Eliminación de términos mixtos en la ecuación de una superficie cuádrica mediante rotaciones. Consideremos la ecuación
y escribámosla en su forma matricial:
Sugerencia 1:
Efectúa los los productos productos de matrices en la ecuación
para para obtener
.
A continuación, hallaremos los valores y vectores propios (unitarios) de la transformación que determina la matriz
definida por los coeficientes de los términos cuadráticos en la ecuación
Llegamos entonces a que los valores propios de la m atriz son
.
,
Procederemos a encontrar una base ortonormal positivamente orientada de vectores propios unitarios de
y
.
conformada por
, que definirán por tanto una rotación del espacio. Detallaremos el
procedimiento sólo para el primer valor propio, dado que es análogo para los otros dos.
Buscamos, para empezar, un vector
tal que
:
Obtenemos el sistema de ecuaciones
que es indeterminado (como debe ser), lo cual es evidente dado que las ecuaciones segunda y tercera son idénticas. El sistema se reduce entonces a la primera y segunda e cuaciones. La segunda ecuación nos indica que la primera coordenada del vector propio que buscamos se anula, mientras que la primera ecuación nos dice que la segunda y tercera coordenadas del mismo son iguales, salvo por el signo. Proponemos luego el vector
que habrá de ser normalizado (es decir, m ultiplicado por el inverso de su norma) para obtener
que será el vector propio asociado a
.
Ahora
:
Llegamos al sistema de ecuaciones
Sugerencia 2:
Obténgase la primera de las ecuaciones anteriores mediante una combinación lineal de las otras dos.
Con base en las ecuaciones segunda y te rcera, proponemos el vector propio
que al ser normalizado genera el vector
asociado a
.
Finalmente,
:
Llegamos al sistema de ecuaciones
Sugerencia 3:
Obténgase la primera de las ecuaciones anteriores mediante una combinación lineal de las otras dos.
Con base en las ecuaciones segunda y te rcera, proponemos el vector propio
que al ser normalizado genera el vector
asociado a
.
Debemos, no obstante haber obtenido ya tres vectores propios, cada uno de los cuales quedó asociado a un valor propio distinto, comprobar si éstos definen una base ortonormal de
, positiva-
mente orientada. Claramente, dada la forma en que obtuvimos dichos vectores, su norma es unitaria. Sugerencia 4:
Efectuar los productos escalares definida por los vectores ,
Averigüemos, por otro lado, si
Entonces, efectivamente, los vectores , tada y, por tanto, la matriz
y
,
y
para comprobar que la base
es ortogonal.
:
y
definen una base ortonormal positivamente orien-
representa el cambio de coordenadas resultante de una rotación (cuyo eje y ángulo de giro habremos de encontrar más adelante). Definimos, por tanto, la t ransformación
donde
,
,
es una terna de coordenadas nuevas, a partir de las cuales podemos obtener las
coordenadas originales mediante la rotación que representa la matriz Antes de sustituir
en
, observamos que
.
Efectuamos, ahora sí, la sustitución dicha para obtener
Consideremos primero el producto de matrices cuadradas que aparece en la forma cuadrática:
Veamos el efecto que tiene éste en cualquier vector del espacio descrito por las nuevas coordenadas, analizando lo que ocurre con los vectores de la base canónica:
La primera matriz en el producto
, empezando por la derecha, transforma el vector
primer vector columna de la misma, es decir
en el
Sugerencia 5:
Comprobar la igualdad anterior.
El efecto de la siguiente matriz (nuevamente, por la derecha) viene dado por
puesto que es un vector propio de la matriz asociado al valor propio Antes de proceder a aplicar la tercera matriz, hagamos notar que tores columna definen una base ortonormal de
donde
representa la matriz identidad en
Sugerencia 6:
.
es ortogonal, ya que sus vec-
Tenemos entonces que
.
Comprobar las igualdades anteriores.
Lo anterior implica no solamente que la matriz
es invertible, sino que su traspuesta y su inversa
coinciden. Dado que el efecto geométrico de una matriz inversa consiste en revertir el efecto de la matriz original asociada, tenemos finalmente al aplicar la tercera matriz que
La cuarta igualdad se debe al hecho de que la matriz original lo que la matriz inversa Sugerencia 7:
Comprobar que
transforma el vector
en
debe revertir este cambio.
efectuando la operación con matrices.
, por
En conclusión, el producto de matrices
convierte el vector
mismo producto transforma los vectores Sugerencia 8:
,
en
,
en
. De forma análoga, el
, respectivamente.
Plantear el razonamiento análogo para los vectores
,
. Comprobar luego
mediante la aplicación de matrices el enunciado anterior.
Puesto que la matriz
, que se obtiene al efectuar el producto en
, tiene el mismo efecto que la
matriz diagonal dada por
a saber, transforma los vectores
,
,
de la base canónica en sus múltiplos
,
,
y como el efecto de una transformación lineal (como lo es la multiplicación de matrices) vie-
ne dado por el efecto que tiene sobre los vectores de una base cualquiera, tenemos entonces que
Sugerencia 9:
Efectuar el producto de matrices en
para obtener la matriz diagonal
.
Por otro lado, al efectuar el producto de matrices en la parte lineal de la ecuación que describe la superficie en las nuevas coordenadas
Sustituyendo
y
,
,
, obtenemos que
en la ecuación dicha, se tiene que
o bien, escribiéndola en su forma usual,
Sugerencia 10:
Desarrollar la forma matricial para obtener la forma anterior.
Ahora completamos cuadrados para llevar la ecuación anterior a su forma canónica:
Podemos notar que la superficie resultante es un paraboloide hiperbólico centrado en el punto
que presenta los siguientes cortes con planos que pasan por dicho centro:
Un par de rectas contenidas en un plano paralelo a
Una parábola contenida en un plano paralelo a
que se cortan en el centro de la superficie.
cuyo vértice está localizado en el centro de la
superficie y que abre conforme se incrementan los valores de gida es
;
puede asumir cualquier valor real.
. De esta forma, la variable restrin-
Una parábola contenida en un plano paralelo a
cuyo vértice está localizado en el centro de la
superficie y que abre conforme disminuyen los valores de es
; puede asumir cualquier valor real.
. De esta forma, la variable restringida