Ministerul Educației al Republicii Moldova Moldova
Referat La matematică Tema: ”Sectiunea de aur” Executat de:Bodiștean Irina
Controlat Controlat de:Filipescu Maria Maria
Eleva clasei a XII-a ”B”
Liceul teoretic teoretic ”Ion ”Ion Creangă” Creangă”
Chișinău inău,, !"# !"#
Secțiunea de aur (numită uneori și Raportul de aur, Proporția de aur, Numărul de aur) (sectio aurea în limba latină), notată cu litera greacă Φ (phi mauscul) sau ș i cu ! (phi minuscul), care se citesc "#i", este primul număr irațional descoperit și de#init în istorie$ El este apro%imativ egal cu &,'&** și poate #i înt+lnit în cele mai surprinătoare împreurări$ Definiț ie matematică
Euclid l-a denumit pe Φ ca #iind simpla împărțire a unui segment de dreaptă în ceea ce el a numit "medie" și "e%tremă raț ie"$ .ată cuvintele lui/ "Spunem că un segment de dreaptă a #ost împărț it în medie și e%tremă rație atunci c+nd segmentul întreg se raporteaă la segmentul mai mare precum se raporteaă segmentul cel mare la cel mai mic"$ 0u alte cuvinte, în imaginea din dreapta, dacă (a1b)2a3a2b, atunci segmentul a1b a #ost împărțit
intr-o secțiune de aur cu simbolul Φ$ Raportul de aur este un număr irațional care poate #i calculat din ecuaț ia/ a +b a = =φ a b
0are conduce la/ φ2 φ −
−
1 =0
4ceastă ecuație algebrică de gradul al doilea are două soluții (rădăcini)/ φ1 =
1 +√ 5 2
≈ 1.6180339887 …
Și
φ2
=
1− √ 5 2
≈
−
0.6180339887
…
5eoarece ! este o #racție cu numitor și numărător poitiv, ! este întotdeauna poitiv/ φ = φ 1=
1 +√ 5 2
≈ 1.6180339887 …
Mulți artiști și arhitecț i ș i-au proporț ionat lucrările con#orm raportului de aur, consider+nd că acesta con#eră lucrării o estetică plăcută$ 6n matematică acest raport are proprietăț i interesante, ș i mai poate #i e%primat ca/ 1
φ =1+
1
1+
1
1+ 1+
1 1 +…
φ =√ 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + …
6n secolul 7 î$8r$ matematicianul grec 8ispassus din Metapontum a descoperit că Φ este un număr cu un număr in#init de ecimale, care nu preintă nici o regularitate în repetarea lor (adică este neperiodic, și anume irațional)$ El a descoperit că Φ nu poate #i e%primat ca un raport între două numere întregi (de e%$ &29, *2:, ;'2<, $$$ etc$)$ 6n legătură cu aceasta se de#ineș te ș i proprietatea incomensurabilităț ii a două numere/
=ie a,b două numere oarecare, iar %,> numere aparțin+nd mulțimii numerelor întregi și >?@ 5acă a2b?%2>, oricare ar #i % și >, atunci a și b sunt numite numere incomensurabile$ 6n ca contrar spunem că a și b sunt numere comensurabile$ Terminologie
6n literatura matematică de specialitate secț iunea de aur mai are ca simbol ș i litera grecească A (tau), luată de la cuv+ntul grecesc ABCD, to-mi, care înseamnă "tăietură" sau "secțiune"$ 4bia la începutul secolului matematicianul american MarF Garr i-a dat raportului numele de Φ (phi), provenind de la prima literă din numele celebrului sculptor Phidias, care a trăit apro%imativ între :-:*9 î$8r$ 0ele mai mari realiări ale lui Phidias au #ost statuile "4thena Partenos" din 4tena și Statuia lui Heus din Il>mpia$ Garr a decis să-l onoree cu acest gest, deoarece mulți istorici ai artei au susținut că acesta a #olosit de multe ori secțiunea de aur în lucrările sale$ 6n literatura dedicată matematicii distractive cele mai #olosite nume sunt/ Secț iunea de 4ur, Raportul de 4ur, Numărul de 4ur și Φ$ 5at #iind entuiasmul generat de acest număr încă din antichitate, am putea crede că numele de "Secțiunea de 4ur" are origini vechi$ Jotuși anumite cărți prestigioase din istoria matematicii, precum Natura Matematicii în Epoca lui Platon de =ranKois Lasserre, sau I .storie a Matematicii de 0harles G$ Go>er, plaseaă originea acestui nume în secolele 7 respectiv 7.$ 6nsă în cartea "Secțiunea de 4ur/Povestea lui Phi, cel mai uimitor număr" de Mario Livio apare următorul pasa/ "4t+ta c+t pot eu a#irma trec+nd în revistă mare parte din e#ortul de reconstituire a #aptelor, acest termen a #ost #olosit pentru prima dată de Martin Ihm (#ratele #aimosului #iician eorg Simon Ihm, cel care a dat numele legii Ihm din electromagnetism), în a doua ediție din &* a cărții sale O5ie reine Elementar-MathematiF (Matematica pură elementară)$ Ihm scrie la subsol/ O4ceastă împărțire a unui segment de dreaptă în asemenea mod este numit în mod curent "secțiune de aur"$ 4ceasta arată că nu el ar #i inventat termenul, ci că #olosea o denumire general acceptată$ =aptul că el n-a #olosit-o ș i în prima ediț ie a cărț ii sale în &9' sugereaă cel puțin că denumirea de Secțiune de 4ur (în germană Ooldener Schnitt) și-a dob+ndit popularitatea abia prin anul &*$ Eventual denumirea #usese #olosită și mai înainte în cercuri nematematice$ .ndubitabil este însă că, în urma cărții lui Ihm, numele OSecțiune de 4ur a început să apară în mod #recvent în literatura matematică germană ș i de istoria artei$$$"$ Valoarea exactă a lui Φ p+nă la cea de-a două mia ecimală apare în cartea "Secț iunea de
4ur/Povestea lui Phi, cel mai uimitor număr" de Mario Livio/
&, '&* *<; :<<: :9 :' *:*' '*&& ;;9* <&;< ;' - cea de-a cinciecea ecimală 9'9& *:: '99; 9': '9& <9:: <;;9 ;9: &<*< &&*;: - cea de-a o suta ecimală :;: ; *' <&;9 &9''* *'99 9**' <*&;< *& ';'' ;9'* ::*** <' <<* <9< '* *99'' &*&<< 99< 9'; ';9 ;'' <9 &;&&' <'9; *999 &:*9 &'9'< :'9 '9<'* - cea de-a două sute cinciecea ecimală &*'&: :*&: <;; &99 *: ;< ::: ;:<9: '&' <*': '::: <9:& ::*9 ;;&*: :<:; :<' :'; < ;:**< ::99& 9:: ;;'' :;< &: ';:< <;& 9:; '9&; ;& ;<; *:&'' 9'9: <:; <'< ;: 9&9 &:9; '9&;; &&&;; ;* &*&; &:&& &;:' ''<< &:''< ;<;* &;'&* '' ;;: ;& - cea de-a cinci suta ecimală &*&;< 9*' <:9; 9&<: :** ';* 99 ;'< <;9< ;;*: ;: ;99 <&&< ;'9 *9' <'&' &;9 :': **9: *;;':
'&9 **& 9'** *;9: 9<9'; 9'*& &'** <9:;* &';&& &9&& &' *&* *&'9 *: 999& ';<& 9''; 9<:' :<' &&*& ;&<< *:*9* <;*: <:< <: <:;'9 &*999 <&& ;9'& ;<' &&': '9<< <&'9 < 99 :;<* 9:' 9&; 9;<<; :;&; *:9;; ;<9; ;'9 '&<:* 99; &* &9&& '9 &999 :<* <:;&9 *:&: &;99 *;* ;;9 ;'&' ' *9< 9*: <9': ;; &;< <9&<< 9;; ;'<* <*9 &<'& <'& &:*; *&:< <;:&& '<9' '; :9<'9 9';; '9 *&;9; ;;9 **'& *<*'9 - cea de-a o mia ecimală &;'; *<*; ':' '' <9&' <:' ';< &< : << 99< *<: 9*&9: 9* 9&99& 9:&: ::' :;*: '; *:;<; ''*<; 9*<:< :<<:' :; ;* *<'9* <*; **< <*' 9&9: 9*'< 9&* ':& :;;< <'< &99:: ;:;& ;*: &;*&9 ':*9 9:&' *<;9* 9&*: ::::< :;* 9*&: &;';' <*; 9&* ';*; *: :&; <*<: :<'9 ;< <;' ;9*9 <&9: 9'<* ;* <;: << ':: &; &<& <9& 9': 9< &<* :<:; <9' ;*: 999& & &<:': :::9 99*& <&*& <9<:' <'99 9* &::*; ;9'< <9* ;* 9'& &; :&<9 ;; 9& <':9 :<*'9 ;&*< 9&; ';;; :'' *'& 9* <&*:< ****& 99*& **<9 *9&*' 9:*&< 9'*;9 <&' ;* *<<9 99'9 '*' 9<9 <;<' :9:;9 ;<;; 9' '& :;: *;: 9':;& &:&: &9; '9 *<& '9;; ;*99: :<<:* * <<<< &' *9& &9&<: *9: &<':* ;'; '**& :;< ;&<&& *<;& *<; ;:;' &;; 99&&; 9' <:' *<*9 :'9 <<' < ';&: &'<' *;9 : ;:'& **;& ::: *<<: *'* *& *&&* &&'< <* ;'<; ::& :<&:: *:& <&9< :; &< :;;: '&'* ;:9 9':&; 9<*<: '*' ;*&< '& **<& *9 <<&* *<'; 9&:: < ::<;; <9&9 ;'&9: ;': <&'& '*; <:< ;' '<; &<: <': ;': :*'&; <**: &;9; <&<&: **' &*;& - cea de-a două mia ecimală Istoric
Numărul Φ a #ost cunoscut încă din antichitate, iar din secolul . a primit numele de "Secțiunea de 4ur", "Numărul de 4ur" sau "Raportul de 4ur"$ Prima de#iniție clară a numărului a #ost datată prin urul anului * î$8r$ de către Euclid din 4le%andria, părintele geometriei ca sistem deductiv #ormaliat$ 4semenea numere nes#+rșite i-au intrigat pe oameni încă din antichitate$ Se spune că atunci c+nd 8ispassus din Metapontum a descoperit, în secolul 7 î$8r$, că Φ este un număr care nu este nici întreg (e%/&@9@$$$), nici măcar raportul dintre două numere întregi (precum #racț iile/&29,;2',:2<,etc$, care sunt cunoscute în ansamblu drept numere raționale), adepții #aimosului matematician grec Pitagora ș i anume pitagoreicii au #ost e%trem de șocați$ 0oncepția pitagoreică despre lume se baa pe o e%tremă #ață de arithmos - adică proprietățile intrinseci ale numerelor întregi ș i ale #racț iilor lor - ș i presupusul lor rol în cosmos$ 6nțelegerea #aptului că e%istă numere care precum Φ se repetă la in#init #ără a preenta nici o repetiție sau regularitate a pricinuit o adevărată criă #iloo#ică$ Qnele surse susț in chiar că pitagoreicii au sacri#icat & de boi din caua numărului$ Jotuși acest lucru pare e%trem de improbabil deoarece ei erau vegetarieni stricț i$ Pitagoreicii erau neîndoielnic convinș i că e%istența unor numere precum Φ era at+t de în#ricoșătoare înc+t ea trebuia să repreinte un #el de eroare cosmică, o in#ormație care ar trebui suprimată ș i ț inută secret$ =aptul că e%istă numere iraționale a implicat și descoperirea incomensurabilităț ii$ 6n lucrarea sa "5espre viaț a lui Pitagora" (cca$ * î$8r$) #iloo#ul și istoricul .ambilichos, descendent al unei #amilii de nobili sirieni, descrie reacția violentă cu privire la această descoperire/ "Ei spun că primul om care le-a
devăluit natura incomensurabilității celor nedemni de a o cunoaște a #ost at+t de detestat, înc+t nu numai că a #ost e%clus din asociația si modul de viață al pitagoreicilor, ci i s-a construit și morm+ntul, ca și cum #ostul lor coleg ar #i plecat dintre cei vii$" 0onstructia segmentului de aur &$ Jrasam o dreapta L 9$ .ntr-un punct 4 al dreptei L ducem perpendiculara M *$ 0onsideram un segment 4G de lungime & pe dreapta M (lungimea & este o lungime de re#erinta, in #unctie de ea le vom raporta pe celelalte) :$ 0onsideram un segment 40 tot de lungime & dar pe dreapta L $ 0onsideram segmentul 05 tot de lungime & si tot pe dreapta L, ast#el ca 45 sa aiba lungimea 9$ 0u compasul in punctul G, marcati distanta G5 de-a lungul dreptei M în sens opus lui 4$ Notati intersectia cu E '$ 0u compasul in punctul G, marcam distanta G5 de-a lungul dreptei M in sens opus lui 4$ Notam intersectia cu E Raportul 4E245 este R4PIRJQL 5E 4QR I proprietate oarecum ciudata a raportului de aur este / daca scadem din primul segment pe cel de-al doilea, segmentul obtinut se a#la si el in raport de aur$ 4st#el reulta un sir de segmente ce se scand unele din altele la nes#arsit si de aici proprietatea de incomensurabilitate a segmentelor a#late in taietura de aur$ Scriem proportia de aur sub #orma a2b3b2c si alegem ca unitate de masura a acestor segmente segmentul cel mai mic si anume c $ Raportul b2c dintre partea cea mai mare si partea cea mai mica a segmentului a , se numeste numar de aur si se noteaa cu ∅$ Reulta atunci ca / - a2b3b2c3∅@ - a3b1c 3 (b1c)2b3&1c2b3b2c, adica &1&2∅3∅@ 5e aici considerand numai radacina poitiva avem ∅3(&1)293&,'&**<; T , care se apro%imeaa la &,'&$
Aplicatii ale sectiunii de aur in viata reala:
9) triunghiul de aur &$ Jrasam o dreapta L@ 9$ .ntr-un punct 4 al dreptei L ducem perpendiculara M@ *$ 0onsideram un segment 4G de lungime & pe dreapta M (lungimea & este o lungime de re#erinta, in #unctie de ea le vom raporta pe celelalte)@ :$ 0onsideram un segment 40 tot de lungime & dar pe dreapta L@ $ 0onsideram segmentul 05 tot de lungime & si tot pe dreapta L, ast#el ca 45 sa aiba lungimea 9@ '$ Qnim G cu 5 iar triunghiul reultat, anume 4G5 este JR.QN8.QL 5E 4QR(segmentele G5 si 4G se a#la in raportul de aur)
