SOCIEDAD CHILENA DE FÍSICA PUBLICACIONES CIENTÍFICAS No 1
SOBRE EL SIGNIFICADO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA JAIME ROESSLER
Junio de 1981
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NOTAS DEL EDITOR Con el presente trabajo del profesor J. Roessler, la Sociedad Chilena de Física desea dar comienzo a una serie de publicaciones sobre tópicos generales de la Física. En forma explicita en esta serie podrán publicarse artículos de revisión y notas de cursos, conferencias y seminarios. La intención de estas publicaciones no es difundir trabajos cientí…cos altamente especializados, ya que existen numerosas publicaciones periódicas internacionales para tal efecto; más bien, el objetivo es estimular a la comunidad en el interés por algunos tópicos actuales de la física. El Comité Editor de esta revista, que no tendrá carácter periódico, será el directorio de la SOCHIFI. Cualquier observación o sugerencia sobre los artículos publicados serán consideradas por este Comité. Deseamos agradecer a la Universidad de Santiago de Chile el generoso aporte de los medios y la infraestructura que hicieron posible la edición de este primer número. Francisco Brieva Fernando Lund Herbert Massmann Ricardo Ramírez Alex Trier
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SOBRE EL SIGINIFICADO DE LA MECÁNICA CUANTICA Jaime Roessler 1. INTRODUCCIÓN La Física de comienzos de este siglo admitía dos componentes básicos de la naturaleza, bien distintos entre sí: partículas materiales y campos. Las primeras estaban caracterizadas por su masa, así como por una trayectoria bien de…nida; esto último se re…ere al hecho que en un ! instante t cualquiera es posible asignar un único punto del espacio, ¡ r (t), como ocupado por la partícula en cuestión. Por otro lado un campo no era susceptible de describirse en termino de una posición bien de…nida, sino que cada punto del espacio estaba caracterizado por una determinada intensidad del campo en consideración. En aquella época se había identi…cado dos tipos de campos, gravitacional y electromagnético, existiendo una diferencia básica entre ambos: mientras el primero solo podía existir como consecuencia de la presencia de partículas materiales, el segundo podía en principio tener realidad en forma independiente de toda fuente (léase: partícula material con carga) a través de las llamadas ondas electromagnéticas 1 . A pesar que una onda electromagnética no poseía una trayectoria bien de…nida, era sin embargo posible asignarle un determinado momento lineal así como una energía, teniendo de este modo un punto de contacto con las partículas materiales. Justamente los conceptos de momento y energía del campo electromagnético se introdujeron al estudiar la interacción de este con partículas materiales cargadas y exigir que el sistema conjunto cumpliera con las tradicionales leyes de conservación de energía -momento. También era posible delimitar una onda electromagnética a una cierta zona del espacio, formando así los llamados paquetes de ondas. Pero, contrariamente al caso de las partículas materiales, dicha zona no podía ser arbitrariamente chica sino que de dimensiones comparables con la longitud de onda promedio del paquete. La energía y el momento lineal de un paquete se encontraban regularmente distribuidos en la zona del espacio ocupado por éste; en contraste, ! la energía y el momento de una partícula material debían ser adscritos a la posición ¡ r (t)de la partícula en cuestión. 1
Posteriormente, la Relatividad General abrió la posibilidad de existencia de ondas gravitacionales.
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Por último cabe notar que los paquetes de onda electromagnéticas eran entidades carentes de masa y susceptibles de dividirse (por ejemplo mediante un espejo semitransparente) y refundirse, llevando este último proceso aparejado los ya entonces bien conocidos efectos de interferencia (Young). Todas estas últimas propiedades eran completamente ajenas a lo que se entendía por partículas. Sin embargo el esquema anterior resultaba con‡ictivo con la evidencia experimental asociada al efecto fotoeléctrico, como hizo ver A. Einstein ya a comienzos de siglo ( Einstein 1905). Tal evidencia experimental se acomodaba bien con una imagen corpuscular de la luz, a la cual hasta ese entonces se le consideraba como una onda electromagnética. Según la interpretación de Einstein del efecto fotoeléctrico, un haz de luz monocromático, digamos de longitud de onda ¸, estaba constituida por un conjunto de partículas monoenergéticas de energía hc=¸, (c es la velocidad de la luz y h la así llamada constante de Planck); estas partículas se las bautizó como fotones. La intensidad de la onda electromagnética sólo sería una medida de la densidad de fotones que forman el haz luminoso. De este modo la interpretación de Einstein del efecto fotoeléctrico entraba en con‡icto con la evidencia experimental sobre interferencia de ondas electromagnéticas. Al avanzar en el siglo XX encontramos que la con‡ictiva dualidad onda-partícula de la radiación electromagnética se extiende hacia otros constituyentes fundamentales de la naturaleza. Por ejemplo los trabajos de Thompson & Zeeman (1897) y Millikan (1910) habían puesto en evidencia la existencia de ciertas entidades básicamente puntuales y con carga y masa bien de…nida (léase indivisible): los electrones. Pero Davisson & Germen (1927) y posteriormente Thompson observaron efectos de interferencia en haces de electrones, efectos totalmente incompatibles con la idea clásica de partícula. Mas adelante Jonson observa propiedades ondulatorias asociadas a átomos de Hidrógeno y Stern &frisch (1933) para el caso del Helio, extendiéndose así la dualidad corpúsculo-onda a partículas bastante masivas.
2. EL ROMPIMIENTO DE LAS IMÁGENES INTUITIVAS DE LOS FENÓMENOS FISICOS Con el Objeto de poner de mani…esto las di…cultades que la dualidad onda-partícula presenta a la intuición, consideremos el montaje experimental representado en la …gura1: En F 4
tenemos una fuente de radiación electromagnética (por ejemplo luz visible) monocromática; ella es colimada en C. El haz colimado sufre una re‡exión fraccional en el espejo semitransparente S, separándose así en dos sub-haces; estos son desviados por medio de dos espejos (A y B) en direcciones apenas convergentes. Por último se dispone una pantalla en la zona donde los dos haces se entrecruzan; dicha pantalla está constituida por un gran número de células fotoeléctricas, lo que permite localizar con cierta precisión el punto donde impactó cada fotón. Cabe hacer notar que aunque la malla de células fotoeléctricas se haga tan …na como se quiera, siempre se tendrá que un fotón sólo impacta en una sola célula.
Figura 1
(i) Si los espejos A y B se ajustan de tal modo que la longitud de ambos sub-haces medidos entre S y P resulten básicamente iguales (digamos, con una tolerancia de § 0.3(mm) 2 ), entonces
se observará en la pantalla un cierto número de franjas claras y obscuras alternadas entre sí,
esto es, zonas a las cuales llegan fotones, alternadas con zonas donde no hay ‡ujo de fotones, estas son las llamadas franjas interferencia. Si ahora tapamos uno de los espejos desaparecen las franjas de interferencia, teniéndose la pantalla uniformemente iluminada. Esto último ya entra en con‡icto con la imagen clásica de 2
Tal tolerancia puede seer asociada al largo del paquete de ondas que describe un fotón; dicho largo se obtiene multiplicando la velocidad de la luz, c, por el tiempo de decaimineto, ¿ ;de un átomo excitado; c = 3¢1010 (cm=seg) y ¿ & 10¡12 (seg)
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partícula. En efecto, si cada fotón sigue un único trayecto hacia la pantalla, ya sea a través del espejo A o del espejo B, al tener ambos espejos destapados ninguno de tales trayectos puede llevar al fotón a una franja obscura. Sin embargo basta con tapar el espejo B para que se hagan posibles trayectos fotónicos a través del espejo A que terminan en lo que originalmente era una franja obscura sobre la pantalla. Resulta muy difícil admitir que el mero hecho de tapar un espejo altere tan drásticamente los trayectos fotónicos asociados al segundo espejo, sobre todo al notar que la separación entre S y los espejos A y B pueden aumentarse arbitrariamente sin que se alteren los resultados antes descritos. Estos resultados parecen sugerir que cada fotón posee algún tipo de realidad física sobre trayectos a través del espejo A al mismo tiempo que en trayectos a través del espejo B. Lo anterior se rea…rma al considerar la siguiente variante del montaje original: interponemos entre S y los espejos A y B sendos cristales, MA y MB respectivamente; en tal caso se altera el diagrama de interferencia original desplazándose las franjas claras y obscuras, siendo tal desplazamiento función de las características ópticas tanto de MA como de MB hecho que está en contradicción con la imagen tradicional de partícula según la cual cada fotón sólo puede cruzar ya se por MA o por MB , pero en ningún caso por ambos cristales. De acuerdo a lo anterior, los experimentos discutidos en esta sección parecen adecuarse mejor a la imagen intuitiva según la cual cada fotón se ”divide” al llegar al espejo semitransparente S, teniendo de este modo realidad física por ambos trayectos, SAP y SBP. (ii) Trabajemos alternativamente con la imagen de onda. Disminuyamos la intensidad de la fuente al punto que en cada momento se tenga a lo más un solo fotón viajando entre la fuente y la pantalla. En tales condiciones, y haciendo uso de una adecuada electrónica, podemos detectar los impactos fotónicos uno por uno. Como se indicó antes, cada impacto debe ser adjudicado a una particular fotocélula en vez de encontrarse la energía del fotón distribuida sobre todo el frente de ondas que llega a la pantalla. Basta esta última observación para descartar que un fotón se ciñe a lo que clásicamente se entiende por onda electromagnética, en contraste con las conclusiones de la sección (i). Con el objeto de mostrar en forma más patente las di…cultades de la interpretación de la sección (i) modi…quemos el montaje experimental insertando detectores no destructivos de fotones 8 en principio es posibles implementar dispositivos de este tipo), uno entre C y S, otro
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entre S y A y un tercero entre S y B. Llamemos a estos detectores DS , DA y DB respectivamente. Mediante tal montaje concluimos que cada fotón proveniente de F es detectado ya sea por DA ya sea por DB , pero en ningún caso por ambos. Cabe hacer notar que la energía de un fotón es la misma, ya sea si se le detecta mediante DS , mediante DA o DB , o bien en la pantalla P. Estos resultados nos llevan a conclusiones diametralmente opuestas a la sección (i) - al menos en la medida en que usemos representaciones intuitivas de los fenómenos físicos; cada fotón parece seguir un único trayecto, no existiendo ”división” del mismo en el espejo semitransparente S. Sin embargo la inserción de los detectores no destructivos DA y DB elimina el diagrama de interferencia de la pantalla, del mismo modo como ocurría al tapar uno de los dos espejos. Podemos expresar los resultados anteriores en lenguaje intuitivo diciendo que: Todo fotón tiene realidad física al mismo tiempo por los trayectos S-A-P y S-B-P, a menos que se utilicen implementos que permitan determinar cuál de los dos trayectos sigue el fotón; en este último caso todo ocurre como si existiera un único trayecto para el fotón, ya sea S-A-P o bien S-B-P. La última conclusión resulta muy difícil de aceptar pues, según ella, la presencia de detectores DA y DB debía ejercer cierta ”acción a distancia” para que le fotón no se divida a nivel del espejo semi-transparente S. Es difícil concebir un mecanismo que asegure la transmisión de la información detector presente, sobre todo si consideramos que la separación S-DA puede ser arbitrariamente grande, esto último hace posible interponer el detector DA entre S y A después que un fotón dejó atrás al espejo S, y sin embargo dicho fotón parece seguir un único trayecto en tal caso - mientras que parecería haber pasado por ambos espejos en el caso que DA no se interponga en el camino del fotón. Busquemos otra imagen alternativa: supongamos que la onda electromagnética asociada a un fotón se divide en dos trayectos, separándose de igual modo su energía asociada; sin embargo al ser detectado el fotón por DA la onda electromagnética ”colapsa” concentrando bruscamente su energía sobre el detector. Puesto que nuestro montaje no esta limitado en cuanto a dimensiones, la última imagen exige el transporte de energía a velocidades mayores que de la luz, lo cual es del todo inaceptable. La reciente discusión nos muestra que el precio de mantener imágenes intuitivas de los fenómenos cuánticos es demasiado caro: debemos renunciar al principio de causalidad - no
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sólo en cuanto admitir la propagación de información a velocidad mayor que de la luz - sino que incluso propagación de información hacia el pasado. Esta fue la disyuntiva que debieron enfrentar los físicos durante la tercera década de este siglo. Afortunadamente ellos eligieron la alternativa más adecuada: renunciaron a tener imágenes intuitivas de los procesos intermedios que ocurren antes de una medición, conformándose con construir una descripción matemática de los mismos capaz de predecir (la menos hasta donde es posible en Mecánica Cuántica) los resultados de cualquier tipo de medición que se haga sobre el sistema. Dicha descripción cumple con un requisito básico: es objetiva, es decir, independiente del proceso de medición que nosotros decidamos efectuar sobre el sistema. Lo anterior contrasta con la discusión en término de imágenes intuitivas, donde cada medición distinta requiere de una imagen distinta. Como nosotros podemos decidir que medición efectuar, asignarles validez a las imágenes intuitivas implicaría exigir que la naturaleza se acomodara a nuestra subjetiva decisión de efectuar tal o cual medición. Así por ejemplo al medir sobre la pantalla (ver sección (i)) los fotones se dividirían a nivel del espejo S, mientras que seguirían un único trayecto al medir con el par de detectores DA y DB (ver sección (ii)). Cada medición nos da necesariamente una imagen intuitiva, puesto que el aparato de medición es necesariamente macroscópico y por tanto de comportamiento clásico 3 . Por ejemplo si vemos una placa fotográ…ca con un gránulo ennegrecido decimos, allí impacto un fotón, pero no es posible aunar en forma coherente los resultados de diversos experimentos en una única imagen clásica (como por ejemplo decir que el fotón es puntual, en relación al último ejemplo). Un determinado experimento sólo nos muestra el resultado de la interacción {sistema cuántico (fotón)}Ã!{aparato de medición clásico (placa fotográ…ca)} pero no lo que el sistema cuántico es en sí. Si bien la Mecánica Cuántica es capaz de proporcionarnos una única teoría para describir toda la gama de experimentos que podamos realizar con un sistema cuántico, no podemos concluir a partir de lo anterior que el formalismo cuántico proporciona una descripción de la realidad microscópica en sí misma; en rigor sólo podemos decir que dicho formalismo describe 3
La etapa inicial de un proceso de medicoón es de caracter microscópico, pero la etapa terminal lleva siempre a un resultado de naturaleza clásica, ver Sec. 5.
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los objetos cuánticos en cuanto ellos son observados, esto es, en cuanto interactúan con un aparato de medición macroscópico. Si reservamos la palabra realidad sólo para aquello que es observable en forma sensible (léase ”con nuestros sentidos”) y por tanto macroscópicamente 4 , el formalismo cuántico sólo puede ser interpretado como una herramienta para predecir lo que ocurre en cualquier situación experimental; pretender dar una descripción de las leyes que gobiernan al mundo microscópico en ausencia de toda operación de medición se torna carente de sentido. Lo anterior básicamente resume la llamada ”Interpretación de Copenhague” de la Mecánica Cuántica, interpretación sustentada con gran energía por Niels Bohr (1948, 1963). Analicemos en el marco de esta interpretación el impacto de un fotón en un punto P de una placa fotográ…ca: si el fotón fuera una partícula clásica ello signi…caría que su posición terminal es realmente P, siendo secundario el rol de la placa fotográ…ca en cuanto a la posición real de la partícula. Sin embargo como el comportamiento no se puede entender usando las leyes clásicas, ahora el ennegrecimiento del punto P de la placa fotográ…ca es la de…nición misma de la posición del fotón, lo cual hace conceptualmente inseparables el objeto cuántico y el aparato de medición (Bohr 1963). Es importante notar que, aunque el objeto en observación no es clásico, la estructura y función del aparato de medición esta necesariamente descrita en lenguaje clásico. Del mismo modo los resultados de una medición son siempre clásicos, en el sentido que poseen una precisa ubicación espacio-temporal, y por tanto pueden comunicarse en lenguaje ordinario. Esta última acotación puede parecer inocua; sin embargo si aplicáramos directamente el formalismo matemático de la Mecánica Cuántica al proceso de medición, tratando a uno y otro en forma cuántica, obtendríamos resultados completamente ajenos a la experiencia cotidiana y por tanto no susceptibles de ser observados ni comunicados en lenguaje ordinario (ver Bub 1968, Jauch et al. 1967, Wigner 1961 y Sec. 5 de este artículo). Para la interpretación de Copenhague siempre existe un nivel macroscópico donde los objetos se comportan clásicamente; es justamente en este nivel donde ocurren los eventos sobre los cuales tiene sentido hablar. Es imposible prescindir del marco conceptual clásico para toda aplicación concreta del formalismo cuántico pues sólo dentro de tal marco conceptual adquiere sentido preciso el aparataje matemático de la Mecánica 4
No debe verse en esta condición una actitud subjetivista o solipsista pues se alude a un nivel macroscópico, implícitamente de carácter objetivo (es decir, independiente del observador).
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Cuántica; fuera de dicho marco el formalismo no tiene ningún sentido. Dentro de este ordenamiento de cosas, la aplicación del formalismo cuántico al proceso de medición es simplemente un error lógico; asimismo cualquier intento por reducir (en todos sus aspectos) la Mecánica Clásica a un caso particular de la Mecánica Cuántica resulta invalido (Bohr 1963). Para sustentar una posición opuesta a la interpretación de Copenhague es necesario partir (en nuestra opinión) de una concepción algo platónica-pitagórica del ”mundo real”: la naturaleza se comporta de una forma regular, existiendo una correspondencia directa entre ella y una determinada estructura matemática de gran simplicidad y contenido estético, de modo que re‡eje la regularidad (o simetría) de las leyes naturales. Obviamente tal estructura matemática debe ser contrastada experimentalmente; de otro modo no habría Física. La diferencia entre estas dos posiciones sólo se hace importante en Mecánica Cuántica; en ella el formalismo matemático que describe un sistema no se re…ere directamente a propiedades observables del mismo. Por otro lado los sistemas microscópicos no son observables ”directamente” sino que a través de su interacción con aparatos macroscópicos, interacción que en general altera el estado del sistema (recuérdese el efecto del detector DA sobre el fotón). Mantener el segundo punto de vista respecto a la Mecánica Cuántica implica un ”acto de fe”, puesto que ello implica creer en una correspondencia directa (similar a un homomor…smo matemático) entre una estructura matemática y una realidad física no directamente observable 5 . En contraste con la interpretación de Copenhague según la cual sólo poseía sentido referirse a lo directamente observable, con esta posición se cree conocer el comportamiento microscópico de la naturaleza. Como todo proceso físico es reducible en último término a procesos microscópicos, entonces el comportamiento observado a nivel macroscópico debería poderse entender en todos sus aspectos (incluyendo el proceso mismo de medición) a partir del formalismo cuántico. Esto permitiría prescindir totalmente del marco conceptual clásico (en contraste con la interpretación de Copenhague). Sostener lo contrario iría contra la unidad de las leyes físicas (Jauch et al 1967), a menos que se considere la teoría cuántica como incompleta o sólo aproximadamente válida. Esta segunda posición la llamaremos provisoriamente realismo ingenuo (los términos idealismo, positivismo, realismo..... suelen usarse de manera ambigua en la literatura), 5
Algunos físicos (como Einstein (1935, 1945, 1948), Bohm Bub (1966)) mantienen una posición de este tipo ante la Ciencia, pero consideran a la Mecánica Cuántica una teoría incompleta, de modo que tampoco le atribuyen ”realidad” al formalismo. Ver Sec. 4.
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ella aparece encabezada por Everett (ver sec. 5). La primera actitud ante la Mecánica Cuántica (interpretación de Cpenhague)parece más cercana al rigor del pensamiento cientí…co, pero es acaso menos atractiva que la posición ”realista” en cuanto nos condena a una imposibilidad de principio para aprehender la ”realidad microscópica”. Tal vez sea por esta motivación psicológica que la posición ”realista” a tomado algún vigor durante las dos últimas décadas. Es importante notar que ambas posiciones llevan a las mismas predicciones experimentales; sólo di…eren en la forma de ordenar los postulados de la Mecánica Cuántica (pudiéndose eventualmente prescindir del ”postulado probabilístico de medición” con la posición realista; ver sec. 5)
3. ALGUNAS PALABRAS SOBRE EL FORMALISMO MATEMÁTICO DE LA MECÁNICA CUANTICA La base del formalismo cuántico consiste en asignar a cada posible estado de un sistema un vector llamado ”vector de estado”; tal vector pertenece a un espacio vectorial abstracto que llamamos ”espacio de Hilbert del sistema”. Dicho vector de estado encierra la máxima información que es posible adquirir sobre el sistema. Sean à y Á dos vectores asociados a sendos estados de un sistema cuántico, entonces la suma de estos vectores à + Á, también describe un estado posible del sistema; del mismo modo al multiplicar por números complejos (digamos ® y ¯) estos vectores y después sumar, el nuevo vector así obtenido (®Ã + ¯Á ) también representa un estado posible del sistema. Por ejemplo en el experimento de la …gura 1 llamemos ÃA al estado de un fotón asociado al caso en que S es totalmente re‡ectante y ÃB al estado del fotón cuando S es totalmente transparente; entonces al poner en S un espejo semitransparente que re‡eja la mitad y transmite p la mitad tendremos que el estado de cada fotón que incide sobre la pantalla es (ÃA + à B )= 2 p (el factor 2 es irrelevante). En este caso se dice que este nuevo estado es una superposición de los estados ÃA y ÃB . Si ahora interponemos el cristal MA antes mencionado entre el semiespejo S y el espejo A, entonces el estado del fotón viene descrito por à A exp (iµ A ) + ÃB , donde el valor de µA depende de las características de MA . En particular, cuando el efecto MA es intercambiar 11
las franjas claras y obscuras entonces µ A = ¼ y el estado del fotón es ÃB ¡ ÃA , usemos la nomenclaturaà 1 = ÃA + ÃB ; à 2 = ÃB ¡ ÃA
El efecto de una medición sobre un estado cuántico consiste en alterarlo transformándolo
en un estado propio del aparato de medición. Para ilustrar elsigni…cado de esto último consideremos los detectores no destructivos DA y DB anteriormente mencionados. De acuerdo a la discusión de la sección 2, los fotones detectados con DA podían impactar en cualquier punto de la pantalla (no sólo en las franjas claras), en forma análoga a lo que ocurría al tapar el espejo B o bien al trabajar con espejo re‡ectante en S. Como esto último es lo que justamente de…ne al estado ÃA , podemos decir que al efectuar una detección con DA estamos transformando al estado.Ã1 en ÃA . Si alternativamente, nuestro montaje además incluye al cristal MA antes descrito, entonces nuestro proceso de medición transforma Ã2 .(estado original del fotón) en ÃA : Lo mismo vale para una detección con DB en cuanto generar (preparar usando el lenguaje técnico) al estado à B . Dispongamos ahora una red de detectores sobre pantalla, conectando a un mismo contador D1 los detectores en las regiones §5, §3, §1 (ver …gura 1) y conectando a un segundo contador
D2 los detectores §6, §4, §2, 0. Cada cuenta emitida por el primer contador corresponde a un fotón en el estado Ã1 , mientras que el segundo contador está asociado al estado.Ã2 .
La destrucción de las líneas de interferencia a causa de la pareja de detectores DA , DB es interpretada del siguiente modo por la Mecánica Cuántica: tal pareja prepara fotones en estados ÃA ; ÃB .; los estados ÃA y à B pueden ser expresados en términos de los estados .à 1 ; Ã2 .. de acuerdo a: ÃA = Ã1 ¡ Ã2 ; ÃB = à 1 + Ã2 (el factor
p 2 es irrelevante)
Según el formalismo de la Mecánica Cuántica la pareja de detectores sobre la pantalla transforma al estado ÃA (o ÃB ) en Ã1 o Ã2 ; con un 50% de probabilidades cada uno puesto que ambos estados aparecen constituyendo ÃA con igual ponderación (nótese el contenido estadístico de esta predicción), así pues las zonas§6; §4; §2; 0.se ven igualmente iluminadas que las zonas
§5; §3; §1 perdiéndose el diagrama de interferencia. Si el fotón incidente sobre la pantalla se
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encontrara en el estado más general ®Ã1 +¯Ã 2 ( números complejos) 6 , entonces la probabilidad relativa que el fotón incida sobre (§5; §3; §1) respecto a que incida sobre ( §6; §4; §2; 0) es
j®j2 = j¯j2 de acuerdo al formalismo de la Mecánica Cuántica.
predicciones no triviales; por ejemplo si S es un espejo que re‡eja el 50% y transmite 50% de la radiación incidente y el cristal MA es arbitrario, el fotón está descrito por el estado eiµ ÃA + ÃB = eiµ=2 ¢ (cos µ=2) Ã1 + ei(µ¡¼)=2 (senµ=2) Ã2 Ahora la probabilidad relativa anterior es [1t µ=2]2 , predicción que es veri…cable experimentalmente.
4. INDETERMINISMO CUÁNTICO Para agilizar el lenguaje llamemos P a la pareja de detectores {DA , DB } y Q a la pareja de detectores {D1 ; D2 } situados sobre la pantalla. Consideremos un fotón en un estado à = ®ÃA + ¯ÃB .; mediante el montaje experimental P podemos discernir entre ÃA + ÃB . como posibles estados …nales del fotón. Una vez realizada la medición P, la superposición à = ®ÃA + ¯Ã B queda destruida y el estado del fotón pasa a coincidir con el resultado de la medición P (como podría veri…carse con una nueva medición P). En este sentido decimos que à A y ÃB son estado propios de P. De igual modo Ã1 y à 2 son estados propios (o autoestados) de Q. Supongamos que preparamos un fotón en el estado Ã1 autoestado de Q; al medir con Q obtendremos Ã1 con 100% de probabilidades. Sin embargo si previamente hemos aplicado la medición P a nuestro fotón Ã1 , entonces tenemos completa ignorancia ”a priori” sobre el resultado de la segunda medición, pues si el resultado de la primera medición fue à A = Ã1 ¡ Ã2
( o bien .ÃB = Ã1 + Ã2 ) entonces es equiprobable que el resultado de la medición Q sea Ã1 o Ã2 ; es decir, la medición P alteró el autoestado de Q llevándonos a una completa ignorancia sobre esta segunda magnitud. Es imposible preparar autoestados de P y Q simultáneamente;
esto último está garantizado tanto por la experiencia (como se mencionó en la sección 2) como también por el formalismo de la Mecánica Cuántica, en el cual aparecen los autoestados de P como superposiciones equiponderadas de autoestados de Q y viceversa. En este ejemplo 6
Tal estado puede ser preparado con un espejo S que re‡eje y transmita j®j2 = j¯j2 ; y adecuando el crsital MA para que µA coincida con el argumento del número complejo ®=¯:
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podemos asociar la medición P a una determinación de la dirección en que incide el fotón sobre la pantalla; si por ejemplo el resultado de la medición es ÃA , entonces incidirá en la dirección del haz re‡ejado por el espejo A (ver …gura 1). Si trabajamos con fotones de una longitud de onda conocida, entonces el aparato P lleva a una determinación del momento lineal del fotón, ¡! ¡ ! P ; esto pues jP j = h=¸ A su vez la medición Q nos dá un cierto grado de conocimiento sobre la posición del fotón al llegar a la pantalla; si por ejemplo el resultado de Q es Ã1 entonces
llegará a alguna de las líneas +5, +3, ....-5. De esta manera resulta imposible conocer simultáneamente la posición y el momento del fotón pues la medición de una de estas magnitudes malogra la información ya adquirida sobre la otra magnitud. De acuerdo al presente formalismo no se trata de di…cultades técnicas en efectuar ambas mediciones, sino que existe una imposibilidad de principio en asignar ambas magnitudes a una partícula a un mismo tiempo ya que un estado que representa un valor …jo del momento, como ÃA por ejemplo, se construye superponiendo estados que representan distintas posiciones de la partícula. Nos referimos a esta situación diciendo que ”la posición y el momento son observables incompatibles entre sí”. No sólo posición y momento son mutuamente incompatibles, tampoco son compatibles entre sí el ”momento” y el ”momento angular”, etc. Consideremos un par O, M de observables mutuamente incompatibles. Si preparamos un sistema en un estado à con un valor bien de…nido del observable O no podemos efectuar una predicción precisa sobre el resultado de la medición M, y esto a pesar de poseer la máxima información posible sobre el sistema, es decir conocer Ã: Esta situación, denominada Indeterminismo Cuántico, resulta bastante inconfortables para un físico habituado al modo de pensar clásico, el cual tiende a ver en esto un comportamiento ”caprichoso” de la naturaleza. En el marco de la interpretación de Copenhague la raíz de la incompatibilidad de dos observables (y por tanto del indeterminismo cuántico) es una consecuencia natural del hecho que cada observable está de…nido a través de la (conceptualmente inseparable) interacción sistemaaparato de medición y no como propiedad objetiva del sistema en observación: Si existen dos magnitudes físicas, O y M, cuya determinación requiere de con…guraciones experimentales distintas (como Q y P en el ejemplo anterior), es un error lógico pretender caracterizar un sistema
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asignado a un mismo tiempo de valores bien de…nidos para ambas magnitudes. Lo anterior se suele enunciar en términos muy generales a través del Principio de Complementaridad, el cual denota la relación lógica entre conceptos mutuamente excluyentes (como es el caso de la posición y el momento, cuyas de…niciones operacionales requieren de distintas con…guraciones experimentales) y que por tanto no pueden ser aplicados a un mismo tiempo; sin embargo ambos deben usarse para dar una descripción completa del objeto de interés (Rosenfeld 1961). Bohr incluso consideró que este principio debía ser aplicado a otras áreas del conocimiento, como por ejemplo la Biología, donde los aspectos físico-químicos y vitalista son ambos esenciales para entender a un ser vivo, pero resulta imposible aplicarlos a un mismo tiempo. Uno de los primeros críticos de la interpretación de Copenhague fue A. Einstein; en particular, respecto al problema en cuestión estimó que la imposibilidad del formalismo cuántico para describir simultáneamente la posición y el momento plantea la siguiente alternativa: i) La mecánica Cuántica es una teoría completa y por tanto una partícula no posee posición y momento bien de…nidos a un mismo tiempo (nótese el carácter ontológico de esta a…rmación). ii) Una partícula posee posición y momento bien de…nidos en todo instante, auque resulta imposible medir ambos a un mismo tiempo; por tanto la mecánica Cuántica proporciona una descripción incompleta de la realidad, a la que sólo hay que atribuirle valor estadístico (Einstein 1948). Para resolver entre estas dos alternativas Einstein, Podolsky y Rosen (en adelante E.P.R.; 1935) plantean un ”experimento pensado” con el cual creen demostrar que cada partícula posee posición y momento a un mismo tiempo. Como tal ”experimento pensado” se plantea en el contexto del formalismo cuántico, ellos concluyen que tal formalismo sólo da una descripción ”parcial” de la realidad y la Mecánica Cuántica es incompleta. Sin embargo el trabajo de E. P.R. presupone: (a) Atribuir sentido a a…rmaciones sobre un sistema cuántico en sí mismo 7 , contrariamente a la interpretación de Copenhague, que ve una imposibilidad lógica de separar al objeto cuántico del aparato de medición (Bohr 1948 y sec.2) (b) Una concepción de la realidad física exclusivamente de carácter espacio-temporal, concepción que Einstein explica muy bien en la revista Dialéctica (1948). 7
Einstein (1945) decía: ”Sin la creencia que es posible asir la realidad con nuestras construcciones teóricas, sin la creencia en la armonía interior de nuestro mundo no podría existir la Ciencia”.
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Einstein intento buscar una teoría determinista según la cual fuera posible en principio predecir el resultado de cualquier medición que se efectúe sobre un sistema microscópico. Tal teoría debería por tanto poseer variables extras en relación a la Mecánica Cuántica (las llamadas variables escondidas); justamente el indeterminismo cuántico tendría su origen en el hecho que está ignorando tales variables. Einstein incluso trató de asociar estas ”variables escondidas” a una de las coordenadas del espacio sobre un hiperplano de dimensión cuatro (Einstein. 1931); en todo caso esta teoría pentadimensional no fue capaz de dar cuenta adecuada de la mecánica Cuántica. Hoy en día se sabe que existen muchas restricciones para las teorías de ”variables escondidas”; en particular un teorema de Von Neumann prohíbe estas teorías en caso que ellas se construyan usando el mismo marco formal de la Mecánica Cuántica (Albertson 1961). Sin embargo la posibilidad de una formulación de la Mecánica Cuántica en término de variables escondidas no debe ser descartada del todo, siempre que la teoría más amplia (que da origen a la Mecánica Cuántica al promediar sobre las variables extras) tampoco sea de carácter clásico. Bohm y Bub (1966) mostraron un ejemplo de teoría de ”variables escondidas” con estas últimas características; para ello propusieron una ecuación determinista que describe el proceso de medición; tal ecuación es de carácter no lineal y depende del valor que tomen estas variables. El trabajo en cuestión contiene asimismo una enérgica crítica a la interpretación de Copenhague; para clari…car las posiciones de atacantes y defensores de la interpretación ”ortodoxa” consignamos algunas frases: ”La interpretación de Copenhague implica renunciar a cualquier concepción sobre la estructura de los microsistemas”.... ”La Ciencia es algo más que un conjunto de recetas que se insertan en el manual de ingeniería para predecir resultados experimentales” ... ”Aunque la Física debe predecir, esto no debe identi…carse con la totalidad del acto de entender, según el cual se trata de ordenar los distintos aspectos de un proceso complejo en un conjunto coherente y uni…cado de conceptos” ... ”Si varios sistemas idénticos entre sí han sido preparados en un mismo estado Ã, ¿porqué al efectuar una medición puede llevar a distintos resultados? Esto no puede aceptarse livianamente amenos que se pruebe rigurosamente que tal hecho es inevitable; sino se está quebrando el concepto de ley física”. Recordemos en todo caso que la interpretación de Copenhague no hace a…rmaciones de tipo ontológico respecto al comportamiento hasta cierto punto aleatorio de un microsistema en el
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proceso de medición; no se asume nungún tipo de ”libre albedrío”. Sólo se limita a considerar al vector estado à como la máxima información accesible experimentalmente sobre un sistema: si se trata de adquirir mas información que Ã, se malogra parte de la información que à encierra. En principio es posible poner a prueba el concepto de ”variable escondida” en cuanto a su sentido físico ( no en cuanto a verdad ontológica). Para esto consideremos dos estados distintos Ã1 , Ã2 que llevan al mismo estado …nal Á después de una medición; en caso que existan ”variables escondidas” que rijan la aparente aleatoriedad del proceso de medición, ellas deberían tomar valores distintos para los estados Á que proceden de à 1 en relación a los que proceden de à 2 : Así pues, una nueva medición sobre Á debería poner de mani…esto tales variables escondidas. Experimentos de mediciones consecutivas (en intervalos de 10¡13 seg; con esto se quiere evitar posibles cambios en los valores de tales variables) sobre fotones no han mostrado ningún tipo de ”memoria” del estado …nal respecto al inicial (Papaliolios 1967). Hasta la fecha no existe ninguna justi…cación experimental para el concepto de ”variables ocultas”, de modo que el vector de estado aparece como la máxima información accesible sobre un sistema cuántico.
5. EVOLUCIÓN TEMPORAL EN MECÁNICA CUÁNTICA Y EL PROBLEMA DE LA MEDICIÓN. En esta sección queremos enfocar desde otro ángulo el problema del indeterminismo en Mecánica Cuántica. En general decimos que una teoría es determinista cuando ella permite predecir el estado de un sistema para un tiempo t > o si conocemos su estado en t = o. El formalismo de la Mecánica Cuántica permite predecir en forma única el vector de estado de un sistema en un tiempo t > 0, digamos à (t), si el vector de estado es conocido en t = 0 ; lo anterior siempre que no se efectúen mediciones en tal lapso de tiempo. Como à (t) representa el estado de un sistema cuántico (o más precisamente representa la máxima información posible de adquirir sobre el sistema), entonces la posibilidad de conocer à (t) a partir de à (t = 0) nos dice que la Mecánica Cuántica da una descripción determinista del estado de un sistema. Sin embargo debemos notar que el formalismo cuántico en general nos prohíbe hacer preediciones precisas sobre el resultado de una medición M cualquiera efectuada en el instante t = 0 , es decir conocer à (t = 0); lo anterior porque à (t) sólo contiene información probabilística sobre la gran mayoría de los observables físicos, como enfatizamos en la sección 4. De esta manera un
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sistema cuántico pareciera tener un comportamiento completamente determinista mientras no efectuamos mediciones sobre él; pero esta cadena causal se rompe justamente en el momento en que el objeto cuántico se hace interactuar con un aparato (macroscópico) de medición, esto es, cuando requerimos que la descripción matemática (puramente formal según Bohr) entregue información pertinente físicamente. Lo anterior resulta bastante paradójico para un físico que le asigne un contenido de realidad a la descripción de un sistema en término de su vector de estado. En tal caso las leyes deterministas que regulan la evolución temporal en Mecánica Cuántica deberían ser aplicables al proceso mismo de la medición, pudiéndose así prever su resultado. Adoptemos momentáneamente la posición realista ante el formalismo cuántico para así llevar a cabo el plan recién enunciado. Primero indiquemos que la evolución temporal ocurre de manera lineal en Mecánica Cuántica; es decir si
t
Ã1 (t = 0) ! Ã1 (t) t
Ã2 (t = 0) ! Ã2 (t) entonces à (t = 0) = ®Ã 1 (t = 0) + ¯Ã2 (t = 0) ! à (t) = ®Ã 1 (t) + ¯Ã2 (t) Sea M una medición que discierne entre dos posibles estados de una partícula, digamos Ã1 (t) y Ã2 (t), por ejemplo mediante una placa fotográ…ca (ver …gura 2). Si à (t) = Ã1 (t) el impacto ocurrirá en la parte superior de la placa y si à (t) = Ã2 (t) el impacto ocurrirá en la parte inferior. Utilicemos la función de onda como descripción del sistema total: {objeto cuántico y aparato de medición (incluyendo la placa fotográ…ca)}. En particular llamemos à F1 ; à F2 a los vectores de estado del sistema total después de realizada la medición, es decir à F1 corresponde a la placa ennegrecida en la parte superior y à F2 a la placa ennegrecida en la parte inferior. Si la Mecánica Cuántica fuera aplicable (en forma ingenua al menos) al proceso de medición, deberíamos concluir que si el estado inicial del sistema es, ®Ã1 (t = 0) + ¯Ã2 (t = 0) 18
entonces el estado …nal será ®Ã F1 + ¯Ã F2 dad la linealidad del proceso de evolución temporal. Sin embargo la superposición ®{placa ennegrecida en la parte superior} +¯{placa ennegrecida en la parte inferior} no es ningún resultado posible de una medición, pues una medición lleva necesariamente a una imagen intuitiva.
Figura 2 M: Aparato de Medición P: Placa Fotográ…ca Línea Continua : Trayecto de la Partícula
Una sola partícula puede impactar o arriba o abajo, la superposición de dos situaciones macroscópicas es algo ajeno a la experiencia cotidiana; de esta manera el proceso de medición debe destruir la superposición de estados cuánticos para así llevarnos a resultados intuibles. En general, el aparato de medición (clásico) opera ”traspasando” la superposición de estados de un sistema cuántico (microscópico) a una escala macroscópica. Sin embargo la ”superposición de estados” parece no tener cabida en el mundo macroscópico. Lo que en cambio se observa como resultado de la medición es sólo uno de los estados envueltos en la superposición macroscópica, no pudiéndose predecir sino en forma probabilística cual será tal estado. De este modo el quiebre de la cadena determinista aparece ligado con la ausencia de ”superposición” entre estados macroscópicos. 19
Podría pensarse que el origen del indeterminismo cuántico, así como de la ausencia de superposiciones macroscópicas, reside en el hecho que no se conoce en forma precisa el estado inicial del aparato de medición, dado justamente el carácter macroscópico de tal aparato. Sin embargo Wigner (1963) demostró que el planteamiento anterior es falso. De este modo, al querer describir el proceso de medición con el formalismo cuántico se nos presenta la siguiente alternativa: i) Existe algún mecanismo que transforma de manera discontinua y no determinista al estado ®Ã F1 + ¯Ã F2 en alguna de sus componentes; este cambio discontinuo del vector de estado se suele llamar ”colapso”. Ii) Una superposición macroscópica es ”desde un punto de vista práctico” indistinguible de una mezcla de los estados que la componen; acá entendemos como ”mezcla de estados” la situación donde diversos estados se presentan como posibilidades mutuamente excluyentes, teniendo cada estado una cierta probabilidad. La alternativa i) implicaría que el vector de estado puede variar tanto de manera continua y determinista como discontinua y aleatoria, lo cual es difícil de aceptar como una ley física (Bohm y Bub 1966). La alternativa ii) parece atractiva y se la ha usado como hipótesis de trabajo (Daneri et al 1966), pero nadie ha logrado justi…carla de un modo preciso (Wigner 1963). Queremos ser muy enfáticos en señalar que, para sistemas microscópicos (o estados microscópicos de un sistema macroscópico, como en el caso de superconductividad) existe una drástica diferencia entre ”superposición de estados” y ”mezcla de estados”: ver secs. 2, 6 y 7. A continuación presentamos algunos puntos de vista respecto al problema de la medición. Peres y Rossen (1964) hacen ver que la preparación de un sistema macroscópico en una superposición de estados con distintas características macroscópicas, (como por ejemplo dos posibles posiciones de un único impacto fotónico sobre una placa fotográ…ca) requiere de condiciones experimentales completamente inalcanzables en la práctica: procesos de una duración muy superior a la vida del universo, campos magnéticos extraordinariamente precisos,...... Así, para las condiciones experimentales reales sólo es posible preparar superposiciones de situaciones microscópicas (por ejemplo un único electrón con distintos trayectos separados entre sí por 0.1 milímetros: Woodilla &Schwarz 1971). Pero a medida que crece la masa del sistema se hace cada vez más difícil prepararlo en un estado cuántico puro (es decir con su vector de estado perfectamente conocido), obteniéndose en cambio una ”mezcla de estados” (es decir, una ignorancia parcial sobre el estado real del sistema). De este modo el límite entre el
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”mundo macroscópico” (caracterizado por la ausencia de superposición de estados distinguibles macroscópicamente) y el ”mundo microscópico” (sin restricciones para el principio de superposición) no es algo pre-establecido de antemano sino que depende de las particulares condiciones experimentales; sin embargo jamás se tendrán las condiciones para que un objeto realmente masivo (como todo aparato de medición) muestre superposiciones de carácter macroscópico. Para London &Bauer (1939) y posteriormente Wigner (1967) el proceso de medición propiamente tal culmina con una superposición macroscópica; posteriormente cuando el observador toma conciencia del estado del aparato la superposición desaparece, apareciendo un único estado de carácter clásico. De este modo un autómata no sería capaz de efectuar una verdadera medición, y esta no se consumaría hasta que un ser consciente intervenga. Ludwig (1955) y posteriormente Daneri, Loinger y Prosperi (D.L.P; 1962, 1966) explican el proceso de medición asumiendo que el aparato de medición se encuentra inicialmente en un estado metaestable; la interacción con el sistema cuántico dispara cambios irreversibles en el aparato (como por ejemplo el ennegrecimiento de un cristal de Yoduro de Plata en la placa fotográ…ca del experimento recién discutido). El estado del sistema cuántico se in…ere en término del estado …nal del aparato de medición, a pesar qué éste último alcanza el equilibrio termodinámico bastante después que ha cesado la interacción con el objeto microscópico. Lo anterior ilustra muy bien la idea que el resultado de una medición no se re…ere exclusivamente a ”atributos objetivos” del sistema cuántico. En los desarrollos de D.L.P. se emplea la condición de ergodicidad cuántica o bien la llamada ”master equation”. Al trabajar con la condición de ergodicidad, D.L.P. deben recurrir al carácter clásico del nivel macroscópico - tan enfatizado en la interpretación de Copenhague - para transformar la ”superposición” de estados macroscópicos en una ”mezcla” de estados (Bub 1968). Al trabajar con la ”master equation” D.L.P. parecieran estar resolviendo el problema de fondo, pues con ella se logra eliminar la interferencia entre estados macroscópicos antes que el aparato de medición haya llegado al equilibrio (D.L.P. 1966), de modo que la transformación de la ”superposición” en ”mezcla” no requiere aludir explícitamente al carácter clásico del nivel macroscópico. Sin embargo la ”master equation” no es compatible con la linealidad de la evolución temporal en Mecánica Cuántica (como D.L.P. reconocen; 1966) y su uso equivale implícitamente a hacer uso del comportamiento clásico del nivel macroscópico. Como es sabido, la ”master equation”
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se deriva considerando un sistema abierto sometido a perturbaciones tiempo-dependientes de carácter aleatorio sobre las cuales se promedia. Recordemos que Wigner (1963) demostró que la superposición de estados macroscópicos subsiste aún en el caso en que el aparato de medición se encuentra inicialmente en una mezcla de stados, en contraposición a los resultados D.L.P. De acuerdo a lo anterior la teoría D.L.P. no puede seer considerada en forma separada del marco conceptual de la interpretación de Copenhague. Como tal interpretación no requiere de una ”teoría de medición” donde se trata al aparato de medición como un sistema cuántico (ver …nal de esta sección, o bien sec.2), el trabajo D.L.P. no ofrece ninguna respuesta de fondo a quien ve en el vector de estado una descripción de la ”realidad física” (Jauch et al. 1967). La posición de Bohm y Bub ante la medición en Mecánica Cuántica ya fue comentada en relación a las ”variables ocultas” (ver sección 4). Fock (1965) interpreta al vector de estado como un resumen de las ”potencialidades” del sistema cuántico ante los múltiples procesos de medición (muchas veces excluyente entre sí) a que puede ser sometido. Como dicho vector no describe características ”actuales” sino que ”potenciales” del sistema cuántico, no resulta con‡ictivo su colapso: En cada medición las múltiples potencialidades del sistema se transforman en un único ”hecho consumado” (:resulta de la medición); las futuras potencialidades del sistema dependerán de cual fue su comportamiento real en la medición en consideración y no de las potencialidades existentes antes de medir. La idea de Fock de ”potencialidades” es similar a conceptos de Mecánica Clásica tales como el campo gravitacional: dicho campo describe lo que ocurriría con una partícula en una posición arbitraria del espacio, aunque no exista tal partícula. La posición de Fock básicamente coincide con la interpretación de Copenhague, aunque su actitud no es de manera alguna agnóstica; él enfatiza que el vector de estado describe características objetivas (aunque potenciales) del sistema, dado que basta un único vector de estado para describir cualquier proceso de medición. Everett enfrenta el problema de la medición desde la posición diametralmente opuesta a la escuela de Copenhague; su teoría (conocida como Teoría de los Múltiples Universos: Everett 1957; Wheeler 1957) es la única formulación plenamente consistente con atribuirle valor de realidad al formalismo cuántico. Según Everett la ”superposición cuántica” es una forma fundamental de descripción de la realidad, teniendo vigencia tanto a escala microscópica como macroscópica. En particular, un
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proceso de medición culmina con una superposición de distintos estados, caracterizando cada estado al universo mismo. Si bien se ha criticado a dicha teoría por ser ”antieconómica”, ella tiene el mérito de permitir deducir el postulado probabilístico de medición a partir de la ley determinista de evolución temporal de la Mecánica Cuántica. Así, la teoría de los múltiples universos concilia la aparente contradicción entre un formalismo determinista y el carácter hasta cierto punto aleatorio de un proceso de medición; adicionalmente ella prescinde de uno de los postulados de la formulación convencional. En la teoría de Everett cada resultado posible de una medición tiene asociado un particular estado del aparato de medición, del observador, y en último término del universo mismo. Para tal estado el contenido de conciencia del observador es plenamente compatible con el carácter clásico del nivel macroscópico y la formulación convencional de la teoría cuántica. Sin embargo el estado del universo después de efectuada una medición es una superposición de los distintos estados asociados a resultados bien de…nidos de la medición. Así por ejemplo, en la discusión hecha al comienzo de esta sección, el estado ®Ã F1 + ¯Ã F2 corresponde a la superposición de dos estados, uno donde la partícula impactó en la parte superior de la placa fotográ…ca, el observador grabó en su cerebro la imagen de la placa así ennegrecida, etc....; el otro estado está asociado a un impacto en la parte inferior de la placa, con todo lo que ello conlleva. La Física de cada uno de estos observadores resulta no determinista en lo que atañe al proceso de medición, pero ella sería completamente determinista para un observador ”externo” que pudiera conocer el vector que describe esta superposición de distintos estados del universo. Cabe señalar que el postulado probabilístico de medición puede ser también deducido sin recurrir a la teoría de los múltiples universos (Hartle 1968). Para terminar recordemos la posición de Bohr (1948); según él, el marco conceptual de la Mecánica Cuántica es requerido para la descripción del proceso de medición cuántica, vale decir los resultados de una medición son intuibles y susceptibles de ser comunicados en lenguaje ordinario; los eventos que se registran en el proceso de medición poseen una ubicación espaciotemporal bien de…nida. De este modo el proceso de medición, así como su interpretación aparecen precediendo (en un sentido lógico) a la teoría cuántica, siendo el objeto de esta última describir los resultados …nales de los procesos de medición, para lo cual necesita del lenguaje clásico. Así pues, resulta inaceptable pretender que la Mecánica Cuántica pueda trascender
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sobre sí misma y describa lo que ocurre durante una medición. Al incluir el aparato de medición dentro del sistema en estudio, i.e. al describirlo con el formalismo cuántico, estamos eliminando el proceso de medición sobre el sistema, lo cual hace inaplicable el formalismo cuántico - el cual sólo es apto para describir los resultados de mediciones. De este modo Bohr niega toda validez a una teoría de medición en Mecánica Cuántica.
6. ¿ES LA SEUPERPOSICIÓN CUÁNTICA DE CARÁCTER PURAMENTE ESTADÍSTICO? Aunque el presente tema ya ha sido discutido anteriormente, queremos insistir nuevamente en él en un contexto algo distinto. Sean à 1 y Ã2 los posibles estados resultantes de un proceso de medición M. Si el sistema cuántico está preparado en un estado à = ®Ã1 +¯Ã2 y lo medimos con M obtendremos como resultado Ã1 o Ã2 (no ambos), teniéndose que la probabilidad relativa del primer resultado respecto al segundo es j®j2 = j¯j2 de acuerdo a lo indicado al …nal de la sección 3.
Podría pensarse de lo anterior, que el estado à no corresponde a un conocimiento preciso del estado del sistema, sino que a un conocimiento estadístico. Dicho de otro modo, à no describiría un solo sistema cuántico sino que una gran cantidad de réplicas del mismo, de las cuales una proporción j®j2 está en el estado Ã1 y otra proporción j¯j2 está en el estado à 2 representando à nuestro estado de ”ignorancia subjetiva” respecto al estado del sistema.
La interpretación anterior parece correcta mientras efectuemos la medición M; por ejemplo mientras medíamos con P, parecía que los fotones o seguían el trayecto descrito por ÃA o seguían el trayecto descrito por ÃB en el experimento de los dos espejos, de modo queÃ1 = ÃA + à B sólo representaría nuestra ignorancia sobre cual espejo desvió al fotón sobre la pantalla. Sin embargo se pueden plantear procesos de medición complementarios, incompatibles con M, y cuyos resultados no son conciliables con la presente interpretación estadística de à = ®Ã1 +¯Ã2 en término de autoestados de M. En efecto, sea O otra medición con estados propios Ã0 = Ã1 + à 2 ; à 00 = à 1 ¡ Ã2 (O corresponde a Q en el experimento de los dos espejos). En tal caso
podemos escribir à = (® + ¯)Ã0 + (® ¡ ¯)Ã00 : Ahora si medimos el estado à con el aparto O, la
probabilidad relativa de obtener Ã0 respecto a obtener Ã00 viene dada por j® + ¯j2 = j® ¡ ¯j2 de 24
acuerdo al formalismo de la Mecánica Cuántica. Si en vez de usar directamente el formalismo cuántico, partimos de la interpretación estadística de à en término de autoestados de M y después aplicamos el formalismo cuántico, entonces debemos razonar como sigue: i) Si à = ®Ã1 + ¯Ã2 representa una gran cantidad de replicas del sistema, de las cuales algunas están en estado Ã1 y otras en estado à 2 , entonces al apartar una de estas réplicas para medirla mediante O, ella estará o en estado Ã1 o en estado Ã2: ii) Si la replica está en estado Ã1 = Ã0 +Ã00 , entonces al medir con O obtendremos Ã0 o à 00 con 50% de probabilidades cada uno (pues Ã0 y à 00 aparecen equiponderados en à 1 ). Igualmente si la réplica está en el estado à 2 = Ã0 ¡ Ã00 también debería obtenerse à 0 o à 00 con 50% de probabilidades cada uno.
De este modo, al efectuar la medición O sobre el estado à = ®Ã1 +¯Ã 2 debería ser equiprobable obtener à 0 y Ã00 . Este resultado en general será discordante con la predicción hecha por el formalismo cuántico, y por tanto con la evidencia experimental. De esta manera la interpretación estadística del vector de estado pareciera correcta para una medición particular M; pero al cambiar el proceso de medición M por otro complementario O (esto es, O incompatible con M) entonces la anterior interpretación se quiebra y se debería usar una nueva interpretación estadística en término de autoestados de O. El hecho que la interpretación estadística del vector de estado cambie con el proceso de medición a realizarse nos dice que ella no corresponde a una realidad objetiva y por tanto debe abandonarse (al menos si se plantea en los términos simplistas acá usados). De esta forma sólo aparece el vector de estado como la única descripción objetiva ( es decir independiente del proceso de medición) del sistema.
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Figura 3 Aparato de Medición O Ã ;con estados propios Á; ´; Ã; »; ::: Al medir cualquiera de estos estados con M, sabremos con 100% de seguridad que el estado en cuestión emergerá
por su ”canal” asociado.
Queremos reforzar el punto anterior. Para esto indicaremos que en principio es posible construir, para cualquier vector de estado Ã, un aparato de medición Oà que contenga a à como uno de sus estados propios (Lambd 1969). Al medir à mediante Oà podremos asegurar con 100% de probabilidades cual será el resultado de la medición (ver …g. 3). Esto último nos dice que à no encierra una información estadística, válida para un gran número de réplicas del sistema, sino que à contiene una información precisa sobre cualquier réplica del sistema. Así, la superposición à = ®Ã1 + ¯Ã 2 discutida anteriormente parece contener información estadística ante la medición M (de la cual Ã1 y à 2 son estados propios); sin embargo contiene una información absolutamente precisa) ante la medición Oà , y el sistema se comporta de manera determinista ante esta medición. Creemos que es importante tener presentes los resultados de Lambd cuando se discuten temas tales como el determinismo o la eventual incompletitud de la Mecánica Cuántica.
7. DOS EJEMPLOS NOTABLES DE SUPERPOSICIÓN CUÁNTICA Describimos a continuación dos ejemplos espectaculares sobre el contenido no trivial (no puramente estadístico) de la superposición cuántica). 26
a) Colisión de partículas idénticas Consideremos un proceso de colisión de dos partículas idénticas, por ejemplo, un para de protones especialmente preparados (en lenguaje técnico, con sus spines paralelos para hacerlos indistinguibles uno de otro). Sea PI la probabilidad que el protón proveniente de la izquierda (protón 1, ver …gura 4) alcance el detector, a su vez PD es la probabilidad de detección del protón proveniente de la derecha (protón 2). Siendo ambas partículas indistinguibles se podría pensar (clásicamente) que, como la partícula detectada proviene de la izquierda o de la derecha (subráyese el o), la probabilidad de detección de un protón es simplemente la suma
Pcl¶asico = PI + PD
Figura 4 Sin embargo el resultado experimental contradice esta predicción. La descripción correcta del proceso anterior la ofrece la Mecánica Cuántica, descripción que exponemos a continuación en forma esquemática. Sea Ã1 el vector de estado del sistema para el proceso donde el protón 1 (proveniente de la izquierda) alcanza al detector, respectivamente à 2 asociado al proceso converso; por último sea à = ®Ã 1 + ¯Ã 2 el estado del par de protones (omitiendo el efecto de indistinguibilidad). Así, de acuerdo al formalismo cuántico, la probabilidad de detectar al protón de la izquierda es PI = j®j2 , análogamente PD = j¯j2 : Pero el sentido de la indistinguibilidad en Mecánica
Cuántica es más profundo que el sentido clásico. Por ejemplo en el caso de dos protones (o en 27
general de dos ”fermiones”) la indistinguibilidad nos lleva a modi…car la función de estado à p por ÃF ermi = (à ¡ Ã0 )= 2. donde Ã0 se obtiene de à al reenumerar los protones:1 ! 2; 2 ! 1
En nuestro ejemplo Ã1 ! Ã2 ; Ã2 ! Ã1 y por lo tanto Ã0 = ®Ã2 + ¯Ã1 . Como ahora el protón
1 proviene de la derecha, tenemos por ejemplo que PD = j¯j2 queda inalterada en relación a lo
que se tenía para Ã, es decir à y à 0 representa básicamente la misma situación físicamente. Sin
embargo la verdadera función de estado del sistema es la superposición de ambas. ¢ 1 ¡ 1 à F ermi = p à ¡ Ã0 = p [(® ¡ ¯) Ã1 ¡ (® ¡ ¯) Ã2 ] 2 2 Ahora la probabilidad de detección del protón 1 es j® ¡ ¯j2 =2 y coincide con la del protón
2. La probabilidad de detección de uno de los protones (ya sea 1 ó 2) es por lo tanto.
P =2¢
1 j® ¡ ¯j2 = j®j2 + j¯j2 ¡ 2 (®1 ¯ 1 + ®2 ¯ 2 ) 2
con ®1 y ®2 las partes real e imaginaria de ® y análogamente ¯ 1 y ¯ 2 respecto a ¯: Como j®j2 = PI y j¯j2 = PD tenemos que P = PI + PD + IC donde la ”interferencia cuántica” viene dada ‘por IC = ¡2(®1 ¯ 1 + ®2 ¯ 2 ) Sólo la predicción cuántica describe correctamente los resultados experimentales. Por ejemplo cuando la dirección de de‡exión de los protones es perpendicular a la de incidencia se tiene, debido a argumentos de simetría, que ® = ¯, por lo que P = 0, en concordancia con lo observado. La diferencia básica que hay entre la interpretación clásica y cuántica está en que clásicamente la partícula detectada proviene o de la izquierda o de la derecha (subráyese el o) ocurriendo cada uno de estos nuevos eventos con cierta probabilidad; en cambio cuánticamente la partícula detectada corresponde a una superposición de estos dos estados. Uno de
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ellos corresponde a trayectos
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donde la partícula detectada proviene de la izquierda (Ã para
la partícula 1), y el otro estado a trayectos provenientes de la derecha (Ã0 para la partícula 1). Es justamente esta superposición la que introduce el término de ”interferencia cuántica” que modi…ca las predicciones clásicas. Si la superposición fuera de naturaleza puramente estadística, digamos que correspondiera a nuestra ignorancia subjetiva sobre si la partícula detectada provino de la izquierda o de la derecha, ella no podría llevar a consecuencias objetivas (: la interferencia cuántica, que es observable) sino que bastaría con sumar las probabilidades de estas dos opciones mutuamente excluyentes para tomar en cuenta la indistinguibilidad de los protones. b) Emisión de fotones por átomos irradiando coherentemente: Consideremos un átomo en un estado excitado, digamos con una energía E 0 ; éste se desexcita hasta un estado de menor energía, E, emitiendo el fotón que transporta la energía perdida por el átomo; ¢E = E 0 ¡ E .(ver …gura 5).
Consideremos ahora dos átomos que han sido excitados simultáneamente al nivel E 0 , uno
ubicado en el punto A y el otro en el punto B. Los fotones emitidos los registramos en una placa fotográ…ca. Sean X e Y los puntos donde impactan los dos fotones provenientes de uno y otro átomo.
Figura 5 8 La noción de trayecto puede ser re-itroducida en Mecánica Cuántica mediante el formalismo de integración funcional de Feynmann (1965), pero ya un estado cuántico no describe un único trayecto sino que una superposición de in…nitos trayectos.
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Un análisis clásico reducirá el proceso anterior a dos posibilidades mutuamente excluyentes: {el fotón proveniente de A impactó en X y el fotón proveniente de B impactó en Y}, {el fotón proveniente de A impactó en Y, el proveniente de B en X}, digamos con probabilidades P1 y P2 respectivamente. Entonces la probabilidad de un impacto en X y otro en Y correspondería a la suma de las probabilidades de los dos eventos indicados:
Pxy = P1 = P2
Sin embargo un análisis cuántico nos dice que cada impacto fotónico sobre la pantalla no corresponde a un fotón proveniente ya sea del átomo A o del átomo B, sino que es una superposición de ambos estados fotónicos. Lo anterior es verdaderamente impresionante, al menos para nuestra imaginación habituada sólo a fenómenos clásicos, puesto que aunque la separación entre ambos átomos sea tan grande como se quiera, el efecto de interferencia persiste. Lo anterior ha recibido una notable con…rmación experimental al conseguirse hacer interferir fotones provenientes de dos fuentes con una separación del orden de un metro, todo esto bajo el único requisito que los eventos de desexcitación atómica ocurran simultáneamente (P‡eegor & Mandel 1967). Cabe hacer notar que este experimento se hizo con una intensidad luminosa lo su…cientemente débil como para que en cada momento a lo más se tuviera un fotón viajando entre las dos fuentes y los detectores; tan baja intensidad permitía detectar los fotones uno a uno. Podemos decir que, en el experimento recién citado, cada fotón que se detectaba no tenía asociado un único proceso de desexcitación, sino que una superposición con términos donde el átomo desexcitado que genera al fotón se encontraba en una fuente y otros términos donde el átomo desexcitado se encontraba en la segunda fuente. Los dos ejemplos anteriores rea…rman el profundo sentido de la superposición cuántica: cuando decimos que un sistema esta en el estado à = Ã1 + Ã2 no hacemos alusión a nuestra ignorancia sobre si el estado del sistema es Ã1 .o Ã2 ; à posee características nuevas en relación a las de Ã1 .o Ã2 por separado. Es posible que a veces tengamos una imagen intuitiva de un estado cuántico Ã1 .o Ã2 , pero difícilmente la tendremos de à 1 + Ã2 si Ã1 , Ã2 aparecen como probabilidades mutuamente excluyentes . (Piénsese por ejemplo en el caso en que Ã1 .y Ã2 ! son dos estados propios del observable posición asociados a dos puntos distintos, digamos ¡ r 1
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! ! ! y¡ r2 ; no sólo clásicamente resulta inaceptable que una misma partícula esté en ¡ r1 y ¡ r2 a un mismo tiempo, sino que el mismo formalismo cuántico hace ambas posibilidades mutuamente excluyentes ante una medición de posición).
8. DESCRIPCIÓN CUÁNTICA Y DESCRIPCIÓN CLÁSICA En la presente sección queremos contrastar la descripción cuántica de un sistema con la descripción clásica del mismo. Como se indicó anteriormente, el formalismo cuántico describe un sistema asignando un vector de estado à a cualquier estado físico que dicho sistema pueda tomar, e indicando la forma como ese vector de evoluciona temporalmente en todo momento previo a una medición. Dicho formalismo predice (en términos probabilísticos) los posibles resultados de una medición exclusivamente a partir del vector de estado Ã, independientemente de cual medición sea y de cuando ésta se efectúe. De este modo, aunque no podemos pretender que la descripción del estado de un sistema dada por à en forma previa a una medición sea ”real” (en cuanto reservemos la palabra real para lo que es observable), la capacidad de predicción del formalismo cuántico -independiente de cuando y como se mida - legitimiza mirar a à como una representación del estado del sistema en cuestión. Para precisar el sentido que le queremos dar a la palabra ”representación” usemos el resultado de Lamb: sea à un vector arbitrario del espacio de Hilbert; mediante el aparato de medición Oà (en principio real) podemos preparar un sistema real en un estado que llamaremos Ã: Al transcurrir el tiempo el estado del sistema real evolucionará; a us vez el artefacto matemático à también evolucionará: à ! à (t) Pero cada vector à (t) tiene asociado un aparato
real OÃ(t); al observar el sistema con este aparato en el instante t veremos que él efectivamente emerge por el canal à (t) (…g. 3). (En esta discusión no es esencial el aparato Oà ; igualmente se podían haber empleado varias mediciones complementarias sobre un gran conjunto de réplicas del sistema en estado Ã). de acuerdo a lo anterior se tiene una correspondencia entre el comportamiento real del sistema y el formalismo que lo describe muy similar a una representación matemática o isomor…smo (Hartle 1968). Si bien no están excluidas otras representaciones del estado de un sistema cuántico (Bohm y Bub 1966; Turner 1968), hasta la fecha no existe ninguna que muestre ventajas sobre el vector de estado.
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Para un sistema clásico no se hace distinción entre ”descripción” y ”observación” del sistema, y por tanto la descripción es necesariamente ”real”. La descripción es necesariamente ”real”. La descripción usa el mismo lenguaje intuitivo de la observación. Por ejemplo la descripción completa de un sistema de una partícula consiste en el conocimiento de su ”trayectoria”, esto ! es, su posición ¡ r (t) en todo instante t. Las predicciones no tienen contenido probabilístico: ! simplemente al observar la partícula en un instante t ella estará en ¡ r (t) : Basta conocer la ! trayectoria ¡ r (t) para predecir no sólo la posición de la partícula, sino que también su momento ¡ ! ¡ ! P = m @r @t (m: masa dela partícula), su momento angular, etc. Para determinar completamente la evolución futura de una partícula clásica (así como para reconstruir su pasado) basta conocer su posición y momento en un instante dado; esto es, conocer 6 números reales independientes. Cuánticamente se distingue entre descripción, lo que se hace a través del vector de estado à (t), y observación. En general las predicciones de los resultados de una observación se hacen en términos probabilísticos, de modo que no es posible conocer el resultado de una medición cualquiera, por ejemplo la posición, a partir del conocimiento del vector de estado. Esto último ! indica que no es posible asignar una trayectoria ¡ r (t) a una partícula cuántica. Una medición en general altera el estado de un sistema cuántico, transformando al vector de estado original en un ”vector propio” del aparato de medición. La ausencia de trayectoria entrega cierto status de independencia al momento respecto a la posición: no podemos derivar la primera magnitud partiendo de la segunda pues la posición sólo se conoce en el instante en que es medida, resultando impredictible el resultado de una posterior medición de posición. Esto último incide en lo que se indicó en la sección 4: es carente de sentido asignar posición y momento a una partícula a un mismo tiempo. ! Si por ejemplo sabemos que nuestra partícula tiene velocidad ¡ v (o equivalentemente mo! ! no cabiendo adquirir mento m¡ v ) entonces podemos asignarle un único vector de estado à ¡ v
! más información sobre el sistema; de hecho à ¡ v es una superposición equiponderada de todos ! los posibles estados de posición à ¡ r , de modo que es consubtancial con el conocimiento de la
velocidad el total desconocimiento de la posición. Lo anterior pareciera indicar que la descripción del estado de un sistema cuántico resulta ! más simple que un sistema clásico: en el primer caso basta con conocer la velocidad ¡ v para que el estado de una partícula quede perfectamente determinado, mientras que en el segundo
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! ! se requiere ¡ v y¡ r . Sin embargo existen estados cuánticos que requieren de una descripción mucho más compleja; por ejemplo podemos superponer muchos estados asociados a distintas velocidades á ; á ; :::::; á usando un coe…ciente complejo distinto para cada uno de ellos: v! v! v! n 1 2 à = ®1 à ¡ + ®2 à ¡ + ::::: + ®n á v! v! v! 1 2 n ! ! Aún podemos ir más lejos, asignemos a cualquier valor posible de ¡ v un coe…ciente ®(¡ v)e ! integremos sobre los resultados valores de ¡ v : Ã=
Z
! ! d3 v®(¡ v )á v
En este caso más general la descripción de una partícula involucra conocer el número com! ! ! plejo ®(¡ v ) para todo valor de ¡ v , siendo ¡ v un punto cualquiera de un espacio tridimensional. Esto es mucha más información que los 6 números reales requeridos en Mecánica Clásica. Así pues, la gama de posibles estados cuánticos de un sistema es in…nitamente mayor que la gama de posibles estados clásicos de un sistema equivalente. La razón por la que un estado cuántico requiere de una descripción más rica deriva del hecho que tal descripción debe predecir (probabilísticamente) el resultado de cualquier medición sobre el sistema, a pesar que muchas mediciones son mutuamente incompatibles (Fock 1965). Justamente esto último exige el uso de números complejos. En efecto, sea à = exp(iµ)à A + ÃB un vector de estado (como por ejemplo el que describía al fotón incidiendo sobre la pantalla en secs. 2 y 3); para una medición que discierna entre ÃA y ÃB (como P en el ejemplo) el factor exp(iµ) es irrelevante; pero una medición complementaria (como Q en el ejemplo) dependerá drásticamente del valor de µ). La riqueza de la descripción no es en absoluto super‡ua, sino que es rigurosamente requerida por la información experimental; cada vector (más precisamente, cada rayo) del espacio de Hilbert tiene asociado un distinto estado del sistema y por tanto representa una distinta situación experimental; asimismo es posible, al menos en principio, preparar un sistema en cualquiera de estos estados (siempre que se respeten las llamadas reglas de superselección). Es justamente este lenguaje descriptivo el que ha permitido entender, no sólo fenómenos rebuscados que se consiguen arti…cialmente en un laboratorio, sino que la estabilidad misma de la 33
materia que constituye nuestro mundo macroscópico, así como sus propiedades. Para ello se ha necesitado introducir nuevos conceptos, totalmente carentes de sentido en la descripción clásica, como por ejemplo el de partículas idénticas. Justamente este último concepto ha sido clave para entender una gama muy diversa de hechos, como las propiedades de la tabla periódica, la existencia de metales y aisladores, incluyendo algunos tan exóticos como la superconductividad y las estrellas de neutrones. Pero la teoría cuántica no sólo nos ha permitido entender el comportamiento de la naturaleza, sino que nos ha obligado a abandonar una visión simplista de la realidad y de la manera en que podemos conocerla, siendo esto válido para cualquier actitud …losó…ca con que nos enfrentamos a la teoría cuántica.
AGRADECIMIENTOS: Quiero agradecer muy especialmente a los profesores H. Massmann Y F. Schwartzmann por la colaboración prestada en el desarrollo de este trabajo.
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Jaime Roessler es profesor de Física de la Universidad de Chile. El realizó sus estudios de Física en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Chile, obteniendo la Licenciatura en Ciencias en 1971. El profesor Roessler es autor de 12 Trabajos Cientí…cos publicados en revistas cientí…cas internacionales sobre diversos tópicos de la Física de la Materia Condensada. Su labor docente se ha proyectado en la conducción de numerosas tesis de Licenciatura.
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