A coleção consta de oito volumes: /Mecânica: Cinemática
Mecânica: Dinâmica ^Mecânica:
Estática , Hidrostática e Gravitação
Óptica Geométrica r
O
Termologia
6 Oscilações, Onda s e Ac ústica /^Eletricidade: Eletrodinàmica ( 3 Elet ricida de: Eletrostática e Eletromagnetismo Cada capítulo apresenta as seguintes partes: 0.
Introdução Teórica
ti.
Questões Resolvidas
C
Questões Propostas d. Respostas
CfflïULO 1
s
A
é o ramo da Ciência que, juntamente com a Matemática, a Biologia e a Química, procura explicar os fenômenos que ocorrem na Natureza, tais como os movimentos dos corpos, as trocas de energia entre sistemas, a Física
propagação da luz, etc.
Introdu ção à M ecân ica — Para melhor analisar esses fenômenos, a Física é dividida em partes. A Mecâ nica é a parte da Física que estuda os movimentos dos corpos, bem como suas causas e conseqüências. Por sua vez, a Mecânica está subdividida em Cinemática. Dinâmica, Estática, Hidrostática e Gravitação. •
Mecânica
10
(1571-1630)
Matemático e astrónomo alemão. Estabeleceu as leis cinemáticas do movimento dos planetas ao redor do Sol. Criou as bases para o futuro desenvolvimento da Mecânica.
(1564-1642)
Matemático o astrônomo italiano. Estabeleceu as leis do movimento dos projéteis e a Lei da Inércia. Introduziu o método científico na observação dos fenômenos e contribuiu decisivamente para o desenvolvimento da Mecânica.
Fisi co e astrónomo inglês Fez a síntese das idéias de Kepler e Galileo. estabelecendo as Leis da Dmâmica e a Lei ca Gravitação Unive rsal. Seu s trabalhos modificaram a visão humana do Universo.
Unidade Fundamentalmente. a solução de um problema de Física consiste em determinar as grandezas nele envo lvidas. Medir uma grandeza é compará-la com outra de mesma espécie denominada unidade. Ouandc a unidade puder ser representada materialmente, teremos o padrão.
Sistemas de unidades mecânicas Para medirmos as grandezas mecânicas, necessitamos de um conjunto de unidades denominado sistema de unidades mecânicas, definido pelas unidades das grandezas fundamentais: comprimento, massa ou força e tempo. • Sistema Internacional (SI) — No Brasil, a partir de 1963, foi ado tado o Sistema Internacional (SI), cujas unidades mecânicas funda mentais estão representadas no quadro: Grandeza comprimento massa tempo
Unidade metro quilograma segundo
Símbolo m
kg s
Devido às iniciais dos símbolos, este sistema de unidades também é conhecido como MKS.
12
• Sistema CG S — Com unidade® derivada» do Sistoma Interna* cional, podemos construir outro sistema de unidades mecânicas, o CGS. cujas unidades estão representadas no quadro:
•
Grandeza
Unidade
comprimento massa tempo
centímetro grama segundo
Símbolo
cm g
s
Sistema Técnico — É tradicionalmente utilizado em áreas téc
nicas
Suas unidades fundamentais são apresen tadas no quadro: Grandeza
Unidade
comprimento força tempo
metro quilograma-furça segundo
Usualmente adotam-se, ainda, as unidades mento) e hora (tempo), onde: 1 km = 1 000 m e 1 h = 3 600 s
Símbolo m
kgf s quilômetro (compri
Intensidade de uma grandeza
O resultado da comparação entre uma grandeza e a unidade é um número real (positivo ou nulo) denominado valor numérico da grandeza em relação àquela unidade. O conjunto formado pelo valor numérico e pela unidade é deno minado intensidade da grandeza. Exemplo:
-
( /////// ///#>/
Ao modlrmON u nlturo do um homo m, obtemos 1.70 m. Nosto cflHo, tomos: grandeza medida: comprimento (altura): unidade: metro (m); valor numérico: 1.70; intensidade da grandeza: 1,70 m.
Assim, medir uma grandezaé, na realidade, determinar sua intensidade
Introduç ão à C ine m ática Ponto material Quando as dimensões do objeto a ser analisado não interferem na solução do problema, dizemos que ele é um ponto material.
Um automóvel em viagem numa estrada pode ser considerado como um ponto material.
Assim, um móvel em translação pode ser estudado como um ponto material.
Movimento de translação de uma carga.
14
Na translação de um corpo, o comportamento de todos os seus pontos c o mesmo. Basta, então, e studa r o comportamento de um único ponto (ponto material). Resumindo:
Translação ■►o corpo pode se r considerado ponto material.
Durante uma rotação, as dimensões do objeto interferem na so lução co proble ma. Neste caso, não podemos considerá-lo com o ponto material.
Na rotação de um corpo, cada ponto possui comportamento dis tinto dos demais, não podendo ser encarado como ponto material. Resumindo:
Rotação ■► o corpo não pede ser considerado ponto material.
Observe que a Terra, juntamente com os demais planetas, pode se r considerada como ponto matéria em rela ção ao seu movimento de translação ao redor do Sol.
15
Porém, em relação ao movimento de rotação, em torno do seu próprio eixo. ela não pode ser considerada como ponto material.
ê$J& r/ac& 2.
__________________________________
__________
Embora as dimensões do corpo estudado como ponto material não sejam consideradas, sua massa deverá ser levada em conta quando necessário.
Referencial
Os movimentos de um móvel devem ser analisados em relação a um sistema de referência, também denominado referencial. O referencial está. em gera l, asso ciad o a um outro corpo. Assim , por exemplo, o movimento do passageiro de um carro pode ser estu dado em relaç ão ao “ referencial-ca rro" ou em relação ao “ refer encia l-Terra
Dependendo do problema analisado, os referenciais tomados poderão ser uni. bi ou tridimensionais.
16
rrp •
Aplicações
Referencial unidimensional: a localização de um móvel é feita através de um único núm ero: Xp (coordenad a).
Movimento de um corro numa estrada.
Referencial bidimensional: a localização do móvel é feita através dc dois números: Xp e Yp(coordenadas).
Referencial tridimensional: a localização do móvel P é feita através de três n úmeros: X pf Y p e Zy (coordenadas).
Vôo de um pássaro num viveiro.
17
Movimento Dizemos que um ponto materiai está em movimento em relação a um referencial quando sua posição se alterar ao longo do tempo neste refe ren cial. Isso sign ifica que, no mínimo, uma de suas coordenadas varia com o tempo.
Mudança de posiçíío: movimento.
Aplicação
Um passageiro sentado está em movimento, juntamente com seu veiculo , em relação à Terra
Repouso Dizemos que um ponto material está em repouso, em relação a um referencial, quando sua posição não se alterar ao longo do tempo, neste re fer en cial. Ou seja . quando suas coordenad as neste referencial não sc alterarem com o tempo.
Posição inalterada: repouso.
18
i*
Aplicações
1. Observe que um móvel pode se encontrar em repouso em relação a um referencial e em movimento em relação a outro. Na figura abaixo: • a caixa e stá em repouso em relaç ão ao caminhão, pois sua po sição não varia em relação a ele (referencial B). • a caixa está em movimento em relação à estra da, pois sua posi ção varia em relação a ela (referencial A).
Indica 3xposiçõo da caix3 em relação ao caminhão.
a posição em
à estrada.
2. Na figura abaixo rep resen tamos a posição de um poste em relaçã o a um carr o. Se a posição do poste varia em relaç ão ao car ro, di zemos que o poste movimenta-se em relação ao carro.
V®
®
Conclusão Movimento e repouso são conceitos relativos, depen dendo do referencial adotado. Ao descrevermos um movimento, é conveniente adotarmos um sistema de referência onde a descrição do fenômeno torne-se a mais simples possível.
19
Trajetória
«
Denomina-se trajetória de um móvel a sucessão de posições ocupadas por ele cm re ação ao ref ere ncial adotado.
Os sulcos deixados pelo veículo na areia indicam a trajetória do móvel.
trens percorrem uma trajetória previamente traçada.
A trajetória dos aviões a .ato pode ser observada através da fumaça que se srcina da condensação do vapor dos gases liberados.
Gera lmen te, a trajet ória é representada p or uma função matemática e sempre depende do referencial adotado. Exemplo:
C.
Desprezando as influências do ar, a trajetória de uma bomba, que cai de um avião em vôo horizontal com rapidez constante, será um arco ce parábola em relação ao solo e um segmento de reta vertical cm relação ao avião. A orientação da trajetória e a escolha de uma srcem sobre ela facilitam a análise do movimento, pois permitem a associação de sinais a algumas grandezas que o caracterizam.
Orientação da trajetória c escolha da srcem (O) Esquema simplificado:
Movimento progressivo
« O movimento de um móvel é progressivo quando efetuado a favor (no mesmo sentido)da orientação indicada no referencial.
©
Movimento retrógrado 0 movimento de um móvel é retrógrado quando efetuado contra (em sentido contrário) a orientação indicada no referencial.
©
Espaço A posição P ocupada pelo móvel (M) num referencial, num dado instante t. pode ser determinada através da grandeza espaço.
p
22
0 espa ço S é a medida algébrica do arco de trajetória que tem início na srcem do referencial e extremidade na posição ocupada pelo móvel. Ou s eja : S = OP.
/ * / c > # e
No Sistema Internacional, o espaço é medido em metros: no Sistema CGS, em centímetros, e, no Sistema Técnico, em metros.
toî/zemdJim Aplicações práticas
Marco quilométrico nas estradas:
Numeração das casas numa rua:
24
ü fó & v a flfà L
___________________________________________________
J. Ccnliecendo-se o espaço de um móvel não se tem Icéia se ele *vai\ “vem", ou simplesmente está em repouso. Se o móvel está no quilômetro 30. não significa que ele tenha andado 30 km.
Para a mesma posição, três situações diferentes: o móvel A “vai", o móvel B ‘ vem’ e o observador C está em repouso. 2. Observe a figura seguinte Nela representamos um referencial associado à própria estrada, onde se desenvolvem os movimentos dos móveis A. B C e D. Orientando-se este referencial, teremos as regiões positiva e negativa. Podemos, então, escrever: móvel A: S A — —30 km: móvel B: S „ = + 2 0 k m ; móvel C (ob servador): Sc = 0 .
L
Simpliíicadamente teremos:
í
Intervalo de tempo Entre o início e o fim da análise de um movimento decorre um intervalo de tempo At definido como a diferença ent-e o instante final e o instante inicial
I
11. é sempre maior que tin: então, At será sempro positivo.
Um fenómeno físico tem seu início quando o cronômetro registra 5 s. Logo:
f r \ W r*
. i— v
*»n = 5 S
instante finai —tfh. = 15 s Duração do fenômeno \
i
‘
s
I
v
Intérvalo de tompo At *" à
!
0 fenômeno seu término quando o cronômetro registra 15 s. Logo:
r
/
At = tf,„ - t(ll= 15s — 5 s
I
Logo
|A>
-0 s|
26 Deslocamento escalar
Deslocamento escalar AS de um móvel num dado intervalo de tempo é a diferença entre o espaço final e o espaço inicial das posições que ele ocupa nos extremos deste intervalo. Ou seja:
AS — Srm— Sir,
à Deslocamento esca lar: A S = S, Esquema simplificado: s.
Vejamos, agora, qual a interpretação física que devemos dar para os sinais do deslocamento escalar. 1) Se, por exemplo, no instante 4 s um móvel ocupa a posição inicial determinada por Si„ — 10 m e num instante 12 s ele ocupa a posição será: final determinada por Sn« — 30 m. seu deslocamento escalar
I
I
Intervalo de tempo Deslocamento escalar
A' —tfi„—tj,,
At = 12 s
4 s —8 s
AS = Sflll S|M AS 30 m — 10 m = +20 m
^Conclusão: Durante o intervalo de tempo de 8 s, o móvel teve um ^ des ocamento escala r de +2 0 m. , O sinal “ mais ” sign ific a que, se o móvel manteve sempre o mes mo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se a favor do sentido do referencial unidimensional adotado. Assim, nos movimentos progressivos, o deslocamento escalar é positivo. 2) Se no instante 15 s o móvel ocupa a posição inicial determinada por $ i;, = 35m e no instan te 25 s ele ocupa a posição fina l deter minada por Sun — 20 m. seu deslocamento escalar será: AS = Sm, — Si„ = 20 m — 35 m = > AS = —15 m
s n„ - 20 m
Intervalo dc tempo Deslocamento escalar
A*
tfin —*iii
At = 25 s — 15s = 10 s AS = SflI(- S iu AS = 20 m — 35m =
15 m
Conclusão: Durante o intervalo de tempo de 10 s. o móvel teve um deslocamento escalar de —15 m. O "menos" significa que, o móvel manteve sempre contra o meso mosinal sentido de percurso, seu se movimento desenvolveu-se sentido do referencial unidimensional adotado. Assim, nos movimentos retrógrados, o deslocamento escalar é negativo. Movimentos progressivos Movimentos retrógrados
- ► AS > 0 AS < 0
Ouando o móvel retorna ao ponto de partida ou permanece em repouso, o deslocamento escalar é nulo.
posição inicial
Distância percorrida A distância percorrida por um móvel é a soma dos módulos dos deslocamentos escalares realizados por ele durante seu movimento, acrescida da unidade correspondente. Assim, por exemplo, a distância percorrida por um automóvel corresponde à quilometragem feita por ele durante uma viagem. Resumindo: d = |ASi| + |AS»| + . . . + |ASn| Exemplo:
Para um móvel que parte da posição A, atinge B e retorna, chegando ao ponto C, teremos: 1) AS = So — S a = 0 m — 10 m — 10m 2) d — AB + BC = 10m + 20m = 30 m
O « inholo ,\ S dovo anr entendido como módulo da grandeza AS e corroapondo ao valor rtumórico da grandeza AS rjue ó um número real positivo ou nulo.
Exemplo:
AS n -2 m - ►
AS| =4-2
Velocidade escalar Velocidade é a grandeza física que permite medir a rapidez com que um móvel varia sua posição. • Velocidade esc ala r média — Define-se velocidade escalar média de um móvel como o quociente do deslocamento escalar pelo intervalo de tempo correspondente. Ou seja:
VnJ =
At
tfin
tin
Como o interv alo de tempo At é sempre p ositivo a velocidade esc ala r media V„, terá o mesmo sinai do deslocamento escalar AS.
©
30
• Velocidade esc alar instantânea — Ouando o intervale de tempo At tende a zero. a velocidade escalar média tende à velocidade escalar instantânea.
Ou seja:
Posições sucessivas do um móvel entre dois instantes muito próximos.
velocidade média do móvel muito entre dois instantes próximos velocidade instantânea
•
Unidades de velocidade No Sistema Internacional, a velocidade é medida em m/s; no Sis tema CGS, em cm/s; no Sistema Técnico, em m/s. e, usualmente, mede-se também a velocidade em km/h. Aplicações práticas Velocidade escalar média: guarda rodoviário controlando o limite de velocidade de um veículo através de binóculo e cronômetro.
31
• Sina is da velocidade esca lar — Nos movimentos progressivo s a velocidade escalar instantânea é sempre positiva. Nos movimentos retrógrados a velocidade escalar instantânea é
Ouando a velocidade de um móvel é instantaneamente nula, dizemos que ele está parado naquele instante. Isto ocorre, por exemplo, no ponto mais alto do lançamento vertical de uma pedra. áà v = o
"" No instante em que atinge o ponto mais alto da J sua trajetória, o | móvel pára Porém, não permanece nessa posição com V. V = 0.
í
Quando a velocidade escalar instantânea de um móvel perma nece nula durante um intervalo de tempe At, dizemos que ele está em repouso naquele intervalo.
i Complementos • A intensidade da velocidade es ca lar instantânea pode se r reg is trada num instrumento denominado tacómetro (velocímetro).
O velocímetro d o automóve l registra a intensi dade tía velocidade (rapidez do movimento).
•
esc ala r i ns ta rtã re a
Algumas veloc idades sign ificativas: Velocidade da luz no vácuo ............................................... 300 000 km/s Velocidad e do som no ar à temperatura de 20“ C . . 344 m/s Velocidade de translação da Terra ao redor 30 km/s do Sol média ....................................................................................
Importante: A velocidade é grandeza que depende do referencial ado tado. Ass im , uma pessoa dorm indo em sua casa possui velocidade nula em relação à Terra, mas está dotada de velocidade não-nula em relação ao Sol.
\
C t I
-
»
33
Aceleração escalar Aceleração é o grandeza física que permite medir a rapidez com que um móvel varia suei velocidade. • Acele raç ão esc alar média — Num intervalo de tempo móvel var a sua ve locidade es ca lar de V.n a Vfln.
M.
um
© V©' r 7 s
km. h
km.h
Define-se aceleração escalar média do móvel como o quociente da variação de sua velocidade escalar pelo intervalo de tempo cor respondente. Ou seja:
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento.
V,0 No exemplo:
=
85
40
45
30 - 15
15
------------= -----
4C km/h
Vf,u
4 85 krn - h
34
• Aceleraçã o escal ar instantânea — Quando o intervalo de tempo At tende a zero, a aceleração escalar média tende à aceleração escalar instantâne a. At —o
Ou seja:
•
a == lim a.-„ a:-» ü
Unidades de aceleração AV Lembrando que a,u= ----At , então podemos concluir que:
unidade de acele raçã o
unidade de velocidad e unidade de tempo
Assim, no Sistema Internacional teremos: unidade de velocidade unidade de tempo No Sistema unidade de velocidade unidade de tempo No Sistema unidade de velocidade unidade de tempo Uma unidade usual é
km/h s
Aplicação prática
Análise do desempenho de um automóvel: a velocidade de um Corcel GT varia de 0 a 100 km/h num intèrvalo de tempo de 17,15 s: a velocidade de um Passat TS varia de 0 a 100 km/h num intervalo de tempo de 15 ,30 s. (Dados extraíd os ca rev ista Quatro Rodas de junho de 1979.) • Sinai s da aceleração esca lar — Analisemos o movimento de um veículo onde, em cada um dos casos abaixo, o motorista procura manter a leitura no veloc ímetro ou permanentemente crescente ou permanentemente de cresce nte. Lembre-se de que o velocímetro só registra as intensidades das velocidades; os sinais serão dispostos de acordo com o sentido do movimento do móvel.
1} As velocidades do veículo crescem algebricamente:
Instante Velocidade
t«„ - 5s Vj,, —— 5 m/s
tf n - 10s Vf| „ - 4-15 m/s
A velocidade final é algebricamente maior que a velocidade n ciai. a... -
I
A velocidade ^ está crescendo algebricamente-. a ( I ).
15-5 10-5
a,, -
+2
m/s*
Instante Velocidade
Vh: —
15 m/s
A ve ocidade final é algebricamente maior que a velocidade inicia!. (-15) =
—
10
5
a„ - - 2 m /s
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento
Conclusão: A aceleração escalar do móvel é positiva sempre que -- sua velocidade esc alar cr es ce r algebricamente.
2) As velocidades do veículo decrescem algebricamente:
A velocidade está decrescendo algebricamente: a ( ) Instante Velocidade
ti» - 5 s V,., - +15 m/s
tr.„ = 10 s v n. “ +5 m/s
A velocidade final é algebricamente menor que a velocidade inicial. 5-15
Instante
t,» “ 5 s
Velocidade
V;1I - - 5 m/s
aai = —2 m/s-
Win — 10 s
Vr.i. ™ -15 m/s
A velocidade final 6 algebricamente menor que a velocidade inicial.
am—
-1 5 - (-5)
a„ = —2 m/s-
O sinal da veiocidade só indica o sentido do movimento.
Conclusão: A aceleração escalar do móvel é negativa sempre que sua velocidade escalar decrescer algebricamente.
% //M /n ã /à n
37
Movimentos acelerado e retardado Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel cresce num intervalo de tempo, o movimento é denominado acelerado.
Movimento acelerado A velocidade aumenta emleituras intensidade. Corresponde á situação em que as do velocímetro assumem valores crescentes.
Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel decresce num intervalo de tempo, o movimento é denominado retardado.
Movimento retardado A velocidade diminui em intensidade. Corresponde à situação em que as leituras do veloe metro assumem valores decrescentes.
Resumo geral — Observe, nas duas pranchas a seguir, que o sinal da aceleração de um móvel nada tem a ver com o fato de seu movimento ser acelerado ou retardado. Ass im , o fato de a ace lera ção
38
ser positiva não implica necessariamente que o movimento seja ace lerado. bem como o fato de a aceleração ser negativa não implica necessariamente que o movimento seja retardado. MOVIMENTO ACELERADO
Cálculo tía aceleração Entre Os e 5 s:
km/h $
ACELERAÇÃO POSITIVA VELOCIDADE POSITIVA
Entre 5 s e 10 s: 80-60 10-5
km/h s
MOVIMENTO ACELERADO
MOVIMENTO ACELERADO
Cálculo da aceleração Entre Os e 5 s:
Entre 5 s e 10 s : .
a — -----------------6 0 - (-4 0 ) 5 -0
a -----------------30 - (—60) 10-5
ACELERAÇÃO NEGATIVA VELOCIDADE NEGATIVA
MOVIMENTO ACELERADO
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento. Movimento acelerado: velocidade c aceleração tém o IVESMO SINAL!
Cálculo da aceleração Entre 0 s e 5 s 60 80
l
a — ------- — 3 -0
km/h
Entre 5 s e 10 s: 4-060
s
10-5
ACELERAÇÃO NEGATIVA VELOCIDADE POSITIVA
km/h s
MOVIMENTO RETARDADO
MOVIMENTO RETARDADO
Cálculo da aceleração Entre 0 s e 5 s: -60 - ( - 80 )
a ------------------
f
5 -0
km/h a .. T-4 ------s
ACELERAÇAO POSITIVA VELOCIDADE NEGATIVA
Entre 5 s e 1C s : -40 - (- 60)
km/h s
10-5
MOVIMENTO RETARDADO
O sinal da velocidade só indica o ser*, do do movimento
Movimento retardado:
velocidade e aceleração
têm SINAIS OPOSTOS!
40
Portanto: Movimento acelerado Velocidade e aceleração têm o mesmo sinal. Movimento retardado Velocidade e aceleração têm sina is opostos.
-
v . a > 0
V . a < 0
Representação gráfica A variação de uma grandeza em visualizada através ce um diagrama.
função do tem oo pode ser
Assim, o comportamento das ondas cerebrais de um homem pode ser estudado através de um eletroencefalograma: um tremor de terra pode ser analisado através de seu registro num sismógrafo.
Analogamente, podemos analisar as variações do espaçe S. da velocidade V e da aceleração a através de seus diagramas horários SXt . V Xt e aX t.
'W
A leitura direta de um diagrama horário informa-nos sobre o com portamento da grandeza ern estudo ao longo do tempo. ft
Exemplo: Da leitura direta do gráfico V X t abaixo, pode mos con clu ir que:
•
De Os a 5 s . V > 0 (movimento progr essivo) e V cre sce (mov i
mento acelerado). • De 5 s a 1 0 s, V > 0 (movimento prog ressivo) e V decresce (movimento retardado). • De 10 s a 15 s, V < 0 (movimento retrógrado) e jV | cr esc e (mo vimento acelerado). • De 15 s a 20 s. V < 0 (movimento retrógrado) e (movimento retardado).
V decresce
42
Elementos gráficos Além da leitura direta, há dois outros elementos de interesse no estudo de um diagrama horário: o declive da curva e a área sob o gráfico. G • Dec live de uma curva * — Dado um diagrama horário de uma grandeza G (S. V ou a), cha mamos de declive do gráfico a tangente trigonométrica do ân gulo formado pelo gráfico e o eixo horizontal, medido no sen tido anti-horário a partir do eixo t. Ou se ja :
| dec = tgõ~ .
'fln
! AG
Gin / a /
y\
;
"■
Gráfico retilíneo: dec = tg a = AG _ Gfln — G|n At
trtn — tln
Gráfico curvilíneo: • declive médio deCm — dec^j^p.^ tg & • declive num ponto deci» = tg a Sinais do declive: • para 0o < a < 90°, dec > 0. Exemplo: 6—3 dec (o»m j »)-----------— “M ,5 —> 2 -0 dec«)» mi‘ ») — 4-1.5 • para 90° < a < 180°, dec < 0. Exemplo: 0-6 = -3 = > dec. s -h 7») = 7 -5 dec <5. W 7 •!= —3 • Para a = 0 \ dec = 0. Exemplo:
dec (2 «H 5 •)
6 - 6
_________5 — 2
=
0
j dec <2■h »»i — 0 * Pera maior facllidace. ver Apêndice
(Pranchas Matemática») no linal deste livro
i i *fln
t
Admite-se que a escala de representação da grandeza G e da grandeza t seja a mesma. f Exemplo: eixo da grandeza G (ordenada): 1cm representa 1m/s; eixo da grandeza t (abscissa): 1cm representa 1s. _________________________
•
Área sob o gráfico — Mui
tas vezes a área entre o gráfico e o eixo dos tempos é numerica mente igual a uma certa gran deza física G, ou seja,
A *? G .
Por outro lado, em muitos casos, o sinal ao desta está associado fato grandeza de o grá fico estar acima ou abaixo do eixo dos tempos. Podemos, en tão. adotar a seguinte conven ção: • área calculada acima do eixo dos tempos: G > 0; • área calcul ada abaixo do eixo dos tempos: G < 0.
Exemplos: D A IO» H
2
«)
8+ 4
. 2 —
= 12 — >Ato» h 2») = 12 A ;2«m * h) — 2 . 8 = 16 = —>A(2« h i >0 = 16 2 . 8 A h «h 6») =• --------= 8 :
==> A « « MA») — 8
Portanto, A(0, h 6*j = 12 +■ +- 1 6-h 8 = 36 Sendo A 5 G, vem: |G = -f36 2) A(«.
mio »)
4 .8
16
Sendo A ^ G. ve m: | G = —16
1. CESCEA — Um homem, ao inclinar-se sobre a janela d o vagão de um trem que .se move com velocidade constante, deixa cair seu relóg io. A traje tória do relógio, vis ta pelo homem do trem. é (despreze a resistência do ar): a) uma reta. b) uma parábola. c) um quarto de circunferência. d) uma hipérbole. e) Nenhuma das anteriores. Resolução: Embora caia verticalmente, aproximando-se do chão, horizontalmcntc o relógio acompanha o trem, devido ao seu embalo inicial. Assim, em relação a uni referencial fixo no trem, a trajetória do objeto será um segmento de reta vertical. O mesmo ocorre quando um avião, voando horizontalmente com velo cidade constante, abandona um objeto que cai livre da resistência do ar.
— O ----
\
Resposta: alternativa a.
45
2. CES CEA — Na questão anterior, a trajetór ia v ist a por uma pesso a no solo é: a) uma reta. b) uma parábola. f c) uma hipérbole. d) um quarto de circunferência. e) Nenhuma das anteriores. o relógio será dotado de dois movimentos simultâneos: queda vertical e deslocamento lateral. A combinação desses movimentos resulta em um arco de pará bola, conforme você pode observar no exemplo do avião. Resolução: Fm relação a uni referencial fixo no solo,
Resposta: alternativa b.
3. ITA — Um homem sobe uma escada que se apóia contra um edi fício . A escada tem seu topo a 8 m do solo e a base está a 6 m do edifíc io, conforme figur a abaixo . Ele sobe ao topo em 4 salae.r daí, cai ao ponto B no próximo segundo. A velocidad e esc média entre A e B é de: Cv a) 3.2 m/s. b) 1.2 m/s. c) 3,6 m/ s. d) 5.25 m/s. Bl_______________- N . a e) Nenhuma das resp osta s ant erio res. Resolução: Do enunciado da questão, temos: CB = 8 m, AB = 6m , AtAC= 4 s e Atou = 1 s C
Por Pitágoras, podemos escrever: (AB)2 + (CB)2 = (AC)2 (6 )2 -4- (8 )2t= (A C )2 (AC)2 = 1 0 0 = > AC = 10 m Lembrando a definição dc velocidade escalar média, vem: .. AS AC + CB 1 0 -f -8 18
" 6
■ât Logo:
AtAC -j- AtfB Vrn = 3 ,6 m /s
Resposta: alternativa c.
4 -f- 1
5
46
4.
MACKENZIE — Sejam M e N dois pontos de uma reta e P o ponto médio de MN. Um homem percorre MP com veloc dade constante de 4,0 m/s e PN com velocidade c on stan te de 6 ,0 m /s. A velo cidade média do homem entre M e N é de: a) 4,8 m/s. b) 5,0 m /s. c) 5.2 m/s. d) 4.6 m/s. e) Nenhuma das anteriores. Resolução: Quando um móvel mantém sua velocidade constante, as velocidades media e instantânea tem o mesmo valor.
y
©
g
©
At,
a At,
Ou seja: velocidade
V = V,
constante
Assim, para o trecho MH podemos escrever: AS, AS Vm, = 4 m /s = > ---------= 4 = > At, = -----* At, 4
(D
Para o trecho PN, teremos: AS2
Vrn = 6 m/ s = > ---------= 6 =>
Ata
ASa
(II)
6
Ata
A velocidade media total será: ASp
V
—
At?
AS, -{- ASa
—
At, -}- Ato
(UI)
Substituindo-sc (I) e (II) em (III), vem: _ AS, + AS* AS, -I- AS. AS,
ASo
4
6
~
3AS, + 2ASa 12
12(AS, + AS-.) 3AS, -f- 2ASo
47
Pelo enunciado, sendo P o ponto niédio do trecho MN, então MP — PN ou AS, - AS,. Portanto: V«
12(AS, + AS,) 3AS, -f 2AS,
Conclusão:
24
24#,
~~
4,8
'
VmT — 4,8 m/s
Resposta: alternativa a.
5. MAPOF EI — Um automóvel percorre a distância entre Sã o Paulo e São José des Campos (90 km) com a velocidade média de 60 km/h; a distância entre São José dos Campos e Cruzeiro (100 km) é percorrida com a velocidade média de 100 km/h e entre Cruzeiro e Rio de Janeiro (210 km) com a velocidade média de 60 km/h. Ca lcu le a velocidade média do automóvel en tre São Paulo e Rio de Janeiro. Resolução: Para o trecho (1) (São Paulo—São José dos Campos): AS, AS, 90 At, = 1,5 h Vm = ----- - = > At, = -----— = > A t, = ------= 5 1 At, V». 60 Para o trecho (2) (São José dos Campos—Cruzeiro): AS2 AS2 100 V„, = ----i = > Ata = ----— = > At. = ---------= > 100 Ato
Ato = 1,0 h
Para o trecho (3) (Cruzeiro— Rio de Janeiro): V« = - AS» 1 At:
AS3 —^ At: 4 ,— At3 —---------
210 60
At:, = 3,5 h
Assim, o intervalo de tempo total para ir de São Paulo ao Rio de _________ Janeiro será: At = At, 4 Ato 4- At:, = 1,5 4- 1,0 4 3,5 = > At = 6,0 h
48
O deslocamento total do automóvel será: áS = AS, 4 AS . 4 AS3 = 90 4 100 4 210 = > AS = 400 km Portanto: 400 V, Vm— 66,6" km/h 6 Resposta: A velocidade média do automóvel em todo o trecho foi de 66,67 km/h.
6. CE SG RA NR IO — Numa avenida lo nga, os sin ais são sincronizado s de tal forma que os carros, trafegando a uma determinada velocidade , encontram sempre o s sin ais abertos ( onda verd e). Sa bendo que a distância entre sinais sucessivos (cruzamentos) é de 200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e o segu inte c de 12 s. com que velocida de os c arro s devem trafegar para encontrarem os sinais abertos? a) 30 km/h b) c) d) e)
40 km/h 60 km/h 80 km/h 100 km/h Resolução: Suponhamos que um carro esteja chegando num sinal vermelho. Quando o sinal abrir, ele terá 12 s para percorrer 200 m até o próximo sinal, que deverá estar passando do vermelho para o verde.
At
Calculemos, então, com que velocidade média o carro deverá fazer este percurso. Sendo AS = 200 m c At = 12 s, vem: AS 200 50■ ■■■ v m= At 12 3 Lembrando que I m /s = 3,6 km /h, ternos: 50 V,„ = . 3,6 km/h V'n-, = 60 km/h V ... — —
Resposta: alternativa c.
50 m /s
% / s / £m
7.
UNIVERSIDADE DE TAUBAT
d/ ü r/
'
49
— Uma bicicleta move-se sobre uma estrada curvilínea com velocidade escalar instantânea igual a —4 rn./s. O sinal negativo indica que: a) a bicicleta tem velocidade decrescente. b) a bicicleta se move em marcpa a ré. é
c) odamovimento trajetória. tem sentido contrário ao da orientação positiva d) é impossível tal situação; não há significado físico para velo cidade negativa. Resolução: A velocidade escalar negativa indica que o objeto se move contra a orientação do referencial. Assim, diremos que o movimento da bicicleta é retrógrado.
)
Resposta: alternativa c.
8. UNIV ERSID ADE DA BAHIA — O maquinista aciona os fre ios de um trem, reduzindo sua velocidade de 80 km/h para 6C km/h, no intervalo de 1 min. Neste inte rvale , a acelera ção do trem foi de: a) 20 km/h-’. b) —20 km/h2. c) —0.3 km/h2. d) 1.2 . 103 km/h-. e) —1.2 . 103km/h2. AV
Resolução: Lembrando que a„, At crcver: 60 km /h — 80 km /h &B) — 1min Logo: km/h 20 km/h a» = -2 0 3iu — — mm 1 min
Vfla — V|n
At
podemos es-
50
Ou seja, o trem reduz sua velocidade, cm média, de 20km /h em cada minuto. Como 1 min = ------h, entào: 60
am= - 2 0 . 60 km — = > am= —1 200 km/h 2 h Assim: 1.2 . 103 km/h2| a,3 : O sinal menos (—) significa que a velocidade escalar do móvel diminui algebricamente. Resposta: alternativa e.
9. MEDICIMA DE LONDRINA — A tabela abaixo dá a velocidade es calar (V) de um corpo em função do tempo (t): t(s) V ( c m ' s)
8 0 -3
2 4
4 11
6 18
25
A pa-tir destes dados, assinale o gráfico que melhor representa
am«o*ih 2 (| = ----------------— H---------— -f-3,5 cm / s 2 - 0 2 B in <2 « H <*1 =
------------------ =
a.-i <4aH 6sl —
4-2
6 -4
H------------— -j - 3 , 5 cm /s- '
2
|-------= -f 3,5 cm/s* . 2
51
3m(uHM8*) —----------------— H---------— + 3 ,5 cm /s2
8-6 2 Portanto, a aceleração media é constante c sua representação gráfica é uma reta paralela ao eixo dos tempos (eixo horizontal). Resposta: alternativa a.
10. ITA — No estudo do movimento de um móvel (em t raje tória reti línea), medindo-se a velocidade a cada segundo a partir de um instante t — 0 s e de um ponto x0 ob:eve-se a seguinte tabela: V(m/s) t(s)
1.0 0.0
2.0 6.0 8.0 9.0 10.0 12 .0 13.0 14.0 15.0 15,0 15.0 14.0 10,0 5.0 2.0 2.0 3.0
1.0
4.0 5.0
6.0 7.0 80 9.0
10.0 110 12.0130 14,0 15.0
As acelerações médias do móvel entre es instantes 4 s h 5 s , 1 0 s m 1 1 s e 13 s m14 s foram, respe ctivam ente (em m /s 2): a) 1.0: 0.0 e 4.0. b) c) d) e)
4.0; 0,5 2.0; 2.0 2.0; 0.0 1.0; 0.0
e e e e
- 4 .0 . - 2 .0 . - 4 ,0 . —4.0.
n . . » ^ fin ^ :n Resolução: Como am— ---------------, temos: tíin — tin (4,0 »H ’».O *) —
10,0-9,0
1,0
5,0 - 4,0
1,0
— 1,0 m /s 2
am(4«HG«) — 1,0 m/S-
am: 0 1.0 & H 11,0-a» —
15,0 — 15,0
11,0-10,0
0,0
1,0
= 0,0 m/s*
am(to « HM «) = 0,0 m /s* 1 H14 3.H113.0 ,0 s) —
6,0 — 10,0 14,0— 13,0
-4 ,0 *
— —4,0 m/s*
1,0
amíl3sHHj) — —4,0 m/s* Resposta: alternativa c.
11. MED ICIN A DE SAN TOS — Um ponto material de sloca -sc com uma certa velocidade segundo um eixo orientado, adquirindo, na ori gem deste , uma acele raçã o con stant e de —15 cm /s 2. Apó s 6,0 s sua velocidade é de 30 cm/s, dirigida segundo o sentido negativo do eixo. A velocidade do ponto material no instante cm que lhe foi comunicada a aceleração é de:
52
a) b) c) d) e)
15 cm /s. 30 cm /s. 45 cm/s. 60 cm/s. Nenhuma das anteriores.
Resolução: Do enunciado, temos a informação: Vfu = —30 cm /s (velocidade contrária à orientação do referencial).
VfIn — V,0
Lembrando que aw
At
vem: - 30 -
-1 5 t = 0,0 s
V,„ = ?
•©
t = 6,0 s
'fii>
■©
-90 =
- 30 -
V,
V,B
=> Vla = 9 0 -3 0 => Viu = 00 cm/s
Resposta: alternativa d.
12. FEI — O gráfico da velocidade de um ponto material em função do tempo é o que se vê na figura abaixo. Pode-se dizer que:
a) b) c) d) e)
o movimento o movimento o movimento o movimento nenhuma das
é acelerado durante todo o tempo. é retardado nos trechos AB, CD e DE. só é retardado no trecho AB. é retardado nos trechos AB e CD. afirmações anteriores está correta.
53
Resolução: As grandezas físicas escalares podem ter suas variações com o tempo ilustradas através de uma representação gráfica. A leitura de um gráfico nos permite tirar conclusões a respeito do movimento do móvel.
No caso cm questão, o gráfico V X t nos informa que: Trecho AB: V| decresce = > movimento c retardado. Trecho BC: velocidade se mantem constante. Trecho CD: V| decresce = > movimento c retardado. Trecho DE: V cresce = > movimento é acelerado. Resposta: alternativa d. 13. MEDICINA DA SANTA CASA — O gráfico abaixo r epresenta o es pa ço S de um móvel em função do tem po t. Pode-se dizer que a velocidad e média no intervalo de Os a 7 s foi igual a:
c) 23 m/s. d) 6,6 m /s . e) 0 m/s.
«j, __^ Resolução: Lembrando que Vm— -------------, através da leitura direta t f In
tjn
do diagrama horário S X t podemos concluir que S() — 0 m e S7 = 0 m. Portanto: Va i(0 * H ) 7 s — ^
Sv- So
0-0 -------
7 -0
7
0 = ------= 0 => 7
^a i : o * h T« > — 0 m ;S
Observe que o fato dc a velocidade média ser nula não implica que o móvel esteja cm repouso. No caso em questão, a velocidade média é nula porque o móvel ocupa a mesma posição nos instantes inicial e final. Resposta: alternativa e.
54
14. MEDICINA DO ABC — O gráfico abaixo representa a velocidade escalar em função do tempo de um veículo que se movimenta sobre uma trajetória retilínea. O módulo da aceleração escalar média, no intervalo de 0 s a 10.0 s.
b) c) d) e)
2.0. 2.5. 5.0. 10.0.
Resolução: Lendo o gráfico, concluímos que: para t = 0,0 s, Vrt — 20 m/s para t = I0 ,0s, V10 = Om/s
c . AV V|0 — V„ benao a*. = ------= ----------------, vem: At
At
—
0 20 . am(o,sH»'»*) ——2,0 m/s* âjiMOHHio*.)----------------. 10-0
A velocidade final é aleebricamcnte menor que a velocidade inicial. Logo, em m/s2: <
-
2.0
Resposta: alternativa b.
55
1. MEDICINA DE 1TAJUBÁ — Um menino parado numa estação deixa cair uma pedra. Um observador, situado num trem que se desloca com movimento retilíneo para a esquerda, vê a pedra seguindo qual das traje tórias abaixo?
2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — lodo movimento é relativo. Então, podc-sc dizer que, cm relação a um mesmo sistema de referência: I) Sc A está em movimento em relação a B e B está em movimento em relação a C, então A está em movimento em relação a C. II) Se A está parado em relação a B c B está parado em relação a C, então A está parado em relação a C. Responder mediante o seguinte código: a) I está certa e II está errada. b) I está errada e II está certa. d) I e II estão erradas. c) I c II estão corretas. c) Nada se pode afirmar. 3. MEDICINA DO ABC — A velocidade escalar média de um móvel é me lhor definida como sendo: a) a média das velocidades escalaresdo móvel, ao longo do movimento. b) o resultado da divisão do espaço percorrido pelo móvel pelo intervalo de tempo empregado em percorrer esse espaço. c) o produto da aceleração pelo tempo. d) o quociente da aceleração pelo tempo. c) a media aritmética das velocidades inicial c final, relativas ao mesmo percurso.
56
4. ENGENHARIA DF. UBERLÂNDIA — Um passageiro dc ônibus verifi cou que o mesmo andou 10 km nos 10 primeiros minutos de observação c 8 km nos 10 minutos seguintes. A velocidade média do ônibus foi: a) pouco menor que 60 km/h. b) igual a 60 km/h. c) pouco maior que 60 km/h. d) igual a 120 km/h. c) impossível dcser calculada. 5. PUC (CAMPINAS) Lm carro move-se com velocidade de 2 m/s durante 10 s (l.a marcha): cm seguida, com5 m/s durante 10 s (2.a marcha) e, de pois, com II m/s durante 10 s (3.a marcha). Desprcza-se a duração das mudanças de marcha. a) A velocidade média do carro c dc 6 m/s. b) A aceleração do carro é sempre nula. c) A aceleração media do carro na duração do fenômeno é de 0,45 m/s-. d) Nenhum dos resultados anteriores. 6. MEDICINA DF. CATANDUVA — Um automóvel percorre um trecho retilíneo dc estrada, indoda cidade A ate a cidade B,distante 150 km da primeira. Saindo às 10:00 h dc A.pára às ll:0 0h emumrestaurante situa do no ponto médio do trechoAB, onde o motorista gasta exatamente uma hora para almoçar. A seguir, prossegue viagem egasta mais uma hora para chegar à cidade B. A velocidade media do automóvel no trecho AB foi dc: a) 75 km/h. d) 60 km/h. b) 50 km/h. c) 90 km/h. c) 150 km/h. 7. dade ITA — Um de motorista perfa?durante er a distância de 20 15 kmminutos com a com veloci média 80 km/h.deseja Se viajar os primeiros a velocidade de 40 km/h, com que velocidade média deverá fazer o percurso restante? a) 120 km/h. b) 160 km/h. c) É impossível estabelecer a velocidade mcd:a desejada nas circunstâncias apresentadas. d) Nula. e) Nenhuma das afirmações c correta. 8. UNESP — Um ônibus dirige-sc dc São Paulo ao Rio dc Janeiro. 0 ) Ao passar pelo marco quilométrico A dc espaço 150 km, um passa geiro lê cm seu relógioo tempo 15 horas. Com esses dados, a veloci dade é calculada cm 10 km/h. (2) Às 17 horas, o veículo passa por um marco B no qual se lê 50 km. Entro A e B o percurso é —100 km. a duração é dc 2 horas e a velo cidade média é dc —50 km/h.
*
4
k
*
‘4
(3) O sinal negativo na velocidade do item (2), suposto correto, indica que o veículo faz marcha à ré. a) Somente (1) c correta. b) Somente (2) é correta. c) Somente (3)c correta. d) de uma a. e) Há Nãomais há nenhu ma afirmativa afirmativa corret correta. 9. UNIVERSIDADE DE SÂO CARLOS — Um móvel se desloca de um ponto A até um ponte B. a uma velocidade constante igual a 80,0 km/h. Depois, se desloca do pontoB ate um ponto C, a uma velocidade constante igual a 30,0 km/h. Se a trajetória é retilínea desde o ponto A até o ponto C. c as distâncias de A até B c de B até C são iguais, podemos dizer que a velocidade escalar média do móvel é de: a) 55,0 km/h. d) 50,2 km/h b) 43,6 km/h. e) 71.7 km/h. c) 60.8 km/h. 10. PUC (RIO GRANDE DO SUL) — A velocidade média de um automóvel na primeira metade de umdeterminado percurso é de 10 km/h c. na se gunda metade desse mesmo percurso, é de 30 km/h. Pode-se afirmar que a velocidade média desse automóvel cm todo o percurso vale: a) 15 km/h. d) 30 km/h. b) 20 km/h. e) 40 km/h. c) 25 km/h. 11. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA — Um ponto material move-se em linha reta. percorrendo dois trechos consecutivos MN c NP O trecho MN c percorrido com uma velocidademedia igual a 20km/h, e o trecho NP com uma velocidade média igual a 60km/h. O trecho NP é o dobro do trecho MN. Pode-se afirmar que a velocidade média no trecho MP foi de: a) 36 km/h. d) 42 km/h. b) 40 km/h. e) Nenhuma das respostas anteriores. c) 37,3 km/h. 12. MEDICINA
DE ITAJUBÁ Um trem viaja durante 2h a 50,0 km/h; depois, passa a viajar a 60,0 km/h durante 1,5 h e, finalmcntc. passa a 80,080.0km/h. km/h durante 0,5 h. Sua velocidade média, neste trajeto, será de: a) d) 57,5 km/h. b) 65,0 km/h. e) 47,5 km/h. c) 63,3 km/h.
13. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel, descrevendo um movimento pro gressivo, certamcnte está em: a) rotação. d) movimento uniforme. b) oscilação. e) Nenhuma das respostas anteriores. c) movimento retilíneo.
58
14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Medindo-se, no sistema CGS dc unidades, a velocidade de umcorpo, obteve-se o vaíorde 12,3 cm/s. Que valor expressa esta mesma velocidade no sistema de unidades MKS? a) 1,23 . 10-3 m/s d) 1,23 . 10* m/s b) 1,23 . 10-* m/s e) 1,23 . IO3 m/s c) 1,23 . 10-» m/s 15. PUC (CAMPINAS) — A aceleração escalar média de um automóvel que aumenta sua velocidade de36 km/h para 108 km/h em 10 s c de: a) 7,2 m/s2. d) 4,2 m/s2. b) 72 m/s2. e) 3,0 m/s2. c) 2,0 m/s2. 16. UNIVERSIDADE DE SÄO CARLOS Um carro, movendo-se no sen tido positivo do eixox com velocidade de 100 km/h. freia de modo que após 1.0 min sua velocidad e passa a ser dc 40 km/h. A aceleração média do carro será dc: a) —1,0 km/min2. d) —0,66 km/min2. b) 1.0 km/min2. c) 0.66 km/ s2. c) 1,0 m/s2. 17. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O quociente entre velocidade c ace leração c uma grandeza que pode ser medida em: a) cm/s2. d) s. b) cm/s3. e) s-1. c) cm2/s3. 18. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O gráfico abaixo representa o espaço S de um ponto em função do tempo t de percurso. A maior velocidade média, relativa a um intervalo de tempo igual a um segundo, é obtida entre:
a) 0 s e Is. b) I s e 2 s. c) 3 s e 4 s.
d) 4 s e 5 s. e) 5 s e 6 s.
v i& n d á a z
&
59
19. MEDICINA DE TA UBATÉ O gráfico S X t de um móvel c desenhado abaixo. Esse móvel tem um movimento:
t a) aederado.
d) retrógrado.
b) c) retardado. progressivo.
e) ü móvel está parado.
20. MEDICINA DE SANTOS O diagrama abaixo representa a velocidade escalar de um ponto material em função do tempo. Podemos afirmar que:
a) b) c) d) c)
entre os instantes 0s e 5 s o movimento c progressivo c retardado. entre os instantes 15 se 20s a aceleração escalar é negativa. entre os instantes 5se 10s o movimento c progressivo retardado. no instante 15 s a aceleração é nula. nos instantes 10 s c 20 s a aceleração atinge seus valores máximos.
S I
21. CESCEA — Dois corpos, distantes entre si 100m. partem simultaneamente um em direção ao outro, ao longo ca reta que os une. O gráfico abaixo marca a posição de cada um dos corpos no decorrer do tempo; (1) rcfcre-se ao primeiro e (2) ao segundo corpo.
Considere as proposições: I) Os corposseencontram noinstante t = 4 s. II) Os espaçospercorridos pelo corpo (1) e pelo corpo (2) desde o mo mento da partida até o instante de encontro são. respectivamente. —f>() m c 40 m. III) A velocidade média do corpo (1), em módulo, duran te os primeiros 6 s. é maior que a do corpo (2). São corretas as proposições: a) I e II. b) I c III. c) II e III.
d) Todas são verdadeiras. c) Todas são falsas.
22. CESGRANRIO — Um mau motorista percorre uma avenida onde os su cessivos sinais dc tráfego são eqüidistantes e estão sincronizados para que um bom motorista possa cruzar todos os sinais no verde, dirigindo com uma determinada velocidade constante.
No entanto, o mau motorista não aproveita essa chamada "onda verde . Ele arranca subitamente, “queimando borracha", na abertura de um sinal, acelera a fundo e depois freia violentamente de modo a parar no sinal seguinte, onde aguarda a abertura, c assim por diante. Qual dos seguintes gráficos posição xtempo melhor er presenta o movimento do carro desse mau motorista? <
Tempo
Posição
Tempo
62
23.
UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE — Ao fa^e r uma viagem de carro entre duas cidades, um motorista observa que sua velocidade escalar média foide 70 km/h, e que, em média, seu carro consumiu 1,0 litro de gasolina a cada 10 km. Se. durante a viagem, o motoris ta gastou 35 litros de gasolina, quantas horas demorou a viagem entre as duas cidades? a) 3 h b) 3 h c 30 min c) 4 h
d) 4 h e 30 min e) 5 h
2. I) Imagino um observador A dotado dc velocidade V em relação a uma escada rolante B, que sobe também com velocidade V. em reiação à Terra (C ). Se A subir a escada B. a velocidade de A com relaçáo a C será 2V (movimento). Se A descer a escada B. a velocidade de A em relação a C será zero (repouso). Conclusão: I está errada II) Estando A oarado em relação a B. então A c B estão permanentemente unidos, podendo ou não o conjunto estar em movimento. Sc B está parado em relação a C, então B e C estão permanentemente unidos. Então, A. B e C estão formando um único sistema rígido (um triângulo, por exemplo), onde cada um dos pontos está em repeuse em relação aos outros. Conclusão: II está certa. Rosposta: b. 3. b (Por espaço percorrido entenda-se deslocamento escalar AS.) 4. a (Vm := 54 km/h) 5. a 6. b 7. c 8. b 9. b 10. a
11. a 12. d
13. e (Movimento pr ogr essivo^- movimento descrito a favor da orientação dc referencial.) 14. c 15. c 16. a 17. d 18. b 19. d 20. c (Importante: não se define aceleração quando há formação de “bico" no gráfico V x t. Isto. por exemplo, ocorre nos instantes t = 5 s e t = 15 s.) 21. a 22. b 23. c
Definição de movimento uniforme O movimento de um móvel é uniforme quando sua velocidade escalar é constante e não-nula. Assim, um automóvel dotado de movimento uniforme terá seu velocímetro indicando sempre o mesmo valor:
Movimento uniforme
• Rap dez constante em qualquer trajetória. • Sentdo do movimento sempre constante • A indicação do velocímetro é sempre a mesma.
Movimento uniforme em trajetória curvilinea.
RAPIDEZ CONSTANTE
Resumindo:
MU
V constante e não-nula
• Conseqüências da definição — Como conseqüência dessa defi nição. podemos concluir que. no movimento uniforme, a aceleração escalar é constante e nula.
Ou seja:
MU
=>
aceleração escalar é nula
Como a velocidade escalar é constante, o valor da velocidade escalar instantânea, no movimento uniforme, coincide com o da velo cidade escalar média. Isto é:
MU •=> V = V™
66
Função horária do movimento uniforme A expressão matemática que relaciona os espaços S de um móvel (indicativos de suas posições) e os correspondentes instantes t é denominada função horária do movimento,sendo representada gene ricamente por S = f(t). Instante qualquer (t)
Instante inicial (t
S §o
0)
indica a posição do nevei num instante t quaiquer. mdica a posição do móvel para trrO .
e . w w AS S -S „ S-S . Sendo V — Vm— -----= -----------, então: V = -------At t- 0 t =>
S = S »-f Vt (função horária do movim ento). Conclusão: A função horária do movimento uniforme é do 1.° grau
na variável t, sendo expressa por: onde
S — So 4- Vt
i S0 (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel ' instante inicial do movimento (instante zero)-. ! V é a velocidad e escalar con stant e e não-nula.
Exemplos:
S=
6
+ 2t (SI)
S=- 3-
8t
(SI)
í S m= +6 m [V = + 2 m/s (movimento progress ivo] í S m= —3 m 8
[ V — — m/s (movimento retrógrado) S — 5t (SI)
S
V=
5 m/s (movimento progressivo]
(wô0VO(tft% L____
1. A funçãc horária informa sobre o tipo de movimento desenvolvido pelo móvel mas nada informa a respeito da trajetória seguida pelo corpo. 2. É importante o conhecimento das posições ocupadas pelo móvel ao longo do tempo. Onde estará o móvel nos instantes t = 10 s. t = 20 s e t = 30 &? A função horária respondo a esta pergunta!
68 3. Observo que o espaço S de um móve pode obedecer a uma corta função horária, porém em trajetórias diferentes. A função horária ntíica como o móvel caminha e não onde omovei caminha Com apenas a função horária não podemos prever a trajetória co movei.
S
Diagramas do movimento uniforme • Diagrama S X t — A representação gráfica da função horária do movimento uniforme é uma reta inclinada em relação ao eixo hori 1
zontal, pois é uma função matemática do .° grau em t. g __g( Lembrando que S = S.. 4 Vt. então V = --------— (1). t Observando-se o diagrama S X t segu inte, podemos e sc re ve r: S - Sn ( 2). dec = tg a t
Comparando (1) e (2 ), conc luím os: o declive do gráfico S X t no movimento uniforme é numericamente igual à velocidade escalar do móvel. Ou seja:
dec (S X t)N =V
v
rapidez constante
i
STZ I j
• Diagrama V X t — O diagrama V X t refe rente ao movimento uniforme será representado por uma reto paralela ao eixo dos tempos, já que a velocidade escalar neste movimento é constante e não-nula. Neste gráfico, calculando a área sob a reta, podemos escrever: A3Vt ( 1). Como S = So + Vt, então S — So = Vt => AS = Vt (2). Comparando (1) e (2) . co nclu ímos: a área sob o gráfico V X t no movimento uniforme é numericamente igual ao deslocamento escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado. Ou seja:
A (V
X
t) 2 AS
(M terrxjfâú -___ Como no movimento uniformo a aceleração escalar ó constantemente nula. o diagrama a X t será representado por uma reta coincidente com o eixo dos tempos.
70
Exemplo:
Seja a função horária S — 2 + 1 .5 t , no SI: para t — 0 s, S,. — 2 m; para t — 4 s. S í _ 8 m. Podemos, então, construir o diagrama S X t. Nesse gráfico, notamos que dec (« » H
8-2 « «> —
= 1,5 =>
4—0
dec = 1,5
Da função horária, temos V - 1,5 m/s Logo. o declive do gráfico S X t é numericamente igual à velocidade escalar do móvel. Neste gráfico, notamos que
A(o«h íh »— 4 . 1,5 = 6 — > L(0 » H-»«>= 6
Da função horária, temos S4— 8 m e So — 2 m. Logo: ASm« h i»i — - So = 8 - 2 = 6 => AS :oRh t •)
—
6m
— 0
1
2
3
4
tis)
Portanto, a área sob o gráfico V X t é numericamente igual ao deslocamento escalar do móvel. Como a aceleração escalar é constantemente nula. o gráfico a será uma reta coincidente com o eixo dos tempos.
X t
Encontro de móveis Quando dois móveis percorrem a mesma trajetória orientada, poderá ocorrer encontro entre el es. Isto aconte cerá quando sua s posições coincidirem, ou seja, quando seus espaços forem iguais, desde que referidos à mesma srcem.
71 Instante inicial
Instante cm que ocorre encontro dos móveis
\
Encontro de móveis
• ü s móveis ocupam a mesma posição no referencial. • Ocupar a mesma posição não quer dizer que tenham realizado o mesmo deslocamento.
Graficamente, o encontro de dois móveis corresponde è intersecção das retas representativas das funções horárias:
72
Apêndice
A propriedade referente à área do diagrama V X t pode ser generalizada para qualquer tipo de movimento. Todavia, a demons tração desta propriedade envolve uma matemática mais refinada que será desenvolvida no volume referente à Dinâmica. Resumindo, para qualquer tipo de movimento:
A{ V X
t) ? AS
1. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Três móveis A. B e C par
tem, simultaneamente, em movimento uniforme e reti líneo, dos pontos a, b e c. com velocidades constantes, respec tivarne iguais a V*em = que 15 m/s, VB = 4,5 m/sentree Vc = 7.5 m/s.ntePede-se o instante o móvel A estará os móveis B e C e a gual distâ ncia de ambos. Resolução: Lembrando que no movimento uniforme S = S„ -|- Vt, no instante inicial, adotando o ponto A como srcem dos espaços e orientando a trajetória conforme a figura, temos:
Situaçãc inicial
Situação final
Sda =
L
a
B
üm VA= 15 m/s S,)]( = 20 m
= > SA= 151
= > Sr -
20 -f- 4,5t
V» — 4,5 m/s
C
Soc = 40 m V0 = 7,5 m/s
Sc- = 40 + 7,5t
Nas condições do enunciado, podemos cscrcvcr: S.v — Sn = Sc — SA. Logo, 2S.v — Sii -|- So. Substituindo as funções horárias dos móveis, teremos: 2(15 t ) = (20 -f 4, 51) -f (4 0 + 7 ,5t) = > 30t = 60 + 12t = > = > I8t = 60 = > L=
-----= >
-
18 Resposta: O móvel A estará equidistante de B e C------s após o início da contagem dos tempos.
2. AMAN — Para passar uma ponte de 50 m de comprimento, um trem de 200 m, a 60 km/h, leva: a) 0,35 s. b) 1.5 s. c) 11,0 s. d) 15,0 s. e) 30,0 s. Resolução: Adotando o início da ponte como srcem do referencial, orientando-o no sentido do movimento e observando o esquema abaixo, podemos escrever, para a dianteira do trem:
74
So = 0 m Instante zero
V = 60
Portanto, S = S„ | Vt
km
60
m
h
3,6
s
60
. t. 3,6 Completada a travessia, teremos S = L — d = 200 -|- 50 = 250 m. Assim: 250 =
60
S=
. t
t =.-
25 . 3,6
t = 25 . 0,6
3,6 t = 15 s Resposta: alternativa d.
3. MEDIC INA DE VA SS OUR AS Um móvel A com movimento reti líneo uniforme parte do ponto a cm direção a b, com velocidade de 90 km/h. No mesmo instante, sai de b um móvel B, também com MRU. A distân cia retilíne a ab é de IG km. A velocida de do móvel B, para que ambos sc cruzem a 6 km de a. deve ser igual a: a) 80 km/h. b) 16.67 m/s. c) 37.5 m/s. d) 25 m/s. e) 22,22 m/s. Resolução: Adotando como srcem dos espaços o ponto a c orientando a trajetória conforme o esquema a seguir, notamos que: Móvel A: SoA= 0 k m
V A =: 90 km/h Móvel B: SoH= 10 km
To w ém O fà a
Assim, podemos escrever: SA= SoA-f VA t = > S A= 901
75
(1)
S„ = Son + V„t = > SB= 10 + V„t
(2)
Condição de encontro: SA= SB= 6 km. Logo, substituindo em (1), vem: 6 I 6 - 901= > t = ------= > t = ------h 90 15 Voltando cm (2), temos: 6=10-* VB
Y'u —
(instante de encontro)
60km/ h
O sinal menos (—) indica que o movimento é retrógrado. Então: km J 000 m V„ ! = 60 -----= 60 . -----------= í 6,67 m/s = > |VB| = 16,67 m /s h 3 600 s Conclusão: o móvel B deverá ter velocidade escalar de intensidade 16,67 m/s. Resposta: alternativa b.
4. MEDICINA DE ITAJU BA — O gráfico ao lado descreve o movimento retilíneo de 2 carros e B que viajam na mesmaA direção. Podemos afirmar com certeza que: a) o carro A está perdendo velocidade enquanto o carro B ganha velocidade. b) o carro A parou no ins tante t = 100 s. c) os dois carros estão ro dando na mesma d reção e em sentidos contrários. d) o carro A está mais acelerado que o carro B. e) no instan te t = 50 s os dois carros têm a mesma velocidade. Resolução: Lembrando que o declive do gráfico S — f(t) é numerica mente igual à velocidade escalar do móvel, observamos que tanto o
76
carro A como o B possuem velocidades constantes e nâo-nulas (uma reta tem declive constante). Podemos, então, escrever: 1) carro A: 90« < a < 180° decA < 0 = > VA< 0 (movimento retrógrado) 2) carro B: 0° < j3 < 90°
decB> 0
VB> 0
(movimento progressivo) Note que, no instante t = 60 s, os móveis ocupam a mesma posição, e que, no instante t = 100 s, o mó vel A está na srcem do referencial (S = 0 m). Resposta: alternativa c.
5. IMS — Uma partícula percorre, durante 10 segundos, uma tra jetória "etilínea com uma velocidade que varia com o tempo se gundo o gráfico abaixo. Pode-se afirmar que a velocidade média da partícula nesses 10 segundos é. em m/s, igual a: V(m/s) 10] 8 61
i i i i i 1
1
2 2 4 6 8 10 0 a) 6. b) 5.6. d) 0.8. e) 0.4. c) 1.3. Resolução: Como no gráfico V - í(t) a área sob a curva é numerica mente igual ao deslocamento escalar do móvel, podemos escrever: A(0- m i ,> = 4 . 8 = 32 —r ASm» h •» ~ 32 m
_
A(4
s) = 6 . 4 = 24
hm i < >
——^ AS,0 ü io i) Sendo V„)
—
--
56 (0 • w
10
M )
m
3z -f- 24 = 56 m AS((| 10 Ml
(O fl H l O i )
V..
>A S(.j ..
10
Resposta: alternativa b.
At (0 » H V,„
io »i = 24 m
vem:
10 *í
lO* H 10 “
— 5,6 m/s
1. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Um móvel percorre o segmento de reta AC com velocidade constante, onde AB ^ BC. Se t, c t são os tempos gastos, respectivamente, nos percursos AB e BC, é verda deira a seguinte relação: »
A
a) AB/t, = BC/to b) AB/BC = t2/t,
E
C
d) AC = AB/t, + BC/t2 e) AC = (AB + BC)t,to
2. c) I-ElAB/BC A =luz(ta/t,)2 demora 10 min para vir do .Sol à Terra. Sua velocidade é 3 . 103 km/s. Qual a distância entre o Sol e a Terra? 3. FAAP — Qual c a distância da Terra a uma estrela cuja luz é recebida após 5 anos? A — O tempo gasto por 4. FACULDADES DOINSTITUTO ADVENTIST um trem de 100 m para atravessar um túnel de 200 m. deslocando-se com uma velocidade escalar constante dc 72 krn/h, é de: a) 5 s. d) 15 s. b) 15 h. e) 20 s. c) 10 s. 5. CTA (COMPUTAÇÃO) — Um móvel descreve uma traj etória retilínea com velocidade constante dc 2 m/s. Nessas condições, o gráfico cartesiano de sua velocidade em função do tempo será: a) uma reta paralela ao eixo dos tempos. b) uma reta paralela ao eixo das velocidades. c) uma reta que passa pela srcem . d) uma reta com coeficiente angular 2 e coeficiente linear 4. e) Nenhuma das respostas anteriores está correta.
78
6. CESGRANRIO — A nalisando-se c movimento de um automóvel, obteve -se a tabela seguinte, onde se êl a posição do automóvel em vários instantes do movimento: posição (m)
0
60
120
180
240
tempo (»1
0
3
6
9
12
Qual dos gráficos a seguir represent a a velocidade do automóv el (ordenada) em função da posição (abscissa) para o trecho analisado?
d)
e)
7. CESGRANRIO — Ainda na questão anterior, qual dos gráficos propostos a seguir representa a posição cio automóvel (ordenada) em função do tempo (abscissa)?
d)
c)
8. FEI — O gráfico dos espaços para um móvel é dado pela figura:
O gráfico das velocidades correspondente é o dado por:
9. de UNIVERSIDADE DEponto BRASÍLIA — Um móvel desloca-se linha reta um ponto X a um Z, passando pelos pontos Y c S. Aerndistância entre cada ponto é a mesma e o movimento ó assim descrito: de X para Y 6 gasta 1h, à velocidade constante; de Y para S o móvel desloca-se com metade da velocidade do trecho XY e de S para Z com o quádruplo da velocidade do trecho YS. 0 tempo total gastono percurso c dc: a) 4 h. c) 3 h 30 min. b) 6 h. d) Nenhuma dessas.
80
10. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA— Na questão anterior, se o trecho XY tem 70 km, a velocidade média no percurso de X a Z é de: a) 35 km/h. c) 60km/h. b) 52,5 km/h. d) 70 km/h. 11. CESCEA — O gráfico representa, cm forma aproximada, o movimento de um carro durante certo percurso. A velocidade média do carro nesse percurso é de: a) 20 km/h. b) 30 km/h. c) 32km/h. d) 40 km/h. c) Não há dados suficientes para o cálculo. 12. CESCEA Um cachorro encontra-se entre seu esconderijo e o laçador, a 50 m do primeiro e a 100 m do segundo, numa mesma reta. Inicia-se a perseguição, o cão com velocidade constante de 3 m/s, dirigindo-se ao - esconderijo, o homem, com velocidade, também constante, de 8 m/s, no encalço do cão. a) O laçador alcançará o cão 15 m antes do esconderijo. b) O laçador alcançará o cão 1 s antes do esconderijo. c) O laçador está a 15 m do cão quando este alcanÇa o esconderijo. d) O laçador alcançaria o cão até o esconderijo se sua velocidade fosse, no mínimo, três vezes a do cão. e) O alcançaria o cão sc dispusesse de mais 1s antes de o cãoentrar no laçador esconderijo. 13. MEDICINA DO ABC Dois foguetes espaciais são enviados, a partir da Terra, com 48 h de intervalo. O primeiro a scr enviado tem velocidade constante dc 30 000 km/h c o segundo, de 40 000 km/h. Ambas as velo cidades têm o mesm o sinal. O sistema de referência é a Terra. Para que o primeiro foguete seja ultrapassado pelo segundo, este último deverá voar durante o seguinte número de horas: a) 96. d) 192. b) 144. c) 288. c) 168. 14. FUVEST — Numa estrada, andando de caminhão, com velocidade cons tante, você leva 4 s para ultrapassar um outro caminhão, cuja velocidade é também, constante. Sendo de 10 m o comprimento dc cada caminhão,a diferença entre sua velocidade e a do caminhão que você ultrapassa c, apro ximadamente, igual a: a) 0,2 m/s. d) 5.0 m/s. b) 0.4 m/s. c) 10 m/s. c) 2,5 m/s.
fâ s im id /im
15. PUC (SAO PAULO) — l)o;s automóveis partem, no mesmo instante, das cidades A e B. percorrendo uma estrada retilínea AB com velocidades de 50km/h e XOkm/h. um em direção ao outro. Ao fim de 2h eles estão a uma distância dc 40 km um do outro. A distância AB vale: a) 200 km. d) 160 km. b) 300 km. e) 240 km. c) 400 km. 16. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Dois trens (A c B) movem sc em tri lhos paralelos, deslocando-se emsentidos opostos. As velocidadesescalares dos trens são constantes e iguais a 30km/h. Cada trem mede 100in dc comprimento. Quando os trens se cruzam, durante quanto tempo umobser vador no trem B vê passar o trem A? a) 96 s d) 12 s b) 48 s e) 6,0 s c) 24 s 17. FAAP — Dois ciclistas distanciad os de 60m um do outro possuem funções
horárias S, = 20 + 2t ee S2 —— + 3t, em relação a um mesmo referen cial. Verificar quando onde os40dois ciclistas se encontrarão. (Considerar S| e Sa em metros e t em segundos.) 18. FUNDAÇAO CARLOS CHAGAS — A distância entre dois automóveis é de 225 km. Se eles andam, um ao encontro do outro, com 60km/h e 90 km/h. ao fim de quantas horas sc encontrarão? a) Uma hora. b) Uma hora c quinze minutos. c) Uma hora c meia. d) Uma hora c cinquenta minutos, c) Duas horas c meia. 19. PUC (SÂO PAULO) — Duas partícul as cncontram-se inicialmente nas posi ções x, = 10 cm, y, = 0 cm. x._. = Ocm c y2 = 20 cm. com velocidades V, — 4 . 10‘ cm/s segundo x c Va dirigida ao longo dc y. conforme in dica a figura. O valor da velocidade aV para que elas colidam deve ser:
c) - 8 . 10** cm/s.
82
20. CESCEA — Dois corpos deslocam-sc ortogonal mente entre si, com veloci
dades uniformes V, 1.5 m/s e V2 2.0 m/s. No instante t= 0s eles se encontram na srcem de um sistema de referencia xOy. Considerando que o corpo (I) se desloca ao longo do eixo x c o corpo (2) ao longo do eixo y. qual a distância que os separa no instante t 2 s? a) 7.0 m d) 1.0 m b) 5,0 m c) 3.5 m
e) 0,5 m
21. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um pouco de tinta é colocado na banda de rodagem do pneu de um carro. Quando o carro se movimenta, a mancha de tinta deixa marcas nochão. Se estas marcas tiverem a dis po sição abaixo, o que se pode concluir sobre a velocidade e a aceleração do carro? 0
a) b) c) d) e)
2
4
6
8
10
12
A velocidade é constante e a aceleração é nula. A velocidade é crescente e a aceleração é constante. A velocidade édecrescente e a aceleração é constante. A velocidade e a aceleração são variáveis. Nada se pode concluir, porque os dados são insuficientes.
9. c 10. c 11. c 12. d 13. b 14. d 15. b 16. e 1718. c
= 140 m: t,#walfo = 60 s. 19. c
20. b
21. e (Observe que. qualquer oue seja o movimento do carro, as marcas deixadas no châo soráo sempre as mesmas.)
cmïuD 3
Movimento Uniformemente Variado
04
Definição de movimento uniformemente variado O movimento de um móvel é uniformemente variado quando sua aceleração escalar é constante e não-nula.
Instante qualquer (t)
Instante inicial (t - 0)
velocidade escalar co móvel para t = 0. velocidade escalar do móve! num instante t qualquer
Ou seja:
escalar é constante e não-njla
•
Consequência da definição — Como conseqüência dessa defi-
nição, podemos concluir que, no movimento uniformemente variado, o valor da aceleração escalar instantânea coincide com o da aceleração escalar média. Isto é:
MUV
a - a„
Funções horárias do movimento uniformemente variado •
Função velocidade
y
*
Y
k
É importante o conhecimento da rapidezdae essas do sentido do movimento em cada instante A função velocidade duas informações. A intensidade da velocidade indica a leitura do velocímetro. O sinal de velocidade indica o sentido do movimento
Seja um móvel cujo movimento é uniformemente variado de tal forma que V0 é sua velocidade inicial (instan te ze ro), Vé sua velocidade no instante t e a é sua aceleração escalar constante.
V = Vo -hat (função horária da velocidade) Çg;
Conclu são: A função veloc i
v
dade do MUV é dada pela ex V — Vo H” at pressão A representação gráfica da função velocidade desse movi mento será uma reta inclinada em relação ao eixo horizontal, pois é uma função horária do 1.° grau em t. V — Vo
.Neste gráfico, pocemos escre ve r dec = tg a = ---------- (1). V - Vo Como V — Vo - r at, então a = ---------- (2).
Comparando (1) e (2), concluímos: o declive d o gráfico V X t no movimento uniformemente variado é numericamente igual à ace leração escalar do movimento. Ou seja:
dec(V X t )1 a
• Função horária — Lembrando que a área sob o gráfico V X t é numericamente igual ao deslocamento escalar efetuado por um móvel, podemos escrever:
A(V X t )s AS, onde AS = S - So. sendo
í So o espaço inicial do móvel (instante zero). [ S o espaço do móvel no instante t.
Assi m, temos A(V X t ) = S - S<. (1).
87
• No instante inicia t = 0. o espaço inicial e a velocidade inicial do móvel são. respectivamente. S0 e Vo • Num instante qualquer t. o espaço e a velocidade do móvel são. respectivamente. S e V • No intervalo de tempo lA t — t - 0 ). AS é o deslocamento escalar da móvel.
Observando-se o gráfico acima, concluímos: A(VXt)=
V + Vo 1 (2). _ ----------
Comparando (1) c (2). vem:
------ — t = S -S o = > S = So+ V • Vo
V -fV o
----------- t
Sendo V = Vo ■ +■at, decorre: s = s ,1 +^ ± ü ± ^ t ^ s
= s 0+ ^
l±
^
S = So + Vot-f ----— at2 (função horária do mo vimento) 2
Conclusão: A função horária do movimento uniformemente variado é do 2.° grau na variável t. sendo expressa por S - S., f V.,t | ------at2
88
onde
So (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel no instante inicial do movimento (instante zero). Vo (velocidade inicial) é a velocidade do móvel no instante I inicial do movimento (insta nte zero). { a é a aceleração escalar constante e não-nula.
Exemplos: S = 10 — 8t -f- 9t2 (SI) Logo. V = —8 -f 18t S = —2 + 6t — t2 (SI) Logo, V — 6 — 2t S = 5ta (SI) Logo. V = iOt
So = -HO m
Vo = + 6 m /s a = —2 m /s2 So = 0 m V., = 0 m/s
a = 4-10 m /s2
Equação de Torricelli Extraindo o valor de t na função velocidade (V = Vo -f at) e su bs tituindo-o na função horária
( S —So 4- Vot 4------at2 )
expre ssão
.denomin ada equação de Torricelli.
Va — V: 4- 2aAS
cotemos a
Diagramas horários do movimento uniformemente variado (MUV) A representação gráfica da função horária do MUV é uma pará bola cuja concavidade é voltada para cima (se a > 0) ou para baixo (se a < 0). Confo rme já fo vist o, o diagrama V X t será representado por uma reta inclinada em relação ao eixo t. Como a aceleração escalar é constante e não-nula, o diagrama a X t será representado por uma reta paralela ao eixo dos tempos. Observando-se a área sob o gráfico a X t, podemos escrever A = at (1). Como V = V,. 4- at, então V - Vo = at => AV = at (2). Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico a X t é numericamente igual à variação da velocicade do móvel, no inter valo de tempo considerado. Ou seja:
A(a X t )U V
Diagramas horários do MUV ,1
<
t
t
1*
____________________________________t
i
o
aceleracào escalar constante
t
90
Exemplo: Seja S — 4 — 5t -f- t2 (SI) a função horária dc um móvel: para t = 0 s, Sn = 4 m: para t = 1 z): 4 ss,. Si Si= = 00 m m (rai (raiz). Podemos, então, construir o gráfico S X t. Observe que quando t = 2,5 s a parábola atinge seu vértice, instante em que o móvel muda o sentido de seu percurso. Da função S = 4 — 5t + t2 Vo
concluímos que. a = -f 2 m /s 2.
= —5 m /s e
Logo. V = —5 -f- 2t. Para t = 0 s , Vo = —5 m/s; para t = 4 s . V, = 3 m/s. Podemos, então, construir o gráfico V X t. Nesse gráfico notamos que. para t — 2,5 s, V — 0 m/s , instante correspondent e ao vértic e do gráfico S X t. Exam inemo s, agora, o. declive do gráfico V X t. 3 -(-5) _ 8 = — => Temos: deCi.. h ^ i 4-0 4 Assim, observamos que
dec
tí ecfV X O i a
Como a acele ração e sc al ar é constante, o gráfico a X t será uma reta paralela ao eixo dos tempos. Esta re ta cor tará o eixo das acelerações cm a ~ 2 m/s* . Observando a área sob o gráfico, concluímos: A
= 8 Ao > 1M-» *>
Sabemos que V* = 3 m/s e V.» = —5 m /s. Logo: AV <0s m '• — 8 m/s AV,;omh *») — Vi - V o = 3 - (—5) = 8 == Ass im , a área sob o gráfico a X t é numericamente igua l à va riação da velocidade escalar do móvel.
91
Velocidade média no MUV
Lembrando que A( V X t ) í AS, no gráfico V X t abaixo temos: A = . V3 + V ~ At => AS = 2
V- + V'
A t ^ A !_ = At
V ■+ Vi
Conclusão: No MUV. a velocidade média de um móvel é igual à media aritmética das velocidades escalares instantâneas inicial e final, no intervalo de tempo considerado.
92
1. ENG ENH ARIA DE SAN TOS — Um ponto material rea liza um movimento sobre uma trajetória retilínea que obedece à função horária S = t2 — 6t + 8. em que S é o espaço dado em metros e t é o tempo dado em segundos. Podemos afirmar que, a partir do instante t = 0 s: a) o movimento é sempre acelerado. b) o movimento muda de sentido no instante t = 3 s. c) o ponto material passa pela srcem dos espaços apenas no instante t = 2 s . d) a aceleração do movimento tem intensidade igual a 4 m/s*. e) a velocidade do ponto material no instante t — 7 s tem intensidade igual a 9 m/s. Resolução: Do enunciado, podemos escrever S = — t -f 1 . t2. 8
6
S., -f V0t -f----at2.
Da teoria, sabemos que S
Assim, concluímos: S.;i = m; V„ = m /s; a = 2 m/s 2. Podemos, então, determinar a função velocidade deste móvel: V = V„ -f at = > fv _ f 2~t|Construindo os gráficos S X t e V X t. chegamos às seguintes con clusões: 8
6
6
• O móvel possui movimento ini cialmente retrógrado (0 s a 3 s), parando no instante 3 s para, em seguida, iniciar movimento pro gressivo. • O móvel passa pela srcem nos instantes t = 2 s c t = 4 s. • O movimento é inicialmente retardado (0 s a 3 s) c, em seguida, acelerado. Resposta: alternativa b. I
2. MEDIC INA DE CATA NDU VA — Um automóvel des loca-se co m a velocidade de 20 m /s . A partir do instante t = 0 s, seu motorista aplica os fre ios até o carro parar. Admitindo uma ace leraç ão constante igual a 4 m/s2, a distância percorrida desde a aplicação dos freios até a parada do carro é de: a) 50 m. b) 5 m. c) 75 m. d) 90 m. e) 25 m.
Vamos orientar o referencial associado à trajetória no sentido do movimento do automóvel. Resolução:
Neste caso, a distância percorrida mento escalar (AS).
(d)
tem o mesmo valor do desloca
Assim: d-AS Como a velocidade do móvel está diminuindo algebricamente, sua ace leração será negativa, ou seja. a = 4 m /s2. Pela equação de Torricelli,' vem: 0
V/In = V?« + 2aAS = > AS = 4(X) AS — ------8
= > AS = 50 m : Resposta:
d — 50 m
alternativa a.
AS = 2a
=-
2
0
2 . (-4 )
-
3. MEDICINA DE SANTOS — Ao longo de um eixo orien tado. um ponto se movimenta segundo o gráfico ao lado. Sendo sua velocidade no instante t — 0 s de 4 m/s, no sentido positivo do eixo. de terminar a distância percor rida pelo ponto entre os ins tantes t = 0 s c t — 8 s. Resolução: • Intervalo 0 2 (MUV) V = V„ + at = » Vo = s h s
2
Vo =
=4 +2 .2 = »
8
m/s
intervalo 2 4 (MUV) V, = Vo + at = > V« = 4 s
m
s
8
+ 4.
|V 4 = 16 m/s
2= >
• Intervalo 4 s m 6 s (MU) Vc = V, = > Vç = 16 m/s • Intervalo
6
sm 8 s
(MUV)
V* = V e + at => V„ = =
16
—
2.2
=
>
V« = 12 m/s
Podemos, então, construir o gráfico V X t, onde A ^ AS. Logo, Afos
i_i $si
— A ((», H 3 ,| + A.o
+ A
-— )
A
=9 6
AS íOi Mb ' __ 96 m
Resposta: A distância percorrida d coincide, neste caso, com o deslocamento escalar AS. Portanto, d = 96 m. 4. FFCL USP — Dois pontos mater ais Pi e P? movem-se sobre a me s ma reta, obedecendo às segu ntes expre ssõ es: S , = —10t + St2 e S_- = 30 + 5t - lOt2. Os símbolos S i e S„* represen tam os espaç os em centím etros a partir de uma srcem comum; o tempo t é medido em segundos.
Pedem-se: a) o instante em que os dois móveis se encontram. b) as velocidades e acelerações de ambos nesse instante. c) a posição do ponto de encontro. Resolução: \
S>. a) Condição de encontro: S, = Logo: - I 0 t -I- 5t2 = 30 4- 5t — 1()t2 => 15t2 - 15t - 30 = 0 => => t2 — t — 2 = 0
(D -L O
tt) ( 2 )
O IResolvendo esta equação, obteremos t — 2 s e t = —1 s. Portanto, ocorreram dois encontros: o primeiro, 1 s antes de iniciar a con tagem dos tempos, e o segundo, 2 s depois de iniciada essa contagem. Consideraremos como resposta “oficial” o encontro ocorrido no 2
instante s, pois o estudo dos movimentos é realizado a partir de t = 0 t s._ b) Das funções horárias dadas.podemos concluir: S0l = 0 cm V, ) 1 = — 1 0 cm/s ai = 1 0 cm/s 2
{
Logo, V, = V0j -f a,t => V, = —10 + 10t. | So2 = 30 cm So = 30 -f- 5t — 10t- I V0;! = 5 cm/s . a2 = — 2 0 cm/s 2 Logo, V2 = Vd 2 -J- 3a 1 => V , — 5 — 2 0 t . Para t = 2 s, vem:
V , = — 10+ 10 . 2 = > V2 = 5-
20 . 2
=>
V , — -f 10 cm/s
e
at = 10 cm/s2
V 2 — —35 cm/s
c
aa = —20 cm/s2
96
c) Sendo Si — — 10t -f- 5t2, no instante do encontro (t - 2 s) vem: St = - 10 . 2 -f 5 . 22 => St = - 20 +• 20 => = 2 0
2 0
St - 0 cm
Assim, o encontro ocorre na srcem do referencial.
Diagramas horários
Resposta: Os dois móveis se encontram no instante t = 2 s. na srcem do referencial, com velocidades de + 10 cm /s e —35 cm /s c com acelerações iguais a cm/s e cm/s2. 1 0
2
—
2 0
5. PUC (CAMPINAS) — Dois carros A e B movem-se no mesmo sen tido com velocidad es V3 e Vb, resp ectivam ente. Quando o carro A está à distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante a. Para não haver colisão entre os carros é necessário que: а) V„ - Vb = \ Í2 ã S . б) V, - Vb > V 2ad . c) V* — Vb < V 2ad . d) V . - Vb= 2 ad. e) Vt — Vb = 0. Resolução: Adotaremos a srcem dos espaços no ponto em que o carro A se encontra quando o motorista começa a frear, e orientaremos a trajetória no sentido dos movimentos.
B J»
©
I
O carro B possui movimento uniforme. Logo, sua função horária será S» = Son -f- Vjjt, onde S«B = d e V# = VV Assim, Sn — d -f- Vbt. O carro
A
é dotado de movimento uniformemente retardado, cuja fun
ção ho rária será SA= S„A-f- V0 v ------— at2, onde S„A= 0 c V0 a = V„. at-.
Assim, SA_ V. t -
A distância D entre o s móveis será dada por Logo, D = d -j-
V bt — V„t -j----L
D=
S v
—
SA.
at2 = >
2
= > D = d -f (Vb — Va)t H -----— at2.
2
Para que não haja encontro, 1) não poderá se anular, ou seja, a equa ção d - f (Vb — V.)t
—
at* = 0
não deverá t er solução re al.
Assim, o delta (discriminante) da equação deverá ser negativo. Portanto: (Vb - Va)2 - 4 .
1
---- ad < 0 = > (V b — V. )2 - 2ad < 0 = ; 2
= > (Vb - V. )2 < 2ad = > (V . - Vb)2 < 2ad
v , . Vb < v- ^ãa
Resposta: alternativa c.
6. PUC (SÀ O PAU LO) — A velocidad e de um carro é. no instante em que o motorista nota que o sinal fechou. 72 km /h. O tempo de reação do motorista é de 0.75 s (tempo de reação: tempo de corrido entre o instante em que o motorista vê o sinal fechar até aquele em que aplica os freios) e os freios aplicam ao carro um retardamento uniforme d e 5 m/s* . A distâ ncia percorrid a pelo carro desde o instante em que o motorista nota que o sinal fechou até que o carro pare é de: a) b) c) d) e)
54 m. 20 m. 14 m. 10 m. 44 m.
Resolução: Do enunciado, temos:
72 V0 = 72 km/h => V0 = -----m/s => V,> = 20 m/s ‘ 6
98
Durante 0,7 s o movimento do móvel é uniforme, mantendo velocidade constante dc 20 m/s. Em seguida, o móvel adquire movimento uniformemente retardado, com aceleração —5 m/s2. 20
Assim, V = V0 + at
= >
0 = 20 — 5t = > t = ------= > 5
Portanto, podemos construir o gráfico V x t referente ao comporta mento do veículo.
Lembrando que a área sob o gráfico V x t é numericamente igual ao deslocamento escalar AS, vem: 4,7 _j_ o,7 AS ä A = — — :— -— . 20 = — . 20 = 10 . 5,4 - 54 => 2 2 5 ,4
= > | AS — 54~m~ No caso, o deslocamento escalar é igual à distância percorrida. Logo, ;d — 54 m.j Resposta: alternativa a. 7. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso com uma aceleração constante de 0,5 m /s 2. Nesse mesmo instante, um outro ciclista B passa
por ele com velocidade constante de 3 m/s e no mesmo sentido que o ciclista A. Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente depois de um tempo igual a: a) 2s. b) 5 s. c) 8s. d) 10 s. e) 12 s.
ir &
h I
99
Resolução: Adotando como srcem dos espaços o ponto onde A 6 ultrapassado por B. como início da contagem dos tempos o instante em que isto ocorre c orientando as trajetórias no sentido dos movi mentos, teremos:
S ,. =: 0 m Sa=
S„ -f- V t -f- — A A 0
V,>A
aAt2, onde
0 m/s
2
aA= 0,5 m/s Logo, SA= — . — t 2 2
2
=>
SA= — t 4
2
2
=
---2
m /s
2
(1)
Móvel B: movimento uniforme. Sii = S„i{ -f- Vj,t f onde
S,>ti ü - Dm vV» = 3 m /s
Logo, S„ = 3t
(2)
Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente quando SA= S». De (I) e (2), vem: I) t = 1 4
1/ \ t = 3t = > t I ---- t - 3 ) = V / 2
4
Resposta: alternativa e.
0
1 =>
0
s (instante inicial)
ID — t - 3 = . => |t = 12 s 4
0
=>
100
8. MAPOFEI — O diagrama abaixo representa, em função do tempo, a velocidade de um objeto. Trace o diagrama da aceleração em função do tempo.
Resolução: Neste caso, temos uma combinação de movimentos unifor memente variados. Como o gráfico apresentado c composto por seg mentos de reta oblíquos, as correspondentes funções horárias da velo cidade representadas são do l.° grau (movimentos uniformemente va riados). Portanto: 1) Intervalo OswlOs:
4-10
Levantando-se o gráfico da aceleração em função do tempo, teremos a seguinte representação: V(m/s) 20
0
-20
aím/s2)
10
¥
'
---------------------9. MAPOF EI — Retomar o enunciado do exe rcíc io prece dente . De terminar o percurso total do objeto. Resolução: Lemb rando que A(V X O = ^ S , temos: 20.20
k
fr
1) A (o*h ao
)
—
-----------2
— 200
Logo, ASfu RH2ô*) = 200 m
ím 2 ) A !2ú ):— | «I —
10 . 20 =
100
Logo, AS (aoh(_^som — — 100 m
V
Assim sendo, o deslocamento escalar total no intervalo de O s a 30 s vale: AS,0 ,1H 3ü s) = : A S (0, _j 2o A S ,0 »
H
.10»> = (2 0 0 ) -j- (—
“f- AS 120 »m :10
«I
100 )
ASii) , h 3u») — 100 tu Entretanto, por percurso total entendemos distância percorrida pelo móvel no referido intervalo, ou seja: d = |AS,o, H 2on) “j- AS(2o•h só *ií — 200 -f- 100 d = 300 m Resposta: C) percurso total do objeto é de 300 m.
1. CESCEA — Observando-se o movimento retilíneo de um corpo, fazem-se medidas de seu deslocamento, velocidade e aceler ação para sucessiv os va lores do tempo, o que é mostrado na tabela abaixo: Velocidadcfm/s) Tempo(s)
Acclcraçãolnv s'-’)
Dcslocamento(m)
0
1
4 9 16 25
1 2
3 4
2
2
4
2
6
2
8
2
10
2
A partir dessa tabela, podemos concluir que a equação horária que descrevo o movimento entreos instantes t = 0 s e t = 4 s tem a forma algébrica: a) y = -t 3t + 1. d) y = - 2 t + 2. b) y = t + t - . e) y = t + t + . 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
c) y = l -+- t -f . 2. UNIVERSIDADE DORIO GRANDE DO SUL — Numa experiência para analisar o movimento de um móvel, i.m aluno identificou as três posições (O. P e S) indicadas na figura, obti das em intervalos de tempo iguais.
-fO
H--- *----h X
Y
X
2
As distâncias entre os pontos identificados por letras consecutivas são iguais e o móvel partiu do repouso em O. Considerando que as três posições caracterizam o movimento, qual será a posição do móvel no f:m de um mesmo intervalo dc tempo seguinte, contado a partir do instante cm que o móvel estava em S? a) U d) Y c) Z b) V c) X
103
3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura seguinte estão assinaladas as posições (1,2, 3, 4, 5 e ) de um corpo que está em movimento uniformcmentc acelerado sobre uma mesa horizontal. O intervalo de tempo entre duas posições suc essivas quaisquer é de 1,0 s. Na posição I, a velocidade escalar do corpo é nula. 6
ir
1'z
3
4
■
5
I
1,0 m
Qual é o valor da aceleração escalar do corpo? a) 5.0 m/s d) 2,0 m/s b) 4,0 m/s e) 1,0 m/s c) 3,0 m/s 2
2
2
2
2
4. MEDICINA DA SANTA CASA — Uma partícula descreve o movimento cujo gráfico horário, parabólico, e dado a seguir, mostrando que para t = s, x máximo. 1
6
Os valores da abscissa x são medidos a partir dc um ponto O, ponto dc srcem da reta orientada sobre a qual a partícula se movimenta. A função horária é: a) x = 15 + 2t + t2. d) x = 15 + 2t - t2. b) x = 15 - 2t - t2. 1
c) x = 15 - t + t2. e) x = 15 —2t + — t2. 5. MEDICINA DA SANTA CASA — Em relação à questão anterior, a velo cidade da partícula obedece à equação: a) V = 2 - t. d) V = 2 + 2t. b) V = - 2 + t. c) V = 1 - 2t. c) V = 2 - 2t.
104
6. MEDICINA DA SANTA CASA — Ainda cm relação à questão n.° para t = 5 s a aceleração da partícula, em m/s2, é de: a) zero. d) -f-2. b) - 2 . e) +1. c) -1. 7. rante CESCEA pedala com velocidade constante 9 km/h du 2 min; Um aceleciclista ra, então, uniformemente, durante 50 s,de até alcançar 18 km/h, desacelerando, a seguir, também uniformemente, até parar, em 50 s. O espaço percorrido nesse tempo foi de: a) 818,5 m. d) 612,5 m. b) 780,5 m. e) 575,5 m. c) 487,5 m. 8. UNIVERSIDADE DE VIÇOSA — Um corpo desloca-se, segundo uma trajetória retilínea, com velocidade inicial de 20,0 m/s e é acelerado a 8.0 m/s2 durante 5,0 s. O seu deslocamento durante o quinto segundo é, em intensidade: a) 56 m. d) 1,56 . 102 m. b) 1,44 . IO2 m. c) nulo. c) 2.00 . 102m. 9. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS No instante t = 0s. um carro viaja a 20,0 km/h. Dois segundos mais tarde (t = 2 s), a intensidade de sua velocidade é de 23,0km/h e, depois de outros dois segundos (t = 4 s), é de 26,0 km/h. Com estes dados, pode-se construir a seguinte tabela: Tempo(s)
0
Velocidade(km/hJ 20,0
2 23,0
4 26.0
Admitindo que a aceleração seja constante, inclusive antes de t —0 s, qual foi o módulo da velocidade do carro,cm km/h, no instante t ——3 s, isto é, ires segundos antes de atingir a velocidade de 20.0 km/h? a) 14,0 d) 15,5 b) 14,5 e) 17,0 c) 15.0 10. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES O gráfico abaixo repre senta um movimento retilíneo de aceleração constante:
0
1.0
2,0
Se x c medido em metros e t cm segundos, então a aceleração do movimento é de: a) 1 m/s2. d) 4 m/s2. b) 2 m/s2. e) 5 m/s2. c) 3 m/s2. 11. MEDICINA DA SANTA CASA Uma partícula subatômica, deslocando-sc com velocidade constante igual a 6 . 10# m/s, penetra num campo elétrico onde sofre uma desaceleração constante de 1,2 . IO1 314 m/s2. A distância em linha reta que a partícula caminha antes de parar, em cen tímetros. é de: a) 5 . 10-«. d) 15. b) 30 . 10--'. c) 15 . 10-2. c) 2. 12. MEDICINA DA SANTA CASA — O movimento de um móvel,
em trajetória retilínea, c repre sentado segundo o gráfico ao lado. sendo S dado em metros c t em segundos. Podemos afirmar que a velocidade media c a ace leração escalar entre os instantes 2 s e 4 s valem, respectivamente: a) Vul = 5 m/s e a = 0 m/s2. b) Vm= 30 m/s e a = 0 m/s2. d) Vm= 30 m/s e a = 10 m/s2. c) Vm= 2,5 m/s e a = 10 m/s2. c) Vm= 5 m/s e a = 5 m/s2. 13. tilíneo UNIVERSIDADE DOo gráfico PARÁ — UmaApartícula um movimento de acordocom abaixo. distânciaefetua percorrida a partir do re repouso até o instante t = 12 s é :gual a:
a) 93 m. b) 96 m. c) 98 m.
d) 241 m.
e) 100 m.
106
14. MEDICINA DE BRAGANÇA — Para o gráfico indicado, a sequên cia dos movimentos será:
a) rado movimento uniforme progressivo, movimento nulo e movimento acele retrógrado. b) movimento nulo. movimento uniforme progressivo e movimento acelera do progressivo. c ) movimentouniforme prog ressivo, movimento nulo e ovimento m retardado progressivo. d) movimento nulo, movimento uniforme progressivo movim e ento retardado retrógrado. e) Nenhuma das anteriores é correta. 15. CESGRANRIO — Arguido sobre as relações entre posição (S), velocidade (V) e tempo (t) no movimento uniformemente acelerado (com velocidade inicial nula), um aluno escreveu no quadre-negro o que se lê abaixo: Já que S = ---at2 2
(1),
s
V = ---t
2S t2 Mas a =
Porem, eu sei que (b)
de modo que, de (3).
t
(5) e (6),
Logo, dc (2) e (3), V = ---— t
tS
2S t2
<4)
ou, ainda:
ou, ainda: V =—
t
28 t
11 =21 (5).
(?)
(7)
A conclusão final c obviamente falsa, embora o início do raciocínio equação (1) — esteja correto. Qual a relação em que o aluno desviou-se do raciocínio certo? a) Na relação (2). d) Na relação (5). b) Na relação (3). e) Na relação (6). c) Na relação (4). 16. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel parte do repouso em movimento uniformemente acelerado. Percorre 100 m e 120m em segundos sucessivos. Calcular sua aceleração. a) 20 m/s2 d) 10 m/s2 b) 40 m/s2 e) Nenhuma das respostas anteriores. c) 80 m/s2 17. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Num movimento retilíneo de aceleração constante, podemos dizer que a velocidade média é igual à: a) velocidade final menos a velocidade iniciai. b) velocidade final menos a velocidade inicial, dividido por dois.
18.
19.
20. 21.
c) velocidade final mais a velocidade inicial, dividido por dois. d) velocidade final vezes a velocidade inicial. e) velocidade final vezes a velocidade inicial, dividido por dois. MEDICINA DA SANTA CASA — Um trem tem velocidade ed 72 km/h. Ao frear, é aplicada a desaceleração de 0,4 m/s2. O intervalo de tempo que o trem demora até parar é, cm segundos, igual a: a) 5. d) 10. b) 50. e) 100. c) 500. MEDICINA DA SANTA CASA — O mesmo trem da questão anterior, entre o início da freada c a parada final, percorreu a d:stância, cm metros, igual a: a) 200. d) 500. b) 750. e) I 000. c) 1500. MAPOFEI — Uma composição de metrô parte de uma estação e percorre I00m com aceleração constante, atingindo 20 m/s. Determinar a acele ração a c a duração t dc processo. MACKENZIE — No diagrama a = f(t), onde a representa a aceleração dc um móvel c t o tempo relativo a essa aceleração, a área A da figura c numerica mente igual: a) à velocidade média domóvel, relativa aointervalo de tempo(t,,ta). b) ao deslocamento do móvel, relativo ao intervalo de tempo (tlt t a) . c) à variação da velocidade do móvel, relativa ao intervalo de tempo (t,.ta). d) à velocidade inicialdo móvel. c) Nenhuma das respostas anteriores.
108
22. ENGENHARIA MAUA — Um ponto material descreve uma tra jetória retilínea, referida a um e:xo de abscissas Ox, de tal mo do que sua velocidade, ern fun ção do tempo, c dada pelo dia grama cartesiano ao lado. a) Desenhe o diagrama da aceleração do ponto, em função do tempo . b) Determine a distância entre os pontos inicial (para t = 0 s) e final (para t = 70 s). 23. MAPOFEI — Um móvel realiza um movimento retilíneo com velocidade dada pela equação V = 1,0 —0,lt (SI). Tomando como srcem de coorde nadas o ponto em que o móvel se encontra no instante t = 0s, calcule a aceleração do movimento e o instante t em que o móvel estará mais afastado da srcem. 24. em MEDICINA ABC dc O abaixo representa a velocida escalar, função doDO tempo, umgráfico veículo que se movimenta sobrede uma trajetória retilínea. A aceleração escalar instantânea no instante t— 10,0 s é, cm m/s2. igual a:
c) 5,0. 25. MAPOFEI Um vagão ferroviário, deslocando-se com velocidade V — —30 m/s, é desacelerado até o repouso com aceleração constante. O vagão percorre 100 m antes de parar. Qual a aceleração do vagão? 26. FAAP — Um motorista de aut omóvel, viajando a 80km/h, vê um obstáculo a 500parar m. Verificar possa a tempo.qual a aeeleração que deve introduzir nos freios para que 27. FUVEST Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acele rando 0,50 m/s2. Nesse instante, passapor ele um outro ciclista B, com velocidade constante de5,0 m/s e no mesmo sentido que o ciclista A. Pergunta-se: a) Depois de quanto tempo, apósa largada, o ciclista A alcança o ciclista B? b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B?
28. ENGENHARIA TAUBÀTÊ — De uma cidade A parte para uma cida de B um automóvel com aceleração constante dc 5,0km/h2. Simultanea mente, de B parte para A um outro automóvel com velocidade constante dc 50km/h. A distância entre as duas cidades é dc 180 km. Depois de quanto tempo os dois carros se encontram? 29. ENGENHARIA MAUÁ — A maior aceleração (ou retardamento) tolerá vel pelos passageiros de mu trem urbano é de 1.5 m/s2. Sabe-se que a dis tância entre as estações c de 600 m e que o trem estaciona durante 20 s cm cada estação. a) Determine a maior velocid ade que pode ser atingida eplo trem. b) Calcule a máxima velocidade média do trem, numa viagem. 30. ENGENHARIA MAUÁ — Um ponto material descreve uma trajetória retilínea segundo a equação horária S = 4.0 —5,0t -f 2,5t2 (SI). a) Trace uma linha reta. marcando sobre c!a os seguintes pontos, com suas distâncias • srcem Orelativas: das abscissas; • ponto T, onde está o móvel no instante inicial; • ponto N, onde omóvel tem velocidade nula. b) Esboce os diagramas cartesianos do espaço, velocidade c aceleração em função do tempo. 31. ENGENHARIA TAUBATÊ — Um carro scíre uma aceleração constante de 2 m/s2. Num percurso de A a B, de 4 m. ele sofre uma variação dc velocidadede 1,5 m/s. Em que instante dc tempo ocarro passa no pontoB? 32. instant ITA — Um A parte odaeixo origem O. com velocidade inicial no e t0 = 0móvel s, e percorre Ox com aceleraç ão const ante a.nula. Após um intervalo de tempo At. contado a partir da saída de A. um segundo mó vel B parte dc O com uma aceleração igual a na. sendo n> 1. B alcançará A no instante:
110
33. PUC (CAMPINAS) Um motorista espera o sinal de trânsito abrir. Quando a luz verde acende, o carro é acelerado uniformemente durante 6 s, na razão de 2 m/s2, após o que ele passa a ter velocidade constante. No instante em que o carro começa a se mover, ele foi ultrapassado por um caminhão que vinha no mesmo sentido, com velocidade uniforme de lOtn/s. Após quanto tempo e a que distância da posição de partida do carro os dois veículos se encontrarão novamente? a) 18 s c 180 m. d) 19 s e 128 m. b) 15 s e 150 m. c) Nenhum dos resultados anteriores. c) 12 s e 120 m. 34. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Dois carros A e B, deslocando-se ambos no mesmo sentido, em uma estrada, passam num certo instante por um mesmo ponto: o carro A, partindo do repouso desse ponto e desenvol vendo uma aceleração constante de 4 m/s2, c o carro B com velocidade constante de 20m/s. Um passará novamente pelo outro após: a) 80 s. d) 5 s. b) 10s.s. e) Um não passará mais pelo outro. c) 20 35. PUC (SÁO PAULO) — Um carro de corrida A tem velocidade constante VA= 54 m/s. Ao passar' pelo box de um concorrente B. este parte com aceleração aB= 4 m/s2, que permanece constante até atingir a velocidade VB= 60 m/s, que é mantida. O tempo empregado por B para alcançar A é de: a) 75 s. d) 15 s. b) 60 s. c) 10 s. c) 20 s. 36. FEI — Um móvel parte de um certo ponto com um movimento que obe dece à seguinte lei horária: S = 4t2, válida no SI. S é a abscissa do móvel c t o tempo. Um segundo depois, parte um outro móvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme c seguindo a mesma trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de encontrar o primeiro? 37. FAAP — Dado o gráfico da variação das velocidades de dois móveis em função do tempo, esabendo que até o instante xt o móvel A já havia per corrido 10 m, calcular:
111
a) o espaço percorrido pelo móvel B até o instante t,. b) o instante t2, até o qual os dois móveis terão percorrido espaços iguais. 38. ENGENHARIA MAUÁ — Um móvel parte do repouso de um ponto A executando um movimento retilíneo, uniformemente acelerado, sobre uma reta AB. No mesmo instante, parte do ponto B. rumo a A, um outro móvel que velocidade constante. A móveis distânciase entre pontospercorre A c B ca dreta50AB m. com Depois de 10 s da partida, os cruzamos exatamente no meioda distância entre A e B. Determine: a) a velocidade do móvel que partiu de B. b) a velocidade com que o móvel que partiu dc A irá chegar em B.
1. o 2. d 3. d 4. d 5. c 6. b 7. d 8. a 9. d 10. b 11. d 12. d 13. a 14. a 15. e 16. a 17. c 18. b 19. d 20. a = 2 m/s2; t = 10 s. 21. c 22. o)
*aCm/s~)
0
5 10 15 20 2Í5 30 35 40 4^ 50 55 60 65 70
-0.4
b)
d= 0 m
23. a — —O.f m/s2; t = 10 s. 24. b 25. a = —4,5 m/s2 26. a a —0.5 m/s2
27. a) t = 20 s; b)
V v = 10 m/s.
28. t * 3,1 h (Após a partida dos móveis.) 29. a) 30 m/s; b) 10 m/s.
t(s)
112 30.
a)
1---
0
O
1
---1 ---2 --- *— i3--- *---4 *--- *1
1
N
31. 0,75 s após ter passado por A. 32. e 33. a 34. b 35. a 36. VmJn = 16 m/s 37. a) A SU = 15 m; b) to = 2 s. 38. a) Vj, = 2.5 m/s: b)
v a
— V5 0 m/s = 7,1 m/s.
T
S(m)
Generalização das propriedades dos gráficos horários Todas as propriedades dos diagramas S X t , V X t e a X t . ex traídas em condições particulares (movimentos uniforme e unifor memente variado), podem ser generalizadas para quaisquer tipos de movimento. •
Diagrama S X t O declive do gráfico S X t é numericamente igual à velocidade escalar instantânea do móvel.
Ou seja:
dec(S X t) - tg a NV
fâ / tf m
•
áâài
Diagrama V X t
O ce cliv e do gráfico V X t c numericamente igual à aceleração escalar instantânea do móvel.
Ou seja:
dec(V X t) — tg a ? o
A área sob o gráfico V X t c numericamente igual ao deslocamento escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.
Ou s eja:
A(V X t ) ? áS
116 •
Diagrama a X t
A área sob o gráfico a X t é numericamente igual à variação da velocidade escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.
Ou seja:
A(a X t) I AV
Resumindo: Gráficos
S X t
V X t
a x t
Operação
Leitura direta
Declive
Área
espaço:S deslocamento escalar: AS velocidade média: V,,,
velocidade: V variação da velocidade: AV aceleração: a aceleração média: am
velocidade instantânea: V
Não tem aceleração instantânea: a significado físico.
Não tem significado físico.
deslocamento escalar: AS velocidade média: Vin
variação da velocidade: AV aceleração média: am
i
1. UNESP — No gráfico abaixo, o arco de parábola representa a função horária dos espaços de um movimento retilíneo. Julgue as afirmativas: (1) Entre os instantes 0 e ti o movimento é retardado. (2) Entre os instantes ti e t* o movimento é acelerado. (3) Entre os instantes 0 e t> a aceleração c negativa. Resolução: Lembrando que dec(S t) £ V e que dec = tg a, podemos concluir: 1)
Algebricamente: dec,? > dec,j > dectj > dec,;, > dec,., = » V „ > V t, > V Cj > V,. > V,
Ou seja: algcbricainente (considerando os sinais), a velocidade escalar diminui em todo o intervalo de tempo considerado. Podemos, então, concluir que a aceleração escalar do móvel é negativa em todo o intervalo de tempo.
118
2) Km módulo: • jdecol > dec^ | > jdcct( | = > V (,| >
V .^
> |V t i[
Ou seja: de 0 a ti o movimento será retardado (intensidade da velo cidade diminui). • |dectJ < jdcct.2 ! < |dcctJ => |Vtj < |Vt/ < V J Ou seja: de tt a t2 o movimento será acelerado (intensidade da velo cidade aumenta). Resposta: Todas as afirmativas são corretas.
2. FEI — Um móvel desloca-se de forma qje sua velocidade escalar em função do tempo segue a lei representada no gráfico:
a) Determ inar a veloci dade e scala r média do móvel entre os ins tantes t = 1 s e t = 4 s. b) Representar graficamente a aceleração do móvel em função do tempo. Resolução: a) Lembrando que A(V
A (i ,i m ;i „ ,
A(í *h i *)
2~ r1
x
t) - AS, vem:
. 1 0 = 15
1 . 10
AS.i ,H 3 ,i = 15 m
2
v n,
5 m / área abaixo \ \ do eixo t /
= 5 => A S (Ss H-* o»
Sendo AS(i „w* »> — ASti sM:i temos AS,i *H., s) — 10 m. AS Como Vm— ------, então Vm At Portanto:
=>
2
•1«H4(|
-T
AS<3»h -i =
10
m
3
s
------—
10
10
---------= —
4—1
3,33 m/s
3
b) Coir.o dcc(V x t) = a, temos: 10
0
—
• deC(o«Hi oi = -------------= 10 = > a ,UBH , *>= 10 m /s2
• dec(1 KM- 8j —
1—0 10-10
— 0 —i' â
2
1
-
0 — 10
• dec<2* H 3 *> = -------------= —10
3 -2
= >
al2 ,4M:;*> =
• dec( «Hiii — ------------ — —10 — s a t MH.| 4 -3 3
• dec H>HÓ»i —
3
0 —
( — 10)
10
— 10 m /s2
— —10 m js-’
a,, s h i Ȓ = 10 m/s2
3. MEDICINA DE TAUBATÉ — Dois móveis A e B passam por um ponto P em um instante t = 0 s e percorrem a mesma r eta. Co nhecendo os diagramas das velocidades para os dois móveis, podemos afirmar que: a) os móveis tornam a se encontrar após 12 s. b) os móveis tornam a se encontrar após 24 s. c) os móveis não mais se encontram. d) os móveis tornam a se o encontrar após 30 s.
120
Resolução: Lembrando que.no diagrama V X t,dec = a, vem: 40 aA= 4 - — m /s 2, constante; móvel A: aA= -J3 30 60
móvel B: aB=
aa = — 2 m /s 2, constante.
30 Adotando a srcem do referencial no ponto F por onde os móveis pas sam no instante t — 0 s e levando em conta que os movimentos são uniformemente variados (acelerações escalares constantes), podemos escrever: S0 — 0 m móvel A
A
aA= 4 “ — St
móvel B
SA= 20t 4 -------i2 3
V0 = + 2 0 m/s
=
0
V0b =
a„ =
m/s2
m
4-60
—
(1)
2
m/s
m /s 2
=>
Sn = 60t - t
2
(2)
Os móveis voltarão a se encontrar quando ocuparem a mesma posição cm relação ao referencial adotado. Logo, o encontro ocorrerá quando SA— S„
(3).
S
% we m d& a
~
1 2 1
Assim, substituindo (1) c (2) cm (3), vem: 2 0
t - — 3
t = 60t — t
4
2
- t — 40t = 0 = >
2
2
I) t = s (instante inicial). 5 II) t — 40 = 0 3 0
(4 ,- 4o)=°
120
t=
------- =
t = 24 s
Resposta: alternativa b. 4.
MAPOFEI — A velocidade de um carro, em função do tempo, pode ser descrita pelo gráfico a seguir. Quanto andou o carro du rante os primeiros cinco se gundos? Quanto andou du rante os vinte segundos? Qual a velocidade média do movimento? Resolução: • Como o movimento é descrito num único sentido (velocidade es calar positiva), podemos dizer que a distância percorrida pelo carro coincide com o deslocamento AS. Assim, durante os primeiros cinco segundos de movimento teremos: A S (0 i H i í i :
5 . 20
A to » H 3 *> -----^
•iSfii, h í«i
5 *» —
-}'
-*-50 m
Para o tempo tota! de movimento vem: __ -f -h.’iííi = A(o, h -‘o•> •—> AS
1 0
2
ASÍ(>,h
• Lembrando que V„
-, então:
At y
( *H 0
2 0
»>
= -}-
300 20
V°
=
1 5 m, S
Resposta: O móvel andou 50 m durante os primeiros 5 s; 300 m durante os 20 s e sua velocidade média nos 20 s dc movimento foi de 15 m/s.
122
5. ENGENH ARIA DE SÃO CA RLO S — Dois carro s viajam n o mesmo sentido em uma estrad a retilínea. No instante em que um está ultrapassando o outro, os deis motoristas percebem um perigo à frente e freiam simultan eamente. O gráfico da figura mostra a variação da velocidade dos dois com o tempo. Pede-se a distância entre os dois carros no instante em que suas velocidades forem iguais.
a) 20 m b) 10 m c) 50 m d) 15 m e) 25 m Resolução: As velocidades dos móveis sc igualam no instante 5 s, con forme podemos deduza- do gráfico. |t = 0s| t = 5s EZH]
• (v^ )
()
2
1
AS, AS. Observando o esquema anterior, podemos escrever : d = AS -A S , (1), onde AS = A e AS, ^ A,. 2
2
i
-2
\c
Logo, ASj = e AS,
25 + 5 ------------
15 + 5
. 5 =: 75 m
. 5 = 50 m.
Portanto, voltando a (I), vem: d — 75 — 50
fd = 25 m
123 Note eue poderíamos obter a mesma resposta determinando a área do triângulo hachurado. Es:a área corresponde à diferença entre as áreas sob os gráficos refe rentes às velocidades dos móveis ( ) e ( ). 2
Logo: A' = A — Ai = 75 2
1
50
[717
A '= 25
Ou seja, a área em questão representa numericamente a distância entre os móveis quando suas velocidades são iguais. Resposta:
alternativa
e.
6. MEDICINA DE TAUBATÉ — O gráfico a segu ir representa a aceleração versus tempo de um móvel. É dado que num instante inicial a velocidade do móvel é zero. Em que intervalos de tempo o movimento é acelerado (isto é, a velocidade cresce em intensidade)?
d) 0 s m 2 s e 4 S m 5 s. e) 0 3 5 . e 4 s h
s
s h
s
124
Resolução: No gráfico a — f(t) a área sob a curva representa numerica mente a variação de velocidade do móvel. As áreas acima do eixo f estão associadas a variações positivas de velocidade, e as áreas abaixo do eixo t. as variações negativas de velocidade. 4
a(m/s~)
Lembrando que o corpo partiu do repouso, até o instante 3 s a velo cidade do móvel crescerá tanto algebricamentc como em módulo. Do instante 3 s ao instante 5 s leremos uma variação negativa de velo cidade, o que significa uma redução no valor algébrico da velocidade. Determinemos os valores numéricos das velocidades: O s h I s: A (0 , h i , i = 1 • 2 = 2=> V l - V
0
= 2 =*
= > V, — 0 = 2 = > V, = 2 m/s V * — > . 2 =2 => V! =2 = = > V2 — 2 = 2 = > V2 = 4 m/ s 1 . 2 2 s 3 : A (2 ■> = -------------= 1 => V3 — V2 = 1 => 2 = > V* — 4 = 1 = > V 3 = 5 m/ s 1 . 2 /- v 3 SH4 s: A (a*H 4 8i = — -----= 1=> V 4 — V3 = ( —) 1 1s h 2 s :A , i, h s .i= 1
m
s
h h s
==> V, - 5 = - 1 = > V
4
= 4 m/s
4 s w5 s: A ( 4 ■Hs •) = —1 -—2 = 1=> V
5
— V4 = Q
1
=>
= > Vs — 4 = —1 = > V 5 = 3 m/s Resumindo: o movimento foi progressivo durante todo o intervalo de tempo cbnsiderado, sendo acelerado de 0 s a 3 s c retardado de 3 s a 5 s. Resposta: alternativa b.
Enunciado para as questões 1c 2: Nos gráficos a seguir são representadas as distâncias x à origem da trajetória retilínea, em função do tempo t, de uma partícula em movimento:
1. FUNDAÇÃO CARl.OS CHAGAS — Em quais dos movimentos acima representados a velocidade da partícula adquire o valor zero? a) I e III. d) III e IV. b) II c V. e) II c III. c) I e IV. 2. FUNDAÇÃO CARl.OS CHAGAS — Em qual dos movimentos acima representados a velocidade da partícula pode ter valores negativos? u) I d) IV b) II c) V c) III
126
3. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — No gráfico abaixo, deslocamento versus tempo de um corpo, podemos afirmar que sua velocidade
a) decresce de A para B e cresce de B para C. b) decresce de A para C. c) cresce de A para C. d) cresce de A para B e decresce de B para C. 4. UNIVERSIDADE DE SÀO CARLOS — Qual dos gráficos abaixomelhor representa o movimento de um móvel que vai desde um ponto A até um ponto B, através de uma trajetória retilínea, com velocidade constante?
O enunciado c o gráfico que seguem se referem às questões de 5 a 7. O gráfico descreve o movimento retilíneo de um carro.
'S *
127
5. MEDICINA DE ITAJUBA — Em qual intervalo o movimento é retardado? a) Os h IOs. d) 50s w6 0s. b) 20 s m 4 0 s. c) Em nenhum dos intervalos. c) 40 s
h
50 s.
6. MEDICINA DE ITAJUBÁ — No tempo t = 0s, a velocidade do carro cra: a) Om/s. b) 1,0 m/s. c) 2,0 m/s.
d) 3,0 m/s. e) 4,0 m/s.
7. MEDICINA DE ITAJUBÁ — No intervalo 0s a 20s, a velocidade média do carro foi igual a: a) 0 m/s. d) 3,0 m/ s. b) 1,0 m/s. e) Nenhuma das respostas anteriores. c) 2,0 m/s. H. autom INATEL O gráfico da figura abaixo representa o ta-se: movimento dc um óvel— durante 20 minutos de percurso reto. Pergun a) Qual a velocidade média do automóvel na ida e qual a velocidade média do automóvel na volta, em km/h? b) A quantos quilómetros do ponto dc partida cie parou? c) Quanto tempo ocarro permaneceu cm movimento?
*>. FUVEST — Dois pontos móveis P e Q percorrem um mesmo eixo Ox; seus movimentos estão representados na figura que segue, pelo gráfico do espaço x em função do tempo t.
128
Podemos afirmar que: a) P e O passam, no mesmo ins tante, pelo ponto de abscis sa x = . b) a aceleração de P é maior que a de Q. 0
c) que a velocidade a de P. de O é maior d) P e Q passam, no mesmo ins tante. pelo ponto de abscis sa x = X|. e) P e Q movcm-sc em sentidos opostos. 10. FACULDADES FARIAS BRITO — O gráfico que segue mostra como a velocidade de uma partícula varia com o tempo: T, c T, são duas retas tangentes à curva nos pontos P; e P2, respectivamente. As acelera ções escalares instantâneas que a partícula apresenta nos instantes t, = 4 s 6
eU=
s são de:
b) — m/s eO m/s2. 2
T,
d) 36 m/s2 c 42 m/s2.
2
II. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Qual dos gráficos da velocidade do móvel em função do tempo pode representar um deslocamento dem em 4 s? 6
12. PUC (CAMPINAS) — No gráfico representa-se velocidade em função do tempo:
a) O movimento tem um só sentido com velocidade variável. b) O gráfico está errado, pois não se representa velocidade negativa. c) O móvel percorreu 3 m e, cm seguida, parou bruscamente; fez percurso igual cm sentido contrário e parou no ponto de partida. d) móvel Do gráfico apresentado só podemos obter velocidade e aceleração do em função do tempo. C) Nenhuma das respostas anteriores. 13. FATEC — L'ma partícula percorre um eixo Ox com velocidade que segue o diagrama abaixo: V(m/s) (1) Entre as datas Ose 2 s o per curso mede 8 m. (2) Entre as datas 0 s e 4 s o per curso resultante é nulo. (3) Entre as datas 2 s e 4 s (ex clusive) a aceleração é de ■♦•4,0 m/s1 23 . a) b) c) d) c)
Somente (I) c correta. (1) c (3) são corretas. Todas as afirmações são corretas. Nenhuma das afirmações c correta, Resposta diferente das anteriores.
130
14. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Dográfico V x t relativo ao movimento de uma partícula, mostrado na figura, podemos concluir que. entre t = Os e t = 3 s. o espaço por ela percorri do c igual a:
a) b) c) d)
10 m. 12 m. 7 m. 4 m.
e) 5 m.
15. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS —O gráfico que segue representa a velocidade cm função do tempo de uma partícula que se desloca cm linha reta. Quanto ao deslocamento da par tícula, a afirmação certa é: a) Seu deslocamento total (entre 0 s e 6 s) é diferente de zero. b) O deslocamento da partícula entre 0 s c l s c igual ao des' locamento entre 3 $ e 4 s. c) O módulo do deslocamento entre 0 s e l s c igual uo mó dulo do deslocamento entre 5 s e 6 s. d) O módulo do deslocamento semprecresce com o tempo, c) O módulo do deslocamento sempre decresce com o tempo. 16. FEI — Um móvel tem velocidade escalar variável com o tempo conforme o gráfico abaixo. Assinale a afirmação correta:
b) A distância percorrida pelo móvel nos primeiros 10 segundos de movi mento é de 20 m.
______________________________________________’fé
v tm
M
tám
/&
* * *
131
c) A aceleração do móvel é negativa no intervalo de tempo 6sw8 s. d) O móvel está em repouso no intervalo de tempo 4 s h 6 s. e) O móvel tem movimento retardado entre os instantes t ^ 2 s e t = 4 s.
17. FUVEST — Um automóvel faz uma viagem em seis horas c sua veloci dade varia em função do tempo, aproximadamente, como mostra o gráfico a seguir. A velocidade média do automóvel na viagem é dc:
b) 40km/h. c) 45 km/h.
e) 50km/h.
IH. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — No gráfico das velocidades dos móveis A e B. o triângulo hachurado representa: a) a diferença entre asacelerações dos móveis. b) a soma das distâncias percorridas pelos móveis. c) a diferença entre as velocidades dos móveis. d) a diferença entre sa distâncias percorridas pelos móveis. e) uma grandeza semnenhum significado físico. 19. MACKENZIE — Um m óvel descreve uma reta.com velocidade que varia Nessas condições, podemos afirmar que: a) no intervalo (0. t,) o móvel se deslocou com aceleração variável. b) no intervalo (t,. t2) o móvel esteve parado. c) no intervalo (t2, t3) o movimento foi uniformemente acelerado. d) no intervalo (t3, t4) a velocidade do móvel permaneceu constante, c) Nenhuma das afirmações c correta.
132
20. ACAFE (SANTA CATARINA) — O gráfico representa a intensidade da velocidade cm função do tempo de uma partícula que se desloca numa tra jetória retilínea.
Com base no gráfico, a alternativa correta c: a) b) c) d) c)
As sãoacelerações diferentes.da partícula nos intervalos de tempo 0 s a 5 s c 2 0 s a 2 5 s A partícula esteve cm repouso no intervalo de 5 s a 10s. De 0 s a 5 s a distância percorrida foi de 75 m. No intervalo dc 15 s a 20 s o movimento é retilíneo uniforme, A aceleração da partícula dc 10 s a 15 s foi de 4 m/s2.
As explicações a seguir ref erem-se às questões 21 e 22. Três partículas partem da srcem com velocidades cujas equações horárias são representadas a seguir:
21. MEDICINA DO ABC — Considerando as partículas em ordem decrescente quanto à distância em relação à srcem, ao fim de vinte segundos elas esta rão dispostas da seguinte maneira: a) I, II, III. d) II, III, I. b) I, III, II. e) III, II, I. c) II, I, III.
22. MEDICINA DO ABC — Qual a partícula que tem gráfico de aceleração satisfazendo aos valores e ao aspecto a seguir? aím/s“)
1I I I 2õ a) I.
b) II. c) III.
ti?) d) I c III. e) Nenhuma.
23. FEI — O gráfico dado define a velocidade dc um ponto em função do tempo.
A posiçãoinicial do ponto c dada por S0 —50 m. Qual a posição do ponto no instante t 10 s? 24. FATEC — O diagrama ao lado dá a velocidade de um ponto em função do tempo. Para o inter valo dc tempo entre as datas 0« c I0,0s, determinar a velo cidade media c a aceleração. 25. INATEI. — O gráfico abaixo representa a variação da velocidade cm fun ção do tempo, para um ponto P movendo-se cm linha reta. Pedem-se: a) a distância total percorrida. b) a aceleração no intervalo de tempo entre 4 e 5 segundos. V (m /s )
5
Us)
134 26.
IME — Do movimento de uma partícula c dado o diagrama V x t. Trace o diagrama S X t, sabendo que para t = 0 s, S = 0 m (S = espaço). V(m/s)
t(s)
-1 -2
-3 -4 27.
FEI — Ura móvel cm trajetória retilínea tem um movimento cuja velo ci dade varia com o tempo conforme o gráfico abaixo:
Quanto à sua aceleração, podemos afirmar que: a) c negativa entre Os c 2 s. b) c positiva entre 2 s c 6 s. c) é positiva de 6 s a 9 s. d) é positiva de 9 s a 12s. e) c positiva dc 6 s a 7,5 s e negativa de 7,5 s a 9 s. 28. FEI — Em relação à questão anterior, quanto ao movimento do móvel, podemos afirmar que: a) c retardado no intervalo dc 9 s a 12 s. b) é retardado no intervalo dc 8 sa 9 s. c) é acelerado no intervalo de 6 s a 7 s. d) é uniformemente acelerado no intervalo de 2 s a 6 s. e) é retardado no intervalo dc 0 s a 2 s.
Enunciado referente às duas questões seguintes: Um móvel entra em movimento retilíneo a partir do repouso. O .gráfico de sua aceleração cm função do tempo decorrido a partir do instante de partida é dado pela figura seguinte:
29. CESCEA — Depois de 8 s, sua velocidade será igual a: a) 12 m/s. d) 16 m/s. b) c) Om/s. 22 m/s.
e) Nenhuma das anteriores.
30. CESCEA — Em que trecho a velocidade do corpo diminuí com o et mpo? a) No trecho AB. b) No trecho CD. c) No trecho BC. d) Nunca. e) Nenhuma das respostas anteriores e correta. 31. PUC (SÀO PAULO) — Sobre um corpo nicial i mente em repouso atua uma aceleração que varia com o tempo, de acordo com o diagrama abaixo: A velocidade adquirida pelo corpo c máxima no instante t igual a: a) 5 s. b) 15 s. c) 20 s. d) 25 s. c) 10 s. 32. FEI — O gráfico da aceleração deum móvel em movimento retilíneo cm função do tempo c dado na figura. Determinar: 1 i i ’?
40
t(s)
a) a aceleração média no inter valo 0 s h 4 0 s. b) o gráfico- da velocidade em função do tempo. Sabe-se que a velocidade inicial é nula.
136
3. c (Os declives de A para B decrescem em módulo mas crescem a gebricamente.) 4. a
5. b 6. b 7. b
8. a) Ida: VIH = 96 km/h. volta: Vm = -4 8 km/h; b ) Ele parou a 8 km e a 4 km do ponto dc partida; c) Permaneceu em movimento durante 10 min. 9. d 18. d
10. b 11. b 12. c 13. b 14. a 15. c 1G. a 17. b (A área do triângulo hachurado representa numericamentea diferença entre as distâncias percorridas pelos móveis A e B entre os instantes 0 s e 10 s.)
19. c (0Ht1)
(t,Mto)
= $ = >
movimento uniformemento movimento uniforme:
retardado;
(toMt3) => movimento acelerado não-uniformemente; => movimento uniformemente ace erado. 20. c 21. d 22. e 23. S J0 — 150 m 24. VJr = 0 m/ s; a = —1 m /s 2. 25. a) AS = 21 m; b) a = —6 m/ s2.
Vetor Dado um segmento orientado de reta AB, podemos distinguir nele três características: • direção: a mesma da reta à qual pertence: • •
sentido: de A para B; módulo: é o valor numérico associado ao comprimento do segmento de reta.
Dois segmentos orientados são ditos eqüipolentes quando possuem a mesma medida, a mesma direção e o mesmo sentido.
j
•
Conceito de vetor
~
139
— Tomemos um conjunto de segmentos orien
tados. eqüipolentes. AB. CD. EF e GH. Tais segmentos apresentam, em comum, a mesma asso ciaç ão: módulo-direçã osentido . Est a asso ciação abstrata é denominada vetor. 8
Resumindo:
Vetor
módulo : direção i sentido
Observe que ficamente, o mesmo vetor, simbolizado por V. Isto se deve ao fato de que todos os segmentos eqüipolentes têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo. é fá iw a ttiC L O símbolo V representa um vetor e não deve ser substituído por um
número
Quando queremos ropresentar apenas o medulo do vetor V. — ♦ usamos o símbolo V . Assim , se um vetor V tem módulo 5. devemos oscrcvor |V — 5 e não V = 5.
Os vetores estão sempre associados às grandezas vetoriais. Grandezas vetoriais são grandezas físicas que, para ficarem perfeita mente caracterizadas, necessitam de intensidade, direção e sentido. intensidade Resumo:
Por
se entende módulo seguido de unidade.
Grandeza vetorial
inten sidade (módulo -r unidade) < direção sentido
Exemplos de grandezas físicas vetoriais: força, velocidade, acele ração. etc.
140
•
Adiç ão de vetores — Dados os vetores V i, Va. V3 e V*. o vetor-
-soma S é obtido traçando-se, a partir de uma srcem O arbitrariamente escolhida, os segmentos orientados representativos dos ve tores. de modo que a extremidade de um coincida com a srcem do seguinte e assim por diante.
O vetor-soma S é representado pelo segmento orientado de ori gem em O e extremidade coincidente com a extremidade P do seg mento representativo do último vetor.
Importante: a adição de vetores é comutativa, isto é. qualquer que seja a ordem dos vetores-parcela, o vetor-soma será sempre o mesmo. •
Produto de um número real por um vetor — Dados um número —> —> —> real n e um vetor V. o produto n . V é um vetor U. com as seguintes características: módulo: U = n| . V ; direção: a mesma de V se n ?! 0. —
—
>
sentido: se n > 0. U e V têm sen tido s conco rdantes ; —> ■ —> se n < 0. U e V têm sentidos opostos.
141
Exemplos:
U = +2V
ffló a w a p fe à 1) Quando n = —1, teremos U = —V. Neste caso. U é denominado
vetor-opostoce V. Observe o último exemplo acima. Conclusão:O vetor-oposto (—V) tem a mesma direção e o mesmo módulo de V. mas sontido contrário ao deste. 2) Caso particular:Quando n = 0. o vetor-produto U será nulo. ou seja.
0. ü = O.
•
Vetor-diferença — O vetor-diferença D = Va — Vi pode ser ob—
—
tido pela soma de Va com o oposto de Vj.
142
• Decomposição de um vetor — Dado um vetor V. podemos de compô-lo segundo duas direções x e y ortogonais.
Assim. Vx e V, são denominados componentes de V segundo as direções x e y.
Reciprocamente, conhecen do-se os vetores-cornponentcs ■ — > —> V x e Vv podemos determinar o vetor V.
Vetor-posição Quando a trajetória de um móvel não é conhecida, em lugar de a posição ser medida através de um arco de trajetória (espaços), — ►
será ceterminada através de um vetor-posição, representado por r. de srcem arbitrária O e extremidade na pos;ção P ocupada pelo móvel.
Vetor-deslocamento
Sc um móvel parte de uma posição Pi e chega a uma posição P- após um intervalo de tempo At. diremos que ele realizou um deslo camento escalar
AS
e um deslocamento vetorial
Ar.
Esse vetor-deslocamento Aí é. por definição, a diferença entre o vetor-posição-final ríin e o vetor-posiçác-inicial rln. Ou seja: ^
Ar — Tfm fia
Observe que numa trajetória curvilínea AÍ, < jAS’ , enquanto que numa trajetória retilínea A Í = AS|. Ou se ja:
Ar ^ ASj
144
Resumindo:
DESLOCAMENTO
Sendo o vetor-deslocamento Ar uma grandeza vetorial, além do módulo do vetor a ela associado, a grandeza possui também uma unidade. A esse conjunto (módulo -+■ unidade) chamamos de intensidade do vetor•deslocamentoe representamos simplesmente por Ar. Vetor-velocidade •
Vetor-velocidade-média — At.
num interva o de tempo Denomina-se Ou seja: ->
vetor-velocidade-média o
Ar
Vc, = ----At
Seja um móvel que se desloca de quociente entre
Ar
c
Ar
At.
m em d&a Como |Ar' ^ |ASj, entáo Vr, ^ jV,„ .
Trajetória curvilinea
Trajetória retilínea Movimento curvilíneo: |V J < |Vm •Movimento retilíneo: |V „, - Vn
• Vetor-velocidade-instantânea — Quando o intervalo de tempo At tende a zero, o vetor-velocidade-média tende ao vetor-velocidade-instantãnea.
!
146
O vetor-velocidade-instantânea de um móvel possui a mesma in tensidade que a velocidade escalar instantânea, tendo direção tangente à trajetória e sentido concordante com o sentido do movimento do móvel.
Soltando-se o barbante, observamos que a bola segue a reta tangente à curva no ponto. O vetor-velocidade - instantânea índica o que o corpo tende a lazer num dado instante seguir a reta tangente
Sendo o vetor-veloci dade V uma grandeza vetor ial, sua intensidade será representada simplesmente por V. Exemplos: Na figura ao lado. note que: —> • vetor-velocidade inten sidade: Vi —Vi30 m /s : direção: horizontal: sentido: esquerda para a direita. — >
• vetor-velocidade V2 intensidade: Va = 20 m /s ; direção: vertical: sentido: de cima para baixo. —> • vetor-velocidade Va intensidade: V — = >/l0= -- 202= V"500 => — 10 \Z~5 m/s: direção: indicada pelo ângulo 3
1
a, cuja tangente é — ; 2 sentido: indicado na figura.
=
Vetor-aceleração • Vetor-aceleração-tangencial — Conforme foi visto anteriormente, a aceleração indica a taxa de variação da velocidade de um móvel no tempo.
O vetor-aceleração-tangencial indica que a intensidade do vetor-
Movimento retardado
km/h
j*-
_ °T
km/h
_ _ _ _ _ _
________
Possui direção tangencial e sentido que depende do tipo de movi mento: ~- >
— >
•
movimento acelera do: aT e V têm o mesmo sentido;
•
movimento retardado: aT e V têm sentidos opostos.
— >
—■>
A intensidade do vetor-aceleração-tancencial é igual à intensidade da aceleração escalar. Ou seja: õfó&W tpâCL
fc l -
1*1
-
-------- ----------------------------------------------------------------------------------------------
Sendo o vetor-aceleração-tangencial a T uma grandeza vetorial, sua intensidade será simplesmente re presentada por a T .
• Vetor-aceleração-centripeta — O vetor-aceleração-centrípeta in dica a taxa de variação da direção do vetor-velocidade no tempo.
148
Possui direção normal à trajetória, tendo sentido orientado para o centro da trajetória, no ponto considerado.
Verifica-se que a intensidade Vé dada pela expressão ar —
ac) do vetor-aceieração-centripeta , onde V é a intensidade da velo-
cidade do móvel e r é o raio da trajetória no ponto considerado. • Vetor-aceleração-total — O vetor-aceleração-total é a soma ve torial dos vetores aceleração tangencial e aceleração centrípeta.
Ou seja: — >
Como a direção do vetor aT é ortogonal à direção do vetor ac podemos escrever: r® ~
aT — a
r .
onde Y. a T e ac representam, respe ctivam ente, as intensida des dos vetor es aceler ação T i e Ç
J
ijJJJS
S
h
149
Complementação: Façamos, agora, uma análise de f em todos os tipos de movimento:
• MRU
retilíneo => ac — O —► -4
jniform e = > a-r — C
MCU
• MRA
circular => ac ¥= O —> —> uniforme => aT = O retilí neo => ac = O —> —^ acelerad o = > O -4
—4
• MRR
retilí neo => ac = O —> —► retardado => a-r O
• MCA
circular => a<- -/= O — 4 —> acelerado => a r 7*=O
I
—>
—>
- 4
—>
circ ular => ac / O
• MCR
> 7*=O —> retardado = >— ax
• Vetor-aceleração-média — Seja um móvel que varia seu vetor•velocidade de 7 Jn a num interva lo de tempo At. D efin imos como vetor-aceleração-média do móvel neste intervalo de tempo o quo-
i
150
1. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura que segue estão —
►
— >
desenhados dois segmentos X e Y. Estes segm entos repr esentam deslocam entos s uc es siv os de um corpo. Qual é a intensidade do — >
— >
desloc 1 : U amento representado por X -f- Y? (A escala da figura é
a) 4 cm b) 5 cm c) 8 cm
d) 13 cm e) 25 cm Resolução: Traçando-se o deslocamento A? — X -|- Y, podemos escre ver: ArL >— 4" -|- 32 = I6 -\- 9 = = 25 = > Determinemos a direção do deslo camento Ar. Da figura, vem: tg a = —— = 0,75 = > 4 = > tg a
0,75
Usando uma tabela trigonométrica (ver Pranchas Matemáticas) pode mos verificar que a ss 37°. Assim, a direção do deslocamento Ar será indicada pelo ângulo a ~ 37°. Sentido de Ar: de O para P. Resposta: alternativa b. 2. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Uma pessoa sai de sua casa e percorre as seguintes distâncias em qualquer ordem possível: I) 30 metros para Leste. II) 20 metros para o Norte. III) 30 metros para Oeste.
No fina; das três caminhadas, a distância cm que ela se encontra do ponto de partida é: a) 80 m. b) 50 m. c) 20 m. d) 40 m. e) 60 m. Resolução: Construindo a poligonal orientada, obteremos o esquema seguinte: \7 3
Observamos, então, que: Ar, Ar3 = = 30 20 m m Ar.i = 30 m onde Ar* = Ar, + Arò -f Ar-,. Da figura, temos: Ar — 20 m
Resposta: alternativa c.
152
3. FUNDAÇÃO CA RLO S C HA GA S — A velocidade vetorial méd ia de um corpo que parte de um ponto P, percorre o segmento de reta PQ e volta, pelo mesmo caminho, à srcem P. no intervalo de tem po At, é: a) O. b) OP/At.
d) 2PQ/A1.
e) PQ/At.
c) 2QP/At. Re.solução: Como o corpo retorna ao ponto dc partida, teremos: Ar = PO 4- OP = O PQ
H
P *■
q.
-> OP Ar Sendo V» — ------, então Vm Al Ke.spo.sta: alternativa a.
O
—► V' , - o
At
O enunciado que segue refere-sc às questões de 4 a 6. A figura mostra uma fotografia estroboscópica de uma bola que se move ao longo da trajetória . . . . 1, 2, 3 ...........8, 9. 10.............12, 13. 14. . . . As regiões dc 1 a 4, 8 a 11 e 12 a 14 são lin has retas. As regiões de 4 a 8 e de 11 a 12 são arcos de circunferências. Os intervalos de tempo entre duas posições sucessivas da bola são todos iguais.
4. FEI — A velocidade instantânea da bola no ponto 6 é melhor representada por qual dos segmentos abaixo?
s)
Resolução: lem bran do que o vetor-
-vclocidade é tangente à trajetória e que o movimento é descrito da foto (4) para a foto (8), podemos repre sentar a velocidade no ponto (6) conforme o esquema ao lado. Resposta: alternativa b.
5. FEI — A ac eleração instantânea da bola no ponto 6 é melh or representada por qual dos segmentos abaixo? a) zero
b)
Resolução: De (4) a (8) o movi
mento c uniforme; logo, V e cons—> —> tante. Assim, ar = O. Como a trajetória é curva, a acele ração é centrípeta Logo, Y« = ac, sendo indicada conforme a figura anterior. Resposta: alternativa e.
154
6. FEI — A aceleração instantânea da bola no ponto 13 é melhor representada por qual dos segmentos abaixo? d)
e) zero
c)
*
Resolução: Na região considerada, a trajetória é retilínea. Assim, não há aceleração centrípeta, pois a direção da velocidade não varia. —> —> Logo, ac = O. Como o movimento é acelerado, o móvel somente possui aceleração tangencial, ou seja, y™ = ar. conforme a figura ao lado. Resposta: alternativa b.
7. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Um ventilador acaba de ser desligado e está parando vagarosamente, girando no sentido horário. A direção e o sentido de acele ração da pá do ventilado r no ponto P são melhor representados pela figura:
P
n em
d &
155
tz ^
Resolução: Devido ao movimento retardado, o ventilador terá acele ração tangencial de sentido contrário ao do movimento, além de ter aceleração centrípeta, pois a velocidade varia em direção.
Portanto, a aceleração total do ponto P será y = a* — a<;, conforme indica a figura acima. Resposta: alternativa d.
8. PUC (SÃO PAULO) — Um móvel parte do repouso e percorre uma trajetória circular com raio de 100 m, assum indo um movimento Lniformeme nte acelerado de acele ração igual a 1 m /s 2 As intensidades dos vetores componentes tangencial e normal da aceleração valem , respectivamente, após 10 s: a) b) c) d) e)
110mm/s/s2 2 ee 101 m /s 2. m/s2. 10 m/s2 e 10 m/s2. 10 m/s2 e 100 m /s2. 1 m/s2 e 1 m/s2.
Resolução: Como o movimento é uniformemente acelerado, podemos escrever: V = V„ -f at = > V = 0 -f 1 . 10 = > V = 10 m/s Portanto: •
vetor-aceleração-tangencial a.,. Sendo aT = a , vem aT ~ 1,0 m /s2
•
vetor-aceleração-centrípeta a (.
aò =
V2 r
_
(IO)2
100
100
100
Resposta: alternativa c.
ac
1,0 m /s 2
156
9. FEI — A velocidade V? dc um móvel em função do tempo acha-se represen tada pelo diagrama vetoria l da figu ra. A intensidade da velocidade inicial é Vo=20m/s. t = Os
o Esquematize a aceleração vetorial média e determine a sua inten sidade entr e os instantes t = 0 s e t = 8 s . Resoluç ão: Lembrando que y». =
então
Va - V,
v
8 + (- Vp)
8- 0 “ 8 Podemos, então, construir o esquema abaixo, obtendo-se Y
Observando o triângulo ABC, podemos escrever: AC „ AC 20 ------= sen 30° = > BC = -------------= > BC = -------sen 30° BC
Portanto, AV 2 BC ==> AV ~ 40. AV - * |AV Sendo Ym= ------, então \ym\ — —----At At
»
8-i
BC = 40
40
onde Ym representa a intensidade da aceleração vetorial média Ym•
1. FUNDAÇÃO CASPER LIBERO — Dois vetores osã iguais quando: a) têm a mesma intensidade. b) são vctores-opostos. c) têm a mesma direção. d) têm o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. 2. FUNDAÇÀO CARLOS CHAGAS — A figura abaixo mostra três vetores —►— > — * A. B c C. De acordo com esta figura, podemos afirmar que c verdadeira a seguinte relação:
a) A + B + C = O b) A = B - C c) íT-
d) A + B = C e) A = íT-f C
A = C
3. EMESCAM (ESPÍRITO SANTO) — Sendo dados os vetores u e v da figura, o segmento que melhor representa a diferença veforial d = u
a) nulo
c)
b)
d)
c)
v é:
158
— ►— ♦ 4. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Dados os vetores A. B C. I>, E. F c G, representados geometricamente num plano, corno mostra a figura, pode-se afirmar corretamente que:
d) Nenhuma dessas.
b) D + A + B
5. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura seguinte está representada uma parte de um mapa geográfico de uma região plana. 1 e Z são pontos desta região. das seguintes distância entreQual os pontos Z e Y? medidas amis se aproxima do valor da Z
100 m
100m
a) 30C m b) 400 rn c) 500 m
d) 600 m e) 700 m
6. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Uma pessoa sai para dar um pas seio pela cidade, fazendo o seguinte percurso: sai de casa e anda 2 quar teirões para o Norte; logo após, dobra à esquerda e anda mais 3 quarteirões para Oeste, virando, a seguir, novamente à esquerda e andando mais 2 quarteirões para o Sul. Sabendo que um quarteirão mede lOOm, o deslocamento da pessoa é de: a) 700 m para Sudeste. d) 700 m em direções variadas. b) 300 m para Oeste. e) zero. c) 200 m para o Norte.
7. I NIVI RSIDADE DE MINAS GERAIS — Um automóvel está sendo testado em uma pista circular de 200 m de raio. Qua! será a intensidade do vetor-desloeamento do automóvel após ter ele completado meia volta? d) 400 m a) 628 m e) 314 m b) 282 m c) 2Q0 m 8. MEDICINA DE CATANDUVA — Em uma nave espa cial há um compar timento semelhante a uma caixa de sapatos e cujas dimensões são iguais a 4 m X 3 m X 2 m. Sabendo que a mesma se encontra cm repouso em rcluçBo a três estrelas fixas e livre da ação de campos gravitacionais. quer se saber qual será a intensidade do vetor-deslocamento devido à movimen tarão dc um astronauta de um dos cantos do compartimento para o outro, diamctralmente oposto, em busca dc uma ferramenta. a) y'63 m b) \/29m c) Faltam yXSni dados para ocálculo. d) c) Nenhuma das respostas anteriores. 9. MEDICINA DE SANTOS — Sejam Vu a velocidade escal ar media e Vm a velocidade vetorial média de um móvel num trecho dc sua trajetória. Podemos dizer que: b) |Vm| = |V J. O |Vm|$> V J. d) Vm= Vm. c) Nenhuma das anteriores. 10. FUNDAÇÃO CARI.OS CHAGAS — A velocidade de um corpo c uma grandeza vetorial, pois para determiná-la é preciso caracterizar sua direção: a) c sentido. b) sentido e intensidade. c) sentido e ponto dc aplicação. d) intensidade c unidade. c) ponto de aplicação e unidade. 11. PUC (SÃO PAULO) - Sc a velocidade vetorial de um ponto material é constante, sua trajetória: a) é uma parábola. b) pode ser uma reta. mas nào necessariamente. c) deve ser uma reta. d) é uma circunferência. c) pode scr uma curva qualquer.
160
12. CESGRANRIO — Uma partícula descreve, com movimento uniforme, urna trajetória circular, representada na figura, no sentido indicado pela seta. Entre as passagens A c II. a variação da velocidade vetorial da partícula será melhor representada por: B
13, FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Um ponto em movimento circular uniforme percorre um arco de círculo de raio R 20 cm e ângulo central de 60° em 5 s. A variação V., a)
e)
é, cm cm/s, igual a:
10r 3
4tt
3
d) 5v . e) um valor diferente dos anteriores. 14. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Uma partícula não possui aceleração. Então, podemos concluir que: a) sua velocidade é nula. b) ela está em movimento circular uniforme. c) ela está em repouso ou em movimento retilíneo uniforhie. d) a intensidade de sua velocidade é constante c sua direção variável. e) a intensidade dc sua velocidade é variável e sua direção constante.
: )
'
15. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — No movimento circular uniforme 6: ii) variável a velocidade escalar e nula a aceleração centrípeta. b) constante a velocidade escalar e r.ula a aceleração vetorial. c) constante a velocidade escalar c constante a aceleração tangencial. d) constante a velocidade escalar e nula a aceleração tangencial. c) variável a velocidade escalar c constante a aceleração centrípeta. 16. UNIVERSIDADE DO ESPÍRI TO SANTO — Um corpo está com movimento circular, unifor me. com sentido de 1 para 2. Quando ele atinge o ponto A. o par de vetores velocidade e ace leração representativo do movimento será: V d) “) _ * .2.
V h) t,>
c)
V c) 17. MEDICINA DE ITAJUBÁ Uma partícula realiza um movimento circulur uniforme. Se escolhemos o centro da circunferência como nosso rcícrcncial e chamamos de 1* o vetor-posição da partícula num instante t —► qualquer, de a o vetor-aceleração da partícula e de V a sua velocidade, qual dentre as opções seguintes melhor representa a disposição dos três vetores num mesmo instante t?
162
18. MEDICINA DO ABC — Uma circunferência é percorrida por um móvel pontual M cm movimento circular uniforme. Em relação a M: a) os vetores velocidade c aceleração são paralelos em cadanstante. i b) a aceleração é nula. c) os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares em cada instante. d) a velocidadevaria linearmente com o tempo . e) a aceleração varia linearmente com o tempo. 19. CESGRANKIO A figura abaixo mostra a fotografia cstroboscópicado movimento de uma partícula. A aceleração da mesma, no ponto P da trajetória, é melhor representada pelo segmento: V
a) I. b) II. c) III.
p
i
d) IV. e) V.
Instruções para as questões de 20 a 22. Na figura está representada a trajetória de um corpo que sc move sobre uma mesa horizontal. x e y sã o dois eixos cartesianos de referencia. As posições do corpo, dc minuto em minuto, estão assinaladas ao longo da trajetória.
|
/y/m dába 20.
21.
163
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Entre os pontos 1 c 5 da trajetória, qua. é a posição mais próxima daquela na qual foi nulo o vetor-componente, na direção y, da velocidade vetorial instantânea do corpo? a) I d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 FUNDAÇÃOCARLOS CHAGAS Qual dos seguintes segmentos melhor representa o vetor aceleração-instantânea docorpo na posição 8, conside rando que entre os pontos 7 e 9 o corpo tinha uma velocidade escalar constante?
22.
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual foi, aproximadamente, a inten sidade da velocidadevetorial media docorpo entre as posições 1c 14? n) 0,41 cm/min d) 0,87 cm/min h) 0,57 cm/min e) 1,47 cm/min c) 0,65 cm/min
23.
FUVEST — Um menino está num carrossel que gira cohi velocidade an gular constante, executando uma volta completa a cada 10 s. A criança mantém, relativamente ao carrossel, uma posição fixa a 2 in do eixo de rotação. a) Numa circunferência representando a trajetória circular do menino, —► — * assinale os vetores velocidade V e aceleração a correspondentes a uma posição arbitrária do menino. —
— *
b) Calcule as intensidades de V e de a.
164
24. FEI — O vetor-velccidadc cie uma partícula, em função do tempo, está representado na figura. Calcular as acelerações médiasnos intervalos de tempo I S h 2 s c 5 s -<6 s , indicando também sua direção c sentido. Os
1s
2s
3s
4s
d 8. b 9. c 10. b 1. d 2. e 3. e 4. c 5. c 6. b 7. 11. b (Se V é constante e não-nula ==> trajetória retilíneo; se V é constantemente nula => trajetória é um ponto.) 12. b 13. c
14. c
15. d 16. c
17. e
18. c
19. b 20. c 21. a
bj V ss 1.3 m/s; a sr 0,8 m/s2. ( Intensidade: 15 m/s2 direção: horizontal sentido: da esquerda para a direita 24.
“ ( S shiií
:
Intensidade: 15 m/s2 direção: vertical sentido: de cima para baixo
22. d
CffllUD
6
166
Introdução Seja um móvel que descreve uma trajetória circular orientada de srcem 0 e raio r. Num instante t, seja P a posição ocupada pelo móvel. O ângulo central $ correspondente ao arco OP é o ângulo de fase do móvel nesse instante. A medida algébrica de OP é S (espaço do móvel no instante t). Em radianos. temos:
Deslocamento angular Deslocamento angular do móvel no intervalo de tempo At = t' — t é. por definição, o ângulo central A= dV — <í>, onde 4>'éo ângulo de fase no instante t e (IJ é o ângulo de fase no instante t.
O ângulo central A (deslocamento angular) corresponde ao arco AS (deslocamento escalar). Em radianos, temos:
Velocidade angular Velocidade angular médiaé o quociente entre o deslocamento At. angular A<1> e o correspondente intervalo de tempo A Ou seja:
0)M= ----At
Sendo A medido em rad e At medido em s. en tã o co ser á medido em
rad/s.
A velocidade angular instantâneaé o limite da velocidade argjlar média quando o intervalo de tempo tender a zero.
O sentido do movimento concorda com o sentido da trajetória orientada.
-
O sentido do movimento discorda do sentido da trajetória orientada
168
Ap licaç õe s O estudo da velocidade an gjla r é importante na análise de movimentos circulares uniformes, quando estamos interessados na rotação de sólidos.
Aceleração angular Quando a hélice de um helicóptero é ligada, sua velocidade an gular aumenta até atingir seu regime normal d e funcionam ento. Di remos, então, que a hél:ce está dotada de uma aceleração angular.
Define-se aceleração angular média como o quociente entre a variação da velocidade angular i a e o corresponden te intervalo de tempo At. Ou seja:
Ao>
«m =
----At
Portanto:
Sendo Aw medido em rad/s e At medido em s. então x será me dido em rad/s". A aceleração angular instantânea é o limite da aceleração angular média quando o intervalo de tempo tender a zero. Ou seja:
x =
l irn
ât-* o
Sinais de x: a > 0 => c«> cresce algebrica mente; x < ü => o> decresc e algebricamente.
170
Relação entre elementos lineares e angulares Sendo S, V e a os elementos lineares do movimento de Lm móvel em trajetória circu lar de raio r. e «1». to e a os elementos angulares correspondentes, podemos escrever: elemento linear elemento angular — Ou seja:
s
raio V
a
(0 — —•
r
r
a — r
Na figura ao lado temos o diagrama referente às velocida des lineares dos pontos de um disco em movimento de rotação, V pois co — —r
=> V —cor (V
é
função linear do raio r quando co é constante).
Movimento circular uniforme No MU temos S — So -f Vt. Num MCU de raio r, temos:
r =>
:
r r — o+ cot
Essa expressão é a função horária angulardo MCU. Observe V que co = — = const ante 0. r
O intervalo de tempo neces sário para que um móvel em MCU dê uma volta completa é denominado período (T). O número de voltas dadas por um móvel em MCU. num in tervalo de tempo, é denominado
freqüência (f).
Observe que O período T é medido em s e a freqüência f em s 1 ou hertz (Hz). É usual a unidade rotação por minuto (rpm)para freqüên cia. Note que 1 rpm — -----Hz. 60 Nurh MCU, lembrando que A
o) = -----. quando A=
2n
rad
At
(1 volta), então At — T (período). Logo: Assim, por exemplo, lembrando que a Terra em seu movimento de rotação leva 24 horas para completar uma volta, podemos determinar a correspondente velocidade angular, ou seja. c>r 2r .
TC (!)
24
—
rad/h.
12
i*
2;i
-----—
172
v-
Lembrando que a<: = -----, vem: r (wr)ac = -------- e dai r & ó& rxz#2a. ___________
No MCI), como a velocidade escalar 6 constante, a intensidade do vetor- velocidade também é constante e a aceleração tangencial é nula. isto é. 7r = 0 .
Entretanto, embora a intensidade do vetor-velocidade seja constante, sua direção varia e a aceleração centrípeta é não-nula. isto é, ac
O
MCU ï = *r + « c
Como ar - O, v —a
. onde
V-' a(. = -----= o)*r r
Movimento circular uniformemente variado Lembrando que num MUV:
S = Su + Vot + —2 at2 V = V«, + at V2 = Vo + 2aAS
para um MCUV de raio _S _ _So_ Vo t r
r
r 1
t2
2 V
r
v-2
Vu
1
a
------- -------
r
Vf
+
-----
r
t
2aAS ----------
r
vem:
t
173
Em decorrência do que foi exposto anteriormente: <1> —„ — to ,t *f--------at* 2
d» = o)í, -f- 2t '/)' =
-f 2aA<í>
a Observe que a = -----= r const ante ^ 0. (M & VO 0 &2_____________________________________________________-
No MCUV tanto a Intensidade quanto a direção do vetor-velocidade vadam. Logo. as acelerações tangencial e centrípeta são não-nulas
Sistema de transmissão
Em qualquer sistema de transmissão, as velocidades lineares dos pontos em contato direto ou indireto (através de correia ou cor rente) são iguais em intensidade, admitindo não haver escorrega mento. 1) Observe o dispositivo ilustrado:
174
Esquematicamente, teremos: V, J
♦
9
I
Assim, para duas engrenagens em contato teremos: V: = V3
w»r i =
«fers = > 2rcf i n =
2n f2 rs = = >
f i ri =
f«ra
Portanto, quanto menor o raio da engrenagem, maior sua freqüência de rotação. 2 ) Observe o dispositivo ilustrado:
Esquematicamente, teremos:
Admitindo que não haja escorregamento e que a corrente esteja esticada, vem: Vi — V í
=> o):n = o)jrs = > 2 ~ firi = 2^f3r2 =>
1. F-NGENHARIA DE SANTOS — Toma-se sobre uma circunferência cie raio r = 2 m um arco cie compr iment o 5 m . O ângulo central correspondente é: a) 0.40 rad. b) 2,5 rad. c) 3.0 rad. d) t: rad. e) Nenhuma das respostas anteriores. Resolução: Lembrando a expressão da medida dc um ângulo em radianos, vem: AS A = > A — r =>
| A = 2,5 rãd~
Resposta: alternativa b. 2. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — A velocidade angular do ponteiro dos se gu ndo s dc um relógio vale. em rad/s: a) 2 n . t: d) b) n . 50 e)
C)
»u 15
Resolução: O período dc rotação do ponteiro dos segundos é T — 60 s (tempo que c!c leva para completar uma volta).
Assim sendo, como w = - 2 -~, vem: T o»
2~
---60
d)
Resposta: alternativa c.
rad / s 30
176
3. CESCEA — Uma barra gira em torno do ponto O com velocidade angular constante, completando uma volta a cada segundo. A ve locidade escalar de um ponto P da barra, distando 2 m do ponto O, é: a) 4r: m /s . b) r . m /s . n
c) -----m/s. 2 d) 8 r. m /s . e) Nenhuma das anteriores. Resolução: Do enunciado, te. . volta mos: f = 1 ---------= 1 Hz. Como o) — 2 r .f. vem: o> = 2 n . 1 = > o) = 2 tt rad/s Lembrando que VP = ü>rP, concluímos que
Vp = 27:. 2 n=>|Vi» =
A r.
m/s
Resposta: alternativa a. 4. FEI — Um móvel s e de slo ca em uma tra jet ór ia cir cu 'ar, de raio r = 2,00 m, obedec endo à lei horária S = 2,00 - 5,00t (SI). No insta nte t = 10 s, a intensidad e de su a ace leração res ultante, a intensidade de sua velocidade e a sua posição angular valem, respectivamente: a) 0.00 m /s 2;5,00 m /s e —24,0 rad. b) 12,5 m /s 2;5,00 m /s e —48.0 rad. c) 12,5 m /s 2;5,00 m /s e —24,0 rad. d) 5.00 m /s 2;2.00 m /s e —24.0 rad. e) 12.5 m /s 2;2,00 m /s e —48,0 rad. Resolução: Inicialmente, escrevemos a função horária do movimento na forma angular. S Sendo S = 2,00 — 5,00 t e lembtando que O = — , r S
—
r
=
2,00
5,00
r
r
t
-- ------------------ t=*= —
=> = 1 ,0 0 -2 ,50t
2,00 5.00 ---------------— 2,00 2,00
então: t =>
V
• Assim, como para MCU <í>= 0 -j o)t, então ,0 = 1 — 2,50 . 10 = >
— —24,0 rad
Como o movimento é circular e uniforme, a aceleração do móvel 6 a aceleração centrípeta. Portanto, a<- = o)-r = > ao = (—2,50)2 . 2 = 6,25 . 2
=>
ao — 12,5 m/s2 Da função horária S = 2,00 — 5,00 t concluímos que: V = —5,00 m/s. Logo: !V| ^ 5,00 m/ s Kesposfa: alternativa c.
5. MEDICINA DE SANTOS — Sobre uma circun ferên cia com 60 cm do raio, dois pontos animados de movimento uniforme se encontram a cada 30 s quando se movem no mesmo sentido, e a cada 10 s quando se movem em sentido s opostos . Dete rmin ar seus períodos, o) 10 s e 30 s. b) 10 s e 20 s. c) 15 d) 15 ss ee 30 20 s. s. e) Nenhuma das respostas anteriores. Kc.solução: Como o movimento dos pontos é uniforme, podemos es crever: móvel (1): , = 0j -f cM móvel (2): 2 =
+ wst
178
Vamos adotar como srcem das posições angulares o ponto P cm que ocorrer um encontro qualquer. Neste instante, iniciamos o estudo dos movimentos. Assim, o1 = o = 0. '2
Portanto: : = Wit =
<&a w2t 1) Movimentos no mesm o sentido.
Ti
T-.
30
2) Movimentos em sentidos contrários Condição para o I,° encontro:
Logo:
Subtraindo (1) de (2), vem: T , 10
30
30
Resposta: alternativa c. 6. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — As duas polias A e B. de raios rA e r R respectiv amente (rA > rK), estão ligad as entre si por uma corre ia C. Nestas condiçõ es, estando o sistem a em movimento, teremos:
a) b) c) d)
A A A A
velocidade linear da polia A é maior do que a da poliaB. velocidade linear das duas polias é a mesma. velocidade angular das duas polias é a mesma. relação entre as velocidades angulares é diretamente pro-
porcional à relação entre os raios das mesmas. e) Nenhuma das respostas anteriores. Resolução: Admitamos que não haja escorregamento e que a correia seja incxtcnsível, a correia que une as polias tem velocidade escalar constante c igual à velocidade dos pontos periféricos das polias.
Assim, V,. = V P =V i* A
B
O
Para um ponto PA da periferia da polia A temos V,.A— (oArA.
180 Para um ponto PB da periferia da polia B vem V|*It = o)»rB. Como V,.A= VpB, então wArA= wBrBSendo co — 2;tf, vem: 27rfArA— 27tf«rB
fArA — fBrB
Portanto, quanto menor o raio da polia, maior sua freqücncia (número de voltas na unidade de tempo). Resposta: alternativa b.
7. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Um ventilador gira à razão de 900 rpm. Ao ser desliga do, seu movimento passa a se r uniform emente retardado até parar, após 75 voltas. O tempo transc orrido desde o momento em que é desligado até sua parada completa vale: a) 1s. b) 10 s. t
C) 100 S.
d) 1 000 s. e) 0.1 s. Resolução: Como f — 900 rpm, teremos f — 900 900
rot
60
s
Portanto: Wo = 2 tzÍ
rot min
= 15 s - 1 = 15 Hz
Wo =
2r . .
Wo = 30^ ra d/s
15
Após ser desligado, o ventilador descreve 75 voltas. Assim, A<1> —
rad
A
Ao parar, w — 0 rad/s. Lembrando que o movimento é uniformemente variado, podemos es crever a equação de Torricelli, na forma angular: w2 = w2 4- 2aA
a=
O-' _ (30tc)-_ 2 . 15077
0)-
2A
900rv=
~~
300tí
Sendo to = w» + at, teremos: w — w0 0 — (3>tc
“
ã
0)7.
—3x:
Resposta: alternativa b.
a = —3 ti rad/s2
1. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA Um ponto material, animado de um movimento circular uniforme, descreve um ângulo de 45° em 2/3 de minuto. Nessas condições, a velocidadeangular desse ponto é de: a)
rad . s“ 1. 4 b) 160^ rad . s-1. c) —— rad . s“ 1. 160 d) lOnrad . $->. c) — rad . s-1 . 10 2. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA O ponteiro dos segundos de um relógio executa um movimento circular uniforme. Pontos diferentes do referido ponteiro terão em comum: a) a aceleração. b) a velocidade angular. c) a velocidade escalar. d) a energia cinética. c) o produto da aceleração pelo raio. 3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Em relação ao movimento circular uniforme, é correto afirmar que: a) o vetor-velocidade é constante. b) o vetor-aceleração é constante. c) a aceleração écentrífuga. d) a velocidadeescalar varia ilnearmente com o temp o, c) a velocidade escalar angular é constante. 4. UNESP — Uma polia efetua 10 revoluções em r. segundos. Julgar as afir mativas: (1 ) 0 ângulo de rotação da polia é de 20 rad. (2) A freqüência de revolução da polia é necessariamente invariável. (3) A velocidade angular média da polia c de 20 rud/s.
182
5. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Um as télite gravita em torno dc um planeta de 6,0 . I0:
7. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Um satélite está em órbita circular em torno da Terra. Desta situação, afirma-se que : I) o vetor-velocidade c constante. II) o período é constante. III) o vetor-aceleração é constante. Destas afirmações, está (estão) correta(s): a) apenas II. b) apenas III. c) apenas I c II. d) apenas I c III. e) I, II c III.
183 N. FUNDAÇÃO CARI.OS CHAGAS — Que grandeza física, no SI, tem como unidade dc medida s - :? (s c abreviação de segundo.) a) Tempo. b ) Aceleração. c) Velocidade. d) Comprimento, c) Freqiicncia. MEDICINA DA SANTA CASA — Qual dos gráficos abaixo melhor repre senta a velocidade angular de um movimento circular em função da freqüência?
10. PUC (CAMPINAS)— Um ponto material executa um movimentocircular, percorrendo arcos iguais cm tempos consecutivos e iguais, por pequenos que sejam. Oc movimento a) uniforme periódico. :é b) uniformemente variado. c) periódico mas não uniforme. d) Nenhum dos citados (variado e uniforme), c) Nenhuma das respostas anteriores. 11. PUC (CAMPINAS) — Os pneus de um automóvel tem circunferências de 2,10 m. Se o pneu efetua 240 rpm, a velocidade doautomóvel é de: a) 2,10 m/s. b) 8,40 m/s. c) 26,0 m/s. d) 16,8 m/s. e) 2-,6 m/s. 12. INATEL Calcular a velocidade angular, em radianos/segundo, dc um eixo de motor de automóvel que gira a 3 600 rpm. 13. FEI-MAUÁ — Umsarilho mecanizado está girando a 60 rpm. Qual é a velocidade de descida dc um corpo que está preso à extremidade de uma corda ligada a esse sarilho? (O diâmetro do sarilho é de 0.3m.)
184
14. MEDICINA DE SANTOS — No instante em que um relógiobate 12 horas, seus três ponteiros estão so brepostos. Calcular quanto tempo após esse ins tante pela primeira vez um dos ponteiros forma ângulos iguais com os outros dois. a) 59,18 s. b) 60.59 s. c) 61,89 s. d) 58,08 s. c) Nenhuma das respostas anteriores. 15. MEDICINA DE TAUBAT6 — Duas polias de raios diferentes estão co nectadas por uma correia. Quando em movimento, serão igu ais: a) as velocidades angulares das duas polias. b) as velocidades angular e linear de cada polia. c) os períodos das duas polias. d) as velocidades lineares dos pontos mais externos de cada polia (que to cam na correia). e) as velocidades vetoriais dc todos os pontos da correia. ' 16. FEI — Duas rodas tangenciam-se num certo ponto. Colocando uma delas a girar, esta transmite movimento à se gunda. Admite-se não haver escor regamento no ponto dc tangência. Os raios das rodas são R, - r e R, 3r. Dar a relação entre as velocidades angulares oj1 e ü>2. 17. CESGRANRIO — Para um satélite em órbita circular cm torno da Terra, qual (ou quais) das seguintes afirmações é (são) verdadcira(s)? — >
I) A intensidade dc sua velocidade V é constante. II) A sua velocidade V é constante. III) O período de seu movimento orbital é constante. Assinale: a) Somente I. b) Somente I e II. c) Somente 1e III. d) Somente III. e) I, II e III. 18. CESCEA — A velocidade angular de uma roda diminui uniformemente de 40 rad/s ade20tempo rad/s é: em 5 s. Pode-se dizer que a aceleração angular neste intervalo a) nula. b) -0,25 rad/s2. c) —4 rad/s2. d) 14 rad/s2. e) uniformerr.ente variada.
19. ENGENHARIA DE L.ORENA — A velocidade angular de um motor que gira a 900 rpm decresce uniformemente até 300 rpm, efetuando 50 revolu ções. Qual a aceleração angular do motor? a) 2t. rad/s2. b) 4t . rad/s2. c) 2 rad/s2. d) rad/s2. das respostas anteriores. e) 3Nenhuma 20. AGRONOMIA LUIZ MENEGHEL — O gráfico abaixo mostra a variação da velocidade angular de um móvel em função do tempo. O deslocamento angular do móvel, no intervalo de 0 s a 20 s, é de:
a) b) c) d) e)
400 rad. 625 rad. 1C00 rad. 800 rad. 600 rad.
21. FAAP — A equação horária sob aforma angular do movimento circular de uma partícula é 4> = t2 • 6. com ângulo em radianos e o tempo em segundos. Sabendo-se que a intensidade da acel eração total da partícula é 10m/s2, no instante t = 1s. determinar o raio da trajetória circular. 22. ENGENHARIA MAUÁ A roda da frente de um triciclo tem raio R_ = 0,20 m e as duas rodas traseiras têm raios R2 = 0,40 m cada. O tri ciclo está se movimentando num plano horizontal, sem derrapar, em mo vimento uniformemente acelerado, comaceleração a = 2,5 m/s2. No ins tante da observação, sua velocidade é V = 18km/h. Determine a veloci dade e a aceleração angulares de cada roda, em relação ao seu respectivo eixo.
186
23. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE — Dois discos giram, sem deslizamento entre i.s como se mostra na figura abaixo. A velocidade escalar do ponto X é 2,0 cm/s. X
Qual é a velocidade escalar do ponto Y, em cm/s? a) 1,0 d) 4,0 b) 2,0 e) 5,0 c) 3,0
4. (1) E. (2) E, (3) C. 5. d 6. a 7. a 8. e 9. a
10. a 11. b
12. o) — 1207: rad/s 13. V = 0.94 m/s 14. a 15. d
0)2 17. c
18. c
19. b (em móculo) 20. o
21. A trajetória circula r tem raio igual a V 5m .
roda dianteira 22
.
= 12.5 rad/s a2* = 6.25 rad/s2 <02
roda traseira 23. b
o), = 25 rad/s a ‘ = 12.5 rad/s2
ŒUIO
7
Lancamenb Vertical e Queda Livre noVücuo
188
Condições iniciais O lançamento de um corpo é sempre influenciado pela presença da Terra e do ar. pois a Terra atrai os corpos para sua superfície, enquanto que o ar geralmente dificulta esse movimento.
Faremos o estudo do lançamento vertical e da queda livre nas proximidades da superfície da Terra, admit ndo desprezíveis os efeitos do ar. ou seja. estudaremos o corpo no vácuo e sempre num mesmo local.
Aceleração da gravidade Um corpo abandonado no vácuo, próximo à superfície da Terra, ou arremessado com um certo impulso inicial de modo que não atinja grandes altitudes está sujeito a uma aceleração vertical, para baixo, de intensidade aproximadamente igual a 9,8 m/s2, devido à ação da Terra ( às para ve ze10 s, para arredondado m/s2).facilid ade s de cálc ulo , o valor 9,8 m /s2 é Tal aceleração é simbolizada por g e é denominada aceleração da gravidade local. te^v=o 1 ,r ! tv # .Sr i i C \ Iri
i.
corpo subindo
t.
J
- .
L\
corpo • * descendo tí
*
1
m juíV
MOVIME NTO
UNIFORMEM
MÍM
a
ENTE V ARIADO
subida. MUR: descida
MUA
Nas condições iniciais acima mencionadas, teremos: Se a trajetória do corpo no vácuo for retilínea, seu movi mento correspondente será uniformemente variado, com >ai = |-> g.
Referenciais Dois referenciais podem ser usados no estudo do movimento de um corpo no vácuo: • •
refere ncia l orientado para cim a: a = —g — —9,8 m/s 2 referen cial'orie ntad o para baixo:
190
i
Equações Para o movimento vertical de um corpo no vácuo, as equações correspondentes serão as do movimento uniformemente variado. • Lançamento vertic al para cima — Orientando o refere ncial para cima. teremos a = —g. j V
Instante qualquer (t)
v€
f Instante ''o I inicial
~A c t = o )
j Referencial -f
s
tr* v
__ iK-M
Assim:
S S.j -f- V
Ví -
2gS
• Queda livre — "Queda livre" é uma simplificação da expres são “queda livre das influências de outros fatores que não seja a atração da Terra". Adotado o referencial orien tado para baixo, teremos a — —g. Para S,> = 0, vem: S — Vmí + —
2
yl"
V ~ Vo - gt V» ■-Vo I 2gS Quando o corpo é abando nado a partir do repouso, tere mos:
V — gt V- ^ 2gS
C a so s particula res (pa ra lançamento a pa rtir do solo) • Tempo de subida — No lan çamento vertical para cima, um corpo levará um tempo t» para atingir o ponto mais alto da tra jetória. Nesse instante, sua ve locidade se anula. Assim, podemos concluir
•v»r
Importante: No ponto mais alto da trajetória o corpo terá velocidade nulu mos sua aceleraçã o não se anulará nes se instan te. Portanto, o corpo não estará em repouso, e sim parado instantaneamente. Ou seja:
Ponto mais alto da trajetória
V —0 a — —g = —9.8 m/s2
• Altur a máxima — Um corpo lançado verticalmente para cima atingirá sua altura máxima quan do a velocidade se anular.
Ou seja: S-
H„,ix <=> V ~ 0
Sendo V2 = V,2, — 2gS, então
0 = M- — 2gHta**
=>
2g
• Tempo total — Um corpo é lançado verticalmente para cima, a partir de um ponto adotado como srcem. Quando retornar ao ponto de partida, temos: t = tr <=> S - U Sendo S = V<>t-----— gt1, 2
vem: 0 = V ..tT ------— gú => 2
1) tr — 0 (instante do lançamento) ( v o ----l -0 tT )= ' 2
o =>
1
2V„
2
9
Vo
Como t* = ------ podemos calcular 0 tempo de descida do corpo: 9 t, -f- td — tr — ^ ta — tT —t, — >
=>td =
2Vo
V„
V«
---------------------- -------= > g
g
g
Conclusão: O tempo de subida gasto por um corpo em lança mento vertical é igual ao tempo de descida correspondente ao mesmo movimento, livre das influências do ar.
• Velocidade de chegada — Quando o corpo retornar ao pon to de partida, teremos a veloci dade de chegada do movimento.
Assim:
V —Vc . <=> S — 0
Sendo V2 = V* — 2gS. então:
v í = v í — 2 g . o => v; = Vn => (movimento desenvolvido contra o sentido do referencial) if j f j i Conclusão: O móvel retorna ao ponto de partida com uma velocldnde cuja intensidade é igual à da velocidade de lançamento. Resumindo: (móvel lançado do solo e retornando ao ponto de lançamento)
Altura máxima
Volocidade de, V = Vc chegada h= 0
Tempo do aubida
X = U
V= 0
Tempo total
11 = tr
de movimento 1S — 0
Tempo de descida
Vo g
Gráficos horários Os gráficos horários refe rentes a um lançamento vertical para cima. no vácuo, podem ser mais facilmente obtidos através de um exemplo. Suponhamos que um corpo é lançado verticalmente para cima. no vácuo, com velocidade inic ial Vo = 20 m/s. num local onde g — 10 m /s2, a partir de uma srcem no solo. Assim, orientando o referen cial para cima, temos: S = 20t -----— . 10t" => 2
S - 20t - 5tTambém podemos escrever V - 20 - 10t ■ Obteremos, então, os gráfi cos S X t, V X t e a X t, ao lado ilustrados.
Observe que: Vo
Hinix
400
20*
H ,õx — 20 m
20
2 .
2g
Vo f —
tr —
2
2V0
Vc = -Vo =
20
4s
10
9
•
tu — —2 s
20 —^ 10
g
-20 =>
Ve
=
20 m/s
Movimentos combinados
Seja um corpo (1) lançado verticalmente para cima a partir da srcem do referencial. Nesse mesmo instan te, outro corpjo (2) é abandonado do repouso, indo chocar-se com (1) após um tempot*. -------------* j (2)
0 1 2 )
_________
*
s,
Jb d)
s,.
Podemos, então, escrever: móvel (1):t Si — V0lt
1
gt::
móvel (2): S* = So.. --------gt* 2 No encontro, teremos Si = S^. Logo: V„,te
Vo, te = S »2
1
gt; — s
Um balão que possui a velocidade ascendente de 10 m/s, ao passar pela altura de 50 m. larga um corpo de 8,0 kg. De acordo com esse enunciado, resolver as três questões a seguir: 1. MEDICINA DE SAN~0 AMARO — O tempo gasto para o corpo atingir o solo foi de: a) 4.3 s. b) 1.0 s. c) 3.3 s. dj 8.6 s. c) Nenhuma das respostas anteriores. Resolução: Inicialmente, devemos admitir que o movimento do corpo estará livre das influências do ar. Observe que a massa do corpo não terá nenhuma participação na soluçãotodos do problema, no vácuo, os corpos pois, submetidos apenas à atração da Terra se movimentam com a mesma aceleração. Enquanto o corpo estiver preso ao balão, terá movimento retilíneo uniforme. No instante em que cie se desprender do balão, passará a descrever um lançamento vertical para cima, com as seguintes características: • S„ = 50 m • V„ = 10 m /s (velocidade que tinha por estar preso ao balão) • g = 10 m /s2 (admitido)
197
Assim, orientado o referencial para cima com srcem no solo, podemos escrever: S = So -f V0t ------— gt2 = 50 + 1 0 t------— . 10t- = > 2 2 = > S = 50 -h 101 — 5t2' Ouundo o corpo retornar ao solo, S — 0. Logo: 5t8 — 10t — 50 = 0 = > t* — 2t — 10 = 0 = > t
2 ± 6,6 2
í 1)11^4,3 51 II) t a —2,3 s (nâo convem fisicamente)
Conclusão: O corpo retorna ao solo aproximadamente 4,3 s após aban donar o balão. Resposta: alternativa a.
2. MEDICINA DE SANTO AMA RO — A distân cia percorrid a pelo corpo foi de: a) 60,0 m. b) 92,5 m. c) 54.5 m. d) 36.9 m. e) Nenhuma das respostas anteriores. _ áÊk.v =o . Resolução: Lembrando que V?, temos: 2g I02 = 5 Hui«* —
H„
AS
2 . 10
Hnl«* = 5 m De acordo com a figura, podemos escrever d — |Hmi*| -f- ASa', onde lASdl = So + Hmixl = 50 + 5 = 55 m. Então: d = 5 -f- 55 = >
cl = 60 m
Resposta: alternativa a.
3. MEDICINA DE SANTO AMARO — A velocidade do corpo ao cheqar ao solo é de: a) 43 m/s. d) 86 m/s. b) 10 m/s. e) Nenhuma das respostas anteriores. c) 33 m/s.
198
Resolução: Ao chegar ao solo, o corpo terá S = 0. Assim: V2=
Vo
— 2g(S -
= > Vc2= 100 4- 1 000
=>
S0) = >
V‘ = 102 - 2 . 10 .
v;’ rrr 1 100 = >
(0
- 50)
=>
V, - -3 3 m /s
O sinal menos (—) indica que o movimento c desenvolvido contra a orientação do referencial adotado. Admitindo que o enunciado se refira à intensidade da velocidade de chegada, teremos Vc s* 33 m/s. Resposta: alternativa c. 4. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Sabendo que um projétil foi im pelido verticalm ente de baixo para cima com velocidade de 250 m/s. qual a altura atingida pelo projétil? a) 25 m bO 250 m cj 3 125 m d) 8 375 m e) 9 375 m Resolução: Lembrando que para o sistema de referência indicado na figura H„
Võ 2g
V = 0
-, então: Hnit
H =>
(250)* _ 62 500 _ 2 . 10 20 Hmá* — 3 125 m
Resposta: alternativa c
Referencial
v
____( r~
So 5. PUC (SÃO PAULO) — Um projétil é atirado verticalmente de baixo para cima com velocidade Vo — 25 m /s. Uma pessoa situada a 30 m de altura vê o projétil passar na subida e. após um intervalo do tempo At , o vê voltar . Desprezando a re sistê nc ia do ar c su
pondo a aceleração local da gravidade rido entre as duas observações foi de: 10 m /s'2, o tempo At decor a) 0.5 s. b) 1.0 s. c) 2.0 s. d) 2,5 s. e) 3,0 s.
- * rí \ r
199
Resolução: Orientando o referencial verticalmente para cima a partir do ponto de lançamento, teremos: S,j r 0 m V<, — 25 m/s a = —g — —10 m /s2 S = 30 m Assim: S — Sn
V0t -f — 2
5t2 - 25t -j- 30 = 0
at2
30 = 0 + 25t -
t2 — 5í
I
m—
—
1
10t2
K"
I ts = 3 s Portanto, o móvel passará pelo observador durante a subida (instante 2 s) c durante a des cida (instante 3 s). gastando para isso um intervalo de tem po At = 3 — 2 = I s. Logo:
! At — 1 s
Resposta: alternativa b.
1
6. MEDIC INA DE SANTO AMA RO — Um nadador pula vertic alm ente de um trampolim de 10 rn de altura. Ao atingir a água, sua velo cidade é dc. aproximadamente: a) 20 km/h. b) c) d) e)
50 km/h. 58 km/h. 60 km/h. 72 km/h.
Resolução: Orientando o refe rencial para baixo, a partir do trampolim, poderemos escrever: So = 0 m
•= 0
S = 10 m a = -f-g = + 1 0 m /s2 V|, r 0 m/s Portanto:
\
V2 = V,; + 2a(S - So) = * V2 = 0 + 2 . 10 . ( 1 0 - 0 ) = > V2 = 200 => __ = > V = 10 \ Í2 m/s = > = > V s í 14 m/s
200 Como 1
km 3 ,6 ---------, decorre:
m
m V = 14 -----= 14 . 3,6 = s
V 5- 50 km/h
Resposta: alternativa b.
7. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Um corpo em queda livre, par tindo co repouso, percorre certa distância d vertical após 2 se gundos de queda. Logo, a distância pe rcorrida em 6 segund os, contados desde o início da queda, será igual a: a) 9d. b) Gd. c) 12d. d) 2d. e) 3d. Resolução: Orientando o referencial verlicalmentc para baixo, pode mos escrever: S = So -f V0t -r
— gt2 ==> 2
=> S — So= V 0t-f- — 2 = > AS = V,,t
+
I
AS
gt2==>
Referencial
gt2
~
Como o corpo é abandonado, Vo = 0.
AS
1 Portanto: AS — — gl*Para t = 2 s, AS = d. Logo, d = — g . 22 2 Para t = 6 s, AS’ ^
g = ---- (D 2
I g . 6a = > AS’ = ---- g . 36 = ----
=> A S’ = 18g (2) Substituindo (1) em (2), vem: AS’ = 18
[ AS’ = 9d
Resposta: alternativa a.
'i& n d â m
8.
201
PUC (SÃO PAULO) — De um helicóptero que desce verticalmente é abandonada uma pedra quando o mesmo se encontra a 100m do solo. Sabendo que a pedra leva 4 s para atingir o solo e supondo g = 10m /s 2, a velocid ade de descida do helicóptero, no momento em que a pedra é abandonada, tem valor igual a: a) b) c) d) e)
25 20 m/s. 15 m/s. 10 m/s. 5 m/s.
Resolução: Desprezando as influências do ar e adotando um referencial vertical orientado para baixo com srcem no ponto em que a pedra foi abandonada, podemos escrever: S = 100 m
S0 — 0 m
Vo = VM a = 4-g = 4-IO m/s*
9
t = 4s Logo, sendo S = S0 -j- V0t • +
1
'I
at2 = > 100 = 0 4-
2
----
Vm .4+
. 10.4*
1
20
1liei
Vw — 5 m/s Resposta: alternativa c.
9. ENGENH ARIA DE SÃO JOS É DOS CAMP OS — Um corpo cai em queda livre percorrendo a primeira metade de sua trajetória em 1 s. A trajetória inteira será perco rrida em: a) 2 s. b) (1 + 0.5) s. c) V2s. d)
1
V"2
s.
e) Nenhuma das resp ostas anteriores.
202 Resolução: Adotando o referencial vcrticalrncnte orientado para baixo, ccm srcem no ponto onde o corpo foi abandonado, teremos: V0 = 0 m/s, S„ = 0 m e a = -f g = -4-10 m /s 2 Logo, S =
— gl2.
Para a primeira metade da trajetória, teremos: S '= — 2
. 10 . 12=5
S’ = 5 m
Como S = 2S\ teremos S = 10 m. Para a trajetória toda, vem: 1 2 S = — gtT 2
10 = — . 10tr 2 Origem
tv — V 2 s
$
Referencial
?
Resposta: alternativa c.
10. CESCEA — Do alto de um edifício abandona-se uma pedra no instante exato em que, d o solo, lança-se ou tra pcd 'a. ver t ca l mente. com velocidade inicial apenas suficiente para atingir o topo do aedifíc io.doAssolo, duasequivalente pedras devem se cruz ar a uma altura , medida partir a: a) 75% da altura do edifício. b) 25% da altura do edifício. c) 60% da altura do edifício. d) 50% da altura do edifício. e) Nenhuma das anteriores.
203
Resolução: • Cálculo da altura do edi fício: A pedra lançada do solo (pedra 2) terá altura máxima h equivalente à altura do edifício. Assim, orientando o referencial verticalmente para cima a partir
VÍ
do solo, teremos h
(D-
2g • Função horária da pedra 1:
Podemos escrever ht = h(li -f- V0i t — -i— 2 gt2, onde h0l = h e V0l = 0. Logo, hi — h — — gt2. 2
Võ
Substituindo (1), vem hi
---- gt* (2). 2
2g
• Função horária d a pedra 2:
1 h0 -f- V„ t — ---- gt2.
Podemos escrever h2
2
2
2
Observando que V0 _ V0 e h(. = 0, temos: h2 — V0t------— gt2 (3) 2 • Kncontro das pedras: No encontro, hi = h2. De (2) c (3), vem 1
ví 2g
gt* = V0t V*
2
gf
= V0t
2g V,
2g Substituindo em (2), temos: •
Vo
1
hi = -----------------g 2g 2
ví 4g2
V.. 2g
Võ H
. 3 => h, = ----
_V^ 2g
204
Lembrando que
Vo
h, vem ht =
h, = 75 %h
2g Resposta: alternativa a.
1. MEDICINA \ DE POUSO ALEGRE O vulcão Sangay, no Equador, é o mais turbulento da Terra. Ele é capaz de projetar lava a uma altura de 12,5 km. A velocidade com que a lava isado vulcão deve ser da ordemde (despreze as variações da aceleração da gravidade com a altitude): a) 1.8 . 108 km/h. d) 140 km/h. b) 25 . 104 m/s. . c) 16 km/h. c) 500 km/h. 2. MEDICINA DE POUSO ALEGRE" Uma bola é lançada para cima com uma velocidade do 20 m/s (g = 10 m/s2). Indique a afirmativa errada (despreze a resistência do ar): a) b) c) d) c)
A bola atinmais ge uma ra de 20 m. No ponto alto altu a velocidade da bolac nula. No ponto mais alto a aceleração da bola é nula. A bola retorna ao ponto de partida com uma velocidade de 20 m/s. A bola volta ao pont o de partida depois de 4 s.
3. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade V„ e retorna ao ponto de partida após T segundos. Desprezando a resistência do ar.indique o gráfico que, mais propriamente, representa a velocidade (V) da bola cm função do tempo (t):
205
4.
ENGENHARIA DE SANTOS — Lança-sc um corpo verticalmente para cima. No instante cmque ele pára: a) é nula a velocidade do móvel. b) é nula a aceleração do móvel. c) é nula a força que age no móvel. d) é nulo o impulso no móvel. e) Nenhuma das alternativas anteriores é correta.
5. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um projétil é lançado vertical mente para cima com a velocidade de 200 m/s. A velocidade vetorial média de pois que o projétil atinge novamente o solo é de: a) 4.00 m/s. b) 200 m/s. c) 100 m/s. d) 0 m/s. e) Nenhuma das anteriores. 6. MEDICINA DE SAN TO AMARO — Em relação ao teste anterior, a dis tância total percorrida pelo projétil foi de: a) b) c) d) c)
0 000 m. m. 2 4 000 m. 8 000 m. Nenhuma das anteriores.
7. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO Um morteiro lança uma gra nada, verticalmente, com m u a velocidade inicial de 400 m/s. Desprezando-sc a resistência do ar e sendo a aceleração local da gravidade igual a 10 m/s-, podemos concluir que a altura máxima alcançada pela granada, cm metros, é de: a) 12 000. d) 4 000. b) 10 000. c) 8 000.
e) 6 000.
8. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — Em relação ao proble ma ante rior, o tempo que a granada leva para atingir a altura máxima, cm segundos, é de: a) 20. d) 40. b) 10. e) 50. c) 30.
20 6
9. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Em uma experiência de laboratório verificou-sc que a velocidade de lançamento de um corpo, para que este atin gisse uma cena altura, era V, quando lançado verticalmente. Um aluno repete a experiência, porém imprime ao corpo uma velocidade 2V c conclui que, ão atingir a mesma altura do primeiro ensaio, o corpo tem velocidade: a) b) V.
C )V 3V .
c) 10, CESCEA — Um foguete com combustível próprio sobe vcrticalmcntc com velocidade constante até uma altura h. quando termina o combustível; daí, cai livremente. Qual dos gráficos representa melhor o espaço percorrido (S) pelo foguete cm função do tempo (t>?
e) Nenhuma das respostas anteriores. 11. MAPOFEI — Um tijolo cai, de um prédio em construção, de uma altura de 20 m. Qual a velocidade do tijolo ao atingir o solo? Quanto tempo gasta na queda? Desprezam-se as resistências opostas pe lo ar ao movimento. (Adotar g = 10,0 m/s2.) 12. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — De uma ponte deixa-se cair uma pedra que demora 4 s para chegar àsuperfície da água. Sendo a acele ração local da gravidade igu al a 10 m/s-, pode-se concluir que a altura da ponte, em metros, c de: a) 40. d) 90. b) 80. , c) 60. c) 110. r-
207
13. MAPOFEI — Ã altitude de 20 m abandona-se uma bola de chumbo cm repouso. Adotar g = 10 m/s2. Com que velocidade a bola atinge o solo? 14. MEDICINA DE ITAJUBÁ Um corpo em queda livre caiu de uma altura h. Se ele partiu do repouso, qual será sua velocidade após ter percorrido ——h? 3 a) b)
fib 2
d) V
3 íh
e ) vr
-gh
n
-gh \
c) 4 - 8h 15. CKSGKANRIO — Você deixa cair, a partir do repouso, urna bilha de aço do uma altura h,. c mede um tempo t, ate que ela atinge osolo. De que altura ha você deve deixar cair esta bilha, também a partir do repouso, para que o tempo de queda seja 2tt? u) ha = 2hj b) ha = 4hx
e) h... =
\ f l hj
16. UNIVERSIDADE DO PARA Um balão desce, verticalmente, com velocidade constante; à altura de 100 m, um objeto desprende-sedo balão e atinge o solo após4 s. A velocidade de descida do balão, considerando g = 10 m/s2, é de: a) 5 m/s. d) 10 m/s. b) 25 m/s. c) 9 m/s. c) 15 m/s. 17. MEDICINA DE TAUBATÉ — Um pára-quedista, quando a 120m do tolo. deixa cair uma bomba. Esta leva 4 s para atingir o solo. Qual a velo cidade dc descida do pára-quedista? (g = 10 m/s2) 1 m/sk) d) 8 m/s b) 2 m/s c) 10 m/s c) 5 m/s* *M. UNIVERSIDADE DO PARÁ — largamos um corpo de uma altura dc l-M m. Queremos dividir a altura de queda cm duas partes tais que sejam pcicorridas em tempos iguais. Supondo g 10 m/s2, podemos di/cr que »»» partes serão iguais a: «) 25 m e 119 m. d)44 m c 100 m. b) 2Hm c 116 m. ç) 72 m c 72 m. u) .16m c 108 m.
208
19. CESGRANRIO — A laje do teto (3) de uma sala deixa gotejar água da chuva, caindo as gotas co m freqüência constante. Uma fotografia instantânea mos ( 2) tra que as distâncias entre três gotas consecutivas são. respectiva mente. 30 cm e 50 cm (ver figura). Concluímos que. desde que a resistência do ar seja desprezível, a gota que caiu antes da gota(1) se encontra, abaixo desta, a urna (1)' distância de: a) 50 cm. d) X0 cm. b) 70 cm. e) 40 cm. c) 20 cm.
30 cm
50 cm
20. CESCEA — Um menino solta uma bola de gude de um apartamento a uma altura h do solo. A bola, logo após chocar-se contra o solo, retorna com uma velocidade 20% inferior à que tinha imediatamente antes do cho que. A máxima altura atingida pela bola será de (desprezar visco a sidade do ar): 1 20 a) -----h. d) -----h. 10 25 b) — h. 0
e) h.
c) — h. 25 CESGRANRIO Uma pequena bolasuperfície de borracha elástica) cai verticalhorizontal, onde mente a partir do—repouso, bate numa dc(aço repica, etc. Desprezando a resistência do ar. qualdos seguintes gráficos melhor representa a velocidade da bola em função do tempo?
209
22. UNIVERSIDADE DO PARÁ Duas bolas são lançadas, simultanea mente, de uma mesma altura 11, com velocidades verticais Vx e Vs: uma para cima e outra para baixo. Desprezando a resistência do ar e sendo V, = V V, o atraso na chegada de uma das bolas ao solo, relativamcntc à outra, é: 2V2 2V d) a) g Í5 e) 2H b) V2 Vg 8 H c) V 2.%, AMAN — Considerando-se que a velocidade do som no ar é de 320 m/s, deixa-se cair uma pedra em um poço. ouvindo-se o som do choque contra O fundo 4,25 s após a pedra ter sido solta. A profundidade do poço é de: u) 35 m. d) 75 m. b) 52 m. c) 80 m. 2
c) 60 m. 24. I I A — Cinco bolinhasde aço estão presas por eletroímãs ao longo de uma reta r de equação y = kx. As bolas estão em posições cqüidistantcs. tais que d 0.5 m. Uma bolinha () pane da srcem ao longo de x (mesa horizontal icm atrito) com V = 2 m/s, constante, no mesmo instante cm que todas as outras são desligadasdos eletroímãs. Assinale abaixo o valor de kpara que O se choque com a bola n.° 4. (Usar g= 10 m/s-.)
•») 0.62 1») 1,25 o) 1,87
210 25. PUC (SAO PAULO) De cois ponto? A e B situados sobre a mesma ver tical, respectivamente a 45m e 20 m do solo. deixa-se cair, no mesmo instante, duas esferas. Uma prancha se desloca no solo horizontalmcntc, com movimento uniforme. Observa-se que as esferas atingema prancha em pontos que estão a 2 m de distância um do outro. Nessas condições, supondo g = 10 m/s- e desprezando a resistência do ar. podemos afirmar que a) 2.a velocidade da prancha, em m/s, d) 1.é de: b) 3. e) 2,5. c) 4. 26. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Uma partícula é lançada vertical mente, no vácuo, com velocidade inicial V0 . Como se sabe, sua velocidade decresce continuamente di.rante a subida e cresce continuamente durante a descida. Julgar as afirmativas, indicando seestão certas ou erradas: a) O vetor-aceleração da partícula é o mesmo na subida e na descida. b) Em cada ponto da trajetória o vetor-velocidade da partícula tem a mesma e na descida. c) intensidade Na descida, na ao subida passar no ponto onde foi lançada, a intensidade do vetor -velocidade da partícula é V0 e seu vetor-aceleração é igual àquele no topo da trajetória, onde sua velocidade é nula. d) O tempo gasto na subida é maior que o gasto na descida. 27. IN ATEI. — Atira-se verricalmente uma bola de forma que, ao fim de 4s, retorna ao ponto departida. Calcular a velocidade iniciai com que foi lan çada. Admitir g — 10 m/s2. 28. IME — Um projétil é al nçado verticalmente do solo com velocidade inicial de 200 m/s. A uma altura II a carga do projétil explo de; o ruído da ex plosão no solode1510s m/s2 após opara lançamento. Despreze a resistência do ar eé recebido use os valores a aceleração da gravidade c de 300 m/s para a velocidade do som. Calcule: a) o intervalo de tempo entre o lançamento e a explosão. b) a altura em que se deu a explosão. 29. FUVEST — Duas bolinhas são lançadas verticalmente para cima, a partir dc uma mesma altura, com mesma velocidade inicial de 15 m/s mas com intervalo dc tempo dc 0.5 s entre os lançamentos. a) Dcsprc/ando a resistência do ar, faça, num mesmo sistema de eixos, os gráficos da velocidade em função do tempo para as duas bolinhas. Indi eixos asetnunidades medida. b) que Qualnos o instante que as dc alturas das duas bolinhas coincidem? Justi fique. 30. EAAP — Do topo de um edifício deixa-se cair,a partir do repouso, uma pedra que leva 2 s para atingir o solo. Supondo que a aceleração da gravi dade do lugar seja 10 m/s2, pedem-se: a) a velocidade com que a pedra atinge o solo. b) a altura do edifício.
31. MAP0FE1 — De uma ponte de altura h = 20 m, um menino deixa cair uma pedra com a intenção de atingir uma lata fl utuante. A correnteza tem velocidade V = 3,0 m/s. A que distância da vertical pela pedra deve si tuar-se a lata noinstante da iargada? Admitir g— 10 m/s2. 32. MAPOFE1 —Um elevador desce com velocidade V0 = 2,0m/s, quando o cabo sc rompe. Qual a velocidade após quedalivre h = 0,25 m? Admitir g = 10m/s2. 33. ITA — Um corpo cai, em queda livre, deuma altura tal que, durante o último segundo de queda, ele percorre 1/4 da altura total. Calcular o tempo dc queda, supondo nula a velocidade inicial do corpo. 1
----------s
a) b)
2 —y7
t_
2 2 + v'7
2
c) t =
2-yT
d) t =
s s
3 2
\ÍJ
—
4 3 —yT
1
ii 2. c 3. a 4. a 5. d
11.V
20 m/s: t = 2.0 s.
\J
li 13. V
20 m/s
14. e
21 n 24. d 25. o Jn
•) C
b) C;
c) C;
27. V0 - 20 m/s 28. • ) At bj II
10 s; 1 500 m.
d) E.
6. c 7.
15. b
c 8. d 9. e 10. c
16. a 17. e
18. c
19. b 20. c
21. a 22. a
212
b) As alturas das duas bolinhas coincidem 1.75 s após o ançamento da 1.* bolinha. 30. a) 20 m/s:
b) 20 m. 31. d - 6 m 32. V = 3 m/s 33. C
I
Introdução Uma mosca voa do chão de um carro até seu teto enquanto o veículo se desloca sobre uma estrada.
Conhecendo as características do movimento da mosca em reação ao carro (MOVlll/c) e as características do movimento do carro em relação a o solo (MOVc/J , desejamos determin ar as ca rac terístic as do movimento da mosca em relação ao solo (MOVm/J .
Análise do vetor-deslocamento Observando o esquema abaixo, podemos escrever:
' ï ;l=215
Ar„,/i é o vetor-deslocamento da mos ca em relação ao solo.
r
—>
Ar d/* — Ar:;i/c ■" à r t.h
Arinícé o vetor-deslocamento da mos onde< ca em relação ao carro. —7
v
Arc/J é o vetor-deslocamento do car ro em relação ao solo.
Análise do vetor-velocidade Para os vetores-velocidade podemos escrever:
I
V m/t é o vetor-velocidade da mosca em relação ao solo. = V»/i -r V ,/w
onde < Vm/C é o vetor-velocidade da mosca em relação ao carro. Ví/S é o vetor-velocidade do carro em relação ao solo.
Análise do vetor-aceleração
"4
^ Tm/s é o vetor-aceleração da mosca em relação ao solo. — > Jll/ • : V-n/c — Yc/s
onde <
r m-c é o vetor-aceleração da mosca em ,• . relaçao ao carro.
Tf/* é o vetor-aceleração do carro em v relação ao solo.
_____________________ _________________________________________________________ Esta relação somente é válida se os corpos envolvidos descreverem movimento de translação Em caso de rotação, uma terceira parcela será acrescentada no segundo membro da igualdade (aceleração de Coriolis).
T^adicionalmente, dá-se o nome de movimento relativo ao movi mento da mosca em re ação ao carro; de movimento de arrastamento ao movimento do carro em relação ao solo; e de movimento absoluto ao movimento da mosca em relação ao solo. — movimento relativo MOV./»movimento de arrastamento MOVni/h movimento absoluto
MOVm/c
Ou seja:
Aplicações •
A teoria discutida pode ser aplicada nos seguintes casos: Determinação dos elementos veto riais associado s ao movimento
de um passageiro que se desloca no interior de um trem.
/> ^ v
217
• Determin ação da velocid ade de um barco em relaçã o às marge ns, conhecendo a velocidade do barco em relação às águas e a das águas em relação às margens.
/ - ■ ff?
*•
u ;ri® %
%
Jk
.
— VelocMade^ rftr bSfS íPéro relaçã o
$ ò água; Velocidade :ia
C
- w r :'
^
5c
\*e -
.x-VelocdScfe Mm
-----------uJaJjgua.
Velocidade do barco em relação à margem.
Velocidade do ba^ço em relação à margem.
• Determinação da velocidad e das gotas de chuva que caem verti calmente em relação a um observador que caminha horizontalmente.
Lr
218
• Determ inação da veloc idade de um avião em relação ao solo, conhecendo a velocidade do avião em relação ao ar e a do ar (vento) em relação ao solo.
• Determinação da velocidade dos aviões que decolam de um porta•aviões que se move em relação ao mar.
• Determinação d a velocidad e da Lua em relação ao So l. conhe cendo a velocidade da Lua em relação à Terra e a da Terra em relação ao So I.
Lua Terra V
----------
• Aná ise do movimento de uma carga tran sfer ida de um local para outro, quando ela é elevada verticalmente ao mesmo tempo em que ó transportada lateralmente.
Generalização A ilustração abaixo esquematiza o raciocínio necessário para estudar o movimento de um corpo A em relação a vários referenciais (B. C. D e E): ^ ^ *
© ^©
% ©
O © Para a velocidade, por exemplo, teríamos: —> —> —> —> —> V A/D -f- V b/c +■ ■ V c/d -f-V d/ e = V a/e
Princípio da Simultaneidade
(Galileo)
Para nos a solução queSimultaneidade, envolvam a variável tempo, devemos lembrarde do exercícios Principio da enunciado por Galileo Galilei: "O movimento de um corpo pode ser imaginado como a com posição de outros movimentos realizados separadamente c ao mesmo tempo".
220
1. ENG ENH ARIA DE SÃO C AR LO S — Um barco a motor, desen volvendo toda a potência, sobe um rio a 20 km/h e desce a 48 krn/h. Qual a velocidade das águas do rio? a) 18 km/h d) 14 km/h b) 28 km/h e) Nenhuma das anteriores. c) 10 km/h Resolução: Sendo \ \ / u = velocidade do barco em relação às águas, —> —> V./t = velocidade das águas cm relação à terra e Vb/t = velocidade do —> barco em relação à terra, vem: Vb/i — Vi,/# -j- Va/t. Barco descendo o rio
y
Ve
b/e
"T 1 b,t Barco subindo o rio
Observando os esquemas acima, concluímos: barco descendo o rio: Vb/rt = Vb/a + V*/t = > 48 = Vh/a -f Va/ t (i) barco subindo o rio: Vb/t = Vb/a — Va/t = > 20 := V*,/« — \\/t (2) Somando (1) e (2), vem 68 = 2Vb/„ = Vb/4 — 34 km/h Substituindo em (1), temos: Va^t — 48 — Vb/a = > Vu/L 48 — 34 VH/, — 14 km/h Resposta: alternativa d.
/V ^
221
2. MEDICIN A DE ITA JUBÁ — Um barco atravessa um rio. seguindo a menor distân cia entre as margens, qu e são para lela s. Sabendo que a largura do rio é de 2,0 km. que a travessia é feita em 15.0 min e que a velocidade da correnteza é de 6.0 km/h, pergunta-se: Oual a intensidade da velocidade do barco em relação às águas? a) 2,0 km/h b) 6,0 km/h c) 8,0 km/h
d) 10 km/h e) 14 km/h
Resolução: Sendo. Vb/, s= velocidade do barco em relação às águas, — * —► V,/t = velocidade das águas cm relação à te rra c Vb/t = velocidade do barco em relação à terra, vem:
^t*/1 — ^
h / t
"f" ^ */l-
O barco vai atravessar o rio, perpendicularmente às margens, com movimento retilíneo uniforme. 1 Sendo L = 2,0 km e t = 15,0 min — ------h, vem: 4
Observando a figura, podemos escrever:
vf/H- v ;/t + Vb/t => vb2/t = 62+ 82= 36 + Ó4 Vb/4 = 100 Vt/a — 10 km/h Note que, para atravessar o rio perpendieularmente às margens, o barco deverá inclinar-se de modo a formar um ângulo a cm relação à sua pre tendida trajetória. Podemos, então, escrever: tga =
V. /,
6 8
..
tg a —
3 4
0,75 = >
a - 37 a|
V'
222 Complementação: Suponhamos que o barco lente atravessar o rio orientando-se perpen dicularmente às margens. Em vez de atingir a margem oposta no ponto A, irá atingi-la no ponto B, sofrendo um desvio representado pelo ângulo $.
Teremos, então: V'u/i 6 ií s 31° tg (3 — ------— = ------= >tg 0,6 = > Vj,/,, 10 Considerando o barco como ponto material, também podemos escrever: AB ------------------------— tg (í = > AB = L . tg 3 = 2 . 0,6 = > AB — 1,2 km Determinemos o tempo de travessia do barco: 2 0,2 h = > L = Vb/. . t
t = 12 min
10
Conclusão: Neste segundo caso o tempo de travessia é o menor possível, embora no primeiro caso a distância percorrida seja mínima. Resposta: alternativa d.
3. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um avião que viaja de uma cidade A a uma cidade B, com a velocidad e de 300 km/h em r elação ao ar. é atingido por um tufão de 60 km/h, que sopra a um ângulo de 60! relati vamente ao seu cur so. A velocida de do avião em relação â Terra, em km/h, 6 de: a) 334. b) 360. c) 240. d) 180. e) Nenhuma das respostas anteriores.
'I
I
223 lloioluçfio: Sendo VA/, = velocidade do avião em relação ao ar, V„/f = —*
velocidade do ar cm relação à terra c VA/t = velocidade do avião em relação à terra, temos: VA/t — VA/â -f- Va/t
V vi = VAA + V~/, - 2 . VA/â . Vn/t . cos 120° => ->
= 3002 -J- 60*’ — 2 . 300 . 60 . ^-----l—
)
=>
>V Í/t = 90 000 4- 3 600 -f 18 000 = 111 600 => > V j/t = 111 600 = > ! VA/t - 334 km/h Kcspn.sta: alternativa a.
4
O enunciado abaixo refere-sc às questões 4 e 5. Um carro move-se a 80 km/h sob uma tempestade. Seu motorlnta observa que a chuva deixa, nas janelas laterais, marcas inclinndns que formam um ângulo de 80* com a vertical. Ao parar o curro ele nota que a chuva cai v erticalmente. São dados ainda: Non 80° = 0.98 e cos 80° — 0.17. Ml DICINA DA SAN TA CASA — Supondo constante o valor da volocldade de queda da chuva, pode-se afirmar que esse valor d. em relação ao carro parado, mais aproximadamente igual a: ii) 82 km/h. d) 14 km/h. b) 80 km/h. e) 10 km/h. C) 78 km/h.
224 — >
Resolução: Sendo V a/t = velocidade do automóvel em relação à torra, —» _ —* Vc/a = velocidade da chuva cm relação ao automóvel e Vo/t = velocidade da chuva cm relação à terra, temos: VcA = Vc/. + V./,
Da figura, vem: V
= tg 80° => v c/«
Vc / t
V>/t tg 80°
___ «o_ 0,98
80
a 14 =>
5,7
0,17 V,yi ~ 14 km /h Ouando o carro parar, a velocidade da chuva cm relação ao carro coincidirá com a velocidade da chuva cm relação à terra, ou seja: V c/t — ^
c/ a
—
VV/n saí 14 km/h
Resposta: alternativa d.
5. MEDICINA DA SANTA CASA — O valor da velocidade da chuva, em relação ao carro, enquanto este está se movendo, é mais aproximadamente igual a: a) 82 km/h. d) 14 km/h. b) 80 km/h, e) 10 km/h. c) 78 km/h. Resolução: Da figura da questão 4, vem: V.A _____ Va/l sen 80° c/a sen 80° c/a
_
Vc/â es 82 km/h Resposta:
alternativa a.
Vc/a =
80 0,98
6. MAPOFEI — Uma roda de raio R — 0,25 m rola sem escorregar sobre um plano horizontal. Um ponto P do seu eixo geométrico tem velocidade constante V, com intensidade igual a 4,5 m /s . O ponto A da periferia é fixo em relaçáo à roda e, no instante t = 0 s , coincide com o ponto O, srcem do sistema de eixos cartesianos —> ortogonais xOy, com Ox horizontal e paralelo a V e Oy vertical.
aj Calcule a velocidade angular do ponto A em relação ao ponto P. b) Calcule a intensidade da velocidade de A cm relaçáo ao sistema ~ 3T xOy, no instante t = -----. sendo T o tempo necessário oara 4 que a roda efetue uma volta completa. Resolução: Os pontos da roda estarão dotados de dois movimentos simultâneos: • Rotação: os pontos da roda terão movimento circular uniforme em relação ao seu eixo central. Assim, os pontas da periferia terão velocidade Vr cm relação ao centro P (velocidade relativa).• • Translação: o eixo central tem velocidade Vt em relação ao solo (veloeidade de arrastamento). Assim, todos os pontos da roda estarão dotados dc velocidade de translação V,.
226
Conclusão: Os pontos da periferia da roda terão velocidade absoluta
(cm relação ao solo) igual à soma vetorial das velocidades dc translação e rotação, ou seja: V,b» = Vt + VP Como a roda não escorrega,
seu ponto de contato com o solo possui Vab% nula. Assim, necessariamente, Vt = Vr.
Designaremos V, e Vr por V, simplificadamcnte. O ponto de contato com o solo é denominado centro instantâneo dc rotação. a) Sendo V = 4,5 m /s , cm relação ao centro geométrico P, teremos: V 4,5 to = ------==> to = ----------= > R 0,25
o> — 18 rad/s
b) Quando t = -----, a roda 4 3 efetua ------de volta. 4 Assim, o ponto A sc localizará na extremidade direita do diâmetro horizontal. Em relação ao solo, teremos: V a = V2 -1- V2 = 2V2 = > VA= V \ / T = 4,5
VA= 4,5
m/s
Resposta: to = 18 rad/ s e V A = 4, 5 y T m / s .
*
I. MEDICINA DE VASSOURAS — Um barco tem uma velocidade de 22,32km/h rio abaixo e de 13,68 km/h rio acima. Podemos dizer que a velocidade do rio é de: «) 5,00 m/s. d) 1,20 m/s. b) 7,20 m/s. e) 4,00 m/s. \
I
c) 4,32 m/s. i. PUC (CAMPINAS)— Um piloto deseja voar para Leste, de A até B . c. cm seguida, voar para Oeste, retornando a A. A velocidade do avião, no #(, é V' c a velocidade do ar em relação ao solo c U. A distância entre A c B é L c a velocidade do avião no ar, V', é constante. Suponha que ii velocidade do vento esteja dirigidapara l.este (ou para Oeste); nestas condições, o tempo de viagem de ida e volta será: u) t = b) t =
2LV' V' - U LU V' - u
c) t =
2LV'
V'2 - U2 2L d) t = V' c) Nenhum dos valores acima. 3. FATEC — Uma ferrovia estende-se paralclamente a uma rodovia. Um automóvel, a 108 km/h, ultrapassa um trem de 180 m que corre a 72 km/h. (1) Sc os sentidos forem concordantes , a ultrapassagem demora I8s. (2) Sc os sentidos forem opostos, a ultrapassagem demora 3,6 s. (3) Sc o trem estivesse parado c o automóvel passasse a 36 km/h, a ultra passagem demoraria J8 s. u) Somente (1) é correta, b) Somente (1) e (2) são corretas, e) Todas as afirmativas são corretas. d) Nenhuma das afirmativas é correta. e) Alternativa diferente das anteriores.
228
4. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Uni canociro, usando um barco que desenvolve uma velocidade de 20 m/s (cm relação à margem), atravessa um rio de lOOm dc largura, dirigindo-sc perpendicularmente às margens. O tempo gasto na travessia é de: a) 2.85 s. b) 4,0 s. c) 6.67 5,0 s.s. j d) c) Não é possível calcular sem se conhecer a velocidade da correnteza. 5. FATEC — Em relação ao ar, um avião voa para Leste com velocidade de 120km/h, e está sujeito ao vento sul com velocidade de 50km/h. Julgar as afirmativas: (1 ) 0 avião voa aproximadamente para ENE (és-nordeste). (2) A velocidade resultante do avião é de 130 km/h. (3) Se o avião voasse para o Norte, sua velocidadeseria dc 170 km/h. 6. ENGENHARIA DE SÂO JOSÊ DOS CAMPOS Um cidadão caminha com velocidade de 1 m/s sob a chuva. Para não sc molhar, ele mantém seu guarda-chuva inclinado de modo a formar um ângulo <|> em relação à vertical. A tangente de é igual a 0,25. Neste caso, a velocidade da chuva que cai vcrticalmente c de: a) 4 m/s. d) 0,10 m/s. h) 5 m/s. e) Nenhuma das respostasanteriores, c) 0.25 m/s. 7. MACKENZIE — Um motorista, dirigindo a 100 ^ k m /h sob uma tem pestade, observa que a chuva deixa, nas janelas laterais, marcas inclinadas que formam um ângulo de 60° com a vertical. Ao parar o carro, ele nota que a chuva cai vcrticalmente. Podemos afirmar que a velocidade da chuva relativa ao carro, quando ele estava em movimento, era de: a) 200 km/h. d) 180 V^km/h. b) 100 y'Tkm/h. e) Nenhuma das anteriores. c) 200yTkm/h. Dois corpos sc encontram a uma certa distância quando começam a deslocar-sc sobre uma mesma reta, aproximando-se um do outro. Os gráficos da velocidade do corpo I c do deslocamento do corpo II em função do tempo são mostrados abaixo:
1
2
3
4
5 tfs)
Supondo que o corpo I sc encontre na srcem dos espaços no instante t 0 s, responda às questões de números 8 e 9. H. ClíSCEA - Qual a distância inicial entre ambos? «) 70 m d) 120 m b) 80 m e) 130 m c) 100 m V. CliSCEA — Qua! a velocidade do cor po I em relação ao corpo II no primeiro segundo? d) 40 m/s u) —10 m/s b) —20 m/s c) 70 m/s c) 30 m/s 10. AMAN — Dois carros partem oo mesmo tempo do ponto A mostrado na figura. O primeiro vai em direção ao ponto B com velocidade constante de 40km/h e o segundo vai em direção ao ponto C com velocidade constan te de 30 km/h. Qual a velocidade escalar do primeiro cm relação ao segundo? a) 80 km/h b) 70 km/h c) 60 km/h d) c) 50 40 km/h km/h II
I UVEST — Um cilindro de madeira de 4,0cm de diâmetro rola sem desli zai entre duas tábuas horizontais móveis A e B. como mostra a figura. I m determinado instante, a tábua A se movimenta para a direita, com velocidade de 40cm/s. e o centro do cilindro se move para a esquerda, com veloeidude de lOcm/s. Qual é, nesse instante, a velocidade da át bua B em Intensidade e sentido?
230
12. FEI — Uma roda de raio R = 20 cm rola sem escorregar, paralelamente a um plano verti cal fixo. O centro C da roda tem velocidade constanteVrc — = 5 m/s. Qual a intensidade da velocidade ponto BAB no éinstante ododiâmetro paraleloem ao que pla no de rolamento? 13. ENGENHARIA MAUÁ — Um automóvel trafega com velocidade cons tante V = 72km/h. As suas rodas tèm diâmetro I) = 0,50 m e rodam sem escorregar. Determine: a) a velocidade angular dc rotação da roda em relação ao seu eixo. b) a velocidade instantânea, em relação ao solo, do ponto da roda que c simétrico daquele que faz contato com o solo. 14. -sc FEIcom — velocidad Um automóvel, e constant cujeas, percorrendo rodas possuem a distância um diâmetro d = 56,5 d = km 0.5 m, no mov inter evalo de tempo At = 30 min. Determinar: a) sua velocidade, em m/s. b) o número de rotações por minuto de cada roda. Adotar = 3,14. r.
1. d 2. c
3. c
4. c
5. [1) E (O avião tem a direção sul-lcste.) (2) C (3) E (O avião teria velocidade de 70 km/h em relação ao solo.} 6. a 7. a 8. c 9. e (Cuidado com V „ = —40 m/ s.) 10. d 11. V — 60cm/s para a esquerda. 12. V„ - 5 V T m /s 13. a) «o = 80 rad/s; b) V = 144 km/h. 14. a) V = 31.4 m/s: b) f = 1,2 . 103 rpm.
CfflTULO
9
Gstudo de umMovimento através de suas írojeções
232
Apresentação do problema Suponha que estejamos interessados em estudar o movimento de uma bola chutada por um goleiro ao bater o tiro de meta.
£ A análise desse movimento não é fácil, pois sua trajetória não é circular e sua velocidade tem intensidade variável, não apresentando nenhuma das características dos movimentos estudados anteriormente (movimento uniforme ou movimento uniformemente variado). Pcrém, se projetarmos o movimento segundo duas direções convenientes e estudarmos o comportamento dessas projeções, poderemos obter dados suficientes para reconstituir o movimento da bola.
w em d &
233
u
Projeções do vetor-posição Geralmcnte, a decomposição do movimento é feita segundo dois eixos ortogonais x e y. Assim, se um ponto mate rial P descreve um movimento qualquer seguindo a trajetória L num dado instante t, vamos estudar seu vetor-posição r. Projetando o ponto P nos eixos x e y, teremos: r = rx + ry — »
— »
Os vetores r s e rx são deno minados componentes vetoriais de r (grandeza vetorial). — ►
Ou seja:
— »
rx — componente horizontal de r: — >
—+
ry — componente vertical de
r.
As intensidades desses vetores-componentes, associadas a sinais Indicativos de suas or ientações e m rela ção aos eixos x e y , são den o minadas projeções do vetor r(grandezas escalares). Assim, para a figura em questão: r(I) =
projeção horizontal de r; —>
r(r) = -f r y - projeção vertical de
r.
r , — componente do vetor-posição r segundo a direção x (grandeza vetorial); r, — intensidade do vetor-componente r,.; r(») — projeção do vetor-posição r no eixo x (grandeza escalar); r y
— componentedo vetor-posição r secundo a direção y (grandeza vetorial); — ►
T, — Intensidade do vetor-componentert ; t r — projeção do vetor-posição r no eixo y (grandeza escalar).
234
r~ — r'fx. -4 rf „
Podemos então escrever:
r xi — rcos a ri,) = rscn a
Projeções do vetor-velocidade No instante t. o ponto material P está sujeito a uma velocidade V. Os vetores-componentes V, e V* indicam os vetores-velocidade referentes ãs projeções do movimento. Assim:
Para as projeções dos vetores V* e V , , na figura em quest ão, te remos: V,x) = + V*
projeção horizontal de V *: —>
V ,v )= —Vy - projeção ve rtical de Vv.
(% frvaa% 2 ----------------------------------------------------------------------------V, — componente do vetor-velocidade V segundo a direção x (grandeza vetorial); Vx — intensidade do vetor-componente V ,; V(x) — projeçãodo vetor-velocidade V no eixo x (grandeza escalar):
Vy — componente do vetor-velocidade V segundo o direção y (grandeza vetorial); V, — intensidade do vetor-componente Vy ; V(y>— projeção do vetcr-veiocidade V no eixo y (grandeza escalar).
v —v ;xl i v:,> Podemos então escrever
V(x) — Vcos |5 V „, - Vsen 3
Projeções do vetor-aceleração — >
No instante t. o ponto material P está sujeito a uma aceleração y. — >
—>
Os vetores-componentes y x e Yy indicam os veto-e s-ace eração referentes às projeções do movimento. Yx : componente horizontal de y. Assim:
r~ r*
• r.v
onde-
— >
— >
Yy: componente ve rtic al de y. Ay
Y,
236
Para as projeções dos vetores yx e yy. na figura em questão, te remos: Yu) = -f
Y x
projeção horizontal de yx;
-
Y(y, = -f Yy - projeç ão vertic al de yy .
Y x — componente do vetor-aceleração y segundo a direção x (grandeza vetorial): y x — intensidade do vetor-componente y x; Yj0 — projeção do vetor-aceleração
no eixo x (grandeza escalar):
y^ — componente do vetor-aceleração y segundo a direção y (grandoza vetorial): v y — intensidade do vetor-componente y v; —
j.
. . . . ------1. — s_
Podemos então esc rev er:
— ♦
n0 (JjX0 y (grandeza escalar).
r = r m f Y?,) y lx. — yc oso Yiy> — Tsen v.
. . v=
: v<3
pn ^
Funções horárias das projeções Como os movimentos descritos pelas projeções do ponto ma terial P são retilíneos, os módulos das grandezas vetoriais referentes aos movimentos serão iguais aos módulos das grandezas escalares correspondentes.
moviPodemos, então, montar as funções horárias relativas aos mentos das projeções: S = f(t). V = f( t) e a = f(t) . diminando a variável t nas funções horárias S = f( t) das projeções. podemos obter a equação da trajetória do ponto material P. Exemplo:
Sejam y = 3 + 6t — ôt2 (1) e x = 2t (2) as funções horár ias das projeções do movimentode um ponto material P.
237
Podemos, ent ão, escre ver x — 2t => t = — . 2
Substituindo na expressão (1). vem:
y = 3- 6
(
y
) -
8
- ( t
V =
3x
2x2 = >
y = —2x2 -f 3x + 3
Assim, a trajetória do ponto material será uma parábola de equa-
Importante: Não confundir equação da trajetória (y X x) com função horária do movimento (S X t).
1. MAPOFEI — Um ponto material realiza um movimento plano tal que x = 1suas + 3tcoordenadas cartesianas são dadas pelas equações: y = 1 -f- 4t com x e y em metros e t em segundos. Determinar: a) a velocidade do ponto material. b) a equação da trajetória. c) a equação horária do movimento, tomando como srcem do espaços o ponto P(1, 1).
238 Resolução: A projeção horizontal do ponto material realiza um movi
mento retilíneo uniforme de função horária x = I + 3t, onde x„ = 1m e Vx — 3 m/s, constante. A projeção vertical do ponto material realiza um movimento retilíneo uniforme dc função horária y = 1 -f 4t, onde y0 = 1 m e Vy = 4 m/s, constante.
a) Podemos, então, escrever: V2 - V2 -f Vf- :=> V2 — 3a + 4- = 9 + 16
Da figura, vem: tg a = — — = — Vx 3 Portanto, o ponto material estará sujeito a uma velocidade de in tensidade constante igual a 5 m/s, com direção indicada pelo ângulo , 4 a cuja Rangente vale ------. 3 Seu sentido está indicado na figura.
23 9
h) Das funções horárias das projeções, vem: x =
1 -f
x—1
X — 1 3 t= > t1 =
3
> y = 1 -f 4 t = > t =
1
4
y — 1 ‘4
=> 3y —3 = 4 x —
4 = >
4
1
3
3
=>
A trajetória do móvel será uma reta de declive —
e que corta
o eixo v no valor — — m. 3 c) Ao iniciar a contagem dos tempos (t = 0 s), o móvel sc encontra na posição: t= H - 3 . 0 = 1) í y= x = 11 m (x = 1+ 3 m ( y=1-f - 4 t= l 4 .0=
1 )
Se adotarmos este ponto como srcem do referencial, teremos Srt — 0. Logo, sendo o movimento do móvel descrito com velocidade cons tante 5 m/s, teremos: S - 5t (SI) S = S0- Vt= > S = 0 + 5t=> Ou seja, o móvel descreverá um movimento retilíneo uniforme de função horária S — 5t no SI.
O movimento de um ponto material é descrito pelas equações x — 8t — 4t2 e y = 6t — 3t2 (SI). Esta explicação refere-sc às questões de 2 a 4. 2. MEDICINA DE SANTOS — A trajetória do ponto pode ser expressa pela equação:
3 b) y = — x. 4
C) y = 4 — 3 3x. d) y= — x. 2
e) Nenhuma das respostas anteriores. Resolução: Para a projeção horizontal do movimento do ponto ma terial, temos: X= 8t — 4t 2 = > x = 4( 2t — t- ) = > 2t — t- =
—
(1 ) 4
240
Para a projeção vertical do movimento do ponto material, temos: y = 6t — 3t2 = > y=
3(2t - t2) = > 2 t -
t2 = -y-
(2)
Comparando (I) e (2), vem:
Portanto, a trajetória do ponto material será uma reta que passa pela
3 origem, de declive — .
Resposta: alternativa b.
3. MEDICIN A DE SANTO S — A velocidade V do ponto pode ser ex pressa pela equação: a) V = 4-t-2 t. b) V = 10(1 - t). c) V - 1- t. 4 e) Nenhuma das resp osta s ant erior es. Resolução: O movimento da projeção horizontal do móvel é unifor-
memente variado. Assim, sendo x = 8t — 4t2, temos V0(í) = 8 m /s e a (X) = —8 m/s2. Logo, para Vm = V0(i) -f- a t, vem V (x) = 8 — 8t (1). O movimento da projeção vertical do móvel é uniformemente variado. Assim, sendo y = 6t — 3t2. temos V0|y| = 6 m/s c a (yl = —6 m /s2. Logo, para V(yl = Vfl r) -f a (y)t, vem V (y, ~ 6 — 6t (2). I
Lembrando que Va = V?x, + V*,,, subsliuiindo (1) c (2) temos: Va = (8 - 8t)2 + (6 - 6t)2 = 82(1 - t)2 + 62(l - t) 2 = > = > V2 = 64(1 - t)2 + 36(1 - t)2 = 100(1 - t) 2 = > V = 10(1 - t )
= > V = 10 — 10t (função velocidade de MUV)
Conclusão: () movimento do ponto material é retilíneo e uniformemente
variado, sendo progressivo entre os instantes 0 s c I s e retrógrado a partir de t = 1 s. Resposta: alternativa b. 4.
MEDICINA DE SANTOS — A aceleração do ponto é de: a) 4 m /s2. b) 3 m/s'-. c) (3/4) m/s2. 10 m/s*. das respostas anteriores. d) e) Nenhuma Resolução:
Lembrando que a — —8 m /s2 e
= —6 m /s 2, teremos: r 2 = r?*> + r7r> = 64
36 = 1 0 0 = »
Y = 10m /s2
=. y (>., —
242
Portanto, o vctor-aceleração do movimento terá intensidade 10m /s2, direção indicada pelo ângulo a tal que tg a = — , e sentido indicado 4 na figura. Resposta: alternativa d.
5. UN IVER SIDA DE DE JU IZ DE FORA — As equações d o movimento de uma partícula são x = 3cos t e y = 3sen t. Seu movimento é: a) retilíneo uniforme. b) retilíneo uniformemente variado. c) retilíneo uniformemente retardado. d) circular. e) Nenhum dos movimentos mencionados. Resolução: Sendo x = 3cos t, vem x2 = (3cos t)- = > x2 = 9cos2 t (1). Sendo y = 3sen t. vem y2 = (3scn t)2 = > y2 = 9sen2 t (2). Somando (1) e (2) membro a membro, teremos: x2 + y* = 9cos -f 9sen = > x2 + y* = 9(sen -f cosa t) v ___ j 2
1
2
1
2
1
Esta última expressão representa uma circunferência de raio 3 e centro na srcem do referencial.
Resposta: alternativa d.
wsT&nd/im
&
243
I. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — Em relação a um refe rencial cartesiano xOy, uma partícula se move segundo as equações x = 8t —4t- c y = I2t - 6t2 A equação cartesiana da trajetória será:
a) y =
3x 2 b) y = 14 - 10x. c) y = 2 + 2x.
•) 3y j . t. H) y/ T. t.
o) •! yTJ . (1 - t).
d) y = —3 -f- 5x. e) y = —2x.
d) 4t. c) y r • t.
244
4. CESCEA — O movimento de um corpo é descrito pelas equações abaixo, onde x determina sua posição na direção leste-oeste e y determina sua posi ção na direção norte-sul: x = —3 + 1 0 t c y = - 4 + 2t + 2t2 Sendo x cy dados em metros et em segundos, a velocidade escalar do corpo no instante t = 2 s é: a) 10 V?m /s. d) 9,4 m/s. b) 2 m/s. y /lB e) Nenhuma das anteriores. c) 20 m/s. 5. CESCEA — Na figura abaixo, a linha pontilhada indica um arco de cir cunferência de raio OP= 1 m, sobre o qual uma bola de tênis P é cons trangida a se mover com velocidade angular de intensidade constante ü) = —— rad/s. Em cada choque coma parece e o solo. o movimento da 2
bola inverte de sentido, provocando um movimento de vaivém. Conside rando que no instante inicial a bola P está em contato com o solo, qual dos gráficos seguintes indica o melhor deslocamento Q (projeção de P sobre o eixo - solo) em função do tempo ? x
A figura mostra dois gráficos, um representando a coordenada x e o outro a coordenada y, cm função do temp o, de duas esferas I e 2, de mesma massa, em movimentosobre uma superfíc ie plana. As que>tões de 6 a 8 referem-se a este enunciado.
6. CESCEA — Durante qual dos intervalos de tempo a velocidade das duas esferas foi nula? ft) (1 s, 2 s) b) (2 s, 3 s) c) (3 s, 4 s) d) (4 s, 5 s) 7. CESCEA Durante qual dos intervalos de tempo o movimento da esfera I foi paralelo ao eixo Ox com velocidade não-nula? a) (1 s, 2 s) b) c) (2 (3 s, s, 34 s)s) d) (4 s, 5 s) H. CESCEA — Em que inst ante as duas esferas sc choca ram? u) 1 s
1,5 s c) 2 s d) 3 s b)
246
A figura a seguir representa um móvel M em movimento circular uniforme, r. As duas próximas questões referem-se a com velocidade escalar V e raio esse enunciado.
9. CESCEA — Se V (*> segundo os eixos Ox c Oy da figura, e se o sentido do movimento for anti-horário, então: a) Vlx) é máxima c Vlv, mínima em C. b) V,x) é máxima e V e Vly) mínima em B. e) Nenhuma das respostas anteriores. 10. CESCEA A intensidade da aceleração centrípeta é: a) máxima cm A. b) constante c diferente de zero. c) constante c igual a zero. d) mínima cm A. e) Nenhuma das respostas anteriores. 11* FEI — O movimento de um ponto material é descrito pelas equações x —(t + 1)-' e y = (t + l) " 2, onde I representa tempo. Determinar a equa ção da trajetória descrita pelo ponto material.
1. a 2. d 3. c (0 módulo da aceleração é a 4. a (A trajetória d o corpo é uma 5. b G. c 7. d 8. b 9. c
11. y = -
1
10. b
CAPI TU LO
10
Lançamento Oblíquo noVdcuo
Introdução Ouando um canhão dispara um projétil não-verticalmente, num local onde a influência do ar é desprezível, se não houvesse a ação da gravidade seu movimento—>seria retilíneo e uniforme segundo a direção do vetor-velocidade V0. No entanto, devido à atração exercida pela Terra, o projétil vai caindo à medida que se translada, dc forma que. decorridos diversos intervalos de tempo, ao invés de se encontrar nas posições A, B. C, D o projétil encontrar-se-á, respectivamente, nas posições A\ B\ C \ D’.
O lançamento de um projétil, não-verticalmente, nas proximidades da Terra, livre das influências do ar. é a combinação de um movimento retilíneo uniforme com uma queda livre. Conclusão:
24 9
Lembrando que na queda livre, a partir do repouso, os desloca mentos es ca lar es são obtidos atra vés da expre ssão AS = —— gt\ 2 conforme vimos anteriormente, poderemos analisar a combinação de movimentos referentes ao lançamento de um projétil não-verticalmente. Na figura abaixo, no primeiro segundo de movimento, enquanto o projétil se desloca de uma distância d. sofre, simultaneamente, uma queda igual a AS. onde. para g = 10rn/s 2. teremos:
t
Analogamente, poderemos calcular os diversos valores de AS paru os Instantes t = 2 s. t = 3 s , t = 4 s , etc., construindo a tabela abaixo. Instante t(s)
Deslocamento retilíneo
0
0
1 2 3 4
d 2d 3d 4d
Queda vertical (AS) 0 5m 20 m 45 m 80 m
O movimento resultante é curvilíneo e sua análise é bastante complexa. Para estudar ess e movimento é nece ssá rio decompô-lo em dois eixos ortogonais.
25 0
Elementos de um lançamento oblíquo No lançamento oblíquo de um corpo no vácuo são elementos essenciais: •
V0 — velocid ade inicial de lançamento.
• •
a — ângulo de lançament o. g* — acelera ção local da gravidade.
Análise das projeções Vamos decompor o lançamento oblíquo de um móvel segundo as direções horizontal e vertical e estudar o movimento de suas projeções.
— r
Inicialmente, analisemos a aceleração y do movimento. A única aceleração a que está submetido o corpo é a da gravi__________ dade. Ou seja:
“
9
251 1
•
Componente r*: como g é vertical, não haverá componente hori— r
zontal da aceleração YOu seja:
Tx = 0
Logo. a aceleração escalar au>também será nula. isto é. a (x)= 0 . Conclusão: A projeção horizontal do móvel descreve um movimento retilíneo uniforme. — ►
•
— >
Componente Yy: como g é vertical, o vetor-componente-vertical da
aceleraçã o Ou seja:
coincide com a acelera ção da gravidade Tt =
g.
g
Assim, a aceleração escalar 6, a(y, = —g, consta nte.
a (y) será constante e igual a — g. isto
,r \ Conclusão: A projeção vertical do móvel descreve um movimento '"^retilíneo uniformemente variado.
Equações das projeções •
Projeção horizontal — MRU: x = Xo + V x>t Sendo V,*) = V0(x) e Vo(xl = V0cos a, vem: x = xo -f- Vocos a . t
252
Projeção vertical — MRUV: y = y. + V o, „t + — a r)t2 Sendo Vu : Vosen-----------a . t -----— gt~
Viy., — Vc.sen f — gt
V(yi = Vo(y, + 3(y)t
V(yi — Vnly, -f* 2a.»(y — yo)
V‘„ - VÔsen* a — 2g(y — y0)
Simplificações Para x0 = 0. vem:
x — Vocos a . t
(1)
1 y — Vosen a . t -------gt-
2
Para y0 — 0, vem:
V (y) = Vosen a — gt
2
( ]
VÍyl — Vosen2cf. — 2gy
Equação da trajetória
Da equa ção (1), vem t =
Vocos a Substituindo^em (2). obteremos a equação da trajetória do móvel = -
( --------------) ' 2V“cos*x '
+ (tg x) .
Esta equação representa uma parábola que passa pela srcem tio sistema xOy e tem concavidade voltada para baixo.
Conclusão: O movimento de um projétil lançado obliquamente no vácuo descreve uma trajetória parabólica, estando submetido a uma aceleração vetorial constante.
Casos particulares • Tempo de subida — O tempo de subida de um móvel lançado com velocidade inicial Vu sob um ângulo a. num local onde a acele ração da gravidade é g. será obtido quando a velocidade da projeção vertical se anular.
Ou seja:
t
t, <=> Vjr - 0
Logo, V ,r >= Vosen a — gt => 0 = V.,sen a — gt. Vosen a g
254
• Altura máxima (flecha) — 0 móvel atingir á sua altura máxima quando a velocidade da projeção vertical se anular.
Oj
se ja:
Logo.
víy,=
y — f< ^ V 7 — o Võsen8 a — 2gy => 0 = Vosen2 a — 2gf
• Tempo total — O móvel retornará ao plano de lançamento quando y = 0.
Ou seja:
t — tT <=> y —0
As sim , para y = V„sen a . t
---- gt2 2
0 = Vosen x . tT — — gtr 2
tr —
2V isen a
^
255
• Alcance hori zontal — O alcance horizontal do móvel ocorrerá quando ele retornar ao plano horizontal de lançamento.
Ou seja: x — D <= >t — Sendo x — Vocos a . t, vem:
tr
D = Vecos a
2V.,sen x
D
VÜ
. 2sen x . cos
x
sen 2a Observando a expressão do alcance, notamos que o mesmo valor do D será obtido para dois ângulos de ançamento comple mentares, desde que a velocidade inicial V0 seja a mesma.
Daj = Da. y <=> X: - a> — 90'
256
A intensidade da veloc:dade de chegada do móvel ao plano hori zontal de lançamento é igual à intensidade da velocidade de lança mento.
Análise da aceleração — >
— >
A aceleração vetorial do lançamento oblíquo é constante (y = g). Decompondo-a nas direções tangencial e normal à curva, obtemos as — >
acelerações componentes
— >
a , e ac , respectivamente, em cada ponto.
Importante: Como a intensidade da aceleração tangencial é variável, também a intensidade da aceleração escalar é variável. Logo. o lan çamento oblíquo não é um movimento uniformemente variado.
Lançamento horizontal no vácuo Una esfera move-se oom movimento retilíneo uniforme sobre uma mesa. Se caso não houvesse a atração da Terra, ao perder contato com a mesa. o corpo continuaria a se mover em trajetória retilínea, com a mesma velocid ade. Mas como há es sa atração, o corpo cai rá v ert i calmente. ao mesmo tempo em que se deslocará horizontalmente com movimento uniforme.
Lembrando que AS — —
gt2, para g = 10 m /s 2. teremos AS — 5ta.
Podemos, então, preencher a tabela seguinte. Instante t(s)
Deslocamento horizontal
0 1 2 3 4
0 d 2d 3d 4d
Queda vertical (AS) m
0 5 m20 m 45 80 m
258
Esquematicamente, teremos a figura a seguir, onde a trajetória do móvel é um arco de parábola. Considera -se d esprezível a in fluência do ar.
Mo lançamento horizonte), o vetor-coinponente horizontal da velocidade é sempre constante. O vetor-componente-vertical da velocidade tem intensidade crescendo linearmente com o tornpo a partir co repouso.
Para a projeção horizontal do movimento, vem
X -n Votl (1).
Note que. no instante do lançamento horizontal, o vetor-componente-vertical da velocidade é nulo. Ou se ja : V.»v = 0 ==> Vn( . - 0. Logo, para a projeção vertical do movimento, vem: gt2
(2]
De (1 ), vem t — -----. Vo Substituindo em (2). vem
x'-'
260
Considerações finais fato de essa teoria ser aplicada no lançamento de artefatos bélicos, o lançamento oblíquo de um projétil também recebe o nome de lançamento balístico. Pe o
Observe que, num lançamento horizontal e nuna queda livre simultâneos, os movimentos ve rtica is são idênticos. As sim , os corpos estarão sempre na mesma horizontal durante todo o movimento.
W'
■
l
I I
\ I
I I
I
1 .
UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Um projétil com massa m c lançado com uma velocidade V0, formando um angulo a com a horizontal, conforme mostra a figura. Desprezando a resistência do ar. pode-se afirmar que a sua velo cidade no ponto mais alto da trajetória é: a) b) c) d) e)
Vosen a. nula. Vi.cos a -f gt. V.sen a — gt. VnCOS a.
Resolução: No ponto mais alto da trajetória parabólica a projeção ver tical tem velocidade nula. Assim, a velocidade do projétil coincidirá com a velocidade da sua projeção horizontal. Como a projeção horizontal do lançamento balístico é um movimento retilíneo uniforme, seu vetor-velocidade será sempre constante e igual —> ao vetor-componente-horizontal da velocidade dc lançamento V0.
&
263 2. PUC (RIO DE JAN EIRO ) A curva C da figura abaixo repre senta a trajetória de um projétil disparado por um canhão na superfície da Terra . ConsideranOo desp rezível a resist ên cia do ar, indique —► qual das opções melhor representa o vetor-velocidade V e o vetor-aceleração a do projétil, quando o mesmo está no ponto A de sua trajetória.
Resolução: Livre da resistência do ar, o lançamento balístico está dotado de aceleração constante e igual à aceleração da gravidade (intensidade g = 9 ,8 m /s 2, direção vertical e sentido de cima para baixo).
y
264
Lembrando que a velocidade de um móvel é sempre tangente à tra jetória, no ponto A teremos os vetores velocidade e aceleração ilus trados. Resposta: alternativa c.
3. para FUNDcima AÇÃOnuma CA RLdireção OS C HAG — Uma jogada livremente queASforma um pedra ânguloé de 302 com a hori zontal no cairpo gravitacional terrestre, considerado uniforme. Ignorando o atrito com o ar, no ponto mais alto alcançado pela pedra a intensidade de: a) sua aceleração é zero. b) sua velocidade é zero. c) sua aceleração atinge um mínimo, mas não c zero. d) sua velocidade atinge um mínimo, mas não é zero. e) seu vetor-posiçãc, em relação ao ponto de lançamento, é má xima.
Resolução: No vértice da trajetória parabólica dc um lançamento balís tico, a velocidade tem intensidade mínima mas não-nula, conforme vimos no exercício 2
A aceleração correspondente será vertical e igual à aceleração da gra vidade. Embora seja constante e não-nula, a aceleração do movimento balístico não caracteriza um movimento uniformemente variado, pois sua aceleração componente tangencial, cuja intensidade c igual à da aceleração escalar, não é constante. No vértice da parábola a aceleração tangencial é mínima e de inten sidade igual a zero, enquanto que a aceleração centrípeta tem inten sidade máxima e é igual à aceleração da gravidade. Resposta: alternativa d.
265
4. MED ICINA DE SANTO AM ARO — Um projétil é lançado obliquamente para cima. com a velocidade de 100 m./s, numa direção que forma um ângu o de 60° com a horizontal. Após 4.0 s, a intensidade da velocidade vetorial do projétil é: a) 50 m/s. b) 87 m/s. c) 47 m/s. d) 69 m/s. e) Nenhuma das respostas anteriores. Resolução: Vamos decompor o movimento balístico segundo suas pro jeções: • projeção horizontal: V,x) — V„ Vw>= V0 cos = 100 . cos 60°
»
• projeção vertical:
V m
= Vrt)v) _ gt
v ir> = V0 sen — gt V ,„ = 100 . sen 60« - 9,8 . 4 =
joq
V„ ) 46,8 m/s Portanto, V = Vx -f- V,.. Donde: V = VX J, + V ", a V ===68,9 m/s Resposta: alternativa d.
VT ío F+ (46,8)2 s* V 4 700
.\
266
5. MED ICINA DA SANTA C ASA — Um canhão, em solo plano e hori zontal, dispara uma bala com ângulo de tiro de 30u. A velocidade inicial da bala é de 500 m /s. Sendo de 10 m /s2 o valor da acele ração da gravidade no local, a máxima altura da bala em relação ao solo será, em km, um valor mais próximo de: a) 3,1. d) 6,3. b) 3.5. e) 7,5. c) 4,5. Resolução: Lembrando que a flecha do lançamento balístico é dada V0 sen2a por I = iw * — ---------------, logo: 2g f _ (500)2 . sen2 30° 250 000 2 . 10 Portanto,
~
80
3 100 m = 3,1 km
|f s= 3,1 km 1.
Resposta: alternativa a.
6. MED ICIN A DE SANTO AMA RO — Um corpo é iançado obliqua mente para cima, formando um ângulo de 30° com a horizontal. Sabendo que o tempo de permanência no ar é igual a 6.0 s. con clui-se que a intensidade da velocidade de lançamento c: a) 10 m/s. b) 40 m/s. c) 60 m/s. d) 80 m/s. e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Lembrando que o tempo de duração de um movimento balístico, descrito por um corpo que parte c chega ao mesmo plano , . „ , 2V„ sen a horizontal, e dado por tT = --------------- entao: g .
.
.
,
2V„ sen 30° 10
V , = 60 m/ s
Resposta: alternativa c.
7. MEDICIN A DE SANTO AM ARO — Um corpo é lançado obliquamente para cima com velocid ade de 100 m /s . O alcance é máximo quando: a) a massa do corpo é igual a 10 kg. b) o ângulo de lançamento é 0®. c) o o ângulo d) ângulo de de lançamento lançamento é é 45°. 70°. e) o ângulo de lançamento é 90°. Resolução: Sendo o alcance horizontal de um lançamento balístico no x , a „ V0 sen 2a , ---------------, D sera maxano quando sen 2a for vacuo dado por D g máximo, o que oco rre para 2a — 90° ou a = 45°. Acima ou abaixo desse ângulo teremós lançamentos com alcances inferiores ao alcance correspondente ao ângulo de 45°.
Resposta: alternativa c.
268
8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A figura seguinte mostra as trajetórias de cinco projéteis (a, b, c. d. e) lançados no vácuo, numa região onde a aceleração da gravidade é consta nte. Todas as trajetórias estão num mesmo plano vertical e foram percorridas em tempos iguais pelos projéteis (a subiu e desce u). Qual deles foi lançado com maior velocidade escalar?
a) a b) b c) c Resolução: O tempo de duração dc um lançamento balístico é dado 2V0 sen a ,, tTg por tT — --------------- . . V„ sen a = ------- . g 2 Assim, para o mesmo tempo de duração, quanto maior V0, menor sen a. Para ângulos inferiores a 90°, quanto menor o sen a, menor o valor do ângulo a. Conclusão: A velocidade de lançamento será maior quanto menor for o ângulo de inclinação. Portanto, o móvel c terá maior velocidade dc lançamento, já que seu ângulo dc inclinação é o menor de todos os apresentados. Resposta: alternativa e.
9. ENGENHARIA DE LOREN A — Um canhão dispara um projéti l sobre o mar. horizontalmente, com uma velocidade inicial de 400 m/s, de um ponto situado a uma altura de 100 m acima do nível do mar. Quanto tempo o projétil gastará para atingir a água? (Dado: g = 9,8 m/s 2.) a) 4.5 s. d) 2 s. b) 3 s. e) 2,5 s. c) 3.5 s.
C è^ i£m á&u
269
Resolução: No lançamento horizontal, a projeção vertical terá velo cidade inicial nula. O eixo de referência vertical será orientado para baixo, a partir do ponto do disparo. Desse modo, as equações referentes a ela serão:
V„» = gt (para y0 = 0)
j
y=i-gt* V?„ = 2gy
Para o exercício em questão, temos: y = 100 m e g = 9,8 m /s2 100= —
. 9,8 t2
t s- v'T0,4
t
4,5 s
2
Assim, a projeção vertical ao movimento balístico levará aproximada mente 4,5 s para chegar ao nível do mar. Paralelamente, este também será o tempo que a própria bala levará para atingir a água. Então, você perguntará: “E a velocidade horizontal de lançamento? Não tem influencia no tempo de queda?” A resposta é não. A velo cidade horizontal de lançamento vai influenciar o alcance horizontal da bala. Quanto maior a velocidade horizontal de lançamento, maior o alcance pelo projétil; porém, o tempo de queda será sempre o mesmo, dependendo somente da altura de lançamento para o mesmo g. Resposta: alternativa a.
270
UNIVERSIDADE DE VIÇOSA — Uma pessoa atira com uma cara bina na horizontal, de uma certa altu ra. Outra pessoa atir a, tam bém na horizontal e da mesma altura, com uma espingarda de ar comprimido. Desprezando a re si st érc ia do ar. pode-se afirmar que: a) a bala mais pesada atinge o solo em um tempo menor. b) nada se pode dizer a respeito do tempo de queda, porque não se sabe qual das armas é mais possante. c) o tempo de queda das balas é o mesmo, independendo de suas massas d) a bala da carabina atinge o solo em um tempo menor que a bala da espingarda. e) a bala da espingarda atinge o solo em um tempo menor que a bala da carabina.
1 0 .
Resolução: Livres da resistência do ar, sendo lançadas na horizontal e da mesma altura, independentemente de suas massas, as duas balas chegarão simultaneamente ao solo, embora a bala disparada pela arma mais possante tenha um alcance maior. Resposta: alternativa c.
UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Uma bolinha de gude rola sobre uma mesa com velocidade d e 40 cm /s . Após sa ir da mesa. cai. atingindo o chão a uma distância de 12 cm dos pés da mesa. Pode-se concluir que a altura dessa mesa é, aproximadamente, igual a: a) 80 cm . d) 30 cm.
11 .
b) 45 . c) 120cm cm.
e) 100 cm.
Resolução: A projeção horizontal do lançamento da bolinha descreve um movimento uniforme de função horária x V0t (para x„ — 0), onde V0 é a velocidade inicial de lançamento horizontal (a projeção horizontal da velocidade V0 coincide com a própria velocidade horizontal de lançamento). Portanto, sendo x = 12 cm c V(, =r 40 cm/ s, vem: x = Vwt
12
12 = 40t
40
t = 0,3 s
Para a projeção vertical, podemos escrever y
2
gl2
y = 45 cm
y
10 . (0.3)2 = 5 . 0,09 = 0.45 m ou 2
271
Portanto, a bolinha cai dc uma altura igual a 45 cm (altura da mesa).
Resposta: alternativa b.
12. MEDICINA DE SANTOS — Um corpo é larçado horizontal e perpendicularmente contra o centro dc um alvo contido num plano vertical No instante cm que o corpo é lançado, o alvo é abandonado e cai, conservando sua posição vertical. O a) b) c)
corpo atinge o alvo: no centro. abaixo do centro. acima do centro.
d) acima e à direita do centro. e) acima e ã esquerda do centro. Resolução: No instante cm que o corpo c lançado horizontalmente, o alvo inicia sua queda livre. Nesse mesmo instante, a projeção vertical do lançamento também inicia seu movimento de queda livre. Como tempo só dependeo da alturadce queda da aceleração da gravidade, os dois movimentos serão descritos paralclamcntc. Enquanto isso, a projeção horizontal do corpo lerá movimento dirigido para a trajetória vertical descrita pelo alvo.
272
Como tudo isto ocorre simultaneamente, em dado instante, quando a projeção horizontal atingir a vertical descrita pelo alvo, haverá o en contro do corpo com o alvo. Assim, sempre haverá choque entre os dois. Todavia, se o alvo não se desprender e cair, o corpo passará por baixo dele, pois sua trajetória é parabólica. Resposta: alternativa a.
13. ESCOLA TÉCNICA DO PAPANÁ — Um bombeiro tenta apagar o incêndio do 4.° pavimento. A inclinação do bico da mangueira é de 45°, sendo que a água sai com uma velocidade de 14.0 m/s. Ka situação descrita, desprezando a resistência do ar. conseguiria o bombeiro ating ir o fogo? Considerar g = 9.8 m/s-. L
€
-
V
12.0 m
a) Sim, pois o alcance é de 20.0 m. b) Não, pois o jato de água atinge o prédio apenas a urna altura dc 6.3 m. c) Não, pois o jato de água atinge o prédio apenas a uma altura de 9.0 m. d) Sim, só que o bombeiro deve diminuir o ângulo do bico da mangueira. e) Sim. pois a altura máxima que o jato de água atinge é superior a 10,0 m. Resolução: Analisemos inicialmente a projeção hori/.ontal do lança mento: x = V0 cos a . t
12 — 14 . cos 45° . t
12
t = ———- s
Nesse mesmo instante, vejamos qual a altura atingida pela projeção vertical:
y = yo - f Vo sen a . t ------ gt2 12
y — 1,5 -f- 14 . sen 45° . 7 \f~T >’ = 1 ,5 + 2
VT
12
2
V T
y = 1,5 + 12 - 7 , 2 = 6,3 m .
1 2
4,9 .
. 9,8 . V 7 144
/
49 . 2
y = 6,3 m
Portanto, o jato de água atingirá a altura de 6.3 m, insuficiente para apagar o fogo localizado a 10,0 m de altura. Resposta: alternativa b.
14. FEI — Um objeto voa numa trajetória retilínea, com velocidade V = 200 m/s, numa altura H = 1 500 m do solo. Quando o objeto passa exatamente na vertical de uma peça de artilharia, esta dis para um projétil, num ângulo de 60° com a horizontal. O projétil atinge o objeto decorrido o intervalo de tempo At. Adotar g — = 10 m /s2. a) Calcu lar a intensidad e tía velocida de de lançamento do pro jétil, o) Calcular o menor intervalo de tempo At em que o projétil atinge o objeto. Resolução: a) Para que o objeto seja atingido pelo projétil, a velocidade do objeto deve ser igual ao vetor-^omponente-horizontal da velocidade do pro jétil.
Ou seja: V = V,v
274
Assim: V — V0ls| = > V = V0cos 60° = > V„ =>V0
cos 60°
V0 — 400 m/ s
b) A equação horária da projeção vertical do projétil será: y = Vo , t ------— gt2 = > y = Vo sen 60° . t ----- í - . 10t2 = > 2 iy> 2 = > y — 400 .
V ^ - t — 5t2 => y = 200 V"3t — 5t2
Quando o projétil atinge o objeto, y — 1 500 m. Portanto, 1 500 = 200 \T3t - 5t2 = > í U ar 4,6 s = > t2 — 40 v"3í ■+- 300 = 0 => 112 ~=? 64,6 s O menor intervalo de tempo para a colisão será a menor das duas raízes da equação acima, ou seja, t s 4,6 s Resposta: O projétil será lançado com velocidade de 400 m/s, indo atingir o corpo após, aproximadamente, 4,6 s.
1. UNIVERSIDADE IX) PARA NÁ — O esquema representa o lançamento oblíquo de um corpo, no vácuo, sob a ação da gravida de. Com relação a esse movi mento, qual a informação in correta? a) A trajetória ACB descrita pelo móv el é um arco de parábola. b) O móvel descreve a trajetória ACB com velocidade constante. c) No ponto C a projeção vertical da velocidade é nula.
% (/?& 'n d â rn
27 5
d) As projeções horizontais da velocidade instantânea são iguais em todos os pontos da trajetória. c) A intensidade da velocidade do móvel em B é igual à intensidade da velocidade em A. Uma bola é lançada para cima, em uma direção que forma um ângulo de 45° a horizontal, com ciadocom para as questões de velocidade 2 a 4. V. Despreze a resistência do ar. Enun 2 UNIV ERSIDADE DE MINAS GER AIS — A intensidade do vetor-com“> — * ponente-hori/.ontal Vx da velocidade V da bola c: V a) ---------------. cos 45° b) Vtg 45°. c) Vcotg ^5°. 3.
d) Vcos 45°.
c)
V sen 45°
LNIVE RSI DADE DE MINAS GERA IS
A intensidade do vctor-com-
poncnte-vertical Vy da velocidade V da bola: a) é constante. b) c) d) e)
é função do primeiro grau do tempo. c função do segundo grau do tempo. tem o mesmo sentido em qualquer instante. é sempre diferente de zero.
4. UNIVERSIDA DE DE MINAS GER AIS a) b) c) d)
A aceleração da bola c:
horizontal c variável. inclinada e constante. vertical e constante. inclinada c variável.
c) nula no ponto mais alto atingido pela bola.
5. MEDICIN A DA SANTA CASA — Um canhão dispara uma bala com ân gulo de tiro de 40° cm relação ao solo. que é plano e horizontal. Despre zando a resistência do ar, pode-se dizer que. durante o movimento do pro jétil: i) sua velocidade se mantém constante. b) o vetor-componcnte-horizontal de sua velocidade se mantém constante. c) sua aceleração muda de sentido, pois o vetor-componente-vertical da velocidade muda de sentido. il) o vctor-componente-horizontal de sua aceleração varia uniformemente. »’) a trajetória é percorrida com velocidade constante, cm módulo, embora com direção variável.
6. MEDICINA DE ITAJUBÁ — A velocidade inicial de um projétil forma com a horizontal um ângulo de 60°, como mostra a figura abaixo. Despre zando a resistência do ar, qual dos segmentos seguintes melhor representa a variação da velocidade do projétil entre o instante em que ele atinge o ponto mais alto da trajetória e o instante de lançamento?
7. MACKENZIE — Durante um exercício de segurança contra incêndio, um bombeiro segurou a mangueira dc água formando um ângulo de 45° com a horizontal. Sabendo que a aceleração local da gravidade c de 10m/s2 c que a velocidade de saída do jato dc água é de 20m/s. pode-se afirmar que serão atingidos objetos sit uados a uma distância horizontal do bico da mangueira de: a) 50,00 m. b) 75,00 m. c) 60.00 m. d) 40,00 m. c) 80 \ f l m. 8. MEDICINA DA SANTA CASA A figura seguinte representa a traje tória descrita por uma bola que sofre impactos sucessivos com o solo. Sendo g a aceleração da gravidade, o intervalo dc tempo decorrido entre as passagens pelas posições 1 e 2 é mcihor expresso por:
9. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Um projétil é lançado obliquamente, no vácuo, com certa velocidade inicial,sob um ângulo de 30° coma horizon tal. Simultaneamente, um rojétil p idêntico c lançado com a mesma velo cidade inicial, porém sob um ângulo de 60° coma horizontal. Em um ponto de altura H, o l.° projétil tem velocidade V. Em um ponto da mesma altura, o segundo projétil terá velocidade igual a: a) v'TV. 2
d) 2V. e) V. 10. MEDICINA DE ITAJUBA — Uma bola está parada sobre o gramado dc. um campo horizontal, na posição A. Um jogador chuta a bola para cima. imprim intensidade m/s, c que faz com a indo-lhe horizontaluma umvelocidade ângulo de V0 60°.decomo mostra 8,0 a figura. A bola sobe e desce, atingindo o solo novamente, na posição B. Despre zando a resistência do ar, qua! será a distância entre as posições A c B?
a) b) c) d) c)
2,4 m 4,8 m 2,8 m 5,6 m Um valor compreendido entre 2,4 m e 4,8 m.
II. MAPOFEI — Um canhão dispara projéteis de 20kg com um ângulo de 30° cm relação à horizontal e com velocidade de 720 km/h. Qual o alcance do projétil? Desprczam-se as resistepeias opostas peloar ao movimento. («cn 30° = cos 60° = 1/2; sen 60° ^ cos 30° = yJ/2 ; adote g = 10 m/s2.) IJ UNIVERSIDADE DO PA RÁ — Um objeto lançado vcrticalmente para uma. no ar, atinge a altura de 280m. Sc o objeto for lançado ohliquamcnte, o seu ulcancc máximo será dc: «) 560 m. I>) 280 m. ü) 75 m. d) 140 m. c) 840 m.
27 8
FEI — Um projétil é lançado do solo numa direção que forma o ângulo a com a horizontal. Sabe-se que ele atinge umaaltura máxima h mtí = 15 m e que sua velocidade on ponto de altura máxima cV = 10 m/s. Deter minar a sua velocidade inicial c o ângulo a de lançamento. Adotar g = 10 m/s'*.
1 3 .
FAAP — Uma partícula é lançada obliquamente num plano vertical da srcem O de um referencial cartesiano xOv com velocidade de intensidade 10 m/s, a qual faz com o eixo Ox um ângulo de 60°. No mesmo instante, é lançada verticalmcnte para cima uma outra partícula do ponto (100; 40\/3). onde as coordenadas são dadas em metros. Admitindo desprezíveis a resistência do ar e a curvatura da superfície terrestre c considerando g = 10 m/s2, determinar: a) a intensidade da velocidade ca partícula lançada verticalmcnte para que consiga encontrar a outra. b) o tempo decorrido desde o instante dos lançamentos até o instante do encontro.
1 4 .
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um canhão colocado no alto de uma
15 .
diferente torre lança, s. Desprezando horizontalmente, todosuma osatritos, série de qualprojéteis dos segu iguais, intes gráficos com velocidades me lhor representa a distância (D) alcançada pelos projéteis em função do tempo (T) que os projeteis gastam para ocar t o solo? Suponha que o solotambém
0
0
16. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Duas bolinhas idênticas A c B partem, ao mesmo tempo, de uma certa altura II do solo. sendo A cm queda livre c B com uma velocidadeV0, na direção horizontal. Pode mos afirmar que: a) A chega primeiro ao solo. b) B chega primeiro ao solo. c) A ou BBchega chegaprprimeiro, dependendo altura d) A ou imeiro, dependendo da da veloci dade do inicilançamento. al V0 de B. e) as duas chegam juntas ao solo. 17. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um avião voa à alturade 2 000 n , paralclamcntc ao solo horizontal, com velocidade constante. Ele deixa cair uma bomba que atingeo solo à distância de 1000 m da vertical de lança mento inicial da bomba. Desprezando a resistência do ar, a velocidade do avião é um valor mais próximo dc: a) 50m/s. d) 2 000 m/s. b) 150 m/s. c) 250 m/s.
e) 4 000 m/s.
18. PUC (SÀÜ PAULO) — Do alto dc uma torre são lançados, no mesmo instante, dois corpos A e B. com velocidades iniciais iguais c inclinações distintas A= 30° e „ ~ 45°. Observa-se que ambos atingem o solo (su posto horizontal) no mesmo ponto. Desprezando a resistência do ar, pode mos afirmar que a relação entre os tempos de queda tA/tH, respectivamente dos corpos A c B. vale: a) 1.
b) VT
d) el
v*
V3 ' x L
v? ■ Este enunciado refere-se aos testes 19 e 20. O esquema representa uma correia que transporta minério, lançando-o no recipiente R. A velocidade da correia é constante e a aceleração da gravidade, 10 m/s2. c) VT.
230
19. PUC (SÃO PAULO) — Para que todo minério caia dentro do recipiente, a velocidade V da correia, dada em m/s, deve satisfazer à desigualdade: a) 2 < V < 3. b) 2 < V < 5. c) 1 < V < 3. d) I < V < 4. e) 1 < V < 5. 20. PUC (SÃO PAULO) — Se for aumentado o desnível entre a correia transportadora e o recipiente R. o intervalo de variação das velocidades limites, para que todo minério caia em R a) permanece o mesmo, assim como os valores das velocidades limites. b) permanece o mesmo, mas os valores das velocidades limites aumentam. c) permanece o mesmo, mas os valores das velocidades limites diminuem. d) aumenta, c) diminui. 21. PUC (CAMPINAS) — Um avião, em vôo horizontal, a SOOOm de altura, está bombardeando um destróier parado. A velocidade do avião é de 504 km/ h. De quanto tempo dispõe o destróier para mudar seu curso depois de uma bomba ter sido lançada? a) 30 s b) 40 s c) 50 s d) 20 s e) n.d.a.
1. b 2. d
3. b 4. c
7. d 8. c
9. e
5. b 6. a
10. d
11. D — 2 000 V 3 rn 12. a 13. V0 = 20 m/s: a = B0 ’. 14. a) 3 v3 m /s ;
b) 20 s.
15. e
16. e 17. a
19. d 20. e
21. b
18. d
