Résumé d'algèbre

Résumé d’algèbre - MP Essaidi Ali 23 décembre 2014 K

1

= R ou C

Struc Structur tures es algébr algébriq iques ues :

 (G, .) un groupe et  H   H  ⊂ =  ∅ et  ∀a, b ∈  H, a.b a.b−1 ∈  H . Caractérisation 1.1   Soit  (G,  ⊂  G. H  est un sous-groupe de  G ⇐⇒ H     Proposition 1.1  Les sous-groupes de  ( Z, +) sont les nZ avec n  ∈ N.

 ( H i )i∈I  est une famille de sous-groupes d’un groupe  G  alors Proposition 1.2 Si (H 

 H 

i  est un sous-groupe de  G.

i∈I 

 G  un groupe et  A  A  ⊂  G . L’intersection de tous les sous-groupes de  G  contenant  A  A  est un Proposition et définition 1.1   Soient  G  A. On l’appelle le sous-groupe de G  engendré par  A  A  et on le sous-groupe sous-groupe de G , c’est le plus petit sous-groupe de  G  contenant  A  gr(A). note < A > ou  gr(A  G  un groupe. On dit que  G  est : Définition 1.1   Soit  G > =  G.  – Monogène si ∃a  ∈  G  tel que  < a >=  – Cyclique si  G  est monogène et fini.  G  un groupe d’élément neutre e  et  a  a  ∈  G. Définition 1.2   Soit  G  ord(G)  – On dit que G  est d’ordre fini si  G  est fini. Dans ce cas, le cardinal de  G  s’appelle aussi l’ordre de  G  et on le note ord(G ou |G|.  – On dit que a  est d’ordre fini si ∃n  ∈ N∗ , an =  e . Dans ce cas, min{n  ∈ N∗ /an =  e } s’appelle l’ordre de  a  et on le note ord(a ord(a).  – Si a  n’est pas d’ordre fini alors on dit qu’il est d’ordre infini.  G  un groupe de neutre  e  et  a  a  ∈  G . Proposition 1.3   Soit  G k  – Si a  est d’ordre fini  d , alors, ∀k  ∈ Z, a = e ⇐⇒ d|k .  ord(a)|ord(G ord(G).  – Si G  est fini alors  a  est d’ordre fini et  ord(a  G  un groupe monogène. Proposition 1.4   Soit  G  – Si G  est infini alors  G  est isomorphe à  ( Z, +).  – Si G  est fini d’ordre  n  (donc cyclique) alors  G  est isomorphe à  (Z/nZ, +).  (A, +, ×) un anneau et  B  ⊂  A . B  est un sous-anneau de A ⇐⇒ 1 ∈  B  et  ∀a, b ∈  H, a − b,ab  ∈  A. Caractérisation 1.2   Soit  (A,

   A  un anneau commutatif et  I   I  ⊂  A . I  est un idéal de  A ⇐⇒ I   = ∅ , ∀x, y  ∈  I , ∀a  ∈  A, x − y  ∈ Proposition 1.5 – Soient  Soient  A I,ax  ∈  I .  – L’image réciproque réciproque d’un idéal par un morphisme d’anneaux commutatifs est un idéal.  – La somme et l’intersection de deux idéaux d’un anneau commutatif sont des idéaux. Proposition 1.6 K[X ]  est un anneau principal. Si  I  est un idéal non nul de K[X ]  alors il existe un unique polynôme unitaire P  ∈ K[X ]  telque I  =  P K[X ]. Définition 1.3   Un polynôme P  de K[X ]  est dit irréductible si :  –  deg P  ≥  1  (i.e P  n’est pas constant).  – Si ∃Q, R  ∈ K[X ]  tels que  P  = QR  alors Q  ou  R  est constant. Proposition 1.7 – Dans Dans C[X ] , , les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré un.  – Dans R[X ] , , les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré un et les polynômes de degré deux de discriminant  strictement négatif. 1

CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

Théorème 1.1   (Décomposition en facteurs irréductibles)  Tout polynôme P  ∈ K[X ]  non constant se décompose de façon unique à l’ordre près sous la forme  P  = λP 1α · · · P nα où  P 1 , . . . Pn   sont des polynômes unitaires irréductibles deux à deux  λ  ∈ K∗ .  premiers  premiers entre eux,  α1 , . . . , αn  ∈ N∗ et  λ 1

n

 K  un  (A, +, ×, .)  est une K -algèbre  K  si Définition 1.4   Soit  K    un corps. On dit que  (A, -algèbre ou algèbre sur  K   si :  –  (A, +, ×) est un anneau.  –  (A, +, .)  est un K -espace -espace vectoriel. λ.a)b  = a  =  a((λ.b) λ.b) = λ.(  λ. (ab) ab).  –  ∀a, b  ∈  A, ∀λ ∈ K, (λ.a)  (A,  ( A, + , )  (A, +, ×, .) est commutative. ×  est commutatif alors on dit que l’algèbre  (A, Si, en plus, l’anneau  (A, +, ×, .)  et  (B,  (B, +, ×, .)  deux algèbres sur le même corps  K . On appelle Définition 1.5   Soient  (A, appelle : f (1) = 1 et  ∀a, b ∈ A, ∀λ ∈  – Morphisme de (A, +, ×, .)  dans (B, +, ×, .)   toute application f  : A → B   telle que f (1) K, f (a + b) = f (  f (a) + f ( f (b), f ( f (λ.a) λ.a) = λ.f (  λ.f (a)  et  f (  f (a.b) a.b) =  f (  f (a).f ( .f (b).  (A, +, ×, .)  dans (B,  (B, +, ×, .)  tout morphisme bijectif de  (A,  (A, +, ×, .)  dans (B,  ( B, +, ×, .).  – Isomorphisme de  (A, × ×  (A,  ( A, + , , . )  (A,  ( A, + , , . )  – Endomorphisme de  tout morphisme de  sur lui même.  (A, +, ×, .)  tout endomorphisme bijectif de  (A,  ( A, +, ×, .).  – Automorphisme Automorphisme de  (A,

2

Réducti Réduction on des endomor endomorphis phismes mes : Soient E  un  un K-espace vectoriel,  u, v  ∈ L  (E ), n  ∈ N∗ et  M, N  ∈ M n (K).

 ( E i )i∈I  est une famille de sous-espaces vectoriels de  E  stables  u  alors Proposition 2.1 Si (E    stables par  u

 E   E 

 u-stables. i  sont  u

i  et 

i∈I 

i∈I 

f  : K[X ] → Mn (K) K[X ] → L  (E )   (resp. ) est un mor→ P ( → P ( P  P (u) P  P (M )  phisme d’algèbres. On l’appelle le morphisme d’évaluation sur  L  (E )  (resp. Mn (K)) en  u  (resp.  M ).  v  = P   P ((u)  (resp.  N  = P (  P (M )).  – On dit que v  (resp.  N ) est un polynôme en  u  s’il existe un polynôme  P  ∈ K[X ]  tel que v = M ]), est une sous-algèbre commutative de L  (E )  (resp.  – L’ensemble des polynômes en  u  (resp.  M ), noté  K[u]  (resp. K[M ] Mn (K)).

Proposition et définition 2.1

– L’applic L’application ation

f  :

Proposition 2.2 Si uv =  uv  = v  vu u alors : ImP ((v)  et  ker  ker P ( P (v )  sont  u  u-stables.  –  ∀P  ∈ K[X ], ImP   u-stable.  – Si E  est   est de dimension finie alors ∀λ  ∈ K, E λ (v ) est  u noyaux)  Si  P, Q ∈ K[X ]  tels que  P  ∧ Q  = 1 alors : Théorème 2.1  (Théorème de décomposition des noyaux) Si

ker(P ker(P Q)(u )(u) = ker P ( P (u) ⊕ ker Q(u)  (resp.   ker(P ker(P Q)(M  )(M ) = ker P ( P (M ) ⊕ ker Q(M ))  P (u) = 0  (resp.  P (  P (M ) M ) = 0). Définition 2.1  On dit que  P  ∈ K[X ]  est annulateur de  u  (resp. M ) si  P ( Proposition et définition 2.2 – L’ensem L’ensemble ble I  des polynômes annulateurs de  u  est un idéal de K[X ] , , on l’appelle l’idéal annulateur de  u.  – Si  u  admet un polynôme annulateur non nul alors il existe un unique polynôme unitaire, noté  π u , tel que  I  = (πu ) = πu K[X ]. πu  s’appelle le polynôme minimal de u.  d  = deg πu  est une base de K[u]. En  – Si  u  admet un polynôme annulateur non nul alors la famille  (IdE , . . . , ud−1 )  avec  d =  particulier,  particulier, dim K[u] = deg πu .  – Si  E  est de dimension finie alors tout endomorphisme de  E  admet un polynôme annulateur non nul. En particulier, tout  endomorphisme de  E  admet   admet un polynôme minimal. Proposition et définition 2.3 –  M  admet   admet un polynôme annulateur non nul.  – L’ensemble I  des polynômes annulateurs de  M  est   est un idéal de K[X ] , , on l’appelle l’idéal annulateur de M .  – Il existe un unique polynôme unitaire, noté πM  , tel que I  = (πM ) =  π M K[X ]. πM  s’appelle le polynôme minimal de M .  (I n , . . . , M d  −1 )  avec d =  d  = deg πM  est une base de K[M ] M ]. En particulier,  dim K[M ] = deg πM .  – La famille  (I  Proposition 2.3 Si M  =

A B 

est une matrice par blocs avec A, C  deux  deux matrices carrées alors tout polynôme annulateur 

0 C   C . En particulier,  πC |πM . de M  est annulateur de  A  et  C  particulier, πA |πM  et  π

 λ  ∈ S  p(  p(u)  alors : Proposition 2.4 Si E  est   est de dimension finie,  P  ∈ K[X ]  et  λ P (λ)  est une valeur propre de  P (  P (u). Autrement dit,  P (  P (S  p(  p(u)) ⊂ S  p(  p(P ( P (u)).  –  P ( www.mathlaayoune.webs.com

2/7

[email protected]

CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

 p(u) ⊂ Z (P ) P ) (Z (P ) P )   désigne l’ensemble des  – Si  P  est annulateur de  u  alors  λ  est une raçine de  P . Autrement dit,  S  p( raçines de  P ). Proposition 2.5   Supposons que E   est de dimension finie et soit  (λi )i∈I   une famille de valeurs propres de u  deux à deux distinctes.  (xi )i∈I  est une famille de vecteurs propres de  u  telles que ∀i  ∈  I , xi  est associé à  λi  alors la famille  (x  (xi )i∈I  est libre.  – Si (x E λ (u) est directe.  – La somme



i

i∈I 

 – Si E  est   est de dimension finie  n  ∈ N∗ alors tout endomorphisme de  E  admet   admet au plus  n  valeurs propres.

Propriété 2.1  Supposons que  E  est   est de dimension finie.  p(u)  ⇔  λ  ∈ Z (χu )  où Z (χu )  désigne l’ensemble des raçines de  χu .  –  λ  ∈ S  p(  χ u  = (−1)n (X n − tr(u tr(u) X n−1 + · · · + (−1)n det u).  –  deg χu  = dim E  et   et  χ  – Si K = C ou χu  scindé alors :

 p(u)   = φ  donc u  admet au moins une valeur propre. 1. S  p( tr(u) = 2. tr(u



λ  et  det(u  det(u) =

λ∈S  p(u)



λ  où les valeurs propres sont comptées avec leurs ordres de multiplicités

λ∈S  p(u)

comme raçines de  χu .

 p(u), (X  −  m( λ) où  m(λ  m(λ)  désigne la multiplicité de u.  − λ)dim E  (u) |χu . En particulier,  –  ∀λ  ∈ S  p( particulier, dim E λ (u)  ≤  m(λ  –  Théorème  –  Théorème de Cayley-Hamilton :  χ u (u) = 0  (resp.  χ M (M ) = 0). Autrement dit,  χ u  (resp.  χ M ) est un annulateur de  u (resp.  M ).  –  πu |χu  (resp.  πM |χM ). En particulier,  deg πu  ≤  dim E  (resp.   (resp.  deg πM  ≤  n ).  p(u) = Z (χu ) =  Z (πu )  (resp. S  p(  p(M ) =  Z (χM ) = Z (πM )).  –  S  p(  –  χu  (resp.  χM ) est scindé  ⇐⇒ πu  (resp. πM ) est scindé. λ

Théorème 2.2  Supposons que  E  est  est de dimension finie. Les assertions suivantes sont équivalentes :  –  u  (resp.  M ) est diagonalisable.  –  E  (resp.   (resp. Mn1 (K)) admet une base formée de vecteurs propre de  u  (resp.  M ).

 =  –  E  =



λ∈S  p(u)

 =  –  dim E  =

 E  (M )  dim E  (M )  n =  n  =

E λ (u)  (resp. Mn1 (K) =



λ

).

λ∈S  p(u)

dim E λ (u)  (resp.

λ∈S  p(u)

λ

).

λ∈S  p(u)

 –  u  (resp.  M ) admet un polynôme annulateur scindé à raçines simples.  p(u), dim E λ (u) = m(λ m(λ)  (resp. ∀λ  ∈ S  p(  p(M ) M ), dim E λ (M ) M ) = m(λ m(λ)).  –  χu  (resp.  χM ) scindé et  ∀λ  ∈ S  p(

 n  valeurs propres deux à deux distinctes Corollaire 2.6  Supposons que  E  est   est de dimension finie  n  ∈ N∗ . Si  u  (resp. M ) admet  n alors u  (resp.  M ) est diagonalisable. Théorème 2.3  Supposons que  E  est   est de dimension finie  n  ∈ N∗ . Les assertions suivantes sont équivalentes :  –  u  (resp.  M ) est nilpotent (resp. nilpotente).  p(u) = { 0} (resp. S  p(  p(M ) M ) =  { 0}).  –  u  (resp.  M ) est trigonalisable et  S  p( n n n n  –  χu  = (−1) X  (resp.  χ M  = ( −1) X  ).

 E  un  u  ∈ L  (E ). u  est trigonalisable ssi  u  admet un polynôme Théorème 2.4   Soient  E   un K-espace vectoriel de dimension finie et  u = K C annulateur scindé. En particulier, si alors tout endomorphisme de  E  est  est trigonalisable. Théorème 2.5   Soient  E   E  un  v  = u  u F . Alors :  un K-espace vectoriel, u  ∈ L  (E ) ,  F  un sous-espace vectoriel  u-stable et  v =  – Tout polynôme annulateur de  u  est annulateur de  v .  χv |χu .  –  πv |πu  et  χ  p(v)  ⊂ S  p(  p(v)  et  ∀λ  ∈ K, E λ (v) = E λ (u) ∩ F .  –  S  p(  u  – Si  est diagonalisable (resp. trigonalisable) alors  v  est diagonalisable (resp. trigonalisable).

3

Espa Espaces ces préhil préhilber berti tiens ens :

 E  un R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur  E   tout application  ϕ  de  E  ×  E   vers R  telle Définition 3.1   Soient  E  que :  E .  –  ϕ  est une forme bilinéaire sur  E   E , ϕ(y, x) =  ϕ(  ϕ(x, y ). On dit que  ϕ  est symétrique.  –  ∀x, y  ∈  E,  E , ϕ(x, y )  ≥  0 . On dit que  ϕ  est positive.  –  ∀x  ∈  E, www.mathlaayoune.webs.com

3/7

[email protected]

CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

 E , ϕ(x, x) = 0 ⇒  x =  x  = 0. On dit que  ϕ  est définie.  –  ∀x  ∈  E,  Dans ce cas, l’espace  E  muni  muni du produit scalaire  ϕ  est dit espace préhilbertien réel.  E  un Propriétés 3.1  (Règles de calcul dans un espace préhilbertien)  Soit  E   un espace préhilbertien réel. Alors :  ∈ R, αx + βy 2 =  α 2 x2 + 2αβ  E , ∀α, β  ∈ 2αβ < x, x, y > + >  +β  β 2 y 2 .  –  ∀x, y  ∈  E,  E , x + y2 + x − y 2 = 2( x2 + y 2 ).  –  Identité  –  Identité du parallèlogramme : ∀x, y  ∈  E, >= 12 (x + y 2 − x2 − y 2 ) = 14 (x + y 2 − x − y2 ). polarisation)  : ∀x, y  ∈  E,< x,y >=  –  (Formules  –  (Formules de polarisation) :  E  un Proposition 3.1   Soit  E   un espace préhilbertien réel.  E , |  < x, x, y > | ≤  xy  avec égalité si et seulement si  (x,  (x, y)  lié. Cauchy-Schwarz)  : ∀x, y  ∈  E,  –  (Inégalité  –  (Inégalité de Cauchy-Schwarz) :  (x, y) est positivement lié. Minkowsky)  : ∀x, y  ∈  E,  E , x + y ≤ x + y  avec égalité si et seulement si  (x,  –  (Inégalité  –  (Inégalité de Minkowsky) :  E  appelée  E .  – L’application x  →  x est une norme sur  E   appelée la norme euclidienne associée au produit scalaire sur  E   (x, y )  → x − y   est une distance sur  E   E  appelée  – L’application (x,   appelée la distance euclidienne associée au produit scalaire sur  E .  E  un Proposition 3.2   Soit  E   un espace préhilbertien réel.  – Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls de E  est  est libre.

2

    x  = x  n

 ( x1 , . . . , x n )  une famille orthogonale de vecteurs de  E  alors Pythagore)  Si  (x  –  (Théorème  –  (Théorème de Pythagore) Si  alors

n

k

k =1

k

2

.

k =1

 E  un  A, B  ⊂  E . Alors : Propriétés 3.2   Soient  E    un espace préhilbertien réel et  A, ⊥ ⊥ ⊥ (Vect(A))⊥ et  A  A⊥ est un sous-espace vectoriel de  E .  –  A  ⊥  A  ,  A ∩ A =  φ  ou  A ∩ A = { 0} ,  A  ⊂  A⊥⊥ ,  A⊥ = (Vect(A ⊥ ⊥ ⊥ ⊥  Vect(B ) ⇐⇒   Vect(A Vect(A)  ⊥ ⇐⇒ B ⊂  A ) et (A  ⊥  B ⇐⇒ A  ⊥  Vect(B  – (A  ⊂  B ⇒  B ⊂  A ), (A  ⊥  B ⇐⇒ A  ⊂  B B ⇐⇒   Vect(A Vect(A)  ⊥  Vect(B  Vect(B )). Proposition 3.3   Soient  E   E  un  un espace préhilbertien réel et  F, G  deux sous-espaces vectoriels de  E . Alors : ⊥  ∩ F  =  { 0}. En particulier, la somme  F  + F ⊥ est directe.  –  F  ∩ directe.  + G est directe. Généralement, si (F   (F i )i∈I  une  – Si F  ⊥  G alors la somme F  +  une famille orthogonale de sous-espaces vectoriels de E . Alors la somme

 F 

i  est directe.

i∈I 

 ( F  ∩ G)⊥ .  –  F ⊥ + G⊥ ⊂  (F   –  (F  + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ .

Proposition 3.4   (Orthonormalisation de Gram-Schmidt)  Soient  E  un espace préhilbertien réel et  (e1 , . . . , e n )   une famille libre de  E .  ( ε1 , . . . , ε n )  de  E  telle  Il existe une et une seule famille orthonormée (ε  telle que :

∀k  ∈ {1, . . . , n},

   Vect{ε , . . . , ε } = Vect{e , . . . , e } 1

k

1

k

< εk , ek  > > 0

 (ε1 , . . . , εn ) est donnée par :  La famille orthonormée (ε e  –  ε1  = e  . 1 1

k−1

 < ε ,e ∀k  ∈ {2, . . . , n }, ε  =  e  −  < ε , e  ek  −

 – 

i

k

i=1 k−1

k

k

i

i=1

k

> εi

 >ε 

.

i

Corollaire 3.5   Soit  E   E  un   un espace euclidien non nul. Alors :  –  E  admet  admet une base orthonormale.  – Toute famille orthonormale de E  se   se complète en une base orthonormale de  E . Proposition 3.6   Soient  E   E  un  F, G  deux sous espaces vectoriels de  E . Alors :   un espace euclidien et  F, ⊥  ⊕ F  = E . En particulier,   + dim F ⊥ = dim E .  –  F  ⊕ particulier, dim F  + ⊥⊥ = F .  –  F   –  (F  ∩ G)⊥ =  F ⊥ + G⊥ .

 E  un Définition 3.2   Soit  E   un espace prhilbertien réel.  F  et  G  G  deux sous-espaces vectoriels de  E .  – Soient  F  ⊥

 G  sont en somme directe orthogonale et on note  F  ⊕  G. 1. Si F  ⊥  G  alors on dit que  F  et  G www.mathlaayoune.webs.com

4/7

[email protected]

CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

⊥

 G  = E   E  alors  G  sont supplémentaires 2. Si F  ⊕  G =   alors on dit que  F  et  G supplémentaires orthogonaux.  ( F i )i∈I   une famille orthogonale de sous-espaces vectoriels de  E  alors on dit que les  F i  pour  i  i ∈ I  sont en somme  – Si  (F  ⊥

directe orthogonale et on note

 F 

i.

i∈I 

Proposition 3.7   Soit  E   E  un  un espace prhilbertien réel.  – Si E  est   est de dimension finie alors tout sous-espace vectoriel de  E  admet  admet un supplémentaire orthogonal.  F   un sous-espace vectoriel de E . Si  F   admet un supplémentaire orthogonal  G  alors  G = F ⊥ . Autrement dit, le  – Soit  F   F ⊥ . supplémentaire supplémentaire orthogonal de F  , , lorsqu’il existe, est unique c’est  F 

 E  un Définition 3.3   Soit  E   un espace prhilbertien réel. ⊥

 – Soit  F  un  un sous-espace vectoriel de E  tel   tel que F  ⊕  F ⊥ =  E . On appelle projection (resp. symétrie) orthogonale sur (resp.  par rapport à) F  la projection sur (resp. symétrie par rapport à)  F  parallèlement à  F ⊥ . On la note  p   (resp.  s ). F 

F 

⊥

 =  u et  Imu  Imu ⊕  ker u  = E   =  E   – Soit  u  ∈ L  (E ). On dit que u est un projecteur projecteur orthogonal (resp. symétrie orthogonale) si u ◦ u  = u ⊥

 ker(u + idE ) ⊕ ker(u  ker(u − idE ) =  E ). (resp.  u ◦ u  = idE  et  ker(u ). ⊥

⊥

 ( F 1 , . . . , Fn  )  une famille orthogonale de sous-espaces vectoriels de  E  tels que  F 1 ⊕ · · · ⊕ F n = E . On appelle  – Soit  (F  ⊥

⊥

 projecteurs  projecteurs orthogonaux associés (resp. symétries orthogonales associées) à la somme directe orthogonale  F 1 ⊕ · · · ⊕ F n  =  E  les  E  définies   les applications p1 , . . . , pn  (resp.  s1 , . . . , sn ) sur  E    définies par : ∀x  = x  =  x 1 + · · · + xn  ∈  E  , , avec  (x  (x1 , · · ·  , xn )  ∈  F 1 × · · · × F n , ∀i ∈ {1, . . . , n}, pi (x) = x i  (resp. si (x) =  x − 2 pi (x) = x − 2xi  = x  =  x 1 + · · · + xi−1 − xi  + xi+1 + · · · + xn ).

Proposition 3.8   Soient E  un espace espace préhilber préhilbertien tien réel, réel, F  un sous sous espace espace vector vectoriel iel de E  de  de dimens dimension ion finie finie n  ∈ N∗ , (e1 , . . . , en )  x  ∈  E . Alors : une base orthonormale de  F  et  x ⊥

 –  F  ⊕  F ⊥ =  E . Autrement dit, tout sous-espace vectoriel de  E  de  de dimension finie admet un supplémentaire orthogonal. ⊥⊥ = F .  –  F  n

 – 

 < e ,x > e  E , p (x) = ∀x  ∈  E,

k.

k

F 

k =1

F ) =   x − pF (x) et  p  pF (x) est le seul élément de  F  qui vérifie cette égalité.  –  d(x, F ) 2 2 2 F ).  –  x =  pF (x) + d (x, F )  (en )n∈N  est une famille orthonormale de vecteurs Bessel)  Soit  E  un Proposition 3.9  (Inégalité de Bessel) Soit   un espace préhilbertien réel. Si  (e +∞

 (< en , x >)n∈N  est de carré sommable et on a de E  alors   alors ∀x  ∈  E  la famille (<

 < e , x > ≤ x 2

n

2

.

n=0

 E  un  ( en )n∈N  une famille de vecteurs de  E . On dit que : Définition 3.4   Soient  E   un espace préhilbertien réel et  (e  (en )n∈N  est totale si la famille Vect{en /n  ∈ N} est dense dans  E .  – La famille  (e  (en )n∈N  est une base hilbertienne de  E  si  – La famille  (e   si elle est orthonormale et totale.  E  un  (en )n∈N  une base hilbertienne de  E  et   x  ∈  E . Proposition 3.10   Soient  E   un espace préhilbertien réel,  (e  et  x  n ∈ N, pn  désigne la projection orthogonale de  E  sur  Vect   Vect{e0 , . . . , en } , alors la suite  ( p  ( pn (x))  converge  – Si, pour tout  n +∞

vers  x. Autrement dit, la série +∞

 –  Egalité  –  Egalité de Parseval :

 < e ,x > e

k  converge et on a

n

 < e , x > = x n

2

2

 < e , x > e  =  x n

n

.

n=0

.

n=0

Proposition 3.11   Soit  E   E  un  a  ∈  E  , , on pose  un espace euclidien. Pour tout  a  L’application

E ∗ .

ϕ :

f a  :

R E  → . x → < a,x >

E  → E ∗ est un isomorphisme d’espaces vectoriels. On l’appelle l’isomorphisme canonique de  E  sur   sur  a → f a

 E , ∀x  ∈  E,  E , f ( f (x) =< a, a, x >.  En particulier, particulier, ∀f  ∈  E ∗ , ∃!a  ∈  E,  E  un espace euclidien et  u  u ∈ L  (E ).  ∃ !v ∈ L  (E )  tel que  ∀ x, y ∈   E , < u( u(x), y >=< Proposition et définition 3.1   Soit  E  x, v (y )  > .  L’endomorphisme  L’endomorphisme v  s’appelle l’adjoint de u  et on le note  u∗ .

www.mathlaayoune.webs.com

5/7

[email protected]

CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

 E  un  u, v  ∈ L  (E ). Alors : Propriété 3.1   Soient  E    un espace euclidien et  u, ∗ ∗ ∗ βv ) = αu + βv  ,  (u  (u ◦ v)∗ = v ∗ ◦ u∗ et  (u  (u∗ )∗ =  u .  ∈ R, (αu + βv)  –  ∀α, β  ∈ ∗ ∗ −1  (u ) = (u−1 )∗ .  – Si u  est inversible alors  u est inversible et on a  (u  – L’application f  → f ∗ est un automorphisme sur  L  (E ). P (u∗ ) = (P  ( P ((u))∗ . En particulier, P (u) = 0 ⇐⇒ P ( P (u∗ ) = 0.  –  ∀P  ∈ R[X ], P ( particulier, ∀P  ∈ R[X ], P (  mat(u∗ , B ) =  tmat(u, mat(u, B ).  – Si B  est une base orthonormale de E  alors  alors  mat(u  E  un espace euclidien non nul et  u ∈ L  (E ). Proposition 3.12  (Caractérisation des endomorphismes orthogonaux)  Soient  E   Les assertions suivantes sont équivalentes :  E , u(x)  =   x. On dit que  u  est orthogonal ou que u  est une isométrie.  –  ∀x  ∈  E, ∀  ∈ x, y  E, < u( u(x), u(y )  >=  > =< x, x, y >.  –  ∗ ∗  u−1 =  u ∗ .  –  u ◦ u = u ◦ u  = idE . Autrment dit,  u  inversible et  u  u  est une base orthonormale de  E .  – L’application u  transforme toute base orthnormale de  E  par   par  u  u  est une base orthonormale de  E .  – L’application u  transforme au moins une base orthnormale de  E  par   par  u  E  un Proposition et définition 3.2   Soit  E    un espace euclidien non nul.  (GL(E ), ◦). On l’appelle le groupe orthogo – L’ensemble des endomorphismes orthogonaux de  E  est un sous-groupe de  (GL(E  nale de E  et  et on le note O(E ).  – L’ensemble {u  ∈ O (E )/ det u  = 1} est un sous-groupe de O (E ). On l’appelle le groupe spécial orthogonal de  E  et on le note SO (E )  ou O+ (E ). Les éléments de SO (E )  s’appellent des isométries positives ou rotations. Proposition 3.13   Soit  E   E  un  un espace euclidien. Une symétrie orthogonale de  E  est  est un endomorphisme orthogonale.

 E  un  u  ∈ L  (E ). Proposition 3.14   Soit  E    un espace euclidien non nul orienté et  u u  est une rotation si, et seulement si,  u  transforme une (resp. toute) base orthonormée directe de  E  en une base orthonormée directe de  E . Définition 3.5   Soit  n  n  ∈ N∗ . Une matrice A  ∈ Mn (R)  est dite : AA =  = I   I n . L’ensemble des matrices orthogonales d’ordre  n  se note O(n)  ou On (R).  – Orthogonale d’ordre d’ordre n  si  AtA  =  tAA  det A  = 1. L’ensemble des matrices orthogonales positives d’ordre  n  se  – Orthogonale positive d’ordre d’ordre n  si  A  ∈ O (n)  et  det + note S O(n)  ou O (n).  det A  =  − 1. L’ensemble des matrices orthogonales négatives d’ordre  n  – Orthogonale négative d’ordre n  si  A  ∈ O (n)  et  det − se note O (n).

 E  un Proposition 3.15   Soient  E    un espace euclidien de dimension  n  ∈ N∗ et  B  une base orthonormale de  E .  M  = mat(u, mat(u, B )  alors : Si u  ∈ L  (E )  et  M  =  –  u  ∈ O (E ) ⇐⇒ M  ∈ O (n).  –  u  ∈ SO (E ) ⇐⇒ M  ∈ S O (n).  –  u  ∈ O − (E ) ⇐⇒ M  ∈ O − (n). Proposition et définition 3.3   Soit  n  n  ∈ N∗ et  E   E  un   un espace euclidien de dimension  n.  –  O (n) est un sous-groupe de  GLn (R)  isomorphe à O(E ). On l’appelle le groupe orthogonal d’ordre  n .  –  S O (n) est un sous-groupe de O(n)  isomorphe à SO (E ). On l’appelle le groupe spécial orthogonal d’ordre  n.

 E  un  u  ∈ O (E ). Proposition et définition 3.4   Soient  E    un espace euclidien de dimension 2 et  u  – Si u  ∈ O − (E )  alors une existe une base orthonormale B  = (e1 , e2 )  de  E  dans   dans laquelle la matrice de  u  est 

1 0  0 −1

.

 Dans ce cas, u  est la symétrie orthogonale par rapport à la droite Re1 .  – Si u ∈ SO (E ) et  E   orienté alors  ∃ θ ∈ R  tel dans toutes les bases orthonormées directes de  E  la matrice de u est 

cos θ



− sin θ R( θ ) = . sin θ cos θ  Dans ce cas, on dit que  u  est la rotation d’angle  θ  et on la note  rθ . Corollaire 3.16 Si E  est   est un espace euclidien de dimension 2 alors SO (E ) est commutatif.

 E  un  F  un sous-espace vectoriel de  E . Si  F  est  u  u-stable alors F ⊥ est  Proposition 3.17   Soient  E    un espace euclidien,  u  ∈ O (E )  et  F  u-stable. Théorème 3.1  (Réduction d’un endomorphisme orthogonal dans une base orthonormale)  Soit  E  un espace euclidien de  +  q  +  + 2r = n , dimension n ∈ N∗ et  u ∈ O (E ). Alors il existe une base orthonormale B  de E  ,  ∃ p, q, r ∈ N  tels que p  + q 

R(θ )  0  

0

...

..

.

..

.. . .. .

..

.

R(θr )

0

···

1

∃θ1 , . . . , θr  ∈

R

tels que la matrice de  u  dans la base B  soit 

www.mathlaayoune.webs.com

6/7

..

...

···

   0   0  .. .

.

.

0

..

.

I  p 0

.

−I q

[email protected]

CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

Corollaire 3.18 Si E  est   est un espace euclidien de dimension ≥  3  alors S O(E ) n’est pas commutatif.

 E  un  u  ∈  SO  S O (E ). Proposition et définition 3.5   Soient  E    un espace euclidien orienté de dimension 3 et  u  (e1 , e2 , e3 ) dans laquelle la matrice de u  est :  Il existe  θ  ∈ R et une base orthonormée directe  (e u  s’appelle la rotation d’axe Re1  orienté par  e  e1  et d’angle  θ . On la note  re

1

,θ .

1 0

0 cos θ 0 sin θ

 

0 − sin θ . cos θ

u(x), y >=< Définition 3.6   Soient E  un espace espace préhilber préhilbertien tien réel. réel. Un endomorphi endomorphisme sme u de E  est   est dit symétr symétriqu iquee si ∀x, y  ∈  E,< u( x, u(y )  > .  L’ensemble  L’ensemble des endomorphismes symétriques de  E  se   se note S (E ).  E  un  F  un sous-espace vectoriel de  E . Si  F  est  u  u-stable alors Proposition 3.19   Soient  E   un espace préhilbertien réel,  u  ∈ S (E )  et  F  ⊥ F  est  u  u-stable.  E  un espace euclidien non nul et  u ∈ L  (E ). Proposition 3.20   (Caractérisation des endomorphismes symétriques)  Soient  E   Les assertions suivantes sont équivalentes :  –  u  symétrique.  –  u∗ =  u .  mat(u, B ) est symétrique.  – Pour toute base orthonormale B  de E  ,  mat(u,  mat(u, B ) soit symétrique.  – Il existe une base orthonormale B  de E  telle   telle que mat(u,  E  un Proposition 3.21   Soient  E    un espace euclidien de dimension  n  ∈ N∗ . S (E )  est un sous-espace vectoriel de L  (E )  isomorphe n(n+1) à l’espace S (n)  des matrice symétriques. En particulier,  dim S (E ) = . 2  E  un Proposition 3.22  (Caractérisation des projecteurs et symétries orthogonaux)  Soit  E    un espace euclidien.  p   p  E   p  – Un projecteur   de  est   est orthogonal si, et seulement si,  est symétrique.  – Une symétrie  s  de  E  est   est orthogonale si, et seulement si,  s  est symétrique. Proposition 3.23   Soient  E   E  un  u  ∈ S (E ).   un espace euclidien non nul et  u  – Toutes les valeurs propres propres de  u  sont réelles.  p(u)   distincts on a E λ (u) ⊥ E µ (u). En particulier, les espaces propres de u   sont en somme est directe  –  ∀λ, µ ∈ S  p( orthogonale.  –  Théorème  –  Théorème spectral :  u  est diagonalisable dans une base orthonormale de  E .

 n  ∈ N∗ et  A  A  ∈ S (n). Il existe  P  ∈ On (R)  tel que  P −1 AP  = tP AP  soit diagonale Corollaire 3.24   Soient  n diagonale,, on dit que A  est  orthogonalement diagonalisable. diagonalisable. – Soit  Soit  E   un espace euclidien non nul. Si u ∈ S (E )  alors :

Proposition 3.25

sup

< u(x), x >=

x∈E/ E/ x=1

inf 

x∈E/ E/ x=1

max λ et 

λ∈S  p(u)

< u(x), x >= min λ. λ∈S  p(u)

∗

 n  ∈ N . Si  A  ∈ S (n)  alors  – Soit  n

sup

t

XAX  = max λ et  λ∈S  p(A)

X ∈Mn1 (R)/X =1

www.mathlaayoune.webs.com

7/7

inf 

X ∈Mn1 (R)/X =1

t

XAX  =

min λ.

λ∈S  p(A)

[email protected]