Rumus Dalil Stewart

Rumus Dalil Stewart



Jika pada segitiga ABC di atas kita tarik garis tegak lurus dari titik C ke garis AB maka gambar segitiganya akan tampak seperti gambar di bawah ini.





Jika kita proyeksikan garis AC pada AD maka panjang proyeksinya adalah garis AE sedangkan sisa garis AD yang tidak kena proyeksi adalah DE. Dari hasil proyeksi itu nanti akan ketemu dalil proyeksi segitiga lancip sebagai berikut:
AC2 = CD2 + AD2 – 2AD.DE . . . . . (persamaan 1)


Sekarang perhatikan segitiga tumpul BCD. Jika kita proyeksikan garis BD maka panjang proyeksinya adalah BE dengan tambahan panjang proyeksi adalah DE. Dari hasil proyeksi itu nanti akan ketemu dalil proyeksi segitiga tumpul sebagai beriukut:
BC2 = CD2 + BD2 + 2BD.DE . . . . . (persamaan 2)

Kalikan persamaan 1 dengan BD dan kalikan persamaan 2 dengan AD, maka akan diperoleh persamaan:
BD.AC2 = BD.CD2 + BD.AD2 – 2BD.AD.DE
AD.BC2 = AD.CD2 + AD.BD2 + 2BD.AD.DE
Jumlahkan kedua persamaan di atas yang sudah dikalikan dengan BD dan AD, maka akan menjadi:
BD.AC2 + AD.BC2 = BD.CD2 + AD.CD2 + BD.AD2 + AD.BD2
BD.AC2 + AD.BC2 = (AD+BD)CD2 + BD.AD2 + AD.BD2
BD.AC2 + AD.BC2 = (AD+BD)CD2 + (AD+BD)AD.BD
Ingat dalam hal ini AD+BD = AB, maka persamaannya menjadi:
BD.AC2 + AD.BC2 = AB.CD2 + AB.AD.BD
BD.AC2 + AD.BC2 – AB.AD.BD = AB.CD2 atau
AB.CD2 = BD.AC2 + AD.BC2 – AB.AD.BD

Nah rumus AB.CD2 = BD.AC2 + AD.BC2 – AB.AD.BD itu disebut dengan dalil Stewart.

Contoh Soal :

Jika AB = 10 cm, CB = 12 cm, AC = 6 cm, dan DB = 7 cm, maka berapakah panjang CD?

Penyelesaian:
Cari panjang AD terlebih dahulu yakni:
AD = AB – BD AD = 10 cm – 7 cm = 3 cm
Maka: AB.CD2 = BD.AC2 + AD.BC2 – AB.AD.BD
10 . CD2 = 7 . 62 + 3 . 122 – 10 . 3 . 7
10 . CD2 = 7 . 36 + 3 . 144 – 10 . 3 . 7
10 . CD2 = 252 + 432 – 210
10 . CD2 = 474
CD2 = 47,4
CD = 47,4
CD = 6,9 cm
1.Dalil Intersep adalah jika dua atau lebih garis sejajar dipotong oleh dua garis berpotongan ,maka rasio dari ruas garis perpotongan pertama adalah sama dengan rasio ruas garis perpotonga ke dua

2.Dalil titik tengah adalah segmen garis penghubung tengah dari kedua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya setengah panjang sisi ketiga tersebut

3.Dalil segmen garis adalah jika dua atau lebih garis sejajar dipotong oleh dua garis yang berpotongan,maka rasio garis berpotongan pertama adalah sama dengan rasio dari ruas garis yang serupa dari garis perpotongan yang kedua

4. Dalil Menelaus Merupakan garis transversal memotong sisi2 segitiga Abc 


























PEMBUKTIAN DALIL MENELAUS

(1) Jika ada 1 titik yang berada di perpanjangan garis, 2 titik lainnya ada di garis yang bukan merupakan perpanjangan. Artinya, garis ini melewati daerah segitiga ABC. Lihat gambar.

Sekarang, kita buktikan dahulu untuk (1)
Proyeksikan setiap titik-titik sudut segitiga ke garis DEF.

Dengan menggunakan prinsip kesebangunan segitiga, kita dapatkan 3 persamaan berikut:
... (i)
...(ii)
...(iii)
Dengan mengalikan ketiganya, maka akan kita dapatkan teorema Menelaus: