Nama : Bama NurrochmanNo : 16Kelas : XI A1RINGKASAN MATERI LINGKARAN
Nama : Bama Nurrochman
No : 16
Kelas : XI A1
DAN 15 SOAL beserta PEMBAHASANNYA
RINGKASAN MATERI.
Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)
Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.
Persamaan umum lingkaran adalah:
Mencari jarak antara 2 titik A (x1,y1) dan B (x2,y2):
Mencari jarak antara titik A (x1,y1) dan garis Ax+By+C=0 :
Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran :
Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:
Kedudukan garis terhadap lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.
Lihat diskriminannya:
Jika
D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.
Contoh 1:
Tentukan posisi garis:
terhadap lingkaran
Jawab:
Karena , maka garis berada di luar lingkaran.
Persamaan garis singgung lingkaran
Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran
Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:
Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:
Jika persamaan lingkaran berbentuk , maka persamaan garis singgungnya:
Persamaan lingkaran dapat juga diubah menjadi dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m
atau
15 Soal dan pembahasannya
Persamaan umum lingkaran dengan pusat (-2,3) berjari –jari 1 cm adalah… ?
x2 + y2 - 4x + 6y = -6
x2 + y2 + 4x + 6y = 6
x2 + y2 - 4x - 6y = -12
x2 + y2 + 4x - 6y = 7
x2 + y2 - 4x + 6y = 7
jawab :
persamaan umum lingkaran = (x-a)2 + (y-b)2= r2
diket : a = -2, b = 3, r= 1cm. Maka = (x+2)2 + (y-3)2= 12
= x2 + y2 + 4x - 6y -6 = 1 x2 + y2 + 4x - 6y = 7 D
Tentukan dan jari – jari lingkaran x2 + y2 = 169 :
13
12
14
10
11
Jawab : Persamaan umum lingkaran dengan pusat (0,0) = x2 + y2 = r2
Diket : persamaan lingkaran x2 + y2 = 169.
Maka x2 + y2 = 169 sama saja x2 + y2 = 132. Berarti r = 13 A
Tentukan jari – jari lingkaran dengan persaman (x + 3)2 + (y + 2)2 = 45
15
35
45
32
7
Jawab : Persamaan umum lingkaran dengan pusat (a,b) = (x-a)2 + (y-b)2= r2
Diket : (x + 3)2 + (y + 2)2 = 45. Berarti r2 = 45
R = 45 sama saja r = 35 B
Dari soal nomor 3 tentukan pusat lingkarannya.
(-3,2)
(-5,-2)
(-3,-2)
(-2,-3)
(3,2)
Jawab : Diket : persamaan lingkarannya (x + 3)2 + (y + 2)2 = 45
Padahal persamaan umum lingkaran dengan pusat (a,b) (x-a)2 + (y-b)2= r2
Berarti a = -3, b = -2 C
Tentukan jari – jari lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y = 0
6
7
4
5
3
Jawab : menentukan jari – jari dengan rumus = -12A2+(-12B)2-C
Diketahui : A = -6, B = 8, C = 0, maka r = -12(-6)2+(-128)2-0
r = 32+(-4)2 = 9+16
r = 25 maka r = 5 D
Jika titik (2,-1) terletak pada lingkaran x2 + y2 + hx + 8y + 11 = 0, maka nilai h ?
4
3
-4
-3
-5
Diket : x1 = 2, y1 = -1. titik (2,-1) terletak pada lingkaran A x2 + y2 + hx + 8y + 11 = 0
Disubstitusikan : 22 + -12 + 2h + 8(-1) + 11 = 0 4 + 1 + 2h – 8 + 11 = 0
2h + 8 = 0 2h = -8, berarti h = -4 C
jika titik (2,-1) terletak diluar lingkaran x2 + y2 + kx + 8y + 13 = 0, maka nilai k ?
K > -3
K > 3
K > -5
K < 5
K < -4
Titik (2,-1) terletak diluar lingkaran x2 + y2 + kx + 8y + 13 = 0, berarti (x - a)2 + (y - b)2 > r2
Disubstitusikan 22 + (-1)2 + 2k + 8(-1) + 13 > 0 2k + 10 > 0
2k > -10 berarti k > -5 C
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 13 di titik (-2,3)
-2x + 3y = -13
-2x + 3y = -13
2x - 3y = -13
3x – 2y = 13
3x – 2y = -13
Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0,0) = x1x + y1y = r2
Diket : x1 = -2, y1 = 3, r2 = 13. Maka -2x + 3y = 13 ( dikalikan -1 semua agar koefisien x menjadi positif ) berarti = 2x – 3y = -13 C
Persamaan garis singgung di titik ( 3,2) pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0 adalah …
4x – 21 = 0
4x – 5y – 21 = 0
2x – 2y – 25 = 0
4y – 30 = 0
2x – 2y – 14 = 0
Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a,b) adalah (x-a)(x1-a) + (y-b)(y1-b) = r2
Diket : x1 = 3, y1 = 2, dan persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0
Berarti kita harus mencari pusat lingkarannya dan jari – jari terlebih dahulu!
Pusat = (-12A), (-12B) maka ( -122), ( -12(-4)) Pusat = ( -1,2), r=-12A2+(-12B)2-C
r=-12+22-(-20) r = 25 berarti r = 5
(x - a)(x 1- a) + (y - b)(y1 - b) = r2 (x+1)(3+1) + (y-2)(2-2) = 52
(x+1) 4 + (y-2) 0 = 25 4x+4 = 25. Jadi persamaan lingkarannya 4x-21 = 0 A
Diketahui lingkaran x2 + y2 + 2px +10y + 9 = 36, maka nilai p adalah….
23
25
5
2
-25
Kita pakai rumus r2= -12A2+ -12B2-C
r2 = -122p2+ -12102-9 36 = p2 + 25-9
36 = p2 + 16 maka p2 = 20, p = 25 B
Persamaan lingkaran dengan pusat P (3,1) dana menyinggung garis 3x + 4y +7 = 0 ??
a. x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0
b. x2 + y2 - 6x - 2y + 9 = 0
c. x2 + y2 - 6x - 2y - 6 = 0
d. x2 + y2 + 6x - 2y -9 = 0
e. x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0
persamaan dengan pusat (3,1)
(x-a)2 + (y-b)2 = r2, a = 3, b = 1
Menyinggung garis 3x + 4y +7 = 0 garis ini identik dengan Ax + By + C = 0
A = 3, B = 4, C = 7. r = Aa + Bb +CA2 + B2 r = 3.3 + 4.1 +732 + 42 r = 2025
r = 205 maka r = 4, sehingga persamaan lingkarannya (x-3)2 + (y-1)2 = 42.
X2 + y2 – 6x – 2y + 9 + 1 = 16 jadi persamaannya adalah x2 + y2 - 6x - 2y - 6 = 0 C
Persamaa garis singgung lingkaran x2 + y2 + 10x – 12y + 20 = 0 yang melalui titik (-9.1)?
a. 4x – 5y + 31 = 0 d. 4x + 5y + 31 = 0
b. 4x – 5y + 41 = 0 e. 4x + 5y + 42 = 0
c. 4x – 5y - 31 = 0
diket : x1 = -9, y1 = 1, A = 10, B = -12, C = 20
x1x + y1y + 12 A (x + x1) + 12 B (y + y1) + C = 0 -9x + y + 12 10 (x + -9) + 12 -12 (y + 1) + 20 = 0
-9x + y + 5x -45 -6y -6 + 20 = 0
-4x – 5y -31 = 0 4x + 5y + 31 = 0 D
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x – 2 )2 + (y + 1 )2 = 13 dititik berabsis -1 ??
a. 3x – 2y – 3 = 0 D. 3x + 2y + 9 = 0
b. 3x – 2y – 5 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0
c. 3x + 2y – 9 = 0
titik berabis -1, berarti x = -1. Lalu substitusikanlah
(x – 2 )2 + (y + 1 )2 = 13 (-1 – 2 )2 + (y + 1 )2 = 13
(y + 1)2 = 4 ( y + 1) = 2 maka y = 1
( y + 1) = -2 atau y = -3
Maka titik – titiknya ( -1, 3) atau (-1, 1)
(x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2 (x – 2)(-1 – 2) + (y + 1)(-3 + 1) = 13
-3x + 6 – 2y – 2 = 13 - 3x – 2y – 9
Dikalikan -1 semua 3x + 2y + 9 D
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y + 1 = 0 yang tegak lurus garis 3x – y =0?
a. y – 3 = -3 (x-1) ± 3 10
b. y – 3 = -3 (x-1) ±10
c. y – 3 = -13 (x-1) ±10
d. y – 3 = -13 (x-1) ± 310
e. y – 3 = -13 (x-1) ± 9 10
tegak lurus dengan 3x – y = 0 berarti y = -3x m1 = 3, m2 = -13
tegak lurus berarti kita gunakan m2
pusat lingkaran (1, 3), r = 3 y – b = m (x – a ) ± r 1+m2
y – 3 = -13x-1± 3 1+(-13)2 y – 3 = -13x+ 13± 3 109
y – 3 = -13x+ 13± 10 C
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran dari titik (0,4) pada lingkaran x2 + y2 = 4
A. y = x + 4 C. y = -x + 4 E. y = -x 2 + 4
B. y = 2x + 4 D. y = -x 3 + 4
Jawab:
titik (0,4) berada di luar lingkaran :
karena 02 + 42 > 4
persamaan garis singgung melalui titik (0,4):
y = mx +c
x1 = 0; y1 = 4
y – y1 = m ( x – x1 ) ;
y – 4 = m(x-0)
y = mx+4 maka c = 4
cari nilai m
y1 - b = m (x1 - a) + c ; dimana c = r 1+ m2
c = r 1+ m2 c2 = r2 (1 + m2 )
16 = 4 (1+ m2 )
16 = 4 + 4m2
12 = 4m2
M2 = 3
m = ± 3
masukkan ke dalam persamaan y = mx+4.
jika m= 3 y = 3 x +4
jika m = - 3 y = -3 x + 4 D
