Ruote Dentate a Denti Diritti

ITIS “G. MARCONI” – BARI CORSO SERALE PROGETTO SIRIO A.S. 2009-2010

DISPENSA DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE N° 3

LA TRASMISSIONE DELLA POTENZA Ruote dentate a denti diritti

Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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Corso Serale Progetto “Sirio”

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RUOTE DENTATE A DENTI DIRITTI Lo studio delle ruote di frizione ha dimostrato che le potenze trasmissibili con tale meccanismo sono piccole e che sono necessarie adeguate forze normali di compressione per sviluppare la forza tangenziale d’attrito necessaria al funzionamento. Tali forze normali poi devono essere contenute per non generare deformazioni locali nel contatto e perdite eccessive per attrito nei perni dei cuscinetti. Per superare queste limitazioni si utilizzano altri organi di macchine come le ruote dentate il cui moto relativo non è assicurato dall’attrito ma dall’azione mutua che si scambiano opportuni risalti (denti) ricavati sulla periferia di un cilindro. Ecco alcuni esempi di ruote dentate a denti diritti:

1

Ruote dentate cilindriche a denti dritti, dentatura esterna e dentatura interna.

2

Pignone - cremagliera.

3

Ruote dentate coniche.

Premettiamo le seguenti importanti definizioni: Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari - Corso Serale Progetto “Sirio”

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Si definisce ruota dentata un organo di macchina dotato di opportuna dentatura atta a trasmettere un moto rotatorio e un momento torcente. Si definisce ingranaggio un meccanismo elementare costituito da una coppia di ruote dentate (fig. 4). Si definisce rotismo una combinazione di ingranaggi formanti una catena cinematica. Dato un ingranaggio, la ruota più piccola viene chiamata pignone e la ruota più grande viene chiamata corona (o ruota) (indicheremo le grandezze relative alla ruota motrice con il pedice 1 e quelle relative alla ruota condotta con il pedice 2):

Mt1

pignone (conduttore)

  momento motore

velocità angolare ruota motrice

Mt2 velocità angolare ruota condotta



momento resistente

corona (condotta) 4

Schema di un ingranaggio.

Si definisce rapporto di trasmissione “ i ” il rapporto tra la velocità angolare della ruota motrice e quella della ruota condotta:

>1 i = ω 1/ω2

=1 <1

Se i > 1 allora l’ingranaggio è riduttore; se i = 1 l’ingranaggio è indifferente; se i < 1 l’ingranaggio è moltiplicatore. Sapendo che =2n si può esprimere il rapporto di trasmissione in funzione del numero di giri:

i = n1/n2 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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GEOMETRIA DI UNA RUOTA DENTATA Le caratteristiche geometriche di una ruota dentata sono così definite (figg. 5-6): Circonferenza di testa (di diametro da) è la circonferenza che limita superiormente la dentatura. Circonferenza di piede (di diametro dd) è la circonferenza che limita inferiormente la dentatura. Circonferenza primitiva (di diametro dp) è la circonferenza ideale rispetto alla quale la ruota dentata può essere studiata come una ruota di frizione; la trasmissione del moto con due o più ruote dentate, allora, può essere studiata come se esse fossero ruote di frizione di diametro uguale a dp. Circonferenza di base (di diametro db) è la circonferenza che viene utilizzata come geometria di riferimento nella costruzione del profilo ad evolvente di cerchio dei denti.

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Definizioni delle circonferenze caratterizzanti una ruota dentata.

Addendum (ha): altezza del dente compresa tra la circonferenza primitiva e la circonferenza di testa. Dedendum (hd): altezza del dente compresa tra la circonferenza di piede e la circonferenza primitiva. Altezza del dente (h): somma delle due altezze ha e hd. Larghezza della dentatura (b): ingombro assiale del dente. Passo (p): distanza misurata sulla circonferenza primitiva, tra gli assi di due denti consecutivi. Condizione necessaria affinché due ruote dentate ingranino fra di loro è che abbiano lo stesso passo e ciò equivale a dire che le due ruote hanno lo stesso modulo. Vano (v): distanza misurata sulla circonferenza primitiva tra i profili di due denti consecutivi. Spessore (s): distanza misurata sulla circonferenza primitiva tra i profili di uno stesso dente. (N.B. Lo spessore ed il vano sono pari a metà del passo). Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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Costa: superficie del dente al di sopra della superficie cilindrica primitiva. Fianco: superficie del dente al di sotto della superficie cilindrica primitiva.

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Geometria del dente di una ruota dentata

Detto z il numero di denti della generica ruota dentata, vale ovviamente la relazione seguente:

p • z = 2πrp da questa relazione ricaviamo il passo:

p = π dp/z (mm) Possiamo ora ricavare due nuove espressioni del rapporto di trasmissione; la prima espressione si ricava tenendo conto che le velocità periferiche delle due ruote (valutate nel punto di contatto fra le circonferenze primitive) sono uguali:

vp1= vp2

 1 rp1 = 2 rp2 

i = ω1/ω2 = rp2/rp1 = dp2/ dp1

la seconda relazione si ricava dall’eguaglianza del passo tra le due ruote affinché l’ingranamento sia possibile:

p1=p2

 π dp1/z1 = π dp2/z2  i = ω1/ω2 = z2/z1

Si definisce rapporto di ingranaggio (u) il rapporto tra il numero dei denti della corona e il numero dei denti del pignone (e ciò a prescindere dal fatto che essa sia motrice o condotta):

u = z2/z1 > 1 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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si può notare dalla definizione che il rapporto di ingranaggio coincide con il rapporto di trasmissione quando l’ingranaggio è riduttore (i > 1).

PROPORZIONAMENTO MODULARE Un metodo per proporzionare una ruota dentata può essere quello di mettere le varie grandezze geometriche in relazione al passo ma, essendo il passo un numero irrazionale (decimale illimitato non periodico), ciò implicherebbe la necessità di dover effettuare varie approssimazioni di calcolo a scapito della precisione, pertanto si preferisce definire una nuova grandezza geometrica detta modulo e riferire il dimensionamento della ruota a questa grandezza. Dunque, si definisce modulo il rapporto tra il diametro primitivo e il numero di denti (oppure il rapporto tra il passo e π) :

m = dp/z = p/π (mm) m, a differenza di p, è un numero decimale limitato e quindi ciò consente di eliminare l’imprecisione dovuta al valore irrazionale del passo. Il calcolo della ruota dentata eseguito con il modulo, viene detto proporzionamento modulare. I valori del modulo devono essere scelti tra quelli normalizzati (fig. 7): VALORI NORMALIZZATI DEL MODULO (mm) – UNI 6586 0,5 2,75 10

0,75 3 11 7

1 3,5 12

1,125 1,25 1,375 4,5 4 5 14 16 18

1,5 5,5 20

1,75 6 22

2 7

2,25 8

2,5 9

Valori del modulo (in grassetto quelli da preferire)

Si hanno le seguenti relazioni geometriche (proporzionamento normale) (fig.8):

ha = m hd = 1,25 m h = ha + hd = m + 1,25 m = 2,25 m p=πm

8 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

Modulo di una ruota dentata cilindrica a denti diritti. -


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dp = m z da = m z + 2m dd = m z – 2,5 m db = dp cos = m z cos v = p/2 = π m/2 rb = rp cosθ In caso di proporzionamento ribassato si ha:

ha = 0,8m hd = m h = 1,8m STUDIO CINEMATICO Affinché due ruote dentate possano ingranare tra loro è necessario che esse abbiano lo stesso passo (p) e lo stesso modulo (m), questo però non basta perché, affinché la trasmissione del moto avvenga senza urti e distacchi, è importante che anche il profilo dei denti rispetti certe condizioni: se vogliamo che durante il moto i denti si mantengano costantemente in contatto tra loro allora i loro profili devono essere coniugati. Per generare due profili coniugati si utilizza il metodo dell’epiciclo che consiste nel far rotolare una retta t, tangente alle due circonferenze di base e passante per il punto C di tangenza delle circonferenze primitive, una volta sulla circonferenza di base della corona e una volta sulla circonferenza di base del pignone. Durante tali moti il punto P descriverà due curve tra loro coniugate dette evolventi del cerchio (fig. 9).

9

Profilo ad evolvente del cerchio.


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Per i profili coniugati vale la seguente proprietà: La normale comune ai profili coniugati nel punto di contatto passa per il punto C di tangenza dei cerchi primitivi (ciò garantisce la costanza del rapporto di trasmissione qualsiasi sia il punto di contatto tra i denti). Se così non fosse si avrebbe il distacco o la compenetrazione dei profili durante il moto. I profili ad evolvente godono poi delle seguenti proprietà: 1. La forza trasmessa dai denti, se si trascurano gli attriti, ha direzione costante. 2. I profili rimangono coniugati anche variando l’interasse, in questo caso cambia solo l’angolo  (angolo di pressione). 3. La ruota con un numero infinito di denti (denominata dentiera) ha le superfici dei denti piane. Durante l’ingranamento delle due ruote dentate il punto di contatto tra due generici denti si sposta su di un segmento appartenente ad una retta chiamata retta dei contatti (t), il segmento prende il nome di linea di ingranamento ed è delimitato dai punti A e B intersezioni della retta t con le circonferenze di testa delle due ruote (fig. 10).

10 Linea d’ingranamento e arco d’azione.

Durante il moto del punto di contatto dei denti dal punto A al punto B, le due circonferenze primitive rotolano su di un arco s, denominato arco di azione. Tale arco si ottiene intersecando i prolungamenti dei segmenti O1A e O2B (O1 e O2 centri delle due ruote) con le circonferenze primitive ottenendosi due punti M e N che delimitano l’arco d’azione. I due archi CM e CN sono detti rispettivamente arco di accesso e arco di recesso (fig. 10). Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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Esiste una relazione tra la lunghezza dell’arco di azione e il passo di una ruota, tale relazione, che prende il nome di condizione di continuità del moto, è la seguente:

s p Se non si verificasse tale condizione (ad esempio risultasse che p > s) vorrebbe dire che in un arco di lunghezza p-s non si avrebbero denti in presa e quindi il moto della ruota dentata risulterebbe discontinuo, cosa che non è accettabile. La retta d’azione (o retta di pressione) rappresenta la direzione dello sforzo che si scambiano i denti in presa di un ingranaggio ed ha direzione costante durante la trasmissione del moto (nel caso ideale di attrito nullo) (fig. 11). Tale retta ha la direzione della linea d’ingranamento e quindi passa per il punto di contatto delle circonferenze primitive, forma con la retta tangente a tali circonferenze primitive passante per lo stesso punto un angolo  (angolo di pressione). Per l’angolo di pressione esistono valori normalizzati pari rispettivamente a 20°, 15° e 14°30’. La retta d’azione è anche tangente alle circonferenze di base.

11 Retta d’azione. L’ultima condizione da rispettare nella costruzione delle ruote dentate è il numero minimo della ruota più piccola (pignone) e ciò allo scopo di evitare l’interferenza dei profili (compenetrazione tra i denti). Tale numero di denti si ricava con la seguente formula:

z min 


2  u  u  1  2u   sin 2   2

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u è il rapporto di ingranaggio:

u = z2 /z1 Costruttivamente, per realizzare questo numero di denti minimo, il diametro della circonferenza di piede si fa minore del diametro della circonferenza di base (dd < db).

STUDIO DINAMICO La potenza che viene trasmessa fra due ruote dentate si può calcolare con la seguente formula : N = M1 ω1 che si può anche scrivere nel modo seguente:

N = Ft r ω1 Ft è la forza tangenziale. Per ricavarla bisogna considerare la forza totale F scambiata fra i due denti in presa, che ha direzione costante e coincidente con la retta d’azione (fig. 12). Scomponendo la forza F in direzione tangenziale e radiale abbiamo le due componenti Ft e Fn. Ft = F cos è la forza responsabile della trasmissione del momento torcente e sollecita i denti a flessione e taglio. Fn = F sen è la forza radiale che sollecita il dente a compressione.

12 Azioni scambiate da una coppia di ruote dentate.

In conclusione la forza Fn non dà nessun contributo alla trasmissione della potenza e il suo effetto è quello di allontanare le ruote. Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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La relazione fra Fn e Ft è: Fn = Ft tg

AZIONI MUTUE Le azioni che vengono scambiate durante il moto sono rappresentate nella seguente figura (fig. 13): Mt Ruota cedente

Fn1

Mt1 

 Fn1 Ft1

Ft2

Fn1

Ft1

Fn2 Fn2 Ft2



Ruota ricevente



Ft1

Fn1

Mt1

Ft2

Fn2

Mt2

Mt2

(a)

Ft1

(b)

Fn2

Ft2

(c)

13 Azioni mutue tra le ruote dentate: (a) equilibrio dinamico del sistema complessivo, (b) equilibrio dinamico delle singole ruote, (c) azioni trasmesse all’albero.

La ruota motrice applica alla condotta le forze Ft2 ed Fn2 (forze di azione) in modo tale che risulti:

Mt2 = Ft2 r2 Per il terzo principio della dinamica, la ruota condotta applica alla ruota motrice le forze Ft1 ed Fn1 (forze di reazione) uguali e contrarie a Ft2 ed Fn2 in modo che risulti:

Mt1 = Ft1 r1 Le azioni ricevute dagli alberi sono a loro volta opposte a quelle che loro stessi hanno trasmesso alle ruote e perciò sono concordi con le forze ricevute dalle ruote. In presenza di attrito, la potenza trasmessa (potenza utile) è minore di quella motrice NU < NM. Il rendimento della trasmissione è: Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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η = NU /NM = 1 / (1 + ƒ π ( 1/z1 + 1/z2 )) ƒ = coefficiente d’attrito. Per ingranaggi ad assi paralleli si ha η = 0,950,98.

CALCOLO DI RESISTENZA DELLE RUOTE DENTATE

Si fa in funzione della potenza da trasmettere, del numero di denti e del carico unitario di sicurezza del materiale tenuto conto della dinamicità della trasmissione e quindi dalla velocità della ruota.

Consideriamo un ingranaggio con le grandezze relative alla ruota motrice indicate con il pedice 1 e con quelle relative alla ruota condotta indicate con il pedice 2. Nello studio dinamico abbiamo visto che la ruota motrice applica alla ruota condotta una forza F (forza totale scambiata tra i denti) che può essere scomposta in due componenti (fig. 13): Forza tangenziale

Ft = F cos 

Forza normale

Fn = F sen 

La forza tangenziale Ft può essere calcolata in funzione della coppia da trasmettere :

Ft =Mt1/r1 = N/ωr1 = N/vp Pertanto la forza tangenziale è uguale al rapporto tra la potenza da trasmettere e la velocità periferica della ruota. Per proporzionare i denti della ruota ci sono due metodi: Metodo di REULEAUX Tale metodo considera il dente come una trave incastrata di lunghezza h e di sezione rettangolare pari a s•b soggetta alla forza periferica Ft applicata sullo spigolo del dente in corrispondenza del diametro di troncatura esterna (fig. 14). Si tratta pertanto di un metodo di progetto a flessione del dente.

14 Schema statico del dente di una ruota dentata. Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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La larghezza b del dente si calcola con la seguente relazione:

b=λm in cui λ dipende dalla qualità della dentatura e dalle condizioni di lavoro. I valori di si possono ricavare dalla seguente tabella (v. tabella di fig. 15): λ

QUALITÀ DELLA DENTATURA E CONDIZIONI DI LAVORO

Dentatura fusa precisa oppure tagliata alla fiamma; pignone con supporti esterni non rigidi Dentatura non rettificata, temprata Dentatura lavorata bene, supporti nello stesso carter del ruotismo rigidi e ben allineati Dentatura lavorata di precisione, n1 3000 min-1 Superficie dei denti pressoché perfetta, elevata precisione di dentatura, supporti rigidi, n1 3000 min-1 15 Valori di λ.

610 515 1020 2040 4080

Lo spessore s del dente è:

s = p/2 = π m/2 pertanto la sezione di incastro è soggetta al momento flettente Mf max :

Mf max = Ft h e alla sollecitazione di taglio:

Tmax = Ft La condizione da rispettare affinché il dente lavori in condizioni di sicurezza è:

σmax = Mf max/ Wf ≤ σamm sostituendo a Mf

max

e a Wf le grandezze da cui dipendono, si perviene alla seguente formula

del modulo:

m3

10,9M t1 z1 f v amm

ƒv è il fattore di velocità che serve a ridurre il valore della tensione ammissibile statica. Il prodotto ƒv • σamm fornisce la tensione ammissibile dinamica che si indica con σamm,d:

σamm,d = ƒv • σamm Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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Il fattore di velocità ƒv è funzione della velocità periferica vp. Per ruote molto precise e velocità periferiche maggiori di 20 m/s:

ƒv = 5,6/(5,6 + vp) Per ingranaggi veloci vp < 20 m/s e buona precisione:

ƒv = 6/(6 + vp) Per dentature lente e scarsa precisione:

ƒv = 3/(3 + vp) Il calcolo del modulo va eseguito sulla ruota più piccola perché è la più sollecitata e ciò a prescindere dall’essere la ruota motrice o condotta. Metodo di LEWIS Il metodo in esame è anch’esso un metodo di progetto a flessione; ciò che lo differenzia da quello di Reuleaux è il punto di applicazione della forza tangenziale Ft che adesso è il punto dove la retta di pressione interseca l’asse del dente (fig. 16). La forza Ft agisce ora ad una distanza h’ minore dell’altezza del dente che viene considerato ora come un solido di uniforme resistenza a flessione (di profilo parabolico) avente la sezione resistente di base di dimensioni (fig. 16):

b = λ m (larghezza del dente) s’ < s (spessore del dente)

16 Resistenza a flessione del dente secondo Lewis.


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In pratica si pongono:

s’ = c1 m h’ = c2 m dove c1 e c2 sono fattori che tengono conto della geometria. Sulla falsariga di quanto fatto nel primo metodo, considerando cioè il dente come una trave incastrata, si ha un momento flettente:

Mf max = Ft h’ e a una sollecitazione di taglio:

Tmax = Ft La condizione da rispettare pertanto affinché il dente lavori in condizioni di sicurezza è:

σmax = Mf max/ Wf ≤ σamm sostituendo a Mf max e a Wf le grandezze da cui dipendono, si perviene alla seguente formula:

σmax = 6 Ft h’/ (λ c12 m3 ) = σamm e sostituendo h’ avremo anche:

σmax = 6 Ft c2 m /(λ c12 m3 ) = σamm Infine, sostituendo la relazione di F si perviene alla seguente formula del modulo:

m  c3

M t1 z1 f v amm

In cui c è un fattore che dipende da y (fattore di forma) (v. tabella di fig. 17):

y = c12 / 6 c2 ___ c = ³√ 2/y


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17 Fattore di Lewis. Il metodo di LEWIS, rispetto al metodo di REULEAUX, consente di ottenere moduli più piccoli e quindi dimensioni delle ruote più contenute con i seguenti vantaggi: 1 2

diminuzione dell’usura per strisciamento diminuzione della rumorosità

Procedimento schematico per il calcolo del modulo Vediamo come si procede in pratica e per far questo supponiamo che la ruota più piccola dell’ingranaggio (che è la più sollecitata) sia conduttrice (così facendo tutte le varie grandezze fisiche che si riferiscono a tale ruota devono essere indicate con il pedice 1 altrimenti, se fosse stata condotta, le avremmo dovuto indicare con il pedice 2). Data la potenza N si calcola quella corretta Nc: Nc = ƒs N ƒs = fattore di servizio (tabulato) Si calcola Mt1:

Mt1= Nc/1 Si assumono λ, z1 > zmin, σamm e vp. Si calcolano ƒv , c e m:

ƒv = 6/(6 + vp) ___ c = ³√ 2/y

m  c3

M t1 z1 f v amm

Quindi si unifica il modulo e si calcola il raggio rp1 della ruota dentata (quella piccola):

rp1 = m z1 / 2 Poi si calcola la velocità periferica vp‘ :

vp‘ = ω1 rp1 e si verifica che sia:

vp‘ ≤ vp Se la disuguaglianza è verificata, si procede al dimensionamento dell’ingranaggio. Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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Se la disuguaglianza non è verificata, si ripete il calcolo assumendo come nuova velocità periferica di progetto proprio quella ottenuta con il calcolo precedente cioè vp = vp‘.

VERIFICA AD USURA Durante l’ingranamento il profilo del dente è sottoposto ad usura che può mettere rapidamente fuori servizio l’ingranaggio. Durante la trasmissione del moto, infatti, i profili dei denti in contatto strisciano l’uno sull’altro e se la lubrificazione manca o è di cattiva qualità tale azione viene incrementata. Una tipica forma di usura è il pitting. Il pitting è caratterizzato dalla presenza di cavità distribuite sulla superficie la cui formazione può essere attribuita a processi di fatica, adesione locale o cavitazione sulla superficie o nel substrato del materiale. L’esperienza mostra che le massime usure si producono nel fianco del dente in prossimità della primitiva. Con riferimento a due ruote dentate cilindriche esterne, con angolo di pressione di 20°, per la valutazione della pressione specifica nel punto di contatto sulla primitiva si utilizza la teoria di Hertz che fornisce la seguente relazione:

pmax  f m

2 M t1 1 1 (  ) bd p1sen2 d p1 d p 2

(N/mm2)

in cui il coefficiente fm ha i seguenti valori: fm = 380 N1/2 /mm per acciaio su acciaio fm = 310 N1/2 /mm per acciaio su ghisa fm = 269 N1/2 /mm per ghisa su ghisa La pressione massima così calcolata deve risultare minore della pamm :

p amm  2,45 6

HB nh

(N/mm2)

in cui HB è la durezza Brinell in N/mm2), n è la frequenza di rotazione in giri/min e h è il tempo di funzionamento in ore. Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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ESEMPIO CALCOLO DI RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI DIRITTI Proporzionare un ingranaggio che deve trasmettere la potenza di N = 4.25 kW, con numero di giri n1 = 1200 g/min e con rapporto di trasmissione i=1.5. Tempo di funzionamento previsto 100 ore.

Mt1

pignone (conduttore)

  momento motore

velocità angolare ruota motrice

Mt2 velocità angolare ruota condotta



momento resistente

corona (condotta)

N.B. I calcoli si effettuano sempre sul pignone. Scelta del fattore di servizio fs per servizio intermittente e lieve sovraccarico: fs =1.2 (consultare il manuale di meccanica 3^ ed. Zanichelli a pag. 684). Calcolo della potenza di calcolo Nc È data dal prodotto della potenza della macchina per il fattore di servizio: Nc = N fs = 4,25  1,2 = 5,1 kW = 5100W Calcolo di zmin che dipende dall’angolo di pressione  e dal rapporto di ingranaggio u.


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Dal volume 1° del libro di testo a pag. 372 (tab. 25/3): u  15° 20° 25°

1

2

3

4

5

21 13 9

25 15 10

26 15 10

27 16 11

28 16 11

6

7

8

9

10

28 16 11

29 17 11

29 17 11

29 17 11

29 17 11

zmin

Per u = 1.5 e si ha zmin = 15 , pertanto si assume z1=20. Dato il tipo di materiale C 10 avente σr =540÷930 N/mm2, si assume σr= 540 N/mm2.

r

Si determina la σamm che è data dal rapporto

σamm =

n

r

=

n

, che per n=3 vale:

540 =180 N/mm2 3

Calcolo di λ Si assume λ=15 (tabulato, consultare il manuale a pag. 684). Calcolo del fattore c Esso dipende dal numero di denti: c = 1.84 (si può ricavare dal manuale di meccanica 3^ ed. Zanichelli a pag. 684). Si assume la velocità periferica di progetto vp = 4m/sec (velocità di tentativo). Calcolo di fv (fattore di velocità) Il fattore di velocità per ingranaggi veloci e buona precisione: fv = 6/(6 + vp)= 6/( 6+4)= 6/10 = 0.6 Calcolo del momento motore Il momento motore Mt1 è dato dal rapporto tra la potenza di calcolo Nc e la velocità angolare: ω1= 2 π n1 / 60 = 2 3.14  1200 / 60 = 125.66 rad/sec Mt1= Nc/ ω1 = 5100 / 125.66 = 40.58 N m = 40580 N mm Calcolo del modulo

m  c3

M t1 = 1,98 mm z1 f v amm

Scelta del modulo Moduli unificati (mm) (in grassetto i moduli consigliati) (v. manuale di meccanica 3^ ed. Zanichelli a pag. 680): Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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0.50 3.25 11

0.75 3.5 12

1 3.5 14

1.125 3.75 16

1.25 4 18

1.375 4.5 20

1.5 5 22

1.75 5.5 25

2 6 28

2.35 6.5 32

2.5 7 36

2.75 8 40

3 9 45

3.25 10 50

Si considera il modulo unificato uguale a 2 mm, esso serve per dimensionare il raggio primitivo rp1 che è dato dalla relazione che segue: rp1= m z1 / 2 = 2  20 / 2 = 20 mm = 0.02 m Calcolo la velocità periferica della ruota 1: vp1 = rp1 ω1 = 0.02 (2  3.14  1200 / 60) = 2.51 m/sec Verifica della velocità periferica Dato che si è assunta inizialmente la velocità periferica vp = 4 m/s si ha che vp1 < vp quindi la verifica è soddisfatta; tuttavia volendo fare vp1 non molto diversa dalla vp, si può procedere ad un secondo tentativo. Si aumenta il numero di denti z1 = 25 e, fermo restando tutti gli altri dati vp = 4 m/sec, fv = 0.6, σamm = 180 N/mm2 e Mt1 = 40580 N mm, si determinano y = 0.342, c =1.8 e m = 1,8 mm che si unifica sempre a 2 mm. Infine si verifica la velocità: Calcolo del nuovo rp1: rp1= m z1 / 2 = 2 25 / 2 = 25 mm = 0.025 m (raggio primitivo) Calcolo della nuova velocità periferica effettiva: vp1 = rp1 ω1 = 0.025 (2  3.14  1200 / 60) = 3.14 m/sec < 4 m/s pertanto la verifica è ancora soddisfatta. La ruota è ora sicuramente meglio proporzionata. Calcolo della larghezza della ruota La larghezza della ruota è dato dal prodotto di λ e il modulo: b = λ m = 15  2 = 30 mm Calcolo dell’altezza del dente L’altezza è data dalla somma delle due altezze: addendum ha e dedendum hd, dove: ha = m =2 mm hd = 1.25m = 2.5 mm h = ha + hd = 2+2.5 = 4.5 mm oppure h = 2.25  m = 2.25  2 = 4.5mm Calcolo del passo p = π m = 3.142 = 6.28 mm Calcolo del diametro primitivo dp1 = mz1 = 225 = 50 mm Calcolo del diametro di testa Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari

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da1 = mz + 2m = 2 5 + 2 = 54 mm Calcolo del diametro di piede dd1 = mz – 2.5m = 225 – 2.52 = 45 mm Calcolo del vano del dente v = p / 2 = 6.28 / 2 = 3.14 mm Dimensione della ruota 2 rp2 = rp1  i = 251.5 = 37.5 mm

Calcolo dei numeri dei denti della seconda ruota z2 = z1  i = 25 1.5 = 37.5 si assumono 38 denti. Verifica ad usura Calcolo della pmax:

pmax  f m

pmax  380

2 M t1 1 1 (  ) bd p1 sen2 d p1 d p 2

(N/mm2)

2  40580 1 1 (  )  637 N/mm2 30  50  sen40 50 75

Per il calcolo della pamm si sottopone l’acciaio C 10 UNI 7846 a trattamento termico di cementazione, così facendo la durezza HB passa dal valore di 1300 N/mm2 a 2612 N/mm2:

p amm  2,45 6 p amm  2,45 6

HB nh

2612 1200  100

(N/mm2)

 911 N/mm2

La verifica è soddisfatta. Infine, dati rp2, z2 e p si calcola la geometria completa della seconda ruota riapplicando tutte le formule sopra viste.


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Ruote Dentate a Denti Diritti

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