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Universidad Los Ángeles de Chimbote

CURSO BIOESTADÍSTICA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD

LECTURA 05 INTER!AL"S DE C"NFIAN#A $ARA LA $R"$"RCI%N $"&LACI"NAL' $"&LACI"NA L' INTER!AL"S DE C"NFIAN#A C"NFIAN#A $ARA LA DIFERENCIA ENTRE ENTRE D"S $R"$"RCI"NES $"&LACI"NES' TE(A )) INTER!AL"S DE C"NFIAN#A $ARA LA $R"$"RCI%N $"&LACI"NAL )'

INTR"DUCCI"N

Muchas veces las decisiones dependen de parámetros que son binarios, parámetros con solo solo dos posibl posibles es catego categoría rías s dentr dentro o de las cuales cuales pueden pueden clasif clasifica icarse rse las respuestas respuestas.. En este caso el parámetro de interés interés es la proporción proporción poblacio poblacional nal o porc porcen enta taje je de la pobl poblac ació ión n que que cump cumple le cier cierta ta cara caract cter erís ístic tica. a. Por Por ejem ejempl plo o un psicológo puede estar interesada interesada en estimar el porcentaje de alumnos desertores en el ao académico por motivos familiares en una institución educativa, el porcentaje de trabajadores con stress laboral en una empresa , el porcentaje de matrimonios con psicoterapia de pareja ,etc. !onde" P"

Proporción poblacional de é#itos é#itos o proporción de elementos elementos de la población población que

tienen cierta característica.

P=

X

Número de elementos de la población que tienen cierta caracteristica

=

N

Número de elementos de la población

$" Proporción poblacional poblacional de de fracasos o proporción de elementos de la población que no tienen cierta características.

Q=

X'

=

Número de elementos de la población que no tienen cierta caracteristica

N

Número de elementos de la población

%demás" P+ Q

=

1

entonces

Q

=

1− P

_____________ _____________________ ______________ ______________ ______________ ______________ _______________ ______________ _______________ ____________ ____ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. 'echa " Mar(o )*&& +ersión ")

&




eneralmente la proporción poblacional se desconoce - tiene que ser estimado a través de la proporción muestral. Entonces" p"

Proporción muestral de é#itos o proporción de elementos de la muestra que

tienen cierta característica.

p

=

x

=

Número de elementos de la muestra que tienen cierta caracteris tica

n

q"

Número de elementos de la muestra

Proporción muestral de fracasos o proporción de elementos de la muestra que

no tienen cierta característica.

q

=

x'

=

Número de elementos de la muestra que no tienen cierta caracteristica

n

Número de elementos de la muestra

%demás" p + q = 1

*'

q = 1 − p

entonces

DEFINICI"N

Es el rango dentro del cual se encuentra la proporción poblacional con un nivel de confian(a dado. P L|

≤

P ≤ L2

=

1−

α

1 -

α /2

α /2

L1

P

L2

fig. &

___________________________________________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. 'echa " Mar(o )*&& +ersión ")

)




Para hallar los intervalos de confian(a para la proporción poblacional usaremos la estadística / para muestras grandes 0n

≥ 1*2.

Entonces los límites de confian(a

serán"

L1

=

p − Z 0

×

s p

=

p − Z 0

×

L2

=

p + Z 0

×

s p

=

p + Z o

×

p × q n

p × q n

+' ERR"R ESTÁNDAR DE LA $R"$"RCI%N 3i el tamao de la muestra es suficientemente grande 0n ≥ 1*2. 3i el muestreo es con o sin sustitución en una población infinita 0o con sustitución en una población finita de tamao 42, el error estándar es"

σ p =

s p

•

=

P × 1 − P ) n

que se estima por"

p × 1 − p) n

Si el m,estreo es sin s,stit,-i.n en ,na /obla-i.n inita de tama1o N el error est2ndar /ara la /ro/or-i.n /obla-ional esta dado /or σP =

s p

=

P× Q n

p × q n

×

×

N − n N − 1

que se estima por

N − n N − 1


1




!onde" N − n

es el factor de corrección para población finita.

N − 1

E3em/lo ) 5n psicologo desea estudiar el porcentaje de pacientes con transtornos psicológicos que se atienden en su clinica, en una muestra aleatoria de 6* pacientes encuentra que &* de ellos padecen transtornos psicológicos. 7allar el intervalo de confian(a del 869 para la proporción de real de pacientes con transtorno psicológico.

Sol,-i.n •

3e desea estimar la proporción real de pacientes con transtorno spicológico.

•

:bservamos que la proporción muestral de pacientes con transtorno spicológico es" p =

10 #0

= 0!2 ⇒ q = 0!"

•

Para un nivel de confian(a del 869 el valor de /* ; &.8<

•

El error estándar de la proporción muestral es"

s p =

•

p × q n

=

0!2 × 0!" #0

= 0!0$

=os límites de confian(a para P son" L1 = p − Z0 ×

L 2 = p + Z0 ×

p × q n p × q n

= 0!2 − 1!%$ × 0!0$ = 0!2 − 0!12 = 0!0"

= 0!2 + 1!%$ × 0!0$ = 0!2 + 0!12 = 0!&2

Inter/reta-i.n 3e tiene una confian(a del 869 que el porcentaje de pacientes con transtorno psicológico varia entre el >9 - 1)9.







E3em/lo * 3e desea conocer la opinión de los alumnos de la 5ladech en relación con la aceptación o no de la pena de muerte para los terroristas en el Per?. Para ello se ha tomado una muestra aleatoria simple de tamao 6**. 3i las respuestas afirmativas han sido &**, encontrar un intervalo de confian(a apro#imado del 869.

Sol,-i.n •

3e desea estimar la proporción de alumnos de la 5ladech que están de acuerdo con la pena de muerte para los terroristas en el Per?.

•

:bservamos también que la proporción muestral de personas que están a favor de la pena de muerte es" p =

x n

=

100 #00

= 0!20 ⇒ q = 0!"0 .

•

Para un nivel de confian(a del 869 el valor de /* ; &.8<.

•


s p =

p × q n

=

0!20 × 0!"0 #00

s p = 0!02

•

=os límites de confian(a para P son"

L1 = p − Z 0 ×

L 2 = p + Z 0 ×

p × q n p × q n

= 0!20 − 1!%$ × 0!02 = 0!1$

= 0!20 + 1!%$ × 0!02 = 0!2'


6




Inter/reta-i.n 3e tiene una confian(a del 869 que el porcentaje de estudiantes de la 5ladech que afirman estar de acuerdo con la pena de muerte varía entre el &<9 )9.

E3em/lo + 3e desea estimar el porcentaje de aprobados de un curso de Psicología de una población de 6** alumnos. Para este fin, se uso una muestra de 16 alumnos que reveló un >*9 de aprobados. Estime la verdadera proporción de aprobados del curso Psicología dentro de una confiabilidad del 889 '

Sol,-i.n •

3e desea estimar la proporción de aprobados en el curso de Psicología

•

:bservamos que 4 ; 6** - n ; 16

•

:bservamos también que la proporción muestral de alumnos aprobados en el curso de Psicología" p = 0!" .

•

Para un nivel de confian(a del 889 el valor de /o;).6@<.

•


•

s p

=

s p

=

s p

=

p × q n

×

N− n N−1

0!"0 × 0!20 #00

×

#00 − &# #00 − 1

0!0(

=os límites de confian(a para P son"


<




•

L1 = p − Z0 × s p

=

0!" − 2!#($ × 0!0( = 0!" − 0!1" = 0!$2

L2

=

0!" + 2!#($ × 0!0( = 0!" + 01" = 0!%"

=

p + Z0 × s p

3e tiene una confian(a del 889 que el porcentaje de alumnos aprobados en el curso de Psicologia varía entre el <)9 - 8>9.

TE(A )* INTER!AL"S DE C"NFIAN#A $ARA LA DIFERENCIA ENTRE D"S $R"$"RCI"NES $"&LACI"NALES

P  L| ≤ P1 − P2 ≤ L 2  = 1 − α

1 -

α /2

α /2

P1 − P2 L1

L2

fig. 15

Para hallar los intervalos de confianza para la diferencia entre dos propociones poblacionales haremos uso de la estadística Z para muestras grandes (n 1≥ 30 y n≥30),entonces:


@




L1

=

p1 − p2 ) − Z0 × s p1 − p2

L2

=

p1 − p 2 ) + Z0 × s p1 − p2

Donde:

s p

=

1− p2

s p

1− p2

=

p1q1 n1

p1q1 n1

+

  

p 2q 2 n2

− n1  +  N1 − 1 

N1

p2 q2 n2

  

− n2   N2 − 1 

N2

Enlosestableci$ientospenalesde&i$aun!upodepsicolo!osestudiaondos tiposdeeclusos'(na$uestade300intenosdeltipoe"el*que+0eaadictoa las do!as' En ota $uesta del tipo  de 2%0 intenos, el 3+ ea adicto a las do!as'-onstuiuninte"alodeconfian.adel//paaladifeenciadelasdos popocionespoblacionales'

a4 Se desea estimar P1 − P2 b) &as $uestas de intenos to$adas paa cada tipo e"elan la si!uiente info$aci*n:


>




TI$" DE RECLUS" TI$" I TI$" II n)+00 n**60 $)0'50 $*0'+5

n /

c) &adifeenciaentelasdospopociones$uestaleses: p1 − p2

=

0!#0 − 0!&# = 0!1#

d) Eleoest1ndaentelasdospopociones$uestaleses:

s p

=

s p

=

s p

=

1− p2

p1q1 n1

p 2q 2 n2

0!#0 × 0!#0

+

&00

1− p2

1− p2

+

0!&# × 0!$# 20

0!0&

e) aaunni"eldeconfian.adel//4o52'+67 f) Elinte"alodeconfian.apaaladifeenciaentedospopocionespoblacionales es:

L1

=

p1 − p2 ) − Z0 × s p1 − p2

L1

=

0!1# − 2!#($ × 0!0&

L1

=

0!1# − 0!0" = 0!0(


8




L2

=

p1 − p2 ) + Z0 × s p1 − p2

L2

=

0!1# + 2!#($ × 0!0&

L2

=

0!1# + 0!0" = 0!2&

Esdeci setieneunaconfian.adel//queel inte"alodeconfian.aentela difeenciaentelasdospopociones"a8aente6y23' P1 − P2 = 0 ∉ 9e$osquealinte"alodeconfian.a,loquequieedeciquelos

tiposdeeclusossondifeentesantesuadicci*nalasdo!as'&oseclusosTipo tienen$ayoadicci*nalasdo!asqueloseclusosTipo'


&*

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