FACULTAD DE INGENIERIA Curso: Cálculo 1
SOLUCIÓN HOJA DE TRABAJO N° 01 Sesión N°1: Límites de una función, Limites Laterales y al infinito Cálculo de Límites 1. Calcular los límites siguientes:
a) lim
x 1
2
x x
2
2
x
5 x
4
Solución: Si evaluamos, obtenemos: lim
x
x 1 x
2
2
x
2
0
Indeterminado
0
5 x 4
En este caso levantamos la indeterminación factorizando el numerador y el denominador: lim
x
2
1 x 2
x
b)
lim x 3
x
3
x
2
x
2
5 x 4
27
lim
( x 1)( x 2)
1 ( x
x
1)( x 4)
lim
1
x
x x
2
3
4
1
3
9
Solución: Evaluando, obtenemos:
lim x 3
x
3
x
2
27
0
0
9
indeterminado
Factorizando, para salvar la indeterminación: lim
3
x
c)
lim x 16
x
3
x
2
27
9
x
lim x
( x 3)( x 2
3
3 x 9)
( x 3)( x 3)
lim
x
3
2
3 x 9
x
x
(3) 2
3
3(3) 9
33
9 2
4
x 16
Solución: lim x 16
d) lim x 3
x
4
x 16
x 16
2 x 3 x
lim
x
4
x
4
x 16
x
4
lim x 16
x 16
x 16
x
1 4
8
x
3
Solución: 1
Límite de una función
2 x
lim
3
Cálculo 1
x
x 3
3
x
lim
lim x 3
x 2
4
x
lim
3
x
2 x
4 x
3
2
x
3
2 x
x
3
x
x 3
e)
2 x
x
3
x
2 x
3
3
3
x 3
x
x 1
2 x
lim
3
x
x
2
3
x
2 x 2 x
3
3
x
2
x
3
2
11 x
2
Solución: x
lim
2
x
f)
x
3
x
lim x 1
3
4
2 x 3
4 x 2
4x
x
2
2
x
2
11 x 2
3x
lim
( x 2)( x 3
2
x
( x 2)( x 2
1)
6 x 1)
x
lim
2
x
x
2
3
1
6 x 1
( 2) 3 (2) 2
1
19 7
6( 2) 1
2
13 x 14
Solución: lim
x
1
x
g) lim
x 64
3
4 x
x
2
3
3 x 2
13 x 14
lim
x
2
1
5 x 2 x 1
x
x
14 x 1
8
15
8
x
4
2
x
Solución: lim x 64
h)
x
lim
4
3
x 64
x
x
8
x
8
x
8
4
3
3
16 4
x
3
x
2
x
3
16 4
x
3
x
2
lim
x
x 64
3
64 16 4 x
x
8 64 x
3
x
2
3
x
lim x 0
8
1 3 x
1
Solución: lim x
i)
0
lim x 4
x
1 3 x
1
3
5 x
1
5 x
1 3 x 1 3 x
1 1
lim x
0
x
( 1 3 x
( 1 3 x )
2
1) 2
1
lim x
0
x
( 1 3 x 3 x
1)
lim x
0
( 1 3 x 3
1)
2 3
Solución:
2
Límite de una función
lim x 4
3
5 x
1
3
j)
Cálculo 1
x 0
x 4
5 x
x
lim
27
3
4
2
x
lim
3
5 x
3
5 x
1
5 x
1
5 x
3
5 x
1
5 x
lim x 4
4 1
5 x
x
3
5 x
x
27 9
x
27 9
x
4
1
2
Solución: 3
lim x
3 27 3 lim 0 x 4 2
x
0
x
27 3 x 4 2
x
4 2 x 27 27 0 2 3 3 x 4 4 x 27 3 x 27 9
lim x
2 4 2 3 x 27 33 3 x 4 2 x 272 33
x
x
4 27
Límites Laterales x 1 ; si x 1 2. Sea la función “f” definida por: f x x 2 ; si 1 x 1 1 x ; si x 1
Solución: Calcular: a) b) c) d)
lim f ( x) lim x 1 0
x 1
x 1
lim f ( x) lim x 2 1
x1
x1
lim f ( x) lim x 2 1
x1
x1
lim f ( x) lim 1 x 0
x1
x1
4 x 2 ; si x 2 3. Sea la función “h” definida por: h x 2 ; si 2 x 5 x 5 ; si x 5
Solución: Calcular: a) b) c) d)
lim f ( x) lim 4 x 2 0
x2
x 2
lim f ( x) lim 2 2
x 2
x 2
lim f ( x) lim 2 2
x5
x 5
lim f ( x) lim x 5 0
x5
x5
3
Límite de una función
Cálculo 1
ax 2 bx 1; si x 1 4. Sea la función “h” definida por: h( x) 2ax b; si 1 x 2 . x 1; si x 2 Calcular los valores de “a” y “b” tales que lim h( x) y lim h( x) existan. x 1
x 2
Solución: a) Como lim h( x) existe, tenemos: x 1
lim h( x) lim h( x)
x 1
lim
x 1
ax
2
x 1
bx 1 lim 2ax b x 1
a b 1 2 z b
De lo cual se tiene: a
2b
1
b) Como lim h( x) existe, tenemos: x 2
lim h( x) lim h( x) x 2
x 2
lim 2ax b lim x 1 x 2
x 2
4a b 3
a 2b 1 4a b 3
De las dos ecuaciones anteriores, tenemos: Resolviendo este sistema, tenemos: a
5
7
y b
1
7
Límites al Infinito 5. Calcular los límites al infinito siguientes: a) lim x
2 x
2
3 x
2
3x 5
2x 1
Solución: lim x
b) lim x
2 x 3 x
2 2
2
16 x x
3 x 5
2
2 x 1
2
3
4
7
Solución:
4
Límite de una función
Cálculo 1
16 16 x
lim x
x
2
7
2
7
x
lim x
7
2
x
lim x
x
2
1
5x 6 x
7 x
c)
4
0
2
Solución: lim
x
2
5 x
6
x
x
lim x
x
5 x
6
x
2
5 x
6 x
x
2
5 x
6
5 x
6
x
2
5 x
6
x
2
x
2
x x
x
lim
2
x
5 x
lim x
6
5
x
2
5 x
6
x
2
Límites y Gráficas de Funciones 6. Para la función “g”, abajo, ca lcular: a)
lim g (t ) 1
x 0
c)
lim g (t ) 0 x 2
e)
b) lim g (t ) 2 x 0
d) lim g (t ) 2 x 2
g (0) 1
f)
g (2)
1
7. En el caso de la función R, cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente:
a) lim R( x) x 2
c)
lim x 3
R ( x)
b) lim R ( x ) x 5
d) lim
x 3
R ( x )
8. Los perros pueden ser huéspedes de cualquier especie de pulga, causando Dermatitis alérgica por picadura de pulga (DAPP). Para una relación particular perro – pulga, se determinó que cuando la densidad del perro (número de pulgas por unidad de área) es x, el número de perros con pulgas en un periodo determinado es: P
800 x 8 40 x
Si la densidad del perro estuviese aumentando indefinidamente, ¿Cuál es el número de perros con pulgas se aproximaría en un tiempo determinado? 5
Límite de una función
Cálculo 1
Solución: Recordemos que los límites al infinito son límites que se caracterizan porque la variable independiente x tiende a valores muy grandes o muy pequeños, es decir x o x . El problema nos pide determinar el límite de función P ( x ), obteniendo: lim
P ( x)
x
800 x
lim x
P cuando
. Para ello evaluamos la
forma indeterminada
8 40 x
x
Para salvar la indeterminación, utilizamos la estratega de dividir entre
x ,
es decir:
800 x lim
P ( x)
x
lim x
800 x 8 40 x
x
lim
x
8 40 x
lim
x
x
800 8 40
800
0 40
20
x
Respuesta: Por lo tanto el número de perros con pulgas en un tiempo determinado se aproximaría a 20.
9. En las siguientes situaciones, utilizar la función de posición
2
s(t ) 16t
1000 , que da la
altura (m) de un objeto que lleva caye ndo “t” segundos desde la altura de 1000 m. La velocidad en el instante t = a segundos está dada por:
lim
s ( a ) s (t ) a t
t a
.
a) A un mecánico se le cae una llave desde una altura de 1000 m. ¿A qué velocidad está cayendo luego de 5 s?
Solución: lim t 5
s(5) s (t )
5 t
lim
600 16t 2
1000
5 t
t 5
16 lim
t
2
t 5
25
lim t 5
16 lim
t 5
t 5
16t 2
400
t 5
t 5t 5 t 5
160
Respuesta: El objeto está cayendo a una velocidad de 160 m/s. b) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar en el suelo? ¿Llegará con qué velocidad?
Solución: Para determinar el momento en que llega al suelo, hacemos lo siguiente: s (t ) 0
16t 2
1000
t
0 7.90 6
Límite de una función
Cálculo 1
Para determinar la velocidad con que llegará al piso, hacemos lo siguiente:
lim
s (7.90) s (t )
t 7.90
7.90 t
lim
1.44 16t 2
1000
7.90 t
t 7.90
16 lim
t
2
t 7.90
16t 2
lim
t 7.90
62.41
998.56
t 7.90
t 7.90t 7.90
16 lim
t 7.90
252.8
t 7.90
t 7.90
Respuesta: El objeto está cayendo a una velocidad de 252.8 m/s. 10. Los impuestos de cierto Estado se aplican al 12% los primeros 20 000 euros y al 16% el resto del capital. Se tiene la función: T ( x)
Se sabe que lim x 0
T ( x)
a 0,12 x ; si x 20000 b 0,16 x 20000 ; si x 20000
1000 y que
lim
x 20 000
T ( x ) existe.
Solución: a) Hallar las constantes “a” y “b”. 1. Sabemos lim x 0
T ( x )
1000 , lo cual significa que:
lim a 0.12 1000 x 0
2. Sabemos
lim
T ( x ) existe,
x 20000
a
1000
lo cual significa que:
lim
x 20000
T ( x )
lim
lim (1000 0.12 x ) lim
x 20000
x 20000
T ( x )
b 0.16 x 20000
x 20000
3400 b) ¿Cuál es la importancia de la existencia estos límites? La existencia de los límites es importante pues de esa manera se obtienen los valores de a y b, ya que de lo contrario no sería posible.
b
c) Graficar la función e indicar si es o no continua. De la gráfica siguiente, podemos concluir que la función sí es continua.
3400 1000 x 20 000
7
