LECTURA 05 INTER!AL"S DE C"NFIAN#A $ARA LA $R"$"RCI%N $"&LACI"NAL' $"&LACI"NA L' INTER!AL"S DE C"NFIAN#A C"NFIAN#A $ARA LA DIFERENCIA ENTRE ENTRE D"S $R"$"RCI"NES $"&LACI"NES' TE(A )) INTER!AL"S DE C"NFIAN#A $ARA LA $R"$"RCI%N $"&LACI"NAL )'
INTR"DUCCI"N
Muchas veces las decisiones dependen de parámetros que son binarios, parámetros con solo solo dos posibl posibles es catego categoría rías s dentr dentro o de las cuales cuales pueden pueden clasif clasifica icarse rse las respuestas respuestas.. En este caso el parámetro de interés interés es la proporción proporción poblacio poblacional nal o porc porcen enta taje je de la pobl poblac ació ión n que que cump cumple le cier cierta ta cara caract cter erís ístic tica. a. Por Por ejem ejempl plo o un psicológo puede estar interesada interesada en estimar el porcentaje de alumnos desertores en el ao académico por motivos familiares en una institución educativa, el porcentaje de trabajadores con stress laboral en una empresa , el porcentaje de matrimonios con psicoterapia de pareja ,etc. !onde" P"
Proporción poblacional de é#itos é#itos o proporción de elementos elementos de la población población que
tienen cierta característica.
P=
X
Número de elementos de la población que tienen cierta caracteristica
=
N
Número de elementos de la población
$" Proporción poblacional poblacional de de fracasos o proporción de elementos de la población que no tienen cierta características.
Q=
X'
=
Número de elementos de la población que no tienen cierta caracteristica
N
Número de elementos de la población
%demás" P+ Q
=
1
entonces
Q
=
1− P
_____________ _____________________ ______________ ______________ ______________ ______________ _______________ ______________ _______________ ____________ ____ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. 'echa " Mar(o )*&& +ersión ")
&
Universidad Los Ángeles de Chimbote
CURSO BIOESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
eneralmente la proporción poblacional se desconoce - tiene que ser estimado a través de la proporción muestral. Entonces" p"
Proporción muestral de é#itos o proporción de elementos de la muestra que
tienen cierta característica.
p
=
x
=
Número de elementos de la muestra que tienen cierta caracteris tica
n
q"
Número de elementos de la muestra
Proporción muestral de fracasos o proporción de elementos de la muestra que
no tienen cierta característica.
q
=
x'
=
Número de elementos de la muestra que no tienen cierta caracteristica
n
Número de elementos de la muestra
%demás" p + q = 1
*'
q = 1 − p
entonces
DEFINICI"N
Es el rango dentro del cual se encuentra la proporción poblacional con un nivel de confian(a dado. P L|
≤
P ≤ L2
=
1−
α
1 -
α /2
α /2
L1
P
L2
fig. &
___________________________________________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. 'echa " Mar(o )*&& +ersión ")
)
Universidad Los Ángeles de Chimbote
CURSO BIOESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
Para hallar los intervalos de confian(a para la proporción poblacional usaremos la estadística / para muestras grandes 0n
≥ 1*2.
Entonces los límites de confian(a
serán"
L1
=
p − Z 0
×
s p
=
p − Z 0
×
L2
=
p + Z 0
×
s p
=
p + Z o
×
p × q n
p × q n
+' ERR"R ESTÁNDAR DE LA $R"$"RCI%N 3i el tamao de la muestra es suficientemente grande 0n ≥ 1*2. 3i el muestreo es con o sin sustitución en una población infinita 0o con sustitución en una población finita de tamao 42, el error estándar es"
σ p =
s p
•
=
P × 1 − P ) n
que se estima por"
p × 1 − p) n
Si el m,estreo es sin s,stit,-i.n en ,na /obla-i.n inita de tama1o N el error est2ndar /ara la /ro/or-i.n /obla-ional esta dado /or σP =
s p
=
P× Q n
p × q n
×
×
N − n N − 1
que se estima por
N − n N − 1
___________________________________________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. 'echa " Mar(o )*&& +ersión ")
1
Universidad Los Ángeles de Chimbote
CURSO BIOESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
!onde" N − n
es el factor de corrección para población finita.
N − 1
E3em/lo ) 5n psicologo desea estudiar el porcentaje de pacientes con transtornos psicológicos que se atienden en su clinica, en una muestra aleatoria de 6* pacientes encuentra que &* de ellos padecen transtornos psicológicos. 7allar el intervalo de confian(a del 869 para la proporción de real de pacientes con transtorno psicológico.
Sol,-i.n •
3e desea estimar la proporción real de pacientes con transtorno spicológico.
•
:bservamos que la proporción muestral de pacientes con transtorno spicológico es" p =
10 #0
= 0!2 ⇒ q = 0!"
•
Para un nivel de confian(a del 869 el valor de /* ; &.8<
•
El error estándar de la proporción muestral es"
s p =
•
p × q n
=
0!2 × 0!" #0
= 0!0$
=os límites de confian(a para P son" L1 = p − Z0 ×
L 2 = p + Z0 ×
p × q n p × q n
= 0!2 − 1!%$ × 0!0$ = 0!2 − 0!12 = 0!0"
= 0!2 + 1!%$ × 0!0$ = 0!2 + 0!12 = 0!&2
Inter/reta-i.n 3e tiene una confian(a del 869 que el porcentaje de pacientes con transtorno psicológico varia entre el >9 - 1)9.
___________________________________________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. 'echa " Mar(o )*&& +ersión ")
Universidad Los Ángeles de Chimbote
CURSO BIOESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
E3em/lo * 3e desea conocer la opinión de los alumnos de la 5ladech en relación con la aceptación o no de la pena de muerte para los terroristas en el Per?. Para ello se ha tomado una muestra aleatoria simple de tamao 6**. 3i las respuestas afirmativas han sido &**, encontrar un intervalo de confian(a apro#imado del 869.
Sol,-i.n •
3e desea estimar la proporción de alumnos de la 5ladech que están de acuerdo con la pena de muerte para los terroristas en el Per?.
•
:bservamos también que la proporción muestral de personas que están a favor de la pena de muerte es" p =
x n
=
100 #00
= 0!20 ⇒ q = 0!"0 .
•
Para un nivel de confian(a del 869 el valor de /* ; &.8<.
•
El error estándar de la proporción muestral es"
s p =
p × q n
=
0!20 × 0!"0 #00
s p = 0!02
•
=os límites de confian(a para P son"
L1 = p − Z 0 ×
L 2 = p + Z 0 ×
p × q n p × q n
= 0!20 − 1!%$ × 0!02 = 0!1$
= 0!20 + 1!%$ × 0!02 = 0!2'
___________________________________________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. 'echa " Mar(o )*&& +ersión ")
6
Universidad Los Ángeles de Chimbote
CURSO BIOESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
Inter/reta-i.n 3e tiene una confian(a del 869 que el porcentaje de estudiantes de la 5ladech que afirman estar de acuerdo con la pena de muerte varía entre el &<9 )9.
E3em/lo + 3e desea estimar el porcentaje de aprobados de un curso de Psicología de una población de 6** alumnos. Para este fin, se uso una muestra de 16 alumnos que reveló un >*9 de aprobados. Estime la verdadera proporción de aprobados del curso Psicología dentro de una confiabilidad del 889 '
Sol,-i.n •
3e desea estimar la proporción de aprobados en el curso de Psicología
•
:bservamos que 4 ; 6** - n ; 16
•
:bservamos también que la proporción muestral de alumnos aprobados en el curso de Psicología" p = 0!" .
•
Para un nivel de confian(a del 889 el valor de /o;).6@<.
•
El error estándar de la proporción muestral es"
•
s p
=
s p
=
s p
=
p × q n
×
N− n N−1
0!"0 × 0!20 #00
×
#00 − #00 − 1
0!0(
=os límites de confian(a para P son"
___________________________________________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. 'echa " Mar(o )*&& +ersión ")
<
Universidad Los Ángeles de Chimbote
CURSO BIOESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
•
L1 = p − Z0 × s p
=
0!" − 2!#($ × 0!0( = 0!" − 0!1" = 0!$2
L2
=
0!" + 2!#($ × 0!0( = 0!" + 01" = 0!%"
=
p + Z0 × s p
3e tiene una confian(a del 889 que el porcentaje de alumnos aprobados en el curso de Psicologia varía entre el <)9 - 8>9.
TE(A )* INTER!AL"S DE C"NFIAN#A $ARA LA DIFERENCIA ENTRE D"S $R"$"RCI"NES $"&LACI"NALES
P L| ≤ P1 − P2 ≤ L 2 = 1 − α
1 -
α /2
α /2
P1 − P2 L1
L2
fig. 15
Para hallar los intervalos de confianza para la diferencia entre dos propociones poblacionales haremos uso de la estadística Z para muestras grandes (n 1≥ 30 y n≥30),entonces:
___________________________________________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. 'echa " Mar(o )*&& +ersión ")