Second Ordre 0

DUT GEII - DUT 2 A LTERNANCE RATIQUES D ’ É LECTRONIQUE T RAVAUX P RATIQUES S YSTÈMES DU SECOND ORDRE Lundi 18 Mars 2013 A l’issue de ce TP, les points suivants doivent être maîtrisés :

– Systèmes Systèmes du second second ordre – Identification Identification d’un système système du second second ordre – Grandeurs caractéristiques – Boucle ouverte – Intérêt de la boucle fermée – Intérêt du Correcteur Correcteur Proporti Proportionnel onnel – Différences Différences entre systèmes systèmes du premier ordre et systèmes du second ordre Pré-requis Pré-requis :

– Aspects temporels temporels et fréquentiels fréquentiels des circuits circuits RLC – Diagrammes de Bode – Formalisme Formalisme de Laplace Laplace – Systèmes Systèmes du premier premier ordre ordre

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Parti artiee théo théori riqu quee Nous allons nous intéresser dans cette partie au circuit RLC série représenté à la FIGURE 1 : R

L

ve (t )

C

vs (t )

F IGURE 1 – Circuit étudié 1. A partir de la loi des mailles, donner la relation liant la tension de sortie (vs (t )) et la tension tension d’entrée (ve (t )). 2. Transposer cette relation dans le domaine de Laplace et donner alors la relation liant V s ( p) et V e ( p). 1

DUT2 GEII -ALTERNANCE

T RAVAUX P RATIQUES É LECTRONIQUE

3. La fonction de transfert liant V s ( p) et V e( p) est notée F ( p). Donner l’expression de celle-ci. 4. La fonction de transfert normalisée pour un système du second ordre est rappelée ci-dessous : F ( p) =

V s ( p) V e ( p)

=

K

(1)

2

1 + 2ω.ξ0 p + ωp 2 0

Rappeler la signification et identifier les 3 constantes utilisées (K , ξ et ω0) 5. Nous nous intéressons désormais à ce même système mais cette fois ci en boucle fermée (F IGURE 2). Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF ( p)). Quel est l’ordre de la fonction de transfert en boucle fermée ? Identifier les nouvelles constantes (K BF , ξ BF et ω BF ). Conclure. V e ( p)

+

F ( p)

V s ( p)

−

F IGURE 2 – Système en boucle fermée

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Manipulation

Câblez le montage de la Figure 1 à l’aide des composants disponibles sur votre table. Réalisez un essai indiciel (tension d’entrée en créneau d’amplitude 1 V). Visualisez les tensions ve (t ) et vs (t ) à l’oscilloscope. 1. Détermination du coefficient d’amortissement et de la pulsation propre : En vous aidant de l’Annexe 1, déterminez la valeur du dépassement ( D1(%)) et de la pseudopériode (T p ). Déduisez la valeur du coefficient d’amortissement (ξ) de la valeur du dépassement. De même, déduisez la valeur de la pulsation propre (ω0) de la valeur de la pseudo-période (T p ). 2. Détermination de la valeur des composants : A partir des mesures de ξ et ω0 , des résultats de votre préparation et en connaissant la valeur du condensateur C (C = 10 nF ), identifier les valeurs des composants R et L . 3. Remplacez la résistance du montage précédent par une résistance de 33 k Ω. Réalisez un nouvel essai indiciel. Que se passe-t-il ? Y-a-t-il toujours dépassement ? Calculez les valeurs théoriques du coefficient d’amortissement (ξ) et de la pulsation propre (ω0 ).

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Simulation

Dans cette partie, nous utiliserons le logiciel Scilab. Il s’agit d’un logiciel open source de calcul numérique. Il est disponible gratuitement à l’adresse suivante : http://www.scilab.org/fr Nous utiliserons l’éditeur graphique XCOS permettant la simulation de systèmes dynamiques. 1. Penser à créer un répertoire pour enregistrer tous vos fichiers 2. Ouvrir le logiciel SCILAB (accessible depuis votre bureau) 3. Ouvrir l’éditeur XCOS depuis le menu Applications YAË L T HIAUX

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4. 2 fenêtres apparaissent alors, la première constitue la zone de dessin où seront dessinés les systèmes à simuler. La seconde (Navigateur de palettes) constitue la bibliothèque où se trouvent les différents blocs. Pour réaliser vos schémas, de plus amples informations sont disponibles dans l’Annexe 2. Travail demandé :

1. Impact du coefficient d’amortissement sur la réponse indicielle : Dans un premier temps nous allons nous intéresser à l’allure générale de la réponse indicielle de vs (t ) en fonction de la valeur du coefficient d’amortissement ξ . Nous nous trouvons en boucle ouverte. Réaliser le schéma de la FIGURE 3 sous XCOS. Les valeurs du gain statique et de la pulsation propre sont données : – K = 1 – ω0 = 10 rad /s K

V e ( p)

2

1+ 2ω.ξ p+ pω2 0

V s ( p)

0

F IGURE 3 – Système du second ordre en boucle ouverte Le schéma XCOS doit ressembler à celui de la FIGURE 4 :

F IGURE 4 – Schéma XCOS d’un système en BO Simuler le système pour les valeurs suivantes du coefficient d’amortissement : – ξ = 0, 25 – ξ = 0, 5 – ξ = 0, 75 – ξ = 1 – ξ = 1, 25 Conclure. 2. Régime apériodique : Nous nous intéressons désormais au schéma de la FIGURE 5 : Soit τ 1 = 1 s et τ 2 = 0, 8 s ; identifiez de façon théorique les 3 constantes caractéristiques d’un système du second ordre (K , ξ et ω0 ). Simulez la réponse indicielle du système sous XCOS. Existe-t-il un dépassement de la valeur finale de vs (t ) ? Existe-t-il des différences avec la réponse indicielle d’un système du premier ordre ? Reprendre l’exemple précédent avec τ 1 = 1 YAË L T HIAUX

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V e ( p)


1 1+τ1 . p

1 1+τ2 . p

V s ( p)

F IGURE 5 – Régime apériodique s et τ 2 = 0, 05 s.

Déterminez graphiquement le temps de réponse du système à 5% près de la valeur en régime permanent. Comparez ce temps de réponse à celui d’un système du premier ordre dont la constante de temps vaut 1 s. Conclure. 3. Boucle fermée : Réalisez sous XCOS le schéma de la FIGURE 2. On donne K = 1, ω 0 = 10 rad /s et ξ = 0, 2. Comparez sur un même graphique la réponse du système en boucle ouverte et la réponse du système en boucle fermée. Conclure sur l’impact de la boucle fermée sur le gain statique, la valeur du premier dépassement et le temps de réponse du système. 4. Correction proportionnelle : Conformément à la FIGURE 6, on insère dans la boucle fermée un correcteur proportionnel de fonction de transfert : C(p)=G. On donne K = 1, ω 0 = 10 rad /s et ξ = 0, 2. Pour G =1 ;5 puis 10, simulez le comportement du système et déterminez le gain statique, la valeur du premier dépassement et le temps de réponse à 5%. Conclure.

F IGURE 6 – Correction proportionnelle 5. Conclusion : Conclure sur les points suivants : – Allure de la réponse indicielle d’un système du second ordre en fonction de la valeur de ξ, – Impact de ξ sur la valeur du dépassement et le temps de réponse d’un système pseudopériodique, – Rôle de la boucle fermée, – Rôle du correcteur proportionnel pour un système du second ordre.

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Annexe 1 : Identification des paramètres de la fonction de transfert à partir d’un essai indiciel La réponse indicielle d’un système du second ordre avec dépassement est représentée à la FIGURE

7:

F IGURE 7 – Réponse indicielle d’un système du second ordre avec dépassement A partir de cette réponse, il est possible de déterminer différents paramètres de la fonction de transfert, parmi lesquels : – Temps de réponse à 5% : Il suffit pour mesurer ce temps de réponse de repérer sur le graphique l’instant à partir duquel la réponse du système reste confinée dans le cylindre délimitant ± 5% de la valeur de la sortie en régime permanent. – Amplitude du premier dépassement : Pour calculer la valeur (en %) du premier dépassement, il suffit d’appliquer la formule suivante : D1 % = 100 ×

V smax − V s∞ V s∞

(2)

Avec V s∞ la valeur en régime permanent de la tension de sortie. Il est possible de déterminer la valeur du coefficient d’amortissement à partir de la valeur du premier dépassement grâce à l’abaque représentée à la FIGURE 8. – Pseudo-période ( T p) : La pseudo-période de l’oscillation est liée à la pulsation propre de la fonction de transfert par la relation suivante : T p =

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2π ω0 1 − ξ2



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F IGURE 8 – Relation entre coefficient d’amortissement et valeur du premier dépassement

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Annexe 2 – Les différents composants de vos schémas blocs se trouvent dans les différents onglets du "Navigateur de palettes XCOS " : Composant Nom Onglet Entrée échelon STEP FUNCTION Sources Comparateur SUMMATION Opérations mathématiques Oscilloscope CSCOPE Sinks Système linéaire CLR Systèmes à temps continu Multiplexeur MUX Routage du signal Horloge CLOCK c Gestion déévènements Gain GAINBLK f Opérations mathématiques Enregistrement des données WFILE f Sinks – Avant de lancer la simulation, il faut spécifier la durée de celle-ci ainsi que le pas de temps d’échantillonnage : – Durée de la simulation : Simulation→ Setup→ Temps d’intégration final – Pas de temps d’échantillonnage : CLOCK c→Period

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