#Revista Guia do Estudante Vestibular+Enem - Matemática (2017)

APRESENTAÇÃO

Um plano para os seus estudos Este GUIA DO ESTUDANTE MATEMÁTICA oferece uma ajuda e tanto para as provas, mas é claro que um único guia não abrange toda a preparação necessária para o Enem e os demais vestibulares.

É por isso que o GUIA DO ESTUDANTE tem uma série de publicações

que, juntas, fornecem um material completo para um ótimo plano de estudos. O roteiro a seguir é uma sugestão de como você pode tirar melhor proveito de nossos guias, seguindo uma trilha segura para o sucesso nas provas.

�

Decida o que vai prestar

O primeiro passo para todo vestibulando é escolher com clareza

a carreira e a universidade onde pretende estudar. Conhecendo o grau de dificuldade do processo seletivo e as matérias que têm peso maior na hora da prova, fica bem mais fácil planejar os seus estudos para obter bons resultados. COMO O GE GE PODE PODE AJUDAR VOCÊ O GE PROFISSÕES traz todos os cursos superiores existentes no Brasil, explica em detalhes as características de mais de 260 carreiras e ainda i ndica as instituições que oferecem os cursos de melhor qualidade, de acordo com o ranking de estrelas do GUIA DO ESTUDANTE e com a avaliação oficial do MEC.

CAPA: 45 JUJUBAS

CALENDÁRIO GE GE 2016 2016



�

Revise as matérias-chave

Para começar os estudos, nada melhor do que revisar os pontos mais importantes das principais matérias presentes prese ntes no Ensino Médio. Você pode repassar todas as disciplinas ou focar só em algumas delas. Além de rever os conteúdos, é fundamental fazer exercícios para praticar. praticar.  COMO O GE GE PODE PODE AJUDAR VOCÊ Além do GE MATEMÁTICA, que você

já tem em mãos, mãos, produzimos um guia para cada cada matéria do Ensino Ensino Médio: GE QUÍMICA , Física, Biologia, História, Geografia, Português e Redação. Todos reúnem os temas que mais caem nas provas, trazem muitas questões de vestibulares para fazer e ainda têm uma linguagem fácil de entender, permitindo que você estude soz inho.

Veja Veja quando são lançadas as nossas publicações MÊS Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro

� Mantenha-se atualizado O passo final é reforçar os estudos sobre atualidades, pois as provas exigem alunos cada vez mais antenados com os principais fatos que ocorrem no Brasil e no mundo. Além disso, é preciso conhecer em detalhes o seu processo seletivo – o Enem, por exemplo, é bastante diferente dos demais vestibulares.

PUBLICAÇÃO GE HISTÓRIA GE ATUALIDADES 1 GE GEOGRAFIA GE QUÍMICA GE PORTUGUÊS GE BIOLOGIA GE ENEM GE FUVEST GE REDAÇÃO GE ATUALIDADES 2 GE MATEMÁTICA GE FÍSICA GE PROFISSÕES

Novembro Dezembro Os guias ficam um ano nas bancas – com exceção do ATUALIDADES, que é semestral. Você Você pode comprá-los também nas lojas on-line das livrarias Cultura e Saraiva.

 COMO O GE GE PODE PODE AJUDAR VOCÊ O GE Enem e o GE Fuvest são dois

verdadeiros “manuais de instrução”, que mantêm você atualizado sobre todos os segredos dos dois maiores vestibulares do país. Com duas edições no ano, o GE ATUALIDADES traz fatos do noticiário que podem cair nas próximas provas – e com explicações claras, para

FALE COM A GENTE �

Av. das Nações Unidas, 7221, 18º andar, CEP 05425-902, São Paulo/SP, Paulo/SP, ou email para: [email protected]

quem não tem o costume de ler jornais nem revistas. GE MATEMÁTICA ��

3

CARTA AO LEITOR

� EM CADA ��

APROVADOS NA USP USARAM

A P I S / R A H E B Y N O H T N A

SELO DE QUALIDADE GUIA DO ESTUDANTE

O valor de conhecer

N

a política e na vida, a ignorância não é uma virtude.” A frase foi dita pelo presidente

PARA FORMANDOS

O presidente dos Estados Unidos, Barack Obama, na cerimônia de formatura da Universidade Rutgers

O selo de qualidade acima é resultado de uma pesquisa realizada com 351 estudantes aprovados em três dos principais cursos da Universidade de São Paulo no vestibular 2015. São eles: DIREITO, DA FACULDADE DO LARGO SÃO FRANCISCO � � ENGENHARIA, DA ESCOLA POLITÉCNICA � e � MEDICINA, DA FACULDADE DE MEDICINA DA USP �



dos Estados Unidos, Barack Obama, na

cerimônia de formatura de uma turma da Universidade Rutgers. Na ocasião, Obama criticava o então candidato à presidência Donald Trump. Mas a ideia se encaixa no dia a dia de qualquer um. Vive melhor quem acompanha de perto as transformações

 Entre

os que utilizaram versões impressas do GUIA DO ESTUDANTE: 88% dis 88% dis seram que os guias guias ajudaram na preparação. 97% recomendaram os guias para outros estudantes.

de seu tempo. Para você, vestibulando, o raciocínio é mais válido válido do que nunca. nunca. Para ir bem nas prova provass de vestibular vestibular,, é fundamental saber interpretar as notícias. E, para isso, é

importante, entre outras coisas, dominar aspectos básicos de diversas ciências, particularmente da matemática. A matemática está oculta em muitas das notícias que você vê na TV, na internet ou nos jornais. Em geofísica, explica como ocorrem os terremotos; em economia, ajuda a interpretar gráficos; em geografia e meio ambiente, é essencial para compreender a relação entre o crescimento da população e o estoque de recursos naturais do planeta. Ou seja, saber essa ciência exata não conta pontos apenas nas provas de matemática, mas também nas de outras áreas, e também na redação. Nós, editores do GUIA DO ESTUDANTE MATEMÁTICA VESTIBULAR + ENEM, entendemos que quem enxerga o lado prático da matemática aprende mais rápido. Por isso pinçamos para esta edição alguns dos grandes assuntos da atualidade como ponto de partida para trabalhar com os conceitos matemáticos básicos básicos.. O conteú conteúdo do foi prepa preparad radoo pelo pelo profe professor ssor Fabio Fabio Marson Marson Ferreira, do Colégio Móbile, de São Paulo. A primeira decisão acertada que você pode tomar agora é mergulhar neste guia e se preparar para um futuro futu ro de sucesso.  A redação 4

GE MATEMÁTICA GE MATEMÁTICA ��

8 em cada 10 entrevistados na pesqu isa usara m algum algum conteúd conteúdo o do GUIA DO ESTUDANTE durante sua preparação para o vestibular

TESTADO E APROVADO APROVADO � A pesquisa quantitativa por meio de entrevista pessoal foi realizada nos dias 11 e 12 de fevereiro de 2015, nos campi de matrícula dos cursos de Direito, Medicina e Engenharia da Universidade de São Paulo (USP).

Universo total de estudantes aprovados nesses cursos: 1.725 alunos. � Amostra utilizada na pesquisa: 351 entrevistados. � Margem de erro amostral: 4,7 pontos percentuais. �

SUMÁRIO

�� r � � o S �� 78

POTÊNCIA E LOGARITMO Abalos semelhantes, prejuízos diferentes Países mais pobres, com

80

Potenciação As propriedades da multiplicação de um número por ele

 Ma te má t ic a

VESTIBULAR + ENEM 2017

infraestrutura precária, sofrem mais com terremotos mesmo repetidas vezes 82

92

é o expoente de um número e seus gráficos Funções e equações logarítmicas Como encontrar o expoente de uma potência Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

94

TRIGONOMETRIA Os danos colaterais do aeromodelismo bélico Os drones usados

86

ÍNDICE REMISSIVO 8

Onde você encontra nesta edição os principais conceitos FÓRMULAS E CONCEITOS

10

14 16 19 24 28

46 52 58

60

contra terroristas fazem muitas vítimas entre civis inocentes 96 Triângulos e a circunferência trigonométrica Relações entre ângulos nas figuras de três lados 100 Funções trigonométricas As expressões que definem seno, cosseno e tangente e seus gráficos 102 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

As expressões matemáticas e os conceitos mais importantes

NÚMEROS E OPERAÇÕES Devem e pagam quando puderem A dívida dos estados com a União Números e conjuntos Os conceitos básicos para qualquer cálculo Razão e proporção Relações entre grandezas Juros Os cálculos básicos que envolvem o custo do dinheiro Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

GEOMETRIA 30 Júpiter recebe um bisbilhoteiro A sonda Juno, da Nasa, chega 32 36 38 40

Funções e equações exponenciais As expressões nas quais a variável

ao planeta gigante Ponto, reta e plano Os elementos essenciais das figuras geométricas lineares Plano cartesiano O quadriculado que permite localizar qualquer ponto Gráficos As diversas maneiras de representar a variação de grandezas á rea de quadrados, retângulos, Polígonos Medidas de lado e área trapézios e triângulos Cônicas As curvas abertas e fechadas que não têm arestas e suas equações Sólidos O volume de prismas, cilindros, cones e pirâmides Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

ÁLGEBRA A juventude e o desemprego Os jovens são os mais afetados na hora

PROGRESSÕES 104 Disparidade econômica evidente na demografia As consequências da

explosão demográfica na África e redução da população na Europa 106 PA As progressões que evoluem pela soma de uma razão 108 PG As sequências que crescem ou decrescem de maneira exponencial comentadas e síntese do capítulo 110 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas

COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 112 Contra toda a probabilidade A decisão do Reino Unido de deixar

a União Europeia 114 Combinatória As diferentes maneiras de arranjar e combinar

elementos de um conjunto 117 Probabilidade Como calcular as chances de ocorrer um evento 120 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

MATRIZES Sai a TV analógica, entra a digital A partir de 2018 todas as cidades 122

receberão apenas sinais digitais 124 Conceitos e propriedades Como funcionam as matrizes 126 Determinantes Números que facilitam cálculos em diversas áreas 128 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

de buscar trabalho 62 68

Função e equação de 1º grau A expressão que define uma reta Posições relativas de retas As funções que descrevem retas

70 76

perpendiculares, concorrentes ou paralelas Função e equação de 2º grau As parábolas e suas expressões matemáticas Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

GE MATEMÁTICA MATEMÁTICA �� 6 GE

RAIO�X 130 As características dos enunciados que costumam cair nas provas do

Enem e dos principais vestibulares SIMULADO 132

�� questões e suas resoluções, passo a passo

ÍNDICE REMISSIVO

Conteúdo matemático Em ordem alfabética, os termos que remetem aos diversos conceitos abordados nesta edição

F

P Parábola ..........................................50, 70 a 75 Permutação Permutação ...................... .................................. ..................115 ......115 a 116 Plano .........................................................32, 33 cartesiano................................ ........................................... ...........36, 36, 37 Poliedros ........................................................53 Polígonos ..............................................40 a 45 Inscritos e circunscritos ............. ...................... ......... 48 Potenciação Potenciação .................... ................................ .....................80 .........80 a 85 Ponto.............. ......................... ...................... ...................... ..................32 .......32 e 45 Porcentagem Porcentagem ...................... ................................. .................... ......... 22, 23 Princípio de Cavalieri ....................... .................................55 ..........55 Prismas........................... ...................................... ...................... .............. ... 53, 54 Probabilidade................ Probabilidade........................... .....................117 ..........117 a 119 Proporção ................................................19, 20 Progressão aritmética (PA) ............. ............. 106, 107 Progressão geométrica (PG) (PG).......... ............ 108, 109

Ângulos .......................................33, 34, 98, 99 Área..................... ................................ ....................... ....................... ............. 41 a 44 do círculo ............................... .......................................... .................. ....... 46 de polígonos ........................... ....................................41 .........41 a 44 de sólidos ............................. ........................................ ............. 53 a 55 Arranjos ....................... .................................. ...................... ..................... .......... 116 Árvore das possibilidades .................114, .................114, 115

Fatorial ..........................................................115 Fórmula de Bhaskara ............................ ..................................72 ......72 Funções análise de sinal ...................... ................................. ...................65 ........65 conceitos......................... .................................... .................... .........62, 62, 63 domínio ...................... ................................. ...................... .....................67 ..........67 exponenciais ................ ............................ ....................82 ........82 a 85 logarítmicas ..................... ................................ ...................90 ........90,, 91 de 1º grau ................... .............................. ...................... ............. 63 a 65 de 2º grau...................... .................................. .................... ........70 70 a 75 trigonométricas.......................... ..............................100, ....100, 101

B

G

Bhaskara, fórmula de ............................ ..................................72 ......72

Gráficos ................................................. 37 a 39

C

H

Capital ...................... ................................. ...................... ....................... ............... ... 24 Cavalieri, princípio de ............................... ................................55 .55 Cilindros ...................... ................................. ...................... ...................... ............55 .55 Círculo...................... ................................. ...................... ....................... ............... ... 46 Circunferência............ Circunferência....................... ...................... ..............46 ...46 a 48 equação da ...................... ................................. ....................... ................47 ....47 inscrita e circunscrita ............. ........................ ............... .... 48 trigonométrica............... trigonométrica.......................... .................. .......97 97 e 98 Combinação ....................... .................................. ...................... .............. ... 116 Cone ................................................................56 Conjuntos ..................... ................................ ....................... ...................... ..........17 17 numéricos....................... .................................. ...................... ................ .....18 18 Cosseno ....................................................97, 99 lei dos cossenos........................................99

Hipérbole................... Hipérbole.............................. ....................... ...................50, .......50, 51

Razão ..............................................................22 Regra de três .............................. ......................................... ...................21 ........21 Reta .........................................................33 a 35 coeficiente angular ............................... ................................. 64 coeficiente linear ...................... .................................. .............. 64 equação da ..................... ................................ ....................... ................65 ....65 posição relativa ..................33 ..................33 a 35, 68, 69

I

S

Inequações ....................................................66

Sistemas de equação....................................66 Seno ................................ ........................................... ...................... ............. 97 a 99 lei dos senos .............................................99 Sólidos geométricos ............. ........................ .............. ... 52 a 57

A

D Determinantes......................... ....................................126, ...........126, 127

E Elipse............................. ......................................... ....................... .............49 ..49 a 51 excentricidade ...................... ................................. .................. ....... 50 Equações da circunferência.............. circunferência......................... ...................... ............47 .47 8

da hipérbole............ hipérbole....................... ...................... ...................... ............. 51 da parábola ...................... ................................. ...................... .............. ... 71 de 1º grau ...................................................65 de 2º grau...................... .................................. .......................71, ...........71, 72 da reta....................... .................................. ...................... ...................... ............65 .65 sistemas de ................................................66 Escala de redução ............................... .......................................... ................ ..... 20 Richter ....................... .................................. ...................... .....................8 ..........899 Eventos............ Eventos ....................... ...................... ...................... ...................... ............. 118


J Juros ........................... ...................................... ...................... ................ .....24 24 a 27

L Logaritmo......................... ..................................... .....................86 .........86 a 91

M Matrizes ....................... .................................. ...................... .............124, ..124, 125 Média...................... ................................. ....................... ....................... ............... .... 118 Mediana ....................... .................................. ...................... ..................... .......... 118 Moda..................... ................................ ....................... ....................... ................. ...... 118 Montante ....................... .................................. ...................... .................... ......... 24

N Notação científica............................ ....................................... ............. 81

Q Quadrantes ........................................37, 97, 98

R

T Tangente ......................... ............. ......................... .................. ..... 97, 97, 98, 99 Teorema de Pitágoras ....................... .............................. ....... 44, 45, 98 de Tales ....................................................35 Trapézio....................... .................................. ...................... ...................... ...........42 42 Triângulos ..................... ...............................42 ..........42 a 45, 96, 97 na circunferência trigonométrica ...97, 98 retângulos .................... ............................... ............... 44, 45, 98 semelhança de.......................... de................................. .......96, 96, 97

V Volume ....................... .................................. ...................... .................. ....... 56, 57 equivalência de ...................... .................................. ................56 ....56

FÓRMULAS E CONCEITOS

Para não esquecer

Equação: Se o centro estiver nas coordenadas C (0, 0): x Q2 + yQ2 = r2

Uma lista de conceitos e fórmulas desta edição

Se o centro não coincidir com (0, 0): (xQ – xC)2 + (yQ – yC)2 = r2

Compostos: Mn= C . (1 + i)n

ANÁLISE COMBINAT COMBINATÓRIA ÓRIA

ELIPSE

LOGARITMOS

Permutação simples: P nS = n!

Equações:

Logaritmo do produto: logb (a . c) = logb a + logbc

JUROS Simples: J = C . i . n

2

2 y x 2 + 2 = 1 sempre com a > b a b

Permutação com repetição: a,b,c,...

Pn

=

n! a!b!c!...

2

A n,p=

+

a2

n! (n–p)!

Arranjo com repetição: repetição:

2

Qx – m V

Arranjo simples:

Logaritmo do quociente:

Qy – n V

b2

= 1, se semp mpreco recoma ma

2

b

1 log b ( a ) = – lo lo g b a

c Excentricidade: e = a r A n, p

=n

Logaritmo de potência: logb(an) = n . logba e logb(bn) = n

p

FUNÇÃO DE 1º GRAU Combinação simples: C n,p =

a log b ( c ) = lo g b a – l o g b c

Mudança de base do logaritmo:

f(x) = y = a . x + b, em que

A n,p n! = p! (n–p)!p!

log c a =

• a é o coeficiente angular da reta:

ÁREA DE FIGURAS PLANAS PLANAS

a=

3y 3x

=

(y A – y B ) (y B – y A ) = (x A – x B ) (x B – x A )

log b a log b c

MATRIZES

altura Retângulo: A = base . altura Diagonais: 2

Quadrado: A = lado . lado = lado

linear da reta é o valor • b é o coeficiente linear de y quando quando x = = 0

Losango: diagonalmaior diag onalmaior . diag diagonalmenor onalmenor A= 2

no ponto Raiz da função é o valor de y no em que a reta cruza o eixo x :

Trapézio:

y=a.x+b&0=a.x+b

A=

(basemaior + basemenor).h 2

altura Paralelogramo: A = base . altura

&

b x=–a

diagonal principal

A = A11 A21 A12 A22 Matriz identidade:

I=

FUNÇÃO DE 2º GRAU

diagonal secundária

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Forma geral: y = a . x2 + b . x + c Soma de matrizes: Forma fatorada: y = a . (x – x1) . (x – x2)

Triângulo: 2

base .altur .altura a A= 2

Forma canônica: y = a . (x – x V) + y V Fórmula de Bhaskara

Círculo: A = π . r 2 x=

10

–b

!

a12 + b12 a22 + b22 ... aij + bij

a13 + b13 a23 + b23 ... aij + bij

Multiplicação por um número:

2

b –4.a.c 2 .a

CIRCUNFERÊNCIA

Coordenadas do vértice da parábola:

Comprimento: P = 2 . π. r

xv=– b 2 .a


a11 + b11 Aij + Bij = a21 + b21 ... aij + bij

D

yv = – 4 . a

k . Aij =

k . a11 k . a21 ... k . aij

k . a12 k . a22 ... k . aij

k . a13 k . a23 ... k . aij

Multiplicação de matrizes: Os elementos da matriz P produto de A 1 . A 2 são obtidos pela multiplicação dos elementos de cada linha de A 1 pelos ele-

mentos correspondentes de cada coluna de A 2. Depois, os resultados são somados.

PROBABILIDADE Eventos independentes: P (A

+

B ) = P (A ( A ) . P (B (B)

União de dois eventos: P (A

,

B ) = P (A (A ) + P (B ( B ) – P (A

+

B)

PA E PG

Média aritmética: É a soma de todos os

Termo geral de uma PA:

an = a1 + (n – 1) . r, para n ≥ 2

valores dos elementos de um conjunto dividida pelo número total de elementos do conjunto.

Soma dos termos de uma PA:

Média ponderada: Leva em consideração

o peso de cada elemento do conjunto.

n . ( a 1 + a n) Sn = 2

central de uma Mediana: É a medida central

an = a1 . q , n ≥ 2

lista de medidas colocadas em ordem crescente, ou decrescente.

Soma dos termos de uma PG finita:

Moda: É o valor que mais aparece em

Termo geral de uma PG: n-1

a 1 . (q n –1 –1)) paraq Sn = q– 1

uma série de dados. !

1

Soma dos termos de uma PG infinita: a lim S n = – q –11 lim n

TRIÂNGULOS Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2

" 3

Razões trigonométricas: sen a =

catetoopostoa a hipotenusa

n = a . 10x, em que 1 ≤ a < 10

co s a =

cateto adja cateto adjacen cente te a a hipotenusa

Propriedades: • am . an = am + n

tg a =

POTENCIAÇÃO Notação científica:

• am : an = am – n • (am)n = am . n 

1 b a–b = S a X

•a

m n

=

n

catetoopostoa a cateto cate to adja adjacen cente te a a

Lei dos senos: a c b sen a = sen b = sen c Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2– 2 . b . c . c o s a

am

VOLUME VOLUME DE SÓLIDOS •(m.n) b = m b . n b



b

S X m n

mb = b n

• a0 = 1, desde que a ≠ 0

4

Esfera: v = 3 . r . r

3

Prisma: v = A base . h

1

Pirâmide: v = 3 . A base . h 2

Cilindro: v = r . r .h

1

2

Cone: v = 3 . r . r .h

1

NÚMEROS E OPERAÇÕES CONTEÚDO DESTE CAPÍTULO

 Conjuntos numéricos ................................... .................................................... ................................... ................................. ............... ��  Razão e proporção............................................ ............................................................. ................................... .............................. ............ ��  Juros

.................... ...................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... ......... �� prova + Resumo................................... ..................................................... .................................... .................. ��

 Como cai na

Devem, mas pagam pagam quando puderem Aumento Aumento de gastos e redução redução de de receitas receitas arruínam arruínam as finanças dos estados e levam governadores a negociar com o governo federal a dívida com a União

O

s estados brasileiros e o Distrito Federal estão com as contas no vermelho. Algumas mais, outras menos, as 27 unidades da federação chegaram a 2015 com a contabilidade negativa, grande parte delas incapaz de pagar fornecedores e quitar dívidas. E, no geral, o maior credor dos estados é a União. Em maio de 2016, São Paulo devia ao governo federal mais de 220 bilhões de reais, Minas Gerais, 80 bilhões, Rio de Janeiro e Rio Grande do Sul, 57 e 52 5 2 bilhões, respectivamente. Sem dinheiro, os governos paralisam obras, atrasam o pagamento dos salários de servidores e não conseguem repor materiais básicos em hospitais e postos de saúde. Em dezembro de 2015, o Rio de Janeiro decretou estado de emergência na saúde pública e durante cinco meses amargou greves de professores. Diversos fatores contribuem para o saldo

negativo nas contas dos estados. Redução em tarifas públicas derruba a arrecadação do Imposto sobre Circulação de Mercadorias Mercadorias e Serviços (ICMS), importante fonte de recursos estaduais. A valorização valorização do salário salário mínimo mínimo,, que é corrigido corrigido acima da inflação desde 2003, engorda a folha de pagamento, que também tem sido inchada nos últimos anos por novas contratações e reajustes salariais concedidos pelos governos estaduais, em contrapartida ao aumento das receitas. 14


A atual dívida com a União União foi contraída contraída entre entre 1997 e 1999, quando, para salvar os estados, o gogo verno verno federal federal assumiu assumiu o pagament pagamento o aos credor credores, es, concedendo aos governadores prazos e índices de correção mais favoráveis. No entanto, as regras e a situação econômica do país mudaram. Hoje, os valores valores das parcelas parcelas são atualizad atualizados os segundo a variaç variação ão da taxa taxa básica básica de juro juro (Selic) (Selic) e corrigi corrigidos dos pelo mecanismo de juros compostos – o que aumenta o valor da dívida de maneira exponencial. Os governadores pedem a troca dos juros compostos por juros simples. Mas o governo federal não cede. A substituição faria com que o Tesouro Nacional deixasse de receber 313 bilhões de reais. Enfim, as partes chegaram a um acordo em junho junh o de 2016: o prazo para quitação foi expandido, e as parcelas serão pagas com abatimentos gradativamente menores: na primeira, o desconto será de 94,5%, na segunda, 89%, e assim por diante, retrocedendo

a cada mês 5,5 pontos percentuais. Porcentagens, juros simples e compostos são alguns dos temas que você revê neste

capítulo.

FORA DAS ESCOLAS

Professores da rede estadual de ensino do Rio de Janeiro permaneceram em greve entre março e julho de 2016. Os docentes pedem aumento salarial e reclamam do atraso nos pagamentos

A N E R A O T O F / O P U P O S L E C

GE MATEMÁTICA ��

15

NÚMEROS E OPERAÇÕES NÚMEROS E CONJUNTOS

K C O T S I

Conceitos fundamentais As ferramentas básicas usadas em todas as operações, da simples contagem aos cálculos mais complexos

A

ssim como qualquer campo do conhecimento – física, química, história ou geografia –, a matemática tem também sua própria linguagem, composta de símbolos e conceitos. O primeiro e mais importante deles são os números. Sem eles, não seria possível contar, medir, ordenar e classificar. Não se sabe ao certo que povo de-

senvolveu a ideia abstrata de número. Mas os historiadores têm como certo que o conceito surgiu da necessidade de contar objetos e seguir um calendário. O sistema de contagem deve ter se iniciado com o uso dos dedos, há

milhares de anos, e de pedras, uma para cada unidade. Depois vieram pequenas placas de argila –, cada uma delas também representando uma unidade. Os incas criaram os quipus, um sistema de cordas e barbantes com nós. 16


Os numerais , ou algarismos – os

símbolos gráficos que representam os números –, teriam aparecido bem mais tarde, com a escrita. E a uma certa altura da história, o comércio criou a

necessidade de se registrar e comunicar a contagem de mercadorias e seus valores. Antropólogos têm registro de ossos, pedras e pedaços de madeira de pelo menos 5 mil anos com marcas escavadas com o que eles supõem tenham sido os primeiros numerais. Atribui-se aos egípcios a invenção dos primeiros símbolos numéricos mais formais, na forma de hieróglifos. Os romanos criaram os algarismos romanos: I, V, X, L, C, D e M. Hoje a matemática faz uso, no mundo todo, dos algarismos indoarábicos: 1, 2, 3... 10, 11, 12... Acredita-se que esses algarismos tenham sido criados na Índia, também há milhares de anos.

SAIBA MAIS ALGARISMOS ALGARISMOS ROMANOS ROMANOS

O sistema de notação por algarismos romanos – que empregamos hoje apenas para classificar e ordenar elementos, como nos capítulos de um livro – dispensa o número zero. Nele, as letras I, V, X, L, C, D e M simbolizam quantidades básicas: 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000, respectivamente. A posição e o número de vezes em cada um desses símbolos é repetido definem dezenas, centenas e milhares.

ALGARISMOS ALGARISMOS ARÁBICOS

1, 2, 3, 4

I, II, III, IV

5, 6, 7, 8

V, VI, VII, VIII

9, 10, 11... 19, 20

IX, X, XI... XIX, XX

50

L

54

LIV

100

C

111

CXI

500

D

591

DXCI

1000

M

1008

MVIII

VIAGEM NO TEMPO

Milênios se passaram desde a criação dos algarismos indoarábicos, na Índia. Mas até hoje, por mais avançada que seja a tecnologia, são estes os algarismos que usamos no dia a dia

Os números utilizados em contagens são chamados números concretos – cada número representa certa quantidade de “coisas” reais. O zero, que representa a ausência, o nada ou o vazio, não é um número concreto, mas um numeral de posição. Dependendo do local em que o zero é colocado, os numerais anteriores ou posteriores assumem diferentes valores. Por exemplo, exemplo, no sistema decimal, que tem como base o 10, o numeral 1 representa uma unidade. Mas, seguido de um zero (10), são dez unidades; e 0,1 representa um décimo de uma unidade.

Conjuntos A teoria teoria dos dos conjun conjuntos tos é uma área área da da matemática que você não precisa conhecer com profundidade para o Enem. Mas seus conceitos são fundamentais para compreender enunciados e, assim, chegar

à resposta correta das questões. Conjunto, você sabe: sabe: é um grupo grupo de eleme elemento ntos: s: • o conjunto formado pelos números nas faces de um dado é D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; • já o conjunto dos números pares de um dado é P = {2, 4, 6}; • e o conjunto dos ímpares é I = {1, 3, 5}.

Os conjuntos também podem ser representados pelo diagrama de Venn. Os diagramas para os conjuntos D, P e I, acima, são: D I

1

2

3

4

5

6

P

ALGARISMOS ALGARISMOS ROMANOS

Observe o diagrama e repare: • O número 6 pertence ( ∈ ) aos aos concon juntos D e P. P. Então, 6 ∈ D e 6 ∈ P; • Mas o número 3 não pertence ( ∉ ) a P. Então, 3 ∉ P; • Todos os elementos de P e de I estão contidos ( ⊂ ) em D. D. Então, ⊂ ⊂ P D e I D. • No sentido inverso, D contém ( ⊃ ) P e I. Então, D ⊃ P e D ⊃ I. Podemos fazer diversas operações entre conjuntos: • A união ( ∪ ) é a combinação comb inação dos elementos dos conjuntos. No nosso exemplo, I ∪ P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = D.

• A intersecção ( ∩ ) é o conjunto formado por elementos comuns aos conjuntos. No caso do exemGE MATEMÁTICA ��

17

NÚMEROS E OPERAÇÕES NÚMEROS E CONJUNTOS

plo dos números pares e ímpares

de um dado, o conjunto da intersecção entre I e P é um conjunto vazio (nenhum número é ímpar e par ao mesmo tempo): I � P = Ø

Conjuntos numéricos Os números também podem ser agrupados em conjuntos: • O conjunto dos números naturais (N) é N = {0, 1, 2, 3...}. Repare que este conjunto é infinito.

ATENÇÃO O conjunto C resultante da união de A e B contém os elementos que se encontram em A ou em B. Já o conjunto D resultante da intersecção de A e B contém os elementos que se encontram ao mesmo tempo em A e em B.

NA PRÁTICA CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Encontre os valores de x que que tornam verdadeira a expressão 2x – 5 < 0. Expressões matemáticas como esta, em que em vez do sinal de igual (=) temos

sinais de maior (>), menor (<), (<) , menor-igual (≤) ou maior-igual ( ≥), são chamadas inequações. E são resolvidas como equações (veja no capítulo 3 ).

2x – 5 < 0 2x < 0 + 5 → x <

• O conjunto dos números inteiros (Z) reúne os números naturais e seus opostos: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Este também é um conjunto infinito.

A resposta é o conjunto S = {x ∈ R | x <

}.

2. Quais os valores de x (x ∈ Z*) que

• O conjunto dos números racionais (Q) é a união dos números inteiros e as frações resultantes da divisão entre quaisquer deles: Q = { | a ∈ Z e b ∈ Z*}. Traduzindo: o conjunto Q é formado pelos números obtidos pela divisão de a por b, tal que ( � ) a pertence ao conjunto dos números inteiros e b pertence ao conjunto dos inteiros com exceção do zero (Z*). O número b não pode assumir o valor zero porque a divisão por zero não é definida.

• O conjunto dos números irracionais (I) é o dos números que não podem ser obtidos da razão entre dois números inteiros. O

π é

atendem às duas condições abaixo?

(I) x – 3 ≤ 1 (II) – 1 < <3 Se x ∈ Z*, então x é um número inteiro, diferente de zero. Essa condição restringe os valores do conjuntos solução S I e SII.

TOME NOTA SÍMBOLOS DA TEORIA DOS CONJUNTOS CONJUNTOS

SÍMBOLO SIGNIFICADO { } Conjunto

∈, ∉

Tal que

⊃

Contém

⊂

Está contido

�

Intersecção de conjuntos

∪

União de conjuntos

∅

Conjunto vazio

N

Conjunto dos números naturais Conjunto dos números iin nteiros

I

R

Q

A teoria dos conjuntos é frequentemente utilizada em álgebra, principalmente em inequações, e em probabilidade ( veja veja os capítulos 3 e 7 ). 18

–1<

∣

N Z


Q

R

Conjunto dos números racionais Conjunto dos números irracionais Conjunto do dos nú números re reais

*

Exceto o zero

I

+ /–

• Para a condição II: tervalo {-1, 1, 2} Então,

um

Z

x – 3 ≤ 1 → x ≤ 1 + 3 → x ≤ 4 SI = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}

Pertence, não pertence

número irracional. A raiz de alguns números também é um número irracional – por exemplo, exemplo, √ 2 e √ 3. 3.

A união entre todos os conjuntos de números acima forma o conjunto dos números reais (R). No diagrama de Venn, Venn, essa união é representada assim:

Resolvendo as inequações inequações (I) e (II): • Para a condição I:

São São vál válid idos os valor alores es posi positi tivo voss e negativos

e

deve estar no in-

– 2 < x;

→

< 3 → x < 3 . 2 → x < 6.

SII = {-1, 1, 2, 3, 4, 5} O valor que atende a ambas as condições é a intersecção dos conjuntos SI e SII – ou seja, o conjunto cujos elementos pertencem aos dois conjuntos, ao mesmo tempo:

I � II = {-1, 1, 2, 3, 4} Pelo diagrama de Venn: I -3 -4 ...

-2 -1 1 2 3 4

II

I ∩ II

5 6

NÚMEROS E OPERAÇÕES RAZÃO E PROPORÇÃO

K C O T S i / R F �

Valores que conversam entre si A proporção entre grandezas é usada tanto na confecção de mapas quanto no cálculo da concentração de gases do efeito estufa na atmosfera

U

m dos principais domínios da matemática é usar a lógica para estabelecer relações entre valores e grandezas. Relações entre grandezas são aquelas em que o valor de uma grandeza varia, dependendo do valor de outra. Fazemos relações entre grandezas em diversas atividades do cotidiano, como a energia elétrica consumida a cada dia e a conta que chega no final do mês, ou a proporção entre os ingredientes de uma receita. A principal razão entre grandezas é aquela que envolve o conceito de proporção, quando uma grandeza cresce ou decresce proporcionalmente a outra: quanto mais tempo você passa no banho, maior é a quantidade de água gasta. E se uma barra de chocolate for dividida entre amigos, quanto maior o número de amigos, menor será o pedaço que caberá a cada um.

ORDEM NATURAL

Quando brota, um ramo de samambaia cresce numa curva que segue a chamada proporção divina

GE MATEMÁTICA ��

19


O Ã Ç U D O R P E R

Diretamente proporcionais Algumas grandez grandezas as mantêm mantêm uma relação relação diretamente proporcional. Isso ocorre quando uma grandeza cresce e a outra também cresce. No banho, o volume de água consumida cresce em proporção direta ao tempo em que o chuveiro permanece ligado. lig ado. Veja: Um chuveiro libera 12 litros de água por minuto. Quantos litros uma pessoa gasta num

banho de 5 minutos? Podemos construir uma tabela com valores da quantidade de água gasta em função f unção do tempo de duração de um banho: Tempo (min)

Volume Volume de água (L)

1

2

3

4

5

12

24

36

48

60

Repare: quanto mais tempo se passa pas sa no banho, mais água se consome. E esse consumo aumenta de maneira proporcional: para 1 minuto, 12 L, para 2 minutos, 2 . 12 L = 24 L, e assim por diante. Em 5 minutos, o consumo é de 5 . 12 L = 60 L. Em resumo, se dobrarmos o tempo de banho, a quantidade de água consumida também do bra; se o tempo te mpo for triplicado, o gasto de água também é triplicado.

ARTE SOB MEDIDA

As figuras que Michelangelo desenhou e pintou na Criação de Adão , Adão , no teto da Capela Sistina, seguem um ideal de proporções do corpo humano

Inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce e a outra cai, sempre uma em proporção à outra. Veja o exemplo: Todas as provas em sua escola valem 100 pontos. Mas as provas podem ter diferentes números de questões. Assim, cada questão terá um valor

NA PRÁTICA

RORAIMA AMAPÁ

A PROPORÇÃO NAS ESCALAS ESCALAS Uma das principais aplicações práticas da noção de proporção é a confecção de mapas. Todo mapa representa uma realidade reduzida. E essa redução obedece obede ce à regra de proporção, nas medidas lineares (d istâncias). Veja o mapa ao lado: Repare na indicação da escala, no canto inferior direito. Cada trecho do tamanho do segmento ali representado vale 459 km. A proporção se mantém, também, na área, só que elevada ao quadrado. Um quadrado de 459 km de lado tem área de 459 . 459 = 210 681 km 2. Se dobrarmos o tamanho dos lados do quadrado para 918 km, teremos uma área quatro vezes maior: maior: A = 918 . 918 = 842 724 km2.

AMAZONAS

PARÁ

CEARÁ RIO GRANDE DO NORTE PARAÍBA PERNAMBUCO ALAGOAS SERGIPE

MARANHÃO PIAUÍ

ACRE

TOCANTINS

RONDÔNIA

BAHIA

MATO GROSSO GOIÁS MINAS GERAIS

MATO GROSSO DO SUL SÃO PAULO

ESPÍRITO SANTO RIO DE JANEIRO

PARANÁ SANTA CATARINA RIO GRANDE DO SUL ESCALA �

GE MATEMÁTICA MATEMÁTICA �� 20 GE

�� KM

diferente, dependendo da prova. Quanto maior o número de questões, menor o valor de cada questão. Para 100 questões, o valor de cada uma é de 1 ponto. Já numa prova de 50 questões, cada uma deve valer 2 pontos, e assim por diante. Numa tabela, temos: Número de questões

Valor Valor de cada questão questão

1

2

4

5

10

100

50

25

20

10

NA PRÁTICA REGRA DE TRÊS Seu chuveiro deixa cair 12 L de água por minuto. Quanto você economizará de água se reduzir em 30 segundos o tempo do banho? A regra de três:

1 min – 12 L 30 seg – x L

Repare que, à medida que a quantidade de questões aumenta, o valor de cada uma diminui de maneira proporcional. Quando uma das grandezas dobra, a outra cai pela metade; quando uma cai para 1/4, a outra é quadruplicada.

Antes de resolver a regra de três, vamos uniformizar as unidades minuto e segundo. Precisamos adotar uma única. Sabemos que 1 minuto tem 60 segundos, então 30 segundos valem 0,5 minuto. Montando de novo a regrinha de três:

Regra de três

1 min – 12 L 0,5 min – x L

Qualquer relação de proporcionalidade direta entre grandezas pode ser encontrada pela regra de três. Para isso, basta conhecer um valor e a relação entre dois outros valores ( a e b ). Veja: Veja: a – b x – y Lemos: a está para b assim como x está para y. Para encontrar a proporção entre esses valores, multiplicamos em cruz: x.b=a.y Se você conhece a, b e x, descobre o valor de y:

Fazendo a multiplicação em cruz, obtemos:

1 min – 12 L 0,5 min – x L 1 . x = 0,5 . 12

Montando a regra de três: Para 100 questões  cada uma vale 1 ponto Para 40 questões  cada uma vale x pontos Assim, 1 . 100 = 40 . x x = 100 : 40 = 2,5 pontos

x =6 L

A cada 30 segundos de redução do tempo de banho, são economizados 6 L de água.

Da mesma forma, você pode descobrir pela regra de três quantos minutos dura um banho em que são consumidos 40 litros de água. Novamente multiplicando em cruz:

1 min – 12 L x min – 40 L 12 . x = 40 . 1

A regra de três também funciona func iona para grandezas inversamente proporcionais. Com uma diferença importante: neste caso, não multiplicamos em cruz, mas linha a linha. No exemplo das provas acima, se para 100 questões cada uma vale 1 ponto, quanto valerá cada questão se a prova for composta por apenas 40 questões?

→

→

x=

→

x=

min

Transformando minuto em segundo, ficamos com

x=

. 60 seg

x = 200 seg

≅

x=



600 3

3 min 20 seg

Uma regra de três pode ser construída a partir de qualquer par de valores relacionados. No caso do chuveiro, chegaríamos ao mesmo tempo de 3 min 20 seg se partíssemos do consumo, por exemplo, em 2 minutos. Veja:

2 min – 24 L x min – 40 L x . 24 = 2 . 40 =

=

min ≅ 3 min 20 seg

Este é o valor de cada questão numa prova com 40 questões. GE MATEMÁTICA �� 21


Razão Em alguns casos, a proporção entre duas

NA PRÁTICA

grandezas é expressa como razão – a divisão de dois números, a por b. Nesse caso, a razão pode receber um nome especial. É o caso de porcentagem, densidade ou partes por milhão (abreviadamente, ppm).

DENSIDADE

Densidade

Densidade é uma grandeza física – o valor



obtido da divisão da massa pelo volume de um

material. A densidade de uma substância ou

O QUE ISSO TEM A VER COM A FÍSICA A densidade de um material depende de seu estado físico, da temperatura e da pressão a que ele está submetido. Mas não depende da quantidade ou da massa. Ou seja, se 1 kg de determinada substância ocupa

mistura é dada pela razão d = m/V, em que m é a massa e V , o volume. A unidade de medida para densidade pode ser g/cm 3, g/L ou kg/L. A densidade de qualquer substância é medida em laboratórios e utilizada como forma de avaliar o nível de pureza do material. Por exemplo, quando técnicos da ANP (Agência

Nacional do Petróleo) fazem fiscalização nos distribuidores ou postos de combustível, eles medem a densidade de amostras da gasolina ou do etanol dos tanques e das bombas. Se tiver havido acréscimo de água ou outra substância qualquer, a densidade se altera – o que compromete a qualidade do combustível.

um volume de 2 L, então, no mesmo estado físico e nas mesmas condições de temperatura e pressão, 2 kg

Porcentagem A porcentagem também pode ser calculada por regra de três. Esse tipo de cálculo aparece quando se deseja comparar uma parte com o todo. É fácil entender. Veja: • Você tem um inteiro – digamos uma barra de chocolate.

quantidade de soluto e a quantidade total de solução, em massa (mg/kg) ou em volume (cm 3/m3 ou L/106L).

Quando a quantidade de soluto é muito menor que o volume total da solução, ou da mistura, em vez de porcentagem costuma-se usar a unidade partes por milhão (ppm). Nas questões relacionadas relacionadas ao aquecimento global, a medida de concentração dos gases do efeito estufa na atmosfera é dada nessa unidade ( veja veja o Saiu na imprensa na pág. ao lado ). GE MATEMÁTICA MATEMÁTICA �� 22 GE

Esta é uma relação diretamente proporcional. Multiplicando em cruz, temos: x . 1 = 0,8 . 200 000 → x = 200 000 . 0,8 → x = 160 000 g

Transformando g em kg e mL em L, novamente, temos que 200 L de etanol têm massa de 160 kg.

NA PRÁTICA

PORCENTAGEM Uma caixa d’água com capacidade 2 000 litros contém 260 litros de água. Qual a porcentagem do volume da caixa ocupado por essa água?

menores, a barra inteira representa todas as 100 partes – ou seja, a razão 100/100; • Uma única parte representa 1 parte sobre 100 – ou seja 1%; 2 partes, 2/100 = 2%. E assim por diante. Daí a palavra “por cento”.

deza química que mede a proporção entre a

A primeira coisa a fazer é uniformizar as unidades. Você sabe que 1 L = 1 000 ml. Então, temos: 0,8 g – 1 mL x g – 200 000 mL

ocuparão 4 L.

• Se dividimos essa barra em cem pedaços

Concentração A concentração de uma solução é uma gran-

Sabendo que a densidade do etanol é de 0,8 g/mL, qual a massa de 200 litros do combustível? A densidade – a razão entre a massa e o volume – permanece constante se a medida for feita à mesma pressão e temperatura, não importa se trabalhamos com 1 mL ou 1 000 L de etanol. Por outro lado, a relação entre volume e massa é diretamente diretamente proporcional. Então, podemos montar a regra de três: 0,8 g – 1 mL x g – 200 L

O “inteiro” (100%) é a capacidade total da caixa: 2 000 L. Queremos descobrir a quantos por cento correspondem os 260 L de água que ela contém. Pela regra de três, temos



O QUE ISSO TEM A VER COM A QUÍMICA A concentração concentração é tema do estudo de misturas e soluções. A concentração concentração pode ser dada em termos de massa, de volume e, também, mol (número de átomos, moléculas ou íons).

2 000 L – 100% 260 L – x% 2 000 . x = 260 . 100 → E se a caixa for reabastecida até ficar com 520 L de água?

De novo, a regra de três: 2 000 L – 100% 520 L – x% Fazendo as contas, chegamos ao resultado: 520 L de água correspondem a 26% da capacidade total da caixa.

Repare: 520 L são o dobro de 260 L . Do mesmo modo, 26% é o dobro de 13%. Essa relação de proporção é válida para qualquer valor dado em porcentagem.

NA PRÁTICA

SAIBA MAIS

CONCENTRAÇÃO

A PROPORÇÃO DIVINA

Estima-se que 0,00014% do ar, em volume, é composto de metano, um gás inflamável, resultante da digestão de matéria orgânica. Veja que esse valor em porcentagem é muito baixo. Este é um caso em que convém aumentar a base de cálculo de porcentagem para partes por milhão (ppm). Veja:

Por mais que pareça livre e desordenada, a natureza tem muitas formas que obedecem a regras rígidas de proporção. A espiral de uma folha de samambaia crescendo, como a da foto na pág. 19, por exemplo, segue uma curva que se abre a bre unindo vértices opostos de quadrados cada vez maiores. As medidas dos lados desses quadrados seguem sempre a mesma sequência de proporção: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... O mesmo acontece com a concha dos caracóis.

0,00014% = Queremos saber quanto 0,00014/100 representa em 1 milhão. 1 milhão é um número grande, que pode ser escrito como uma potência: 10 6 (veja potências no capítulo 4).

Pela regra de três: 0,00014 – x 100 – 1 . 106

100 x = 0,00014 . 10 6 →

K C O T S i / O N E M I J N A D

x = 1,4

Portanto, 0,00014% equivalem a 1,4 partes por milhão. E em 106 L de ar existe 1,4 L de metano.

�

SAIU NA IMPRENSA

EL NIÑO ELEVOU CONCENTRAÇÃO CONCENTRAÇÃO DE GÁS DO EFEITO EFE ITO ESTUFA A NÍVEL RECORDE EM 2016 O fenômeno El Niño aumentou este ano a emissão de dióxido de carbono (CO 2 ) na atmosfera, de acordo com um estudo publicado esta semana na revista Nature ClimateChange. Por isso, 2016 terminará como o primeiro ano em que a concentração concentração do gás será superior a 400 partes por milhão (ppm) (...) “A concentração de CO 2 devido à ação humana está aumentando a cada ano, mas desta vez o El Niño deu um empurrão. Os ecossistemas tropicais estão mais quentes e secos, reduzindo sua absorção de carbono e aumentando os incêndios florestais” – comenta Richard Betts, autor principal do estudo (...) A tendência de aumento das emissões de gás de efeito estufa em Mauna Loa começou a ser estudada desde 1958 (...) Suas primeiras medidas registraram em torno de 315 ppm de dióxido de carbono. Sessenta anos mais tarde, o índice tem aumentado, em média, a uma taxa anual de 2,1 ppm ( ...) Atualmente o CO 2 em Mauna Loa está acima de 400 ppm (...)

�

� �

�

�

Esta é a sequência de Fibonacci. Nela, cada número é a soma dos dois termos que o antecedem: 2 é a soma 1 + 1; 3 é a soma de 2 + 1; 5 é a soma 3 + 2, e assim por diante. Além disso, a divisão de um termo por seu antecessor sempre dá um número próximo a 1,6. E quanto mais à frente da sequência estiverem os termos, mais a proporção se aproxima desse valor. Essa proporção, chamada proporção áurea ou divina, foi adotada por pintores e escultores, como o italiano LeoLeonardo da Vinci, em seu quadro mais famoso, Mona Lisa.

O Globo, 13/6/2016 GE MATEMÁTICA ��

23

NÚMEROS E OPERAÇÕES JUROS

A G I E V O N U R B

O custo do dinheiro Juro é o valor que se paga a mais por um valor emprestado, ou que se recebe por um investimento

24


J

uro é um conceito do mundo financeiro que está presente no dia a dia de empresas, governos e cidadãos. Por exemplo, os governos pagam juros por empréstimos feitos no exterior (dívida externa); as indústrias pagam juros

quando financiam a compra de equipamentos; o consumidor paga juros aos bancos se entrar no cheque especial e os investidores recebem juros por aplicações aplicações financeiras financeiras,, como depósitos depósitos na caderneta de poupança. Juro é o custo do dinheiro, uma porcentagem do valor original emprestado, que o devedor deve pagar depois de certo período. É como se o tomador do empréstimo pagasse um aluguel pelo dinheiro que lhe foi cedido. A quantia emprestada (ou investida), sobre a qual incidem os juros, é o capital. E o capital acrescido de todos os juros chama-se montante.

MAIS FÁCIL, MAS MAIS CARO Quando parcelam o preço de um produto, as lojas cobram uma quantia a mais, a cada mês – os juros

A taxa de juros é o valor, em porcentagem, a ser pago a cada dia, mês ou ano, até a quitação total da dívida – ou o valor, também em porcentagem, que o aplicador recebe por um investimento.

Juros simples São lançados sobre a quantia original, numa taxa fixa a cada período. Não importa em quantos dias, meses ou anos o empréstimo será pago, a taxa de juros será sempre a mesma e será sempre calculada sobre o capital inicial. inicia l. Veja Veja o exemplo: Sua classe planeja uma viagem de formatura, por um pacote turístico que custará a cada aluno R$ 1 200,00. Alguns de seus colegas não dispõem dessa quantia. Então, a agência de viagens propõe que o valor seja dividido em seis parcelas – a 1ª delas, paga 30 dias depois da compra –, com juros de 5% ao mês. Ao dividir o pagamento, a agência está financiando a viagem – ou seja, emprestando dinheiro a quem não consegue pagar pelo pacote, à vista. Por esse empréstimo, a agência cobra juros. Se o valor do pacote (R$ 1 200,00) 2 00,00) é dividido em seis vezes, a cada mês o viajante deve pagar R$ 200,00. Só que, por esse parcelamento, a agência cobra 5% a cada mês sobre o valor inicial da dívida, os R$ 1 200,00:

A cada mês, então, o viajante deverá pagar R$ 60,00 a mais, além dos R$ 200,00. Ao final fi nal dos seis meses, terá pago seis prestações de R$ 260,00. Isso significa que o pacote turístico terá saído não mais por R$ 1 200,00, mas por R$ 1 560,00. Ou seja, o pacote saiu 30% mais caro. Veja: 1 200 – 100% 1 560 – x% x = 130%

Desses 130%, 100% correspondem ao valor original do pacote de viagem e 30%, ao acréscimo de R$ 60,00 mensais durante seis meses. O total de juros simples é dado por: J = C . i . n , em que: • J são são os juros; • C é o capital; • i é a taxa de juros; • n é o número de períodos (que podem ser dias, meses ou anos).

NA PRÁTICA JUROS SIMPLES

Um produto custa R$ 3 500, para pagamento em três prestações. Para pagamento à vista, a loja dá um desconto de 10%. Caso o comprador pague em uma única parcela 30 dias depois da compra, o preço sofrerá um acréscimo de 8%. Responda: a) Quanto o comprador deve desembolsar em cada uma dessas situações? b) A taxa de juros do cheque especial é de 12,5% ao mês. Vale a pena o comprador comprador gastar gastar R$ 1 500 do cheque especial para fazer a compra à vista, com desconto? a) À vista: com o desconto de 10%, o produto custa 90%

do preço de tabela. Pela regra de três, temos: 3 500 – 100% x – 90% 100 . x = 3 500 . 90 → x = 315 000 / 100 → x = R$ 3 150 Este é o preço do produto à vista. O comprador eco-

nomiza R$ 350. Para pagamento 30 dias após a compra: acréscimo de 8% sobre o valor original. origina l. De novo, pela regra de três, temos 3 500 – 100% x – 8% x = 3 500 . 8 / 100 → x = R$ 280 Somando essa diferença ao preço original, ori ginal, o comprador pagará R$ 280 a mais, ou seja, R$ 3 780. b) Supondo que o comprador reponha os R$ 1 500 do

cheque especial em um mês, o montante que ele pagará corresponde ao capital emprestado acrescido de 12,5% desse valor: 1 500 – 100% x – 12,5% x = 187,50 reais Somando esses R$ 187,50 ao valor do produto com desconto: 3 150 + 187,50 = R$ 3 337,50. Este é o montante.

Ainda com os juros altos do cheque especial, o valor de R$ 3 337,50 é menor do que o valor pago 30 dias depois da compra (R$ 3 780). Nesse caso, vale a pena avançar no negativo.

O montante (M) é dado por: M=C+J=C+C.i.n M = C . (1 + i . n) GE MATEMÁTICA ��

25

NÚMEROS E OPERAÇÕES JUROS

Juros compostos Juros simples, você viu, é uma taxa fixa por mês, sempre sobre o valor original do financiamento ou empréstimo (o capital). Já juros compostos são aqueles que incidem sobre o montante de cada mês –

ou seja, são juros

Ao final dos quatro meses de aplicação do

capital de R$ 800,00, seu colega terá juntado um montante de R$ 886,50. Abatendo essa quantia dos R$ 1 200,00 (valor do pacote), ele precisará financiar R$ 313,50. O rendimento da aplicação é mensal, então o período é 1 mês; o número de períodos é o número de meses em que o capital permaneceu aplicado: 4. Repare que o montante ao final de cada período se transforma no capital do mês seguinte. É sobre esse capital – agora engordado – que incidirá a taxa de juros de 2,6%.

TOME NOTA A taxa Selic subiu de 12,25% para 12,75% entre fevereiro e março de 2015. Isso não significa que a taxa tenha subido 0,50% nesses dois meses. A taxa teve uma alta de 0,5 ponto percentual .

calculados sobre valores que já têm juros em butidos. A taxa taxa é sempre a mesma, mas o valor valor que ela representa varia. Voltando ao exemplo da viagem de formatura, que vimos há pouco: a fim de pagar pela viagem de formatura, um aluno preferiu fazer uma poupou pança e depositou, em julho, R$ 800,00 numa A fórmula para o cálculo do montante em aplicação financeira que rendia 2,6% ao mês. A juros compostos é: passagem será comprada em e m novembro. Veja Veja na Mn = C (1 + i) n , em que: tabela abaixo quanto ele conseguirá acumular • M é é o montante (valor final, depois de aplicanesses quatro meses. dos todos os juros); • C é o capital (o valor inicial sobre Saldo inicial Rendimento Saldo no fim o qual incidem os juros); Período no período no período do período • i é a taxa de juros; (capital)

(juros)

(montante )

Julho

800,00

800,00 . 2,6%

800,00 + 20,80 = 820,80

Agosto

820,80

820,80 . 2,6%

820,80 + 21,34 = 842,14

Setembro

842,14

842,14 . 2,6%

842,14 + 21,90 = 864,04

Outubro

864,04

864,04 . 2,6%

864,04 + 22,46 = 886,50

• n é o período em que os juros

incidem sobre o capital. Em juros compostos, n é expoente da taxa. Por isso se o capital aumenta, o novo montante também aumenta num ritmo cada vez mais rápido – mesmo com a taxa de juros igual.

SAIBA MAIS

26

TAXA DE JUROS NO BRASIL

EVOLUÇÃO DA TAXA DE JUROS

No Brasil, a taxa de juros cobrada pelos bancos é baseada na taxa Selic – uma taxa básica, estabelecida pelo Banco Central. Se a Selic sobe, os bancos também elevam elevam a taxa cobrada em financiamentos, empréstimos e cheque especial. As autoridades monetárias usam dessa lógica para controlar a quantidade de dinheiro que circula pelo mercado, o nível de consumo e a inflação. Quando a ideia é incentivar o consumo, o Banco Central baixa a taxa Selic; se quer reduzir o consumo, aumenta a taxa. O aumento da taxa de juros tem dois efeitos: de um lado, as pessoas compram menos porque, para financiar a compra, pagarão juros mais altos. De outro lado, as indústrias também reduzem a compra de equipamentos, porque o financiamento custa caro. Com isso, as empresas deixam de crescer e de contratar mão de obra. No sentido inverso, quando a taxa cai, as indústrias investem e voltam a contratar, contratar, e o consumidor compra mais – a economia se aquece. Mas aí entra outro fator: o risco de elevar a inflação. Inflação Infla ção é o aumento no preço de produtos e serviços, provocado pela queda no valor da moeda do país. Entenda: se no mês passado 1 quilo de laranjas saía por R$ 3,50 e este mês custa R$ 4,50, cada real que você tem na carteira passou a valer menos.

Taxa Selic, em % ao ano


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15

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12

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6

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GANGORRA FINANCEIRA O Banco Central manobra a taxa básica de juros tentando manter a economia

em movimento e a inflação sob controle. Elevar a taxa é um dos mecanismos para combater a inflação. Com taxas altas, as pessoas reduzem as compras a prazo. O consumo cai e, para vender, o comércio e a indústria seguram os preços – a inflação fica sob controle. Mas, produzindo e vendendo menos, as lojas e fábricas contratam menos. Se a economia desacelera muito, o Banco Central volta a baixar a taxa. Fonte: Banco Central do Brasil

NA PRÁTICA

SAIBA MAIS

JUROS COMPOSTOS

SPREAD BANCÁRIO

Uma aplicação financeira promete remunerar em 1,8% ao ano o capital investido. Se você aplicar R$ 2 000,00 quanto terá depois de dois anos?

Os juros que são pagos aos bancos são sempre maiores que as taxas da Selic. Isso porque as instituições financeiras incorporam o chamado spread bancário. O spread é a diferença entre o que um banco paga como rendimento de investimentos de seus correntistas e o que recolhe de juros para emprestar dinheiro. Nem todo o spread é lucro. Incluem-se ali, também, outros valores, como o risco estimado de inadimplência (falta de pagamento) dos tomadores de empréstimo e os custos administrativos da instituição ( veja o gráfico abaixo).

Este cálculo é de juros compostos porque no segundo ano os juros de 1,8% devem incidir sobre o capital inicial já acrescido acrescido dos juros juros do primeiro primeiro ano. ano. n Então Mn = C . (1 + i) , em que:

C = R$ 2 000 i = 1,8% = n = 2 anos M = 2 000 . (1 + )2 M = 2 000 . 1,036324 M ≈ 2 072,65 Depois de dois anos de aplicação, a 1,8% ao ano, você terá R$ 2072,65 – ou seja, R$ 72,65 de juros.

O QUE COMPÕE O SPREAD BANCÁRIO*

8%

Resíduo (inclui o lucro do banco)

4%

Risco de inadimplência 14%

37%

37%

Custos administrativos Tributos e taxas pagos pelo banco Depósito compulsório (que os bancos são obrigados a fazer no BC)

NA PRÁTICA

* Valores arredondados

JUROS COMPOSTOS A fatura do cartão de crédito de João, J oão, em março, era de R$ 1 200,00. Desse total, João só pôde pagar R$ 800,00. Sabendo que os juros cobrados pelo cartão são de 15% ao mês, responda: a) Quanto João deve pagar, pagar, se quitar o restante da dívida no mês seguinte, abril? b) E se ele e le deixar para quitar o restante da dívida em maio? a) João pagou R$ 800,00 do total de R$ 1 200,00 que

devia. Ficou devendo R$ 400,00. Se pagar em abril, os 15% a mais representam juros simples sobre os R$ 400,00 devidos em março. Simples regra de três: 400 – 100% x – 15% x = 60 João pagará R$ 60,00 a mais se quitar a dívida em abril – ou seja, R$ 460,00. b) Se ele deixar para quitar os R$ 400,00 em maio, o cálculo é de juros compostos – a cada mês a taxa de 15% incide sobre o valor devido naquele mês. De março a maio são dois meses. Então: Mn = C . (1 + i) n C = 400; i = 15/100; n = 2 M = 400 . (1 + ) 2 → M = 400 . 1,3225 → M = 529

Se adiar a quitação da dívida para maio, a dívida original, de R$ 400,00, se transformará em R$ 529,00.

Estes são os componentes do spread bancário – a diferença entre as taxas de juros que os bancos cobram de quem toma empréstimo ou financia a aquisição de bens e aquela que a instituição paga como retorno do dinheiro deixado nas aplicações financeiras. Repare que nem tudo é lucro, mas este representa uma boa fatia da pizza. A GORDA FATIA DO LUCRO

Fonte: BC/FSP

SAIU NA IMPRENSA

PARA COPOM, QUEDA DA INFLAÇÃO ESTÁ COM VELOCIDADE VELOCIDADE 'AQUÉM 'AQUÉM DA ALMEJADA' ALMEJADA' O Comitê de Política Monetária (Copom) do Banco Central, colegiado responsável por fixar os juros básicos da economia, avaliou, por meio da ata de sua última reunião, que o processo de queda da inflação no Brasil “tem procedido em velocidade aquém da almejada” e acrescentou que o “balanço de riscos” indica não haver espaço para corte de juros. Na semana passada, o Copom manteve a taxa básica de juros da economia estável em 14,25% ao ano, o maior patamar em dez anos (...) O Banco Central também avaliou, no documento, que “há riscos de curto prazo para a inflação no Brasil”. (...) A taxa de juros é o principal mecanismo usado pelo BC para controlar a inflação. Ao subir os juros ou mantê-los elevados, o BC encarece o crédito. O objetivo é reduzir o consumo no país para conter a inflação que tem mostrado resistência. Entretanto, os juros altos prejudicam a atividade econômica e, consequentemente, inibem a geração de empregos. Portal G1, 26/7/2016 GE MATEMÁTICA ��

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COMO CAI NA PROVA

1. (IFPE 2016) Em uma cooperativa de agricultores do município de Vitória

de trabalho foi reduzida de 8 para 6 horas. Portanto, a produção também deve cair. E cai na mesma proporção de k = �� peças peças por funcionários . hora. 8

de Santo Antão, foi realizada uma consulta em relação ao cultivo da cultura da cana-de-açúcar e do algodão. Constatou-se que 125 associados cultivam a cana-de-açúcar, cana-de-açúcar, 85 cultivam o algodão e 45 cultivam ambos. Sabendo que todos os cooperativados cultivam pelo menos uma dessas duas culturas, qual é o número de agricultores da cooperativa? a) 210 b) 255 c) 165 d) 125 e) 45

Temos, então: p = �� . . 120 . 6 = 2 250 peças 8

RESOLUÇÃO

3. (UEG 2016) Com a alta da inflação e para não repassar aos clientes o

Podemos representar a situação do enunciado por um diagrama de Venn. Veja:

aumento dos gastos na produção de suco de laranja, um empresário decidiu

Resposta: B

que no próximo mês 10% do volume desse suco será composto por água,

volume que atualmente é de apenas 4%. Se hoje são consumidos 10 000 litros de água no volume de suco de laranja produzido, mantendo-se a mesma 12 - 4 =

cana-de-açúcar

- 4 = 4

algodão

Repare: • Na parte central do diagrama estão os cooperad os que cultivam tanto algodão quanto cana-de-açúcar – ou seja, a intersecção dos dois conjuntos. • O texto diz que 125 cooperados cultivam cana-de-açúcar e outros 85 que cultivam algodão – ou seja, entre esses 125 e 85 estão, também, os cooperados que cultivam culti vam tanto cana quanto algodão. Por isso, tiramos 45 (intersecção) dos dois lados do diagrama. Somando as quantidades que restam, temos: 45 + 80 + 40 = 165 Resposta: C

2. (CFTMG 2016) Numa fábrica de peças de automóvel, 200 funcionários trabalhando 8 horas por dia produzem, juntos, 5 000 peças por dia. Devido à crise, essa fábrica demitiu 80 desses funcionários e a jornada de trabalho dos restantes passou a ser de 6 horas diárias. Nessas condições, o número de peças produzidas por dia passou a ser de a) 1 666 b) 2 250 c) 3 000 d) 3 750

RESOLUÇÃO: A produção pr odução diária é diretamente proporcional ao número n úmero de funcionários fu ncionários e à quantidade de horas que eles trabalham por dia. Um aumento ou uma redução em qualquer uma dessas variáveis produzem um aumento ou diminuição pro porcional na produção. Chamando de P a a produção diária de peças, de F a a quantidade de funcionários e de t a a quantidade de horas trabalhadas, temos P = k . F . t , em quek que k é é uma constante de proporcionalidade – ou seja, o valor que vai determinar a proporção entre o número de funcionários func ionários e o de peças produzidas. Pelo enunciado sabemos que 5 000 = k . 200 . 8 k = 5 000 → k = 5 000 200 . 8 1 600 Simplificando a fração, ficamos com k = �� peças peças por funcionários . hora 8 Se o ritmo de produção é o mesmo, o valor dek de k não não muda. O número de empregados caiu de 200 para 120 (80 foram demitidos); de mitidos); e a jornada 28


quantidade produzida, no próximo mês a quantidade de água consumida no volume desse suco será de a) 10 000 litros b) 12 500 litros c) 16 000 litros d) 25 000 litros

RESOLUÇÃO Sabemos que, antes do período de inflação, 4% do volume de suco produzido representava 10 000 litros de água. Com isso, montamos a regra de três para descobrir o volume total de suco (incluindo a água) produzido em um mês: 10 000 → 4% → 100% x x = 250 000 L de s uco puro produzido ao mê s. A quantidade de água subiu para 10% do volume de suco – ou seja, 10% sobre o total da produção mensal, de 250 000. A água consumida no mês seguinte será de 25 000 litros. Resposta: D

4. (Uerj 2016) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento: • à vista, no valor de R$ 860,00; • em duas parcelas fixas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois. A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de: a) 10% b) 12% c) 15% d) 18%

RESOLUÇÃO Se o comprador optar por pagar em duas vezes, não incidirão juros sobre a primeira parcela. Pagando R$ 460,00 no ato da compra, restam como dívida R$ 860,00 – R$ 460,00 = R$ 400,00. Esse valor deve ser quitado na segunda parcela. Mas esta, por sua vez, se mantém no valor da primeira parcela (R$ 460,00). Ou seja, o comprador pagará R$ 60,00 acima do valor original da dívida. Esses R$ 60,00 são os juros cobrados sobre os R$ 400,00. Agora, simples regra de três 400 → 100% 60 → x% Multiplicando em cruz, temos 400 x = 60 . 100 x = 6 000 = 15% 400 Resposta: C

RESUMO

5. (Epcar 2016) O dono de uma loja de produtos seminovos adquiriu, parcela-

Números e operações operações

damente, dois eletrodomésticos. Após pagar 2/5 do valor dessa compra, quando ainda devia R$ 600,00, resolveu revendê-los. Com a venda de um dos eletrodomésticos, ele conseguiu um lucro de 20% sobre o custo, mas a venda do outro eletrodoméstico representou um prejuízo de 10% sobre o custo. Com o valor total apurado na revenda, ele pôde liquidar seu débito existente e ainda lhe sobrou a quantia de R$ 525,00. A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro e o preço de custo do eletrodoméstico mais barato, nessa ordem, é equivalente a a) 5 b) 4 c) 3 d) 2

PROPORÇÃO E RAZÃO Duas grandezas são diretamente proporcionais se uma cresce e a outra também, no mesmo ritmo; inversamente proporcionais são as grandezas que, quando uma cresce, outra diminui, sempre proporcionalmente. Algumas grandezas são expressas como razão de duas grandezas: densidade (massa/ volume) e concentração (% de soluto sobre total da solução).

RESOLUÇÃO Vamos chamar o valor pago pelo eletrodoméstico mai s caro de a de a e e o valor do mais barato de b. Se após pagar 2/5 da compra restou uma dívida de R$ 600,00, então esse valor representa 3/5 da compra, ou seja, do valor de a + b . Sendo assim, � (a + b) = 600 5

Multiplicando em cruz, ficamos com a + b = �� . . � 3

→

a + b = 1 000

O enunciado diz que o comerciante vendeu o produto de valor a com lucro de 20%. Pelo raciocínio de porcentagem, temos: 100% – 1 → 20% = 0,2 20% – x

Mas esses 20% (0,2) são de lucro e, portanto, devem ser somados aos 100% do preço de compra. Ficamos, Ficamos, então, com (1 + 0,2) 0,2) . a = 1,2 . a O mesmo raciocínio para o valor b , de venda do segundo segundo produto. produto. Só que agora a venda foi com prejuízo de 10%. Então, 100% – 1 → 10% = 0,1 10% – x

JURO é o custo do dinheiro, cobrado em empréstimos e financiamentos, ou pago aos investidores. Capital é a quantia sobre a qual recaem os juros. Montante é a quantia total depois da incidência de juros sobre o capital. Juros simples são lançados sobre o capital, numa taxa fixa a cada período (dia, mês ou ano). A fórmula: J = C . i . n . Nos juros compostos, o montante de cada período transforma-se no capital do período seguinte. A fórmula: Mn = C . (1 + i)n. CONJUNTOS O conjunto C = A U B (união de A e B) contém os elementos que se encontram em A ou em B. O conjunto C = A ∩ B (intersecção de A e B) contém os elementos que se encontram em ambos os conjuntos, ao mesmo tempo. SÍMBOLO { } ∈, ∉

SIGNIFICADO Conjunto Pertence, não pertence

∣

Tal que

⊃

Contém

⊂

Está contido

Como esses 10% foram de prejuízo, esse valor deve ser subtraído do valor de compra: (1 – 0,1) . b = 0,9 b.

∩

Intersecção de conjuntos

∪

União de conjuntos

O enunciado informa que o resultado das duas vendas foi suficiente para pagar o restante da dívida (R$ 600) e ainda rendeu ao comerciante R$ 525.

∅

Conjunto vazio

N

Conju onjun nto dos núme númerros natu aturais

Z

Conju onjun nto dos núme númerros inte nteiro iros

Q

Conju onjun nto dos núme númerros racion cionai aiss

I

Conju onjun nto dos núme númerros irracio cionais nais

R

Conjunto dos números reais

*

Exceto o zero

Você se lembra: para resolver duas equações com duas variáveis, montamos o sistema de equações: equações: a + b = 1 000 (I) 1,2 a + 0,9 b = 1 125 (II) Definimos o valor de uma variável em função de outra. Assim, isolando a variável variável a da primeira equação, equação, obtemos: a = 1 000 000 – b (III). Substituindo (III) na equação (II), temos: 1,2 (1 000 – b) + 0,9 b = 1 125 1 200 – 1,2 b + 0,9 b = 1 125 – 0,3 b = – 75 b = 75 /0,3 → b = 250

+/–

São São váli válido doss valo valore ress posi positi tivo voss e negativos

CONJUNTOS NUMÉRICOS

N Z

Substituindo o valor de b em (III), temos que a = 1 000 – 250 = 750. Assim, a razão pedida pedida é a = �� = 3 b 250

I

R

Q

Resposta: C GE MATEMÁTICA ��

29

#Revista Guia do Estudante Vestibular+Enem - Matemática (2017)

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