 2 1  Luego:

( )



• A−1 =

1  −1 4 − 2   − 2   =   2  − 3 1   3 / 2 − 1 / 2 

1   5 / 2 −1/ 2  1 3  − 2 • At A −1 =    =   0   2 4  3 / 2 − 1 / 2   2

•

(A A )

•

( A A ) A =  215/ 4

t

t

−1 2

 5 / 2 − 1 / 2  5 / 2 − 1 / 2   21 / 4 − 5 / 4  =   =  0  2 0   5 − 1   2

−1 2



− 5 / 4  1 2   6 / 4 11 / 2   =  − 1  3 4   2 6 



OPCIÓN A

Ejercicio 1 Sea f: R → R la función dada por f ( x ) = 8 − x 2 . a) [1 punto] Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de f (dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores). b) [1,5 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa x = − 2.

Ejercicio 2 Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la función f: (0, + ∞ ) → R, definida por f ( x ) = xLn( x ) . Calcula: a) [1,5 puntos]

∫ f (x)dx .

b) [1 punto] Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1, 0).

Ejercicio 3 Sea senx − cos x 0    senx 0  cos x  senx + cos x senx − cos x 1    ¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A? Calcula dicha matriz inversa.

Ejercicio 4 Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 0, − 1), es perpendicular al x − 2 y = 0 plano x − y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta   z=0



Solución

Ejercicio 1

 x 2 − 8, x<− 8  2 2 a) f ( x ) = 8 − x = 8 − x , − 8 < x < 8  x 2 − 8, x> 8  Su gráfica es la adjunta.

Tiene dos mínimos: (− 8 , 0) y ( 8 , 0) Tiene un máximo relativo: (0, 8) b) Tangente a f(x) en x = −2: y − f(−2) = f ´(−2)(x + 2) f(−2) = 4

f ´(x) = −2x ⇒ f ´(−2) = 4

La tangente es: y − 4 = 4(x + 2) ⇒ y = 4x + 12 Corte con f ( x ) = x 2 − 8 : x 2 − 8 = 4 x + 12 ⇒ x 2 − 4 x + 20 = 0 ⇒ x = 2 ± 2 6 www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM


Se tendrán los puntos: ( 2 − 2 6 , 20 − 8 6 ) y ( 2 + 2 6 , 20 + 8 6 ) . Además, otro punto de corte es el de tangencia: (−2, 4). (Véase la figura anterior.) Ejercicio 2

a)

∫ f (x)dx = ∫ x ln xdx .

La haremos por partes: u = x lnx ⇒ du = (lnx +1)dx dv = dx ⇒ v = x Luego,

∫

∫

∫

x ln xdx = x 2 ln x − ( x ln x + x ) dx ⇒ 2 x ln xdx = x 2 ln x −

De donde,

∫

x2 +c 2

1 2 x2 x ln xdx = x ln x − +k 2 4

b) Para que esa primitiva pase por (1, 0): −

1 1 +k = 0 ⇒ k = 4 4

Ejercicio 3

Si A es la matriz dada, A = sen 2 x + cos 2 x = 1 . Tiene inversa para cualquier valor de x.  senx − cos x − 1   La matriz de los adjuntos es: Aij =  cos x senx − 1 .  0 0 1  

( )

Luego,



A−1 =

( Aij ) t A

 senx cos x 0    =  − cos x senx 0   −1 − 1 1  

Ejercicio 4

 x = 2t  Las ecuaciones paramétricas de la recta dada son: r :  y = t z=0  El plano pedido está determinado por el punto A = (1, 0, −1) y por los vectores r r vπ = (1, −1, 2) y v r = (2, 1, 0). Su ecuación será: x −1

1

2

y − 1 1 = 0 ⇒ −2x + 4y + 3z + 5 = 0. z+1 2 0



ACLARACIONES PREVIAS a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios d la opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas. d) Contesta e forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

OPCIÓN A Ejercicio 1 2x

Considera la función f: R → R definida por f ( x ) = e x +1 a) [1 punto] Calcula las asíntotas de la gráfica de f . b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor máximo que alcanzan). 2

Ejercicio 2 [2,5 puntos] Determina un polinomio P(x) de segundo grado sabiendo que: 2 1 P(0) = P(2) = 1 y P( x) dx = . 0 3

∫

Ejercicio 3 [2,5 puntos] Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: 6   − 4 − 12  2 det (A) = − 7 y A  =   3   − 1 − 3  1

Ejercicio 4 [2,5 puntos] Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección x del plano π ≡ x + y − z + 6 = 0 con la recta s ≡ = y − 2 = z + 1 y es paralelo a la 3  3x + y − 4 = 0 recta r ≡  4 x − 3 y + z − 1 = 0



OPCIÓN B Ejercicio 1

9x − 3 para x ≠ 0 y x ≠ 2. x 2 − 2x a) [1 punto] Calcula las asíntotas de la gráfica de f . b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Sea f la función definida por f ( x ) =

Ejercicio 2 [2,5 puntos] Sea f: R → R la función definida por f ( x ) = xe− x . Esboza el recinto limitado por la curva y = f (x ) , los ejes coordenados y la recta x = − 1. Calcula su área.

Ejercicio 3 [2,5 puntos] Determina la matriz X que verifica la ecuación AX = X − B siendo 1  0 0 1 1 0     A =  0 0 0  y B = 0 1 1  −1 0 0   0 − 1 − 1    

Ejercicio 4 [2,5 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices: A(1, 1, 2), B(1, 0, − 1) y C(1, − 3, 2)

Soluciones a la Opción A Ejercicio 1 a) La función está definida en todo R. En consecuencia, f no tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: 2x

lím e

x →+∞

2

x +1

2x

= e = 1; 0

lím e

x →−∞

2

x +1

= e0 = 1



La recta y = 1 es una asíntota horizontal.

b) Hacemos la derivada: 2 − 2 x 2 x 2 +1 f ´( x ) = 2 e ⇒ f ´(x) = 0 si x = −1 o x = 1 ( x + 1) 2 2x

• si x < −1, f ´(x) < 0 ⇒ f es decreciente • si −1 < x < 1, f ´(x) > 0 ⇒ f es creciente → en x = −1 hay un mínimo. • si x > 1, f ´(x) < 0 ⇒ f es decreciente → en x = 1 hay un máximo. Para x = −1. f (−1) = e −1 → Mínimo: (−1, e−1). Para x = 1. f (1) = e 1 → Máximo: (1, e)

Ejercicio 2 Sea

P( x) = ax 2 + bx + c

Por P(0) = 1 ⇒ 1 =

c

Por P(2) = 1 ⇒ 1 = 4a + 2b + c → c = 1; b = −2a P( x) = ax 2 − 2 ax + 1

Luego: Como

∫

2

1 P( x) dx = ⇒ 0 3 ⇒

Por tanto, P( x) =

2

1 a  ( ax − 2ax + 1) dx =  x 3 − ax 2 + x  = 0 3 0 3

∫

2

2

8a 1 5 5 − 4a + 2 = ⇒ a= → b=− 3 3 4 2

5 2 5 x − x +1 4 2

Ejercicio 3  a b Sea A la matriz simétrica: A =   . Con esto: b c www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM


a b = ac − b 2 = −7 b c 6   − 4 − 12   a b  2  2a − b 6 a − 3b   − 4 − 12     =   ⇒   =   3  3   b c  − 1 − 3   1  2b − c 6b − 3c   1 Se tiene:  2a − b = −4 a = − 2 + b / 2   2  2b − c = 1 →  c = 2b − 1 → ( −2 + b / 2)( 2b − 1) − b = −7 ac − b 2 = −7  ac − b 2 = −7   De donde: b = 2; a = −1, c = 3. La matriz pedida es:  −1 2 A =    2 3

Ejercicio 4  x = 3t  Las ecuaciones paramétricas de la recta s son: s ≡  y = 2 + t  z = −1 + t  Sustituyendo en la ecuación del plano: π ≡ 3t + (2 + t) − (−1 + t) + 6 = 0 ⇒ 3t + 9 = 0 ⇒ t = −3 La recta y el plano se cortan en P = (−9, −1, −4). Hallamos las ecuaciones paramétricas de r:  x =t  3x + y − 4 = 0  r ≡ → r ≡  y = 4 − 3t 4 x − 3 y + z − 1 = 0 z = 13 − 13t  r La recta pedida es la que pasa por P con vector de dirección v r = (1, −3, −13). Sus ecuaciones son:



 x = −9 + t   y = −1 − 3t  z = −4 − 13t 



ACLARACIONES PREVIAS a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios d la opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. OPCIÓN A Ejercicio 1 [2,5 puntos] Sea ln( 1 − x 2 ) el logaritmo neperiano de 1 − x 2 y sea f: (−1, 1) → R la función definida por f ( x ) = ln( 1 − x 2 ) . Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, 1). Ejercicio 2 [2,5 puntos] Se sabe que la función f: R → R definida por f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = −1. Conociendo además que

∫ f (x )dx = 6 , 1

0

halla a, b y c. Ejercicio 3 r r r Considera los vectores: u = (1, 1, 1), v = (2, 2, a) y w = (2, 0, 0). r r r a) [1,25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores u , v y w son linealmente independientes. r r r r b) [1,25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores u + v y u − w son ortogonales. Ejercicio 4

 x =1+ µ  [2,5 puntos] Sabiendo que las rectas r ≡ x = y = z y s ≡  y = 3 + µ se cruzan, halla  z = −µ  los puntos A y B, de r y s, respectivamente, que están a mínima distancia.



OPCIÓN B Ejercicio 1 Dadas la parábola de ecuación y = 1 + x 2 y la recta de ecuación y = 1 + x , se pide: a) [1,5 puntos] Área de la región limitada por la recta y la parábola. b) [1 punto] Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola. Ejercicio 2 Considera la función f: R → R definida por f ( x ) = ( x + 3)e − x . a) [0,5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) [1,5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexión de su gráfica. c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de f. Ejercicio 3 Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) [0,5 puntos] El determinante de A3. b) [0,5 puntos] El determinante de A−1. c) [0,5 puntos] El determinante de 2A. d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 − C3, 2C3 y C2. Ejercicio 4

x −1 y +1 z = = que equidista de 2 1 3  x = −3 + λ  los planos π 1 ≡ x + y + z + 3 = 0 y π 2 ≡  y = − λ + µ  z = −6 − µ 

[2,5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡

Soluciones de la Opción A Ejercicio 1

∫

Hay que hallar F ( x) = ln( 1 − x 2 ) dx . Esta integral puede hacerse por partes. Tomamos:



u = ln( 1 − x 2 ) ⇒ du =

dx = dv ⇒ v = x

− 2x dx 1+ x2

∫

Luego, F ( x) = ln( 1 − x 2 ) dx = x ln( 1 − x 2 ) +

∫

2x2 dx 1− x2

La segunda integral se hace por descomposición en fracciones simples, pues 2x2 2x2 − 2 + 2 2 A B = = −2 + = −2 + + 2 2 2 1− x 1− x 1− x 1− x 1+ x En consecuencia: 2 A B A(1 + x ) + B(1 − x) = + = ⇒ 2 = A(1 + x) + B (1 − x ) 2 1− x 1− x 1+ x 1− x2

2 = 2A ⇒ A = 1 2 = 2B ⇒ B = 1

si x = 1: si x = –1: Por tanto:

∫

2x2 2  1 1 dx =  − 2 + dx = ( −2) dx + dx + dx = 2 2  1− x 1− x  1− x 1+ x  = − 2 x − ln( 1 − x ) + ln( 1 + x ) + c

∫

∫

∫

∫

Luego

∫

F ( x) = ln( 1 − x 2 ) dx = x ln( 1 − x 2 ) − 2 x − ln( 1 − x ) + ln( 1 + x) + c

Para que pase por el punto (0, 1) debe cumplirse que F(0) = 1, y por tanto: F ( 0) = 0 ln 1 − 0 − ln 1 + ln 1 + c = 1 ⇒ c = 1.

La primitiva pedida es: F ( x) = x ln( 1 − x 2 ) − 2 x − ln( 1 − x) + ln( 1 + x) + 1 Ejercicio 2 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ⇒ f ´( x ) = 3x 2 + 2ax + b ⇒ f ´´( x) = 6x + 2a Por tener un extremo relativo en x = 0 ⇒ f ´(0) = 0 ⇒ b = 0 www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM


Por tener un punto de inflexión en x = −1 ⇒ f´´(−1) = 0 ⇒ −6 + 2a = 0 ⇒ a = 3 Luego, de momento, f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + c

∫ f (x )dx = 6 1

Por

0

⇒

1

 x4  1 19 ( x + 3x + c) dx =  + x 3 + cx  = + 1 + c = 6 ⇒ c = 0 4  4 0 4

∫

1

3

2

En consecuencia, f ( x ) = x 3 + 3x 2 +

19 4

Ejercicio 3

r r r a) Los vectores serán linealmente independientes si el rango{ u , v , w } = 3. Para ello, el determinante asociado debe ser distinto de cero. 1 1 1 2 2 a = 2a − 4 ≠ 0 ⇒ a ≠ 2 2 0 0

r r r r b) u + v = (3, 3, 1 + a); u − w = (−1, 1, 1). Estos vectores son ortogonales cuando su producto escalar vale 0.

r r r r ( u + v ) · ( u − w ) = 0 ⇒ (3, 3, 1 + a) · (−1, 1, 1) = 1 + a = 0 ⇒ a = −1 Ejercicio 4 La mínima distancia viene dada por el módulo del vector AB, siendo AB ortogonal común a los vectores de dirección de r y s.

x = t  Las ecuaciones paramétricas de la recta r son: r ≡  y = t z = t  Sean A y B dos puntos genéricos de r y s, respectivamente. Sus coordenadas serán: A = (t, t, t); B = (1 + µ, 3 + µ, −µ) El vector AB = (1 + µ − t, 3 + µ − t, −µ − t).



r r Este vector debe ser perpendicular a v r = (1, 1, 1) y a v s = (1, 1, −1). En consecuencia: r AB · v r = 0 ⇒ (1 + µ − t, 3 + µ − t, −µ − t) · (1, 1, 1) = 0 ⇒ 4 + µ − 3t = 0 r AB · v s = 0 ⇒ (1 + µ − t, 3 + µ − t, −µ − t) · (1, 1, −1) = 0 ⇒ 4 + 3µ − t = 0 4 + µ − 3t = 0 Resolviendo el sistema:  ⇒ t = 1 y µ = −1 4 + 3µ − t = 0 Luego, A = (1, 1, 1) y B = (0, 2, 1)



EXAMEN COMPLETO ACLARACIONES PREVIAS a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. OPCIÓN A Ejercicio 1 De la función f: (−1, ∞) → R se sabe que f ´(x) =

3 y que f(2) = 0. ( x + 1) 2

a) [1,25 puntos] Determina f. b) [1,25 puntos] Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, 1). Ejercicio 2 Considera la función f: R → R definida por f ( x) = ( x + 1)( x − 1)( x − 2) . a) [1 punto] Halla la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f? Ejercicio 3 Considera este sistema de ecuaciones: ⎧ mx − y = 1 ⎨ ⎩ x − my = 2m − 1 a) [1,5 puntos] Clasifica el sistema según los valores de m. b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3. Ejercicio 4 Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(−1, 4, 3). a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de dicho plano. b) [0.75 puntos] Demuestra que el polígono de vértices consecutivos ABCD es rectángulo. c) [0,75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo.



OPCIÓN B Ejercicio 1 Se sabe que la función f: (−1, +∞) → R definida por: ⎧ x 2 − 4 x + 5 si − 1 < x < 0 f ( x) = ⎨ 2 si x ≥ 0 ⎩ x +a es continua en (−1, +∞). a) [1,25 puntos] Halla el valor de a. ¿Es derivable en x = 0? b) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. . Ejercicio 2 [2,5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual a 9/2. Ejercicio 3 Considera las matrices siguientes: ⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛1 0 1⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ y B = ⎜0 1⎟ C = ⎜0 2⎟ ⎝0 1 2⎠ ⎜0 0⎟ ⎜1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) [1,25 puntos] Calcula A · B, A · C, At · Bt y Ct · At, siendo At, Bt y Ct las matrices traspuestas de A, B y C, respectivamente. b) [1,25 puntos] Razona cuáles de las matrices A, B, C y A · B tiene matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa. Ejercicio 4 ρ ρ [2,5 puntos] Dados los vectores u = (2, 1, 0) y v = (−1, 0, 1), halla un vector ρ ρ ρ ρ unitario w que sea coplanario con u y v y ortogonal a v . Soluciones de los ejercicios de la Opción A Ejercicio 1

a) Hallamos una primitiva de f ´(x) =

f ( x) =

∫

3 ( x + 1) 2

3 −3 dx = 3( x + 1) −2 dx = −3( x + 1) −1 + c = +c 2 x +1 ( x + 1)

∫

Como f(2) = 0, se tendrá que: −3 0 = f (2) = +c ⇒ c=1 2 +1

Por tanto, f ( x) =

−3 +1 x +1



b) Una primitiva de f es: ⎞ ⎛ −3 F ( x) = ⎜ + 1⎟dx = −3 ln( x + 1) + x + k ⎝ x +1 ⎠

∫

Si pasa por (0, 1), F(0) = 1: F (0) = −3 ln(0 + 1) + 0 + k = 1 ⇒ k = 1 Por tanto, F ( x) = −3 ln( x + 1) + x + 1 Ejercicio 2

a) Operando, obtenemos: f ( x) = x 3 − 2 x 2 − x + 2 La ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto (a, f(a)) es:

y − f (a ) = f ´(a)( x − a) La ecuación de la normal es: y − f (a ) =

−1 ( x − a) f ´(a )

Como f ´(x) = 3 x 2 − 4 x − 1 , se tiene que f ´(1) = −2; mientras que f(1) = 0. Por tanto:

Tangente:

y = −2( x − 1) ⇒ y = −2x + 2

Normal:

y=

1 ( x − 1) 2

b) La derivada segunda es: f ´´(x) = 6 x − 4 . Esta derivada se anula en x = 2/3. Como f´´´(x) = 6 ≠ 0, en x = 2/3 hay un punto de inflexión. Además, como: si x < 2/3, f´´(x) < 0 ⇒ f(x) es cóncava (∩) si x > 2/3, f´´(x) > 0 ⇒ f(x) es convexa (∪) Ejercicio 3

a) Estudiamos los rangos de la matriz de coeficientes (A) y de la matriz ampliada (M). ⎛m −1 1 ⎞ ⎟=M A = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 1 − m 2 m − 1⎠



m −1 = −m 2 + 1 1 −m Este determinante vale 0 si m = −1 o m = 1 El determinante de A, A =

Con esto: • Si m ≠ −1, 1 ⇒ r(A) = 2 = r(M). El sistema será compatible determinado. • Si m = −1 se tiene: ⎛−1 −1 1 ⎞ ⎟=M A = ⎜⎜ ⎟ 1 1 − 3 ⎝ ⎠ El rango de A, r(A) = 1; mientras que r(M) = 2. En consecuencia, el sistema será incompatible. • Si m = 1 se tiene: ⎛ 1 − 1 1⎞ ⎟=M A = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 1 − 1 1⎠ Como las dos filas de la matriz son iguales ⇒ r(A) = r(M) = 1. El sistema será compatible indeterminado. b) Si x = 3, se tendrá: ⎧3m − y = 1 ⎧ y = 3m − 1 ⇒ ⎨ ⇒ 3 − m(3m − 1) = 2m − 1 ⎨ ⎩3 − my = 5 ⎩3 − my = 5 ⇒ 3m 2 + m − 4 = 0 ⇒ m = −4/3; m = 1 ⎧ x=3 • Para m = −4/3, el sistema tiene por solución: ⎨ . En este caso, al ser el sistema ⎩ y = −5 compatible determinado, la solución es única. ⎧x = 3 • Para m = 1, el sistema tiene por solución: ⎨ . En este caso, al ser el sistema ⎩y = 2 compatible indeterminado, la solución es una de las infinitas posibles. Ejercicio 4

a) Los cuatro puntos pertenecerán al mismo plano si los vectores AB, AC y AD son linealmente dependientes. Estos vectores son: AB = (2, 3, 1) − (1, 2, 1) = (1, 1, 0) AC = (2, 3, 1) − (1, 2, 1) = (−1, 3, 2)



AD = (−1, 4, 3) − (1, 2, 1) = (−2, 2, 2)

Como 1

1 0

−1 3 2 = 0 −2 2 2

los vectores, efectivamente, son linealmente dependientes. b) El cuadrilátero será rectángulo si los vectores AB y BC, y AB y AD son ortogonales. Como:

AB = (1, 1, 0), BC = (−2, 2, 2) y AD = (−2, 2, 2)

se tiene:

AB · BC = AB · AD = (1, 1, 0) · (−2, 2, 2) = 0

Por tanto, se trata de un rectángulo. c) Al tratarse de un rectángulo, su superficie se halla multiplicando su base por su altura. La base puede ser el módulo de AB; la altura, el módulo de AD.

AB = 1 + 1 = 2 ;

AD = 4 + 4 + 4 = 12

Por tanto, S = AB · AD = 2· 12 = 24 NOTA: La superficie también podría hallarse mediante el producto vectorial:

S = AB × AD


ANDALUCÍA / JUNIO 06 LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO

EXAMEN COMPLETO ACLARACIONES PREVIAS a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

OPCIÓN A Ejercicio 1. [2,5 puntos] Determina un punto de la curva y de la recta tangente sea máxima. 2

Ejercicio 2. Sea I 0

x3 1 x2

xe

x2

en el que la pendiente

dx

a) [1,25 puntos] Expresa I aplicando el cambio de variable t

1 x2

b) [1,25 puntos] Calcula el valor de I. Ejercicio 3. Considera A

a

1

0

a

, siendo a un número real.

a) [1 punto] Calcula el valor de A 2

A

12

1

0

20

.

b) [1 punto] Calcula en función de a, los determinantes de 2 A y A t , siendo A t la traspuesta de A.

c) [0,5 puntos] ¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta.

Ejercicio 4. Considera el plano

de ecuación 2x + y

x 5 2

y

z + 2 = 0 y la recta r de ecuación

z 6 m

a) [1 punto] Halla la posición relativa de r y según los valores del parámetro m b) [0,75 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano

c) [0,75 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano



OPCIÓN B

Ejercicio 1. Sea f la función definida por f ( x)

x4

3 x

, para x ≠ 0.

a) [0,75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte de los ejes y las asíntotas de la gráfica de f

b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de f Ejercicio 2. [2,5 puntos] El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y e y

x2 a

ax , con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a.

Ejercicio 3. [2,5 puntos] Resuelve

2

0

1 1 1 1

5

x

2 1

y z

2 2 3

5 0 2

Ejercicio 4. Considera el punto P(3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones

x

y

z 3 0

x 2z 1 0

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r b) [1,5 puntos] Determina las coordenadas de l punto Q simétrico de P respecto de la recta r



SOLUCIÓN OPCIÓN A EJERCICIO 1 La pendiente de la tangente es máxima en las soluciones de y´´ 0 (que son los puntos de inflexión) y que, además, verifican que y´´´ 0 . Haciendo las derivadas se tiene:

y

xe

x2

y´ e

x2

x2

y´´ ( 4 x)e

x2

6 ; y´´´(

y´´´(0)

x2

x2

x2

( 6 x 4 x 3 )e

( 6 x 4 x 3 )( 2 x)e

6x 4x3

0

3 / 2)

(1 2 x 2 )e

(1 2 x 2 )( 2 x)e

y´´´ ( 6 12 x 2 )e y´´ ( 6 x 4 x 3 )e

x2

x ( 2 x )e

2 x( 3 2 x 2 )

( 6 36 18)e

3/ 2

x2

x2

( 6 24 x 2

8 x 4 )e

3 2

x = 0; x

0

El punto buscado es (0, 0).

EJERCICIO 2 a) Si t 1 x 2 dt 2 xdx Además, de t 1 x 2 x 2 t 1. Por tanto: para x = 2 se tendrá: 2 2 t 1 t=5 para x = 0 se tendrá: 0 t 1 t=1 Sustituyendo: 2

I

x3

dx =

1 x2

0

x2 x

2 0

1 x2

5

dx = 1

1 (t 1) dt 1 2 = 2 t

5 1

t 1 t

dt

b) Operando:

1 5 1/ 2 (t 2 1 =

1 2

t

10 5 3

1/ 2

)dt

2 5

1 t 3 / 2 t 1/ 2 2 3 / 2 1/ 2

2 3

2

5

1

1 2

2 5 2 3


53 / 2 3/ 2

51 / 2 1/ 2

13 / 2 11 / 2 3 / 2 1/ 2

=

x2


EJERCICIO 3

a) A 2

A

a

1

0

a

a2 a

2

12

1

0

20

a 1 0

A( A I )

1

0

20

1

12

1

a 1

0

20

a 12

a

4; a

3

a

a

4; a

5

20

12

a2

a

1 a2

0

a

12

1

0

20

La única solución común es a = 4.

b) 2 A

2a

2

0

2a

4a 2

At a

c) Es evidente que no, pues A

1

0

a 1 a

a

0 a 0

1

a

a2

para cualquier valor de a

EJERCICIO 4

 a) Estudiamos el ángulo de los vectores v = (2, 1, 1), normal al plano y el de  dirección de la recta, v r = ( 2, 1, m) 



Su producto escalar es: v · v r = (2, 1, 1) · ( 2, 1, m) = 3 m Cuando este producto escalar es distinto de 0, el plano y la recta se cortan en un punto. Si el producto escalar es 0, el plano y la recta son paralelos; o el plano contiene a la recta. Por tanto:   Si m ≠ 3, v · v r ≠ 0

la recta corta al plano en un punto.

  Si m = 3, v · v r = 0

la recta es paralela al plano o está contenida en él.

Como el punto P (5, 0, 6) de la recta no pertenece al plano, se concluye que la recta es paralela al plano.

  b) Para m = 3 el plano pedido viene determinado por los vectores v = (2, 1, 1) y v r = ( 2, 1, 3). Su ecuación es:

x

5 2t 2h y t h z 6 3t h

x 5

2

2

y

1 3

1 1

z 6


0

x

4y

2z + 7 = 0


c) El vector característico de este plano es el mismo que el de ; como además debe contener al punto P(5, 0, 6) su ecuación será:

2( x 5)

y ( z 6)


0

2x + y

z

4=0

ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO

Opción A A.1. Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 × 2 A que cumple las siguientes condiciones: 1) Coincide con su traspuesta. 2) Verifica la ecuación matricial 1   1 − 1  − 3 − 3  1   A  =   3   − 1 − 1  0 1   3 3) Su determinante vale 9. [2,5 puntos]

A.2. Dada la recta de ecuaciones paramétricas

 x = −1 + 2α  r :  y = −1 + α  z =1  y los puntos P = (1, 1, 2) y Q = (1, –1, 2), se pide: 1) Encontrar la posición relativa de r y la recta determinada por P y Q [1,5 puntos]. 2) Hallar el punto o los puntos R de r para los que el triángulo PQR es isósceles de lados iguales PR y QR. [1 punto]

A.3. Hallar los valores de las constantes, a, b y c para que las gráficas de las funciones f ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x 3 + c

pasen por el punto (1, 2) y en este punto tengan la misma tangente. [2,5 puntos]

A.4. Un triángulo isósceles tiene 10 cm de base (que es el lado desigual) y 20 cm de altura. Se inscribe en este triángulo un rectángulo uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga la mayor área posible [2,5 puntos]



Solución A.1 a b  Por 1) la matriz A debe ser simétrica: A =   b d  1  a 1 Por 2):    − 1 − 1 b

b  1 − 1  − 3 − 3  a + b − a + d   − 3 − 3   =   ⇒   =   d  0 1   3 3 3  − a − b a − d   3

 a + b = −3 ⇒  − a + d = − 3 Por 3): A = ad − b 2 = 9 Sustituyendo d y b en esta última ecuación se tiene: a = –2; b = –1; d = –5. La matriz buscada es  − 2 −1 A =    −1 − 5

A.2

x=1  Ecuaciones de la recta PQ: s :  y = 1 − 2t , con PQ = vs = (0, –2, 0). z = 2  1) Estudiando la dependencia lineal de los vectores vr, vs y AP, siendo A ∈ r y P ∈ s, se determina la posición relativa de ambas recta: si esos vectores son l.i, las rectas se cruzan; si son l.d., están en el mismo plano. Como vr = (2, 1, 0), vs = (0, –2, 0); tomando A = (–1, –1, 1) y P = (1, 1, 2) se tiene que AP = (2, 2, 1). Con esto:

2

1

0

0 − 2 0 = −4 2 2 1



Luego, los vectores vr , vs y AP son linealmente independientes. En consecuencia, las rectas r y s se cruzan. 2) Sea R un punto genérico de r : R = (–1 + 2α, –2 + α, –1). Entonces: PR = (–2 + 2α, –2 + α, –1) y QR = (–2 + 2α, α, –1) Como deben tener el mismo módulo: ( −2 + 2α ) 2 + (−2 + α ) 2 + ( −1) 2 = ( −2 + 2α ) 2 + α 2 + ( −1) 2 ⇒ α = 1

El punto pedido es R = (1, 0, 1).

A.3 Debe cumplirse: f (1) = 2 = 1 + a + b

g (1) = 2 = 1 + c ⇒ c = 1

f ´( x ) = 2 x + a

g´( x ) = 3 x 2 → g´(1) = 3

Como f ´(1) = g´(1) , entonces: 2 · 1 + a = 3 ⇒ a = 1 ⇒ b = 0. Las funciones son: f (x ) = x 2 + x

y

g ( x) = x 3 + 1

A.4 El área del rectángulo es base por altura: A = b · a (Ver figura)



Por Tales se tiene que:

x 5 = ⇒ a = 4x a 20

Luego A = b · a = (10 – 2x) · 4x = 40x – 8x2 Para que A sea máxima: A´= 0, A´´ < 0. A´= 40 – 16 x = 0 ⇒ x = 2,5 A´´= –16 < 0. Las dimensiones del rectángulo deben ser: base = 5 cm; altura = 10 cm.


ZARAGOZA / SEPTIEMBRE 00. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO

Opción A

0 0 1    A.1. Dada la matriz A =  0 a 0  , se pide:  −1 0 − 2    i) Hallar el valor o valores de a para que se cumpla la identidad A2 + 2A + I = O, siendo I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nula de orden 3 [1,5 puntos] ii) Calcular en esos casos la matriz inversa de A [1 punto]

A.2. Hallar la ecuación de la circunferencia C que pasa por los puntos (0, 2) y (0, –2) y es tangente a la recta r: y = 3x + 2 [1,5 puntos]. En el haz de rectas paralelas a r hay otra tangente a C, hallar su ecuación [1 punto]

A.3. De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, hallar las dimensiones (lado de la base y altura) del que tiene volumen máximo [2,5 puntos]

A.4. Tenemos la función f definida para todo número real no negativo y dada por  1 f (x ) =  1  x 2

si 0 ≤ x ≤ 1 si x > 1

∫ f ( x)dx [1,5 puntos] e 3

Se pide su representación gráfica [0,5 puntos], hallar

0

interpretar geométricamente el resultado [0,5 puntos]

Solución.

A.1

 0 0 1   0 0 1  −1 0     A =  0 a 0 · 0 a 0  =  0 a 2  − 1 0 − 2  −1 0 − 2   2 0     2

i)

− 2  0  3 

0 0  0 0 0 0     2 A + 2A + I = O ⇒  0 a + 2a + 1 0  =  0 0 0  ⇒ a 2 + 2a + 1 = 0 ⇒ a = –1 0 0 0   0 0 0   2



ii) Si a = –1,

1  0 0   A =  0 −1 0  ;  −1 0 − 2  

 2 0 − 1   Adj(A) =  0 1 0  ; 1 0 0   

A = −1

Luego,

A

−1

 − 2 0 − 1   =  0 −1 0   1 0 0  

A.2 Observamos que la tangente pasa por el punto (0, 2). Luego ese es el punto de tangencia. El centro de la circunferencia pedida está en el punto de corte de la mediatriz de la cuerda determinada por P = (0, 2) y Q = (0, –2), que es la el eje OX, y la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Cuerda: y = 0 Perpendicular a la tangente en (=, 2): y − 2 =

−1 x 3

Corte: O = (6, 0). Aquí está el centro. Radio = d(P, O) =

40

Ecuación de la circunferencia: ( x − 6) 2 + y 2 = 40 El punto de tangencia de la otra tangente debe ser diametralmente opuesto a P, en P´= (x, y). Como el centro O es el punto medio del segmento PP´, se tendrá: 0+ x 2+ y (6, 0) =  ,  ⇒ P´ = (12, –2) 2   2

Y la recta pedida será: y + 2 = 3 (x – 12) www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM


A.3 Si x es el lado de la base e y la altura, se trata de hacer máximo el volumen V = x2y con la condición de que el perímetro de una cara lateral valga 30 cm: 2x + 2y = 30 ⇒ y = 15 – x. Luego, V = x2(15 – x) ⇒ V = 15x2 – x3 Para máximo: V´ = 0; V´´ < 0 V´ = 30x –3x2 = 0 ⇒ x = 0 o x = 10 V´´ = 30 – 6x ⇒ V´´(0) = 30; V´´(10) = –30. El máximo de V se da para x = 10 e y = 5.

A.4 La gráfica de f se da en la figura adjunta.

∫ f ( x)dx = ∫ dx + ∫ 3

1

0

0

El número

3

1

3

1 5 1  1 dx = x 0 +  −  = 2 x  x 1 3

5 designa el área de la región rayada en la figura. 3


Ejercicios resueltos de selectividad Matemáticas II Universidad de Extremadura 2000-2006

Vicente González Valle I.E.S. Zurbarán (Badajoz) Abril 2007

ii

Prólogo Este libro se ha hecho para uso y disfrute de los alumnos de segundo de bachillerato de la opción cientíco-tecnológica. Se trata de la segunda versión, por lo que espero tengáis la bondad de perdonar los errores que he cometido al hacerlo. También agradezco de corazón la colaboración de algunos compañeros y compañeras que tuvieron conocimiento de la primera versión gracias a la Sociedad Extremeña de Educación Matemática Ventura Reyes Prósper, la cual no sólo comunicó la primera edición, sino que además me permitió obtener los enunciados de todos los años y así ayudarme a clasicarlos. Si quieres hacer algún comentario, comunicar algún error o decir algo que se te ocurra, puedes ponerte en contacto conmigo en [email protected]. Este libro se irá actualizando con los exámenes que cada año vaya poniendo la universidad, pudiendo obtenerse la versión actualizada en la página: http://www.telefonica.net/web2/vicentegonza/examenes.html.

A

Este trabajo se ha hecho utilizando L TEXy su frontend para linux Kile. Para los grácos se ha usado el software de Geogebra. Gracias a todos los que han hecho posible estos programas y los han compartido gratuitamente con los demás. He hecho una clasicación de los ejercicios por temas, esperando que la clasicación realizada sea del agrado de todos. Se trata de un trabajo que ofrezco a la comunidad educativa, pero es conveniente saber que se emite bajo una licencia Creative Commons en la que tienes que tener presente que:

Tu eres libre de: copiar, distribuir, comunicar y ejecutar públicamente la obra. hacer obras derivadas.

Bajo la siguientes condiciones: Atribución

Debes reconocer y citar la obra de la forma especicada por el autor o el licenciante.

No Comercial

No puedes utilizar esta obra para nes comerciales.

Licenciar Igual

Si alteras o transformas esta obra, o generas una obra derivada, sólo puedes

distribuir la obra generada bajo una licencia idéntica a ésta. Al reutilizar o distribuir la obra, tienes que dejar bien claro los términos de la licencia de esta obra. Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor.

iii

iv

v

a Teresa, a y a mis hijos Ana M , Isabel y Vicente. A mi mujer M

A los tios Manolo, Chencho, Pepi, Gonzalo y Modesto, y, como no, al abuelo Paco, los últimos que nos dejaron siendo testigos del amor.

Gracias a todos.

vi

Índice general 1. Análisis 1.1.

1.2.

1.3.

1

Funciones y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1.

Septiembre 00 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2.

Junio 01 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3.


3

1.1.4.

Junio 03 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.5.

Septiembre 04 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Derivada y sus aplicaciones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1.


5

1.2.2.


6

1.2.3.


6

1.2.4.


6

1.2.5.


7

1.2.6.


8

1.2.7.


8

1.2.8.


9

1.2.9.


10

1.2.10. Junio 03 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.11. Junio 03 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.12. Septiembre 03 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.13. Septiembre 03 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12


13


14


15


16


16


16


17


17


18


18


18


18

Integral. Cálculo de áreas y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.1.


20

1.3.2.


20

1.3.3.


22

1.3.4.


22

vii

ÍNDICE GENERAL

viii 1.3.5.


22

1.3.6.


23

1.3.7.


24

1.3.8.


25

1.3.9.


25


26


26


27


28


28


29


29


30


31


31


32


32


33


34


34


35


35


36


36

2. Álgebra 2.1.

2.2.

39

Matrices y determinantes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1.1.


39

2.1.2.


39

2.1.3.


40

2.1.4.


40

2.1.5.


41

2.1.6.


41

2.1.7.


42

2.1.8.


42

2.1.9.


43


43


44


44

Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.1.


45

2.2.2.


45

2.2.3.


45

2.2.4.


46

2.2.5.


47

2.2.6.


49

2.2.7.


49

2.2.8.


50

2.2.9.


51

ÍNDICE GENERAL 2.2.10. Junio 05 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51


52


53


53


54


55

3. Geometría 3.1.

3.2.

ix

57

Vectores, puntos, rectas y planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.1.1.


57

3.1.2.


58

3.1.3.


58

3.1.4.


59

3.1.5.


59

3.1.6.


60

3.1.7.


61

3.1.8.


61

3.1.9.


62


63


63


64


64


65


65


66


66

Problemas métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.2.1.


68

3.2.2.


68

3.2.3.


68

3.2.4.


69

3.2.5.


70

3.2.6.


70

3.2.7.


71

3.2.8.


71

3.2.9.


72


72

x

ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Análisis 1.1.

Funciones y continuidad

1.1.1.

Representar grácamente la función f (x) = 2x3 −

x2 5 −x+ 2 27

¾Cuántas raíces reales positivas tiene este polinomio? (Septiembre 00)

- Solución: Para poder representarla vamos a estudiar su derivada. Tenemos que

f 0 (x) = 6x2 − x − 1 Igualando a cero resulta:

6x2 − x − 1 = 0 =⇒ x =

1±

 1 6   =   12 2

√

1 + 24 1±5 = =  12 12    − 4 = −1 12 3

Construimos una tabla para estudiar el signo de la derivada y conocer así donde crece y donde decrece y sus máximos y mínimos.

6x2 − x − 1

+ %

&

1 3

En consecuencia:

-

-

-

-

1 1 − , 3 2 −

−∞, −

1 1 Crece −→ −∞, − ∪ , +∞ 3 2 1 1 Decrece −→ − , 3 2 1 7 Máximo −→ − , 3 18 1 41 Mínimo −→ ,− 2 216 1

1 , +∞ 2 + %

2

1. Análisis

l´ım f (x) = −∞ y que l´ım f (x) = +∞ x→−∞ x→+∞ Podemos hacer una tabla de valores para anar la representación, pero aquí no la pondremos.

También es obvio que

La gráca resultante podemos verla en la gura 1.1

Figura 1.1: Representación gráca de la función

f (x) = 2x3 −

x2 5 −x+ 2 27

Para ver la última parte del ejercicio usaremos el Teorema de Bolzano. Sabemos que como mucho tendrá tres raices reales (pues es un polinomio de grado 3) y por los datos recabados con anterioridad

y mirando la gráca las raices estarán en los intervalos

1 −∞, − 3

,

1 1 − , 3 2

y

1 , +∞ 2

. Es

evidente que hay una positiva garantizada (la contenida en el último intervalo) y otra negativa (en el primero). Veamos que ocurre con la otra. Nos basaremos en el teorema de Bolzano para ir tanteando y comprobando donde está. Tenemos que

intervalo

0,

1 2

f (0) =

5 >0 27

y

f

1 41 =− < 0. 2 216

Por tanto la tercera raiz se encuentra en el

y es positiva.

Representa la gráca del polinomio

1.1.2.

f (x) = 2x3 + 3x2 − 00 2

¾Cuántas raíces reales negativas tiene este polinomio? ¾y cuántas positivas? (Junio 01)

- Solución: Vamos a hacer un breve estudio del polinomio para su representación: -

Domf = R −→

- Simetría

−→

- Continuidad - Asíntotas

Como en todos los polinomios.

No tiene.

−→

−→

Continua en todo

R.

No tiene, como le ocurre a todos los polinomios.

- Corte con los ejes:

•

Eje X: Al ser un polinomio de grado 3 puede cortar al Eje X en un máximo de tres puntos. Vamos a orientarnos donde estarán usando el teorema de Bolzano.

◦ f (−2) = −16 + 12 − 00 2 < 0 ◦ f (−1) = −2 + 3 − 00 2 > 0

3

1.1. Funciones y continuidad

◦ f (0) = −00 2 < 0 ◦ f (1) = 2 + 3 − 00 2 > 0 Por tanto corta en un punto entre

•

Eje Y:

(−2, −1),

en otro entre

(−1, 0)

y en otro entre

(0, 1).

(0, −00 2)

- Vamos a estudiar la derivada:

f 0 (x) = 6x2 + 6x Esta derivada se anula en

x=0

y en

x = −1.

Por tanto:

(−∞, −1) (−1, 0) (0, +∞) 2

6x + 6x

+

−

+

%

&

%

De aquí deducimos que:

•

Crece

−→ (−∞, −1) ∪ (0, +∞)

•

Decrece

−→ (−1, 0)

•

Máximo

−→ (−1, 00 8)

•

Mínimo

−→ (0, −00 2)

Su representación gráca podemos verla en la gura 1.2


f (x) = 2x3 + 3x2 − 00 2

La respuesta a las preguntas nales ya la hemos hecho cuando realizamos el estudio del corte con el Eje X, es decir, hay dos raices negativas y una positiva.

1.1.3.

Enunciar el teorema de Bolzano. Calcular, con un error menor que una décima, una raíz positiva del polinomio x3 + x − 1 (Septiembre 01)

- Solución: La parte de teoría podemos encontrarla en cualquier libro. Para buscar la raiz positiva que nos piden vamos a tantear utilizando el teorema de Bolzano. Nuestra función es

f (x) = x3 + x − 1

y es fácil observar que la función es continua en todo

tanto, lo es en cualquier intervalo que cojamos. También se cumple que:

f (0) = −1

y

f (1) = 1

Vamos a comenzar a tantear para acorralar la raiz.

R,

y por

4

1. Análisis

f (00 5) = −00 375 < 0 =⇒ f (00 7) = 00 043 > 0 =⇒

La raiz está en el intervalo


f (00 6) = −00 184 < 0 =⇒

(00 5, 00 7).


La raiz, con un error menor que

00 1

(00 5, 1).

(00 6, 00 7).

pero parece que por el valor que toma la función en él podíamos

1.1.4.

(00 6, 00 7). 0 tomar 0 7.

está contenida en el intervalo

Valdría cualquiera,

Enunciar el teorema de Bolzano y determinar si el polinomio x4 − 4x2 − 1 tiene alguna raiz real negativa. (Junio 03)

- Solución: El teorema podemos encontrarlo en cualquier libro. Vamos a aplicar el mismo para comprobar que la función tiene, al menos, una raiz negativa. Este hecho es evidente, pues basta con comprobar que la función toma valores de distinto signo en

−5

y

0.

-

f (−5) = 625 − 100 − 1 > 0.

-

f (0) = −1 < 0.

Luego, según el teorema de Bolzano, como contrario en

1.1.5.

−5

y

0,

entonces existe un

f

c ∈ (−5, 0)

es continua en

[−5, 0]

y toma valores de signo

f (c) = 0.

en el que

Enunciar el teorema de Bolzano y usarlo para probar que la ecuación x = cosx tiene solución positiva. (Septiembre 04)

- Solución: El teorema de Bolzano puede encontrarse en cualquier libro. Pasamos a la segunda parte. Consideramos la función

f (x) = cosx − x.

Evidentemente su dominio es todo

R

y es también

continua en todo su dominio. Además:

f (0) = 1 − 0 = 1 > 0 f (1) = cos1 − 1 = 00 999847 − 1 < 0 Por tanto, esta función cumple las hipótesis del teorema de Bolzano, y según el mismo, tiene que tener una raiz en el intervalo

(0, 1),

y por tanto positiva.

Si no queremos apurar tanto podemos tomar está comprendido entre

−1

y

1,

al restarle la

x

x = 2, 3, · · ·

en lugar de

elegida dará negativo.

x = 1, pues como el coseno

5

1.2. Derivada y sus aplicaciones

1.2.

1.2.1.

Derivada y sus aplicaciones

Determinar el dominio de denición de la función f (x) = x − ln x2 − 1 y representar su gráca, calculando los intervalos de crecimiento y los extremos (máximos y mínimos relativos).

(Junio 00)

- Solución: La función no existirá en los puntos en los que

x2 − 1 ≤ 0.

Vamos a ver donde ocurre. Para ello

vamos a hacer una tabla con los puntos de corte.

x2 − 1 = 0 =⇒ x = ±1 La tabla queda:

(−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞) 2

x −1 Luego el dominio de la función es

+

−

+

Domf = (−∞, −1)

S

(1, +∞).

Vamos a estudiar su derivada:

f 0 (x) = 1 −

x2 − 1 − 2x x2 − 2x − 1 2x = = x2 − 1 x2 − 1 x2 − 1

Vamos a estudiar su signo. Para ello vamos a igualar la derivada a cero y tendremos en cuenta el dominio antes calculado y construiremos una tabla.

√ √ √ 2± 4+4 2± 8 x2 − 2x − 1 = 0 =⇒ x = = =1± 2 2 x −1 2 2 La tabla quedaría:

(−∞, −1)

(−1, 1)

+

No existe

x2 − 2x − 1 x2 − 1

%

1, 1 +

- Crece

−→ (−∞, −1)

- Decrece

−→ 1, 1 +

S

√ 2

1+

√

2, +∞

1+

√

2, +∞

−

+

&

%

Figura 1.3: Representación gráca de la función Luego la función:

√ 2

f (x) = x − ln x2 − 1

6

1. Análisis Hay un mínimo en

1+

√

2, 0.84

. Para aproximar más es bueno hacer una tabla de valores, que

aquí no haremos. También es evidente que en

x=1

y en

x = −1

hay asíntotas verticales, pues las

tiene el logaritmo. -

x = 1 −→ l´ım f (x) = +∞

-

x = −1 −→

(Por la izquierda no existe).

x→1+

l´ım f (x) = +∞

x→−1−

(Por la derecha no existe).

La representación gráca podemos verla en la gura 1.3.

1.2.2.

Denir el concepto de derivada de una función f (x) en un punto explicar su relación con los máximos relativos de la función.

x = a,

y

(Junio 00)

- Solución: La solución de este ejercicio puede verse en cualquier libro.

1.2.3.

Calcular la derivada en el punto x = 1 de la función

f (x) = x−1/2 lnx. (Septiembre 00)

- Solución: Vamos a calcular la derivada y después sustituiremos

x=1

en la función obtenida.

1 1 f 0 (x) = − x−3/2 lnx + x−1/2 2 x Sustituyendo obtenemos:

1 f 0 (1) = − · 1−3/2 ln1 + 1−1/2 · 1 = 1 2

1.2.4.

Dadas las funciones f (x) = x2 + π y g(x) = senx + cosx, calcula la derivada en x = 0 de las funciones f (g(x)) y g(f (x)). (Junio 01)

- Solución: Tenemos dos formas de resolver este ejercicio. La primera consiste en calcular las composiciones requeridas y posteriormente derivar, y la segunda en derivar aplicando la regla de la cadena. Veamos la primera en ambas funciones:

f (g(x)) = (senx + cosx)2 + π = sen2 x + cos2 x +2senxcosx + π = sen2x + π + 1 | {z } 1

Si derivamos esta expresión tendremos:

0

0

[(f og)] (x) = [f (g(x))] = 2cos2x Sustituyendo en

x=0

resulta:

0

[(f og)] (0) = 2 Por otro lado, la otra composición nos daría:

g(f (x)) = sen(x2 + π) + cos(x2 + π)

7

1.2. Derivada y sus aplicaciones Derivando obtenemos:

0

[(gof )] (x) = 2xcos(x2 + π) − 2xsen(x2 + π) x=0

Subtituyendo en

el resultado obtenido es:

0

[(gof )] (0) = 0 Veamos ahora el otro método para la resolución del ejercicio. Lo haremos a modo de ejemplo sólo en el primer caso. Según la regla de la cadena

0

[(f og)] (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x) = 2(senx + cosx)(cosx − senx) Si sustituimos en

x=0

nos quedaría:

0

(f og)] (0) = 2(sen0 + cos0)(cos0 − sen0) = 2 Obtenemos, obviamente, el mismo resultado.

1.2.5.

Entre todos los rectángulos de área dada ¾cuál es el de perímetro mínimo? (Septiembre 01)

- Solución: Vamos a buscar una función a minimizar (que dependerá en un principio de dos variables) y una igualdad que ligue las variables. En nuestro caso son:

P (x, y) A

=

2x + 2y

#

= x·y

2A 2x2 + 2A =⇒ P (x) = 2x + = x x A =⇒ y = (1) x

Vamos a derivar la función obtenida:

P 0 (x) =

4x · x − (2x2 + 2A) 4x2 − 2x2 − 2A 2x2 − 2A = = x2 x2 x2

Igualando la derivada a cero obtenemos:

√ 2x2 − 2A = 0 =⇒ 2x2 − 2A = 0 =⇒ x2 = A =⇒ x = ± A 2 x De las dos obtenidas sólo vale la positiva. Vamos a calcular la segunda derivada para ver que hay un mínimo.

P 00 (x) =

4x · x2 − 2x(2x2 − 2A) 4x3 − 4x3 + 4Ax 4Ax = = 4 4 x x4 x

Sustituyendo el valor de x obtenido tenemos:

√ 4A√A A = >0 P A2 √ x = A en (1) podemos calcular y . 00

luego hay un mínimo. Sustituyendo

√ x=

√ A A =⇒ y = √ = A A

8

1. Análisis

√ Se trata por tanto de un cuadrado de lado

1.2.6.

A.

Denir el concepto de derivada de una función f (x) en un punto explicar su relación con el crecimiento de la función.

x = a

y

(Junio 02)

- Solución: La respuesta puede encontrarse en cualquier libro.

1.2.7.

Representar la gráca de la función tervalos donde es creciente.

f (x) = 2x + (2x)−1 ,

determinando los in(Junio 02)

- Solución: Nuestra función podemos ponerla

f (x) = 2x + (2x)−1 = 2x +

Vamos a buscar algunos datos para poder representarla. Es evidente que el dominio de la función es asíntota vertical en

x = 0,

que no corta al eje

Domf = R − {0}.

X,

ni al eje

1 4x2 + 1 = . 2x 2x También es obvio que tiene una

Y.

Vamos a estudiar la derivada.

f 0 (x) =

16x2 − 8x2 − 2 8x2 − 2 8x · 2x − 2 · (4x2 + 1) = = 2 2 4x 4x 4x2

Igualando a cero tenemos:

8x2 − 2 1 1 = 0 =⇒ 8x2 − 2 = 0 =⇒ x2 = =⇒ x = ± 4x2 4 2 Vamos a estudiar el signo de la derivada para especicar donde crece y donde decrece, así como los máximos y mínimos, si los tiene.

(−∞, −1/2) (−1/2, 0) (0, 1/2) (1/2, +∞) 8x2 − 2 4x2

+

−

−

+

%

&

&

%

Para anar la representación puede hacerse una pequeña tabla de valores, viendo la representación en la gura 1.4.


f (x) = 2x + (2x)−1

9

1.2. Derivada y sus aplicaciones En cuanto al crecimiento y decrecimiento, así como del estudio de la derivada, concluimos: - Crece

−→ (−∞, −1/2) ∪ (1/2, +∞).

- Decrece

−→ (−1/2, 0) ∪ (0, 1/2).

- Máximo

−→ (−1/2, −2).

- Mínimo

−→ (1/2, 2).

1.2.8.

Representar la gráca de la función f (x) = x3 +x−3 , determinando sus extremos (máximos y mínimos relativos). (Septiembre 02)

- Solución: Nuestra función escrita en forma de fracción es:

f (x) = x3 + x−3 = x3 + Es evidente que su dominio es

f (−x) =

Domf = R − {0}.

x6 + 1 1 = x3 x3

Además la función es impar, pues:

(−x)6 + 1 x6 + 1 x6 + 1 = = − = −f (x) (−x)3 −x3 x3

Vamos a ver los puntos de corte con los ejes: - Eje X

−→

Hacemos

y = 0. x6 + 1 = 0 =⇒ x6 + 1 = 0 =⇒ x3

- Eje Y

−→

Hacemos

x = 0.

En este caso no corta, pues

No corta.

x=0

no pertenece al dominio.

Vamos a calcular la primera derivada para hallar los máximos y los mínimos.

6x5 .x3 − 3x2 x6 + 1 6x8 − 3x8 − 3x2 3x8 − 3x2 y = = = x6 x6 x6 0

Si igualamos a cero resulta

3x8 − 3x2 = 0 =⇒ 3x8 − 3x2 = 0 =⇒ 3x2 x6 − 1 = 0 =⇒ 6 x ( x = 0 =⇒ No pertenece al dominio. =⇒ x6 − 1 = 0 =⇒ x6 = 1 =⇒ x = ±1 Vamos a estudiar el signo de la derivada y así podemos decidir los máximos y mínimos.

(−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞) 3x8 − 3x2 x6

+

−

−

+

%

&

&

%

De aquí deducimos que la función tiene: - Un máximo en el punto

(−1, −2).

- Un mínimo en el punto

(1, 2).

10

1. Análisis

Es fácil observar que la función tiene una asíntota vertical en la recta

x = 0

y que no tiene

asíntotas ni horizontales, ni oblicuas. Puede hacerse una tabla de valores para anar más la representación gráca, pero no la haremos aquí. La representación gráca pedida podemos verla en la gura 1.5.


f (x) = x3 + x−3

Enuncia la regla de L'Hôpital y calcula el límite

1.2.9.

1 − cos(2πx) x→1 (x − 1)2 l´ım

(Septiembre 02)

- Solución: La parte teórica de la pregunta puede verse en cualquier libro. Vamos a resolver el límite.

0 2πsen(2πx) 2π 2 cos(2πx) 0 1 − cos(2πx) = = l´ ım = l´ım = 2π 2 = 2 x→1 2 x→1 x→1 (x − 1) 0 0 1 (x − 1) l´ım

1.2.10.

Representar grácamente la función f (x) = ex − ex, determinando sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos). ¾Existe algún valor de x en que f (x) sea negativo? (Junio 03)

- Solución: Vamos a empezar, como siempre, por ver su dominio. - Es evidente que el

Domf = R.

- Veamos ahora los cortes con los ejes:

•

Eje X.

−→

x

Hacemos

y = 0.

x

e − ex = 0 =⇒ e = ex =⇒ x = 1 •

Eje Y.

−→

Hacemos

x = 0.

f (0) = 1 - Vamos a realizar la derivada, la igualaremos a cero y la estudiaremos la misma.

f 0 (x) = ex − e = 0 =⇒ ex = e =⇒ x = 1

11


(−∞, 1) (1, ∞) x

e −e

− &

+ %

También se puede observar de forma sencilla que no va a tener asíntotas. Para anar la representación vamos a hacer una tabla de valores:

x

−1

0

1

2

3

y

3.09

1

0

1.95

11.93

La representación gráca podemos verla en la gura 1.6.


f (x) = ex − ex

En cuanto al interrogante que nos hacen la respuesta es evidente viendo la gráca, pero también puede razonarse si tenemos en cuenta que tiene un mínimo en el punto

(1, 0).

La respuesta obvia

es no.

1.2.11.

Determinar una recta tangente a la parábola y = 2 − x2 que sea paralela a la recta de ecuación 2x + y = 4. (Junio 03)

- Solución: Como es paralela a la recta forma

2x + y = k

2x + y = 4

la ecuación de la recta que buscamos tiene que ser de la

y de aquí deducimos que su pendiente tiene que ser

Vamos a ver donde tiene la función

2

y =2−x

m = −2.

una recta tangente con pendiente

m = −2.

mtg = f 0 (x) = −2x = −2 =⇒ x = 1 Luego el punto en el que se produce la tangente es

f (1) = 2 − 1 = 1 =⇒ (1, 1).

Por tanto, para calcular k basta con sustituir el punto en la ecuación de la recta

2x + y = k

en

(1, 1) =⇒ 2 + 1 = k =⇒ k = 3.

Luego la recta buscada es

2x + y = 3

2x + y = k .

12

1.2.12.

1. Análisis

Con un alambre de dos metros se desea formar un cuadrado y un círculo. Determinar el lado del cuadrado y el radio del círculo para que la suma de sus áreas sea mínima. (Septiembre 03)

- Solución: Para plantear el problema buscamos una función a minimizar (que estará en función de dos variables) y una ecuacuón que ligue las variables. Estas ecuaciones son:

A(l, r) = l2 + πr2 =⇒

Ecuación a minimizar.

4l + 2πr = 2 =⇒ 2l + πr = 1 =⇒ Vamos a despejar

l

Ecuación que liga las variables.

en la última ecuación, resultando:

l=

1 − πr 2

(1.1)

Sustituyendo en la primera tenemos:

A(r) =

1 − πr 2

2

+ πr2 =

1 + π 2 r2 − 2πr 1 + π 2 r2 − 2πr + 4πr2 + πr2 = = 4 4 (π 2 + 4π)r2 − 2πr + 1 4

= Derivando la expresión obtenemos:

A0 (r) =

(π 2 + 4π)r − π 1 2 · 2(π + 4π)r − 2π = 2 4 2

Igualando a cero resulta:

(π 2 + 4π)r − π = 0 =⇒ (π 2 + 4π)r − π = 0 =⇒ (π 2 + 4π)r = π =⇒ 2 =⇒ (π + 4)r = 1 =⇒ r =

1 π+4

u.

Si hacemos la segunda derivada resulta:

A00 (r) =

π 2 + 4π >0 2

En consecuencia para el valor de Vamos a calcular

l

l=

1.2.13.

r

para cualquier valor de r.

que nosotros hemos calculado la función tiene un mínimo.

sustituyendo en la igualdad (1.1).

1 1 − π π+4

2

=

1−

π π+4

2

=

π + 4 − π 4 2 = = 2π + 8 2π + 8 π+4

u.

Determinar en qué puntos es negativa la derivada de la función f (x) = ex x−2 . (Septiembre 03)

- Solución: Nuestra función es

f (x) =

ex . x2

Su derivada por tanto será:

f 0 (x) =

ex x2 − 2xex xex (x − 2) = x4 x4

13


Vamos a estudiar su signo. Calculamos para ello las raices del numerador y del denominador.

- Raices del numerador:

   x = 0. x xe (x − 2) = 0 =⇒ ex = 0 =⇒ No tiene   x − 2 = 0 =⇒ x = 2.

solución.

- Raices del denominador:

x4 = 0 =⇒ x = 0. Con los valores obtenidos construimos una tabla para estudiar el signo de la derivada.

(−∞, 0) (0, 2) (2, +∞) xex (x − 2) x4 Por tanto es negativa en el intervalo

1.2.14.

+

−

+

(0, 2).

Determinar el mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro. (Junio 04)

- Solución: La gura 1.7 nos muestra la idea.

Figura 1.7: Visión gráca del problema

Nosotros iremos moviendo la hipotenusa (lado mayor) haciendo variar

x

e

y.

Necesitamos pues una función a maximizar (el área) y otra que ligue las dos variables. Dichas ecuaciones son:

x.y (Función a maximizar) 2 √ 2 2 x + y = 1 ⇒ y = 1 − x2 (Ecuación A(x, y) =

Por tanto, si sustituimos la

y

que liga las variables)

en la primera función obtenemos:

A(x) =

x·

√

p 1 − x2 1 = · x · 1 − x2 2 2

Vamos a derivar para ver los puntos que anulan dicha derivada. Entre estos valores se encuentran

14

1. Análisis

los máximos y los mínimos.

1 p x · (−2x) 1 1 − x2 − x2 1 − 2x2 2 √ √ A (x) = 1−x + = = √ 2 2 2 1 − x2 2 1 − x2 · 1 − x2 0

Igualando esta expresión a cero tenemos:

√ 1 − 2x2 2 1 2 2 2 √ = 0 =⇒ −2x + 1 = 0 =⇒ 2x = 1 =⇒ x = =⇒ x = 2 2 2 2 1−x Para ver que tenemos en ese punto un máximo vamos a estudiar el signo de la derivada a ambos lados del número. Tenemos que

A0 (0) =

1 >0 2

y

A0 (00 8) =

−00 28 <0 10 2

y por tanto hay un máximo.

En conclusión tenemos que:

√

2 x= 2

é

v u u y = t1 −

r !2 r r √ 1 1 1 2 = 1− = = 2 2 2 2

.

1.2.15.

Si la gráca de una función

f (x)

es:

representar aproximadamente la gráca de la derivada f 0 (x). (Junio 04)

- Solución: Observando la gráca tenemos que la función tiene las siguientes características: - Crece en

(−∞, −1) ∪ (1, +∞) −→

- Decrece en

(−1, 1) −→

Luego ahí

Luego ahí

f 0 (x) > 0.

f 0 (x) < 0.

- Tiene un máximo en

(−1, 1) =⇒ f 0 (−1) = 0.

- Tiene un mínimo en

(1, −1) =⇒ f 0 (1) = 0.

- Es convexa en

(−∞, 0) =⇒ f 00 (x) < 0 =⇒ f 0

es decreciente en

- Es cóncava en

(0, +∞) =⇒ f 00 (x) > 0 =⇒ f 0

es creciente en

- Hay un punto de inexión en un mínimo en

x=0

(−∞, 0).

(0, +∞).

como conclusión de los puntos anteriores, por tanto tiene

x = 0.

Con todos estos datos tenemos que la gráca podría ser la que vemos en la gura 1.8.

15


Figura 1.8: Representación aproximada de la función buscada

1.2.16.

Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6 caras sea mínima.

(Septiembre 04)

- Solución: Queremos minimizar el área total. Dicho área es la suma de las áreas de las seis caras. En el gura 1.9 podemos ver que este área es:

Figura 1.9: Visión gráca del ejercicio

A(x, h) = 2.(2x.h) + 2.(h.x) + 2.(2x.x) = 4xh + 2xh + 4x2 = 4x2 + 6xh Para ligar las variables tenemos el volumen que cumple

V = Ab · h = 2x.x.h = 2x2 .h = 9 =⇒ h =

9 2x2

Por tanto la función área queda:

3

A(x) = 4x2 + 6x

9 2x2

= 4x2 +

27 4x3 + 27 = x x

16

1. Análisis

Si derivamos tendremos:

A0 (x) =

12x2 .x − (4x3 + 27) 12x3 − 4x3 − 27 8x3 − 27 = = =0 x2 x2 x2

Por tanto, la derivada se anula cuando

8x3 − 27 = 0.

De aquí deducimos que:

27 =⇒ x = 8x − 27 = 0 =⇒ 8x = 27 =⇒ x = 8 3

3

r

3

3

3 27 = dm. 8 2

Si estudiamos el comportamiento de la derivada en puntos próximos al obtenido vemos que se trata de un mínimo.

−19 37 < 0 y A0 (2) = >0 1 4 36 3 9 = x = =⇒ h = = 2 dm. 9 2 18 2. 4 A0 (1) =

En conclusión tenemos que

Y estos eran los valores buscados.

1.2.17.

Determinar los puntos de la curva plana y3 = 2x en que la recta tangente es perpendicular a la recta y + 6x = 0. (Septiembre 04)

- Solución:

√ 3

y 3 = 2x =⇒ y = y + 6x = 0 =⇒ y = −6x =⇒ m = −6.

La curva de la que hablamos tiene ecuación tenemos que la recta es

De aquí deducimos que la perpendicular tiene por pendiente Vamos a ver en que puntos tiene la curva pendiente

1 . 6

igualamos a

1 . 6

mtg =

1

2x = (2x) 3 .

Por otro lado

−1 1 = . m 6

Para ello derivamos la función y la

2 1 = mtg (2x)−2/3 .2 = √ 3 3 3 4x2 √ √ 2 1 3 3 √ = =⇒ 3 4x2 = 12 =⇒ 4x2 = 4 =⇒ 4x2 = 64 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = ±4 3 2 6 3 4x y0 =

Por tanto, los puntos buscados son

1.2.18.

Hallar la derivada en

P1 (4, 2); P2 (−4, −2).

x=0

de la función

f (f (x)),

donde

f (x) = (1 + x)−1 . (Junio 05)

- Solución:

−1 1 =⇒ f 0 (x) = . 1+x (1 + x)2 1 f 0 (0) = −1 y que f 0 (1) = − . 4

Tenemos que

f (x) = (1 + x)−1 =

Es obvio que

f (0) = 1,

que

Aplicamos la regla de la cadena:

0

[f (f (0))] = f 0 (f (0)) .f 0 (0) = f 0 (1).(−1) =

1.2.19.

1 −1 .(−1) = 4 4

Representar grácamente la función f (x) = x−2senx en el intervalo −π < x < π, determinando sus extremos (máximos y mínimos relativos). (Junio 05)

- Solución: Tenemos la función

f (x) = x − 2senx

en el intervalo

−π < x < π

17

1.2. Derivada y sus aplicaciones Es obvio que el dominio de esta función es todo

R.

También es evidente que no hay asíntotas.

Vamos a estudiar la derivada:

f 0 (x) = 1 − 2cosx = 0 =⇒ −2cosx = −1 =⇒ cosx =

+

π π − , 3 3 −

%

&

−π, −

1 − 2cosx

π 3

De este estudio deducimos que hay un máximo en

x=−

1 π =⇒ x = 2 3 π ,π 3 +

2

y

0

0

−2

0 18

0

−0 18

−3

3 0

2 71

0

−2 71

x=−

π 3

% π 3

y un mínimo en

Para representarla tendríamos que hacer una tabla de valores:

x 0

y

−π/3 0

0 68

x=

π 3

π/3 −00 68

Su representación gráca sería:

1.2.20.

Enunciar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial. Usarlo para demostrar que para cualesquiera números reales x < y se verica que cosy − cosx ≤ y − x. (Septiembre 05)

- Solución: El enunciado del teorema puede encontrarse en cualquier libro. Vamos a considerar la función

f (x) = cosx

y por lo tanto lo será en cualquier intervalo

que es obviamente continua y derivable en todo

[x, y].

∃ c ∈ (x, y) f 0 (c) = Ahora bien,

R,

En consecuencia:

cosy − cosx y−x

f 0 (x) = −senx =⇒ f 0 (c) = −senc =⇒ f 0 (c) ≤ 1.

De aquí deducimos lo que queríamos:

cosy − cosx ≤ 1 =⇒ cosy − cosx ≤ y − x y−x

1.2.21.

Hallar la derivada en el punto x = 0 de la función f (f (x)), donde f (x) = senx. (Septiembre 05)

18

1. Análisis

- Solución: Vamos a realizar la derivada por la regla de la cadena:

0

[(f of )] (0) = f 0 (f (0)) · f 0 (0) = cos(sen(0)) · cos0 = cos0 · cos0 = 1 · 1 = 1

Calcula

1.2.22.

1 + x − ex x→0 sen2 x l´ım

(Junio 06)

- Solución: Vamos a resolver el límite por la regla de L'Hôpital.

0 1 − ex 0 −ex 1 + x − ex 1 − ex −1 = = l´ ım = = = l´ ım = l´ ım 2 x→0 2 senx cosx x→0 2cos2x x→0 x→0 sen2x sen x 0 0 2 l´ım

1.2.23.

Dene el concepto de máximo relativo de una función relación con las derivadas sucesivas de f (x).

f (x)

y enuncia su (Junio 06)

- Solución: Es una pregunta teórica que puede encontrarse en cualquier libro.

1.2.24.

Dada la función f (x) =

senx + sen(x + 1) cosx − cos(x + 1)

en el intervalo 0 < x < 2π, calcula su derivada, simplicándola en lo posible. ¾Es constante esta función f (x)? (Septiembre 06)

- Solución: Vamos a calcular la derivada que nos piden.

f 0 (x) =

[cosx + cos(x + 1)] · [cosx − cos(x + 1)] − [senx + sen(x + 1)] · [−senx + sen(x + 1)] 2

[cosx − cos(x + 1)] =

cos2 x − cos2 (x + 1) + sen2 x − sen2 (x + 1) 2

[cosx − cos(x + 1)]

=

1−1 2

[cosx − cos(x + 1)]

=

=0

De esto deducimos que la función es constante, pues su derivada es cero para cualquier valor de x.

1.2.25.

Calcula las asíntotas y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f (x) = (1 + x2 )−1 x. A partir de los resultados obtenidos, dibuja la gráca de la función f (x). (Septiembre 06)

- Solución: Nuestra función es denominador.

f (x) =

x . 1 + x2

Vamos a hallar las asíntotas.

Es evidente que su dominio es todo

R,

pues no se anula el

19

1.2. Derivada y sus aplicaciones - Asíntotas verticales: Como no se anula el denominador no hay asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales:

x = 0. 1 + x2 x −x • l´ım = l´ım = 0. x→−∞ 1 + x2 x→+∞ 1 + x2 •

l´ım

x→+∞

Luego la recta

y=0

+∞,

es una asíntota horizontal tanto en

como en

- Asíntotas oblicuas: Al tener asíntotas horizontales no tiene oblicuas. Vamos a estudiar su derivada:

f 0 (x) =

1 + x2 − 2x2 −x2 + 1 1 + x2 − 2x.x = = 2 2 2 2 (1 + x ) (1 + x ) (1 + x2 )2

Veamos para que valores se anula la derivada:

−x2 + 1 = 0 =⇒ −x2 + 1 = 0 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ±1 (1 + x2 )2 Estudiemos su signo para ver el crecimiento y el decrecimiento:

(−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞) −x2 + 1 (1 + x2 )2

−

+

−

&

%

&

De aquí deducimos que: - La función crece en el intervalo

(−1, 1).

(−∞, −1) ∪ (1, +∞). 1 máximo en el punto 1, . 2 1 mínimo en el punto −1, − . 2

- La función decrece en

- La función tiene un

- La función tiene un

- También es evidente que corta a los ejes en el punto

(0, 0).

Por tanto su representación gráca la podemos ver en la gura 1.10.


f (x) =

x 1 + x2

−∞.

20 1.3.

1. Análisis

Integral. Cálculo de áreas y volúmenes

1.3.1.

Calcular, integrando por partes, el valor de 2

Z

x2 lnxdx

1

(Junio 00)

- Solución: Vamos a comenzar calculando una primitiva por partes.

u = lnx

=⇒

du =

dv = x2 dx

=⇒

v=

1 dx x

x3 3

2

Z

x3 lnx − x2 lnx dx = 3

Z

x3 1 x3 x3 · dx = lnx − 3 x 3 9

Luego:

Z

2

x2 lnx dx =

1

1.3.2.

x3 x3 lnx − 3 9

2

=

1

8 8 ln2 − 3 9

1 8 7 − 0− = ln2 − 9 3 9 √

Calcular el área limitada por la parábola y = 2x2 , la circunferencia x2 +y2 = 1 y el eje OX , que aparece rayada en la gura .

(Junio 00)

- Solución: Por lo que observamos en la gura del enunciado, nos piden que de la circunferencia consideremos la rama positiva, es decir, tomaremos

y=

√

1 − x2 .

Es obvio que el área hay que dividirla en dos trozos, como podemos ver en la gura 1.11. Vamos a calcular los puntos de corte:

√

2x2 =

p 1 − x2 =⇒ 2x4 = 1 − x2 =⇒ 2x4 + x2 − 1 = 0

Se trata de una ecuación bicuadrada, por lo que hacemos

2z 2 + z − 1 = 0

z = x2

y resolvemos.

21

1.3. Integral. Cálculo de áreas y volúmenes

Figura 1.11: Representación detallada del área buscada

√  1 1 −1 + 3 2   √ = =⇒ x = = z = 1 −1 ± 1 + 8 −1 ± 3 4 2 2 2 z= = =⇒  4 4  z = −1 − 3 = −1 =⇒ No vale. 2 4 √

Luego el área buscada, según vemos en la gura 1.11 es:

√ 2/2

Z A = A1 + A2 =

√

2x2 dx +

0

Z

1

p

√ 2/2

1 − x2 dx

Vamos a calcular cada una por separado, calculando previamente una primitiva en cada caso.

Z √

Por tanto,

√ 2/2

Z A1 =

√

√

"√

2 3 x 3

2x2 dx =

0 Por otro lado tenemos:

2 3 x 3

2x2 dx =

#√2/2 0

√ 2 2 2 1 · = 3 8 6

√ =

u

2

Z p 1 − x2 dx

Vamos a utilizar el cambio

x = sent

Z p

1 − x2 dx =

para resolver la integral indenida.

x

=

dx

= cost dt

Z p

sent

1 − sen2 t cost dt =

Z

cos2 t dt

1 cos2t + tendríamos: 2 2 Z 1 cos2t 1 sen2t 1 sen2(arcsenx) + = arcsenx + dt = t + 2 2 2 4 2 4

Si aquí cambiamos

cos2 t =

Por tanto:

Z A2 =

1

√ 2/2

p

1 − x2 dx =

=

1 sen2(arcsenx) arcsenx + 2 4

π 1 π 1 +0 − + = − u2 4 8 4 8 4

π

1 √ 2/2

=

22

1. Análisis

En consecuencia:

1 π 1 4 + 3π − 6 3π − 2 + − = = 6 8 4 24 24

A = A1 + A2 =

1.3.3.

u

2

Determinar una función f (x) cuya segunda derivada sea f 00 (x) = xex . (Septiembre 00)

- Solución: f 0 y posteriormente calcular

Habrá que calcular una primitiva de la función que nos dan, que será

otra primitiva de ésta, que será la función que buscamos. La integral se calcula por partes:

u=x

; du = dx x

; v = ex

dv = e dx Por tanto:

0

Z

x

Z

x

xe dx = xe −

f (x) =

ex dx = xex − ex

Hacemos de nuevo la integral de la función obtenida.

Z

(xex − ex ) dx =

Z

xex dx −

Z

ex dx = xex − ex − ex = xex − 2ex

La función buscada es:

f (x) = xex − 2ex

1.3.4.

Calcular, con el cambio de variable Z 1

t2 = x + 3, 6

el valor de:

xdx √ x+3 (Septiembre 00)

- Solución: Vamos a calcular primero una primitiva utilizando el cambio indicado:

t2 = x + 3

=⇒

x = t2 − 3

=⇒

t=

√

x+3

2tdt = dx Realizando la sustitución:

Z

Z Z t2 − 3 2tdt 2t3 − 6t = dt = t t

p

2 2t3 2t2 − 6 dt = − 6t = 3

√ (x + 3)3 −6 x+3 3

En consecuencia:

Z 1

6

" p #6 √ 2 (x + 3)3 xdx 54 16 √ = −6 x+3 = − 18 − − 12 = 3 3 3 x+3 1

=

1.3.5.

54 − 54 − 16 + 36 20 = 3 3

Determinar una constante positiva a sabiendo que la gura plana limitada por la parábola y = 3ax2 + 2x, la recta y = 0 y la recta x = a tiene área (a2 − 1)2 . (Junio 01)

23


- Solución: La gura 1.12 nos muestra una visión gráca del problema planteado.


Como

a > 0

la función

y = 3ax2 + 2x

corta al Eje X en

x = 0

y en

x = −

número negativo).

2 3a

(que será un

Luego el área buscada es la que aparece sombreada en la gura 1.12. Por tanto, tenemos que:

Z

a

(3ax2 + 2x)dx = (a2 − 1)2

0 Ahora bien,

Z 0

a

a (3ax2 + 2x)dx = ax3 + x2 0 = a4 + a2

En consecuencia:

a4 + a2 = (a2 − 1)2 4 4 a@ + a2 = @ a@ + 1 − 2a2 @ 3a2 = 1 1 a2 = 3 r 1 a=± 3

r Como tiene que ser positivo el valor de

1.3.6.

Calcular el valor de:

a,

tenemos que

Z 0

1

a=

√ 1 1 3 =√ = 3 3 3

xdx ex2

(puede hacerse con el cambio de variable t = −x2 y con el cambio de variable t = x2 ). (Junio 01)

- Solución: Vamos a calcular una primitiva. Para ello vamos a utilizar el cambio

t = x2 =⇒ dt = 2xdx Sustituyendo tenemos:

Z

−1 −t −1 −x2 1 dt = e = e 2et 2 2

t = x2 .

24

1. Análisis

Por tanto:

Z

1

0

1.3.7.

1 xdx −1 −x2 −1 1 = = e + 2 2e 2 ex2 0

Representar grácamente el recinto plano limitado por la curva su tangente en el punto de abscisa x = 1. Calcular su área

y = x3 − x

y

(Septiembre 01)

- Solución: Vamos a calcular primero la recta tangente. Vamos a calcularla mediante la ecuación puntopendiente. El punto lo obtenemos sustituyendo en la función

x

por 1. Dicho punto será

P (1, 0).

La pendiente de la recta tangente se obtiene sustituyendo en la derivada de la función:

f 0 (x) = 3x2 − 1 =⇒ mtg = f 0 (1) = 3 − 1 = 2 La ecuación de la recta será:

y − 0 = 2(x − 1) =⇒ y = 2x − 2 A continuación representaremos la zona que nos piden. Para pintar la recta basta con hacer una tabla de valores, pero para pintar la función será mejor estudiar su derivada. Vamos a calcularla y estudiaremos su signo para ver el crecimiento y los máximos y mínimos.

√ 3 1 f (x) = 3x − 1 =⇒ 3x − 1 = 0 =⇒ x = =⇒ x = ± 3 3 0

2

2

2

Estudiamos el signo:

√ −∞, − 3/3 3x2 − 1

√ √ − 3/3, 3/3

√

3/3, +∞

+

−

+

%

&

%

Luego:

- Crece

√ √ −→ −∞, − 3/3 ∪ 3/3, +∞ .

- Decrece

√ √ −→ − 3/3, 3/3 .

- Máximo

√ −→ − 3/3, 00 38 .

- Mínimo

−→

√

3/3, −00 38

.

Es evidente que se trata de una función impar y por tanto corta en el

(0, 0).

La representación

gráca podemos verla en la gura 1.13. Vamos ahora a calcular el área. Hallamos los puntos de corte de la función y la recta.

x3 − x = 2x − 2 =⇒ x3 − 3x + 2 = 0 Buscamos una raiz por Runi.

1

0 1

−3 1

2 −2

1

1

−2

0

1

25



Calculamos después las otras dos:

x2 + x − 2 = 0 =⇒ x =

Luego los límites de integración son

Z

x = −2

x3 − x − (2x − 2) dx =

Z

−2

=

1.3.8.

y

−1 ± 3 = = 2

x = 1.

(

x=1 x = −2

Vamos a calcular el área.

4 1 x 3x2 x3 − 3x + 2 dx = − + 2x = 4 2 −2

1

−2

1+8

2

1

A=

√

−1 ±

1 3 1 − 6 + 32 27 2 1 3 − + 2 − 4 − 6 − 4 = − + 8 = = u 4 2 4 2 4 4

Denir el concepto de primitiva de una función y explicar su relación con el concepto de integral denida. (Septiembre 01)

- Solución: La solución a este ejercicio podemos verla en cualquier libro.

1.3.9.

Representar grácamente la gura plana limitada por las parábolas y = 4 − x2 , y = x2 − 4. Calcular su área. (Junio 02)

- Solución: Las funciones que nos dan son dos parábolas cuyas representaciones grácas podemos verla en la gura 1.14. Vamos a calcular los puntos corte.

x2 − 4 = 4 − x2 =⇒ 2x2 − 8 = 0 =⇒ x2 = 4 =⇒ x = ±2 Calculemos ahora el área:

Z

2

A=

4 − x2 − x2 − 4 dx =

Z

2

−2

−2

=

−16 + 16 − 3

16 − 16 3

2 −2x3 + 8x = −2x2 + 8 dx = 3 −2 = 32 −

32 64 2 = u 3 3

26

1. Análisis

Figura 1.14: Representación gráca de la región pedida.

1.3.10.

Calcular el valor de la integral 1

Z

xe−x dx

0

(Junio 02)

- Solución: Vamos a calcular primero una primitiva. Esta integral hay que resolverla por partes.

u=x

; du = dx −x

dv = e Por tanto:

Z

; v = −e−x

dx

x e−x dx = −xe−x +

Z

e−x dx = −xe−x − e−x

Retomamos la denida y tenemos:

Z 0

1.3.11.

1

1 −2 e−2 x e−x dx = −xe−x − e−x 0 = −e−1 − e−1 + 1 = +1= e e

Representa grácamente el recinto plano limitado, en la región donde la coordenada x es positiva, por la recta x = 1, la hiperbola xy = 1, y la recta 6y − x + 1 = 0. Calcula su área. (Septiembre 02)

- Solución: Vamos a representar la región pedida haciendo una tabla de valores para cada caso: a) Para la hipérbola

xy = 1

valdría:

x 00 1 y

10

00 5

1

2

3

5

1

1/2

1/3

b) Para la recta bastarían dos puntos:

x

0

3

y

−1/6

1/3

27

1.3. Integral. Cálculo de áreas y volúmenes La representación gráca podemos verla en la gura 1.15.


Vamos a buscar los puntos de corte de las dos grácas.

x.y

=

#

1

6y − x = −1

=⇒

#

x.y = 1 x = 6y + 1

=⇒ (6y + 1).y = 1 =⇒ 6y 2 + y − 1 = 0

Resolviendo la ecuación tenemos:

 1  −1 ± 5  y = − 2 −1 ± 1 + 24 = = y= 1  12 12  y= 3 √

Sustituyendo cada valor de

1 y=− 2 1 y= 3

y

obtenemos uno de

x.

=⇒

x = −3 + 1 = −2 =⇒

=⇒

x = 2 + 1 = 3.

Por tanto, mis límites de integración son

x=1

y

No nos sirve.

x = 3.

Observando la gura 1.15, podemos calcular el área de la siguiente forma:

Z

3

1

1 x−1 − x 6

3 x2 x 9 6 1 2 + + + dx = lnx − = ln3 − − 0− = 12 6 1 12 12 12 12 = ln3 −

1.3.12.

4 1 = ln3 − u2 12 3

Calcular una primitiva de la función f (x) =

−1

x2 + 1

x

que se anule en x = 2. (Septiembre 02)

- Solución: Vamos a calcular la integral indenida y despues calcularemos el valor de la constante que hace que se anule en

x = 2. Z

Si hacemos

x=2

resulta:

1 x dx = ln x2 + 1 + k x2 + 1 2 √ 1 ln5 + k = 0 =⇒ k = −ln 5 2

28

1. Análisis

Representar grácamente el recinto plano limitado por la recta la parábola de ecuación y2 = x. Calcular su área.

1.3.13.

y = x−2

y

(Junio 03)

- Solución: Son funciones sucientemente conocidas, por lo que con una tabla de valores se pueden representar. Sólo hay que tener en cuenta que de la parábola hay que considerar las dos ramas. La representación pedida la podemos ver en la gura 1.16.


Vamos a hallar los puntos de corte.

#

y2 = x y =x−2

=⇒ x = (x − 2)2 =⇒ x = x2 − 4x + 4 =⇒ x2 − 5x + 4 = 0 =⇒

=⇒ x =

5±

√

25 − 16 5±3 = =⇒ 2 2

(

x=4 x=1

Vamos a calcular el área. Observando la gráca de la gura 1.16 vemos que hay que descomponer el área en dos trozos (A1 y

A2 ).

Z A = A1 + A2 =

1

√

√ x − (− x) dx +

Z

0 4

Z

√

+ 1

−

√

x − (x − 2) dx =

1

Z

1

√ 2 xdx+

0

" √ #1 " √ #4 4 x3 2 x3 x2 4 16 16 x − x + 2 dx = + − + 2x = + − +8 − 3 3 2 3 3 2 0

2 1 − +2 3 2

1.3.14.

4

=

1

4 16 16 2 1 8 + 32 − 48 + 48 − 4 + 3 − 12 27 2 + − +8− + −2= = u . 3 3 2 3 2 6 6

Calcular el valor de la siguiente integral, donde periano: Z e

e2

ln

denota el logaritmo ne-

dx x(lnx)

(Junio 03)

29


- Solución: Vamos a calcular primero una primitiva. Para eso vamos a hacer el cambio:

t

= lnx 1 = dx x

dt Tenemos por tanto

Z

dx = xlnx

Z

dt = ln|t| = ln|ln|x|| t

Por tanto:

Z e

e2

dx e2 = [ln|ln|x||]e = ln|ln|e2 || − ln|ln|e|| = ln2 − ln1 = ln2 x(lnx)

Calcular el valor de la integral (puede hacerse con el cambio de variable t = e−x ): Z

1.3.15.

1

0

dx +1

ex

(Septiembre 03)

- Solución: Vamos a calcular primero una primitiva. Aplicamos el cambio aconsejado:

Z

dx = x e +1

Por tanto:

Z 0

1

Z

t = e−x

=⇒

dt = −e−x dx

=⇒

−dt =− 1 t +1 t

Z

1 t −dt dx = t ex =

dt = −ln|1 + t| = −ln 1 + e−x 1+t

1 dx −x 1 = −ln 1 + e = −ln 1 + + ln2 0 ex + 1 e

Representar grácamente la gura plana limitada por la curva y = ex , su recta tangente en el punto de abcisa x = 0, y la recta x = 1. Calcular su área.

1.3.16.

(Septiembre 03)

- Solución x = 0. = f (0) = e = 1.

Vamos a calcular en primer lugar la ecuación de la recta tangente a la curva en que dicha recta pasa por

0

(0, e ) = (0, 1)

y que su pendiente es

mtg

0

Sabemos

0

Por tanto la ecuación de dicha recta es:

y − 1 = 1(x − 0) =⇒ y = x + 1 La representación gráca podemos verla en la gura 1.17. En la gráca puede verse que no hay más punto de corte que

x = 0,

por tanto el área que

queremos es:

Z A= 0

1

[ex − (x + 1)] dx =

Z 0

1

1 x2 1 (ex − x − 1)dx = ex − −x = e− −1 −1= 2 2 0

30

1. Análisis


=e−

1.3.17.

5 2 u . 2

Denir el concepto de primitiva de una función. ¾Existe alguna primitiva de la función f (x) = x−1 que no tome ningún valor positivo en el intervalo 1 ≤ x ≤ 2? (Junio 04)

- Solución: El concepto teórico puede encontrarse en cualquier libro. Vayamos a lo práctico. Tenemos la función

f (x) = x−1 =

1 . x

Si hayamos las primitivas de la función nos sale:

Z

La gráca de

y = lnx

1 dx = lnx + k x

podemos verla en la gura 1.18.

Figura 1.18: Gráca de y=ln x y de y=ln (x-3)

Como sabemos, k desplaza verticalmente dicha gráca, por tanto, si a k le doy, por ejemplo, el valor -3, es decir,

f (x) = lnx − 3,

la gráca se desplazará 3 unidades hacia abajo, resultando la

gráca de la derecha de la gura 1.18. Hay que tener en cuenta que la función

0

ln2 = 0 693147...,

por tanto

y = lnx − 3

y = lnx

es una función creciente y que

ln1 = 0

y

será negativa en todo el intervalo (Observar la gráca de

la derecha la gura 1.18). De hecho bastaría con tomar

k < −ln2.

31


Representa grácamente el recinto plano limitado, en la región donde la abcisa x es positiva, por la curva y = x3 + x , y por la recta y = 2x. Calcular el área.

1.3.18.

(Junio 04)

- Solución: Tenemos que las funciones que encierran el área son

y = x3 + x

y = x3 + x

é

y = 2x.

Para representar

bastará con calcular sus máximos y mínimos, los puntos de corte con lo ejes y, si es

necesario, una tabla de valores. Vamos a empezar hallando los puntos de corte con el eje X haciendo y=0.

( 3

x + x = 0 =⇒

x=0 x2 + 1 = 0 =⇒ No

tiene solución

Vamos a ver donde se anula su derivada:

y 0 = 3x2 + 1 =⇒ 3x2 + 1 = 0 =⇒ No

tiene solución

La gráca de las dos funciones podéis verla en la gráca 1.19

Figura 1.19: Visión gráca del problema

Vamos a hallar los puntos de corte de las dos funciones:

( x3 + x = 2x =⇒ x3 − x = 0 =⇒ x · (x2 − 1) = 0 =⇒

x = 0. x2 − 1 = 0 =⇒ x = ±1.

Vamos a calcular el área, que será el comprendida entre 0 y 1 por las dos funciones. Como la recta está por encima ponemos:

Z A=

1

2x − x3 + x dx =

0

1.3.19.

Z

1 3

x−x 0

x2 x4 dx = − 2 4

1 = 0

1 1 1 − = u2 2 4 4

Representar grácamente la gura plana limitada en el primer cuadrante (x ≥ 0, y ≥ 0) por la recta y = x y la curva x = y 3 . Calcular su área. (Septiembre 04)

- Solución: (x ≥ 0, y ≥ 0), √ x = y 3 =⇒ y = 3 x.

Tenemos que la función

es decir, el primer cuadrante. Tenemos también la función

y=x

y

32

1. Análisis

Figura 1.20: Representación detallada

El área que queremos calcular es la que nos muestra la gura 1.20. Buscamos los puntos de corte de ambas funciones:

x=

Como

√ 3

(

x ≥ 0; y ≥ 0,

Z

1

A=

√ 3

sobra la raiz

x − x dx =

0

1.3.20.

x=0

x =⇒ x3 = x =⇒ x3 − x = 0 =⇒

1

Z

0

x = −1

x2 − 1 = 0 =⇒ x = ±1

y tenemos que:

" 4 #1 " 4 #1 x2 x3 3x 3 x2 3 1 1 x − x dx = 4 − = − = − = u2 2 4 2 4 2 4 3 1 3

0

0

Calcular el valor de la siguiente integral: 2

Z

x

p 3

x2 − 1dx

1

(puede hacerse con el cambio de variable

x2 − 1 = t3 . (Septiembre 04)

- Solución: Vamos a resolver primero la indenida. Hacemos el cambio que nos recomiendan:

t3 = x2 − 1

=⇒

t=

√ 3

x2 − 1

2

3t dt = 2xdx Por tanto:

Z x

p 3

x2

1 − 1dx = 2

Z 3t

2

√ 3

t3 dt

3 = 2

Z

p 3 3 (x2 − 1)4 3 t4 t dt = +k = +k 24 8 3

En consecuencia tendríamos:

Z

2

x 1

1.3.21.

p 3

" p #2 √ √ 3 2 − 1)4 3 (x 933 3 3 81 2 = x − 1dx = = 8 8 8 1

Representar grácamente el recinto plano limitado por las curvas y = e−x , y por la recta x = 1. Calcular su área.

y = ex ,

(Junio 05)

33


- Solución: Vamos a representar las funciones haciendo una tabla de valores:

y = ex =⇒

y = e−x =⇒

x

−2

−1

0

1

2

y

−2

−1

1

e

e2

e

e

x −2 y

−1

2

e

e

0

1

2

1

−1

−2

e

e

La representación gráca y el área buscada la vemos en la gura 1.21.

Figura 1.21: Área encerrada por las exponenciales y x=1.

Vamos a encontrar los puntos de corte:

ex = 1 =⇒ ex .ex = 1 =⇒ e2x = 1 = e0 =⇒ 2x = 0 =⇒ x = 0 e−x

ex = e−x =⇒

Luego los límites de integración son

Z 0

1

x=0

y

x = 1.

Por tanto:

1 ex − e−x dx = ex + e−x 0 = e1 + e−1 − (1 + 1) =

=e+

e2 + 1 − 2e 2 1 −2= u e e

Calcular el valor de la siguiente integral:

1.3.22.

Z

e

lnx dx x2

1

(puede hacerse por partes). (Junio 05)

- Solución: Vamos a resolver la integral como nos indican, por partes. Para ello vamos a derivar el logaritmo y a integrar el polinomio.

u = lnx

dv =

1 dx x2

=⇒

du =

=⇒

v=

1 dx x

−1 x

Vamos a empezar por encontrar una primitiva:

Z

−lnx lnx dx = − x2 x

Z

−1 1 −lnx · dx = + x x x

Z

1 −lnx 1 −lnx − 1 dx = − = x2 x x x

34

1. Análisis

Por tanto:

e

Z 1

1.3.23.

e lnx −lnx − 1 −lne − 1 −ln1 − 1 −2 = dx = − = +1 2 x x e 1 e 1

Calcular una primitiva de la función f (x) = (x+1)2 x−1/2 que se anule en x = 1. (Septiembre 05)

- Solución: Tenemos que nuestra función es:

f (x) = (x + 1)2 x−1/2 =

(x + 1)2 x2 + 2x + 1 √ √ = = x3/2 + 2x1/2 + x−1/2 x x

Vamos a calcular la integral indenida:

Z

(x3/2 + 2x1/2 + x−1/2 )dx =

Según el enunciado tiene que anularse en

x = 1,

4x3/2 2x5/2 + + 2x1/2 + k 5 3 por tanto:

2 4 −6 − 20 − 30 −56 2 4 + + 2 + k = 0 =⇒ k = − − − 2 = = 5 3 5 3 15 15 La primitiva buscada es:

F (x) =

1.3.24.

2x5/2 4x3/2 56 + + 2x1/2 − 5 3 15

Representar grácamente el recinto plano limitado por la recta √ por la curva de ecuación y = x − 1. Calcular su área.

x−y = 1

y

(Septiembre 05)

- Solución: Ambas funciones son conocidas y su representación puede hacerse por una sencilla tabla de valores que voy a omitir. Tras eso la representación gráca podemos verla en la gura 1.22.


A continuación vamos a calcular el área encerrada por las dos funciones. Empezaremos por calcular los puntos de corte para delimitar los límites de integración.

√

x−1 x−1

= =

x−1 (x − 1)2

x−1

= x2 − 2x + 1

35


( 2

−x + 3x − 2 = 0 =⇒

x=1 x=2

Por tanto el área quedaría:

Z A= 1

=

1.3.25.

2

√

" p #2 2 (x − 1)3 x2 x − 1 − (x − 1) dx = − +x = 3 2 1

2 1 − 2+ 2 − − +1 3 2

=

2 1 4+3−6 1 + −1= = u2 3 2 6 6

Representa grácamente la gura plana limitada por la curva recta tangente en el punto (1, 1) y el eje OY . Calcular su área.

y = x4 ,

su

(Junio 06)

- Solución: La función

y = x4

es de fácil representación, basta con dar algunos valores. Vamos a calcular la

recta tangente que nos piden y posteriormente realizaremos la representación de la zona buscada. Sabemos que la pendiente de dicha recta es la derivada de la función en el punto, por tanto:

f 0 (x) = 4x3 =⇒ mtg = f 0 (1) = 4 Como la recta pasa por el punto

(1, 1) y tiene la pendiente anterior, tenemos que la recta buscada

es:

y − 1 = 4(x − 1) =⇒ y − 1 = 4x − 4 =⇒ y = 4x − 3 En consecuencia, la representación gráca de ambas funciones y la zona pedida la podemos ver en la gura 1.23.


Vamos a calcular el área que nos piden:

Z 0

1.3.26.

1

5 1 4 1 6 x 2 x − (4x − 3) dx = − 2x + 3x = − 2 + 3 = u2 5 5 5 0

Halla una primitiva de la función f (x) = xex . (Junio 06)

36

1. Análisis

- Solución: Es una integral típica para resolverla por partes, en la que tenemos que derivar el polinomio e integrar la exponencial.

u=x

; du = dx

dv = ex dx Z

xex dx = xex −

; Z

#

v = ex ex dx = xex − ex

No es necesario terminar el resultado sumando una constante pues nos piden una primitiva, no todas.

1.3.27.

Enuncia la regla de Barrow. Representa la gráca de la función x

Z f (x) =

tdt 1

(Septiembre 06)

- Solución: La regla de Barrow puede verse en cualquier libro. Vamos a calcular cual es nuestra función:

x

Z f (x) = 1

t2 tdt = 2

x = 1

1 1 1 x2 − = x2 − 2 2 2 2

De su ecuación deducimos que se trata de una parábola. Para representarla vamos a calcular la coordenada x del vértice y haremos una tabla de valores. Coordenada x del vértice

−→ x =

−b 0 = =0 2a 1

La tabla de valores que utilizaremos es:

x

0

−1

1

−2

2

−3

3

y

−1/2

0

0

3/2

3/2

4

4

La representación gráca la tenemos en la gura 1.24


1.3.28.

f (x) =

1 2 1 x − 2 2

Representa la gura plana limitada por la gráca de la función f (x) = cosx, π π 1 en el intervalo − ≤ x ≤ , y por la recta y = . Calcular su área. 2

2

2

(Septiembre 06)

37


- Solución: La representación del área pedida no es complicada, pues se suponen conocidas ambas funciones. Dicha representación la encontramos en la gura 1.25.


Vamos a encontrar los puntos de corte que nos dirán cuales son los límites de integración.

1 π =⇒ x = ± 2 3

cosx =

Para hallar el área consideramos la función dicha función.

g(x) = cosx −

Z cosx −

G(x) =

1 2

1 . 2

Vamos a calcular una primitiva de

dx = senx −

x 2

Sustituimos en los distintos puntos que tenemos resultando:

G G

−π 2

= sen

−π 2

−

−π 2

2

= −1 +

π = −00 2146 4

√ − 3 π = + = −00 3424 = sen − 2 2 6 √ π π π 3 π = sen − 3 = − = 00 3424 G 3 3 2 2 6 π π π π G = sen − 2 = 1 − = 00 2146 2 2 2 4

−π 3

−π 3

−π 3

Para calcular el área hacemos:

G

−π 3

G G

−G

π 3 π 2

−π 2

−G −G

−π 3 π 3

= −00 3424 + 00 2146 = −00 1278

= 00 3424 + 00 3424 = 00 6848

= 00 2146 − 00 3424 = −00 1278

Y el área buscada será:

A = |−00 1278| + 00 6848 + |−00 1278| = 00 9404 u2 .

38

1. Análisis

Capítulo 2

Álgebra 2.1.

2.1.1.

Matrices y determinantes

Denir la suma y el producto de matrices. Dar un ejemplo de dos matrices que no pueden sumarse ni multiplicarse. (Septiembre 00)

- Solución: La parte teórica puede encontrarse en cualquier libro. Como ejemplo de matrices que no pueden sumarse ni multiplicarse tenemos:



1

 A= 0 1

2 −1 0

3



 2  3

y

B=

1 5

3 −2

!

Es evidente que estas matrices no pueden sumarse, pues no son de la misma dimensión. De forma análoga no es difícil comprobar que no pueden multiplicarse, pues para eso es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de las de la segunda, cosa que no ocurre en ninguno de los casos.

2.1.2.

Determinar todos los números reales x para los que es positivo el determinante 3 1−x 2

−3 x+1 0

x

x −1

(Septiembre 01)

- Solución: Vamos a calcular el valor del determinante en función de resultante.

3 1−x 2

−3 x+1 0

x

para luego estudiar la inecuación

x −1 = 3x(x + 1) + 6 − 2x(x + 1) + 3x(1 − x) = x

2 2 = 3x + 3x + 6 − 2x2 − 2x + 3x − 3x = −2x2 + 4x + 6 Vamos a ver donde

−2x2 + 4x + 6 > 0.

En primer lugar buscaremos las raices y con ellas 39

40

2. Álgebra

construiremos la tabla para estudiar el signo de la función.

−2x2 + 4x + 6 = 0 =⇒ x2 − 2x − 3 = 0 ( √ x=3 2 ± 4 + 12 2±4 x= = 2 2 x = −1 Vamos a estudiar el signo de la función:

(−∞, −1) (−1, 3) (3, +∞) 2

−2x + 4x + 6 Luego el determinante es positivo en

2.1.3.

−

−

+

(−1, 3).

Calcular todas las matrices X tales que A=

1

1

1

1

!

,

AX + B = X ,

B=

1

−2

0

−1

donde

!

(Septiembre 01)

- Solución: Empezaremos por despejar la

X

y después realizaremos las operaciones que sean necesarias:

−1

AX + B = X =⇒ AX − X = −B =⇒ (A − I) X = −B =⇒ X = (A − I) A−I

El último paso sólo podemos hacerlo si la matriz continuación.

A−I =

1

1

1

1

! −

1

0

0

1

· (−B)

es regular, cuestión que veremos a

! =

0

1

1

0

!

Es evidente que esta matriz es regular, pues su determinante es distinto de cero. Vamos a calcular la inversa. Supongamos que dicha matriz es:

−1

(A − I)

=

x

y

z

t

!

Dicha matriz cumplirá:

0

1

1

0

! ·

x

y

z

t

! =

1

0

0

1

! =⇒ (A − I)−1 =

0

1

1

0

!

Por tanto, sustituyendo tenemos:

−1

X = (A − I)

2.1.4.

· (−B) =

Calcular la matriz X tal que A=

0

1

1

0

! ·

AX = B , 1

2

0

1

!

−1

2

0

1

! =

0

1

−1

2

!

donde ,

B=

1

2

3

4

!

(Junio 02)

41

2.1. Matrices y determinantes

- Solución: Como la matriz

A

es invertible (pues

por la izquierda por la inversa de

|A| = 1 6= 0)

podemos despejar la matriz

X

multiplicando

A.

A · X = ·B =⇒ A−1 · A · X = A−1 · B =⇒ X = A−1 · B Vamos a calcular la inversa de A.

x z

y t

!

1 0

·

2 1

!

  x=1   !   2x + y = 0 =⇒ y = −2 0 =⇒  z=0 1     2z + t = 1 =⇒ t = 1

1 0

=

En consecuencia:

X=A

2.1.5.

−1

·B =

1 0

!

−2 1

1 3

·

2 4

!

−5 3

=

−6 4

!

Calcular dos números naturales a, b menores que 10 y tales que la siguiente matriz A tenga rango 2:   2   0 3

2 5

b  a  b

1

(Junio 03)

- Solución: Es evidente que

Rg(A) ≥ 2,

pues

2 |A| = 0 3

2 5 1

2 0

2 5

= 10 6= 0.

Calculemos el valor del

b a = 10b + 6a − 15b − 2a = −5b + 4a b

Los números que buscamos tienen que ser

minante. Por tanto:

naturales, menores que 10 y anular el deter-

−5b + 4a = 0 =⇒ 4a = 5b =⇒ b = Esto sólo es posible si

2.1.6.

a=5

y

|A|.

4a 5

b = 4.

Denir el producto de matrices. Dar un ejemplo de dos matrices las y 2 columnas, tales que A · B no coincida con B · A.

A, B

con 2

(Septiembre 03)

- Solución: La parte teórica puede encontrarse en cualquier libro. Lo más natural sería que al elegir dos matrices el producto no sea conmutativo. Vamos a encontrar dos matrices que cumplan lo que piden y vamos a comprobar que así ocurre. Tomamos las matrices:

A=

1

3

2

5

! y

B=

2

3

1

1

!

42

2. Álgebra

Realicemos ambos productos para ver que no coinciden:

A·B =

B·A=

2.1.7.

1

3

2

5

2

3

1

1

! · ! ·

2

3

1

1

1

3

2

5

! = ! =

Determinar todas las matrices X tales que A=

1

1

1

1

5

6

9

11

8

21

3

8

!

!

A · X = X · A,

donde:

!

(Junio 04)

- Solución: Supongamos que nuestra matriz X tiene la forma:

a

b

c

d

a

b

!

c

d

1 1

1 1

X=

!

Siendo A como es tenemos que:

A·X=

1

1

1

!

a b c d

X·A= Buscamos que

1

A · X = X · A,

!

= ! =

a+c

b+d

a+c

b+d

a+b c+d

a+b c+d

!

!

por tanto igualando tenemos:

a+c

b+d

a+c

b+d

! =

a+b

a+b

c+d

c+d

!

De lo que deducimos que:

a +c=a + b =⇒ c = b b + d = a + b =⇒ a = d a + c = c + d =⇒ a = d b+d =c+d =⇒ c = b Por tanto la matriz

X

buscada tiene la siguiente forma:

X=

2.1.8.

a

b

b

a

!

Hallar una matriz con tres las y tres columnas que tenga tres elementos nulos y tal que ninguno de sus menores de orden dos sea nulo. (Junio 04)

43

2.1. Matrices y determinantes

- Solución:

2.1.9.





0

1

1

 X= 1 1

0 1

 1  0

Denir el concepto de rango de una matriz. Dar un ejemplo de una matriz con 3 las y 4 columnas que tenga rango 2. (Septiembre 04)

- Solución: La parte de teoría se puede consultar en cualquier libro. Para el segundo interrogante basta con coger las dos primeras las que den rango 2 y la tercera sea combinación lineal de estas dos, por ejemplo, la suma de las dos:



1

3

2

1

0

3+1

2+0

 X =  −1 1−1

2.1.10.



0



1

   =  −1 0+3 0 3

3

2

1

0

4

0



 3  2 3

¾Puede aumentar el rango de una matriz cuadrada de 3 las al sustituir un coeciente no nulo por 0?¾y permanecer igual?. Justicar las respuestas. (Septiembre 04)

- Solución: En ambos casos la respuesta es SI. Veámoslo con un ejemplo. En el primer caso, supongamos una matriz de rango 2 en la que la tercera la sea suma de las dos primeras. si en la tercera la cambiamos un número por cero es posible que el rango sea tres. Veamos un ejemplo:





1

2

3

 A= 3 4

1 3

 2  5 A0

Esta matriz tiene rango 2, mientras que la matriz

que mencionamos a continuación tiene

rango 3:



1

2

 A0 =  3 4

1 3

1  2  =⇒ |A0 | = 3 4 0 3



= 16 + 27 − 12 − 6 6= 0 0

2 1

3 2

3

En el segundo caso veamos el ejemplo:



Esta matriz tiene rango 3, pues



0

1

1

 A= 1

0

1

1

 1  0

|A| = 2 6= 0

Además si cambio un 1 por un 0, como en el ejemplo que sigue, tenemos:



que también tiene rango 3, pues



0

1

0

 A0 =  1 1

0 1

 1  0

|A0 | = 1 6= 0

44

2. Álgebra

2.1.11.

Sea A una matriz cuadrada tal que A2 = A + I , donde I es la matriz unidad. Demuestra que la matriz A es invertible. (Junio 06)

- Solución: Una posible manera de resolverlo es comprobar que la matriz

B = A−I

es la inversa de

A.

Vamos a comprobarlo.

A · B = A · (A − I) = A2 − A = A + I − A = I B · A = (A − I) · A = A2 − A = A + I − A = I Luego la matriz

B

así construida es la inversa de

A

y por tanto

A

es invertible.

Otra forma de resolverlo sería la siguiente: Tenemos que

A2 = A + I ,

por tanto:

A2 − A = I =⇒ A(A − I) = I Como ambas matrices son iguales, sus determinantes son iguales y operando llegamos a lo que queremos.

|A(A − I)| = |I| =⇒ |A| |A − I| = |I| = 1 En consecuencia ninguno de los factores puede ser cero al ser el producto 1 y de ahí deducimos que

|A| = 6 0 =⇒ A

2.1.12.

es invertible.

Escribe un ejemplo de una matriz de rango 2, con 3 las y 4 columnas, que no tenga ningún coeciente nulo. (Septiembre 06)

- Solución: Basta con tomar las dos primeras las linealmente independientes sin coecientes nulos y sumarlas para obtener la tercera, como por ejemplo





1

2

3

4

  5 6

6 8

7 10

 8  12

45

2.2. Sistemas de ecuaciones

2.2.

2.2.1.

Sistemas de ecuaciones

La matriz de coecientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es M . Hallar un sistema equivalente tal que todos los elementos de la diagonal principal de la nueva matriz asociada sean nulos: 

−1



0

3

 M = 3

1

0

2

 1  1

(Junio 00)

- Solución: Vamos a aplicar el método de Gauss para hacer los ceros que nos piden.



−1

  3 0





−1

0

3

1 2

 F3 =F3 −F2  1  −−−−−−−→  3 −3 1

0





3

−1

 F2 =F2 −F3  1 1  −−−−−−−→  6 −3 1 0



−1

0

F =3F1 −F3  −−1−−−− −−→  6 −3

0 1

9

0

3



 0 1  1 0



 1  0

La matriz buscada es:



0

 M0 =  6 −3

2.2.2.

−1 0 1

9



 1  0

Dar un ejemplo de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea incompatible. (Junio 00)

- Solución: x+y+z =1 x+y+z =2

2.2.3.

)

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el parámetro a: (a − 3)x x −x

+ + ay

4z

− 2 + 2z

=

2

= −1 = a

(Septiembre 00)

- Solución: La matriz asociada al sistema es:

  

a−3

0

4

1

0

−2

−1

a

2

 2  −1  a

46

2. Álgebra

Vamos a empezar por estudiar el rango de la matriz de los coecientes:

a−3 1 −1

4 0 −2 = 4a + 2a(a − 3) = 4a + 2a2 − 6a = 2a2 − 2a a 2 0

Igualando a cero resulta:

( 2

2a − 2a = 0 =⇒ (2a − 2) a = 0 =⇒

a=0 a=1

Vamos pues a estudiar cada caso. Si

a 6= 0, 1 =⇒ RgA = RgA0 = 3 = no

Si

a=0

=⇒

de incógnitas

S. C. Determinado.

la matriz que resulta es:



−3   1 −1

0 4 0 −2 0

2

 2  −1  0

Las las segunda y tercera hacen que el sistema sea incompatible. Si

a=1

la matriz que obtenemos es:



−2

  1 −1 Vamos a estudiar el rango de

A

y

A0

0

4

0 −2 1

2

2



 −1  1

para ver como sería.

Es evidente que el rango de la matriz de los coecientes es

1 −1

0 1

2,

pues tenemos:

= 1 6= 0

Vamos a ver que pasa con la matriz ampliada. Su rango es igual a dos, pues las las primera y segunda son proporcionales. Por tanto el sistema es compatible indeterminado, pues

RgA = 2 = RgA0 < 3 = no

2.2.4.

de incógnitas

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:  ax − x

+

ay

(a − 1)y

+

az (3 − 2a)z

=a   =1   =0

(Junio 01)

47


- Solución: La matriz asociada a nuestro sistema es:



−a

a

0

3 − 2a

a−1

0

a

 A= 0 1

a



 1  0

Veamos donde el determinante de la matriz de los coecientes es cero.

a −a a 0 3 − 2a 0 1 a−1 0

= −a(3 − 2a) − a(a − 1)(3 − 2a) = −3a + 2a2 − (3a2 − 2a3 − 3a + 2a2 ) =

+ 2a2 − 3a2 + 2a3 + − 2a2 = 2a3 − 3a2 = 0 =⇒ = − 3a 3a

  a2 = 0 =⇒ a = 0  2a − 3 = 0 =⇒ a =

3 2

Por tanto: Si

a 6= 0,

Si

a=0

3 =⇒ RgA = RgA0 = 3 = no 2

incógnitas

=⇒

Sistema Compatible Determinado.

la matriz es:



0

 A= 0 1

0

0 0

0 −1



 3 1  0 0

Como la primera la es entera de ceros, y es evidente que hay menores de orden 2 distintos de cero, por lo que tenemos que:

RgA = 2 = RgA0 < no Si

a=

3 2

incógnitas

=⇒

Sistema compatible indeterminado.

la matriz que resulta es:

3  2  A= 0  1

3 2 0 1 2



−

 3 2   1   0

3 2 0 0

Como la segunda la crea una imposiblidad tenemos que el sistema es incompatible para dicho valor.

2.2.5.

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: a a

y

+

x x

+ +

(a + 1) z

=a

z z

=a =a

a

(Junio 02)




0

a

a+1

  a 1

0

1

0

a

 a  a  a

48

2. Álgebra

Vamos a empezar por estudiar el rango de A, ya que es una matriz cuadrada.

0 a a 0 1 0

( a + 1 a=0 3 2 1 = a − a = 0 =⇒ a(1 − a ) = 0 =⇒ 1 − a2 = 0 =⇒ a = ±1 a

Luego:

- Si

a 6= 0, 1, −1 =⇒ RgA = 3 = RgA0 = n◦

- Si

a=0

incógnitas

=⇒

S. C. Determinado.

la matriz que nos queda es:



0   0 1

0 0

1 1

0

0

0



 0  0

a

El sistema es compatible por ser homogéneo. Además la 1

a

y la 2

la son iguales y hay un

menor de orden dos que es distinto de cero (formado por las las 1 y 3, y las columnas 1 y 3). Por tanto el

RgA = 2.

En consecuencia:

RgA = 2 = RgA0 < 3 = n◦

- Si

a=1

incógnitas

=⇒

S. C. Indeterminado.

la matriz es:





0

1

2

1

  1 1

0

1

0

1

 1  1

a y 3a son iguales, pero hay un menor de orden dos que es distinto de cero (formado

Las las 2

por las las 1 y 2, y las columnas 2 y 3). Por tanto el

RgA = 2.

Veamos el rango de la

ampliada.

1 0 0 Luego el

RgA0 = 2

2 1 1

y por tanto:

RgA = 2 = RgA0 < 3 = n◦

- Si

a = −1

=1−1=0 1 1 1

incógnitas

=⇒

S. C. Indeterminado.

la matriz resultante es:



0

  −1 1

a

Es fácil observar que las las 2 incompatible.

y 3

a

−1

0

0 0

1 −1

−1



 −1  −1

son incompatibles, luego el sistema, para este valor, es

49


2.2.6.

La matriz de coecientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es M. Hallar un sistema equivalente tal que los tres coecientes que están por encima de la diagonal principal de la nueva matriz asociada sean nulos: 



1 −1

0

 M =  −1 0

0 4

 2  4

(Septiembre 02)

- Solución: Vamos a conseguir los ceros que nos piden utilizando el método de Gauss.



1 −1

0

  −1 0

0 4





−1

 F1 ←→F2  2  −−−−−−→  0 0 4

0

2





−1

 F3 =F3 −4F2  1 −1  −−−−−−−−→  0 0 4 4 

−4

2



 1 −1  0 8



0

0

F =4F1 −F3  −−1−−−− −−→  0

8

0

0

 0  8

F2 =8F2 +F3

0

Esta sería la matriz asociada al sistema buscado.

2.2.7.

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a: ay

+ az + z

=0 =0

2y

+ az

=a

x 4x −

(Septiembre 02)




0   1 4

a 0 −2

a 1

0



 0  a a

Vamos a ver el determinante de la matriz de los coecientes:

0 |A| = 1 4

a 0 −2

= 4a − 2a − a2 = −a2 + 2a a

a 1

Igualando a cero obtenemos los valores que anulan el determinante.

( 2

−a + 2a = 0 =⇒

a=0 a=2

En consecuencia tenemos que: Si

a 6= 0, 2

el sistema va a ser compatible determinado.

50

2. Álgebra Si

a=0

la matriz asociada es:





0

0

0 0

  1 4

0

 1 0  0 0

−2

Se trata de un sistema homogéneo. Tiene una la de ceros, luego el rango no puede ser tres y además

1 4

0 −2

= −2 6= 0.

Por tanto el sistema es compatible indeterminado y necesita

un parámetro.

RgA = RgA0 = 2 < 3 = no Si

a=2

de incógnitas.

la matriz queda:



El rango de la matriz de los

 2 0    1 0 1 0  4 −2 2 2 0 coecientes es dos, pues 1 0

2

2 = −2 6= 0. 0

En cambio la matriz ampliada tiene rango tres, pues

0 1 4

= −4 6= 0 =⇒ RgA = 2 6= 3 = RgA0 2

2 0

0 0

−2

Por tanto el sistema para este valor es incompatible.

2.2.8.

Determinar el valor del parámetro a para que las siguientes ecuaciones lineales sean linealmente dependientes x + 3x +

y 2y

+ +

z z

=1 =1

y

+

2z

=a

(Junio 03)






1

1

1

1

  3 0

2

1

1

2

 1  a

Para que ocurra lo que nos piden, el sistema ha de ser compatible indeterminado, es decir,

RgA = RgA0 < no

de incógnitas. Veamos cuanto vale el rango de

-

RgA ≥ 2

pues

-

RgA = 2

pues:

1 3

A.

1 = −1 6= 0. 2 1 3 0

1 2 1

1 1 =4+3−6−1=0 2

51

2.2. Sistemas de ecuaciones Por tanto se producirá lo que piden si el

1 0= 3 0

2.2.9.

RgA0 = 2,

es decir, si

= 2a + 3 − 3a − 1 = −a + 2 = 0 =⇒ a = 2 a

1 2

1 1

1

Dar un ejemplo de una sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas que sea compatible e indeterminado. Interprétalo geométricamente. (Septiembre 03)

- Solución: Un ejemplo válido es:

x + y

+ z

2x − y 3x

+ z

 =1   =3   =4

En este ejemplo hemos elegido dos ecuaciones independientes y la tercera la hemos obtenido sumando las dos primeras. Geométricamente hablando pueden existir varias posibilidades. - Pueden ser tres planos que se cortan en una recta (para ejemplo vale el anterior). - Pueden ser también tres planos coincidentes (tres ecuaciones proporcionales). - Pueden ser dos planos coincidentes y otro que los corte (dos ecuaciones proporcionales y una independiente de ellas).

2.2.10.

Determinar un valor del parámetro a para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible e indeterminado. x

+y

+z

=a

x −y x −3y

+z +z

=1 =0

(Junio 05)

- Solución: La matriz asociada al sistema será:



1

1

1 a

 A = 1

−1

1

1

−3

1



 1  0

Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeciente y despues veremos la ampliada. -

RgA ≥ 2

Además el

pues tenemos que

RgA = 2,

1 1

1 −1

= −1 − 1 = −2 6= 0

pues las columnas primera y tercera de la matriz de los coeciente son

iguales. Para que el sistema sea compatible e indeterminado la matriz ampliada tiene que tener rango 2, es decir,

1 1 1

1 −1 −3

= 1 − 3a + a + 3 = −2a + 4 = 0 =⇒ a = 2 0

a 1

52

2.2.11.

2. Álgebra

Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas que sea incompatible. Interprétalo geométricamente. (Junio 05)

- Solución: Tenemos varias opciones. Por ejemplo, podemos considerar dos planos paralelos y uno que corte a ambos.

x x

+y +y

+z +z

2x −y

+z

 =3   =5   =3

En este ejemplo, las dos primeras ecuaciones representan planos paralelos y la tercera corta a los dos. Es obvio que no tienen ningún punto en común, por lo que el sistema es incompatible. Otra opción es coger dos planos que se corten, sumar sus ecuaciones (con lo que obtendríamos un plano que se corta en la misma recta que los anteriores) y al resultante cambiarle el término independiente, con lo que obtenemos un plano paralelo al último que no pasaría por la recta de corte de los dos planos, y con ello no tendrían ningún punto en común.

x

+y

+z

2x −y 3x

+z +2z

 =3   =3   =8

Otra posibilidad son dos planos coincidentes y uno paralelo, o bien tres planos paralelos.

53


2.2.12.

Resolver el sistema de ecuaciones lineales y

−x

=z

x y

−z +z

=y =x

(Septiembre 05)




−1

1 −1

 A= 1 −1

1

 −1 0  −1 0  1 0

Se trata de un sistema homogéneo, luego es compatible. Veremos cuanto vale el

RgA para decidir

si es determinado o indeterminado. Es evidente que

RgA ≥ 2

pues

1 −1 Veamos cuanto vale el

= −1 − 1 = −1 6= 0

|A|.

−1 |A| = 1 −1 Luego resulta que el

−1 −1

−1 −1 −1 = 1 + 1 − 1 + 1 − 1 − 1 = 0 1 1 1

RgA = 2 =⇒

El sistema es compatible indeterminado y necesita un

parámetro. Vamos a resolverlo: Hacemos

x = λ. Para eso usamos las las que dan rango 2 y resolviendo por reducción tenemos: y −y

−z −z −2z z

Si

= λ = −λ = 0 = 0

x = λ ; z = 0 =⇒ y = λ.

Por tanto la solución es

2.2.13.

(λ, λ, 0).

Dar un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que sea compatible e indeterminado. Interpretarlo geométricamente. (Septiembre 05)

- Solución: El sistema será compatible cuando los rangos de la matriz de coecientes y la ampliada coincidan y será indeterminado cuando éste sea menor que el número de incógnitas. En nuestro caso ocurrirá cuando el rango de la matriz de los coecientes valga 1 ó 2. Por tanto, o bien tomamos dos ecuaciones linealmente independientes y las sumamos (RgA dos veces multiplicada por distintos números

= 2), o bien cogemos una ecuación y la repetimos (RgA = 1). También vale para el primer caso dos

ecuaciones proporcionales y una que sea linealmente independiente con ellas.

54

2. Álgebra

Valdrían como ejemplo los siguientes:

RgA = 2

Para

tendríamos:

2x +

3y

x − y 3x + 2y RgA = 1

Para

− 2z + −

z z

  =3  =4   =7

nos vale:

3y

− 2z

4x + 6y −2x − 3y

− 4z + 2z

2x

+

 =3   =6   = −3

Geométricamente el primer caso representa tres planos que se cortan en una recta, o dos coincidentes y uno que los corta y el segundo tres planos coincidentes.

2.2.14.

Discute el sistema de ecuaciones lineales x +

2y

x + (1 + b)y x + by



−

z

=

2

− +

bz (1 + b)z

= =

 2b  1

según los valores de b. (Junio 06)




  1 1



2

−1

2

1+b

−b

b

1+b

 2b  1

1

Vamos a calcular el determinante de la matriz de coecientes para realizar el estudio.

1 2 |A| = 1 1 + b 1 b

−1 2 b − b + 1+ 2 b − −b = (1 + b)2 − 2b − b + (1 + b) − 2(1 + b) + b2 = 1 + b2 + 1+b 2 2 +b − 2 − 2b + b = 2b − 2b = 0 =⇒ b = 0

Luego:

Si

b 6= 0, 1 =⇒

Si

b=0

El sistema es compatible determinado.

la matriz quedaría:



1   1 1 En este caso tenemos que

RgA = 2

2 1

−1 0

0

1

 2  0  1

pues

1 1

2 1

= 1 − 2 = −1 6= 0

y

b=1

55

2.2. Sistemas de ecuaciones Veamos cuanto vale el

RgA0 . 1 1 1

Por tanto Si

b=1

= 1 − 2 − 2 = −3 6= 0 1

2 1

2 0

0

RgA = 2 6= 3 = RgA0 =⇒

El sistema es incompatible.

a matriz quedaría:



En este caso

RgA = 2,

2

−1

2

  1 1

2

−1

1

2

 2  1

pues

1 1 y a su vez coincide con el Por tanto



1

RgA0 ,

2 1

= 1 − 2 = −1 6= 0

ya que la primera y la segunda la coinciden.

RgA = 2 = RgA0 < 3 = no

de incógnitas

=⇒

El sistema es compatible indetermi-

nado y necesita un parámetro para su resolución.

2.2.15.

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales x +2y

−z

=1

x x

−z −z

=1 =1

+y

(Septiembre 06)






1

2

−1

1

  1 1

1 0

−1 −1

 1  1

Vamos a resolverlo por el método de Gauss, pues parece cómodo.



1 2   1 1 1 0

−1 −1 −1

  1 1  F2 =F2 −F1  1  −−−−−−−→  0 F3 =F3 −F1 0 1

2 −1

−1 0

−2

0

 1  0  0

Las las segunda y tercera son proporcionales, luego sobra una y el sistema es compatible indeterminado. De la segunda ecuación deducimos que hacemos

z=λ

y = 0.

Si en la primera ecuación sustituimos

resulta:

x − λ = 1 =⇒ x = 1 + λ Por tanto la solución del sistema es:

x = y = z

=

1 0

  + λ  λ

 

y =0

y

56

2. Álgebra

Capítulo 3

Geometría 3.1.

Vectores, puntos, rectas y planos en el espacio

3.1.1.

Hallar la ecuación de una circunferencia que, siendo tangente a la recta √ √ y = 3 x√ , sea tangente al eje de abcisas en el punto (3, 0). (Indicación: tg60o = 3, tg30o =

3 ) 3

(Septiembre 00)

- Solución: La gura 3.1 nos muestra una visión del problema.

Figura 3.1: Representación detallada del problema

Vamos a utilizar propiedades conocidas de las circunferencias. Se sabe que la recta que pasa por el centro de la circunferencia y por el punto de corte de las dos tangentes (en nuestro caso el origen de coordenadas) es la recta bisectriz del ángulo formado por las tangentes. Como la recta forma un ángulo con la horizontal de ángulo de

30o

60o ,

y=

√

3x

se deduce que la recta anteriormente citada forma un

con la horizontal (ver gura 3.1). También es obvio que el radio es perpendicular

con la horizontal en el punto de tangencia (por ser el eje de abcisas una de las tangentes), luego tenemos el triángulo rectangulo que podemos ver en la gura 3.1. De aquí deducimos:

√ r 3 √ o tg 30 = =⇒ r = 3 · tg 30 = 3 = 3 3 3 √ C 3, 3 y la ecuación buscada es: o

Por tanto el centro es

√ 2 2 (x − 3) + y − 3 = 3 57

58

3. Geometría

3.1.2.

Determinar una recta que sea paralela al plano de ecuación x + y + z = 3, que corte a la recta de ecuaciones x = 0, z = 0, y que también corte a la recta de ecuaciones z = 1, y = 0. (Septiembre 00)

- Solución: Vamos a coger un plano paralelo al que nos dan. Luego vamos a cortarlo con las dos rectas indicadas. La recta que pasa por estos dos puntos está contenida en este último plano, por tanto es paralela al plano que nos dan y por supuesto corta a las rectas indicadas. Como plano paralelo vale el plano

x+y +z = 1. Si cortamos este plano con las rectas obtenemos:

Con

x = 0, z = 0 =⇒ A(0, 1, 0).

Con

z = 1, y = 0 =⇒ B(0, 0, 1).

La recta buscada pasa por los puntos

−−→ AB = (0, −1, 1).

A

y

B,

por tanto queda denida por

A(0, 1, 0)

y por

En forma paramétrica, la ecuación resultante es:

3.1.3.

x=

0



y= z=

1

 −λ  +λ

Calcular alguna recta que sea paralela al plano de ecuación x − 2y + z = 1 y que también sea paralela al plano que pasa por los puntos de coordenadas (2, 0, 1), (0, 2, 1) y (1, −1, 0). (Junio 01)

- Solución: Bastará con coger planos paralelos a los dos que nos dan y el corte de dichos planos será la recta que buscamos. Vamos a empezar por calcular la ecuación general del plano que pasa por los tres puntos, que denominaremos:

A(2, 0, 1), B(0, 2, 1), C(1, −1, 0).

Como vectores directores de este plano tomamos

−−→ AB = (−2, 2, 0)

y

−−→ AB

y

−→ AC ,

−→ AC = (−1, −1, −1)

Por tanto, la ecuación del plano vendrá determinada por

x−2 y z−1

−2 2 0

cuyas coordenadas serán:

−−→ −→ A, AB, AC .

−1 −1 = −2(x − 2) + 2(z − 1) + 2(z − 1) − 2y = −1

= −2x + 4 + 2z − 2 + 2z − 2 − 2y = −2x − 2y + 4z − 2 = 0 Por tanto podemos tomar como ecuación de dicho plano

x + y − 2z + 1 = 0.

Tenemos por tanto dos planos que son:

x − 2y

+

x +

− 2z

y

z

− 1

=0

+

=0

1

#

59

3.1. Vectores, puntos, rectas y planos en el espacio

Para conseguir nuestra recta cogemos dos planos paralelos a ellos, para lo que basta con cambiar el término independiente:

x − 2y

+

x +

− 2z

y

z

− 3

=0

+

=0

8

#

Está sería la ecuación de la recta buscada.

3.1.4.

Calcular un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas (1, 0, 2) y (2, 1, 0). (Junio 01)

- Solución: Vamos a realizar el producto vectorial de los dos vectores, pues el vector así obtenido será ortogonal a los dos. Después normalizaremos ese vector y obtendremos el vector buscado.

~u ∧ ~v =

~i

~k 0 2 = 4~j + ~k − 2~i 1 0

~j

1 2

w ~ = (−2, 4, 1). √ √ |w| ~ = 4 + 16 + 1 = 21.

Luego un vector ortogonal a ambos sería Vamos a normalizarlo. Su módulo vale

Dividiendo el vector por su módulo obtenemos el vector

w ~ = ~o = |w| ~

3.1.5.

~o

buscado:

−2 4 1 √ ,√ ,√ 21 21 21

Calcular alguna recta que sea paralela al plano de ecuación x + z = 2 y corte perpendicularmente a la recta de ecuaciones x + y = 0, y + z = 2. (Septiembre 01)

- Solución: El procedimiento que vamos a seguir lo narro a continuación. Nuestra recta va a ser el corte de dos planos, uno paralelo al primero (con eso garantizamos que la recta es paralela al plano) y el otro va a pertenecer al haz de planos que obtenemos a partir de los planos que denen la segunda recta. De esa forma, como nuestra recta estará contenida en dicho plano cortará a la que nos dan. El plano que eligiremos será aquel que haga que la recta obtenida corte perpendicularmente a la dada en el enunciado. Dicho esto nos ponemos manos a la obra. Es fácil obtener un plano paralelo al que nos dan, valdría

x + z = 0.

Vamos a por el otro. El haz de planos a que nos referíamos tendría la siguiente

forma:

α(x + y) + y + z − 2 = 0 Luego nuestra recta quedará denida por los planos:

x+z

=

0

α(x + y) + y + z − 2

=

0

# =⇒

x αx +

(α + 1)y

+ z

=

0

+ z

=

2

Vamos a buscar cual es el vector director de las rectas (en función de

α)

cual es el perpendicular a la recta dada. Resolviendo el sistema tenemos:

x αx +

(α + 1)y

+ z

=

0

+ z

=

2

# z = λ =⇒ x = −λ

# (3.1)

para después decidir

60

3. Geometría

Sustituyendo:

α(−λ) + (α + 1)y + λ = 2 =⇒ (α + 1)y = 2 − λ + αλ =⇒ y = Luego la ecuación de la recta en forma paramétrica, en función de

−

x = y

=

z

=

2 α+1

λ

será:



α−1  λ  =⇒ ~v = α+1  λ

+

α,

α−1 2 + λ α+1 α+1

−1,

α−1 ,1 α+1

Vamos a encontrar el vector director de la recta que nos dieron.

#

x+y =0

y = λ =⇒ x = −λ , z = 2 − λ

y+z =2

 − λ  λ  =⇒ ~u = (−1, 1, −1) 2 − λ

x = y = z

=

Nos falta por encontrar el valor de

α

~u

que hace que

y

~v

sean perpendiculares, es decir, que

~u · ~v = 0. α−1 α−1 α−1 ,1 = 1 + − 1 = 0 =⇒ = 0 =⇒ α = 1 ~u · ~v = (−1, 1, −1) · −1, α+1 α+1 α+1 Luego, si sutituimos

α=1

en la ecuación (3.1), la recta pedida es:

x x +

3.1.6.

2y

+ z

=

0

+ z

=

2

#

¾Qué ángulo deben formar dos vectores no nulos ~e y ~v para que ambos tengan el mismo módulo que su diferencia ~e − ~v (Septiembre 01)

- Solución: Queremos que:

|~e| = |~v | = |~e − ~v |

(3.2)

Sabemos que

cos(~ud , w) ~ = Si aplicamos esta última fórmula a los vectores

cos(~e −\ ~v , ~e − ~v ) =

2

2

y

~e − ~v

tendremos:

2

|~e| + |~v | − 2 |~e| · |~v | cos(~ec , ~v ) |~e − ~v | · |~e − ~v |

cos(~e −\ ~v , ~e − ~v ) = 1,

Teniendo en cuenta 3.2 y que

1=

~e − ~v

~e · ~e + ~v · ~v − 2~e · ~v (~e − ~v ) · (~e − ~v ) = = |~e − ~v | · |~e − ~v | |~e − ~v | · |~e − ~v | 2

=

~u · w ~ |~u| · |w| ~

resulta:

2

, ~v ) |~e| + |~e| − 2 |~e| cos(~ec 2

|~e|

2

2

2

=⇒ 2 |~e| − 2 |~e| cos(~ec , ~v ) = |~e| =⇒

61


1 =⇒ 2 − 2 cos(~ec , ~v ) = 1 =⇒ −2 cos(~ec , ~v ) = −1 =⇒ cos(~ec , ~v ) = 2 Luego el ángulo buscado es:

(~ec , ~v ) =

π 3

Hallar dos vectores linealmente independientes que sean ortogonales al vector de coordenadas (1, 1, 3).

3.1.7.

~e

(Junio 02)

- Solución: Sean

~u

y

~v

los vectores buscados.

Para que sean linealmente independientes basta con no ser proporcionales y para ser ortogonales tiene que cumplirse

~u · ~e = ~v · ~e = 0 Dos vectores válidos para lo que buscamos serían:

~u = (2, 1, −1) =⇒ ~u · ~e = (2, 1, −1) · (1, 1, 3) = 2 + 1 − 3 = 0 ~v = (1, 2, −1) =⇒ ~v · ~e = (1, 2, −1) · (1, 1, 3) = 1 + 2 − 3 = 0

3.1.8.

La base de una pirámide es un cuadrado ABCD de 2 metros de largo y su vértice V está situado a una altura de 3 metros sobre el centro de la base. Calcular el ángulo que forman los planos ABV y BCV .

(Junio 02)

- Solución: Vamos a asignarle coordenadas a los puntos que nos dan.

A(2, 0, 0); B(2, 2, 0); C(0, 2, 0) y V (1, 1, 3).

Vamos a calcular los planos. - Sea

−−→ AB

π ≡ ABV . Para calcular la ecuación de este plano vamos a usar el punto A −→ −−→ −→ y AV , es decir A(2, 0, 0); AB = (0, 2, 0) y AV = (−1, 1, 3). Por tanto: x−2 y z

0 2 0

−1 1 = 6(x − 2) + 2z = 6x − 12 + 2z = 0 3

Luego la ecuación del primer plano será

π ≡ 3x + z = 6.

y los vectores

62

3. Geometría

- Sea

π 0 ≡ BCV .

−−→ BC = (−2, 0, 0)

Para calcular éste usaremos y

−−→ BV = (−1, −1, 3). x−2 y−2 z

B

y los vectores

−−→ BC

y

−−→ BV ,

es decir,

−1 −1 = 2z + 6(y − 2) = 2z + 6y − 12 = 0 3

−2 0 0

π 0 ≡ 3y + z = 6

Vamos a calcular ahora el ángulo que nos piden, es decir el ángulo que forman

~n = (3, 0, 1)

cosα =

3.1.9.

y

;

Por tanto:

Luego la ecuación del segundo plano es

vectores normales son

B(2, 2, 0)

n~0 = (0, 3, 1).

~0 ~n · n |~n| · |n~0 |

=√

π

y

π0 .

Sus

En consecuencia:

1 1 √ = =⇒ α = 84o 150 3900 10 10 10

Determinar si el plano 3x − 2y + z = 1 es perpendicular a la recta de ecuaciones −x = 3y + 3z, y + 2z = −1. Determinar también si es paralelo a la recta que pasa por los puntos de coordenadas

(1, −1, 1)

y (−1, −1, 0).

(Septiembre 02)

- Solución: Veamos lo primero. Vamos a calcular el vector director de la recta (~ u) como producto vectorial de los vectores normales de los planos que la determinan.

x +

3y

+

3z

=0

y

+

2z

= −1

)

→ = (1, 3, 3) =⇒ − n 1 → = (0, 1, 2) =⇒ − n 2

~i ~j ~k →∧− → = 1 3 3 = 6~i + ~k − 2~j − 3~i = 3~i − 2~j + ~k =⇒ ~u = (3, −2, 1) ~u = − n n 1 2 0 1 2 Como el vector normal al plano era el mismo, deducimos que la recta es perpendicular al plano. Veamos ahora lo segundo. Llamemos vector director

−−→ P Q = (−2, 0, −1).

P (1, −1, 1) y Q(−1, −1, 0). Por tanto la recta tendrá como

Para ver si la recta es paralela al plano vamos a ver si

~n

es ortogonal a

−−→ ~n · P Q = (3, −2, 1).(−2, 0, −1) = −6 − 1 = −7 6= 0 Luego no son paralelos.

−−→ PQ

63


3.1.10.

Sabiendo que los lados de un rectángulo ABCD miden 1 y 3 metros, calcular −−→ −−→ el producto escalar de los vectores CB y AD, y el módulo del producto −−→ −−→ vectorial de los vectores CB y BA.

(Septiembre 03)

- Solución: Vamos a asignarles coordenadas a los puntos:

D(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(3, 1, 0), C(0, 1, 0). Vamos a ver paso a paso cada una de las dos cosas que nos piden calcular: - Para hallar el producto escalar pedido vamos a calcular primero los vectores y a continuación haremos el producto.

# −−→ CB = (3, 0, 0) −−→ −−→ =⇒ CB · AD = (3, 0, 0) · (−3, 0, 0) = −9 −−→ AD = (−3, 0, 0) - Para calcular el producto vectorial es necesario calcular el vector lo calculamos antes.

−−→ BA,

pues el vector

−−→ CB

ya

−−→ BA = (0, −1, 0)

Ahora realizaremos el producto vectorial y posteriormente calcularemos el módulo.

~i −−→ −−→ CB ∧ BA = 3 0 Por tanto

3.1.11.

~j 0 −1

~k 0

= −3~k 0

−−→ −−→ CB ∧ BA = 3.

Determinar un plano que, pasando por el origen de coordenadas, sea paralelo a la recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 2, y también sea paralelo a la recta que pasa por los puntos de coordenadas (1, 1, 0) y (0, 1, 1). (Septiembre 03)

- Solución: Para calcular el plano usaremos un punto y dos vectores. Como punto usaremos el origen y como vectores los vectores directores de las dos rectas. Vamos a calcular estos últimos:

64

3. Geometría - Empezamos por la primera recta, multiplicando los vectores normales asociados a los planos que la denen.

x+y =1 y+z =2

#

→ = (1, 1, 0) =⇒ − n 1 − → =⇒ n2 = (0, 1, 1)

Luego el primer vector buscado es

#

~i ~j ~k →∧− → = 1 1 0 = ~i + ~k − ~j =⇒ ~u = − n n 1 2 0 1 1

~u = (1, −1, 1).

- En la segunda recta un vector válido es:

~v = (0, 1, 1) − (1, 1, 0) = (−1, 0, 1) Por tanto la ecuación del plano es:

x 0= 1 −1

y z −1 1 = −x − y − z − y = −x − 2y − z 0 1

es decir, valdría

x + 2y + z = 0

3.1.12.

¾Qué relación hay entre los coecientes de las ecuaciones ax + by + cz = d

,

a0 x + b0 y + c0 z = d0

de dos planos paralelos? Razonar la respuesta. (Junio 04)

- Solución: La relación que deben guardar es:

a b c d = 0 = 0 6= 0 a0 b c d Ello se debe a: 1. La doble igualdad implica que los vectores normales son proporcionales y por tanto paralelos. 2. La desigualdad hace que no hablemos del mismo plano.

3.1.13.

Determinar una recta que sea paralela al plano que pasa por los puntos de coordenadas (1, 1, 0); (1, 0, 1) y (0, 1, 1), que también sea paralela al plano x + 2y + 3z = 0, y que no esté contenida en ninguno de estos dos planos. (Septiembre 04)

- Solución: Para eso vamos a considerar sendos planos paralelos a los que nos dan y la recta en que se cortan es paralela a ambos planos y no está en ninguno. Empezemos por calcular la ecuación del plano que pasa por los tres puntos. Dichos puntos son

A(1, 1, 0); B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1). −−→ −→ AB y AC

los vectores

Para hallar la ecuación del plano vamos a considerar el punto A y

65


Los vectores son

−−→ AB = (0, −1, 1)

x−1 π ≡ y−1 z

0 −1 1

y

−→ AC = (−1, 0, 1).

Por tanto la ecuación del plano es:

−1 0 = −(x − 1) − (y − 1) − z = −x + 1 − y + 1 − z = 0 =⇒ 1 =⇒ x + y + z − 2 = 0

Tenemos, en consecuencia, dos planos y voy a coger dos planos paralelos a ellos para construir la recta: Plano 1 Plano 2

o −→ x + y + z − 2 = 0 −→ x + y + z + 3 = 0 (Paralelo)

o −→ x + 2y + 3z = 0 −→ x + 2y + 3z − 1 = 0 (Paralelo)

Por tanto, una recta posible es:

x+y+z+3=0

)

x + 2y + 3z − 1 = 0

3.1.14.

Hallar un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas (0, 1, 1) y (2, 1, 0). (Septiembre 05)

- Solución: Una forma posible es calcular el producto vectorial de los vectores y obtendremos un vector ortogonal a ambos, después lo normalizamos y terminamos. Vamos a llamar

~u = (0, 1, 1)

y

~v = (2, 1, 0).

~i ~j ~k ~ = (−1, 2, −2) w ~ = ~u ∧ ~v = 0 1 1 = 2~j − 2~k − ~i =⇒ w 2 1 0 El vector que buscamos lo obtenemos dividiendo

w ~

(−1, 2, −2) w ~ =√ = |w| ~ 1+4+4

3.1.15.

entre su módulo.

−1 2 −2 , , 3 3 3

Determina la relación que debe existir entre a y b para que los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (a, b, 0), (a, 0, b) y (0, a, b) estén en un plano. (Junio 06)

- Solución: Para que ocurra lo que nos piden los vectores

−−→ −→ AB, AC

y

−−→ AD

tiene que ser linealmente depen-

dientes. Veamos cuales son esos vectores e impongamos que el determinante que los tiene como las valga

0. −−→ −→ AB = (a − 1, b, 0); AC = (a − 1, 0, b)

y

−−→ AD = (−1, a, b)

Su determinate es

a−1 a−1 −1

0 0 b = −b2 − b2 (a − 1) − ab(a − 1) = 0 =⇒ b2 − ab2 + b2 − a2 b + ab = 0 =⇒ a b b

66

3. Geometría

=⇒ ab(−b − a + 1) = 0

3.1.16.

Determina el plano que pasa por el punto de coordenadas recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 1.

(1, 2, 3)

y por la (Junio 06)

- Solución: Vamos a llamar

A

al punto que nos dan. Vamos a pasar a paramétricas la ecuación de la recta

y así tendremos un punto (que llamaremos B) y el vector director (~ u) de la misma. Para encontrar la ecuación del plano usaremos Hacemos

y=λ

−−→ A, AB, ~u.

y nos resulta:

x+λ y λ+z

  ( x = 1 −λ =1 B(1, 0, 1)   λ  =⇒ = λ  =⇒ y = ~u = (−1, 1, −1) z = 1 −λ =1

De aquí deducimos que el plano queda determinado por:

A(1, 2, 3) −−→ AB = (0, −2, −2) ~u = (−1, 1, −1) Por tanto la ecuación del plano es:

x−1 y−2 z−3

0 −2 −2

= 2(x − 1) + 2(y − 2) − 2(z − 3) + 2(x − 1) = −1

−1 1

= 2x − 2 + 2y − 4 − 2z + 6 + 2x − 2 = 4x + 2y − 2z − 2 = 0 Una ecuación más simple sería

2x + y − z − 1 = 0

3.1.17.

Determina el plano que pase por los puntos de coordenadas (1, 0, 0) y (0, 1, 0), y sea paralelo a la recta x +y

+z

=2

x −y

+z

=2

(Septiembre 06)

- Solución: Supongamos que nuestros puntos son

A(1, 0, 0)

y

B(0, 1, 0).

El plano que buscamos va a quedar denido por uno de los puntos (por ejemplo A), por el vector

−−→ AB

y por el vector director de la recta (~ u).

Vamos a calcular primero los vectores

−−→ AB

y

~u.

−−→ AB = (−1, 1, 0). El vector

~u

lo obtenemos al hacer el producto vectorial de los vectores normales a los planos

67

3.1. Vectores, puntos, rectas y planos en el espacio que denen la recta.

x +y

+z

=2

x −y

+z

=2

#

− → = (1, 1, 1) n 1 =⇒ − → = (1, −1, 1) n

#

→∧− → =⇒ ~u = − n n 1 2

2

Por tanto,

− → − → ~u = n1 ∧ n2 =

~i 1

~j 1

1

−1

~k 1

~ ~ ~ ~ ~ ~ = i + j − k − k − j + i = 2~i − 2~k =⇒ ~u = (2, 0, −2) 1

Por tanto la ecuación del plano es:

x−1 y z

−1 1 0

= −2(x − 1) − 2z − 2y = −2x + 2 − 2z − 2y = 0 −2 2 0

En consecuencia el plano buscado tiene ecuación

x+y+z−1=0

68

3. Geometría

3.2.

Problemas métricos

Calcular la distancia del punto de coordenadas (1, 1, 2) al plano que pasa por los puntos de coordenadas (1, 1, 0); (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

3.2.1.

(Junio 00)

- Solución: Vamos a asignarles un nombre a los puntos

A(1, 1, 2); B(1, 1, 0); C(1, 0, 1)

Vamos a calcular la ecuación del plano que pasa por

y D(0, 1, 1). −−→ −−→ D. Para ello vamos a usar B, BC y BD. −−→ −−→ coordenadas BC(0, −1, 1) y BD(−1, 0, 1).

B, C

Empecemos por calcular los vectores, que tendrían por

y

Por tanto la ecuación del plano:

x−1 0 −1

y−1 −1 0

z 1 = −(x − 1) − (y − 1) − z = −x + 1 − y + 1 − z = −x − y − z + 2 1

Por tanto vale como ecuación

π ≡ x + y + z − 2 = 0.

Vamos a calcular la distancia.

√ 2 2 3 |1 + 1 + 2 − 2| =√ = u d(A, π) = √ 3 1+1+1 3

Calcular la distancia del punto de coordenadas (3, 5, 0) a la recta que pasa por los puntos de coordenadas (0, 1, 2) y (0, 1, 1).

3.2.2.

(Junio 00)

- Solución: A(3, 5, 0), B(0, 1, 2) y C(0, 1, 1). La recta que pasa por −−→ BC = (0, 0, −1). La distancia la calculamos por la fórmula

A los puntos vamos a designarlos por

B

y

C

queda denida por

B(0, 1, 2)

y

conocida.

donde

−−→ −−→ AB ∧ BC −−→ d(A, r) = BC

−−→ AB = (−3, −4, 2).

El producto vectorial del numerador queda:

−−→ −−→ AB ∧ BC =

~i −3

~j −4

0

0

~k 2

−−→ −−→ = 4~i − 3~j =⇒ AB ∧ BC = (4, −3, 0) −1

Luego:

√ d(A, r) =

3.2.3.

16 + 9 √ =5 1

u.

Denir el producto escalar de vectores y enunciar su relación con los conceptos de ángulo y distancia entre dos puntos. (Junio 01)

- Solución: Al ser una pregunta teórica puedes encontrar la solución en cualquier libro.

69

3.2. Problemas métricos

3.2.4.

Calcular el área del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos de coordenadas (1, 0, 1), (2, 0, 2), (3, 1, 3) y (1, 2, 1). (Septiembre 02)

- Solución: Para que formen un cuadrilátero tienen que ser coplanarios. Vamos a empezar por comprobar

A(1, 0, 1); B(2, 0, 2) ; C(3, 1, 3) −−→ −→ −−→ AB = (1, 0, 1); AC = (2, 1, 2) y AD = (0, 2, 0) .

esto. Para eso vamos a asignarles nombre a los puntos Vamos a considerar los vectores

1 2 0

0 1 2

y

D(1, 2, 1)

.

1 2 =4−4=0 0

En consecuencia los vectores son linealmente dependientes y por tanto los puntos son coplanarios. La gura 3.2 nos muestra el cuadrilátero.

Figura 3.2: Representación gráca del cuadrilátero.

Para calcular el área vamos a dividir el cuadrilátero, como observamos en la gura 3.2, en dos triángulos que serían

ABC

y

ACD,

después calcularemos el área de cada uno y por último

sumaremos las dos para obtener el área que nos solicitan. - Área de

ABC AABC =

1 −−→ −→ AB ∧ AC 2

~i ~j ~k −→ −→ −−→ −→ ~j + ~k − 2 ~j − ~i =⇒ − 2 AB ∧ AC = (−1, 0, 1) AB ∧ AC = 1 0 1 = 2 1 2 Luego:

AABC = - Área de

√ 1 1√ 2 |(−1, 0, 1)| = 2= 2 2 2

ACD AACD =

u

2

1 −→ −−→ AC ∧ AD 2

~i ~j ~k −→ −−→ −→ −−→ AC ∧ AD = 2 1 2 = 4~k − 4~i =⇒ AC ∧ AD = (−4, 0, 4) 0 2 0 Luego:

AACD =

√ 1 1√ |(−4, 0, 4)| = 32 = 2 2 u2 2 2

70

3. Geometría Luego el área que nos pedían es:

√

A = AABD + AACD

3.2.5.

√ √ 5 2 2 = +2 2= 2 2

u

2

Determinar una constante a para que el plano de ecuación ax + y + z = 2 forme un ángulo de π/3 radianes con el plano z = 0. (Junio 03)

- Solución: Sabemos que la fórmula para hallar el ángulo es:

→·− → |− n 1 n2 | cosα = − →| · |− →| |n n 1 2 Los vectores normales de cada plano son:

ax + y + z = 2

=⇒

z=0

=⇒

− → = (a, 1, 1) n 1 − → n = (0, 0, 1) 2

Luego tenemos que

cosα = Como

α = π/3,

|(a, 1, 1) · (0, 0, 1)| 1 =√ |(a, 1, 1)| · |(0, 0, 1)| a2 + 2 · 1

sustituyendo resulta:

√ Luego

p

3.2.6.

1 a2

+2

= cos

π 1 = 3 2

√ a2 + 2 = 2 =⇒ a2 + 2 = 4 =⇒ a2 = 2 =⇒ a = ± 2

Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos de coordenadas (1, 0, 0); (0, 1, 1); (1, 2, 0). Determinar la distancia del punto (2, 1, 1) a dicho plano. (Junio 04)

- Solución: Vamos a calcular la ecuación del plano que pasa por los tres puntos. Para ello vamos a considerar los tres puntos con los siguientes nombres:

A(1, 0, 0); B(0, 1, 1); C(1, 2, 0).

Dicho esto, vamos a

calcular la ecuación del plano que pasa por el punto A y tiene como vectores directores Por tanto tenemos

x−1 π= y z

−−→ A(1, 0, 0), AB = (−1, 1, 1) −1 1 1

y

−→ AC = (0, 2, 0).

y

−→ AC .

0 2 = −2z − 2(x − 1) = −2x − 2z + 2 = 0 ⇒ x + z − 1 = 0 0

Una vez hallada la ecuación del plano vamos a calcular la distancia del punto plano.

−−→ AB

√ |2 + 1 − 1| 2 2 2 √ d(P, π) = √ =√ = = 2 2 2 12 + 12

u.

P (2, 1, 1)

a dicho

71

3.2. Problemas métricos

3.2.7.

Determinar las coordenadas de un punto que diste 2 unidades de la recta y z−1 x−1 = = 1 1 −1 (Junio 05)

- Solución: Basta con tomar un vector perpendicular al vector director de la recta (~ u) y un punto

A

de la

misma. Le sumamos a dicho punto un vector de módulo 2 y que tenga la dirección y sentido del vector perpendicular calculado. De entrada tenemos que el punto A puede ser vector director puede ser

~u = (1, 1, −1).

Un vector perpendicular a

~u

puede ser

A(1, 0, 1)

y que el

~v = (0, 1, 1),

pues

tenemos que:

~u ⊥ ~v ,

pues

(0, 1, 1).(1, 1, −1) = 0

Falta por encontrar un vector de la dirección de tomar

√ √ w ~ = (0, 2, 2).

~v

pero de módulo 2. Por ejemplo podemos

Con estos datos, el punto buscado es:

√ √ √ √ P =A+w ~ = (1, 0, 1) + (0, 2, 2) = (1, 2, 1 + 2)

3.2.8.

Si los lados de un rectángulo ABCD miden 1 cm y 4 cm, calcular el coseno del ángulo PAC, donde P es el punto medio del lado BC :

(Junio 05)

- Solución: El ángulo al que nos referimos viene representado en la gura 3.3

Figura 3.3: Visión del ángulo

Para resolverlo vamos a asignarle coordenadas a los puntos:

A(0, 0, 0); B(0, 0, 1); C(0, 4, 1); D(0, 4, 0); P (0, 2, 1).

72

3. Geometría

El ángulo que buscamos sería el formado por los vectores

−→ AP = (0, 2, 1)

y

−→ AC = (0, 4, 1).

Por

tanto tendríamos:

−→ −→ 0+8+1 9 AP · AC (0, 2, 1) · (0, 4, 1) √ √ =√ =√ cosα = −→ −→ = √ 2 2 2 2 2 2 4 + 1 · 16 + 1 85 0 +2 +1 · 0 +4 +1 AP · AC En consecuencia:

3.2.9.

9 α = arccos √ = 12o 310 4400 85

Si A, B y C son los puntos de coordenadas vamente

(1, 0, 0); (0, 1, 0)

y

(0, 0, 1)

respecti-

a) Calcular el área del triángulo que forman los puntos A, B y C. −−→

−→

b) Determinar el ángulo que forman los vectores AB y AC . (Septiembre 05)

- Solución: a) Empezaremos por calcular el área del triángulo. Dicho área se calcula con la fórmula:

AT =

1 −−→ −→ AB ∧ AC 2

Vamos a calcular los vectores y a realizar el producto vectorial:

−−→ AB = (−1, 1, 0) Por tanto:

y

−→ AC = (−1, 0, 1).

−−→ −→ AB ∧ AC =

~i ~j ~k −−→ −→ −1 1 0 = ~i + ~k + ~j =⇒ AB ∧ AC = (1, 1, 1) −1 0 1

En consecuencia, el área buscada es:

√ |(1, 1, 1)| 3 2 AT = = u 2 2 b) Vamos a calcular ahora el ángulo que nos piden. para ello usamos la fórmula conveniente que es:

−−→ −→ AB · AC −−→ −→ |1 + 0 + 0| 1 \ cos(AB, AC) = −−→ −→ = √ √ = 2 2 · 2 AB · AC

Por tanto:

α = arccos

3.2.10.

1 = 60o 2

Calcula el ángulo que forma el plano x + y + z = 0 con la recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 1. (Septiembre 06)

- Solución: Para hallar el ángulo vamos a utilizar la fórmula:

cos(90o − α) = donde

~u

es el vector director de la recta y

~n

|~u · ~n| |~u| · |~n|

el vector normal al plano. Vamos a calcularlos.

73

3.2. Problemas métricos Empezemos por el plano

x + y + z = 0,

cuyo vector normal es

~n = (1, 1, 1).

El vector director de la recta vamos a obtenerlo haciendo el producto vectorial de los vectores

− →

normales (n1 y

− →) n 2

de los planos que determinan la recta. Dichos vectores normales son:

→ = (1, 1, 0) x + y = 1 =⇒ − n 1 → = (0, 1, 1) y + z = 1 =⇒ − n 2 Por tanto el vector director será:

− → − → ~u = n1 ∧ n2 =

~i ~j ~k 1 1 0 = ~i + ~k − ~j =⇒ ~u = (1, −1, 1) 0 1 1

Por tanto el coseno del ángulo buscado es:

cos(90o − α) = √

|1 − 1 + 1| 1 |(1, 1, 1) · (1, −1, 1)| √ = √ √ = 3 1+1+1· 1+1+1 3· 3

En consecuencia:

90o − α = arccos

1 =⇒ 90o − α = 70o 310 4200 =⇒ α = 90o − 70o 310 4200 = 19o 280 1800 3

CiUG

PAAU (LOXSE)

COMISIÓN INTERUNIVERSITARIA DE GALICIA

Código: 21

XUÑO 2001 MATEMÁTICAS

(O alumno debe responder a catro preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos catro bloques temáticos: Álxebra, Xeometría, Análise Matemática e Estatística. A puntuación máxima de cada pregunta é de 2,5 puntos.)

Álxebra (responda a unha das dúas preguntas) 1. A. Propiedades do producto de matrices (só enuncialas). B. Sexan M =

e N = M + I, donde I denota a matriz identidade de orde n, calcule N2 e M3.

¿Son M ou N inversibles? Razoe a resposta. 2. A. Propiedades dos determinantes (só enuncialas). B. Sexan F1, F2, F3 e F4 as filas dunha matriz cadrada P de orde 4 x 4, tal que o seu determinante vale 3. Calcule razoadamente o valor do determinante da inversa de P, o valor do determinante da matriz αP, donde α denota un número real non nulo, e o valor do determinante da matriz tal que as súas filas son 2F1 – F4, F3 . 7F2 e F4.

Xeometría (responda a unha das dúas preguntas) 1. A. ¿En que posición relativa poden estar tres planos no espacio que non teñen ningún punto en común? B. Determine a posición relativa dos planos π : x – 2y + 3z = 4, σ : 2x + y + z + 1 = 0 e ϕ : – 2x + 4y – 6z = 0. 2. A. Ángulo que forman dúas rectas. B. Determine o ángulo que forman a recta r, que pasa polo punto (1, –1, 0) e tal que o seu vector director é

= (–2, 0, 1), e a recta s de ecuación:

Análise matemática (responda a unha das dúas preguntas) 1. Sabendo que P(x) é un polinomio de terceiro grao cun punto de inflexión en (1, 0) e con P’’’ (1) = 24 donde, ademáis, a tanxente ó polinomio nese punto é horizontal, calcule 2. Dadas f(x)

e g(x) =

, calcule

P (x) dx.

x2 (g o f) (x) dx. (g o f denota a composición desas

funcións).

Estatística (responda a unha das dúas preguntas) 1. Un vendedor de coches estima as seguintes probabilidades para o número de coches que vende nunha semana:

Calcule o número esperado de coches que venderá nunha semana. Se o vendedor recibe un salario semanal de 25.000 pesetas, máis 25.000 pesetas adicionais por cada coche vendido, ¿Cal é a probabilidade de que unha semana o seu salario sexa inferior a 100.000 pesetas no suposto de que se saiba que é superior a 25.000 pesetas? 2. A vida útil dunha marca de lámpadas segue unha distribución normal de media 1.200 horas de desviación típica 250 horas. ¿Que proporción de lámpadas tén un tempo de vida inferior a 1.050 horas?, ¿que proporción de lámpadas tén un tempo de vida superior a 1.350 horas? Explique brevemente o porqué da relación entre os resultados. ¿Que proporción de lámpadas tén un tempo de vida entre 1.050 e 1.350 horas? Pode ser útil saber que si Z é unha variable con distribución N (0, 1), entón P (Z < 0.6) = 0.7257.

CiUG

PAAU (LOXSE)

COMISIÓN INTERUNIVERSITARIA DE GALICIA

Código: 21

SETEMBRO 2001 MATEMÁTICAS

(O alumno debe responder a catro preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos catro bloques temáticos: Álxebra, Xeometría, Análise Matemática e Estatística. A puntuación máxima de cada pregunta é de 2,5 puntos.)

Álxebra (responda a unha das dúas preguntas) 1. Calcule α para que o seguinte sistema homoxéneo teña máis solucións que a trivial. Resólvao para dito valor de α e dea unha interpretación xeométrica do sistema de ecuacións e da súa solución. x + 2y – z = 0 2x + y – αz = 0 x – y – z = 0 2. Calcule os valores do parámetro α para os que a matriz M non ten inversa. Calcule a matriz inversa de M para α = 2, se é posible.

Xeometría (responda a unha das dúas preguntas) e dous vectores. Comprobe que se ( + ) ( - ) = 0 entón l l = l l. 1. A. Sexan B. Calcule os vectores unitarios que sexan perpendiculares ós vectores = (-3, 4, 1) e = (-2, 1, 0). 2. A. Definición de distancia mínima entre dúas rectas no espacio. Casos posibles. B. Calcule a distancia entre as rectas r e s, donde r ten por ecuacións (r : x = 3y = 5z) e a recta s pasa polos puntos A = (1, 1, 1) e B = (1, 2, –3).

Análise matemática (responda a unha das dúas preguntas) 1. A. ¿Pode haber dúas funcións distintas que teñan igual función derivada? Se a resposta é afirmativa, poña un exemplo. Se, polo contrario, a resposta é negativa, razónea. B. Calcule a derivada da función f(x) = lx - 2l en x = 2, se é posible. Represente a gráfica da función e, sobre ela, razoe a súa resposta. 2. A. Enunciado do Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral. B. Sexan f e g, dúas funcións continuas, definidas no intervalo [a, b], que verifican que Demostre que existen α, β

f=

g.

[a, b] tales que f(α) = g(β).

Estatística (responda a unha das dúas preguntas) 1. O tempo, en horas, que tarda un autobús en facer o percorrido entre dúas cidades é unha variable aleatoria con función de densidade: f(x) = 0’3 (3x - x2) se x [1, 3] (e cero noutro caso). (a) Calcule o tempo medio que tarda en facer o traxecto. (b) Calcule a probabilidade de que a duración dun traxecto sexa inferior a dúas horas se se sabe que é superior a unha hora e media. 2. Un saltador de lonxitude salta unha media de 8 metros con desviación típica de 20 cm. Para poder ir á próxima olimpiada é necesario ter unha marca de 8’30 metros, ¿Que probabilidade ten de conseguir esta marca nun salto? E, ¿cal é esta probabilidade se realiza dez saltos? NOTA: Pode ser útil saber que se Z é unha variable con distribución N(0,1), entón P (Z < 1’5) = 0’93.

C R I T E R I O S D E AVA L I A C I Ó N / C O R R E C C I Ó N CONVOCATORIA DE XUÑO

A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos.

Análise Matemática

Somente se puntuará a a primeira pregunta respondida de cada un dos catro bloques temáticos.

1. Determinación dos coeficientes do polinomio: 1.5 puntos (plantexamento: 1 punto, resolución: 0.5 puntos).

Non se puntuarán respostas (Si ou Non) que non veñan acompañadas dunha xustificación. Álxebra 1. A: 1 punto. B: Cálculo de N2: 0.5 puntos. Cálculo de M3: 0.5 puntos. Resposta razoada á pregunta: 0.5 puntos. 2. A: 1 punto. B: 1.5 puntos (0.5 por cada un dos determinantes pedidos).

Cálculo da integral definida: 1 punto (0.5 polo cálculo da primitiva e 0.5 pola aplicación correcta da regra de Barrow). 2. Cálculo da función g o ƒ: 1.5 puntos. Cálculo da integral definida: 1 punto (0.5 puntos polo cálculo da primitiva e 0.5 puntos pola aplicación correcta da regra de Barrow). Estatística

Xeometría

1. Determinación do número de coches que venderá nunha semana: 1 punto.

1. A: 1 punto.

Cálculo da probabilidade pedida: 1.5 puntos.

B: 1.5 puntos.

2. Cálculo de P(X < 1050): 0.5 puntos. Cálculo de P(X < 1350): 0.5 puntos.

2. A: 1 punto.

Explicación da igualdade nos resultados: 0.5 puntos.

B: 1.5 puntos.

Cálculo de P(1050 < X < 1350): 1 punto.

CONVOCATORIA DE SETEMBRO



Somente se puntuará a a primeira pregunta respondida de cada un dos catro bloques temáticos.

1. A: 1 punto.

Non se puntuarán respostas (Si ou Non) que non veñan acompañadas dunha xustificación. Álxebra 1. Cálculo de a: 1 punto. Resolución del sistema: 1 punto. Interpretación geométrica del sistema y de la solución: 0.5 puntos. 2. Cálculo de a=1, 3: 1 punto. Cálculo de la inversa de M cuando a=2: 1.5 puntos. Xeometría 1. A: 1 punto. B: Planteamento: 1 punto. Resolución: 0.5 puntos. 2. A: 1 punto. B: Planteamento: 0.5 puntos. Resolución: 1 punto.

B: 1.5 puntos (destes, polo cálculo de cada unha das derivadas laterais: 0.5 puntos). 2. A: 1.5 puntos. B: 1 punto. Estatística 1. A: 1 punto. B: Planteamento: 0.5 puntos. Resolución: 1 punto (0.5 puntos polo cálculo de P(1.51.5)). 3. Resposta á primeira pregunta: 1 punto. Resposta á segunda pregunta: 1.5 puntos.

21

MATEMÁTICAS (O alumno debe responder a catro preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos catro bloques temáticos: Álxebra, Xeometría, Análise Matemática e Estatística. A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos.)

Álxebra (Responda a unha das dúas preguntas) 1.

A. Definición de producto de matrices. B. Dadas tres matrices A, B e C sábese que A·B·C é unha matriz de orde 2x3 e que B·C é unha matriz de orde 4x3, ¿cal é a orde de A? Xustifíqueo.

2.

A. Enunciado do teorema de Rouché-Frobenius. ? Xustifique a súa resposta.

B. ¿É compatible determinado o sistema de ecuacións

Como consecuencia da súa resposta anterior, xustifique se tén unha, ningunha ou máis dunha solución ese sistema. Xeometría (Responda a unha das dúas preguntas) ó plano

1.

Ache a distancia do plano

2.

Determine o vector (ou vectores) unitarios, un ángulo de

radiáns co vector

.

(con e un ángulo de

que forman radiáns con

Análise Matemática (Responda a unha das dúas preguntas) 1.

Debuxe a gráfica de

2.

Dada

no intervalo

e calcule a súa integral nese intervalo.

, escriba a ecuación da secante a F que une os puntos

e

¿Existe un punto c no intervalo [-2,2] verificando que a tanxente á gráfica de F en é paralela á secante que achou? En caso afirmativo razoe a súa resposta e calcule c, en caso negativo razoe porque non existe. Estatística (Responda a unha das dúas preguntas) 1.

A. Función de distribución dunha variable aleatoria continua. Propiedades.

B. Se X é unha variable aleatoria continua que segue unha distribución normal de media m e desviación típica s calcule ¿Que porcentaxe de observacións se atopa no intervalo ? NOTA: = 0.84. Pode ser útil saber que se Z é unha variable con distribución N(0,1), entón 2. A. Función de probabilidade dunha variable aleatoria binomial. Media e varianza dunha variable aleatoria binomial. B. Determine os parámetros dunha variable aleatoria binomial da que se sabe que a súa media é 12 e a súa desviación típica é

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MATEMÁTICAS (O alumno debe responder a catro preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos catro bloques temáticos: Álxebra, Xeometría, Análise Matemática e Estatística. A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos.)

Álxebra (Responda a unha das dúas preguntas) 1. Discuta o seguinte sistema de ecuacións segundo o valor de a e resólvao no caso en que sexa compatible indeterminado. x+y+z=a –1 ax + 2y + z = a x + y + az = 1 2. Ache, se existe, unha matriz X que verifique a ecuación: B2 X – BX + X = B, sendo B = Xeometría (Responda a unha das dúas preguntas) 1. A. Deduza as ecuacións vectorial, paramétricas e implícita (ou xeral) dun plano determinado por un punto e dous vectores directores. B. Dados os puntos P=(3,4,1) e Q=(7,2,7), determine a ecuación xeral do plano que é perpendicular ó segmento PQ e que pasa polo punto medio dese segmento. 2. A. Definición e interpretación xeométrica de producto vectorial de dous vectores. B. Dado-los vectores

¿para que valores de a o módulo do vector

vale 4? Análise Matemática (Responda a unha das dúas preguntas) 1. Calcule a ecuación da recta que pasa polo punto (3,1) e tal que a área do triángulo formado por esta recta e os semieixos positivos coordenados sexa mínima. 2. Calcule o número positivo a tal que o valor da área da rexión limitada pola recta y = a e a parábola y = (x – 2)2 sexa 36. Estatística (Responda a unha das dúas preguntas) 1. A. Definición de variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. Definición de función de masa de probabilidade dunha variable aleatoria discreta. B. Unha variable aleatoria discreta X toma os valores 2,4,6,8,10 e 12 con probabilidades 0.1, a, b, 0.3, g e 0.2, respectivamente. Sabendo que P(X < 6) = 0.3 e que P(X > 6) = 0.9, ache os valores de a, b e g. 2. A. ¿Que relación existe entre a distribución binomial e a distribución normal? B. Sábese que o 10% dos alumnos de Bacharelato son fumadores. En base a isto, calcule a probabilidade aproximada de que, polo menos, haxa 310 alumnos fumadores dos 3.000 que se presentan ó exame de selectividade. NOTA: Pode ser útil saber que se Z é unha variable con distribución N ( 0,1), entón P(Z<0.578)=0.718.

C R I T E R I O S D E AVA L I A C I Ó N / C O R R E C C I Ó N CONVOCATORIA DE XUÑO A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos.


Soamente se puntuará a a primeira pregunta respondida de cada un dos catro bloques temáticos.

1. Gráfica da función: 1 punto. Plantexamento da integral: 0.75 puntos (0.25 por cada subintervalo correcto. Se utilizase simetrias, 0.25 polo plantexamento de cada simetría e 0.25 polo plantexamento global.) Resolución: 0.75 puntos (0.25 por cada integral coa aplicación correcta da regra de Barrow. No caso de emprego de simetrías reparto uniforme dos 0.75 puntos)

Non se puntuarán respostas (Si ou Non) que non veñan acompañadas dunha xustificación. Álxebra 1. A. 1.5 puntos. B. 1 punto.

2. Ecuación da secante: 0.5 puntos. Razonamento da existencia de c: 1 punto. Cálculo de c: 1 punto.

2. A. 1 punto.

Estatística

B.Análise da compatibilidade do sistema: 1 punto.Análise do número de solucións: 0.5 puntos.

1. A. Definición de función de distribución: 0.5 puntos. Propiedades: 0.5 puntos. 0.5 puntos. Cálculo da 1. B. Cálculo de porcentaxe pedida: 1 punto. 2.A. Función de probabilidade dunha variable aleatoria binomial: 0.5 puntos. Media e varianza: 1 punto. 2. B. 1 punto.

Xeometría 1. 2.5 puntos. 2. Plantexamento do sistema: 1 punto. Resolución: 1.5 puntos.

CONVOCATORIA DE SETEMBRO A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos.


Soamente se puntuará a a primeira pregunta respondida de cada un dos catro bloques temáticos.

1. Planteamento da función área: 1 punto. Resolución: 1.5 puntos.

Non se puntuarán respostas (Si ou Non) que non veñan acompañadas dunha xustificación.

2. Planteamento da integral definida: 1 punto. Resolución: 1.5 puntos.

Álgebra

Estatística

1. Discusión: 1.5 puntos. Resolución: 1 punto.

1. A: 1 punto (definición e tipos de variables aleatorias: 0.5 puntos; definición de función de masa de probabilidade dunha variable aleatoria discreta: 0.5 puntos)

2.

Planteamento: 1 punto. Resolución: 1.5 puntos.

Xeometría 1. A: 1.5 puntos (0.5 puntos por cada ecuación) B: 1 punto (cálculo de e do punto medio de 05 puntos, ecuación do plano: 0.5 puntos).

:

1. A: 1 punto (0.5 a definición e 0.5 a interpretación xeométrica) 1. B. Planteamento do determinante: 0.75 puntos. Resolución: 0.75 puntos.

1. B: Planteamento: 0.75 puntos. Cálculo de a, b e g: 0.75 puntos (0.25 por cada unha) 2. A: 1 punto. 2. B: Planteamiento de P(X > 310) en términos da binomial: 0.5 puntos. Planteamento da probabilidade aproximada: 0.5 puntos. Resolución : 0.5 puntos.

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MATEMÁTICAS (O alumno debe responder a catro preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos catro bloques temáticos: Álxebra, Xeometría, Análise Matemática e Estatística. A puntuación máxima de cada pregunta é de 2,5 puntos.) Álxebra (responda a unha das dúas preguntas) 1. Considéranse dúas matrices A e B que verifican

Calcule a matriz A2 -B2

2. Calcule, por transformacións elementales (sen emplear a regla de Sarrus) e xustifícando os pasos, o determinante

Xeometría (responda a unha das dúas preguntas) 1. A. Definición de módulo dun vector. Propiedades. B. Determine os valores de a e b, a > 0, para que os vectores e ortogonales dous a dous. 2. A. Ángulo que forman unha recta e un plano. B. Determine o ángulo que forman o plano p : x + 2y -3z +4 = 0 e a recta r:

sexan unitarios

Análise matemática (responda a unha das dúas preguntas) 1. A. ¿Que é un punto de inflexión dunha función? B. Ache a condición que debe cumprir l para que o polinomio x4 + x3 + lx2 sexa cóncavo nalgún intervalo. Determine o intervalo de concavidade en función de l. 2. A. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Bolzano. B. ¿Pódese asegurar, empregando o teorema de Bolzano, que a función f(x) = tg(x) ten unha raíz no intervalo ? Razone a resposta. Esboce a gráfica de f nese intervalo. Nota: tg denota a función tanxente.

Estatística (responda a unha das dúas preguntas) 1. Determine o valor de K para o que a función f(x) =

sexa unha función de densidade.

Determine para ese valor de K a expresión da función de distribución e calcule a media da variable aleatoria que ten por función de densidade a f. 2. O 1% dos individuos dunha poboación supera os 185cm de estatura, mentras que o 3% non chega a 160cm. Se se supón que a estatura segue unha distribución normal, calcule os parámetros desa distribución. Nota: Pode ser útil saber que se Z é unha variable con distribución N(0,1), entón P(Z < 2.33) =0.99 e P(Z < 1.89) =0.97.

1

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MATEMÁTICAS (O alumno debe responder a catro preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos catro bloques temáticos: Álxebra, Xeometría, Análise Matemática e Estatística. A puntuación máxima de cada pregunta é de 2,5 puntos.)

Álxebra (responda a unha das dúas preguntas) 1. Demostre que a matriz

verifica unha ecuación do tipo A2 + aA + bI = 0, determinando a e b

(I denota a matriz identidade). Utilice este feito para calcular a inversa de A. 2. Discuta e interprete xeométricamente, según o parámetro a o sistema de ecuacións: 3x –y = ax 5x +y +2z = ay 4y +3x = az

Xeometría (responda a unha das dúas preguntas) 1. A. ¿Que significa xeométricamente que tres vectores do espacio tridimensional sexan linealmente dependentes? B. Dados os vectores demostre que os vectores dependen linealmente dos vectores Determine a ecuación xeral do plano que pasa pola orixe e contén os vectores , e determine a posición relativa dos vectores respecto a ese plano. 2. A. Definición de producto escalar de dous vectores. Interpretación xeométrica. B. Determine a ecuación que satisfacen os vectores ortogonales á recta

. Interprete

xeométricamente o resultado obtido.

Análise matemática (responda a unha das dúas preguntas) 1. Dada a parábola f(x) = ax2 + bx + c, determine os valores de a, b e c sabendo que f ten un máximo no punto de abscisa x = – 1 e a recta tanxente a f no punto (1,3) é y = –3x + 6. 2 2. Determine a área da rexión limitada pola gráfica da función f(x) = x2 + x + 5, o eixe OX e as rectas x = – 1 e y = x + 6. 2

Estatística (responda a unha das dúas preguntas) 1. A. ¿Cando unha distribución normal se considera unha aproximación aceptable dunha distribución binomial? B. A distribución normal N(32,4) é unha boa aproximación para a distribución binomial de parámetros: (a) n=32, p=4 (b) n=32, p=12 (c) n calquera, p=q (d) n=64, p=12 Escolla unha das catro opcións anteriores e xustifíque a súa resposta. 2. A. Propiedades da función de distribución dunha variable aleatoria continua. B. A función

(a) k<0,

, é función de distribución de certa variable continua X, se: (b) k=1,

(c) k= 18 ,

(d) nunca.

Elixa unha das opcións anteriores e xustifique a súa resposta.

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CRITERIOS DE AVALIACIÓN / CORRECCIÓN CONVOCATORIA DE XUÑO A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos.

Análise Matemática 1. A. 0.5 puntos.

Somente se puntuará á primeira pregunta respondida de cada un dos catro bloques temáticos.

1. B. Cálculo da condición para: 1 punto. Intervalo de concavidade: 1 punto.


2. A. Enunciado: 0.5 puntos. Interpretación xeométrica: 0.5 puntos.

Álxebra 1. Plantexamento: 1.5 puntos. Resolución: 1 punto.

2. B. Resposta á pregunta: 1 punto. Gráfica: 0.5 puntos.

2: 2.5 puntos.

Estatística

Xeometría

1. B. Plantexamento da ortonormalidade: 1 punto. Resolución: 0.5 puntos.

1. Plantexamento da función de densidade: 0.25 puntos. Cálculo do valor de K: 0.25 puntos. Expresión da función de distribución: 1 punto. Cálculo da media: 1 punto. (expresión da media: 0.25 puntos 0.5 polo cálculo da primitiva e 0.25 pola aplicación da Regra de Barrow).

2. A. 1 punto.

2. Plantexamento: 1.5 puntos. Resolución: 1 punto.

1. A. Definición de módulo dun vector: 0.5 puntos. Propiedades: 0.5 puntos.

2. B. 1.5 puntos.

CONVOCATORIA DE SETEMBRO


Determinación da ecuación del plano: 1 punto. Posición relativa: 0.5 puntos.

Somente se puntuará á primeira pregunta respondida de cada un dos catro bloques temáticos.

2. A. Definición de producto escalar: 0.75 puntos. Interpretación xeométrica: 0.75 puntos.


B. Determinación da ecuación: 0.75 punto. Interpretación: 0.25 puntos.

Álxebra


Plantexamento das ecuacións: 1 punto. Cálculo dos parámetros: 0.5 puntos (0.25 por cada un)

1. Plantexamento: 1.5 puntos. Resolución: 1 punto. 2. Puntos de corte: 0.5 puntos. Plantexamento da integral: 1 punto. Resolución: 1 punto.

Obtención da inversa: plantexamento: 0.5 puntos. Resolución: 0.5 puntos.

Estatística

2. Discusión: 1.5 puntos. Interpretación xeométrica: 1 punto.

1. A. 1 punto. B. 1.5 puntos. (Só se xustifica ben).

Xeometría

2. A. 1 punto.

1. A. 0.5 puntos

B. 1.5 puntos (Só se xustifica ben).

B. Demostración da dependencia lineal: 0.5 puntos.

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MATEMÁTICAS PRIMEIRA PARTE (Parte Común) (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos.) Bloque 1 (Álxebra Lineal) (Responda a unha das dúas preguntas) 1. Ache tres números sabendo que o primeiro menos o segundo é igual a un quinto do terceiro, se ó dobre do primeiro lle restamos seis resulta a suma do segundo e o terceiro e, ademáis, o triple do segundo menos o dobre do terceiro é igual ó primeiro menos oito. 2. Demostra que toda matriz cadrada 3-dimensional se pode escribir como suma dunha matriz simétrica e outra antisimétrica. Bloque 2 (Xeometría) (Responda a unha das dúas preguntas) 1. A. Distancia entre dúas rectas que se cruzan. B. Ache a distancia entre as rectas r e s de ecuacións:

2. A. Ángulo que forman dúas rectas. Condición de perpendicularidade. B. Determine o ángulo que forman a recta que pasa polos puntos A = (1,0,-1) e B = (0,1,-2) e a recta de ecuación: x = y - 1 = z - 2 2 -1 Bloque 3 (Análise) (Responda a unha das dúas preguntas) 1. Un barco B e dúas cidades A e C da costa forman un triángulo rectángulo en C. As distancias do barco ás cidades A e C son 13 Km e 5 Km, respectivamente. Un home situado en A desexa chegar ata o barco B. Sabendo que pode nadar a 3 Km/h e camiñar a 5 Km/h, ¿a que distancia de A debe abandoar a costa para nadar ata B se quere chegar o antes posible? 4 é estrictamente positiva en (2, + ∞) e ache a área da x2 + x -2 rexión determinada pola gráfica de f, o eixe de abscisas e as rectas x = 2 e x = 3. 2. Demostre que a función f dada por f (x) =

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MATEMÁTICAS SEGUNDA PARTE Bloque 4.a. (Responderán a unha das dúas preguntas deste bloque só aqueles alumnos que aprobaron Matemáticas II durante o actual curso académico 2003/2004. A puntuación máxima da pregunta é 2.5 puntos.) 1. A. Escriba os distintos casos de indeterminacións que poden xurdir ó calcular límites de sucesións de números reais e poña un exemplo sinxelo (sen resolvelo) de, polo menos, catro deses casos. B. Calcule ó intentar resolver este límite.

indicando que tipo de indeterminación (ou indeterminacións) se presentan

2. A. Explique BREVEMENTE (en non máis de cinco liñas) como se aplica o método de Gauss para calcular o rango dunha matriz. B. Determine, empregando o método de Gauss, o rango da matriz

Bloque 4.b. (Estatística) (Responderán a unha das dúas preguntas deste bloque só aqueles alumnos que aprobaron Matemáticas II durante o curso académico 2002/2003 ou anteriores. A puntuación máxima da pregunta é 2.5 puntos.) 1. A. Definición de función de densidade. Propiedades da función de densidade. B. Obteña a función de distribución da variable aleatoria continua que tén por función de densidade:

2. A. Defina media e varianza dunha variable aleatoria binomial. B. Lánzase unha moeda oito veces e anotamos o resultado. Repítese o proceso oitenta veces (é dicir, realízanse oitenta series de oito tiradas cada unha). ¿En cantos casos cabe esperar que obteñamos seis cruces e dúas caras?

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MATEMÁTICAS (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos.) Bloque 1 (Álxebra Lineal) (Responda a unha das dúas preguntas) 1. A. Enunciado da regra de Cramer. B. Determine os coeficientes do polinomio de grao dous tal que a súa gráfica pasa polos puntos (0,5), (1, 7) e (-1,5). ¿Pode haber outro polinomio de segundo grao, que pase por eses tres puntos? Razone a súa resposta. 2. A. Exprese a condición que teñen que cumprir dúas matrices M e N para que poida realizarse a súa suma. E, se o que pretendemos é multiplicalas, ¿que condición deben cumprir as matrices? B. Dadas as matrices

, ache unha matriz X tal que AX + B = 0.

Bloque 2 (Xeometría) (Responda a unha das dúas preguntas) 1. Comprobe que os puntos A = (1,0,3), B = (-2,5,4), C = (0,2,5) e D = (-1,4,7) son coplanarios. De todos os triángulos que se poden construir tendo como vértices tres deses catro puntos,¿cal é o de maior área? Obteña o valor de dita área. 2. Ache a ecuación xeral do plano p que contén á recta r:

e é paralelo á recta s que pasa

polos puntos P = (2,0,1) e Q = (1,1,1). Calcule a distancia de s a p. Bloque 3 (Análise) (Responda a unha das dúas preguntas)

1. A. Interpretación xeométrica da derivada dunha función nun punto. B. Determine as abscisas dos puntos da curva y = de 135º co sentido positivo do eixe de abscisas.

- x2 - 3x + 1 nos que a recta tanxente forma un ángulo

2. A. Definición de función continua nun punto. Explique brevemente os tipos de discontinuidades que existen. B. Estudie a continuidade en toda a recta real da función f dada por:

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MATEMÁTICAS Bloque 4.a. (Responderán a unha das dúas preguntas deste bloque só aqueles alumnos que aprobaron Matemáticas II durante o actual curso académico 2003/2004. A puntuación máxima da pregunta é 2.5 puntos.) 1. Deixamos caer unha pelota desde unha altura de 4 metros e, tras cada rebote, a altura acadada redúcese á metade da altura anterior. ¿Que altura acadará a pelota tras cada un dos cinco primeiros rebotes? ¿E tras o rebote vixésimo? ¿E tras o n-ésimo rebote? Se an denota a altura acadada tras o n-ésimo rebote, obteña unha cota superior e outra inferior desta sucesión. Calcule

an.

2. Calcule Bloque 4.b. (Estatística) (Responderán a unha das dúas preguntas deste bloque só aqueles alumnos que aprobaron Matemáticas II durante o curso académico 2002/2003 ou anteriores. A puntuación máxima da pregunta é 2.5 puntos.) 1. A velocidade dos coches que circulan por unha cidade segue unha distribución normal de media 40 Km./hora e varianza 100. Calcule a probabilidade de que un coche circule a unha velocidade n con donde m denota a media e s denota a desviación típica. Utilizando a resposta anterior, ache a porcentaxe de coches que circulan a máis de 60 Km./hora. ¿Cal é a probabilidade de que un coche circule a menos de 70 Km./hora se se sabe que circula a máis de 40 Km./hora? Pode ser útil saber que se Z é unha variable normal estándar entón P(Z<2)=0.9772 e P(Z<3)=0.9987. 2.

A vida útil (medida en anos) dun teléfono móbil fabricado por unha determinada empresa é unha se 0 < x < 5 (e cero noutro caso).

variable aleatoria con función de densidade:

A devandita marca ofrece unha garantía de ano e medio, de xeito que se o móbil falla nese período terá que reemplazalo por outro novo. Calcule a probabilidade de que se teña que reemplazar un móbil no período de garantía. Se un pai merca a cada un dos seus cinco fillos un móbil desa marca, determine a probabilidade de que polo menos un deles se avaríe durante o período de garantía.

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CRITERIOS DE AVALIACIÓN / CORRECCIÓN CONVOCATORIA DE XUÑO A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos. Soamente se puntuará a a primeira pregunta respondida de cada un dos catro bloques temáticos. Non se puntuarán respostas (Si ou Non) que non veñan acompañadas dunha xustificación. Por cada erro cometido en cálculos (que non sexan erros conceptuáis) descontarase 0.1. Entendendo que se ese valor errado se emprega despois no mesmo exercicio e conleva un resultado (aínda que erróneo) consecuente con esa conta, non se penalizará o resultado final.

2. B. 1.5 puntos. Bloque 3.(Análise) 1. Plantexamento: 1.5 puntos. Cálculo do punto crítico: 0.5 puntos. Comprobación da segunda derivada: 0.5 puntos. 2. Signo da función: 0.5 puntos. Cálculo da primitiva: 1.5 puntos. Aplicación da regra de Barrow: 0.5 puntos. Bloque 4.a. 1. A. 1 punto: (0.5 polos casos de indeterminación e 0.5 puntos polos exemplos). 1. B. 1.5 puntos.

Bloque 1.(Álxebra Linear) 1. Plantexamento: Resolución: 1 punto.

1.5

puntos.

2. A. 1 punto. 2. B. 1.5 puntos.

2. Plantexamento: Resolución: 1 punto.

1.5

puntos.

Bloque 4.b. (Estatística)

1. A. 1 punto. 1. B. 1.5 puntos.

1. A. Definición: 0.25 puntos. Propiedades: 0.5 puntos. 1. B. Cálculo do coeficiente: 0.75 puntos. Determinación da función de distribución: 1 punto.

2. A. Ángulo: 0.5 puntos. Condición de perpendicularidade: 0.5 puntos.

2. A. 1 punto (0.5 puntos cada definición) 2. B. 1.5 puntos.

Bloque 2.(Xeometría)

CONVOCATORIA DE SETEMBRO se emprega despois no mesmo exercicio e conleva un resultado (aínda que erróneo) consecuente con esa conta, non se penalizará o resultado final.

A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos. Soamente se puntuará a a primeira pregunta respondida de cada un dos catro bloques temáticos. Non se puntuarán respostas (Si ou Non) que non veñan acompañadas dunha xustificación. Por cada erro cometido en cálculos (que non sexan erros conceptuáis) descontarase 0.1. Entendendo que se ese valor errado

Bloque 1.(Álxebra Linear) 1. A. 1 punto. 1. B. 1.5 puntos. (Plantexamento e cálculo dos coeficientes: 1 punto. Resposta á 55

CRITERIOS DE AVALIACIÓN / CORRECCIÓN 2. 2.5 puntos (Por calcular a primitiva en términos de logaritmos:1 punto, por calcular a outra primitiva en términos dunha función arcotanxente: 1.5 puntos).

pregunta: 0.5 puntos) 2. A. 1 punto (0.5 puntos por cada resposta.) 2. B.: 1.5 puntos. (Plantexamento do sistema 1 punto. Resolución:0.5 puntos)

Nota: se non incluen na expresión final a constante de integración rebáixanse 0.25 puntos.

Bloque 2.(Xeometría) 1. Comprobación de que son coplanarios: 1 punto. Cálculo da área: 1 punto. Resposta á pregunta: 0.5 puntos. 2. Ecuación do plano: 1.5 puntos. Cálculo da distancia: 1 punto.

Bloque 4.b. (Estatística) 1. Probabilidade de que un coche circule a unha velocidade 1 punto. Cálculo da porcentaxe de coches que circulan a máis de 60 Km/h, (utilizando o resultado anterior): 0.5 puntos. Se o calcula sen empregar o resultado anterior, é dicir, sen utilizar a simetría : 0.4 puntos) Cálculo da última probabilidade: 1 punto.

Bloque 3.(Análise) 1. A. 1 punto se se inclue unha explicación. Non se considera válido un simple debuxo. 1. B. Planteamiento: 1 punto (Pos saber que la tg(135º)=-1: 0.5 puntos, Por igualar la derivada a -1:0.5 puntos). Resolución de la ecuación de segundo grado: 0.5 puntos. 2. A. Definición: 0.75 puntos. Discontinuidades: 0.75 puntos (0.25 por cada tipo) 2. B. 1. punto.

2. Cálculo da probabilidade de reemplazo de un móvil no período de garantía: 1 punto distribuido da seguinte maneira: Plantexamento como a integral da función de densidade no intevalo [0, 1.5]: 0.5 puntos. Cálculo da primitiva: 0.25 puntos. Aplicación da regra de Barrow: 0.25 puntos

Bloque 4.a.

Cálculo da última probabilidade pedida: 1.5 puntos. (0.5 puntos polo plantexamento dos parámetros da binomial e 1 punto polo plantexamento e cálculo da citada probabilidade).

1. Cálculo dos primeiros términos: 0.5 puntos (0.1 por cada un deles). Cálculo do término vixésimo: 0.5 puntos. Cálculo do término xeral: 0.5 puntos. Cota superior e inferior 0.5 puntos. Cálculo do límite: 0.5 puntos.

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MATEMÁTICAS PRIMEIRA PARTE (Parte Común) (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos.) Bloque 1 (Álxebra Lineal) ((Responda a unha das dúas preguntas)

1. Ache tódalas matrices A = (aij), cadradas de orde tres, tales que a21 = a32 = 0 e A + At = 4I, sendo I a matriz identidade de orde tres e At a matriz trasposta de A, das que ademáis sábese que o seu determinante vale 10. 2. Discuta e interprete xeométricamente, xeométricamente según os diferentes valores do parámetro m, o seguinte sistema:

Bloque 2 (Xeometría) ((Responda a unha das dúas preguntas)

1. Calcule a distancia entre as rectas de ecuacións

e

2. Demostre que os puntos P=(0,0,4), Q=(3,3,3), R=(2,3,4) e SS=(3,0,1) son coplanarios e determine o plano que os contén.

Bloque 3 (Análise) ((Responda a unha das dúas preguntas) 1. A. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema do valor medio do cálculo integral para funcións continuas. B. Sexa ƒ :[-2, 2]

continua en [-2, 2] tal que

¿pódese asegurar que

existen b e c en [-2, 2] tales que b < -1, c > -1 e ƒ(b) = ƒ(c)? Xustifique a súa resposta. 2. A. Enunciado da Regra de L’Hopital. B. Calcule a relación entre a e b para que sexa continua en toda a recta real a función definida por

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MATEMÁTICAS SEGUNDA PARTE Bloque 4.a. (Responderán a unha das dúas preguntas deste bloque só aqueles alumnos que aprobaron Matemáticas II durante os cursos académicos 2003/2004 ou 2004/2005. A puntuación máxima da pregunta é 2.5 puntos.) 1. A. Definición de cota superior dunha sucesión de números reais. Definición de sucesión acotada inferiormente. B. Demostre que a sucesión de termo xeral (xustificando que é cota inferior.)

é crecente e ache unha cota inferior positiva

2. A. Explique BREVEMENTE o método de integración de funcións racionais P(x)/Q(x), no caso de que o polinomio do denominador, Q(x), teña só raíces reais. B. Calcule Bloque 4.b. (Estatística)) ((Responderán a unha das dúas preguntas deste bloque só aqueles alumnos que aprobaron Matemáticas II durante o curso académico 2002/2003 ou anteriores. A puntuación máxima da pregunta é 2.5 puntos.) 1. A. Propiedades da función de densidade dunha variable aleatoria que segue unha distribución normal. B. Se X é unha variable aleatoria normal de media m>0 e varianza s2 entón

vale:

a) cero b)

donde Z é unha variable aleatoria que segue unha distribución N(0,1).

c) ningunha das anteriores. Elixa unha das tres respostas xustificando a súa elección. 2. A. A media dunha variable aleatoria pode ser negativa: (a) Nunca (b) Sempre (c) Só se as probabilidades son negativas (d) Ningunha das anteriores. Escolla unha das anteriores respostas e razoe por que as outras tres opcións non son correctas.

B. Se X é unha variable aleatoria discreta de media m, demostre, (empregando a definición de media) que a media da variable aleatoria discreta Y, con Y = a + bX, (para calesqueira a,bR) é a+bm.

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MATEMÁTICAS PRIMEIRA PARTE (Parte Común) (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación máxima de cada pregunta é 2.5 puntos.) Bloque 1 (Álxebra Lineal) ((Responda a unha das dúas preguntas) 1. Resolva a ecuación matricial: A . X + C = B, sendo

2.Discuta e resolva, segundo os valores do parámetro a, o seguinte sistema de ecuacións. Interpréteo xeométricamente en cada caso:

Bloque 2 (Xeometría) ((Responda a unha das dúas preguntas) 1. A. ¿Que condición deben cumprir os coeficientes das ecuacións xerais de dous planos para que estes sexan perpendiculares? B. Ache o ángulo que forman os planos 2. A. Definición de producto mixto de tres vectores. ¿Pode ocorrer que o producto mixto de tres vectores sexa cero sen ser ningún dos vectores o vector nulo? Razoe a resposta. B. Para

tres vectores no espacio tales que

ache os valores mínimo e

máximo do valor absoluto do seu producto mixto. Bloque 3 (Análise) ((Responda a unha das dúas preguntas) 1. A. Continuidade lateral dunha función nun punto.

B. Analice a continuidade, no punto x = 0, da función f dada por

2. A. Enunciado e interpretación xeométrica do Teorema Fundamental do Cálculo Integral para funcións continuas. B. Sexa

Calcule a segunda derivada da función F (sen intentar resolver a integral.) integral

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MATEMÁTICAS SEGUNDA PARTE Bloque 4.a. (Responderán a unha das dúas preguntas deste bloque só aqueles alumnos que aprobaron Matemáticas II durante os cursos académicos 2003/2004 ou 2004/2005. A puntuación máxima da pregunta é 2.5 puntos.) 1. Calcule: a)

b)

2. Calcule Bloque 4.b. (Estatística)) ((Responderán a unha das dúas preguntas deste bloque só aqueles alumnos que aprobaron Matemáticas II durante o curso académico 2002/2003 ou anteriores. A puntuación máxima da pregunta é 2.5 puntos.) 1. Tódolos días se seleccionan, de maneira aleatoria, 15 unidades dun proceso de taponado de botellas co propósito de verificar a porcentaxe de taponados defectuosos. A xerencia decidíu deter o proceso cada vez que unha mostra de 15 unidades teña dous ou máis defectuosos. Se se sabe que a probabilidade de realizar un taponado defectuoso é p, ¿cal é a probabilidade de que, un determinado día, o proceso se deteña? (O resultado debe expresalo en función de p.) Se p = 0.1, ¿é máis probable que nunha caixa non haxa ningún defectuoso ou que sexan todos defectuosos? Xustifique a súa resposta. 2. Un distribuidor de cristalerías empaqueta as copas en lotes de catro copas cada un. A función de masa de probabilidade do número de copas defectuosas en cada lote vén dada por: k

0

1

2

P(X=k)

0.9

m

0.02

3

4

0.01

0.005

Pídese: a) Calcule o valor de m. b) Calcule a media da variable X. c) Calcule a probabilidade de que polo menos o 50% das copas dun lote sexa defectuoso.

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CRITERIOS DE AVALIACIÓN / CORRECCIÓN CONVOCATORIA DE XUÑO A puntuación máxima de cada bloque é 2,5 puntos.

Continuidade nos puntos x ≠ 0 (0,25 puntos)

Soamente se puntuará a primeira pregunta respondida de cada un dos catro bloques.

Cálculo do

(0,75 puntos)

Conclusión (0,5 puntos)

Bloque 1 (Álxebra lineal)

Bloque 4.a

EXERCICIO 1: Formulación de A + At = 4I (0,5 puntos). Obtención dos aii (0,25 puntos). Obtención de a12 e a23 (0,25 puntos). Obtención da condición a13 + a31 = 0 (0,25 puntos)

1.A (1 punto) distribuido en Definición de cota superior dunha sucesión de números reais (0,5 puntos)

Formulación de det A = 10 (0,5 puntos). Obtención de a13 e a31 (0,75 puntos; descontaranse 0,5 puntos se só se dá un valor)

Definición de sucesión acotada inferiormente (0,5 puntos)

EXERCICIO 2:

Demostrar que a sucesión é crecente (0,75 puntos)

Discusión (1,5 puntos), distribuidos en

Determinar unha cota inferior positiva (0,75 puntos)

1.B (1,5 puntos)

Obtención de m (0,5 puntos). Sistema compatible determinado (0,5 puntos). Sistema incompatible (0,5 puntos)

2.A (1 punto) distribuido en Dividir para reduci-lo problema ó caso de grado (P(x)) < grado (Q(x)) (0,25 puntos)

Interpretación xeométrica (1 punto), distribuido en

Descomposición do denominador en factores (0,25 puntos)

Tres planos que se cortan nun punto (0,5 puntos). Planos que se cortan dous a dous (0,5 puntos)

Descomposicición en suma de fraccións (0,25 puntos)

Bloque 2 (Xeometría)

Determinación das constantes e integración dos sumandos (0,25 puntos).

EXERCICIO 1: Formulación (rectas que se cruzan e como se pode calula-la distancia) (1 punto)

2.B (1,5 puntos) distribuidos en Descomposición en suma de fraccións (0,25 puntos)

Determinación da distancia (1,5 puntos) Descontaranse 0,5 puntos se se dá como resultado unha distancia negativa.

Determinación das constantes (0,25 puntos) Integración logarítmica (0,25 puntos)

EXERCICIO 2:

Integración da potencia (0,5 puntos)

Demostrar que os puntos son coplanarios (1,5 puntos)

Constante de integración (0,25 puntos) Bloque 4.b (Estatística)

Obtención da ecuación do plano (1 punto) Bloque 3 (Análise)

1.A (1 punto) 1.B (1,5 puntos) distribuidos en

EXERCICIO 1: 1.A (1 punto) distribuido en

Tipifica-la variable (0,5 puntos)

Enunciado do teorema do valor medio do cálculo integral (0,5 puntos)

Face-las transformacións (1 punto) 2.A (1 punto)

Interpretación xeométrica (0,5 puntos)

2.B (1,5 puntos)

1.B (1,5 puntos)

Expresión da media de Y (0,5 puntos)

2.A (1 punto)

Cálculos (1 punto)

2.B (1,5 puntos) distribuidos en

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CRITERIOS DE AVALIACIÓN / CORRECCIÓN CONVOCATORIA DE SETEMBRO A puntuación máxima de cada bloque é 2,5 puntos.

Cálculo do límite lateral pola dereita (0,5 puntos) Discontinuidade (0,5 puntos)

Soamente se puntuará a primeira pregunta respondida

EXERCICIO 2:

de cada un dos catro bloques.

2.A (1,5 puntos) distribuidos en

Bloque 1 (Álxebra lineal)

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo Integral para funcións continuas (1 punto)

EXERCICIO 1:

Interpretación xeométrica (0,5 puntos)

Obtención de X = A-1 (B - C) (1 punto)

2.B (1 punto) distribuido en

Cálculo de A (0,75 puntos)

Cálculo de F′ (x) (0,5 puntos)

Cálculo de A (B - C) (0,75 puntos)

Cálculo de F′′(x) (0,5 puntos)

-1 -1

EXERCICIO 2: Discusión (1 punto), distribuido en

Bloque 4.a

Sistema compatible determinado (0,5 puntos)

EXERCICIO 1:

Sistema compatible indeterminado (0,5 puntos)

a) (1,5 puntos)

Resolución (0,5 puntos)

b) (1 punto)

Interpretación xeométrica (1 punto), distribuido en

EXERCICIO 2: (2,5 puntos) distribuidos en

Tres planos que se cortan na orixe (0,5 puntos) Tres planos que se cortan nunha recta (0,5 puntos)

Reduci-lo problema ó caso de grado (P(x)) < grado (Q(x)) (0,5 puntos)

Bloque 2 (Xeometría)

Integración logarítmica (0,5 puntos)

Integración da potencia (0,25 puntos) Integración arco tanxente (1 punto)

EXERCICIO 1: Condición de perpendicularidade (1 punto)

Constante de integración (0,25 puntos)

Cálculo do ángulo que forman os planos (1,5 puntos)

Bloque 4.b (Estatística)

EXERCICIO 2:

EXERCICIO 1:

Definición de producto mixto de tres vectores (1 punto)

Formulacíón do problema (0,5 puntos)

Condición para que o producto mixto de tres vectores non nulos sexa cero (0,5 puntos)

Caso p = 0,1 (1,25 puntos) distribuidos en

Cálculos (0,75 puntos) Cálculo de P (X = 0) (0,5 puntos)

Valor mínimo e máximo do valor absoluto do producto mixto (1 punto)

Cálculo de P (X = 1) (0, 5 puntos) Conclusión (0,25 puntos) EXERCICIO 2

Bloque 3 (Análise)

a) (0,5 puntos)

EXERCICIO 1:

b) (0,75 puntos)

1.A (1 punto)

c) (1,25 puntos)

1.B (1,5 puntos) distribuidos en Cálculo do límite lateral pola esquerda (0,5 puntos)

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MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

Opción 1. Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa. b) Para m = 0, calcula A3 e A25. c) Para m = 0, calcula a matriz X que verifica X . A = B, sendo B = (0 -1 -1) Opción 2. a) Discute e interpreta xeometricamente, segundo os valores do parámetro m, o sistema

b) Resólveo, se é posible, para os casos m = 0 e m = 2. BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Definición e interpretación xeométrica do produto vectorial de dous vectores en 3. b) Calcula os vectores unitarios e perpendiculares ós vectores

e

.

c) Calcula a distancia da orixe de coordenadas ó plano determinado polo punto (1,1,1) e os vectores e . Opción 2. Dado o plano p: 2x + ly + 3 = 0 ; e a recta a) Calcula o valor de l para que a recta r e o plano p sexan paralelos. Para ese valor de l, calcula a distancia entre r e p. b) ¿Para algún valor de l , a recta está contida no plano p? Xustifica a resposta. c) ¿Para algún valor de l , a recta e o plano p son perpendiculares? Xustifica a resposta. BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos) Opción 1. a) Calcula a ecuación da recta tanxente á gráfica de ƒ(x) = (x + 1)e-x no punto de corte de ƒ(x) co eixo OX. b) Calcula, para ƒ(x) = (x + 1)e-x: intervalos de crecemento e decrecemento, extremos relativos, puntos de inflexión, concavidade e convexidade. c) Enunciado e interpretación xeométrica do teorema do valor medio do cálculo integral. Opción 2. a) Enunciado e interpretación xeométrica do teorema do valor medio do cálculo diferencial. b) De entre tódolos triángulos rectángulos con hipotenusa 10cm., calcula as lonxitudes dos catetos que corresponden ó de área máxima c) Calcula o valor de m, para que a área do recinto limitado pola recta y = mx e a curva y = x3, sexa 2 unidades cadradas.

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MATEMÁTICAS (Responder somente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Sexan A, B e C tres matrices tales que o produto A.B.C é unha matriz 3x2 e o produto A.Ct é unha matriz cadrada, sendo Ct a trasposta de C. Calcula, razoando a resposta, as dimensións de A, B e C. , obtén todas as matrices X que conmutan con M, é dicir, verifican X.M = M.X.

b) Dada

c) Calcula a matriz Y que verifica M.Y + M-1.Y = I, sendo a matriz dada en b), M-1 a matriz inversa de M e I a matriz unidade de orde 2. Opción 2. a) Se nun sistema de tres ecuacións lineais con tres incógnitas, o rango da matriz dos coeficientes é 3, ¿podemos afirmar que o sistema é compatible? Razoa a resposta. b) Discute, segundo os valores do parámetro m, o sistema de ecuacións lineais: y + mz = 0 x + z = 0 mx - y = m c) Resolve o sistema anterior para o caso m = 0. BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Dados os vectores , , calcula os vectores unitarios de 3 que son ortogonais ós dous vectores dados. b) Sexa π o plano determinado polo punto P(2, 2, 2) e os vectores , . Calcula o ángulo que forma o plano π coa recta que pasa polos puntos O(0, 0, 0) e Q(2, -2, 2). c) Calcula o punto simétrico de O(0, 0, 0) respecto do plano x - y + z - 2 = 0. Opción 2. Os lados dun triángulo están sobre as rectas

a) Calcula os vértices do triángulo. ¿É un triángulo rectángulo? Razoa a resposta b) Calcula a ecuación do plano π que contén ó triángulo. Calcula a intersección do plano π cos eixes OX, OY e OZ. BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos)

b teña un mínimo relativo no x , Para eses valores de a e b, calcula: asíntotas e intervalos de crecemento e decrecemento de ƒ(x).

Opción 1. a) Calcula os valores de a e b para que a gráfica de ƒ(x) = ax + punto

b) Calcula c) Definición de primitiva e integral indefinida dunha función. Enunciado da regra de Barrow. Opción 2. a) Definición de función continua nun punto. ¿Que tipo de descontinuidade ten en x = 0 a función ? b) Un arame de 170 cm. de lonxitude divídese en dúas partes. Con unha das partes quérese formar un cadrado e coa outra un rectángulo de xeito que a base mida o dobre da altura. Calcula as lonxitudes das partes nas que se ten que dividir o arame para que a suma das áreas do cadrado e do rectángulo sexa mínima c) Calcula a área do recinto limitado pola recta y = 2 - x ; e a curva y = x2.

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CONVOCATORIA DE XUÑO Soamente se puntuará a primeira pregunta respondida de cada un dos tres bloques. Bloque 1 (Álxebra lineal) OPCIÓN 1: a) 1 punto b) 1 punto, distribuido en Cálculo de A3 (0,5 puntos) Cálculo de A25 (0,5 puntos) c) 1 punto OPCIÓN 2: a) 2 puntos, distribuidos en Discusión (1 punto) Interpretación xeométrica (1 punto) b) 1 punto, distribuido en Resolución no caso m = 0 (0,50 puntos) Resolución no caso m = 2 (0,50 puntos) Bloque 2 (Xeometría) OPCIÓN 1: a) 1 punto, distribuido en Definición do producto vectorial de dous vectores (0,5 puntos) Interpretación xeométrica do producto vectorial de dous vectores (0,5 puntos) b) 1 punto. c) 1 punto, distribuido en Determinación do plano (0,5 puntos) Cálculo da distancia (0,5 puntos) OPCIÓN 2: a) 1,5 puntos, distribuidos en Determinación de l. ( 0,75 puntos)

Cálculo da distancia (0,75 puntos) b) 0,75 puntos c) 0,75 puntos Bloque 3 (Análise) OPCIÓN 1: a) 1 punto, distribuido en Cálculo do punto de corte co eixo OX ( 0,25 puntos) Cálculo da derivada (0,25 puntos) Ecuación da recta tanxente (0,5 puntos) b) 2 puntos, distribuidos en Intervalos de crecemento e decrecemento (0,5 puntos) Extremos relativos (0,5 puntos) Puntos de inflexión (0,5 puntos) Concavidade e convexidade (0,5 puntos) c) 1 punto, distribuido en Enunciado do teorema do valor medio do cálculo integral (0,5 puntos) Interpretación xeométrica do teorema (0,5 puntos) OPCIÓN 2: a) 1 punto, distribuido en Enunciado do teorema do valor medio do cálculo diferencial (0,5 puntos) Interpretación xeométrica do teorema (0,5 puntos) b) 1,5 puntos, distribuidos en Formulación do problema (0,5 puntos) Obtención dos catetos (1 punto) c) 1,5 puntos, distribuidos en Formulación do problema (0,75 puntos) Cálculo da integral e obtención de m (0,75 puntos)

63

CONVOCATORIA DE SETEMBRO Soamente se puntuará a primeira pregunta respondida de cada un dos tres bloques. Bloque 1 (Álxebra lineal) Opción 1: a) 1 punto, distribuido en Dimensión de A (0,5 puntos) Dimensión de B (0,25 puntos) Dimensión de C (0,25 puntos) b) 1 punto, distribuido en Formulación das ecuacións (0,5 puntos) Solución (0,5 puntos) c) 1 punto, distribuido en Cálculo de M-1 (0,5 puntos) Cálculo de Y (0,5 puntos) Opción 2: a) 1 punto b) 1 punto, distribuido en Sistema incompatible (0,5 puntos) Sistema compatible indeterminado (0,5 puntos) c) 1 punto Bloque 2 (Xeometría) Opción 1: a) 1 punto, distribuido en Cálculo álculo de x (0,25 puntos) Cálculo de │ x │ (0,25 puntos) Por cada solución (0,25 puntos) b) 1 punto, distribuido en Vector asociado ó plano (0,25 puntos) Vector director da recta (0,25 puntos) Cálculo do ángulo (0,5 puntos) c) 1 punto

Opción 2: a) 1,5 puntos, distribuidos en Cálculo dos vértices (1 punto) Triángulo rectángulo (0,5 puntos) b) 1,5 puntos, distribuidos en Obtención do plano (1 punto) Intersección cos eixos (0,5 puntos) Bloque 3 (Análise) Opción 1: a) 2 puntos, distribuidos en Cálculo de a e b (0,5 puntos) Asíntotas (0,75 puntos) Intervalos de crecemento e decrecemento (0,75 puntos) b) 1 punto c) 1 punto, distribuido en Definición de primitiva (0,25 puntos) Definición de integral indefinida (0,25 puntos) Regla de Barrow (0,5 puntos) Opción 2: a) 1 punto, distribuido en Definición de función continua nun punto (0,5 puntos) Tipo de discontinuidade (0,5 puntos) b) 1,5 puntos, distribuidos en Expresión a minimizar (0,75 puntos) Cálculo da lonxitude das dúas partes nas que se divide o arame (0,5 puntos) Comprobación de mínimo (0,25 puntos) c) 1,5 puntos, distribuidos en Formulación do problema (0,75 puntos) Determinación dos límites de integración (0,25 puntos) Cálculo da integral (0,5 punto)

64

CONVOCATORIA DE XUÑO BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

m = 2 , dous planos coincidentes (o 1º e o 3º) que se cortan co outro plano ó longo dunha recta

Opción 1. a) |A| = m2 -1. Polo tanto |A| = 0

 m = ±1. Así,

A ten inversa  m ≠ ±1.

(1 punto)

b) Se m = 0, utilizando as propiedades do produto de matrices A2 = A.

b) Se m=0, estamos no caso dun S.C.D. e como é un sistema homoxéneo, a solución única é a trivial: x = 0; y = 0; z = 0; (0,5 puntos)

; A3 = A2.A = -I;

Se m= 2, estamos no caso dun S.C.I.

(0,5 puntos)

A25 = (-I)8 .A = I.A = A. (0,5 puntos) -1 c) Tendo en conta a), para m = 0, A e ademais, por b), A-1 = -A2. Polo tanto X.A = B  X = B.A-1, X = (0 -1 -1) . (-A2) = (-1 0 1) (1 punto)

As infinitas solucións pódense expresar: x = l, y = -l -2, z = -3l -2 / l  R ; (0,5 puntos)

Opción 2.

BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos)

a) Matriz de coeficientes :

.

Opción 1. a) Definición do produto vectorial de dous vectores en R3. (0,5 puntos)

Matriz ampliada :

Interpretación xeométrica do produto vectorial de dous vectores en R3. (0,5 puntos)

|C| = m - 2

b)

m ≠ 2  rang(C) = rang(A) =3 m=2:

x = (-2, 1, 2); | x | = 3

Os dous vectores unitarios e ortogonais a e a son  1 = (- 2 , 1 , 2 ); w  2 = ( 2 , - 1 , - 2 ) (1 punto) w 3 3 3 3 3 3

= 1 ≠ 0  rang(C) = 2; rang(A) = 2

Discusión: (1 punto) m ≠ 2 , rang(C) = rang(A) =3 = nº de incógnitas. Sistema compatible determinado (S.C.D.). Solución única. m = 2 , rang(C) = rang(A) =2 < nº de incógnitas. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.). Infinitas solucións. (1punto)

c) A ecuación do plano será:

;

é dicir p : 2x - y - 2z + 1 = 0

(0,5 puntos)

Utilizando a fórmula da distancia dun punto, neste caso O = (0, 0, 0), a un plano temos: d(O, p) = 1/3 (0,5 puntos) Opción 2. a) Vector asociado ó plano p:  np = (2, l, 0)

Interpretación xeométrica: Vector director da recta

m ≠ 2 , tres planos que se cortan nun punto P

;

vr = (-6, -12, -15) Como r || p  vr  np , e vr  np  vr . np = 0, temos que r || p  l = -1

(0,75 puntos)

Para l = -1, temos o plano p : 2x - y + 3 = 0. Como 65

r || p, podemos calcular a distancia de r a p como a distancia entre un punto calquera de r, por exemplo Pr = (0, -2, 1), e o plano p. Polo tanto 5 d (r, p) = d (Pr , p) = = √5 (0,75 puntos) √5

Función a optimizar: 1 A(x) = x , 2

(0,25 puntos)

A’(x) =

b) Vimos no apartado anterior que r || p  l = -1 e ademais, para este valor de l, d (r, p) = √5. Polo tanto Non existe ningún valor de l para o que a recta r estea contida no plano. (0,75 puntos)

(0,75 puntos)

Puntos críticos: x = 0 (non vale), x = -5√2 (non vale), x = 5√2 (0,25 puntos) Xustificación de que 5√2 corresponde a un máximo: A’’(5√2) < 0 (0,25 puntos) Polo tanto, de entre tódolos triángulos rectángulos de hipotenusa 10cm, o que ten área máxima corresponde a un triángulo rectángulo isósceles de catetos 5√2 cm.

c) r  p   vr ||  np, pero non existe l que faga que  os vectores vr = (-6, -12, -15) e  np = (2, l, 0) sexan proporcionais. Polo tanto, non hai ningún valor de l para o que r e p son perpendiculares. (0,75 puntos)

c)

BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos) Opción 1. a) Punto de corte co eixo OX: (-1,0) (0,25 puntos) f’(x) = -xe-x; f’(-1) = e (0,25 puntos) Recta tanxente en (-1,0): y = e (x+1) (0, 5 puntos) b) f’(x) = 0  x = 0 A función é crecente en (-∞, 0) e decrecente en (0, ∞) (0,5 puntos) f’’(x) = e-x(x-1); f’’(0) < 0. Hai un máximo relativo no punto (0,1) (0,5 puntos) f’’(x) = 0  x = 1. Cóncava en (-∞, 1) e convexa en (1, ∞) (0,5 puntos) -x f’’’(x) = e (2-x); f’’’(1) ≠ 0. Hai un punto de inflexión no punto (1, 2/e) (0,5 puntos) c) Enunciado do teorema do valor medio do cálculo integral. (0,5 puntos) Interpretación xeométrica do teorema do valor medio do cálculo integral. (0,5 puntos)

Abscisas dos puntos de corte das gráficas x3 = mx  x = 0 ; x = ±√m Como a área do recinto ten que ser 2 unidades cadradas o

√m

2 = ∫-√m (x3 - mx)dx + ∫o (mx - x3)dx (0,75 puntos) Integrando

Opción 2. a) Enunciado do teorema do valor medio do cálculo diferencial. (0,5 puntos) Interpretación xeométrica do teorema do valor medio do cálculo diferencial. (0,5 puntos)

e así m = ±2, pero m = -2 non vale, polo tanto m=2 (0,75 puntos)

b)

66

CONVOCATORIA DE SETEMBRO BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Da hipótese A . B . C  M3x2, dedúcese que A  M , B  M , C  M . Polo tanto Ct  M e 3xm

mxn

nx2

2xn

para que A . Ct, necesariamente m = 2 e A  M3x2. (0,5 puntos) Da hipótese A . Ct é unha matriz cadrada, dedúcese

Discusión: (1 punto) Se m ≠ 0, rang(C) = 2 < 3 = rang(A). Sistema incompatible. Non ten solución. Se m = 0, rang(C) = 2 = rang(A) < nº incógnitas. Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.). Infinitas solucións c) Se m = 0, é un sistema homoxéneo e vimos que era un (S.C.I.). Para obter as infinitas solucións

que n = 3 e polo tanto B  M2x3, C  M3x2, (0,5 puntos) b) Para que existan os produtos X . M e M . X, X ten que ser unha matriz cadrada de orde 2. Da igualdade , deducimos que

Solucións : {(-l, 0, l) / l  R} (1 punto) b = 0, a = d e polo tanto X =

/ a, c  R

BLOQUE 2 (XEOMETRÍA)

(1 punto) c) |M| = 1, M-1 =

,

M . Y + M-1 . Y = I

máxima 3 puntos) Opción 1.

(0,5 puntos)

 Y = (M + M-1)-1

(Puntuación

a)

x = (1, -1, 1)

| x | = √3

e como

(0,25 puntos) (0,25 puntos)

(0,5 puntos)

Entón, os dous vectores unitarios e ortogonais a e √3 √3 √3 √3 √3 √3 a son: w1 = ( , - , ); w2 = (- , - ) 3 3 3 3 3 3 (0,5 puntos)  b) Vector asociado ó plano: np = x = (1, -1, 1).

a) Se denotamos por C a matriz dos coeficientes

(0,25 puntos)

M + M-1 =

, obtemos que Y =

Opción 2.

Vector director da recta: = (2, -2, 2). (0,25 puntos) Estes dous vectores son proporcionais e polo tanto a recta e plano son perpendiculares (0,5 puntos) c) Ecuación da recta que pasa por O (0, 0, 0) e é perpendicular a p

e por A a matriz ampliada, temos que C  M3x3 e

A  M3x4, polo que rang(A) ≤3. Ademais sabemos que sempre rang(C) ≤ rang(A), entón 3 = rang (C) ≤ rang (A) rang (A) ≤ 3

 rang(C) = rang (A) = 3

Polo tanto, o sistema é compatible. Como o número de incógnitas tamén é 3, trátase dun sistema compatible determinado (S.C.D.). (1 punto)

2 2 2 , - , - ). 3 3 3 Este punto P é o punto medio de O e o seu simétrico O’. 4 4 4 Polo tanto O’( , - , ). (1 punto) 3 3 3 Punto de intersección de S con p: P(

b) Matriz dos coeficientes:

Matriz ampliada:

;

Opción 2. a) Calculamos as coordenadas dos vértices facendo a intersección das rectas r1 ∩ r2 : A (1, 1, -1) r2 ∩ r3 : B (-1, -1, -1) r1 ∩ r3 : C (3, -1, 3)

;

67

b) (1 punto)

(1 punto) c) Definición de primitiva Definición de integral indefinida Enunciado da regra de Barrow

Polo tanto, o triángulo é rectángulo en A (0,5 puntos) b) Podemos calcular o plano p como o plano determinado polo punto A e os vectores e . Así

Opción 2. a) Definición de función continua nun punto

, é dicir p : x - y - z - 1 = 0

(0,5 puntos) Discontinuidade evitable, que se evita

(1 punto) Intersección cos eixos OX, OY e OZ: P(1, 0, 0), Q(0, -1, 0) e R(0, 0, -1) respectivamente. (0,5 puntos)

definindo f (0) = 0 (0,5 puntos) b) Parte de arame para o cadrado: x cm. Parte de arame para o rectángulo: (170 - x) cm

BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos) Opción 1. a) f’(x) = a -

(0,25 puntos) (0,25 puntos) (0,5 puntos)

A(x) +

b x2

x2 (170 - x)2 + ; 16 18

A’(x) =

x 170 - x 8 9

e temos así que f (x) = 4x +

1 x

(0,5 puntos) 1 1 + >0 8 9 Solución: 80 cm para o cadrado e 90 cm para o rectángulo. (1,5 puntos) c) Abscisas dos puntos de corte das gráficas

(0,25 puntos)

Asíntota vertical: x = 0

A’(x) = 0  x = 80; A’’(x) =

Asíntota oblicua: y = mx + n

(0,25 puntos) (0,75 puntos) Polo tanto a asíntota oblicua é a recta y = 4x (0,5 puntos) Como f’ (x) = 4 -

;

1 1 , temos que f’ (x) = 0  x = ± x2 2

(-∞, -1/2) (-1/2, 0)

(0, 1/2)

(1/2, ∞)

f’ (x)

+

-

-

+

f (x)









é dicir> Crecente en (-∞, -1/2)  (1/2, ∞), Decrecente en (-1/2, 0)  (0, 1/2) (0,75 puntos)

68

A=

9 2 u 2

(0,5 puntos)

21

MATEMÁTICAS (Responder só a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Sexan F1, F2, F3 as filas primeira, segunda e terceira, respectivamente, dunha matriz cadrada M de orde 3, con det(M) = -2. Calcula o valor do determinante da matriz que ten por filas F1 - F2, 2F1, F2 + F3. b) Dada a matriz

, acha dúas matrices X e Y que verifican: X + Y-1 = C X - Y-1 = Ct

sendo Ct a matriz trasposta de C. Opción 2. a) Discute, segundo os valores do parámetro m, o seguinte sistema de ecuacións lineais:

b) Resólveo, se é posible, no caso m = 2. BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Os puntos A(1,1,0), B(0,1,1) e C(-1,0,1) son vértices consecutivos dun paralelogramo ABCD. Calcula as coordenadas do vértice D e a área do paralelogramo. b) Calcula a ecuación do plano que pasa polo punto B(0,1,1) e é perpendicular á recta que pasa polos puntos A(1,1,0) e C(-1,0,1). Opción 2. Dadas as rectas

x 1

; s: =

y +1 z +2 = 2 2

a) Estuda a súa posición relativa. b) Calcula a ecuación do plano que contén as dúas rectas. BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos) Opción 1. a) Dada a función calcula a para que f(x) sexa continua en x = 2. Para o valor obtido de a, ¿é f(x) derivable en x = 2? b) Dada g(x) = ax4 + bx + c, calcula os valores de a, b, c para que g(x) teña no punto (1, -1) un mínimo relativo e a recta tanxente á gráfica de g(x), en x = 0 , sexa paralela á recta y = 4x. c) Enunciado do teorema fundamental do cálculo integral. Dada a función de inflexión? Xustifica a resposta.

, ¿ten F(x)puntos

Opción 2. a) Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Rolle. b) Dada f(x) = x3 - 9x, calcula para f(x): puntos de corte cos eixes, intervalos de crecemento e decrecemento, máximos e mínimos relativos, intervalos de concavidade e convexidade e puntos de inflexión. c) Calcula a área da rexión do plano limitada polo eixe OX e a curva y = x3 - 9x.

81

21

MATEMÁTICAS (Responder só a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. Dada a matriz a) Estuda, segundo os valores de m, o rango de A b) Para m = -1, calcula a matriz X que verifica X · A + A = 2I, sendo I a matriz unidade de orde 3. Opción 2. a) Discute, segundo os valores do parámetro m, o seguinte sistema de ecuacións lineais: x +

my +

mz

=

1

x +

my +

mz

=

m

my

b) Resólveo, se é posible, no caso m = 1.

+ mz

= 4m

BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Calcula m para que os puntos A(2,1,-2), B(1,1,1) e C(0,1,m) estean aliñados. b) Calcula o punto simétrico do punto P(-2,0,0) respecto da recta que pasa polos puntos A(2,1,-2) e B(1,1,1). Opción 2. Dadas as rectas

;

a) Estuda a súa posición relativa . b) Calcula a ecuación do plano que contén á recta r e é paralelo á recta s. BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos) Opción 1. a) Calcula

.

b) Calcula os vértices e a área do rectángulo de área máxima que se pode construír de modo que a súa base estea sobre o eixe OX e os vértices do lado oposto estean sobre a parábola y = -x2 + 12. c) Enunciado do teorema fundamental do cálculo integral. Calcula a ecuación da recta tanxente á gráfica de

, no punto de abscisa x=0.

Opción 2. a) Enunciado do teorema de Bolzano. ¿Podemos asegurar que a gráfica de f(x) = x5 + 2x4 -4 corta ao eixe OX nalgún punto do intervalo (1, 2)? b) Dada a función ¿É g(x) continua en

?¿É derivable en

?

c) Calcula a área da rexión do plano limitada polas gráficas de g(x) e h(x) = │x│.

82

CONVOCATORIA DE XUÑO Bloque 3 (Análise) (4 puntos) OPCIÓN 1: a) 1 punto, distribuído en Cálculo de a para que a función sexa continua en x = 2 (0,5 puntos) Estudo da derivabilidade en x = 2 (0,5 puntos) b) 1,5 puntos c) 1,5 puntos, distribuídos en Enunciado do teorema fundamental do cálculo integral (1 punto) Punto de inflexión (0,5 puntos) OPCIÓN 2: a) 1 punto, distribuído en Enunciado do teorema de Rolle (0,5 puntos) Interpretación xeométrica do teorema de Rolle (0,5 puntos) b) 2 puntos, distribuídos en Puntos de corte cos eixes (0,25 puntos) Intervalos de crecemento e decrecemento (0,75 puntos) Máximos e mínimos relativos (0,25 puntos) Intervalos de concavidade e convexidade (0,5 puntos) Punto de inflexión (0,25 puntos) c) 1 punto

Soamente se puntuará a primeira pregunta respondida de cada un dos tres bloques. Bloque 1 (Álxebra lineal) (3 puntos) OPCIÓN 1: a) 1 punto b) 2 puntos, distribuídos en Cálculo de X (0,5 puntos) Cálculo de Y (1,5 puntos) OPCIÓN 2: a) 2 puntos b) 1 punto Bloque 2 (Xeometría) (3 puntos) OPCIÓN 1: a) 2 puntos, distribuídos en Cálculo do vértice D ( 1 punto) Cálculo da área (1 punto) b) 1 punto OPCIÓN 2: a) 2 puntos b) 1 punto

CONVOCATORIA DE SETEMBRO Opción 2.

Soamente se puntuará a primeira pregunta respondida de cada un dos tres bloques

a) 1,5 puntos

BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (3 puntos)

b) 1,5 puntos

Opción 1.

BLOQUE 3 (ANÁLISE) (4 puntos)

a) 1,5 puntos

Opción 1.

b) 1,5 puntos

a) 1 punto

Opción 2.

b) 2 puntos

a) 2 puntos

c) 1 punto

b) 1 punto

Opción 2.

BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (3 puntos)

a) 1 punto

Opción 1.

b) 1 punto

a) 1 punto

c) 2 punto

b) 2 puntos 83

CONVOCATORIA DE XUÑO Discusión: (1 punto) Se m = 1, rang(C) = 2<3 = rang(A). Sistema incompatible. Non ten solución.

BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1.

F1

Se m = 2, rang(C) = 2 = rang(A) < nº incógnitas. Sistema compatible indeterminado. Infinitas solucións.

a) Sabemos que F2 = - 2. Entón, polas propiedades

F3 dos determinantes, temos que F1 - F2

- F2

2F1

2F1

Se m ≠ 1 e m ≠ 2, rang(C) = 3 = rang(A) = nº incógnitas. Sistema compatible determinado. Solución única.

F1

= 2F1 = F2 = 2 F2 = - 4

F2 + F3

F3

F3

b) Segundo vimos no apartado anterior, estamos no caso dun sistema compatible indeterminado con infinitas solucións. Neste caso, un sistema equivalente ao dado é: x - z = 1+2y 2x + z = -y . e as infinitas solucións serán: 1 1 x= t+ ; 3 3 y=t; t 

F3

(1 punto) b) Sumando membro a membro as dúas ecuacións obtemos 2X = C + Ct. Polo tanto:

X=

1 1

1 1 ( C + C t) = 2 2

2 1

+

1 2 1 1

=

1 3/2 3/2 1

(0,5 puntos) Da primeira ecuación obtemos:

Y -1 = C - X =

1

1

2

1

-

1 3/2 3/2 1

=

0 -1/2 1⁄2

5 2 z=- t+ ; 3 3

0

e tendo en conta que Y = (Y ) , só nos resta o cálculo da matriz inversa de Y-1. Así: t 0 2 0 -1/2 1 Y = det(Y-1) (Adj(Y-1))t = 4 1/2 0 = -2 0 -1 -1

BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Se ABCD é un paralelogramo, cumprirase que AB = DC , e polo tanto, se D(x, y, z)

A

(1,5 puntos) Opción 2. a) Matriz de coeficientes m 1 1 C = 1 -m -1 1 2 1 Cálculo do rango de C:

1 -1 2

1

=3=0

|C| = -m +3m -2;

Matriz ampliada m 1 1 0 A = 1 -m -1 1 2 1 1 0 (0,5 puntos)

i

1

0

1

-1

2

1

1 =2-m 0

j

k

DC x DA = -1

0

1 = (-1, 1, -1)

1

1

0

Área = (-1)2 + 1 + (-1)2 = 3 u2

Polo tanto: rang(C) = 2, se m = 1 ou m = 2 rang(C) = 3, nos demais casos. m

(-1,0,1)=(-1-x,-y,1-z)

A área do paralelogramo vén dada polo módulo do vector DC x DA. Entón:

|C| = 0  m = 1, ou m = 2

Cálculo do rango de A:

B

D C Obtendo así que o vértice D é a orixe de coordenadas, D(0,0,0). (1 punto)

rang(C) > 2

2

(1 punto)

; (1 punto)

b) Un vector normal ao plano pedido é AC = (-1,0,1) - (1,1,0) = (-2,-1,1). Como o plano pasa polo punto B(0,1,1), podemos escribir a ecuación xeral do plano -2(x - 0) - (y - 1) + (z - 1) = 0 (1 punto) é dicir, 2x + y - z = 0

(0,5 puntos)

Opción 2. a) Vector director da recta r : vr = (0,1,2).Vector director da recta s : vs = (1,2,2). Un punto da recta r : Pr = (1,2,2). Un punto da recta

Polo tanto: rang(A) = 2, se m = 2 rang(C) = 3, se m ≠ 2. 84

x

s : Qs = (0,-1,-2)

F(x) = ∫ a f(t)dt é derivable e a súa derivada é F´(x) = f(x). (1 punto)

Polo tanto, PrQs = (0,-1,-2) - (1,2,2) = (-1,-3,-4). Consideramos as matrices M =

P rQ s

N= 0

1

vr vs

= -1 = 0

-1

= 0 1

vr vs

=

-3

-4

1

2

2

2

0

1

2

1

2

2

x

F(x) = ∫0 e-t dt  F´(x) = e-x 2 2 F´´´(x) = -2e-x + 4x2e-x

;

F´´(x) = 0

x

a c c b Baixo as hipóteses do teorema de Rolle, podemos garanti-la existencia de polo menos un punto c en (a,b) tal que a recta tanxente á gráfica de f(x) en (c,f(c)) é paralela ao eixe OX. (0,5 puntos) b)

x

2

x

2

y=0

x(x2 -9) = 0

Puntos de corte cos eixes: (0,25 puntos) f´(x) = 0  x = ±√3 f´´(x) = 0  x = 0

f´´(-√3) < 0; f(-√3) = 6√3. Máximo relativo no punto (-√3,6√3) f´´(√3) > 0 ; f(√3) = -6√3. Mínimo relativo no punto (√3,-6√3) (0,25 puntos) f´´´(x) = 6; f´´´(0) ≠ 0; f(0) = 0. Punto de inflexión no punto (0,0) (0,25 puntos)

Calculamos as derivadas laterais: 1/2x2 -2 1 f ´(2-) = lim= lim- (x + 2) = 2; x 2 x 2  2 x -2 2-x e -1 f ´(2+) = lim+ = lim+ e2-x = -1 x 2 x 2 x -2 Polo tanto, a función non é derivable en x = 2. (0,5 puntos) b) g(x) = ax4 + bx + c ; g´(x) = 4ax3 + b g (1) = -1 a + b + c = -1

4a + b = 0

y=0

f´(x) = 3x2 - 9; f´´(x) = 6x;

f(2) = 3

Polo tanto, para que a función sexa continua en x = 2 ten que cumprirse 4a +1 = 3. Así, a función é continua para a = 1/2. (0,5 puntos)

g´(1) = 0

x=0

(0,0); (-3,0); (3,0)

a) lim- f(x) = lim-(ax2 +1) = 4a +1;

lim+ f(x) = lim+ (e2-x +2) = 3;

En x=0, hai un punto de inflexión.

Interpretación xeométrica: y

Opción 1.

2

2

a) Teorema de Rolle: sexa f(x) unha función continua en [a,b], derivable en (a,b) e con f(a) = f(b). Entón, existe algún punto c  (a,b) no que a derivada da (0,5 puntos) función se anula, f´(c) = 0.

BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos)

x

 F´´(x) = -2xe-x 

Opción 2.

rang(M) = 2. Xa podemos dicir

b) Como son dúas rectas secantes, o plano que as contén queda determinado por un punto dunha recta, por exemplo Pr, que será un punto do plano e polos vectores directores das rectas, é dicir vr e vs , que serán dous vectores contidos no plano. Así, a ecuación do plano será: x -1 y -2 z -2 2 = 0; é dicir: 2x-2y+z=0 (1 punto) 0 1 2 1 2

2

x=0

F´´´(0) = -2 = 0 (0,5 puntos)

1 2 que as rectas se cortan ou cruzan. Para decidir entre estas dúas posibilidades, recorremos ao rango da matriz N, e como |N| = - 2 - 6 + 4 + 4 = 0  rang(N) = 2 as rectas córtanse. (2 puntos)

x

2

2

Crecemento e decrecemento:

(-∞, -√3)

(-√3, √3)

>0 <0 f´(x) crecente decrecente f(x) (0,75 puntos) Concavidade e convexidade:

a = -1; b = 4; c = -4

g´(0) = 4 b = 4 (1,5 puntos) c) Teorema fundamental do cálculo integral: Se f(x) é unha función continua en [a,b], a función

f´´(x) f(x)

85

(√3, +∞) >0 crecente

(0,5 puntos)

(-∞, 0)

(0, +∞)

cóncava

convexa

<0

>0

c) Os resultado obtidos no apartado b) permítennos debuxa-la rexión do plano da que queremos calculala área 0

3

Área = ∫-3 (x3 -9x)dx -∫0 (x3 -9x)dx =

=2

x 4 9x 2 4 2

0

= -2

-3

81 81 81 = u2 4 2 2

(1 punto)

CONVOCATORIA DE SETEMBRO BLOQUE 1 (ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos)

LINEAL)

Polo tanto: m = 0  rang(C) = 1 m ≠ 0  rang(C) = 2 Cálculo do rango de A:

Opción 1.

|A| =

a)

m 0

0

0

m = m2 ; |A| = 0  m = 0 -1 m+1 0

0

Temos así: m ≠ 0  rang(A) = 3 m = 0  rang(A) = 1 (A ten dúas filas de ceros) (1,5 puntos) b) Por a), se m = -1, |A| = 1 ≠ 0 e existe a inversa da matriz A. Ademais, para este valor de m -1 0 0 A = 0 0 -1  A2 = I e polo tanto, A = A-1 Entón

X=2

0

-1

0

0

0

-1

0

1

0

0

-1 - 0

1

0 -

0

0

1

0

-3

0

0

0

-1

-2

0

-2

-1

m

m

A= 1

m

m

m

0

m

m

0

m

m

4m

m

m

0

m

4m

= 4m2 + m - m2 - 4m2 = m(1 -m)

1 1 1 0

= -1 ≠ 0. Se m = 1,

1 1 0 1

=1≠0

Se m = 1, rang(A) = 2

Nos demais casos, rang(A) = 3 Discusión: Se m = 0, rang(C) = 1 < 2 = rang(A). Sistema incompatible. Non ten solución. Se m = 1, rang(C) = 2 = rang(A) < nº incógnitas. Sistema compatible indeterminado. Infinitas solucións. Se m ≠ 0 e m ≠ 1, rang(C) = 2 < 3 = rang(A). Sistema incompatible. Non ten solución. (2 puntos) b) Para m = 1, temos un sistema compatible indeterminado. Un sistema equivalente ao dado é x+y+z=1 y+z=4

Matriz ampliada 1 m m 1

C= 1

1

Se m = 0, rang(A) = 2

(1,5 puntos) Opción 2. a) Matriz de coeficientes 1 m m

1

Polo tanto:

XA + A = 2I  X = (2I - A)A-1 = 2A - I ; 0

m

Se m = 0,

0

-1

1

Como

Cálculo do rango de C: 1ª fila = 2ª fila. Eliminámo-la 2ª fila. 2ª columna = 3ª columna. Eliminámo-la 3ª columna. 1 m =m 0 m

1 1 1 0

= 1 ≠ 0, temos: x = -3, y = 4-z. As

infinitas solucións serán

x = -3 ; y=4-t; z=t; 86

t  (1 punto)

BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Calculámo-la recta r que pasa polos

b) O plano está determinado polo punto Pr e os vectores vr e vs . Polo tanto, a ecuación do plano será

x y-1 z-2

puntos A(2,1,-2) e B(1,1,1). Vector director da recta:

AB == (-1,0,3) DC . Punto de r: A(2,1,-2) Vector director da recta DC F´´(xr:) =AB x=0 0 == (-1,0,3)

x=2-l

r:

-1 -3

1

2

= 0; 5x -4y +3z -2 = 0

1

BLOQUE 3 (ANÁLISE) puntos) Opción 1.

PF´´´(0) unto de = r-2A(2,1,-2) =0

y=1

(1,5 puntos) (Puntuación máxima 4

0

a) É unha indeterminación do tipo e aplicamos a 0 regra de L´Hôpital dúas veces

z = -2 + 3l

ex senx-x ex senx + ex cosx -1 = = 2x2 + x4 4x + 4x3 ex (senx + cosx) + ex (cosx - senx) 1+1 1 = = 4 2 4 + 12x2

Para que os puntos estean aliñados, C debe pertencer á recta r. Polo tanto

0=2-l

 m=4

1=1

1

(1 punto)

m = -2 + 3l

(1 punto) b) Calculámo-lo plano p perpendicular á recta r, polo

b)

tanto o vector AB =é un DCvector perpendicular ao plano, pasando polo punto P(-2,0,0):

F´´ x == 00 ) =+03z + D (x-x AB = pDC Pp

F´´´(0) = -2 = 0

D = -2; p:x -3z +2 = 0

(-x,-x2+12)

(x,-x2+12)

Calculámo-lo punto M(2-l,1,-2+3l) intersección da recta r co plano p: 2 - l - 3(-2+3l) + 2 = 0  l = 1;

M = (1,1,1)

Se P´(x,y,z) é o simétrico de P(-2,0,0), como M = (1,1,1) é o punto medio de PP´, temos que

x-2 = 1; 2

y = 1; 2

(-x,0)

z =1 2

(2 puntos)

e así, P´(4,2,2)

Opción 2. a) Das ecuacións das rectas podemos obtelos seus vectores directores:

O vértice da parábola é o punto V(0,12). A función a maximizar, área do rectángulo, é A(x) = 2x(-x2 +12) = -2x3 +24x (1 punto) Determinamo-lo máximo: A´(x) = -6x2 +24 A´(x) = 0  x = ±2 A´´(x) = -12x; A´´(2) = -24 < 0 Polo tanto, A(x) alcanza o máximo para x = 2. (0,5 puntos) Vértices (-2,8),(2,8),(2,0),(-2,0) (0,25 puntos)

vr = (1,-1,-3) vs = (1,2,1) e estudando o rango da matriz formada polas compo-

ñentes destes vectores rang(M) = rang

1 -1 -3 1

2

1

=2,

xa podemos dicir que as rectas se cortan ou cruzan. Para decidirmos entre estas dúas posibilidades, consideramos agora un punto en cada unha das rectas Pr(0,1,2)  r; Qs(1,3,1)  s; PrQs = (1,2,-1) e a matriz 1 2 -1 P rQ s

N=

(x,0)

vr vs

= 1 -1

-3

1

1

2

Área: A(2) = 32 u2

(0,25 puntos)

c) Teorema fundamental do cálculo integral: Se f(x) é x unha función continua en [a,b], a función F(x) = ∫a f(t)dt é derivable e a súa derivada é F´(x) = f(x). (0,5 puntos) Ecuación da recta tanxente á gráfica de F(x) no punto de abscisa x = 0: y - F(0) = F´(0)(x-0).

Como |N| = -1 -2 -6 -1 +6 -2 = -6 ≠ 0  rang(N) = 3 podemos concluír que as rectas se cruzan. (1,5 puntos) 87

0

F(0) = ∫0 [2+cos(t2)]dt=0, e polo teorema fundamental do cálculo integral F´(x) = 2 + cos(x2)  F´(0) = 3 Polo tanto, a ecuación da recta tanxente é: y = 3x (0,5 puntos) Opción 2. a) Teorema de Bolzano: se f(x) é continua en [a,b] e toma valores de signo contrario nos extremos do intervalo, é dicir f(a)·f(b) < 0, entón existe algún punto c  (a,b) onde a función se anula, é dicir f(c) = 0. (0,5 puntos)

c)

-1

1

A función f(x) = x + 2x -4 é continua en  e polo tanto en [1,2], por ser polinómica. 5

4

f(1) = -1 < 0; f(2) = 60 > 0 Entón, polo teorema de Bolzano, existe polo menos un punto c  (1,2) no que a función se anula, é dicir f(c) = 0 (0,5 puntos) b)

lim g(x) = 0

x- 2 -

lim g(x) = 0

x- 2 +

Polo tanto, g(x) é continua en x = -√2.

-x = -x2 +2

(0,5 puntos)

x = -x2 +2

0 g´(-√2-) = lim =0 x→-√2- x+√2 -x2+2 (-x+√2)(x+√2) g´(-√2+) = lim = lim = 2√2 x+√2 x→-√2 x+√2 x→-√2 +

0

1

x=2 x = -1 x=1 x = -2

[

A = ∫-1 (-x2 +2 +x)dx + ∫0 (-x2 +2 -x)dx = -

[

+

+ -

Dado que g´(-√2-) ≠ g´(-√2+), temos que g(x) non é derivable en x = -√2.

x se x > 0

Calculámo-los puntos de corte de g(x) con h(x)

g(x) = g(-√2).  lim x 2

g(- 2) = 0

- x se x < 0

h(x) =

(0,5 puntos)

88

x

3

-

x

2

3 2

]

1

+2x = 0

7 2 u 3

]

x3 x2 + +2x

3

2

0 -1

(2 puntos)

21

MATEMÁTICAS (Responder só a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. Dada a matriz a) Calcula os valores de m para os que A ten inversa. b) Para m =1, calcula a matriz X que verifica: X · A + X – 2A = 0. Opción 2. a) Discute, segundo os valores do parámetro m, o seguinte sistema de ecuacións lineais:

b) Resolve, se é posible, o sistema anterior para o caso m = –1. BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos)

Opción 1. a) Sexan , dous vectores tales que | | = 3, | | = 4, | – | = 5. Calcula o ángulo que forman os vectores e . Calcula o produto m.ixto [ , , × ], sendo × o produto vectorial de e . b) Dadas as rectas

;

estuda a súa posición relativa e calcula a ecuación do plano que pasa polo punto P(1,1,1) e contén a r. Opción 2. a) ¿Son coplanarios os puntos A(1,0,0), B(3,1,0), C(1,1,1) e D(3,0,–1)? En caso afirmativo, calcula a distancia da orixe de coordenadas ao plano que os contén. b) Calcula o punto simétrico do punto P(0,0,1) respecto do plano p : x – 2y + 2z –1 = 0. BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos) Opción 1. a) Definición e interpretación xeométrica da derivada dunha función nun punto. b) Calcula os valores de a e b para que a función sexa continua e derivable en x = –1. c) Calcula a área do recinto limitado polas parábolas y = x2 – 4x;

se x < –1 se x ≥ –1

.

Opción 2. a) Enunciado do teorema de Weierstrass. Se unha función f(x) é continua en [a,b] e é estritamente decrecente nese intervalo, ¿onde alcanza a función o máximo e o mínimo absoluto? b) Calcula o valor de m para que: c) Calcula

.

81

21

MATEMÁTICAS (Responder só a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Estuda, segundo os valores de m , o rango da matriz b) Para o valor m = 1, resolve a ecuación matricial MX = 3At, sendo A = (1 0 1) e At= matriz transposta de A. Para este valor de m, ¿canto valerá o determinante da matriz 2M21? Opción 2. a) Discute, segundo os valores do parámetro m, o seguinte sistema de ecuacións lineais:

b) Resolve, se é posible, o sistema anterior para o caso m = 0. BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Calcula a distancia da orixe de coordenadas ao plano que pasa polo punto P(1,1,2) e é perpendicular á recta b) Calcula a área do triángulo que ten por vértices os puntos de intersección do plano p : x –2y + 2z –3 = 0 cos eixos de coordenadas. ¿É un triángulo rectángulo? Opción 2. a) Dados os planos p1 : x –2y + 2z –1 = 0; estuda a súa posición relativa e calcula a distancia entre eles. b) Dado o punto P(2,1,7), calcula o seu simétrico respecto ao plano p2 . BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos) Opción 1. a) Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Rolle. b) Sexa f(x) = ex (2x –1). Calcula os intervalos de crecemento e decrecemento e a ecuación da recta tanxente á gráfica de f(x) no punto de abscisa x = 0. c) Calcula: Opción 2. a) Calcula a, b, c, para que sexa continua e derivable en R e teña un extremo relativo en x = –2. (Nota: ln = logaritmo neperiano) b) Sexa g(x) = x(x –1), 0 ≤ x ≤ 2. Razoa se g(x) ten máximo e mínimo absolutos no intervalo [0,2]. En caso afirmativo, calcúlaos. c) Definición de primitiva dunha función. Enunciado da regra de Barrow.

82

CONVOCATORIA DE XUÑO BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) Opción 1 a) 1 punto b) 2 puntos, distribuídos en: 0,5 puntos por despexar X 1 punto polo cálculo de (A+I)-1 0,5 puntos polos cálculos de 2A e 2A∙(A+I)-1 Opción 2 a) 2 puntos, distribuídos en: 0,5 puntos pola obtención do rango da matriz dos coeficientes 0,5 puntos polo rango da matriz ampliada 0,5 puntos. Sistema Incompatible 0,5 puntos. Sistema Compatible Indeterminado b) 1 punto, pola resolución do sistema BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) Opción 1 a) 1 punto, distribuído en 0,5 puntos por obter que os vectores son perpendiculares 0,5 puntos polo cálculo do producto mixto b) 2 puntos, distribuídos en: 1 punto polo estudo da posición relativa das rectas 1 punto pola obtención da ecuación do plano. Opción 2 a) 1,5 puntos, distribuídos en 0,5 puntos por probar que os puntos son coplanarios. 1 punto polo cálculo da distancia da orixe ao plano b) 1,5 puntos, distribuídos en:

0,5 puntos pola obtención da recta perpendicular ao plano 0,5 puntos polo punto de intersección da recta co plano 0,5 puntos polo cálculo do punto simétrico BLOQUE 3 (ANÁLISE) Opción 1 a) 1 punto, distribuído en: 0,5 puntos pola definición da derivada dunha función nun punto. 0,5 puntos pola interpretación xeométrica. b) 1,5 punto, distribuído en: 0,75 puntos pola continuidade 0,75 puntos pola derivabilidade c) 1,5 puntos, distribuídos en: 0,75 puntos pola formulación do problema 0,75 puntos polo cálculo da integral definida. Opción 2 a) 1 punto, distribuído en: 0,5 puntos polo enunciado do teorema de Weierstrass 0,5 puntos pola cuestión relativa ao máximo e ao mínimo da función. b) 1,5 puntos, distribuídos en: 1 punto pola aplicación da regra de L’Hôpital 0,5 puntos pola obtención de m c) 1,5 puntos, distribuídos en: 0,5 puntos pola descomposición en fraccións simples. 1 punto pola integración

CONVOCATORIA DE SETEMBRO BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) Opción 1 a) 1 punto, distribuído en: 0,5 puntos por rang(M) = 3 se m ≠ 0. 0,5 puntos por rang(M) = 1 se m = 0. b) 2 puntos, distribuídos en: 1,5 puntos pola obtención de X. 0,5 puntos polo cálculo do determinante da matriz 2M21.

Opción 2 a) 2 puntos, distribuídos en: 0,5 puntos polo rango da matriz dos coeficientes 0,5 puntos polo rango da matriz ampliada 1 punto pola discusión do sistema: 0,5 puntos. Sistema Incompatible 0,5 puntos. Sistema Compatible Determinado b) 1 punto, pola resolución do sistema

83

BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) Opción 1 a) 1,5 puntos, distribuídos en 0,5 puntos pola obtención do vector normal ao plano 0,5 puntos pola obtención do plano 0,5 puntos polo cálculo da distancia b) 1,5 puntos, distribuídos en: 0, 5 puntos polo cálculo dos vértices 0,5 puntos polo cálculo da área 0,5 puntos por ver que non é rectángulo. Opción 2 a) 1,5 puntos, distribuídos en 1 punto polo estudo da posición relativa. 0,5 puntos polo cálculo da distancia entre os planos. b) 1,5 puntos, distribuídos en: 0,5 puntos pola obtención da recta perpendicular ao plano 0,5 puntos polo punto de intersección da recta co plano 0,5 puntos polo cálculo do punto simétrico BLOQUE 3 (ANÁLISE) Opción 1 a) 1 punto, distribuído en:

0,5 puntos polo enunciado do teorema de Rolle. 0,5 puntos pola interpretación xeométrica. b) 1,5 puntos, distribuídos en: 1 punto polo cálculo dos intervalos de crecemento e decrecemento. 0,5 puntos pola obtención da recta tanxente. c) 1,5 puntos, distribuídos en 1 punto pola integración por partes 0,5 puntos pola aplicación de Barrow. Opción 2 a) 1,5 puntos, distribuídos en: 0,5 puntos pola obtención de c (condición de continuidade) 0,5 puntos pola obtención de b (condición de derivable). 0,5 puntos pola obtención de a (condición de extremo relativo). b) 1,5 puntos, distribuídos en: 0,50 puntos polo razoamento 0,50 puntos polo máximo absoluto 0,50 puntos polo mínimo absoluto c) 1 punto, distribuído en 0,5 puntos pola definición de primitiva. 0,5 puntos pola regra de Barrow.

84

CONVOCATORIA DE XUÑO BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) A ten inversa |A| ≠ 0. Calculamos polo tanto o determinante de A

–4 + m + 18 + 6m –4 –3 = 7m + 7 = 7(m + 1)



Polo tanto

así, A ten inversa para os valores de m distintos de 0 e 2: A-1 m   – {0,2} (1 punto)





b) m = 1 ; XA + X = 2A X(A+I) = 2A. Para poder despexar X estudamos se a matriz A+I ten inversa

b) m = 1 ; estamos no caso dun sistema compatible indeterminado. Un sistema equivalente ao dado é: 2x + 3y = –1–z x – 2y = 2–z polo tanto

(0,5 puntos)

entón, X = 2A(A+I)-1 . Calculamos (A+I)-1 :

 

m ≠ –1 rang(A) = 3 m = –1 rang(A) = 2 (0,5 puntos) Discusión: m ≠ –1, rang(C) = 2 ≠ 3 = rang(A), sistema incompatible, non ten solución (0,5 puntos) m = –1, rang(C) = 2 = rang(A) < 3 = nº incógnitas, sistema compatible indeterminado, infinitas solucións. (0,5 puntos)

e as infinitas solucións son: (1 punto) e así:



(1 punto)

BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a)

(0,5 puntos)

Opción 2. a)

O produto escalar de por é nulo e polo tanto son dous vectores perpendiculares. (0,5 puntos)

Calculamos o rango da matriz de coeficientes:

(0,5 puntos) b) A partir das ecuacións das rectas podemos comparar os seus vectores directores: (0,5 puntos) Calculamos o rango da matriz ampliada, orlando o menor de orde 2 non nulo anterior coa columna dos termos independentes:

as rectas son paralelas ou coincidentes. 85

Substituindo na ecuación de p, calculamos a intersección de r con p l + 4l + 2 + 4l – 1 = 0 l = –1/9 e así, o punto de intersección da recta co plano é M(–1/9, 2/9, 7/9) (0,5 puntos) Como M(–1/9, 2/9, 7/9) é o punto medio de P(0,0,1) e o seu simétrico P´(x,y,z), entón –1/9 = x/2 P’(–2/9, 4/9, 5/9) (0,5 puntos) 2/9 = y/2

Pero o punto Pr(3,1,–1) r e Pr(3,1,–1) s. Polo tanto as rectas son paralelas non coincidentes (1 punto) As coordenadas do punto P(1,1,1) non cumpren as ecuacións da recta r, e polo tanto P(1,1,1)  r.



7/9 = z+1/2

O plano pedido quedará determinado por: P(1,1,1), punto exterior a r; r = (3,2,–2), vector director de r

}



BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos) Opción 1. a) Dada a función y = f(x), dise que f(x) é derivable en x =a, se existe e é finito o límite:

= (2,0,–2) Así, a ecuación xeral do plano será:

represéntase por f ´(a) e chámase e desenvolvendo o determinante obtense 2x – y + 2z – 3 = 0

(0,5 puntos)

derivada de f(a) en x = a.

(1 punto)

Opción 2. a) son dous vectores non nulos e non proporcionais; polo tanto, o punto A e os vectores e determinan un plano p que será o plano que contén aos puntos A, B e C: Interpretación xeométrica: o cociente coincide coa pendente da recta secante que pasa por (a, f(a)) e (a+h, f(a+h)). A medida que vai diminuíndo a amplitude do intervalo [a, a+h], os puntos de corte determinados polas distintas secantes fanse máis e máis próximos. No límite, a secante convértese na tanxente. Así: a derivada de f(x), en x = a, coincide coa pendente da recta tanxente á gráfica de f(x) no punto (a, f(a)). (0,5 puntos) b)

Como as coordenadas do punto D verifican a ecuación anterior, os puntos son coplanarios. (0,5 puntos) A ecuación do plano que os contén é: p : x – 2y + 2z – 1 = 0 A distancia da orixe O(0,0,0) ao plano p será: (1 punto) b) Sexa r a recta perpendicular a p pasando por P(0,0,1), entón r ten como vector director r = vector normal a p = (1,–2,2); polo tanto, as ecuacións paramétricas de r son:

para que sexa continua en x = –1 (0,75 puntos) Para ser derivable en x = –1 ten que ser continua nese punto, polo tanto –a + b = 5 e ademais,

(0,5 puntos)

(0,75 puntos) 86

Por ser f(x) continua en [a,b], polo teorema anterior alcanza nese intervalo o máximo e o mínimo absolutos. Entón, como por hipótese a función é estritamente decrecente a f(x) f(x) alcanza o máximo absoluto en x = a a≤x
 

Puntos de corte das parábolas:

 

(1 punto) entón (0,5 puntos) 2 c) Factorizamos o denominador x + 4x + 3 = 0

Polo tanto a área da rexión limitada polas parábolas estará dada pola integral definida



x=

(0,75 puntos)

(raíces simples)

descompoñemos o integrando en fraccións

Calculamos agora a integral anterior:

e calculamos A e B (0,75 puntos)

(0,5 puntos)

polo tanto

Opción 2. a) Teorema de Weierstrass: Se unha función f(x) é continua nun intervalo pechado [a,b], a función alcanza nese intervalo o máximo e o mínimo absolutos. (0,5 puntos)

= 2ln |x + 1| – ln |x + 3| + C

CONVOCATORIA DE SETEMBRO BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a)

; |M| = 0



Polo tanto: m ≠ 0 rang(M) = 3 m = 0 rang(M) = 1 (2ª e 3ª columnas son de ceros)





M matriz cadrada de orde 3 At matriz columna de orde 3×1 columna de orde 3×1

(1 punto)

}  X é unha matriz

·

m=0

(0,5 puntos) (1,5 puntos)

(0,5 puntos)

b) m = 1

m=1 87

 det(M) = –1.

det(M21) = (–1)21 = –1

 det(2M

Entón o plano p perpendicular a r pasando polo punto P(1,1,2) será: 1/2(x–1) – (y–1) + (z–2) = 0; é dicir p : x –2y + 2z –3 = 0 (1 punto) e a distancia da orixe O(0,0,0) ao plano p será:

) = 23 · (–1) = –8 (0,5 puntos)

21

Opción 2. a) Cálculo do rango da matriz C dos coeficientes:

(0,5 puntos) b) Intersecando o plano cos eixes de coordenadas obtemos as coordenadas dos vértices do triángulo: A(3,0,0); B(0,-3/2,0); C(0,0,3/2) (0,5 puntos)

Polo tanto: m ≠ –2 rang(C) = 3 m = –2 rang(C) = 2 (0,5 puntos) Cálculo do rango da matriz ampliada A (polo anterior xa podemos dicir que ten rango 3 se m ≠ 2), para m = 2 temos:

Polo tanto

 

= (–3,–3/2,0);

= (–3,0,3/2);

Área Ademais, como os produtos escalares

rang(A) = 3 (0,5 puntos) Discusión do sistema: m = –2 rang(C) = 2< 3 = rang(A). Sistema incompatible, non ten solución. (0,5 puntos) m ≠ –2 rang(C) = 3 = rang(A) = nº incógnitas. Sistema compatible determinado, solución única. (0,5 puntos)

(0,5 puntos)

 Non hai dous lados perpendiculares



e polo tanto o triángulo non é rectángulo. (0,5 puntos)



Opción 2. a) Das ecuacións paramétricas do plano p2 dedúcese que un punto deste plano é (3,0,1) e dous vectores do plano son (2,2,1) e (2,-2,-3). Podemos entón obter a ecuación xeral deste plano:

b) m = 0 Estamos no caso de sistema compatible determinado, solución única. Resolvémolo por Cramer:

; –4(x–3) + 8y – 8(z–1) = 0; p2 : x –2y + 2z – 5 = 0 Polo tanto, comparando os coeficientes das ecuacións xerais dos dous planos, temos:

(1 punto)

Os planos son paralelos e

BLOQUE 2 (XEOMETRÍA) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. a) Poñendo z = l, obtemos as ecuacións paramétricas da recta r:

distintos. A distancia entre p1 e p2 será

(1 punto)

(0,5 puntos) b) Para obter as ecuacións paramétricas da recta r perpendicular a p2 pasando por P(2,1,7), basta ter en conta que o vector (1,-2,2) normal a p2 é un vector director de r. Polo tanto:

Polo tanto, = (1/2,–1,1)= vector director da recta r = vector normal aos planos perpendiculares a r. 88

A ecuación da recta tanxente á gráfica de f(x) no punto (0, f(0)) está dada por: y – f (0) = f ´(0)(x – 0). Entón, como f (0) = –1, e f ´(0) = 1, a ecuación da recta tanxente pedida é: y = x + 1 (0,5 puntos)

(0,5 puntos) Substituindo na ecuación de p 2, calculamos a intersección de r con p2 2 + l – 2(1–2l) + 2(7+2l) – 5 = 0 l = –1 e así, o punto de intersección de r con p2 é M(1,3,5) (0,5 puntos) Como M(1,3,5) é o punto medio de P(2,1,7) e o seu simétrico P´(x,y,z), entón

c) Calculamos a integral indefinida polo método de integración por partes: ∫ ex (2x –1)dx = ex (2x –1) – ∫ 2exdx = ex (2x –3) + C u = 2x –1 du = 2dx dv = exdx v = ex (1 punto) e aplicando a regra de Barrow 1 1 ∫0 ex (2x –1)dx = [ex (2x –3)]0 = e(–1) – (–3) = 3 – e (0,5 puntos)



 

Opción 2. a)

(0,5 puntos)

c = 0, para que sexa continua en BLOQUE 3 (ANÁLISE) (Puntuación máxima 4 puntos) Opción 1. a) Teorema de Rolle: s exa f(x) unha función continua en [a,b], derivable en (a,b) e con f(a) = f(b). Entón, existe algún punto c  (a,b) no que a derivada da función se anula, f ´(c) = 0. (0,5 puntos)

para que sexa derivable en x = 0 (0,5 puntos) Finalmente, analizamos a condición de extremo relativo:

Interpretación xeométrica: Baixo as hipóteses do teorema de Rolle, podemos garantir a existencia de polo menos un punto c en (a,b) tal que a recta tanxente á gráfica de f(x) en (c,f(c)) é paralela ao eixe OX. (0,5 puntos) x b) f(x) = e (2x –1) f ´(x) = ex (2x –1) + 2ex = ex (2x +1) f ´(x) = 0 ex (2x +1) = 0 x = –1/2 (a función exponencial non se anula en ningún punto) Estudamos o signo de f ´(x) nos intervalos (–∞,–1/2) e (–1/2,∞): (1 punto) x  (–∞,–1/2) f ´(x) < 0. A función é decrecente neste intervalo. x  (–1/2,–∞) f ´(x) > 0. A función é crecente neste intervalo.



(0,5 puntos)

x=0

(0,5 puntos) b) g(x) = x – x é continua no intervalo pechado [0,2] xa que é unha función polinómica. Polo teorema de Weierstrass, g(x) alcanza en [0,2]o máximo e o mínimo absolutos. (0,5 puntos) 2



Como nos extremos do intervalo g(0)=0 ; g(2)=2 entón, g(x) alcanza o mínimo absoluto en x = 1/2 (0,5 puntos) e alcanza o máximo absoluto en x = 2. (0,5 puntos)





x

c) Dada unha función f(x), dise que a función F(x) é unha primitiva de f(x) se F'(x) = f(x) (0,5 puntos)

(–∞,–1/2) (–1/2,–∞)

f ´(x)

<0

>0

f (x)

decrecente

crecente

Regra de Barrow: Se f(x) é unha función continua en [a,b] e F(x) é unha primitiva de f(x), entón cúmprese b que ∫a f(x)dx = F(b) – F(a). (0,5 puntos) 89


Solución Modelo 2005-06


Modelo de 2005-06 OPCION A 1.A.- Un punto de luz situado en P(0 , 1 , 1) proyecta la sombra de la recta x = y = - z sobre el plano p: x – z = 0. Calcular las coordenadas del punto de esta proyección que pertenece al plano z = 1 Tomaremos dos puntos A y B de la recta proyectada Llamando C y D a los puntos resultantes de la proyección de P, gracias a las rectas s y t sobre el plano p, formado, estos, el vector director de la proyección que es la recta u que corta al plano z = 1 en el punto Q

⎧⎪ A(0 , 0 , 0) ⇒ PA = (0 , 0 , 0) − (0 , 1 , 1) = (0 , − 1 , − 1) ≡ (0 , 1 , 1) Puntos de la recta ⎨ ⎪⎩ B(1 , 1 , − 1) ⇒ PA = (1 , 1 , − 1) − (0 , 1 , 1) = (1 , 0 , − 2) ⎧ ⎧ x = 0 + 0λ = 0 x=0 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪s : ⎨ y = 1 + λ ⇒ 0 − 1 − λ = 0 ⇒ λ = −1 ⇒ C ⎨ y = 1 + (− 1) = 0 ⎪ z = 1 + (− 1) = 0 ⎪ ⎪ z = 1+ λ ⎩ ⎩ ⎪⎪ 1 ⎧ Re ctas proyec tan tes ⎨ ⎧ ⇒ x= μ x = ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ t : ⎪⎨ y = 1 ⇒ μ − 1 + 2μ = 0 ⇒ 3μ = 1 ⇒ D ⎪⎨ y =1 ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ z = 1 − 2μ z = 1− 2⋅ = ⎪ 3 3 ⎩ ⎩⎪ ⎩ ⎧ x =α ⎧x =1 1⎞ 1⎞ ⎪ ⎪ ⎛1 ⎛1 CD = ⎜ , 1 , ⎟ − (0 , 0 , 0) = ⎜ , 1 , ⎟ ≡ (1 , 3 , 1) ⇒ u ≡ ⎨ y = 3α ⇒ α = 1 ⇒ Q ⎨ y = 3 ⇒ 3⎠ 3⎠ ⎝3 ⎝3 ⎪z =1 ⎪ z =α ⎩ ⎩ Q(1 , 3 , 1)

1



x y−6 z −6 = 2.A.- Se consideran las rectas : r : = 1 1 2

y


⎧ x = 3+λ ⎪ s : ⎨ y = −4 + 3λ ⎪ z=0 ⎩

Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto P(2 , - 1 , 1) y cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas anteriores

Al ser perpendicular a dos vectores se puede calcular de dos maneras, una mediante el calculo de los productos escalares, del vector buscado con cada uno del de las rectas, que son nulos y un segundo procedimiento que es calculando el producto vectorial de ambos vectores. Llamando t a la recta buscada

Por productos escalares ⎧⎪v r = (1 , 1 , 2) ⇒ v r ⊥ vt ⇒ v r .vt = 0 ⇒ (1 , 1 , 2)(a , b , 1) = 0 ⇒ a + b + 2 = 0 ⇒ 2b − 2 = 0 ⇒ b = 1 ⎨ ⎪⎩ v s = (1 , 3 , 0) ⇒ v s ⊥ vt ⇒ v s .vt = 0 ⇒ (1 , 3 , 0 )(a , b , 1) = 0 ⇒ a + 3b = 0 ⎧ x = 2 − 3λ ⎪ a + 3 = 0 ⇒ a = −3 ⇒ vt = (− 3 , 1 , 1) ⇒ t ≡ ⎨ y = −1 + λ ⎪ z = 1+ λ ⎩ Por productos vectoriales i

j k

vt = v r × v s = 1 1 2 = 2 j + 3k − k − 6i = −6i + 2 j + 2 j ⇒ vt = (− 6 , 2 , 2) = (− 3 , 1 , 1) 1 3 0 Comprobado

2




⎧ 2x + 3y − z = k ⎪ 3.A.- Dado el sistema de ecuaciones : ⎨ x + 2 y + 3 z = 2 ⎪kx + ky − 4 z = −1 ⎩ a) Discutirlo según los distintos valores de k

b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado

a) 2 3 −1 A = 1 2 3 = −16 + 9k − k + 2k − 6k + 12 = 4k − 4 = 4(k − 1) ⇒ Si A = 0 ⇒ 4(k − 1) = 0 ⇒ k − 1 = 0 k k −4 ∀k ∈ ℜ − {1} ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado Si k = 1 ⇒

2 3 1 2

= 4 − 3 = 1 ⇒ rang ( A) = 2

Por Gauss k =1 ⎛ 2 3 −1 1 ⎞ ⎛ 2 3 −1 1 ⎞ ⎛ 2 3 −1 1 ⎞ ⎛ 2 3 −1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 7 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 7 3 ⎟ ⇒ Sis. Comp. In det er min ado ⎜1 2 3 2 ⎟ ≡ ⎜2 4 6 4 ⎟ ≡ ⎜0 1 ⎜ 1 1 − 4 − 1⎟ ⎜ 2 2 − 8 − 2 ⎟ ⎜ 0 − 1 − 7 − 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Por Rouche 2 3 A / B = C1 C 2

k

B = 1 2 2 = −4 + 6k + k 2 − 2k 2 − 4k + 3 = −k 2 + 2k − 1 ⇒ k k −1

Si A / B = 0 ⇒ −k 2 + 2k + 1 = 0 ⇒ k 2 − 2k + 1 = 0 ⇒ Δ = 4 − 4 = 0 ⇒ x = ∀k ∈ ℜ − {1} ⇒ rang ( A / B ) = 3 Si k = 1 ⇒

2±0 =1 2

2 3 = 4 − 3 = 1 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 1 2

A / B = C1 C 3

2 −1 k B =1 3 2 = −6 − 2k − 4k − 3k 2 + 16 − 1 = −3k 2 − 6k + 9 = −3 k 2 + 2k − 3 ⇒ k − 4 −1

(

(

)

Si A / B = 0 ⇒ −3 k 2 + 2k − 3 = 0 ⇒ k 2 + 2k − 3 ⇒ Δ = 4 + 12 = 16 > 0 ⇒ x = ∀k ∈ ℜ − {− 3 , 1} ⇒ rang ( A / B ) = 3

)

⎧ x =1 −2±4 ⇒⎨ 2 ⎩ x = −3

2 −1 ⎧k = 1 Si ⎨ ⇒ = 6 + 1 = 7 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 1 3 ⎩k = 3

3




Continuación del problema 3.A.-

a)Continuación

Por Rouche(Continuación ) 3 A / B = C2

C3

−1

k

B = 2 3 2 = −9 − 2k − 8k − 3k 2 + 24 − 2 = −3k 2 − 10k + 13 ⇒ k − 4 −1

Si A / B = 0 ⇒ −3k 2 − 10k + 13 = 0 ⇒ 3k 2 + 10k − 13 = 0Δ = 100 + 156 = 256 > 0 ⇒ x =1 ⎧⎪ − 10 ± 16 26 13 x= ⇒⎨ x=− =− 6 ⎪⎩ 6 3 ⎧ 13 ⎫ ∀k ∈ ℜ − ⎨− , 1⎬ ⇒ rang ( A / B ) = 3 ⎩ 3 ⎭ 3 2 ⎧k = 1 Si ⎨ ⇒ = −3 + 8 = 5 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 − 4 −1 ⎩k = 3 Conclusión o corolario

Si k = 1 ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado

b) Por Gauss k =1 ⎛ 2 3 −1 1⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 7 3 ⎟ ⇒ y + 7 z = 3 ⇒ y = −7 z + 3 ⇒ 2 x + 3(− 7 z + 3) − z = 1 ⇒ 2 x − 21z + 9 − z = 1 ⇒ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎠ ⎝ 2 x = 22 z − 8 ⇒ x = 11z − 4 ⇒ Solución(11λ − 4 , − 7λ + 3 , λ ) Por Rouche ⎧ 2x + 3y − z = 1 ⎧ 2x + 3y − z = 1 ⇒⎨ ⇒ − y − 7 z = −3 ⇒ y = −7 z + 3 ⇒ 2 x + 3(− 7 z + 3) − z = 1 ⇒ ⎨ ⎩ x + 2 y + 3z = 2 ⎩− 2 x − 4 y − 6 z = −4 2 x − 21z + 9 − z = 1 ⇒ 2 x = 22 z − 8 ⇒ x = 11z − 4 ⇒ Solución(11λ − 4 , − 7λ + 3 , λ )

4



f (x ) =

4.A.- Dada la función:


− 4x

(1 + x )

2 2

a) Hallar sus máximos o mínimos locales y/o globales

a

b) Determinar el valor del parámetro a > 0 para el cual es:

∫ f (x ) dx = −1 0

a)

(1 + x ) f ' ( x ) = −4 ⋅

2 2

(

)

− 2 1 + x 2 .2 x.x

(1 + x )

2 4

Crecimiento ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ −4 ⋅

= −4 ⋅

(1 + x )(1 + x − 4 x ) = −4 ⋅ (1 − 3x ) (1 + x ) (1 + x ) 2

2

2

2

2 4

2 3

(1 − 3x ) > 0 ⇒ −4 ⋅ (1 + 3x )(1 − (1 + x ) (1 + x ) 2

2 3

2 3

3x

)>0⇒

− 4 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎧ 1 ⎪ 1 + 3 x > 0 ⇒ 3 x > −1 ⇒ x > − ⎪ 3 ⎪ ⇒ ⎨ 1 1 − 3 x > 0 ⇒ − 3 x > −1 ⇒ 3 x < 1 ⇒ x < ⎪ 3 ⎪ 2 3 2 2 ⎪⎩ 1 + x > 0 ⇒ 1 + x > 0 ⇒ x > −1 ⇒ x > − 1 ⇒ ∀x ∉ ℜ

(

)

∞ -4

3 3

x<−

x>

3 3

Decrecimiento

Crecimiento

∀x ∈ ℜ / −

−

3 3

3 3

−∞

(-)

(-)

(-)

(+)

(-)

(-)

(-)

(-)

(+)

>0

<0

>0

Crecimiento

Decrecimiento

Crecimiento

3 3
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟∪⎜x > ⎟ ∀x ∈ ℜ / ⎜⎜ x < − ⎟ ⎜ ⎟ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5




Continuación del Problema 4.A a) Continuación Asíntotas verticales No hay Asíntotas horizontales

y = lim − 4 ⋅ x →∞

=

x

(1 + x )

2 2

x x4

∞ = − = −4 lim x →∞ ∞ ⎛ 1 x2 ⎜⎜ 2 + 2 x ⎝x

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

= −4 lim

x →∞

1 x3 ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 + 1⎟ ⎝x ⎠

2

= −4 ⋅

1 ∞ ⎛1 ⎞ ⎜ + 1⎟ ⎝∞ ⎠

2

= −4 ⋅

0 = 0 ⇒ Cuando x → ∞ ⇒ y = 0 1

y = lim − 4 ⋅ x → −∞

= 4 lim x →∞

x

(1 + x )

2 2

1 x3 ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 + 1⎟ ⎝x ⎠

2

(− x ) x → −∞ [1 + (− x )2 ]2

= −4 lim

= 4⋅

1 ∞ ⎛1 ⎞ ⎜ + 1⎟ ⎝∞ ⎠

2

= 4⋅

= 4 lim x →∞

0

(0 + 1)

2

=

x

(1 + x )

2 2

=

x x4

∞ = = −4 lim 2 x →∞ ∞ ⎛ 1 x2 ⎞ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ x ⎠ ⎝x

0 = 0 ⇒ Cuando x → −∞ ⇒ y = 0 1

Por lo tanto los máximos y mínimos relativos lo son también absolutos

⎛ 3⎞ ⎜− ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠

4 3 4 3 4 3 ⎛ 3 3 3 3⎞ 3 ⎟ = −4 ⋅ = = 32 = 3 = un En x = − ⇒ f ⎜⎜ − 2 2 ⎟ 2 16 4 3 4 1 ⎡ ⎛ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎝ 3 ⎠ 3⎞ ⎟ ⎥ ⎢1 + ⎜ − ⎢⎣1 + 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 9 ⎜ ⎟ 3 ⎢ ⎝ ⎥ ⎠ ⎣ ⎦ Máximo relativo y absoluto ( ya que de crecimiento pasa a decrecimiento)

3 4 3 4 3 − ⎛ 3⎞ 3 3 3 = − 3 = − 3 3 un Mínimo ⎟ = −4 ⋅ En x = ⇒ f ⎜⎜ = 2 2 2 ⎟ 4 3 ⎡ ⎛ 3 ⎞2 ⎤ ⎡4⎤ ⎡ 1⎤ ⎝ 3 ⎠ + 1 ⎟ ⎥ ⎢1 + ⎜ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ relativo y absoluto ( ya que de decrecimiento pasa a crecimiento)

6

0

(0 + 1)2

=




Continuación del Problema 4.A.-

b) a

x

∫ − 4 ⋅ (1 + x )

2 2

1+ a 2

dx = −1 ⇒ −4

0

∫ 1

1+ a 2

1 dt ⋅ = −1 ⇒2 t2 2

∫ 1

1+ a 2

1 1 ⎡1⎤ ⋅ dt = 1 ⇒ 2 − 1 ⎢⎣ t ⎥⎦ 1 t

=

1 ⇒ 2

⎧x = a ⇒ t = 1 + a dt ⇒ 2 xdx = dt ⇒ xdx = 1+ x2 = t ⇒ ⎨ 2 ⎩ x = 0 ⇒ t =1 2

(

)

⎛1− 1+ a2 ⎞ 1 1⎞ 1 1−1− a2 1 − a2 1 ⎛ 1 ⎜ ⎟ −⎜ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ 2a 2 = 1 + a 2 ⇒ ⎟ 2 2 2 2 ⎜ ⎟ 1⎠ 2 2 2 1+ a 1+ a ⎝1+ a ⎝ 1+ a ⎠ 2 a >0 a 2 = 1 ⇒ a = ±1 ⎯Por ⎯enunciado ⎯⎯⎯ ⎯→ a = 1 Como ilustración hagamos la gráfica de la función 1,5

Y

1

0,5

X 0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-0,5

-1

-1,5

7




OPCIÓN B 1.B.- a) Hallar el punto P en el que se cortan las gráficas de las funciones:

f (x ) =

g (x ) = + x 2 − 3

2 x

b) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto P a cada una de las curvas anteriores y demostrar que son perpendiculares

a)

(

)(

)

⎧ x− 3 >0⇒ x > 3 x2 − 3 > 0 ⇒ x − 3 x + 3 > 0 ⇒ ⎨ ⎩x + 3 > 0 ⇒ x > − 3

−∞

− 3

∞

3

x>− 3

(-)

(+)

(+)

x> 3

(-)

(-)

(+)

+

-

+

Signo

x2 − 3

8




Punto de encuentro de las gráficas de las funciones 2 ⎧ f (x ) = ⎪ x ⎪ 2 ⎨ ⎧ ⎪ x −3 ⎪ g (x ) = + x 2 − 3 ⇒ ⎨ ⎪⎩ x 2 − 3 ⎪⎩

si

x≤− 3

si

x≥− 3

⇒

(

2 = x2 − 3 ⇒ 2 = x x2 − 3 ⇒ 4 = x2 x2 − 3 x

x 4 − 3 x 2 − 4 = 0 ⇒ x 2 = t ⇒ t 2 − 3t − 4 = 0 ⇒ Δ = 9 + 16 = 25 > 0 ⇒ t1, 2 =

)

⎧t =4 3 ± 25 ⇒⎨ ⇒ 2 ⎩t = −1

⎧ 2 ⎧ ⎪ 2 ⎪ x = 2 ⇒ f (2 ) = 2 = 1 ⎪x = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ ⎨ 2 ⎨ ⎪ x = −2 ⇒ f (− 2 ) = − = −1 ⎪ 2 ⎩ ⎪ 2 x = −1 ⇒ x = ± − 1 ⇒ ∀x ∉ ℜ ⎩ b) ⎧⎧ 2 1 1 ⎪⎪⎪ f ' (2 ) = − 2 2 = − 2 ⇒ y − 1 = − 2 ( x − 2 ) ⇒ r : x + 2 y − 3 = 0 ⎪⎨ 2 1 1 2 ⎪⎪ f ' (− 2 ) = − ⎧ = − ⇒ y + 1 = − (x + 2) ⇒ s : x + 2 y + 4 = 0 2 f ' (x ) = − 2 2 2 ⎪⎪⎪⎩ (− 2) ⎪⎪ x ⇒ ⇒ ⎨ ⎨⎧ 2 x 2x ( ) ( ) g y x t x y ' 2 2 1 2 2 : 2 3 0 = = ⇒ − = − ⇒ − − = = ⎪ g ' (x ) = ⎪⎪ ⎪⎩ 22 − 3 x2 − 3 2 x2 − 3 ⎪⎪ 2 ⎪⎨ = 2 ⇒ y + 1 = 2( x + 2 ) ⇒ u : 2 x − y + 3 = 0 ⎪ ⎪ g ' (− 2 ) = 2 ⎪ (− 2 ) − 3 ⎪⎩ ⎩ 1 1 1 ⎧ ⎪⎪ Si f ' (2 ) = − g ' (2 ) ⇒ − 2 = − 2 ⇒ r ⊥ t ⎨ 1 1 1 ⎪Si f ' (2 ) = − ⇒− =− ⇒s⊥u g ' (2 ) 2 2 ⎩⎪

9


2.B.- Se considera la función:


f (x ) =


1 . Se pide: 2 + sen x − cos x

a) Calcular sus extremos locales y/o globales en el intervalo [- p , p] b) Comprobar la existencia de, al menos, un punto c ∈ [- p , p] tal que f’’(c). (Sugerencia: utilizar el teorema de Rolle). Demostrar que en c hay un punto de inflexión

a) f ' (x ) = −

cos x + sen x cos x sen x ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇒ cos x + sen x = 0 ⇒ − cos x = sen x ⇒ − = ⇒ 2 cos x cos x (2 + sen x − cos x )

1 ⎧ ⎪ x = − 4 π + 2kπ ⇒ Como k = 0 ⇒ tg x = −1 ⇒ x = arc tg (− 1) ⇒ ⎨ 3 ⎪ x = π + 2kπ ⎩ 4 ⎧ 1 1 1 1 ⎛ π⎞ = = ⎪ x = − 4 π ⇒ f '⎜ − 4 ⎟ = ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ ⎞ ⎠ ⎝ 2− 2 ⎪ 2 + sen ⎜ − ⎟ − cos ⎜ − ⎟ 2 + ⎜ − 2 ⎟ − 2 ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎨ 1 1 1 ⎪ x = 3 π ⇒ f ' ⎛⎜ 3π ⎞⎟ = = = ⎪ 4 ⎛ ⎞ 2+ 2 ⎝ 4 ⎠ 2 + sen ⎛ 3π ⎞ − cos ⎛ 3π ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 + 2 − ⎜− 2 ⎟ ⎪ ⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎟⎠ ⎪⎩ 2 − sen x + cos x )(2 + sen x − cos x ) − 2(2 + sen x − cos x )(cos x + sen x )(cos x + sen x ) ( f ' ' (x ) = − (2 + sen x − cos x )4 (sen x − cos x )(2 + sen x − cos x ) + 2(cos x + sen x )2 f ' ' (x ) = (2 + sen x − cos x )3

(2sen x − 2 cos x + sen

) (

x − sen x cos x − sen x cos x + cos 2 x + 2 cos 2 x + 2 cos x ⋅ sen x + sen 2 x (2 + sen x − cos x )3 (2sen x − 2 cos x − 2sen x cos x + 1) + 2(1 + 2 cos x ⋅ sen x ) = f ' ' (x ) = (2 + sen x − cos x )3

f ' ' (x ) =

f ' ' (x ) =

2

)

2sen x − 2 cos x − 2sen x cos x + 1 + 2 + 4 cos x ⋅ sen x 2sen x − 2 cos x + 2sen x cos x + 3 = (2 + sen x − cos x )3 (2 + sen x − cos x )3

⎧ ⎛ ⎛ 2 ⎞⎟ 2 2 ⎞⎟ 2 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ − 2⋅ + 2⎜⎜ − ⋅ +3 ⎪ 2sen ⎜ − ⎟ − 2 cos ⎜ − ⎟ + 2sen ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ + 3 2⎜⎜ − ⎟ 2 ⎠ 2 2 ⎟⎠ 2 4⎠ 4⎠ 4⎠ 4⎠ ⎪ ⎛− π ⎞ = ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ = 3 3 ⎪ f ' ' ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎡ ⎤ ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ ⎞⎤ 2 2 ⎪ + − − − 2 cos sen ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎟⎥ − ⎜− ⎢ ⎢2 + ⎪ ⎝ 4⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎦⎥ ⎪ ⎣⎢ ⎨ ⎛ 2 2⎞ 2⎛ 2⎞ ⎪ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎟ + 2⋅ ⎜− ⎟+3 − 2 ⋅ ⎜⎜ − 2⋅ − + + 2 2 cos 2 cos 3 sen sen ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎪ 2 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎟⎠ 4 ⎠ 4 ⎠ 4 ⎠ 4 ⎠ ⎛ 3π ⎞ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎪ f ' '⎜ ⎟ = = 3 3 ⎝ 4 ⎠ ⎪ ⎡ ⎤ ⎡ 3 3 π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 2 2 ⎟⎥ ⎪ − ⎜− ⎢2 + sen ⎜ 4 ⎟ − cos ⎜ 4 ⎟⎥ ⎢2 + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎦⎥ ⎪⎩ ⎣⎢

10




Continuación del problema 2.B.-

a)Continuación 2.2 ⎧ ⎪ ⎛ π ⎞ − 2 − 2 − 4 +3 2−2 2 21− 2 ⎛ π 1 ⎞ = = < 0 ⇒ Máximo ⇒ ⎜⎜ − , ⎟⎟ ⎪ f ''⎜ − ⎟ = 3 3 3 ⎝ 4 2− 2⎠ ⎡ 2+ 2 2+ 2 ⎪ ⎝ 4⎠ 2 2⎤ + ⎢2 + ⎥ ⎪ 2 2 ⎦ ⎪ ⎣ ⎨ 2.2 ⎪ 2+ 2− +3 ⎛ 3π π 3 2+2 2 21+ 2 1 ⎞ 4 ⎪ f ' ' ⎛⎜ ⎞⎟ = = = > 0 ⇒ Mínimo ⇒ ⎜⎜ , ⎟⎟ 3 3 3 ⎪ 4 + 2 2 ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎤ ⎡ + + 2 2 2 2 2 2 ⎪ + ⎥ ⎢2 + ⎪⎩ 2 2 ⎦ ⎣

[

] [

[

] [

(

(

]

]

)

)

b) Teorema de Rolle: Si f es una función en la que se cumple : I) f es continua en el entorno cerrado [a , b] II) f es diferenciable en el entorno abierto (a , b) III) Se cumple que f(a) = f(b) = 0 Entonces existe un número c que pertenece a (a , b) tal que f’(c) = 0 Como en nuestro caso:

[

I) f ‘es continua en el entorno cerrado - π , π II) f’ es diferenciable en el entorno abierto

III) Se cumple que

]

⎛ π 3π ⎞ ⎟ ⎜- , ⎝ 4 4⎠

⎛ 3π ⎞ ⎛ π⎞ f '⎜ − ⎟ = f '⎜ ⎟ = 0 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4⎠

Entonces existe un número c que pertenece a

⎛ π 3π ⎞ ⎟ tal que f’’(c) = 0 ⎜- , ⎝ 4 4⎠

11


3.B.- Dada las rectas:

r:


x +1 y + 2 z + 3 = = 3 1 1

s:

y


x y +1 z − 2 = = 1 −2 −1

a) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s b) Calcular la distancia de s al plano anterior a) El plano p es generado por los vectores directores de r y s y por el vector generador trazado desde el punto A de la recta r al punto genérico que pertenece al plano

⎧ v r = (3 , 1 , 1) x +1 y + 2 z + 3 ⎪ v r = (− 1 , 1 , − 2 ) ⇒π ≡ 3 1 1 =0⇒ ⎨ ⎪ AG = ( x , y , z ) − (− 1 , − 2 , − 3) = ( x + 1 , y + 2 , z + 3) −1 −2 1 ⎩ − 2( x + 1) − ( y + 2 ) + 3( z + 3) + ( z + 3) − ( x + 1) + 6( y + 2) = 0 ⇒ −3( x + 1) + 5( y + 2) + 4( z + 3) = 0 ⇒

π ≡ 3x − 5 y − 4 z − 19 = 0 b)

Punto de la recta s ⇒ B(0 , − 1 , 2 )

d Br = d sr =

3.0 − 5.(− 1) − 4.2 − 19 3 2 + (− 5) + (− 4 ) 2

2

=

5 − 8 − 19 9 + 25 + 16

=

− 22 50

=

22 5 2

=

22 2 11 2 = u 5.2 5

12



2 − 1⎞ ⎛2 ⎟ ⎜ 4.B.- Se consideran las matrices: A = ⎜ − 1 − 1 1 ⎟ ⎜−1 − 2 2 ⎟ ⎠ ⎝


⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ I = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝

a) Hallar (A – I)2 b) Calcular A4 haciendo uso del apartado anterior

a) 2 − 1⎞ ⎛ 1 0 ⎛2 ⎟ ⎜ ⎜ A − I = ⎜ −1 −1 1 ⎟ − ⎜0 1 ⎜ −1 − 2 2 ⎟ ⎜0 0 ⎠ ⎝ ⎝ 2 − 1⎞ ⎛ 1 ⎛1 ⎟ ⎜ ⎜ 2 (A − I ) = ⎜ − 1 − 2 1 ⎟ ⋅ ⎜ − 1 ⎜ −1 − 2 1 ⎟ ⎜ −1 ⎠ ⎝ ⎝

0⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 0⎟ = ⎜ −1 − 2 1 ⎟ ⇒ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1 − 2 1 ⎟⎠ 2 − 1⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ − 2 1 ⎟ = ⎜0 0 0⎟ − 2 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠

Sabiendo que AI = A ⇒ I 2 = I

( A − I )2 = A 2 − 2 AI + I 2 = A 2 − 2 A + I (A − I )

2

( A − I )2

2 − 1⎞⎛ 2 2 − 1⎞ ⎛ 2 ⎛2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ = ⎜ − 1 − 1 1 ⎟⎜ − 1 − 1 1 ⎟ − 2⎜ − 1 ⎜ − 1 − 2 2 ⎟⎜ − 1 − 2 2 ⎟ ⎜ − 1 ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎝ 4 − 2⎞ ⎛ 4 4 − 2⎞ ⎛1 ⎛ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ = ⎜− 2 − 3 2 ⎟ − ⎜− 2 − 2 2 ⎟ + ⎜0 ⎜− 2 − 4 3 ⎟ ⎜− 2 − 4 4 ⎟ ⎜0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝

2 − 1⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ + ⎜0 1 0⎟ − 2 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 1 0⎟ = ⎜ 0 0 0⎟ ⇒ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠

A2 − 2 A + I = 03 ⇒ A2 = 2 A − I b) A 4 = A 2 A 2 = (2 A − I ) = 4 A 2 − 4 AI + I 2 = 4(2 A − I ) − 4 A + I = 8 A − 2 I − 4 A + I 2

8 − 2⎞ 2 − 1⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 8 8 − 2⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛ 7 ⎛2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ A = 4A − I ⇒ A = 4 ⋅ ⎜ −1 −1 1 ⎟ − ⎜0 1 0⎟ = ⎜ − 2 − 2 2 ⎟ − ⎜0 1 0⎟ = ⎜ − 2 − 3 2 ⎟ ⎜ −1 − 2 2 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜ − 2 − 4 4 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜ − 2 − 4 3 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 4

4

13


Solución Junio 2002


OPCIÓN A

(

)

⎧ a 2 − 1 x + (a − 1) y = 0 ⎪ a2 y + z = 0 A.1.- a) Discute el sistema: ⎨ según el valor del parámetro a ⎪ a 2 − 1 x + ay + z = 1 ⎩

(

)

b) .- Halla, si existe, la solución cuando a = 4

a) a2 −1 a −1 0 A= 0 a 1 = a a 2 − 1 + (a − 1) a 2 − 1 − a a 2 − 1 = (a − 1) a 2 − 1 = a 3 − a 2 − a + 1 a2 −1 a 1

(

)

(

) (

(

)

)

(

)

Si A = 0 ⇒ a 3 − a 2 − a + 1 = 0 ⇒ (a − 1) a 2 − 1 = 0 ⇒ (a − 1)(a − 1)(a + 1) = 0 ⇒ (a − 1) (a + 1) = 0 ⇒ 2

⎧a + 1 = 0 ⇒ a = −1 ⇒ ⎨ ⎩ a −1 = 0 ⇒ a = 1 ∀a ∈ ℜ − {− 1 , 1} ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado Cuando a = −1 ⎛ 0 − 2 0 0⎞ ⎛ 0 − 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 1 0 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⎜0 −1 1 1⎟ ⎜0 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Cuando a = 1 ⎛ 0 0 0 0⎞ ⎛0 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 1 0 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⎜0 1 1 1⎟ ⎜0 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b)

(

)

A = (4 − 1) 4 2 − 1 = 3.15 = 45

x=

0 3 0 0 4 1 1 4 1 45

15 0 0

=

3 1 = 45 15

y=

0 0 1 15 1 1 45

=

− 15 1 =− 45 3

y=

15 3 0 0 4 0 15 4 1 45

=

60 4 = 45 3

1




⎧ x + y =1 corta en P y Q, respectivamente, a los planos y = 0 y x = 0 ⎩λx + z = 1

A.2.- La recta ⎨

a) Determinar los puntos (si los hay) en el eje OZ que equidistan de P y Q. Naturalmente estos posibles puntos dependen del valor de λ b) Determinar equilátero.

λ

para que, además, los puntos del eje OZ formen con P y Q un triángulo

a) ⎧ ⎧ x =1 ⎪ ⎪ 1 − α = 0 ⇒ α = 1 ⇒ P ⎨ y = 0 ⇒ P(1 , 0 , 1 − λ ) ⎪ ⎧ x =α ⎧x = 0 ⎪z = 1 − λ ⎪⎪ ⎧ x + y =1 ⎪ ⎪ ⎩ ⇒ r ≡ ⎨ y = 1−α ⇒ ⎨ ⇒ OZ ≡ ⎨ y = 0 ⎨ 0 x = ⎧ ⎩λx + z = 1 ⎪ z = 1 − αλ ⎪ ⎪z = μ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ α = 0 ⇒ Q ⎨ y = 1 ⇒ Q(0 , 1 , 1) ⎪ ⎪z =1 ⎩ ⎩⎪

(1 − 0)2 + (0 − 0)2 + (1 − λ − μ )2 = (0 − 0)2 + (1 − 0)2 + (1 − μ )2 ⇒ 1 + (1 − λ − μ )2 = 1 + (1 − μ )2 ⇒ (1 − λ − μ )2 = (1 − μ )2 ⇒ (1 − λ − μ )2 − (1 − μ )2 = 0 ⇒ [1 − λ − μ − (1 − μ )] ⋅ [1 − λ − μ − (1 − μ )] = 0 ⇒ (1 − λ − μ − 1 + μ ) ⋅ (1 − λ − μ + 1 − μ ) = 0 ⇒ (1 − λ − μ − 1 + μ ) ⋅ (1 − λ − μ + 1 − μ ) = 0 ⇒ ⎧ ⎪ x=0 − λ = 0 ⇒ λ = 0 (No es solución ) ⎧⎪ (− λ ) ⋅ (2 − λ − 2μ ) = 0 ⇒ ⎨2 − λ − 2μ = 0 ⇒ 2μ = 2 − λ ⇒ μ = 2 − λ ⇒ R ⎪⎨ y = 0 ⇒ R⎛⎜ 0 , 0 , 1 − λ ⎞⎟ 2⎠ ⎝ ⎪ ⎪⎩ λ 2 z = − 1 ⎪⎩ 2 b) ⎧ PQ = (0 , 1 , 1) − (1 , 0 , 1 − λ ) = (− 1 , 1 , 1 − 1 + λ ) = (− 1 , 1 , λ ) ⎪ ⇒ λ⎞ λ λ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎨ ( ) ( ) PR λ λ λ = − − − = − − − + = − ≡ − 0 , 0 , 1 1 , 0 , 1 1 , 0 , 1 1 1 , 0 , 2 , 0 , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2⎠ 2 2⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩ PQ.PR

1 ⇒ = cos 60º = 2 PQ PR

(− 1 , 1 , λ ) ⋅ (− 2 , 0 , λ ) (− 1)2 + 12 + λ2 (− 2)2 + 0 2 + λ2

1 ⇒ = 2

2 + 0 + λ2 2 + λ2 4 + λ2

(2 + λ )⋅ (4 + λ ) = ±2(2 + λ ) ⇒ (2 + λ )⋅ (4 + λ ) = 4(2 + λ ) ⇒ 8 + 6λ 2

2

2

2

2

2

2

⇒

+ λ4 = 8 + 4λ2 ⇒

⎧λ2 + 2 = 0 ⇒ λ2 = −2 ⇒ λ = ± − 2 ⇒ ∀λ ∉ ℜ λ4 + 2λ2 = 0 ⇒ (λ2 + 2)λ2 = 0 ⇒ ⎨ ⇒λ =0 λ2 = 0 ⇒ λ = 0 ⎩ ⎧ ⎪ x=0 ⎪ R ' ⎨ y = 0 ⇒ R' (0 , 0 , 1) ⎪ 0 ⎪⎩ z = 1 − 2

2




A.3.- .- Se sabe que la función f ( x ) = x + ax + b corta a su función derivada en x = 1 y que además en dicho punto f tiene un extremo a) Determinar los valores de a y b 3

b) Determina la naturaleza del extremo que f tiene en x = 1 c)¿Tiene algún otro extremo?

a) ⎧ f (1) = f ' (1) ⇒ 13 + a.1 + b = 3.12 + a ⇒ 1 + a + b = 3 + a ⇒ b = 2 f ' (x ) = 3x + a ⇒ ⎨ ⇒ f ' (1) = 0 ⇒ 3.12 + a = 0 ⇒ 3 + a = 0 ⇒ a = −3 ⎩ f ( x) = x 3 − 3x + 2 2

b) f ' ' (x ) = 6 x ⇒ f ' ' (1) = 6.1 = 6 > 0 ⇒ Mínimo ⇒ x = 1 ⇒ f ( x) = 13 − 3.1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0 ⇒ Mínimo relativo en (1 , 0) c) ⎧ x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ( ya nalizado ) f ' ( x ) = 0 ⇒ 3x 2 − 3 = 0 ⇒ 3. x 2 − 1 = 0 ⇒ 3.( x − 1)( x + 1) = 0 ⇒ ⎨ ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⎩ f ' ' (− 1) = 6.(− 1) = −6 < 0 ⇒ Máximo ⇒

(

)

x = −1 ⇒ f (−1) = (−1) 3 − 3.(−1) + 2 = −1 + 3 + 2 = 4 ⇒ Máximo relativo en (− 1 , 4)

3


A.4.- Sean las funciones



f ( x ) = ln x − b , g ( x ) = a x + b .Nota: el logaritmo es neperiano

a) Determinar a y b para que ambas funciones sean tangentes entre si al pasar por x = 1 b) Determina en que puntos se anula cada una de estas funciones c) Determina cual es el dominio de la función producto h( x ) = f ( x ).g ( x )

a) Para ser tangentes tiene el mismo valor de la pendiente en el punto dado

⎧ ⎧ f (1) = ln 1 − b = 0 − b = −b ⇒ f (1) = g (1) ⇒ a + b = −b ⇒ a + 2b = 0 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ g (1) = a 1 + b = a + b ⎪⎧ 1 1 ⎧ ⇒ 2 + 2b = 0 ⇒ b = −1 ⎨⎪ f ' ( x ) = f ' (1) = = 1 ⎪ a ⎪ ⎪ x 1 ⎪⎨ () () ⇒⎨ a ⇒ f ' 1 = g' 1 ⇒ 1 = 2 ⇒ a = 2 1 ⎪⎪ g ' ( x ) = a ⋅ 1 ⎪ g ' (1) = a ⋅ = ⎪⎪⎩ ⎪⎩ 2 x 2 1 2 ⎩

⎧ f ( x ) = ln x + 1 ⎨ ⎩ g (x ) = 2 x − 1 b)

⎧ Con OY ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = ln 0 + 1 ⇒ ∃/ ∈ ℜ (No hay solución ) ⎪ f ( x ) = ln x + 1 ⇒ ⎨ ⎛1 ⎞ Con OX ⇒ f (x ) = 0 ⇒ ln x + 1 = 0 ⇒ ln x = −1 ⇒ x = e −1 ⇒ ⎜ , 0 ⎟ ⎪⎩ ⎝e ⎠ ⎧ Con OY ⇒ x = 0 ⇒ g (0) = 2 0 − 1 = −1 ⇒ (0 , − 1) ⎪ g (x ) = 2 x − 1 ⇒ ⎨ 1 1 ⎛1 ⎞ ⎪Con OX ⇒ g ( x ) = 0 ⇒ 2 x − 1 = 0 ⇒ 2 x = 1 ⇒ x = 2 ⇒ x = 4 ⇒ ⎜⎝ 4 , 0 ⎟⎠ ⎩ c) 1 ⎧ ⎪ln x + 1 > 0 ⇒ ln x > −1 ⇒ x > e −1 ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ / x > h( x ) = (ln x + 1) ⋅ 2 x − 1 ⇒ ⎨ e⇒ ⎪⎩ x ≥ 0 ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ / x ≥ 0 1 1 Como > 0 ⇒ Dom(h ) = ∀x ∈ ℜ / x > e e

(

)

4




OPCIÓN B ⎫ ⎧⎛ a b ⎞ ⎟⎟ ; a, b ∈ ℜ⎬ a⎠ ⎭ a) Prueba que si A, B ∈ M también A + B y A.B estan en M

B.1. ) Sea M = ⎨⎜⎜ ⎩⎝ b

b) Determina las matrices C = M que verifiquen que C2 = 2C

a) ⎧ ⎧ ⎛a b⎞ ⎛a b⎞ ⎛ c d ⎞ ⎛ a + c b + d ⎞ ⎟⎟; a, b ∈ ℜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟; a + c, b + d ∈ ℜ A + B = ⎜⎜ ⎪ A = ⎜⎜ ⎪ b a ⎟⎠ ⎜⎝ d c ⎟⎠ ⎜⎝ b + d a + c ⎟⎠ ⎪ ⎪ ⎝b a⎠ ⎝ ⇒⎨ ⎨ c d ⎛ ⎞ ⎪B = ⎜ ⎪ A ⋅ B = ⎛⎜ a b ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ c d ⎞⎟ = ⎛⎜ ac + bd ad + bc ⎞⎟; ac + bd , ad + bc ∈ ℜ ⎟ ∈ ℜ c d ; , ⎜d c ⎟ ⎜ b a ⎟ ⎜ d c ⎟ ⎜ bc + ad bd + ac ⎟ ⎪⎩ ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧A + B ∈ M ⎨ ⎩ A.B ∈ M b) ⎧ 2 ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a 2 + b 2 ab + ab ⎞ ⎟ ⎧ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎪C = ⎜⎜ a 2 + b 2 = 2a ⎛a b⎞ ⎪ b a ⎟⎠ ⎜⎝ b a ⎟⎠ ⎜⎝ ab + ab b 2 + a 2 ⎟⎠ ⎪ ⎝ ⎧b = 0 ⇒ ⎟⎟ ⇒ ⎨ C = ⎜⎜ ⇒⎨ ( ) ab b b a 2 2 2 1 0 = ⇒ − = ⇒ ⎨ a b 2 2 b a ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎩ ⎟⎟ 2C = ⎜⎜ ⎩a = 1 ⎪⎩ ⎝ 2b 2a ⎠ ⎧ ⎧ ⎧ ⎛1 1⎞ ⎟⎟ C = ⎜⎜ ⎪ ⎪ ⎪ b 1 = 1 1 ⎪ ⎪ 2 2 2 ⎪ ⎝ ⎠ a = 1 ⇒ 1 + b = 2.1 ⇒ b = 1 ⇒ b = ± 1 ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⎪ 1 1⎞ − ⎛ b 1 = − ⎪ ⎪C = ⎜ ⎟⎟ ⎪ ⎜ ⎪⎩ ⎪⎩ ⎪ ⎝−1 1 ⎠ ⎨ ⎧ ⎧ ⎛ 0 0⎞ ⎪ ⎟ ⇒ No válida C = ⎜⎜ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 ⎟⎠ ⎪a = 0 ⎪ 2 2 2 ⎝ ⇒⎨ ⎪b = 0 ⇒ a + 0 = 2a ⇒ a − 2a = 0 ⇒ (a − 2)a = 0 ⇒ ⎨ ⎛ 2 0⎞ ⎪ ⎪a = 2 ⎪ ⎟⎟ C = ⎜⎜ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ 0 2 ⎝ ⎠ ⎩

5




B.2. Sabemos que en el plano el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de dos dados es una recta. Pues bien ocurre que si en lugar de pedir que el cociente de la distancias sea 1, elegimos otro valor fijo, el lugar geométrico pasa a ser una circunferencia. a) Comprueba esta afirmación tomando como puntos (- 1 , 0) y (1 , 0) y un parámetro cociente de las distancias

λ

como

b) Da una expresión del centro y el radio de la circunferencia del apartado a) en función de c) Representar la figura para

λ

λ=2

a) Tomando (x , y) como punto del lugar geométrico que es una recta mediatriz al segmento dado por los puntos a(ax , ay) y b(bx , by)

(x − a x )2 + (y − a y )2 (x − bx )2 + (y − b y )2

1=

⇒ (x − a x ) + ( y − a y ) = (x − bx ) + ( y − b y ) ⇒ 2

2

2

2

x 2 − 2a x x + a x2 + y 2 − 2a y y + a y2 = x 2 − 2bx x + bx2 + y 2 − 2b y y + b y2 ⇒

− 2a x x + a x2 − 2a y y + a y2 + 2bx x − bx2 + 2b y y − b y2 = 0 ⇒ 2(bx − a x )x + 2(b y − a y )y + a x2 + a y2 − bx2 − b y2 = 0 Ecuación de una recta

(x − a x )2 + (y − a y )2 (x − bx )2 + (y − b y )2

λ=

[

]

⇒ ( x − a x ) + ( y − a y ) = λ2 ( x − b x ) + ( y − b y ) ⇒ 2

2

2

2

x 2 − 2a x x + a x2 + y 2 − 2a y y + a y2 = λ2 (x 2 − 2bx x + bx2 + y 2 − 2b y y + b y2 ) ⇒

x 2 − 2a x x + a x2 + y 2 − 2a y y + a y2 − λ2 (x 2 − 2bx x + bx2 + y 2 − 2b y y + b y2 ) = 0 ⇒

(1 − λ )x + (1 − λ )y 2

2

2

+ 2(λ2 bx − a x )x + 2(λ2 b y − a y )y + a x2 + a y2 − λ2 bx2 − λ2 b y2 = 0

2

Ecuación de una circunferencia

(x + 1)2 + ( y − 0)2 (x − 1)2 + ( y − 0)2

λ=

(λ

2

[

]

⇒ (x + 1) + y 2 = λ2 ( x − 1) + y 2 ⇒ λ2 (x 2 − 2 x + 1 + y 2 ) − x 2 − 2 x − 1 − y 2 − = 0 2

2

⎛ λ2 + 1 ⎞ ⎟⎟ x + 1 = 0 − 1)x 2 + (λ2 − 1)y 2 − 2(λ2 + 1)x + λ2 − 1 = 0 ⇒ x 2 + y 2 − 2⎜⎜ 2 ⎝ λ −1⎠

b) ⎧ ⎛ λ2 + 1 ⎞ ⎜⎜ 2 Centro , 0 ⎟⎟ ⎪ ⎪ ⎝ λ −1 ⎠ 2 ⎨ 2 2 2 2 2 2 ⎪1 = ⎛⎜ λ + 1 ⎞⎟ + 0 2 − R 2 ⇒ R 2 = ⎛⎜ λ + 1 ⎞⎟ − 1 ⇒ R 2 = (λ + 1) − (λ − 1) ⎜ λ2 − 1 ⎟ ⎪ ⎜⎝ λ2 − 1 ⎟⎠ (λ2 − 1)2 ⎠ ⎝ ⎩ R2 =

1 + 2λ2 + λ4 − 1 + 2λ2 − λ4

(λ

2

− 1)

2

=

(λ

4λ2 2

− 1)

2

⇒R=

(λ

4λ2 2

− 1)

2

=

2λ λ −1 2

6




Continuación del Problema B.2 de la opción B

c) ⎛ 22 + 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ Centro⎜⎜ 2 , 0 ⎟⎟ ⇒ ⎜ , 0 ⎟ − 2 1 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝ R2 =

(2

4.2 2 2

(3x − 5)2

16 16 4 5⎞ 16 16 ⎛ ⎛ 3x − 5 ⎞ 2 2 ⇒R= = ⇒ ⎜ x − ⎟ + ( y − 0) = ⇒⎜ ⇒ ⎟ +y = 9 9 3 3⎠ 9 9 ⎝ ⎝ 3 ⎠ 2

)

−1

2

=

2

16 2 ⇒ (3 x − 5) + 9 y 2 = 16 ⇒ 9 x 2 − 30 x + 25 + 9 y 2 − 16 = 0 ⇒ 9 9 2 2 9 x + 9 y − 30 x + 9 = 0 ⇒ 3 x 2 + 3 y 2 − 10 x + 3 = 0 + y2 =

X 1

C(5/3 , 0) 1

2

Y 3

1

7


B.3.- Sea la integral

∫e


2x


sen e x dx

a)Intégrala mediante el cambio t = ex b) Calcula la constante de integración para que la función integral pase por el origen de coordenadas.

a) F ( x ) = ∫ e x e x sen e x dx = ∫ t sen t dt = −t cos t − ∫ (− cos t ) dt = −e x cos e x + ∫ cos t dt = e x cos e x + sen t t = u ⇒ dt = du ⎧⎪ ⎨sen t dt = dv ⇒ v = sen t dt = − cos t ⎪⎩ ∫ x x x F ( x ) = e cos e + sen e + K ⇒

⎧ ex = t ⎨ x ⎩e dx = dt

b) F (0) = 0 ⇒ e 0 cos e 0 + sen e 0 + K = 0 ⇒ 1. cos 1 + sen 1 + K = 0 ⇒ K = − cos 1 − sen 1 ⇒ F ( x ) = e x cos e x + sen e x − cos 1 − sen 1

8


B.4.- Sea

f (x ) = x x − 1



2

a) Hallar los extremos y puntos de inflexión de la función f b) Calcula el límite de f en + ∞ y − ∞

a) ⎧ x[− (x − 1)]2 si x < 1 2 x − 1 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 1 ⇒ f (x ) = ⎨ ⇒ f (x ) = x(x − 1) ⇒ 2 ⎩ x[(x − 1)] si x ≥ 1 1 ⎧ ⎪x = . x − 1) = (3x − 1)( . x − 1) ⇒ f ' (x ) = 0 ⇒ (3x − 1)( . x − 1) = 0 ⇒ ⎨ f ' (x ) = (x − 1) + 2 x(x − 1) = (x − 1 + 2 x )( 3 ⎪⎩ x = 1 ⎧ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎪ f ' ' ⎜ ⎟ = 2.⎜ 3 ⋅ − 2 ⎟ = 2.(1 − 2 ) = −2 ⇒ f ' ' (x ) = 3(x − 1) + (3x − 1) = 3x − 3 + 3x − 1 = 6 x − 4 = 2.(3x − 2) ⇒ ⎨ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎪⎩ f ' ' (1) = 2.(3 ⋅ 1 − 2 ) = 2.(3 − 2) = 2 2

⎧ 1 ⎪⎪ x = ⇒ 3 ⎨ ⎪ ⎪⎩

2

2

1 ⎛ 2⎞ 1 4 4 ⎛1⎞ 1 ⎛1 ⎞ ⎛1 4 ⎞ f ⎜ ⎟ = ⋅ ⎜ − 1⎟ = ⋅ ⎜ − ⎟ = ⋅ = ⇒ En ⎜ , ⎟ ⇒ Máximo relativo 3 ⎝ 3⎠ 3 9 27 ⎝ 3⎠ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 27 ⎠ 1 1 2 x = 1 ⇒ f (1) = ⋅ (1 − 1) = ⋅ 0 2 = 0 ⇒ En (1 , 0 ) ⇒ Mínimo relativo 3 3

f ' ' ( x ) = 0 ⇒ 2.(3 x − 2 ) = 0 ⇒ 3 x − 2 = 0 ⇒ x =

2

2

2 2 ⎛ 1⎞ 2 1 2 ⎛2⎞ 2 ⎛2 ⎞ ⇒ f ⎜ ⎟ = ⋅ ⎜ − 1⎟ = ⋅ ⎜ − ⎟ = ⋅ = 3 ⎝ 3⎠ 3 9 27 3 ⎝3⎠ 3 ⎝3 ⎠

⎛2 2 ⎞ En ⎜ , ⎟ ⇒ Punto de inf lexión ⎝ 3 27 ⎠ b) lim x( x − 1) = ∞.∞ = ∞ 2

x →∞

lim x( x − 1) = lim − x(− x − 1) = −∞.∞ = −∞ 2

x → −∞

2

x →∞

9

PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de junio. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 a˜ nos la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 a˜ nos la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 a˜ nos.

Usaremos tres incógnitas: x → La edad de la madre y → La edad del hijo mayor z → La edad del hijo menor Del enunciado se deducen tres igualdades: Hace 14 a˜ nos la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento → x − 14 = 5(y − 14 + z − 14) Dentro de 10 a˜ nos la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento → x + 10 = y + 10 + z + 10 Cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 a˜ nos → z + x − y = 42 Planteamos y resolvemos el sistema formado por las tres igualdades:

  x − 14 = 5(y − 14 + z − 14) x + 10 = y + 10 + z + 10  z + x − y = 42 x − 5y = −46 x − y = 26

x − 5y − 5z = −126 x − y − z = 10 x − y + z = 42

2z = 32 ⇒ z = 16

4y = 72 ⇒ y = 18; x − 18 = 26 ⇒ x = 44

  x = 44 y = 18 La solución de nuestro sistema es  z = 16 Solución

La madre tiene 44 a˜ nos y los hijos tienen 18 y 16 a˜ nos.

Autor: Pedro Reina. URL: http://pedroreina.net/pau/mat2002juna1.pdf Creado con LATEX. Licencia: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/

PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de junio. Opción A. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos. Calcular el rango de la matriz A seg´ un los diferentes valores del parámetro real a:   2 0 a 2 0 −1 3  A =  −1 5 a + 4 −4 −3 2 2 = 6 + 2 = 8, luego rg(A) > 2 La matriz A tiene un menor de orden dos no nulo: −1 3

El rango de A será 3 cuando el menor de orden dos no nulo se pueda ampliar con alguna de las otras dos columnas a un menor de orden tres no nulo.

2 0 2 −1 0 3 5 a + 4 −3 2 a 2 −1 −1 3 5 −4 −3

Solución

= −(a + 4) · 2 2 = −(a + 4) · 8 = 0 ⇒ a = −4 −1 3

= 6 + 15a + 8 + 10 − 3a + 24 = 12a + 48 = 0 ⇒ a = −4

Si a = −4 el rango de A es 2; en cualquier otro caso es 3.


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de junio. Opción A. Ejercicio 3. Valor: 3 puntos. Se consideran las cónicas C1 y C2 cuyas ecuaciones cartesianas son C1 : 9x2 + 16y 2 = 144 ; C2 : 9x2 − 16y 2 = 144 a) (2 puntos) Identificar C1 y C2 . Especificar, para una de ellas, sus elementos caracter´ısticos: vértices, focos, excentricidad, y as´ıntotas (si existen). b) (1 punto) Hallar una ecuación cartesiana de la parábola de eje horizontal, abierta hacia la derecha y que pasa por tres de los vértices de la cónica C1 .

a) C1 : 9x2 + 16y 2 = 144 ⇒ C1 :

x2 144 9

+

y2 144 16

= 1 ⇒ C1 :

x2 16

+

y2 9

= 1 ⇒ C1 :

x2 42

+

y2 32

=1

C1 es una elipse con semiejes a = 4 y b = 3. Sus vértices son A = (4, 0), A′ = (−4, 0), B = (0, 3) y B ′ = (0, −3) √ √ √ Llamamos c a la semidistancia focal; a2 = b2 + c2 ⇒ c = a2 − b2 = 42 − 32 = 7 √ √ Los focos son F = ( 7, 0) y F ′ = (− 7, 0) La excentricidad es e =

c a

=

√ 7 4

C2 : 9x2 − 16y 2 = 144 ⇒ C2 :

= 0, 6614 y no tiene as´ıntotas.

x2 144 9

−

y2 144 16

= 1 ⇒ C2 :

x2 16

−

y2 9

= 1 ⇒ C2 :

x2 42

−

y2 32

=1

C2 es una hibérbola con semiejes a = 4 y b = 3. Sus vértices son A = (4, 0), A′ = (−4, 0), B = (0, 3) y B ′ = (0, −3) √ √ Llamamos c a la semidistancia focal; c2 = a2 + b2 ⇒ c = a2 + b2 = 42 + 32 = 5 Los focos son F = (5, 0) y F ′ = (−5, 0). La excentricidad es e = Las as´ıntotas son las rectas r ≡ y =

3 x 4

y r′ ≡ y =

c a

=

5 4

= 1, 2.

− 34 x

b) La parábola pedida pasa por los puntos A′ = (−4, 0), B = (0, 3) y B ′ = (0, −3) y debe tener ecuación x = py 2 + qy + r. Para calcular los tres coeficientes p, q y r sustituimos los puntos A′ , B y B ′ en la ecuación y se obtiene un sistema, que resolvemos:   r = −4  −4 = r  p = 49 4 0 = 9p + 3q + r 9p + 3r = 4 6r = 0 ⇒ r = 0; 9p = 4 ⇒ p = ; q = 0  9  0 = 9p − 3q + r 9p − 3r = 4 r = −4 Solución

La ecuación de la parábola es x = 49 y 2 − 4


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de junio. Opción A. Ejercicio 4. Valor: 3 puntos.

Se considera la función real de variable real definida por: f (x) =

x2

1 +3

a) (1 punto) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de inflexión de abscisa positiva de la gráfica de f . b) (2 puntos) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f , la recta anterior y el eje x = 0.

a) Para calcular las abscisas de los puntos de inflexión igualamos a cero la derivada segunda y resolvemos la ecuación: 2x 2(x2 + 3)2 − 2x2(x2 + 3)2x 1 ′ ′′ ⇒ f (x) = − ⇒ f (x) = − = x2 + 3 (x2 + 3)2 (x2 + 3)4 8x2 − 2(x2 + 3) 6x2 − 6 ′′ 1 2 2 = 2 ; f (x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ x = = 2 3 3 −1 (x + 3) (x + 3)

f (x) =

La solución x = −1 no es válida por no ser positiva, as´ı que hay que comprobar si en x = 1 hay un punto de inflexión: f ′′′ (x) =

12x(x2 + 3)3 − (6x2 − 6)3(x2 + 3)2 2x ⇒ f ′′′ (1) 6= 0 (x2 + 3)6

Luego f tiene un punto de inflexión en x = 1; el valor de la ordenada es y = f (1) = 2 La pendiente de la recta tangente es m = f ′ (1) = − 16 = − 18

La recta pendiente tiene ecuación t ≡ y − Solución

1 4

= − 18 (x − 1) ⇒ t ≡ y = − 18 x +

La recta tangente pedida tiene ecuación t ≡ y = − 81 x +

1 4

3 8

3 8

b) La recta t y la gráfica de f se cortan en x = 1, luego la superficie pedida es ! √ Z 1 Z 1 √1 1 3 1 1 3 3 − x+ − 2 dx = − x+ − · x 23 dx = 8 8 x + 3 8 8 3 ( √3 ) + 1 0 0 √ √ #1 x 1 1 3 1 1 1 2 3 3 3 = − · x + x− arc tg √ =− · + − arc tg √ = 0, 01020 8 2 8 3 8 2 8 3 3 3 0

Solución

El área pedida es 0,01020 u2


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de junio. Opción B. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Hallar una ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta r: x =1+t ;

y = −1 + 2t ;

z=t

y es perpendicular al plano π : 2x + y − z = 2 La recta r pasa por el punto A = (1, −1, 0) y tiene vector de dirección ~vr = (1, 2, 1). El plano π tiene vector normal ~nπ = (2, 1, −1). El plano pedido debe pasar por el punto A y tener como vectores generadores ~vr y ~nπ : x−1 y+1 z 1 = −3(x−1) + 3(y + 1)−3z = −3x+ 3y −3z + 6 = 0 ⇒ x−y + z −2 = 0 2 1 2 1 −1 Solución

El plano pedido tiene ecuación x − y + z − 2 = 0

Autor: Pedro Reina. URL: http://pedroreina.net/pau/mat2002junb1.pdf Creado con LATEX. Licencia: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/

PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de junio. Opción B. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos. Los puntos A(1, 1, 1), B(2, 2, 2), C(1, 3, 3) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo. Se pide: a) (1 punto) Hallar las coordenadas del cuarto vértice D y calcular el área de dicho paralelogramo. b) (1 punto) Clasificar el paralelogramo por sus lados y por sus ángulos.

−→ a) D = C + BA = (1, 3, 3) + (−1, −1, −1) = (0, 2, 2) El área del paralelogramo será:

−→ −−→ BA × BC = |(−1, −1, −1) × (−1, 1, 1)| = | Solución

~k ~i ~j √ −1 −1 −1 | = |(0, 2, −2)| = 8 = 2, 828 −1 1 1

El vértice D = (0, 2, 2) y la superficie del paralelogramo es 2, 828u2

b) Calculamos la longitud de dos lados que se cortan: √ √ −→ −−→ AB = |AB| = |(1, 1, 1)| = 3; BC = |BC| = |(−1, 1, 1)| = 3 Como los cuatro lados son iguales, el paralelogramo es un rombo. Vemos si dos lados que se cortan son perpendiculares o no: −→ −−→ AB · BC = (1, 1, 1) · (−1, 1, 1) = −1 + 1 + 1 = 1 6= 0 Como los lados que se cortan no son perpendiculares, el paralelogramo no es un rectángulo. Solución

El paralelogramo es un rombo y no es un rectángulo.


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de junio. Opción B. Ejercicio 3. Valor: 3 puntos. Se considera el siguiente  x−y =  ax + y + 2z =  x − y + az =

sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: 2 0 1

Se pide:

a) (1,5 puntos) Discutir el sistema seg´ un los diferentes valores del parámetro a. b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para a = −1. c) (1 punto) Resolver el sistema para a = 2.

 1 −1 0 2 1 2 0  a) Las matrices de coeficientes y ampliada son A|A∗ =  a 1 −1 a 1 −1 0 = −2 6= 0 rg(A) > 2 ya que tiene un menor de orden 2 no nulo: 1 2 

Estudiamos cuándo puede ser rg(A) = 3 resolviendo la ecuación det(A) = 0 0 2 2 det(A) = a − 2 + 2 + a = a + a = 0 ⇒ a = −1 Caso a 6= 0 y a 6= −1. En este caso rg(A) = 3, luego también rg(A∗ ) = 3, as´ı que el sistema es no homogéneo, compatible determinado. Caso a = 0. En este caso rg(A) = 2 y vemos si el menor de orden 2 de A se puede ampliar usando la columna de los términos independientes: −1 0 2 1 2 0 = −2 + 4 = 2 6= 0 ⇒ rg(A∗ ) = 3 −1 0 1 En este caso el sistema es no homogéneo e incompatible.

Caso a = −1. En este caso rg(A) = 2 y vemos si el menor de orden 2 de A se puede ampliar usando la columna de los términos independientes: −1 0 2 1 2 0 = −2 − 2 + 4 = 0 ⇒ rg(A∗ ) = 2 −1 −1 1 En este caso el sistema es no homogéneo, compatible indeterminado

b) Para a = −1 el sistema es equivalente al siguiente, que resolvemos dejando y y z en función de x. −y = −x + 2 y = x − 2 y +2z = x 2z = 2 ⇒ z = 1 Solución

  x=λ y = λ − 2 (λ ∈ R)  z=1

c) Para a = 2 el sistema es de Cramer y det(A) = 22 + 2 = 6; lo resolvemos usando la regla de Cramer. 2 −1 0 6 ∆x 1 2 = 4 − 2 + 4 = 6 ⇒ x = ∆x = 0 = =1 det(A) 6 1 −1 2 1 2 0 −6 ∆y ∆y = 2 0 2 = 4 − 2 − 8 = −6 ⇒ x = = = −1 det(A) 6 1 1 2 1 −1 2 ∆z −3 1 1 0 = 1 − 4 − 2 + 2 = −3 ⇒ x = ∆z = 2 = =− det(A) 6 2 1 −1 1 Solución

   x=1 y = −1   z = −1 2


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de junio. Opción B. Ejercicio 4. Valor: 3 puntos. Se considera la función:  2 x + 3x + 1   si x ≥ −1   x f (x) =   2x   si x < −1 x−1

Se pide:

a) (0,5 puntos) Estudiar el dominio y la continuidad de f . b) (1,5 puntos) Hallar las as´ıntotas de la gráfica de f . c) (1 punto) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y las rectas y = 0, x = 1, x = 2.

a) D(f ) = R − {0} ya que en 0 se anula un denominador.

f es continua en los intervalos abiertos (−∞, −1), (−1, 0) y (0, ∞) ya que en cada uno de ellos es una función cociente de funciones continuas en las que no se anula el denominador. En el punto 0 la función es discontinua porque 0 ∈ / D(f ).

Para estudiar la continuidad en −1 hay que recurrir a la definición de continuidad en un punto verificando si se cumplen las tres condiciones: (−1)2 + 3 · (−1) + 1 Primera condición: f (−1) = = 1. −1 Segunda condición:  2x  lim f (x) = lim − =1    x→−1− x→−1 x − 1 ⇒ lim f (x) = 1 x→−1   x2 + 3x + 1  lim + f (x) = lim + =1  x→−1 x→−1 x Tercera condición: lim f (x) = f (−1) x→−1

Se cumplen las tres condiciones, luego f es continua en el punto −1 Solución

D(f ) = R − {0} y f es continua en los intervalos (−∞, 0) y (0, ∞)

b) As´ıntota vertical solo puede tener en el punto de discontinuidad, el 0. Calculamos los l´ımites laterales:  x2 + 3x + 1  lim− f (x) = lim− = −∞    x→0 x→0 x ⇒ La recta x = 0 es as´ıntota vertical.   x2 + 3x + 1  lim f (x) = lim+ =∞  x→0+ x→0 x

Calculamos el comportamiento cuando x → ∞: x2 + 3x + 1 =∞ x→∞ x

lim f (x) = lim x→∞

f no tiene as´ıntotal horizontal por la derecha. Si tuviera as´ıntota oblicua, tendr´ıa ecuación y = mx + n. Intentamos calcular m y n: x2 + 3x + 1 f (x) x2 + 3x + 1 x m = lim = lim = lim =1 x→∞ x x→∞ x→∞ x x2 2 x + 3x + 1 x2 + 3x + 1 − x2 n = lim (f (x) − mx) = lim − x = lim = x→∞ x→∞ x→∞ x x

3x + 1 =3 x→∞ x La recta de ecuación y = x + 3 es as´ıntota oblicua por la derecha. = lim

Calculamos el comportamiento cuando x → −∞: lim f (x) = lim x→−∞

x→−∞

2x =2 x−1

La recta de ecuación y = 2 es as´ıntota horizontal por la izquierda. Solución

La gráfica de f tiene tres as´ıntotas: x = 0, y = x + 3 e y = 2.

c) Vemos si la gráfica de f corta al eje y = 0 en alg´ un punto entre 1 y 2: √ x2 + 3x + 1 −3 ± 5 2 = 0 ⇒ x + 3x + 1 = 0 ⇒ x = ∈ / [1, 2] x 2 Como no corta, el área pedida es 2 Z 2 2 Z 2 x + 3x + 1 1 1 2 dx = x+3+ dx = x + 3x + ln |x| = x x 2 1 1 1 1 1 = 22 + 3 · 2 + ln 2 − + 3 = 4.5 + ln 2 = 5.193 2 2 Solución

El área pedida es 5.193u2


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de septiembre. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

Se considera la función real de variable real definida por: f (x) =

x2

x +1

a) (1 punto) Determinar sus máximos y m´ınimos relativos b) (1 punto) Calcular el valor de a > 0 para el cual se verifica la igualdad

Ra 0

f (x)dx = 1.

a) Resolvemos la ecuación f ′ (x) = 0: x2 + 1 − x · 2x −x2 + 1 x ⇒ f ′ (x) = = = 0 ⇒ −x2 + 1 = 0 ⇒ x = f (x) = 2 x +1 (x2 + 1)2 (x2 + 1)2

1 −1

Sustituimos en la derivada segunda las soluciones obtenidas: f ′′ (x) =

−2x(x2 + 1)2 − (−x2 + 1)2(x2 + 1)2x (x2 + 1)4

f ′′ (−1) > 0 ⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = −1 f ′′ (1) < 0 ⇒ f tiene un máximo relativo en x = 1 Calculamos las ordenadas de los puntos sustituyendo en f : x = −1 ⇒ y = f (−1) = Solución

−1 1 ; x = 1 ⇒ y = f (1) = ; 2 2

f tiene un m´ınimo relativo en el punto (−1, −1 ) y un máximo relativo en (1, 12 ). 2

b) Calculamos el valor de la integral definida: a Z Z a Z a x 1 a 2x 1 1 2 f (x)dx = dx = dx = ln(x + 1) = ln(a2 + 1) 2 2 2 0 x +1 2 2 0 0 x +1 0 Resolvemos la ecuación pedida: Z a √ 1 f (x)dx = 1 ⇒ ln(a2 + 1) = 1 ⇒ ln(a2 + 1) = 2 ⇒ a2 + 1 = e2 ⇒ a = ± e2 − 1 2 0 √ Como se pide a > 0, debe ser a = e2 − 1 = 2.528 Solución

a = 2.528

Autor: Pedro Reina. URL: http://pedroreina.net/pau/mat2002sepa1.pdf Creado con LATEX. Licencia: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/

PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de septiembre. Opción A. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos. Se considera la función real de variable real definida por: √ 3 x − 2 si x ≥ 2 f (x) = x(x − 2) si x < 2 a) (1 punto) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) (1 punto) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (3,1).

a) Consideramos las funciones f1 (x) = x(x − 2) y f2 (x) = definición de la función f .

√ 3

x − 2, que forman parte de la

Como f1 y f2 son continuas, f es continua en los intervalos (−∞, 2) y (2, ∞).

Como f1 y f2 son continuas, f será continua en 2 cuando f1 (2) = f2 (2). f1 (2) = 0 ⇒ f1 (2) = f2 (2) ⇒ f es continua en 2. f2 (2) = 0 Por tanto f es continua.

Como f1 es derivable y f2 es derivable en los intervalos (−∞, 2) y (2, ∞), f es derivable en los intervalos (−∞, 2) y (2, ∞).

Para estudiar la derivabilidad de f en el punto 2 recurrimos a la definición de derivada y comenzamos por calcular la derivada por la derecha: √ 3 f (2 + h) − f (2) f2 (2 + h) − 0 2+h−2 ′ + f (2 ) = lim+ = lim+ = lim+ = h→0 h→0 h→0 h h h √ 3 h 1 = lim+ = lim+ √ = ∞ ⇒ f no es derivable en 2. 3 h→0 h→0 h h2 Solución

f es continua. f es derivable en (−∞, 2) y (2, ∞)

b) f (3) = 1, luego efectivamente el punto (3, 1) pertenece a la gráfica de f . √ 1 2 1 f2 (x) = 3 x − 2 = (x − 2) 3 ⇒ f2′ (x) = (x − 2)− 3 3 La pendiente de la recta tangente vendrá dada por la derivada: 2 1 1 f ′ (3) = f2′ (3) = (3 − 2)− 3 = 3 3

1 1 La ecuación punto-pendiente de la recta tangente es y − 1 = (x − 3) ⇒ y = x 3 3 1 Solución y = x 3 Autor: Pedro Reina. URL: http://pedroreina.net/pau/mat2002sepa2.pdf Creado con LATEX. Licencia: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/

PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de septiembre. Opción A. Ejercicio 3. Valor: 3 puntos. Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real λ:   x + y + λz = λ2 y−z = λ  x + λy + z = λ

a) (1,5 puntos) Discutir el sistema seg´ un los diferentes valores del parámetro λ. b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos en que sea posible. c) (0,5 puntos) En el caso λ = 2, indicar la posición relativa de los tres planos cuyas ecuaciones forman el sistema.

 1 1 λ λ2 a) Las matrices de coeficientes y ampliada son A|A∗ =  0 1 −1 λ  1 λ 1 λ 1 1 = 1 6= 0 rg(A) > 2 ya que tiene un menor de orden 2 no nulo: 0 1 

det(A) = 1 − 1 − λ + λ = 0 ⇒ rg(A) = 2

Para estudiar el rango de A∗ calculamos el menor de A∗ obtenido ampliando el menor de orden 2 no nulo de A con la columna de términos independientes y vemos cuándo se anula: 1 1 λ2 0 1 λ = λ + λ − λ2 − λ2 = −2λ2 + 2λ = 0 ⇒ λ2 − λ = 0 ⇒ λ = 0 1 1 λ λ

Caso λ 6= 0 y λ 6= 1. En este caso rg(A∗) = 3, luego el sistema es no homogéneo e incompatible. Caso λ = 0. rg(A∗ ) = 2 y el sistema es homogéneo, compatible indeterminado. Caso λ = 1. rg(A∗ ) = 2 y el sistema es no homogéneo, compatible indeterminado.

b) Para λ = 0 y λ = 1 el sistema es equivalente al siguiente, que resolvemos dejando x e y en función de z. x +y = λ2 − λz x = λ2 − λ − 2λz y = λ + λz y = λ + λz Solución

  x = λ2 − λ − 2λµ y = λ + λµ (µ ∈ R)  z=µ

c) Para λ = 2 el sistema es incompatible, luego los tres planos no tienen ning´ un punto en com´ un. Como, además, ninguna ecuación es m´ ultiplo de otra, no hay dos planos que sean paralelos entre s´ı. Solución

Cada dos planos se cortan en una recta diferente.


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de septiembre. Opción A. Ejercicio 4. Valor: 3 puntos.

Se consideran las rectas: r :

x y−1 z−3 x−2 y z+1 = = ;s: = = . 1 −2 2 3 1 −1

a) (1 punto) Calcular la distancia entre r y s. b) (1 punto) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta perpendicular com´ un a r y s y que corta a ambas. c) (1 punto) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta que corta a r y s y que pasa por el punto P (1, 0, 0). a) Para decidir el método que vamos a usar para calcular la distancia entre las rectas comenzamos por estudiar su posición relativa. De la ecuación de r se obtiene un punto Pr = (0, 1, 3) y su vector de dirección ~vr = (1, −2, 2).

De la ecuación de s se obtiene un punto Ps = (2, 0, −1) y su vector de dirección ~vs = (3, 1, −1). Los vectores de dirección no son proporcionales, as´ı que las rectas se cortan o se cruzan. −−→ Para decidirlo calculamos el producto mixto [Pr Ps , ~vr , ~vs ]. 2 −1 −4 −−→ 2 = 4 − 6 − 4 − 24 − 1 − 4 = −35 6= 0 ⇒ las rectas se cruzan [Pr Ps , ~vr , ~vs ] = 1 −2 3 1 −1 Para calcular la distancia se necesita ~vr × ~vs : ~i ~k ~j ~vr × ~vs = 1 −2 2 = (0, 7, 7) 3 1 −1 −−→ |[Pr Ps , ~vr , ~vs ]| | − 35| 35 La distancia es: d(r, s) = =√ = √ = 3, 536 |~vr × ~vs | 0 2 + 72 + 72 98 Solución

3,536 u

b) Llamamos t a la recta pedida. Su vector de dirección es ~vr × ~vs = (0, 7, 7) ⇒ ~vt = (0, 1, 1) Daremos t como intersección de los planos Π y Σ que la contienen. Π es el plano que pasa por el punto Pr y está generado por ~vr y ~vt : x y−1 z−3 1 −2 = −4x − (y − 1) + z − 3 = −4x − y + z − 2 ⇒ Π ≡ 4x + y − z + 2 = 0 2 0 1 1 Σ es el plano que pasa por el punto Ps y está generado por ~vs y ~vt : x−2 y z−1 3 1 −1 = 2(x−2)−3y +3(z −1) = 2x−3y +3z −7 ⇒ Σ ≡ 2x−3y +3z −7 = 0 0 1 1 4x + y − z + 2 = 0 Solución 2x − 3y + 3z − 7 = 0

c) Daremos la recta pedida como intersección de los planos que la contienen. −−→ Πr es el plano que pasa por el punto Pr y está generado por P Pr y ~vr : x y−1 z−3 −1 1 3 = 8x + 5(y − 1) + z − 3 = 8x + 5y + z − 8 ⇒ Πr ≡ 8x + 5y + z − 8 = 0 1 −2 2

−−→ Πs es el plano que pasa por el punto Ps y está generado por P Ps y ~vs : x−2 y z−1 1 0 −1 = x − 2 − 2y + z − 1 = x − 2y + z − 3 ⇒ Πs ≡ x − 2y + z − 3 = 0 3 1 −1 Solución

8x + 5y + z − 8 = 0 x − 2y + z − 3 = 0


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de septiembre. Opción B. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Hallar una ecuación cartesiana del lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos A(0, 3) y B(0, −1) es igual a 1. Identificar dicho lugar geométrico.

Primera resoluci´ on El lugar geométrico pedido es una hipérbola con focos en los puntos A y B. La distancia focal es d(A, B) = 4 ⇒ 2c = 4 ⇒ c = 2 El centro es el punto medio del segmento AB, el punto C = (0, 1). Dos vértices de la hipérbola son D = (0, 12 ) y E = (0, 32 ), que cumplen la condición y están en la recta determinada por A y B. Un eje mide d(D, E) = 1 ⇒ 2b = 1 ⇒ b =

1 2

Calculamos el otro eje: c2 = b2 + a2 ⇒ 22 = La ecuación es

+ a2 ⇒ a =

q

4−

1 4

=

q

15 4

(y − 1)2 (x − 0)2 (y − 1)2 x2 − = 1 que simplificada queda − 15 = 1 q 2 1 1 2 2

Solución

1 2 2

15 4

La hipérbola de ecuación

4

(y − 1)2 1 4

−

x2 15 4

4

=1

Segunda resoluci´ on El lugar geométrico pedido es una hipérbola de focos los puntos A y B. Llamamos P = (x, y) a un punto cualquiera de ella y encontramos la ecuación escribiendo algebraicamente la condición y simplificando la expresión. p p d(P, A) − d(P, B) = 1 ⇒ x2 + (y − 3)2 − x2 + (y + 1)2 = 1 ⇒ p p ⇒ x2 + (y − 3)2 = 1 + x2 + (y + 1)2 ⇒ p ⇒ x2 + (y − 3)2 = 1 + x2 + (y + 1)2 + 2 x2 + (y + 1)2 ⇒ p ⇒ x2 + y 2 − 6y + 9 = 1 + x2 + y 2 + 2y + 1 + 2 x2 + (y + 1)2 ⇒ p ⇒ −8y + 7 = 2 x2 + (y + 1)2 ⇒ 64y 2 − 112y + 49 = 4x2 + 4y 2 + 8y + 4 ⇒ ⇒ 60y 2 − 120y + 45 − 4x2 = 0 ⇒ 60y 2 − 120y + 60 − 4x2 = 15 ⇒

⇒ 60(y − 1)2 − 4x2 = 15 Solución

La hipérbola de ecuación 60(y − 1)2 − 4x2 = 15

Autor: Pedro Reina. URL: http://pedroreina.net/pau/mat2002sepb1.pdf Creado con LATEX. Licencia: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/

PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de septiembre. Opción B. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos. Para cada valor del parámetro real a, se consideran los tres planos siguientes: π1 : x + y + az = −2 ; π2 : x + ay + z = −1 ; π3 : ax + y + z = 3 Se pide: a) (1,5 puntos) Calcular los valores de a para los cuales los tres planos anteriores contienen una recta com´ un. b) (0,5 puntos) Para los valores de a calculados, hallar unas ecuaciones cartesianas de dicha recta com´ un.

a) Para que tres planos tengan una recta com´ un debe ocurrir que el sistema de ecuaciones formado por sus tres ecuaciones sea compatible indeterminado con un grado de libertad. Por tanto, estudiamos el sistema   x + y + az = −2 x + ay + z = −1  ax + y + z = 3   1 1 a −2 Las matrices de coeficientes y ampliada son A|A∗ =  1 a 1 −1  a 1 1 3 Hay que calcular los valores de a que hacen rg(A) = rg(A∗) = 2

det(A) = a + a + a − a3 − 1 − 1 = −a3 + 3a − 2 = 0 ⇒ a3 − 3a + 2 = 0 ⇒ a−1 =0 2 ⇒ (a − 1)(a + a − 2) = 0 ⇒ ⇒ a2 + a − 2 = 0   a=1 √ 1 ⇒ −1 ± 1 + 8 −1 ± 3 ⇒ a = −2  a= = 2 2 a = 1 ⇒ rg(A) = 1, luego a = 1 no nos vale. 1 1 = −3 6= 0 a = −2 ⇒ rg(A) = 2, ya que 1 −2

Para calcular rg(A∗ ) intentamos ampliar este menor de orden 2 con la columna de los términos independientes: 1 1 −2 1 −2 −1 = −6 + 2 − 2 + 8 + 1 − 3 = 0 ⇒ rg(A∗ ) = 2 −2 1 3 Solución

a = −2

b) Para a = −2 el sistema es equivalente al siguiente, que resolvemos dejando x e y en función de z. 1 x + y = −2 + 2z 3y = −1 + 3z ⇒ y = − + z x − 2y = −1 − z 3 x + y = −2 + 2z ⇒ x = −y − 2 + 2z =

Solución

1 5 − z − 2 + 2z = − + z 3 3

  x = − 35 + λ y = − 13 + λ (λ ∈ R)  z=λ


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de septiembre. Opción B. Ejercicio 3. Valor: 3 puntos. Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A2 = I, siendo I la matriz identidad de orden n. Se pide: a) (1 punto) Expresar A−1 en términos de A. b) (1 punto) Expresar An en términos de A e I, para cualquier n´ umero natural n. c) (1 punto) Calcular a para que A2 = I, siendo A la matriz: 1 1 A= . 0 a a) A2 = I ⇒ AA = I ⇒ A−1 = A, ya que A cumple la definición de A−1 . Solución

A−1 = A

b) n par ⇒ n = 2m ⇒ An = A2m = (A2 )m = I m = I

n impar ⇒ n = 2m + 1 ⇒ An = A2m+1 = A2m A = IA = A Solución 2

c) A = I ⇒ Solución

Si n es par, An = I; si n es impar, An = A

1 1 0 a

2

=

1 0 0 1

⇒

1 1+a 0 a2

=

1 0 0 1

⇒

1+a=0 ⇒ a = −1 a2 = 1

a = −1


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2002. Examen de septiembre. Opción B. Ejercicio 4. Valor: 3 puntos. Sea f (x) una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que: f (0) = 1 ;

f (1) = 2 ;

f ′ (0) = 3 ;

f ′ (1) = 4

Se pide: a) (1 punto) Calcular g ′(0), siendo g(x) = f (x + f (0)). 2(f (x))2 − f (x + 1) . x→0 ex − 1

b) (2 puntos) Calcular lim

a) Aplicamos la definición de derivada de una función en un punto g(0 + h) − g(0) f (h + f (0)) − f (0 + f (0)) = lim = h→0 h→0 h h

g ′(0) = lim

f (h + 1) − f (1) = f ′ (1) = 4 h→0 h

= lim Solución

g ′ (0) = 4

b) El l´ımite pedido es una indeterminación 00 , luego se puede aplicar la regla de L’Hôpital. 2(f (x))2 − f (x + 1) 4(f (x))(f ′ (x)) − f ′ (x + 1) 4·1·3−4 = lim = =8 x→0 x→0 ex − 1 ex 1 lim

Solución

El l´ımite pedido vale 8.





OPCIÓN A ⎛1 0 1⎞ ⎟ ⎜ A.1.- Sean A y B las matrices siguientes: A = ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎜1 1 0⎟ ⎠ ⎝

⎛0 1 1⎞ ⎟ ⎜ B = ⎜ 0 2 0 ⎟ .Es fácil ⎜1 1 0⎟ ⎠ ⎝

comprobar que ambas tiene el máximo rango, que es 3. Pero ¿qué ocurre si los combinamos linealmente?.En concreto, estudia el rango de la matriz A + λB según los valores del parámetro λ

⎛1 0 1⎞ ⎛0 1 1⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A + λB = ⎜ 0 2 0 ⎟ + λ ⎜ 0 2 0 ⎟ = ⎜ 0 2 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎜1 1 0⎟ ⎜1 1 0⎟ ⎜1 1 0⎟ ⎜ λ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

λ λ⎞ ⎛ 1 λ λ + 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 2λ 0 ⎟ = ⎜ 0 2λ + 2 0 ⎟⇒ λ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ λ + 1 λ + 1 0 ⎟⎠

1 λ λ +1 3 3 A + λB = 0 2λ + 2 0 = 2(λ + 1) ⇒ Si A + λB = 0 ⇒ 2(λ + 1) = 0 ⇒ λ + 1 = 0 ⇒ λ = −1 0 λ +1 λ +1 ∀λ ∈ ℜ − {− 1} ⇒ rang ( A + λB ) = 3 ⇒ Si λ = 1 ⎛1 0 1⎞ ⎛0 1 1⎞ ⎛1 −1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A − B = ⎜ 0 2 0 ⎟ − ⎜ 0 2 0 ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⇒ rang ( A − B ) = 1 ⎜1 1 0⎟ ⎜1 1 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1




A.2 Sea H la hipérbola de ecuación xy = 4. Sea C1 y C2 dos circunferencias, ambas con centro el origen de coordenadas y tales que I) C1 es tangente a la hipérbola II) C2 corta a la hipérbola H en un punto con abcisa 1 a) Representar gráficamente las tres cónicas anteriores b) Calcula el área de la corona circular encerrada entre las dos circunferencias

a) 4 4 ⎧ y y = ⇒ = − ' ⎪ x x2 x2 4 ⎪ 2 ⇒ x 4 = 16 ⇒ x = ± 4 16 ⇒ ⎨ x 2 + y 2 = R 2 ⇒ 2 x + 2 y. y ' = 0 ⇒ y ' = − x = − x = − x ⇒ − 2 = − 4 x ⎪ 4 y 4 ⎪ x ⎩ 4 ⎧ x y = 2 ⇒ = = 2 ⇒ (2 , 2) ⇒ R 2 = 2 2 + 2 2 = 8 ⎪ 2 ⇒ C1 ≡ x 2 + y 2 − 8 = 0 ⎨ 4 2 2 ⎪ x = −2 ⇒ y = = 2 ⇒ (− 2 , − 2 ) ⇒ R 2 = (− 2 ) + (− 2) = 8 −2 ⎩ 4 ⎧ ⎪ y = = 4 ⇒ (1 , 4 ) ⇒ S 2 = 12 + 4 2 = 17 ⇒⇒ C 2 ≡ x 2 + y 2 − 17 = 0 ⎨ 1 ⎪⎩ x 2 + y 2 = S 2

Y

4,5

3,5

2,5

xy = 4

1,5

X -7

x + y =8 2

0,5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-0,5

0

2

1

2

3

4

5

6

7

-1,5

-2,5

-3,5

x 2 + y 2 = 17

-4,5

c)

(

)

A = πS 2 − πR 2 = π S 2 − R 2 = π (17 − 8) = 9π u 2

2




A.3.- Sea la función f ( x ) = x cos x a)¿Tiene límite en + ∞ ? (justifica tu respuesta) b) Calcula la integral de f entre x = 0 y el primer cero positivo que tiene la función Nota: Llamamos ceros de una función a aquellos puntos donde se anula

a) x=0 ⎧⎪ π f ( x ) = x cos x ⇒ f (x ) = 0 ⇒ ⎨ ⎪⎩cos x = 0 ⇒ x = arc cos 0 = 2 + π k ; k ∈ Z Al ser cíclicamente un cero de la función desde menos infinito a infinito no puede haber un límite definido ya que cada vez que aumenta x aumenta el valor. El teorema de Rolle dice que “siendo f(x) una función continua en [a , b] y que verifica que f(a) = f(b), entonces existe, al menos un punto c ∈ (a , b ) tal que f’(c) = 0 Este teorema se cumple en los intervalos:

π ⎡π ⎤ ⎡ π ⎤ ⎡ π 3π ⎤ ⎢0 , 2 ⎥ , ⎢ 2 , 2 ⎥ , … ⎢⎣ 2 + (k − 1)π , 2 + kπ ⎥⎦ ; k ∈ Z ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ π ⎛π ⎞ por lo tanto hay, al menos un punto, entre ellos c ∈ ⎜ + (k − 1)π , + kπ ⎟ ; k ∈ Z en donde 2 ⎝2 ⎠ f’(c) = 0 (máximo o mínimo relativos) por lo tanto su limite nunca llegara a ser infinito o menos infinito

b) π

π

π

π

2 π π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛ ⎞ 2 = − [ ] x cos x dx x sen x 0 ∫0 ∫0 sen x dx = ⎜⎝ 2 sen 2 − 0 sen 0 ⎟⎠ + [cos x]02 = ⎜⎝ 2 ⋅ 1 − 0.0 ⎟⎠ + ⎜⎝ cos 2 − cos 0 ⎟⎠ 2

x = u ⇒ dx = du ⎧⎪ ⎨cos x dx = dv ⇒ v = cos x dx = sen x ⎪⎩ ∫ π 2

π

π

∫ x cos x dx = 2 + (0 − 1) = 2 − 1 0

3




A.4.- En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula, razonadamente, la cuantía del máximo premio que se puede obtener en este concurso.

⎧2a + 2b = 2 ⇒ a + b = 1 ⇒ b = 1 − a 1 dA ⇒ A' = = 1 − 2a ⇒ A' = 0 ⇒ 1 − 2a = 0 ⇒ 1 = 2a ⇒ a = m. ⎨ 2 A = a.b = a.(1 − a ) = a − a 2 da ⎩ 1 ⎧ ⎪ a = 2 m. 1 1 d2A 1 A' ' = = −2 ⇒ Máximo ⇒ ⎨ ⇒ Amax = ⋅ 100 ⋅ ⋅ 100 = ⋅ 10000 = 2500 € 2 1 1 2 2 4 da ⎪b = 1 − = m. 2 2 ⎩

4




OPCIÓN B ⎧ 2x + y − z = 0 ⎪ B.1.- Discute el sistema de ecuaciones ⎨ax − y − z = a − 1 ⎪ 3 x − 2az = a − 1 ⎩ a) Clasifícalo según el valor del parámetro a b) Halla, si existe, la solución cuando a = 0

a) 2 1 A = a −1 3

0

−1

(

)

− 1 = 4a − 3 − 3 + 2a 2 = 2a 2 + 4a − 6 = 2 a 2 + 2a − 3 ⇒ Si A = 0 ⇒ a 2 + 2a − 3 = 0 ⇒ − 2a

−2+4 ⎧ ⎪ a = 2 =1 − 2 ± 16 Δ = 4 + 12 = 16 ⇒ a = ⇒⎨ ⇒ −2−4 2 ⎪a = = −3 2 ⎩ ∀x ∈ ℜ − {− 3 , 1} = rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado Si a = −3 ⎛ 2 1 −1 0 ⎞ ⎛2 1 −1 0 ⎞ ⎛2 1 −1 0 ⎞ ⎛2 1 −1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ − 3 −1 −1 − 4⎟ ≡ ⎜ 6 2 2 8 ⎟ ≡ ⎜ 0 −1 5 8 ⎟ ≡ ⎜0 −1 5 8 ⎟ ⇒ ⎜ 3 0 6 − 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 0 12 − 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 − 3 15 − 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 − 32 ⎟⎠ ⎝ Sistema Incompatible Si a = 1 ⎛ 2 1 −1 0⎞ ⎛1 −1 −1 0⎞ ⎛1 −1 −1 0⎞ ⎛1 −1 −1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 − 1 − 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 2 1 − 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 1 0 ⎟ ⇒ Sist. Comp. In det er min ado ⎜ 3 0 − 2 0⎟ ⎜ 3 0 − 2 0⎟ ⎜0 3 1 0⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 y + z = 0 ⇒ z = −3 y ⇒ x − y + 3 y = 0 ⇒ x = −2 y ⇒ Solución(− 2λ , λ , − 3λ ) b) ⎛2 1 −1 0 ⎞ ⎛2 1 −1 0 ⎞ ⎛2 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 − 1 − 1 − 1⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 − 1 − 1 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 ⎜ 3 0 0 − 1⎟ ⎜ 6 0 0 − 2 ⎟ ⎜ 0 − 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 5 5 1 4 y + = 1 ⇒ y = ⇒ 2x + − = 0 ⇒ 2x = − 6 6 6 6 6

− 1 0 ⎞⎛ 2 1 − 1 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟ 1 − 1 − 1 ⎟⎜ 0 − 1 − 1 − 1⎟ ⇒ 6 z = 1 ⇒ z = ⇒ 6 3 − 2 ⎟⎠⎜⎝ 0 0 6 1 ⎟⎠ 1 ⎛ 1 5 1⎞ ⇒ x = − ⇒ Solución⎜ − , , ⎟ 3 ⎝ 3 6 6⎠

5




B.2. a) Hallar, razonadamente, la ecuación del lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por los puntos (2 , 0) y (0 , 1) b) Entre todas estas circunferencias halla la ecuación de aquélla o aquéllas cuyo centro equidista de los ejes coordenados

a) Es la mediatriz del segmento formado por los puntos dados. Tomando como punto genérico (x , y) tenemos:

( x − 2 ) 2 + ( y − 0 )2

=

(x − 0)2 + ( y − 1)2

⇒ (x − 2 ) + y 2 = x 2 + ( y − 1) ⇒ 2

2

x 2 − 4 x + 4 + y 2 = x 2 + y 2 − 2 y + 1 ⇒ −4 x + 4 + 2 y − 1 = 0 ⇒ r ≡ 4 x − 2 y − 3 = 0 b) ⎧4 x − 2 y − 3 = 0 3 3 ⇒ 4x − 2x − 3 = 0 ⇒ 2x − 3 = 0 ⇒ x = ⇒ y = ⎨ x=y 2 2 ⎩ 2

2

2

2

3⎞ ⎛3 ⎛ ⎞ ⎛1⎞ ⎛3⎞ R = ⎜ 2 − ⎟ + ⎜ − 0⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2⎠ ⎝2 ⎝ ⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠

1 9 10 10 + = ⇒ R2 = 4 4 2 4

(2 x − 3) + (2 y − 3) = 10 ⇒ 4 x 2 − 12 x + 9 + 4 y 2 − 12 y + 9 − 10 = 0 ⇒ 3⎞ ⎛ 3⎞ 10 ⎛ ⇒ ⎜x − ⎟ +⎜ y − ⎟ = 2⎠ ⎝ 2⎠ 4 4 4 4 ⎝ 2 2 2 2 4 x + 4 y − 12 x − 12 y + 8 = 0 ⇒ C ≡ x + y − 3 x − 3 y + 2 = 0 2

2

2

2

6




B.3.- Sea la función f definida para todo número real x en la forma

⎧ x 2 + 3 x + 1 si x < 0 f (x ) = ⎨ ⎩sen β x + cos β x si x ≥ 0 a) Determinar el valor de

β

para que f sea derivable en x = 0

⎛ ⎝

b) Calcular la integral de f sobre el intervalo ⎜ 0 ,

π⎞ ⎟ 3⎠

a) Tiene que ser continua y derivable

⎧⎪ lim f (x ) = 0 2 + 3.0 + 1 = 1 x →0 − f ( x ) = lim− f ( x ) = 1 ⇒ Continua ⎨ f (0) = lim f ( x ) = sen β .0 + cos β .0 = sen 0 + cos 0 = 1 ⇒ f (0) = xlim →0 + x →0 ⎪⎩ + x →0 lim f ' ( x ) = 2.0 + 3 = 3 ⎧⎪ 2 x + 3 si x < 0 ⎧ x →0 − f ' (x ) = ⎨ ⇒⎨ ⇒ f ( x ) = β cos β .0 − β sen β .0 + ⎩β cos β x − β sen βx si x ≥ 0 ⎪⎩ f (0) = xlim →0 lim f ' ( x ) = 3 ⎧⎪ x →0 − f ' ( x ) = β = lim− f ' ( x ) = 3 ⇒ ⎨ f ' (0) = lim f ' ( x ) = β cos 0 − β sen 0 = β .1 − β .0 = β ⇒ f ' (0 ) = xlim →0 + x →0 ⎪⎩ x →0 + ⎧ x 2 + 3x + 1 si x < 0 β = 3 ⇒ Derivable ⇒ f (x ) = ⎨ ⎩sen 3x + cos 3 x si x ≥ 0 b) π

π

π

3

3

3

π

0

0

0

30

π

1 1 1 π ∫ (sen 3x + cos 3x ) dx = ∫ sen 3x dx + ∫ cos 3x dx = ∫ sen t dt + ∫ cos t dt = − [cos t ]0 3x = t ⇒ dx =

30

3

+

1 [sen t ]π0 3

π ⎧ dt ⎪x = ⇒ t = π ⇒⎨ 3 3 ⎪⎩ x = 0 ⇒ t = 0

π 3

∫ (sen 3x + cos 3x ) dx = − 3 ⋅ (cos π − cos 0) + 3 ⋅ (sen π − sen 0) = − 3 ⋅ [(− 1) − 1] + 3 ⋅ (0 − 0) = 3 1

1

1

1

2

0

7



f (x ) =

B.4,- Sea la función


1 4 − x +1 x −1

a) Determinar su dominio, es decir, el conjunto de puntos donde está definida

b) Estudiar sus máximos y mínimos (si los tiene) en el intervalo (-1 , 1), precisando si son absolutos o relativos respecto al intervalo indicado

a) ⎧ x + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ − {− 1 , 1} ⎨ ⎩ x − 1 = 0 ⇒ x = +1 b) f (x ) =

x − 1 − 4( x + 1) x − 1 − 4 x − 4 3x + 5 − 3x − 5 = = =− 2 (x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1) x − 1

f ' (x ) = −

(

)

3 x 2 − 1 − 2 x(3x + 5)

f ' (x ) = 0 ⇒

(x

2

)

2

−1

3 x 2 + 10 x + 3

(x

2

)

−1

2

=−

3 x 2 − 3 − 6 x 2 − 10 x

(x

2

)

−1

2

=−

− 3 x 2 − 10 x − 3

(x

2

)

−1

2

=

3 x 2 + 10 x + 3

(x

2

= 0 ⇒ 3 x 2 + 10 x + 3 = 0 ⇒ Δ = 100 − 36 = 64 > 0 ⇒ x =

)

−1

2

⇒

− 10 ± 64 ⇒ 6

2 1 − 10 + 8 ⎧ x= =− =− ⎪ 6 6 3 ⇒ ⎨ − 10 − 8 ⎪x = = −3 ⇒ −3 ∉ (− 1 , 1) 6 ⎩

2 ( 6 x + 10 )(x 2 − 1) − 2(x 2 − 1).2 x.(3 x 2 + 10 x + 3) (6 x + 10 )(x 2 − 1) − 4 x.(3 x 2 + 10 x + 3) f ' ' (x ) = =

(x

f ' ' (x ) =

2

)

−1

(x

4

6 x 3 − 6 x + 10 x 2 − 10 − 12 x 3 − 40 x 2 − 12 x

(x

3

2

)

−1

3

=

2

− 6 x 3 − 30 x 2 − 18 x − 10

(x

2

)

−1

3

)

−1

3

= (− 2 ) ⋅

3 x 3 + 15 x 2 + 9 x + 5

(x

2

)

−1

3

2

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 5 3 15 9 3⎜ − ⎟ + 15⎜ − ⎟ + 9⎜ − ⎟ + 5 − + +2 − + − +5 1 3⎠ ⎛ ⎞ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ f ' ' ⎜ − ⎟ = (− 2 ) ⋅ ⎝ = (− 2) ⋅ 9 3 3 = = (− 2 ) ⋅ 27 9 33 3 2 ⎝ 3⎠ ⎛ 8⎞ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎢⎜ − ⎟ − 1⎥ 9 ⎝ 9⎠ ⎝ ⎠ 3 ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ 32 − 1 + 15 + 18 81 1 4 1 4 ⎛ 1⎞ 9 − = − = (− 2) ⋅ 9 = > 0 ⇒ Mínimo ⇒ f ⎜ − ⎟ = 512 512 8 ⎝ 3⎠ − 1 +1 − 1 −1 2 − 4 − − 729 729 3 3 3 3 1 4 ⎧ =∞+2=∞ f (x ) = + − ⎪ xlim 9 ⎛ 1⎞ 3 ⎛ 1 9⎞ → −1+ − − 1 1 0 f ⎜ − ⎟ = + 3 = ⇒ En ⎜ − , ⎟ hay un Mínimo absoluto porque⎨ 1 4 2 ⎝ 3 2⎠ ⎝ 3⎠ 2 ⎪ lim− f ( x ) = − − = 2 − (− ∞ ) = ∞ 1+1 0 ⎩ x →1 ⎛ 1⎞ f ' ' ⎜ − ⎟ = (− 2) ⋅ ⎝ 3⎠

8




OPCIÓN A 1.A.- Calcular los siguientes límites (donde “ln” significa Logaritmo Neperiano).

− sen (3 x ) ⋅3 cos (3 x ) ln [cos (3 x )] ln [cos (3.0 )] ln [cos (0 )] ln [1] 0 Utilizando L ' Hopital = = = = = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim lim x →0 ln [cos (2 x )] x → 0 − sen (2 x ) ln [cos (2.0 )] ln [cos (0 )] ln [1] 0 ⋅2 cos (2 x )

a)

3.tg (3 x ) 3.tg (3.0 ) 3.tg (0 ) 0 L ' Hopital = = = = ⎯Utilizando ⎯⎯⎯ ⎯⎯→ = lim x →0 2.tg (2 x ) x →0 2.tg (2.0 ) 2.tg (0 ) 0

= lim

3⋅

3

9

2

2

cos (3 x ) cos (3 x ) = lim = x →0 4 2 2⋅ cos 2 (2 x ) cos 2 (2 x )

9 9 2 cos (3.0 ) cos (0 ) 12 9 = = = = 4 4 4 4 cos 2 (2.0 ) cos 2 (0 ) 12 9

2

4+ x − 4− x 0 = = lim 4x 0 x →0

b) lim

(

4+ x − 4− x

(

)(

4+ x + 4− x

)

) = lim

4 + x − (4 − x )

(

4x 4 + x + 4 − x 4x 4 + x + 4 − x 2 4+ x−4+ x 2x 0 = lim = lim = = lim = x →0 x →0 0 x →0 4 4 + x + 4 − x 4x 4 + x + 4 − x 4x 4 + x + 4 − x 2 2 2 1 = = = = 4(2 + 2 ) 16 8 4 4+0 + 4−0 x →0

(

(

)

(

)

x →0

(

)

)

1

)=



2.A.- Dada la función: f ( x ) =


x5 − x8 1− x6

a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar, razonadamente, si alguna de las discontinuidades es evitable. b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical

a) ⎧ 1 − x3 = 0 ⇒ x3 = 1 ⇒ x = 3 1 = 1 1 − x6 = 0 ⇒ 1 − x3 1 + x3 = 0 ⇒ ⎨ 3 3 3 ⎩1 + x = 0 ⇒ x = −1 ⇒ x = 1 − = −1

(

)(

)

(

)

⎧ x5 − x8 0 x5 1 − x3 x5 15 1 15 − 18 0 ( ) = = ⇒ ⇒ = = = = = f Evitable lim 1 lim lim ⎪ 6 6 3 3 3 3 x →1 1 − x x →1 1 + x 0 x →1 1 − x 1 + x 2 0 1+1 1−1 ⎪ ⇒⎨ 5 8 (− 1) − (− 1) = − 1 − 1 = − 2 ⇒ Inevitable ⎪ f (− 1) = 6 ⎪⎩ 1−1 0 1 − (− 1) ⎧ x5 − x8 si x ≠ 1 ⎪⎪ 6 f (x ) = ⎨ 1 − x ⎪ 1 si x = 1 ⎪⎩ 2

(

)(

)

b) 5 8 ⎧ −1−1 − 2 x 5 − x 8 (− 1) − (− 1) = = = − =∞ lim ⎪ x →−1− 6 6 1− x 1 − 1+ 0 ⎪ 1 − − 1− En x = −1 ⇒ ⎨ 5 8 5 8 ⎪ lim x − x = (− 1) − (− 1) = − 1 − 1 = − 2 = −∞ 6 ⎪ x →−1+ 1 − x 6 1 − 1− 0+ 1 − − 1+ ⎩

( )

( )

2




⎧(m + 2 )x + (m − 1) y − z = 3 ⎪ 3.A.- Se considera el sistema de ecuaciones: ⎨ Se pide: mx − y + z = 2 ⎪ x + my − z = 1 ⎩ a) Resolverlo para m = 1 b) Discutirlo para los distintos valores de m

a) ⎛ 3 0 − 1 3 ⎞ ⎛ 3 0 − 1 3 ⎞ ⎛ 3 0 − 1 3 ⎞ ⎛ 3 0 − 1 3⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜1 − 1 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 3 − 3 3 6 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 3 4 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 3 4 3⎟ ⇒ 2z = 3 ⇒ z = ⇒ 2 ⎜1 1 − 1 1 ⎟ ⎜3 3 − 3 3⎟ ⎜ 0 3 − 2 0 ⎟ ⎜ 0 0 2 3 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 3 3 3 9 − 3 y + 4 ⋅ = 3 ⇒ −3 y = −3 ⇒ y = 1 ⇒ 3 x − = 3 ⇒ 3 x = + 3 ⇒ 3 x = ⇒ x = 2 2 2 2 2 3⎞ ⎛3 Solución⎜ , 1 , ⎟ 2⎠ ⎝2 b) m + 2 m −1 −1 1 = (m + 2 ) + (m − 1) − m 2 − 1 − m(m + 2 ) + m(m − 1) A= m −1 1 m −1 A = m + 2 + m − 1 − m 2 − 1 − m 2 − 2m + m 2 − m = −m 2 − m ⇒ Si A = 0 ⇒ −m 2 − m − 4 = 0 ⇒ m=0 ⎧ − m(m + 1) = 0 ⇒ ⎨ ⎩m + 1 = 0 ⇒ m = −1 ∀m ∈ ℜ − {− 1 , 0} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sist. Compatible Deter min ado Cuando m = −1 ⎛ 1 − 2 −1 3⎞ ⎛1 − 2 −1 3 ⎞ ⎛1 − 2 −1 3 ⎞ ⎛1 − 2 −1 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − 1 − 1 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 3 0 5 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 3 0 5 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 3 0 5 ⎟ ⇒ Sist. Incompatible ⎜ 1 −1 −1 1⎟ ⎜0 1 0 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 3 0 − 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 − 1⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Cuando m = 0 ⎛ 2 −1 −1 3⎞ ⎛ 2 −1 −1 3⎞ ⎛ 2 −1 −1 3 ⎞ ⎛ 2 −1 −1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 1 2 ⎟ ⇒ Sist. Incompatible ⎜ 1 0 − 1 1 ⎟ ⎜ 2 0 − 2 2 ⎟ ⎜ 0 1 − 1 − 1⎟ ⎜ 0 0 0 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

3



4.A.- Dadas las rectas en el espacio

r≡

x − 2 y −1 z = = 3 −2 1


y s≡

x +1 y + 2 z −1 = = 2 −1 2

a) Hallar la distancia entre las dos rectas b) Determinar las ecuaciones de la perpendicular común a r y s a) Hay que estudiar si se cruzan, para ello veremos si hay paralelismo y de no existir si hay algún punto común entre ellas

⎧ ⎧ x = 2 + 3λ ⎧⎪v r = (3 , − 2 , 1) ⎪ ⎪ ⎪ r ≡ ⎨ y = 1 − 2λ ⇒ ⎨⎪ ⎧2 + 3λ = −1 + 2 μ ⎪ z=λ ⎩ R(2 , 1 , 0) ⎪⎪ 3 −2 ⎪ ⎩ ⇒ ≠ ⇒ No paralelas ⇒ ⎨ 1 − 2λ = −2 − μ ⇒ ⎨ ⎧ x = −1 + 2 μ 2 −1 ⎪ ⎪ λ = 1 + 2μ ⎧⎪v s = (2 , − 1 , 2 ) ⎪ ⎩ ⎪s ≡ ⎨ y = −2 − μ ⇒ ⎨ ⎪⎩ S (− 1 , − 2 , 1) ⎪ ⎪ z = 1 + 2μ ⎪⎩ ⎩ ⎧ 3λ − 2μ = −3 ⎧ 3λ − 2 μ = −3 3 ⎪ ⇒ 2λ = −4 ⇒ λ = −2 ⇒ −2 − 2μ = 1 ⇒ −2μ = 3 ⇒ μ = − ⎨ λ − 2μ = 1 ⇒ ⎨ 2 ⎪− 2λ + μ = −3 ⎩− λ + 2μ = −1 ⎩ 3 ⎛ 3⎞ Pr obemos en la tercera ⇒ −2λ + μ = −3 ⇒ −2.(− 2 ) + ⎜ − ⎟ = −3 ⇒ 4 − ≠ −3 ⇒ No se cor tan 2 ⎝ 2⎠ Se cruzan Una vez conocido que se cruzan se podrá hacer de dos maneras una es siguiendo lo indicado en el apartado b) hallando la distancias entre los puntos de corte y, una segunda, como lo haremos, trazaremos un plano p paralelo a la recta s que contenga a la recta r, después hallaremos la distancia de un punto cualquiera S de la recta s al plano hallado que es la que existe entre las rectas.

⎧ v r = (3 , − 2 , 1) x − 2 y −1 z ⎪ v s = (2 , − 1 , 2 ) ⇒π ≡ 3 −2 1 =0⇒ ⎨ ⎪ RG = ( x , y , z ) − (2 , 1 , 0 ) = ( x − 2 , y − 1 , z ) −1 2 2 ⎩ − 4( x − 2 ) + 2( y − 1) − 3 z + 4 z + ( x − 2) − 6( y − 1) = 0 ⇒ −3( x − 2) − 4( y − 1) + z = 0 ⇒

π ≡ 3x + 4 y − z − 10 = 0 ⇒ d rs = d Sπ = d rs =

3.(− 1) + 4.(− 2 ) − 1 − 10 3 2 + 4 2 + (− 1)

2

=

− 3 − 8 − 1 − 10 26

=

− 22 26

22 26 11 26 = u 26 13

4

=

22 26




Continuación del problema 4.A.b) El vector director de la recta p pedida se calcula como la diferencia entre los puntos genéricos de r y s. Este vector es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas por lo que ambos productos escalares, con cada uno de ellos, tienen valor nulo.

⎧ ⎧ x = 2 + 3λ ⎪ ⎪ ⎪ r ≡ ⎨ y = 1 − 2λ ⎧ v r = (3 , − 2 , 1) ⎪ z=λ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⇒⎨ ⇒ v s = (2 , − 1 , 2 ) ⎨ μ = − + 1 2 x ⎧ ⎪ ⎪ ⎪v = [2 + 3λ − (− 1 + 2μ ) , 1 − 2λ − (− 2 − μ ) , λ − (1 + 2μ )] ⎩ t ⎪s ≡ ⎨ y = −2 − μ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ z = 1 + 2μ ⎧ v r = (3 , − 2 , 1) ⎧⎪v ⊥ vt ⇒ v r .vt = 0 ⎪ ⇒ ⇒⎨ r v s = (2 , − 1 , 2 ) ⎨ ⎪v = (3 + 3λ − 2μ , 3 − 2λ + μ ,−1 + λ − 2μ ) ⎪⎩v s ⊥ vt ⇒ v s .vt = 0 ⎩ t ⎧ (3 , − 2 , 1) ⋅ (3 + 3λ − 2μ , 3 − 2λ + μ ,−1 + λ − 2μ ) = 0 ⇒ 9 + 9λ − 6 μ − 6 + 4λ − 2 μ − 1 + λ − 2 μ = 0 ⇒ ⎨ ⎩(2 , − 1 , 2 ) ⋅ (3 + 3λ − 2μ , 3 − 2λ + μ ,−1 + λ − 2μ ) = 0 ⇒ 6 + 6λ − 4μ − 3 + 2λ − μ − 2 + 2λ − 4 μ = 0 ⎧ 9 + 63λ − 45μ = 0 ⎧2 + 14λ − 10μ = 0 ⎧ 1 + 7λ − 5μ = 0 4 ⇒ 4 + 13λ = 0 ⇒ λ = − ⇒ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ 13 ⎩1 + 10λ − 9μ = 0 ⎩− 5 − 50λ + 45μ = 0 ⎩ 1 + 10λ − 9 μ = 0 15 3 28 ⎛ 4⎞ ⇒ 5μ = − ⇒ μ = − 1 + 7 ⋅ ⎜ − ⎟ − 5μ = 0 ⇒ 5 μ = 1 − 13 13 13 ⎝ 13 ⎠ ⎡ ⎛ 4 ⎞⎤ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 3⎞ vt = ⎢3 + 3 ⋅ ⎜ − ⎟ − 2⎜ − ⎟ , 3 − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ , − 1 + ⎜ − ⎟ − 2 ⋅ ⎜ − ⎟⎥ ⎝ 13 ⎠⎦ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎣ 4 8 ⎞ ⎛ 39 − 12 + 6 39 + 8 − 3 − 13 − 4 + 8 ⎞ 8 3 ⎛ 12 6 , , vt = ⎜ 3 − + , 3 + − ,−1 − + ⎟ = ⎜ ⎟ 13 13 13 13 ⎠ ⎝ 13 13 13 ⎠ ⎝ 13 13 ⎧ ⎛ 33 44 9 ⎞ ⎪vt = ⎜ 13 , 13 ,− 13 ⎟ ≡ (33 , 44 ,−9) ⎠ ⎝ 14 ⎧ ⎪ ⎪ x = 13 + 33α ⎪ ⎧ x = 2 + 3 ⋅ ⎛ − 4 ⎞ = 2 − 12 = 14 ⎟ ⎜ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ 21 13 13 ⎝ 13 ⎠ ⎪ ⇒ t ≡ ⎨y = + 44α ⎨ 13 ⎪ T ⎪⎨ y = 1 − 2 ⋅ ⎛⎜ − 4 ⎞⎟ = 1 + 8 = 21 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x = − 4 − 9α 13 13 ⎝ 13 ⎠ ⎪⎩ ⎪ ⎪ 13 4 = − z ⎪ ⎪ 13 ⎪⎩ ⎩

5




OPCIÓN B 1.B.- Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la identidad:

a2 ab b 2 3 2a a + b 2b = (a − b ) 1

1

0 ab − a 2 b 2 − a 2 0 a(b − a ) 0 a + b − 2a 2b − 2a = 0 b − a 1 1 1 1 1 = (a − b ) . 2

1

(b − a )(b + a ) 0 2 2(b − a ) = (b − a ) ⋅ 0 1

a b+a a b+a 2 1 2 = (b − a ) .1 = 1 2 1 1 1

a b+a 2 2 3 = (a − b ) .[2a − (b + a )] = (a − b ) ⋅ (a − b ) = (a − b ) 1 2

6




2.B Encontrar un número real l≠ 0, y todas las matrices B de dimensión 2 x 2 (distintas de la matriz nula), tales que

⎛3 0⎞ ⎛λ 0⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = B.⎜⎜ B.⎜⎜ ⎝9 3⎠ ⎝ 3 1⎠

⎧ λa + 3b = 3a + 9b ⎪ b = 3b ⎛ a b ⎞ ⎛ λ 0 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 3 0 ⎞ ⎛ λa + 3b b ⎞ ⎛ 3a + 9b 3b ⎞ ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎨ ⇒ ⎝ c d ⎠ ⎝ 3 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 9 3 ⎠ ⎝ λc + 3d d ⎠ ⎝ 3c + 9d 3d ⎠ ⎪λc + 3d = 3c + 9d ⎪⎩ d = 3d ⎧ 2b = 0 ⇒ b = 0 ⎧λa + 3.0 = 3a + 9.0 ⇒ λ = 3 ⎛ a 0⎞ ⎟⎟ ⇒ λ = 3 ⇒⎨ ⇒ B = ⎜⎜ ⎨ ⎩2d = 0 ⇒ d = 0 ⎩ λc + 3.0 = 3c + 9.0 ⇒ λ = 3 ⎝ c 0⎠

7




3.B.- a) Dibujar la gráfica de la función

g (x ) = e x − x

b) Calcular el dominio de definición de

f (x ) =

x → ∞ y x → -∞

1 y su comportamiento para e −x x

c) Representar (si existen) los máximos y mínimos absolutos de f(x) en su dominio de definición a)

Y

8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5

X

1 0,5 0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

b)

f (x ) =

1 ⇒ e x − x = 0 ⇒ e x = x ⇒ ln e x = ln x ⇒ x ln e = ln x ⇒ x = ln x ⇒ ∀x ∉ ℜ ⇒ e −x ⎛ 1 ⎞ Dom⎜ x ⎟ = ∀x ∈ ℜ ⎝e − x⎠ ex − x ex + x ex − x ex + x e 2x − x 2 2e 2 x − 2 x x lim e − x = ∞ − ∞ = lim = lim = lim x = lim x →∞ x →∞ e + x x →∞ x →∞ x →∞ ex + x ex + x ex +1 4e 2 x − 2 8e 2 x 1 1 1 = lim = lim = lim 8e x = ∞ ⇒ lim x = = =0 x x x x →∞ x →∞ e − x x →∞ e x →∞ e lim e − x ∞

(

x

)

(

)(

)

(

)(

)

x →∞

(

)

ex ex 1 1 1 ∞ Aplicando L ' Hopital = lim = lim = lim = = ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → = lim = x → −∞ e x − x x → ∞ e − x − (− x ) x →∞ 1 x → ∞ 1 + xe x x → ∞ e x + xe x ∞ +x ex ex 1 1 = lim x = lim = =0 x →∞ 1 + x x → ∞ e (1 + x ) ∞ lim

8




Continuación del Problema 3B.-

c) f ' (x ) = −

ex −1

(e

x

−x

(

)

2

⇒ f ' ( x ) = 0 ⇒ e x − 1 = 0 ⇒ e x = 1 ⇒ ln e x = ln 1 ⇒ x ln e = 0 ⇒ x = 0

)

(

2

)(

)(

) = − e (e

f ' ' (x ) = −

e x e x − x − 2. e x − x e x − 1 e x − 1

f ' ' (0) = −

e0

(e (e − 0) − 2.(e (e − 0) 0

3

0

En x = 0 ⇒ f (0 ) =

x 0

x

) − 1) 1 ⋅ 1 − 2.(1 − 1) =− −x

4

2

(1 − 0)

3

2

x

) ( (e − x )

)

− x − 2. e x − 1 3

x

2

⇒

1 = − = −1 < 0 ⇒ Máximo 1

1 1 = = 1 ⇒ (0 , 1) ⇒ Máximo e −0 1 0

1,5

Y

1

0,5

X 0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9



4.B.- Dado el plano p ≡ x + 3y – z = 1 y la recta

r≡


x + 2 y −1 z = , se pide: = 6 2 1

a) Hallar la ecuación general del plano p’ que contiene a r y es perpendicular a p. b) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los plano p y p’ a) Son vectores generadores del plano p’ el del plano p, el de la recta s y el punto S de la recta

S (− 2 , 1 , 0 )

⎧ vπ = (1 , 3 , − 1) x + 2 y −1 z ⎪ ⇒π ≡ 1 −1 = 0 ⇒ v r = (6 , 2 , 1) 3 ⎨ ⎪SG = (x , y , z ) − (− 2 , 1 , 0 ) = (x + 2 , y − 1 , z ) 6 2 1 ⎩ 3(x + 2 ) − 6( y − 1) + 2 z − 18 z + 2(x + 2 ) − ( y − 1) = 0 ⇒ 5(x + 2 ) − 7( y − 1) − 16 z = 0 ⇒ π ≡ 5 x − 7 y − 16 z + 17 = 0 b) x + 3y − z = 1 ⎧ ⎧16 x + 48 y − 16 z − 16 = 0 41 1 ⇒⎨ ⇒ 21x + 41 y + 1 = 0 ⇒ x = − y − ⇒ s≡⎨ 21 21 ⎩5 x − 7 y − 16 z + 17 = 0 ⎩ 5 x − 7 y − 16 z + 17 = 0 22 22 41 1 41 1 ⇒ y − + 3y − z = 1 ⇒ z = − y − + 3y −1 = y− 21 21 21 21 21 21 1 ⎧ ⎪ x = − 21 − 41λ 22 ⎞ ⎪ ⎛ 41 , 1 , ⎟ ≡ (− 41 , 21 , 22 ) ⇒ s ≡ ⎨ y = 21λ vs = ⎜ − 21 ⎠ ⎝ 21 ⎪ 22 ⎪ z = 21 + 22λ ⎩ −

10

MADRID / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Instrucciones: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una y sólo una de ellas, y resolver los cuatro ejercicios de que consta. No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica. Puntuación: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. Tiempo: 90 minutos. OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos Calcular los siguientes límites (donde ln significa Logaritmo Neperiano). a) (1 punto) lím x→0

ln(cos( 3 x)) ln(cos( 2 x))

b) (1 punto) lím

x →0

4+ x − 4−x 4x

Ejercicio 2. Calificación máxima: 2 puntos Dada la función: x5 − x8 f (x ) = 1 − x6 a) (1 punto) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable. b) (1 puntos) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical. Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos Se considera el sistema de ecuaciones: ( m + 2) x + ( m − 1) y − z = 3  mx − y + z = 2   x + my − z = 1  Se pide: a) (1 puntos) Resolverlo para m = 1. b) (2 puntos) Discutirlo para los distintos valores de m. Ejercicio 4. Calificación máxima: 3 puntos Dadas las rectas en el espacio: x − 2 y −1 z x +1 y + 2 z −1 r≡ = = s≡ = = 3 −2 1 2 −1 2 a) (1,5 puntos) Hallar la distancia entre las dos rectas. b) (1,5 puntos) Determinar las ecuaciones de la perpendicular común a r y s.



OPCIÓN B Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la identidad: a

2

ab

b

2

2a a + b 2b = ( a − b) 1 1 1

3

Ejercicio 2. Calificación máxima: 2 puntos Encontrar un número real λ ≠ 0, y todas las matrices B de dimensión 2 × 2 (distintas e la matriz nula), tales que  λ 0 3 0 B·  = B·   3 1 9 3 Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos a) (1 punto) Dibujar la gráfica de la función g ( x) = e x − x . b) (1 punto) Calcular el domino de definición de f ( x ) =

1 y su comportamiento e −x x

cuando x → ∞ y x → −∞. c) (1 punto) Determinar (si existen) los máximos y mínimos absolutos de f (x ) en su dominio de definición. Ejercicio 4. Calificación máxima: 3 puntos Dado el plano π ≡ x + 3y − z = 1 y la recta x+ 2 y−1 z r≡ = = 6 2 1 se pide: a) (1,5 puntos) Hallar la ecuación general del plano π ´ que contiene a r y es perpendicular a π . b) (1,5 puntos) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos π , π ´. Soluciones de la Opción A Ejercicio 1. En los dos casos utilizamos L´Hôpital



− 3sen3 x 3 tan 3x  0  ln(cos( 3 x))  0  a) lím =   = (L´Hôpital) = lím cos 3 x = lím =  = x →0 − 2 sen 2 x x→ 0 2 tan 2 x x→0 ln(cos( 2 x)) 0  0  cos 2 x 9(1 + tan 2 3 x) 9 = (L´Hôpital) = lím = x →0 4(1 + tan 2 2 x) 4 1 1 1 1 + + 4 + x − 4 − x 0  2 4 + x 2 4 − x 4 4=1 b) lím = (L´Hôpital) = lím =   x →0 x →0 4x 4 4 8 0  NOTA: Este segundo límite puede resolverse también multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada del numerador. Ejercicio 2. a) La función es discontinua cuando 1 − x 6 = 0 ⇒ x = −1 o x = 1. La discontinuidad puede evitarse si existe límite. En x = −1 la discontinuidad no puede evitarse pues la función no tiene límite en ese punto: x5 − x8  − 2  lím =   =∞ x →−1 1 − x 6  0  En x = 1, como

x5 − x8  0 lím =  x →1 1 − x 6  0

( L´H ) 5x4 − 8x 7 5 − 8 1 = lím = = x →1 − 6x 5 −6 2

la discontinuidad puede evitarse, definiendo f (1) =

1 2

x5 − x 8 = ∞ . Además, puede x →−1 1 − x 6 observarse que si x → −1−1, f(x) → + ∞; y si x → −1+1, f(x) → − ∞.

b) La recta x = −1 es asíntota vertical de la función pues lím

Ejercicio 3. a) Si m = 1 el sistema queda: − z =3 3 x   x − y + z = 2 → (por Gauss) → E 2 + E1  x + y − z =1 E3 − E1 


− z =3 3 x   4x − y = 5 − 2 x + y = − 2 


− z =3 3 x  3 3 →  4 x − y = 5 ⇒ x = , y = 1, z = 2 2 E 3 + E 2  2 x = 3 b) Calculamos los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.

m + 2 m −1 −1 A=

m 1

−1 m

1 = −m(m + 1) ⇒ r(A) = 3 si m ≠ 0, −1; r(A) = 2 si m = 0 o −1. −1

 2 −1 −1 3    • Para m = 0, la matriz ampliada es M =  0 − 1 1 2  , cuyo rango es 3, pues  1 0 −1 1    −1 −1 3 − 1 1 2 = −1 ≠ 0 0 −1 1  1 − 2 −1 3    • Para m = −1, la matriz ampliada es M =  − 1 − 1 1 2  , que también tiene rango 3,  1 −1 −1 1    − 2 −1 3 pues − 1 1 2 = 1 ≠ 0 −1 −1 1 En consecuencia:

− Si m ≠ 0, −1 el sistema es compatible determinado. − Si m = 0 o m = −1, el sistema es incompatible.

Ejercicio 4.

r r →   vr , v s , PQ   r r a) La distancia entre ellas es: d ( r , s ) = , siendo v r y v s los vectores de r r vr × vs dirección respectivos, y PQ un vector que va de r a s: P ∈ r y Q ∈ s.

r r En este caso: v r = (3, −2, 1); v s = (2, −1, 2); y PQ = (−1, −2, 1) − (2, 1, 0) = (−3, −3, 1). 3 −2 1 r r →  Con esto: v r , v s , PQ = 2 − 1 2 = 22 ;   − 3 −3 1



r u1

r r v r × vs = 3 2

r u2 −2 −1

Luego: d ( r , s ) =

r u3

r r 1 = ( −3, − 4 , 1) ⇒ v r × v s = ( −3) 2 + ( −4) 2 + 12 = 26 2

22 26

b) Puntos genéricos de r y s son, respectivamente, R = (2 + 3t, 1 − 2t, t),

S = (1 + 2p, −2 − p, 1 + 2p)

De donde RS = (–3 + 2p – 3t, –6 − p + 2t, 1 + 2p – t). Este vector debe ser perpendicular r r a los de dirección de r y s, v r = (3, −2, 1) y v s = (2, −1, 2);

r r Multiplicando escalarmente: RS · v r = 0 y RS · v s = 0, se tiene: − 2 + 10 p − 14t = 0 −4 −3 y p=  ⇒ t= − 1 + 9 p − 10t = 0  13 13 Con esto:  14 21 − 4   − 19 − 23 7  R= , , , ,  y RS = , S=   13 13 13   13 13 13 

 x = 14 / 13 + 3λ  La recta perpendicular común es:  y = 21 / 13 + 4λ  z = −4 / 13 − λ 


 − 33 − 44 11  , ,  ≡ (3, 4, −1)   13 13 13 




OPCIÓN A A.1.- Luís, Juan y Oscar son tres amigos. Luís le dice a Juan: Si yo te doy la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno de ellos sabiendo que entre los tres reúnen 60 euros Evidentemente Oscar al tener, al final, la misma cantidad que los otros dos esta es de 20 euros, por ello el problema se reduce a lo que tiene, inicialmente, Luís que llamaremos L y lo que tiene Juan que llamaremos J, al final los dos tendrán, conjuntamente, 40 euros

⎧⎪ L + J = 40 ⎧ L + J = 40 ⇒ 2 J = 60 − 40 = 20 ⇒ J = 10 € ⇒ L + 10 = 40 ⇒ L = 30 € ⎨ J + L = 20 ⇒ ⎨ L + 3 J = 60 ⎩ ⎪⎩ 3

1




A.2.- Sean los puntos A(3 , 2) y B(5 , 3). Calcular: a) Ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto B y tiene su centro en A b) Ecuación de la tangente a esta circunferencia en B c) Área del triángulo formado por la tangente anterior y los ejes coordenados.

a) R = d AB =

(5 − 3)2 + (3 − 2)2

= 4 + 1 = 5 ⇒ ( x − 3) + ( y − 2) = 2

2

( 5)

2

⇒

x 2 − 6x + 9 + y 2 − 4 y + 4 = 5 ⇒ C ≡ x 2 + y 2 − 6x − 4 y + 8 = 0 b) C ' ≡ 2 x + 2 yy '−6 − 4 y ' = 0 ⇒ 2 x − 6 + (2 y − 4 ) y ' = 0 ⇒ (2 y − 4) y ' = 6 − 2 x ⇒ y ' = m = y' =

6 − 2 x 2.(3 − x ) = 2 y − 4 2( y − 2 )

3−5 = −2 ⇒ y − 3 = −2( x − 5) ⇒ r ≡ 2 x + y − 13 = 0 3−2

c) 13 ⎧⎪ 1 13 169 2 Corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ 2 x + 0 − 13 = 0 ⇒ 2 x = 13 ⇒ x = u ⎨ 2 ⇒ A = ⋅ ⋅ 13 = 2 2 4 ⎪⎩ Corte con OY ⇒ x = 0 ⇒ 2.0 + y − 13 = 0 ⇒ y = 13

2




A.3.- a) Determinar un polinomio de tercer grado que pasa por los puntos (0 , 0) y (1 , - 1) y que los dos son extremos b) Analizar la naturaleza de ambos extremos, es decir, si son máximos o mínimos

a) ⎧ f (0 ) = 0 ⇒ a.0 3 + b.0 2 + c.0 + d = 0 ⇒ d = 0 ⎪ ⎧ f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d f (1) = −1 ⇒ a.13 + b.12 + c.1 + d = −1 ⎪ ⇒ ⇒ Será de la forma ⇒ ⎨ ⎨ 2 2 ⎩ f ' ( x ) = 3ax + bx + c ⎪ f ' (0) = 0 ⇒ 3a.0 + b.0 + c = 0 ⇒ c = 0 ⎪⎩ f ' (1) = 0 ⇒ 3a.12 + b.1 + c = 0 ⎧a + b = −1 1 3 1 3 1 ⇒ 2 a = 1 ⇒ a = ⇒ b = −3 ⋅ = − ⇒ f ( x ) = x 3 − x 2 ⎨ 2 2 2 2 2 ⎩3a + b = 0 b) 3 3 ⎧ ( ) f ' ' 0 = 3 . 0 − = − > 0 ⇒ Máximo en (0 , 0 ) ⎪ 6 3 3 2 2 f ' ' (x ) = x − = 3x + ⇒ ⎨ 3 3 2 2 2 ⎪ f ' ' (1) = 3.1 − = > 0 ⇒ Mínimo en (1 , − 1) 2 2 ⎩

3




A.4.- Sean las parábolas y = x − 4 x + 13 e y = 2 x − 8 x + 16 a) Representar sus gráficas 2

2

b) Calcular los puntos donde se cortan, entre sí, las parábolas c) Hallar la superficie encerrada entre las dos parábolas a) 13

Y 12

11

10

y = x 2 − 4 x + 13

9

8

y = 2 x 2 − 8 x + 16 7

X

6 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

b) 4+2 ⎧ x = =3 ⎪ 4± 4 2 x 2 − 4 x + 13 = 2 x 2 − 8 x + 16 ⇒ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇒ Δ = 16 − 12 = 4 > 0 ⇒ x = ⇒⎨ ⇒ 4−2 2 ⎪x = =1 2 ⎩ ⎧ x = 1 ⇒ f (1) = 12 − 4.1 + 13 = 10 ⎨ 2 ⎩ x = 3 ⇒ f (3) = 3 − 4.3 + 13 = 10 c) 3

(

)

3

(

)

3

(

)

3

3

3

1

1

1

A = ∫ x 2 − 4 x + 13 dx − ∫ 2 x 2 − 8 x + 16 dx = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = − ∫ x 2 dx + 4∫ x dx − 3∫ dx 1

1

[ ]

[ ]

1

(

)

(

)

3 3 1 1 1 26 3 A = − ⋅ x 3 1 + 4 ⋅ ⋅ x 2 1 − 3 ⋅ [x ]1 = − ⋅ 33 − 13 + 2 ⋅ 3 2 − 12 − 3 ⋅ (3 − 1) = − + 2 ⋅ 8 − 3.2 3 2 3 3 26 26 4 A = − + 16 − 6 = − + 10 = u 2 3 3 3

4




OPCIÓN B B.1. ) Busca una matriz cuadrada X (puede haber varias) cuyo primer elemento valga 2 y tal

⎛ − 1 − 1⎞ ⎛ 2 − 2⎞ ⎟⎟ sea la matriz nula ⎟⎟ X + X ⎜⎜ ⎝ 11 − 1⎠ ⎝6 0 ⎠

que ⎜⎜

Nota: El primer elemento de una matriz es el que está en la primera fila y en la primera columna, es decir, el que escribimos en la parte superior izquierda

⎛ 2 − 2 ⎞ ⎛ 2 a ⎞ ⎛ 2 a ⎞ ⎛ − 1 − 1⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 4 − 2b 2a − 2c ⎞ ⎛ − 2 + 11a − 2 − a ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎟⇒ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜⎜ 6a ⎟⎠ ⎜⎝ − b + 11c − b − c ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎝ 6 0 ⎠ ⎝ b c ⎠ ⎝ b c ⎠ ⎝ 11 − 1⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ 12 ⎛ 4 − 2b − 2 + 11a 2a − 2c − 2 − a ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 2 − 2b + 11a a − 2c − 2 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎟⇒ ⎟=⎜ ⎟⇒⎜ ⎟=⎜ ⎜⎜ 6a − b − c ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 12 − b + 11c 6a − b − c ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎝ 12 − b + 11c ⎛ 1 0 − 2 2 ⎞ ⎛1 0 − 2 2 ⎞ ⎛1 0 − 2 2 ⎞ ⎧2 − 2b + 11a = 0 ⎧ a − 2c = 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 11a − 2b = −2 ⎪ a − 2c − 2 = 0 ⎜11 − 2 0 − 2 ⎟ ⎜ 0 − 2 22 − 24 ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟ ⎪ ⎪ ⇒⎨ ⇒⎜ ⎨ ⎟≡⎜ ⎟≡⎜ ⎟≡ ⎪− b + 11c = −12 ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟ ⎪12 − b + 11c = 0 ⎜ 6 − 1 − 1 0 ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟ ⎪⎩ 6a − b − c = 0 ⎪⎩ 6a − b − c = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0 − 2 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟ ≡⎜ ⇒ b − 11c = −12 ⇒ b = 11c − 12 ⇒ a − 2c = 2 ⇒ a = 2 + 2c 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 ⎟ 0 0 ⎝ ⎠

⎫ ⎧⎛ 2 2 + 2λ ⎞ ⎟⎟ , λ ∈ ℜ⎬ X = ⎨⎜⎜ λ ⎠ ⎭ ⎩⎝11λ − 12

5


B.2. Sea el plano


π : x − 2 y + 4 z = 12

a) Calcular la distancia δ entre el plano


y el punto P(2 , - 1 , 1)

π y el punto P

b) Calcular la ecuación de un plano paralelo a la misma distancia δ .

π y distinto del mismo, que también diste de P

c) Calcular el volumen de la figura limitada por el plano

π y los tres planos coordenados

a)

δ=

1.2 − 2.(− 1) + 4.1 − 12 1 + (− 2) + 4 2

2

=

2 + 2 + 4 − 12

2

1 + 4 + 16

=

−4 21

=

4 21 u 21

b) Será de la forma π ' ≡ x − 2 y + 4 z + D = 0 4

=±

1.2 − 2.(− 1) + 4.1 + D

21 21 π ' ≡ x − 2 y + 4z − 4 = 0

4 = 2 + 2 + 4 + D ⇒ 4 = 8 + D ⇒ D = −4 ⎧ ⇒⎨ ⇒ ⎩4 = −(2 + 2 + 4 + D ) ⇒ 4 = −8 − D ⇒ D = −12 (que es el de π )

c) ⎧ ⎧x = λ ⎧ x = 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Corte con OX ≡ ⎨ y = 0 ⇒ λ − 2.0 + 4.0 − 12 = 0 ⇒ λ = 12 ⇒ X ⎨ y = 0 ⇒ X (12 , 0 , 0) ⎪z = 0 ⎪ z=0 ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎧ x = 0 ⎧x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ Corte con OY ≡ ⎨ y = μ ⇒ 0 − 2μ + 4.0 − 12 = 0 ⇒ μ = 6 ⇒ Y ⎨ y = 6 ⇒ Y (0 , 6 , 0) ⎪ ⎪z =0 ⎪z = 0 ⎩ ⎩ ⎪ ⎧x = 0 ⎪ ⎧x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Corte con OZ ≡ ⎨ y = 0 ⇒ 0 − 2.0 + 4.α − 12 = 0 ⇒ α = 3 ⇒ Z ⎨ y = 0 ⇒ X (0 , 0 , 3) ⎪z = α ⎪z = 3 ⎪ ⎩ ⎩ ⎩

c) 12 0 0 1 1 1 12.6.3 V = ⋅ OX ⋅ OY × OZ = ⋅ 0 6 0 = ⋅ (12.6.3) = = 36 u 3 6 6 6 6 0 0 3

6




B.3.- Sea la parábola f ( x ) = ax + bx + c . Determinar sus coeficientes sabiendo que: 2

a) Pasa por el origen de coordenadas tangencialmente a la bisectriz del primer cuadrante y tiene un extremo en x = 0’5 b) Determinar la naturaleza de dicho extremo

a) ⎧ ⎪ f (0 ) = 0 ⇒ a.0 2 + b.0 + c = 0 ⇒ c = 0 ⎪ f ' ( x ) = 2ax + b ⇒ ⎨ y = x ⇒ m = 1 ⇒ f ' (0) = 1 ⇒ 2a.0 + b = 1 ⇒ b = 1 ⎪ ⎛1⎞ 1 ⎪ f ' ⎜ ⎟ = 0 ⇒ 2a ⋅ + b = 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ a + 1 = 0 ⇒ a = −1 2 ⎩ ⎝2⎠

f (x ) = − x 2 + x b)

2 ⎡1 1⎤ ⎛ 1 1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ f ' ' (x ) = −2 ⇒ f ' ' ⎜ ⎟ = −2 ⇒ Máximo relativo en ⎢ , − ⎜ ⎟ + ⎥ ⇒ ⎜ , − + ⎟ ⇒ ⎜ , ⎟ 2 ⎥⎦ ⎝ 2 4 2⎠ ⎝2 4⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎢⎣ 2

7



B.4.- Sea la función f ( x ) = xe


x

a) Calcular la ecuación de su tangente en el origen de coordenadas b) Determinar los extremos de la función f c) Hallar el área encerrada entre la grafica de esta curva, el eje de abcisas y la recta x = 1

a) f ' ( x ) = e x + xe x = e x (1 + x ) ⇒ m = f ' (0 ) = e 0 (1 + 0 ) = 1.1 = 1 ⇒ y − 0 = 1 ⋅ ( x − 0) ⇒ y = x ⇒ x − y = 0 b) ⎧ e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇒ e x (1 + x ) = 0 ⇒ ⎨ ⎩1 + x = 0 ⇒ x = −1 f ' ' (x ) = e x (1 + x ) + e x = e x (2 + x ) ⇒ f ' ' (− 1) = e −1 [2 + (− 1)] =

[

1 1 ⋅ 1 = > 0 ⇒ Mínimo e e

]

1⎞ ⎛ Mínimo realativo en − 1 , (− 1)e −1 ⇒ ⎜ − 1 , − ⎟ e⎠ ⎝ c) ⎧e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⇒ f ( x ) = 0 ⇒ xe = 0 ⇒ ⎨ x=0 ⎩ x

∫ xe

x

dx =xe x − ∫ e x dx =xe x − e x = ( x − 1)e x + K

x = u ⇒ dx = du ⎧⎪ ⎨e x dx = dv ⇒ v = e x dx = e x ⎪⎩ ∫ 1

∫ xe

x

[

= ( x − 1)e x

] = [(1 − 1)e 1

0

1

]

− (0 − 1)e 0 = 0.e − (− 1).1 = 1 u 2

0

8




OPCIÓN A 1.A.- Dados los puntos A(1 , 0 ,1) y B(0 , 2 , 0), y el plano p ≡ x – 2y – z – 7 = 0, determinar el plano que es perpendicular al plano p y pasa por los puntos A y B Los vectores generadores del plano p’ son el del plano p (al ser perpendicular), el que une a los puntos A y B, y el genérico AG formado por el punto general del plano G y uno de los puntos dados, se ha tomado el A

⎧ vπ = (1 , − 2 , − 1) x −1 y z −1 ⎪ 2 −1 = 0 ⇒ ⎨ AB = (0 , 2 , 0 ) − (1 , 0 , 1) = (− 1 , 2 , − 1) ⇒ π ' ≡ − 1 ⎪ AG = (x , y , z ) − (1 , 0 , 1) = ( x − 1 , y , z − 1) 1 − 2 −1 ⎩ − 2( x − 1) − y + 2( z − 1) − 2( z − 1) − 2( x − 1) − y = 0 ⇒ −4(x − 1) − 2 y = 0 ⇒ −4 x − 2 y + 4 = 0 ⇒

π ' ≡ 2x + y − 2 = 0

1


2.A.- Dada las rectas: r ≡


x −1 y +1 z − k = = −1 1 1


⎧x − y + z = 3 , s≡⎨ ⎩ 3x + z = 1

a) Hallar el valor de k para que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano b) Para el valor de k obtenido, en el apartado anterior, determinar la ecuación general del plano que las contiene. a) Los vectores de las dos rectas y el formado por el que une dos puntos de la recta formaran un plano o, también, uno es combinación lineal de los otros dos. El determinante formado por los tres es nulo

⎧ x=λ ⎧ S (0 , − 2 , 1) ⎪ ⇒ s ≡ z = 1 − 3 x ⇒ x − y + 1 − 3x = 3 ⇒ y = −2 − 2 x ⇒ ⎨ y = −2 − 2λ ⇒ ⎨ ⎩v s = (1 , − 2 , − 3) ⎪ z = 1 − 3λ ⎩

⎧ 1 −2 −3 v s = (1 , − 2 , − 3) ⎪ ⇒ −1 1 1 =0⇒ v r = (− 1 , 1 , 1) ⎨ ⎪ RS = (0 , − 2 , 1) − (1 , − 1 , k ) = (− 1 , − 1 , 1 − k ) −1 −1 1− k ⎩ (1 − k ) + 2 − 3 − 3 + 1 − 2(1 − k ) = 0 ⇒ −(1 − k ) − 3 = 0 ⇒ −1 + k − 3 = 0 ⇒ k = 4 b) ⎧ v s = (1 , − 2 , − 3) x −1 y +1 z − 4 ⎪ ⇒π ≡ 1 −2 −3 = 0 ⇒ v r = (− 1 , 1 , 1) ⎨ ⎪SG = ( x , y , z ) − (1 , − 1 , 4)− = ( x − 1 , y + 1 , z − 4) −1 1 1 ⎩ − 2( x − 1) + 3( y + 1) + ( z − 4) − 2( z − 4) + 3( x − 1) − ( y + 1) = 0 ⇒ (x − 1) + 2( y + 1) − (z − 4 ) = 0 ⇒ π ≡ x + 2y − z + 5 = 0 Comprobación Veamos si S (0 , − 2 , 1) pertenece al plano halado ⇒ 0 + 2(− 2 ) − 1 + 5 = 0 ⇒ −4 − 1 + 5 = 0 Pertenece

2




⎧3 x + 4 y + 3 z = 9 ⎪ 3.A.- Se considera el sistema de ecuaciones: ⎨ mx + 2 y + z = 5 Se pide: ⎪ x+ y+z =2 ⎩ a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solución única b) Resolverlo para m = 1

a) 3 4 3 A = m 2 1 = 6 + 4 + 3m − 6 − 3 − 4m = − m + 1 ⇒ Si A = 0 ⇒ − m + 1 = 0 ⇒ m = 1 ⇒ 1 1 1 ∀m ∈ ℜ − {1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incógnitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado b) ⎛3 4 3 9⎞ ⎛3 4 3 9 ⎞ ⎛ 3 4 3 9⎞ ⎛ 3 4 3 9⎞ ⎛ 3 4 3 9⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 1 5 ⎟ ≡ ⎜ 3 6 3 15 ⎟ ≡ ⎜ 0 2 0 6 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 0 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 0 3 ⎟ ⇒ Sist . Compat . In det er. ⎜ 1 1 1 2 ⎟ ⎜ 3 3 3 6 ⎟ ⎜ 0 1 0 3⎟ ⎜ 0 1 0 3⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y = 3 ⇒ 3x + 4.3 + 3z = 9 ⇒ 3x + 3z = 9 − 12 ⇒ 3x + 3z = −3 ⇒ x = −1 − z ⇒ Solución(− 1 − λ , 3 , λ )

3


4.A.- Sea la función

f (x ) =



sen x definida en el intervalo cerrado y acotado [- 2p , 2p]. Se 2 − cos x

pide: a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mínimo absoluto. b) Dibujar la gráfica de la función f en el intervalo dado π 3

c) Calcular

∫ f (x ) dx 0

a) f ' (x ) =

cos x(2 − cos x ) − [− (− senx )]sen x

(2 − cos x )

2

=

2 cos x − cos 2 x − sen 2 x

(2 − cos x )

2

=

(

2 cos x − cos 2 x + sen 2 x

(2 − cos x )

)

2

⎧ 5π π ⎧ ⎪ 1 ⎪− 2π + 3 < x < −2π + 3 2 cos x − 1 ⎪2 cos x − 1 > 0 ⇒ 2 cos x > 1 ⇒ cos x > ⇒ ⎨ 5π π ⇒ f ' (x ) > 0 ⇒ ⎨ f ' (x ) = 2 ⎪ 2 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎩ ⎛ 5π ⎞ 3 3 sen ⎜ − ⎟ 5 1⎞ 3 π π ⎞ ⎛ ⎝ ⎠ = 2 = 2 = 3 ⎛ cos > 1 Máximo en x = −2π + ⇒ f ⎜ − x pasa a cos x < ⎟ ⎟= ⎜ de 3 3 3 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 − cos ⎛ − 5π ⎞ 2 − 1 ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 3 ⎠ ⎛ π⎞ 3 3 sen ⎜ − ⎟ − − 5π 3⎠ ⎛ π⎞ ⎝ 2 = 2 = − 3 ⎛ de cos x < 1 pasa a cos x > 1 ⎞ ⇒ f ⎜− ⎟ = = Mínimo en x = −2π + ⎜ ⎟ 3 3 3 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 − cos ⎛ − π ⎞ 2 − 1 ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 3⎠ ⎛π ⎞ 3 3 sen ⎜ ⎟ π ⎛π ⎞ ⎝ 3 ⎠ = 2 = 2 = 3 ⎛ de cos x > 1 pasa a cos x < 1 ⎞ Máximo en x = ⇒ f ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 3 3 3 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 − cos ⎛ π ⎞ 2 − 1 ⎜ ⎟ 2 2 ⎝3⎠ ⎛ 5π ⎞ 3 3 sen ⎜ ⎟ − − 5π 3 ⎛ 5π ⎞ ⎝ ⎠ = 2 = 2 = − 3 ⎛ de cos x < 1 pasa a cos x > 1 ⎞ ⇒ f⎜ ⎟= Mínimo en x = ⎜ ⎟ 3 3 3 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 − cos ⎛ 5π ⎞ 2 − 1 ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 3 ⎠ sen (0 ) 0 f (− 2π ) = f (2π ) = f (0) = = =0 2 − cos (0 ) 2 − 1 Son máximo y mínimo relativo y absoluto

4




Continuación del Problema 4.A.b) 1

Y

0,5

X 0 -7

-6,5

-6

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

-0,5

-1

c) π

π

3

3

∫ 0

3 2

3

sen x 1 3 3 3 f ( x ) dx = ∫ dx = ∫ dt = [ln t ]12 = ln − ln 1 = ln − 0 = ln u 2 t 2 − cos x 2 2 2 0 1 ⎧ x = 0 ⇒ t = 2 − cos 0 = 2 − 1 = 1 ⎪ 1 3 π π 2 − cos x = t ⇒ sen x dx = dt ⇒ ⎨ x = ⇒ t = 2 − cos = 2 − = ⎪⎩ 3 3 2 2

5

7




OPCIÓN B 1.B.- Un mayorista del sector turístico vende a la agencia A, 10 billetes a destinos nacionales, 10 billetes a destinos extranjeros europeos comunitarios, y 10 billetes a destinos internacionales no comunitarios, cobrando por todo ello 12000 euros. A una segunda agencia B le vende 10 billetes a destinos nacionales y 20 a internacionales no comunitarios, y cobra 13000 euros. A una tercera agencia C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos comunitarios, cobrando 7000 euros. Se pide: a) Hallar el precio de cada tipo de billetes b) Por razones de mercado el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en que porcentaje debe de incrementar el precio de todos los billetes extranjeros europeos comunitarios (suponiendo que mantiene constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios) para mantener constantes sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias. a) Siendo el precio de los billetes : N = Destino nacional E = Destino Europeo

I = Destino Internacional

⎧10 N + 10 E + 10 I = 12000 ⎧ N + E + I = 1200 ⎪ ⎪ ⎨ 10 N + 20 I = 13000 ⇒ ⎨ N + 2 I = 1300 ⇒ 700 + I = 1200 ⇒ I = 500 ⇒ ⎪ N + E = 700 ⎪ 10 N + 10 E = 7000 ⎩ ⎩ N + 2.500 = 1300 ⇒ N = 1300 − 1000 = 300 ⇒ 300 + E = 700 ⇒ E = 400 Solución(300 € , 400 € , 500 € , ) b) 300 −

20 ⋅ 300 = 300.0'8 = 240 € 100

460 23 4600 = 460 € ⇒ = = 1'15 400 20 10 Aumentará los billetes extranjeros europeos comunitarios en un 15%

10.240 + 10.E = 7000 ⇒ 10.E = 7000 − 2400 = 4600 ⇒ E =

6




2.B.- a) Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A + B = AB. Comprobar que entonces se tiene la fórmula: (I – B)-1 = - B-1A

⎛−1 1 ⎞ ⎟⎟ hallar la matriz B para la cual se verifica A + B = AB ⎝ 2 − 1⎠

b) Dada la matriz A = ⎜⎜

a)

(I − B ) ⋅ (I − B )−1 = −(I − B )B −1 A ⇒ I = −(I − B )B −1 A ⇒ BI = −(I − B )BB −1 A ⇒ B = −(I − B )A ⇒ B = − IA + AB ⇒ B = − A + AB ⇒ A + B = AB b)

⎛−1 1 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛−1 1 ⎞ ⎛a b ⎞ ⎛−1+ a 1+ b ⎞ ⎛− a + c − b + d ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎝ 2 − 1⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 2 − 1⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 2 + c − 1 + d ⎠ ⎝ 2a − c 2b − d ⎠ ⎧ − 1 + a = −a + c ⎧ 2a = c + 1 ⎧ ⎧2a − c = 1 ⇒ a = 0 ⇒ − c = 1 ⇒ c = −1 ⎪ 1 + b = −b + d ⎪ 2b = d − 1 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ a −c =1 ⎪ ⎪ ⇒ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ ⎪ 2 + c = 2a − c ⎪2c = 2a − 2 ⎪⎧⎨ 2b − d = −1 ⇒ d = 0 ⇒ 2b = −1 ⇒ b = − 1 ⎪⎩− 1 + d = 2b − d ⎪⎩ 2d = 2b + 1 ⎪⎩⎩2b − 2d = −1 2 1⎞ ⎛ 0 − ⎟ B=⎜ 2⎟ ⎜ − 1 0 ⎝ ⎠ Comprobación ⎧⎛ − 1 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜ 0 − ⎟ = ⎜−1 ⎪⎜ ⎟ + ⎪⎪⎜⎝ 2 − 1⎟⎠ ⎜ − 1 02 ⎟ ⎜ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎨ ⎪ ⎛ − 1 1 ⎞ ⎛⎜ 0 − 1 ⎞⎟ ⎛⎜ − 1 ⎟⎟ ⋅ ⎪ ⎜⎜ 2⎟ = ⎜ ⎜ − 2 1 ⎝ ⎠ ⎝−1 0 ⎠ ⎝ 1 ⎩⎪

1⎞ ⎟ 2⎟ − 1⎠ ⇒ Queda demostrado 1⎞ ⎟ 2⎟ − 1⎠

7




3.B.- Sea la función f ( x ) = 2 x 4 − x a) Estudiar su continuidad y derivabilidad b) Dibujar su gráfica c) Calcular el área del recinto acotado por la gráfica y = f(x), las rectas x = 0, x = 5 y el eje OX

a) ⎧8 x − 2 x 2 si ⎧ 2 x(4 − x ) si x < 4 4 − x > 0 ⇒ − x > −4 ⇒ x < 4 ⇒ f ( x ) = ⎨ ⇒ f (x ) = ⎨ 2 ⎩− 2 x(4 − x ) si x ≥ 4 ⎩2 x − 8 x si Comtinuidad

x<4 x≥4

lim f ( x ) = 2.4(4 − 4 ) = 0 ⎧⎪ x→4− f ( x ) = lim− f ( x ) = 0 ⇒ Es Continua ⎨ f (4 ) = lim f ( x ) = −2.4(4 − 4) = 0 ⇒ f (4 ) = xlim →4+ x→4 ⎪⎩ + x→4 Derivabilidad

( ) ( )

⎧ f 4 − = 2(4 − 4 ) − 2.4 = −8 ⎧ 2(4 − x ) − 2 x si x < 4 f (x ) = ⎨ ⇒⎨ ⇒ f 4 − = −8 ≠ f 4 + = 8 ⇒ + [ ] ( ) x x si x 2 4 2 4 − − − > ⎩ ⎩ f 4 = −[2(4 − 4 ) − 2.4] = 8 No es derivable

( )

( )

b) 40

Y

35 30 25 20 15 10

X

5 0 -3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40

8

7




Continuación Problema 3.B.-

c) 4

(

A = ∫ 8x − 2 x

) dx + ∫ (2 x

)

5

2

0

2

− 8 x dx =

4

(

)

(

)

(

[ ]

8 2 ⋅ x 2

4

0

−

) (

[ ]

2 3 ⋅ x 3

4

0

+

[ ]

2 3 ⋅ x 3

5 4

−

[ ]

8 2 ⋅ x 2

5 4

)

2 3 2 2 2 ⋅ 4 − 0 3 + ⋅ 5 3 − 4 3 − 4. 5 2 − 4 2 = 4.16 − ⋅ 64 + ⋅ (125 − 64 ) − 4.(25 − 16 ) 3 3 3 3 128 122 6 A = 64 − + − 36 = 28 − = 26 u 2 3 3 3 A = 4. 4 2 − 0 2 −

9



4.B.- Dado el plano p ≡ x + y + z = 0 y la recta

r≡


x −1 y z +1 = = , se pide: 1 2 2

a) Calcular el punto Q en el que se cortan el plano p y la recta r. b) Encontrar un plano p’, tal que el punto Q’ en el que se cortan el plano p’ y la recta r esté a distancia 2 del punto Q hallado en el apartado anterior.

a) ⎧ x = 1+ λ ⎧ x = 1+ 0 = 1 ⎪ ⎪ r ≡ ⎨ y = 2λ ⇒ 1 + λ + 2λ − 1 + 2λ = 0 ⇒ 5λ = 0 ⇒ λ = 0 ⇒ Q ⎨ y = 2.0 = 0 ⇒ Q(1 , 0 , − 1) ⎪ z = −1 + 2λ ⎪ z = −1 + 2.0 = −1 ⎩ ⎩ b) Al ser el punto de la recta, utilizaremos su ecuación para, calcular el punto Q’ merced a la distancia. Para hallar el plano p’ utilizaremos el vector QQ’ (que nos indica la mínima distancia) que es el vector del plano ya que es perpendicular a él y el punto Q’ que pertenece a él

⎧ x = 1+ λ ⎪ r ≡ ⎨ y = 2λ ⇒ d QQ ' = 2 = ⎪ z = −1 + 2λ ⎩

(1 + λ − 1)2 + (2λ − 0)2 + (− 1 + 2λ + 1) ⇒ 4 = λ2 + 4λ2 + 4λ2 ⇒

2 ⎧ = λ ⎪ 4 4 3 ⇒ Tenemos dos puntos Q' 9λ2 = 4 ⇒ λ2 = ⇒ λ = ± ⇒⎨ 2 9 9 ⎪λ = − 3 ⎩

Pr imera Solución 2 5 ⎧ 1 x = + = ⎪ 3 3 ⎪⎪ 2 2 4 ⎛5 4 1⎞ ⎛5 4 1⎞ ⎛2 4 ⇒ Q' ⎜ , , ⎟ ⇒ QQ' = ⎜ , , ⎟ − (1 , 0 , − 1) = ⎜ , , λ = ⇒ Q' ⎨ y = 2 ⋅ = 3 3 3 ⎝ 3 3 3⎠ ⎝ 3 3 3⎠ ⎝3 3 ⎪ 2 1 ⎪ z = −1 + 2 ⋅ = ⎪⎩ 3 3 ⎧ QQ' ≡ (1 , 2 , 2) ⎪ 5 4 1 ⎞ ⇒ QQ' ⊥ Q' G ⇒ QQ'.Q' G = 0 ⇒ ⎛5 4 1⎞ ⎛ ⎨ ⎪Q' G ≡ ( x , y , z ) − ⎜⎝ 3 , 3 , 3 ⎟⎠ = ⎜⎝ x − 3 , y − 3 , z − 3 ⎟⎠ ⎩

4⎞ ⎟ 3⎠

(1 , 2 , 2) ⋅ ⎛⎜ x − 5 , y − 4 , z − 1 ⎞⎟ = 0 ⇒ ⎛⎜ x − 5 ⎞⎟ + 2⎛⎜ y − 4 ⎞⎟ + 2⎛⎜ z − 1 ⎞⎟ ⇒ x + 2 y + 2 z − 15 = 0 ⇒

3 3 ⎝ π ' ≡ x + 2 y + 2z − 5 = 0

3⎠

⎝

3⎠

⎝

3⎠

⎝

3⎠

3

10





Segunda Solución ⎧ 2 1 x = 1− = ⎪ 3 3 ⎪ 7⎞ 4 7⎞ 4 4 2 ⎪ ⎛1 ⎛1 ⎛ 2⎞ λ = − ⇒ Q' ⎨ y = 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = − ⇒ Q ' ⎜ , − , − ⎟ ⇒ QQ' = ⎜ , − , − ⎟ − (1 , 0 , − 1) 3⎠ 3 3⎠ 3 3 3 ⎝3 ⎝3 ⎝ 3⎠ ⎪ 7 ⎛ 2⎞ ⎪ ⎪ z = −1 + 2 ⋅ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ = − 3 ⎩ 4⎞ 4 ⎛ 2 QQ' = ⎜ − , − , − ⎟ ≡ (− 1 , − 2 , − 2 ) ≡ (1 , 2 , 2 ) 3⎠ 3 ⎝ 3 ⎧ QQ' ≡ (1 , 2 , 2 ) ⎪ 7 ⎞ ⇒ QQ' ⊥ Q' G ⇒ QQ'.Q ' G = 0 ⇒ 4 7⎞ ⎛ 1 4 ⎛1 ⎨ ⎪Q' G ≡ (x , y , z ) − ⎜⎝ 3 , − 3 , − 3 ⎟⎠ = ⎜⎝ x − 3 , y + 3 , z + 3 ⎟⎠ ⎩

(1 , 2 , 2) ⋅ ⎛⎜ x − 1 , y + 4 , z + 7 ⎞⎟ = 0 ⇒ ⎛⎜ x − 1 ⎞⎟ + 2⎛⎜ y + 4 ⎞⎟ + 2⎛⎜ z + 7 ⎞⎟ ⇒ x + 2 y + 2 z + 21 = 0 ⇒

3 3 ⎝ π ' ≡ x + 2 y + 2z + 7 = 0

3⎠

⎝

3⎠

⎝

3⎠

⎝

3⎠

3

11

MADRID / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Instrucciones: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una y sólo una de ellas, y resolver los cuatro ejercicios de que consta. No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica. Puntuación: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. Tiempo: 90 minutos. OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos Dados los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 2, 0), y el plano π ≡ x − 2y − z − 7 = 0, determinar el plano que es perpendicular al plano π y pasa por los puntos A y B. Ejercicio 2. Calificación máxima: 2 puntos Dadas las rectas: x − y + z = 3 x−1 y +1 z − k r≡ = = , s≡ −1 1 1  3x + z = 1 a) (1 punto) Hallar el valor de k para que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano. b) (1 punto) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, determinar la ecuación general del plano que las contiene. Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos Se considera el sistema de ecuaciones: 3x + 4 y + 3 z = 9   mx + 2 y + z = 5  x + y+ z = 2  Se pide: a) (1,5 puntos) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solución única. b) (1,5 puntos) Resolverlo para m = 1. Ejercicio 4. Calificación máxima: 3 puntos Sea la función: senx f (x ) = 2 − cos x definida en el intervalo cerrado y acotado [−2π , 2π ]. Se pide: a) (1 punto) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mínimo absoluto. b) (1 punto) Dibujar la gráfica de la función f en el intervalo dado.


MADRID / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO π /3

c) (1 punto) Calcular

∫ f (x )dx . 0



OPCIÓN B Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, 10 billetes a destinos nacionales, 10 billetes a destinos extranjeros europeos comunitarios, y 10 billetes a destinos internacionales no comunitarios, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una segunda agencia B le vende 10 billetes a destinos nacionales y 20 a internacionales no comunitarios, y cobra 13.000 euros. A una tercera C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos comunitarios, cobrando 7.000 euros. Se pide: a) (1,5 puntos) Hallar el precio de cada tipo de billete. b) (0,5 puntos) Por razones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en qué porcentaje debe incrementar el precio de todos los billetes extranjeros europeos comunitarios (suponiendo que mantiene constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios) para mantener constantes sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias. Ejercicio 2. Calificación máxima: 2 puntos a) (1 punto) Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A + B = AB. Comprobar que entonces se tiene la fórmula: ( I − B) −1 = − B −1 A (donde I denota la matriz identidad) b) (1 punto) Dada la matriz  −1 1  A =    2 − 1 hallar la matriz B para la cual se verifica A + B = AB Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos Sea la función f ( x ) = 2 x 4 − x a) (1 punto) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) (1 punto) Dibujar su gráfica. c) (1 punto) Calcular el área del recinto acotado por la y = f (x ) , las rectas x = 0, x = 5, y el eje OX. Ejercicio 4. Calificación máxima: 3 puntos

x −1 y z + 1 = = , se pide: 1 2 2 a) (1 punto) Calcular el punto Q en el que se cortan el plano π y la recta r. b) (2 puntos) Encontrar un plano π ´, paralelo a π , tal que el punto Q´ en el que se cortan el plano π ý la recta r esté a distancia 2 del punto Q hallado en el apartado anterior.

Dado el plano π ≡ x + y + z = 0, y la recta r ≡





SOLUCIÓN OPCIÓN A Ejercicio 1 El plano pedido está determinado por uno cualquiera de los puntos A o B y por los vectores r AB = (0, 2, 0) − (1, 0, 1) = (−1, 2, −1) y vπ = (1, −2, −1), este último normal al plano dado. Su ecuación será:

x −1 −1 1 x = 1 − λ + µ  y 2 − 2 = 0 ⇒ 4x + 2y = 4  y = 2λ − 2µ ⇔  z = 1− λ − µ z −1 −1 −1  Ejercicio 2

 x=t x − y + z = 3  Expresamos s en paramétricas: s ≡  ⇒  y = −2 − 2t  3x + z = 1  z = 1 − 3t  a) Hay que estudiar la dependencia lineal de los vectores:

r r v r = (−1, 1, 1), v s = (1, −2, −3) y RS = (0, −2, 1) − (1, −1, k) = (−1, −1, 1 − k) siendo R un punto de r y S un punto de s.

r r Las dos rectas están en el mismo plano cuando v r y v s son paralelos, cosa que no sucede, o r r cuando v r , v s y RS son linealmente dependientes. Esto sucede cuando −1

1

1

1 − 2 − 3 = 0 ⇒ 2(1 − k) + 3 −1 + k + 3 − 3 = 0 ⇒ k = 4 −1 −1 1− k

r r b) El plano pedido viene determinado por el punto R = (1, −1, −3) y los vectores v r y v s Su ecuación será: x −1 − 1

y +1 z−4

1 1

1 − 2 = 0 ⇔ x + 2y – z + 5 = 0. −3



Ejercicio 3 a) Calculamos los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.

3

4 3

A = m 2 1 =1− m 1 1 1

⇒ r(A) = 3 si m ≠ 1; r(A) = 2 si m = 1.

3 4 3 9    • Para m = 1, la matriz ampliada es M =  1 2 1 5  , cuyo rango es 2, pues 1 1 1 2    4 3 9 2 1 5 = −12 + 3 + 9 = 0 ; y el menor formado por las tres primeras columnas, que es el 1 1 2 que corresponde a A, también es nulo. En consecuencia se tiene: • Si m ≠ 1, el sistema es compatible determinado → solución única. • Si m = 1, el sistema es compatible indeterminado → infinitas soluciones.

3x + 4 y + 3 z = 9 3x + 4 y = 9 − 3z  b) Para el caso m = 1, el sistema queda:  x + 2 y + z = 5 ⇔  ,  x + 2y = 5 − z  x + y+ z = 2   x = −1 − t  cuya solución es:  y = 3  z =t  Ejercicio 4 a) La función está definida en el intervalo dado (y para todo número real). Puede observarse que l denominador siempre es ≥ 1. Es periódica de periodo 2π; por tanto, basta con estudiarla en el intervalo [0, 2π] Hacemos su derivada: f ´( x ) =

2 cos x − 1 (2 − cos x ) 2

Se anula en x = π/3 y en x = 5π/3 (también en x = π/3 −2π = −5π/3 y en x = 5π/3 − 2π = −π/3). Derivada segunda: f ´´( x) =

− 2 senx (1 + cos x ) (2 − cos x ) 3



Como f ´´(π / 3) < 0 , en x = π/3 se da un máximo. Por la periodicidad se tendrá otro máximo en x = π/3 −2π = −5π/3. Como f ´´(5π / 3) > 0 , en x = π/3 se da un mínimo. Por la periodicidad se tendrá otro máximo en en x = 5π/3 − 2π = −π/3. b) Para representarla, además de lo anterior puede verse que la función corta al eje OX cuando sen x = 0 → x = 0, π y 2π; y en x = −π y −2π. En esos mismos valores se dan los puntos de inflexión, pues la derivada segunda se anula en ellos. 3 − 3 Los valores máximos y mínimos son: f (π / 3) = , máximo; f (5π / 3) = , mínimo. 3 3 Su gráfica es:

c) La integral es inmediata (para verlo con más claridad podría hacerse el cambio cos x = t) Se tiene:

∫

π /3

0

senx 3 π/3 dx = [ln( 2 − cos x )]0 = ln 2 − cos x 2





OPCIÓN A ⎧ ax + y − z = 1 ⎪ A.1.- Discutir el sistema de ecuaciones ⎨ x + 2 y − az = 2 ⎪− x + y − z = a − 1 ⎩ a) Según los valores del parámetro a b) Entre los valores de a que hacen el sistema compatible elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte al reemplazar a por el valor elegido.

a) a 1 −1 A = 1 2 − a = −2a + a − 1 − 2 + a 2 + 1 = a 2 − a − 2 ⇒ Si A = 0 ⇒ a 2 − a − 2 = 0 ⇒ Δ = 1 + 8 = 9 > 0 ⇒ −1 1 −1 1+ 3 ⎧ ⎪a= 2 =2 1± 9 ⇒ ⇒⎨ a= 1− 3 2 ⎪a = = −1 ⎩ 2 ∀a ∈ ℜ − {− 1 , 2} ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incógnitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado Si a = −1 ⎛ −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ −1 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 0 3 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⎜ − 1 1 − 1 − 2 ⎟ ⎜ 0 0 0 − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Si a = 2 ⎛ 2 1 − 1 1 ⎞ ⎛ 2 1 − 1 1 ⎞ ⎛ 2 1 −1 1⎞ ⎛ 2 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 − 2 2 ⎟ ≡ ⎜ 2 4 − 4 4 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 − 3 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 − 3 3 ⎟ ⇒ Sist. Compat. In det er min ado ⎜ − 1 1 − 1 1 ⎟ ⎜ − 2 2 − 2 2 ⎟ ⎜ 0 3 − 3 3⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b) Solucionaremos este último caso cuando a = 2 ⎛ 2 1 −1 1⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ 0 1 − 1 1 ⎟ ⇒ y − z = 2 ⇒ y = z + 2 ⇒ 2 x + z + 2 − z = 1 ⇒ 2 x = −1 ⇒ x = − 2 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ Solución⎜ − , λ + 2 , λ ⎟ ⎝ 2 ⎠

1




A.2 Sea C una circunferencia cuyo centro es el punto (1 , 1) y que es tangente a los dos ejes coordenados a) Escribir su ecuación general c) Determinar los puntos de C donde la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante

a)

(x − 1)2 + ( y − 1)2 = 12 ⇒ x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 2 y + 1 − 1 = 0 ⇒ C ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 b) ⎧C ' ≡ 2 x + 2 y. y´−2 − 2 y ' = 0 ⇒ 2 x + 2 y.1 − 2 − 2.1 = 0 ⇒ 2 x + 2 y − 4 = 0 ⇒ y = x ⇒ m = y' = 1 ⇒ ⎨ x 2 + y 2 − 2x − 2 y + 1 = 0 ⎩ ⎧x + y − 2 = 0 ⇒ y = 2 − x 2 ⇒ x 2 + (2 − x ) − 2 x − 2.(2 − x ) + 1 = 0 ⇒ ⎨ 2 2 ⎩ x + y − 2x − 2 y + 1 = 0 x 2 + 4 − 4 x + x 2 − 2 x − 4 + 2 x + 1 = 0 ⇒ 2 x 2 − 4 x + 1 = 0 ⇒ Δ = 16 − 8 = 8 > 0 ⇒ x = ⎧ ⎪x = 1 + ⎪ ⎨ ⎪x = 1 − ⎪ ⎩

⎛ 2 ⇒ y = 2 − ⎜⎜1 + 2 ⎝ ⎛ 2 ⇒ y = 2 − ⎜⎜1 − 2 ⎝

⎧⎛ ⎪⎜⎜1 + ⎪ Puntos pedidos ⇒ ⎨⎝ ⎪⎛⎜1 − ⎪⎜ ⎩⎝

2 ⎞⎟ =1− 2 ⎟⎠ 2⎞ ⎟ = 1+ 2 ⎟⎠

4± 8 4±2 2 = 4 4

2 2 2 2

2⎞ 2 ⎟ ,1− 2 ⎟⎠ 2 2⎞ 2 ⎟ ,1+ 2 ⎟⎠ 2

2




A.3.- Dada la función f ( x ) = x ln x a) Determinar su dominio b) Determinar sus ceros c) Determinar sus extremos

a) x∈ℜ ⎧ f ( x ) = x ln x ⇒ ⎨ ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ / x > 0 ⎩ln x > 0 ⇒ x > 0 b)

Corte con OY ⇒ x = 0 ⇒ f (0 ) = 0. ln 0 ⇒ No existe función ⎧ x = 0 ⇒ No existe función Corte con OX ⇒ f (x ) = 0 ⇒ x ln x = 0 ⇒ ⎨ ⇒ (1 , 0 ) 0 ⎩ ln x = 0 ⇒ x = e = 1 c) f ' ( x ) = ln x +

1 1 ⋅ x = ln x + 1 ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇒ ln x + 1 = 0 ⇒ ln x = −1 ⇒ x = e −1 = x e

1 ⎛1⎞ 1 ⇒ f ' ' ⎜ ⎟ = = e > 0 ⇒ Mínimo relativo x ⎝e⎠ 1 e 1 1 1⎞ ⎛1 Mínimo relativo en x = ⇒ f e −1 = e −1 ln e −1 = e −1 ⋅ (− 1) ⋅ ln e = −e −1 = − ⇒ ⎜ , − ⎟ e e e⎠ ⎝e f ' ' (x ) =

( )

3




A.4.- Sea la parábola y = x − 4 x + 3 a) Determinar los puntos de corte de la parábola con los dos ejes coordenados 2

b) Calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de abcisas c) Calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de ordenadas

a) ⎧ Con OY ⇒ x = 0 ⇒ f (0 ) = 0 2 − 4.0 + 3 = 3 ⇒ (0 , 3) ⎪ ⎨Con OX ⇒ y = 0 ⇒ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇒ Δ = 16 − 12 = 4 > 0 ⇒ x = 4 ± 4 ⇒ ⎧ x = 3 ⇒ (3 , 0 ) ⎨ ⎪ 2 ⎩ x = 1 ⇒ (1 , 0 ) ⎩ b) f (2 ) = 2 2 − 4.2 + 3 = −1 < 0

∫ (x 3

A=

2

1

A=

)

3

(

)

1

(

)

− 4 x + 3 dx = − ∫ x 2 − 4 x + 3 dx = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx = 1

3

[ ]

[ ]

1 1 31 ⋅ x 3 − 4 ⋅ ⋅ x2 2 3

1 3

+ 3 ⋅ [x ]3 1

26 26 1 3 − 26 + 30 4 2 ⋅ 1 − 33 − 2 ⋅ 12 − 3 2 + 3 ⋅ (1 − 3) = − − 2 ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 2 ) = − + 16 − 6 = = u 3 3 3 3 3

(

)

(

)

c)

∫ (x 1

A=

0

A=

(

2

)

1

(

)

− 4 x + 3 dx = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx = 0

)

(

[ ]

1 3 ⋅ x 3

1 0

[ ]

1 − 4 ⋅ ⋅ x2 2

1 0

+ 3 ⋅ [x ]0 = 1

)

4 1 1 1 3 ⋅ 1 − 0 3 − 2 ⋅ 12 − 0 2 + 3 ⋅ (1 − 0 ) = − 2 + 3 = + 1 = u 2 3 3 3 3

4




OPCIÓN B ⎛ 1 − 1⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ ; B = ⎜⎜ ⎟⎟ , vemos que, ambas, tienen rango ⎝4 2 ⎠ ⎝ 4 − 1⎠

B.1 Sean las matrices A = ⎜⎜ máximo, o sea 2

a) Determinar los valores de c tales que la matriz A+cB ya no tenga rango 2 b) Cual es el rango que tienen las respectivas matrices suma

a) − 1 ⎞ ⎛1 + c −1 ⎞ 0 ⎞ ⎛ 1+ c ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ c ⎟⎟ + c⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ ⎜⎜ ⎟⇒ A + cB = ⎜⎜ 2 − c + 4 ⎟⎠ ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 − 1⎠ ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4c − c ⎠ ⎝ 4 + 4c 2 − c ⎠ ⎝ 0 6−c = 0⇒ c = 6 b) − 1 ⎞ ⎛ 7 − 1 ⎞ ⎛ 7 − 1⎞ ⎛ 1+ 6 ⎟⎟ ≡ ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ rang ( A + 6 B ) = 1 A + 6 B = ⎜⎜ ⎝ 4 + 4.6 2 − 6 ⎠ ⎝ 28 − 4 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠

5




B.2. Sea el triángulo de vértices A(4 , 2), B(13 , 1) y C(6 , 6) a) Hallar la ecuación de la altura que pasa por el vértice C b) Calcular la longitud de los dos segmentos en que la altura anterior corta al lado AB

a) 1 AB = (13 , 1) − (4 , 2) = (9 , − 1) ⇒ m = − ⇒ m' ⊥ m ⇒ m' = (1 , 9) ⇒ m' = 9 ⇒ y − 6 = 9.( x − 6) ⇒ 9 y − 6 = 9 x − 54 ⇒ 9 x − y − 48 = 0 b) 9 x − y − 48 = 0 ⎧⎪ ⎧9 x − y − 48 = 0 ⎧81x − 9 y − 432 = 0 ⇒⎨ ⇒ 82 x − 454 = 0 ⇒ ⎨ y − 2 = − 1 ( x − 4) ⇒ 9 y − 18 = − x + 4 ⇒ ⎨ x + 9 y − 22 = 0 ⎩ x + 9 y − 22 = 0 ⎩ ⎪⎩ 9 454 227 227 2043 − 1968 75 ⎛ 227 75 ⎞ x= , ⎟ = ⇒ y = 9⋅ − 48 = = ⇒ P⎜ 82 41 41 41 41 ⎝ 41 41 ⎠ ⎛ 227 ⎞ ⎛ 75 ⎞ ⎛ 227 − 164 ⎞ ⎛ 75 − 82 ⎞ ⎛ 163 ⎞ ⎛ 13 ⎞ = ⎜ − 4⎟ + ⎜ − 2⎟ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 41 ⎝ 41 ⎠ ⎝ 41 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 41 ⎠ ⎝ 41 ⎠ ⎝ 41 ⎠ 2

d AP

d AP =

2

2

2

2

26569 + 169 41

2

26738 u 41

93636 + 1156 ⎛ 227 ⎞ ⎛ 75 ⎞ ⎛ 227 − 533 ⎞ ⎛ 75 − 41 ⎞ ⎛ 306 ⎞ ⎛ 34 ⎞ d BP = ⎜ − 13 ⎟ + ⎜ − 1⎟ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 41 41 ⎝ 41 ⎠ ⎝ 41 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 41 ⎠ ⎝ 41 ⎠ ⎝ 41 ⎠ 2

d AP =

2

2

2

2

2

94972 u 41

6




B.3.- Sea la función f ( x ) = x sen x y sea T la recta tangente a su gráfica en Determinar: a) La ecuación de T

x =π .

b) El área encerrada entre T y los ejes coordenados

a) f (π ) = π senπ = π .0 = 0 ⎧ f ' ( x ) = senx + x cos x ⇒ ⎨ ⇒ y − 0 = −π ( x − π ) ⇒ ⎩m = f ' (π ) = sen π + π cos π = 0 + π .(− 1) = −π T ≡ πx + y − π 2 = 0 b) y = −πx + π 2 ⇒ Corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ −π x + π 2 = 0 ⇒ π x = π 2 ⇒ x = π π

(

π

)

π

[ ]

1 A = ∫ − πx + π 2 dx = −π ∫ x dx + π 2 ∫ dx = −π ⋅ ⋅ x 2 2 0 0 0 A=−

π3 2

+π 3 =

π3 2

π 0

+ π 2 [x ]0 = − π

π

(π 2

2

)

− 0 2 + π 2 (π − 0)

u2

7


B.4,- Sea la función

f (x ) =



x x +1 2

a) Definir su dominio b) Calcular su límite en el infinito c) Determinar sus extremos d) Calcular el área encerrada por la gráfica de f entre las abcisas 0 y 1

8




a) ∃/f ⇒ x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = −1 ⇒ x = ± − 1 ⇒ ∀x ∉ ℜ ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ b) x 1 1 2 x 0 ∞ y = lim 2 = lim x = ∞ = =0 = = lim 2 x x →∞ x + 1 x →∞ 1 1 1+ 0 ∞ x →∞ x 1 1+ 2 1+ 2 + x ∞ x2 x2 c) f ' (x ) =

x 2 + 1 − 2 xx

(x

(x − 2 x(x + 1) − 2(x f ' ' (x ) = (x + 1) 2

)

x 2 + 1 − 2x 2

=

+1 2

2

2

2

) ( ) + 1)(1 − x ) − 2 x(x =

+1

2 2

4

⎧ x =1 ⇒ f ' (x ) = 0 ⇒ 1 − x 2 = 0 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ± 1 ⇒ ⎨ x2 +1 ⎩ x = −1 1− x2

=

2

2

2

) ( (x + 1)

2

+1 − 2 1− x2 2

3

) = 2⋅ − x

3

− x −1+ x2

(x

2

)

+1

3

3 2 ⎧ ( (− 2) 4 1 − 1) − (− 1) + (− 1) + 1 −1−1−1+1 = −2 ⋅ = −2 ⋅ 3 = = > 0 ⇒ Mínimo ⎪ f ' ' (− 1) = −2 ⋅ 3 3 2 8 2 2 (1 + 1) ⎪ (− 1) + 1 ⇒ ⎨ 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 − + + − + + ⎪ f ' ' (1) = −2 ⋅ = −2 ⋅ = −2 ⋅ 3 = − = − < 0 ⇒ Máximo 3 3 2 ⎪ 8 2 2 ( ) 1 1 + 1 1 + ⎩ ⎧ (− 1) = − 1 ⇒ En ⎛ − 1 , − 1 ⎞ ⇒ Mínimo relativo ⎜ ⎟ ⎪⎪ f (− 1) = 2 2 2⎠ ( − 1) + 1 ⎝ ⎨ 1 1 ⎛ 1⎞ ⎪ f (1) = 2 = ⇒ En ⎜1 , ⎟ ⇒ Máximo relativo ⎪⎩ 1 +1 2 ⎝ 2⎠

[

[

]

]

d) 0 ⎧ 1 2 2 ⎪ f (0 ) = 0 2 + 1 = 0 x 1 dt 1 dt 1 1 1 2 dx = ∫ ⇒ A=∫ 2 = ⋅ ∫ = ⋅ [ln t ]1 = ⋅ (ln 2 − ln 1) = ⋅ ln 2 = ln 2 u 2 ⎨ 1 t 2 2 1 t 2 2 2 0 x +1 1 ⎪ f (1) = 2 ⎩ ⎧x = 1 ⇒ t = 2 dt x 2 + 1 = t ⇒ 2 x dx = dt ⇒ x dx = ⇒ ⎨ 2 ⎩x = 0 ⇒ t = 1

9




OPCIÓN A 1. A.- Determinar los valores de las constantes A, B, C y D para los cuales la gráfica de la función real de variable real f(x) = A sen x + Bx2 + Cx + D tiene tangente horizontal en el punto (0 , 4) y además su derivada segunda es f’’(x) = 3 sen x – 10

⎧ f ' ( x ) = A. cos x + 2 B.x + C ⎨ ⎩ f ' ' ( x ) = − A.sen x + 2 B ⎧ ⎪ f (0 ) = 4 ⇒ A.sen 0 + B.0 2 + C.0 + D = 4 ⇒ D = 4 ⎪⎪ f ' (0 ) = 0 ⇒ A. cos 0 + 2 B.0 + C = 0 ⇒ A + C = 1 ⇒ 3 + C = 1 ⇒ C = −2 ⎨ ⎪ − A = 3 ⇒ A = − 3 ⎧ ⎪ f ' ' (x ) = 3sen x − 10 ⇒ 3sen x − 10 = − A.sen x + 2 B ⇒ ⎨ ⎪⎩ ⎩2 B = −10 ⇒ B = −5 f ( x ) = −3.sen x − 5.x 2 − 2 x + 4

1



2.A.- Calcular la siguiente integral indefinida:

x2 + 4 − x 2 + 5x − 6

x 2 − 5x + 6


x2 + 4 ∫ x 2 − 5 x + 6 dx

x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇒ Δ = 25 − 24 = 1 ⇒ x =

⎧x = 3 5± 1 ⇒⎨ 2 ⎩x = 2

1

5x − 2 ⎡ 5x − 2 ⎤ 5x − 2 13 −8 I = ∫ ⎢1 + dx = ∫ dx + ∫ dx =x + ∫ dx + ∫ dx = ⎥ (x − 2)(x − 3) x−2 x−3 ⎣ ( x − 2 )( x − 3) ⎦ ⎧ x = 2 ⇒ − A = 8 ⇒ A = −8 5x − 2 A B + = 2 ⇒ A( x − 3) + B( x − 2 ) = 5 x − 2 ⇒ ⎨ x − 2 x − 3 x − 5x + 6 ⎩ x = 3 ⇒ B = 13 ⇒ B = 13 1 1 1 1 dx + 13∫ dx = x − 8∫ dt + 13∫ du = x − 8 ln t + 13 ln u x−2 x−3 t u x − 2 = t ⇒ dx = dt x − 3 = u ⇒ dx = du

I = x − 8∫

I = x − 8 ln ( x − 2) + 13 ln ( x − 3) = x + ln

(x − 3)13 (x − 2)8

+K

2




3.A Sea M una matriz real cuadrada de orden n que verifica la identidad M2 – 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad de orden n. Se pide: a) Estudiar si existe matriz inversa de M. En caso afirmativo, expresar M-1 en términos de M e I b) Expresar M3 como combinación lineal de M e I

⎛a b⎞ ⎟ que verifican la identidad del enunciado a ⎟⎠

c) Hallar todas las matrices de la forma M = ⎜⎜ ⎝b

a) ∃M −1 ⇒ det (M ) ≠ 0 ⇒ M 2 = 3I + 2 M ⇒ M 2 = 3I + 2 M ⇒ Si 3I + 2 M ≠ 0 ⇒ M 2 ≠ 0 ⇒ M ≠ 0 b)

(

)

M −1 M 2 − 2 M = 3.M −1 I ⇒ M −1 M 2 − 2 M −1 M = 3.M −1 ⇒ M − 2 I = 3.M −1 ⇒ M −1 = M −1 =

M − 2I 3

1 ⋅ (M − 2 I ) 3

c) ⎛a b⎞ ⎛a b⎞ ⎛a b⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ a 2 + b 2 ab + ab ⎞ ⎛ 2a 2b ⎞ ⎛ 3 0 ⎞ ⎟ − ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 2 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = 3 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ 2 2⎟ ⎝b a⎠ ⎝b a⎠ ⎝b a⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ ab + ab a + b ⎠ ⎝ 2b 2a ⎠ ⎝ 0 3 ⎠ ⎛ a 2 + b 2 − 2a 2ab − 2b ⎞ ⎛ 3 0 ⎞ ⎧a 2 + b 2 − 2a = 3 ⎧ b = 0 ⇒ a 2 − 2a − 3 = 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⇒ ⇒ ⇒ ⎨ 2 2 2 2 ⎜ 2ab − 2b ⎟ ⎜ 0 3 ⎟ ⎨ 2b(a − 1) = 0 2 1 0 1 1 2 . 1 3 + − − = ⇒ = ⇒ + − = a a b a b a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ ⎧ 2+4 ⎧ =3 a= ⎪ ⎪ 2 2 0 2 3 0 4 12 16 0 = ⇒ − − = ⇒ Δ = + = > ⇒ b a a ⎪ ⎨ 2−4 ⎪ ⎪a = = −1 ⎨ 2 ⎩ ⎪ ⎧b=2 ⎪ a = 1 ⇒ b2 −1 = 3 ⇒ b2 = 4 ⇒ b = ± 4 ⇒ ⎨ ⎪⎩ ⎩b = −2 ⎧ ⎛3 ⎪ ⎜⎜ ⎪ ⎝0 ⎪ ⎛−1 ⎪ ⎜⎜ 0 ⎪ M = ⎨⎝ ⎪ ⎛⎜ 1 ⎪ ⎜⎝ 2 ⎪ 1 ⎪⎛⎜ ⎪⎩⎜⎝ − 2

0⎞ ⎟ 3 ⎟⎠ 0⎞ ⎟ − 1⎟⎠ 2⎞ ⎟ 1 ⎟⎠ − 2⎞ ⎟ 1 ⎟⎠

3



4.A.-Se considera el plano p y la recta r siguientes: p ≡ x + y - 2z = 6 ;


r≡

x −1 y z +1 = = . 2 3 −1

Se pide: a) Hallar el punto simétrico de M(1 , 1 , 1) respecto al plano p b) Hallar el punto simétrico de M(1 , 1 , 1) respecto a la recta r a) Por el punto M se trazará una recta s perpendicular al plano p, utilizando el vector director de este, se hallará el punto de confluencia de la recta generada y el plano, dicho punto es el punto medio R entre M y su simétrico M’

⎧ x = 1+ λ ⎪ vπ = (1 , 1 , − 2) ⇒ s ≡ ⎨ y = 1 + λ ⇒ 1 + λ + 1 + λ − 2(1 − 2λ ) = 6 ⇒ 2 + 2λ − 2 + 4λ = 6 ⇒ 6λ = 6 ⇒ λ = 1 ⎪ z = 1 − 2λ ⎩ 1 + xM ' ⎧ ⇒ x M ' = 2.2 − 1 = 3 2= ⎪ 2 ⎧ x = 1+1 = 2 ⎪ 1 + yM ' ⎪ ⎪ ⇒ y M ' = 2.2 − 1 = 3 ⇒ M ' (3 , 3 , − 3) R ⎨ y = 1 + 1 = 2 ⇒ R (2 , 2 , − 1) ⇒ M ' ⎨ 2 = 2 ⎪ z = 1 − 2.1 = −1 ⎪ ⎩ ⎪− 1 = 1 + z M ' ⇒ x = 2.(− 1) − 1 = −3 M' 2 ⎩⎪

b) Por el punto M trazaremos un plano g perpendicular a la recta r, que tendrá como vector director el de la recta, se hallará el punto de confluencia del plano generada y la recta , dicho punto es el punto medio S entre M y su simétrico M’

⎧ x = 1 + 2μ ⎪ r≡⎨ y=μ ⎪ z = −1 − μ ⎩ ⎧⎪ v r = (2 , 3 , − 1) ⇒ v r ⊥ AG ⇒ v r . AG = 0 ⇒ (2 , 3 , − 1)( x − 1 , y , z + 1) = 0 ⎨ ⎪⎩ AG = ( x , y , z ) − (1 , 0 , − 1) = ( x − 1 , y , z + 1) 2( x − 1) + 3 y − ( z + 1) = 0 ⇒ γ ≡ 2 x + 3 y − z − 3 = 0 ⇒ 2(1 + 2μ ) + 3μ − (− 1 − μ ) − 3 = 0 ⇒ 2 + 4μ + 3μ + 1 + μ − 3 = 0 ⇒ 8μ = 0 ⇒ μ = 0 1 + xM ' ⎧ 1= ⇒ x M ' = 2.1 − 1 = 1 ⎪ 2 ⎧ x = 1 + 2.0 = 1 ⎪⎪ 1 + yM ' ⎪ ⇒ S (1 , 0 , − 1) ⇒ M ' ⎨ 0 = ⇒ y M ' = 2.0 − 1 = −1 ⇒ M ' (− 1 , − 1 , − 3) S⎨ y=0 2 ⎪ z = −1 − 0 = −1 ⎪ ⎩ ⎪− 1 = 1 + z M ' ⇒ x = 2.(− 1) − 1 = −3 M' ⎪⎩ 2

4




OPCIÓN B

⎛ 1 1⎞ ⎟⎟ ⎝ 0 1⎠

1.B.- Hallar todas las matrices X tales que XA = AX, siendo A la matriz: ⎜⎜

⎧ a = a+c⇒c =0 ⎪ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a a + b ⎞ ⎛ a + c b + d ⎞ ⎪ a + b = b + d ⇒ a = d ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎨ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⇒ c=c=0 d ⎠ ⎪ ⎝ c d ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ c c + d ⎠ ⎝ c ⎪⎩c + d = d ⇒ d = d = a ⎛a b⎞ ⎟⎟ X = ⎜⎜ ⎝0 a⎠ Comprobación a=5 b=3 ⎧⎛ 5 ⎪⎜⎜ ⎪⎝ 0 ⎨ ⎪⎛⎜ 1 ⎪⎩⎜⎝ 0

3⎞ ⎛ 1 ⎟⋅⎜ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1⎞ ⎛ 5 ⎟⋅⎜ 1⎟⎠ ⎜⎝ 0

1⎞ ⎛ 5 ⎟=⎜ 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 3⎞ ⎛ 5 ⎟=⎜ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

8⎞ ⎟ 5 ⎟⎠ ⇒ Confirmado 8⎞ ⎟ 5 ⎟⎠

5




2.B.- Para cada valor del parámetro real k, se considera el sistema lineal de ecuaciones:

⎧ x− y =3 ⎪ ⎨2 x − 3 y = 2 k ⎪3 x − 5 y = k 2 ⎩ Se pide: a) Discutir el sistema según los valores de k b) Resolver el sistema en los casos en que se compatible

⎛1 −1 3 ⎞ ⎛1 −1 3 ⎞ ⎛1 −1 ⎞ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2k − 6 ⎜ 2 − 3 2k ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 2k − 6 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 ⎟⇒ ⎜ 3 − 5 k 2 ⎟ ⎜ 0 − 2 k 2 − 9 ⎟ ⎜ 0 0 k 2 − 9 − 2(2k − 6)⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4+2 ⎧ k1 = =3 ⎪ 4 ± 4 2 k 2 − 9 − 4k + 12 = 0 ⇒ k 2 − 4k + 3 = 0 ⇒ Δ = 16 − 12 = 4 > 0 ⇒ k1, 2 = ⇒⎨ 4−2 2 ⎪ k1 = =1 2 ⎩ ∀x ∈ ℜ − {1 , 3} ⇒ rang ( A) = 2 ≠ rang ( A / B ) = 3 ⇒ Sistema Incompatible ⎧k = 1 Si ⎨ ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado ⎩k = 3 Cuando k = 3 ⎛1 −1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 0 ⎟ ⇒ − y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x − 0 = 3 ⇒ x = 3 ⇒ Solución(3 , 0 ) ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ Cuando k = 1 ⎛1 −1 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 − 4 ⎟ ⇒ − y = −4 ⇒ y = 4 ⇒ x − 4 = 3 ⇒ x = 7 ⇒ Solución(7 , 4 ) ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ Otra forma rang ( A / B ) = 2 ⇒ 1 −1 3 A / B = 2 − 3 2k = 0 ⇒ −3k 2 − 6k − 30 + 27 + 10k + 2k 2 = 0 ⇒ −k 2 + 4k − 3 = 0 3 −5 k2

6




3.B.- Se considera los puntos A(1 ,1 , 1) ; B(0 , - 2 , 2) ; C(- 1 , 0 , 2 ) ; D(2 , - 1 , -2) Se pide: a) Calcular el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D b) Calcular la distancia del punto D al plano determinado por los puntos A, B y C c) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano determinado por los puntos A, B y C

a) ⎧ AB = (0 , − 2 , 2 ) − (1 , 1 , 1) = (− 1 , − 3 , 1) ⎪ 1 V = ⋅ AB ⋅ AC × AD ⇒ ⎨ AC = (− 1 , 0 , 2 ) − (1 , 1 , 1) = (− 2 , − 1 , 1) ⇒ 6 ⎪ AD = (2 , − 1 , − 2 ) − (1 , 1 , 1) = (1 , − 2 , − 3) ⎩ −1 − 3 1 1 5 AB ⋅ AC × AD = − 2 − 1 1 = −3 − 3 + 4 + 1 − 2 + 18 = 15 ⇒ V = ⋅ 15 = u 3 6 2 1 −2 −3 b) ⎧ AB = (0 , − 2 , 2 ) − (1 , 1 , 1) = (− 1 , − 3 , 1) x −1 y −1 z −1 ⎪ Plano ABC ⇒ ⎨ AC = (− 1 , 0 , 2 ) − (1 , 1 , 1) = (− 2 , − 1 , 1) ⇒ π ≡ − 1 1 =0⇒ −3 ⎪ AG = ( x , y , z ) − (1 , 1 , 1) = ( x − 1 , y − 1 , z − 1) 1 −2 −1 ⎩ − 3( x − 1) − 2( y − 1) + ( z − 1) − 6( z − 1) + ( x − 1) + ( y − 1) = 0 ⇒ −2( x − 1) − ( y − 1) − 5( z − 1) = 0 ⇒

π ABC ≡ 2 x + y + 5 z − 8 = 0 ⇒ d Dπ =

2.2 − 1 − 5.2 − 8 2 +1 + 5 2

2

2

=

− 15 30

=

15 30

=

15 30 30 u = 30 2

c) v r = vπ ⎧ x = 2 + 2λ ⎪ r ≡ ⎨ y = −1 + λ ⎪ z = −2 + 5λ ⎩

7




4.B Se considera la función real de variable real definida por: Se pide: a) Hallar sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas

f (x ) = 3 x + 1 − 3 x

b) Hallar los puntos donde la gráfica de f tiene tangente vertical c) Representar gráficamente la función d) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función el eje OX y las rectas x = - 1, x = 1

A3 − B 3 A 2 + AB + B 2

Nota.- Para obtener las asíntotas puede ser de utilidad la igualdad: A − B =

a) f ' (x ) =

1 3

(x + 1)

2

−

3

x

x 2 − 3 (x + 1)

2

3

1 2

=

3

x 2 ( x + 1)

2

⇒ f ' ( x ) = 0 ⇒ 3 x 2 − 3 ( x + 1) = 0 ⇒ 3 x 2 = 3 ( x + 1) ⇒ 2

x 2 = ( x + 1) ⇒ x 2 = x 2 + 2 x + 1 ⇒ 2 x + 1 = 0 ⇒ 2 x = −1 ⇒ x = − 2

2

1 ⇒ 2

3 1 22 3 ⎛ 1⎞ 3 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 3 1 3 1 3 1 2 2 = + = ⋅ = ⋅ = 4 f ⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ + − ⎜− ⎟ 3 2 2 2 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 5 5 2 2 ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎛ 2⎞ − − − ⇒ f ' ' (x ) = − ⋅ (x + 1) 3 − ⎜ − ⎟ ⋅ x 3 = − ⋅ ⎜ 3 3 ⎜ 3 ( x + 1)5 3 x 5 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 2 1 2 ⎜ 1 1 ⎛ 1⎞ ⎟ = − ⋅⎜ − − f ' '⎜ − ⎟ = − ⋅ ⎜ 5 5 5 5 3 ⎜ ⎡ 1 3 ⎜ ⎛1⎞ ⎟ ⎝ 2⎠ 1 1 ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ 3 ⎜− ⎜ 3 ⎢⎜ − ⎟ + 1⎥ − (1)3 ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⎝ ⎠

(

)

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ 1 1 + ⎟ = − ⋅⎜ 1 1 3 ⎟ ⎜ 3 3 2 ⎟ 2 22 ⎝2 2 ⎠

( )

2 2 23 4 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ f ' ' ⎜ − ⎟ = − ⋅ 2 3 4 + 2 3 4 = − ⋅ 43 4 = − < 0 ⇒ Máximo en ⎜ − , 3 4 ⎟ 3 3 3 ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠

f (x ) = 3 x + 1 − 3 x Asíntotas verticales No hay

Asíntotas horizontales

(

3

y = lim 3 x + 1 − 3 x = ∞ − ∞ = lim x →∞

y = lim

x →∞ 3

x →∞

x +1− x

(x + 1)2

+ 3 x( x + 1) + 3 x 2

)

2 x + 1 − 3 x ⎛⎜ 3 ( x + 1) + 3 x( x + 1) + 3 x 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠= 2 3 2 3 (x + 1) + 3 x(x + 1) + x

= lim

x →∞ 3

1

(x + 1)2

+ 3 x( x + 1) + 3 x 2

=

1 =0 ∞+∞+∞

Cuando x → ∞ ⇒ y = 0

8

⎞ ⎟ ⎟⇒ ⎟ ⎟ ⎠





a )Continuación Asíntotas horizontales y = lim

x + 1 − 3 x = lim 3 (− x ) + 1 − 3 (− x ) = lim 3 1 − x + 3 x = −∞ + ∞ = lim 3 x − 3 x − 1 =

3

x → −∞

x →∞

(

3

= ∞ − ∞ = lim x →∞

y = lim

x →∞ 3

x →∞

)

x →∞

2 x − 3 x − 1 ⎛⎜ 3 x 2 + 3 x( x − 1) + 3 ( x − 1) ⎞⎟ ⎝ ⎠= 2 3 x 2 + 3 x( x − 1) + 3 ( x − 1)

x − x +1 x 2 + 3 x( x − 1) + 3 ( x − 1)

2

= lim

x →∞ 3

1 x 2 + 3 x( x − 1) + 3 ( x − 1)

2

=

1 =0 ∞+∞+∞

Cuando x → −∞ ⇒ y = 0 Asíntotas oblícuas

(

)

2 x + 1 − 3 x ⎛⎜ 3 ( x + 1) + 3 x( x + 1) + 3 x 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠= m = lim x → −∞ 2 2 3 3 x⎛⎜ ( x + 1) + 3 x( x + 1) + x ⎞⎟ ⎝ ⎠ x +1− x 1 1 m = lim = lim = =0 x →∞ ⎛ 3 x → ∞ 2 2 x⎜ ( x + 1) + 3 x( x + 1) + 3 x 2 ⎞⎟ x⎛⎜ 3 ( x + 1) + 3 x( x + 1) + 3 x 2 ⎞⎟ ∞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ No existe asíntota oblícua ⇒ x → ∞ 3

x +1 − 3 x ∞ − ∞ = lim = x →∞ x ∞

3

3 3 3 (− x ) + 1 − 3 (− x ) 1− x + 3 x − ∞ + ∞ x +1 − 3 x x − 3 x −1 = lim = lim = = lim = x → −∞ x →∞ x →∞ x →∞ x x x x ∞ 2 3 x − 3 x − 1 ⎛⎜ 3 x 2 + 3 x(x − 1) + 3 (x − 1) ⎞⎟ ∞−∞ ⎝ ⎠= = = lim x →∞ 2 ∞ x⎛⎜ 3 x 2 + 3 x( x − 1) + 3 ( x − 1) ⎞⎟ ⎝ ⎠ x − x +1 1 1 y = lim = lim = =0⇒ x →∞ ⎛ 3 x → ∞ 2 2 x⎜ x 2 + 3 x( x − 1) + 3 (x − 1) ⎞⎟ x⎛⎜ 3 x 2 + 3 x(x − 1) + 3 ( x − 1) ⎞⎟ ∞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ No existe asíntota oblícua ⇒ x → −∞

m = lim

3

(

)

b) 1 f ' (x ) = ⇒ 0

3

x 2 − 3 ( x + 1) 3

x 2 ( x + 1)

2

2

=

x=0 ⎧ 1 2 2 ⇒ 3 x 2 ( x + 1) = 0 ⇒ x 2 ( x + 1) = 0 ⇒ ⎨ ⇒ 0 ⎩ x + 1 = 0 ⇒ x = −1

En x = 0 ⇒ f (0) = 3 0 + 1 − 3 0 = 1 ⇒ (0 , 1) En x = −1 ⇒ f (− 1) = 3 (− 1) + 1 − 3 (− 1) = 3 0 + 3 1 = 1 ⇒ (− 1 , 1)

9





c)

(

)

1

4 4 1 1 ⎡ 1 ⎡ 3⎤ ⎤ 3 3 3 3 A = ∫ x + 1 − x dx = ∫ x + 1 dx − ∫ x dx = ∫ (x + 1) dx − ∫ x dx = ⋅ ⎢(x + 1) 3 ⎥ − ⋅ ⎢ x ⎥ 4 ⎣ ⎦ −1 4 ⎣ ⎦ −1 −1 −1 −1 −1 −1 3 3 4 4 4 4 4 4 4⎤ ⎞ 3 3⎡ 3 ⎛ ⎤ 3⎡ A = ⎢(1 + 1) 3 − (− 1 + 1) 3 ⎥ − ⎢1 3 − (− 1) 3 ⎥ = ⋅ ⎜⎜ 2 3 − 0 3 − 1 + 1 3 ⎟⎟ = ⋅ 3 2 4 − 0 − 1 + 1 4⎣ ⎦ 4⎣ ⎠ 4 ⎦ 4 ⎝ 1

1

1

1

1 3

1

1 3

(

)

3.2.3 2 3.3 2 2 A= = u 4 2

10




OPCIÓN A

h

a

1.A.- Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima

b

⎧ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎛b⎞ 2 ⎨h = a − ⎜ ⎟ = ⎝2⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ d A A' = = 4−b + db

b 2 2 2 2 2 b⎞ ⎛b⎞ b b ⎛ − = 16 − 4b = 2 4 − b ⇒ ⎜ 4 − ⎟ − ⎜ ⎟ = 16 − 4b + 2⎠ ⎝2⎠ 4 4 ⎝ 1 1 A = ⋅ b.h = ⋅ b ⋅ 2 4 − b = b ⋅ 4 − b 2 2 b + 2a = 8 ⇒ 2a = 8 − b ⇒ a = 4 −

(− 1) 2 4−b

h = 2 4−2 = 2 2 u A' ' =

2

d A = db 2

A' ' (2 ) =

− 4−b −

2−6

2(4 − 2 ) 4 − 2

⋅b =

4−b−b 2 4−b

(− 1) (2 − b )

2 4−b 4−b =−

4 2.2 2

4 − 2b 2 4−b

=

2−b 4−b

⇒ Si A' = 0 ⇒ 2 − b = 0 ⇒ b = 2 u

− 8 + 2b + 2 − b =

=−

=

1 2

2 4−b 4−b =−

=

b−6

2(4 − b ) 4 − b

2 < 0 ⇒ Máximo 2

1



2.A.- Se considera la función


2 ( 2 x − 1) f (x ) =

4x 2 + 1

a) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo absolutos de la función f(x) 1

b) Calcular

∫ f (x ) dx 0

a) 2 ( 2 x − 1) f (x ) =

4x 2 + 1 Asíntotas verticales 4 x 2 + 1 = 0 ⇒ 4 x 2 = −1 ⇒ x 2 = −

1 1 ⇒ x = ± − ⇒ ∀x ∉ ℜ ⇒ No hay asíntotas verticales 4 4

Asíntotas horizontales y = lim

(2 x − 1)2

x →∞

4x 2 + 1

4x 2 + 1 − 4x ∞ = = lim x →∞ ∞ x →∞ 4x 2 + 1

= lim

4⋅

x2 x 1 1 1 4 ⋅1 + 2 − 4 ⋅ + 2 −4⋅ 2 2 x = x x x = lim x 2 x → ∞ 1 x 1 4 ⋅1 + 2 4⋅ 2 + 2 x x x

1 1 −4⋅ ∞ ∞ = 4 + 0 − 4 ⋅ 0 = 4 =1⇒ y =1⇒ x → ∞ = 1 4+0 4 4+ ∞ (2 x − 1)2 = lim 4 x 2 + 1 − 4 x = lim 4(− x )2 + 1 − 4(− x ) = lim 4 x 2 + 1 + 4 x = ∞ = y = lim 2 x → −∞ 4 x 2 + 1 x → −∞ x →∞ x →∞ ∞ 4x 2 + 1 4x 2 + 1 4(− x ) + 1 4+

x2 x 1 1 1 1 1 4 ⋅1 + 2 + 4 ⋅ + 2 + 4⋅ 2 4+ + 4⋅ 2 x = x x x = lim x ∞ ∞ = 4 + 0 + 4 ⋅ 0 = 1 ⇒ y = 1 ⇒ x → −∞ = lim 2 x →∞ x →∞ 1 1 4+0 x 1 4 ⋅1 + 2 4+ 4⋅ 2 + 2 ∞ x x x Asíntotas oblícuas 4⋅

(2 x − 1)2

2 (2 x − 1) = lim 4 x + 1 − 4 x = ∞ = lim m = lim 4 x + 1 = lim x →∞ x → ∞ x ∞ x →∞ x 4 x 2 + 1 x →∞ 4 x 3 + x 2

(

2

)

4⋅

x2 x 1 + 3 − 4⋅ 3 3 x x x = 3 x 1 4⋅ 3 + 3 x x

1 1 1 1 1 1 + 3 − 4⋅ 2 4⋅ + − 4⋅ x x x = ∞ ∞ ∞ = 4⋅0+ 0− 4⋅0 = 0 =0⇒ = lim x →∞ 1 1 4+0 4 4 ⋅1 + 3 4+ ∞ x No hay asíntotas oblícuas cuando x → ∞ 4⋅

2





a )Continuación

Asíntotas oblícuas (continuación )

(2 x − 1)2

2 4x 2 + 1 + 4x ∞ 4(− x ) + 1 − 4(− x ) 4x 2 + 1 − 4x m = lim 4 x + 1 = lim = = = = lim lim 3 x → −∞ x → −∞ x 4 x 2 + 1 x →∞ x →∞ − 4 x 3 − x x ∞ 4(− x ) + (− x ) 2

(

)

x2 1 x 1 1 1 1 1 1 + 3 + 4⋅ 3 4⋅ + 3 + 4⋅ 2 4⋅ + + 4⋅ 3 x = ∞ ∞ x x == lim x x ∞ = 4⋅0 + 0 + 4⋅0 = 0 = 0 ⇒ = lim x 3 x →∞ x →∞ 1 1 −4−0 4 x 1 − 4 ⋅1 − 3 −4− − 4⋅ 3 − 3 ∞ x x x No hay asíntotas oblícuas cuando x → −∞ 4⋅

Crecimiento y decrecimiento f ' (x ) =

( (4 x

) + 1)

2.(2 x − 1).2. 4 x 2 + 1 − 8 x(2 x − 1)

f ' (x ) = 4 ⋅

2

2

2

= 4⋅

8x + 2 x − 4 x − 1 − 8x − 2 x + 8x 3

2

3

(4 x

)

+1

2

2

2

(

8x 3 + 2 x − 4 x 2 − 1 − 2 x 4 x 2 + 1 − 4 x

(4 x

= 4⋅

4x − 1 2

(4 x

2

)

+1

2

2

)

+1

= 4⋅

)

2

(2 x + 1)(2 x − 1) ⇒

(4 x

2

)

+1

2

4 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎧ 1 ⎪ 2 x + 1 > 0 ⇒ 2 x > −1 ⇒ x > − ⎪ (2 x + 1)(2 x − 1) > 0 ⇒ ⎪ 2 f ' (x ) > 0 ⇒ 4 ⋅ ⇒ ⎨ 1 2 4x 2 + 1 ⎪ 2x − 1 > 0 ⇒ 2x > 1 ⇒ x > 2 ⎪ 2 2 ⎪⎩ 4 x + 1 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

(

)

(

)

⎧ [2.(− 1) + 1][2.(− 1) − 1] = 4 ⋅ (− 1)(− 3) = 12 > 0 ⇒ Crecim.∀x ∈ ℜ / x < − 1 ⎪ f ' (− 1) = 4 ⋅ 2 2 2 25 52 4(− 1) + 1 ⎪ ⎪ (2.0 + 1)(2.0 − 1) = 4 ⋅ 1.(− 1) = −4 < 0 ⇒ Decrecim.∀x ∈ ℜ / − 1 < x < 1 Como ⎨ f ' (0) = 4 ⋅ 2 2 2 12 4 .0 2 + 1 ⎪ ⎪ [2.1 + 1][2.1 − 1] = 4 ⋅ 3.1 = 12 > 0 ⇒ Crecim.∀x ∈ ℜ / x > 1 f ' (1) = 4 ⋅ ⎪ 2 2 5 2 25 4.12 + 1 ⎩

[

]

(

)

[

⎛ 1⎞ f ⎜− ⎟ = ⎝ 2⎠

⎛ ⎛ 1⎞ ⎞ ⎜⎜ 2⎜ − ⎟ − 1⎟⎟ ⎝ ⎝ 2⎠ ⎠ 2

]

2

⎛ 1⎞ 4⎜ − ⎟ + 1 ⎝ 2⎠

=

(− 2)2 1+1

= 2 ⇒ Valor máximo relativo y absoluto

2

⎛ ⎛1⎞ ⎞ ⎜⎜ 2⎜ ⎟ − 1⎟⎟ 02 ⎛1⎞ ⎝ ⎝2⎠ ⎠ f⎜ ⎟= = = 0 ⇒ Valor mínimo relativo y absoluto 2 1+1 ⎝2⎠ ⎛1⎞ 4⎜ ⎟ + 1 ⎝2⎠

3




Continuación del problema 2.A.Gráfico de la función 3

2

1

0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

b)

(2 x − 1)2

4x 2 − 4x + 1 − 4x 1 dt 4 dt 1 I =∫ dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ 2 dx = x − 4 ∫ = x − ⋅∫ = x − ⋅ ln t 2 2 t 8 8 t 2 4x + 1 4x + 1 4x + 1 dt 4x 2 − 4x + 1 4x 2 + 1 4 x 2 + 1 = t ⇒ 8 x dx = dt ⇒ x dx = 8 2 − 4x −1 1 − 4x 1 I = x − ⋅ ln 4 x 2 + 1 2 1 (2 x − 1)2 dx = [x]1 − 1 ⋅ ln 4 x 2 + 1 0 ∫0 4 x 2 + 1 2

(

)

[ (

1

∫ 0

(2 x − 1)2 4x + 1 2

dx = 1 −

)] = (1 − 0) − 12 ⋅ [ln (4.1 1

0

2

)

(

)]

+ 1 − ln 4.0 2 + 1 = 1 −

1 ⋅ (ln 5 − ln 1) 2

1 1 ⋅ ln 5 = 1 − ⋅ 1'6094.... 2 2

4




⎧(1 − a )x − 2 y + 4 z = 0 ⎪ 3.A.-Dado el sistema: ⎨ x − (1 + a ) y + z = 0 ⎪ − x + ay − z = 0 ⎩ a) Estudiar la compatibilidad según los valores del parámetro a b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado Al ser un sistema de ecuaciones homogéneo solo hay dos posibilidades que sea compatible determinado, con solución trivial, para todos ellos,(0 , 0 , 0) y esto se cumple cuando el determinante de los coeficientes no es nulo, siendo compatible indeterminado cuando su valor es cero.

a) 1− a A=

−2

1

− (1 + a )

−1

a

4

1 = (1 + a )(1 − a ) + 2 + 4a − 4 ⋅ (1 + a ) − a(1 − a ) − 2 = 1 − a 2 + 4a − 4 − 4a − a + a 2 −1

A = −3 − a ⇒ Si A = 0 ⇒ −3 − a = 0 ⇒ a = −3 ⇒

4 −2 1

2

= 10 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2

∀a ∈ ℜ − {− 3} ⇒ rang ( A) = 3 = N º de incognitas ⇒ Compatible det er min ado ⇒ Solución(0 , 0 , 0) a = −3 ⇒ rang ( A) = 2 ⇒ Compatible In det er min ado b) Para a = −3 Por Rouche ⎧4 x − 2 y + 4 z = 0 ⇒ 5x + 5z = 0 ⇒ x = − z ⇒ − z + 2 y + z = 0 ⇒ 2 y = 0 ⇒ y = 0 ⎨ ⎩ x + 2y + z = 0 Solución(− λ , 0 , λ ) Por Gauss ⎛ 4 − 2 4 0⎞ ⎛ 4 4 0⎞ ⎛ 4 − 2 4 0⎞ ⎛ 4 − 2 4 0⎞ ⎛ 4 − 2 4 0⎞ −2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 8 4 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 10 0 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⇒ y = 0 2 1 0⎟ ≡ ⎜ 4 ⎜1 ⎜ − 1 − 3 − 1 0 ⎟ ⎜ − 4 − 12 − 4 0 ⎟ ⎜ 0 − 14 0 0 ⎟ ⎜ 0 − 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 4 x − 2.0 + 4 z = 0 ⇒ 4 x = −4 z ⇒ x = − z ⇒ Solución(− λ , 0 , λ )

5




⎧ x = 2 − 3λ ⎪ 4.A.- Se consideran la recta y los planos siguientes: r ≡ ⎨ y = 1 + 2λ ⎪ z = 4−λ ⎩

π 1 ≡ 2 − 3x + 2 y − z = 0 y π 2 ≡ 3 + 2 x + 2 y − 2 z = 0 Se pide: a) Determinar la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los planos b) Determinar la posición relativa de los planos c) Calcular la distancia de r a p2

a) Posición relativa de r con π 1 2 − 3.(2 − 3λ ) + 2.(1 + 2λ ) − (4 − λ ) = 0 ⇒ 2 − 6 + 9λ + 2 + 4λ − 4 + λ = 0 ⇒ 14λ − 6 = 0 ⇒ λ =

6 3 = 14 7

3 5 ⎧ ⎪ x = 2 − 3⋅ 7 = 7 ⎪⎪ 3 13 ⎛ 5 13 25 ⎞ Se cor tan en el punto A⎨ y = 1 + 2 ⋅ = ⇒ A⎜ , , ⎟ 7 7 ⎝7 7 7 ⎠ ⎪ ⎪ z = 4 − 3 = 25 ⎪⎩ 7 7 Posición relativa de r con π 2 3 + 2.(2 − 3λ ) + 2.(1 + 2λ ) − 2.(4 − λ ) = 0 ⇒ 3 + 4 − 6λ + 2 + 4λ − 8 + 2λ = 0 ⇒⇒ 0λ − 1 = 0 ⇒ λ =

1 0

Sistema Incompatible ⇒ La recta r es paralela al plano π 2 b) ⎧− 3x + 2 y − z = −2 −3 2 ≠ ⇒ Son planos que se cor tan según la recta t ⎨ ⇒ −5 x + z = 1 ⇒ z = 1 + 5 x 2 2 ⎩− 2 x − 2 y + 2 z = 3 1 − 3x + 2 y − (1 − 5 x ) = −2 ⇒ 2 y − 1 + 5 x = −2 + 3x ⇒ 2 y = −1 − 2 x ⇒ y = − − x ⇒ 2 ⎧ x=μ ⎪ 1 t ≡ ⎨y = − − μ 2 ⎪ 1 5μ z = + ⎩ c) Punto de la recta r ⇒ R(2 , 1 , 4) ⇒ d rπ 2 = d Rπ 2 =

3 + 2.2 + 2.1 − 2.4 2 2 + 2 2 + (− 2)

2

=

5 12

=

5 2 3

=

5 3 u 6

6




OPCIÓN B

0 0⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 1.B.- Sean las matrices: A = ⎜ − 3 1 − 1⎟ ⎜ 5 −1 2 ⎟ ⎠ ⎝

y

⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ B = ⎜0 −1 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎠ ⎝

a) Hallar A-1 b) Hallar la matriz X, tal que AXAt = B. ( donde At significa la matriz traspuesta de A)

a) 1 0 0 1 ∃A ⇒ A ≠ 0 ⇒ A = − 3 1 − 1 = 2 − 1 = 1 ≠ 0 ⇒ ∃A −1 ⇒ A −1 = ⋅ adj A t ⇒ A 5 −1 2

( )

−1

⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛1 − 3 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ t −1 A = ⎜ 0 1 − 1⎟ ⇒ adj A = ⎜ 1 2 1 ⎟ ⇒ A = ⋅ ⎜ 1 2 1 ⎟ = ⎜ 1 2 1 ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜− 2 1 1⎟ ⎜0 −1 2 ⎟ ⎝ − 2 1 1⎠ ⎝ − 2 1 1⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ b)

( )

t

( )

A −1 AXA t = A −1 B ⇒ XA t A −t = A −1 BA −t ⇒ A = A t = 1 ⇒ A

A −t =

1 At

⎛ 1 ⎜ X =⎜ 1 ⎜− 2 ⎝

⎛1 1 ⎜ ⋅ adj ( A) = ⋅ ⎜ 0 1 ⎜ ⎝0 0 0⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎜ 2 1⎟ ⋅ ⎜0 −1 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0

t t

⎛1 1 − 2⎞ ⎟ ⎜ = A ⇒ adj ( A) = ⎜ 0 2 1 ⎟ ⇒ ⎜0 1 1 ⎟ ⎠ ⎝

1 − 2⎞ ⎛1 1 − 2⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 2 1 ⎟ = ⎜0 2 1 ⎟ 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 1 ⎟⎠ 0⎞ ⎛1 1 − 2⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛1 1 − 2⎞ ⎛ 1 1 − 2⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⋅ ⎜ 0 2 1 ⎟ = ⎜ 1 − 2 0⎟ ⋅ ⎜ 0 2 1 ⎟ = ⎜ 1 − 3 − 4⎟ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ − 2 − 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ − 2 − 4 − 5 ⎟⎠

7




⎧x + 2y = 1 , escribir una tercera ecuación de la forma ax + by = c ⎩3 x − y = 2

2.B.- a) Dado el sistema ⎨

(distinta de las dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compatible

⎧2 x + 2 y − z = 1 , escribir una tercera ecuación de la forma ax+by+gz=1 ⎩ x + y + 2z = 1

b) Dado e sistema ⎨

(distinta de las dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible indeterminado

a) ⎛1 2 1⎞ ⎛1 1 ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎧b − 2a = 7 ⎧b = 7 + 2a ⇒ ax + (7 + 2a ) y = 1 + a ⇒⎨ rang ( A) = 2 ⇒ ⎜ 3 − 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 7 −1 ⎟ ⇒ ⎨ ⎩ c = 1+ a ⎜ a b c ⎟ ⎜ 0 b − 2a c − a ⎟ ⎩ c − a = 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 1 A = 3 − 1 2 = −c + 4a + 3b + a − 2b − 6c = 5a + b − 7c ⇒ 5a + 7 + 2a − 7 − 7 a = 0 ⇒ Comprobada a b c b) ⎛ 2 2 − 1 1⎞ ⎛ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ rang ( A) = 2 ⇒ ⎜ 1 1 2 1⎟ ≡ ⎜ 2 2 ⎜ α β γ 1⎟ ⎜ 2α 2 β ⎝ ⎠ ⎝ ⎧ 2β − 2α = 0 ⇒ α = β ⎪ α −5 ⇒α = β =3⇒γ ⎨2γ + α = 5 ⇒ γ = 2 ⎪ ⎩ 2 −α =1⇒ α = 3

2 −1 1⎞ ⎛2 ⎟ ⎜ 0 4 2⎟ ≡ ⎜0 ⎟ ⎜ 2γ 2 ⎠ ⎝ 0 2 β − 2α =

1 ⎞ ⎟ 1 ⎟⇒ 2γ + α 2 − α ⎟⎠ −1 5

3−5 = −1 ⇒ 3 x + 3 y − z = 1 2

8




3.B.- a)Determinar la posición relativa de los siguientes planos, para los distintos valores del parámetro k:

π 1 ≡ 2 x + 3 y + kz = 3 π 2 ≡ x + ky − z = −1 π 3 ≡ 3x + y − 3z = −k b) En los casos en que los tres planos anteriores se corten a lo largo de una recta común, hallar un vector director de dicha recta a) Veamos cuando se corta en un punto, esto sucede cuado el determinante de los coeficientes no es nulo

a) k − 1 = −6k − 9 + k − 3k 2 + 2 + 9 = −3k 2 − 5k + 2 ⇒ Si A = 0 ⇒ −3k 2 − 5k + 2 = 0 3 1 −3

2 3 A=1 k

3k + 5k − 2 = 0 ⇒ Δ = 25 + 24 = 49 > 0 ⇒ k1, 2 2

−5+7 2 1 ⎧ ⎪ k1 = 6 = 6 = 3 − 5 ± 49 = ⇒⎨ −5−7 12 6 ⎪k 2 = = − = −2 6 6 ⎩

1⎫ ⎧ ∀k ∈ ℜ − ⎨− 2 , ⎬ ⇒ rang ( A) = 3 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado ⇒ 3⎭ ⎩ Los planos π 1 , π 2 y π 3 se cor tan en un punto Cuando k =

1 3

3 ⎞⎟ 9 1 9 ⎞ 1 9 ⎞ ⎛6 ⎟ ⎛⎜ 6 9 1 9 ⎞⎟ ⎛⎜ 6 9 ⎟ ⎟ ⎜ 1 − 1 − 1 ⎟ ≡ ⎜ 3 1 − 3 − 3 ⎟ ≡ ⎜ 18 6 − 18 − 18 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 21 − 21 − 45 ⎟ ≡ 3 1⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 − 3 − ⎟ ⎝ 9 3 − 9 − 1 ⎠ ⎝ 54 18 − 54 − 6 ⎠ ⎝ 0 − 63 − 63 − 87 ⎠ 3⎟ ⎠ ⎧ ⎪ 1 ⎪ 2 ⎪ π 1 , π 2 ⇒ ≠ 3 ⇒ Tiene una recta común 1 1 ⎛6 9 1 9 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ 2 3 ⎪ ≡ ⎜ 0 − 21 − 21 − 45 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⇒ ⎨ π 1 , π 3 ⇒ ≠ ⇒ Tiene una recta común 3 1 ⎜0 ⎟ ⎪ 48 0 0 1 ⎝ ⎠ ⎪ 1 3 −1 −1 ⎪ ⎪π 2 , π 3 ⇒ 3 = 1 = − 3 ≠ 1 ⇒ Son paralelos − ⎪ 3 ⎩

⎛ ⎜2 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎜3 ⎜ ⎝

3

1 3

9




Continuación del problema 3B

Cuando k = −2 ⎛2 3 − 2 3 ⎞ ⎛2 3 − 2 3 ⎞ ⎛2 3 − 2 3 ⎞ ⎛2 3 − 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1 − 2 − 1 − 1⎟ ≡ ⎜ 2 − 4 − 2 − 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 7 0 − 5 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 7 0 − 5 ⎟ ⇒ Comp.In det . ⎜ 3 1 − 3 2 ⎟ ⎜ 6 2 − 6 4 ⎟ ⎜ 0 − 7 0 − 5⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ 5 5 15 6 3 − 7 y = −5 ⇒ y = ⇒ 2 x + 3 ⋅ − 2 z = 3 ⇒ 2 x = − + 3 + 2 z ⇒ 2 x = + 2 z ⇒ x = + z 7 7 7 7 7 b) 3 ⎧ ⎪x = 7 + λ ⎪⎪ 5 ⇒ v r = (1 , 0 , 1) r≡⎨ y= 7 ⎪ ⎪ z=λ ⎪⎩

10




4.B.- Dada la función f(x) = 1 - x2, se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P[a , f(a)], donde 0
a) ⎧ f (a ) = 1 − a 2 f ' ( x ) = −2 x ⇒ ⎨ ⇒ y − (1 − a 2 ) = −2a( x − a ) ⇒ y − 1 + a 2 = −2ax + 2a 2 ⇒ ⎩ f ' (a ) = −2a r ≡ 2ax + y − 1 − a 2 = 0 b)

⎧ Corte con OY ⇒ x = 0 ⇒ 2a.0 + y − 1 − a 2 = 0 ⇒ y = 1 + a 2 ⇒ A(0 , 1 + a 2 ) ⎪ 2 2 ⎨Corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ 2a.x + 0 − 1 − a 2 = 0 ⇒ 2ax = 1 + a 2 ⇒ x = 1 + a ⇒ B⎛⎜ 1 + a , 0 ⎞⎟ ⎜ 2a ⎟ ⎪ 2a ⎝ ⎠ ⎩ c) ⎧ AP = (a , 1 − a 2 ) − (0 , 1 + a 2 ) = (a , 1 − a 2 − 1 − a 2 ) = (a , − 2a 2 ) ⎪ ⎛1+ a2 ⎞ ⎛ ⎛ 2a 2 − 1 − a 2 ⎛ a2 −1 ⎞⇒ 1+ a2 ⎨ 2 2⎞ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ = − − = − − BP a a a a a = − = , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 − a 2 ⎟⎟ ( ) ⎜ 2a ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2a 2a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2a ⎠ ⎩ AP = 2. BP ⇒ a + (− 2a 2

)

2 2

2

⎛ a2 −1⎞ ⎛ a 4 − 2a 2 + 1 ⎞ 2 ⎟⎟ + (1 − a 2 ) ⇒ a 2 + 4a 4 = 4 ⋅ ⎜⎜ = ±2 ⎜⎜ + 1 − 2a 2 + a 4 ⎟⎟ 2 4a ⎝ 2a ⎠ ⎝ ⎠

a 4 − 2a 2 + 1 + 4 − 8a 2 + 4a 4 ⇒ a 4 = a 4 − 2a 2 + 1 + 4a 2 − 8a 4 ⇒ 8a 4 − 2a 2 − 1 = 0 ⇒ 2 a 2+6 1 ⎧ t1 = = ⎪ 2 36 ± 16 2 t = a 2 ⇒ 8t 2 − 2t − 1 = 0 ⇒ Δ = 4 + 32 = 36 ⇒ t1, 2 = ⇒⎨ 2 6 1 − 16 ⎪t1 = =− 16 4 ⎩ a 2 + 4a 4 =

⎧ 1 1 t = a2 = ⇒ a = ± ⎪⎪ 1 2 2 2 ⇒ Como 0 < a < 1 ⇒ Solución a = = ⎨ 2 2 ⎪t = a 2 = − 1 ⇒ a = ± − 1 ⇒ ∀a ∉ ℜ ⎪⎩ 4 4

11




OPCIÓN A A.1.- Cuando el año 1800 Beethoven escribe su Primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la suma de las edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos años que tenia Beethoven cuando compuso su Primera Sinfonía. Determinar el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores. Nota: Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no los derivados de los conocimientos históricos-musicales del examinando Llamando B a la edad de Beethoven en 1800 y S a la de Schubert ese año y suponiendo que transcurrió un tiempo T entre la Primera Sinfonía de Beethoven y la Sinfonía Inacabada de Schubert

B = 10S ⎧ ⎧ B − 10 S = 0 ⎪ ⎪ ⎨ B + T + S + T = 77 ⇒ ⎨ B + S + 2T = 77 ⇒ ⎪ S +T +5 = B ⎪ B − S −T = 5 ⎩ ⎩ ⎛1 − 10 0 0 ⎞ ⎛ 1 − 10 0 0 ⎞ ⎛ 1 − 10 0 0 ⎞ ⎛ 1 − 10 0 ⎞ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 77 ⎟ 2 77 ⎟ ≡ ⎜ 0 11 2 77 ⎟ ≡ ⎜ 0 11 2 77 ⎟ ≡ ⎜ 0 11 ⎜1 1 ⎜1 − 1 − 1 5 ⎟ ⎜ 0 9 − 1 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 99 − 11 55 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 − 29 − 638 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − 638 = 22 años ⇒ 11S + 2.22 = 77 ⇒ 11S = 77 − 44 ⇒ 11S = 33 ⇒ − 29 ⎧ Beethoven nació en 1800 − 30 = 1770 S = 3 años en 1800 ⇒ B = 10.3 = 30años ⇒ ⎨ ⎩ Schubert nació en 1800 − 3 = 1797

⇒ −29T = −638 ⇒ T =

1




A.2.- Sean los puntos A(2 , 3 , 0) y B(- 2 , 1 , 4) a) Ecuación del plano π mediatriz del segmento AB b) El volumen del tetraedro formado por π y los tres planos coordenados c) Ecuación de la recta perpendicular al plano π que pasa por el origen. Nota: El plano mediatriz de un segmento es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio a) El vector director del plano π es el vector, perpendicular a él, AB y el formado por el punto medio C del vector con el punto genérico G del plano, un vector perpendicular al director, y por lo tanto el producto escalar, de estos vectores, nulo que es la ecuación del plano.

2 + (− 2 ) ⎧ =0 ⎪ xC = 2 ⎪⎪ ⎧⎪ AB = (− 2 , 1 , 4 ) − (2 , 3 , 0 ) = (− 4 , − 2 , 4 ) ≡ (2 , 1 , − 2) 3 +1 ⇒ = 2 ⇒ C (0 , 2 , 2) ⇒ ⎨ ⎨ yC = 2 ⎪⎩ CG = ( x , y , z ) − (0 , 2 , 2) = ( x , y − 2 , z − 2 ) ⎪ ⎪ zC = 0 + 4 = 2 ⎪⎩ 2

AB ⊥ CG ⇒ AB.CG = 0 ⇒ (2 , 1 , − 2) ⋅ ( x , y − 2 , z − 2 ) = 0 ⇒ 2 x + y − 2 − 2(z − 2 ) = 0 ⇒ π ≡ 2x + y − 2z + 2 = 0 b) Se calcularan los puntos de corte D , E y F del plano con los ejes coordenados, hallándose el volumen del tetraedro formado por ellos y el origen de coordenadas

⎧x = λ ⎧ x = −1 ⎪ ⎪ Con OX ≡ ⎨ y = 0 ⇒ 2λ + 0 − 2.0 + 2 = 0 ⇒ 2λ + 2 = 0 ⇒ λ = −1 ⇒ C ⎨ y = 0 ⇒ C (− 1 , 0 , 0 ) ⎪z = 0 ⎪z=0 ⎩ ⎩ ⎧x = 0 ⎧ x=0 ⎪ ⎪ Con OY ≡ ⎨ y = μ ⇒ 2.0 + μ − 2.0 + 2 = 0 ⇒ μ + 2 = 0 ⇒ μ = −2 ⇒ D ⎨ y = −2 ⇒ D(0 , − 2 , 0 ) ⎪z =0 ⎪ z=0 ⎩ ⎩ ⎧x = 0 ⎧x = 0 ⎪ ⎪ Con OZ ≡ ⎨ y = 0 ⇒ 2.0 + 0 − 2.α + 2 = 0 ⇒ −2α + 2 = 0 ⇒ α = 1 ⇒ E ⎨ y = 0 ⇒ E (0 , 0 , 1) ⎪z = α ⎪z =1 ⎩ ⎩ ⎧ OC = (− 1 , 0 , 0 ) − (0 , 0 , 0 ) = (− 1 , 0 , 0 ) ⎪ 1 ⎨OD = (0 , − 2 , 0 ) − (0 , 0 , 0 ) = (0 , − 2 , 0 ) ⇒ V = ⋅ OC. OD × OE ⇒ 6 ⎪ OE = (0 , 0 , 1) − (0 , 0 , 0 ) = (0 , 0 , 1) ⎩ −1 0 0 1 1 OC. OD × OE = 0 − 2 0 = 2 = 2 ⇒ V = ⋅ 2 = u 3 6 3 0 0 1 c) ⎧ x = 0 + 2η = 2η ⎪ v r = vπ = (2 , 1 , − 2) ⇒ r ≡ ⎨ y = 0 + η = η ⎪ z = 0 − 2η = −2n ⎩

2




A.3.- Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios respectivamente de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro? Sean cuadrados de a y b cm. de lado, respectivamente

100 = 4a + 4b ⇒ 25 = a + b ⇒ b = 25 − a ⎧ ⇒ P = 5.a 2 − 150a + 1875 ⎨ 2 2 2 2 2 2 2 . 3 . 2 . 3 . 25 2 . 3 . 625 50 . P a b P a a P a a a ( ) = + ⇒ = + − ⇒ = + − + ⎩ dP dP P' = = 10a − 150 = 10.(a − 15) ⇒ P' = = 0 ⇒ 10.(a − 15) = 0 ⇒ a − 15 = 0 ⇒ a = 15 cm da da a = 15 cm ⎧ d 2P P' ' = = 10 ⇒ Mínimo ⇒ ⎨ 2 da ⎩b = 25 − 15 = 10 cm

(

)

3




A.4.- Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función exponencial f ( x ) = e y la cuerda a la misma que une los puntos de abcisas x = -1 y x = 1 x

1 e2 −1 1 e − ⎧ 2 2 ⎪ x = −1 ⇒ f (− 1) = e −1 = e = e = e − 1 ⇒ y − e = e − 1 ⋅ ( x − 1) ⇒ ⎨ e⇒m= 1 − (− 1) 2 2e 2e ⎪⎩ x = 1 ⇒ f (1) = e1 = e 2e 2 − e 2 + 1 e2 −1 e2 −1 e2 −1 e2 −1 e2 + 1 e2 −1 e2 + 1 y= x+e− x+ x+ x+ ⇒y= ⇒y= ⇒ g (x ) = 2e 2e 2e 2e 2e 2e 2e 2e 2 2 2 ⎧ e −1 e +1 e +1 e2 + 1 ⎪ g (0) = ⋅0+ = ⇒ > 1 ⇒ g ( x ) > f ( x ) para x ∈ [− 1 , 1] ⇒ ⎨ 2e 2e 2e 2e 0 ⎪⎩ f (0) = e = 1 1 1 1 1 ⎛ e2 −1 1 e2 + 1⎞ e2 −1 e2 + 1 ⎟⎟ dx − ∫ e x dx = + A = ∫ ⎜⎜ x+ x dx dx − e x −1 ∫ ∫ 2e 2e ⎠ 2e −1 2e −1 −1 ⎝ −1

[ ]

[ ]

1 e2 −1 2 ⋅ x A= ⋅ 2 2e

[

]

1⎞ e2 −1 e2 −1 2 e2 + 1 ⎛ 1 2 1 −1 ⋅ [x ]−1 − e − e = ⋅ 1 − (− 1) + ⋅ [1 − (− 1)] − ⎜ e − ⎟ −1 + 2e 4e 2e e⎠ ⎝

1

(

)

e2 −1 e2 + 1 e2 −1 e2 −1 e2 + 1 e2 −1 e2 + 1 − e2 + 1 2 2 ⋅ (1 − 1) + ⋅ (1 + 1) − = ⋅0 + − = = u A= 4e 2e 4e e e e e e

4




OPCIÓN B ⎧x + 3 y + z = 5 ⎪ B.1. Sea el sistema ⎨ ax + 2 z = 0 ⎪ ay + z = a ⎩ a) Clasificarlo según los valores del parámetro a b) Resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado

a) 1 3 1 a=0 ⎧ A = a 0 2 = a 2 − 2a − 3a = a 2 − 5a = (a − 5)a ⇒ Si A = 0 ⇒ (a − 5)a = 0 ⇒ ⎨ ⎩a − 5 = 0 ⇒ a = 5 0 a 1 ∀x ∈ ℜ − {0 , 5} = rang ( A) = 3 = Número de incógnitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado Si a = 0 ⎛1 3 1 5⎞ ⎛1 3 1 5⎞ ⎛1 3 1 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 2 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 1 0 ⎟ ⇒ Sistema Compatible In det er min ado ⎜ 0 0 1 0⎟ ⎜ 0 0 1 0⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Si a = 5 ⎛1 3 1 5⎞ ⎛1 3 1 5 ⎞ ⎛1 3 1 5 ⎞ ⎛1 3 1 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 0 2 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 15 − 3 − 25 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 15 − 3 − 25 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 15 − 3 − 25 ⎟ ⇒ Sist. Incompatible ⎜ 0 5 1 0⎟ ⎜ 0 5 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 15 3 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 − 25 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ b) Hemos demostrado que para a = 0 el sistema es Compatible In det er min ado ⎛1 3 1 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1 0 ⎟ ⇒ z = 0 ⇒ x + 3 y + 0 = 5 ⇒ x = −3 y + 5 ⇒ Solución(− 3λ + 5 , λ , 0 ) ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠

5


B.2. Sea el plano

s:


π : x − 5y + z + 3 = 0

y las rectas

r : x−3 =

x +1 = y = z + 2 . Determinar 2

a) Los puntos de intersección del plano


y−2 z−4 = y 2 3

π con cada una de las dos rectas

b) El área y perímetro del triángulo formado por los dos puntos anteriores y el origen de coordenada

a) ⎧ x = 3+ λ ⎪ r : ⎨ y = 2 + 2λ ⇒ 3 + λ − 5(2 + 2λ ) + 4 + 3λ + 3 = 0 ⇒ 10 + 4λ − 10 − 10λ = 0 ⇒ −6λ = 0 ⇒ λ = 0 ⇒ ⎪ z = 4 + 3λ ⎩ ⎧ x = 3+ 0 = 3 ⎪ A⎨ y = 2 + 2.0 = 2 ⇒ A(3 , 2 , 4) ⎪ z = 4 + 3.0 = 4 ⎩ ⎧ x = −1 + 2 μ ⎧ x = −1 ⎪ ⎪ s : ⎨ y = μ ⇒ −1 + 2μ − 5μ − 2 + μ + 3 = 0 ⇒ −2μ = 0 ⇒ μ = 0 ⇒ B ⎨ y = 0 ⇒ B(− 1 , 0 , − 2 ) ⎪ z = −2 + μ ⎪ z = −2 ⎩ ⎩ b) ⎧ OA = (3 , 2 , 4) − (0 , 0 , 0) = (3 , 2 , 4) i j k ⎪ 1 ⎨ OB = (− 1 , 0 , − 2 ) − (0 , 0 , 0) = (− 1 , 0 , − 2) ⇒ A = ⋅ OA × OB ⇒ OA × OB = 3 2 4 2 ⎪ AB = (− 1 , 0 , − 2) − (3 , 2 , 4) = (− 4 , − 2 , − 6) −1 0 − 2 ⎩ OA × OB = −4i − 4 j + 2k + 6 j = −4i + 2 j + 2k ⇒ OA × OB = A=

(− 4)2 + 2 2 + 2 2

= 24 = 2 6 ⇒

1 1 ⋅ OA × OB = ⋅ 2 6 = 6 u 2 2 2

Perímetro = OA + OB + AB = 3 2 + 2 2 + 4 2 + Perímetro = 29 + 5 + 56 =

(

(− 1)2 + 0 2 + (− 2)2

+

(− 4)2 + (− 2)2 + (− 6)2

)

29 + 5 + 2 14 u

6




B.3.- Sea la función f ( x ) = x sen x . Determinar: a) El área encerrada entre su gráfica y el eje de abcisas entre los valores x = 0 y x = 1 b) El área encerrada entre la tangente en x = π y los dos ejes coordenados

a) 1

1

1

A = ∫ x sen x dx = − [x cos x ] − ∫ (− cos x ) dx = −[1 cos 1 − 0 cos 0] + ∫ cos x dx = − (cos 1 − 0 .1) + [sen x ]0 1 0

0

1

0

0

x = u ⇒ dx = du ⎧⎪ ⎨sen x dx = dv ⇒ v = sen x dx = − cos x ⎪⎩ ∫ A = − cos 1 + (sen 1 − sen 0) = − cos 1 + (sen 1 − 0) = sen 1 − cos 1 b) f (π ) = π sen π = π .0 = 0 ⎧ ⇒ y = −π ( x − π ) ⇒ ⎨ ⎩ f ' ( x ) = sen x + x cos x ⇒ f ' (π ) = sen π + π cos π = 0 + π ⋅ (− 1) = −π π

y = −πx + π 2 ⇒ y = 0 ⇒ −πx + π 2 = 0 ⇒ πx = π 2 ⇒ x = π ⇒ A = ∫ (− π x + π 2 ) dx 0

π

π

A = −π ∫ x dx + π 2 ∫ dx = − 0

0

π 2

[ ]

⋅ x2

π 0

+ π 2 [x]0 = − π

π 2

⋅ (π 2 − 0 2 ) + π 2 (π − 0) = −

π3 2

+π 3 =

7

π3 2

u2




B.4.- Sea la función f ( x ) = e x sen x . Determinar: a) El máximo de la función en el intervalo (0 , π ) b) Ecuación de las tangentes a la gráfica en los extremos del intervalo anterior

a) ⎧e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ f ' (x ) = e x sen x + e x cos x = e x (sen x + cos x ) ⇒ f ' (x ) = 0 ⇒ e x (sen x + cos x ) = 0 ⇒ ⎨ ⎩ sen x + cos x = 0 sen x 3 sen x + cos x = 0 ⇒ sen x = − cos x ⇒ = −1 ⇒ tg x = −1 ⇒ x = arc tg (− 1) = π cos x 4 f ' ' (x ) = e x (cos x + sen x ) + e x (cos x − sen x ) = e x (cos x + sen x + cos x − sen x ) = 2e x cos x 3 3 3 3 3 π π⎛ π π π 3 2⎞ 3 3 2 ⎛3 ⎞ ⎟ = − 2e 4 < 0 ⇒ Máximo ⇒ f ⎛⎜ π ⎞⎟ = e 4 sen π = e 4 ⋅ f ' ' ⎜ π ⎟ = 2e 4 cos π = 2e 4 ⎜⎜ − ⎟ 4 4 2 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3 ⎛3 2 4π Máximo⎜⎜ π , e 2 ⎝4

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

b) ⎧ f (0 ) = e 0 sen 0 = 1.0 = 0 ⇒ y − 0 = 1( x − 0 ) ⇒ y = x ⇒ y − x = 0 ⎨ 0 ⎩m = f ' (0 ) = e (sen 0 + cos 0 ) = 1.(0 + 1) = 1 ⎧ f (π ) = e π sen π = e π .0 = 0 ⇒ y − 0 = −e π ( x − π ) ⇒ y = −e π x + π e π ⎨ π π π ⎩m = f ' (π ) = e (sen π + cos π ) = e .[0 + (− 1)] = −e

8




OPCIÓN A ⎛1 2 0⎞ ⎟ ⎜ 1.A.- Dadas las matrices: A = ⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜ 0 2 3⎟ ⎠ ⎝

y

⎛1 1 2 ⎞ ⎟ ⎜ B = ⎜ 1 1 − 1⎟ ⎜0 1 3 ⎟ ⎠ ⎝

a) Determinar la matriz inversa de B b) Determinar una matriz X tal que A = BX

a) 1 1 2 ⎛1 1 0⎞ ⎜ ⎟ 1 t t −1 ∃B ⇒ B ≠ 0 ⇒ B = 1 1 − 1 = 3 + 2 + 1 − 3 = 3 ≠ 0 ⇒ B = ⋅ adj B ⇒ B = ⎜ 1 1 1 ⎟ ⇒ B ⎜ 2 − 1 3⎟ 0 1 3 ⎝ ⎠ 1 ⎛4 ⎞ ⎛ 4 − 1 − 3⎞ ⎛ 4 − 1 − 3 ⎞ ⎜ 3 − 3 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ adj B t = ⎜ − 3 3 3 ⎟ ⇒ B −1 = ⋅ ⎜ − 3 3 3 ⎟ = ⎜−1 1 1⎟ 3 ⎜ ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎟ ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 1 −1 0 ⎠ ⎜ ⎟ 3 ⎝3 ⎠ ⎛ 4 − 1 − 3⎞ ⎛ 1 2 0 ⎞ ⎛ 4 1 − 11⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ −1 −1 −1 B A = B BX ⇒ X = B A ⇒ X = ⋅ ⎜ − 3 3 3 ⎟ ⋅ ⎜ 0 1 2 ⎟ = ⋅ ⎜ − 3 3 15 ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜ 1 1 −2⎟ ⎝ 1 −1 0 ⎠ ⎝ 0 2 3⎠ ⎝ ⎠

( )

−1

( )

⎛ 4 ⎜ ⎜ 3 X = ⎜−1 ⎜1 ⎜ 3 ⎝

1 11 ⎞ − ⎟ 3 3⎟ 1 5 ⎟ 1 2 − ⎟⎟ 3 3⎠

1




⎛ 0 0⎞ ⎟ , ¿cual es el valor del determinante de A? 0 ⎟⎠

2.A.- a) Si A es una matriz tal que A = ⎜⎜ ⎝0 2

2

⎡⎛ 3 − 4 ⎞ ⎛1 0 ⎞⎤ ⎛ 0 0⎞ ⎟⎟ − k ⎜⎜ ⎟⎟⎥ = ⎜⎜ ⎟⎟ b) Calcular un número k tal que: ⎢⎜⎜ 1 − 1 1 1 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

a) A 2 = 0 ⇒ A 2 = A = A ⋅ A = 0 ⇒ Como A = A ⇒ A = 0 ⇒ det ( A) = 0 2

b) 2

⎡⎛ 3 − 4 ⎞ ⎛ k 0 ⎞⎤ −4 ⎞ ⎛0 0⎞ ⎛3 − k ⎛ 0 0⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟⎥ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ Utilizando la propieadad del a ) ⎢⎜⎜ −1− k ⎠ ⎝0 0⎠ ⎝ 1 ⎝ 0 0⎠ ⎣⎝ 1 − 1 ⎠ ⎝ 0 k ⎠⎦ −4 3−k = 0 ⇒ −(3 − k )(1 + k ) + 4 = 0 ⇒ − 3 + 3k − k − k 2 + 4 = 0 ⇒ k 2 − 2k + 1 = 0 ⇒ −1− k 1 2

(

Δ = 4−4 = 0⇒ k =

)

2 =1 2

Comprobación ⎛3 − k ⎜⎜ ⎝ 1

−4 ⎞ ⎛0 0⎞ ⎛3 − k ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ −1− k ⎠ ⎝0 0⎠ ⎝ 1 2

⎛ (3 − k )2 − 4 ⎜ ⎜ (3 − k ) + (− 1 − k ) ⎝

− 4 ⎞ ⎛3 − k ⎟⋅⎜ − 1 − k ⎟⎠ ⎜⎝ 1

− 4 ⎞ ⎛0 0⎞ ⎟=⎜ ⎟⇒ − 1 − k ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎧ 9 − 6k + k 2 − 4 = 0 ⇒ k 2 − 6 k + 5 = 0 ⎪ − 4(3 − k ) − 4(− 1 − k )⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎪ − 12 + 4k + 4 + 4k = 0 ⇒ 8k − 8 = 0 ⎟ ⇒ 2 ⎟ = ⎜⎜ 0 0 ⎟⎟ ⇒ ⎨ 3 − k − 1 − k = 0 ⇒ −2k + 2 = 0 − 4 + (− 1 − k ) ⎠ ⎪ ⎠ ⎝ ⎪⎩− 4 + 1 + 2k + k 2 = 0 ⇒ k 2 + 2k − 3 = 0

⎧ 2 ⎧k = 1 6±4 ⇒⎨ ⎪ k − 6k + 5 = 0 ⇒ Δ = 36 − 20 = 16 > 0 ⇒ k = 2 ⎩k = 5 ⎪ 8k − 8 = 0 ⇒ k = 1 ⎪ ⇒ k = 1 (Comprobado ) ⎨ − 2k + 2 = 0 ⇒ k = 1 ⎪ ⎧ k =1 −2±4 ⎪ 2 ⎪k + 2k − 3 = 0 ⇒ Δ = 4 + 12 = 16 > 0 ⇒ k = 2 ⇒ ⎨k = −3 ⎩ ⎩

2




3.A.- Sea el plano p: x + 2y +3z = 6 a) Hallar el punto simétrico del (0 , 0, 0) respecto de p b) Hallar el plano perpendicular a p que contiene el eje OZ c) Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen y los puntos de intersección de p con los ejes coordenados. a) Se trazará por el punto dado una recta r perpendicular al plano p, para ello se tomará el vector director del plano y su vector generador. Se hallara el punto de corte de la recta hallada y el plano dado que nos da el punto central A del simétrico pedido P.

3 ⎧ = x ⎪ 7 ⎧ x = 0+λ = λ ⎪⎪ 3 6 ⎪ vπ = (1 , 2 , 3) ⇒ r : ⎨ y = 0 + 2λ = 2λ ⇒ λ + 2.2λ + 3.3λ = 6 ⇒ 14λ = 6 ⇒ λ = ⇒ A⎨ y = ⇒ 7 7 ⎪ z = 0 + 3λ = 3λ ⎪ 9 ⎩ ⎪z = ⎪⎩ 7 ⎧ 3 0 + xp 6 ⇒ 7x p = 6 ⇒ x p = ⎪ = 2 7 ⎪ 7 + 0 y 6 12 ⎪ ⎛ 6 12 18 ⎞ p ⇒ P⎜ , ⇒ 7 y p = 12 ⇒ y p = , ⎟ ⎨ = 7⎠ 7 7 7 7 2 ⎝ ⎪ + 0 z 9 18 p ⎪ = ⇒ 7 z p = 18 ⇒ x p = ⎪7 2 7 ⎩

b) Uno de los vectores directores del plano buscado es el de p, el otro es el del eje OZ y el último el vector formado por el punto genérico y el origen de coordenadas que es por donde pasa el eje OZ

⎧ vπ = (1 , 2 , 3) x y z ⎪ vOZ = (0 , 0 , 1) ⇒ σ ≡ 1 2 3 = 0 ⇒ σ ≡ 2x − y = 0 ⎨ ⎪v = ( x , y , z ) − (0 , 0 , 0 ) = ( x , y , z ) 0 0 1 ⎩ generico

3




Continuación del problema 3.A.c) Los puntos de corte, B, C y D, serán los del plano p con los ejes OX, OY y OZ . Con ellos se formaran los vectores BC y BD con los que hallaremos el volumen pedido

⎧ ⎧x = 0 + λ = λ ⎧x = 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ λ + 2.0 + 3.0 = 6 ⇒ λ = 6 ⇒ B ⎨ y = 0 ⇒ B(6 , 0 , 0) y=0 ⎪ OX ≡ ⎨ ⎪z = 0 ⎪ ⎪ z=0 ⎩ ⎩ ⎪ ⎧ 0 x = ⎧x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ OY ≡ ⎨ y = μ ⇒ 0 + 2.μ + 3.0 = 6 ⇒ 2 μ = 6 ⇒ μ = 3 ⇒ C ⎨ y = 3 ⇒ C (0 , 3 , 0) ⎪z = 0 ⎪z = 0 ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎧x = 0 ⎪ ⎧x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪OZ ≡ ⎨ y = 0 ⇒ 0 + 2.0 + 3.α = 6 ⇒ 3.α = 6 ⇒ α = 2 ⇒ D ⎨ y = 0 ⇒ D(0 , 0 , 2) ⎪z = 2 ⎪z = α ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ 6 0 0 1 1 1 V = ⋅ OB × OC ⋅ OD ⇒ V = ⋅ 0 3 0 = ⋅ 36 = 6 u 3 6 6 6 0 0 2

4




4.A.- Sabiendo que una función f(x) tiene como derivada f’(x) = (x – 4)2(x2 – 8x + 7) a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f b) Hallar los máximos y mínimos relativos de f c) ¿Es el punto x = 4 un punto de inflexión de f?.Justificar razonadamente la respuesta

a) x 2 − 8 x + 7 = 0 ⇒ Δ = 64 − 28 = 36 > 0 ⇒ x1, 2

8+6 ⎧ = =7 x 1 ⎪ 8 ± 36 2 ⇒⎨ ⇒ = 8−6 2 ⎪ x2 = =1 2 ⎩

f ' ( x ) = ( x − 1)( x − 4) ( x − 7 ) ⇒ Crecimiento ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ ( x − 1)( x − 4) ( x − 7 ) > 0 2

2

⎧ x − 1 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 1 ⎪ 2 ⇒ ⎨ (x − 4) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎪ x − 7 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 7 ⎩

−∞

1

∞

7

x>1

-

+

+

x>7

-

-

+

f’(x) > 0

f’(x) < 0

Crecimiento ∀x ∈ ℜ / ( x < 1) ∪ ( x > 7 )

f’(x) > 0

Decrecimiento ∀x ∈ ℜ / 1 < x < 7

b) En x = 1 hay un máximo relativo ( De crecimiento pasa a decrecimiento) En x = 7 hay un mínimo relativo ( De decrecimiento pasa a crecimiento) c)

f ' ' (x ) = ( x − 4 ) ( x − 7 ) + ( x − 1).2.(x − 4 )( x − 7 ) + ( x − 1)( x − 4 ) 2

2

f ' ' (x ) = ( x − 4)[( x − 4)( x − 7 ) + 2( x − 1)( x − 7 ) + ( x − 1)(x − 4 )] f ' ' (4 ) = (4 − 4 )[(4 − 4 )(4 − 7 ) + 2(4 − 1)(4 − 7 ) + (4 − 1)(4 − 4 )] = 0 ⇒ Existe un punto de inf lexión en x = 4

5




OPCIÓN B 1.B.- a) Hallar el conjunto formado por los puntos del plano z = 0 que distan 3 unidades del plano de ecuación 2x – y + 2z = 4 b) Describir dicho conjunto

a) Los puntos del plano son de la forma ( x , y , 0) ⇒ 3 = ±

2 x − y + 2.0 + 4 2 2 + (− 1) + 2 2 2

⇒3=±

2x − y + 4 9

9 = 2x − y + 4 ⇒ 2x − y + 5 = 0 ⎧ ⎨ ⎩9 = −(2 x − y + 4) ⇒ 9 = −2 x + y − 4 ⇒ 2 x − y + 13 b) Ambos conjuntos son rectas en el plano z = 0

6




2.B.- El plano p ≡ 2x - 2y + z = - 2 determina un tetraedro con los tres planos coordenados. Se pide: a) Calcular la longitud de la altura del tetraedro que parte del origen b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a dicha altura. c) Calcular el área de la cara del tetraedro que esta contenida en el plano p.

a) Calcularemos los puntos de corte A, B y C con los tres ejes coordenados que generan el plano p. Hallaremos la altura como la distancia del origen al plano generado

⎧x = λ ⎪ Con OX ≡ ⎨ y = 0 ⇒ 2λ − 2.0 + 0 = −2 ⇒ 2λ = −2 ⇒ λ = −1 ⇒ ⎪z = 0 ⎩

⎧ x = −1 ⎪ A⎨ y = 0 ⇒ A(− 1 , 0 , 0) ⎪z=0 ⎩

⎧x = 0 ⎧x = 0 ⎪ ⎪ Con OY ≡ ⎨ y = μ ⇒ 2.0 − 2.μ + 0 = −2 ⇒ −2 μ = −2 ⇒ μ = 1 ⇒ B ⎨ y = 1 ⇒ B(0 , 1 , 0 ) ⎪z =0 ⎪z = 0 ⎩ ⎩ ⎧x = 0 ⎧x=0 ⎪ ⎪ Con OZ ≡ ⎨ y = 0 ⇒ 2.0 − 2.0 + α = −2 ⇒ α = −2 ⇒ C ⎨ y = 0 ⇒ C (0 , 0 , − 2) ⎪z = α ⎪ z = −2 ⎩ ⎩ ⎧ AB = (0 , 1 , 0 ) − (− 1 , 0 , 0) = (1 , 1 , 0) x +1 ⎪ ⎨ AC = (0 , 0 , − 2 ) − (− 1 , 0 , 0 ) = (1 , 0 , − 2) ⇒ π ≡ 1 ⎪ AG = ( x , y , z ) − (− 1 , 0 , 0) = ( x + 1 , y , z ) 1 ⎩ 2.0 − 2.0 + 0 + 2 π ≡ 2 x − 2 y + z + 2 = 0 ⇒ h = d Oπ = = 2 2 2 + (− 2) + 12

y z 1 0 = 0 ⇒ −2(x + 1) − z + 2 y = 0 ⇒ 0 −2 2 9

=

2 u 3

b) La recta pedida r pasa por el origen y tiene como vector director el del plano p que es perpendicular a él y paralelo a la recta.

⎧ x = 0 + 2β = 2β ⎪ v r = vπ = (2 , − 2 , 1) ⇒ r ≡ ⎨ y = 0 − 2 β = −2 β ⎪ z = 0+β = β ⎩ c) i j k 1 A = ⋅ AB × AC ⇒ AB × AC = 1 1 0 = −2i − k + 2 j ⇒ AB × AC = 2 1 0 −2 A=

(− 2)2 + 12 + 2 2

1 3 ⋅3 = u2 2 2

7

= 9 =3⇒



3.B.- Sea la función f ( x ) =

(x


2x + 1 2

+ x + 1)

2

a) Hallar sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas b) Dibujar la gráfica de la función, utilizando la información obtenida en el apartado anterior, teniendo en cuenta, además, que f tiene exactamente tres puntos de inflexión cuyas abscisas son: x1

=

1 −1− 3 −1+ 3 , x 2 = − , x3 = , respectivamente. 2 2 2

c) Calculara el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, del eje OX, la recta x = 0, y la recta x = 2

a)

( f ' (x ) =

)

(

)

2 x 2 + x + 1 − 2 x 2 + x + 1 (2 x + 1)(2 x + 1)

f ' (x ) =

2

(x

)

4

+ x +1

2

2 x 2 + 2 x + 2 − 8x 2 − 8x − 2

(x

2

)

+ x +1

3

=

− 6x 2 − 6x

(x

2

)

+ x +1

3

=

(

)

2 x 2 + x + 1 − 2(2 x + 1)

= (− 6)

(x

(x

2

)

+ x +1

x2 + x 2

2

)

+ x +1

3

3

= (− 6)

⇒

(x

(x + 1)x 2

)

+ x +1

3

x 2 + x + 1 = 0 ⇒ Δ = 1 − 4 = −3 < 0 ⇒ ∀x ∉ ℜ ⇒ − 6 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎧ ⎪ x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 0 (x + 1)x > 0 ⇒ ⎪ Crecimiento ⇒ f ' (x ) > 0 ⇒ (− 6 ) ⎨ 3 x2 + x +1 ⎪ x + 1 > 0 ⇒ x > −13 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > −1 ⎪⎩ x 2 + x + 1 ⇒ ∀x ∉ ℜ

(

)

−∞

(

-1

)

∞

0

-6

(-)

(-)

(-)

x>-1

(-)

(+)

(+)

x>0

(-)

(-)

(+)

Valor

(-)

(+)

(-)

Decrecimiento ∀x ∈ ℜ / ( x < −1) ∪ ( x > 0 )

Crecimiento ∀x ∈ ℜ / − 1 < x < 0

Mínimo en x = -1

⇒ f (− 1) =

2(− 1) + 1

[(− 1)

2

]

+ (− 1) + 1

2

=

−1 = −1 ( De decrecimiento pasa a 1

crecimiento) Máximo en x = 0 ⇒ f (− 1) =

2.0 + 1

1 = = 1 ( De crecimiento pasa a decrecimiento) 1 0 + 0 +1

[

2

]

2

8




Continuación problema 3.B.-

a)Continuación Asíntotas verticales Como x 2 + x + 1 = 0 ⇒ Δ = 1 − 4 = −3 < 0 ⇒ ∀x ∉ ℜ ⇒ No hay asíntotas verticales Asíntotas horizontales 2x 1 2 1 2 1 + 4 + 4 + 4 3 ∞ 2x + 1 x x x x ∞ ∞ = = lim = lim = y = lim 2 2 2 2 2 x →∞ x →∞ x →∞ 2 ∞ 1 1⎞ (x + x + 1) ⎛ ⎛x ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞ x ⎜1 + + ⎟ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ⎜1 + + 2 ⎟ x x ⎠ ⎝ ∞ ∞⎠ ⎝ x x ⎠ ⎝x y=

0+0 0 = = 0 ⇒ Asíntota horizontal ⇒ y = 0 ⇒ x → ∞ 2 (1 + 0 + 0) 1

y = lim

x → −∞

(x

2x + 1 2

+ x + 1)

2

= lim x →∞

2(− x ) + 1

[(− x)

2

]

+ (− x ) + 1

2

= lim x →∞

(x

− 2x + 1 2

2x 1 + 4 4 ∞ x x = = lim x → ∞ 2 ∞ ⎛x 1 x ⎜⎜ 2 − 2 + 2 x x ⎝x −

− x + 1)

2

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

2 1 2 1 + 4 − + 3 x x ∞ ∞ = −0+0 = 0 = 0⇒ = y = lim 2 2 x →∞ (1 − 0 + 0)2 1 1 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ ⎜1 − + 2 ⎟ ⎜1 − + ⎟ ⎝ x x ⎠ ⎝ ∞ ∞⎠ Asíntota horizontal ⇒ y = 0 ⇒ x → −∞ Asíntotas oblícuas 2x + 1 2x 1 2 1 2 + 5 + 5 2 5 4 (x + x + 1) = lim 2 x + 1 = ∞ = lim x x x x = lim m = lim 2 2 2 2 → −∞ → ∞ → ∞ x →∞ x x x 2 ∞ x x(x + x + 1) ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞ x⎛x x + + 1 . 1 ⎜ ⎟ ⎜ + + ⎟ x x2 ⎠ ⎝ x ⎜⎝ x 2 x 2 x 2 ⎟⎠ 2 1 + 0+0 0 ∞ ∞ = = = 0 ⇒ No hay asíntota oblicua cuando x → ∞ m= 2 2 1 1.(1 + 0 + 0) 1 1⎞ ⎛ 1.⎜1 + + ⎟ ⎝ ∞ ∞⎠ 2x + 1 −

(x m = lim

− 2x + 1 ∞ 2(− x ) + 1 + x + 1) = lim = lim = = 2 2 2 2 → ∞ → ∞ x → −∞ x x ∞ x (− x)(x − x + 1) (− x) (− x ) + (− x ) + 1 2x 1 2 1 2 1 − 5 + 5 − 4 + 5 − + 0+0 0 x x x x ∞ ∞ = lim m = lim = = =0 2 2 2 2 x →∞ x → ∞ (− 1)(. 1 + 0 + 0) − 1 1 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ x ⎛ x2 x (− 1).⎜1 − + 2 ⎟ (− 1).⎜1 − + ⎟ − ⎜⎜ 2 − 2 + 2 ⎟⎟ ⎝ x x ⎠ ⎝ ∞ ∞⎠ x⎝x x x ⎠ 2

2

[

]

⇒ No hay asíntota oblicua cuando x → −∞

9




Continuación del problema 3.B.b) 1,5

Y 1

0,5

0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

X -0,5

-1

-1,5

c) 2x + 1

2

A=∫ 0

(x

2

7

+ x + 1)

2

7

[ ]

1 1 ⋅ t −1 dx = ∫ 2 dt = ∫ t −2 dt = (− 1) 1 t 1

7

1

1 6 ⎛ 1 1⎞ = −⎜ − ⎟ = 1 − = u 2 7 7 ⎝ 7 1⎠

⎧x = 2 ⇒ t = 22 + 2 + 1 = 7 x + x + 1 = t ⇒ (2 x + 1) dx = dt ⇒ ⎨ 2 ⎩ x = 0 ⇒ t = 0 + 0 +1 = 1 2

10




4.B.- a) Discutir según los valores del parámetro real l el sistema

⎧λx + 3 y + z = λ ⎪ ⎨ x + λy + λz = 1 ⎪ x + y − z =1 ⎩ b) Resolver el sistema anterior en el caso l = 2

a) ⎧λx + 3 y + z = λ ⎪ ⎨ x + λy + λ z = 1 ⎪ x + y − z =1 ⎩

λ

3

A= 1 λ 1

1

1

λ = −λ2 + 3λ + 1 − λ − λ2 + 3 = −2λ2 + 2λ + 4 ⇒ Si A = 0 ⇒ −2λ2 + 2λ + 4 = 0 ⇒ −1

1+ 3 ⎧ λ1 = =2 ⎪ ± 1 9 2 λ2 − λ − 2 = 0 ⇒ Δ = 1 + 8 = 9 > 0 ⇒ λ1, 2 = ⇒⎨ 1− 3 2 ⎪λ 2 = = −1 ⎩ 2 ∀λ ∈ ℜ − {− 1 , 2} ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado Cuando λ = −1 ⎛ − 1 3 1 − 1⎞ ⎛ − 1 3 1 − 1⎞ ⎛ − 1 3 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 1 − 1 − 1 1 ⎟ ≡ ⎜ 0 2 0 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 2 0 0 ⎟ ⇒ Sistema Compatible In det er min ado ⎜ 1 1 −1 1 ⎟ ⎜ 0 4 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ Cuando λ = 2 ⎛ 2 3 1 2⎞ ⎛ 2 3 1 2⎞ ⎛ 2 3 1 2⎞ ⎛ 2 3 1 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 3 0 ⎟ ⇒ Sist. Comp. In det er min ado ⎜1 2 2 1⎟ ≡ ⎜ 2 4 4 2⎟ ≡ ⎜ 0 1 ⎜1 1 −1 1⎟ ⎜ 2 2 − 2 2⎟ ⎜ 0 −1 − 3 0⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b) y + 3 z = 0 ⇒ y = −3 z ⇒ 2 x + 3.(− 3 z ) + z = 2 ⇒ 2 x − 8 z = 2 ⇒ 2 x = 8 z + 2 ⇒ x = 4 z + 1 Solución(4α + 1 , − 3α , α )

11




OPCIÓN A ⎧ x + y − 2z = 0 ⎪ A.1.- Sea el sistema homogéneo de ecuaciones ⎨ ax − y + z = 0 ⎪ x + 2ay − z = 0 ⎩ a) Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distinta de la nula b) Resolver el sistema para el valor o los valores hallados en el apartado anterior

a) Son aquellos que hacen que el determinante de los coeficientes sea nulo y que generan sistemas compatibles indeterminados

1 −2 A = a − 1 1 = 1 + 1 − 4a 2 − 2 − 2a + a = −4a 2 − a = − a (4a + 1) ⇒ Si A = 0 ⇒ − a (4a + 1) = 0 ⇒ 1 2a − 1 1

a=0 ⎧⎪ ⎧ 1 ⎫ ⎨4a + 1 = 0 ⇒ a = − 1 ⇒ ∀a ∈ ℜ − ⎨− , 0⎬ = rang ( A) = 3 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado ⎩ 4 ⎭ ⎪⎩ 4 ⎧⎪ a = 0 1 ⇒ Sistema Compatible In det er min ado Cuando ⎨ a = − ⎪⎩ 4

1


A.2.- La recta

x=



1− y 2 − z = corta a los tres planos coordenados en tres puntos 3 2

a) Determinar las coordenadas de estos puntos b) La distancias existentes entre cada par de ellos c) Indicar cual es el que se encuentra en medio de los otros dos

a) ⎧ x =1 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪Corte con OXY ≡ z = 0 ⇒ 2 − 2λ = 0 ⇒ λ = 1 ⇒ A⎨ y = 1 − 3.1 = −2 ⎪ z = 2 − 2.1 = 0 ⎪ ⎩ ⎪ 1 ⎧ ⎪ x= ⎧ x=λ ⎪ ⎪ 3 y −1 z − 2 ⎪ 1 ⎪ ⎪ x= ⇒ ⎨ y = 1 − 3λ ⇒ ⎨ Corte con OXZ ≡ y = 0 ⇒ 1 − 3λ = 0 ⇒ λ = ⇒ B ⎨ = y=0 3 −2 −3 ⎪ z = 2 − 2λ ⎪ ⎪ 2. 4 ⎩ ⎪ ⎪z = 2 − 3 = 3 ⎩ ⎪ ⎧x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ Corte con OYZ ≡ x = 0 ⇒ λ = 0 ⇒ C ⎨ y = 1 ⎪ ⎪z = 2 ⎪⎩ ⎩ b) 2 2 ⎧ 1 4 2 4 2 4 4 + 36 + 16 56 2 ⎪ AB = ⎛⎜ , 0 , ⎞⎟ − (1 , − 2 , 0 ) = ⎛⎜ − , 2 , ⎞⎟ ⇒ AB = ⎛⎜ − ⎞⎟ + 2 2 + ⎛⎜ ⎞⎟ = = = ⋅ 14 u 3⎠ 3⎠ 9 3 3 ⎪ ⎝3 ⎝ 3 ⎝ 3⎠ ⎝3⎠ ⎪ 2 2 2 AC = (0 , 1 , 2 ) − (1 , − 2 , 0 ) = (− 1 , 3 , 2 ) ⇒ AC = (− 1) + 3 + 2 = 14 u ⎨ ⎪ 2 2 4⎞ ⎛ 1 2⎞ 1+ 9 + 4 14 1 ⎪ ⎛2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1 2 = = ⋅ 14 u ⎪ BC = (0 , 1 , 2 ) − ⎜ 3 , 0 , 3 ⎟ = ⎜ − 3 , 1 , 3 ⎟ ⇒ BC = ⎜ − 3 ⎟ + 1 + ⎜ 3 ⎟ = 9 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩

c) El punto medio es el B, se denota en las distancias, los mas alejados son A y C cuya distancia es igual a la suma de la distancias de A a B y de B a C

2




A.3.- Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima Calcular dicha suma

e = x+ y ⇒ y =e−x ⎧ 1 (− 1) e − x − x e − 2 x ⇒ S ' = 0 ⇒ e − 2x = 0 ⇒ = = ⇒ S'= + ⎨ x e − x x(e − x ) ex − x 2 ⎩S = ln x + ln y = ln x + ln (e − x ) e e = 2x ⇒ x = 2 − 2 x(e − x ) − (e − 2 x ) ⋅ (e − 2 x ) − 2 xe + 2 x 2 − e 2 − 4ex + 4 x 2 − 2 x 2 − e 2 + 2ex = = S''= 2 2 2 x 2 (e − x ) x 2 (e − x ) x 2 (e − x )

(

)

2

2 2 ⎛e⎞ ⎛e⎞ − 2⎜ ⎟ − e 2 + 2e⎜ ⎟ (− 2 ) e − e 2 + e 2 (− 2) e ⎛e⎞ ⎝2⎠ = ⎝2⎠ 4 4 = − 2 = − 8 < 0 ⇒ Máximo = S ''⎜ ⎟ = 2 2 2 2 2 2 2 e2 e e e ⎝2⎠ e ⎛e⎞ ⎛ e ⎞ ⎡ ⎛ e ⎞⎤ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢e − ⎜ ⎟ ⎥ 4 4 4 4 ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ e e y =e− = 2 2

b) ⎛ e2 e e ⎛e e⎞ + ln = ln ⎜ ⋅ ⎟ = ln ⎜⎜ 2 2 ⎝2 2⎠ ⎝ 4

⎞ ⎟⎟ ⎠ Tambien se puede dar como ⇒ S = ln e 2 − ln 4 = 2. ln e − ln 4 = 2.1 − ln 4 = 2 − ln 4 S = ln

3




A.4.- Calcular el área encerrada entre las gráficas de la recta

y = x + 2 y la parábola y = x 2

Puntos de corte entre funciones ⇒ x + 2 = x 2 ⇒ x 2 − x − 2 = 0 ⇒ Δ = 1 + 8 = 9 > 0 ⇒ x = 1+ 3 ⎧ ⎪x= 2 =2 ⎧0 + 2 = 2 ⇒ x + 2 > x2 ⇒ x=0⇒⎨ 2 ⎨ 1− 3 ⎩ 0 =0 ⎪x = = −1 2 ⎩ 2

A=

∫ (x + 2) dx − ∫ x

−1

A=

2

−1

2

dx =

[ ]

1 2 ⋅ x 2

2

−1

en − 1 ≤ x ≤ 2 ⇒

[ ]

1 2 + 2[x ]−1 − ⋅ x 3 3

1± 9 ⇒ 2

2

−1

=

[

]

[

1 2 1 2 3 ⋅ 2 − (− 1) + 2.[2 − (− 1)] − ⋅ 2 3 − (− 1) 2 3

1 1 3 9 3 9 ⋅ (4 − 1) + 6 − ⋅ [8 − (− 1)] = + 6 − = + 3 = u 2 2 3 2 3 2 2

4

]




OPCIÓN B

⎛ 2 − 2⎞ ⎟⎟ siendo ⎝3 3 ⎠

B.1 a) Determinar una matriz cuadrada X que verifique AX + XA = ⎜⎜

⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝1 1 ⎠ . b) Analizar, posteriormente, si la matriz X es invertible, y en el caso de serlo calcular su matriz inversa.

a) b ⎞ ⎛ a + b b ⎞ ⎛ 2 − 2⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 2 − 2 ⎞ ⎛ a ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎝1 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ a + c b + d ⎠ ⎝ c + d d ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ 3 ⎧ a a − = ⇒ = 2 1 2 2a + b = 2 ⎧ ⎪ 2 2b ⎞ ⎛ 2 − 2 ⎞ ⎪⎪2b = −2 ⇒ b = −1 ⎪⎪ 3 ⎛ 2a + b 3 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎨ ⇒⎨ + 2c + d = 3 ⇒ 2c + d = 3 − ⇒ 2 ⎝ a + 2c + d b + 2 d ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎪ a + 2c + d = 3 ⎪ 2 d d − + = ⇒ = 1 2 3 2 ⎪⎩ b + 2d = 3 ⎪ ⎪⎩ ⎛ 3 ⎞ − 1⎟ ⎜ 1 1 3 3 ⎟ 2c + 2 = ⇒ 2c = − 2 = − ⇒ c = − ⇒ X = ⎜ 2 2 4 2 2 ⎜⎜ − 1 2 ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ b) 3 X = 2 1 − 4

−1 2

=

1 1 12 − 1 11 1 3 ⋅2− = 3− = = ≠ 0 ⇒ ∃X −1 ⇒ X −1 = ⋅ adj X t ⇒ X 4 4 4 4 2

(

1⎞ ⎛3 ⎛2 − ⎟ t t ⎜ ⎜ X = 2 4 ⎟ ⇒ adj X = ⎜ 1 ⎜ ⎝4 ⎝−1 2 ⎠

(

)

1⎞ 1 ⎛⎜ 2 3 ⎟ ⇒ X −1 = ⋅ 1 ⎟ 11 ⎜ 2⎠ ⎝4 4

1⎞ 4 ⎛2 3 ⎟ = ⋅⎜ 1 ⎟ 11 ⎜ 2⎠ ⎝4

)

⎛8 4⎞ 1⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎟ = ⎜ 11 11 ⎟ 1 6⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 11 11 ⎠

5




B.2.

⎧x + 2 y − z = 3 ⎩2x − y + z = 1

a) Sea r la recta intersección de los dos planos ⎨ a) Determinar el plano

π que contiene a la recta r y que pasa por el origen de coordenadas.

b) Escribir la ecuación de la recta perpendicular a

π y que pasa por el punto (1 , 0 , 1)

a) Utilizaremos la ecuación del haz de planos que pasa por la recta intersección de los planos. Calcularemos el parámetro de ese haz que pasador el punto dado (el origen de coordenadas) que nos da el parámetro con el que calcularemos el plano pedido

x + 2 y − z − 3 + λ (2 x − y + z − 1) = 0 ⇒ 0 + 2.0 − 0 − 3 + λ (2.0 − 0 + 0 − 1) = 0 ⇒ −3 − λ = 0 ⇒ λ = −3 x + 2 y − z − 3 − 3 ⋅ (2 x − y + z − 1) = 0 ⇒ x + 2 y − z − 3 − 6 x + 3 y − 3 z + 3 = 0 ⇒ −5 x + 5 y − 4 z = 0 ⇒ π ≡ 5x − 5 y + 4 z = 0 b) La recta r, pedida, tiene como vector director el del plano π

⎧ x = 1 + 5λ x −1 y z −1 ⎪ v r = vπ = (5 , − 5 , 4 ) ⇒ r ≡ ⎨ y = −5λ ⇒ = = 5 −5 4 ⎪ z = 1 + 4λ ⎩

6


B.3.- Sea el polinomio



x 3 + ax 2 + bx + c

a) Determinar los coeficientes a , b y c sabiendo que tiene extremos en x = - 1 y en x = 1 y que pasa por el origen de coordenadas b) Estudiar la naturaleza de ambos extremos

a) ⎧ f (0 ) = 0 ⇒ 0 3 + a.0 2 + b.0 + c = 0 ⇒ c = 0 ⎪ 2 f ' ( x ) = 3x 2 + 2ax + b ⇒ ⎨ f ' (− 1) = 0 ⇒ 3.(− 1) + 2a.(− 1) + b. = 0 ⇒ 3 − 2a + b = 0 ⇒ −2a + b = −3 ⇒ ⎪ f ' (1) = 0 ⇒ 3.12 + 2a.1 + b. = 0 ⇒ 3 + 2a + b = 0 ⇒ 2a + b = −3 ⎩ 2b = −6 ⇒ b = −3 ⇒ 2a − 3 = −3 ⇒ 2a = 0 ⇒ a = 0 f (x ) = x 3 − 3x b) ⎧ f ' ' (− 1) = 6.(− 1) = −6 < 0 ⇒ Máximo ⇒ f (− 1) = (− 1)3 − 3.(− 1) = −1 + 3 = 2 ⇒ (− 1 , 2) f ' ' (x ) = 6 x ⇒ ⎨ f ' ' (1) = 6.1 = 6 > 0 ⇒ Mínimo ⇒ f (1) = 13 − 3.1 = 1 − 3 = −2 ⇒ (1 , − 2 ) ⎩

7




B.4,- Sea la parábola f ( x ) = x − 6 x + 9 2

a) Probar que es tangente a uno de los ejes coordenados, indicando a cual b) Calcular el área encerrada entre la gráfica de la parábola y los dos ejes coordenados

a) f ' (x ) = 2 x − 6 ⇒ f ' (x ) = 0 ⇒ x = 2 x − 6 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ f (3) = 3 2 − 6.3 + 9 = 0 ⇒ En (3 , 0 ) Tangente al eje OX (abcisas ) en el punto indicado b) f ( x ) = 0 ⇒ x 2 − 6 x + 9 = 0 ⇒ Δ = 36 − 36 = 0 ⇒ x =

6 =3 2 f (2 ) = 2 2 − 6.2 + 9 = 1 ⇒ f ( x ) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / 0 ≤ x ≤ 3 3

(

)

A = ∫ x 2 − 6 x + 9 dx = 0

A=

[ ]

1 3 ⋅ x 3

3 0

[ ]

1 − 6 ⋅ ⋅ x2 2

3 0

+ 9 ⋅ [x ]0 = 3

(

)

(

)

1 3 ⋅ 3 − 0 3 − 3 ⋅ 3 2 − 0 2 + 9 ⋅ (3 − 0 ) 3

27 − 3⋅9 + 9⋅3 = 9 u2 3

8




OPCIÓN A 1. A.- a) Calcular el límite de la sucesión cuyo término general es

⎛ 3n − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3n ⎠

2n

x

2 t b) Sean las funciones F ( x ) = ∫ 5 + e dt , g ( x ) = x .Calcular (F ( g ( x )))' 4

1

a) ⎛ 3n − 1 ⎞ lim ⎜ ⎟ ⎝ 3n ⎠

n →∞

2n

⎛ 3n ( −1) ⎞ = 1∞ = lim ⎜ + ⎟ n →∞ 3n 3n ⎠ ⎝

−3 n ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ = lim ⎢ ⎜ 1 + ⎥ n →∞ −3n ⎟⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝

−

1 ⋅2 n 3n

⎛ 2n ⎞ lim ⎜ − ⎟ 3n ⎠

= e n →∞ ⎝

2n

⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ = lim ⎜ 1 + n →∞ 3n ⎟⎟ ⎜ ⎝ −1 ⎠

=e

−

2 3

=

2n

=

1 3

e2

b) x

( )

4 4 2 4 8 F ( x ) = ∫ 5 + e t dt ⇒ F ' ( x ) = 5 + e x ⇒ F ' [g ( x )] = F ' x 2 = 5 + e (x ) = 5 + e x

1

1




⎧ ex −1 ⎪ si x ≠ 0 2.A.- Dada la función: f ( x ) = ⎨ x 2 − x ⎪⎩ a si x = 0

a) Determinar su dominio y calcular los limites laterales cuando x → 1 b) Estudiar su continuidad, y hallar el valor de a para que f sea continua en x = 0

a) x=0 ⎧ ⇒ Dom[ f ( x )] = ∀x ∈ ℜ − {0 , 1} x 2 − x = 0 ⇒ (x − 1)x = 0 ⇒ ⎨ ⎩x − 1 = 0 ⇒ x = 1 Límites laterales lim− f ( x ) = lim−

ex −1 e1 − 1 e1 − 1 = = = −∞ x 2 − x 1− 2 − 1− 0−

lim+ f (x ) = lim+

ex −1 e1 − 1 e1 − 1 = = =∞ x 2 − x 1+ 2 − 1+ 0+

x →1

x →1

x →1

x →1

( )

( )

b) Continua ⇒ ∀x ∈ ℜ − { 1} Continuidad en x = 0 ⎧ e x −1 e0 −1 0 ex e0 Aplicando L ' Hopital ( ) f x = = = = ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → = lim = = lim lim ⎪⎪ x→0− x→0 − x 2 − x x →0 − 2 x − 1 2.0 − 1 02 − 0 0 ⎨ x 0 ex e0 Aplicando L ' Hopital ⎪ lim f ( x ) = lim e − 1 = e − 1 = 0 = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → = = = lim ⎪⎩ x →0+ x→0 + x 2 − x x→0 + 2 x − 1 2.0 − 1 02 − 0 0 lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = −1 = f (0) = a ⇒ a = −1 x →0

1 = −1 −1 ⇒ 1 = −1 −1

x →0

2




3.A.- Discutir según los valores del parámetro l y resolver en los casos que sea posible el sistema

⎧6 x + 4 y + 2λz = 2 ⎪ ⎨ λx + y − z = 2 ⎪5 x + 3 y + 3 z = 2λ ⎩ a) 6 4 2λ A = λ 1 −1 = 18 − 20 + 6λ 2 − 10λ + 18 − 12λ = 6λ 2 − 22λ + 16 ⇒ Si A = 0 ⇒ 6λ 2 − 22λ + 16 ⇒ 5 3

3

3λ 2 − 11λ + 8 ⇒ Δ = 121 − 96 = 25 > 0 ⇒ λ1,2

11 + 5 16 8 ⎧ ⎪⎪λ1 = 6 = 6 = 3 11 ± 25 = ⇒⎨ 6 ⎪ λ = 11 − 5 = 1 2 ⎪⎩ 6

⎧ 8⎫ ∀λ ∈ ℜ − ⎨1, ⎬ = rang ( A ) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado ⎩ 3⎭

λ =1 ⎛ 6 4 2 2 ⎞ ⎛ 3 2 1 1⎞ ⎛ 3 2 1 1⎞ ⎛ 3 2 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 −1 2 ⎟ ≡ ⎜ 3 3 −3 6 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 −4 5 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 −4 5 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⎜ 5 3 3 2 ⎟ ⎜ 15 9 9 6 ⎟ ⎜ 0 −1 4 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

λ=

8 3

16 ⎛ ⎞ ⎜6 4 3 ⎟ 2 ⎟ ⎛ 18 12 16 6 ⎞ ⎛ 9 6 8 3 ⎞ ⎛9 6 8 3⎞ ⎜ ⎜ 8 1 −1 2 ⎟ ≡ ⎜ 8 3 −3 6 ⎟ ≡ ⎜ 72 27 −27 54 ⎟ ≡ ⎜ 0 −21 −91 30 ⎟ ≡ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜3 ⎟ ⎜ ⎜ 16 ⎟ ⎜⎝ 15 9 9 16 ⎟⎠ ⎜⎝ 45 27 27 48 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −3 −13 33 ⎟⎠ ⎜5 3 3 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛9 6 8 3 ⎞ ⎛9 6 8 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≡ ⎜ 0 −21 −91 30 ⎟ ≡ ⎜ 0 −21 −91 30 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⎜ 0 −21 −91 231⎟ ⎜ 0 0 0 201⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

3




Continúa el problema 3.A.-

b) 6 4 2λ A = λ 1 − 1 = 18 − 20 + 6λ2 − 10λ + 18 − 12λ = 6λ2 − 22λ + 16 ⇒ Si A = 0 ⇒ 6λ2 − 22λ + 16 ⇒ 5 3 3

x=

2

4 2λ

2

1 −1

2λ

(

3

6

2 2

λ y=

5 2λ

(

)

36 − 10 + 4λ3 − 20λ + 12λ − 6λ 4λ3 − 14λ + 26 2 ⋅ 2λ3 − 7λ + 13 2λ3 − 7λ + 13 = = = 2 2 ⋅ 3λ2 − 11λ + 8 2 ⋅ 3λ2 − 11λ + 8 2 ⋅ 3λ2 − 11λ + 8 3λ − 11λ + 8

)

=

12λ + 40 + 6λ − 10 − 36 − 8λ2 − 8λ2 + 18λ − 6 − 2 ⋅ 4λ2 − 9λ + 2 4λ 2 − 9λ + 2 = = = − 2 ⋅ 3λ2 − 11λ + 8 2 ⋅ 3λ2 − 11λ + 8 2 ⋅ 3λ2 − 11λ + 8 3λ2 − 11λ + 8

3

2 ⋅ 3λ − 11λ + 8

)

(

(

)

(

)

(

)

(

)

( (

) )

(

) )

2

2 5 3 2λ

2 ⋅ 3λ − 11λ + 8 2

)

=

(

λ 1 z=

(

)

2λ −1

2

6 4

)

− 4λ2 + 4λ − 12 − 4 λ2 − λ + 3 6 − 8λ + 12λ − 4λ2 + 6 − 24 2 λ2 − λ + 3 = = = − 2 ⋅ 3λ2 − 11λ + 8 2 ⋅ 3λ2 − 11λ + 8 2 ⋅ 3λ2 − 11λ + 8 3λ2 − 11λ + 8

2 ⋅ 3λ − 11λ + 8 2

(

=

3

(

)

(

)

(

4



4.A.- Se considera las rectas: r :


x y −1 z − 3 x − 2 y z +1 = = s: = = 1 2 3 1 −1 −2

a) Calcular la distancia entre r y s b) Hallar la ecuación cartesiana de la recta perpendicular común a r y s y que corta a amabas c) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta que corta a r y s y que pasa por el punto P(1 , 0, 0)

a) ⎧⎪v r = (1 , − 2 , 2) 1 − 2 ⇒ ≠ ⇒ No son paralelas ni coincidentes ⎨ 3 1 ⎪⎩ v s = (3 , 1 , − 1) ⎧ ⎧ x=λ ⎪ ⎪ ⎪ r : ⎨ y = 1 − 2λ ⎧ λ = 2 + 3μ ⎪⎪ ⎪⎩ z = 3 + 2λ ⎧λ − 3μ = 2 ⎧− 2λ + 6 μ = −4 3 ⎪ ⇒ ⎨ 1 − 2λ = μ ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⇒ 7 μ = −3 ⇒ μ = − ⇒ ⎨ 7 ⎩ 2λ + μ = 1 ⎩ 2λ + μ = 1 ⎪ ⎧⎪ x = 2 + 3μ ⎪3 + 2λ = −1 − μ ⎩ ⎪s : ⎨ y = μ ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎩ z = −1 − μ 9 5 10 3 31 4 ⎛ 3⎞ ⎛5⎞ ⎛ 3⎞ = ⇒ 3 + 2⎜ ⎟ = −1 − ⎜ − ⎟ ⇒ 3 + = −1 + ⇒ ≠− ⇒ 7 7 7 7 7 7 ⎝ 7⎠ ⎝7⎠ ⎝ 7⎠ No se cor tan ⇒ Se cruzan

λ − 3⋅⎜− ⎟ = 2 ⇒ λ = 2 −

Hallaremos un plano p que contendrá a la recta s, y que sea paralelo a la recta r. Después hallaremos la distancia de un punto de r al plano hallado

⎧ x − 2 y z +1 v r = (1 , − 2 , 2) ⎪ ⇒π : 1 −2 2 =0⇒ v s = (3 , 1 , − 1) ⎨ ⎪SG = ( x , y , z ) − (2 , 0 , − 1) = ( x − 2 , y , z + 1) −1 3 1 ⎩ 2( x − 2) + 6 y + ( z + 1) + 6( z + 1) − 2( x − 2) + y = 0 ⇒ 7 y + 7( z + 1) = 0 ⇒ 7 y + 7 z + 7 = 0 ⇒ π : y + z + 1 = 0 ⇒ d rs = d Rπ ⇒ R(0 , 1 , 3) ⇒ d rs =

1+ 3 +1 12 + 12

=

5 2

=

5 2 u 2

5





b) Sienndo p la recta pedida ⎧ v r = (1 , − 2 , 2) ⎪ ⇒ v s = (3 , 1 , − 1) ⎨ ⎪v = [λ − (2 + 3μ ) , 1 − 2λ − μ , 3 + 2λ − (− 1 − μ )] = (λ − 3μ − 2 , − 2λ − μ + 1 , 2λ + μ + 4 ) ⎩ p ⎧⎪v r ⊥ v p ⇒ v r .v p = 0 ⎧(1 , − 2 , 2)( . λ − 3μ − 2 , − 2λ − μ + 1 , 2λ + μ + 4 ) = 0 ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎪⎩v s ⊥ v p ⇒ v s .v p = 0 ⎩ (3 , 1 , − 1)(λ − 3μ − 2 , − 2λ − μ + 1 , 2λ + μ + 4 ) = 0 ⎧ 9λ + μ + 4 = 0 ⎧λ − 3μ − 2 + 4λ + 2 μ − 2 + 4λ + 2 μ + 8 = 0 ⎧ 9λ + μ + 4 = 0 ⇒ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ ⎩− λ − 11μ − 9 = 0 ⎩− 9λ − 99 μ − 81 = 0 ⎩ 3λ − 9 μ − 6 − 2λ − μ + 1 − 2λ − μ − 4 = 0 − 98μ − 77 = 0 ⇒ −98μ = 77 ⇒ μ = −

77 11 121 − 126 5 ⎛ 11 ⎞ = − ⇒ −λ − 11 ⋅ ⎜ − ⎟ − 9 = 0 ⇒ λ = =− 98 14 14 14 ⎝ 14 ⎠

⎡⎛ 5 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎤ v p = ⎢⎜ − ⎟ − 3 ⋅ ⎜ − ⎟ − 2 , − 2⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ + 1 , 2⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + 4⎥ ⎝ 14 ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 14 ⎠ 10 11 56 ⎞ ⎛ 0 35 35 ⎞ ⎛ 5 33 28 10 11 14 , + + ,− − + ⎟=⎜ , , ⎟ = (0 , 1 , 1) − vp = ⎜− + 14 14 14 ⎠ ⎝ 14 14 14 ⎠ ⎝ 14 14 14 14 14 14 ⎧ 5 5 5 ⎧ x=− x = − + 0.α = − ⎪ ⎪ 14 14 14 ⎪ ⎪⎪ 10 24 12 12 12 ⎪ ⎛ 5⎞ = = + 1.α = +α ⇒ Ecuación recta pedida ⇒ p : ⎨ y = R⎨ y = 1 − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = 1 + 14 14 14 7 7 7 ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ 10 32 16 ⎛ 5⎞ ⎪ ⎪ z = 16 + 1.α = 16 + α 3 2 3 = + ⋅ − = − = = z ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎪ 7 7 14 14 7 ⎝ 14 ⎠ ⎩ Comprobación de la dis tan cia entre r y s ⎧ 33 5 ⎛ 11 ⎞ ⎪ x = 2 + 3 ⋅ ⎜ − 14 ⎟ = 2 − 14 = − 14 ⎝ ⎠ ⎪ 2 2 2 11 5 ⎞ ⎛ 12 11 ⎞ ⎛ 16 3 ⎞ ⎪ ⎛ 5 ⇒ d rs = d RS = ⎜ − + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ⇒ S⎨ y=− 14 ⎝ 14 14 ⎠ ⎝ 7 14 ⎠ ⎝ 7 14 ⎠ ⎪ 11 11 3 ⎛ ⎞ ⎪ z = −1 − ⎜ − ⎟ = −1 + =− ⎪⎩ 14 14 ⎝ 14 ⎠ 2

2

2

5 2 ⎛ 35 ⎞ ⎛ 35 ⎞ ⎛5⎞ d rs = 0 2 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2 ⋅ ⎜ ⎟ = u ⇒ Lo mismo que en a) 2 ⎝ 14 ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⎝2⎠

6




Continuación de problema 4.A.-

c)

x−λ y − (1 − 2λ ) z − (3 + 2λ ) 1− λ 0 − 1 + 2λ 0 − 3 − 2λ ⇒ = = ⇒ P(1 , 0 , 0) ⇒ = = λ − 3μ − 2 − 2λ − μ + 1 2λ + μ + 4 λ − 3μ − 2 − 2λ − μ + 1 2λ + μ + 4

⎧ (1 − λ )(− 2λ − μ + 1) = (− 1 + 2λ )(λ − 3μ − 2) ⇒ ⎨ ⎩(− 3 − 2λ )(− 2λ − μ + 1) = (− 1 + 2λ )(2λ + μ + 4) ⎧ − 2λ − μ + 1 + 2λ2 + μλ − λ = −λ + 3μ + 2 + 2λ2 − 6μλ − 4λ ⇒ ⎨ 2 2 ⎩6λ + 3μ − 3 + 4λ + 2μλ − 2λ = −2λ − μ − 4 + 4λ + 2μλ + 8λ ⎧− 3λ − μ + 1 + μλ = −5λ + 3μ + 2 − 6μλ ⎧2λ − 4μ + 7 μλ − 1 = 0 4μ + 1 ⇒⎨ ⇒ 2λ = 4μ + 1 ⇒ λ = ⇒ ⎨ 2 ⎩ 4λ + 3μ − 3 + 2μλ = 6λ − μ − 4 + 2μλ ⎩ − 2λ + 4μ + 1 = 0 4.0 + 1 1 ⎧ μ =0⇒λ = = ⎪ 2 2 μ μ + + 4 1 4 1 ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4μ + 1 − 4μ + 7 μ ⎜ ⎛ 1⎞ ⎟ − 1 = 0 ⇒ 7μ ⎜ ⎟=0⇒⎨ 4.⎜ − ⎟ + 1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎪ 1 ⎝ 4⎠ =0 ⎪4 μ + 1 = 0 ⇒ μ = − ⇒ λ = 4 2 ⎩ ⎧ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 1 y − ⎜1 − 2 ⋅ ⎟ z − ⎜ 3 + 2 ⋅ ⎟ x− x− ⎪ 2 2 ⎝ ⎠= ⎝ ⎠⇒ 2 = y = z−4 2 ⎪ = 3 1 1 1 0 5 ⎪⎪ − 2⋅ − 0 +1 − − 3.0 − 2 2⋅ + 0 + 4 Soluciones⎨ ⇒ 2 2 2 2 ⎪ x−0 y − (1 − 2.0) z − (3 + 2.0) x y −1 z − 3 ⇒ = = = = ⎪ 5 5 15 1 1 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎪0 − 3⋅ ⎜ − ⎟ − 2 − − 2.0 − ⎜ − ⎟ + 1 2.0 + ⎜ − ⎟ + 4 ⎪⎩ 4 4 4 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 1 ⎧ ⎪ x− 2 y z−4 = = ⎪ Soluciones ⎨ − 3 0 10 ⎪ x y −1 z − 3 = = ⎪ − 1 1 3 ⎩

7




OPCIÓN B

⎧2 x − z + 2 = 0 ⎧ x− y =2 s≡⎨ ⎩ 2 y + mz = 0 ⎩2 x − z + 1 = 0

1.B.- Se consideran las rectas: r ≡ ⎨

a) Hallar el valor de m para que r y s sean paralelas b) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, determinar la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s

a) ⎧ ⎧ x=λ ⎧⎪v r = (1 , 1 , 2) ⎪ ⎪ λ 2 2 1 2 y = x − ⇒ z = x + ⇒ r ≡ y = − + ⇒ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪⎩ A(0 , − 2 , 1) ⎪ ⎪ ⎩ z = 1 + 2λ ⎪ μ ⎧ ⎪ ⇒ vr v s ⇒ ⎨ ⎪ x = −1 + 2 ⎧ ⎛1 m ⎞ ⎪ ⎪ z−2 m m , , 1 ≡ (1 , m , 2) ⎪ ⎪v = ⎪x = z − 2 ⇒ x = ⇒ y = − z ⇒ s ≡ ⎨ y = − μ ⇒ ⎨ s ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪⎩ B(− 1 , 0 , 0 ) μ = z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ 1 1 2 = = ⇒ m =1 1 m 2 b) ⎧ v r = v s = (1 , 1 , 2) x +1 ⎪ ⎨ AB = (− 1 , 0 , 0) − (0 , − 2 , 1) = (− 1 , 2 , − 1) ⇒ π ≡ 1 ⎪ BG = ( x , y , z ) − (− 1 , 0 , 0 )− = ( x + 1 , y , z ) −1 ⎩ − (x + 1) − 2 y + 2 z + z − 4( x + 1) + y = 0 ⇒ −5( x + 1) − y + 3 z

y z 1 2 =0⇒ 2 −1 = 0 ⇒ π ≡ 5 x + y − 3z + 5 = 0

8




2.B.- Calcular unas ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(3 , - 1 , 0) y

⎧ x = 3 + 2λ ⎪ corta perpendicularmente a la recta: r ≡ ⎨ y = 4 + λ ⎪ z = 5 + 3λ ⎩ Para hallar el punto de corte con la recta trazaremos un plano perpendicular p, desde el punto P, a la recta r, para ello utilizaremos el vector director de la recta (que será el del plano hallado) y el formado por el punto P que con el genérico que es un vector perpendicular al utilizado (su producto escalar es nulo) y hallado el punto de corte B, del plano con la recta r, tendremos los datos significativos para localizar la recta s pedida

⎧⎪ v r = (2 , 1 , 3) ⇒ v r ⊥ PG ⇒ v r .PG = 0 ⇒ ⎨ ⎪⎩ PG = ( x , y , z ) − (3 , − 1 , 0 ) = ( x − 3 , y + 1 , z ) . x − 3 , y + 1 , z ) = 0 ⇒ 2( x − 3) + y + 1 + 3.z = 0 ⇒ π ≡ 2 x + y + 3 z − 5 = 0 π ≡ (2 , 1 , 3)( Inter sec cción recta r con el plano π

2(3 + 2λ ) + 4 + λ + 3(5 + 3λ ) − 5 = 0 ⇒ 6 + 4λ + 4 + λ + 15 + 9λ − 5 = 0 ⇒ 14λ + 20 = 0 ⇒ λ = −

10 7

⎧ 20 1 ⎛ 10 ⎞ ⎪x = 3 + 2 ⋅ ⎜ − 7 ⎟ = 3 − 7 = 7 ⎝ ⎠ ⎪ 10 18 ⎪ ⎛ 10 ⎞ ⎛ 1 18 5 ⎞ = ⇒ B⎜ , , ⎟⇒ B⎨ y = 4 + ⎜ − ⎟ = 4 − 7 7 7 7 7 7⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎪ 30 5 ⎛ 10 ⎞ ⎪ ⎪ z = 5 + 3.⎜⎝ − 7 ⎟⎠ = 5 − 7 = 7 ⎩ Re cta s P(3 , − 1 , 0 ) ⎧ ⎪ 1 18 5 1 18 5 ⎞ ⎛ 20 25 5 ⎞ ⇒ Generada por ⎨ ⎛ ⎞ ⎛ , ⎟ − (3 , − 1 , 0 ) = ⎜ − 3 , + 1 , ⎟ = ⎜ − , , ⎟ ≡ (− 20 , 25 , 5) PB = ⎜ , ⎪⎩ 7 7⎠ ⎝ 7 7 7⎠ ⎝7 7 7⎠ ⎝7 ⎧ x = 3 − 4α ⎪ PB = (− 20 , 25 , 5) ≡ (− 4 , 5 , 1) ⇒ s ≡ ⎨ y = −1 + 5α ⎪ z =α ⎩

9



3.B.- Se considera la función f ( x ) =


1 . Se pide: 2 1 + (sen x )

a) Calcular sus puntos críticos en el intervalo abierto (- p , p) b) Calcular los extremos relativos y/o absolutos de la función f(x) en el intervalo cerrado [- p , p] c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto

⎛π ⎛ π ⎞⎞ ⎜⎜ , f ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝4

a) − 2 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎧ ⎪ sen x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / 0 < x < π ⎪ sen x. cos x sen x. cos x π π f ' ( x ) = −2 ⋅ ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ −2 ⋅ >0⇒⎨ 2 2 2 2 cos x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / − < x < 1 + (sen x ) 1 + (sen x ) ⎪ 2 2 ⎪ 2 2 ⎩ 1 + (sen x ) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

[

]

[

−

-p -2 sen x > 0 cos x > 0

π

]

π

0

2

(-) (-) (-)

(-) (-) (+) (+) Crecimiento

(-) Decrecimiento

[

]

p

2 (-)

(-)

(+) (+) (-) Decrecimiento

(+) (-) (+) Crecimiento

π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ ∀x ∈ ℜ / ⎜ − π < x < − ⎟ ∪ ⎜ 0 < x < ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛π Crecimiento ∀x ∈ ℜ / ⎜ − < x < 0 ⎟ ∪ ⎜ < x < π ⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 π 1 1 ⎛ π 1⎞ ⎛ π⎞ = = 1 ⇒ ⎜ − , ⎟ (porque Mínimo en x = − ⇒ f ⎜ − ⎟ = 2 2 2 1 + (− 1) ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎡ ⎛ π ⎞⎤ 1 + ⎢ sen ⎜ ⎟⎥ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣

Decrecimiento

de Decrecimiento pasa a Crecimiento) Mínimo en x =

π

⎛π ⎞ ⇒ f⎜ ⎟= 2 ⎝2⎠

1

π⎞ ⎛ 1 + ⎜ sen ⎟ 2⎠ ⎝

2

=

1 ⎛π 1 ⎞ = 1 ⇒ ⎜ , ⎟ (porque de 2 1+1 ⎝ 2 2⎠

Decrecimiento pasa a Crecimiento) Máximo en x = 0 ⇒ f (0 ) =

1 1 = = 1 ⇒ (0 , 1) (porque de Crecimiento 2 1 + 02 1 + (sen 0 )

pasa a Decrecimiento)

10




Continuación del problema 3.B.Máximo en x = π ⇒ f (π ) =

1 1 = = 1 ⇒ (π , 1) (porque de Crecimiento 2 1 + 02 1 + (sen π )

pasa a Decrecimiento)

b) Al coincidir los extremos del intervalo cerrado [- p , p]con valores, algunos ya hallados

x = −π ⇒ f (π ) =

1 1 = = 1 ⇒ (− π , 1) y 2 1 + 02 1 + [sen (− π )]

x = π ⇒ (π , 1)

Los máximos y mínimos absolutos y relativos coinciden Máximo absoluto y relativo en x = −π ⇒ (− π , 1)

Mínimo absoluto y relativo en

x=−

π

,

⎛ π 1⎞ ⇒ ⎜− , ⎟ 2 ⎝ 2 2⎠

x = 0 ⇒ (0 , 1) , x = π ⇒ (π , 1)

y

x=

π

⎛π 1 ⎞ ⇒⎜ , ⎟ 2 ⎝ 2 2⎠

c) ⎧ 1 1 1 1 2 ⎛π ⎞ f⎜ ⎟= = = = = ⎪ 2 2 2 3 3 ⎝4⎠ ⎡ ⎛ π⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎪ 1 + ⎜ sen ⎟ ⎥ ⎢1 + ⎜ 2 ⎟ ⎥ 1 + 4 2 ⎢ ⎪ 4 ⎠ ⎦⎥ ⎢ ⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦ ⎪ ⎣ ⎝ 2 4⎛ π⎞ ⎪ ⇒ y − = − ⎜x− ⎟ ⇒ 2 2 2 ⎨ . 3 9⎝ 4⎠ ⎪ ⎛π ⎞ 1 1 4 2 2 4 = −2 ⋅ =− =− =− ⎪ f ' ⎜ ⎟ = −2 ⋅ 2 2 2 9 9 ⎡ ⎛ 2 ⎞2 ⎤ ⎛ 2⎞ ⎛3⎞ ⎪ ⎝4⎠ 1 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎢1 + ⎥ 4 ⎪ ⎝ 4⎠ ⎝2⎠ ⎢ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎛π 2⎞ Ecuación de la tan gente en ⎜ , ⎟ ⇒ r ≡ 4 x + 9 y − 6 − π = 0 ⎝ 4 3⎠

11




4.B Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependientes del parámetro real a:

⎧ x + 3 y − az = 4 ⎪ ⎨ x + ay + z = 2 Se pide: ⎪x + 4 y − 5z = 6 ⎩ a) Discutir el sistema según los diferentes valores del parámetro a b) Resolver el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones

a) 1 3 −a A = 1 a 1 = −5a + 3 − 4a + a 2 − 4 + 15 = a 2 − 9a + 14 ⇒ Si A = 0 ⇒ a 2 − 9a + 14 = 0 ⇒ 1 4 −5 9+5 ⎧ ⎪ a1 = 2 = 7 9 ± 25 Δ = 81 − 56 = 25 > 0 ⇒ a1, 2 = ⇒⎨ ⇒ 9−5 2 ⎪a 2 = =2 2 ⎩ ∀a ∈ ℜ − {2 , 7} ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado Si a = 2 ⎛1 3 − 2 4 ⎞ ⎛ 1 3 − 2 4 ⎞ ⎛ 1 3 − 2 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1 2 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 3 − 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 3 − 2 ⎟ ⇒ Sistema Compatible In det er min ado ⎜1 4 − 5 6 ⎟ ⎜ 0 1 − 3 2 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ Si a = 7 ⎛1 3 − 7 4 ⎞ ⎛ 1 3 − 7 4 ⎞ ⎛ 1 3 − 7 4 ⎞ ⎛ 1 3 − 7 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 7 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 4 8 − 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 4 8 − 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 4 8 − 2 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⎜1 4 − 5 6 ⎟ ⎜ 0 1 2 2 ⎟ ⎜ 0 4 8 8 ⎟ ⎜ 0 0 0 10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b) ⎛1 3 − 2 4 ⎞ ⎜ ⎟ Cuando a = 2 ⇒ ⎜ 0 − 1 3 − 2 ⎟ ⇒ − y + 3z = −2 ⇒ y = 2 + 3z ⇒ x + 3(2 + 3 z ) − 2 z = 4 ⇒ ⎜0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ x + 6 + 9 z − 2 z = 4 ⇒ x = −7 z − 2 ⇒ Solución(− 7λ − 2 , 2 + 3λ , λ )

12




OPCIÓN A 1.A.- Sea f(x) una función derivable en (0 , 1) y continua en [0 , 1], tal que f(1) = 0 y 1

∫ 2 xf ' (x ) dx = 1 . Utilizar la fórmula de integración por partes para calcular 0

1

∫ f (x ) dx 0

1

1

I = ∫ 2 xf ' ( x ) dx = 2 xf ( x ) − ∫ f ( x ) 2 dx = 2 xf ( x ) − 2∫ f (x ) dx ⇒ ∫ 2 xf ' ( x ) dx =[2 xf ( x )]0 − 2∫ f ' ( x ) dx 1

0

2 x = u ⇒ 2 dx = du ⎧⎪ ⎨ f ' ( x ) dx = dv ⇒ v = f ' ( x ) dx = f ( x ) ⎪⎩ ∫ 1

1

1

1 = [2 xf ( x )]0 − 2 ∫ f ' ( x ) dx ⇒ 2∫ f ' ( x ) dx = [2 xf ( x )]0 − 1 ⇒ ∫ f ' ( x ) dx = 1

1

0

1

∫ 0

f ' ( x ) dx =

0

0

[2 xf (x )]10 − 1 ⇒

0

2

1

1 1 1 ⋅ {[2.1. f (1) − 2.0. f (0 )] − 1} ⇒ ∫ f ' ( x ) dx = ⋅ {[2.0 − 0] − 1} = − 2 2 2 0

1




2.A.- Calcular un polinomio de tercer grado p(x) = ax3+ bx2+ cx +d, sabiendo que verifica: I) tiene un máximo relativo en x = 1 II) tiene un punto de inflexión en el punto (0 , 1) 1

III) se verifica

∫ p(x ) dx = 4 5

0

⎧ f (0) = 1 ⇒ a.0 3 + b.0 2 + c.0 + d = 1 ⇒ d = 1 ⎧ f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c ⎪ ⇒ ⎨ f ' (1) = 0 ⇒ 3a.12 + 2b.1 + c = 0 ⇒ 3a + 2b + c = 0 ⇒ 3a + c = 0 ⎨ ⎩ f ' ' ( x ) = 6ax + 2b ⎪ f ' ' (1) = 0 ⇒ 6a.0 + 2b = 0 ⇒ 2b = 0 ⇒ b = 0 ⎩ 2

∫ (ax 1

0

3

)

+ cx + 1 dx =

[ ]

5 a ⇒ ⋅ x4 4 4

1 0

+

[ ] + [x ]

c 2 ⋅ x 2

1

0

1 0

=

(

)

(

)

5 5 a c ⇒ ⋅ 14 − 0 4 + ⋅ 12 − 0 2 + (1 − 0 ) = ⇒ 4 4 2 4

⎧3a + c = 0 ⎧− 6a − 2c = 0 5 1 a c + + 1 = ⇒ a + 2c + 4 = 5 ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⇒ −5a = 1 ⇒ a = − ⇒ 4 2 4 5 ⎩ a + 2c = 1 ⎩ a + 2c = 1 −

1 1 6 3 1 3 + 2c = 1 ⇒ 2c = 1 + ⇒ 2c = ⇒ c = ⇒ p( x ) = − ⋅ x 3 + x + 1 5 5 5 5 5 5

2




(m − 1)x + y + z = 3 ⎧ ⎪ 3.A.- Dado el sistema de ecuaciones: ⎨mx + (m − 1) y + 3 z = 2m − 1 ⎪ x + 2 y + (m − 2 )z = 4 ⎩ a) Discutirlo según los distintos valores de m b) Resolverla cuando sea compatible indeterminado

a) m −1 A=

(

m

1 m −1

1

2

)

1

3 = (m − 1) (m − 2 ) + 3 + 2m − (m − 1) − 6(m − 1) − m(m − 2 ) ⇒ m−2 2

A = m 2 − 2m + 1 (m − 2 ) + 3 + 2m − 7 m + 7 − m 2 + 2m = m 3 − 2m 2 − 2m 2 + 4m + m − 2 − m 2 − 3m + 10

(

)

A = m 3 − 5m 2 + 2m + 8 ⇒ m 3 − 5m 2 + 2m + 8 = (m + 1) m 2 − 6m + 8 ⇒ m 2 − 6m + 8 = 0 ⇒ 1 −5 2 8 −1 6 − 8 1 1 −6 8

Δ = 36 − 32 = 4 > 0 ⇒ m =

⎧m = 4 6± 4 ⇒⎨ ⇒ 2 ⎩m = 2

m 3 − 5m 2 + 2m + 8 = (m + 1)(m − 4)(m − 2 )

0

⎧ m = −1 ⎪ Si A = 0 ⇒ m − 5m + 2m + 8 = 0 ⇒ (m + 1)(m − 4)(m − 2) = 0 ⇒ ⎨ m = 2 ⇒ ⎪m=4 ⎩ 3

2

∀m ∈ ℜ − {− 1 , 2 , 4} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado Pr imer método. − Roche − Frobenius A / B = C1

m −1 1 3 B = m m − 1 2m − 1 1 2 4

C2

A / B = 4(m − 1) + (2m − 1) + 6m − 3(m − 1) − 2(2m − 1)(m − 1) − 4m 2

(

)

A / B = 4 m 2 − 2m + 1 + 2m − 1 + 2m − 3m + 3 − 4m 2 + 4m + 2m − 2 A / B = 4m 2 − 8m + 4 + 7 m − 4m 2 = −m + 4 ⇒ Si A / B = 0 ⇒ − m + 4 = 0 ⇒ m = 4 ∀m ∈ ℜ − {4} ⇒ A / B ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 3 ⇒ m = 4 ⇒ A / B =

3 1 = 5 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 4 3

3





a)Continuación Pr imer método. − Roche − Frobenius (Continua ) A / B = C1

C3

m −1

1

3

m 1

3

2m − 1

m−2

4

B =

A / B = 12(m − 1) + 2m − 1 + 3m(m − 2 ) − 9 − 4m − (m − 1)(m − 2 )(2m − 1)

(

)

A / B = 12m − 12 − 2m − 10 + 3m 2 − 6m − m 2 − 3m + 2 (2m − 1) = A / B = 3m 2 + 4m − 22 − 2m 3 + m 2 + 6m 2 − 3m − 4m + 2 = −2m 3 + 10m 2 − 3m − 20

(

)

⇒ Si A / B = 0 ⇒ −2m 3 + 10m 2 − 3m − 20 = 0 ⇒ 2m 3 − 10m 2 + 3m + 20 = 0 ⇒ 2m 2 − 2m − 5 (m − 4 ) = 0 ⎧ 1 + 11 ⎪⎪m = 2 ± 44 2 ⇒ Δ = 4 − 40 = 44 > 0 ⇒ m = ⇒⎨ 4 1 11 − ⎪m = ⎪⎩ 2

2 − 10 3 20 4 8 − 8 − 20 2 −2

−5

0

⎧1 − 11 1 + 11 ⎫ ,4, ∀m ∈ ℜ − ⎨ ⎬ ⇒ A / B ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 3 ⇒ 2 2 ⎩ ⎭ ⎧ ⎪ 4 ⎪⎪1 − 11 1 3 m=⎨ ⇒ A/ B = = −2 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2(como ejemplo ) 3 7 ⎪ 2 ⎪1 + 11 ⎪⎩ 2 1 1 3 3 2m − 1 A / B = C 2 C3 B = m − 1 2 4 m−2 A / B = 12 + 2(2m − 1) + 3(m − 1)(m − 2 ) − 18 − 4(m − 1) − (2m − 1)(m − 2 )

(

)

(

A / B = 12 + 4m − 2 + 3 m 2 − 3m + 2 − 18 − 4m + 4 − 2m 2 − 4m − m + 2

)

A / B = −4 + 3m 2 − 9m + 6 − 2m 2 + 4m + m − 2 = m 2 − 4m = m(m − 4 ) ⇒ ⎧m = 0 A/ B = 0 ⇒ ⎨ ⇒ ∀m ∈ ℜ − {0 , 4} ⇒ A / B ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 3 ⇒ ⎩m = 4 1 3 ⎧0 m=⎨ ⇒ = −2 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 3 7 ⎩4

Cuando m = 4 ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Número de incognitas ⇒ Sist. Compat. In det er min ado Cuando m = −1 ⇒ rang ( A) = 2 ≠ rang ( A / B ) = 3 ⇒ Sistema. Incompatible

Cuando m = 2 ⇒ rang ( A) = 2 ≠ rang ( A / B ) = 3 ⇒ Sistema. Incompatible

4




Continúa el problema 3.A.Otra forma de realizar el apartado a) es utilizando la reducción por Gauss

a )Continuación Segundo método. − Gauss ⇒ Con m = −1 ⎛− 2 1 1 3 ⎞ ⎛ − 2 1 1 3⎞ ⎛ − 2 1 1 3 ⎞ ⎛ − 2 1 1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 1 − 2 3 − 3⎟ ≡ ⎜ 2 4 − 6 6 ⎟ ≡ ⎜ 0 5 − 5 9 ⎟ ≡ ⎜ 0 5 − 5 9 ⎟ ⇒ ⎜ 1 2 − 3 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 4 − 6 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 5 − 5 11⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 2 ⎟⎠ ⎝ Sistema Incompatible Con m = 2 ⎛ 1 1 1 3⎞ ⎛1 1 1 3 ⎞ ⎛1 1 1 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜ 2 1 3 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 1 − 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 1 − 3 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⎜ 1 2 0 4⎟ ⎜ 0 1 −1 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 − 2⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ Con m = 4 ⎛ 3 1 1 3⎞ ⎛ 3 1 1 3 ⎞ ⎛ 3 1 1 3⎞ ⎛ 3 1 1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 3 3 7 ⎟ ≡ ⎜12 9 9 21⎟ ≡ ⎜ 0 5 5 9 ⎟ ≡ ⎜ 0 5 5 9 ⎟ ⇒ Sist. Compat. In det er min ado ⎜ 1 2 2 4 ⎟ ⎜ 3 6 6 12 ⎟ ⎜ 0 5 5 9 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b) Por Gauss 9 − 5z 9 − 5z ⇒ 3x + + z = 3 ⇒ 15 x + 9 − 5 z + 5 z = 15 ⇒ 5 5 2 ⎛2 9 ⎞ 15 x = 6 ⇒ x = ⇒ Solución⎜ , − λ , λ ⎟ 5 ⎠ ⎝5 5 Por Rouche 5 y + 5z = 9 ⇒ 5 y = 9 − 5z ⇒ y =

⎧ 3x + y + z = 3 ⎧− 9 x − 3 y − 3 z = −9 2 2 ⇒⎨ ⇒ −5 x = −2 ⇒ x = ⇒ 3 ⋅ + y + z = 3 ⇒ ⎨ 5 5 ⎩4 x + 3 y + 3 z = 7 ⎩ 4 x + 3 y + 3 z = 7 9 − 5z 9 ⎛2 9 ⎞ 6 + 5 y + 5 z = 15 ⇒ 5 y = 9 − 5 z ⇒ y = = − z ⇒ Solución⎜ , − λ , λ ⎟ 5 5 ⎝5 5 ⎠ Evidentemente hay que elegir uno de los dos procedimientos, el segundo valdrá para comprobar

5




4.A.- Dado el punto P(1 , 3 , -1), se pide: a) Escribir la ecuación que deben de verificar los puntos X(x , y , z) cuya distancia a P sea igual a3

⎧ x = 3λ ⎪ b) Calcular los puntos de la recta ⎨ y = 1 + λ cuya distancia a P es igual a 3 ⎪ z = 1 − 4λ ⎩

a) 3=±

(x − 1)2 + ( y − 3)2 + (z + 1)2

⇒ 9 = ( x − 1) + ( y − 3) + (z + 1) ⇒ 2

2

2

9 = x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 6 y + 9 + z 2 + 2 z + 1 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 6 y + 2 z + 2 = 0 ⇒ Una esfera b) 3 = ± (3λ − 1) + (1 + λ − 3) + (1 − 4λ + 1) ⇒ 9 = (3λ − 1) + (λ − 2 ) + (2 − 4λ ) ⇒ 2

2

2

2

2

2

9 = 9λ2 − 6λ + 1 + λ2 − 4λ + 4 + 4 − 16λ + 16λ2 ⇒ 26λ2 − 26λ = 0 ⇒ λ2 − λ = 0 ⇒ (λ − 1)λ = 0 ⇒ ⎧ ⎧ x = 3.0 = 0 ⎪ ⎪ λ = 0 ⇒ P1 ⎨ y = 1 + 0 = 1 ⇒ P1 (0 , 1 , 0 ) ⎪ ⎪ z = 1 − 4.0 = 0 ⎪⎪ ⎩ ⎨ ⎧ x = 3.1 = 3 ⎪ ⎪λ − 1 = 0 ⇒ λ = 1 ⇒ P2 ⎪⎨ y = 1 + 1 = 2 ⇒ P2 (3 , 2 , − 3) ⎪ ⎪ z = 1 − 4.1 = −3 ⎪⎩ ⎩

6




OPCIÓN B

⎧ x + 2 y + 3z = 1 ⎩ 2x + y − z = 2

1.B.- a)Resolver el sistema: ⎨

b) Hallar dos constantes ay b de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación : 5x + y + az = b el sistema resultante sea compatible indeterminado

a) ⎧ x + 2 y + 3z = 1 7 − 5y 5 5 ⇒ 7 x + 5 y = 7 ⇒7 x = 7 − 5 y ⇒ x = = 1 − y ⇒ 1 − y + 2 y + 3z = 1 ⇒ ⎨ 7 7 7 ⎩6 x + 3 y − 3 z = 6 3z =

5 9 3 3 ⎞ ⎛ 5 y − 2 y ⇒ 3 z = − y ⇒ z = − y ⇒ Solución⎜1 − λ , λ , − λ ⎟ 7 7 7 7 ⎠ ⎝ 7

b) ⎛1 2 3 1 ⎞ ⎛1 2 3 1 ⎞ ⎛1 2 3 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎧ α + 6 ⇒ α = −6 −7 0 ⎟ ≡ ⎜0 − 3 −7 0 ⎟⇒⎨ ⎜2 1 −1 2 ⎟ ≡ ⎜0 − 3 ⎜ 5 1 α β ⎟ ⎜ 0 − 9 α − 15 β − 5 ⎟ ⎜ 0 0 α − 15 + 21 β − 5 ⎟ ⎩β − 5 = 0 ⇒ β = 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7




1⎞ ⎛ 3 ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 2 − 1⎠ ⎝2 1 ⎠

2.B.-Hallar una matriz X tal que A-1XA = B, siendo A = ⎜⎜

AA −1 XA = AB ⇒ IXA = AB ⇒ XAA −1 = ABA −1 ⇒ XI = ABA −1 ⇒ X = ABA −1 ∃A −1 ⇒ A ≠ 0 ⇒ A =

3

1

− 2 −1

= −3 + 2 = −1 ≠ 0 ⇒ A −1 =

⎛3 − 2⎞ 1 ⎟⎟ ⇒ ⋅ adj A t ⇒ A t = ⎜⎜ A ⎝1 − 1 ⎠

( )

1 ⎞ ⎛ − 1 − 1⎞ 1 ⎛ − 1 − 1⎞ ⎛ 1 ⎟⇒ ⎟⎟ ⇒ A −1 = ⎟⎟ = ⎜⎜ adj A t = ⎜⎜ ⋅ ⎜⎜ (− 1) ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ − 2 − 3 ⎟⎠ ⎝2 3⎠ 1 ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 5 − 2 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 9 11 ⎞ ⎛ 3 ⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ X = ⎜⎜ ⎝ − 2 − 1⎠ ⎝ 2 1 ⎠ ⎝ − 2 − 3 ⎠ ⎝ − 4 1 ⎠⎝ − 2 − 3 ⎠ ⎝ − 6 − 7 ⎠ Comprobación

( )

1 ⎞ ⎛ 9 11 ⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = B (Comprobado ) A −1 XA = B ⇒ ⎜⎜ ⎝ − 2 − 3 ⎠ ⎝ − 6 − 7 ⎠ ⎝ − 2 1⎠ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ − 2 − 1⎠ ⎝ 2 1 ⎠

8




3.B.- Calcular los siguientes límites:

(

a) lim x 2 + x − x 2 − x x →∞

)

π⎤ ⎡ b) lim x ⎢arc tg (e x ) − ⎥ x →∞ 2⎦ ⎣

(

)

a ) lim x 2 + x − x 2 − x = ∞ − ∞ = lim x →∞

(x

+ x − x2 − x

2

x →∞

)( x

2

+ x + x2 − x

)=

x2 + x + x2 − x 2x x 2 + x − (x 2 − x ) x2 + x − x2 + x ∞ = lim = lim = lim = = x →∞ x 2 + x + x 2 − x x →∞ x 2 + x + x 2 − x x →∞ x 2 + x + x 2 − x ∞ 2x 2 2 2 2 x = = =1 = lim = lim = x →∞ x →∞ 1 1 1 1 1+ 0 + 1− 0 2 x2 x x2 x 1 1 1 1 + + − + + − + + − x x ∞ ∞ x2 x2 x2 x2

π

ex arc tg (e ) − 2x π⎤ ⎡ L ' Hopital 2 = 0 = ⎯Utilizando b) lim x ⎢arc tg (e x ) − ⎥ = ∞.0 = lim ⎯⎯⎯ ⎯⎯→ = lim 1 + e = x →∞ x →∞ x →∞ 1 1 0 2⎦ ⎣ − 2 x x ⎛ ⎛ ⎛ 2 xe x + x 2 e x ⎞ x 2e x ⎞ ∞ xe x (2 + x ) ⎞ x(2 + x ) ⎞ ⎛ Utilizando L ' Hopital ⎟⎟ = −⎜ lim ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ lim = − = lim = ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → = − = −⎜⎜ lim ⎟= x x x x 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2e ⎝ x →∞ 2e ⎠ ⎠ ⎝ x →∞ 2e ⎠ ⎝ x →∞ ⎝ x →∞ 1 + e ⎠ ∞ x

=

∞ 2 + x +1⎞ ∞ 1 ⎞ 1 ⎛ ⎛ L ' Hopital Utilizando L ' Hopital = ⎯Utilizando ⎯⎯⎯ ⎯⎯→ = −⎜ lim ⎟ = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = −⎜ lim x ⎟ = − = 0 x ∞ ∞ ⎝ x→∞ 2e ⎠ ∞ ⎝ x →∞ 2e ⎠

9


4.B.-Dadas las rectas:


r:

x −1 y −1 z −1 = = 2 3 4

y s:


x +1 y − 2 z = = 1 −1 2

a) Hallar la ecuación de la recta t que corta a las dos y es perpendicular a ambas b) Calcular la mínima distancia entre r y s a) El vector director de la recta t, que arranca de puntos generales de r y s, es perpendicular a estas, por ello los productos escalares de los vectores directores (el de t con cada uno de los de r y s) son nulos. Hallado el punto de corte con r o s tendremos definida la recta t.

⎧ ⎧ x = 1 + 2λ ⎪ ⎪ ⎪ r : ⎨ y = 1 + 3λ ⎧vt = [1 + 2λ − (− 1 + μ ) , 1 + 3λ − (2 − μ ) , 1 + 4λ − 2μ ] ⎪⎪ ⎪⎩ z = 1 + 4λ ⎪ ⇒⎨ ⇒ v r = (2 , 3 , 4 ) ⎨ ⎪ ⎪ ⎧⎪ x = −1 + μ v s = (1 , − 1 , 2) ⎩ ⎪s : ⎨ y = 2 − μ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ z = 2μ ⎧vt = (2λ − μ + 2 , 3λ + μ − 1 , 4λ − 2 μ + 1) ⎧⎪v ⊥ v r ⇒ vt .v r = 0 ⎪ ⇒ ⇒⎨ t v r = (2 , 3 , 4) ⎨ ⎪ ⊥ ⇒ = . 0 v v v v ⎪ s t s ⎩ t v s = (1 , − 1 , 2) ⎩ ⎧ (2λ − μ + 2 , 3λ + μ − 1 , 4λ − 2 μ + 1) ⋅ (2 , 3 , 4 ) = 0 ⎧4λ − 2μ + 4 + 9λ + 3μ − 3 + 16λ − 8μ + 4 = 0 ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎩(2λ − μ + 2 , 3λ + μ − 1 , 4λ − 2μ + 1) ⋅ (1 , − 1 , 2) = 0 ⎩ 2λ − μ + 2 − 3λ − μ + 1 + 8λ − 4 μ + 2 = 0 − 7 − 5 ⎞ ⎛ 29 − 7 − 5 ⎞ ⎧29λ − 7 μ + 5 = 0 ⎛ 29 110 22 ⎟ ⇒ −125μ = −110 ⇒ μ = ⎟=⎜ = ⇒ ⎜⎜ ⎨ ⎟ ⎟ ⎜ 125 25 ⎩ 7λ − 6 μ + 5 = 0 ⎝ 203 − 174 − 145 ⎠ ⎝ 0 − 125 − 110 ⎠ 22 132 − 125 + 132 7 1 = −5 ⇒ 7 λ = −5 + = = ⇒λ = 7λ − 6 ⋅ 25 25 25 25 25 ⎧ 1 27 ⎧ ⎪ ⎪ x = 1 + 2 ⋅ 25 = 25 ⎪ ⎪⎪ 1 28 ⎪ = R⎨ y = 1 + 3 ⋅ ⎪ 25 25 ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ z = 1 + 4 ⋅ 1 = 29 ⎪ 25 25 ⎩⎪ ⎪ 1 22 1 22 ⎞ ⎛ 2 − 22 + 50 3 + 22 − 25 4 − 44 + 25 ⎞ ⎪ ⎛ 1 22 , , ⎟ ⎪vt = ⎜ 2 ⋅ 25 − 25 + 2 , 3 ⋅ 25 + 25 − 1 , 4 ⋅ 25 − 2 ⋅ 25 + 1⎟ = ⎜ 25 25 25 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎧ 1 27 ⎧ ⎪ ⎪ x = 1 + 2 ⋅ 25 = 25 27 ⎧ ⎪ ⎪ x = 25 + 2 β 1 28 27 28 29 ⎞⎪⎪ ⎛ ⎪ = , , ⎟⎨ y = 1 + 3 ⋅ R⎜ ⎪⎪ 28 ⎪ 25 25 ⎝ 25 25 25 ⎠⎪ ⇒ : t ⎨ y= ⎨ 1 29 ⎪z = 1 + 4 ⋅ 25 = ⎪ ⎪ ⎪ 29 25 25 ⎩ ⎪z= ⎪ +β ⎪⎩ 3⎞ ⎪ ⎛ 30 0 15 ⎞ ⎛ 6 25 ⎪vt = ⎜ 25 , 25 , 25 ⎟ = ⎜ 5 , 0 , 5 ⎟ ≡ (6 , 0 , 3) ≡ (2 , 0 , 1) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

10




Continúa el problema 4.B.b) La mínima distancia entre las rectas r y s es la que existe entre los puntos de corte, R y S, de la perpendicular hallada con cada una de ellas, nos servirá l y m halladas para buscarlos

⎧ ⎛ 27 28 29 ⎞ R⎜ , , ⎟ ⎪ 25 25 25 ⎠ ⎝ ⎪ 22 3 ⎧ ⎪ x = −1 + =− ⎪ ⎪ 25 25 ⇒ ⎨ ⎪ 3 3 44 22 3 ⎪ ⎛ ⎞ ⎪S ⎨ y = 2 − , , ⎟ = ⇒ R⎜ − 25 25 ⎪ ⎪ ⎝ 25 25 25 ⎠ 22 44 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z = 2 ⋅ 25 = 25 ⎩ ⎩ 2

d rs = d RS

⎡ 27 ⎛ 3 ⎞⎤ ⎛ 28 3 ⎞ ⎛ 29 44 ⎞ ⎛ 30 ⎞ ⎛ 25 ⎞ ⎛ 15 ⎞ = ⎢ − ⎜ − ⎟⎥ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎣ 25 ⎝ 25 ⎠⎦ ⎝ 25 25 ⎠ ⎝ 25 25 ⎠ 2

2

⎛ 3⎞ ⎛6⎞ d rs = ⎜ ⎟ + 12 + ⎜ − ⎟ = ⎝ 5⎠ ⎝5⎠

2

2

36 9 36 + 25 + 9 +1+ = = 25 25 25

2

2

2

70 70 = u 25 5

11




OPCIÓN A A.1.- Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer El Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas mas que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas.

Nombre Eva Marta Susana

Páginas leídas por día E E ‐ 5 E ‐ 11

Días de lectura D D + 14 D + 44

Total de páginas Quijote ED (E – 5).( D + 14) (E – 11).( D + 44)

. D + 14) ⎧ ED = (E − 5)( ⎧ ED = ED + 14 E − 5 D − 70 ⎧14 E − 5 D = 70 ⎧ 14 E − 5 D = 70 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ . D + 44 ) ⎩ ED = ED + 44 E − 11D − 484 ⎩ 4 E − D = 44 ⎩ ED = (E − 11)( ⎩− 20 E + 5 D = −220 150 = 25 páginas / día ⇒ 4.25 − D = 44 ⇒ D = 100 − 44 = 56 días 6 Número de páginas de El Quijote = 25.56 = 1400 páginas

− 6 E = −150 ⇒ E =

1




A.2.- Escribir la ecuación de la circunferencia con centro (2 , - 1) y cuyo radio es 3, y luego determinar los puntos de esta circunferencia que equidistan de los ejes

(x − 2)2 + ( y + 1)2 = 32 ⇒ x 2 − 4 x + 4 + y 2 + y + 1 − 9 = 0 ⇒ x 2 + y 2 − 4 x + y − 4 = 0

⎧x 2 + y 2 − 4x + y − 4 = 0 ⇒ x 2 + x 2 − 4 x + x − 4 = 0 ⇒ 2 x 2 − 3 x − 4 = 0 ⇒ Δ = 9 + 32 = 41 ⎨ x=y ⎩ ⎧ ⎛ 3 + 41 3 + 41 ⎞ 3 + 41 ⎟ ⇒ ⎜⎜ , ⎪x = ⎟ 4 4 4 3 ± 41 ⎪ ⎝ ⎠ ⇒⎨ x= ⎛ ⎞ 4 ⎪ x = 3 − 41 ⇒ ⎜ 3 − 41 , 3 − 41 ⎟ ⎜ 4 ⎪ 4 4 ⎟⎠ ⎝ ⎩

2


A.3.- Sea la función

f (x ) =



4 x + sen x sen 3x

a) Determinar el dominio de f b) Indicar si f tiene límite en algún punto que no sea del dominio

a) f (x ) =

4 x + sen x π ⇒ sen 3 x = 0 ⇒ 3 x = 0 + kπ ⇒ x = 0 + k ⇒ ∀k ∈ Enteros sen 3 x 3

π⎫ ⎧ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ − ⎨0 + k ⎬ ⇒⇒ ∀k ∈ Enteros 3⎭ ⎩ En x = 0 4.0 + sen 0 0 + 0 0 f (0) = = = ⇒ sen 3.0 0 0 4 x + sen x 0 4 + cos x 4 + cos 0 4 +1 5 5 Aplicando L ' Hopital = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim = = = = lim x →0 x →0 3 cos 3 x sen 3 x 0 3. cos (3.0 ) 3. cos 0 3.1 3 ⎧ 4 x + sen x si x ≠ 0 ⎪⎪ sen 3 x ⎧ π⎫ ( ) f x =⎨ ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ − ⎨k ⎬ ⇒ ∀k ∈ Enteros − {0} 5 ⎩ 3⎭ ⎪ si x ≠ 0 ⎪⎩ 3

3




A.4.- Calcular los extremos y los puntos de inflexión de la función f ( x ) = e sen x en el x

intervalo [0 , 2π ]

⎧e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ f ' (x ) = e sen x + e cos x = e (sen x + cos x ) ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇒ e (sen x + cos x ) = 0 ⇒ ⎨ ⎩ sen x + cos x = 0 3 ⎧ k =0⇒ x= π ⎪ sen x 3 4 = −1 ⇒ tg x = −1 ⇒ x = π + kπ ⇒ En [0 , 2π ] ⇒ ⎨ sen x = − cos x ⇒ 3 7 cos x 4 ⎪k = 1 ⇒ x = π + π = π 4 4 ⎩ x x x x f ' ' (x ) = e (sen x + cos x ) + e (cos x − sen x ) = e (sen x + cos x + cos x − sen x ) = 2e cos x x

x

x

x

3 3 3 3 ⎧ ⎛3 ⎞ π π⎛ π π 3 2⎞ 3 3 ⎛3 ⎞ 4 4 ⎜ 4 4 ⎟ ' ' 2 cos 2 2 = = − = − ⇒ ⇒ = ⇒ = f e e e Máximo x f e sen π π π π π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ 2 ⎟ 4 4 4 4 ⎪ ⎝4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ ⎨ 7 3 3 7 π π π π 7 7 7 2 7 7 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ f ' ' π = 2e 4 cos π = 2e 4 = 2e 4 ⇒ Mínimo ⇒ x = π ⇒ f ⎜ π ⎟ = e 4 sen π ⎜ ⎟ ⎪⎩ 4 2 4 4 4 ⎝ ⎠ ⎝4 ⎠ 3 3 ⎧ π ⎛3 3 2 2 4π ⎞ ⎛3 ⎞ ⇒ ⎜⎜ π , e ⎟⎟ ⎪ Máximo ⇒ x = π ⇒ f ⎜ π ⎟ = e 4 4 2 2 ⎝4 ⎠ ⎪ ⎝4 ⎠ ⎨ 7 7 ⎪Mínimo ⇒ x = 7 π ⇒ f ⎛⎜ 7 π ⎞⎟ = e 4 π ⎛⎜ − 2 ⎞⎟ ⇒ ⎛⎜ 7 π , − 2 e 4 π ⎜ 2 ⎟ ⎜4 ⎪ 4 2 ⎝4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎧ 2 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎪ ⎪ x ⇒ f ' ' (x ) = 2e cos x ⇒ f ' ' ( x ) = 0 ⇒ ⎨ e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎛π ⎞ ⎪ ⎪cos x = 0 ⇒ x = ⎜⎝ 2 + kπ ⎟⎠ ⎩ 1 π ⎧ 1 1 ⎛1 ⎞ ⎛π ⎞ 2 0 = ⇒ = ⇒ = k x f e sen π ⇒ ⎜ , 0 ⎟ π π ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ 2 2 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ En [0 , 2π ] ⇒ Puntos de Inflexión ⇒ ⎨ 3 π ⎪k = 1 ⇒ 1 π + π = 3 π ⇒ f ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ = e 2 sen 3 π ⇒ ⎛⎜ 3π , 0 ⎞⎟ ⎪⎩ 2 2 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 2

4




OPCIÓN B ⎧ x + 2 y + az = 0 ⎪ B.1. La terna (0 , 0 , 0) es siempre solución del sistema ⎨ ax − y + z = 0 ⎪2ax + y − z = 0 ⎩ independientemente del valor del parámetro a a) Indicar para que valores del parámetro la citada terna es la única solución del sistema b) Indicar algún valor del parámetro, si existe, para el cual el sistema tenga algunas soluciones distintas de la nula y mostrar estas soluciones. (Nota: Si se encuentran varios valores del parámetro cumpliendo la condición perdida, para responder a esta cuestión basta tomar uno solo de ellos) a) Para que la solución única, de una ecuación homogénea, sea la terna citada el sistema tiene que ser compatible determinado y por lo tanto el determinante de los coeficientes tiene que ser distinto a cero

1

2

a A = a − 1 1 = 1 + 4a + a 2 + 2a 2 − 1 + 2a = 3a 2 + 6a = 3a(a + 2 ) ⇒ 2a 1 − 1 a=0 ⎧ Si A = 0 ⇒ 3a (a + 2 ) = 0 ⇒ ⎨ ⇒ ⎩a + 2 = 0 ⇒ a = −2 ∀a ∈ ℜ − {− 2 , 0} ⇒ rang ( A) = 3 ⇒ Compatible Deter min ado ⇒ Solución(0 , 0 , 0 ) b) Estudiaremos los dos valores que nos dan Sistemas Compatible In det er min ado Con a = −2 ⎛ 1 2 − 2 0⎞ ⎛1 2 − 2 0⎞ ⎛1 2 − 2 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 2 − 1 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 − 3 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 − 1 0 ⎟ ⇒ y + z = 0 ⇒ y = − z ⇒ x + 2(− z ) − 2 z = 0 ⇒ ⎜ − 4 1 −1 0⎟ ⎜0 9 − 9 0⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x − 2 z − 2 z = 0 ⇒ x = 4 z ⇒ Solución(4λ , − λ , λ ) Con a = 0 ⎛1 2 0 0⎞ ⎛1 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 1 0 ⎟ ⇒ − y + z = 0 ⇒ y = z ⇒ x + 2 z = 0 ⇒ x = −2 z ⇒ ⎜0 1 −1 0⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Solución(− 2μ , μ , μ )

5


B.2. Sea un plano


π : 2 x − 3 y + z = 1 y el punto

a) Determinar el punto simétrico de A respecto de


A(5 , -5 , 4)

π.

b) Volumen de la figura del espacio limitada por el plano

π y los tres planos cartesianos

a) Por el punto A haremos pasar una recta r perpendicular al plano, para ello utilizaremos como vector director de la recta el del plano, seguidamente hallaremos el punto de corte B de la recta con el plano que es el punto medio entre A y su simétrico.

⎧ x = 5 + 2λ ⎪ vr = vπ = (2 , − 3 , 1) ⇒ r ≡ ⎨ y = −5 − 3λ ⇒ 2.(5 + 2λ ) − 3.(− 5 − 3λ ) + 4 + λ = 1 ⇒ ⎪ z = 4+λ ⎩ ⎧ x = 5− 4 =1 ⎪ 10 + 4λ + 15 + 9λ + 4 + λ − 1 = 0 ⇒ 14λ + 28 = 0 ⇒ 14λ = −28 ⇒ λ = −2 ⇒ B ⎨ y = −5 + 6 = 1 ⇒ ⎪ z = 4−2 = 2 ⎩ 5 + x A' ⎧ ⎪ 1 = 2 ⇒ x A ' = 2 − 5 = −3 ⎪⎪ − 5 + y A' ⇒ y A' = 2 + 5 = 7 ⇒ A' (− 3 , 7 , 0) ⎨1 = 2 ⎪ ⎪ 2 = 4 + z A' ⇒ z = 4 − 4 = 0 A' ⎪⎩ 2 b) ⎧ 1 ⎧ ⎧ x = 0 +α = α ⎪ ⎪x = 2 ⎪ Corte con eje OX ≡ ⎪ y = 0 + 0.α = 0 ⇒ 2.α − 3.0 + 0 = 1 ⇒ α = 1 ⇒ C ⎪ y = 0 ⇒ C ⎛ 1 , 0 , 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎨ ⎨ ⎪ 2 2 ⎝ ⎠ ⎪ z = 0 + 0.α = 0 ⎪z = 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎧ x=0 ⎧ x = 0 + 0.β = 0 ⎪⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎛ 1 ⎞ ⎨Corte con eje OY ≡ ⎨ y = 0 + β = β ⇒ 2.0 − 3.β + 0 = 1 ⇒ β = − ⇒ D ⎨ y = − ⇒ D⎜ − , 0 , 0 ⎟ 3 3 ⎝ 3 ⎠ ⎪ ⎪ z = 0 + 0.β = 0 ⎪ 0 = z ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧ x = 0 + 0.γ = 0 ⎧x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ Corte con eje OZ ≡ ⎨ y = 0 + 0.γ = 0 ⇒ 2.0 − 3.0 + γ = 1 ⇒ γ = 1 ⇒ E ⎨ y = 0 ⇒ E (0 , 0 , 1) ⎪ ⎪ z = 0+γ =γ ⎪z =1 ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪⎩ 1 0 0 2 1 1 1 ⎛ 1⎞ 1 2 1 1 0 = ⋅ ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅1 = V = ⋅ OC ⋅ OD × OE = ⋅ 0 − u 6 6 3 6 2 ⎝ 3⎠ 36 0 0 1

6




B.3.- Queremos construir un marco rectangular que encierre una superficie de un metro cuadrado. Sabemos que el coste de cada centímetro en los lados horizontales es de 2 euros, mientras que en los lados verticales es de 8 euros. Determinar las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible

10000 ⎧ = ⇒ = v h v . 10000 ⎪⎪ h ⇒ ⎨ h 2 + 160000 h 2 + 40000 10000 4 ⎪ P = 2.2h + 2.8v = 4h + 16v = 4h + 16 ⋅ = = 4⋅ ⎪⎩ h h h 2 2 2 2 dP h − 40000 2h.h − h + 40000 2h − h − 40000 = 4⋅ = 4⋅ ⇒ P' = 4⋅ 2 2 dh h h h2 h = 200 ⎧ P ' = 0 ⇒ h 2 − 40000 = 0 ⇒ h 2 = 40000 ⇒ h = ± 40000 ⇒ ⎨ ⎩h = −200 ( No es solución )

(

)

(

)

h 2 − h 2 + 40000 320000 d 2P 2hh 2 − 2h h 2 − 40000 = ⋅ = ⋅ = ⇒ h 4 8 h4 h3 dh 2 h4 h = 200 cm ⎧ 320000 320000 32 4 ⎪ 10000 = = = > ⇒ ⇒ P ' ' (200 ) = Mínimo 0 ⎨v = = 50 cm 2000000 200 25 200 3 ⎪⎩ 200 P' ' =

7




B.4.- Sea la función f ( x ) = x sen 2 x . Calcular la integral de esta función entre x = 0 y su primer cero positivo. (Nota: Llamamos ceros de una función a aquellos puntos donde se anula)

x=0 ⎧⎪ π ⇒ f ( x ) = 0 ⇒ x sen 2 x = 0 ⇒ ⎨ π ⎪⎩sen 2 x = 0 ⇒ 2 x = 0 + k ⇒ k ∈ Enteros ⇒ x = 0 + k 2 Cuando k = 1 ⇒ x = 0 + 1 ⋅ π 2

∫ x sen 2 x dx = − 0

π 2

= π

π 2 π

π

2 π 1 1 1 ⎡π dt ⎤ 1 ⋅ [x cos 2 x ]02 − ∫ − ⋅ cos 2 x dx = − ⋅ ⎢ cos 2 ⋅ − 0. cos 2.0⎥ + ∫ cos t 2 2 2 ⎣2 2 2 ⎦ 20 0 2

x = u ⇒ dx = du ⎧⎪ ⎨sen 2 x dx = dv ⇒ v = sen 2 x dx = sen t dt = 1 ⋅ sen t dt = − 1 ⋅ cos t = − 1 ⋅ cos 2 x ∫ ∫ ⎪⎩ 2 2 ∫ 2 2 dt 2 x = t ⇒ 2 dx = dt ⇒ dx = 2 π

π

π

2 π π 1⎛ π 1 ⎡π 1 ⎤ 1 ⎞ = − ⋅ − + π 2 cos 0 . cos 0 cos t dt = − (− 1) + [sen 2 x ]02 = + ⎜ sen 2 ⋅ − sen 2.0 ⎟ x sen x dx ∫0 ∫ ⎢ ⎥ 2 ⎣2 4 4 4 4⎝ 2 ⎦ 40 ⎠ 2

π 2

π

π

π

∫ x sen 2 x dx = 4 + 4 (sen π − sen 0) = 4 + 4 (0 − 0) = 4 u 1

1

2

0

8




OPCIÓN A 1.A.- Discutir según los valores del parámetro real l la posición relativa de los planos:

π1 : x + z = λ ⎧ ⎪ ⎨π 2 : 4 x + (λ − 2 ) y + (λ + 2 )z = λ + 2 ⎪ π : 2(λ + 1)x − (λ + 6 )z = −λ 3 ⎩ 1 0 1 A= λ − 2 λ + 2 = −(λ − 2 )(λ + 6 ) − 2(λ − 2)(λ + 1) = −(λ − 2 )(λ + 6 + 2λ + 2) 4 − (λ + 6 ) 2(λ + 1) 0 ⎧⎪ λ − 2 = 0 ⇒ λ = 2 8 A = −(λ − 2 )(3λ + 8) ⇒ Si A = 0 ⇒ (λ − 2 )(3λ + 8) = 0 ⇒ ⎨ 3λ + 8 = 0 ⇒ λ = − ⎪⎩ 3 ⎧ 8 ⎫ ∀λ ∈ ℜ − ⎨− , 2⎬ ⇒ rang ( A) = 3 ⇒ Los tres planos se cor tan en un punto (Comp. Deter min ado ) ⎩ 3 ⎭ Si λ = 2 ⎧ 1 0 1 2 ⎪ Entre π 1 y π 2 ⇒ = = ≠ ⇒ Planos paralelos 1 0 1 1 ⎪ ⎧ π1 : x + z = 2 ⎧ π1 : x + z = 2 ⎪ ⎧ x+z =2 1 0 1 2 ⎪ ⎪ ≠ ⇒ r:⎨ ⎨ π 2 : 4 x + 4 z = 4 ⇒ ⎨ π 2 : x + z = 1 ⇒ ⎨ Entre π 1 y π 3 ⇒ = ≠ 6 0 −8 −2 ⎩6 x − 8 z = −2 ⎪π : 6 x − 8 z = −2 ⎪π : 6 x − 8 z = −2 ⎪ ⎩ 3 ⎩ 3 ⎪ ⎧ x + z =1 1 0 1 1 ≠ ⇒ s:⎨ ⎪ Entre π 2 y π 3 ⇒ = ≠ 6 0 −8 − 2 ⎩6 x − 8 z = −2 ⎩ Corolario Cuando l = 2 los planos

π 1 y π 2 son paralelos, formando la recta r π 1 y π 3

ys

π2 y π3

1





Si λ = −

8 3

⎧ ⎧ 8 π1 : x + z = − ⎪ ⎪ π 1 : 3x + 3z = −8 3 ⎪ ⎪ 2 8 ⎪ ⎪ ⎛ 2⎞ ⎛ 14 ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ 8 ⎛ 8 ⎨π 2 : 4 x + ⎜ − − 2 ⎟ y + ⎜ − + 2 ⎟ z = − + 2 ⇒ ⎨π 2 : 4 x + ⎜ − ⎟ y + ⎜ − ⎟ z = − ⇒ 3 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎠ ⎠ ⎝ 3 ⎝ 3 ⎪ ⎪ 5 10 8 8 8 8 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎪ ⎪ π 3 : 2⎜ − ⎟ x − ⎜ ⎟ z = ⎪ ⎪ π 3 : 2⎜⎝ − 3 + 1⎟⎠ x − ⎜⎝ − 3 + 6 ⎟⎠ z = −⎜⎝ − 3 ⎟⎠ 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎩ ⎩ ⎧ π 1 : 3 x + 3 z = −8 ⎧ π 1 : 3 x + 3 z = −8 ⎪ ⎪ ⎨π 2 : 12 x − 14 y − 2 z = −2 ⇒ ⎨π 2 : 6 x − 7 y − z = −1 ⇒ ⎪ π : −10 x − 10 z = 8 ⎪ π : 5 x + 5 z = −4 3 ⎩ ⎩ 3 ⎧ ⎧ 3 x + 3 z = −8 3 0 ⇒t:⎨ ⎪ Entre π 1 y π 2 ⇒ ≠ 6 −7 ⎩6 x − 7 y − z = −1 ⎪ 3 0 3 −8 ⎪ ⇒ Planos paralelos ⎨ Entre π 1 y π 3 ⇒ = = ≠ 5 0 5 −4 ⎪ ⎪ Entre π y π ⇒ 6 ≠ − 7 ⇒ u : ⎧6 x − 7 y − z = −1 ⎨ 2 3 ⎪ 5 0 ⎩ 5 x + 5 z = −4 ⎩ Corolario Cuando

λ=−

8 los planos π 1 y π 3 son paralelos, formando la recta t π 1 y π 2 y u π 2 y π 3 3

2



⎧ x− y =3 ⎩x + y − z = 0

2.A.- Se consideran las rectas: r : ⎨


⎧ x−z =4 y s:⎨ ⎩2 x − y = 7

a) (1 punto). Hallar la recta t, perpendicular a r y s, que pasa por el origen b) (1 punto). Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta s con la recta t obtenida en el apartado a) a) El vector director de la recta t, que arranca de puntos generales de r y s, es perpendicular a estas, por ello los productos escalares de los vectores directores (el de t con cada uno de los de r y s) son nulos.

⎧ ⎧ x = 3+λ x = y+3 ⎪ ⎪ ⎧ ⎪r : ⎨ y + 3 + y − z = 0 ⇒ ⎨ y = λ ⎧v t = [3 + λ − (4 + μ ) , λ − (1 + 2 μ ) , 3 + 2λ − μ ] ⎪ z = 3 + 2λ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎩ v r = (1 , 1 , 2 ) ⇒⎨ ⇒ ⎨ x 4 μ = + ⎧ ⎪ ⎪ v s = (1 , 2 , 1) ⎧ x = 4+ z ⎪ ⎩ ⎪ s:⎨ ⇒⎨ y = 1 + 2μ ⎪ ⎩8 + 2 z − y = 7 ⎪ z = μ ⎪⎩ ⎩ ⎧v t = (λ − μ − 1 , λ − 2 μ − 1 , 2λ − μ + 3) ⎧⎪v ⊥ v r ⇒ v t .v r = 0 ⎪ v r = (1 , 1 , 2 ) ⇒ ⇒⎨ t ⎨ ⎪⎩v t ⊥ v s ⇒ v t .v s = 0 ⎪ v s = (1 , 2 , 1) ⎩ ⎧(λ − μ − 1 , λ − 2 μ − 1 , 2λ − μ + 3) ⋅ (1 , 1 , 2 ) = 0 ⎧ λ − μ − 1 + λ − 2 μ − 1 + 4λ − 2 μ + 6 = 0 ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎩(λ − μ − 1 , λ − 2 μ − 1 , 2λ − μ + 3) ⋅ (1 , 2 , 1) = 0 ⎩λ − μ − 1 + 2 λ − 4 μ − 2 + 2 λ − μ + 3 = 0 ⎛6 ⎧6 λ − 5 μ + 4 = 0 ⇒ ⎜⎜ ⎨ ⎩ 5λ − 6 μ = 0 ⎝ 30

− 5 − 4⎞ ⎛6 − 5 − 4⎞ 20 ⎛ 20 ⎞ ⎟ ⇒ −11μ = 20 ⇒ μ = − ⎟=⎜ ⇒ 5λ = 6 ⋅ ⎜ − ⎟⇒ ⎟ ⎜ ⎟ − 36 0 ⎠ ⎝ 0 − 11 20 ⎠ 11 ⎝ 11 ⎠ ⎡⎛ 24 ⎞ ⎛ 20 ⎞ 120 24 ⎛ 24 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎛ 24 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎤ =− ⇒ v t = ⎢⎜ − λ=− ⎟ − ⎜− ⎟ −1 , ⎜− ⎟ − 2⋅⎜− ⎟ −1 , 2 ⋅⎜− ⎟ − ⎜− ⎟ + 3⎥ 55 11 ⎝ 11 ⎠ ⎝ 11 ⎠ ⎝ 11 ⎠ ⎝ 11 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 11 ⎠ ⎝ 11 ⎠ ⎧ x = 0 − 3α = −3α ⎡⎛ 15 ⎞ 5 5 ⎤ ⎪ v t = ⎢⎜ − ⎟ , , ⎥ ≡ (− 15 , 5 , 5 ) ≡ (− 3 , 1 , 1) ⇒ t : ⎨ y = 0 + α = α ⎣⎝ 11 ⎠ 11 11 ⎦ ⎪ z = 0 +α =α ⎩ b) El punto de corte S de s y t se busca sustituyendo el parámetro correspondiente (en esta caso m) en la ecuación paramétrica que corresponde o sea en la de la recta s

⎧ ⎛ 20 ⎞ 24 ⎪ x = 4 + ⎜ − 11 ⎟ = 11 ⎝ ⎠ ⎪ 29 29 20 ⎞ 20 ⎪ ⎛ 24 ⎛ 20 ⎞ μ = − ⇒ ⎨ y = 1 + 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = − ⇒ S⎜ , − , − ⎟ 11 11 11 ⎠ 11 ⎝ 11 ⎝ 11 ⎠ ⎪ 20 ⎪ z=− ⎪ 11 ⎩

3




⎛1 2⎞ ⎛1 0⎞ ⎟⎟ e I = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0 1⎠ ⎝0 1⎠

3.A.- Dada las matrices: A = ⎜⎜

a) Hallar las constantes a y b tales que A2 = aA + bI b) Calcular A5 utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior c) Hallar las matrices X que satisfacen: (A – X).(A + X) = A2 - X2

a) ⎧ ⎛ 1 2⎞ ⎛ 1 ⎟⋅⎜ A 2 = ⎜⎜ ⎪ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎪ 2 ⎝ A = αA + β I ⎨ ⎪αA + β I = ⎛⎜ α 2α ⎞⎟ + ⎛⎜ β ⎜0 α ⎟ ⎜0 ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎝ A2 = 2 A − I b) ⎧ I2 = I Sabiendo que ⎨ ⎩ AI = IA = A

2⎞ ⎛ 1 4⎞ ⎟=⎜ ⎟ 2α = 4 ⇒ α = 2 ⎧ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⇒⎨ 0 ⎞ ⎛α + β 2α ⎞ ⎩α + β = 1 ⇒ β = 1 − 2 = −1 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ β⎠ ⎝ 0 α + β ⎟⎠

[

]

A5 = (A 2 ) A = (2 A − I ) A = (4 A 2 − 4 AI + I 2 )A = 4(2 A − I ) − 4 AI + I 2 A = (8 A − 4 I − 4 A + I ) A 2

2

A = (4 A − 3I )A = 4 A − 3IA = 4(2 A − I ) − 3 A = 8 A − 4 I − 3 A = 5 A − 4 I 5

2

⎛ 1 2⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 5 10 ⎞ ⎛ 4 0 ⎞ ⎛ 1 10 ⎞ ⎟⎟ − 4 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ A5 = 5 ⋅ ⎜⎜ ⎝0 1⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 5 ⎠ ⎝ 0 4⎠ ⎝ 0 1 ⎠ c) ⎛a b⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a 2 + bc ab + bd ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⇒ X 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ Sea X = ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝c d⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ ac + cd bc + d ⎠ ⎡⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞⎤ ⎛1 + a 2 + b ⎞ ⎡⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞⎤ ⎛1 − a 2 − b ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎥ = ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟⎥ = ⎜⎜ A + X = ⎢⎜⎜ A − X = ⎢⎜⎜ 1 + d ⎟⎠ ⎣⎝ 0 1 ⎠ ⎝ c d ⎠⎦ ⎝ c ⎣⎝ 0 1 ⎠ ⎝ c d ⎠⎦ ⎝ − c 1 − d ⎠ ⎧ ⎛1 − a 2 − b ⎞ ⎛1 + a 2 + b ⎞ ⎛ (1 − a )(1 + a ) + (2 − b )c (1 − a )(2 + b ) + (2 − b )(1 + d )⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎪( A − X )( A + X ) = ⎜⎜ 1 + d ⎟⎠ ⎜⎝ − c(1 + a ) + (1 − d )c − c(2 + b ) + (1 − d )(1 + d ) ⎟⎠ ⎪ ⎝ − c 1− d ⎠ ⎝ c ⎨ 4 ⎞ ⎛ a 2 + bc ab + bd ⎞ ⎛1 − a 2 − bc 4 − ab − bd ⎞ 2 2 ⎛1 ⎪ ⎟ ⎟=⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ A − X ⎜⎜ 2 ⎟ ⎜ − ac − cd 1 − bc − d 2 ⎟ ⎪⎩ 0 1 ac cd bc d + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎛ 1 − a 2 − bc + 2c ( A − X )( A + X ) = ⎜⎜ ⎝ − c − ca + c − cd

2 + b − 2a − ab + 2 + 2d − b − bd ⎞ ⎟ ⎟ − 2c − bc + 1 − d 2 ⎠

⎧ 1 − a 2 − bc + 2c = 1 − a 2 − bc ⎪ ⎛1 − a 2 − bc + 2c 4 − 2a − ab + 2d − bd ⎞ ⎪4 − 2a − ab + 2d − bd = 4 − ab − bd ⎟⇒⎨ ( A − X )( A + X ) = ⎜⎜ ⇒ − ca − cd = −ac − cd − 2c − bc + 1 − d 2 ⎟⎠ ⎪ ⎝ − ca − cd ⎪⎩ − 2c − bc + 1 − d 2 = 1 − bc − d 2

4





c)Continuación 2c = 0 ⇒ c = 0 ⎧ ⎪− 2 a + 2 d = 0 ⇒ a − d = 0 ⇒ a = d ⎛ a b ⎞ ⎧∀a ∈ ℜ ⎪ ⎟⎟ ⇒ ⎨ ⇒ X = ⎜⎜ ⎨ = a 0 0 0 ⎝ ⎠ ⎩∀b ∈ ℜ ⎪ ⎪⎩ − 2c = 0 ⇒ c = 0

5


4.A.- Dada la función


f (x ) =


1 , se pide: x

a) Hallar la ecuación de su recta tangente a su gráfica en el punto [a , f(a)] para a>0 b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado a) con los dos ejes coordenados c) Hallar el valor de a>0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima.

a) 1 ⎧ ⎪ f (a ) = a 1 1 1 ⇒ y − = − 2 ⋅ ( x − a ) ⇒ a 2 y − a = − x + a ⇒ x + a 2 y − 2a = 0 f ' (x ) = − 2 ⇒ ⎨ 1 a x a ⎪ f ' (a ) = − 2 a ⎩ b) ⎧ Con OX ⇒ y = 0 ⇒ x + a 2 .0 − 2a = 0 ⇒ x − 2a = 0 ⇒ x = 2a ⇒ (2a , 0 ) ⎪ ⎨Con OY ⇒ x = 0 ⇒ 0 + a 2 . y − 2a = 0 ⇒ a 2 . y − 2a = 0 ⇒ a 2 . y = 2a ⇒ y = 2 ⇒ ⎛ 0 , 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎪⎩ a ⎝ a⎠ c) 2

2⎞ 4 ⎛ d = (2a − 0 ) + ⎜ 0 − ⎟ = 4a 2 + 2 = a⎠ a ⎝ 2

4a 3 .a

(

)

2a 4 − a 4 + 1

− a4 +1

2 a4 +1 d'= 2 ⋅ a2

4a 4 + 4 2 = a4 +1 ⇒ a a2

= 2⋅

a4 +1 a2

= 2⋅

a4 −1 a2 a4 +1

⎧a 2 + 1 = 0 ⇒ a 2 = −1 ⇒ ∀a ∉ ℜ ⎪ ⎧ a =1 Si d ' = 0 ⇒ a 4 − 1 = 0 ⇒ a 2 − 1 a 2 + 1 = 0 ⇒ ⎨ 2 a −1 = 0 ⇒ a2 = 1 ⇒ ⎨ ⎪ ⎩a = −1 ⎩ Como a > 0 ⇒ a = 1

(

)(

)

Comprobación d''= 4 ⋅

(

3a 4 + 1

a 1+ a 3

4

) 1+ a

4

⇒ d ' ' (1) = 4 ⋅

(

3.14 + 1

1 1+1 3

4

) 1+1

4

=

16 2 2

=

8 2

=

8 2 = 8 2 > 0 ⇒ Mínimo 2

6




OPCIÓN B 1.B.-Dada la función f ( x ) = ln

x2 donde ln significa logaritmo neperiano, definida para x >1, x −1

hallar un punto [a , f(a)] tal que la recta tangente a la gráfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje OX

(x − 2)x = x − 2 x 2 − 2x 1 2 x(x − 1) − x 2 ( x − 1) 2 x 2 − 2 x − x 2 ⋅ = ⋅ = = 2 2 2 2 2 2 x x x ( x − 1) x ( x − 1) x( x − 1) (x − 1) (x − 1) x −1 22 f ' ( x ) = 0 ⇒ x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ f (2 ) = ln = ln 4 ⇒ y − ln 4 = 0( x − 2) ⇒ y − ln 4 = 0 2 −1 f ' (x ) =

7



2.B.-Se considera la función f ( x ) =


ex

(1 + e )

x 2

a) Calcular los extremos locales y/o globales de la función f(x) a

∫ f (x ) dx = 4

b) Determinar el valor del parámetro a tal que :

1

0

a)

(

ex 1+ ex

f ' (x ) =

) − 2(1 + e )e e (1 + e ) 2

x

x

x

x 2

=

[(1 + e ) − 2e ](1 + e )e (1 + e ) x

x

x

x

x 2

=

(1 − e )e x

x

⇒

1+ ex

⎧ e x = 0 ⇒ x ln e = ln 0 ⇒ ∃/∀x ∈ ℜ ⎪ e0 f ' (x ) = 0 ⇒ 1 − e x e x = 0 ⇒ ⎨ 1 − e x = 0 ⇒ e x = 1 ⇒ x ln e = ln 1 ⇒ x = 0 ⇒ f (0 ) = ⎪ 1 + e0 ⎩ 1 − e x e x − e 2 x 1 + e x − 1 − e x e x e x 1 − 2e x 1 + e x − 1 − e x e x = f ' ' (x ) = 2 2 1+ ex 1+ ex

(

[(

)

)

[

(

](

)

(

) (

)

)] (

)

f ' ' (x ) =

e 1 + e − 2e 1 + e x − 1 − e x e x

f ' ' (x ) =

e x 1 − e x − 2e 2 x − 1 + e x

x

x

x

(1 + e )

x 2

(

(1 + e )

x 2

)=−

(

)( (

(

) ( )

(

)

) (

)

e x 1 + e x − 2e x − 2e 2 x − 1 − e x e x

=

(1 + e )

x 2

2e 3 x

(1 + e )

x 2

⇒ f ' ' (0 ) = −

2e 3.0

(1 + e )

0 2

=−

)

2

1 22

=

=

2e 0 2.1 1 =− 2 =− 2 2 2 (1 + 1)

⎛ 1⎞ En el punto ⎜ 0 , ⎟ hay un Máximo relativo ⎝ 4⎠ ∞ 1 1 ex ex Utilizando L ' Hopital = = ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → = = lim = =0 lim lim 2 x x x x x →∞ 2 1 + e x →∞ 2 1 + e e x →∞ ∞ ∞ 1+ e

(

lim

x → −∞

(

)

e

x

(1 + e )

x 2

= lim x →∞

e

−x

(1 + e )

−x 2

)

(

)

1 1 1 ex ex = lim = lim lim = = lim 2 2 2 x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ x x 1 ⎞ 1+ ex e ex +1 ⎛ x ⎛ e +1⎞ ⎜1 + x ⎟ e ⎜⎜ x ⎟⎟ e2x ⎝ e ⎠ ⎝ e ⎠

(

)

(

b) ex

∫ (1 + e )

x 2

dx = ∫

1 1 −1 1 1 dt = ∫ t − 2 dt = ⋅t = − = − 2 (− 1) t t 1+ ex

1 + e x = t ⇒ e x dx = dt a

1 1 1 ⎞ 1 1 1 1 ⎛ 1 ⎡ 1 ⎤ = ⇒ −⎜ − = ⇒− + = ⇒ ⇒ −⎢ 0 ⎟ x ⎥ a a ∫0 4 1+1 4 1+ e ⎠ 4 1+ e ⎝1+ e ⎣1 + e ⎦ 0 4 1 1 1 1 1 = − ⇒ = ⇒ 1 + e a = 4 ⇒ e a = 3 ⇒ a ⋅ ln e = ln 3 ⇒ a.1 = ln 3 ⇒ a = ln 3 a a 2 4 4 1+ e 1+ e a

f (x ) dx =

8

)

2

=0




3.B.- Se considera la familia de planos: mx + (m – 2)y + 3(m + 1)z + (m + 1) = 0, siendo m un parámetro real. Se pide: a) Determinar la recta común a todos los planos de la familia b) Determinar el plano de esta familia que pasa por el punto P(1 , 1 , 0)

⎧ x − 2z + 1 = 0 ⎩− y + z + 1 = 0

c) Determinar el plano de esta familia que es paralelo a la recta: r : ⎨

a) ⎧ Con m = 2 ⇒ 2 x + 9 z + 3 = 0 − 9z − 3 − 9z − 3 ⇒x= ⇒ 3⋅ + y + 12 z + 4 = 0 ⇒ ⎨ 2 2 ⎩Con m = 3 ⇒ 3 x + y + 12 z + 4 = 0 3 3 9 ⎧ ⎧ ⎪ x = − 2 − 2 λ ⎪ x = − 2 − 9λ ⎪⎪ ⎪⎪ 27 z + 9 1 3 27 z − 24 z + 9 − 8 3z + 1 1 y= − 12 z − 4 ⇒ y = ⇒y= ⇒ r : ⎨ y = + λ r : ⎨ y = + 3λ 2 2 2 2 2 2 ⎪ ⎪ z z = = 2λ λ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ b) 1 m.1 + (m − 2 ).1 + 3(m + 1).0 + m + 1 = 0 ⇒ m + m − 2 + m + 1 = 0 ⇒ 3m − 1 = 0 ⇒ m = 3 1 1 5 4 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 1 x + ⎜ − 2 ⎟ y + 3⎜ + 1⎟ z + + 1 = 0 ⇒ x − y + 4 z + = 0 ⇒ x − 5 y + 12 z + 4 = 0 3 3 3 3 3 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ c) ⎧ x = −1 + 2λ ⎪ r : ⎨ y = 1 + λ ⇒ [m , m − 2 , 3(m + 1)](2 , 1 , 1) = 0 ⇒ 2m + m − 2 + 3m + 3 = 0 ⇒ 6m = 1 ⎪ z=λ ⎩

⎧ x = −1 + 2λ ⎪ r : ⎨ y = 1 + λ ⇒ [m , m − 2 , 3(m + 1)](2 , 1 , 1) = 0 ⇒ 2m + m − 2 + 3m + 3 = 0 ⇒ 6m = 1 ⎪ z=λ ⎩ 1 11 7 7 1 1 1 ⎛1 ⎞ ⎞ ⎛1 ⇒ x + ⎜ − 2 ⎟ y + 3⎜ + 1⎟ z + + 1 = 0 ⇒ x − y + z + = 0 ⇒ 6 6 2 6 6 6 6 ⎝6 ⎠ ⎠ ⎝6 π ≡ x − 11y + 21z + 7 = 0 m=

9



⎛0 k t ⎞ ⎟ ⎜ 4.B.- Dada las matrices: A = ⎜ 0 0 k ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎠ ⎝

y


⎛1 k t ⎞ ⎟ ⎜ B = ⎜0 1 k ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝

a) Hallar A10 b) Hallar la matriz inversa de B c) En el caso particular de k = 0, hallar B10

a) ⎛ 0 0 k 2 ⎞ ⎛ 0 0 k 2 ⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛0 k t ⎞ ⎛0 k t ⎞ ⎛0 0 k 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ A2 = ⎜ 0 0 k ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 k ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⇒ A4 = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 0 ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 0 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 ⎠ ⎝ 0 0 0⎠ 2 ⎛ 0 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛ 0 0 k ⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ A8 = A 4 A 4 = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 0 ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⇒ A10 = A8 A 2 = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 0 ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ b)

1 k

t

B =0 1 k 0 0 1 ⎛1 ⎜ t adj B = ⎜ 0 ⎜ ⎝0

( )

⎛1 ⎜ 1 t t = 1 ≠ 0 ⇒ ∃B ⇒ B = ⋅ adj B ⇒ B = ⎜ k B ⎜t ⎝ ⎛1 − k k 2 − t ⎞ ⎛1 − k k2 −t⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ − k ⎟ = ⎜0 − k ⎟ ⇒ B −1 = ⋅ ⎜ 0 1 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝0 0 1 ⎠ ⎝0 0 −1

−1

( )

0 0⎞ ⎟ 1 0⎟ ⇒ k 1 ⎟⎠ −k 1 0

k2 −t⎞ ⎟ −k ⎟ ⎟ 1 ⎠

c) ⎛ 1 0 t ⎞ ⎛ 1 0 t ⎞ ⎛ 1 0 2t ⎞ ⎛ 1 0 2t ⎞ ⎛ 1 0 2t ⎞ ⎛ 1 0 4t ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 2 2 B = ⎜ 0 1 0⎟ ⋅ ⎜ 0 1 0⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⇒ B = B ⋅ B ⎜ 0 1 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 1 ⎟ ⎜0 0 1 ⎟ ⎜0 0 1 ⎟ ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

⎛ 1 0 4t ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ B = B ⋅ B = ⎜0 1 0 ⎟ ⋅⎜0 ⎜0 0 1 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 1 0 8t ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎜ 10 8 2 B = B ⋅ B = ⎜0 1 0 ⎟ ⋅⎜0 ⎜0 0 1 ⎟ ⎜0 ⎠ ⎝ ⎝ 8

4

4

0 4t ⎞ ⎛ 1 0 8t ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ = ⎜0 1 0 ⎟ ⇒ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ 0 2t ⎞ ⎛ 1 0 10t ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ = ⎜0 1 0 ⎟ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠

10




OPCIÓN A A.1.- A, B y C son tres ciudades que forman un triángulo de manera que entre cada dos de ellas hay una carretera recta que las une. Se sabe que si se va de A a B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor que si se va directamente de A a B. Asimismo si para ir de A a C se da una vuelta por B el recorrido es el doble que si se va directamente de A a C. Calcular la distancia entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres distancias es igual a 120 Km.

⎧ a + b − 3c = 0 ⎛1 1 − 3 0 ⎞ ⎛ 1 1 − 3 0 ⎞ ⎧ b + a = 3c ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎨ c + a = 2b ⇒ ⎨ a − 2b + c = 0 ⇒ ⎜1 − 2 1 0 ⎟ ≡⎜ 0 − 3 4 0 ⎟ ⇒ 4c = 120 ⇒ c = 30 ⇒ ⎪a + b + c = 120 ⎪a + b + c = 120 ⎜1 1 1 120 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 4 120 ⎟⎠ ⎩ ⎝ ⎩ ⎧ AB = c = 30 Km ⎪ − 3b + 4.30 = 0 ⇒ 3b = 120 ⇒ b = 40 ⇒ a + 40 − 3.30 = 0 ⇒ a = 90 − 40 = 50 ⇒ ⎨ AC = b = 40 Km ⎪ BC = a = 50 Km ⎩

1



A.2.- Determinar el punto simétrico del (3 , - 8 , 4) respecto del plano


π : x − 3y + 2z = 7

Por el punto A haremos pasar una recta r perpendicular al plano, para ello utilizaremos como vector director de la recta el del plano, seguidamente hallaremos el punto de corte B de la recta con el plano que es el punto medio entre A y su simétrico.

⎧ x = 3+λ ⎪ v r = vπ = (1 , − 3 , 2) ⇒ r ≡ ⎨ y = −8 − 3λ ⇒ 3 + λ − 3.(− 8 − 3λ ) + 2.(4 + 2λ ) = 7 ⇒ ⎪ z = 4 + 2λ ⎩ ⎧ x = 3−2 =1 ⎪ 3 + λ + 24 + 9λ + 8 + 4λ − 7 = 0 ⇒ 14λ + 28 = 0 ⇒ 14λ = −28 ⇒ λ = −2 ⇒ B ⎨ y = −8 + 6 = −2 ⇒ ⎪ z = 4−4 =0 ⎩ 3 + x A' ⎧ ⎪ 1 = 2 ⇒ x A ' = 2 − 3 = −1 ⎪⎪ − 8 + y A' ⇒ y A' = −4 + 8 = 4 ⇒ A' (− 1 , 4 , − 4) ⎨− 2 = 2 ⎪ 4 + z A' ⎪ 0= ⇒ z A ' = −4 ⎪⎩ 2

2



[

A.3.- Sea la función f ( x ) = e sen x , en el intervalo − π , π a) Determinar sus extremos en dicho intervalo x


]

b) Los puntos de inflexión en ese intervalo

a) ⎧e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ f ' ( x ) = e x sen x + e x cos x = e x (sen x + cos x ) ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇒ e x (sen x + cos x ) = 0 ⇒ ⎨ ⎩ sen x + cos x = 0 sen x 3 sen x + cos x = 0 ⇒ sen x = − cos x ⇒ = −1 ⇒ tg x = −1 ⇒ x = π + kπ ⇒ k = −1 , 0 cos x 4 3 ⎧ k =0⇒ x= π ⎪ 4 ⇒ f ' ' (x ) = e x (sen x + cos x ) = e x (sen x + cos x + cos x − sen x ) ⎨ π 3 ⎪ k = −1 ⇒ x = π − π = − 4 4 ⎩ 3 3 3 ⎧ ⎛3 ⎞ π π⎛ π 3 2⎞ ⎟ = − 2e 4 < 0 ⇒ Máximo ⎪ f ' ' ⎜ π ⎟ = 2e 4 cos π = 2e 4 ⎜⎜ − ⎟ 4 ⎠ 4 ⎪ ⎝ 2 ⎠ f ' ' ( x ) = 2e x cos x ⇒ ⎨ ⎝ ⇒ π π π − − − π π 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ f '' − = 2e 4 > 0 ⇒ Mínimo ⎜ ⎟ = 2e 4 cos ⎜ − ⎟ = 2e 4 ⋅ ⎪⎩ 4 4 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 3 3 ⎧ π π ⎛3 3 3 2 2 4π ⎞ ⎛3 ⎞ 4 4 ⎜ Máximo ⇒ x = π ⇒ f ⎜ π ⎟ = e sen π = e e ⎟⎟ ⇒⎜ π , ⎪ 4 4 4 2 4 2 ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ π π π − − ⎛ ⎛ ⎞ ⎪Mínimo ⇒ x = − π ⇒ f ⎛⎜ − π ⎞⎟ = e 4 sen ⎛⎜ − π ⎞⎟ = e 4 ⎜ − 2 ⎟ ⇒ ⎜ − π , − 2 e − 4 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 4 ⎪ 4 2 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

b) ⎧ e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎪ ⎧ π ⎪ x ⎪− π f ' ' ( x ) = 0 ⇒ 2e cos x = 0 ⇒ ⎨ cos x = 0 ⇒ x = + kπ ⇒ k = −1 , 0 ⇒ ⎨ 2 π ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩ 2 ⎩ π − ⎛ ⎧ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎞ 2 ⎪ f ' ' ' ⎜ − ⎟ = 2e ⎜⎜ cos ⎜ − ⎟ − sen ⎜ − ⎟ ⎟⎟ 2⎠ ⎪ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⇒ ⎝ f ' ' ' ( x ) = 2 e x cos x − e x sen x = 2e x (cos x − sen x ) ⇒ ⎨ ⎝ π ⎪ f ' ' ' ⎛⎜ π ⎞⎟ = 2e 2 ⎛⎜ cos ⎛⎜ π ⎞⎟ − sen ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ⎜ ⎪⎩ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝

(

)

π π π π ⎧ − − π − − ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞ ⎛⎜ π ⎧ ⎛ π⎞ 2 2 2 2 , = − ⇒ − = − ⇒ − − x f e sen e ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎪ ⎪ f ' ' ' ⎜ − ⎟ = 2e (0 − (− 1)) = 2e ≠ 0 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎪ ⎝ 2⎠ ⎪ ⇒ P.Inf ⇒ ⎨ ⎨ π π π π π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π − ⎞ ⎪ f ' ' ' ⎛⎜ π ⎞⎟ = 2e 2 (0 − 1) = −2e − 2 ≠ 0 ⎪ x = ⇒ f ⎜ ⎟ = e 2 sen ⎜ ⎟ ⇒ ⎜⎜ , e 2 ⎟⎟ ⎪⎩ ⎪ 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2 ⎠ ⎩

3

⎞ ⎟ ⎟ ⎠




Ω la región acotada encerrada entre las parábolas f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 y g (x ) = 2 x 2 − x + 6

A.4.- Sea

Ω

a) Hallar la superficie de

b) Razonar (no valen comprobaciones con la calculadora) cuál de las dos parábolas esta en la parte inferior de la región.

a) Puntos de corte de las funciones ⇒ f ( x ) = g ( x ) ⇒ x 2 + 2 x + 4 = 2 x 2 − x + 6 ⇒ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇒ 2 ⎧ 9 37 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ 3 +1 ⎧ f ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + 2⋅⎜ ⎟ + 4 = + 3+ 4 = ⎪ 2 = = x ⎪ 3± 1 ⎪ 4 4 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 ⇒⎨ Δ = 9 −8 =1⇒ x = ⇒⎨ 2 3 −1 2 ⎪x = = 1 ⎪ g ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 2⎛⎜ 3 ⎞⎟ − ⎛⎜ 3 ⎞⎟ + 6 = 18 − 3 + 6 = 18 − 6 + 24 = 36 2 ⎩ ⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ 4 2 4 4 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2

(

)

2

(

)

2

(

)

f ( x ) > g ( x ) ⇒ Ω = ∫ x + 2 x + 4 dx − ∫ 2 x − x + 6 dx = ∫ − x 2 + 3x − 2 dx 2

1

[ ]

1 Ω = − ⋅ x3 3 1 Ω = u2 6

2

1

+

1

[ ]

3 2 ⋅ x 2

2

2

1

1

− 14 + 27 − 12 1 3 7 9 2 − 2 ⋅ [x ]1 = − ⋅ 2 3 − 13 + ⋅ 2 2 − 12 − 2.(2 − 1) = − + − 2 = 3 2 3 2 6

(

)

(

)

b) Demostrado en a ) 2 ⎧ 9 37 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛3⎞ = f ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + 2⋅⎜ ⎟ + 4 = + 3+ 4 = ⎪ ⎪ 4 4 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ⇒ f (x ) > g (x ) ⎨ 2 − + 3 3 3 18 3 18 6 24 36 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ g ⎜ ⎟ = 2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + 6 = − + 6 = = ⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ 4 2 4 4 ⎝2⎠ ⎝2⎠

4




OPCIÓN B B.1. Estudiar según el valor del parámetro λ , el sistema de ecuaciones

⎧ λx + y + z = 1 ⎪ ⎨ x + λy + z = λ y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado. ⎪ x + y + z = λ2 ⎩

λ

1 1

A = 1 λ 1 = λ2 + 1 + 1 − λ − λ − 1 = λ2 − 2λ + 1 ⇒ Si A = 0 ⇒ λ2 − 2λ + 1 = 0 ⇒ Δ = 4 − 4 = 0 ⇒ 1

1 1

2 =1⇒ 2 ∀λ ∈ ℜ − {1} = rang (3) ⇒ Sistema Compatible Deter min ado

λ=

Si λ = 1 ⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜1 ⎝ x+

1 1 1⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 1⎟ ≡ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⇒ Sistema Compatible In det er min ado 1 1 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠ y + z = 1 ⇒ x = 1 − y − z ⇒ Solución(1 − λ − μ , λ , μ )

5




B.2.

⎧x + 2 y − z = 3 ⎩2x − y + z = 1

a) Sea r la recta intersección de los dos planos ⎨ a) Determinar el plano

π que contiene a la recta r y que pasa por el origen de coordenadas.

b) Escribir la ecuación de la recta perpendicular a

π y que pasa por el punto (1 , 0 , 1)

a) Utilizaremos la ecuación del haz de planos que pasa por la recta intersección de los planos. Calcularemos el parámetro de ese haz que pasador el punto dado (el origen de coordenadas) que nos da el parámetro con el que calcularemos el plano pedido

x + 2 y − z − 3 + λ (2 x − y + z − 1) = 0 ⇒ 0 + 2.0 − 0 − 3 + λ (2.0 − 0 + 0 − 1) = 0 ⇒ −3 − λ = 0 ⇒ λ = −3 x + 2 y − z − 3 − 3 ⋅ (2 x − y + z − 1) = 0 ⇒ x + 2 y − z − 3 − 6 x + 3 y − 3 z + 3 = 0 ⇒ −5 x + 5 y − 4 z = 0 ⇒ π ≡ 5x − 5 y + 4 z = 0 b) La recta r, pedida, tiene como vector director el del plano π

⎧ x = 1 + 5λ ⎪ v r = vπ = (5 , − 5 , 4 ) ⇒ r ≡ ⎨ y = −5λ ⇒ ⎪ z = 1 + 4λ ⎩

6



B.3.- Calcular, razonadamente, el límite de la sucesión:


(n − 2)2 (n + 1)3 − (n − 1)3

n 2 − 4n + 4 n 2 − 4n + 4 lim 3 = lim 3 = n → ∞ n + 3n 2 + 3n + 1 − n 3 − 3n 2 + 3n − 1 n → ∞ n + 3n 2 + 3n + 1 − n 3 + 3n 2 − 3n + 1

(

)

n 2 4n 4 4 4 4 4 − 2 + 2 1− + 2 1− + 2 n − 4n + 4 ∞ n n = n = lim ∞ ∞ = 1− 0 + 0 = 1 = lim = = lim n 2n 2 n →∞ n → ∞ n → ∞ 2 2 ∞ 6+0 6 6n + 2 6n 2 6 + 6 + + 2 2 2 ∞ n n n 2

7




B.4.- Determinar el área encerrada por la gráfica de la función f ( x ) = x sen x y el eje de abscisas entre el origen y el primer punto positivo donde f se anula. 2

x=0 x=0 ⎧ ⎧ f ( x ) = 0 ⇒ x 2 sen x = 0 ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⎩sen x = 0 ⇒ x = arc sen 0 = 0 + kπ ⇒ k ∈ N ⎩k = 1 ⇒ x = 0 + 1.π = π π

[

π

]

(

)

π

A = ∫ x 2 sen x dx = − x 2 cos x 0 − ∫ (− cos x ) 2 x dx = − π 2 cos π − 0 2 cos 0 + 2 ∫ x cos x dx π

0

0

0

⎧⎪ x = u ⇒ du = 2 x dx ⎨ ⎪⎩sen x dx = dv ⇒ v = ∫ sen x dx = − cos x 2

[

]

x = u ⇒ du = dx ⎧⎪ ⎨cos x dx = dv ⇒ v = cos x dx = sen x ⎪⎩ ∫

π

A = − π (− 1) − 0.1 + 2[x sen x ]0 − 2 ∫ sen x dx = π 2 + 2(π sen π − 0 sen 0 ) − 2.(− 1)[cos x]0 2

π

0

π

(

)

A = π + 2(π .0 − 0 .0) + 2(cos π − cos 0 ) = π 2 + 0 + 2[(− 1) − 1] = π 2 + 2.(− 2 ) = π 2 − 4 u 2 2

8




OPCIÓN A

1.A a) Justificar, razonadamente, que la gráfica de la función f(x) = x15+ x + 1, corta al eje OX al menos una vez en el intervalo [- 1 , 1]. b) Determinar, razonadamente, el número exacto de puntos de corte con el eje OX cuando x recorre toda la recta real. a) Teorema de conservación del signo.- Si f(x) es continua en x0 y f(x0) ≠ 0, entonces existe un entorno de x0 , (x0 – δ , x0 + δ) en el que la función tiene el mismo signo que f(x0), es decir: sign [f(x)] = sign [f(x0)], ∀x ∈ ( x 0 − δ x 0 + δ ) Como consecuencia de este teorema tendremos la siguiente proposición: Si una función f(x) es continua en un punto x0, y toma valores positivos y negativos en todo entorno de x0 entonces f(x0) = 0 La función dada es continua para todo valor real de x, y además en el intervalo [- 1 , 1]:

⎧ f (− 1) = (− 1)15 + (− 1) + 1 = −1 − 1 + 1 = −1 ⇒ sign[ f (− 1)] = − por lo tanto existe, al menos ⎨ f (1) = 115 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 ⇒ sign[ f (1)] = + ⎩ un punto x0, perteneciente al intervalo en donde f(x0) = 0 b) Para ver si hay más intervalos, en donde puedan existir puntos de corte con el eje OX, estudiaremos los de crecimiento y decrecimiento, y de haberlos lo hallaremos como en el apartado a), de no existir el punto será único y ya determinado

f ' ( x ) = 15 x 14 + 1 ⇒ Crecimiento ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ 15 x14 + 1 > 0 ⇒ 15 x 14 > −1 ⇒ x14 > x > 14 −

−1 ⇒ 15

⎧ f (− 1) = −1 1 ⇒ ∀x ∉ ℜ ⇒ No se puede det er min ar ⇒ ⎨ ⇒ Siempre creciente 15 ⎩ f (1) = 3

Al ser monótona creciente solo hay un intervalo de crecimiento (− ∞ , ∞ ) y solo existe el punto x0 en donde f (x0) =0, ya indicado en el apartado a)

1




2.A.- a) Determinar el punto P, contenido en el primer cuadrante, en el que se corta la gráfica de la función

f (x ) =

x2 y la circunferencia x2 + y2 = 8 2

b) Calcular el área de la región limitada por la recta que une el origen y el punto P hallado en el

y=

apartado anterior, y el arco de curva

x2 comprendido entre el origen y el punto P 2

a) ⎛ x2 x + ⎜⎜ ⎝ 2

2

⎞ x4 2 ⎟⎟ = 8 ⇒ x + = 8 ⇒ 4 x 2 + x 4 = 32 ⇒ x 4 + 4 x 2 − 32 = 0 ⇒ t = x 2 ⇒ t 2 + 4t − 32 = 0 ⇒ 4 ⎠ ⎧ ⎧x=2 − 4 + 12 = 4 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ ⎨ t1 = ⎪ − 4 ± 144 ⎪ 2 ⎩ x = −2 Δ = 16 + 128 = 144 > 0 ⇒ t1, 2 = ⇒⎨ 2 4 12 − − ⎪t = = −8 ⇒ x 2 = −8 ⇒ x = ± − 8 ⇒ ∀x ∉ ℜ ⎪⎩ 1 2 22 = 2 ⇒ P(2 , 2) Como tiene que estar contenido en el primer cuadrante ⇒ x = 2 ⇒ f (2) = 2 b) 2−0 =1⇒ y − 2 = x − 2 ⇒ x − y = 0 Ecuación de la recta ⇒ m = 2−0 g ( x ) = y = x ⇒ g (1) = 1 ⎧ ⇒ 7 > 1 ⇒ h( x ) > g ( x ) ⎨ 2 2 2 2 2 ⎩ y = 8 − x ⇒ y = ± 8 − x ⇒ h( x ) = 8 − x ⇒ h( x ) = 8 − 1 = 7 2

π 2

2

π

4

A = ∫ 8 − x 2 dx − ∫ x dx = ∫ 8 − 8.sen 2 t . 8. cos t dt − 0

0

0

[ ]

1 2 ⋅ x 2

2

0

4

= 8 ∫ 8 1 − sen 2 t . cos t dt − 0

[ ]

1 2 ⋅ x 2

2

0

⎧ ⎛ 2⎞ π ⎧ x = 8.sen t ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎟= ⎟⎟ = arc sen ⎜ ⎟ = arc sen ⎜⎜ ⎪ x = 2 ⇒ t = arc sen ⎜⎜ ⎪ ⎛ x ⎞ ⎪ 2 ⎟⎠ 4 ⎪ 8⎠ 2 2⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎟⎟ ⇒ ⎨ ⎨t = arc sen ⎜⎜ ⎛ 0 ⎞ 8 ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎟⎟ = arc sen (0 ) = 0 x = 0 ⇒ t = arc sen ⎜⎜ ⎪⎩ ⎪⎩ dx = 8. cos t dt ⎝ 8⎠ π

π

4

A = 8 ∫ cos t. cos t dt − 0

π

π

4 1 + cos 2t 1 2 4 ⋅ 2 − 0 2 = 8 ∫ cos 2 t dt − = 8 ∫ dt − 2 = 4 ∫ (1 + cos 2t ) dt − 2 2 2 2 0 0 0

(

)

4

4

⎧ cos 2 t + sen 2 t = 1 1 + cos 2t ⇒ cos 2 t = ⎨ 2 2 2 ⎩cos t − sen t = cos 2t π

π

4

4

π

A = 4 ∫ dt − 4 ∫ cos 2t dt − 2 = 4[t ]

4 0

0

0

π

π

π du ⎛π ⎞ ⎛ ⎞ − 4 ∫ cos u − 2 = 4⎜ ⎟ − 2[cos u ]02 − 2 = π − 2⎜ cos − cos 0 ⎟ − 2 2 2 ⎝4⎠ ⎝ ⎠ 0 2

π ⎧ π ⎧⎪ 2t = u ⎪t = ⇒ u = du ⇒ ⎨dt = ⎨ 4 2 ⎪⎩ ⎪⎩ t = 0 ⇒ u = 0 2 A = π − 2[0 − 1] − 2 = π + 2 − 2 = π u 2

2




⎧ 2λ x + 2 y + λ z = 1 ⎪ 3.A.- a) Discutir según los valores del parámetro l el sistema: ⎨ x + λy − z = 1 ⎪ 4 x + 3 y + z = 2λ ⎩ b) Resolver el sistema anterior en los casos en que sea compatible 2λ 2 λ A = 1 λ −1 = 2λ 2 − 8 + 3λ − 4λ 2 + 6λ − 2 = −2λ 2 + 9λ − 10 ⇒ Si A = 0 ⇒ −2λ 2 + 9λ − 10 = 0 ⇒ 4 3 1 2λ − 9λ + 10 = 0 ⇒ Δ = 81 − 80 = 1 > 0 ⇒ λ1,2 2

9 + 1 10 5 ⎧ ⎪⎪λ1 = 4 = 4 = 2 9± 1 = ⇒⎨ 4 ⎪ λ = 9 −1 = 2 2 ⎪⎩ 4

⎧5 ⎫ ∀λ ∈ ℜ − ⎨ , 2 ⎬ ⇒ rang ( A ) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado ⎩2 ⎭ Por Gauss Con λ = ⎛ ⎜5 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎜ ⎜4 ⎜ ⎝

2 5 2 3

⎛ 10 ⎜ ≡⎜ 0 ⎜0 ⎝ Con λ ⎛4 ⎜ ⎜1 ⎜4 ⎝ b) Por

x=

5 2 5 ⎞ 2 1 ⎟ ⎛ 10 4 5 2 ⎞ ⎛ 10 4 5 2 ⎞ ⎛ 10 4 5 2 ⎞ ⎛ 10 4 5 2⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ −1 1 ≡ ⎜ 2 5 −2 2 ⎟ ≡ ⎜ 10 25 −10 10 ⎟ ≡ ⎜ 0 21 −15 8 ⎟ ≡ ⎜ 0 21 −15 8 ⎟ ≡ ⎟ 5 ⎟ ⎜ 4 3 1 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 20 15 5 25 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 7 −5 21⎠⎟ ⎝⎜ 0 21 −15 63 ⎠⎟ 1 ⎟ ⎝ ⎟ ⎠

4 5 2⎞ ⎟ 21 −15 8 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible 0 0 55 ⎟⎠ =2

2 2 1⎞ ⎛ 4 2 2 1 ⎞ ⎛ 4 2 2 1⎞ ⎛ 4 2 2 1⎞ ⎛ 4 2 2 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 −1 1 ⎟ ≡ ⎜ 4 8 −4 4 ⎟ ≡ ⎜ 0 6 −6 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 2 −2 1 ⎟ ≡ ⎜ 0 2 −2 1 ⎟ ⇒ Sist Incompatible 3 1 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 3 1 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 −1 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 −2 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 5 ⎟⎠ Cramer 1 2 λ 1 λ −1 2λ 3 1 −2λ + 9λ − 10 2

=

−2λ 3 + 1 λ − 4λ + 3λ − 2λ 3 + 3 − 2 = 2 −2λ + 9λ − 10 −2λ 2 + 9λ − 10

3





b)Continuación

y=

2λ

1

λ

1

1

−1

4

2λ

1

− 2λ2 + 9λ − 10 2λ 2 1 1

λ

=

2λ − 4 + 2λ 2 − 4λ + 4λ 2 − 1 6λ 2 − 2λ − 5 = − 2λ2 + 9λ − 10 − 2λ2 + 9λ − 10

1

3 2λ

4λ3 − 8 − 3 − 4λ − 6λ − 4λ 4λ3 − 14λ − 11 = = z= − 2λ2 + 9λ − 10 − 2λ2 + 9λ − 10 − 2λ2 + 9λ − 10 4

4




Continúa el problema 3.A.Otra forma de realizar el apartado a) es utilizando la reducción por Gauss

a )Continuación Segundo método. − Gauss ⇒ Con m = −1 ⎛− 2 1 1 3 ⎞ ⎛ − 2 1 1 3⎞ ⎛ − 2 1 1 3 ⎞ ⎛ − 2 1 1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 1 − 2 3 − 3⎟ ≡ ⎜ 2 4 − 6 6 ⎟ ≡ ⎜ 0 5 − 5 9 ⎟ ≡ ⎜ 0 5 − 5 9 ⎟ ⇒ ⎜ 1 2 − 3 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 4 − 6 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 5 − 5 11⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 2 ⎟⎠ ⎝ Sistema Incompatible Con m = 2 ⎛ 1 1 1 3⎞ ⎛1 1 1 3 ⎞ ⎛1 1 1 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ A = ⎜ 2 1 3 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 1 − 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 1 − 3 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⎜ 1 2 0 4⎟ ⎜ 0 1 −1 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 − 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ Con m = 4 ⎛ 3 1 1 3⎞ ⎛ 3 1 1 3 ⎞ ⎛ 3 1 1 3⎞ ⎛ 3 1 1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 3 3 7 ⎟ ≡ ⎜12 9 9 21⎟ ≡ ⎜ 0 5 5 9 ⎟ ≡ ⎜ 0 5 5 9 ⎟ ⇒ Sist. Compat. In det er min ado ⎜ 1 2 2 4 ⎟ ⎜ 3 6 6 12 ⎟ ⎜ 0 5 5 9 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b) Por Gauss 9 − 5z 9 − 5z ⇒ 3x + + z = 3 ⇒ 15 x + 9 − 5 z + 5 z = 15 ⇒ 5 5 2 ⎛2 9 ⎞ 15 x = 6 ⇒ x = ⇒ Solución⎜ , − λ , λ ⎟ 5 ⎝5 5 ⎠ Por Rouche 5 y + 5z = 9 ⇒ 5 y = 9 − 5z ⇒ y =

⎧ 3x + y + z = 3 ⎧− 9 x − 3 y − 3 z = −9 2 2 ⇒⎨ ⇒ −5 x = −2 ⇒ x = ⇒ 3 ⋅ + y + z = 3 ⇒ ⎨ 5 5 ⎩4 x + 3 y + 3 z = 7 ⎩ 4 x + 3 y + 3 z = 7 9 − 5z 9 ⎛2 9 ⎞ 6 + 5 y + 5 z = 15 ⇒ 5 y = 9 − 5 z ⇒ y = = − z ⇒ Solución⎜ , − λ , λ ⎟ 5 5 ⎝5 5 ⎠ Evidentemente hay que elegir uno de los dos procedimientos, el segundo valdrá para comprobar

5




4.A.- Dados los puntos A(- 1 , 1 , 1), B(1 , - 3 , - 1) y C(1 , 0 , 3), hallar las coordenadas de un punto D perteneciente a la recta:

r ≡ x −1 =

y −1 = z − 1 de manera que el tetraedro ABCD −1

tenga un volumen igual a 2

⎧x = 1 + λ 1 ⎪ r ≡ ⎨ y = 1 − λ ⇒ D(1 + λ , 1 − λ , 1 + λ ) ⇒ V = 2 = ⋅ AB × AC ⋅ AD ⇒ 12 = AB × AC ⋅ AD 6 ⎪z = 1+ λ ⎩ ⎧ AB = (1 , − 3 , − 1) − (− 1 , 1 , 1) = (2 , − 4 , − 2)(no se puede reducir porque estamos con medidas ) ⎪ ⇒ AC = (1 , 0 , 3) − (− 1 , 1 , 1) = (2 , − 1 , 2 ) ⎨ ⎪ AD = (1 + λ , 1 − λ , 1 + λ ) − (− 1 , 1 , 1) = (2 + λ , − λ , λ ) ⎩ 2+λ −λ λ 12 = 2 − 4 − 2 ⇒ 12 = −8(2 + λ ) + 4λ − 2λ + 8λ − 2(2 + λ ) + 4λ ⇒ 12 = −10.(2 + λ ) + 14λ ⇒ 2

−1

2

⎧ x = 1+ 8 = 9 32 ⎪ 12 = −20 − 10λ + 14λ ⇒ 32 = 4λ ⇒ λ = = 8 ⇒ D ⎨ y = 1 − 8 = −7 ⇒ D(9 , − 7 , 9) 4 ⎪ z = 1+ 8 = 9 ⎩

6




OPCIÓN B 1.B.- Considerar el siguiente sistema de ecuaciones, en el que a es un parámetro real:

⎧− ax + 4 y + az = −a ⎪ ⎨ 4 x + ay − az = a , se pide: ⎪ x − y + z =1 ⎩ a) Discutir el sistema b) Resolver el sistema para a = 1

a) −a 4 a A= 4 a − a = −a 2 − 4a − 4a − a 2 + a 2 − 16 = −a 2 − 8a − 16 ⇒ Si A = 0 ⇒ −a 2 − 8a − 16 = 0 ⇒ 1 −1 1 −8 = −4 2 ∀a ∈ ℜ − {− 4} ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado a 2 + 8a + 16 = 0 ⇒ Δ = 64 − 64 = 0 ⇒ x =

Si a = −4 ⇒

4 4 = −16 − 16 = −32 ⇒ rang ( A) = 2 4 −4

Método de Gauss ⎛4 4 − 4 4 ⎞ ⎛4 4 − 4 4 ⎞ ⎛4 4 − 4 4 ⎞ ⎛4 4 − 4 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 4 − 4 4 − 4 ⎟ ≡ ⎜ 4 − 4 4 − 4 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 8 8 − 8 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 8 8 − 8 ⎟ ⇒ Sist Incompatible ⎜1 −1 1 1 ⎟ ⎜4 − 4 4 4 ⎟ ⎜0 − 8 8 8 ⎟ ⎜0 0 0 16 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ Por Rouche A / B = C1

C2

−a 4 −a B = 4 a a = −a 2 + 4a + 4a + a 2 − a 2 − 16 = −a 2 + 8a − 16 ⇒ Si A / B = 0 ⇒ 1 −1 1

− a 2 + 8a − 16 = 0 ⇒ a 2 − 8a + 16 = 0 ⇒ Δ = 64 − 64 = 0 ⇒ x = ∀a ∈ ℜ − {4} ⇒ rang ( A / B ) = 3 ⇒ Si a = −4 ⇒ rang ( A / B ) = 3

8 =4 2

Ya n hace falta seguir queda claro que: Cuando a = - 4 → rang(A) = 2 ≠ rang(A/B) = 2 → Sistema Incompatible

7




b) Por Cramer ⎧ −1 4 1 ⎪ 1 1 −1 ⎪ ⎪ 1 −1 1 −1 − 4 −1 −1 +1 − 4 =C = ⎪ x= − 25 − 25 ⎪ −1 −1 1 ⎪ ⎪ 4 1 −1 ⎪ 1 1 1 ⎪ −1 +1 + 4 −1 −1 + 4 6 Con a = 1 ⇒ A = −12 − 8.1 − 16 = −1 − 8 − 16 = −25 ⇒ ⎨ y = =− = − 25 − 25 25 ⎪ − − 1 4 1 ⎪ ⎪ 4 1 1 ⎪ 1 −1 1 − 1 + 4 + 4 + 1 − 1 − 16 9 ⎪ = = ⎪z = − 25 − 25 25 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Método de Gauss ⎛ − 1 4 1 − 1⎞ ⎛ − 1 4 1 − 1 ⎞ ⎛ − 1 4 1 − 1 ⎞ ⎛ − 1 4 1 − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 9 ⎜ 4 1 − 1 1 ⎟ ≡ ⎜ 0 17 3 − 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 17 3 − 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 17 3 − 3 ⎟ ⇒ 25 z = 9 ⇒ z = 25 ⎜ 1 − 1 1 1 ⎟ ⎜ 0 3 2 0 ⎟ ⎜ 0 51 34 0 ⎟ ⎜ 0 0 25 9 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ 75 + 27 102 102 6 27 9 = −3 ⇒ 17 y = −3 − ⇒ 17 y = − =− ⇒ y=− =− ⇒ 25 25 17.25 25 25 25 − 24 + 9 + 25 10 24 9 ⎛ 6 ⎞ 9 = −1 ⇒ x = − + +1 = = − x + 4⋅⎜− ⎟ + 25 25 25 25 ⎝ 25 ⎠ 25

17 y + 3 ⋅

6 9 ⎞ ⎛ 10 Solución⎜ , − , ⎟ 25 25 ⎠ ⎝ 25

8




⎛ 2 2 − 2⎞ ⎟ ⎜ 2.B.- Sea la matriz: A = ⎜ 2 2 − 2 ⎟ ⎜ 2 2 − 2⎟ ⎠ ⎝

a) Comprobar que A3 – 2A2 = 0 b) Hallar An

a) A 3 − 2 A 2 = A 2 ( A − 2) = A 2 ( A − 2 I ) ⇒ ⎛ 2 2 − 2⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜ 2 2 − 2⎟ ⋅ ⎜ 2 ⎜ 2 2 − 2⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛1 1 − 1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ ⎜ 2 A = 4⎜1 1 − 1⎟ ⋅ ⎜1 ⎜1 1 − 1⎟ ⎜1 ⎠ ⎝ ⎝ 2

2 − 2⎞ ⎛1 1 − 1⎞ ⎛1 1 − 1⎞ ⎛1 1 − 1⎞ ⎛1 1 − 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 − 2 ⎟ = 2⎜1 1 − 1⎟ ⋅ 2⎜1 1 − 1⎟ = 4⎜1 1 − 1⎟ ⋅ ⎜1 1 − 1⎟ ⇒ ⎜1 1 − 1⎟ ⎜1 1 − 1⎟ ⎜1 1 − 1⎟ ⎜1 1 − 1⎟ 2 − 2 ⎟⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 1 − 1⎞ ⎛1 1 − 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 1 − 1⎟ = 4⎜1 1 − 1⎟ ⎜1 1 − 1⎟ 1 − 1⎟⎠ ⎠ ⎝

⎛0 1 −1⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛1 1 − 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ A − 2 I = 2⎜1 1 − 1⎟ − 2.⎜ 0 1 0 ⎟ = 2⎜ 1 0 − 1 ⎟ ⎜ 1 1 − 2⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜1 1 − 1⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝

⎛1 1 − 1 ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ ⎜ A ( A − 2 I ) = 4⎜1 1 − 1⎟ − 2⎜ 1 ⎜1 1 − 1 ⎟ ⎜ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛0 0 0⎞ ⎛0 ⎜ ⎟ ⎜ 2 A (A − 2I ) = 8 ⋅ ⎜ 0 0 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎜0 0 0⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ 2

1 0 1 0 0 0

−1⎞ ⎛1 1 − 1 ⎞ ⎛ 0 1 − 1 ⎞ ⎛1 1 − 1⎞⎛ 0 1 − 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − 1 ⎟ = 4⎜1 1 − 1⎟.2⎜ 1 0 − 1 ⎟ = 8 ⋅ ⎜1 1 − 1⎟⎜ 1 0 − 1 ⎟ ⎜1 1 − 1 ⎟ ⎜ 1 1 − 2 ⎟ ⎜1 1 − 1⎟⎜ 1 1 − 2 ⎟ − 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 0⎞ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎠

b) ⎛1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ A = 4⎜1 1 − 1⎟ ⇒ ⎜1 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 1 ⎜ 4 3 A = A . A = 8 ⋅ ⎜1 1 ⎜1 1 ⎝ 2

⎛1 1 ⎜ A − 2 A = 0 ⇒ A = 2 A ⇒ A = 2.4⎜1 1 ⎜1 1 ⎝ − 1⎞ ⎛1 1 − 1⎞ ⎛ 1 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 1⎟ ⋅ 2⎜1 1 − 1⎟ = 16 ⋅ ⎜1 1 − 1⎟"" A n ⎜ 1 1 − 1⎟ − 1⎟⎠ ⎜⎝1 1 − 1⎟⎠ ⎝ ⎠ 3

2

3

2

3

− 1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ − 1⎟ = 8 ⋅ ⎜1 ⎜1 − 1⎟⎠ ⎝ ⎛1 1 ⎜ n = 2 ⋅ ⎜1 1 ⎜1 1 ⎝

1 − 1⎞ ⎟ 1 − 1⎟ ⇒ 1 − 1⎟⎠ − 1⎞ ⎟ − 1⎟ − 1⎟⎠

9




3.B.- Se considera la función f(x) = ln (1 + x2), donde ln significa Logaritmo Neperiano a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los intervalos de concavidad y convexidad b) Dibujar la gráfica de f c) Calcular las ecuaciones de las recta tangentes a la gráfica de f en sus puntos de inflexión.

a) ⎧ 2 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ 1 2x ⎪ f ' (x ) = ⋅ 2 x ⇒ Crecimiento ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ > 0 ⇒ ⎨ x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 0 ⇒ x > 0 2 2 1+ x 1+ x ⎪ 1 + x 2 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎩ ⎧ Derecimiento ⇒ ∀x ∈ ℜ / x < 0 ⎨ ⎩ Crecimiento ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 0 En x = 0 existe un mínimo relativo f ' ' (x ) =

(

)

2. 1 + x − 2 x.2 x 2

(1 + x )

2 2

=

2 + 2x − 4x 2

(1 + x )

2 2

−∞

2

=

(

2 1− x

2

(1 + x )

)

2 2

2 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎧ ⎪1 − x > 0 ⇒ − x > −1 ⇒ x < 1 2(1 − x )(1 + x ) ⎪ = ⇒⎨ 2 1 + x > 0 ⇒ x > −1 1+ x2 ⎪ 2 ⎪⎩ 1 + x 2 ⇒ ∀x ∈ ℜ

-1

(

)

(

)

∞

1

x>-1

(-)

(+)

(+)

x<1

(+)

(+)

(-)

(-)

(+)

(-)

Concavidad ∀x ∈ ℜ / − 1 < x < 1

Convexidad ∀x ∈ ℜ / ( x > −1) ∪ ( x > 1)

En x= -1 y en x = 1 existen Puntos de Inflexión

10




Continuación de problema 3B.b) 4,5

Y 4

3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

X

0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

c) 2.(− 1) ⎧ 2 ⎪⎪ x = −1 ⇒ f (− 1) = ln 1 + 1 = ln 2 ⇒ f ' (− 1) = 1 + (− 1)2 = −1 ⇒ y − ln 2 = (− 1)( x + 1) ⇒ ⎨ 2.1 2 ⎪ x = 1 ⇒ f (1) = ln 1 + 1 = ln 2 ⇒ f ' (1) = = −1 ⇒ y − ln 2 = 1.( x − 1) ⎪⎩ 1 + 12 ⎧ x = −1 ⇒ x + y − ln 2 + 1 = 0 ⎨ ⎩ x = 1 ⇒ x − y + ln 2 − 1 = 0

(

)

(

)

11

8




x y −4 z −5 = = , y la familia de rectas dependiente del 2 3 2 ⎧3x − y = 8 − 12m parámetro m: s ≡ ⎨ ⎩ y − 3z = 7 − 3m 4.B Se considera la recta

r≡

a) Determinar el valor de m para el que las dos rectas se cortan b) Para el caso m = 0, hallar la distancia entre las rectas r y s.

a)

s ≡ 3 x − 3 z = 15 − 15m ⇒ 3( x − z ) = 15(1 − m ) ⇒ x − z = 5(1 − m ) ⇒ x = z + 5(1 − m ) ⇒ y = 3 z + 7 − 3m

⎧ ⎧ x = 2λ ⎪ ⎪ ⎪ r ≡ ⎨ y = 4 + 3λ ⎛2 −1 5 5 ⎞ ⎧ 2λ = 5(1 − m ) + μ ⎧ 2λ − μ + 5m = 5 ⎪ z = 5 + 2λ ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⇒ ⎨4 + 3λ = 7 − 3m + 3μ ⇒ ⎨3λ − 3μ + 3m = 3 ⇒ ⎜ 1 − 1 1 1 ⎟ ⇒ ⎨ ⎧ x = 5(1 − m ) + μ ⎜ 2 − 1 0 − 5⎟ ⎪ ⎪ ⎪ 2λ − μ = −5 5 + 2λ = μ ⎩ ⎩ ⎝ ⎠ ⎪s ≡ ⎪⎨ y = 7 − 3m + 3μ ⎪ ⎪ z=μ ⎪⎩ ⎩ ⎛1 −1 1 1 ⎞ ⎛1 −1 1 1 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 3 ⎟ ≡ ⎜0 ⎜2 −1 5 5 ⎟ ≡ ⎜0 1 ⎜ 2 − 1 0 − 5⎟ ⎜ 0 1 − 2 − 7 ⎟ ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ μ + 3.2 = 3 ⇒ μ = −3 ⇒ λ + 3 + 2 = 1 ⇒ λ

−1 1 0

1 ⎞ ⎟ 3 3 ⎟ ⇒ −5m = −10 ⇒ m = 2( Aqui acabariamos ) − 5 − 10 ⎟⎠ 1

= −4

⎧ x = 2.(− 4 ) = −8 ⎪ El punto de corte es P ⎨ y = 4 + 3.(− 4 ) = −8 ⇒ P(− 8 , − 8 , − 3) ⎪ z = 5 + 2.(− 4 ) = −3 ⎩ b) Primero comprobaremos si las rectas son paralelas, de no se así se cruzan. En este caso, calcularemos el plano p que conteniendo a la recta s y que es paralelo a la recta r. Después hallaremos la distancia de un punto de r al plano hallado que será la distancia pedida.

⎧ ⎧ x = 2λ ⎪ ⎪ ⎪ r ≡ ⎨ y = 4 + 3λ ⎧ v r = (2 , 3 , 2 ) ⎪ z = 5 + 2λ ⎪ 2 3 ⎪⎪ ⎩ ⇒ ⇒ ≠ ⇒ No son paraleas ⇒ ⎨ v s = (1 , 3 , 1) ⎨ ⎧ x = 5+ μ 1 3 ⎪ ⎪ SG = ( x , y , z ) − (5 , 7 , 0 ) = ( x − 5 , y − 7 , z ) ⎩ ⎪s ≡ ⎪⎨ y = 7 + 3μ ⎪ ⎪ z=μ ⎪⎩ ⎩ x−5 π≡ 2 1

y−7 z 3 2 = 0 ⇒ 3( x − 5) + 2( y − 7 ) + 6 z − 3 z − 6( x − 5) − 2( y − 7 ) = 0 ⇒ 3 1

− 3( x − 5) + 3 z = 0 ⇒ 3 x − 3 z − 15 = 0 ⇒ π ≡ x − z − 5 = 0 ⇒ d Rπ = d rs = d rs =

1.0 − 1.5 − 5 1 +5 2

2

=

10 26 5 26 = u 26 13

12

− 10 26


Solución Junio de 2006


Junio de 2006 OPCIÓN A

⎧ x + ky − z = 0 ⎪ 1.A.- Dado el sistema homogéneo: ⎨ kx − y + z = 0 , averiguar para que valores de k tiene ⎪(k + 1)x + y = 0 ⎩ soluciones distintas de x = y = z = 0. Resolverlo en cada caso Si la solución es distinta a la trivial el sistema es Compatible Indeterminado y, por ello, el determinante de los coeficientes es nulo

k −1 − 1 1 = k (k + 1) − k − (k + 1) − 1 = k 2 + k − k − k − 1 − 1 = k 2 − k − 2 ⇒

1 A=

k k +1

1

0

A = 0 ⇒ k − k − 2 = 0 ⇒ Δ = 1 + 8 = 9 > 0 ⇒ k1, 2 2

1+ 3 ⎧ ⎪k = 2 =2 1± 9 = ⇒⎨ ⇒ 1− 3 2 ⎪k = = −1 2 ⎩

Si k = 2 ⎧x + 2 y − z = 0 ⇒ 3 x + y = 0 ⇒ y = −3 x ⇒ x + 2.(− 3 x ) − z = 0 ⇒ −5 x − z = 0 ⇒ z = −5 x ⇒ ⎨ ⎩2 x − y + z = 0 Solución (λ , − 3λ , − 5λ ) Si k = −1 ⎧ x− y−z =0 ⇒ −2 y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x − 0 − z = 0 ⇒ x − z = 0 ⇒ x = z ⇒ ⎨ ⎩− x − y + z = 0 Solución (μ , 0 , μ )

1




⎛1 2⎞ ⎛a b ⎞ ⎟⎟ encontrar todas las matrices P = ⎜⎜ ⎟⎟ tales que AP=PA ⎝0 1⎠ ⎝c d ⎠

2.A.- Dada la matriz A = ⎜⎜

⎧ a + 2c = a ⎧c = 0 ⎪ ⎪ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a + 2c b + 2d ⎞ ⎛ a 2a + b ⎞ ⎪b + 2d = 2a + b ⎪d = d ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟=⎜ ⎟⇒⎨ ⇒⎨ d ⎟⎠ ⎜⎝ c 2c + d ⎟⎠ ⎪ c=c ⎝0 1⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝0 1⎠ ⎝ c ⎪a = d ⎪⎩ d = 2c + d ⎪⎩ b ⎛a b⎞ ⎟⎟ P = ⎜⎜ ⎝0 a⎠

2



3.A.- a) Dibujar la gráfica de la función

f (x ) =


2x ,indicando su dominio, intervalos de x +1

crecimiento y de decrecimiento y sus asíntotas b) Demostrar que la sucesión

an =

2n es monótona creciente n +1

c) Calcular lim n (a n +1 − a n ) 2

n →∞

a) f (x ) =

2x x +1 x + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ − {− 1} f ' (x ) = 2 ⋅

x +1− x

(x + 1)2

=

2

(x + 1)2

⇒ Creciente si f ' (x ) > 0 ⇒

2

(x + 1)2

⎧ 2 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ >0⇒⎨ ⇒ 2 ⎩( x + 1) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

Creciente ∀x ∈ ℜ Asíntotas verticales 2x 2.(− 1) − 2 ⎧ f (x ) = lim− = − = =∞ − ⎪ xlim x → −1 x + 1 − 1 + 1 0− x = −1 ⇒ ⎨ →−1 2x 2.(− 1) − 2 ⎪ lim+ f ( x ) = lim+ = + = = −∞ x → −1 x + 1 − 1 + 1 0+ ⎩ x → −1 Asíntotas horizontales x 2⋅ ∞ 2x x = lim 2 = 2 = 2 = 2 ⇒ y = 2 ⇒ x → ∞ y = lim = = lim x →∞ x + 1 1 1 1+ 0 ∞ x →∞ x 1 x →∞ + 1+ 1+ x x x ∞ x − 2⋅ 2x 2(− x ) − 2x −∞ 2 2 x = lim − 2 = y = lim = lim = lim = = lim = =2⇒ x → −∞ x + 1 x →∞ (− x ) + 1 x →∞ − x + 1 1 1 −1+ 0 − ∞ x →∞ x 1 x →∞ − + −1+ −1+ x x x ∞ y = 2 ⇒ x → −∞ Asíntotas oblicuas 2x f (x ) 2x 2 2 m = lim = lim x + 1 = lim = lim = = 0 ⇒ ∃/ asíntota oblicua → ∞ x →∞ x → ∞ x → ∞ x → ∞ x x x( x + 1) x +1 ∞ 2x f (x ) 2(− x ) 2 2 m = lim = lim x + 1 = lim = lim = = 0 ⇒ ∃/ asíntota oblicua → −∞ x → −∞ x → −∞ x →∞ (− x )(− x + 1) x →∞ − x + 1 x x −∞

3




Continúa el problema 3.A.a) Continuación 10

Y

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

X

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

b) Creciente cuando a n +1 − a n > 0 ⇒

(

(2n + 2)(n + 1) − 2n(n + 2) ⇒ 2(n + 1) 2n 2n + 2 2n − = − = (n + 1) + 1 n + 1 n + 2 n + 1 (n + 2)(n + 1)

)

2n 2 + 2n + 2n + 2 − 2n 2 + 4n 2 n 2 + 2n + 2n + 2 − 2n 2 − 4n 2 = = (n + 2)(n + 1) (n + 2)(n + 1) (n + 2)(n + 1) 2 > 0 ⇒ Sucesión monotona creciente Como ∀n ∈ N ⇒ (n + 2)(n + 1) c) a n +1 − a n =

n2 2 2n 2 2 ∞ n2 lim n 2 (a n +1 − a n ) = lim n 2 = lim 2 = = lim 2 = lim = n→∞ n →∞ (n + 2)(n + 1) n→∞ n + 3n + 2 ∞ n→∞ n + 3 n + 2 n→∞ 1 + 3 + 2 n n2 n2 n2 n2 2 2 = = =2 3 2 1+ 0 + 0 1+ + ∞ ∞ 2

4


4.A.- Sean las rectas

r:


x +1 y − 2 z = = −2 2 −4

y s:


x − 2 y +1 z + 2 = = 3 1 1

a) Hallar la ecuación de la recta t que pasa por el origen y corta a las dos rectas anteriores b) Hallar la recta perpendicular común a las rectas r y s.

a) ⎧ ⎧− 1 − λ ⎪ ⎪ ⎪v r = (− 1 , 1 , − 2 ) ⇒ r : ⎨ 2 + λ ⎪ − 2λ ⎪⎪ ⎩ ⇒ vt = (− 1 − λ − 2 − 3μ , 2 + λ + 1 − μ , − 2λ + 2 − μ ) ⎨ + μ 2 3 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ s : ⎨−1 + μ ⎪ ⎪− 2 + μ ⎪⎩ ⎩ x +1+ λ y−2−λ z + 2λ t: = = ⇒ Con O(0 , 0 , 0 ) ⇒ − λ − 3μ − 3 λ − μ + 3 − 2λ − μ + 2

⎧(1 + λ )(λ − μ + 3) = (− 2 − λ )(− λ − 3μ − 3) 0 +1+ λ 0−2−λ 0 + 2λ = = ⇒⎨ ⇒ − λ − 3μ − 3 λ − μ + 3 − 2 λ − μ + 2 ⎩ 2λ (λ − μ + 3) = (− 2 − λ )(− 2λ − μ + 2 ) ⎧λ − μ + 3 + λ2 − μλ + 3λ = 2λ + 6 μ + 6 + λ2 + 3μλ + 3λ ⎧ − λ − 7 μ − 3 − 4 μλ = 0 ⇒⎨ ⎨ 2 2 2λ − 2λμ + 6λ = 4λ + 2 μ − 4 + 2λ + μλ − 2λ ⎩− 3λμ + 4λ − 2 μ + 4 = 0 ⎩

7μ + 3 ⎧ ⎪⎪− λ (1 + 4 μ ) = 7 μ + 3 ⇒ λ = − 1 + 4 μ 7 μ + 3 2μ − 4 − λ (1 + 4 μ ) = 7 μ + 3⎨ ⇒− = ⇒ 2μ − 4 1 + 4 μ 4 − 3μ ⎪ λ (4 − 3μ ) = 2 μ − 4 ⇒ λ = ⎪⎩ 4 − 3μ − (7 μ + 3)(4 − 3μ ) = (2 μ − 4 )(1 + 4 μ ) ⇒ −(28μ − 21μ 2 + 12 − 9 μ ) = 2 μ + 8μ 2 − 4 − 16 μ ⇒ − 19 μ + 21μ 2 − 12 = −14 μ + 8μ 2 − 4 ⇒ 13μ 2 − 5μ − 8 = 0 ⇒ Δ = 25 + 4.13.8 = 25 + 416 = 441 > 0 5 + 21 2.1 − 4 ⎧ =1⇒ λ = = −2 μ1 = ⎪ 26 4 − 3.1 ⎪ ⎛ 8⎞ 5 ± 441 ⎪ 2 ⋅ ⎜ − ⎟ − 4 − 16 − 52 ⇒⎨ μ1, 2 = 5 − 21 16 8 68 17 13 ⎠ 13 26 ⎪μ 2 = =− =− ⇒λ = ⎝ = =− =− 52 − 24 26 26 13 28 7 ⎛ 8⎞ ⎪ 4 − 3⋅⎜− ⎟ ⎪⎩ 13 ⎝ 13 ⎠ ⎧ μ =1 Cuando ⎨ ⇒ vt = [− (− 2) − 3.1 − 3 , (− 2) − 1 + 3 , − 2(− 2) − 1 + 2] = (− 4 , 0 , 5) ⇒ ⎩λ = −2 x + 1 + (− 2 ) y − 2 − (− 2 ) z + 2(− 2 ) x −1 y z − 4 = = ⇒ = = −4 −4 0 5 0 5 10 3 34 8 ⎧ x y z − + + = − μ ⎪ 7 = 7 = 7 13 ⇒ v = ⎛⎜ 116 , 220 , 680 ⎞⎟ = (29 , 55 , 170) ⇒ Cuando ⎨ t 17 91 91 91 29 55 170 ⎝ ⎠ ⎪λ = − 7 ⎩

5




Continúa el problema 4.A.b) El vector de la recta p buscada es perpendicular a los vectores directores de las rectas dadas r y s, por lo tanto sus productos escalares son nulos. Después hallaremos uno de los puntos de corte A y así tendremos la ecuación de la recta p

⎧⎧⎪v = (− 3 − λ − 3μ , 3 + λ − μ , 2 − 2λ − μ ) ⇒ v p ⊥ v r ⇒ vt .vr = 0 ⎪⎨ p vr = (− 1 , 1 , − 2) ⎪⎪⎩ ⇒ ⎨ ⎪⎧⎪v p = (− 3 − λ − 3μ , 3 + λ − μ , 2 − 2λ − μ ) ⇒ v ⊥ v ⇒ v .v = 0 p s t s ⎪⎨⎪ v s = (3 , 1 , 1) ⎩⎩

⎧(− 3 − λ − 3μ , 3 + λ − μ , 2 − 2λ − μ ) ⋅ (− 1 , 1 , − 2) ⇒ 3 + λ + 3μ + 3 + λ − μ − 2(2 − 2λ − μ ) = 0 ⇒ ⎨ ⎩ (− 3 − λ − 3μ , 3 + λ − μ , 2 − 2λ − μ ) ⋅ (3 , 1 , 1) = 3 ⋅ (− 3 − λ − 3μ ) + 3 + λ − μ + 2 − 2λ − μ = 0 ⎧6 + 2λ + 2μ − 4 + 4λ + 2μ = 0 ⇒ 2 + 6λ + 4μ = 0 ⇒ 1 + 3λ + 2μ = 0 ⎧ 4 + 12λ + 8μ = 0 ⇒⎨ ⇒ ⎨ − 9 − 3λ − 9μ + 5 − λ − 2μ = 0 ⇒ −4 − 4λ − 11μ = 0 ⎩ ⎩− 12 − 12λ − 33μ = 0 − 8 − 25μ ⇒ μ = −

8 16 9 3 ⎛ 8⎞ −1 = − ⇒λ=− ⇒ ⇒ 1 + 3λ + 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = 0 ⇒ 3λ = 25 25 25 25 ⎝ 25 ⎠

⎡ ⎛ 3⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 8 ⎞⎤ v p = ⎢− 3 − ⎜ − ⎟ − 3⎜ − ⎟ , 3 + ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ , 2 − 2⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟⎥ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠⎦ ⎣ ⎛ − 75 + 3 + 24 75 − 3 + 8 50 + 6 + 8 ⎞ ⎛ 48 80 64 ⎞ , , , ⎟ ≡ (3 , 5 , 4) vp = ⎜ ⎟=⎜ , 25 25 25 ⎝ ⎠ ⎝ 25 25 25 ⎠ ⎧ 22 ⎛ 3 ⎞ − 25 + 3 22 ⎧ x = − + 3γ ⎪ x = −1 − λ = −1 − ⎜ − 25 ⎟ = 25 = − 25 ⎪ ⎝ ⎠ 25 ⎪ ⎪⎪ 47 ⎪ ⎛ 3 ⎞ 50 − 3 47 = ⇒ p:⎨ y = + 5γ A⎨ y = 2 + λ = 2 + ⎜ − ⎟ = 25 25 25 ⎝ 25 ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ 3⎞ 6 ⎪ ⎪ z = 6 + 4γ = − = − ⋅ − = λ z 2 2 ⎜ ⎟ ⎪ 25 ⎩⎪ ⎝ 25 ⎠ 25 ⎩

6




OPCIÓN B 1.B.-Sea r la recta que pasa por el origen de coordenadas O y tiene como vector director

v = (4 , 3 , 1) . Hallar el punto P contenido en dicha recta tal que si se llama Q a su proyección

sobre el plano z = 0 , el triángulo OPQ tenga área 1.

⎧ x = 4λ ⎧ x = 4λ + 0μ = 4λ ⎪ ⎪ r : ⎨ y = 3λ ⇒ P(4λ , 3λ , λ ) ⇒ Pr oyección de P sobre π ⇒ vπ = (0 , 0 , 1) ⇒ s : ⎨ y = 3λ + 0μ = 3λ ⇒ ⎪ z=λ ⎪ z =λ+μ ⎩ ⎩ ⎧ x = 4λ ⎪ Inter sec ción de s con el plano π ⇒ λ + μ = 0 ⇒ Q ⎨ y = 3λ ⇒ P(4λ , 3λ , 0) ⎪ z=0 ⎩ ⎧⎪OP = (4λ , 3λ , λ ) − (0 , 0 , 0) = (4λ , 3λ , λ ) 1 ⇒ A = ⋅ OP × OQ = 1 ⇒ ⎨ 2 ⎪⎩ OQ = (4λ , 3λ , 0) − (0 , 0 , 0 ) = (4λ , 3λ , 0) i j k OP × OQ = 4λ 3λ λ = 4λ2 j + 12λ2 k − 12λ2 k + 3λ2 i = 3λ2 i + 4λ2 j ⇒ OP × OQ = 4λ 3λ 0 OP × OQ = 2 ⇒

(3λ ) + (4λ )

= 2 ⇒ 9λ4 + 16λ4 = 2 ⇒ 5λ2 = 2 ⇒ λ2 =

2 2

2 2

y

⎧ ⎛ ⎪ x = 4 ⋅ ⎜⎜ − ⎪ ⎝ ⎪⎪ ⎛ P1 ⎨ y = 3 ⋅ ⎜⎜ − ⎝ ⎪ ⎪ z ⎪ ⎪⎩

(3λ ) + (4λ ) 2 2

2 2 10 ⇒λ =± =± 5 5 5

Hay dos soluciones : ⎧ 10 ⎪x = 4 ⋅ 5 ⎪ 10 ⎪ P1 ⎨ y = 3 ⋅ 5 ⎪ ⎪ z = 10 ⎪ 5 ⎩

10 ⎞ ⎟ = −4 ⋅ 5 ⎟⎠ 10 ⎞ ⎟ = −3 ⋅ 5 ⎟⎠ 10 =− 5

2 2

10 5 10 5

7



2.B.- Determinar la posición relativas de las rectas

r:


x+4 y−7 z = = −3 4 1

y

⎧ x + 2 y − 5z − 5 = 0 s:⎨ ⎩2 x + y + 2 z − 4 = 0 Dos rectas pueden ser paralelas o ser la misma recta, en ese caso sus vectores directores serán proporcionales; cortarse en un punto (ser secantes) y si ninguno de esos casos se da se cruzarán

⎧ x = −4 − 3λ ⎧ R(− 4 , 7 , 0) ⎪ r : ⎨ y = 7 + 4λ ⇒ ⎨ ⎩v r = (− 3 , 4 , 1) ⎪ z=λ ⎩

⎧− 2 x − 4 y + 10 z + 10 = 0 s:⎨ ⇒ −3 y + 12 z + 6 = 0 ⇒ ⎩ 2x + y + 2z − 4 = 0

3 y = 12 z + 6 ⇒ y = 4 z + 2 ⇒ x + 2 ⋅ (4 z + 2) − 5 z − 5 = 0 ⇒ x + 3z − 1 = 0 ⇒ x = 1 − 3z ⎧ x = 1 − 3μ ⎧ S (1 , 2 , 0) ⎪ r : ⎨ y = 2 + 4μ ⇒ ⎨ ⇒ v r = v s ⇒ Son paralelas o coincidentes ⎩v s = (− 3 , 4 , 1) ⎪ z=μ ⎩ Veamos si tienen a lg un punto común ⎧− 4 − 3λ = 1 − 3μ ⎪ ⎨ 7 + 4λ = 2 + 4 μ ⇒ λ = μ ⇒ −4 − 3λ = 1 − 3λ ⇒ −4 ≠ 1 ⇒ Incompatible ⎪ λ=μ ⎩ No son la misma recta ⇒ SON PARALELAS

8




⎛ 2 1 − a⎞ ⎜ ⎟ 3.B.- Dada la matriz: M = ⎜ 2a 1 − 1 ⎟ ⎜2 a 1 ⎟ ⎝ ⎠ a) Determinar el rango de M según valores del parámetro a b) Determinar para que valores de a existe la matriz inversa de M. Calcular dicha matriz inversa para a = 2

a) 2 1 −a M = 2a 1 − 1 = 2 − 2 − 2a 3 + 2a + 2a + 2a = −2a 3 + 2a = 2a 1 − a 2 ⇒ Si 2a 1 − a 2 = 0 ⇒ 2 a 1

(

)

(

)

a=0 ⎧ ⎪ Si M = 0 ⇒ 2a 1 − a = 0 ⇒ ⎨1 − a 2 = 0 ⇒ a 2 = 1 ⇒ a = ± 1 ⇒ ⎧ a = 1 ⎨ ⎪⎩ ⎩ a = −1 ∀a ∈ ℜ − {− 1 , 0 , 1} ⇒ rango(M ) = 3 ⇒ ∃M −1 Cuando a = −1

(

2

)

1 1 ⎞ ⎛ 2 1 1⎞ ⎛ 2 1 1⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − 2 1 − 1⎟ ≡ ⎜ 0 2 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⇒ Cuando a = −1 ⇒ rango(M ) = 2 ⎜ 2 −1 1 ⎟ ⎜ 0 − 2 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ Cuando a = 0 0 ⎞ ⎛2 1 0 ⎞ ⎛2 1 0 ⎞ ⎛2 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 1 − 1⎟ ≡ ⎜ 0 1 − 1⎟ ≡ ⎜ 0 1 − 1⎟ ≡⇒ Cuando a = 0 ⇒ rango(M ) = 2 ⎜2 0 1 ⎟ ⎜0 −1 1 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ Cuando a = 1 ⎛ 2 1 − 1⎞ ⎛ 2 1 − 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 2 1 − 1⎟ ≡ ⎜ 0 0 0 ⎟ ≡⇒ Cuando a = 1 ⇒ rango(M ) = 2 ⎜2 1 1 ⎟ ⎜0 0 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

9




Continuación del problema 3B.-

b) ∀a ∈ ℜ − {− 1 , 0 , 1} ⇒ rango(M ) = 3 ⇒ ∃M −1

(

)

(

)

Si a = 2 ⇒ M = 2a 1 − a 2 = 2.2. 1 − 2 2 = 4.(− 3) = −12 ⇒ M −1 =

4 2⎞ ⎛ 2 1 − 2⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t 1 2 ⎟ ⇒ adj M = ⎜4 1 −1⎟ ⇒ M = ⎜ 1 ⎜2 2 1 ⎟ ⎜− 2 −1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

adj M t

⎛ 3 −5 1 ⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎜ 1 = ⎜ − 6 6 − 6 ⎟ ⇒ M −1 = ⋅⎜− 6 − 12 ⎜ ⎜ 6 − 2 − 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 6

⎛ 1 2 ⎜ ⎜ −1 1 ⎜ 4 2 M t = ⎜− ⎜ −1 1 ⎜ 4 2 ⎜⎜ ⎝ 1 2 −5 1 ⎞ ⎟ 6 − 6⎟ − 2 − 2 ⎟⎠

( )

( )

1 ⋅ adj M t M −

1

2

−2 1 2 2

−2 1 2 2 − 1 2

1 −2 2 − −2 2 1

1 ⎞ ⎟ −1 ⎟ 4 ⎟ ⎟ −1 ⎟ 4 ⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

10



4.B.- a) Estudiar y representar gráficamente la función:

f (x ) =


1

(x − 2)2

b) Halla el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función anterior y las rectas

5 2

y =1 y x =

a) x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ D( f ) = ∀x ∈ ℜ − {2} Puntos de corte con los ejes Con OX ⇒ y = 0 ⇒ 1 ≠ 0 ⇒ ∃/ Con OY ⇒ x = 0 ⇒ y =

1

(0 − 2)

2

=

1 ⎛ ⇒ ⎜0 , 4 ⎝

1⎞ ⎟ 4⎠

Simetria f (− x ) =

1

(− x − 2)

2

=

1

( x + 2 )2

≠ f ( x ) ⇒ No es simétrica respecto a OY ni al origen de coordenadas

Asíntotas 1 ⎧ lim − ⎪ x →2 − ⎪ 2 −2 Verticales ⇒ x = 2 ⇒ ⎨ 1 ⎪ lim+ + ⎪⎩ x →2 2 − 2 Horizontales

(

)

=

(

)

=

2

2

1

(0 ) 1

− 2

(0 )

+ 2

1 =∞ 0+ 1 = + =∞ 0

=

1 1 = =0⇒∃ y =0⇒ x→∞ 2 ( x − 2) ∞ 1 1 1 y = lim = lim = = 0 ⇒ ∃ y = 0 ⇒ x → −∞ x → −∞ ( x − 2 )2 x →∞ (− x − 2 )2 ∞ y = lim x →∞

Oblicuas 1 (x − 2)2 = lim 1 = 1 = 0 ⇒ ∃/ m = lim x →∞ x → ∞ x ( x − 2 )2 x ∞ 1

m = lim

( x − 2 )2

x → −∞

= lim x →∞

x

1

(− x )(− x − 2)

2

=

1 = 0 ⇒ ∃/ −∞

Crecimiento f ' (x ) =

− 2( x − 2 )

(x − 2)

4

=−

2

(x − 2)

3

− 2 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎧ ⇒ f ' (x ) > 0 ⇒ ⎨ 3 ⎩( x − 2) > 0 ⇒ x − 2 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 2

11




Continúa el problema 4.B.a) Contnuación

−∞

-2 <0

∞

(-)

−∞

(-)

2

∞

(+)

x>2 (+)

(-)

f(x) > 0

f(x) < 0

Crecimiento ∀x ∈ ℜ / x < 2

Decrecimiento ∀x ∈ ℜ / x > 2

No hay máximos ni mínimos porque correspondería en el punto x = 2 en donde hay una asíntota vertical

Concavidad y convexidad f ' ' ( x ) = −2

− 3( x − 2 )

(x − 2)

2

=

6

6

(x − 2)

4

⎧ 6 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⇒ Cóncavo ∀x ∈ ℜ =⇒ f ' ' ( x ) > 0 ⇒ ⎨ 4 ⎩( x − 2 ) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

No hay puntos de inf lexión

10

Y

9

8

7

6

5

4

3

2

X

1

0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

12




Continúa el problema 4.B.-

b) y =1⇒1=

x1, 2

1 2 ⇒ ( x − 2) = 1 ⇒ x 2 − 4 x + 4 = 1 ⇒ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇒ Δ = 16 − 12 = 4 > 0 ⇒ 2 (x − 2)

4+2 ⎧ ⎪ x= 2 =3 4± 4 = ⇒⎨ ⇒ Como x > 2 ⇒ x = 3 4−2 2 ⎪x = = −1 2 ⎩ 3

A=∫ 5 2

1

( x − 2 )2

1

1

1

[ ]

1 1 3 ⋅ t −1 dx − ∫ 1.dx = ∫ 2 dt − [x ]5 = ∫ t − 2 dt = −1 1 1 t 5 2 2

2

2

2 1 2

1

5⎞ 1 ⎡1⎤ ⎛ − ⎜ 3 − ⎟ = −⎢ ⎥ − 1 2⎠ 2 ⎣t ⎦ ⎝ 2

⎧⎪ x = 3 ⇒ t = 1 5 1 ⇒ dx = dt x−2=t ⇒ ⎨ ⎪⎩ x = 2 ⇒ t = 2 ⎛ ⎞ ⎜1 1 ⎟ 1 1 1 1 A = −⎜ − ⎟ − = −(1 − 2 ) − = −(− 1) − = u 2 2 2 2 ⎜1 1 ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝

13




OPCIÓN A ⎛ 1 3⎞ ⎟ ⎜ ⎛1 2 λ ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜ λ 0 ⎟ donde λ es un número A.1.- Se consideran las matrices A = ⎜⎜ ⎝ 1 − 1 − 1⎠ ⎜ 0 2⎟ ⎠ ⎝ real a) Encontrar los valores de λ para los que la matriz AB tiene inversa

⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎛a⎞ b) Dados a y b números reales cualesquiera ¿puede ser el sistema A⎜ y ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ compatible ⎜ z ⎟ ⎝b⎠ ⎝ ⎠ determinado con A la matriz del enunciado?

a)

⎛ 1 3⎞ ⎟ ⎛1 + 2λ 3 + 2λ ⎞ ⎛1 + 2λ 3 + 2λ ⎞ ⎛1 2 λ ⎞ ⎜ r 2 x 3 con 3 x 2 nos da una de 2 x 2 ⎟=⎜ ⎟⇒ ⎟⎟ ⋅ ⎜ λ 0 ⎟ = ⎯Multiplica AB = ⎜⎜ ⎯⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ = ⎜⎜ 3 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − λ 1 ⎟⎠ ⎝ 1− λ ⎝ 1 − 1 − 1⎠ ⎜ 0 2 ⎟ ⎠ ⎝ 1 + 2λ 3 + 2λ −1 ∃( AB ) ⇒ AB ≠ 0 ⇒ AB = = 1 + 2λ − (1 − λ ) ⋅ (3 + 2λ ) = 1 + 2λ − 3 + 2λ − 3λ − 2λ2 ⇒ 1− λ 1

(

)

−3+5 1 ⎧ ⎪λ = 4 = 2 − 3 ± 25 AB = 2λ + 3λ − 2 = 0 ⇒ Δ = 9 + 16 = 25 > 0 ⇒ λ = ⇒⎨ ⇒ −3−5 4 ⎪λ = = −2 4 ⎩ 1⎫ ⎧ −1 ∃( AB ) ⇒ λ ∈ ℜ − ⎨− 2 , ⎬ 2⎭ ⎩ 2

b) ⎛ x⎞ ⎛a⎞ ⎛1 2 λ ⎞ ⎜ ⎟ r 2 x 3 con 3 x1 nos da una de 2 x1 ⎟⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎯Multiplica ⎯⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ AB = ⎜⎜ ⎝b⎠ ⎝1 − 1 − 1⎠ ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠ No puede ser compatible det er min ado 1 2 ⎛ x + 2 y + λz ⎞ ⎛ a ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ Como A = = −3 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2 ⇒ 1 −1 ⎝ x − y − z ⎠ ⎝b⎠ Compatible in det er min ado ⇒ ∀λ , a , b ∈ ℜ

1




f (x ) =

bx tenga como asíntota x−a vertical x = 2 y como asíntota horizontal y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f ( x )

A.2.- Calcular los valores de a y b para que la función

tiene un mínimo relativo.

f (x ) =

bx x−a Asíntota vertical x − a = 0 ⇒ x − 2 = 0 ⇒ a = 2 ⇒ f (2) =

⎧a = 2 2b 2b = ⇒ 2b ≠ 0 ⇒ b ≠ 0 ⇒ ⎨ 2−2 0 ⎩b ≠ 0

Asíntota horizontal bx bx ∞ b b y = 3 = lim = = lim x = lim = =b⇒b=3 x →∞ x − 2 2 1− 0 ∞ x →∞ x 2 x →∞ 1− − x x x f ' (x ) = 3

x−2− x

(x − 2)

2

=−

6

( x − 2 )2

⇒ f ' ( x ) ≠ 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ − {2} ⇒ No hay máximos ni mínimos relativos

2



A.3.- a) Utilizando el cambio de variable t = ex calcular b) Calcular

lim x→0

∫e


x+e x

dx

sen x 7x2

a)

∫e

x +e x

dx = ∫ e e e x dx = ∫ e t dt = e t = e e + K x

x

e x = t ⇒ e x dx = dt b) lim x →0

sen x sen 0 0 cos x cos 0 1 Aplicando L ' Hopital = = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim = = ⇒ ∃/ lim ⇒ Sin definición 2 2 x → 0 0 14 x 14.0 0 7x 7.0

3




⎧ x = 2 + 2k ⎪ A.4.- Calcular la distancia entre las rectas r y s, donde: r : ⎨ y = 1 − k ⎪ z = 3+ k ⎩

⎧ x = −1 + k ⎪ s : ⎨ y = −1 + 3k ⎪ z = 4 − 2k ⎩

⎧⎪ v r = (2 , − 1 , 1) 2 −1 ⇒ ≠ ⇒ No son paralelas ni coincidentes ⎨ 3 ⎪⎩v s = (1 , 3 , − 2 ) 1 ⎧2 + 2k = −1 + a ⎧2k − a = −3 ⎧ k + 3a = 2 ⎪ ⎪ ⇒ a = 1 ⇒ k + 3 = 2 ⇒ k = −1 ⇒ 2(− 1) − 1 = −3 ⎨1 − k = −1 + 3a ⇒ ⎨ k + 3a = 2 ⇒ ⎨ − − = − k 2 a 1 ⎩ ⎪ 3 + k = 4 − 2a ⎪ k + 2a = 1 ⎩ ⎩ ⎧⎧ x = 2 + 2.(− 1) = 0 ⎪⎪ ⎪⎨ y = 1 − (− 1) = 2 ⎪⎪⎪ z = 3 + (− 1) = 2 ⇒ A(0 , 2 , 2) ⇒ La dis tan cia es nula Se cor tan en el punto⎨⎩ ⎪ ⎧⎪ x = −1 + 1 = 0 ⎪ ⎨ y = −1 + 3.1 = 2 ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩ z = 4 − 2.1 = 2

4




OPCIÓN B

⎛ a 2 ab ab ⎞ ⎜ ⎟ 2 b2 ⎟ B.1. Sea la matriz A = ⎜ ab a ⎜ ab b 2 a 2 ⎟ ⎝ ⎠ a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz b) Estudiar el rango de A en el caso en que b = - a

a) a 2 ab ab a b 2 2 A = ab a b = a ⋅ ab a 2 ab b

2

a

a2 − b2 = a ⋅1⋅ 0

2

ab b 0

2

a −b 2

2

1 b b 2 2 b = a ⋅ b a2

2

a

2

(

= a2. a2 − b2

b b

2

1 b b 2 2 2 b = a ⋅ 0 a − b2 0 0 a2

b 0 a −b 2

= 2

)

2

b) ⎛ a2 ⎜ A = ⎜− a2 ⎜− 2 ⎝ a

− a2 a2 a2

− a2 ⎞ ⎛a2 ⎟ ⎜ a2 ⎟ ≡ ⎜ 0 ⎟ ⎜ a2 ⎠ ⎝ 0

− a2 0 0

− a2 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⇒ rang ( A) = 1 0 ⎟⎠

5



[

B.2. La función f : 0 , ∞ ) → ℜ definida por

[0 , ∞ )


⎧ ax si 0 ≤ x ≤ 8 ⎪ f (x ) = ⎨ x 2 − 32 es continua en > 8 si x ⎪⎩ x − 4

a) Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta. 10

b) Calcular

∫ f (x ) dx 0

a) ⎧ f (8) = lim f ( x ) = 8a = 2 2a x →8 − ⎪ ⇒ 2 2a = 8 ⇒ 2a = 4 ⇒ 2a = 16 ⇒ a = 8 ⇒ ⎨ 8 2 − 32 32 = =8 ⎪ lim+ f ( x ) = 8−4 4 ⎩ x→8 ⎧2 2 x si 0 ≤ x ≤ 8 ⎪ f ( x ) = ⎨ x 2 − 32 si x > 8 ⎪⎩ x − 4

b) 10

8

0

0

∫ f (x ) dx = 2 2 ∫ x 2 − 32

x 2 − 32 16 dx =2 2 ∫ x 2 dx + ∫ ( x + 4 ) dx − ∫ dx = x dx + ∫ x−4 x−4 8 0 8 8 10

8

1

10

10

⎧ x = 10 ⇒ t = 6 x − 4 = t ⇒ dx = dt ⇒ ⎨ ⎩ x =8⇒t = 4

x−4

− x 2 + 4x x + 4 4 x − 32 − 4 x + 16 − 16

(

8

) [ ]

3 10 10 10 1 4 2 1 2 10 1 ⎡ 2⎤ 10 6 3 3 ∫0 f (x ) dx = 2 2 ⋅ 3 ⋅ ⎢ x ⎥ + ∫8 x dx + 4 ∫8 dx − 16 ∫8 t dt = 3 ⋅ 8 − 0 + 2 ⋅ x 8 + 4 ⋅ [x]8 − 16[ln t ]4 ⎣ ⎦0 2 10 6 128 100 − 64 1 4 2 2 2 ∫0 f (x ) dx = 3 ⋅ 8.2 2 + 2 ⋅ 10 − 8 + 4 ⋅ (10 − 8) − 16(ln 6 − ln 4) = 3 + 2 + 8 − 16 ⋅ ln 4

10

(

10

∫ f (x ) dx = 0

)

2 3 206 3 128 + 78 128 + 26 − 16 ⋅ ln = − 16 ⋅ ln = + 16 ⋅ ln 3 2 3 2 3 3

6




B.3.- Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el cuadrado del segundo sea mínima. Llamando A y B a los sumandos positivos que se buscan

A+ B =8⇒ B = 8− A ⎧ dP ⇒ P' = = 3 A 2 + 2 A − 16 ⇒ ⎨ 2 3 2 3 3 2 ( ) = + = + − = + − + P A B A A A A A 8 16 64 dA ⎩ P' = 0 ⇒ 3 A 2 + 2 A − 16 = 0 ⇒ Δ = 4 − 4.3.(− 16 ) = 4 + 192 = 196 > 0 ⇒ A =

− 2 ± 196 ⇒ 6

− 2 + 14 ⎧ =2 A= ⎪ d 2P 6 ⇒ = = 6A + 2 ⇒ P ' ' ⎨ 2 − 2 − 14 16 8 dA ⎪A = = − = − ( No es solución por ser negativa ) 6 6 3 ⎩ ⎧A = 2 d 2P = 6.2 + 2 = 14 > 0 ⇒ Mínimo ⇒ Solución⎨ P ' ' (2 ) = 2 dA ⎩B = 6

7




B.4.a) Estudiar si son linealmente independientes los

vectores: a = (3 , 1 , 2 ) , b = (0 , 1 , 1) , c = (1 , 1 , 1) Expresar el vector v = (0 , 0 , 1) como combinación lineal de a , b y c b)¿Son el plano

π : 2x + 3y + z + 1 = 0

y la recta

r:

x −1 y = = − z ortogonales? Justificar −2 −3

la respuesta

a) Si los vectores son linealmente independientes no serán coplanarios por lo tanto el determinante que generan es distinto de cero

3 1 2 C = 0 1 1 = 3 + 1 − 2 − 3 = −1 ≠ 0 ⇒ Son linealmente independientes 1 1 1 ⎧ 3m + r = 0 ⎧− m − n − r = 0 ⎪ ⇒ v = ma + n b + r c ⇒ (0 , 0 , 1) = m(3 , 1 , 2 ) + n(0 , 1 , 1) + r (1 , 1 , 1) ⇒ ⎨ m + n + r = 0 ⇒ ⎨ ⎪2 m + n + r = 1 ⎩ 2 m + n + r = 1 ⎩ m = 1 ⇒ 3.1 + r = 0 ⇒ r = −3 ⇒ 1 + n − 3 = 0 ⇒ n = 2 ⇒ v = a + 2 b − 3c b)Si son ortogonales los vectores directores son proporcionales por ser paralelos

r:

⎧⎪v = (− 2 , − 3 , − 1) ≡ (2 , 3 , 1) 2 3 1 x −1 y z = = ⇒⎨ r ⇒ = = ⇒ Son ortogonales − 2 − 3 − 1 ⎪⎩ 2 3 1 vπ = (2 , 3 , 1)

8


Solución Septiembre de 2006


Septiembre de 2006 OPCIÓN A 2

1.A.- Calcular

∫x 1

2

dx + 2x

1 1 dx dx 1 1 1 1 1 1 1 I =∫ 2 =∫ = ∫ 2 dx + ∫ 2 dx = − ∫ dx + ∫ dx = − ∫ dt + ⋅ ln x (x + 2)x x + 2 x 2 x+2 2 x 2 t 2 x + 2x x + 2 = t ⇒ dx = dt −

1 ⎧ ⎪ x = −2 ⇒ A(− 2) + B(− 2 + 2) = 1 ⇒ −2 A = 1 ⇒ A = − 2 A B 1 + = ⇒ Ax + B( x + 2 ) = 1 ⇒ ⎨ 1 x + 2 x ( x + 2 )x ⎪ x = 0 ⇒ A0 + B(0 + 2 ) = 1 ⇒ 2 B = 1 ⇒ B = 2 ⎩ x x 1 1 1 1 1 1 I = − ⋅ ln t + ⋅ ln x = − ⋅ ln x + 2 + ⋅ ln x = ⋅ (ln x − ln x + 2 ) = ⋅ ln = ln +K 2 2 2 2 2 2 x+2 x+2 2

⎡ ⎛ dx x ⎤ 2 1 = ln = ⎢ ⎥ ∫1 x 2 + 2 x ⎢ x + 2 ⎥ ⎜⎜ ln 2 + 2 − ln 1 + 2 ⎣ ⎦1 ⎝ 2

1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ = ⎜ ln 1 − ln 1 ⎟ = ln 2 = ln 3 ⎟ ⎜ 1 2 3 ⎟⎠ 2 ⎠ ⎝ 3

1




3 x + 2 si x < 0 ⎧ ⎪ 2 2.A.- a) Calcular los valores de a y b para que la función: ⎨ x + 2a. cos x si 0 ≤ x < π ⎪ ax 2 + b si x ≥ π ⎩ sea continua para todo valor de x b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b hallados en el apartado anterior

a) ⎧ ⎪ ⎪⎪ Continuidad ⇒ ⎨ ⎪⎧⎪ f (π ) = xlim →π − ⎪⎨ ⎪⎩⎪⎩

lim f (x ) = 3.0 + 2 = 2 ⎧⎪ x →0 − ⎨ f (0 ) = lim f (x ) = 0 2 + 2a. cos 0 = 2a.1 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1 ⎪⎩ x →0 + 2 f ( x ) = π + 2.1. cos π = π 2 + 2.(− 1) = π 2 − 2. ⇒ π 2 − 2 = π 2 + b ⇒ b = −2 2 2 lim+ f (x ) = 1.π + b = π + b x →π

3 x + 2 si x < 0 ⎧ ⎪ 2 f (x ) = ⎨ x + 2 cos x si 0 ≤ x < π ⎪ x 2 − 2 si x ≥ π ⎩ b)

( )

⎧ ⎧ f ' 0− = 3 3 si x < 0 ⇒ 3 ≠ 0 ⇒ No es derivable ⎧ ⎪ ⎨ + ⎪ ⎩ f ' 0 = 2.0 − 2.sen 0 = 0 − 2.0 = 0 ⎪ f ' ( x ) = ⎨2 x − 2 sen x si 0 ≤ x < π ⇒ ⎨ − ⎪⎧ f ' π = 2.π − 2.sen π = 2π − 2.0 = 2π ⇒ 2π = 2π ⇒ Es derivable ⎪ 2 x si x π ≥ ⎩ ⎪⎨⎩ f ' π + = 2.π ⎩

( ) ( )

( )

No es derivable en x = 0

Es derivable en x = p

2




1 ⎞ ⎛ 3 ⎛1 0⎞ ⎟⎟ , I = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝0 1⎠

3.A.- Dada las matrices : A = ⎜⎜

a) Comprobar que det(A2) = {det(A)}2 y que det(A + I) = det(A) + det(I) b) Sea M una matriz cuadrada de orden 2.¿Se puede asegurar que det(M2) = {det(M)}2?. Razona la respuesta c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden 2, tales que: det(M + I) = det(M) + det(I)

a) ⎧ 3 1 2 2 = −9 + 8 = −1 ⇒ A = (− 1) = 1 ⎪ det ( A) = A = −8 −3 2 ⎪ ⇒ A2 = A ⎨ 1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛1 0⎞ 1 0 ⎪ A 2 = ⎛⎜ 3 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ A 2 = =1 ⎜ ⎪⎩ 0 1 ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎧ 1 ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ 4 1 ⎞ 4 1 ⎛ 3 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ A + I = = −8 + 8 = 0 ⎪ A + I = ⎜⎜ −8 − 2 ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ − 8 − 2 ⎠ ⎪ ⎪ ⎧ 3 1 = −9 + 8 = −1 ⇒ A+ I = A + I ⎨ ⎪A = −8 −3 ⎪ ⎪ ⇒ A + I = −1 + 1 = 0 ⎨ ⎪ 1 0 ⎪ =1 I = ⎪ ⎪ 0 1 ⎩ ⎩ b) ⎧ 2 ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a 2 + bc ab + bd ⎞ a 2 + bc ab + bd 2 ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⇒ M = ⎪M = ⎜⎜ 2 ⎟ ⎪ ac + cd bc + d 2 ⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ ac + cd bc + d ⎠ ⇒ ⎨ a b 2 2 ⎪ = ad − bc ⇒ M = (ad − bc ) M = ⎪⎩ c d ⎧⎪ M 2 = a 2 + bc bc + d 2 − (ab + bd )(ac + cd ) = ⇒ ⎨ 2 2 2 2 2 2 ⎪⎩ M = (ad − bc ) = a d + b c − 2abcd ⎧⎪ M 2 = a 2 bc + a 2 d 2 + b 2 c 2 + bcd 2 − a 2 bc − abcd − abcd − bcd 2 = a 2 d 2 + b 2 c 2 − 2abcd ⇒ ⎨ 2 2 M = (ad − bc ) = a 2 d 2 + b 2 c 2 − 2abcd ⎪⎩

(

M2 = M

)(

2

)

⇒ Para cualquier valor

3





c) ⎧ b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ a + 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ M + I = (a + 1)( . d + 1) − bc = ad + a + d − bc ⎪M + I = ⎜⎜ 0 1 1 c d c d + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎧ a b = ad − bc ⇒ ⎨ ⎪M = c d ⎪ ⎪ ⇒ M + I = ad − bc + 1 ⎨ 1 0 ⎪ ⎪ I = =1 ⎪ ⎪ 0 1 ⎩ ⎩ b ⎞ ⎛a ⎟⎟ ⇒ ∀a, b, c ∈ ℜ ad + a + d − bc = ad − bc + 1 ⇒ a + d = 1 ⇒ d = a − 1 ⇒ M = ⎜⎜ ⎝ c a − 1⎠

4




4.A.- Se consideran los puntos A(0 , 1 , 0) y B(1 , 0 , 1). Se pide: a) Escribir la ecuación que deben de verificar los puntos X(x , y , z) que equidistan de A y B b) Determinar la ecuación que verifican los puntos X(x , y , z) cuya distancia a A es igual a la distancia de A a B c) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta formada por los puntos C(x , y , z) del plano x + y + z = 3 tales que el triángulo ABC es rectángulo con el ángulo recto en el punto A

a) ⎧⎪ AX = ( x , y , z ) − (0 , 1 , 0) = ( x , y − 1 , z ) ⇒ AX = BX ⇒ ⎨ ⎪⎩ BX = ( x , y , z ) − (1 , 0 , 1) = ( x − 1 , y , z − 1) x 2 + ( y − 1) + z 2 = ± 2

(x − 1)2 + y 2 + (z − 1)2

⇒ x 2 + ( y − 1) + z 2 = ( x − 1) + y 2 + (z − 1) ⇒ 2

2

2

x 2 + y 2 + 1 − 2 y + z 2 = x 2 + 1 − 2x + y 2 + z 2 + 1 − 2z ⇒ 1 − 2 y = 1 − 2x + 1 − 2z ⇒ π ≡ 2x − 2 y + 2z − 1 = 0 b) ⎧⎪ AX = (x , y − 1 , z ) 2 ⇒ AX = AB ⇒ x 2 + ( y − 1) + z 2 = ± 12 + 12 + 12 ⇒ ⎨ ⎪⎩ AB = (1 , 0 , 1) − (0 , 1 , 0) = (1 , − 1 , 1) x 2 + ( y − 1) + z 2 = 3 ⇒ x 2 + y 2 + 1 − 2 y + z 2 = 3 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 − 2 y − 2 = 0 2

c) AB ⊥ AC ⇒ AB. AC = 0 ⎧⎪ AC = ( x , y , z ) − (0 , 1 , 0) = ( x , y − 1 , z ) ⇒ (1 , − 1 , 1)( . x , y − 1 , z ) = 0 ⇒ x − ( y − 1) + z = 0 ⎨ ⎪⎩ AB = (1 , 0 , 1) − (0 , 1 , 0 ) = (1 , − 1 , 1) π ≡ x − y + z +1 = 0 ⎧x − y + z +1 = 0 ⇒ 2x + 2z − 2 = 0 ⇒ x = 2 − z ⇒ 2 − z + y + z − 3 = 0 ⇒ y = 1 ⇒ Re cta r ≡ ⎨ ⎩x + y + z − 3 = 0 ⎧x = 2 − λ ⎪ r ≡ ⎨ y =1 ⎪ z=λ ⎩

5




OPCIÓN B 1.B.- a) Resolver el sistema de ecuaciones:

⎧ x + y − 3z = 0 ⎨ ⎩2 x + 3 y − z = 5

b) Hallar la solución del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada una de las tres incógnitas sea igual a 4

a) ⎧− 2 x − 2 y + 6 z = 0 ⇒ y + 5 z = 5 ⇒ y = −5 z + 5 ⇒ x + 5 − 5 z − 3z = 0 ⇒ x = −5 + 8 z ⇒ ⎨ ⎩ 2x + 3 y − z = 5 Solución(− 5 + 8λ , 5 − 5λ , λ ) b) − 5 + 8λ + 5 − 5λ + λ = 4 ⇒ 4λ = 4 ⇒ λ = 1 ⇒ Solución(− 5 + 8.1 , 5 − 5.1 , 1) ⇒ Solución(3 , 0 , 1)

6



2.B.- a) Hallar todas las matrices : At = A

⎛a a⎞ ⎟⎟ distintas de la matriz A = ⎜⎜ ⎝0 b⎠


⎛0 0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ tales que ⎝0 0⎠

b) Para una cualquiera de las matrices A, obtenidas en el aparatado anterior a), calcular M = A + A2 + …. + A10

a) ⎧ ⎛a ⎪ A = ⎜⎜ ⎪ ⎝0 ⎨ ⎪ A t = ⎛⎜ a ⎜a ⎪⎩ ⎝

a⎞ ⎟ ⎧a = a ⎛0 0⎞ b ⎟⎠ ⎪ ⎟ ⇒ ∀b ∈ ℜ ⇒ ⇒ A = A t ⇒ ⎨ a = 0 ⇒ A = ⎜⎜ 0⎞ 0 b ⎟⎠ ⎝ ⎪ ⎟ ⎩b = b b ⎟⎠

b) ⎛0 0 ⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0 ⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⇒ A 3 = ⎜⎜ A 2 = ⎜⎜ A10 = ⎜⎜ 2⎟ 2⎟ 3⎟ 10 ⎟ ⎝0 b⎠ ⎝0 b⎠ ⎝0 b ⎠ ⎝0 b⎠ ⎝0 b ⎠ ⎝0 b ⎠ ⎝0 b ⎠ a .r − a1 b10 .b − b b10 − 1 .b ⇒ Pr ogresión geométrica ⇒ b , b 2 , b 3 , … , b 9 , b10 ⇒ S1−10 = 10 = = r −1 b −1 b −1 0 ⎛0 ⎞ b10 − 1 .b ⎟ M = A + A 2 + + A10 = ⎜ ⎜0 ⎟ b −1 ⎠ ⎝

(

(

)

)

7




3.B.- Dada la función: f ( x ) = xe se pide: a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión 2x

b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f(x) entre - 1 < x < 1

a) ⎧ Dom(x ) = ∀x ∈ ℜ ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ ⎨ 2x ⎩ Dom e = ∀x ∈ ℜ

( )

Asíntotas verticales No existen Asíntotas horizontales y = lim f ( x ) = lim xe 2 x = ∞.∞ = ∞ ⇒ ∃/ asíntota horizontal ⇒ x → ∞ x →∞

x →∞

y = lim f (x ) = lim xe 2 x = lim (− x )e 2(− x ) = − lim x → −∞

y=−

x → −∞

x →∞

x →∞

x e

2x

=−

1 ∞ Aplicando L ' Hopital = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = − lim 2 x = x →∞ 2e ∞

1 = 0 ⇒ ∃ y = 0 ⇒ x → −∞ ∞

Asíntotas oblicuas m = lim x →∞

f (x ) xe 2 x = lim = lim e 2 x = ∞ ⇒ ∃/ asíntota oblicua ⇒ x → ∞ x x →∞ → ∞ x x

1 1 xe 2 x = lim e 2 x = lim e 2(− x ) = lim e − 2 x = lim 2 x = = 0 ⇒ x → −∞ x → −∞ x → −∞ x →∞ x →∞ x →∞ e ∞ x ∃/ asíntota oblicua ⇒ x → −∞ m = lim f (x ) = lim

f ' ( x ) = e 2 x + xe 2 x .2 = e 2 x (1 + 2 x ) Crecimiento y decrecimiento (Monotonía ) Crecimiento ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ e

2x

∀x ∈ ℜ / x < −

1 2

Decrecimiento

(1 + 2 x ) 2

⎧⎪ e 2 x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ 1 1 >0⇒⎨ 1 2 0 2 1 / + > ⇒ > − ⇒ > − ⇒ ∀ ∈ ℜ > − x x x x x ⎪⎩ 2 2

Crecimiento

∀x ∈ ℜ / x > −

1 2

⎛ 1⎞

1 1 −1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2⋅⎜ − 2 ⎟ Mínimo en x = − ⇒ f ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ ⋅ e ⎝ ⎠ = − ⋅ e = − (de decrecimiento pasa 2 2 2e ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ a crecimiento)

8




Continuación del Problema 3.B.-

a )Continuación f ' ' (x ) = 2e 2 x (1 + 2 x ) + 2e 2 x = 2e 2 x (1 + 2 x + 1) = 2e 2 x (2 + 2 x ) = 4e 2 x (1 + x ) Concavidad y convexidad 4 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎧ ⎪ Concavidad ⇒ f ' ' ( x ) > 0 ⇒ 4e (1 + x ) > 0 ⇒ ⎨ e 2 x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎪1 + x > 0 ⇒ x > −1 ⇒ ∀x ∉ ℜ / x > −1 ⎩ 2x

Convexidad ∀x ∈ ℜ / x < −1

Concavidad ∀x ∈ ℜ / x > −1

x = −1 ⇒ f (− 1) = (− 1).e 2.(−1) = −e − 2 = −

Punto de inflexión

1 1⎞ ⎛ ⇒ ⎜−1 , − 2 ⎟ 2 e e ⎠ ⎝

Puntos de corte

Cuando x = 0 ⇒ f (0) = 0.e 2.0 = 0.1 = 0 ⇒ (0 , 0) Gráfica de la función

Y

10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5

X

1 0,5 0 -3

-2

-1

-0,5

0

1

2

-1

9





b)

∫ xe

2x

1 1 1 1 1 1 1 1 1⎞ ⎛ dx = x ⋅ ⋅ e 2 x − ∫ ⋅ e 2 x dx = ⋅ xe 2 x − ∫ e 2 x dx = ⋅ xe 2 x − ⋅ ⋅ e 2 x = ⋅ e 2 x ⎜ x − ⎟ 2 2 2 2 2 2 2 2 2⎠ ⎝

x = u ⇒ dx = du ⎧⎪ 1 t 1 2x Por partes ⎨ 2 x 2x t dt = ⇒ = = = ⋅e = ⋅e e dx dv v e dx e ∫ ∫ ⎪⎩ 2 2 2 dt 2 x = t ⇒ 2dx = dt ⇒ dx = 2 −1

−1

1

1 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ A = − ∫ xe dx + ∫ xe dx = ∫ xe dx + ∫ xe dx = ⋅ ⎢e 2 x ⎜ x − ⎟⎥ + ⋅ ⎢e 2 x ⎜ x − ⎟⎥ 2 ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ 0 2 ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ 0 0 0 0 −1 0

1

2x

A=

2x

1

2x

2x

1 ⎞⎤ 1 ⎞⎤ 1 ⎡ 2.1 ⎛ 1 ⎞ 2.0 ⎛ 1 ⎞ 2.0 ⎛ 1 ⎡ 2.(−1) ⎛ ⋅ ⎢e ⎜ (− 1) − ⎟ − e ⎜ 0 − ⎟⎥ + ⋅ ⎢e ⎜1 − ⎟ − e ⎜ 0 − ⎟⎥ 2 ⎠⎦ 2 ⎠⎦ 2 ⎣ ⎝ 2 ⎠ 2⎠ 2 ⎣ ⎝ ⎝ ⎝

1 ⎡ − 2 ⎛ 3 ⎞ 0 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎡ 1 2 1⎤ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎡⎛ 3 ⎞ 1 1 ⋅ ⎢e ⎜ − ⎟ − e ⎜ − ⎟⎥ + ⋅ ⎢ ⋅ e − e 0 ⎜ − ⎟⎥ = ⋅ ⎢⎜ − 2 ⎟ + + ⋅ e 2 + ⎥ 2 ⎣ ⎝ 2⎠ 2⎦ ⎝ 2 ⎠⎦ 2 ⎣ 2 ⎝ 2 ⎠⎦ 2 ⎣⎝ 2e ⎠ 2 2 3 ⎞ e 4 + 2e 2 − 3 2 3 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎛ 1 A = ⋅ ⎜1 + ⋅ e 2 − 2 ⎟ = ⋅ ⎜ 2 + e 2 − 2 ⎟ = u 2 ⎝ 2 4e 2 2e ⎠ 4 ⎝ e ⎠

A=

10




4.B Un plano p corta a los ejes coordenados en los puntos A(1 , 0 , 0) , B(0 , l , 0) y C(0 , 0 , 4). Se pide: a) Hallar el valor de l > 0 de manera que el volumen del tetraedro OABC (donde O es el origen), sea 2 b) Para el valor de l obtenido en el apartado a), calcular la longitud de la altura del tetraedro OABC correspondiente al vértice O

a) 1 0 0 1 V = ⋅ OA. OB × OC ⇒ OA. OB × OC = 0 λ 0 = 4λ ⇒ 6 0 0 4 2=

1 ⋅ 4λ ⇒ 4λ = 12 ⇒ λ = 3 6

b) Dis tan cia de O al plano π formado por los puntos A , B y C ⎧ AB = (0 , 3 , 0 ) − (1 , 0 , 0 ) = (− 1 , 3 , 0 ) x −1 y z ⎪ ⎨ AC = (0 , 0 , 4 ) − (1 , 0 , 0 ) = (− 1 , 0 , 4 ) ⇒ π ≡ − 1 3 0 = 0 ⇒ 12( x − 1) + 3 z + 4 y = 0 ⇒ ⎪ AG = ( x , y , z ) − (1 , 0 , 0 ) = ( x − 1 , y , z ) −1 0 4 ⎩ π ≡ 12 x + 4 y + 3z − 12 = 0 d Oπ =

12.0 + 4.0 + 3.0 − 12 12 2 + 4 2 + 3 2

=

− 12 144 + 16 + 9

=

12 169

=

12 u 13

11




Septiembre de 2006 OPCIÓN A 2

1.A.- Calcular

∫x 1

2

dx + 2x

1 1 dx dx 1 1 1 1 1 1 1 I =∫ 2 =∫ = ∫ 2 dx + ∫ 2 dx = − ∫ dx + ∫ dx = − ∫ dt + ⋅ ln x (x + 2)x x + 2 x 2 x+2 2 x 2 t 2 x + 2x x + 2 = t ⇒ dx = dt −

1 ⎧ ⎪ x = −2 ⇒ A(− 2) + B(− 2 + 2) = 1 ⇒ −2 A = 1 ⇒ A = − 2 A B 1 + = ⇒ Ax + B( x + 2 ) = 1 ⇒ ⎨ 1 x + 2 x ( x + 2 )x ⎪ x = 0 ⇒ A0 + B(0 + 2 ) = 1 ⇒ 2 B = 1 ⇒ B = 2 ⎩ x x 1 1 1 1 1 1 I = − ⋅ ln t + ⋅ ln x = − ⋅ ln x + 2 + ⋅ ln x = ⋅ (ln x − ln x + 2 ) = ⋅ ln = ln +K 2 2 2 2 2 2 x+2 x+2 2

⎡ ⎛ dx x ⎤ 2 1 = ln = ⎢ ⎥ ∫1 x 2 + 2 x ⎢ x + 2 ⎥ ⎜⎜ ln 2 + 2 − ln 1 + 2 ⎣ ⎦1 ⎝ 2

1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ = ⎜ ln 1 − ln 1 ⎟ = ln 2 = ln 3 ⎟ ⎜ 1 2 3 ⎟⎠ 2 ⎠ ⎝ 3

1




3 x + 2 si x < 0 ⎧ ⎪ 2 2.A.- a) Calcular los valores de a y b para que la función: ⎨ x + 2a. cos x si 0 ≤ x < π ⎪ ax 2 + b si x ≥ π ⎩ sea continua para todo valor de x b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b hallados en el apartado anterior

a) ⎧ ⎪ ⎪⎪ Continuidad ⇒ ⎨ ⎪⎧⎪ f (π ) = xlim →π − ⎪⎨ ⎪⎩⎪⎩

lim f (x ) = 3.0 + 2 = 2 ⎧⎪ x →0 − ⎨ f (0 ) = lim f (x ) = 0 2 + 2a. cos 0 = 2a.1 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1 ⎪⎩ x →0 + 2 f ( x ) = π + 2.1. cos π = π 2 + 2.(− 1) = π 2 − 2. ⇒ π 2 − 2 = π 2 + b ⇒ b = −2 2 2 lim+ f (x ) = 1.π + b = π + b x →π

3 x + 2 si x < 0 ⎧ ⎪ 2 f (x ) = ⎨ x + 2 cos x si 0 ≤ x < π ⎪ x 2 − 2 si x ≥ π ⎩ b)

( )

⎧ ⎧ f ' 0− = 3 3 si x < 0 ⇒ 3 ≠ 0 ⇒ No es derivable ⎧ ⎪ ⎨ + ⎪ ⎩ f ' 0 = 2.0 − 2.sen 0 = 0 − 2.0 = 0 ⎪ f ' ( x ) = ⎨2 x − 2 sen x si 0 ≤ x < π ⇒ ⎨ − ⎪⎧ f ' π = 2.π − 2.sen π = 2π − 2.0 = 2π ⇒ 2π = 2π ⇒ Es derivable ⎪ 2 x si x π ≥ ⎩ ⎪⎨⎩ f ' π + = 2.π ⎩

( ) ( )

( )

No es derivable en x = 0

Es derivable en x = p

2




1 ⎞ ⎛ 3 ⎛1 0⎞ ⎟⎟ , I = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝0 1⎠

3.A.- Dada las matrices : A = ⎜⎜

a) Comprobar que det(A2) = {det(A)}2 y que det(A + I) = det(A) + det(I) b) Sea M una matriz cuadrada de orden 2.¿Se puede asegurar que det(M2) = {det(M)}2?. Razona la respuesta c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden 2, tales que: det(M + I) = det(M) + det(I)

a) ⎧ 3 1 2 2 = −9 + 8 = −1 ⇒ A = (− 1) = 1 ⎪ det ( A) = A = −8 −3 2 ⎪ ⇒ A2 = A ⎨ 1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛1 0⎞ 1 0 ⎪ A 2 = ⎛⎜ 3 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ A 2 = =1 ⎜ ⎪⎩ 0 1 ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎧ 1 ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ 4 1 ⎞ 4 1 ⎛ 3 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ A + I = = −8 + 8 = 0 ⎪ A + I = ⎜⎜ −8 − 2 ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ − 8 − 2 ⎠ ⎪ ⎪ ⎧ 3 1 = −9 + 8 = −1 ⇒ A+ I = A + I ⎨ ⎪A = −8 −3 ⎪ ⎪ ⇒ A + I = −1 + 1 = 0 ⎨ ⎪ 1 0 ⎪ =1 I = ⎪ ⎪ 0 1 ⎩ ⎩ b) ⎧ 2 ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a 2 + bc ab + bd ⎞ a 2 + bc ab + bd 2 ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⇒ M = ⎪M = ⎜⎜ 2 ⎟ ⎪ ac + cd bc + d 2 ⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ ac + cd bc + d ⎠ ⇒ ⎨ a b 2 2 ⎪ = ad − bc ⇒ M = (ad − bc ) M = ⎪⎩ c d ⎧⎪ M 2 = a 2 + bc bc + d 2 − (ab + bd )(ac + cd ) = ⇒ ⎨ 2 2 2 2 2 2 ⎪⎩ M = (ad − bc ) = a d + b c − 2abcd ⎧⎪ M 2 = a 2 bc + a 2 d 2 + b 2 c 2 + bcd 2 − a 2 bc − abcd − abcd − bcd 2 = a 2 d 2 + b 2 c 2 − 2abcd ⇒ ⎨ 2 2 M = (ad − bc ) = a 2 d 2 + b 2 c 2 − 2abcd ⎪⎩

(

M2 = M

)(

2

)

⇒ Para cualquier valor

3





c) ⎧ b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ a + 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ M + I = (a + 1)( . d + 1) − bc = ad + a + d − bc ⎪M + I = ⎜⎜ 0 1 1 c d c d + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎧ a b = ad − bc ⇒ ⎨ ⎪M = c d ⎪ ⎪ ⇒ M + I = ad − bc + 1 ⎨ 1 0 ⎪ ⎪ I = =1 ⎪ ⎪ 0 1 ⎩ ⎩ b ⎞ ⎛a ⎟⎟ ⇒ ∀a, b, c ∈ ℜ ad + a + d − bc = ad − bc + 1 ⇒ a + d = 1 ⇒ d = a − 1 ⇒ M = ⎜⎜ ⎝ c a − 1⎠

4




4.A.- Se consideran los puntos A(0 , 1 , 0) y B(1 , 0 , 1). Se pide: a) Escribir la ecuación que deben de verificar los puntos X(x , y , z) que equidistan de A y B b) Determinar la ecuación que verifican los puntos X(x , y , z) cuya distancia a A es igual a la distancia de A a B c) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta formada por los puntos C(x , y , z) del plano x + y + z = 3 tales que el triángulo ABC es rectángulo con el ángulo recto en el punto A

a) ⎧⎪ AX = ( x , y , z ) − (0 , 1 , 0) = ( x , y − 1 , z ) ⇒ AX = BX ⇒ ⎨ ⎪⎩ BX = ( x , y , z ) − (1 , 0 , 1) = ( x − 1 , y , z − 1) x 2 + ( y − 1) + z 2 = ± 2

(x − 1)2 + y 2 + (z − 1)2

⇒ x 2 + ( y − 1) + z 2 = ( x − 1) + y 2 + (z − 1) ⇒ 2

2

2

x 2 + y 2 + 1 − 2 y + z 2 = x 2 + 1 − 2x + y 2 + z 2 + 1 − 2z ⇒ 1 − 2 y = 1 − 2x + 1 − 2z ⇒ π ≡ 2x − 2 y + 2z − 1 = 0 b) ⎧⎪ AX = (x , y − 1 , z ) 2 ⇒ AX = AB ⇒ x 2 + ( y − 1) + z 2 = ± 12 + 12 + 12 ⇒ ⎨ ⎪⎩ AB = (1 , 0 , 1) − (0 , 1 , 0) = (1 , − 1 , 1) x 2 + ( y − 1) + z 2 = 3 ⇒ x 2 + y 2 + 1 − 2 y + z 2 = 3 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 − 2 y − 2 = 0 2

c) AB ⊥ AC ⇒ AB. AC = 0 ⎧⎪ AC = ( x , y , z ) − (0 , 1 , 0) = ( x , y − 1 , z ) ⇒ (1 , − 1 , 1)( . x , y − 1 , z ) = 0 ⇒ x − ( y − 1) + z = 0 ⎨ ⎪⎩ AB = (1 , 0 , 1) − (0 , 1 , 0 ) = (1 , − 1 , 1) π ≡ x − y + z +1 = 0 ⎧x − y + z +1 = 0 ⇒ 2x + 2z − 2 = 0 ⇒ x = 2 − z ⇒ 2 − z + y + z − 3 = 0 ⇒ y = 1 ⇒ Re cta r ≡ ⎨ ⎩x + y + z − 3 = 0 ⎧x = 2 − λ ⎪ r ≡ ⎨ y =1 ⎪ z=λ ⎩

5




OPCIÓN B 1.B.- a) Resolver el sistema de ecuaciones:

⎧ x + y − 3z = 0 ⎨ ⎩2 x + 3 y − z = 5

b) Hallar la solución del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada una de las tres incógnitas sea igual a 4

a) ⎧− 2 x − 2 y + 6 z = 0 ⇒ y + 5 z = 5 ⇒ y = −5 z + 5 ⇒ x + 5 − 5 z − 3z = 0 ⇒ x = −5 + 8 z ⇒ ⎨ ⎩ 2x + 3 y − z = 5 Solución(− 5 + 8λ , 5 − 5λ , λ ) b) − 5 + 8λ + 5 − 5λ + λ = 4 ⇒ 4λ = 4 ⇒ λ = 1 ⇒ Solución(− 5 + 8.1 , 5 − 5.1 , 1) ⇒ Solución(3 , 0 , 1)

6



2.B.- a) Hallar todas las matrices : At = A

⎛a a⎞ ⎟⎟ distintas de la matriz A = ⎜⎜ ⎝0 b⎠


⎛0 0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ tales que ⎝0 0⎠

b) Para una cualquiera de las matrices A, obtenidas en el aparatado anterior a), calcular M = A + A2 + …. + A10

a) ⎧ ⎛a ⎪ A = ⎜⎜ ⎪ ⎝0 ⎨ ⎪ A t = ⎛⎜ a ⎜a ⎪⎩ ⎝

a⎞ ⎟ ⎧a = a ⎛0 0⎞ b ⎟⎠ ⎪ ⎟ ⇒ ∀b ∈ ℜ ⇒ ⇒ A = A t ⇒ ⎨ a = 0 ⇒ A = ⎜⎜ 0⎞ 0 b ⎟⎠ ⎝ ⎪ ⎟ ⎩b = b b ⎟⎠

b) ⎛0 0 ⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0 ⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⇒ A 3 = ⎜⎜ A 2 = ⎜⎜ A10 = ⎜⎜ 2⎟ 2⎟ 3⎟ 10 ⎟ ⎝0 b⎠ ⎝0 b⎠ ⎝0 b ⎠ ⎝0 b⎠ ⎝0 b ⎠ ⎝0 b ⎠ ⎝0 b ⎠ a .r − a1 b10 .b − b b10 − 1 .b ⇒ Pr ogresión geométrica ⇒ b , b 2 , b 3 , … , b 9 , b10 ⇒ S1−10 = 10 = = r −1 b −1 b −1 0 ⎛0 ⎞ b10 − 1 .b ⎟ M = A + A 2 + + A10 = ⎜ ⎜0 ⎟ b −1 ⎠ ⎝

(

(

)

)

7




3.B.- Dada la función: f ( x ) = xe se pide: a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión 2x

b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f(x) entre - 1 < x < 1

a) ⎧ Dom(x ) = ∀x ∈ ℜ ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ ⎨ 2x ⎩ Dom e = ∀x ∈ ℜ

( )

Asíntotas verticales No existen Asíntotas horizontales y = lim f ( x ) = lim xe 2 x = ∞.∞ = ∞ ⇒ ∃/ asíntota horizontal ⇒ x → ∞ x →∞

x →∞

y = lim f (x ) = lim xe 2 x = lim (− x )e 2(− x ) = − lim x → −∞

y=−

x → −∞

x →∞

x →∞

x e

2x

=−

1 ∞ Aplicando L ' Hopital = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = − lim 2 x = x →∞ 2e ∞

1 = 0 ⇒ ∃ y = 0 ⇒ x → −∞ ∞

Asíntotas oblicuas m = lim x →∞

f (x ) xe 2 x = lim = lim e 2 x = ∞ ⇒ ∃/ asíntota oblicua ⇒ x → ∞ x x →∞ → ∞ x x

1 1 xe 2 x = lim e 2 x = lim e 2(− x ) = lim e − 2 x = lim 2 x = = 0 ⇒ x → −∞ x → −∞ x → −∞ x →∞ x →∞ x →∞ e ∞ x ∃/ asíntota oblicua ⇒ x → −∞ m = lim f (x ) = lim

f ' ( x ) = e 2 x + xe 2 x .2 = e 2 x (1 + 2 x ) Crecimiento y decrecimiento (Monotonía ) Crecimiento ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ e

2x

∀x ∈ ℜ / x < −

1 2

Decrecimiento

(1 + 2 x ) 2

⎧⎪ e 2 x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ 1 1 >0⇒⎨ 1 2 0 2 1 / + > ⇒ > − ⇒ > − ⇒ ∀ ∈ ℜ > − x x x x x ⎪⎩ 2 2

Crecimiento

∀x ∈ ℜ / x > −

1 2

⎛ 1⎞

1 1 −1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2⋅⎜ − 2 ⎟ Mínimo en x = − ⇒ f ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ ⋅ e ⎝ ⎠ = − ⋅ e = − (de decrecimiento pasa 2 2 2e ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ a crecimiento)

8





a )Continuación f ' ' (x ) = 2e 2 x (1 + 2 x ) + 2e 2 x = 2e 2 x (1 + 2 x + 1) = 2e 2 x (2 + 2 x ) = 4e 2 x (1 + x ) Concavidad y convexidad 4 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎧ ⎪ Concavidad ⇒ f ' ' ( x ) > 0 ⇒ 4e (1 + x ) > 0 ⇒ ⎨ e 2 x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎪1 + x > 0 ⇒ x > −1 ⇒ ∀x ∉ ℜ / x > −1 ⎩ 2x

Convexidad ∀x ∈ ℜ / x < −1

Concavidad ∀x ∈ ℜ / x > −1

x = −1 ⇒ f (− 1) = (− 1).e 2.(−1) = −e − 2 = −

Punto de inflexión

1 1⎞ ⎛ ⇒ ⎜−1 , − 2 ⎟ 2 e e ⎠ ⎝

Puntos de corte

Cuando x = 0 ⇒ f (0) = 0.e 2.0 = 0.1 = 0 ⇒ (0 , 0) Gráfica de la función

Y

10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5

X

1 0,5 0 -3

-2

-1

-0,5

0

1

2

-1

9





b)

∫ xe

2x

1 1 1 1 1 1 1 1 1⎞ ⎛ dx = x ⋅ ⋅ e 2 x − ∫ ⋅ e 2 x dx = ⋅ xe 2 x − ∫ e 2 x dx = ⋅ xe 2 x − ⋅ ⋅ e 2 x = ⋅ e 2 x ⎜ x − ⎟ 2 2 2 2 2 2 2 2 2⎠ ⎝

x = u ⇒ dx = du ⎧⎪ 1 t 1 2x Por partes ⎨ 2 x 2x t dt = ⇒ = = = ⋅e = ⋅e e dx dv v e dx e ∫ ∫ ⎪⎩ 2 2 2 dt 2 x = t ⇒ 2dx = dt ⇒ dx = 2 −1

−1

1

1 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ A = − ∫ xe dx + ∫ xe dx = ∫ xe dx + ∫ xe dx = ⋅ ⎢e 2 x ⎜ x − ⎟⎥ + ⋅ ⎢e 2 x ⎜ x − ⎟⎥ 2 ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ 0 2 ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ 0 0 0 0 −1 0

1

2x

A=

2x

1

2x

2x

1 ⎞⎤ 1 ⎞⎤ 1 ⎡ 2.1 ⎛ 1 ⎞ 2.0 ⎛ 1 ⎞ 2.0 ⎛ 1 ⎡ 2.(−1) ⎛ ⋅ ⎢e ⎜ (− 1) − ⎟ − e ⎜ 0 − ⎟⎥ + ⋅ ⎢e ⎜1 − ⎟ − e ⎜ 0 − ⎟⎥ 2 ⎠⎦ 2 ⎠⎦ 2 ⎣ ⎝ 2 ⎠ 2⎠ 2 ⎣ ⎝ ⎝ ⎝

1 ⎡ − 2 ⎛ 3 ⎞ 0 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎡ 1 2 1⎤ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎡⎛ 3 ⎞ 1 1 ⋅ ⎢e ⎜ − ⎟ − e ⎜ − ⎟⎥ + ⋅ ⎢ ⋅ e − e 0 ⎜ − ⎟⎥ = ⋅ ⎢⎜ − 2 ⎟ + + ⋅ e 2 + ⎥ 2 ⎣ ⎝ 2⎠ 2⎦ ⎝ 2 ⎠⎦ 2 ⎣ 2 ⎝ 2 ⎠⎦ 2 ⎣⎝ 2e ⎠ 2 2 3 ⎞ e 4 + 2e 2 − 3 2 3 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎛ 1 A = ⋅ ⎜1 + ⋅ e 2 − 2 ⎟ = ⋅ ⎜ 2 + e 2 − 2 ⎟ = u 2 ⎝ 2 4e 2 2e ⎠ 4 ⎝ e ⎠

A=

10




4.B Un plano p corta a los ejes coordenados en los puntos A(1 , 0 , 0) , B(0 , l , 0) y C(0 , 0 , 4). Se pide: a) Hallar el valor de l > 0 de manera que el volumen del tetraedro OABC (donde O es el origen), sea 2 b) Para el valor de l obtenido en el apartado a), calcular la longitud de la altura del tetraedro OABC correspondiente al vértice O

a) 1 0 0 1 V = ⋅ OA. OB × OC ⇒ OA. OB × OC = 0 λ 0 = 4λ ⇒ 6 0 0 4 2=

1 ⋅ 4λ ⇒ 4λ = 12 ⇒ λ = 3 6

b) Dis tan cia de O al plano π formado por los puntos A , B y C ⎧ AB = (0 , 3 , 0 ) − (1 , 0 , 0 ) = (− 1 , 3 , 0 ) x −1 y z ⎪ ⎨ AC = (0 , 0 , 4 ) − (1 , 0 , 0 ) = (− 1 , 0 , 4 ) ⇒ π ≡ − 1 3 0 = 0 ⇒ 12( x − 1) + 3 z + 4 y = 0 ⇒ ⎪ AG = ( x , y , z ) − (1 , 0 , 0 ) = ( x − 1 , y , z ) −1 0 4 ⎩ π ≡ 12 x + 4 y + 3z − 12 = 0 d Oπ =

12.0 + 4.0 + 3.0 − 12 12 2 + 4 2 + 3 2

=

− 12 144 + 16 + 9

=

12 169

=

12 u 13

11




OPCIÓN A A.1.- La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año los partidos ganados valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones el equipo campeón de la liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado los partidos valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos gano, empato y perdió el campeón? Siendo G los partidos ganados, E los empatados y P los perdidos

⎧G + E + P = 40 ⎧ 3G + E = 70 ⎪ ⇒ G = 20 ⇒ 3.20 + E = 70 ⇒ E = 70 − 60 = 10 ⇒ ⎨ 3G + E = 70 ⇒ ⎨ − 2 − = 50 G E ⎩ ⎪ 2G + E = 50 ⎩

20 + 10 + P = 40 ⇒ P = 10 ⇒ Solución(20 , 10 , 10 ) partidos

1




A.2.- Dada las funciones f ( x ) = x y g ( x ) = x , determinar el área encerrada por las graficas de ambas funciones por las rectas: 2

3

a) x = 0 y x = 1 b) x = 1 y x = 2 a)

⎧x = 0 Puntos de corte de las gráficas ⇒ f ( x ) = g (x ) ⇒ x 2 = x 3 ⇒ x 2 − x 3 = 0 ⇒ x 2 (1 − x ) = 0 ⇒ ⎨ ⇒ ⎩x =1 ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 1 ⎪f⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 1 1 1 1 1 1 ⎪ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 4 2 En 0 < x < 1 ⇒ ⎨ ⇒ f ( x ) > g ( x ) ⇒ A1 = ∫ x dx − ∫ x 3 dx = ⋅ x 3 0 − ⋅ x 4 0 3 3 4 0 0 ⎪ g ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 ⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 8

[ ]

A1 =

(

)

(

[ ]

)

1 1 1 2 1 1 3 ⋅ 1 − 0 3 − ⋅ 14 − 0 4 = − = u 3 4 12 4 3

b) ⎧ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞2 9 ⎪ f⎜ ⎟=⎜ ⎟ = 2 2 1 ⎪ 2 2 4 En 1 < x < 2 ⇒ ⎨ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 ⇒ f ( x ) < g ( x ) ⇒ A1 = ∫ x 3 dx − ∫ x 2 dx = ⋅ x 4 4 1 1 ⎪ g ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 27 ⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 8 1 1 15 7 45 − 28 17 2 1 1 A1 = ⋅ 2 4 − 14 − ⋅ 2 3 − 13 = ⋅ (16 − 1) − ⋅ (8 − 1) = − = = u 4 3 3 4 4 3 12 12

[ ]

(

)

(

2

1

[ ]

1 − ⋅ x3 3

)

2

2

1



A.3.- a) Comprobar si f ( x ) =

b) Calcular

a)

(e

⎛ x + 5⎞ lim⎜ ⎟ x →∞ x − 1 ⎝ ⎠

)


e x + sen x π tiene un máximo relativo en x = x 4 e

x2 x +3

(

)

(

)

+ cos x e x − e x e x + sen x e x + cos x − e x + sen x e x + cos x − e x − sen x = = e2x ex ex cos x − sen x f ' (x ) = ⇒ ex 2 2 π π cos − sen − π ⎛ ⎞ 4 4 = 2 2 = 0 = 0 ⇒ ¿ máximo o mínimo ? f⎜ ⎟= π π π ⎝4⎠ 4 4 e e e4 f ' (x ) =

f ' ' (x ) =

x

(− sen x − cos x )e x − e x (cos x − sen x ) = − sen x − cos x − (cos x − sen x )

e2x ex 2 cos x − sen x − cos x − cos x + sen x f ' ' (x ) = =− ⇒ x e ex 2 π 2 cos 2⋅ ⎛π ⎞ 4 =− 2 = − 2 < 0 ⇒ Máximo relativo f ''⎜ ⎟ = − π π π ⎝4⎠ e4 e4 e4

b) ⎛ ⎞ x x x ⎜ ⎟ x +3 x +3 − 1 + 5 + 1 6 1 x ⎛ ⎞ ⎛ x + 5 ⎞ x +3 ⎛ ⎞ ⎟ = lim⎜1 + lim⎜ = 1∞ = lim⎜ = lim⎜1 + ⎟ ⎟ ⎟ x →∞ ⎜ x →∞ x →∞ x →∞ x − 1 x −1 ⎟ x −1 ⎠ x −1⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎟ 6 ⎠ ⎝ 2

⎡ ⎞ ⎢ ⎛⎜ ⎟ 1 ⎢ ⎟ = ⎢lim⎜1 + x →∞⎜ x −1 ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ 6 ⎠ ⎢⎣ ⎝

2

x −1 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

2

x2 x +3

=

x2 6 ⋅ x + 3 x −1

=e

⎛ x2 6 ⎞ ⎟ (∗ ) ⋅ lim ⎜ ⎟ ⎝ x + 3 x −1 ⎠

x →∞ ⎜

= e6

6x 2 2 ⎛ x 6 6 ⎞ 6x 6x ∞ ⎟⎟ = lim ⎜⎜ (∗) lim = lim 2 = = lim 2 x = lim =6 ⋅ x →∞ x + 3 x − 1 x → ∞ ( x + 3)( x − 1) x →∞ x + 2 x − 3 x → ∞ x → ∞ 2 3 ∞ 2x 3 x ⎠ ⎝ 1+ − 2 + − x x x2 x2 x2 2

2

2

3



A.4.- ¿Para que valores del parámetro m la recta

r : x = y +1 =


11 − mz es paralela al plano 3

2x + y + z = 9? Determinar el punto de intersección de la recta y el plano para m = 2 Al ser paralelos recta y plano sus vectores directores son perpendiculares u ortogonales y por lo tanto su producto escalar es nulo.

11 ⎧ 3⎞ ⎛ x y +1 ⎪v r = ⎜1 , 1 , − ⎟ ≡ (m , m , − 3) m = ⇒⎨ ⇒ v r ⊥ vπ ⇒ v r .vπ = 0 ⇒ r: = m⎠ ⎝ 3 1 1 ⎪ vπ = (2 , 1 , 1) ⎩ −m (m , m , − 3) ⋅ (2 , 1 , 1) = 0 ⇒ 2m + m − 3 = 0 ⇒ 3m = 3 ⇒ m = 1 z−

Cuando m = 2 ⎧ ⎪ x = 2λ 11 11 ⎪ v r = (2 , 2 , − 3) ⇒ r : ⎨ y = −1 + 2λ ⇒ 2 ⋅ 2λ + −1 + 2λ + − 3λ = 9 ⇒ 3λ = 10 − ⇒ 6λ = 20 − 11 ⇒ 2 2 ⎪ 11 = − λ z 3 ⎪⎩ 2 3 ⎧ = ⋅ =3 x 2 ⎪ 2 ⎪⎪ 3 9 3 6λ = 9 ⇒ λ = = ⇒ A⎨ y = −1 + 2 ⋅ = −1 + 3 = 2 ⇒ A(3 , 2 , 1) 6 2 2 ⎪ 11 3 ⎪ z = − 3 ⋅ = 11 − 9 = 2 = 1 ⎪⎩ 2 2 2 2 2

4




OPCIÓN B a b c B.1. Teniendo en cuenta que p q r = 7 calcular el valor del siguiente x y z 3a 3b 3c determinante: a + p b+q c+r − x+a − y+b − z+c

a b c a b c a b c 3⋅ a + p = q r b+q c + r = 3⋅ a b c + 3⋅ p − x+a − y+b − z+c − x+a − y+b − z +c − x+a − y+b − z +c a

b c

a

b c

= 3 ⋅ 0 + 3 ⋅ p q r − 3 ⋅ p q r = 0 + 3.0 − 3.7 = −21 x y z a b c

5




B.2. a) La función

f (x ) =

x +1 −1 no esta definida para x = 0. Definir f (0 ) de modo que x

f (x ) sea una función continua en ese punto

∫

b) Utilizando el cambio de variable t = ln x calcular

ln (ln x ) dx x ln x

a) 0 +1 −1 0 = ⇒ 0 0 x +1 −1 0 x +1 −1 ⋅ x +1 +1 x +1−1 x 1 = = lim = lim = lim = lim = lim x →0 x → 0 x → 0 x → 0 x → 0 x 0 x x +1 +1 x x +1 +1 x x +1 +1 x +1 +1 1 1 1 = = = 0 +1 +1 1+1 2 f (0) =

(

(

)(

)

)

(

)

(

)

⎧ x +1 −1 si x ≠ 0 ⎪⎪ x f (x ) = ⎨ 1 ⎪ si x = 0 ⎪⎩ 2 b) ln (ln x ) dx ln t 1 1 2 1 dt 2 2 ∫ ln x x = ∫ t dt = ∫ ln t ⋅ t = ∫ u ⋅ du = 2 ⋅ u = 2 ⋅ (ln t ) = 2 ⋅ [ln (ln x )] dt dx u = ln t ⇒ du = t = ln x ⇒ dt = t x

6




B.3.- Sea f : ℜ → ℜ una función polinómica de grado menor o igual a tres que tiene un mínimo relativo en (0 , 0) y un máximo relativo en (2 , 2). Calcular la expresión de dicha función

⎧ f (0 ) = 0 ⇒ a.0 3 + b.0 2 + c.0 + d = 0 ⇒ d = 0 ⎪ 3 2 ⎧ f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ⎪ f (2 ) = 0 ⇒ a.2 + b.2 + c.2 = 2 ⇒ 8a + 4b + 2c = 2 ⎧4a + 2b = 1 ⇒⎨ ⇒ ⇒ ⎨ ⎨ 2 f ' (0 ) = 0 ⇒ 3a.0 2 + 2b.0 + c = 0 ⇒ c = 0 ⎩ 3a + b = 0 ⎩ f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c ⎪ ⎪⎩ f ' (2) = 0 ⇒ 3a.2 2 + 2b.2 = 0 ⇒ 12a + 4b = 0 ⎧ 4a + 2b = 1 3 1 3 1 3 ⇒ −2a = 1 ⇒ a = − ⇒ − + b = 0 ⇒ b = ⇒ f ( x ) = − x 3 + x 2 ⎨ 2 2 2 2 2 ⎩− 6a − 2b = 0

7




B.4.a) Estudiar la dependencia o independencia de los vectores :

u = (2 , 0 , 9 ) , v = (3 , − 1 , 2 ) , w = (5 , − 1 , 4 )

b) Dados los planos ángulo que forman.

π 1 : 3x − y + 2 z + 1 = 0 y π 1 : 2 x + y − 5 z − 1 = 0

determinar el

a) Si los vectores son linealmente independientes no serán coplanarios por lo tanto el determinante que generan es distinto de cero

2 0 9 A = 3 − 1 2 = −8 − 27 + 45 + 4 = 14 ≠ 0 ⇒ Son linealmente independientes 5 −1 4

b)Será el ángulo que forman sus vectores directores

π 1 : 3x − y + 2 z + 1 = 0 y π 2 : 2 x + y − 5 z − 1 = 0 cos (π 1 , π 2 ) = cos (π 1 , π 2 ) =

vπ 1 .vπ 2 v π 1 ⋅ vπ 2

=

(3 , − 1 , 2) ⋅ (2 , 1 , − 5) 2 2 3 2 + (− 1) + 2 2 2 2 + 12 + (− 5)

=

6 − 1 − 10 14 30

=

−5 2 105

=

5 105 210

5 105 105 105 = ⇒ ang (π 1 , π 2 ) = arc cos = 75º52'43' ' 210 42 42

8


Soluciones Junio 2007


Junio de 2007 Soluciones de la Opción A ⎛ m m − 1 m(m − 1)⎞ ⎟ ⎜ 1.A.-Estudia el rango de la matriz: A = ⎜ m 1 m ⎟ ⎜m 1 m − 1 ⎟⎠ ⎝

m m − 1 m(m − 1) A= m

1

m

m

1

m −1

[

1 m − 1 m(m − 1) = m1

1

m

1

1

m −1

⇒

] [

A = m (m − 1) + m(m − 1) + m(m − 1) − m(m − 1) − m − (m − 1) = m (m − 1) + m(m − 1) − m − (m − 1) 2

2

]

m=0 ⎧ A = m m − 1 + m 2 − m − m − m 2 + 2m − 1 = m(m − 2 ) ⇒ Si A = 0 ⇒ m(m − 2 ) = 0 ⇒ ⎨ ⎩m − 2 = 0 ⇒ m = 2 ⎧m ≠ 0 Si ⎨ ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 ⎩m ≠ 2 ⎛0 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ 1 0 Si m = 0 ⇒ ⎜ 0 1 0 ⎟⇒ = −1 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2 1 −1 ⎜ 0 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 1 2⎞ ⎜ ⎟ 1 2 Si m = 2 ⇒ ⎜ 2 1 2 ⎟ ⇒ = −1 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2 1 1 ⎜2 1 1⎟ ⎝ ⎠

(

)

1



⎛2 0 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 0 − 1⎠

2.A.-Sean las matrices: A = ⎜⎜

y


⎛8 − 9⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝6 − 7⎠

Hallar la matriz X tal que XAX-1= B matriz identidad de orden 2 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ XA = BX XAX −1 X = BX ⇒ XAI = BX ⎯I⎯

⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 8 − 9 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2a − b ⎞ ⎛ 8a − 9c 8b − 9d ⎞ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ Siendo X = ⎜⎜ ⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ 6 − 7 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 2c − d ⎠ ⎝ 6a − 7c 6b − 7 d ⎠ ⎧ 2 a = 8a − 9c ⎧ 9c = 6 a ⎪ − b = 8b − 9d 3 ⎞ ⎧⎪ ⎛3 ⎪ ⎪ a= c ⎜ λ μ ⎟ ⇒ Comprobemos con⎧λ = 2 ⇒ − = − ⇒ ⇒ = 9 9 b d X ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ 2 ⎟ ⎜2 ⎩μ = 1 ⎪ 2c = 6 a − 7 c ⎪ 6b = 6d ⎪⎩ b = d λ μ ⎠ ⎝ ⎩ ⎪⎩− d = 6b − 7 d ⎛3 2⎞ ⎛ 1 − 1⎞ 1 ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 1 − 1 ⎞ ⎟⎟ ⇒ adj X t = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ X −1 = ⎜⎜ ⎟=⎜ ⎟⇒ = 1 ⇒ X t = ⎜⎜ 2 1 1 ⎝ − 2 3 ⎟⎠ ⎜⎝ − 2 3 ⎟⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝− 2 3 ⎠ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 6 − 1⎞ ⎛ 1 − 1 ⎞ ⎛ 8 − 9 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ Comprobado ⎝ 2 1 ⎠ ⎝ 0 − 1 ⎠ ⎝ − 2 3 ⎠ ⎝ 4 − 1⎠ ⎝ − 2 3 ⎠ ⎝ 6 − 7 ⎠ X =

3 1

( )

2




⎧x + y + 1 = 0 , el plano π ≡ x − 2 y − 3 z + 1 = 0 , ⎩ z=0

3.A.-Dado el punto A(1, -2, -3), la recta r ≡ ⎨ se pide:

a) Ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a p b) Ecuación de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a p a) Si es paralelo a r, el vector director de esta, está contenido en el plano, lo mismo que el del plano p que es perpendicular al pedido. Nos falta un tercer vector coplanario con ellos que es el formado por el punto genérico (x,y,z) y el punto A

v r = (− 1 , 1 , 0) ⎧ x = −1 − λ ⎧ ⎪ ⎪ r ≡ ⎨ y = λ ⇒⎨ vπ = (1 , − 2 , − 3) ⇒ ⎪ z=0 ⎪v = ( x , y , z ) − (1 , − 2 , − 3) = ( x − 1 , y + 2 , z + 3) ⎩ ⎩ genérico x −1 y + 2 z + 3

π ≡ −1 1

1

0

−2

−3

= 0 ⇒ −3( x − 1) + 2( z + 3) − ( z + 3) − 3( y + 2) = 0 ⇒ −3 x + z − 3 y = 0 ⇒

π ≡ 3x + 3 y − z = 0 b) ⎧ ⎧ ⎧− 1 − λ = 1 + aμ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ λ = −2 + bμ ⎪ x = 1 + aμ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 = −3 + μ s ≡ ⎨ y = −2 + bμ ⇒ ⎨ ⇒ ⎩ ⎪⎧⎪ v = (a , b , 1) ⎪ z = −3 + μ ⎪⎨ s ⎪ ⇒ v s ⊥ vπ ⇒ v s .vπ = 0 ⇒ (a , b , 1)( . 1 , − 2 , − 3) = 0 ⎪⎩⎪⎩vπ = (1 , − 2 , − 3) ⎪⎩ ⎧ λ + aμ = −2 ⎧λ + 3a = −2 ⎧λ = −2 − 3a ⎪ λ − bμ = −2 ⎧− 2 − 3a = −2 + 3b ⎧ a + b = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨λ − 3b = −2 ⇒ ⎨λ = −2 + 3b ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⇒ −3b = 3 ⇒ ⎨ a b a b = μ − = − = 3 2 3 2 3 ⎩ ⎩ ⎪ a − 2b = 3 ⎪ ⎪ a − 2b = 3 ⎩ ⎪⎩a − 2b − 3 = 0 ⎩ ⎧ x = 1+ μ ⎪ b = −1 ⇒ a = 1 ⇒ s ≡ ⎨ y = −2 − μ ⎪ z = −3 + μ ⎩

3




4.A.-Se considera la función f(x) = x2+ m, donde m > 0 es una constante a) Para cada valor de m hallar el valor de a > 0 tal que la recta tangente a la grafica de f en el punto [a , f(a)] pase por el origen de coordenadas b)Hallar el valor de m para que la recta y = x sea tangente a la grafica de f (x) a) La recta pedida es de la forma y = f’(a) x

⎧ f (x ) = a 2 + m f ' (x ) = 2 x ⇒ ⎨ ⇒ a 2 + m = 2a.a ⇒ a 2 + m = 2a 2 ⇒ a 2 = m ⇒ a = ± m ⇒ ( ) ⎩ f ' a = 2a Como a > 0 ⇒ a = m b) ⎧ f (x ) = a 2 + m 1 1 1 1 1 ⎛1⎞ ⇒ a = ⇒ f (a ) = 1.a ⇒ ⎜ ⎟ + m = ⇒ m = − = ⎨ 2 2 2 4 4 ⎝2⎠ ⎩ f ' (a ) = 2a = 1 2

4




Soluciones de la Opción B

x 2 − 12 calcular el área de la región acotada encerrada por su x2 + 4

1.B.-Dada la función f ( x ) = gráfica y el eje OX

f (− x ) =

Es una función simétrica respecto al eje OY ya que

(− x )2 − 12 = x 2 − 12 = f (x ) (− x )2 + 4 x 2 + 4

por lo tanto es el doble de la integral definida entre el origen de coordenadas y uno de los puntos de corte que tenga con el eje OX (tomaremos el positivo)

Cuando y = f (x ) = 0 ⇒ x 2 − 12 = 0 ⇒ x = ± 12 = ±2 3 ⇒ 2 3

A = 2.

∫ 0

x 2 − 12 − x2 − 4

x 2 − 12 dx = 2. x2 + 4

2 3

∫ 0

16 ⎞ ⎛ ⎟ dx = 2. ∫ dx − 2. ⎜1 − 2 ⎝ x +4⎠ 0 2 3

2 3

∫ 0

16 2 dx = 2 ⋅ [x ]0 2 x +4

3

32 − 4

2 3

∫ 0

x2 + 4 1

− 16

(

) ∫ 1 ⎛ x⎞ 2 3

A = 2⋅ 2 3 − 0 −8

2

0

⎜ ⎟ +1 ⎝ 2⎠

3

1 3 2dt = 4 3 − 16 ⋅ [arc tg x ]0 +1 0 t

dx = 4 3 − 8 ∫

⎧x = 2 3 ⇒ t = 3 x =t⇒⎨ ⇒ dx = 2 dt 2 ⎩ x=0⇒t =0

2

(

A = 4 3 − 16 ⋅ arc tg 3 − arc tg 0

)

π ⎛ ⎞ A = 4 3 − 16 ⋅ arc tg 3 = ⎜16 ⋅ − 4 3 ⎟ u 2 3 ⎝ ⎠

5

1 2

x +1 4

dx


2.B.- Dibujar la grafica de la función


f (x ) =

x 2− x


indicando su dominio, intervalos de

crecimiento y decrecimiento y asíntotas

2 − x = 0 ⇒ x = 2 ⇒ D( f ) = ∀x ∈ ℜ − {2} x ⎧ ⎪− 2 − x si x < 0 x > 0 ⇒ f (x) = ⎨ x ⎪ si x ≥ 0 ⎩ 2− x Asíntotas verticales x 2 ⎧ = + =∞ f ( x ) = lim− ⎪ xlim →2− x→2 2 − x 0 x=2⇒⎨ x 2 ⎪ lim+ f ( x ) = lim+ = − = −∞ 2 2 x → x → 2− x 0 ⎩ Asíntotas horizontales x x

∞ x 1 1 = = lim = lim = = −1 ⇒ y = −1 cuando x → ∞ x → ∞ x → ∞ 2 x 2 2− x ∞ 0 −1 − −1 x x x x ⎛ ( − x) ⎞ x ⎞ x ∞ 1 ⎛ ⎟⎟ = lim y = lim f ( x ) = lim ⎜ − = = lim x = =1⇒ ⎟ = lim⎜⎜ − x → −∞ x → −∞ ⎝ 2 − x ⎠ x →∞⎝ 2 − (− x ) ⎠ x→∞ 2 + x ∞ x→∞ 2 + x 0 + 1 x x y = 1 cuando x → −∞ y = lim f ( x ) = lim x →∞

x →∞

Asíntotas oblicuas ó inclinadas x f (x ) x 1 1 m = lim = lim 2 − x = lim = lim = = 0 ⇒ ∃/ ⇒ x → ∞ x →∞ x →∞ x → ∞ x (2 − x ) x →∞ 2 − x x x −∞ x − f (x ) x 1 ⎞ 1 ⎛ m = lim = lim 2 − x = lim − = lim⎜ − ⎟ = − = 0 ⇒ ∃/ ⇒ x → −∞ x → −∞ x → −∞ x → −∞ x x(2 − x ) x →∞⎝ 2 − x ⎠ x ∞ ⎧ ⎧ − 2 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ 2 ⎧ (2 − x ) − x ⇒ Dereciente ⎪ x < 0⎨ 2 ⎪⎪− (2 − x )2 = − (2 − x )2 si x < 0 ( x − 2) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎪ ⎩ ⇒ f ' (x ) > 0 ⇒ ⎨ f ' (x ) = ⎨ ( 2 − x) − x 2 ⎪ ⎪ x > 0⎧⎨ 2 > 0 ⇒ ∃/x ∈ ℜ si x ≥ 0 = ⇒ Creciente 2 2 2 ⎪⎩ (2 − x ) ⎪⎩ (2 − x ) ⎩( x − 2) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

6




Continúa el problema 2.B.Gráfica de la función 10

Y

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

X

-4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

7



⎛ 5 2 0⎞ ⎟ ⎜ 3.B.- Dada las matrices A = ⎜ 2 5 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝

y


⎛ a b 0⎞ ⎟ ⎜ B = ⎜ c c 0 ⎟ , se pide: ⎜ 0 0 1⎟ ⎠ ⎝

a) Encontrar las condiciones que deben de cumplir a, b y c para que se verifique AB = BA b) Para a = b = c = 1, calcular B10

a) ⎧ ⎛5 ⎜ ⎪ AB = ⎜2 ⎪ ⎜0 ⎪⎪ ⎝ ⎨ a ⎛ ⎪ ⎜ ⎪ BA = ⎜ c ⎪ ⎜0 ⎪⎩ ⎝ Tambien

2 0⎞ ⎛ a ⎟ ⎜ 5 0⎟ ⋅ ⎜ c 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 b 0⎞ ⎛ 5 ⎟ ⎜ c 0⎟ ⋅ ⎜ 2 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

b 0 ⎞ ⎛ 5a + 2c ⎟ ⎜ c 0 ⎟ = ⎜ 2a + 5c 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 0 ⎞ ⎛ 5a + 2b ⎟ ⎜ 5 0 ⎟ = ⎜ 5c + 2c 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

5b + 2c 0 ⎞ ⎟ 2b + 5c 0 ⎟ ⎧5a + 2c = 5a + 2b ⎧ 2c = 2b ⎪2c = 2 a ⎪ 0 1 ⎟⎠ ⎪5b + 2c = 2a + 5b ⎪ ⇒a=b=c ⇒⎨ ⇒⎨ 2a + 5b 0 ⎞ ⎪ 2a + 5c = 7c 2a = 2c ⎪ ⎟ ⎪⎩2b = 2c 2c + 5c 0 ⎟ ⎪⎩ 2b + 5c = 7c 0 1 ⎟⎠

AB = BA ⇒ A −1 AB = BA −1 A ⇒ B = B ⇒ a = b = c b) ⎛1 1 0⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ B = ⎜1 1 0⎟ ⋅ ⎜1 ⎜0 0 1⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 4 4 0⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ 4 B = ⎜ 4 4 0⎟ ⋅ ⎜1 ⎜0 0 1⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝

1 0⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ 1 0⎟ = ⎜ 2 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 0⎞ ⎛8 ⎟ ⎜ 1 0⎟ = ⎜8 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

2 0⎞ ⎛ 2 2 0⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 2 0⎟ ⇒ B = ⎜ 2 2 0⎟ ⋅ ⎜1 1 ⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 0 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 8 0⎞ ⎛8 8 0⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 8 0⎟ ⇒ B = ⎜8 8 0⎟ ⋅ ⎜1 1 ⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 0 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎧a = 1 Pr ogresión geométrica ⇒ 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , " ⇒ ⎨ 1 ⇒ a n = a1 .r n −1 ⎩r = 2 2

0⎞ ⎛ 4 4 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 0⎟ = ⎜ 4 4 0⎟ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ 0 ⎞ ⎛16 16 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ = ⎜16 16 0 ⎟ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ ⇒ a10 = 1.210−1 = 2 9 = 512

⎛ 512 512 0 ⎞ ⎟ ⎜ B = ⎜ 512 512 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎠ ⎝ 5

8




4.B.- Sean los puntos A(λ , 2 , λ ) ; B (2 , − λ , 0 ) y C (λ , 0 , λ + 2 ) . a) ¿Existe un valor de l para el que los puntos A, B y C están alineados? b) Comprobar que si A, B y C no están alineados el triángulo que forman es isósceles c) Calcular la ecuación del plano que contiene al triángulo ABC para el valor l= 0 y hallar la distancia de este plano al origen de coordenadas a) Si estuviesen alineados los vectores AB y AC serian proporcionales.

⎧⎪ AB = (2 , − λ , 0 ) − (λ , 2 , λ ) = (2 − λ , − λ − 2 , − λ ) ⇒ A(λ , 2 , λ ) ; B(2 , − λ , 0) y C (λ , 0 , λ + 2)⎨ ⎪⎩ AC = (λ , 0 , λ + 2 ) − (λ , 2 , λ ) = (0 , − 2 , 2) ≡ (0 , − 1 , 1) −2+λ = 0⇒ λ = 2 ⎧ 2−λ −λ −2 −λ = = ⇒⎨ ⇒ Incompatible Si AB AC ⇒ 0 −1 1 ⎩ − λ − 2 = λ ⇒ − 2 = 2λ ⇒ λ = − 1 No estarán nunca alineados b)Veamos si AB = BC ya que AC permanece in var iable ⎧ AB = (2 − λ , − λ − 2 , − λ ) ⎪⎪ 2 2 ⎨ AC = (0 , − 2 , 2 ) ⇒ AC = (− 2) + 2 = 8 = 2 2 u ⇒ ⎪ ⎩⎪ BC = (λ , 0 , λ + 2 ) − (2 , − λ , 0) = (λ − 2 , λ , λ + 2) ⎧ AB = (2 − λ )2 + (− 2 − λ )2 + (− λ )2 = 4 − 2λ + λ2 + 4 + 2λ + λ2 + λ2 = 3λ2 + 8 ⎪ ⇒ AB = BC ⎨ 2 2 2 2 2 2 2 ⎪ BC = (λ − 2 ) + λ + (2 + λ ) + = λ − 2λ + 4 + λ + 4 + 2λ + λ = 3λ + 8 ⎩

c) ⎧ AB = (2 − 0 , − 0 − 2 , − 0 ) = (2 , − 2 , 0 ) ≡ (1 , − 1 , 0 ) x y−2 z ⎪ AC = (0 , − 1 , 1) ⇒ π ≡ 1 −1 0 = 0 ⇒ ⎨ ⎪ AG = ( x , y , z ) − (0 , 2 , 0 ) = ( x , y − 2 , z ) 0 −1 1 ⎩ − x − z − ( y − 2) = 0 ⇒ − x − y − z + 2 = 0 ⇒ π ≡ x + y + z − 2 = 0 d P ,π =

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B +C 2

2

2

⇒ d O ,π =

0+0+0−2 1 +1 +1 2

2

2

=

−2 3

=

2 3

=

2 3 u 3

9

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2006-2007

MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

El examen presenta dos opciones, A y B. Se deberá elegir UNA Y SÓLO UNA de ellas y resolver los cuatro ejercicios de que consta. No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica. PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. Tiempo: 90 minutos ______________________________________________________________________________________ OPCIÓN A 1. (2 puntos). Estudiar el rango de la matriz: ⎛ m m − 1 m(m − 1) ⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜m m ⎟ 1 ⎜m m − 1 ⎟⎠ 1 ⎝ según los valores del parámetro m. 2. (2 puntos). Sean las matrices: ⎛8 − 9⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝6 − 7⎠

⎛2 0 ⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠ Hallar una matriz X tal que XAX −1 = B .

⎧x + y + 1 = 0 la recta r : ⎨ ⎩z = 0 y el plano π : x − 2 y − 3z + 1 = 0 , se pide: a) (1,5 puntos). Ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a π . b) (1,5 puntos). Ecuación de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a π .

3. (3 puntos). Dados el punto A(1,–2,–3),

4. (3 puntos). Se considera la función f ( x) = x 2 + m , donde m > 0 es una constante. a) (1,5 puntos). Para cada valor de m hallar el valor a > 0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto ( a , f(a) ) pase por el origen de coordenadas. b) (1,5 puntos). Hallar el valor de m para que la recta y = x sea tangente a la gráfica de f(x).

1

______________________________________________________________________________________ OPCIÓN B x 2 − 12 1. (2 puntos). Dada la función f ( x) = 2 calcular el área de la región acotada encerrada por x +4 su gráfica y el eje OX.

2. (2 puntos). Dibujar la gráfica de la función |x| 2− x indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas. f ( x) =

3. (3 puntos). Dadas las matrices ⎛ 5 2 0⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 2 5 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝

⎛ a b 0⎞ ⎟ ⎜ B = ⎜ c c 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎠ ⎝

se pide: a) (1,5 puntos). Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b, c para que se verifique AB=BA. b) (1,5 puntos). Para a=b=c=1, calcular B 10 . 4. (3 puntos). Sean los puntos A(λ,2,λ), B(2, –λ,0), C(λ,0,λ+2). a) (1 punto). ¿Existe algún valor de λ para el que los puntos A, B y C están alineados? b) (1 punto). Comprobar que si A, B, C no están alineados el triángulo que forman es isósceles. c) (1 punto). Calcular la ecuación del plano que contiene al triángulo ABC para el valor λ = 0 y hallar la distancia de este plano al origen de coordenadas.

2

MATEMÁTICAS II CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN

OPCIÓN A

1. Planteamiento: 1 punto. Discusión de los rangos: 1 punto. 2. Planteamiento: 1 punto. Cálculo efectivo de la matriz X: 1 punto. 3. Apartado a): 1,5 puntos. Apartado b): 1,5 puntos. 4. Apartado a): 1,5 puntos. Apartado b): 1,5 puntos.

OPCIÓN B

1. Planteamiento y cálculo de los límites de integración: 1 punto. Cálculo del área: 1 punto. 2. Estudio de la función: 1,5 puntos. Dibujo de la gráfica: 0,5 puntos. 3. Apartado a): Planteamiento, 0,5 puntos. Resolución, 1 punto. Apartado b): 1,5 puntos. 4. Apartado a): 1 punto. Apartado b): 1 punto. Apartado c): 1 punto.

3




OPCIÓN A ⎧x + 3 y + 5z = 5 ⎪ A.1.-Considerar el sistema lineal de ecuaciones en x , y y z ⎨ mx + 2 z = 0 ⎪ my − z = m ⎩ a) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene solución única. Calcula dicha solución para m = 1 b) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. c) Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución

a) 1 A= m 0

3 5 ⎧⎪ m = 0 1 0 2 = 5m 2 − 2m + 3m = 5m 2 + m ⇒ Si A = 0 ⇒ 5m 2 + m = 0 ⇒ m(5m + 1) = 0 ⇒ ⎨ m=− ⎪ 5 ⎩ m −1

⎧ 1 ⎫ ∀x ∈ ℜ − ⎨− , 0⎬ ⇒ rang ( A) = 3 ⇒ Sistema Compatible ⎩ 5 ⎭ Cuando m = 1 ⎛1 3 5 5⎞ ⎛1 3 5 5 ⎞ ⎛1 3 5 5 ⎞ ⎛1 3 5 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ 1 0 2 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 3 − 3 − 5 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 3 − 3 − 5 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 3 − 3 − 5 ⎟ ⇒ −6 z = −2 ⇒ z = 3 ⎜0 1 −1 1⎟ ⎜0 1 −1 1 ⎟ ⎜0 3 − 3 3 ⎟ ⎜0 0 − 6 − 2⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ 5 2 1 4 4 1 = −5 ⇒ −3 y = −5 + 1 ⇒ y = ⇒ x + 3 ⋅ + 5 ⋅ = 5 ⇒ x = 5 − 4 − = − 3 3 3 3 3 3 ⎛ 2 4 1⎞ Solución⎜ − , , ⎟ ⎝ 3 3 3⎠ b) Cuando m = 0 − 3y − 3 ⋅

⎛1 3 5 5⎞ ⎛1 3 5 5⎞ ⎛1 3 5 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 2 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 1 0 ⎟ ⇒ Sistema Compatible In det er min ado ⎜ 0 0 −1 0⎟ ⎜ 0 0 1 0⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ z = 0 ⇒ x + 3 y + 5.0 = 5 ⇒ x = 5 − 3 y ⇒ Solución(5 − 3λ , λ , 0) c) Cuando m = −

1 5

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 3 5 5 ⎟ ⎛1 3 5 5 ⎞ ⎛1 3 5 5 ⎞ ⎛1 3 5 5 ⎞⎛ 1 3 5 5 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− 1 0 ⎟ 2 0 ≡ ⎜ − 1 0 10 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 15 5 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 15 5 ⎟⎜ 0 3 15 5 ⎟ ⎜ 5 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎟ ⎝ 0 − 1 − 5 − 1⎠ ⎝ 0 − 1 − 5 − 1⎠ ⎝ 0 − 3 − 15 − 3 ⎠⎝ 0 0 0 2 ⎠ ⎜ 1 −1 5 ⎟ ⎜ 0 − 5 ⎝ ⎠ Sistema Incompatible

1




A.2.- Calcular a) lim x →3

x2 − 5 − 2 x−3

1 ⎞ ⎛ b) lim⎜1 − 2 ⎟ x →∞ ⎝ x ⎠ a) lim

x

32 − 5 − 2 0 x2 − 5 − 2 = = = lim 3−3 0 x →3 x−3

(x

2

)( x

−5 −2 ⋅

( x − 3) ⋅ (

2

−5 +2

)

) = lim

x2 − 5 − 4

x →3 ( x − 3) ⋅ x2 − 5 + 2 (x + 3) ⋅ (x − 3) = lim x + 3 = 3 + 3 = 6 = 6 = 3 = lim x →3 ( x − 3) ⋅ x 2 − 5 + 2 x → 3 x 2 − 5 + 2 3 2 − 5 + 2 4 + 2 4 2 x →3

(

(x

2

−5 +2

)

b) x ⎡⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎤ ⎛ ⎛ ∞ ⎥ lim⎜1 − 2 ⎟ = 1 = lim⎜1 + = lim ⎢⎜1 + 2 ⎟ 2 ⎟ x →∞ x →∞ x →∞ ⎝ x ⎠ ⎝ −x ⎠ ⎢⎣⎝ − x ⎠ ⎥⎦ x

x

2

⎛ 1 ⎞ x⋅⎜ − 2 ⎟ ⎝ x ⎠

lim −

= e x →∞

1 x

= e0 = 1

2

)=


A.3.- Sea F ( x ) =



x2

∫ ln t dt con

x ≥1

1

Calcular F’(e). ¿Es F’’(x) una función constante?. Justificar la respuesta x2

x2

F ( x ) = ∫ ln t dt = [t ln t ] − ∫ x2 1

1

1

(

x2

) ∫ dt =x

dt t ⋅ = x 2 ln x 2 − 1. ln 1 − t

2

ln x 2 − 1. 0 − [t

]1x

2

= x 2 ln x 2 − x 2 + 1

1

1 ⎧ ⎪ ln t = u ⇒ du = dt t ⎨ ⎪dt = dv ⇒ v = ∫ dt = t ⎩ F ' ( x ) = 2 x ln x 2 +

1 ⋅ 2 x ⋅ x 2 − 2 x = 2 x ln x 2 + 2 x − 2 x = 2 x ln x 2 ⇒ F ' (e ) = 2e ln e 2 = 2e.2. ln e = 4e 2 x

(

)

1 ⎛ ⎞ F ' ' ( x ) = 2⎜1. ln x 2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ x ⎟ = 2 ln x 2 + 2 ⇒ No es una función cons tan te x ⎝ ⎠

3




A.4.- Escribir las ecuaciones implícitas de una recta con la dirección del vector ( 1 , -1 , 0 ) y que pasa por P’, siendo P’ el simétrico de P = ( 0 , - 2 , 0 ) respecto al plano

π ≡ x + 3y + z = 5

Se trazará por P una perpendicular r al plano dado, para ello utilizaremos su vector director, que cortará a este en el punto R punto medio entre P y P’

⎧x = 0 + λ = λ ⎪ vπ = v r = (1 , 3 , 1) ⇒ r ≡ ⎨ y = −2 + 3λ ⇒ λ + 3 ⋅ (− 2 + 3λ ) + λ = 5 ⇒ 2λ − 6 + 9λ = 5 ⇒ 11λ = 11 ⇒ λ = 1 ⎪z = 0 + λ = λ ⎩ 0 + xP' ⎧ ⇒ xP' = 2 1= ⎪ 2 x =1 ⎧ ⎪⎪ − 2 + y ⎪ P' ⇒ x P ' = 2 + 2 = 4 ⇒ P' (2 , 4 , 2) ⇒ R ⎨ y = −2 + 3.1 = 1 ⇒ R(1 , 1 , 1) ⇒ ⎨1 = 2 ⎪ ⎪ z =1 0 + z P' ⎩ ⎪ ⇒ z P' = 2 1= ⎪⎩ 2 y−4 z−2 s ≡ x−2= = −1 0

4




OPCIÓN B B.1. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un total almacenado de 2000 euros. Si el número total de billetes de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20, averiguar cuantos billetes de cada tipo hay. Llamando D al número de billetes de 10€ ; V a los de 20€ y C a los de 50€

D + V + C = 95 ⎧ ⎧ D + V + C = 95 ⎪ ⎪ ⎨10 D + 20V + 50C = 2000 ⇒ ⎨ D + 2V + 5C = 200 ⇒ ⎪ ⎪ D − 2V = 0 D = 2V ⎩ ⎩ ⎛1 1 1 95 ⎞ ⎛ 1 1 1 95 ⎞ ⎛ 1 1 1 95 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 105 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 4 105 ⎟ ⇒ 11C = 220 ⇒ C = 20 ⇒ V + 4.20 = 105 ⇒ ⎜1 2 5 200 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 ⎜1 − 2 0 0 ⎟ ⎜ 0 − 3 − 1 − 95 ⎟ ⎜ 0 0 11 220 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ V = 25 ⇒ D + 25 + 20 = 95 ⇒ D = 50 ⇒ Solución(50 , 25 , 20)

5


B.2.Sea la función


f : ℜ → ℜ definida por


2 ( x + 2) f (x ) =

x +1

a) Calcular su dominio b) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Analizar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y determinar las que existen

a) x + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⇒

2 ( − 1 + 2) f (− 1) =

−1+1

Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ − {− 1} b) f ' (x ) =

2.( x + 2 )( x + 1) − ( x + 2 )

(x + 1)

2

2

=

=

1 ⇒ 0

(

) (

2. x 2 + 3 x + 2 − x 2 + 4 x + 4

(x + 1)

⎧

Crecimiento ⇒

2

)= x

2

+ 2x

(x + 1)

2

=

(x + 2)x (x + 1)2

x > 0 ⇒ ∀∈ℜ/ x > 0

(x + 2)x > 0 ⇒ ⎪ x + 2 > 0 ⇒ x > −2 ⇒ ∀ ∈ ℜ / x > −2 f ' (x ) > 0 ⇒ ⎨ (x + 1)2 ⎪ (x + 1)2 > 0 ⇒ ∀ ∈ ℜ ⎩

−∞ x>-2 x>0 (x + 1)2 > 0 Resultado operación

-2 (-) (-) (+) (+) f’(x) > 0

∞

0 (+) (-) (+) (-) f’(x) < 0

(+) (+) (+) (+) f’(x) > 0

Crecimiento ∀x ∈ ℜ / ( x < −2 ) ∪ ( x > 0 ) Decrecimiento ∀x ∈ ℜ / − 2 < x < 0

c) Asíntotas verticales.(indicadas en a ) ⎧ (x + 2)2 = 1 = −∞ lim ⎪⎪ x → −1− x +1 0− x = −1 ⇒ ⎨ 2 ⎪ lim (x + 2) = 1 = ∞ ⎪⎩ x → −1+ x + 1 0+ Asíntotas horizontales 4 4 x 2 4x 4 1+ + 2 + 2 + 2 2 2 (x + 2) = lim x + 4 x + 4 = ∞ = lim x x x = lim x x = 1 + 0 + 0 = 1 y = lim f (x ) = lim x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ 1 1 1 x 0+0 0 x +1 x +1 ∞ x →∞ + + 2 2 x x2 x x ∃/( No existe ) asíntota horizontal cuando x → ∞ 2

6




Problema B2 (Continuación)

c)Continuación Asíntotas horizontales (Continuación ) x2 4x 4 − 2 + 2 2 − x ) + 4(− x ) + 4 ( x + 2) x2 − 4x + 4 ∞ ( x x x = = lim = lim = = lim y = lim f ( x ) = lim x → −∞ x → −∞ x →∞ x →∞ 1 x − x +1 ∞ x →∞ x +1 (− x ) + 1 − 2 + 2 x x 4 4 1− + 2 x x = 1− 0 + 0 = 1 = lim x →∞ 1 1 −0+0 0 − + 2 x x ∃/( No existe ) asíntota horizontal cuando x → −∞ 2

2

Asíntotas oblicuas f (x) = lim x →∞ x

m = lim x →∞

( x + 2 )2

x 2 4x 4 + + x + 1 = lim x + 4 x + 4 = lim x + 4 x + 4 = ∞ = lim x 2 x 2 x 2 = x →∞ ∞ x →∞ x 2 (x + 1)x x→∞ x 2 + x x x + 2 2 x x 2

2

4 4 + 2 x x = 1+ 0 + 0 = 1 = lim x →∞ 1 1+ 0 1+ x ⎡ ( x + 2 )2 ⎤ x 2 + 4x + 4 − x 2 + x x 2 + 4x + 4 − x 2 − x − x ⎥ = lim = lim = n = lim[ f ( x ) − x] = lim ⎢ x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ + + + 1 1 1 x x x ⎣ ⎦ 3x 4 4 + 3+ 3x + 4 ∞ x = 3+ 0 = 3 = lim = = lim x x = lim x →∞ x + 1 x →∞ 1 1+ 0 ∞ x →∞ x 1 + 1+ x x x Asíntota obicua ⇒ y = x + 3 cuando x → ∞ 1+

(

m = lim

x → −∞

= lim x →∞

f (x ) = lim x → −∞ x

)

( x + 2 )2

x 2 4x 4 − + 2 2 x + 1 = lim x − 4 x + 4 = lim x − 4 x + 4 = ∞ = lim x 2 x 2 x 2 = x →∞ (− x + 1)(− x ) x →∞ ∞ x →∞ x 2 x x2 − x x − 2 2 x x

4 4 + x x2 = 1− 0 + 0 = 1 1 1− 0 1− x

1−

7





c)Continuación

Asíntotas oblicuas (Continuación )

m = lim

x → −∞

f (x ) = lim x → −∞ x

( x + 2 )2

x 2 4x 4 − + 2 2 x + 1 = lim x − 4 x + 4 = lim x − 4 x + 4 = ∞ = lim x 2 x 2 x 2 = x →∞ (− x + 1)(− x ) x →∞ x ∞ x →∞ x 2 x2 − x x − 2 2 x x

4 4 + 2 x x = 1− 0 + 0 =1 = lim x →∞ 1 1− 0 1− x ⎡ ( x + 2 )2 ⎤ x 2 − 4x + 4 − x 2 − x x 2 − 4x + 4 − x 2 + x n = lim [ f ( x ) − x ] = lim ⎢ − x ⎥ = lim = lim = x → −∞ x → −∞ x →∞ x →∞ − x +1 − x +1 ⎣ x +1 ⎦ 3x 4 4 − + −3+ − 3x + 4 ∞ x = −3+0 = 3 = lim = = lim x x = lim x →∞ − x + 1 x →∞ 1 −1+ 0 ∞ x →∞ x 1 − + −1+ x x x Asíntota obicua ⇒ y = x + 3 cuando x → −∞ 1−

(

)

8




e

B.3.- Calcular

∫ ln x dx

ln e

ln x > 0 ⇒ x > e 0 ⇒ x > 1 e

e

e

∫ ln x dx = ∫ ln x dx = [x ln x]1 − ∫ x e

1

1

1

dx = (e ln e − 1 ln 1) − ∫ dx = (e .1 − 1.0 ) − [x x

]1e = e − (e − 1) = 1

dx ⎧ = du ⎪ ln x = u ⇒ x ⎨ ⎪dx = dv ⇒ v = ∫ dx = x ⎩

9




B.4.a) Las componentes de u , v y w en una cierta base de V3 son:

u = (2 , 0 , − 1) , v = (− 3 , 1 , 2 ) y w = (4 , − 2 , 7 ) Hallar, en esa misma base las componentes del vector

2u − v +

1 w 3

2u − v +

1 1 4 2 7⎞ ⎛ w = 2.(2 , 0 , − 1) − (− 3 , 1 , 2 ) + ⋅ (4 , − 2 , 7 ) = ⎜ 4 + 3 + , 0 − 1 − , − 2 − 2 + ⎟ 3 3 3 3 3⎠ ⎝

2u − v +

1 5 ⎛ 25 w=⎜ ,− , 3 3 ⎝ 3

7⎞ ⎟ 3⎠

b) Determinar la posición relativa de las siguientes rectas:

⎧7 x + 5 y − 7 z − 12 = 0 ⎩ 2 x + 3 z + 11 = 0

. r1 : ⎨

⎧5 x − 5 y − z − 16 = 0 r2 : ⎨ ⎩ 3x − 2 y − 7 = 0

Si los vectores directores de la rectas son proporcionales son paralelas y si tiene n punto común son la misma recta. De no serlo si se tienen un punto común se cortan, sino son rectas que se cruzan

⎧7 x + 5 y − 7 z − 12 = 0 r1 : ⎨ ⎩ 2 x + 3z + 11 = 0

⎧5 x − 5 y − z − 16 = 0 r2 : ⎨ ⎩ 3x − 2 y − 7 = 0

⎧ − 11 − 3z 24 + 14 z + 77 + 21z 101 + 35 z ⎛ − 11 − 3z ⎞ ⇒ 7⋅⎜ ⇒y= ⎟ + 5 y = 12 + 7 z ⇒ 5 y = ⎪⎪ x = 2 2 2 10 ⎝ ⎠ ⇒ ⎨ 3x − 7 10 x − 15 x + 35 − 32 − 5x + 3 ⎛ 3x − 7 ⎞ ⎪ ⇒ 5x − 5 ⋅ ⎜ ⇒z= y= ⎟ − 16 = z ⇒ z = ⎪⎩ 2 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎧ ⎧ 11 3 ⎪ ⎪x = − 2 − 2 λ ⎪ ⎪⎪ 101 7 ⎛ 3 7 ⎞ ⎪r1 : ⎨ y = + λ ⇒ v r1 = ⎜ − , , 1⎟ ≡ (− 3 , 7 , 2) 10 2 ⎪ ⎪ ⎝ 2 2 ⎠ z=λ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ −3 7 ⇒ ≠ ⇒ No son coincidentes ni paralelas ⎨ 2 3 ⎪ ⎧ x=μ ⎪ ⎪ 7 3 5⎞ ⎪ ⎪⎪ ⎛ 3 ⎪ r2 : ⎨ y = − 2 + 2 μ ⇒ v r1 = ⎜1 , 2 , − 2 ⎟ ≡ (2 , 3 , − 5) ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 3 5 ⎪ ⎪ z= − μ 2 2 ⎩ ⎩⎪ 11 3 ⎧ ⎪ − 2 − 2λ =μ ⎧ 2μ + 3λ = −11 ⎪⎪101 7 ⎧10μ + 15λ = −55 7 3 61 ⎪ ⇒ 11λ = −61 ⇒ λ = − + λ = − + μ ⇒ ⎨15μ − 35λ = 136 ⇒ ⎨ ⎨ 2 2 11 ⎩ − 10μ − 4λ = −6 ⎪ 10 2 ⎪ 5μ + 2λ = 3 3 5 ⎩ ⎪ λ= − μ ⎪⎩ 2 2

10




Continuación problema B.4 apartado b) Veamos si se cortan ose cruzan

b)Continuación 11 3 ⎧ ⎪ − 2 − 2λ = μ ⎧ 2 μ + 3λ = −11 ⎪⎪101 7 ⎧10 μ + 15λ = −55 61 7 3 ⎪ + λ = − + μ ⇒ ⎨15μ − 35λ = 136 ⇒ ⎨ ⇒ 11λ = −61 ⇒ λ = − ⇒ ⎨ 11 2 2 ⎩ − 10 μ − 4λ = −6 ⎪ 5 μ + 2λ = 3 ⎪ 10 2 3 5 ⎩ ⎪ λ= − μ ⎪⎩ 2 2 122 + 33 155 31 ⎛ 61 ⎞ ⇒μ= = ⇒ 5μ + 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = 3 ⇒ 5μ = 11 11.5 11 ⎝ 11 ⎠ 31 ⎛ 61 ⎞ 15.31 + 61.35 465 + 2135 2600 15 ⋅ − 35 ⋅ ⎜ − ⎟ = = = ≠ 136 ⇒ Se cruzan 11 11 11 11 ⎝ 11 ⎠

11


Soluciones Examen Septiembre 2007


Opción A

1.A.-Hallar los puntos de la recta

r≡

x − 3 y − 5 z +1 = = cuya distancia al plano 1 1 −1

p: 2x – y + 2z + 1=0 es igual a 1

⎧ x = 3+ λ 2(3 + λ ) − (5 + λ ) + 2(− 1 − λ ) + 1 6 + 2λ − 5 − λ − 2 − 2λ + 1 ⎪ r ≡ ⎨ y = 5 + λ ⇒ d P ,π = 1 = ± ⇒1= ± 3 2 2 + 12 + 2 2 ⎪ z = −1 − λ ⎩ ⎧ ⎧ x = 3−3 ⎪ ⎪ ⎪− λ = 3 ⇒ λ = −3 ⇒ P1 ⎨ y = 5 − 3 ⇒ P1 (0 , 2 , 2 ) ⎪ z = −1 − (− 3) ⎪⎪ ⎩ 3= ±−λ ⇒ ⎨ 3+3 x = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ λ = 3 ⇒ P2 ⎨ y = 5 + 3 ⇒ P1 (6 , 8 , − 4) ⎪ ⎪ z = −1 − 3 ⎪⎩ ⎩

1



⎧ x− y =3 ⎩x + y − z = 0

2.A.- Se consideran las rectas r ≡ ⎨


⎧ x−z =4 . Hallar la ecuación y s≡⎨ ⎩2 x − y = 7

continua de la recta que contiene al punto P (2 , -1, 2) y cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas anteriores.

⎧ x = 3+ λ x = 3+ y ⎧ ⎪ ⇒ r ≡ ⎨ y = λ ⇒ v r = (1 , 1 , 2 ) r≡⎨ ⎩3 + y + y − z = 0 ⇒ z = 3 + 2 y ⎪ z = 3 + 2λ ⎩ ⎧ x = 4+μ x = 4+ z ⎧ ⎪ r≡⎨ ⇒ s ≡ ⎨ y = 1 + 2 μ ⇒ v s = (1 , 2 , 1) ⎩2(4 + z ) − y = 7 ⇒ 8 + 2 z − 7 = y ⎪ z=μ ⎩ Hay dos formas de calcular el vector perpendicular a los dados, la primera utilizando el producto escalar ya que el producto de ambos con el buscado es cero en ambos casos:

⎧⎪ v ⊥ v r ⇒ vt .v r = 0 ⇒ (a , b , 1) ⋅ (1 , 1 , 2 ) = 0 ⇒ a + b + 2 = 0 Sea vt = (a , b , 1) ⇒ ⎨ t ⇒ b −1 = 0 ⇒ ⎪⎩vt ⊥ v s ⇒ vt .v s = 0 ⇒ (a , b , 1) ⋅ (1 , 2 , 1) = 0 ⇒ a + 2b + 1 = 0 b = 1 ⇒ a + 1 + 2 = 0 ⇒ a = −3 ⇒ v s = (− 3 , 1 , 1) La segunda forma es hallar el producto vectorial de los vectores de la recta, el resultante de ello es el vector perpendicular a ambos

i j k vt = v r × v s = 1 1 2 = i + 2 j + 2k − k − 4i − j = −3i + j + k ⇒ vt = (− 3 , 1 , 1) 1 2 1 Ecuación de la recta pedida t ≡

x−2 = y +1 = z − 2 −3

2




⎧ x + (k + 1) y + 2 z = −1 ⎪ 3.A.- Dado el sistema de ecuaciones lineales ⎨ , se pide: kx + y + z = k ⎪(k − 1)x − 2 y − z = k + 1 ⎩ a) Discutirlo según los diversos valores del parámetro k b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones

a) A=

1 k k −1

k +1 1 −2

2

1 = −1 + (k + 1) ⋅ (k − 1) − 4k − 2 ⋅ (k − 1) + 2 + k (k + 1) −1

A = k 2 − 1 − 4k − 2k + 2 + k 2 + k + 1 = 2k 2 − 5k + 2 ⇒ Si 2k 2 − 5k + 2 = 0 ⇒ Δ = 25 − 16 = 9 ⇒ 5+3 ⎧ ⎧⎪ k ≠ 2 ⎪ k1 = 4 = 2 5± 9 1 ⇒ rang ( A) = 3 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado ⇒ Si ⎨ k1, 2 = ⇒⎨ k≠ 5−3 1 4 ⎪ ⎪k 2 = = 2 ⎩ 4 2 ⎩ 3 1 1 3 1 2 = 1 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2 Si k = 2 ⇒ = −5 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2 Si k = ⇒ 1 2 1 2 1 4 2 El estudio de lo que pasará cuando k sea 2 ó 1/2 se puede hacer de dos formas, una por Gauss y otra por l teorema de Rouche-Frobenius

Por Gauss Cuando k = 2 ⎛1 3 2 − 1⎞ ⎛ 1 3 2 − 1⎞ ⎛ 1 3 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 5 − 3 4 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 5 − 3 4 ⎟ ⇒ Sistema Compatible In det er min ado ⎜2 1 ⎜1 − 2 −1 3 ⎟ ⎜0 − 5 − 3 4 ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Cuando k =

1 2

3 ⎛ ⎞ 2 ⎜ 1 ⎟ 2 − 1⎟ ⎛ 2 3 4 − 2⎞ ⎛ 1 2 2 1 ⎞ ⎛1 2 2 1 ⎞ ⎛1 2 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ ⎜ ⎜ 1 1 1 2 2 1 ⎟≡⎜ 2 3 4 − 2⎟ ≡ ⎜ 0 −1 0 − 4⎟ ≡ ⎜ 0 −1 0 − 4⎟ ⇒ ≡⎜ 1 ⎜ 2 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 3 ⎟ ⎝ − 1 − 4 − 2 3 ⎠ ⎝ − 1 − 4 − 2 3 ⎠ ⎝ 0 − 2 0 4 ⎠ ⎝ 0 0 0 12 ⎠ 2 1 − − − ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 Sistema Incompatible

3




a)Continuación 2º Forma. − Por Rouche − Frobenius A / B = C1

C2

1 k +1 −1 2 1 B = k k = (k + 1) + k (k + 1)(k − 1) + 2k + (k − 1) + 2k − k (k + 1) k −1 − 2 k +1

A / B = k + 1 + k − 1 + k (k + 1)(k − 1 − k − 1) + 4k = 6k + k (k + 1)(− 2 ) = −2k 2 + 4k = 2k (− k + 2) ⎧ 1 1 k =0⇒ = 1 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 ⎪ 0 1 ⎪ Si 2k (− k + 2) = 0 ⇒ ⎨ ⇒ 1 3 ⎪− k + 2 = 0 ⇒ k = 2 ⇒ = −5 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 ⎪⎩ 2 1 ⎧k ≠ 0 Si ⎨ ⇒ rang ( A / B ) = 3 ⎩k ≠ 2 A / B = C1

C3

1 2 −1 B = k k = (k + 1) + 2k (k − 1) + k + (k − 1) + k − 2k (k + 1) 1 k −1 −1 k +1

A / B = k + 1 + 2k + k − 1 + 2k (k − 1 − k − 1) = 4k − 4k = 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⇒ rang ( A / B ) = 2 2º Forma. − Por Rouche − Frobenius (Continuación) k +1 A / B = C2

C3

B =

1 −2

2

−1

k = (k + 1) − 4k + 1 − 2 + k (k + 1) − 2(k + 1) 1 −1 k +1 2

A / B = k 2 + 2k + 1 − 4k − 1 + k 2 + k − 2k − 2 = 2k 2 − 3k − 2 ⇒ Si 2k 2 − 3k − 2 = 0 ⇒ Δ = 9 + 16 = 25

k1, 2

3+5 ⎧ ⎧⎪ k ≠ 2 ⎪ k1 = 4 = 2 3 ± 25 1 ⇒ rang ( A / B ) = 3 = ⇒⎨ ⇒ Si ⎨ k≠− 3−5 1 4 ⎪ ⎪k1, 2 = =− 2 ⎩ 4 2 ⎩

⎧ 1 1 = 1 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 ⎪ k =2⇒ − 2 −1 ⎪ Si ⎨ 1 ⎪k = − 1 ⇒ 1 = 1 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 ⎪⎩ − 2 −1 2 Por lo tan to : Si k = 2 ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 ≠ Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible In det er min ado Si k =

1 ⇒ rang ( A) = 2 ≠ rang ( A / B ) = 3 ⇒ Sistema Incompatible 2

4




b) Por Gauss.Calculado en a ) ⎛1 3 2 − 1⎞ 2 − 1⎞ ⎛ 1 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 4 − 5y 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 5 − 3 4 ⎟ ⇒ −5 y − 3 z = 4 ⇒ 3 z = −4 − 5 y ⇒ z = ⇒ ⎜2 1 3 ⎜1 − 2 −1 3 ⎟ ⎜0 0 ⎟ 0 0⎠ ⎝ ⎠ ⎝ y+5 ⎛ − 4 − 5y ⎞ x + 3y + 2 ⋅ ⎜ ⇒ ⎟ = −1 ⇒ 3 x + 9 y − 8 − 10 y = −3 ⇒ 3 x = y + 5 ⇒ x = 3 3 ⎝ ⎠ − 4 − 5λ ⎞ ⎛λ +5 ,λ, Solución⎜ ⎟ 3 ⎝ 3 ⎠

Por Rouche − Froebenius ⎧ x + 3 y + 2 z = −1 ⎧ x + 3 y + 2 z = −1 ⇒ −5 x − z = −7 ⇒ z = 7 − 5 x ⇒ x + 3 y + 2(7 − 5 x ) = −1 ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎩− 6 x − 3 y − 3 z = −6 ⎩ 2x + y + z = 2 x + 3 y + 14 − 10 x = −1 ⇒ 3 y = −15 + 9 x ⇒ y = −5 + 3x ⇒ Solución(λ , − 5 + 3λ ,7 − 5λ )

5




4.A.- a) Hallar los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función:

f (x ) =

3x 2 + x + 3 x2 +1

b) Determinar una función F(x) tal que su derivada sea f(x) y además F(0) = 4

a) 3x 2 + x + 3 f (x ) = x2 +1 (6 x + 1) x 2 + 1 − 2 x 3x 2 + x + 3 = 6 x 3 + 6 x + x 2 + 1 − 6 x 3 − 2 x 2 − 6 x = 1 − x 2 f ' (x ) = 2 2 2 x2 +1 x2 +1 x2 +1

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

2 ⎧ 3.(− 1) + (− 1) + 3 5 ( ) = − 1 ⇒ − 1 = = x f ⎪⎪ 2 2 2 2 ( ) − 1 + 1 Si f ' ( x ) = 0 ⇒ 1 − x = 0 ⇒ x = 1 ⇒ x = ± 1 ⇒ ⎨ 2 3.1 + 1 + 3 7 ⎪ = x = 1 ⇒ f (− 1) = ⎪⎩ 2 12 + 1 2 ( − 2)x.(x 2 + 1) − 2(x 2 + 1).2 x(1 − x 2 ) f ' ' (x ) =

(x

)

4

+1

2

2 ( − 2)x.(x 2 + 1) − 2(x 2 + 1).2 x(1 − x 2 ) (− 2)x.(x 2 + 1) − 4 x(1 − x 2 ) − 2 x 3 − 2 x. − 4 x + 4 x 3 = = f ' ' (x ) =

(x

2

)

+1

4

(x

2

(x

)

+1

3

2

)

+1

3

3 ⎧ 2.(− 1) − 6.(− 1) − 2 + 6 4 1 1 ' ' 1 ( ) = = = >0 = − ⇒ − = x f ⎪ 3 2 8 2 23 2x3 − 6x 2x x 2 − 3 ⎪ 1 1 ( ) − + = ⇒⎨ f ' ' (x ) = 3 3 3 2 2 x +1 x +1 ⎪ x = 1 ⇒ f ' ' (− 1) = 2.1 − 6.1 = 2 − 6 = − 4 = − 1 < 0 3 ⎪ 8 2 23 12 + 1 ⎩ 5⎞ ⎛ En el punto⎜ − 1 , ⎟ existe un mínimo relativo 2⎠ ⎝ ⎛ 7⎞ En el punto⎜1 , ⎟ existe un Máximo relativo ⎝ 2⎠ ⎧ 3.0 2 + 0 + 3 ( ) 0 0 x f =3 = ⇒ = ⎪ 2 0 1 + ⎪ 2 ⎧ ⎪⎪ 3. 3 + 3 + 3 2 ⎪ x= 3⇒ f 3 = 2 Si f ' ' ( x ) = 0 ⇒ 2 x x − 3 = 0 ⇒ ⎨ ⎪ 3 +1 2 2 ⎪x − 3 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ ⎨ 2 ⎪ ⎪ x = − 3 ⇒ f − 3 = 3. − 3 + − 3 + 3 ⎪ 2 ⎪ − 3 +1 ⎪⎩ ⎩

(

)

(

(

(

)

)

)

[

[

]

]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )

6

)




Continúa el problema 4.A.2 − 2 )x.(x 2 + 1) − 2(x 2 + 1).2 x (1 − x 2 ) (− 2 )x.(x 2 + 1) − 4 x (1 − x 2 ) − 2 x 3 − 2 x. − 4 x + 4 x 3 ( = = f ' ' (x ) =

(x

2

)

+1

(x

4

2

(x

)

+1

3

2

)

+1

3

3 ⎧ 2.(− 1) − 6.(− 1) − 2 + 6 4 1 = − ⇒ − = = = = >0 ( ) 1 ' ' 1 x f ⎪ 3 2 8 2 23 2x3 − 6x 2x x 2 − 3 ⎪ ( ) − + 1 1 = ⇒ f ' ' (x ) = ⎨ 3 3 3 x2 +1 x2 +1 ⎪ x = 1 ⇒ f ' ' (− 1) = 2.1 − 6.1 = 2 − 6 = − 4 = − 1 < 0 3 ⎪ 8 2 23 12 + 1 ⎩ 5⎞ ⎛ En el punto⎜ − 1 , ⎟ existe un mínimo relativo 2⎠ ⎝ ⎛ 7⎞ En el punto⎜1 , ⎟ existe un Máximo relativo ⎝ 2⎠

(

)

(

(

)

[

)

]

[

]

⎧ 3.0 2 + 0 + 3 ( ) = ⇒ = =3 0 0 x f ⎪ 02 + 1 ⎪ 2 ⎧ ⎪⎪ 3. 3 + 3 + 3 ⎪ x= 3⇒ f 3 = 2 Si f ' ' ( x ) = 0 ⇒ 2 x x 2 − 3 = 0 ⇒ ⎨ ⎪ +1 3 2 2 ⎪x − 3 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ ⎨ 2 ⎪ 3. − 3 + − 3 + 3 ⎪ ⎪ 2 ⎪x = − 3 ⇒ f − 3 = − 3 +1 ⎪⎩ ⎩

(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )

)

⎧ ⎪ (0 , 3) ⎪⎪ 3 , 3+ 3 Puntos de inf lexión ⎨ ⎪⎛ −6− 3⎞ ⎟ ⎪⎜⎜ − 3 , ⎟ 4 ⎪⎩⎝ ⎠ b)

(

)

3x 2 + x + 3 x ⎞ x 1 dt 1 ⎛ dx = ∫ ⎜ 3 + 2 dx = 3 x + ∫ ⋅ = 3x + ⋅ ln t ⎟ dx = 3∫ dx + ∫ 2 2 t 2 2 x +1 x +1⎠ x +1 ⎝ dt x 2 + 1 = t ⇒ 2 x dx = dt ⇒ x dx = 2 2 2 3x + x + 3 x +1

F (x ) = ∫

− 3x 2

− 3 x

F (x ) = 3x +

(

)

(

)

(

)

1 1 ⋅ ln x 2 + 1 + K ⇒ F (0 ) = 4 ⇒ 3.0 + ⋅ ln 0 2 + 1 + K = 4 ⇒ K = 4 2 2 1 F ( x ) = 3x + ⋅ ln x 2 + 1 + 4 2

7

)




1.B.-Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica XA2+ BA = A2, siendo

⎛0 ⎜ A=⎜ 0 ⎜ −1 ⎝ 2 XA = A 2

− 1⎞ ⎟ −1 0 ⎟ 0 0 ⎟⎠

0 − 2⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ y B =⎜ 0 −2 0 ⎟ ⎜− 2 0 0 ⎟⎠ ⎝ − BA ⇒ XA 2 A − 2 = A 2 − BA A − 2 ⇒ X = A 2 A − 2 − BAA − 2 = I − BAA −1 A −1 = I − BIA −1 0

(

)

X = I − BA −1 ⇒ 0 − 1⎞ −1 ⎛0 ⎜ ⎟ 1 −1 t t ∃A ⇒ A ≠ 0 ⇒ A = 0 − 1 0 = 1 ≠ 0 ⇒ A = ⋅ adj A ⇒ A = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ ⇒ A ⎜ −1 0 0 ⎟⎠ −1 0 0 ⎝ 0 − 1⎞ 0 − 1⎞ ⎛ 0 0 − 1⎞ ⎛0 ⎛0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ t −1 adj A = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ ⇒ A = ⋅ ⎜ 0 − 1 0 ⎟ = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ ⇒ 1 ⎜ ⎜−1 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟⎠ ⎝ ⎝ −1 0 0 ⎠ ⎝ −1 0 0 ⎠ 0

0

( )

−1

( )

0 ⎛ 0 ⎜ B. A = ⎜ 0 − 2 ⎜− 2 0 ⎝ ⎛1 ⎜ −1 X = I − B. A = ⎜ 0 ⎜0 ⎝ −1

0 − 2⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 −1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1 0 0 0⎞ ⎛ 2 0 ⎟ ⎜ 1 0⎟ − ⎜ 0 2 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0

− 1⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0⎞ ⎛−1 ⎟ ⎜ 0⎟ = ⎜ 0 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

0 0⎞ ⎟ 2 0⎟ ⇒ 0 2 ⎟⎠ 0⎞ ⎟ −1 0 ⎟ 0 − 1⎟⎠ 0

8




⎧ x + 2 y − 3z = 3 , se pide: ⎩2 x + 3 y + z = 5

2.B.-Dado el sistema de ecuaciones ⎨

a) Calcular a y b de manera que al añadir una tercera ecuación ax + y + bz = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4 a) El sistema es Compatible Indeterminado

⎞ ⎛ 1 2 − 3 3⎞ ⎛ 1 −3 −3 3 3 ⎞ ⎛1 2 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ −1 −1 −1 ⎟ ≡ ⎜0 −1 7 7 ⎟⇒ ⎜ 2 3 1 5⎟ ≡ ⎜ 0 ⎜ a 1 b 1 ⎟ ⎜ 0 1 − 2a b + 3a 1 − 3a ⎟ ⎜ 0 0 b + 3a + 7(1 − 2a ) 1 − 3a − (1 − 2a )⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎧b + 3a + 7 − 14a = 0 ⎧− 11a + b + 7 = 0 ⇒ a = 0 ⇒ b = −7 ⇒ Ecuación ⇒ y − 7 z = 1 ⇒⎨ ⎨ −a =0 ⎩ ⎩ 1 − 3a − 1 + 2a = 0 b) ⎛ 1 2 − 3 3⎞ ⎛ 1 2 − 3 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 2 3 1 5 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 7 − 1⎟ ⇒ − y + 7 z = −1 ⇒ y = 7 z + 1 ⇒ x + 2.(7 z + 1) − 3z = 3 ⇒ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ x + 14 z + 2 − 3z = 3 ⇒ x = 1 − 11z ⇒ Solucíon general (1 − 11λ , 7λ + 1 , λ ) Si 1 − 11λ + 7λ + 1 + λ = 4 ⇒ −3λ = 2 ⇒ λ = −

⎡ 2 ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞⎤ ⇒ Solucíon ⎢1 − 11⎜ − ⎟ , 7⎜ − ⎟ + 1 , ⎜ − ⎟⎥ 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣

11 2⎞ ⎛ 25 Solucíon⎜ , − , − ⎟ 3 3⎠ ⎝ 3

9


3.B.- Sean las rectas r :


x y −1 z − 2 = = 1 2 −1


⎧x − 3 y − 5 = 0 y s:⎨ ⎩ x − 3z − 8 = 0

a) Hallar las ecuaciones del plano p que contiene a r y es paralelo a s b) Calcular la distancia entre el plano p y la recta s a) El plano queda definido por el vector director de la recta r , por el vector director de s que al ser paralelo y por el vector generador que se forma por el punto innominado ( x , y , z ) y un punto del plano A, por ejemplo de la recta r

⎧ x = 8 + 3λ ⎪ − 3 y + 3z + 3 = 0 ⇒ 3 y = 3z + 3 ⇒ y = z + 1 ⇒ x = 3z + 8 ⇒ s : ⎨ y = 1 + λ ⎪ z=λ ⎩ ⎧ v r = (1 , − 1 , 2) x y −1 z − 2 ⎪ v s = (3 , 1 , 1) ⇒ π ≡ 1 −1 2 =0⇒ ⎨ ⎪ A(0 , 1 , 2 ) ⇒ AG = (x , y , z ) − (0 , 1 , 2 ) = (x , y − 1 , z − 2) 3 1 1 ⎩ − x + 6( y − 1) + (z − 2 ) + 3(z − 2) − 2 x − ( y − 1) = 0 ⇒ −3x + 5( y − 1) + 4(z − 2 ) = 0 ⇒ π : 3 x − 5 y − 4 z + 13 = 0 b) Al ser paralelos el plano p y la recta s la distancia es la de un punto cualquiera de esa recta , tomaremos B ( 8 , 1 , 0 ), al plano

⎧ x = 8 + 3λ ⎪ − 3 y + 3z + 3 = 0 ⇒ 3 y = 3z + 3 ⇒ y = z + 1 ⇒ x = 3z + 8 ⇒ s : ⎨ y = 1 + λ ⎪ z=λ ⎩ ⎧ x y −1 z − 2 v r = (1 , − 1 , 2 ) ⎪ ⇒ π ≡ 1 −1 2 =0⇒ v s = (3 , 1 , 1) ⎨ ⎪ A(0 , 1 , 2 ) ⇒ AG = ( x , y , z ) − (0 , 1 , 2) = ( x , y − 1 , z − 2 ) 3 1 1 ⎩ − x + 6( y − 1) + ( z − 2 ) + 3( z − 2 ) − 2 x − ( y − 1) = 0 ⇒ −3x + 5( y − 1) + 4( z − 2) = 0 ⇒

π : 3 x − 5 y − 4 z + 13 = 0 d B ,π =

3.8 − 5.1 − 4.0 + 13 3 2 + (− 5) + (− 4) 2

2

=

32 50

=

32 5 2

=

32 2 16 2 = u 10 5

10




4.B.- Sea g(x) una función continua y derivable para todo valor real de x, de la que se conoce la siguiente información: I)

g’(x) > 0 para todo x ∈ (− ∞ , 0 ) ∪ (2 , ∞ ) mientras que g’(x) < 0 para todo x ∈ (0 , 2 )

II)

g’’(x) > 0 para todo x ∈ (1 , 3) mientras que g’(x) < 0 para todo x ∈ (− ∞ , 1) ∪ (3 , ∞ )

III)

g(-1) = 0

IV)

g(0) = 2

lim g ( x ) = −∞

g(2) = 1

lim g (x ) = 3

x → −∞

x →∞

Teniendo en cuenta los datos anteriores se pide: a) Analizar, razonadamente, la posible existencia o no existencia de asuntotas verticales, horizontales u oblicuas b) Dibujar de manera esquemática la gráfica de la función g(x) c) Si G ( x ) =

x

∫ g (t ) dt encontrar un valor x

0

su derivada G ( x ) = 0

0

a) Hay una asíntota horizontal

y = 3 cuando x → ∞

⎧ ConOY ⇒ x = 0 ⇒ g (0) = 1 ⎩ConOX ⇒ g (x ) = 0 ⇒ x = −1

Puntos de corte ⎨

⎧ x = 0 ⇒ g (0 ) = 1 ⎩ x = 2 ⇒ g (2) = 1

Hay un máximo y un mínimo relativo en uno de los dos puntos ⎨

⎧x =1 ⎩x = 3

Hay un punto de inflexión en cada uno de los puntos ⎨ No hay indicios de asíntota vertical Si puede haber una asíntota oblicua

cuando x → −∞

11




Continuación del problema 4.B b)

3

y=3 2

1

-1

-2

O

1

2

3

4

5

6

X

-1

(posible)

-2

Y c) x

G ( x ) = ∫ g (t ) dt ⇒ G ' ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 ⇒ Del gráfico ⇒ x 0 = −1 0

12




OPCIÓN A 1 ⎞ ⎛ 3 ⎛1 0⎞ ⎟⎟ , I = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝0 1⎠

A.1.-Dada las matrices A = ⎜⎜

a) Comprobar que det(A2) = (det(A))2

⎛a b ⎞ ⎟ de orden 2 se cumple que d ⎟⎠

b) Estudiar si para cualquier matriz M = ⎜⎜ ⎝c det(M2) = (det(M))2

c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen det(M + I) = det(M) + det( I)

a) ⎧ 3 1 2 2 A= = −9 + 8 = −1 ⇒ A = (− 1) = 1 ⎪ 8 3 − − 2 ⎪ ⇒ Comprobado ⇒ A = A 2 ⎨ 1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛1 0⎞ 1 0 ⎪ A 2 = ⎛⎜ 3 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ A 2 = =1 ⎜ ⎪⎩ 0 1 ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝ − 8 − 3⎠ ⎝ 0 1 ⎠ b) ⎧ a b 2 2 M = = ad − bc ⇒ M = (ad − bc ) = a 2 d 2 + b 2 c 2 − 2abcd ⎪ c d ⎪ ⎨ 2 2 ⎪M 2 = ⎛⎜ a b ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ a b ⎞⎟ = ⎛⎜ a + bc ab + bd ⎞⎟ ⇒ M 2 = a + bc ab + bd = a 2 + bc bc + d 2 − (a + d )2 bc ⎜ c d ⎟ ⎜ c d ⎟ ⎜ ac + cd bc + d 2 ⎟ ⎪⎩ ac + cd bc + d 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

(a

)(

)

)(

)

+ bc bc + d 2 − (a + d ) bc = a 2 bc + a 2 d 2 + b 2 c 2 + bcd 2 − a 2 bc − d 2 bc − 2abcd = a 2 d 2 + b 2 c 2 − 2abcd Se cumple para todas las matrices 2

2

c) ⎧ b ⎞ a +1 b ⎛ a b ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ a + 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ M + I = = (a + 1)(d + 1) − bc ⎪M + I = ⎜⎜ d + 1⎠ c d +1 ⎪ ⎝ c d ⎠ ⎝0 1⎠ ⎝ c ⇒ ⎨ a b 1 0 ⎪ M + I = + = ad − bc + 1 ⎪⎩ c d 0 1 (a + 1)(d + 1) − bc = ad − bc + 1 ⇒ ad + a + d + 1 − bc = ad − bc + 1 ⇒ a + d = 0 ⇒ d = −a ⎛a b ⎞ ⎟⎟ M = ⎜⎜ ⎝c − a⎠

1




x<0 3x + 2 ⎧ ⎪ 2 A.2.- Sea ⎨ x + 2a cos ( x ) 0 ≤ x < π ⎪ ax 2 + b x≥0 ⎩ a) Estudiar los valores de a y b para los que la función f(x) es continua para todo valor de x b) Determinar la derivada de f(x) en el intervalo (0 , π ) 2π

c) Calcular

∫ f (x ) dx 0

a) ⎧ ⎧ ⎧⎪ lim f ( x ) = 3.0 + 2 = 2 x →0 − ⎪ ⎪ ⎨ f (0) = lim f (x ) = 0 2 + 2a. cos 0 = 2a ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1 3x + 2 x<0 ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ x →0 + 2 ⎨ x + 2a cos ( x ) 0 ≤ x < π ⇒ ⎨ f ( x ) = π 2 + 2a. cos π = π 2 + 2.1.(− 1) = π 2 − 2 ⎪ ⎪⎧⎪ xlim →π − ax 2 + b x ≥π ⇒ b = −2 ⎪ ⎪⎨ f (π ) = lim+ f ( x ) = 1.π 2 + b = π 2 + b ⎪ ⎪ x →π ⎩⎩ ⎩⎪ b) 3 x<0 ⎧ ⎪ f ' ( x ) = ⎨2 x − 2 sen (x ) 0 ≤ x < π ⎪ 2x x ≥π ⎩ c) 2π

∫ 0

π

[

]

f ( x ) dx = ∫ x 2 + 2 cos (x ) dx + 0

2π

∫ (x π

2

)

− 2 dx =

[ ]

1 3 ⋅ x 3

π 0

[ ]

1 π + 2[sen x ]0 + ⋅ x 3 3

π 1 1 ∫ f (x ) dx = 3 ⋅ [x ] + 2.(sen π − sen 0) − 2.(2π − π ) = 3 ⋅ [(2π )

2π

3 2 0

3

2π

π

− 2.[x ]π

2π

]

− 0 3 + 2.(0 − 0) − 2π

0

2π

∫ f (x ) dx = 3 π 8

3

− 2π

0

2




A.3.- .- Calcular un polinomio de tercer grado p ( x ) = ax + bx + cx + d que satisface: I) p(0) = 5 3

2

II) Tiene un máximo en x = 1 y un punto de inflexión en x = 0 1

III)

∫ p(x ) dx = 4 9

0

⎧ p(0 ) = a.0 3 + b.0 2 + c.0 + d = 5 ⇒ d = 5 ⎪ p ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c ⇒ p ' (1) = 3a.12 + 2b.1 + c = 0 ⇒ 3a + 2b + c = 0 ⎪⎪ ⇒ p ' ' ( x ) = 6ax + 2b ⇒ p' ' (0) = 6a.0 + 2b = 0 ⇒ 2b = 0 ⇒ b = 0 ⎨ ⎪1 9 1 1 9 1 1 9 ⎪∫ (ax 3 + cx + 5) dx = ⇒ ⋅ a (14 − 0 4 ) + ⋅ c(12 − 0 2 ) + 5(1 − 0) = ⇒ ⋅ a + ⋅ c + 5 = 4 4 2 4 4 2 4 ⎪⎩ 0 3a + c = 0 ⎧⎪ ⎧ 3a + c = 0 ⎧ 3a + c = 0 ⎧ 3a + c = 0 ⇒ −5c = +33 ⇒ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨1 ⋅ a + 1 ⋅ c + 5 = 9 ⇒ ⎨ a + 2c + 20 = 9 ⎩a + 2c = −11 ⎩− 3a − 6c = +33 ⎪⎩ 4 ⎩ 2 4 33 33 33 33 3 33 c = − ⇒ 3a − =0⇒a= ⇒ p(x ) = x − x+5 5 5 15 15 5

3



⎧x + y + z = 0 ⎩x − z + 4 = 0


s ≡ x = y + 4 = 2z − 8

A.4.- Dadas las rectas r ≡ ⎨ a) Comprobar que se cortan

b) Hallar el ángulo que forman

⎧ ⎧ x = −4 + λ ⎪ ⎪ ⎪ x = −4 + z ⇒ −4 + z + y + z = 0 ⇒ r ≡ ⎨ y = 4 − 2λ ⎧ ⎪ z=λ ⎪ ⎧λ−μ =4 ⎪ −4+λ = μ ⎩ ⎧λ−μ =4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⇒ ⎨4 − 2λ = −4 + μ ⇒ ⎨2λ + μ = 8 ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ μ x = 2 8 λ μ + = ⎪ ⎩ μ ⎪ ⎪ ⎪2λ − μ = 8 ⎪ ⎩ ⎪⎩ λ = 4 + 2 ⎪ s ≡ ⎨ y = −4 + μ ⎪ ⎪ μ ⎪ ⎪⎩ z = 4 + 2 ⎩ 3λ = 12 ⇒ λ = 4 ⇒ 4 − μ = 4 ⇒ μ = 0 ⇒ 2.4 − 0 = 8 ⇒ ⎧ x = −4 + 4 = 0 ⎪ 2λ − μ = 8 ⇒ 2.4 − 0 = 8 ⇒ 8 = 8 ⇒ Se cor tan en A⎨ y = 4 − 2.4 = −4 ⇒ A(0 , − 4 , 4) ⎪ z=4 ⎩ b) ⎧ v r = (1 , − 2 , 1) v r .v s (1 , − 2 , 1) ⋅ (2 , 2 , 1) 2 − 4 +1 −1 ⎪ ⇒ cos v r , v s = = = = 1⎞ ⎛ ⎨ 2 6⋅ 9 3 6 v r .v s 12 + (− 2) + 12 ⋅ 2 2 + 2 2 + 12 ⎪v s = ⎜⎝1 , 1 , 2 ⎟⎠ ≡ (2 , 2 , 1) ⎩

(

(

)

cos v r , v s =

1 3 6

=

(

)

)

6 6 ⇒ ang v r , v s = arc cos = 82º10'44' ' 18 18

4




OPCIÓN B ⎛0 α β ⎞ ⎟ ⎜ B.1. Sean A = ⎜ 0 0 α ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎠ ⎝

⎛1 k t ⎞ ⎟ ⎜ B = ⎜0 1 k ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝

y

a) Estudiar para que valores de

α yβ

la matriz A tiene inversa

b) Calcular A3 c) Hallar la matriz inversa de B

a) 0 α β Como A = 0 0 α = 0 ⇒ ∃/∀α , β ∈ ℜ 0

0

0

No hay ningún valor de α y β que haga a la matriz A invertible b) 2 2 ⎛0 α β ⎞ ⎛0 α β ⎞ ⎛0 0 α ⎞ ⎛0 α β ⎞ ⎛0 0 α ⎞ ⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ A 2 = ⎜ 0 0 α ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 α ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⇒ A 3 = AA 2 = ⎜ 0 0 α ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 0 ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ c

1 k

t

B = 0 1 k =1≠ 0 ⇒ B

−1

0 0 1 ⎛ 1 ⎜ ⎜ k ⎜ 0 adj B t = ⎜ − ⎜ k ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝ 1

0 1 0 1 0 0

⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ 1 t t = ⋅ adj B ⇒ B = ⎜ k 1 0 ⎟ ⇒ B ⎜ t k 1⎟ ⎝ ⎠

(

k

0

k

t 1 t 1 − k

1 0 1 0

t 1 − t 1

0

k

−

)

1 ⎞ ⎟ k ⎟ ⎛ 1 −k 0⎟ ⎜ ⎟ = ⎜0 1 k⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎟⎟ 1 ⎠

⎛1 − k k2 −t⎞ ⎟ 1 ⎜ −1 − k ⎟ ⇒ B = ⋅ ⎜0 1 1 ⎜ 1 ⎟⎠ ⎝0 0

k 2 − t ⎞ ⎛1 − k ⎟ ⎜ − k ⎟ = ⎜0 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0

5

k2 −t⎞ ⎟ −k ⎟ 1 ⎟⎠




B.2. Obtener las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: I) II) III)

El perímetro del primero de ellos es triple del perímetro del tercero Se necesitan exactamente 1664 metros de valla para vallar los tres campos La suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible

Sea a el lado del primero, b del segundo y c del tercero

4a = 3.4b ⇒ a = 3b ⎧ ⎪ ⎨4a + 4b + 4c = 1664 ⇒ 4(a + b + c ) = 1664 ⇒ a + b + c = 416 ⇒ 3b + b + c = 416 ⇒ c = 416 − 4b ⇒ 2 2 ⎪ S = a 2 + b 2 + c 2 = (3b ) + b 2 + (416 − 4b ) = 10b 2 + 173506 + 16b 2 − 3328b ⎩ 3328 dS = 52b − 3328 ⇒ S ' = 0 ⇒ 52b − 3328 = 0 ⇒ b = = 64 m 52 db b = 64 m ⎧ d 2S ⎪ S''= = 52 > 0 ⇒ Mínimo ⇒ ⎨ a = 3.64 = 192 m db 2 ⎪c = 416 − 4.64 = 160 m ⎩ S = 26b 2 − 3328b + 173506 ⇒ S ' =

6




e2

b) Calcular lim

dx

∫ x(4 − ln x )

B.3.-a) Utilizando el cambio de variable t = ln x, calcular

e

sen (4 x ) sen (5 x )

(x − x )

2 2

x →0

a) e2

∫

e

2

2

dx 1 du 3 2 =∫ = −[ln u ]3 = −(ln 2 − ln 3) = ln 3 − ln 2 = ln dt = − ∫ x(4 − ln x ) 1 4 − t u 2 3

t = ln x ⇒ dt = b lim x →0

⎧ x = e 2 ⇒ t = ln e 2 = 2. ln e = 2.1 = 2 ⎧t = 2 ⇒ u = 2 dx ⇒⎨ ⇒ 4 − t = u ⇒ dt = −du ⇒ ⎨ x x = e ⇒ t = ln e = 1 ⎩t = 1 ⇒ u = 3 ⎩

sen (4 x ) sen (5 x )

(x − x )

2 2

=

4 cos (4 x ) sen (5 x ) + 5 cos (5 x ) sen (4 x ) 0 0 Aplicando L ' Hopital = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim = = → 0 x 0 0 2 x − x 2 (1 − 2 x )

(

)

Aplicando L ' Hopital = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = − 16sen (4 x ) sen (5 x ) + 20 cos (5 x ) cos (4 x ) − 25sen (5 x ) sen (4 x ) + 20 cos (5 x ) cos (4 x ) = lim 2 x →0 2 (1 − 2 x ) − 2 x − x 2

[

(

)]

7





c)Continuación

Asíntotas oblicuas (Continuación )

m = lim

x → −∞

f (x ) = lim x → −∞ x

( x + 2 )2

x 2 4x 4 − + 2 2 x + 1 = lim x − 4 x + 4 = lim x − 4 x + 4 = ∞ = lim x 2 x 2 x 2 = x →∞ (− x + 1)(− x ) x →∞ x ∞ x →∞ x 2 x2 − x x − 2 2 x x

4 4 + 2 x x = 1− 0 + 0 =1 = lim x →∞ 1 1− 0 1− x ⎡ ( x + 2 )2 ⎤ x 2 − 4x + 4 − x 2 − x x 2 − 4x + 4 − x 2 + x n = lim [ f ( x ) − x ] = lim ⎢ − x ⎥ = lim = lim = x → −∞ x → −∞ x →∞ x →∞ − x +1 − x +1 ⎣ x +1 ⎦ 3x 4 4 − + −3+ − 3x + 4 ∞ x = −3+0 = 3 = lim = = lim x x = lim x →∞ − x + 1 x →∞ 1 −1+ 0 ∞ x →∞ x 1 − + −1+ x x x Asíntota obicua ⇒ y = x + 3 cuando x → −∞ 1−

(

)

8




B.3.e

a) Calcular

∫ ln x dx

ln e

b) Calcular

lim

sen (4 x ) sen (5 x )

(x − x )

2 2

x →0

a) ln x > 0 ⇒ x > e 0 ⇒ x > 1 e

e

e

∫ ln x dx = ∫ ln x dx = [x ln x]1 − ∫ x e

1

1

1

dx = (e ln e − 1 ln 1) − ∫ dx = (e .1 − 1.0 ) − [x x

]1e = e − (e − 1) = 1

dx ⎧ = du ⎪ ln x = u ⇒ x ⎨ ⎪dx = dv ⇒ v = ∫ dx = x ⎩

b) lim

sen (4 x ) sen (5 x )

(x − x )

2 2

x →0

=

sen (4.0) sen (5.0)

(0 − 0 )

2 2

=

0 Aplicando L ' Hopital = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = 0

4 cos (4 x ) sen (5 x ) + 5 cos (5 x ) sen (4 x ) 4 cos (4.0 ) sen (5.0 ) + 5 cos (5.0) sen (4.0) = = x →0 2 x − x 2 ⋅ (1 − 2 x ) 2 0 − 0 2 ⋅ (1 − 2.0) 4.1.0 + 5.1.0 0 Aplicando L ' Hopital = == = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = 2.0.1 0 − 16sen (4 x ) sen (5 x ) + 20 cos (4 x ) cos (5 x ) − 25sen (5 x ) sen (4 x ) + 20 cos (5 x ) cos (4 x ) = lim = 2 x →0 2 ⋅ (1 − 2 x ) − 2 x − x 2 − 41sen (4 x ) sen (5 x ) + 40 cos (4 x ) cos (5 x ) − 41sen (4.0 ) sen (5.0 ) + 40 cos (4.0) cos (5.0 ) = lim = = 2 2 x →0 2 ⋅ (1 − 2 x ) − 2 x − x 2 2 ⋅ (1 − 2.0) − 2 0 − 0 2 − 41.0.0 + 40.1.1 40 = = = 20 2 2 2 ⋅ (1 − 0) − 2.0 = lim

(

)

(

[

[

[

(

)]

(

)

)]

[

(

)]

]

9




⎧x + 2 y = 7 y el punto P(1 , 2 , 3) ⎩ y + 2z = 4 a) Calcular la ecuación del plano π que es perpendicular a la recta r y contiene el punto P. B.4.- Se considera la recta r ≡ ⎨

⎧⎛ ⎩⎝

b) Estudiar para que valores de k los vectores ⎨⎜1 , − 2 , −

⎫ 1⎞ ⎟ , (0 , k , 0) , (0 , 0 , 2k )⎬ son 2⎠ ⎭

linealmente independientes

a) El vector director de la recta es el del plano pedido que es perpendicular al vector formado por el punto P y el genérico G del plano, por lo tanto su producto escalar (que es la ecuación pedida es nulo)

⎧ x = −1 + 4λ ⎪ y = 4 − 2 z ⇒ x + 2(4 − 2 z ) = 7 ⇒ x − 4 z = −1 ⇒ x = −1 + 4 z ⇒ r ≡ ⎨ y = 4 − 2λ ⇒ ⎪ z=λ ⎩ ⎧⎪ v r = (4 , − 2 , 1) ⇒ v r ⊥ PG ⇒ v r .PG = 0 ⇒ ⎨ ⎪⎩ PG = ( x , y , z ) − (1 , 2 , 3) = ( x − 1 , y − 2 , z − 3) (4 , − 2 , 1) ⋅ (x − 1 , y − 2 , z − 3) = 0 ⇒ 4(x − 1) − 2( y − 2) + z − 3 = 0 ⇒ π ≡ 4 x − 2 y + z − 3 = 0

b) Son independientes siempre que no sean coplanarios, por lo tanto cuando el determinante que forman sea distinto de cero

1 2 0 = 2k 2 ⇒ Si A = 0 ⇒ 2k 2 = 0 ⇒ k = 0 ⇒ 2k

1 −2 − A=0 0

k 0

Linealmente independientes ⇒ ∀k ∈ ℜ − {0} Aunque para k = 0 nos da dos vectores nulos lo que anularía el estudio, por lo tanto para

∀k ∈ ℜ

10


Soluciones Modelo 2006-07


MODELO 2006-2007 OPCIÓN A

x− y =0 y el punto P(1 , 1 , 1).Dado el punto O(0 , 0 , 0) ⎩ x + 2 y + 3z = 0 ⎧

1.-Se considera la recta r : ⎨

de r, hallar todos los puntos A contenidos en r tales que el triángulo de vértices A, P y O tengan área 1

⎧ x=λ ⎧⎪ x=y ⎧ OP = (1 , 1 , 1) − (0 , 0 , 0 ) = (1 , 1 , 1) ⎪ r:⎨ ⇒ r:⎨ y = λ ⇒ ⎨ ⎪⎩OA = (λ , λ , − λ ) − (0 , 0 , 0 ) = (λ , λ , − λ ) ⎩ y + 2 y + 3 z = 0 ⇒ 3 z = −3 y ⇒ z = − y ⎪ z = −λ ⎩ i 1 A = ⋅ OP × OA ⇒ OP × OA = 1 2

j 1

λ λ

OP × OA =

(− 2λ )2 + (2λ )2

k 1 = −λ i + λ j + λ k − λ k − λ i + λ j = −2λ i + 2λ j ⇒ −λ

= 4λ2 + 4λ2 = 8λ2 = 2 2λ ⇒ 1 =

⎧ 2 ⎪ x= 2 ⎪ ⎛ 2 2 2 2⎞ ⎪ ⎟ , ,− A⎨ y = ⇒ A⎜⎜ ⎟ 2 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎪ ⎪z = − 2 ⎪ 2 ⎩

1 1 2 ⋅ 2 2λ ⇒ λ = = ⇒ 2 2 2




2.-

⎧ x = 1+ λ ⎪ a) Calcular la ecuación general del plano p1 que contiene a la recta r : ⎨ y = −1 + 2λ y es ⎪ z=λ ⎩ perpendicular al plano p2 : 2x + y - z =2 b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos p1 y p2 a) Del plano p1 pedido se conocen los vectores directores, uno el del plano perpendicular a él p2 y el de la recta r que esta contenida en él, asimismo se conoce un punto de la recta A(1 , -1 , 0) que con el punto genérico del plano (x , y , z) determinan los tres vectores coplanarios cuyo determinante es nulo.

⎧ vπ 2 = (2 , 1 , − 1) x −1 y +1 z ⎪⎪ 1 v r = (1 , 2 , 1) ⇒ π1 ≡ 2 −1 = 0 ⇒ ⎨ ⎪ AG = (x , y , z ) − (1 , − 1 , 0) = ( x − 1 , y + 1 , z ) 1 2 1 ⎪⎩ (x − 1) − ( y − 1) + 4 z − z + 2(x − 1) − 2( y − 1) = 0 ⇒ 3(x − 1) − 3( y − 1) + 3z = 0 ⇒ 3x − 3 y + 3z = 0 ⇒ π1 ≡ x − y + z = 0 b) 2 ⎧ ⎪ x=3 ⎪⎪ ⎧2 x + y − z = 2 2 2 2 2 ⇒ 3x = 2 ⇒ x = ⇒ − y + z = 0 ⇒ y = + z ⇒ s : ⎨ y = + λ s:⎨ 3 3 3 3 ⎩ x− y+z =0 ⎪ = z λ ⎪ ⎪⎩




⎧ x + ky + k 2 z = 1 ⎪ 2 3.-Dado el sistema de ecuaciones ⎨ x + ky − kz = k ⎪− x + ky − k 2 z = k 2 ⎩ a) Discutirlo según los distintos valores de k b) (1 punto). Resolverlo para k = -1

a) 1

k

A= 1

k

−1 k

k2

− k = − k 2 + k 2 + k 3 + k 3 + k 2 + k 2 = 2k 3 + 2k 2 = 2k 2 (k + 1) ⇒ Si A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 −k

k =0 ⎧ Cuando A = 0 ⇒ 2k 2 (k + 1) = 0 ⇒ ⎨ ⎩k + 1 = 0 ⇒ k = −1 ∀k ∈ ℜ − {− 1 , 0} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado k = −1 ⇒

1

−1

−1 −1

= −2 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2

k = 0 ⇒ rang ( A) = 1

Por Gauss k = −1 ⎛ 1 − 1 1 1⎞ ⎛ 1 − 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 − 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 − 1 1 1⎟ ≡ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⇒ Sistema Compatible In det er min ado ⎜ − 1 − 1 − 1 1⎟ ⎜ 0 − 2 0 2 ⎟ ⎜ 0 − 1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k =0 ⎛ 1 0 0 1⎞ ⎛1 0 0 1 ⎞ ⎛1 0 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 0 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 0 − 1⎟ ≡ ⎜ 0 0 0 − 1⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⎜ −1 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 1 ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Por Rouche A / B = C1

C2

1 k B = 1 k −1 k

1 k 2 = k 3 − k 3 + k + k − k 3 − k 3 = 2k − 2k 3 = 2k (1 − k 2 ) k2

k =0 ⎧ ⎪ Si A / B = 0 ⇒ 2k (1 − k ) = 0 ⇒ ⎨1 − k 2 = 0 ⇒ k 2 = 1 ⇒ k = ± 1 ⇒ ⎧ k = 1 ⎨ ⎪⎩ ⎩k = −1 1 −1 1 1 = −2 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 = −1 ⇒ rang ( A / B ) = 2 k = −1 ⇒ k =0⇒ −1 −1 1 0 2

k =1⇒

1 1 = 2 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 −1 1

∀k ∈ −{− 1 , 0 , 1} ⇒ rang ( A / B ) = 3




Continuación el problema 3.Opc A

a )Continuación Por Rouche. − Continuación A / B = C1

1 k2 B = 1 −k −1 − k 2

C3

(

1 k 2 = −k 3 − k 4 − k 2 − k + k 4 − k 4 = −k 4 − k 3 − k 2 − k ⇒ k2

)

(

)

A / B = −k k 3 + k 2 + k + 1 = −k (k + 1) k 2 + 1 1 −1

1 1 1 −1 0 −1

1

0 1

0

k =0 ⎧ ⎪ Si A / B = 0 ⇒ −k (k + 1) k + 1 = 0 ⇒ ⎨ k + 1 = 0 ⇒ k = −1 2 ⎪k + 1 = 0 ⇒ k 2 = −1 ⇒ k = ± − 1 ⇒ ∀k ∉ ℜ ⎩ 1 1 1 1 k = −1 ⇒ = 2 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 k =0⇒ = −1 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 1 0 −1 1

(

)

2

∀k ∈ −{− 1 , 0} ⇒ rang ( A / B ) = 3 k A / B = C2

B = k k

C3

(

)

k2 −k −k2

1 k 2 = −k 4 + k 5 − k 3 + k 2 + k 5 − k 5 = k 5 − k 4 − k 3 + k 2 k2

(

)

A / B = k 3 − k 2 − k + 1 k 2 = k 2 (k − 1) k 2 − 1 = k 2 (k − 1)(k − 1)(k + 1) = k 2 (k − 1) (k + 1) 2

1 −1 −1 1 1 1 0 −1 1

0 −1

0

k =0 ⎧ ⎪ Si A / B = 0 ⇒ k (k − 1) (k + 1) = 0 ⇒ ⎨k + 1 = 0 ⇒ k = −1 ⎪ k −1 = 0 ⇒ k = 1 ⎩ 2

k = −1 ⇒ k =1⇒

1

−1

1

−1 −1 1

1 −1

2

= 2 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2

= −2 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2

k = 0 ⇒ rang ( A / B ) = 1 ∀k ∈ −{− 1 , 0 , 1} ⇒ rang ( A / B ) = 3

Cuando k = −1 ⇒ rang ( A / B ) = rang ( A) = 2 < Número de incognitas ⇒ Comp. In det er min ado Cuando k = 0 ⇒ rang ( A / B ) = 2 = rang ( A) = 1 ⇒ Sistema. Incompatible




Continuación el problema 3.Opc. A

b) Por Gauss k = −1 ⎛1 −1 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⇒ − y = 1 ⇒ y = −1 ⇒ x + 1 + z = 1 ⇒ x = − z ⇒ Solución(− λ , − 1 , λ ) ⎜0 −1 0 1⎟ ⎝ ⎠ Por Rouche k = −1 ⎧ x − y + z =1 ⇒ −2 y = 2 ⇒ y = −1 ⇒ x + 1 + z = 1 ⇒ x = − z ⇒ Solución(− λ , − 1 , λ ) ⎨ ⎩− x − y − z = 1



4.-a) Si f es una función continua, obtener F’(x) siendo: F ( x ) =


∫ [ f (t ) + t x

2

]

+ t dt

0

[

]

b) Si f(1) = 1, hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) en el punto 1 , F (1)

a) F ' ( x ) = f ( x ) − f (0 ) + x 2 + x b)




OPCIÓN B 1. Dada la función

f ( x ) = 6 x 2 − x 3 ,se pide:

[

]

a) Hallar un valor a > 0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto a , f (a ) sea paralela a la recta y = -1’5 x b) Hallar el área de la región acotada limitada por la gráfica de f y la parte positiva del eje OX

a) f ' (x ) = 12 x − 3 x 2 ⇒ f ' (x ) = −1'5 ⇒ 12 x − 3x 2 = −1'5 ⇒ 30 x 2 − 120 x − 15 = 0 ⇒ 2 x 2 − 8 x − 1 = 0 Δ = 64 + 8 = 72 ⇒ x1, 2 =

8 ± 72 8 ± 6 2 3 2 3 2 = = 2± ⇒ como a > 0 ⇒ a = 2 + 4 4 2 2

⎛ 3 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 3 2 ⎞⎟ = + f ⎜⎜ 2 + 2 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝

(

2

⎡ ⎛ ⎛ ⎞ 3 2 ⎞⎟⎤ ⎛ 9.2 ⎞⎛⎜ 3 2 ⎞⎟ ⎜4 − 3 2 ⎟ = + + − = + 4 6 2 4 13 6 2 ⎜ ⎟ ⎢6 − ⎜⎜ 2 + ⎥ ⎜ 2 ⎟⎠⎥⎦ ⎝ 2 ⎠⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 ⎟⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎝

(

)

)

⎛ ⎛ ⎞ 3 2 ⎞⎟ ⎜ 4 − 3 2 ⎟ = 52 − 39 2 + 24 2 − 18.2 = 34 + 9 2 = + f ⎜⎜ 2 + 13 6 2 ⎜ 2 ⎟⎠ 2 ⎟⎠ 2 2 2 ⎝ ⎝ ⎛ 9 2 3 2 ⎞⎟ = −1'5⎜⎜ x − 2 − y − 34 − 2 2 ⎟⎠ ⎝ b) x=0 ⎧ ⇒ f (1) = 6.12 − 13 = 5 > 0 f (x ) = 0 ⇒ 6 x 2 − x 3 = 0 ⇒ x 2 (6 − x ) = 0 ⇒ ⎨ − = ⇒ = x x 6 0 6 ⎩

∫ (6 x 6

0

2

)

− x 3 dx =

[ ]

6 3 ⋅ x 3

6 0

−

[ ]

1 4 ⋅ x 4

6 0

(

)

= 2 ⋅ 63 − 03 −

(

)

1 4 1296 ⋅ 6 − 0 4 = 2.216 − = 512 − 324 = 188 u 2 4 4



⎛ x + 3⎞ 2.- Obtener el valor de k sabiendo que lim⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x ⎠


kx + 5

= e2 3 ⋅( kx + 5 ) x

⎤ ⎡ ⎞ ⎥ ⎢⎛⎜ 3 kx +15 lim 1 ⎟⎟ ⎥ ⎛ x 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎢⎜ x →∞ x = lim⎜1 + ⎟ = lim ⎢ 1 + lim⎜ + ⎟ =e = e2 ⇒ ⎥ x →∞ x x →∞ x →∞ ⎜ x x x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎜ ⎟ ⎥ 3⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ⎦ 3kx 15 15 3k + + 3kx + 15 3kx + 15 ∞ x = lim x = 3k + 15 = 3k + 0 = 3k ⇒ = 2 ⇒ lim = = lim x lim x →∞ x →∞ x →∞ x 1 x x ∞ x →∞ ∞ x 2 3k = 2 ⇒ k = 3 kx + 5

kx + 5

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 = lim⎜1 + ⎟ x →∞⎜ x⎟ ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝

kx + 5

x 3



3.-Se considera el punto P(1 , 0 , 1), la recta

r:


x −1 y z +1 = = y el plano 1 2 −1

p: x + y + z = 0 . Se pide: a) Obtener el punto P’, simétrico de P respecto del plano p b) Determinar la ecuación de la recta s que contiene al punto P, corta a la recta r y es paralela al plano p.


Solución Junio 2007-08


JUNIO 2007- 08 OPCIÓN A

⎧ x − ay = 2 , se pide ⎩ax − y = a + 1

1.A.- Dado el sistema de ecuaciones lineales : ⎨

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea única b) Determinar para que valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2

a) A=

1 −a ⎧ a =1 = −1 + a 2 ⇒ Si A = 0 ⇒ a 2 − 1 = 0 ⇒ a 2 = 1 ⇒ a = ± 1 ⇒ ⎨ a −1 ⎩a = −1

∀a ∈ ℜ − {− 1 , 1} ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado Solución en función de a

x=

y=

2 −a a +1 −1 a2 −1 1 2 a a +1

=

a −1 Cuando a = −1 2

=

− 2 + a(a + 1) a 2 + a − 2 = a2 −1 a2 −1

1− a 1 a + 1 − 2a a −1 = =− =− 2 (a − 1)(a + 1) (a − 1)(a + 1) a + 1 a −1

⎛1 1 2⎞ ⎛1 1 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 1 − 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 2 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Cuando a = 1 ⎛1 − 1 2 ⎞ ⎛ 1 − 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 − 1 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⇒ Sistema Compatible In det er min ado ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x − y = 2 ⇒ x = y + 2 ⇒ Solución(λ + 2 , λ ) b) Caundo a = 1 ⇒ y = λ = 2 ⇒ Solución(2 + 2 , 2 ) ⇒ Solución(4 , 2 ) 2

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ 9 3 5 ⎜− ⎟ + ⎜− ⎟ − 2 − −2 − 1 3 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ 2=− ⇒ 2a + 2 = −1 ⇒ 2a = −3 ⇒ a = − ⇒ x = ⎝ = 4 2 = 4 = −1 2 9 5 2 a +1 ⎛ 3⎞ −1 ⎜− ⎟ −1 4 4 ⎝ 2⎠

1



⎧ x − ay = 2 ⎩ ay + z = 1

2.A.- Dada las rectas: r ≡ ⎨


⎧x − z =1 y r≡⎨ , se pide ⎩y + z = 3

a) Discutir la posición relativa de las dos rectas r, s según los valores del parámetro a b) Si a = 1, calcular la distancia mínima entre las dos rectas r, s

a) ⎧ ⎧ x = 2 + aλ ⎪ ⎪ ⎪r : ⎨ y = λ 1 ⎧a = ⇒ a = −1 ⎪⎪ ⎪⎩ z = 1 − aλ ⎪ −a 1 a −1 1 ⇒ ⇒ = = ⇒ ⇒ No pueden ser paralelas r s ⎨1 ⎨ −a = + 1 μ x ⎧ − 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ = ⇒ a =1 1 ⎩−1 ⎪ s : ⎨y = 3 − μ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ z = μ Se cortaran ⎧2 + aλ = 1 + μ ⎧aλ − μ = −1 ⎧aλ − μ = −1 ⎪ ⎪ ⇒ 2 μ = 2 ⇒ μ = 1 ⇒ λ = −2 ⇒ −2a + 1 = 1 ⇒ a = 0 ⎨ λ = 3− μ ⇒ ⎨ λ + μ = 3 ⇒ ⎨ + = λ μ 1 a ⎩ ⎪ 1 − aλ = μ ⎪ aλ + μ = 1 ⎩ ⎩ ⎧ x = 2 + 0.1 = 2 ⎪ ⇒ P(2 , 0 , 1) Punto de corte ⇒ P ⎨ y =1 ⎪ z = 1 − 0.1 ⎩ ∀a ∈ ℜ − {0} ⇒ las rectas r y s se cruzan b) ⎧ ⎧x = 2 + λ ⎪ ⎪ ⎪ r : ⎨ y = λ ⇒ v r = (2 , 0 , 1) ⎪⎪ ⎪⎩ z = 1 − λ ⇒ v rs = (2 + λ − 1 − μ , λ − 3 + μ , 1 − λ − μ ) ⎨ ⎪ ⎧⎪ x = 1 + μ ⎪s : ⎨ y = 3 − μ ⇒ v s = (1 , − 1 , 1) ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ z = μ v rs = (λ − μ + 1 , λ + μ − 3 , − λ − μ + 1) ⇒ ⎧⎪v rs ⊥ v r ⇒ v rs .v r = 0 ⎧ (λ − μ + 1 , λ + μ − 3 , − λ − μ + 1) ⋅ (2 , 0 , 1) = 0 ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎪⎩v rs ⊥ v s ⇒ v rs .v s = 0 ⎩(λ − μ + 1 , λ + μ − 3 , − λ − μ + 1) ⋅ (1 , − 1 , 1) = 0 2λ − 2μ + 2 − λ − μ + 1 = 0 ⎧ ⎧ λ − 3μ + 3 = 0 8 4 ⇒⎨ ⇒ −6 μ + 8 = 0 ⇒ μ = = ⇒ ⎨ 6 3 ⎩λ − μ + 1 − λ − μ + 3 − λ − μ + 1 = 0 ⎩− λ − 3μ + 5 = 0 4 3

λ − 3⋅ + 3 = 0 ⇒ λ −1 = 0 ⇒ λ = 1

2




Continuación Problema 2.A.-

b)Continuación ⎧ ⎧x = 2 + 1 = 3 ⎪ ⎪ ⇒ A(3 , 1 , 0) y =1 ⎪ A⎨ ⎪ ⎪⎩ z = 1 − 1 = 0 ⎪ 2 2 2 4⎞ 7⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ ⎪ ⎧x = 1+ 4 = 7 ⎛ 1 0 3 d d ⇒ = = − + − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ ⎪ rs AB 3 3 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎪ ⎪⎪ 4 5 7 5 4 ⎪ B ⎨ y = 3 − = ⇒ B⎛⎜ , , ⎞⎟ 3 3 ⎪ ⎪ ⎝3 3 3⎠ 4 ⎪ ⎪ z= ⎪ ⎪⎩ 3 ⎩ 2

2

2

⎛2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ d AB = ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ = ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

4 + 4 + 16 24 2 6 = = u 9 3 3

3




3.A Estudiar los siguientes límites:

(

a ) (1 punto ) lim e x − x 2 x→∞

)

4x + 5x x →∞ 3 x + 6 x

b) (1 punto ) lim

a)

) = ∞ − ∞ = lim (e

)(

)

− x2 ex + x2 e2x − x 4 ∞ Aplicando L ' Hopital = lim x = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim e − x x 2 2 x →∞ x →∞ x → ∞ ∞ e +x e +x 2e 2 x − 4 x 3 ∞ 4e 2 x − 12 x 2 ∞ Aplicando L ' Hopital Aplicando L ' Hopital = lim x = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = x x→∞ e + 2 x x →∞ ∞ ∞ + 2 e 8.e 2 x − 24 x ∞ 16.e 2 x − 24 ∞ Aplicando L ' Hopital Aplicando L ' Hopital = lim = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = x x x→∞ x → ∞ ∞ ∞ e e 32.e 2 x = lim = lim 32.e x = ∞ x x →∞ x →∞ e b)

(

x

2

x

x

x

⎛ 4⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ x x ∞ 4 +5 6 6 = = lim ⎝ ⎠ x ⎝ ⎠ x lim x x x →∞ 3 + 6 ∞ x →∞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝6⎠

=

⎞ ⎛ ⎧⎛ 2 ⎞ x ⎟ ⎜ → 0 ⎜ ⎟ ⎪ ⎟ ⎜ x x ⎪⎝ 3 ⎠ ⎛2⎞ ⎛5⎞ x ⎟ ⎜ ⎪⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ 3 6 ⎪ → 0⎟ = lim ⎝ ⎠ x ⎝ ⎠ = ⎜ Sabiendo que cuando x → ∞ ⎨⎜⎝ 6 ⎟⎠ ⎟= x →∞ ⎛1⎞ x ⎪ x ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ +1 ⎛1⎞ ⎪ ⎟ ⎜ 0 → ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎪⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎜ ⎜ ⎪ 1x → e ⎟ ⎩ ⎠ ⎝

0+0 0 = =0 0+e e

4




4.A.- Obtener los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función:

f ( x ) = x[ln ( x )] , siendo ln (x) el logaritmo neperiano de x 2

1 ⎧ 2 f ' ( x ) = [ln ( x )] + 2 ln ( x ) ⋅ ⋅ x = [ln ( x ) + 2]ln ( x ) ⎪ x ⇒ ⎨ 1 1 1 2 ⎪ f ' ' (x ) = ⋅ ln ( x ) + ⋅ [ln ( x ) + 2] = ⋅ [ln (x ) + ln ( x ) + 2] = ⋅ [ln (x ) + 1] x x x x ⎩ Máximos o mínimos relativos 2 ⎧ ln ( x ) = 0 ⇒ x = e 0 = 1 ⇒ f (1) = 1[ln (1)] = 0 f ' ( x ) = 0 ⇒ [ln ( x ) + 2]ln (x ) = 0 ⇒ ⎨ −2 −2 −2 −2 2 ⎩ln ( x ) + 2 = 0 ⇒ ln ( x ) = −2 ⇒ x = e ⇒ f e = e ln e 2 ⎧ ( ) ' ' 1 = ⋅ [ln (1) + 1] = 2 ⋅ (0 + 1) = 2 > 0 ⇒ Mínimo relativo en (1 , 0) f ⎪ 1 ⇒ ⎨ 2 ⎪ f ' ' e − 2 = − 2 ⋅ ln e − 2 + 1 = 2e 2 ⋅ [− 2 ln (e ) + 1] = 2e 2 ⋅ [− 2.1 + 1] = −2e 2 < 0 ⇒ Mínimo relativo e ⎩ 1 1 1 4 x = e − 2 = 2 ⇒ f e − 2 = 2 ⋅ ln e − 4 = 2 ⋅ (− 4) ln (e ) = − 2 ⇒ Mínimo relativo e e e e

[ ( )]

( )

( )

[ ( ) ] ( )

( )

Puntos de inf lexión 2 1 f ' ' (x ) = 0 ⇒ ⋅ [ln ( x ) + 1] = 0 ⇒ ln ( x ) + 1 = 0 ⇒ ln ( x ) = −1 ⇒ x = e −1 = ⇒ f e −1 = e −1 ln e −1 x e 1 2 2⎞ ⎛1 f e −1 = e −1 ln e − 2 = ⋅ (− 2) ⋅ ln (e ) = − ⇒ Punto de inf lexión⎜ , − ⎟ e e e⎠ ⎝e

[ ( )]

( )

( )

( )

5

2




OPCIÓN B

⎛1 1 1 ⎜ ⎜−1 9 1 1.B.- Dada la siguiente matriz de orden n: An = ⎜ − 1 − 1 9 ⎜ . . ⎜ . ⎜−1 −1 −1 ⎝

… 1 … 1 … 1 … . … −1

1⎞ ⎟ 1⎟ 1 ⎟ , se pide: ⎟ .⎟ 9 ⎟⎠

a) Calcular el determinante de la matriz A2 b) Calcular el determinante de la matriz A3 c) Calcular el determinante de la matriz A5

a) A2 =

1 1 1 1 = = 10 − 1 9 0 10

b) 1 1 1 1 1 1 A3 = − 1 9 1 = 0 10 2 = 100 = 10 2 − 1 − 1 9 0 0 10 c) Pr evisblemente será 10 4 1 1 1 1 −1 9 1 1 A5 = − 1 − 1 9 1 −1 −1 −1 9 −1 −1 −1 −1

1 1 1 1 1 1 1 0 10 2 2 2 1 = 0 0 10 2 2 = 10000 = 10 4 1 0 0 0 10 2 9 0 0 0 0 10

An = 10 n −1

6




2.B.- a) Para cada valor de c > 0, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función

1 f ( x ) = cx 4 + ⋅ x 2 + 1 el eje OX y las rectas x = 0 y x = 1 c

b) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado a) es mínima.

a)

[ ]

[ ]

1 1 1 1 1 1 ⎛ ⎞ 1 A = ∫ ⎜ cx 4 + ⋅ x 2 + 1⎟ dx = ⋅ c ⋅ x 5 0 + ⋅ ⋅ x 3 0 + ⋅[x ]0 5 c c 3 ⎠ 0⎝ 1 1 1 1 A = ⋅ c ⋅ 15 − 0 5 + ⋅ 13 − 0 3 + (1 − 0) = ⋅ c + + 1 5 3c 5 3c b) 1

(

)

(

)

1 3c 2 − 5 5 dA 1 = − 2 = ⇒ A' = 0 ⇒ 3c 2 − 5 = 0 ⇒ 3c 2 = 5 ⇒ c 2 = ⇒ 2 3 dc 5 3c 15c 5 5 15 c=± ⇒ Como c > 0 ⇒ c = = 3 3 3 A' =

7




3.B.- Dado los puntos A(0 , 0 , 1), B(1 , 0 , - 1), C(0 , 1 , - 2) y D(1 , 2 , 0), se pide: a) Demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios b) Hallar la ecuación del plano p determinado por los puntos A, B y C c) Hallar la distancia del punto D al plano p a) Si fuesen coplanarios (estar en el mismo plano) el determinante formado por los vectores AB, AC y AD tendrá valor nulo, en caso contrario no lo son

⎧ AB = (1 , 0 , − 1) − (0 , 0 , 1) = (1 , 0 , − 2 ) 1 0 −2 ⎪ ⎨ AC = (0 , 1 , − 2 ) − (0 , 0 , 1) = (0 , 1 , − 3) ⇒ 0 1 − 3 = −1 + 2 + 6 = 7 ≠ 0 ⇒ No son coplanarios ⎪ AD = (1 , 2 , 0 ) − (0 , 0 , 1) = (1 , 2 , − 1) 1 2 −1 ⎩ b) ⎧ AB = (1 , 0 , − 2 ) x y ⎪ AC = (0 , 1 , − 3) ⇒π : 1 0 ⎨ ⎪ AG = ( x , y , z ) − (0 , 0 , 1) = ( x , y , z − 1) 0 1 ⎩ π : 2x + 3y + z − 1 = 0

z −1

− 2 = 0 ⇒ ( z − 1) + 2 x + 3 y = 0 ⇒ −3

c) d Dπ =

2.1 + 3.2 + 1.0 − 1 2 2 + 3 2 + 12

=

2 + 6 +1 14

=

8 14

=

8 14 4 14 = u 14 7

8


4.B.- Dado el plano


π ≡ 3x + 2 y − z + 10 = 0


y el punto P(1 , 2 , 3), se pide:

a) Hallar la ecuación de la recta r perpendicular al plano p que pasa por el punto P b) Hallar el punto Q intersección de p y r c) Hallar el punto R intersección de p con el eje OY d) Hallar el área del triángulo PQR a) La recta pedida r esta determinada por el punto P y como vector director el del plano p ya que al ser perpendicular a él es paralelo a ella.

⎧ x = 1 + 3λ ⎪ r ≡ ⎨ y = 2 + 2λ ⎪ z = 3−λ ⎩

b)

3.(1 + 3λ ) + 2.(2 + 2λ ) − (3 − λ ) + 10 = 0 ⇒ 3 + 9λ + 4 + 4λ − 3 + λ + 10 = 0 ⇒ 14λ + 14 = 0 ⇒ λ = −1 ⎧ x = 1 + 3.(− 1) = −2 ⎪ Q ⎨ y = 2 + 2.(− 1) = 0 ⇒ Q(− 2 , 0 , 4 ) ⎪ z = 3 − (− 1) = 4 ⎩ c) ⎧ x = 0 + 0μ = 0 ⎪ OY ≡ ⎨ y = 0 + μ = μ ⇒ 3.0 + 2.μ − 0 + 10 = 0 ⇒ 2.μ + 10 = 0 ⇒ μ = −5 ⎪ z = 0 + 0μ = 0 ⎩ ⎧ x=0 ⎪ R ⎨ y = −5 ⇒ R(0 , − 5 , 0 ) ⎪ z=0 ⎩ d) i j k 1 ⎪⎧ PQ = (− 2 , 0 , 4 ) − (1 , 2 , 3) = (− 3 , − 2 , 1) ⇒ PQ × PR = − 3 − 2 1 ⇒ A = ⋅ PQ × PR ⇒ ⎨ 2 ⎪⎩ PR = (0 , − 5 , 0 ) − (1 , 2 , 3) = (− 1 , − 7 , − 3) −1 − 7 − 3 PQ × PR = 6i − j + 21k − 2k + 7i − 9 j = 13i + 6 j + 19k ⇒ PQ × PR = 13 2 + 6 2 + 19 2 ⇒ A=

1 ⋅ 566 u 2 2

9

PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2008. Examen de junio. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales: x − ay = 2 ax − y = a + 1 se pide: a) (2 puntos) Discutir el sistema seg´ un los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea u ´ nica. b) (1 punto) Determinar para qué valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2.

a) Las matrices de coeficientes y ampliada son A|A∗ =

1 −a 2 a −1 a + 1

Estudiamos cuándo puede ser rg(A) = 2 resolviendo la ecuación det(A) = 0 −1 2 det(A) = −1 + a = 0 ⇒ a = 1 1 1 2 ∗ Si a = −1, las matrices quedan A|A = y rg(A) = 1 y rg(A∗ ) = 2, luego −1 −1 0 el sistema es incompatible. 1 −1 2 ∗ Si a = 1, las matrices quedan A|A = y rg(A) = 1 y rg(A∗ ) = 1, luego el 1 −1 2 sistema es no homogéneo, compatible e indeterminado.

Si a 6= −1 y a 6= 1 entonces det(A) 6= 0 y por tanto rg(A) = 2 y rg(A∗ ) = 2, con lo que el sistema es no homogéneo compatible determinado.

El sistema tiene solución u ´ nica cuando a 6= −1 y a 6= 1. En ese caso el sistema es de Cramer y se puede resolver mediante la regla de Cramer: 2 ∆x a2 + a − 2 (a + 2)(a − 1) a+2 −a 2 ∆x = = −2 + a + a ⇒ x = = = = 2 a + 1 −1 det(A) a −1 (a + 1)(a − 1) a−1 1 a−1 1 2 = a+1−2a = 1−a ⇒ y = ∆y = a − 1 = ∆y = = 2 a a+1 det(A) a −1 (a + 1)(a − 1) a−1  a+2   x =   a−1 La solución del sistema es   1   y= a−1

b) Si a = 1 el sistema es equivalente a {x − y = 2 , que tiene infinitas soluciones. x=4 Una de ellas es y=2 1 1 3 ⇒ = 2 ⇒ 1 = 2a − 2 ⇒ 2a = 3 ⇒ a = a−1 a−1 2 3 a=1ya= 2

Si a 6= −1 y a 6= 1, y = Solución


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2008. Examen de junio. Opción A. Ejercicio 2. Valor: 3 puntos.

Dadas las rectas r ≡

x − ay = 2 , ay + z = 1

s≡

x−z =1 , se pide: y+z =3

a) (1,5 puntos) Discutir la posición relativa de las dos rectas r, s seg´ un los valores del parámetro a. b) (1,5 puntos) Si a = 1, calcular la distancia m´ınima entre las dos rectas r, s.

a) Encontramos dos puntos de la recta r: x=2 y=0⇒ ⇒ Pr = (2, 0, 1) ∈ r z=1 x=a+2 y=1⇒ ⇒ Qr = (a + 2, 1, 1 − a) ∈ r z =1−a

A partir del vector que une dos puntos de r obtenemos el vector de dirección: −−−→ Pr Qr = (a, 1, −a) ⇒ ~vr = (a, 1, −a)

Encontramos dos puntos de la recta s: x=1 z=0⇒ ⇒ Ps = (1, 3, 0) ∈ s y=3 x=0 z = −1 ⇒ ⇒ Qs = (0, 4, −1) ∈ s y=4

A partir del vector que une dos puntos de s obtenemos el vector de dirección: −−−→ Ps Qs = (−1, 1, −1) ⇒ ~vs = (−1, 1, −1)

Para que los vectores ~vr y ~vs sean proporcionales debe ocurrir a 1 −a = = ⇒ −a = 1 = a → imposible. −1 1 −1 Como los vectores ~vr y ~vs nunca son proporcionales, las rectas se cortan o se cruzan. Para −−→ distinguir los dos casos, resolvemos la ecuación [Ps Pr , ~vr , ~vs ] = 0: 1 −3 1 −−→ 1 −a = −1 − 3a + a + 1 + a − 3a = −4a = 0 ⇒ a = 0 [Ps Pr , ~vr , ~vs ] = a −1 1 −1 Solución

Si a = 0, son secantes; si a 6= 0, se cruzan.

−−→ |[Ps Pr , ~vr , ~vs ]| b) Si a = 1, las rectas se cortan y por tanto d(r, s) = |~vr × ~vs | ~i ~j ~k ~vr × ~vs = 1 1 −1 = (0, 2, 2) −1 1 −1 −−→ | − 4 · 1| |[Pr Ps , ~vr , ~vs ]| 4 =√ = √ = 1.414 d(r, s) = |~vr × ~vs | 0 2 + 22 + 22 8

Solución

1.414 u


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2008. Examen de junio. Opción A. Ejercicio 3. Valor: 2 puntos. Estudiar los siguientes l´ımites: a) (1 punto). lim (ex − x2 ) x→+∞

4 x + 5x x→+∞ 3x + 6x

b) (1 punto). lim

x2 a) lim (e − x ) = lim e 1 − x = ∞, ya que x→∞ x→∞ e x

2

x

2x 2 x2 = lim x = lim x = 0 x x→∞ e x→∞ e x→∞ e lim

Solución

El l´ımite es ∞

4 x + 5x = lim b) lim x x→∞ 3 + 6x x→∞ Solución

4x 6x 3x 6x

+ +

5x 6x 6x 6x

El l´ımite es 0

= lim x→∞

x 4 x + 56 6 3 x +1 6

=

0+0 =0 0+1


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2008. Examen de junio. Opción A. Ejercicio 4. Valor: 2 puntos. Obtener los máximos y m´ınimos relativos, y los puntos de inflexión de la función: f (x) = x(ln(x))2 siendo ln(x) el logaritmo neperiano de x.

Resolvemos la ecuación f ′ (x) = 0 f (x) = x(ln(x))2 ⇒ f ′ (x) = (ln(x))2 + x2 ln(x)

1 = (ln(x))2 + 2 ln(x) x

f ′ (x) = 0 ⇒ (ln(x))2 + 2 ln(x) = 0 ⇒ ln(x)(ln(x) + 2) = 0 ⇒ ln(x) = 0 ⇒ x = 1 1 ⇒ −2 ⇒ x = ln(x) + 2 = 0 ⇒ x = e e−2 Usando f ′′ estudiamos las soluciones obtenidas: 1 1 2 f ′ (x) = (ln(x))2 + 2 ln(x) ⇒ f ′′ (x) = 2 ln(x) + 2 = (ln(x) + 1) x x x f ′′ (1) > 0 ⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = 1 f ′′ (e−2 ) < 0 ⇒ f tiene un máximo relativo en x = e−2 Resolvemos la ecuación f ′′ (x) = 0 f ′′ (x) = 0 ⇒

2 (ln(x) + 1) = 0 ⇒ ln(x) + 1 = 0 ⇒ x = e−1 x

Usando f ′′′ estudiamos la solución obtenida: f ′′ (x) =

2 2 2 1 (ln(x) + 1) ⇒ f ′′′ (x) = − 2 (ln(x) + 1) + · x x x x

f ′′′ (e−1 ) 6= 0 ⇒ f tiene un punto de inflexión en x = e−1 Solución f tiene un m´ınimo relativo en 1, un máximo relativo en e−2 y un punto de inflexión en e−1


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2008. Examen de junio. Opción B. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos. Dada la siguiente  1 −1  An =  −1  . −1

matriz de orden n: 1 1 9 1 −1 9 . . −1 −1

... 1 ... 1 ... 1 ... . . . . −1

se pide:

 1 1  1 , . 9

a) (0,5 puntos) Calcular el determinante de la matriz A2 . b) (0,5 puntos) Calcular el determinante de la matriz A3 . c) (2 puntos) Calcular el determinante de la matriz A5 .

1 1 = 9 + 1 = 10 a) det(A2 ) = −1 9 Solución

det(A2 ) = 10 1 1 1 1 1 1 b) det(A3 ) = −1 9 1 = 0 10 2 = 100 −1 −1 9 0 0 10 Solución

det(A3 ) = 100

1 1 1 1 −1 9 1 1 1 c) det(A5 ) = −1 −1 9 −1 −1 −1 9 −1 −1 −1 −1 Solución

det(A5 ) = 10000

1 1 1 1 1 1 1 0 10 2 2 2 1 = 0 0 10 2 2 = 10000 1 0 0 0 10 2 9 0 0 0 0 10


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2008. Examen de junio. Opción B. Ejercicio 2. Valor: 3 puntos.

a) (1,5 puntos) Para cada valor de c > 0, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función: 1 f (x) = cx4 + x2 + 1, c el eje OX y las rectas x = 0, x = 1. b) (1,5 puntos) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado a) es m´ınima.

a) Como f (x) no se anula en el intervalo [0,1], el área pedida es Z

1

f=

0

Solución

Z

1 0

R1 0

f:

1 c 5 1 3 c 1 1 2 4 +1 cx + x + 1 dx = x + x + x = + c 5 3c 5 3c 0

El área es

b) Llamamos A(c) =

c 1 + +1 5 3c

1 c + + 1 y resolvemos la ecuación A′ (c) = 0: 5 3c

r 1 1 1 1 5 A′ (c) = − 2 ; A′ (c) = 0 ⇒ − 2 = 0 ⇒ 5 = 3c2 ⇒ c = ± 5 3c 5 3c 3 Como el enunciado pide c > 0, solo estudiamos con A′′ la solución positiva: r ! r 2 5 5 ′′ ′′ A (c) = 3 ⇒ A > 0 ⇒ A tiene un m´ınimo en c = = 1.291 3c 3 3 Solución

c = 1.291


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2008. Examen de junio. Opción B. Ejercicio 3. Valor: 2 puntos. Dados los puntos A = (0, 0, 0), B = (1, 0, −1), C = (0, 1, −2) y D = (1, 2, 0), se pide: a) (0,5 puntos). Demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios. b) (1 punto). Hallar la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C. c) (0,5 puntos). Hallar la distancia del punto D al plano π.

−→ −→ −−→ a) Si el producto mixto [AB, AC, AD] es distinto de cero, los puntos no son coplanarios: 1 0 −1 −→ −→ −−→ [AB, AC, AD] = [(1, 0, −1), (0, 1, −2), (1, 2, 0)] = 0 1 −2 = 1 + 4 = 5 6= 0 1 2 0

b) El plano x 1 0

−→ −→ π pasa por el punto A y está generado por los vectores AB y AC. y z 0 −1 = x + 2y + z ⇒ π ≡ x + 2y + z = 0 1 −2

Solución

π ≡ x + 2y + z = 0

|1 + 2 · 2 + 0| 5 c) d(D, π) = √ = √ = 2.041 1+4+1 6 Solución

d(D, π) = 2.041 u


PAU Madrid. Matemáticas II. A˜ no 2008. Examen de junio. Opción B. Ejercicio 4. Valor: 2 puntos. Dados el plano π ≡ 3x + 2y − z + 10 = 0 y el punto P (1, 2, 3), se pide: a) (0,5 puntos). Hallar la ecuación de la recta r perpendicular al plano π que pasa por el punto P . b) (0,5 puntos). Hallar el punto Q intersección de π y r. c) (0,5 puntos). Hallar el punto R intersección de π con el eje OY. d) (0,5 puntos). Hallar el área del triángulo P QR.

a) El vector normal de π es el vector de dirección de la recta r. π ≡ 3x + 2y − z + 10 = 0 ⇒ ~nπ = (3, 2, −1) ⇒ ~vr = (3, 2, −1). Con el vector de dirección de la recta y el punto por el que pasa se obtienen las ecuaciones paramétricas.   x = 1 + 3λ y = 2 + 2λ Solución r ≡  z = 3−λ

b) Sustituimos las coordenadas de un punto de r en la ecuación de π para calcular el valor de λ que corresponde al punto Q: 3(1 + 3λ) + 2(2 + 2λ) − (3 − λ) + 10 = 0 ⇒ 14λ + 14 = 0 ⇒ λ = −1 Sustituimos en la ecuación de r el valor obtenido de λ: Q = (−2, 0, 4) Solución

Q = (−2, 0, 4)

c) Las ecuaciones impl´ıcitas del eje OY son

x=0 z=0

Para hallar el punto R resolvemos el sistema formado por las ecuaciones del eje OY y del plano π:    3x + 2y − z + 10 = 0  x=0 x=0 y = −5 ⇒ R = (0, −5, 0) ⇒   z=0 z=0 Solución

R = (0, −5, 0)

1 −→ −→ |RP × RQ| 2 ~i ~j ~k −→ −→ RP × RQ = 1 7 3 = (13, −10, 19) −2 5 4

d) El área pedida es

1 1p 2 A = |(13, −10, 19)| = 13 + (−10)2 + 192 = 12.55 2 2

Solución

A = 12.55 u2





ÁLGEBRA OPCIÓN A a) Sean A, B e I las matrices:

⎛1 0 0⎞ ⎛ 6 − 3 − 4⎞ ⎛0 1 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜1 1 0⎟ , B = ⎜ − 3 2 1 ⎟ , I = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜− 4 1 ⎜1 0 0⎟ 5 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ 2 Estudiar si existe algún valor de λ ∈ ℜ para el cual satisfaga ( A − λI ) = B

1 ⎛0 1 1⎞ ⎛λ 0 0 ⎞ ⎛− λ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A − λI = ⎜ 1 1 0 ⎟ − ⎜ 0 λ 0 ⎟ = ⎜ 1 1 − λ ⎜1 0 0⎟ ⎜ 0 0 λ ⎟ ⎜ 1 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

( A − λ I )2

1 ⎛− λ ⎜ = ⎜ 1 1− λ ⎜ 1 0 ⎝

1 ⎞ ⎛− λ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⋅⎜ 1 1− λ − λ ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0

1 ⎞ ⎟ 0 ⎟⇒ − λ ⎟⎠

1 ⎞ ⎛ λ2 + 2 1 − 2λ − 2λ ⎞ ⎛ 6 − 3 − 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 0 ⎟ = ⎜ 1 − 2λ 1 + (1 − λ ) 1 ⎟ = ⎜−3 2 1 ⎟ − λ ⎟⎠ ⎜⎝ − 2λ 1 1 + λ2 ⎟⎠ ⎜⎝ − 4 1 5 ⎟⎠

⎧ ⎧λ=2 λ2 + 2 = 6 ⇒ λ2 = 4 ⇒ λ = ± 4 ⇒ ⎨ ⎪ ⎩λ = −2 ⎪ 1 − 2 λ = − 3 ⇒ − 2 λ = − 4 ⇒ λ = 2 ⎪ ⎪⎪ − 2λ = −4 ⇒ λ = 2 ⇒λ =2 ⎨ ⎧ 1− λ = 1⇒ λ = 0 2 2 ⎪1 + (1 − λ ) = 2 ⇒ (1 − λ ) = 1 ⇒ 1 − λ = ± 1 ⇒ ⎨ ⎪ ⎩1 − λ = −1 ⇒ λ = 2 ⎪ ⎧λ=2 ⎪ 1 + λ2 = 5 ⇒ λ2 = 4 ⇒ λ = ± 4 ⇒ ⎨ ⎪⎩ ⎩λ = −2

x x y z b) Teniendo en cuenta que 1 0 2 = 1 , determinar el valor de y 1 1 2 z x 1 A = At = 4 4

y

z 1 = 4⋅ 0 2 4 12

x 1 4 1

y 0 1

1 4 4 0 4 1 12 2

z x y z 2 1 1 = 4 ⋅ ⋅ 1 0 2 = 4 ⋅ ⋅1 = 1 4 4 4 1 1 3 3

1




OPCIÓN B

⎧ x + 3 − az = 4 ⎪ − ax + y + az = 0 ⎪ a) Dado el sistema: ⎨ discutirlo según los valores de a, y resolverlo cuando ⎪− x + 2ay = a + 2 ⎪⎩ 2 x − y − 2 z = 0 sea compatible

1 3 −a A = −a 1 a = −3a + 2a 3 − a − 2a 2 = 2a 3 − 2a 2 − 4a = 2a(a 2 − a − 2) ⇒ − 1 2a 0 a=0 ⎧ ⎪ Si A = 0 ⇒ 2a a − a − 2 = 0 ⇒ ⎨a 2 − a − 2 = 0 ⇒ Δ = 1 + 8 = 9 > 0 ⇒ a = 1 ± 9 ⇒ ⎧a = −1 ⎨ ⎪⎩ 2 ⎩a=2 ⎧a = −1 ⎪ Si ⎨ a = 0 ⇒ rang ( A) = 2 ⇒ Puede llegar a ser rang ( A ampliado ) = 3 ⎪a=2 ⎩

(

2

)

Si a = 0 ⎛1 0 4 ⎞ ⎛1 3 0 4⎞ ⎛1 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 1 ⎜0 1 ≡ ≡ ⎜−1 0 0 6 ⎟ ⎜0 0 2⎟ ⎜ 0 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2 − 1 − 2 0 ⎟ ⎜ 0 − 7 − 2 − 8⎟ ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

3 0 4 ⎞ ⎟ 1 0 0 ⎟ ⇒ Sistema Incompatible 0 0 6 ⎟ ⎟ 0 − 2 − 8 ⎟⎠

Si a = −1 ⎛1 3 1 4⎞ ⎛ 1 3 1 4 ⎞ ⎛1 3 1 4 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 0⎟ ⎜ 0 − 2 − 2 − 4⎟ ⎜ 0 1 1 2 ⎟ ⎜0 ⎜1 ≡ ≡ ⎜−1 − 2 0 1⎟ ≡ ⎜0 1 1 5 ⎟ ⎜0 1 1 5 ⎟ ⎜0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2 − 1 − 2 0⎟ ⎜ 0 − 7 − 4 − 8 ⎟ ⎜ 0 − 7 − 4 − 8⎟ ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Si a = 2 ⎛ 1 3 − 2 4⎞ ⎛1 3 ⎜ ⎟ ⎜ 2 0⎟ ⎜0 7 ⎜− 2 1 ≡ ⎜ −1 4 0 4⎟ ⎜ 0 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2 −1 − 2 0⎟ ⎜0 − 7 ⎝ ⎠ ⎝ 8 + 2z ⇒ 7 y − 2z = 8 ⇒ y = 7

x=

3 1 0 0

1 4⎞ ⎟ 1 2⎟ ⇒ Sistema Incompatible 0 3⎟ ⎟ 3 6 ⎟⎠

− 2 4 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ − 2 8 ⎟ ⎜0 ≡ − 2 8 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 2 − 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

3 − 2 4⎞ ⎟ 7 − 2 8⎟ ⇒ Sistema Compatible In det er min ado 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟⎠ 14 z − 6 z − 24 ⎛ 8 + 2z ⎞ x + 3⋅⎜ ⎟ − 2z = 4 ⇒ x = 4 + 7 ⎝ 7 ⎠

8 z − 24 + 28 8z + 4 ⎛ 8λ + 4 2λ + 8 ⎞ ⇒x= ⇒ Solución⎜ , , λ⎟ 7 7 7 ⎝ 7 ⎠

2




GEOMETRÍA OPCIÓN A

x −1 y + 5 z + 3 = = y el plano π ≡ 2 x + 4 y + 4 z = 5 2 4 −5 a) Estudiar la posición relativa de r y π b) Calcular la ecuación implícita de un plano π 1 que es perpendicular a π y contiene a r

Considerar la recta

r≡

a)Si son paralelos el producto escalar de los vectores directores del plano y la recta será nulo (ya que son perpendiculares),en caso contrario, se cortaran. Si diese nulo el producto estudiaríamos si el punto de la recta pertenece al plano porque, en este caso, la recta pertenece al plano.

⎧⎪ v r = (2 , − 5 , 4) ⇒ v r .v s = (2 , − 5 , 4) ⋅ (1 , 1 , 2) = 2 − 5 + 8 = 5 ≠ 0 ⎨ ⎪⎩v s = (2 , 2 , 4) ≡ (1 , 1 , 2) Los vectores directores no son perpendiculares, por ello, la recta cortara en un punto al plano

b)Al ser, el plano buscado, perpendicular al dado el vector director, de este, será vector del pedido, además lo serán el vector director de la recta r y el vector formado por un punto de la recta R(1 , -5 , -3) y el punto generador o genérico G(x , y , z) del plano

⎧ v r = (2 , − 5 , 4 ) x −1 y + 5 z + 3 ⎪ v s = (1 , 1 , 2 ) ⇒ π1 ≡ 2 −5 4 =0 ⎨ ⎪ RG = ( x , y , z ) − (1 , − 5 , − 3) = ( x − 1 , y + 5 , z + 3) 1 1 2 ⎩ − 10( x − 1) + 4( y + 5) + 2( z + 3) + 5( z + 3) − 4( x − 1) − 4( y + 5) = 0 ⇒ −14.( x − 1) + 7.( z + 3) = 0 ⇒ − 14 x + 7 z + 35 = 0 ⇒ π 1 ≡ 2 x − z − 5 = 0

3




OPCIÓN B a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano π ≡ x + y + z = 3 . Obtener el punto de corte de la recta con el plano π

⎧ x=λ ⎪ b)Hallar el punto de la recta r ≡ ⎨ y = 3 − λ cuya distancia al punto P(1, 0 , 2) sea ⎪ z = 1 + 2λ ⎩

5

a)El vector director de la recta s es el del plano y además pasa por el origen por lo tanto la recta está definida

⎧x = 0 + μ = μ ⎧x = 1 ⎪ ⎪ v r = vπ = (1 , 1 , 1) ⇒ s ≡ ⎨ y = 0 + μ = μ ⇒ μ + μ + μ = 3 ⇒ 3μ = 3 ⇒ μ = 1 ⇒ Q ⎨ y = 1 ⇒ Q(1 , 1 , 1) ⎪z = 0 + μ = μ ⎪z = 1 ⎩ ⎩ b)

(λ − 1)2 + (3 − λ − 0)2 + (1 + 2λ − 2)2

= ±5 ⇒ (λ − 1) + (3 − λ ) + (2λ − 1) = 5 2

2

2

λ2 − 2λ + 1 + 9 − 6λ + λ2 + 4λ2 − 4λ + 1 − 5 = 0 ⇒ 6λ2 − 12λ + 6 = 0 ⇒ λ2 − 2λ + 1 = 0 ⇒ Δ = 4 − 4 = 0 ⇒ 2 λ = =1⇒ 2

x =1 ⎧ ⎪ A⎨ y = 3 − 1 = 2 ⇒ A(1 , 2 , 3) ⎪ z = 1 + 2.1 = 3 ⎩

4




ANÁLISIS OPCIÓN A

f :ℜ → ℜ

1.-Sea

x → log x

1+ x 1− x

a)Calcular el dominio de f(x) b) Estudiar si f(x) es una función par c)Calcular las asíntotas de f(x)

a)

⎛1+ x ⎞ ⎛1+ 0 ⎞ log ⎜ log ⎜ ⎟ ⎟ 1 1− x ⎠ 1 − 0 ⎠ log 1 0 ⎛1+ x ⎞ ⎝ ⎝ ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = = = ⇒ Disc. evitable f ( x ) = ⋅ log ⎜ ⎟= 0 0 0 x x ⎝1− x ⎠ 1 1 − x − (− 1)(1 + x ) ⋅ log e ⋅ ⎛1+ x ⎞ 1+ x (1 − x )2 log ⎜ ⎟ ⎝ 1 − x ⎠ = 0 = ⎯⎯ Aplicando L ' Hopital ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim 1 − x = f (0) = lim x →0 x →0 0 1 x 1− x +1+ x 2 2 log e 2 log e = lim log e ⋅ ⋅ (1 − x ) = lim log e ⋅ =⋅ = = 2 log e 2 x →0 x →0 (1 + x ) ⋅ (1 − x ) (1 + 0) ⋅ (1 − 0) 1 (1 + x ) ⋅ (1 − x ) ⎧1 + x > 0 ⇒ x > −1 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > −1 1+ x ⎛1+ x ⎞ log ⎜ >0⇒⎨ ⎟>0⇒ 1− x ⎝1− x ⎠ ⎩ 1 − x > 0 ⇒ x > 1 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 1

−∞ x > -1 x<1

-1 (-) (+) (-) <0

∞

1 (+) (+) (+) >0

(+) (-) (-) <0

⎧ 1+ x ⎪log x si (− 1 < x < 1) − {0} ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ / − 1 < x < 1 b) f (x ) = ⎨ 1− x ⎪⎩ 2. log e si x = 0 Cambiaremos x por –x, si se f(x) = f(- x) entonces la función es par

f (− x ) = log − x

1+ x 1− x 1 + (− x ) = f (x ) = log x = log − x 1− x 1+ x 1 − (− x )

Es una función par, por lo tanto simétrica respecto a OY c) Hemos estudiado en a) si había asíntota vertical y es un punto de discontinuidad evitable, asimismo no habrá asíntotas horizontales ni oblicuas ya que no hay límite en el infinito positivo y negativo.

5




OPCIÓN A (Continuación) x

2.- a) Dada F ( x ) = t sen t dt , estudiar si x = π es una raíz de F ' ( x )

∫ 0

αn 3 +1

b) Calcular el valor de

α ∈ℜ

⎛ n − 2n + 1 ⎞ n 2 −1 ⎟ lim⎜⎜ 2 =1 n→∞ n + n − 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2

para el cual

a)

F ' ( x ) = x sen x ⇒ F ' (π ) = π sen π = π .0 = 0 ⇒ Es raíz de F ' ( x )

Justificación x

x

x

F ( x ) = ∫ t sen t dt = −[t cos t ]0 − ∫ (− cos t ) dt = −( x cos x − 0 cos 0) + ∫ cos t dt = − ( x cos x − 0.1) + [sen t ]0 x

0

x

0

0

t = u ⇒ dt = du ⎧⎪ Por partes ⎨ ⎪⎩sen t dt = dv ⇒ v = ∫ sen t dt = − cos t F ( x ) = − x cos x + (sen x − sen 0 ) = − x cos x + (sen x − 0) = − x cos x + sen x F ' ( x ) = − (cos x − xsen x ) + cos x = − cos x + xsen x + + cos x = xsen x

b) αn 3 +1

αn 3 +1

αn 3 +1

⎛ n + n − 2 + 3 − 3n ⎞ n 2 −1 ⎛ n + n − 2 − 2n + 1 + 2 − n ⎞ n −1 ⎟⎟ ⎟ ⎜ = = = 1∞ = lim⎜⎜ lim ⎟ n →∞ n →∞⎜ n2 + n − 2 n2 + n − 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ n 2 + n − 2 ⎛⎜ αn 3 +1 3−3 n ⎞⎟ ⎤ αn 3 +1 ⎡ ⋅ ⋅ 2 ⎛ ⎞ n −1 ⎢ ⎛ ⎞ 3−3n ⎜⎝ n 2 −1 n 2 + n − 2 ⎟⎠ ⎥ αn 3 +1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎢ ⎜ ⎥ 1 1 3 − 3n ⎞ n 2 −1 ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = lim 1 + 2 = lim⎜1 + 2 = ⎢lim 1 + 2 ⎟ ⎥= n →∞⎜ n →∞⎜ n →∞ n +n−2⎟ n +n−2⎟ ⎝ n + n−2⎠ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ 3 − 3n ⎠ 3 − 3n ⎠ ⎝ ⎝ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎛ n − 2n + 1 ⎞ n ⎟ lim⎜⎜ 2 n→∞ n + n − 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2

2

−1

2

2

2

⎛ αn 3 +1 3−3 n ⎞ ⎟ lim ⎜ 2 ⋅ 2 ⎟ ⎝ n −1 n + n − 2 ⎠

⎛ αn 3 + 1 3 − 3n ⎞ 3αn 3 + 3 − 3αn 4 − 3n ⎟⎟ = 0 ⇒ lim 4 =0⇒ ⋅ 2 = 1 = e 0 ⇒ lim⎜⎜ 2 n →∞ n − 1 n →∞ n + n 3 − 2n 2 − n 2 − n + 2 n + n−2⎠ ⎝ 3α 3 3 − 3α + − 3+ 4 4 3 − 3αn + 3αn − 3n + 3 ∞ n n n = 0 ⇒ lim − 3α + 0 − 0 + 0 = 0 = = 0 ⇒ lim lim 4 n → ∞ n + n 3 − 3n 2 − n + 2 n → ∞ n →∞ 1 + 0 − 0 − 0 + 0 1 3 1 2 ∞ 1+ − 2 − 3 + 4 n n n n − 3α = 0 ⇒ α = 0

=e

n→∞ ⎜

6




OPCIÓN B

f :ℜ → ℜ

1.‐ .-Sean las funciones

g :ℜ → ℜ

x → x3

h:ℜ → ℜ x → sen ( x )

x→ x

a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de inflexión de f(x) b) Calcular la derivada de ( f D h ) ( x ) c) Obtener el área del recinto limitado por f y g entre x = 0 y x = 1

a) ⎧ 3 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ f ' ( x ) = 3x 2 ⇒ Crecimiento ⇒ f ' (x ) > 0 ⇒ 3x 2 > 0 ⇒ ⎨ 2 ⇒ Crecimiento ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎩ x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎧ 6 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ f ' ' (x ) = 6 x ⇒ Concavidad ⇒ f ' ' ( x ) > 0 ⇒ 6 x > 0 ⇒ ⎨ ⇒ ⎩ x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 0 ⎧Concavidad ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 0 ⇒ Punto de inf lexión ⇒ x = 0 ⇒ f (0 ) = 0 3 = 0 ⇒ (0 , 0) ⎨ Convexidad x / x 0 ⇒ ∀ ∈ ℜ < ⎩ b)

( f D h ) (x ) = f [h(x )] = (sen x )3 = sen 3 x ⇒ f ' [h(x )] = 3 sen 2 x. cos x c) ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞3 1 ⎪f⎜ ⎟=⎜ ⎟ = ⎧− x si x < 0 ⎪ 8 ⇒ g ( x ) > f ( x ) ⇒ ∀x ∈ [0 , 1] En g ( x ) ⇒ x > 0 ⇒ g ( x ) = ⎨ ⇒ Como ⎨ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 0 x si x > 1 1 ⎞ ⎛ ⎩ ⎪ g⎜ ⎟ = ⎪⎩ ⎝ 2⎠ 2 1

1

A = ∫ x dx − ∫ x 3 dx = 0

0

[ ]

1 2 ⋅ x 2

1 0

−

[ ]

1 4 ⋅ x 4

1 0

=

(

)

(

)

1 1 1 1 1 2 ⋅ 1 − 0 2 − ⋅ 14 − 0 4 = − = u 2 2 4 4 4 2

2.- Encontrar el valor de k para el cual la función

⎧ 6− x si x < 2 ⎪ es continua. f (x ) = ⎨ 2 2 ⎪⎩ x + kx si x ≥ 2

Estudiar si su derivada es una función continua.

6−2 ⎧ lim− f ( x ) = =2 ⎪ x→2 2 ⇒ f (2 ) = lim− f ( x ) = lim− f ( x ) ⇒ 4 + 2k = 2 ⇒ k = 1 ⎨ 2 x →2 x →2 ⎪ f (2) = lim− f ( x ) = 2 + k .2 = 4 + 2k x→2 ⎩ 1 ⎧ ⎧⎪ 1 lim− f ' ( x ) = − 1 ⎪ si x < 2 − x→2 ⇒ − ≠5⇒ f ' (x ) = ⎨ 2 ⇒⎨ 2 2 f ' ( x ) = 2.2 + 1 = 5 ⎪⎩2 x + 1 si x ≥ 2 ⎪⎩ f ' (2) = xlim →2− La función derivada no es continua(se dice, tambien, no derivable )

7


Solución Septiembre 2007-08


SEPTIEMBRE 2007- 08 1.A.- Dada la función: f ( x ) = e

−x

(x

2

)

OPCIÓN A

+ 1 , se pide:

a) Dibujar la gráfica de f, estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas 1

b) Calcular:

∫ f (x ) dx 0

a) Puntos de corte ⎧ e − x = 0 ⇒ ∀x ∉ ℜ Con OX ⇒ y = 0 ⇒ e − x x 2 + 1 = 0 ⇒ ⎨ 2 ⇒ ∃/x ∈ ℜ 2 x x x 1 0 1 1 + = ⇒ = − ⇒ = ± − ⎩ −0 2 Con OY ⇒ x = 0 ⇒ e 0 + 1 = 1

(

)

(

)

(

)

(

)

f ' ( x ) = −e − x x 2 + 1 + 2 xe − x = −e − x x 2 + 1 − 2 x = −e − x ( x − 1) Crecimiento y decrecimiento

2

⎧ − 1 > 0 ⇒ ∃/x ∈ ℜ ⎪ Crece ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ (− 1)e − x ( x − 1) > 0 ⇒ ⎨ e − x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⇒ Decreciente ∀x ∈ ℜ ⎪( x − 1)2 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎩ No hay máximos ni mínimos relativos Puntos de inf lexión 2

[

] [

]

(

f ' ' (x ) = − − e − x ( x − 1) + 2( x − 1)e − x = e − x ( x − 1) − 2( x − 1)e − x = e − x x 2 − 2 x + 1 − 2 x + 2 2

2

)

⎧ e−x > 0 ⇒ x ∈ ℜ ⎪ f ' ' (x ) = e x − 4 x + 3 ⇒ f ' ' (x ) = 0 ⇒ e x − 4 x + 3 = 0 ⇒ ⎨ 2 4± 4 x x x − 4 + 3 = 0 ⇒ = ⎪⎩ 2 10 4+2 ⎧ −3 2 ⎪ x = 2 = 3 ⇒ f (3) = e 3 + 1 = e 3 Puntos de inf lexión ⇒ ⎨ 4−2 2 ⎪ x= = 1 ⇒ f (1) = e −1 12 + 1 = e 2 ⎩ Asíntotas verticales No tiene Asíntotas horizontales −x

(

)

2

−x

(

)

2

( (

(

) )

x2 +1 ∞ 2x ∞ Aplicando L ' Hopital Aplicando L ' Hopital = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim x = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = x → ∞ x →∞ x ∞ ∞ e e

)

y = lim e − x x 2 + 1 = lim x →∞

2 2 = = 0 ⇒ Cuando x → ∞ ⇒ y = 0 x x →∞ e ∞ 2 −x y = lim e x 2 + 1 = lim e x (− x ) + 1 = lim e x x 2 + 1 = ∞.∞ = ∞ ⇒ Cuando x → −∞ ⇒ No existe

= lim

x → −∞

(

)

x →∞

[

]

x →∞

(

)

asíntota vertical

1





a )Continuación Asíntotas oblicuas

(

)

(

)

e−x x 2 + 1 x2 +1 ∞ 2x 2x ∞ Aplicando L ' Hopital = lim = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim x = lim x = = x x x →∞ x → ∞ xe x →∞ e + e x x → ∞ e (1 + x ) x ∞ ∞ 2 2x 2 Aplicando L ' Hopital ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim x = lim x = = 0 ⇒ Cuando x → ∞ ⇒ No existe x x →∞ e (1 + x ) + e x →∞ e (2 + x ) ∞ asíntota oblícua m = lim

[

]

(

)

e −x x 2 + 1 e x (− x ) + 1 ex x2 +1 ∞ Aplicando L ' Hopital y = lim = lim = − lim = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ → ∞ → ∞ x → −∞ x x x x −x ∞ e x 2x + e x x 2 + 1 e x x 2 + 2x + 1 ∞ = lim = − lim = − = −∞ ⇒ Cuando x → −∞ ⇒ No existe x →∞ x →∞ 1 1 1 asíntota oblícua

(

)

2

(

)

Gráfica de la función 5

Y

4,5

4

3,5

3

2,5

2

1,5

1

X

0,5

0 -1

0

1

2

3

4

5

6

8

7

-0,5

b)

(

)

(

)

(

)

I = ∫ e − x x 2 + 1 dx = −e − x . x 2 + 1 − ∫ − e − x .2 x dx = −e − x . x 2 + 1 + 2 ∫ e − x x dx ⎧⎪ x 2 + 1 = u ⇒ 2 x dx = du ⎨ −x −x t t −x ⎪⎩e dx = dv ⇒ v = ∫ e dx = − ∫ e dt = −e = −e

(

)

(

) (

)

(

)

I = −e − x . x 2 + 1 + 2∫ e − x x dx = −e − x . x 2 + 1 + 2 − xe − x − 2∫ − e − x dx = −e − x . x 2 + 2 x + 1 − 2e − x x = u ⇒ dx = du ⎧⎪ ⎨e − x dx = dv ⇒ v = e − x dx = − e t dt = −e t = −e − x ⎪⎩ ∫ ∫

(

)

I = −e − x . x 2 + 2 x + 3 + K

2





b)Continuación

∫ e (x

2

∫ e (x

2

1

−x

)

[ (

+ 1 dx = − e − x . x 2 + 2 x + 3

)]

1 0

[ (

)

(

)] (

)

= − e −1 . 12 + 2.1 + 3 − e −0 . 0 2 − 2.0 + 3 = − 6.e −1 − 3

0

1

0

−x

6 3e − 6 + 1 dx = − 6e −1 + 3 = − + 3 = e e

)

3




1 ⎞ ⎛ 2 α +1 ⎟ ⎜ 2.A.- Dada la matriz: A = ⎜ 2α 0 1 ⎟ , se pide: ⎜ 2 α + 1⎟⎠ 0 ⎝ a) Determinar el rango de A según los valores del parámetro a b) Decir cuando la matriz A es invertible. Calcular la inversa para a = 1

a) 2 α +1 1 2 0 1 = 2(α + 1) − 2α (α + 1) = 2(α + 1)[1 − α (α + 1)] = 2(α + 1) − α 2 − α + 1 A = 2α 2 0 α +1

(

)

α + 1 = 0 ⇒ α = −1 ⎧ ⎪ ⎧ −1+ 5 α= ⎪ 2 ⇒ Si A = 0 ⇒ −2(α + 1) α + α − 1 = 0 ⇒ ⎨α 2 + α − 1 = 0 ⇒ Δ = 1 + 4 = 5 ⇒ ⎪⎪ 2 ⎨ ⎪ ⎪α = − 1 − 5 ⎪ ⎪⎩ 2 ⎩ ⎧−1− 5 −1+ 5 ⎫ , −1 , ∀α ∈ ℜ − ⎨ ⎬ ⇒ rang ( A) = 3 2 ⎭ ⎩ 2

(

Si α =

(

)

−1− 5 2

2

− 1+ 5

)

1− 5 ⎛ 1− 5 ⎞ 1− 5 ⎟ 1+ 5 = = −2 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2 2 = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎝ 0

(

)

Si α = −1 ⎛ 2 0 1⎞ ⎛ 2 0 1 ⎞ ⎛ 2 0 1 ⎞ ⎛ 2 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 2 0 1 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 2 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 1 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⇒ rang ( A) = 2 ⎜ 2 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 − 1⎟ ⎜ 0 0 − 1⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Si α =

−1+ 5 2

1+ 5 ⎛ 1+ 5 ⎞ 5 −1 ⎟ −1+ 5 = = 2 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2 2 = ⎜⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ 0 −1+ 5 2

(

)

b) ∃A −1 ⇒ A ≠ 0 ⇒ A −1 =

( )

(

)

1 ⋅ adj A t ⇒ α = 1 ⇒ A = −2(1 + 1) 12 + 1 − 1 = −2.2.1 = −4 ≠ 0 ⇒ ∃A −1 A

⎛ ⎜0 ⎛2 2 1⎞ ⎛ 2 4 2⎞ ⎛ 0 −4 2 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 t t −1 2 ⎟⇒ A =⎜ A = ⎜ 4 0 1 ⎟ ⇒ A = ⎜ 2 0 0 ⎟ ⇒ adj A = ⎜ − 6 2 ⎜2 ⎜ 2 0 2⎟ ⎜1 1 2⎟ ⎜ 0 4 − 8 ⎟⎠ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎝

( )

1 1 2 −1

−

1⎞ − ⎟ 2⎟ 1⎟ − 2⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎠

4




3.A Dado los puntos P(1 , 1 , 3) , Q(0 , 1 , 0), se pide a) Hallar todos los puntos R tales que la distancia entre P y R sea igual a la distancia entre Q y R. Describir dicho conjunto de puntos. b) Hallar todos los puntos S contenidos en la recta que pasa por P y Q que verifican dist(P , S) = 2.dist(Q , S), donde “dist” significa distancia

a) ⎧⎪ PR = ( x , y , z ) − (1 , 1 , 3) = ( x − 1 , y − 1 , z − 3) ⇒ PR = QR ⇒ ⎨ ⎪⎩ QR = ( x , y , z ) − (0 , 1 , 0) = ( x , y − 1 , z )

(x − 1)2 + ( y − 1)2 + (z − 3)2

= ± x 2 + ( y − 1) + z 2 ⇒ ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 3) = x 2 + ( y − 1) + z 2 2

2

2

2

2

x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 2 y + 1 + z 2 − 6 z + 9 = x 2 + y 2 − 2 y + 1 + z 2 ⇒ −2 x + 1 − 6 z + 9 = 0 ⇒ 2 x + 6 z + 10 = 0 ⇒ π ≡ x + 3 z + 5 = 0 ⇒ Es un plano b) ⎧x=λ ⎪ PQ = (0 , 1 , 0 ) − (1 , 1 , 3) = (− 1 , 0 , − 3) ≡ (1 , 0 , 3) ⇒ s ⎨ y = 1 ⇒ S (λ , 1 , 3λ ) ⎪ z = 3λ ⎩ ⎪⎧ PS = (λ , 1 , 3λ ) − (1 , 1 , 3) = (λ − 1 , 0 , 3λ − 3) ⇒ PS = 2 QS ⇒ ⎨ ⎪⎩ QR = (λ , 1 , 3λ ) − (0 , 1 , 0 ) = (λ , 0 , 3λ )

(λ − 1)2 + (3λ − 3)2

= ±2 λ2 + (3λ )

2

(λ − 1)2 + (3λ − 3)2 = 4(λ2 + 9λ2 ) ⇒ λ2 − 2λ + 1 + 9λ2 − 18λ + 9 = 40λ2 ⇒ −30λ2 − 20λ + 10 = 0 ⇒ 3λ + 2λ − 1 = 0 ⇒ Δ = 4 + 12 = 16 > 0 ⇒ λ1, 2 2

1 ⎧ ⎪ x=3 1 ⎪ ⎞ ⎛1 λ = ⇒ S 1 ⎨ y = 1 ⇒ S 1 ⎜ , 1 , 1⎟ 3 ⎠ ⎝3 ⎪ 1 ⎪z = 3 ⋅ 3 = 1 ⎩

−2+4 2 1 ⎧ ⎪λ1 = 6 = 6 = 3 − 2 ± 16 = ⇒⎨ ⇒ −2−4 6 ⎪ λ2 = = −1 6 ⎩ x = −1 ⎧ ⎪ λ = −1 ⇒ S 2 ⎨ ⇒ S1 (− 1 , 1 , − 3) y =1 ⎪ z = 3 ⋅ (− 1) = −3 ⎩

5


4.A.- Dado las rectas :


r≡


x +1 y − 2 z x y −1 z , s≡ = = = = 1 2 3 2 3 4

Halla la ecuación de la recta t perpendicular común a ambas

⎧ ⎧ x = −1 + λ ⎪ ⎪ ⎪ r ≡ ⎨ y = 2 + 2λ ⎪ z = 3λ ⎪⎪ ⎩ ⇒ vt = [− 1 + λ − 2 μ , 2 + 2λ − (1 + 3μ ) , 3λ − 4 μ ] = (λ − 2 μ − 1 , 2λ − 3μ + 1 , 3λ − 4 μ ) ⎨ x 2 = μ ⎧ ⎪ ⎪ s ≡ ⎪⎨ y = 1 + 3μ ⎪ ⎪ z = 4μ ⎪⎩ ⎩ ⎧⎪ v r = (1 , 2 , 3) ⇒ v r ⊥ vt ⇒ v r .vt = 0 ⇒ (1 , 2 , 3) ⋅ (λ − 2 μ − 1 , 2λ − 3μ + 1 , 3λ − 4 μ ) = 0 ⇒ ⎨ ⎪⎩v s = (2 , 3 , 4 ) ⇒ v s ⊥ vt ⇒ v s .vt = 0 ⇒ (2 , 3 , 4 ) ⋅ (λ − 2 μ − 1 , 2λ − 3μ + 1 , 3λ − 4 μ ) = 0 ⎧ λ − 2 μ − 1 + 2.(2λ − 3μ + 1) + 3.(3λ − 4 μ ) = 0 ⎧ λ − 2 μ − 1 + 4λ − 6 μ + 2 + 9λ − 12 μ = 0 ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎩2 ⋅ (λ − 2 μ − 1) + 3.(2λ − 3μ + 1) + 4.(3λ − 4 μ ) = 0 ⎩2λ − 4 μ − 2 + 6λ − 9 μ + 3 + 12λ − 16 μ = 0 140λ − 200 μ + 10 = 0 ⎧14λ − 20 μ + 1 = 0 ⇒ ⇒ 3μ + 3 = 0 ⇒ μ = −1 ⇒ 14λ − 20(− 1) + 1 = 0 ⇒ ⎨ ⎩20λ − 29 μ + 1 = 0 − 140λ + 203μ − 7 = 0 ⎡ 21 3 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3 ⎞⎤ = − ⇒ vt = ⎢− 1 − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ − 1 , 2(− 1) − 3 ⋅ ⎜ − ⎟ + 1 , 3(− 1) − 4 ⋅ ⎜ − ⎟⎥ 14 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎧ x = 2.(− 1) = −2 9 ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ 7 ⎞ vt = ⎜ − 1 + 3 − 1 , − 2 + + 1 , − 3 + 6 ⎟ = ⎜1 , , 3 ⎟ ≡ (2 , 7 , 6) ⇒ S ⎨ y = 1 + 3.(− 1) = −2 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎪ z = 4.(− 1) = −4 ⎩

14λ = −21 ⇒ λ = −

⎧ x = −2 + 2α ⎪ t ≡ ⎨ y = −2 + 7α ⎪ z = −4 + 6 μ ⎩

6




OPCIÓN B 1.B a) Calcular

∫x

3

ln ( x ) dx donde ln (x) es el logaritmo neperiano de x. t

-t

b) Utilizar el cambio de variable x = e – e para calcular

1

∫

4 + x

2

dx

⎛ x + x2 + 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

Indicación: Para deshacer el cambio de variable utilizar: t = ln⎜

a) dx 1 1 1 1 1 1 1 ln ( x ) dx = ⋅ x 4 ⋅ ln ( x ) − ∫ ⋅ x 4 ⋅ = ⋅ x 4 ⋅ ln ( x ) − ⋅ ∫ x 3 ⋅dx = ⋅ x 4 ⋅ ln ( x ) − ⋅ ⋅ x 4 + K x 4 4 4 4 4 4 4 dx ⎧ ln ( x ) = u ⇒ du = ⎪ x Por partes ⎨ 1 ⎪ x 3 dx = dv ⇒ v = ∫ x 3 dx = ⋅ x 4 4 ⎩ 1 4 ⎡ 1⎤ 3 ∫ x ln (x ) dx = 4 ⋅ x ⋅ ⎢⎣ln (x ) − 4 ⎥⎦ + K

∫x

3

b)

∫

1 4 + x2

dx = ∫

e t + e −t

(e

t

⎧ ⎨ 2 t −t ⎩4 + x = 4 + e − e

(

+ e −t

)

2

)

2

dt = ∫

⎛ x + x2 + 4 ⎞ e t + e −t Por indicación del problema ⎜ ⎟+ K dt dt t = = = ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → = ln ∫ ⎜ ⎟ 2 e t + e −t ⎝ ⎠

[

]

(

)

x = e t − e −t ⇒ dx = e t − (− 1)e −t dt = e t + e −t dt = 4 + e 2 t − 2 e t e − t + e − 2 t = 4 + e 2 t − 2e 0 + e − 2 t = e 2 t + 2 + e − 2 t = e t + e − t

(

Veamos como se despeja t (aunque no haga falta ) 1 ⇒ xe t = e 2t − 1 ⇒ e 2t − xe t − 1 = 0 ⇒ e t = u ⇒ u 2 − xu − 1 = 0 ⇒ Δ = x 2 + 4 ⇒ t e 2 ⎧ ⎛ x + x2 + 4 ⎞ ⎛ ⎞ x + x2 + 4 ⎟ ⇒ t = ln⎜ x + x + 4 ⎟ ⎪e t = ⇒ t. ln (e ) = ln⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎪ x ± x2 + 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ u= ⇒⎨ 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 x− x +4⎟ x− x +4⎟ ⎪ t x− x +4 ⇒ t. ln (e ) = ln⎜ ⇒ t = ln⎜ ⎪e = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ x = et −

7

)

2



2.B.- Dado el plano p1 ≡ x + y + z = 1 y la recta

r≡


x −1 y +1 z = = , se pide: 2 3 −4

a) Hallar el punto P determinado por la intersección de r con p1. b) Hallar un plano p2 paralelo a p1 y tal que el segmento de la recta r comprendido entre los planos p1, p2 tenga una longitud de

29 unidades

a) ⎧ x = 1 + 2λ ⎪ r ≡ ⎨ y = −1 + 3λ ⇒ Inter sec ción con π 1 ⇒ 1 + 2λ − 1 + 3λ − 4λ − 1 = 0 ⇒ λ − 1 = 0 ⇒ λ = 1 ⎪ z = −4λ ⎩ ⎧ x = 1 + 2.1 = 3 ⎪ P ⎨ y = −1 + 3.1 = 2 ⇒ P(3 , 2 , − 4 ) ⎪ z = −4.1 = −4 ⎩ b) Al ser paralelos tendrán el mismo vector director y el que nos piden tendrá un punto Q, intersección con la recta r que distará de P el valor dado, o sea el módulo del vector PQ es

29 a) Ecuación de π 2 ⇒ x + y + z + D = 0 ⎧ x = 1 + 2λ ⎪ r ≡ ⎨ y = −1 + 3λ ⇒ Inter sec ción con π 2 ⇒ 1 + 2λ − 1 + 3λ − 4λ + D = 0 ⇒ λ + D = 0 ⇒ λ = − D ⎪ z = −4λ ⎩ ⎧ x = 1 + 2.D ⎪ Q ⎨ y = −1 + 3.D ⇒ PQ = (1 + 2 D , − 1 + 3D , − 4 D ) − (3 , 2 , − 4 ) = (− 2 + 2 D , − 3 + 3D , − 4 D + 4 ) ⇒ ⎪ z = −4.D ⎩

(− 2 + 2 D )2 + (− 3 + 3D )2 + (− 4 + 4 D )2

= ± 29 ⇒ (− 2 + 2 D ) + (− 3 + 3D ) + (− 4 + 4 D ) = 29 2

2

2

4 − 8D + 4 D 2 + 9 − 18D + 9 D 2 + 16 − 32 D + 16 D 2 = 29 ⇒ 29 D 2 − 58 D + 29 = 29 ⇒ D=0 ⎧ 29 D 2 − 58 D = 0 ⇒ D 2 − 2 D = 0 ⇒ D(D − 2) = 0 ⇒ ⎨ ⎩D − 2 = 0 ⇒ D = 2 ⎧ ⎧ x = 1 + 2.0 = 1 ⎪ ⎪ ⎪ π 2 a ≡ x + y + z = 0 ⇒ Qa ⎨ y = −1 + 3.0 = −1 ⎪ z = −4.0 = 0 ⎪⎪ ⎩ Dos planos cumplen la condición⎨ ⎧ x = 1 + 2.2 = 5 ⎪ ⎪π 2b ≡ x + y + z + 2 = 0 ⇒ Qb ⎪⎨ y = −1 + 3.2 = 5 ⎪ ⎪ z = −4.2 = −8 ⎪⎩ ⎩

8




⎧ x − 2 y + z − 3v = −4 ⎪ x + 2 y + z − 3v = 4 ⎪ 3.B.- Resolver el siguiente sistema: ⎨ ⎪2 x − 4 y + 2 z − 6v = −8 ⎪⎩ 2x + 2z = 0 ⎛1 − 2 1 − 3 − 4⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1 2 1 − 3 4 ⎟ ⎜0 ⎜2 − 4 2 − 6 − 8⎟ ≡ ⎜0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜2 0 2 0 0 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ 6v = 0 ⇒ v = 0 ⇒ 4 y = 8 ⇒ Solución(− λ , 2 , λ , 0 )

− 2 1 − 3 − 4⎞ ⎛1 − 2 1 − 3 − 4⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 4 0 0 8 ⎟ ⎜0 4 0 0 8 ⎟ ≡ ⇒ Compatible In det er min ado 0 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 4 0 6 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 6 0 ⎟⎠ y = 2 ⇒ x − 2.2 + z − 0 = −4 ⇒ x + z = 0 ⇒ x = − z ⇒

9




4.B.- El cajero automático de una determinada entidad bancaria solo admite billetes de 50, de 20 y de 10 euros. Los viernes depositan en el cajero 225 billetes por un importe total 7000 euros. Averiguar el número de billetes de cada valor disponible, sabiendo que la suma del número de billetes de 50 y de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros. Llamando C al número de Billetes de 50 euros, V a los de 20 euros y D a los de 10 euros

C + V + D = 225 ⎧ ⎧ C + V + D = 225 ⎪ ⎪ ⎨50C + 20V + 10 D = 7000 ⇒ ⎨5C + 2V + D = 700 ⎪ ⎪ C − 2V + D = 0 C + D = 2.V ⎩ ⎩ Por Gauss ⎛ 1 1 1 225 ⎞ ⎛ 1 1 1 225 ⎞ ⎛ 1 1 1 225 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 200 = 50 billetes de 10 € ⎜ 5 2 1 700 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 3 − 4 − 425 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 4 425 ⎟ ⇒ 4 D = 200 ⇒ D = 4 ⎜ 1 − 2 1 0 ⎟ ⎜ 0 − 3 0 − 225 ⎟ ⎜ 0 0 4 200 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 225 = 75 billetes de 20 € ⇒ 3V + 4.50 = 425 ⇒ 3V = 425 − 200 ⇒ 3V = 225 ⇒ V = 3 C + 75 + 50 = 225 ⇒ C = 225 − 125 = 100 billetes de 50 € Solución(100 , 75 , 50 )

10

Selectividad de Matemáticas (564 páginas de problemas resueltos)

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