65.
. Una amiga suya celebra hoy su cumpleaños número 35 y desea empezar a ahorrar para su jubilación anticipada a los 65 años. Ella desea retirar 110 000 dólares de su cuenta de ahorro en cada aniversario durante 25 años después de su jubilación; el primer retiro será cuando cumpla 66 años. Su amiga quiere invertir su dinero en la unión de crédito local, que ofrece 9% de interés anual. Además, en cada cumpleaños desea hacer pagos anuales iguales a la cuenta establecida en la unión de crédito para su fondo de jubilación. a) Si ella empieza a hacer estos depósitos cuando cumpla 36 años y continúa haciendo depósitos hasta que cumpla 65 (su último depósito será en su aniversario número 65), ¿qué cantidad deberá depositar cada año para poder hacer los retiros de fondos deseados durante su jubilación? b) Suponga que su amiga acaba de heredar una fuerte suma de dinero. En lugar de hacer pagos anuales análogos, ha decidido hacer un solo pago de una suma global en su cumpleaños número 35 para cubrir sus necesidades de jubilación. ¿Qué monto tiene que depositar? c) Suponga que el empleador de su amiga aportará 1 500 dólares a la cuenta cada año como parte del plan de participación en las utilidades de la empresa. Además, su amiga espera una distribución de 50 000 dólares de un fideicomiso familiar en su cumpleaños número 55, que también depositará en la cuenta de jubilación. ¿Qué cantidad deberá depositar anualmente su amiga para estar en condiciones de hacer los retiros deseados durante su jubilación?
La solución de este problema requiere tres pasos. Los dos primeros determinan el valor presente de los retiros. El paso final establece los depósitos anuales que tendrán un valor presente igual al de los retiros. El gráfico que representa la situación descrita es:
a) Calculamos el valor presente de los 25 años después de su jubilación usando la fórmula de anualidades y empleando la tabla para hallar FIVPA 9%,25años: R = $ 110,000 i = 9% n = 25 años Por tablas: (FIVPA9%,25años) = 9.8226 Reemplazando valores en la fórmula del valor presente de las anualidades: VPA9%,25años = 110,000 x 9.8226 VPA9%,25años = $ 1 080,486.00
Supongamos que mi amiga Mary, tal como dice el enunciado del problema, hace su primer retiro al cumplir 66 años. Entonces, 1 080,486.00 dólares representan el valor presente en su cumpleaños 65. b) Calculamos el valor presente de los retiros que hará Mary, teniendo en cuenta la fecha en que comienza a hacer sus depósitos, cuando cumpla 36 años.
: VF65 años = $ 1 080,486.00 i = 9% n = (65-36) años = 29 años Por tablas: (FIVP9%,29años) = 0.0822
Reemplazando datos, obtenemos: VP0 = 88,815.95 c) Suponiendo que Mary hace depósitos en el banco al final de cada uno de los 29 años, calculamos el depósito anual que producirá un valor presente de todos los depósitos de 88,815.95 dólares, lo cual se calcula como:
1− VPA9%,29 años = $ 88,815.95 + VPA = R(FIVPAi,n) R = ¿? i,n i = 9% n = 29 años Por tablas: (FIVPA9%,29años) = 10.1983 Reemplazando datos, obtenemos: R = 8,708.90
: De este modo, la serie de depósitos de 8,708.90 dólares hechos al final de cada uno de los primeros 29 años e invertidos a una tasa de 9% proporcionarán suficiente dinero para hacer retiros de 110,000 dólares durante los 25 años siguientes a la jubilación de Mary.
66.
. Sus vacaciones navideñas en un centro de esquí fueron grandiosas, pero desafortunadamente se salieron un poco de su presupuesto. No se ha perdido todo: acaba de recibir una oferta por correo para transferir su saldo de 9 000 dólares de su tarjeta de crédito actual, la cual cobra una tasa anual de 18.6%, a una nueva tarjeta de crédito que cobra una tasa de 8.2%. ¿Cuándo liquidará el préstamo si efectúa pagos mensuales planeados de 200 dólares con la nueva tarjeta? ¿Qué sucedería si el banco cobrara una comisión de 2% sobre los saldos transferidos? 67. . Una compañía de seguros está ofreciendo una nueva póliza a sus clientes. De ordinario, éstos son padres de familia o abuelos que compran esta póliza cuando nace el niño. Los detalles de la póliza son como sigue: el comprador (digamos el padre) hace los seis pagos siguientes a la compañía de seguros: Primer cumpleaños : $ 800 Segundo cumpleaños : $ 800 Tercer cumpleaños : $ 900 Cuarto cumpleaños : $ 900 Quinto cumpleaños : $1 000 Sexto cumpleaños : $1 000 Después del sexto cumpleaños del hijo no se hacen más pagos. Cuando el hijo llegue a los 65 años recibirá 350 000 dólares. Si la tasa de interés relevante es de 11% durante los seis primeros años y de 7% todos los años subsiguientes, ¿vale la pena comprar la póliza? La línea de tiempo para el valor futuro de un ingreso mixto (flujos de efectivo a fin de año, compuesto al 11% al término de 6 años) es: n
VFn = P0 (1 + i)
Este problema se resuelve en dos pasos. a) La pregunta de partida es: ¿Cuánto acumulará al término de 6 años los flujos de efectivo realizados cada fin de año? Debemos calcular el valor futuro de cada flujo de efectivo compuesto al 11% durante el número adecuado de años: VF1,6 = VF1 + VF2 + VF3 + VF4 + VF5 + VF6 …..(1) Aquí, empleamos la fórmula: VFn = Rn*(FIVFn) …… (1) Donde el factor de interés para cada valor futuro, se obtiene de tablas, haciendo que: i = 11% y n = 5, 4 , … 1, respectivamente: VF1,6 = 800(1.6851) + 800(1.5181) + 900(1.3676) + 900(1.2321) + 1000(1.1100) + 1000(1) VF1,6= 800(3.2032) + 900(2.5997) + 1000(2.1100) VF1,6 = 2,562.56 + 2,339.73 + 2,110.00 VF1,6= $ 7,012.29 ……. (2)
b) Ahora, este valor calculado, para el siguiente tramo, que comprende desde los 7 años hasta los 65 años, vendrá a ser (el valor presente) porque después del sexto cumpleaños del hijo no se hacen más pagos, en este tramo deberemos emplear la siguiente fórmula: n
VFn / VP0 = (1 + i)
Datos: VP7 = $ 7,012.29 i = 7% n = 59 años Por tablas: (FIVF7%,59años) = 54.1555 Reemplazando datos, obtenemos: VF7%,59años = (7,012.29) (54.1555) VF7%,59años = 379,754.07 Rpta. Sí, vale la pena comprar la póliza. 68.
. Usted acaba de ganar la lotería. Por lo tanto, hoy recibirá 2 millones de dólares y luego recibirá 40 pagos de 750 000 dólares cada uno. Estos pagos empezarán dentro de un año a partir de hoy y se pagarán cada seis meses. Un representante de Greenleaf Investments le ofrece comprar todos los pagos en 15 millones de dólares. Si la tasa de interés apropiada es una TPA de 9% diariamente capitalizable, ¿debe aceptar la oferta? Suponga que existen 12 meses en un año, cada uno con 30 días. 69. . Una agencia de planeación financiera ofrece un programa de ahorro para pagar una carrera universitaria. El plan requiere que usted haga seis pagos anuales de 8 000 dólares cada uno, hoy el primero de ellos, cuando su hijo cumple 12 años. Cuando cumpla 18 el plan proporcionará 20 000 dólares por año durante cuatro años. ¿Qué rendimiento ofrece esta inversión?
R0 = 8 000 dólares S = VFA = 80,000 – 20,000 = 60,000 n=6 Empleamos la fórmula y resulta: FIVF = 60000/8000 = 7.5 Ahora, de acuerdo a la tabla correspondiente, los FIVF para n = 6 más cercanos son: 7.3359 7.5 7.5233 8%=0.08 i 9%=0.09 Hallamos el valor de i por interpolación:
Despejando i, obtenemos: i = 0.0888 = 8.88%
70.
. Su asesor en planeación financiera le ofrece dos distintos planes de inversión. El plan X es una perpetuidad anual de 20 000 dólares. El plan Y es una anualidad a 10 años de 35 000 dólares. Ambos planes harán su primer pago dentro de un año. ¿A qué tasa de descuento sería usted indiferente entre estos dos planes? 71. ¿Cuál es el valor de una inversión que paga 8 500 cada dos años para siempre, si el primer pago ocurre dentro de un año a partir de hoy y la tasa de descuento es de 13% diariamente capitalizable? ¿Cuál es el valor de hoy si el primer pago se realiza dentro de cuatro años? Suponga que no hay años bisiestos. a)
Lo primero que se establece es la anualidad (R) a partir de los 8 500 cada dos años para siempre, que se calcula a partir de la siguiente ecuación: Donde: VFA2 = 8,500 i = 13% diariamente = 13%*1/365 = 0.0356 Durante el primer mes la cuenta acumulará un interés de $3,56 al día. Después de 30 días, los intereses acumulados son de $106,8 que se suman a la cuenta de partida. n = 2 años = 740 días b) Sdsd c)
72.
. Como se expuso en el texto, una anualidad anticipada es idéntica a una anualidad ordinaria excepto porque los pagos periódicos ocurren al inicio de cada periodo y no al final. Muestre que la relación entre el valor de una anualidad ordinaria y el valor de una anualidad anticipada, que por lo demás es equivalente, es de: Valor de la anualidad anticipada = Valor de la anualidad ordinaria x (1 + r) Demuestre esto tanto para el valor presente como para el valor futuro.
La fórmula se obtiene al plantear la ecuación de valor con fecha focal al principio y trasladando todos los pagos a valor presente a la tasa i (de nuevo, no se pierde generalidad si se supone que todos los pagos son de 1$).
Para simplificar la ecuación anterior, se puede seguir un procedimiento similar al realizado para el valor final; sin embargo el camino mas corto consiste en actualizar el valor final.
Luego se tendrá, para el valor final de una anualidad:
1 −1
…….. (1)
El Valor presente de una anualidad es: VPAi,n
1−
+
………(2)
Si dividimos miembro a miembro (1) y (2) obtenemos:
Haciendo operaciones y luego simplificando, se obtiene:
VFAi,n = VPAi,n (1+i) n …… (3) Si hacemos n = 1 para un periodo, i = r , entonces la ecuación (3) se convierte en:
VFAr,n = VPAr,n x (1+r) La relación que existe entre el valor actual de una anualidad anticipada y una ordinaria, es que el monto de la última anualidad ordinaria es R, mientras que la última anualidad anticipada se convierte en un monto de: R (1 + i). Es decir. El monto de las anualidades ordinarias es igual al valor actual en un periodo, del monto de las anualidades anticipadas. Que se expresa de la siguiente manera: Valor de la anualidad anticipada = Valor de la anualidad ordinaria x (1 + r) Lq d 2
73.
. Un establecimiento que cambia cheques se dedica también a hacer préstamos personales a los clientes ordinarios. La tienda hace únicamente préstamos de una semana a una tasa de interés de 9% semanal. a) ¿Qué TPA deberá informar la tienda a sus clientes? ¿Cuál es la TAE que en realidad pagan los clientes? b) Suponga ahora que la tienda hace préstamos de una semana a una tasa de interés descontado de 9% semanal (vea la pregunta 60). ¿Cuál será la TPA ahora? ¿Y la TAE? c) Este establecimiento de cambio de cheques también hace préstamos con intereses complementarios a un mes con una tasa de interés descontado de 9% semanal. Por lo tanto, si usted solicita un préstamo de 100 dólares por un mes (cuatro semanas), el interés será de ($100x1.09 4) - 100 = $41.16. Debido a que se trata de interés descontado, hoy los fondos netos del préstamo serán de 58.84 dólares. Entonces usted deberá reembolsarle a la tienda 100 dólares al final del mes. Sin embargo, para ayudarle, la tienda le permite liquidar esta suma en abonos de 25 dólares por semana. ¿Cuál será la TPA de este préstamo? ¿Cuál será la TAE?
a) De acuerdo a la definición, al capitalizar una inversión m veces al año se obtiene una riqueza al final de año de:
…….
(1)
Datos: C0 = $ 1 b) Nfdsf c) Sfsdf d)
i = 9%
m = 365
Reemplazando valores:
(FITAE Diario )
………. (1)
……………. (2)
Donde: i, es el tipo de interés nominal (mensual, semestral...) expresado en %. f, frecuencia de pagos/cobros de intereses: es 365 si se realiza diariamente, es 52 si es semanal, es 24 si es quincenal, es 12 si el tipo es mensual, 6 si es bimestral, 4 si es trimestral, 3 si es cuatrimestral, 2 si es semestral, y 1 si es anual. 74.
¿Cuál es la ecuación del valor presente de una perpetuidad creciente con un pago de C después de un periodo a partir de hoy si los pagos crecen C en cada periodo? 75. . Una útil herramienta empírica para calcular el tiempo que requiere una inversión para duplicarse con capitalizaciones discretas es la “regla del 72”. Para usarla, usted simplemente divide 72 entre la tasa de interés para determinar el número de periodos que se requieren para que un valor de hoy se duplique. Por ejemplo, si la tasa de interés es de 6%, la regla del 72 establece que se requerirán 72/6 = 12 años para duplicarse. Esto es aproximadamente igual a la respuesta real de 11.90 años. La regla del 72 también se puede aplicar para determinar la tasa de interés que se necesita para duplicar el dinero en un periodo específico. Esta aproximación es útil para muchas tasas de interés y periodos. ¿A qué tasa es exacta la regla del 72? Partimos de la fórmula para hallar el valor futuro de una inversión aplicando el interés compuesto: n VFn / VP0 = (1 + i) Datos: VFn = 2 VP0 = 1 Remplazando en la ecuación:
1
…………. (1)
La regla del 72, de acuerdo a la ecuación (1) será exacta a una tasa del 100% pagadero en un año. La gráfica es:
80 70 60 50 40 30 20 10 0 0%
76.
77.
5%
10%
15%
20%
25%
Un corolario de la regla del 72 es la regla del 69.3. La regla del 69.3 es correcta en forma exacta excepto para redondeos cuando las tasas de interés se capitalizan en forma continua. Demuestre la regla del 69.3 en el caso de intereses continuamente capitalizables.
