RESUMEN DE TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA NOTACIONES IMPORTANTES Para un ángulo cualquiera se cumple:

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR I.

SISTEMA SEXAGESIMAL ( ° ) : Grado sexagesimales ( ‘ ) : Minuto sexagesimales ( ‘’ ) : Segundo sexagesimales

1° = ∡  ∡ 1  = 360° 1° = 60’

II.

1’ = 60’’

1° =3600’’

# de grados sexagesimales # de minutos sexagesimales # de segundos sexagesimales

=S = 60S = 3600S

# de grados centesimales # de minutos centesimales # de segundos centesimales

=C = 100C = 10000C

LONGITUD DE ARCO

SISTEMA CENTESIMAL ( g ) : Grado centesimales ( m ) : Minuto centesimales ( s ) : Segundo centesimales 1

 = ∡  1g = 100m

R o

∡ 1  = 400 1m = 100s

1g =10 000s

 =  ∙∙ 

L

θ rad

R L: Longitud del arco AB R: Longitud del radio θ: # de radianes de la

∡

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (LC)

III. SISTEMA RADIAL ( rad ) : Radián r o

1 rad

r

O

r

1  = ∡  ∡ 1  = 2 g

10

180°

g

200

 

27’

81’’

27’

162’

20m

250°

5000

s

CONVERSIÓN DE SISTEMAS II Sea AOB, un ángulo cualquiera

∡

B

O

S° = Cg = R rad A

S = # de grados sexagesimales del ángulo C = # de grados centesimales del ángulo R = # de radianes del ángulo Se cumple:

180 = 200 =  9 = 10 180 =  200 = 

Prof. Widman Gutiérrez R.

5m

 = 2

LC

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR

CONVERSIÓN DE SISTEMAS I Para convertir medidas angulares de un sistema a otro se multiplica por los siguientes factores de conversión. 9°

R

A

o

R

o

A

θ rad

R

B

B

   = 2 ∙  ∡  =  2∙   = 2

A: Área del sector circular AOB R: Longitud del radio θ: # de radianes de la OTRAS FORMULAS

ÁREA DEL CÍRCULO (A C)

O

R

 =  ∙  Página 1

TRIGONOMETRÍA ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (A T) R-r

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

h

r

o

b

a

r

α

R-r

h

b

 = ( ++2 ) ∙ ℎ

A: Área del trapecio circular a: Longitud del arco mayor b: Longitud del arco menor h=R-r

Eje R

R

R R

R

 = 



: Ángulo barrido por la rueda : Espacio recorrido R : Longitud del radio de la rueda

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS: CO- RAZONES

NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA (

# = 2

# = 2

#

APLICACIONES EN ENGRANAJES Y POLEAS I. DOS ENGRANAJES DE CONTACTO R

III.

 = 

r

DOS ENGRANAJES UNIDOS POR UN EJE Eje R

 = 

r

DOS POLEAS UNIDAS POR UNA CORREA Correa R


c

a

ÁNGULO BARRIDO POR UNA RUEDA

II.

  =   +   ++  = 90°90°  > ;;    =  =     =   =    =   =    =  =      =  =      =  =   

 = 

)

 ++  = 90°90°  = (−) =   = (−) =   = (−) =   = (−) =   = (−) =   = (−) = 

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

  = ∙ =   = 1 1  = ∙ =   = 1 1  =  ∙∙   =   = 1  Página 2

TRIGONOMETRÍA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁN ULOS NOTABLES

ÁNGULOS H RIZONTALES ROSA NAÚTICA

R.T. Sen Cos Tag Ctg Sec Csc

30°

60°

45°

37°

53°

16°

74°

1 2 √ 3 2 √ 3 3 √ 3

√ 3 2 1 2

√ 2 2 √ 2 2

√ 3

1

√ 3 3

1

2

√ 2

2√ 3 3

√ 2

3 5 4 5 3 4 4 3 5 4 5 3

4 5 3 5 4 3 3 4 5 3 5 4

7 25 24 25 7 24 24 7 25 24 25 7

24 25 7 25 24 7 7 24 25 7 25 24

2√ 3 3 2

1 45°   11°15 4 4

RUMBO

N

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RE TÁNGULOS

N55°E 55°

I.

II.

DATOS : HIPOTENUSA Y θ H

H

θ

θ H Cosθ

θ

a Cscθ

E

H Senθ

20°

S

S20°O

DATOS : CATETO OPUESTO Y θ a

III.

O

N 5°E : Del Norte 55° al Este S20°O : Del Sur 20° al Oeste

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICI N NORMAL a

θ a Cscθ

r

θ

r

a Tagθ

 ; 

θ

a

ÁNGULOS VERTICALES

         


r r

 ; 

    

a

ÁNGULO DE ELEVACIÓN ÁNGULO DE DEPRESIÓN

 ;  x

DATOS : CATETO ADYACENTE Y θ a Secθ

y

 ; 

 

                       

     

           

Página 3

TRIGONOMETRÍA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

R.T.

0° 0 rad

90°

180°

270°

π/2 rad

Π rad

3π/2 rad

Sen

O

1

O



Cos

1

O

Tag

O

N

Ctg

N

O

Sec

1

N

Csc

N

1

IDENTIDADES RECÍPROCAS

   ∙ ∙   = 1   ∙ ∙   = 1  ∙ = 1

1

−1 −1 −1 O

O

N

N

O

IDENTIDADES POR COCIENTE

 

N

N

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

 =  =  

IDENTIDADES PITAGÓRICAS I.

REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MENORES QUE 360° • PRIMERA FORMA:

.180°± 360°− = ± .()

Signo ± depende de la R.T. original •

SEGUNDA FORMA:

90°+  = ±  − .. () .270°± Signo ± depende de la R.T. original

II. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MAYORES QUE 360°

 > 360° →  = 360 360 +  .. () = .. (360° ∙  + ) = .. () Si:

III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS

((−) )−)==− ( ( −−)  ( ) ( ( −) − = − ((−) ))= − ( −  −) − =  ( (−) −) = − Prof. Widman Gutiérrez R.

 =+ + 1 +=1  = 1 +  IDENTIDADES AUXILIARES

 + +  = 1 − 22 ∙∙    + +   = 1 − 33  ∙∙  

( )( +   +   +1+ 1)(  + 1) = 2

(1 ±  ± ± ) = 2(2(1 ± ± )()(1± 1±))

 1 ± 2 2 ∙∙  = |  ± ± | 1+  =  1− 1+  =  1−    + +   =  ∙ ∙    + +  =  ∙∙ 

PROPIEDAD: Si

 + +  =   =   =    ó :  +  = 

, se cumple

que:

Página 4

TRIGONOMETRÍA RAZ. TRIG.DE ÁNGULOS COMPUESTOS

RAZ. TRIG. DEL ÁNGULO MITAD

  ±    ∙   ±   ∙ 

1− 2 = ± 1− 2 1+ 2 = ± 1+ 2 2 = ± 1− 1+

  ±     ∙   ∓   ∙     ±  

  ±  

1 ∓  ∙∙ 

IDENTIDADES AUXILIARES

( ( ++ ) ∙( ∙( −− ) =  − −  ( ( ++ ) ∙( ∙( −− ) =  − −  ( ) (   ± ±   ± =   ∙ ∙ 

NOTA: El signo ±

TRANSFORMACIÓN A PRODUCTO Si:

RAZ. TRIG. DEL ÁNGULO DOBLE

2 = 2 = 2 =

2  − −  2  −1− 1 1−2  2 1−

IDENTIDADES AUXILIARES

 1 ± 2 2 = |  ± ± ||   + +  = 22 22   − −  = 22 22 RAZ. TRIG. DEL ÁNGULO TRIPLE

3 = 3 −4 3 = 4  −3 − 3 31−3  − −   3 = 3 PARA DEGRADAR:

4 = 3 −3 4  = 3 +3 Prof. Widman Gutiérrez R.

 ⁄2

depende del cuadrante al cual pertenece

> + = 2 ++2  −−2    − −  = 2 2  ++2  −−2   ++   = 2 2 ++2  −−2   −−   = 2 2 ++2  −−2   +  ++  = 180° 180° , se cumple:

PROPIEDADES Si:

, secumple:

  + +  + +   = 4 4  222   +   +   −1− 1 = 4 4 222 TRANSFORMACIÓN A SUMA O DIFERENCIA Si:

> 2 ∙ = ( ( ++ ) +( +( −− ) 2 ∙ = 2( 2( ++ ) −( −( −− ) 2∙ = 2( 2( ++ ) +( +( −− ) 2∙ = 2( 2( −− ) −( −( ++ ) , se cumple:

Página 5

TRIGONOMETRÍA

 +−+−  =   +−+−2   2   +−+−  =   +−+−2   2   +−+−  =  +−+−2   2 

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS I. LEY DE SENOS

A

c

b

B

C

a

       

IV. LEY DE PROYECCIONES A

c

A

B

R

B

O

a

C

 =  +  =  +  =  +

C

2  = 2  = 2  = 2          ;

b

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

;

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (ETE)

II. LEY DE COSENOS

A

c

..(. (∡) =⋕

b

VALOR PRINCIPAL (VP) DE UNA “ETE” B

a

 =  +  −2  =  +  −2  =  +  −2 III. LEY DE TANGENTES


RESOLUCIÓN DE UNA “ETE” 1.

2.

A

c

B

..(. (∡) =⋕→ =⋕ →  = .. . (⋕)

C

b

a

3.

C

( ) ( (∡) =⋕→ =⋕ →  = (  ⋕ ∡ =  +(+ (−1) −1)  ( (∡) =⋕→ =⋕ →  = ( (⋕) ∡ = 2 ±  ,  ∈ ℝ ( (∡) =⋕→ =⋕ →  = ( (⋕) ∡ =  +  Página 6

RESUMEN DE TRIGONOMETRÍA

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