ITIS “G. MARCONI” – BARI CORSO SERALE PROGETTO SIRIO
DISPENSA DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE N° 5
TRASMISSIONE DELLA POTENZA
ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI
1 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
ROTISMI ORDINARI Premessa Nelle dispense 3 e 4 abbiamo visto che la trasmissione della potenza con un solo ingranaggio è consigliabile se il suo rapporto di trasmissione ha valori compresi tra 1/6≤ i ≤6 (vale a dire 1/6≤ i <1 per ingranaggi moltiplicatori e 1< i ≤6 per ingranaggi riduttori) riduttori ) e ciò soprattutto per problemi d’ingombro. Per esempio, volendo realizzare un ingranaggio riduttore con rapporto di trasmissione i=d 2 /d 1=12, se la ruota motrice avesse un diametro di 100 mm (d1), la ruota condotta dovrebbe averne uno di 1200 mm (d 2) che è un diametro piuttosto grande (tuttavia, nella costruzione di alcune macchine, come per esempio i riduttori per comando forno clinker, separatori, frantoi, ecc., utilizzate nei cementifici, la suddetta difformità è vantaggiosamente utilizzata). Per superare questa limitazione, si utilizzano i rotismi (v. fig. 1). Il rotismo è un sistema meccanico complesso costituito da ingranaggi collegati in modo tale che la rotazione di una ruota determina il movimento di tutte le altre. Esso si dice ordinario se gli assi geometrici delle varie ruote dentate sono fissi rispetto al telaio . Un rotismo è anche chiamato treno di ingranaggi.
z4
z2
Albero condotto
Mt2
Mt4
Albero motore
z3
Albero intermedio o di rinvio
z Mt1
Fig. 1- Rotismo ordinario riduttore.
Guardando il rotismo come due ingranaggi in serie, le ruote z1 e z3 sono considerate moventi, z2 e z4 cedenti. In fig. 1, le ruote 2 e 3 sono calettate sullo stesso albero e quindi hanno uguale velocità
angolare ( ω 2=
) e sono soggette allo stesso momento torcente Mt 2=Mt 3.
Si definisce rapporto di trasmissione totale " i t " il rapporto tra la velocità angolare della 2 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
prima ruota motrice e quella dell'ultima ruota condotta:
1
it 1 1 4
1
Se i t > 1 allora il rotismo è riduttore; se i t = 1 il rotismo è indifferente; se i t < 1 il rotismo è
moltiplicatore. In assenza di perdite, l’equilibrio dinamico del rotismo è espresso dalla relazione seguente:
M t 1
1
M t 4 4
vale a dire:
it
M t
4
M t
1
Se i t > 1 allora il rotismo è moltiplicatore di coppia; se i t < 1 il rotismo è riduttore di
coppia. Moltiplicando e dividendo i t per ω2= it
1 2 4 2
abbiamo la seguente relazione:
1 3 4 2
1 3 2 4
i1i2
cioè il rapporto di trasmissione del rotismo è dato dal prodotto dei rapporti di
trasmissione dei singoli ingranaggi . In generale, se gli alberi intermedi portano due ruote ciascuno e se il rotismo è formato da n ingranaggi, si ha che:
it inin 1...i1 ovvero:
it
1 n
n 1 n 2 1 ... n n 1 2
Tenendo conto che il rapporto di trasmissione di un ingranaggio è uguale anche al rapporto tra il numero di denti della ruota condotta e quello della ruota motrice, si ha che il rapporto
di trasmissione di un rotismo è anche uguale al prodotto del numero di denti delle ruote condotte diviso il prodotto del numero di denti delle ruote motrici :
3 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
it
z 2 z 4 z1 z3
e, in generale:
it
zn zn 1
z ... 2 zn 1 zn 2 z1
Questa relazione è molto utile perché consente di ricavare subito il numero di denti delle varie ruote, come descritto nel seguente esempio: 1) Un rotismo ordinario è composto di due ingranaggi (v. fig. 1) che devono assicurare un rapporto di trasmissione i t = 16; determinare il numero di denti delle ruote .
Per prima cosa si deve scindere il rapporto di trasmissione totale nel prodotto di due rapporti di trasmissione parziali corrispondenti al numero degli ingranaggi costituenti il rotismo. Per fare ciò, si può procedere in due modi distinti: a) Si pone:
i1
i2
it
16
4
Una possibile soluzione si può ricavare moltiplicando e dividendo ciascun rapporto parziale per il numero minimo di denti ammissibile:
15 15 60 60 it 4 4 4( )4( ) 15 15 15 15 cioè: z1=z3=15; z2=z4=60
Nel ricavare il numero di denti delle ruote più piccole, bisogna ricordarsi che deve essere sempre rispettata la condizione che z
≥
zmin .
Il metodo esposto però non tiene conto dell'aumento del momento torcente sulla ruota 4, cosicché il suo diametro, se si prendesse il suo numero di denti uguale al numero di denti della ruota 2, potrebbe essere sensibilmente più grande del diametro della ruota 2 (poiché Mt3= Mt2=i1 Mt1
m3-4 > m1-2). In definitiva conviene tenere basso il numero di denti z4 per
compensare l'aumento del momento torcente. b) Si può scindere il rapporto di trasmissione totale nel prodotto di due rapporti parziali non molto dissimili tra di loro per tener conto dell'aumento del momento torcente dall'ingresso all'uscita del rotismo. Il metodo consiste nel fare i1>i2:
4 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
it i1 i2
16
16 15 72 53 4,5( ) 3,556( ) 16 15 16 15
cioè: z1=16; z3=15; z2=72; z4=53 Un'altra soluzione possibile è la seguente:
it i1 i2
16
16 15 80 48 5( ) 3,2( ) 16 15 16 15
cioè: z1=16; z3=15; z2=80; z4=48
Il rotismo ordinario più semplice è costituito da tre ruote; in tal caso la ruota intermedia è chiamata ruota oziosa (ruota contemporaneamente motrice e condotta) perché la sua funzione non è di cambiare il rapporto di trasmissione tra ingresso e uscita ma è d'invertire il senso di rotazione della ruota condotta:
it
z 2 z 3 z1 z 2
z 3 z1
Albero motore
Ruota oziosa
Albero condotto
Fig. 2 – 2 – Esempio Esempio di rotismo con ruota oziosa.
Il rendimento di un rotismo è dato dal prodotto dei rendimenti dei singoli ingranaggi (ciò perché gli ingranaggi sono in serie):
t n n 1... 1 Procedura Procedura di calcolo di un rotismo. In riferimento al rotismo di fig. 3, noti la potenza utile necessaria all'albero condotto (N 4), il 5 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
numero di giri al minuto dell'albero motore ( n1) e condotto ( n4); si presentano due casi:
1) Funzionamento Funzionamento ideale (si trascurano le resistenze passive). In tal caso, trovato il rapporto di trasmissione totale, lo si scompone nel prodotto di due termini si ha: z1
ω1
n1
it
it i1i2
4
ω2
2 n4 60
z3
z2
n4
ω4
z4
(rad/s)
– Schema cinematico del rotismo di fig. 1. Fig. 3 – Schema
1 it 4 ω2=ω1 /i1 ω2= ω3
Quindi si ricavano i numeri di denti di tutte le ruote dentate:
it
z2 z4 z1 z3
nell’ordine: Si calcolano poi, nell’ordine:
N1=N4 (W) (potenza motrice) Mt1=N1 / ω1 (N·m) (momento torcente agente sull'albero motore) (N· m) (momento torcente agente sull'albero intermedio) Mt2= Mt3=i1Mt1 (N·m)
Mt4= i2Mt3= it Mt1 (N·m) (N· m) (momento torcente agente sull'albero condotto) Si calcola il modulo del pignone che è la ruota più sollecitata:
m1
m2
c' 3
c '' 3
M t 1
z1 f v amm M t 3
z3 f v amm
(mm) (modulo 1° ingranaggio)
(mm) (modulo 2° ingranaggio)
Infine si verificano le ruote all’usura e si determinano le loro dimensioni, poi quelle degli alberi e, infine, dei cuscinetti (v. le relative dispense). 6 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
Osservazione: il rotismo di fig. 3 sarebbe potuto essere configurato come rappresentato in fig. 4 per ridurre l'ingombro verticale; in tal caso volendo rendere gli interassi fra le ruote condotto, deve essere uguali per consentire l'allineamento dell’albero motore con l’albero condotto, verificata la seguente relazione geometrica:
I r p1
r p2 r p3 r p4
m1 2
(z1+z2 )=
m2 2
(z3+z4 )
m1(z1+z2 )=m2(z3+z4 )
z4
ωm
ωr
z1 I
ωi
z3 z2
Fig. 4
2) Funzionamento Funzionamento reale (tenendo conto delle resistenze passive). In questo caso, oltre ai dati visti al punto 1), si conoscono i rendimenti dei due ingranaggi η 1 e η2. Inizialmente si calcola il rendimento totale: ηt = η1 η2 e si ripete la procedura vista al punto 1) tenendo conto che:
N1=N4 / ηt (W) (potenza motrice) Mt1=N1 / ω1 (N·m) (momento torcente agente sull'albero motore) (N· m) (momento torcente agente sull'albero intermedio) Mt2= Mt3= η1i1Mt1 (N·m)
Mt4= η2 i2Mt3= ηt it Mt1 (N·m) (N· m) (momento torcente agente sull'albero condotto) ESEMPIO DI CALCOLO DI UN ROTISMO ORDINARIO. 1) Il treno riduttore di fig. 5 trasmette una potenza motrice di 4,25 kW a 1220 giri/min con un rapporto di trasmissione it =10,5. Sapendo che i rendimenti dei due ingranaggi sono rispettivamente η1=0,97, η2=0,96 determinare: a) i numeri di denti delle ruote; b) la frequenza di rotazione dell'albero dell' albero intermedio e dell’albero dell’albero condotto; c) le potenze e i momenti torcenti ai diversi alberi del treno.
7 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
ωm
z1
ωi
z3
z2 ωr
z4
Fig. 5 – Schema – Schema cinematico del rotismo.
Dalla formula del rapporto di trasmissione totale si ha:
a)
it i1 i2
17
18 63 51 ) 2,833( ) 17 18 17 18
10,5 3,706 2,833 3,706(
cioè: z1=17; z2=63; z3=18; z4=51
b)
c)
i1
it
nm
nm
n m / i1 1200 / 3,706
ni
nr n m / i1
ni
nr
323,8 giri / min min
1200 / 10,5 114,3 giri / min min
Calcoliamo la coppia dell’albero dell’albero motore: N m 4,25 kW
1
2 n1
2 3,14 1200
60
Mt m
60
N m / 1
125,6 rad / s
4250 / 125,6 33,8 N m
Calcoliamo la potenza e la coppia de ll’albero intermedio:
N i
1 N m 0,97 4,25
i
2 ni
2 3,14 323,8
60
60
Mt i N i / i
4,12 kW 33,9 rad / s
4120 / 33,9 121,6 N m
Calcoliamo la potenza e la coppia de ll’albero condotto:
N r 2 N i
r
2 nr 60
0,96 4,1225 3,96 kW
2 3,14 114,3 60
12 rad / s
r 3960 / 12 330 N m Mt r N r / 8 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
Per verifica calcoliamo la coppia dell'albero condotto con la seguente formula: =0,97·0,96·10,5·33,8=330,5 0,5 N·m N· m Mt r r = ηt it Mt m=0,97·0,96·10,5·33,8=33
9 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
ROTISMI EPICICLOIDALI Premessa I rotismi ordinari implicano sempre problemi d'ingombro quando si vogliono realizzare rapporti di trasmissione o molto grandi o molto piccoli. Per superare tale limitazione si usano i rotismi epicicloidali. Si definiscono rotismi epicicloidali quei rotismi in cui alcune ruote sono mobili rispetto al telaio (v. fig. 6). Il cinematismo di un rotismo epicicloidale è lo stesso di quello ordinario solo che alcune ruote sono vincolate ad un telaio rotante con asse fisso. Le ruote mobili sono dette satelliti, quelle fisse sono dette planetarie e il telaio è detto braccio portatreno. Portatreno
Ruote Satelliti
z
z Albero del portatreno
Albero motore
Mt4 Mt1
4
Ruote Planetarie
z
z
Albero condotto
Fig. 6- Esempio di rotismo r otismo epicicloidale.
z2 ω2
z3 ω3
ω1
ω4
z1
z4
ωp
– Schema cinematico del rotismo di fig. 6. Fig. 7 – Schema
10 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
Per questi meccanismi non si può parlare di rapporto di trasmissione perché i suoi organi non sono tutti fissi nello spazio. Si fa uso allora di una formula che permette di studiare il rotismo epicicloidale come se fosse ordinario. Infatti, se imprimiamo all'intero meccanismo una rotazione contraria a quella del portatreno (vale a dire – ω p), il portatreno resta fermo e il rotismo epicicloidale si comporta come se fosse ordinario, e ciò ci consente di scrivere:
i0
1 p 4 p
(rapporto del rotismo epicicloidale reso ordinario)
La suddetta formula prende il nome di formula di Willis. Tale formula esprime non un vero e proprio rapporto di trasmissione bensì solo una relazione tra le grandezze cinematiche dei tre membri principali (prima ruota, ultima ruota e braccio portatreno). Adesso è possibile porre il rapporto di trasmissione in funzione del numero di denti:
i0
1 p 4
p
z 2 z 4 z1 z3
Nell'applicare quest'ultima relazione, è importante valutare, di ogni ingranaggio, il segno del rapporto di trasmissione che deve essere assunto negativo per ruote esterne (perché le ruote hanno un verso di rotazione discorde) e positivo per ruote interne (perché le ruote hanno un verso di rotazione concorde):
Portatreno Ruota Satellite
Albero condotto
Albero motore
Corona dentata interna Ruota Planetaria
– Esempio di rotismo epicicloidale con ruote interne. Fig. 8 – Esempio Dal punto di vista cinematico, il funzionamento del rotismo di fig. 8 sarebbe garantito anche tavia se ne mettono tre per impedire la flessione dell’albero con una sola ruota satellite, tut tuttavia della ruota planetaria. 11 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
z2 ω2
ω1
ωp
z1
z3
ω3
Fig. 9 – Schema – Schema cinematico del rotismo di fig. 8 con evidenziata soltanto una ruota satellite.
Nella fig. 8 si vede la ruota centrale motrice (planetaria) trasmettere il moto alle ruote satelliti che, rotolando sulla corona dentata (ferma), muovono la forcella porta satelliti calettata sull’albero condotto. I rotismi epicicloidali si possono raggruppare nelle seguenti tre tipologie: a) Rotismi riduttori/moltiplicatori quando è fatto funzionare con un movente e un
cedente ; in tal caso una delle due ruote d'estremità è fissa (solidale al telaio). Per esempio, con riferimento alla fig. 7 7,, se è fissa la ruota 4 (ω 4=0) la formula di Willis ci dà:
1 p
z 2 z 4
p
1
p
z1 z3
1
z 2 z 4 z1 z3
1 i0
Il rotismo è riduttore quando è movente la ruota 1 ed è moltiplicatore quando è movente il portatreno. Se si fissa la ruota 1 (ω1=0) si ha: p
4
p
z 2 z 4 z1 z3
4 p
1
1 z 2 z 4
1
1
i0
i0
1
i0
z1 z3 Anche in questo caso il rotismo è riduttore quando è movente la ruota 4 ed è moltiplicatore quando è movente il portatreno. b) Rotismi sommatori (o combinatori) quando è fatto funzionare con due moventi e
un cedente:
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z2 ω2
z3 ω3
ωp
ω1
ω4
z1 z4
Fig. 10 – 10 – Rotismo Rotismo combinatore: moventi: ruota 1 e porta satellite; cedente: ruota 4.
c) Rotismi differenziali (o compensatori) quando è fatto funzionare con un movente e due cedenti (è questo il caso del differenziale degli autoveicoli): Il differenziale (v. figg. 11-12) è costituito da una coppia di ruote dentate (pignonecorona) cilindriche o coniche a seconda di come è disposto il cambio rispetto al differenziale, da una scatola che racchiude l'ingranaggio differenziale (e che funge da portatreno), e da un gruppo di quattro ruote coniche (vale a dire l’ingranaggio differenziale vero e proprio) due delle quali z1 e z3 (dette ruote planetarie) sono collegate sui semiassi delle ruote del veicolo e le altre due z2 e z4 (dette ruote satelliti) sono collegate alla scatola del differenziale (v. fig. 13).
1.Cuscinetto reggi spinta 2. Ingranaggio contachilometri 3. Planetari 4. Cuscinetto a rulli conici 5. Satelliti 6. Corona dentata 7. Cuscinetto a rulli conici 8. Anello di registro cuscinetti cuscinetti scatola differenziale 9. Albero secondario 10. Albero primario
Differenziale
Fig. 11 – 11 – Gruppo Gruppo cambio-differenziale di autoveicolo con corona dentata cilindrica.
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Fig. 12 – 12 – Differenziale Differenziale di autoveicolo con corona dentata conica.
ωp
z2 ωa
z1
ωb
z3 z4
Fig. 13 – 13 – Schema Schema di differenziale di autoveicolo con corona dentata conica.
Funzionamento del rotismo differenziale per autoveicoli (v. fig. 14): l'albero motore, per
mezzo della coppia conica (pignone-corona) trascina in rotazione il portatreno del rotismo (la scatola del differenziale). La scatola trascina in rotazione le ruote satelliti e queste, a loro volta, mettono in rotazione le ruote planetarie planetarie.. L’unico movente è il portatreno e ciò permette alle ruote motrici di poter avere velocità angolari differenti. Vediamone la ragione.
14 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
Fig. 14 – 14 – Funzionamento Funzionamento del differenziale per autoveicoli. Il rotismo viene realizzato con z1=z3 e, considerandolo considerandolo ordinario, ci permette di scrivere che
i0 = -1 essendo le ruote 1 e 3 contro-rotanti (ciò avviene perché, contrariamente ai rotismi ordinari piani con ruota oziosa in cui le velocità angolari della movente e della cedente concordano sempre, nei rotismi con ruote coniche gli assi dei coni, passando da una ruota alla successiva, subiscono una rotazione e ciò fa si che le velocità angolari della movente e della cedente siano fra loro discordanti). Sostituendo questa relazione relazione nella formula di Willis si ottiene:
i0
a
p
b
p
1
p
a
b
2
vale a dire che la velocità angolare del portatreno è sempre la media aritmetica tra le velocità angolari dei semiassi e ciò permette di avere differenti velocità di rotazione delle ruote motrici nel moto curvilineo. Quando l’autoveicolo è in marcia su strada rettilinea le ruote r uote motrici hanno la stessa velocità di rotazione e, pertanto, risulta ωa=ωb=ωp (in questo stato le ruote satelliti sono trascinate in rotazione dal portatreno ma non ruotano intorno al proprio asse ). In curva, la ruota interna, rispetto a quella esterna, deve percorrere un tratto di strada più breve e, pertanto, deve ruotare con minore velocità; la differenza tra le velocità delle due ruote è compensata dalla rotazione delle ruote satelliti intorno ai propri assi (v. fig. 14). Il funzionamento del differenziale non è influenzato dalla carreggiata dell’autoveicolo. Studiamo ora il meccanismo dal punto di vista dinamico. Se indichiamo con M a, Mb, Mp, i momenti agenti sul semiasse interno, sul semiasse esterno e sul portatreno, valgono le seguenti equazioni di equilibrio: 15 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
M a a M b b M a M b
M p p
M p
0 (equilibrio delle potenze)
0 (equilibrio dei momenti)
In assenza di perdite, le seguenti s eguenti tre equazioni devono essere tutte verificate:
p
a
b
2 M a a M b b
M p p
M a M b M p
0
0
Risolvendo il sistema otteniamo:
( M a
M b )( a b ) 0
che vale qualunque sia la traiettoria di marcia del veicolo. In definitiva, da essa si deduce che, quando il veicolo è in marcia rettilinea ( ω a=ω b), il meccanismo è in equilibrio anche se i momenti resistenti applicate alle ruote non sono uguali tra di loro (vale a dire M a M b); invece quando il veicolo è in curva ( ω a
ω b
), il
meccanismo è in equilibrio solo se i momenti applicati sono uguali tra di loro ( M M a= M b).
ESERCIZI Vediamo adesso alcuni esempi numerici (tratti dal libro "Esercizi e temi d’esame di meccanica" di G. Vianello, ed. Sansoni (FI) – (FI) – 1972). 1972). Prima di svolgerli, premettiamo premettiamo la seguente definizione generale: << Due rotismi epicicloidali si diranno collegati in serie se due elementi qualsiasi del primo rotismo (prima ruota, ultima ruota, portatreno) sono rigidamente collegati a due elementi qualsiasi del secondo e se un elemento qualsiasi di uno di essi (libero o collegato che sia) abbia una velocità angolare assegnata (per es. nulla)>>.
Fig. 15 – 15 – Esempio Esempio di rotismi epicicloidali collegati in serie. 16
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1) Il cambio Borg-Warner per automobile è formato da due treni planetari aventi uguale schema, disposti in serie (fig. 16). Dall' Dall ' albero albero A del motore si ottiene così una prima riduzione i1 uscita C . In
1,60 all'albero B; da questo una seconda riduzione i2
=
=
1,44 all'albero di
complesso: i=i1i2= 2,304 (prima marcia). Da marcia). Da notare che le ruote z3 e z6 sono
tenute immobili. Rendendo invece solidale z3 con l'albero B, quest'ultimo ruota assieme ad A e il rapporto di trasmissione è i
=
i2 (seconda marcia). marcia). Se anche z6 è reso solidale
all'albero C, gli alberi A e C ruotano insieme (i = 1) (presa diretta). diretta). Eseguire la scelta dei numeri di denti delle ruote per ottenere i prescritti rapporti di trasmissione.
Fig. 16 – 16 – Schema Schema cinematico del cambio Borg-Warner Borg-Warner..
Dati:
i1
A B
1,6 ;
i2
B C
1,44
;
3
6
0
Incognite: z1; z2; z3; z4; z5; z6 Svolgimento Calcoliamo il rapporto del primo rotismo epicicloidale reso ordinario:
i0
1 B 3 B
z2
z z ( 3 ) 3 z1 z2 z1
posto: ω1= ω A e ω3=0 si ottiene:
i0
A B B
z3
z1
A B
z3
1
z1
z3 z1
A B
1
da cui si ricava:
z3 z1
i1 1 1,6 1
0,6 17
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da cui, se assumiamo z3=54, si ottiene:
z1
z3
54
0,6
0,6
90
Per ricavare i denti della ruota 2, utilizziamo la seguente relazione geometrica fra i raggi primitivi (v. fig. 16):
r 1 r 3 2r 2 che può essere riscritta in funzione del numero di denti (perché le ruote hanno tutte lo stesso modulo) ricavandone la seguente relazione:
z1 z3 2 z2 da cui: z2
z1 z3
90 54
2
2
18
Analogamente si procede per il secondo rotismo epicicloidale. Calcoliamo il rapporto del secondo rotismo epicicloidale reso ordinario:
i0
4 C 6 C
z5
z z ( 6 ) 6 z4 z5 z4
Posto: ω4= ω B ; ω6 =0 si ricava:
i0
B
C
z6
C
B C
z4
z6
1
z4
z6 z4
B C
1
da cui:
z6 z4
i2 1 1,44 1
0,44
se assumiamo z6=33, dalla precedente precedente relazione si ricava:
z4
z6
0,44
33 0,44
75
Per ricavare i denti della ruota 5, sfruttiamo la seguente relazione geometrica fra i raggi primitivi (v. fig. 16):
r 4 r 6 2r 5 che può essere riscritta in funzione del numero di denti (perché le ruote hanno tutte lo stesso modulo) ricavandone la seguente relazione:
z4 z6 2 z5 da cui: 18 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
z5
z4
z6
75 33
2
2
21
2) Data la velocità angolare
=
50 rad/s dell'albero A, trovare la velocità angolare del
portatreno B del rotismo di figura 17. Le ruote di estremità l e 3 del treno planetario hanno uguale numero di denti. Le ruote a, b, c, d della quaterna con la quale il moto è trasmesso dalla prima alla seconda ruota d'estremità, hanno i seguenti numeri di denti : za = 30; zb = 18; zc = 22; zd = 26.
Fig. 17 – 17 – Schema Schema cinematico del rotismo epicicloidale.
A
Dati:
Incognita:
za
50 rad / s
30; zb 18; zc
22; zd 26
z1
z3
B
Svolgimento Il rotismo abcd è un rotismo ordinario e ciò ci permette di risalire alla velocità angolare della ruota conica 3 collegata rigidamente alla ruota d:
a d
it
zb zd
za zc
18 26
30 22
0,709
d
a 0,709
70,51rad / s
Il rapporto di trasmissione (negativo perché le ruote 1 e 3 sono controrotanti) del rotismo epicicloidale a ruote coniche reso ordinario è:
i0
1 B
z2 z3
3 B
z1 z2
z3
z1
1
che, tenendo presente che ω3= ωd , permette di ricavare l'incognita ω B:
B
1 3 2
50 70,51 2
60,26 rad / s 19
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3) La surmoltiplica per automobile (overdrive Laycock-De Normanville) è formata dal treno epicicloidale di figura 18. L'albero A del motore conduce in rotazione il portatreno delle ruote planetarie z2 , z3 , la prima delle quali imbocca con la ruota z , l la seconda con la corona a dentatura interna z 4 , la quale dà il moto all'albero di trasmissione trasmissione B. Un innesto (non disegnato) può tenere immobile la ruota z 1 (e in tal modo l'albero B ruota più veloce di
A), oppure può rendere solidali zl e z4 (e in tal caso l'albero B ha la velocità uguale ad A). Calcolare il rapporto di trasmissione, nel primo caso, sapendo che zl = 27; z2 = 26; z3 = 14; z4 = 67 denti.
Fig. 18 – 18 – Schema Schema cinematico del rotismo di Laycock-De Laycock-De Normanville.
Dati: z1 27; z2 26; z3 14; z4 67 Incognita: i
1 0 rad / / s
A B
Svolgimento Calcoliamo il rapporto di trasmissione del rotismo epicicloidale reso ordinario:
i0
1 A B A
A
B
z2 z4
A
z1 z3
26 67
27 14
4,609
che permette di ricavare l'incognita i=ω A /ω B:
i
A B
i0
i0
1
4,609 4,609 1
0,8217
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4) Un motore elettrico porta all'estremità dell'albero A rotante a ≈ 286 rad/s, un pignone con zl = 14 denti. Per mezzo del treno treno planetario di figura 18 si vuol vuol ottenere la velocità velocità angolare di 50 rad/s dell'albero B di uscita. Trovare i numeri di denti z3 della corona a dentatura interna e z2 delle ruote planetarie.
Fig. 18 – 18 – Schema Schema cinematico del rotismo epicicloidale. Dati:
A
286 rad / s
B
50 rad / s
z1
14
Incognite: z2 ; z3 Svolgimento Calcoliamo il rapporto di trasmissione del rotismo epicicloidale reso ordinario:
i0
1 B
z2 z3
3 B
z1 z2
z3
z1
posto: ω3=0 (corona fissa) e ω1=ω A=286 rad/s , dalla formula di Willis si ricava la seguente relazione:
i0
A B B
z3
z1
che permette di ricavare l'incognita z3:
z3 z1
A B B
14
286 50 50
66
Per ricavare i denti della ruota 2, sfruttiamo la seguente relazione geometrica fra i raggi primitivi (v. fig. 18):
r 3 r 1 2r 2 21 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
che, riscritta in funzione del numero di denti (perché le ruote hanno tutte lo stesso modulo), permette di ricavare la seguente relazione:
z3 z1 2 z2 da cui otteniamo: z2
z3 z1
66 14
2
2
26
5) Data la velocità angolare
=
50 rad/s dell'albero A, trovare la velocità angolare del
portatreno B del rotismo di figura 19. Le ruote di estremità l e 3 del treno planetario hanno uguale numero di denti. Le ruote a, b, c, d della quaterna con la quale il moto è trasmesso dalla ruota d'estremità 3 al portatreno B, hanno i seguenti numeri di denti : za = 30; zb = 18; zc = 22; zd = 26.
Fig. 19 – 19 – Schema Schema cinematico del rotismo epicicloidale.
Dati:
A
Incognita:
za
50 rad / s
30; zb 18; zc
22; zd 26
z1
z3
B
Svolgimento Il rotismo abcd è un rotismo ordinario e ciò ci permette di determinarne il rapporto di trasmissione:
it
a d
zb zd za zc
18 26
30 22
0,709
Osservando la fig. 19 si deduce che ωd =ω B e ω3=ωa , pertanto possiamo esprimere it nel modo seguente:
22 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
3 B
it
0,709
Adesso consideriamo il rotismo epicicloidale a ruote coniche; il rapporto di trasmissione (negativo perché le ruote 1 e 3 sono contro-rotanti) di tale rotismo reso ordinario è:
i0
1 B 3 B
z2 z3
z3
z1 z2
z1
1
questa relazione, per essere ω1= ω A e ω3= ω Bit , si può riscrivere nel modo seguente:
i0
A B Bit B
1
che ci permette di ricavare r icavare l'incognita ω B:
B
A 2 it
50 2 0,709
38,73 rad / s
23 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”
