RESUMEN PSU MATEMÁTICA Por Ignacio Osorio G. Estudiante Ing. Comercial UC
[email protected] CONJUNTOS Naturales o Enteros positivos: Cardinales o Enteros no negativos: Enteros Negativos: Enteros no positivos: Enteros: Racionales:
ORDEN DECRECIENTE: de más a menos ORDEN CRECIENTE: de menos a más FRACCIÓN DE UNA FRACCIÓN Corresponde al producto entre ellas. Ej: Un tercio de la mitad de un cuarto de x es:
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL FINITO A FRACCIÓN Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal, y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras tenga dicho número.
Irracionales: Reales:
No son números reales las expresiones de la forma Ej:
, con a
y n par.
NÚMEROS EN POTENCIA DE 10 (NOTACIÓN DECIMAL POCISIONAL) Todo número puede ser expresado en potencia de diez. abc,de
MÚLTIPLOS Y DIVISORES En la expresión en que a, b y c son enteros, a es múltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a.
El 0 no es divisor de número alguno, pues la división por 0 no existe. El 1 es divisor o factor de todos los números reales REGLAS DE DIVISIBILIDAD POR CUANDO 2 Termina en cifra par 3 La suma de sus cifras es múltiplo de 3 4 Las dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4 5 Termina en 5 o en 0 6 Es divisible por 2 y por 3 a la vez 8 Las tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8 9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9 10 Termina en 0
Semi-diferencia de dos números: Sucesor de n=n+1
n n veces
DECIMAL SEMIPERIÓDICO A FRACCIÓN
m
ESTIMAR es redondear cada valor durante toda la operación es redondear cierto valor. Si la cifra a la cual se aproxima es APROXIMAR menor que 5, se deja como 0, pero si es mayor o igual a 5, se aumenta una unidad a la cifra mayor siguiente. TRUNCAR es reemplazar las valores de las cifras estimadas por ceros sin importar su valor.
y n Z
RAÍCES EN
Las raíces están definidas para
NÚMEROS COMPUESTOS Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores primos. Los primeros primos son: 4, 6, 8, 9, 10…
en
.
RAZÓN Es una comparación entre dos cantidades mediante una división o formando el cuociente entre ellas. Se escribe a:b o , que se lee “a es a b”; donde a se denomina antecedente y b consecuente. El valor de la razón es el cuociente entre las cantidades: =K
Serie de razones: Es la igualdad de dos o más razones. La serie de razones
, que también se escribe como x : y : z = a : b : c, tienea la propiedad fundamental de que: PROPORCIÓN Es una igualdad entre dos razones: Dada la proporción : , existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: .
El 1 no es ni primo ni compuesto El único par primo existente es el 2
y se lee “a es a b como c es a
VALOR ABSOLUTO Es la distancia que existe entre un número y el 0.
•
FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA 1. Si
d”, donde a y d son los extremos, b y c los medios.
NÚMERO MIXTO Toda fracción impropia se puede escribir como un número mixto:
=
RELACIÓN DE ORDEN EN Q Para comparar números racionales, se pueden usar los siguientes procedimientos: Igualar numeradores Igualar denominadores Convertir a número decimal Comparar los productos cruzados
Proporcionalidad directa: dos variables x e y son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.
Si
en que 1 k
n factores
números primos son: 2, 3, 5, 7, 11,13…
, con a
NÚMEROS PRIMOS Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros
n m
POTENCIAS EN
Múltiplos consecutivos de n: nx, nx+n, nx+2n, nx+3n…
n
Antecesor de n=n-1 Número par: 2k Número impar: 2k-1 El exceso de p sobre q es n unidades: p – q = n P excede a q en n unidades: p = q + n P es a unidades mayor que q: p = q +a P es a unidades menor que q: p = q – a
2.
DECIMAL PERIÓDICO A FRACCIÓN
NOTCIÓN ABREVIADA Se escribe de la forma Ej: 425
Semi-suma de dos números:
•|n|=
Neutro aditivo: 0 Neutro multiplicativo o la unidad: 1
El “entre” excluye los extremos
abc,de
NOTACIÓN CIENTÍFICA Se escribe de la forma Ej: 4,25
LENGUAJE ALGEBRÁICO
Inverso aditivo u opuesto de x = -x Inverso multiplicativo o recíproco de y =
En una proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al representar los pares de valores, los puntos se sitúan en una recta que pasa por el origen. Proporcionalidad Inversa: Dos variables x e y son inversamente proporcionales cuando el producto entre las cantidades correspondientes se mantiene constante.
El gráfico de la proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera en el 1er cuadrante.
Proporcionalidad compuesta: Es la combinación de Proporcionalidades directas, inversas o ambas. Ej: a2 es inversamente proporcional a y directamente proporcional a c, se
escribe:
PORCENTAJES El p% de q es igual a
a% de c b% de c = (ac)% de c
DISMINUCIÓN: Al disminuir una cantidad C en su P porciento se obtiene una cantidad final C´:
INTERÉS SIMPLE Una cantidad C crece a una taza de interés simple del i% por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La ganancia o utilidad G, y la cantidad Cf después después de cumplido el periodo n está dada por: C
C 0
Modelo Lineal n
INTERÉS COMPUESTO Una cantidad C crece a una taza del i% por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La ganancia o utilidad G, y la fórmula para calcular la cantidad Cf después después de cumplido el periodo n es:
C C 0
Modelo Exponencial
n ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnita es 1. Toda ecuación de 1er grado en una variable puede expresarse de la forma: ax + b = 0 Análisis de las soluciones soluciones de una ecuación de primer grado El número de soluciones de la ecuación ax + b = 0 depende de los valores de a y b. Se pueden dar tres casos: 1. Si , la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA 2. Si la ecuación tiene INFINITAS SOUCIONES 3. Si la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN
PROBLEMAS DE TRABAJOS Si un trabajador o máquina puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un tiempo b, la ecuación que permite calcular el tiempo t que que demoran ambos en realizar conjuntamente el mismo trabajo es:
Si además existe cierto impedimento c que disminuye el tiempo del trabajo, a la ecuación anterior se resta . (Ej. Un desagüe que funciona conjuntamente con llaves que llenan una tina)
Edad actual x y
Edad futura (dentro de c años) x+c y+c
ÁNGULOS Clasificación de acuerdo a su medida Ángulo nulo : Mide 0° Ángulo Agudo : Mide más de 0° y menos de 90° ( Ángulo Recto : Mide 90° Ángulo Obtuso : Mide más de 90° y menos de 180° ( Ángulo Extendido : Mide 180° Ángulo Completo : Mide 360° Clasificación de los ángulos según su pocisión Ángulos consecutivos: tienen un vértice y un lado en común Ángulos adyacentes o par lineal: tienen el vértice y un lado en común y los otros dos lados yacen sobre una misma recta. Son consecutivos y suplementarios.
TRIÁNGULOS Clasificación de los triángulos: Según sus lados Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida Isóseles: Tiene dos lados de igual medida. Al lado distinto se le llama base, y los ángulos que yacen sobre la base son equivalentes. Equilátero: Tiene sus trés lados y ángulos de igual medida.
Según sus ángulos Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos Rectángulo: Tiene un ángulo recto Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso
Observaciones: 1) En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo. 2) Cada lado de un triángulo por obligacion es mayor que la diferencia de los otros dos lados, y menor que su suma. 3) Para efecto de la PSU, se considera que el triángulo equilátero es un caso especial de los triángulos isóseles.
Es la “igual forma” que tienen dos o más polígonos, independiente SEMEJANZA: del distinto o igual tamaño y superficie que tengan entre si. En el triángulo, para que se cumpla la semejanza basta con que dos de sus ángulos interiores sean iguales. En el resto de los polígonos deben coincidir no sólo los ángulos, sinó que además los lados respectivos deben estár en la misma proporción. EQUIVALENCIA: ( Es la “igual superficie” o “ área” entre dos omás polígonos, independiente de la forma que tengan. Se cumple cuando dos o más polígonos cumplen con la CONGRUENCIA equivalencia (igual superficie) y la semejanza (igual forma) a la vez.
Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de mnodo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. Postulados de congruencia de triángulos: 1. ALA : Si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado. 2. LAL : Cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. 3. LLL : Si tienen sus tres lados respectivamente iguales. 4. LLA>: Cuando tiene dos lados y al ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales. Elementos secundarios del triángulo ALTURA: Es el segmento perpendicular C que va desde un vértice al lado opuesto E F o a su prolongación. H Ortocentro (H): punto de intersección de las alturas.
TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Baricentro o centro de Gravedad (G): Punto de intersección de las transversales de gravedad. Observación: Si entonces
B
D
BISECTRIZ: Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Incentro (I): punto de intersección de las bisectrices. Equidista de los lados del triángulo.
C F
TRAZOS 1. Segmento: Trazo limitado por dos puntos en sus extremos. 2. Rayo: Trazo limitado en un extremo por un punto, y por el otro se extiende indefinidamente. 3. Recta: Trazo infinito hacia ambos extremos. Se extiende indefinidamente.
A
PROBLEMAS DE EDADES En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una tabla sus edades pasadas,presentes y/o futuras, según corresponda. Edad pasada (hace b años) x-b y-b
Ángulos opuestos por el vértice: tienen el vértice en común y los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro. Ángulos contiguos: Son aquellos que no comparten vértice, sinó que comparten un lado en común en el interior de un polígono.
Clasificación de los ángulos de acuerdo a la suma de sus medidas Ángulos Complementarios: Suman 90°. Si son ángulos complementarios, es el complemento de y es el complemento de El El complemento de un ángulo x es 90 - x. Ángulos Suplementarios: Suman 180°. Si son ángulos suplementarios, es el suplemento de y es el suplemento de El El complemento de un ángulo x es 180 - x.
a es el b% de c: a= El a% del b% de c =
Variación porcentual AUMENTO: Al aumentar una cantidad C en su P porciento se obtiene una cantidad final C´:
E
G
A
B
D
Trazar transversales de gravedad divide al en triángulos equivalentes.
SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto de cada lado del triángulo. Circuncentro (O): punto de intersección de las simetrales. Equidista de los vértices del triángulo.
C
MEDIANA: Es el segmento de recta que unelos puntos medios de los lados del triángulo. Mide la mitad que el lado al cual es paralelo, y dividen el en 4 triángulos congruentes.
B
A
C
á F
Observación:
á A
E á
á D
B
DATOS En todo triángulo isóseles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto. En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. Además coinciden los puntos singulares (de intersección)
Trapezoide: Es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos. Se clasifican en simétricos (deltoides) y asimétricos.
3)
Trapezoide asimétrico:
Trapezoide simétrico o Deltoides: Sus diagonales
POLÍGONOS Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan). 1. Cóncavos: 2. Convexos: No son polígonos: Pues tienen lados que se intersectan (cruzan).
Total de diagonales trazables en el polígono =
3 LADOS 4 LADOS 5 LADOS 6 LADOS 7 LADOS 8 LADOS
PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS: Suma de los ángulos interiores = 180 (n-2) (n-2) Suma de los ángulos exteriores = 360 Diagonales trazables desde un vértice = n-3
Binomios con término común
FACTORIZACIÓN Es el proceso de escribir un polinomio como el producto de sus factores. Factor común
Medida de cada ángulo interior =
Medida de cada ángulo exterior =
El hexágono regular es un polígono regular especial formado por la conformación de seis triángulos equiláteros.
Cuadrilátero: Es cualquier polígono de 4 lados. Se clasifican el paralelogramos (lados opuestos paralelos), trapecios (un par de lados paralelos), y trapezoides (sin lados paralelos). Tanto la suma de sus ángulos interiores como exteriores es 360 . Siempre que se trazen uniones entre los puntos medios en cualquier cuadrilátero se forma un paralelógramo.
1)
Paralelógramos: Es aquel que tiene dos pares de lados opuestos paralelos. Siempre sus lados y ángulos opuestos son congruentes, y los ángulos contiguos son suplementarios.
i.
un polígono de cuatro lados, con la Cuadrado: El cuadrado es un polígono particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 cada uno. Se caracteriza porque sus diagonales son conruentes, se dimidian, intersectan en ángulos rectos y son bisectrices. Además las diagonales trazan cuatro triángulos congruentes.
Área = ii.
Perímetro = 4
Perímetro =
Perímetro =
Trapecio: Es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamados bases. En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( ) suman 180°. El trapecio isósceles en específico, se
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma
CIRCUNFERENCIA Es una figura plana, cerrada, formada por una infinita cantidad de puntos ubicados a una misma distancia de un punto central. Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y de radio r al conjunto de todos los puntos que están a la distancia r del punto O.
caracteriza porque sus diagonales son congruentes, y sus ángulos opuestos son suplementarios. La mediana es un segmento que va desde el punto medio de un lado no paralelo hasta el punto medio del otro, y su medida es el promedio promedio de las bases.
Área = En un sector circular Área =
Perímetro = Perímetro =
Elementos secundarios de la circunferencia Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de esta Cuerda: Trazo cutos extremos son dos puntos de la circunferencia Diámetro: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia. Es la cuerda de mayor longitud, equivalente a dos radios (d=2r) Secante: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (llamado punto de tangencia). Arco: Es una parte de la circunferencia determinada por dod puntos de ella. Posee longitud y medida angular. Ángulo inscrito: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de esta. Ángulo de centro: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia. Teoremas de la circunferencia a) La medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende al arco.
b)
Todo ángulo inscrito en una circunferencia, tiene como medida la mitad del ángulo de centro, que subtiende el mismo arco.
c)
Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida.
d)
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
e)
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios
f)
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
g)
La medida del ángulo interior de la circunferencia corresponde a la semi-suma de los arcos que subtiende.
Romboide: Es un paralelogramo que tiene los lados y á ngulos iguales dos a dos. Sus diagonales se dimidian. Área =
2)
Rectángulo: Es un polígono que tiene los lados opuestos congruentes y sus cuatro ángulos interiores son rectos. Sus diagonales son congruentes y se dimidian. Los triángulos interiores generados por las diagonales que son opuestos por el vértice, son isósceles congruentes. Área =
iv.
Perímetro =
un cuadrilátero paralelogramo paralelogramo cuyos cuyos Rombo: El rombo es un cuadrilátero cuatro lados cuatro lados son de igual longitud y sus ángulos sus ángulos interiores opuestos son iguales. Sus diagonales son perpendiculares entre si y cada una divide a la otra en otra en partes iguales. Las diagonales son bisectrices.
Área = iii.
Diferencia de cuadrados
Número de triángulos que se pueden formar desde un vértice con diagonales = n-2 POLÍGONO REGULAR Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En caso contrario se dice que es irregular.
PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de binomio Corresponde al producto de un binomio por sí mismo.
Suma por su diferencia Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia.
NOMBRE DE POLÍGONOS TRIÁNGULOS CUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO OCTÓGONO
son perpendiculares, una diagonal es bisectriz, y esta es a su vez simetral de la otra diagonal.
h)
La medida del ángulo exterior de la circunferencia corresponde a la semi-diferencia de los arcos que subtiende.
i)
La medida del ángulo semi inscrito corresponde a la del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco.
TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a
b
c
3 5 7 8 a
4 12 24 15 a
5 13 25 17
a
3a
a
a a a
n
TRIÁNGULOS NOTABLES
Solución del sistema: Es todo par (x,y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones. Para comprobar que un par dado (a,b) es solución de un sistema, se deben reemplazar los valores. Análisis de las soluciones de un sistema sistema de ecuaciones lineales lineales Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una recta en un sistema de ejes coordenados, y se llamma solución del sistemaal punto(s) de intersección de estas. SOLUCIÓN ÚNICA: Si , lo cual implica que las rectas se intersectan en o
o
ECUACIÓN DE LA RECTA El sistema ortogonal (canónico o perpendicular): Usado para determinar la posición de puntos en un plano por medio de coordenadas cartesianas rectangulares. Posee cuatro cuadrantes. Eje X Eje de las Abscisas Eje Horizontal Dominio
Eje Y Eje de las Ordenadas Eje Vertical Recorrido
X Variable Independiente Dato de Entrada Preimágen Argumento de la función
Y Variable Dependiente Dato de Salida Imágen Valor de la función
Coordenadas del punto medio de un segmento
Pendiente de una recta Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)
Una recta que es paralela al eje X tiene pendiente igual a 0 Una recta que es paralela al eje y tiene pendiente indeterminada en IR Ecuación principal de la recta
Donde m es la pendiente y n es el coeficiente de pocisión (punto de intersección con el eje Y) Ecuación general de la recta ax+by+c=0 Donde la pendiente es y el coeficiente de pocisión pocisión es
Ecuación de la recta dados dos puntos Dados dos puntos y de la recta:
un únicopunto (a, b), siendo este la solución del sistema. INFINITAS SOLUCIONES: Si , lo cual implica que las infinitas dos rectas coinciden, dandoinfinitas soluciones al sistema. NO TIENE SOLUCIÓN: Si , lo cual implica que las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo que no hay solución.
TEOREMA DE LAS BISECTRICES En el triángulo rectángulo, al trazar una bisectriz desde el ángulo recto, se cumple que:
Distancia entre dos puntos A y B
Resolución algebraica Método de sustitución: Se debe despejar una de las variables en una de las o ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación,generándose así una ecuación con una incógnita. Método de igualación: Se debe despejar la misma variable en ambas o ecuaciones y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una incógnita. Método de reducción: Se deben igualar los coeficientes de una de las o incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita. INECUACIONES Llamamos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b,
CASO PARTICULAR La ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes. Siendo (a,0) el punto de intersección de la recta con el eje X, y (0,b) el punto de intersección de la recta con el eje Y.
.
Propiedades: I. Si a los dos miembros de la desigualdad se le suma o resta un mismo número, la desigualdad no cambia. II. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo número positivo,, el sentido de la desigualdad no cambia. III. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, negativo, el sentido de la desigualdad cambia . IV. Si a los miembros de una desigualdad, ambos del mismo signo, se toman sus inversos multiplicativos (recíprocos), el sentido de la desigualdad cambia. V. Si a los miembros de una desigualdad, cada uno de distinto signo, se toman sus inversos multiplicativos, el sentido de la desigualdad no cambia. Inecuaciones de primer grado con una incógnita Son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar por medio de: Notación de conjuntos: Se toma un conjunto de referencia IR, y se limita o el intervalo para el cual x da verdadera la inecuación. Ej: {x / x > 2} Gráfica: Sobre una recta numérica IR, se dibuja el o los sectores que o
hacen la inecuación verdadera. Punto pintado (•) toma al valor ), y punto sin pintar (ο) no toma el valor
( (
). se representa
Ej:
Intervalos: Representan el sector en el cual los valores que puede tomar
o
x cumplen la inecuación. Para representar intervalos cerrados (en los cuales se toma el valor numérico), se utilizan [ y ], correspondientes a . Para representar intervalos abiertos (en los cuales no se toma el valor numérico), se utilizan ] y [, correspondientes a . Ej: se representa ]-2,5]
Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente
o
TRÍOS PITAGÓRICOS
Rectas paralelas : Dos rectas son paralelas solamente si tienen pendientes iguales. si y sólo si Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. si y sólo si SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones lineales (de 1 er grado) constituyen un sistema de ecuaciones si tienen las mismas dos incógnitas (x,y). La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
Un intervalo abierto también se puede representar con paréntesis ) (
Unión ( ): Consiste en agregar los intervalos de dos o más inecuaciones para generar un mayor conjunto solución de resultados posibles de x. Si al aplicar unión, se cubren todos los valores de la recta numérica, ]- , + , se dice que el conjunto solución es Intersección ( ): Consiste en ver los intervalos en com´´un que tienen dos o más inecuaciones.
Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita La solución del sistema es la INTERSECCIÓN de los conjuntos de cada inecuación, que representa los intervalos de valores que ambas inecuaciones tienen en común. Si dos inecuaciones no tienen valores en común dentro de sus intervalos, se dice que la intersección es vacía ( )
LOGARITMOS Definición: El logairmo de un número real positivo b en base a, positiva y distinta de 1, es el número m a que se debe elevar la base para obtener dicho número.
Dominio: Es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f. Para conocer el dominio se debe despejar y, y ver las limitancias que se imponen a x. Ej: Siendo , el Dom f = , pues para , la función se
indefine. Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y se denota Rec f. Para conocer el recorrido se debe despejar x, y ver las limitancias que se imponen a y. Ej: Siendo , se observa que al despejar y resulta , por lo que
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que se puede reducir a la forma: , donde , . El cálculo de las soluciones o raíces de esta ecuación, se realiza aplicando la siguiente fórmula:
FUNCIONES Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento del conjunto B.
Rec f =
,pues para x=0 la función se indefine.
Evaluación de una función: CRECIENTE: Al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. DECRECIENTE: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. CONSTANTE: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor.
Se puede evaluar una función tanto en su generalidad como en un intervalo específico.
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x, denotado |x|, es siempre un valor real no negativo.
FUNCIÓN PARTE ENTERA Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x . Su representación gráfica es llamada función escalonada. El Rec f =
FUNCIÓN EXPONENCIAL Es la función definida como Con y .
El gráfico de la función puede ser de dos maneras, dependiendo del valor de a: i. (Gráfica creciente) ii. (Gráfica decreciente)
La gráfica no corta las abscisas
FUNCIÓN RAÍZ Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por
La función raíz es creciente, pero considerada como un modelo de crecimiento lento.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA Es una función
Con . El gráfico de la función puede ser de dos maneras, dependiendo del valor de a: i. (Gráfica creciente) ii. (Gráfica decreciente)
Con
. La expresión
se lee “el logaritmo de b en base a es m”. El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación.
Propiedades:
, y se lee “Logaritmo natural de euler es igual a 1 “
Si Si
son las soluciones de la ecuación, esta se puede escribir como:
son las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado , entonces siempre se cumple que
FUNCIÓN CUADRÁTICA A la función de segundo grado , siendo a,b y c reales y se le denomina función cuadrática. La representación gráfica de la función es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría.
Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola. Si a > 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia arriba. Si a < 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia abajo.
Intersección con el eje y: La parábola siempre intersecta al eje de las ordenadas en y=c, determinado por el punto (0,c)
para los cuales y = 0. Ceros de la función: Los ceros o raíces son los valores se denomina discriminante, pues Discriminante : La expresión determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática. : Dos soluciones distintas. Intersecta al eje x en dos puntos, por lo que el eje de las abscisas es secante a la parábola. : Sus soluciones son idénticas (una sola raíz real), por lo que la recta es tangente al eje x. : La parábola no intersecta al eje x, no tiene solución real, sinó dos raíces complejas conjugadas. Vértice de la parábola: Es el punto de menor o mayor valor en la parábola, y es donde intersectan el eje de simetría y la parábola.
Eje de simetría: Es una recta que divide a la parábola en dos “ramas” congruentes. Observaciones: Si b=0, l parábola tiene como eje de simetría al eje Y. Si a y b tienen igual signo, la parábola está a la izquierda del eje Y Si a y b tienen distinto signo, la parábola está a la derecha del eje Y Dadas las coordenadas del vértice (h,k), la función toma la forma f(x)=
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS AA: Teorema fundamental de la semejanza en triángulos. Basta con que o los ángulos respectivos coincidan. LAL: Basta que tengaun un ángulo congruente comprendido entre lados o proporcionales. LLL: Basta que sus lados sean proporcionales o LLA>: Basta que tengan dos de sus lados respectivamente o proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes. Observaciones: 1. Los simbolos de semejanza, congruencia y equivalencia ( ) tienen implícito un orden respectivo, que permite determinar qué lados tienen la correspondencia entre si. Ej: Si , 2. Entre triángulos semejantes se produce una proporcion directa entre sus lados. Siendo .
3.
Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero.
Razones Notables: Necen de la regularidad que se produce en el triángulo rectángulo isósceles ( , 90 ), y en el que corresponde a la mitad de un equilátero (30 ). ). 30 45 60 Sen
α α α α α α α α
TEOREMAS REFERENTE A TRIÁNGULOS SEMEJANTES Em triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón o que dos trazos homólogos cualesquiera y también en la misma razón que sus perímetros. Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al o cuadrado de la razón que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera. Estos teoremas también se cumplen en polígonos semejantes y en el círculo.
Cos
TEOREMA DE THALES Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son, respectivamente, proporcionales a los segmentos determinados en la otra. El la figura, L1 y L2 son rectas y .
Problema del tipo trigonométrico Ángulos de elevación y de depresión son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté pot sobre o bajo la última. Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.
Entonces:
TEOREMA DE EUCLIDES El triángulo de la figura es rectángulo en C y es altura. a y b son catetos, c hipotenusa, p y q son proyecciones de los catetos a y b sobre la hipotenusa. Los triángulos ACB, ACD y CDB son semejantes.
Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
TEOREMA DE LAS CUERDAS Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentos determinados en la otra.
TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geométrica entre la secante y su segmento exterior.
Identidades trigonométricas
tg
cos
sen2
2
cotg α tg
α
=
=
ESTADÍSTICA Es una rama de la matemática que comprende mátodosy técnicas que se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y comunicación de conjuntos de datos. o Población: Es un conjunto cuyos elementos poseen alguna característica en común que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitaso infinitas. Muestra: Es un subconjunto de la población, que debe ser o representativa y aleatoria. Variable Cualitativa: Son aquellas que cuando las observaciones o realizadas se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo, nacionalidad, profesión, etc. o Variable cuantitativa: Son aquellas en que cada observación tiene un valor expresado por un número real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: 1. Discretas: Son numerables. Suelen tomar valores enteros. Ej: número de hijos, número de departamentos en un edificio, notas en un colegio, etc. 2. Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etc.
intervalo
DIVISIÓN DE TRAZOS I. División Interna: Un punto P perteneciente a un trazo la razón m : n, si .
lo divide en
Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central son indicadores que representan valores numéricos en torno a los cuales tienden a agruparselos valores de una variable estadística. Los principales son la media aritmética, la mediana y la moda. o
División Áurea o Divina: Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayor y menor. ( ).
La razón
1
Tabulación de datos Frecuencia (f): También denominada frecuencia absoluta. Es el número o de veces que se repite un dato. Frecuencia Acumulada (f ac o ac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última pocisión. o Frecuencia Relativa (f r): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de la variable y el total de datos, expresada en porciento. Frecuencia Relativa Acumulada (fr ac): Es la que se obtiene sumando o ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última pocisión. o Marca de clase: Se define como el promedio de los lados extremos de un
TEOREMA DE LAS SECANTES Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.
II.
Tg
o
se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO.
o
TRIGONOMETRÍA Razones trigonométricas: En el triángulo rectángulo, se definen las siguientes razones con respecto a un ángulo acutángulo .
o
Media Aritmética o Promedio ( ): Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de datos. Si se tienen n datos; su media aritmética es:
Media aritmética para datos organizados en una tabla de , y las frecuencias son frecuencias: Si los datos son; , entonces la media aritmética es:
Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Si no hay un dato que tenga la mayor frecuencia que otro se dice que la distribución de frecuencias es amodal. Si existe un solo dato que tenga mayor frecuencia la distribución de frecuencia es unimodal. De existir dos (o más) datos que tienen la misma frecuencia, siendo esta la mayor, se dice que la muestra es bimodal (o polimodal). Mediana (Me): Es el dato que ocupa la pocisión central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales.
Medidas de pocisión o
Ej: En el caso del lanzamiento de una moneda cuatro veces (o lanzar 4 monedas a la
Cuartiles: Son los tres valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos, respectivamente. Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) se procede de la siguiente manera: 1º Se ordenan los datos de menor a mayor 2º Se determina la pocisión que ocupa cada cuartil mediante la fórmula
pQk =
o
pascal son: Esta situación se grafica de la siguiente manera:
En donde K = {1, 2, 3} y N es el número de datos. En caso de ser un decimal, se aproxima al entero más cercano superior. Observación: Q2 coincide con la mediana Percentiles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 100 partes iguales. El Percentil de orden K se denota Pk, y en el caso discreto es la observación cuya frecuencia absoluta acumulada alcanza el valor igual al k% de las observaciones. Para calcular los percentiles se procede de la siguiente manera: 1º Se ordenan los datos de menor a mayor. 2º Se calcula la pocisión que ocupa el percentil,con la fórmula
pPk
vez) se obtienen 2 4 resultados, que al determinarlos por medio del triángulo de
En donde K = {1, 2, 3, …, 99} y N es el número de datos. Si e s decimal se
En que
Observación: Si la Desviación Estandar de un dato, es igual a 0, quiere decir que el dato corresponde al promedio del conjunto de datos.
Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:
Si A y B son dos sucesos excluyentes (nopueden ocurrir ambos a la vez), la probabilidad de que ocurra A o B está dadapor:
σ
significa que hay cuatrocasos favorables para obtener 3 caras y 1 sello.
PROBABILIDADES DE EVENTOS
aproxima al entero más cercano superior. Observación: P50 coincide con la mediana
Medidas de dispersión Rango: En un conjunto de datos, corresponde a la diferencia entre el o mayor y el menor de los datos. Desviación Estandar: Es una medida de dispersión que indica cuánto o tienden a alejárselos datos de la media aritmética de éstos. La desviación estándar ( ) se calcula mediante la siguiente fórmula:
Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre laprobabilidad de ocurrencia ono ocurrencia del otro.
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo
lacondición de que el suceso B a ocurrido.
TRASLACIONES
Son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una determinada dirección, sentido
PROBABILIDADES
y distancia, por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama su “ vector
Nociones elementales: o Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las mismas condiciones,un número indefinido de veces. o Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no sse puede predecir, existiendo un conjunto de resultados posibles (espacio muestral). Evento o suceso: Es un resultadoparticular del espacio muestral. o 1. Evento cierto: Es elpropio espacio muestral 2. Evemto imposible: Es aquel que no tiene elementos, es decir, el subconjunto vacío del espacio muestral. Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la o ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro. No tienen ningún posible resultado en común dentro del espacio muestral. Eventos complementarios: Son aquellos que no tienen elementos o comunes, perojuntos completan el espacio muestral.
de t raslación”. raslación”.
Observaciones: Con una traslación, una figura jamás rota, es decir,el ángulo que forma con la horizontal no varía. Con una traslación una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares. No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una única.
VECTORES Un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud del cual depende únicamente un módulo un módulo (o (o longitud), longitud), un sentido y una dirección
Técnicas de conteo Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso ocurre en k etapas diferentes, en donde la primera etapa puede ocurrir de n1 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número total de maneras en que ocurre elsuceso está dado por: n1 n n2 n n3 n nk
(u orientación) (u orientación) para para quedar definido.
o
desde A hasta B.
Suma de vectores: Para sumar dos vectores
libres y
La imagen representa un vector
se escogen como representantes representantes
dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector. Otra
Principio aditivo: Si dado un determinado suceso que tiene alternativas de llevarse a cabo, donde la primera de estas alternativaspuede realizarse de n1 maneras, la segunda alternativa puede llevarse a cabo de n2 maneras,y así sucesivamente, hasta la última alternativa que puede realizarse de nk maneras, entonces el número total de maneras en que ocurre este suceso es: n1 + n2 + n3 + … + nk
manera de sumar vectores es por medio de la Regla del paralelogramo, en la que se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose
PROBABILIDAD CLÁSICA La probabilidad de que ocurra un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al evento A por el número total de casos posibles.
Observaciones: La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. Es decir, que siendo A´= (A no ocurre): P(A) = 1 – P(A´) , siendo la probabilidad de un evento imposible igual a 0,y la de un evento cierto igual a 1.
un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
o
Resta de vectores: Para restar dos vectores libres
ROTACIONES
y
se suma
con el opuesto de .
Son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del plano. Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo bien determinados,por lo
TRIÁNGULO DE PASCAL
que toda rotación queda definida por su centro de
El triángulo de pascal se utiliza en experimentos aleatorios
rotación y por su ángulo de giro. Si la rotación se efectúa
que tengan dos sucesos equiprobables de
en sentido contrario a las manecillas del reloj, se dice que la rotación es positiva o
ocurrencia,comopor ejemplo: lanzar una moneda, elsexode
antihoraria; en caso contrario,se dice que la rotación es negativa u horaria.
unapersona, respuestas del tipo V o F, Si o No, etc.
α
α
Una rotación de centro P y ángulo de giro , se representa por R (P, ). Si la rotación
α
es negativa,se representa por R (P, - ).
SIMETRÍAS
CUERPOS GENERADOS POR LA REVOLUCIÓN DE FIGURAS PLANAS
Son aquellas transoformaciones isométricas que invierten los puntos y figuras del
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor
plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (Simetría central) o respecto
de un eje.
de una recta (simetría axial).
Simetría Central Dado un punto fijo del plano, se llama simetría (reflexión) con respecto a O a aquella isometría que lleva cada punto (A, B y C) del plano a una pocisión A´, B´ y C´, de modo que cada nuevo punto esté al lado contrario del inicial, y que:
.
CUERPOS GENERADOS POR TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS Se generan por traslación de una superficie plana:
El punto O se denomina centro de simetría, y los pares A A´, B B´ y C C´ son puntos correspondientes u homólogos de la simetría.
Simetría Axial Dada una recta fija L del plano, se llama simetría axialcon
CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
respecto a L o reflexión con respecto a L, a aquella isometría tal que, si A y A´ son puntos homólogos con respecto a ella,
L y, además, el punto medio de
Eje de simetría
está en L.
Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto a la recta. Existen figuras que no tienen, tienen sólo uno, o tienen más de un eje de simetría. La circunferencia tiene infinitos ejes de simetría.
En geometría, un centro de simetría es un punto de una figura u objeto tal que cualquier recta que por él pasa ha de encontrar a ambos lados y a la misma distancia, puntos correspondientes. Dentro de los polígonos regulares, sólo tienen centro de simetría aquellos con número par de lados. Además, tienen centro de simetría el rombo y el rectángulo.
TESELACIÓN DELPLANO Es la entera división delplano mediante la repetición de una o más figuras que encajan perfectamente unas con otras, sin superponerse ni dejando espacios vacíos entre ellas. Esta partición delplano suele llamarse también mosaico o embaldosado.
Todos los triángulos y todos los cuadriláteros teselan por si mismos el plano.
Los únicos polígonos regulares que teselan el plano son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular, pues sus ángulos interiores son divisores de 360 . °
En el espacio tridimensional encontramos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares que generan también tres planos perpendiculares XY, XZ y el YZ. El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el
Si queremos teselar el plano utilizando dos omás polígonos, es necesario que en
PUNTOS EN EL ESPACIO
cada vértice la suma de todos los ángulos sea 360
°
punto K está en el plano YZ, el punto L, en elplano XZ y el punto M en elplano XY,peroel punto A está suspendido en el
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
espacio, encerradopor los tres planos. Este
Un plano queda determinado por:
punto A tienen las cordenadas (a, b, c).
i.
Dos rectas que se intersectan en un punto
ii.
Tres puntos nocolineales
iii.
Una recta y un punto no pertenenciente a ella
iv.
Dos rectas paralelas no coincidentes.
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
DETERMINACIÓN DE UNA RECTA
Con a > 0 se cumple que:
Una recta queda determinada por:
1)
i.
Dos puntos distintos
ii.
La intersección de dos planos no paralelos
2)
POLIEDRO Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina
IMPORTANTE:
cara,sus lados aristas y la inetrseccion de las aristas se llaman vértices.
ESTE RESUMEN ES SÓLO PARA USO PERSONAL CON FINES DE ESTUDIO Y
PRISMA
APRENDIZAJE. LOS DERECHOS DERECHOS DE AUTOR DE LAS RESPECTIVAS RESPECTIVAS FUENTES
Poliedro limitado por paralelógramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos
ESTÁN RESERVADOS. QUEDA ESTRICTAMENTE PROHIBIDO COMERCIALIZAR
congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).
ESTE RESUMEN.
ÁNGULO DIEDRO
FUENTES:
Es el ángulo formado por dos semplanos, que tienen una arista
GUÍAS DE ESTUDIO PREUNIVERSITARIO PEDRO DE VALDIVIA
MANUAL DE PREPARACIÓN PSU MATEMÁTICA UC
en común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto.
VERSIÓN 2011 ¡MUCHO ÉXITO!
